guia vigas

Vigas

Ejercicio Nº1

Determinar las Reacciones de la viga simplemente apoyada cargada como

se muestra en la Figura 1.

Figura1

Solución:

Para facilitar la solución de este ejercicio se efectuara por pasos

Paso 1: Determinar la Estaticidad, esto con el fin de verificar que la viga sea

isostática

NI = 3B+R

NE = 3N+C

Donde

NI: numero de incógnitas

B: numero de barras

R: numero de reacciones

NE: numero de ecuaciones

N: numero de nodos

C: numero de ecuación de condición menos uno

B = 1 ; R = 3 ; N = 2 ; C = 0

Al sustituir se tiene:

NI = 3B+R; NI = 3(1) + 3 = 6

NE = 3N+C; NE= 3(2) + 0 = 6

Como NI = NE, La viga es isostática

Paso 2: Realizar el Diagrama de Cuerpo Libre (DCL)

Se dibuja la estructura con todas las fuerzas aplicadas conocidas, y con

todas las reacciones posibles según el vínculo, con sentidos arbitrarios.

Figura 2

Incógnitas

RAh =?

RAv =?

RBv =?

Paso 3: Calcular las Reacciones

Para proceder al cálculo de las reacciones se aplican las ecuaciones de

equilibrio estático, en el orden

FH = 0 MA = 0 Fv = 0

En primer lugar se aplica la ecuación de sumatorias de fuerzas horizontales

para obtener el valor de RAh, es decir

[+→ FH = 0] : RAh = 0

RAh = 0

Para resolver las otras dos incógnitas conviene emplear primero la ecuación de

momentos, para ello se debe elegir el punto respecto del cual se calculará el

momento. La elección dependerá de la posición de las incógnitas; o sea, se

debe elegir un punto que pertenezca a todas las incógnitas excepto una, y la

que resultará valorada; en este caso, es decir el punto A. ya que si se aplica la

ecuación Fv = 0 aparecerían las dos valores incógnitas RAv y RB

v.

Ahora bien recordando y aplicando la ecuación de momento, M = P x d

[+ MA = 0]: P1 x dA1 + P2 x dA2 – RBv x L = 0

Al sustituir por los valores conocidos del DCL

[+ MA = 0]: 3 Kg x 2 m + 6 Kg x 7 m - RBv x 10 m = 0

Efectuando las operaciones y Despejando RBv ; se tiene:

6 Kg.m + 42 Kg.m = 10 m x RBv

RBv= 48 Kg.m /10 m

RBv = 4.8 Kg↑

Ahora bien para conocer el valor de RAv se aplicara la sumatoria de fuerzas

verticales asumiendo que las fuerzas con sentido hacia arriba será positiva

[+↑ Fv = 0] : RAv + RB

v - P1 - P2 = 0

Al sustituir; se tiene:

[+↑ Fv = 0] : RAv + 4.8 Kg - 3 Kg - 6 Kg = 0

Al realizar la suma algebraica y despejando RAv :

RAv = 9 Kg – 4.8 Kg

RAv = 4.2 Kg↑

Con lo que queda terminado el ejercicio.

Figura 3

Resumen

La viga simplemente apoyada esta en equilibrio, es asimétrica por lo que los

valores de los vectores de reacciones verticales son RAv = 4.2 Kg y RB

v = 4.8

Kg, mientras que RAh = 0, debido a que no actúan fuerzas horizontales.

Ejercicio Nº2

Determinar las reacciones de los apoyos en la siguiente viga simplemente

apoyada en sus extremos de 10 metros de longitud que soporta una carga

distribuida w= 5 Kg por unidad de longitud.

Figura 4

Solución:


isostática

B = 1 ; R = 3 ; N = 2 ; C = 0

Al sustituir, se tiene:

NI = 3B+R; NI = 3(1) + 3 = 6

NE = 3N+C; NE= 3(2) + 0 = 6


Paso 2: Realizar el DCL

Para puntualizar la carga distribuida se aplica la formula del Área de un

rectángulo, A = b x h

Donde:

b: base y h: altura

Fuerza puntualizada del rectángulo (F )

F = 10 m x 5 Kg/m = 50 Kg

Y la carga actúa en el centro de la base del rectángulo, es decir a la mitad

de 10 m

Figura 5

Incógnitas

RAh =?

RAv =?

RBv =?



equilibrio estático, con el orden

FH = 0 MA = 0 Fv = 0



[+→ FH = 0] : RAh = 0

RAh = 0

Para determinar las otras dos incógnitas conviene emplear primero la

ecuación de momentos, para ello se elige el punto respecto del cual se

calculará el momento. La elección dependerá de la posición de las incógnitas; o

sea, se debe elegir un punto que pertenezca a todas las incógnitas excepto

una, y la que resultará valorada; en este caso, es decir el punto A. ya que si se

aplica la ecuación Fv = 0 aparecerían las dos valores incógnitas RAv y RB

v.

Ahora bien como en el ejercicio anterior se aplica la ecuación M = P x d

[+ MA = 0]: 50 kg x 5 m – RBv x 10 m = 0

Efectuando las operaciones y despejando RBv ; se tiene:

250 Kg.m = 10 m x RBv

RBv = 250 Kg.m /10 m

RBv = 25 Kg↑

Ahora para conocer el valor de RAv se aplicara la sumatoria de fuerzas


[+↑ Fv = 0] : RAv + RB

v – 50 Kg = 0


[+↑ Fv = 0] : RAv + 25 Kg – 50 Kg = 0


RAv = 50 Kg – 25 Kg

RAv = 25 Kg↑


Figura 6

Resumen

Se observa que la viga simplemente apoyada esta en equilibrio, es simétrica

razón por la cual los valores de los vectores de reacciones verticales son

iguales RAv = 25 Kg y RB

v = 25 Kg, mientras que RAh=0, debido a que no actúan

fuerzas horizontales.

Ejercicio Nº3

En la Figura 7 se representa una viga simplemente apoyada que soporta

una carga distribuida cuya intensidad varia linealmente de 6 Kg por unidad de

longitud en el apoyo fijo a cero en el extremo del apoyo de rodillo. Determine

las reacciones en los apoyos

Figura 7

Solución:


isostática

B = 1 ; R = 3 ; N = 2 ; C = 0


NI = 3B+R; NI = 3(1) + 3 = 6

NE = 3N+C; NE= 3(2) + 0 = 6



Para puntualizar la carga distribuida de tipo triangular se aplica la formula

del Área de un triangulo, A = (b x h)/2

Donde:

b: base y h: altura

Fuerza puntualizada de la carga Triangular (F )

F = (10 m x 6 Kg/m) / 2 = 30 Kg

Y la carga actúa a 1/3 de la base del lado mas alto del triangulo, es decir a

10 / 3 = 3.33 m

Figura 8

Incógnitas

RAh =?

RAv =?

RBv =?



equilibrio estático, las cuales son

FH = 0 MA= 0 Fv = 0



[+→ FH = 0] : RAh = 0

RAh = 0

Para resolver las otras dos incógnitas conviene emplear primero la ecuación

de momentos, para ello se debe elegir el punto respecto del cual se calculará el

momento. La elección dependerá de la posición de las incógnitas; o sea, se

debe elegir un punto que pertenezca a todas las incógnitas excepto una, y la

que resultará valorada; en este caso, es decir el punto A. ya que si se aplica la

ecuación Fv = 0 aparecerían las dos valores incógnitas RAv y RB

v.

Ahora bien se aplica la ecuación de momento, M = P x d

[+ MA = 0]: 30 kg x 3.33 m – RBv x 10 m = 0

Efectuando las operaciones y Despejando RBv ; se tiene:

99.9 Kg.m = 10 m x RBv

RBv = 99.9 Kg.m /10 m

RBv= 9.99 Kg↑



[+↑ Fv = 0] : RAv + RB

v – 30 Kg = 0


[+↑ Fv = 0] : RAv + 9.99 Kg – 30 Kg = 0


RAv = 30 Kg – 9.99 Kg

RAv = 20.01 Kg↑


Figura 9

Resumen

Se observa que la viga simplemente apoyada esta en equilibrio, que soporta

una carga distribuida cuya intensidad varia linealmente de 6 Kg por unidad de

longitud es asimétrica razón por la cual los valores de los vectores de

reacciones verticales son diferentes RAv = 20.01 Kg y RB

v = 9.99 Kg, la

reacción vertical en el apoyo A es mayor que la del apoyo B, debido a que la

intensidad de la carga es mayor en el extremo, además RAh = 0, debido a que

no actúan fuerzas horizontales.

Ejercicio Nº4

Determine las reacciones en el apoyo A de una viga empotrada de 10

metros de longitud cargada como se muestra en la Figura 10.

Figura 10

Solución:


isostática

B = 1 ; R = 3 ; N = 2 ; C = 0


NI = 3B+R; NI = 3(1) + 3 = 6

NE = 3N+C; NE= 3(2) + 0 = 6



Como se puede observar hay una carga de tipo rectangular y otra de tipo

trapezoidal, para puntualizar la carga distribuida de tipo rectangular se aplica la

formula del Área de un rectángulo, A = b x h

F = 4 m x 10 KN / m = 40 KN

Y la carga actúa a la mitad de la base del rectángulo, es decir a 4/2 = 2 m

Para puntualizar la carga trapezoidal se divide en una de tipo rectangular y

otra triangular

Figura 11

Con la carga triangular se aplica la formula del Área de un triangulo, A =

(b x h)/2

F = (6 m x 10 KN/m) / 2 = 30 KN


6/3 = 2 m

La carga distribuida de tipo rectangular se tiene

F = (6 m x 10 KN/m) = 60 KN


Considerando las medidas a partir del apoyo A se tiene:

Figura 12

Incógnitas

RAh =?

RAv =?

MA =?



equilibrio estático:

FH = 0 Fv = 0 MA= 0


para obtener el valor de RAh.

[+→ FH = 0] : RAh = 0

RAh = 0



[+↑ Fv = 0] : RAv – 40 KN – 30 KN – 60 K = 0


RAv = 130 KN

RAv = 130 KN↑

Ahora bien para determinar MA se aplica la tercera ecuación

[+ MA = 0]: - MA + 40 KN x 2 m + 30 KN x 6 m + 60 KN x 7 m = 0

Efectuando las operaciones y despejando MA ; se tiene:

- MA + 80 KN.m + 180 KN.m + 420 KN.m = 0

MA = 680 KN.m

MA = 680 KN.m


Figura 13

Resumen

Se observa que la viga empotrada en A esta en equilibrio, que soporta dos

carga distribuida una rectangular y una trapezoidal cuya intensidad varia

linealmente por unidad de longitud, el valor del vector de reacción vertical es

RAv = 130 KN, la reacción horizontal que RA

h = 0, debido a que no actúan

fuerzas horizontales y el Momento en el apoyo es de 680 KN.m.

Ejercicio Nº5

Determine las reacciones de viga simplemente apoyada en voladizo cargada

como se muestra en la Figura14.

Figura 14

Solución:


isostática

B = 2 ; R = 3 ; N = 3 ; C = 0


NI = 3B+R; NI = 3(2) + 3 = 9

NE = 3N+C; NE= 3(3) + 0 = 9



Para puntualizar la carga distribuida de tipo rectangular se aplica la formula

del Área de un rectángulo, A = b x h

F = 4 m x 10 Kg/m = 40 Kg


Puntualizando la carga triangular se tiene: A = (b x h)/2

F = (3 m x 6 Kg/m) / 2 = 9 Kg


3/3 =1 m

El vector de la fuerza inclinada se descompone en Fx y Fy, donde:

Fx = 1Kg Cos30º = 0.87 Kg

Fy = 1Kg Sen30º = 0.50 Kg

Figura 15

Incógnitas

RAh =?

RAv =?

RBv =?



equilibrio estático:

FH = 0 MA = 0 Fv = 0

En primer lugar para obtener el valor de RAh, se aplica la ecuación de

sumatorias de fuerzas horizontales, asumiendo que las fuerzas con sentido

hacia la derecha será positiva es decir;

[+→ FH = 0] : RAh – 0.87 Kg = 0

Despejando RAh

RAh = 0.87 Kg

RAh = 0.87 Kg→



[+↑ Fv = 0] : RAv + RB

v – 40 Kg – 3 Kg – 0.5 Kg – 9 Kg = 0

RAv + 26.17 Kg – 40 Kg – 3 Kg – 0.5 Kg – 9 Kg = 0

RAv + 26.17 Kg – 52.5 Kg = 0

Después de realizar la suma algebraica y despejando RAv :

RAv = 26.33 Kg

RAv = 26.33 Kg↑


Figura 16

Resumen

La viga simplemente apoyada en voladizo que soporta los diferentes tipos

de cargas, esta en equilibrio, la reacción horizontal que RAh=0.87 Kg, debido a

que la fuerza inclinada tiene dos componentes una horizontal de 0.87 Kg con

sentido hacia la izquierda que es igual a la reacción horizontal con sentido

hacia la derecha para que este en equilibrio, una vez realizado la sumatoria de

momento en el apoyo A se obtuvo el valor de RBv = 26.17 Kg y luego con

sumatoria de fuerzas verticales se determino el valor de RAv = 26.33 Kg.

Ejercicio Nº6

Determine las reacciones del apoyo A de la viga simplemente apoyada en

voladizo cargada como se muestra en la Figura 17, si la reacción en el apoyo B

es de 14 Kg

Figura 17

Solución:


isostática

B = 2 ; R = 3 ; N = 3 ; C = 0


NI = 3B+R; NI = 3(2) + 3 = 9

NE = 3N+C; NE= 3(3) + 0 = 9


Paso 2: Elaborar el DCL


Fx = 8 Kg Cos30º = 6.93 Kg

Fy = 8 Kg Sen30º = 4 Kg

Figura 18

Incógnitas

RAh =?

RAv =?


Para proceder al cálculo de las reacciones se aplican las dos ecuaciones de

equilibrio estático, las cuales son

FH = 0 Fv = 0




[+→ FH = 0] : RAh – 6.93 Kg = 0

Despejando RAh

RAh = 6.93 Kg


Figura 19

Resumen

La viga simplemente apoyada en voladizo cargada como se muestra en la

figura19, esta en equilibrio, la reacción horizontal que RAh= 6.93 Kg, debido a

que la fuerza inclinada tiene dos componentes una horizontal de 6.93 Kg con

sentido hacia la izquierda ←, que es igual a la reacción horizontal con sentido

hacia la derecha → para que este en equilibrio, y luego con sumatoria de

fuerzas verticales se determino el valor de RAv = -10 Kg, lo que indica el signo

negativo es el sentido de la reacción vertical del apoyo A, va con sentido hacia

abajo ↓ esto con el fin de que exista el equilibrio.

Ejercicio Nº7

RAh = 6.93 Kg→

Determine las reacciones de viga simplemente apoyada en voladizo

cargada como se muestra en la Figura 20.

Figura 20

Solución:


isostática

B = 2 ; R = 3 ; N = 3 ; C = 0


NI = 3B+R; NI = 3(2) + 3 = 9

NE = 3N+C; NE= 3(3) + 0 = 9



Para puntualizar la carga distribuida de tipo rectangular se aplica la formula

del Área de un rectángulo, A = b x h

F = 5 m x 10 Kg/m = 50 Kg

Y la carga actúa a la mitad de la base del rectángulo

Para puntualizar la carga trapezoidal se divide en una de tipo rectangular y

otra triangular

Figura 21

Con la carga triangular se aplica la formula del Área de un triangulo,

A = (b x h)/2

F = (4 m x 6 KN/m) / 2 = 12 KN


4/3 = 1.33 m

Al puntualizar la carga distribuida de tipo rectangular se tiene

F = (4 m x 10 KN/m) = 40 KN


Considerando que el apoyo A esta a 2 m del inicio de la viga se tiene:

Figura 22

Incógnitas

RAh =?

RAv =?

RBv =?



equilibrio estático;

FH = 0 MA= 0 Fv = 0




[+→ FH = 0] : RAh = 0

RAh = 0

Ahora bien para determinar RBv se aplica la ecuación de momento en el

apoyo A

[+ MA = 0] :

50 KN x 0.5 m + 12 KN x 4.33 m + 40 KN x 5 m + 3 KN x 9 m - RBv x 9 m = 0

Efectuando las operaciones y despejando RBv , se tiene:

25 KN.m + 51.96 KN.m + 200 KN.m + 27 KN.m - RBv x 9 m = 0

303.96 KN.m = RBv x 9 m

RBv = 33.77 KN

RBv = 33.77 KN↑



[+↑ Fv = 0] : RAv + RB

v – 50 KN – 12 KN – 40 KN – 3 KN = 0

RAv + 33.77 KN – 50 KN – 12 KN – 40 KN – 3 KN = 0

RAv + 33.77 KN – 105 KN = 0

Después de realizar la suma algebraica y despejando RAv :

RAv = 71.23 KN

RAv = 71.23 KN↑


Figura 23

Resumen

La viga simplemente apoyada en voladizo que soporta los diferentes tipos

de cargas, esta en equilibrio, la reacción horizontal que RAh=0, debido a que no

actúan fuerzas horizontales, una vez realizado la sumatoria de momento en el

apoyo A se obtuvo el valor de RBv = 33.77 KN y luego con sumatoria de fuerzas

verticales se determino el valor de RAv = 71.23 KN

Vigas Compuestas

Ejercicio Nº8

Determine las reacciones en los apoyos de la viga compuesta cargada

como se muestra en la Figura 24.

Figura 24

Solución:


isostática

B = 3 ; R = 4 ; N = 4 ; C = 1


NI = 3B+R; NI = 3(3) + 4 = 13

NE = 3N+C; NE= 3(4) + 1 = 13



Como se puede observar hay una carga distribuida tipo rectangular, para

puntualizar la carga se aplica la formula del Área de un rectángulo, A = b x h

F = 4 m x 100 KN / m = 400 KN


Figura 25

Incógnitas

RAh =?

RAv =?

RBv =?

RDv =?


Para la viga compuesta de una viga simple y una en voladizo unida por

medio de una articulación interna. Se observa que el numero de elementos de

reacción desconocidos, incluyendo la reacción horizontal en el apoyo A, es

cuatro, es decir para resolverlas se deben aplicar cuatro ecuaciones

independiente de la estática, tres de equilibrio y una de condición, las cuales

son

FH = 0 MCD = 0 MA = 0 Fv = 0



[+→ FH = 0] : RAh = 0

RAh = 0

Ahora para conocer el valor de RDv se aplicara la sumatoria de momento de

la rotula C al apoyo D, considerar el diagrama de la Figura 26

Figura 26

[+ MCD = 0]: 400 KN x 2 m - RDv x 4 m = 0

Efectuando la multiplicación y despejando RDv ; se tiene:

800 KN.m - RDv x 4 m = 0

RDv = 200 KN

RDv = 200 KN↑

Ahora se aplica la tercera ecuación para determinar RBv

[+ MA = 0]:

30 KN x 1 m + 7 KN x 4 m - RBv x 4 m + 400 KN x 8 m - 200 KN x 10 m = 0

Efectuando las operaciones y despejando RBv; se tiene:

30 KN.m + 28 KN.m - RBv x 4 m + 3200 KN.8 m - 2000 KN.m = 0

1258 KN.m = RBv x 4 m

RBv = 314.5 KN

RBv = 314.5 KN↑

[+↑ Fv = 0] : RAv + RB

v + RDv – 30 KN – 7 KN – 400 KN = 0

RAv + 314.5 KN + 200 KN – 30 KN – 7 KN – 400 KN = 0


RAv = - 77.5 KN

RAv = - 77.5 KN ↓


Figura 27

Resumen

Para la viga compuesta de una viga simple y una en voladizo unida por

medio de una articulación interna, se aplicaron cuatro ecuaciones

independiente de la estática, a saber tres de equilibrio y una de condición, para

determinar las reacciones, primeramente se dividió la viga en la rotula para

aplicar la ecuación de condición MCA y así obtener el valor del vector de

reacción vertical RDv = 200 KN.

Luego con la ecuación de momento en el apoyo A considerando toda las

fuerzas que actúan en la viga compuesta para determinar el valor de reacción

vertical RBv = 314.5 KN, para finalizar con las incógnitas de las reacciones

verticales se aplicó la sumatoria de fuerzas verticales para garantizar el

equilibrio en la viga con RAv = - 75.5 KN, el resultado es negativo, lo cual indica

que el sentido del vector de reacción vertical es contrario al asumido, es decir;

es hacia abajo ↓. En vista a que no actúan fuerzas horizontales, la reacción

horizontal RAh = 0.

Ejercicio Nº9

Determine las reacciones en los apoyos de la viga compuesta cargada

como se muestra en la Figura 28.

Figura 28

Solución:


isostática

B = 2 ; R = 4 ; N = 3 ; C = 1

Al Sustituir, se tiene:

NI = 3B+R; NI = 3(2) + 4 = 10

NE = 3N+C; NE= 3(3) + 1 = 10

Como NI=NE, La viga es isostática


Se observa una carga de tipo trapezoidal y una inclinada, se procede como

en los ejercicios anteriores para puntualizar la carga trapezoidal se divide en

una de tipo rectangular y otra triangular

Figura 29

Con la carga triangular se aplica la formula del Área de un triangulo,

A = (b x h) / 2

F = (6 m x 300 Kg/m) / 2 = 900 Kg


6 / 3 = 2 m

Para la carga distribuida de tipo rectangular se tiene

F = (6 m x 200 Kg/m) = 1200 Kg



Fx = 25 Kg Cos60º = 12.5 Kg

Fy = 25 Kg Sen60º = 21.65 Kg

Figura 30

Incógnitas

RAh =?

RAv =?

MA =?

Rcv =?


Para la viga compuesta, obsérvese que el numero de elementos de reacción

desconocidos, incluyendo la reacción horizontal en el apoyo A, es cuatro, es

decir para resolverlas se aplican cuatro ecuaciones independiente de la

estática, a saber tres de equilibrio y una de condición, así como:

FH = 0 MBC = 0 Fv = 0 MA = 0



[+→ FH = 0] : RAh -12.5 Kg = 0

Al despejar RAh ; se tiene:

RAh = 12.5 Kg

RAh = 12.5 Kg→

Ahora se aplicara la sumatoria de momento en la rotula B a la derecha, es

decir al apoyo C, para conocer el valor de RCv, considerar el diagrama de la

Figura 31

Figura 31

[+ MBC = 0]: 900 Kg x 2 m + 1200 Kg x 3 m - RCv x 6 m = 0

1800 Kg.m + 3600 Kg.m - RCv x 6 m = 0

5400 Kg.m - RCv x 6 m = 0

Efectuando las operaciones y despejando RCv ; se tiene:

RCv = 900 Kg

RCv = 900 Kg↑

Ahora se aplica la tercera ecuación para determinar RAv

[+↑ Fv = 0] : RAv + RC

v + 21.65 Kg – 900 Kg – 1200 Kg = 0

RAv + 900 Kg + 21.65 Kg – 900 Kg – 1200 Kg = 0

RAv – 1178.35 Kg = 0


RAv = 1178.35 Kg

RAv = 1178.35 Kg↑

Ahora bien, se aplicara la sumatoria de momento en el apoyo A,

considerando toda la viga para conocer la incógnita MA.

[+ MA = 0]:

– 21.65 Kg x 1 m + 100 Kg.m + 900 Kg x 5 m + 1200 Kg x 6 m - RCv x 9 m – MA

= 0

Al sustituir el valor de RCv = 900 Kg, se tiene:

– 21.65 Kg x 1 m + 100 Kg.m + 900 Kg x 5 m + 1200 Kg x 6 m – 900 Kg x 9 m –

MA = 0

Efectuando las operaciones y despejando MA ; se tiene:

– 21.65 Kg.m + 100 Kg.m + 4500 Kg.m + 7200 Kg.m – 8100 Kg.m – MA = 0

3678.35 Kg.m – MA = 0

MA = 3678.35 Kg.m

MA = 3678.35 Kg.m


Figura 32

Resumen

Para la viga compuesta empotrada en A, con una articulación interna, en la

cual se aplicaron cuatro ecuaciones independiente de la estática, a saber tres

de equilibrio y una de condición, para determinar las reacciones, primeramente

se aplicó la ecuación de fuerzas horizontales cuyo valor de la reacción

horizontal RAh= 12.5 Kg en vista que equilibra la componente horizontal de la

fuerza inclinada de 25 Kg.

Luego para aplicar la ecuación de condición MBC se dividió la viga en la

rotula y así obtener el valor del vector de reacción vertical RCv = 900 Kg, la otra

incógnita de reacción vertical se aplicó la sumatoria de fuerzas verticales para

garantizar el equilibrio en la viga con la cual, RAv = 1178.35 Kg. ya para finalizar

se aplicó la ecuación de momento en el apoyo A y se considero todas las

fuerzas que actúan en la viga compuesta para obtener el valor del momento en

el empotramiento, MA = 3678.35 Kg.m.

Ejercicio Nº10

Determine las reacciones en los apoyos de la viga compuesta que soporta

una carga distribuida de 100KN en toda su longitud, ver la Figura 33.

Figura 33

Solución:


isostática

B = 3 ; R = 4 ; N = 4 ; C = 1

Sustituyendo, se tiene:

NI=3B+R; NI = 3(3) + 4 = 13

NE=3N+C; NE= 3(4) + 1 = 13

Como NI=NE, La viga es isostática


Como se puede observar la carga distribuida de tipo rectangular para

puntualizarla se divide en dos rectángulos, una de base 2m y otra de base 4m.

F 1 = (2 m x 100 KN/m) = 200 KN


F 2 = (4 m x 100 KN/m) = 400 KN


Figura 34

Incógnitas

RAh =?

RAv =?

Rcv =?

RDv =?


Para la viga compuesta, se considera como en los ejercicios anteriores con

vigas compuestas para determinar las reacciones desconocidas, se aplican

cuatro ecuaciones independiente de la estática, a saber tres de equilibrio y una

de condición, así como:

FH = 0 MBD = 0 MA = 0 Fv = 0



[+→ FH = 0] : RAh = 0

RAh = 0

Ahora se aplicara la sumatoria de momento en la rotula B a la derecha, es

decir al apoyo D, y obtener una ecuación con dos incógnitas; RCv y RD

v,

considerar el diagrama de la Figura 34

Figura 35

[+ MBD = 0]: - RCv x 1 m + 400 KN x 2 m - RD

v x 4 m = 0

Efectuando las operaciones y ordenando los términos ; se tiene la primera

ecuación :

– RCv – 4 RD

v = – 800

Al multiplicar toda la ecuación por menos uno (–1), se tiene:

RCv + 4 RD

v = 800 ecuación (1)

Ahora bien, se aplicara la sumatoria de momento en el apoyo A,

considerando toda las fuerzas que actúan en la viga para obtener la segunda

ecuación con las mismas incógnitas de la anterior, para utilizar en método de

sustitución y determinar los valores de las reacciones RCv y RD

v

[+ MA = 0]: 200 KN x 1 m - RCv x 3 m + 400 KN x 4 m - RD

v x 6 m = 0

Efectuando las operaciones y ordenando los términos; se tiene la segunda

ecuación :

200 KN.m – 3 RCv + 1600 KN.m – 6 RD

v = 0

– 3 RCv – 6 RD

v = – 1800

Al multiplicar toda la ecuación por menos uno (–1), se tiene:

3 RCv + 6 RD

v = 1800 ecuación (2)

Con la relación de las dos ecuaciones obtenidas, se aplica el método de

sustitución para así determinar las incógnitas

De la ecuación (1) se despeja RCv y luego se sustituye en la ecuación (2)

RCv = 800 - 4 RD

v

3(800 - 4 RDv) + 6 RD

v = 1800

2400 - 12 RDv + 6 RD

v = 1800

- 6 RDv = - 600

Al despejar RDv ; se tiene:

RDv = 100 KN↑

Se sustituye el valor de RDv en la ecuación (1),

RCv = 800 - 4 RD

v

RCv = 800 - 4 (100 KN)

Después de realizar las operaciones matemáticas correspondientes, se

obtiene RCv:

RCv = 800 KN - 400 KN

RCv = 400 KN↑

Ahora para determinar RAv se aplica la ecuación de sumatoria de fuerzas

verticales

[+↑ Fv = 0] : RAv + RC

v +RDv– 200 KN – 400 KN = 0

RAv + 400 KN + 100 KN – 200 KN – 400 KN = 0

Al realizar la suma algebraica y despejando RAv

RAv – 100 KN = 0

RAv = 100 KN

RAv = 100 KN↑


Figura 36

Resumen

Para la viga compuesta con una articulación interna, en la cual se aplicaron

cuatro ecuaciones independiente de la estática, a saber tres de equilibrio y una

de condición, para determinar las reacciones, primeramente se aplicó la

ecuación de fuerzas horizontales cuyo valor de la reacción horizontal RAh = 0

Luego para aplicar la ecuación de condición MBD se dividió la viga en la rotula y

así obtener una ecuación en función de dos incógnitas del apoyo C y D ,

además de aplicar la ecuación de momento en el apoyo A y considerando toda

las fuerzas que actúan en la viga compuesta se obtiene una segunda ecuación

en función de las mismas incógnitas, esto con el fin de aplicar el método de

sustitución y determinar el valor de las reacciones verticales RCv = 400 KN y RD

v

= 100 KN.

Para finalizar con las incógnitas de las reacciones verticales se aplicó la

sumatoria de fuerzas verticales para garantizar el equilibrio en la viga con

reacción vertical RAv = 100 KN.

Ejercicio Nº11

Una escalera apoyada en A y en B esta cargada con el peso de una

persona aplicada en el punto C, como se muestra en la Figura 37. (Se

desprecia el peso propio de la escalera y el rozamiento en el punto B).

Determine las reacciones en los apoyos.

Figura 37

Solución:


isostática

B = 1 ; R = 3 ; N = 2 ; C = 0

Sustituyendo, se tiene:

NI = 3B+R; NI = 3(1) + 9 = 6

NE = 3N+C; NE= 3(2) + 0 = 6



Figura 38

Incógnitas

RAh =?

RAv =?

RBh =?


Para determinar las reacciones desconocidas, se aplican las tres

ecuaciones de equilibrio estático:

Fv = 0 MA = 0 FH = 0

En primer lugar se aplica la ecuación de sumatorias de fuerzas verticales

para obtener el valor de RAv.

[+↑ Fv = 0] : RAv – 75 Kg = 0

RAv = 75 Kg

RAv = 75 Kg↑

Ahora se aplicara la sumatoria de momento en el apoyo A, y así determinar

incógnitas RBh

[+ MA = 0]: 75 Kg x 1.3 m - RBh x 3 m = 0

Efectuando las operaciones y se despeja RBh , se tiene:

97.5 Kg.m - RBh x 3 m = 0

97.5 Kg.m = RBh x 3 m

RBh = 97.5 Kg.m / 3 m

RBh = 32.5 Kg

RBh = 32.5 Kg→

Para determinar la tercera incógnita RAh se aplica la ecuación de sumatorias

de fuerzas horizontales.

[+→ FH = 0] : RAh - RB

h = 0

RAh - 32.5 Kg = 0

RAh = 32.5 Kg

RAh = 32.5 Kg→


Figura 39

Resumen

Para la viga inclinada, para determinar las reacciones, primeramente se

aplicó la ecuación de fuerzas verticales, la cual el valor es igual al de la fuerza

de 75 Kg debido q que es la única fuerza que actúa en la escalera en sentido

vertical, además de aplicar la ecuación de momento en el apoyo A y

considerando toda las fuerzas que actúan en la viga la segunda incógnita, RBh =

32.5 Kg y luego para finalizar con las incógnitas de las reacciones horizontales,

se utilizo la ecuación de sumatoria de fuerzas horizontales para así, garantizar

el equilibrio en la viga RAh = 32.5 Kg. De tal sentido que las reacciones

horizontales son iguales pero con sentido diferentes.

guia vigas

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