MATEMTICA

COLEGIO SAN FRANCISCO DE SALES - 2011 - Prof. Cecilia Galimberti

MATEMTICA 4 AO B

GUA N 4 - ECUACIN CUADRTICA FUNCIN CUADRTICA

Funcin Cuadrtica:

Es toda funcin de la forma:

f(x) = a x + b x + c con a , b , c nmeros Reales

Puede suceder que b c sean nulos, por ej:

f(x) = x + 5 f(x) = 5 x Pero a no puede ser = 0 , de los contrario no se tratara de una funcin cuadrtica.

Las Funciones cuadrticas se grafican en un sistema de ejes cartesianos, por ahora, construyendo una tabla de valores. Por ejemplo: f(x) = x + 3

Podemos resumir lo visto en:

Ejercicio 1:

Ms adelante estudiaremos la Funcin Cuadrtica y su representacin grfica. Por ahora trabajaremos con la Ecuacin Cuadrtica asociada a ella.

Ecuaciones Cuadrticas: y = a x + b x + c Forma polinmica

Trmino cuadrtico trmino lineal trmino independiente

Para resolver una ecuacin cuadrtica, podemos aplicar procedimientos ya conocidos: Consideremos los siguientes casos:

a) Si el trmino lineal es nulo: Ej: 3 x + = 0 a = ......... b = .......... c = ........

Podemos despejar x :

x = .............

x = ...............b) Si el trmino independiente es nulo:

Ej : 3 x + 2 x = 0 a = ......... b = ........... c = .........

Podemos extraer factor comn x, x ( 3 x + 2 ) = 0

Teniendo 2 factores igualados a 0, necesariamente uno de los factores debe ser ...............

Por lo tanto planteamos:

x = 0

3 x + 2 = 0 3 x = 2 x = 2/3

c) Si la ecuacin es completa:

Ej : x + 2 x 3 = 0 a = ........ b = .......... c =..........

Utilizamos una frmula que nos permitir obtener las soluciones x y x, reemplazando los coeficientes a, b y c en ella:

FRMULA RESOLVENTE:

Como en esta frmula hay una raz cuadrada, si el radicando (llamado Discriminante) es negativo, la ecuacin que intentamos resolver no tiene solucin en el conjunto de los nmeros reales.

Resolvamos el ej: x + 2 x 3 = 0

Reemplazamos en la frmula resolvente: x,x =

Operamos:

x,x =

El smbolo indica que una de las soluciones se obtiene usando el + y la otra usando el :

x = ________ =

x,x = _______

x = ________ =

Ejercicio 2: Resolver las siguientes ecuaciones cuadrticas(es decir, hallar sus races):a) x x 6 = 0

b) x 4 x = 0

c) x 4 x + 4 = 0

d) x 3 x 10 = 0

e) 2 x + 16 x 34 = 0 f) 3 x x = 0

g) x 2 = 0

h) x 2 = 0

i) x x = x + 2

j) 9 x + 6 x + 3 = 0 k) 3 x 2 x 1 = 0

l) 3 ( x 5 ) ( x + ) = 0

m) x = 0,01

n) x 5 x = 0

o) ( x 1 ) ( x + 3 ) = xEjercicio 3: Problemas que se resuelven aplicando ecuaciones cuadrticas:1) Cul es el nmero natural que sumado al cuadrado de su consecutivo, da 109?

2) La suma de dos nmeros es 8, y su producto es 15 Cules son esos nmeros?

3) La suma de dos nmeros enteros es 14, y la razn de sus cuadrados es 64 Cules son esos nmeros?

4) Cul es el nmero tal que la mitad del producto de dicho nmero por su consecutivo, es igual a 136?

5) El producto de dos nmeros consecutivos, disminuido en 42, es igual a 68 Cules son esos nmeros?

6) Cul es el nmero que cumple que el duplo de su cuadrado, menos 20, es igual al triplo del nmero?

7) Determinar los lados de un tringulo rectngulo, sabiendo que sus dimensiones son nmeros consecutivos.

8) La superficie de un rectngulo es de 108 cm. Sabiendo que uno de los lados es igual a los 4/3 del otro, calcular las dimensiones del rectngulo.

9) Hallar las dimensiones de un rectngulo, sabiendo que su altura es 3 cm mayor que su base, y que su superficie es de 70 cm.

10) Pedro, de 52 aos, tiene un nieto de 2 aos Despus de cuntos aos la razn entre la edad del abuelo y la del nieto ser igual a partes del tiempo transcurrido para que eso suceda?

Ejercicio 4:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Ejercicio 5: Problemas con aplicaciones geomtricas:

Forma factorizada de la ecuacin cuadrtica:

Consideremos la funcin cuadrtica: f(x) = 4 ( x 2 ) ( x 3 )

Cules son los ceros o races de f(x)?. Para qu valores de x se cumple que f(x) = ........?

Como es un producto de factores, f(x) ser igual a 0, cuando alguno de esos factores sea igual a 0.

Planteamos: x 2 = 0 x 3 = 0

x =........

x = ...........

De esta forma obtuvimos las races de f(x): .................................................

Si en la frmula de f(x) aplicamos propiedad distributiva, obtenemos su expresin en forma polinmica:

f(x) = 4 ( x 2) ( x 3) =.......................... = .

Si f(x) hubiera estado expresada en su forma polinmica, tendramos que haber aplicado la frmula resolvente para hallar sus races. En cambio expresada como producto de factores, se hallan en forma inmediata.

Una funcin cuadrtica f(x) = a x + b x + c con races reales x y x , puede expresarse:

f(x) = a ( x x ) ( x x ) Forma factorizadaEjemplo: expresemos en forma factorizada la frmula de la funcin h(x) = 2 x 4 x 6

x =

x,x = ___________ = ______________

x =

Entonces, h(x) = 2 (............) (............)

Atencin: No todas las funciones cuadrticas pueden escribirse en forma factorizada, porque Ejercicio 6: Expresa en forma factorizada las siguientes ecuaciones cuadrticas: a) x 12 x + 32 = 0

e) x + x = 0

b) 2 x 5 x 3 = 0

f) x 6 x + 9 = 0

c) x 9 = 0

g) x 7 x + 10 = 0

d) 4 x 36 = 0

h) x 2 x 1 = 0

Ejercicio 7: Expresa en forma polinmica las siguientes ecuaciones: a) 3 ( x 5 ) ( x + ) = 0

d) (1) ( x + 3 ) ( x 2/3 ) = 0

b) ( x + 2 ) ( x 2 ) = 0

e) ( x 3 ) ( x 3 ) = 0

c) f)

Propiedades de las races de la ecuacin cuadrtica:Suma de las soluciones: S =

Producto de las soluciones:P = .

EMBED Equation.3

Es decir:

Reconstruccin de una ecuacin conociendo sus soluciones:

Ejercicio 8:

Ecuaciones bicuadrticas:

Son ecuaciones de la forma: a x + b x + c = 0

Por ser una ecuacin de cuarto grado, tiene cuatro races, y puede resolverse de la misma manera que una ecuacin cuadrtica, reemplazando x por y ( por lo tanto x = y )

Ejemplo: 2 x 10 x + 8 = 0

2 y 10 y + 8 = 0 y = _____________ = ____________ y =

y =

y= 4 pero y = x x = 4 x = 2

x = 2

y= 1 pero y = x x = 1 x = 1

x = 1

Ejercicio 9: Resolver las siguientes ecuaciones bicuadrticas:

a) x 13 x + 36 = 0

(R: 3 , 3 , 2 , 2 )

b) 36 x 25 x + 4 = 0

(R: 2/3 , 2/3 , , )

c) 4 x = 37 x 9

( R: 3 , 3 , , )

d) x 3 x 18 = 0

( R:

e) 4 ( x 1 ) + 3 x = 3

( R: 1, -1, , )

f) (x + 2 ) ( x 2 ) + 2 x = 4

( R:

g) 3 ( 1 x ) x = 0

( R:

Ejercicio 10: Resolver las siguientes ecuaciones cuadrticas:

a) R: (10/7 ; - 10/7) b) R: (8/3 ; -8/3)c) R: ( ; - ) d) R: (0 ; -4)e) 2. (x-3).(x+3) = 4 3( x 1) R:(; -) f) 2. (x 8) = ( x3) + 6x R: (5 ; 5)

g) 2 x (x 2) + 4(x 1) = 10 R: ( ) h) (2 x + 1) = 7 + 4 x(x 1) R: ( )i) R: ( -1/2) j) R: (-27/10)

Funciones Cuadrticas

Ejercicio 11: Dadas las siguientes ecuaciones polinmicas, graficar sin tabla de valores:a) y = 2 x + 5 x 2

b) y 3 x + 6 x + 9

c) y = 2 x + 3 x + 1

d) y = 4 x + 6 x + 2

e) y = 4 x + 3 x 1

f) y = 2 x + 11 x + 15g) y = 0,5 x + 4 x + 6

h) y = x x + 2

i) y = 2 x + x + 1Forma Cannica de la Ecuacin cuadrtica

Ejercicio 12: A la funcin f(x) = x le aplicamos los siguientes desplazamientos:

a) 2 unidades hacia arriba y 1 a la derecha

b) 3 unidades hacia la izquierda

c) 1 unidad hacia abajo y 2 hacia la izquierda

Expresar la frmula correspondiente en cada caso y Graficar.

Ejercicio 13: Dadas las siguientes funciones cuadrticas: f(x) = x + 10 x + 25 ; g(x) = x + 7 x 8 ; h(x) = x + 9 x 8

Graficar y analizar cada una (indicando: vrtice, races, eje de simetra, crecimiento, direccin de sus ramas, desplazamientos con respecto a f(x)=x, corte con el eje y)

Ejercicio 14: Hallar la funcin cuadrtica dada por la siguiente ecuacin, y expresarla de las formas conocidas (polinmica, factorizada y cannica). Graficar

3 . ( x + 1 ) . ( x 2 ) = 4 x ( x 3 ) + 2

Ejercicio 15: Dada la ecuacin factorizada, hallar las ecuaciones polinmica y cannica:

a) y = ( x 1 ) .- ( x + 4 )

b) y = 1 . ( x + 1 ) . ( x 6 )

c) y = 1 . ( x 1 ) . ( x 10 )

d) y = 2 . ( x + ) . ( x + 3 )

Ejercicio 16: Dada la ecuacin cannica, hallar las ecuaciones polinmica y factorizada:

a) y = (x + 3 ) 25

b) y = 3 . ( x + 2/3 ) 25/3

c) y = (x + 2 ) 8

d( Y = . (x + 14 ) 25

Ejercicio 17: Dada la ecuacin polinmica, hallar las ecuaciones factorizada y cannica:

a) y = 3 x 7 x 2

b) y = 2 x + 7 x + 3

c) y = x + 3 x + 2

d) y = x 3 x 2

e) y = 2 x 3 x 2

f) y = x + 2 x + 1 Sistemas de dos Ecuaciones Mixto (lineal y cuadrtica)

Ejercicio 18: Resolver analtica y grficamente los siguientes sistemas de ecuaciones:

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

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