TECNICO LABORAL EN MECNICA AUTOMOTRZ ASIGNATURA DE MATEMATICAS GUIA DE CLASE No 1 NOMBRE DEL ESTUDIANTE: FECHA: DOCENTE: JOHN JAIRO ESCOBAR MACHADO UNIDAD: NMEROS RACIONALES TIEMPO: 6 Horas

ACTIVIDADES: OPERACIONES BSICAS CON NMEROS FRACCIONARIOS OPERACIONES BSICAS CON NMEROS DECIMALES OBJETIVO: Al finalizar esta unidad el estudiante tendr la habilidad de analizar y resolver todo tipo de ejercicios con los nmeros racionales. 1. NMEROS RACIONALES El conjunto de los nmeros racionales se denota por siguiente: y se define de la manera

a Es de la forma, ; a y b Z . b = 5 1 3 7 , , 2 2 y 2 , en una recta As por ejemplo, la representacin de los nmeros 2 numrica real es:

a Recordemos adems que si, el nmero racional b se puede considerar como el cociente que se obtiene al dividir a por b; en donde b indica el nmero de partes en que se divide la unidad y se llama denominador y a el nmero de partes que se toman y se llama a numerador. Y teniendo en cuenta que el nmero racional b es un cociente, entonces tenemos que: 5 = 2.5 2 , 1 = 0.5 2 , 3 = 1.5 2 7 = 3.5 2 .

y

1.1. OPERACIONES CON NMEROS FRACCIONARIOS a c ad + bc bd 1.1.1. SUMA: b + d = 3 8 15 + 56 Ej. 7 + 5 = 35 71 = 35 a c ad bc bd 1.1.2. RESTA: b - d = 9 2 27 8 Ej. 4 3 = 12 19 = 12 a c ac 1.1.3. MULTIPLICACIN: b d = b d 5 7 35 Ej. 6 9 = 54 a c ad 1.1.4. DIVISIN: b d = b c 8 6 56 Ej. 5 7 = 30 28 = 15 que es el resultado de simplificar por 2. a b ( a c) + b c = c

1.2. NMEROS MIXTOS: 3 7 31 8 = 8

Ej.

Para convertir un mixto, hay que

nmero fraccionario en un nmero hacer una divisin.

37 Ej. 8 37 5 numerador Entonces, 37 5 4 8 = 8

8 denominador 4 parte entera

1.3. OPERACIONES CON NMEROS DECIMALES 1.3.1 SUMA: Se deben colocar los sumandos uno debajo del otro de tal manera que las unidades, dcimas, centsimas, etc. de uno de los sumandos queden formando columna con las del otro sumando. Ej. 25,23 +19,718 25,18 + 19,718 44,898 Entonces, 25,23 +19,718 = 44,898 1.3.2. RESTA: Se coloca el sustraendo debajo del minuendo de tal manera que las unidades queden debajo de las unidades, las dcimas debajo de las dcimas, etc. y se restan como si fueran nmeros enteros. Si el minuendo no tiene igual nmero de cifras decimales que el sustraendo, se agregan ceros al minuendo hasta igualar el nmero de cifras decimales. Ej. 5,14 3,568 5,140 3,568 1,572 1.3.3. MULTIPLICACIN: Se multiplican como si fueran nmeros enteros y luego se separan en el producto, de derecha a izquierda, tantas cifras decimales como haya en los dos factores. Ej. 45,3 8,29 45,3 8,29_____________

4077 906 3624_______________

375,537 Entonces, 45,3 8,29 = 375,537 1.3.4. DIVISIN: Se multiplica tanto el dividendo, como el divisor por la potencia mayor de diez, para convertir ambos decimales en nmeros enteros y se divide normalmente. Ej. 36,4 6,25 36,4 10 = 364 6,25 100 = 625 como se debe multiplicar por entonces 36,4 100 = 3640 la divisin queda: 1500 2500 0 Ejercicios 5 4 1. 9 + 6 = 2 7 2. 15 + 3 = 6 8 9 3. 14 + 21 + 6 = 14 11 4. 8 5 = 8 12 5. 22 11 = 15 2 5 6. 9 21 49 = la mayor potencia,

3640 5150

625 5,824

18 8 7. 7 27 = 42 22 8. 12 14 = 9 63 9. 8 2 = 1 4 10. 3 6 = 11. 0,63 + 9,072 = 12. 10,03 + 5,008 = 13. 8,435 3,998 = 14. 100,1 90,9098 = 15. 325,42 1,4 = 16. 23,8 3,28 = 17. 0,035 0,7 = 18. 215,88 14 =

TECNICO LABORAL EN MECNICA AUTOMOTRZ ASIGNATURA DE MATEMATICAS GUIA DE CLASE No 2 NOMBRE DEL ESTUDIANTE: FECHA: DOCENTE: JOHN JAIRO ESCOBAR MACHADO UNIDADES: REGLA DE TRES SIMPLE UNIDADES DE MEDIDA TIEMPO: 2 Horas TIEMPO: 4 Horas

ACTIVIDADES: OPERACIONES CON PROBLEMAS DE REGLA DE TRES SIMPLE Y PORCENTAJES OPERACIONES CON UNIDADES DE MEDIDA OBJETIVO: Al finalizar esta unidad el estudiante tendr la habilidad de resolver problemas de regla de tres simple directa e inversa y realizar todo tipo de conversiones de las unidades de medida. 2.1. REGLA DE TRES SIMPLE En la vida diaria se presentan situaciones en las que se relacionan dos magnitudes directa o inversamente proporcionales. Estos problemas se conocen como problemas de regla de tres simple directa o inversa porque en ellos aparecen tres datos conocidos y uno que no se conoce. Este cuarto dato que debe calcularse se representa con una letra, generalmente la letra X, a la que llamamos incgnita. 2.1.1. REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA Sean a, b y c nmeros cualesquiera , I y II las magnitudes y X la incgnita, entonces,

I a c

II b ,o, X

I a c

II b X

si las dos magnitudes aumentan o las dos magnitudes disminuyen, entonces la regla de tres simple es directa y se relacionan en diagonales (como se muestra en la ilustracin anterior), y la incgnita se calcula: X = bc , a

donde, el nmero que est relacionado con la incgnita (X) va en el denominador y los otros dos nmeros se multiplican en el numerador.

Ej. Un tcnico recibe $ 198000 por reparar 4 computadores. Cunto ganar el tcnico si repara 6 computadores? Computadores 4 6 entonces, X = 6 198000 = 297000 4 Valor ($) 198000 X

R/. El tcnico recibe $ 297000 por reparar los 6 computadores. 2.1.2. REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA Sean a, b y c nmeros cualesquiera , I y II las magnitudes y X la incgnita , entonces, I a c II b ,o, X c X si la primera magnitud aumenta y la segunda magnitud disminuye o la primera magnitud disminuye y la segunda magnitud aumenta, entonces la regla de tres simple es inversa y se relacionan en lnea (como se muestra en la ilustracin anterior), y la incgnita se calcula: I a II b

X =

ab , c

donde, el nmero que est relacionado con la incgnita (X) va en el denominador y los otros dos nmeros se multiplican en el numerador. Ej. 20 obreros tardan 6 das en realizar un trabajo. Cunto tiempo tardar 8 obreros igualmente hbiles? Obreros (das) 20 8 6 X Tiempo

entonces, X = 20 6 = 15 8

R/. 8 obreros tardan en realizar el trabajo en 15 das. Ejercicios 1. Por 5 turnos nocturnos un empleado recibi $ 112500. Cunto dinero recibir por trabajar 9 turnos nocturnos? 2. Juan dispone de dinero para comprar 4 repuestos electrnicos que cuesta $ 3600 cada uno. Pero al llegar al almacn los encuentra en promocin cada repuesto a $ 2400. Cuntos repuestos puede comprar Juan con el mismo dinero? 3. Cunto dinero recibir Ins por 15 das de trabajo si gana $ 300000 por 9 das? 4. A una velocidad promedio de 80 Km/h, Pedro gast 3horas en hacer un viaje. Cunto tiempo emplear si la velocidad es de 60 Km/h en promedio? 5. Si para empacar 360 frascos de aceite se necesitan 15 cajas de cartn. Cuntas cajas se necesitan para empacar 480 frascos iguales? 6. Por un lote avaluado en $ 2500000 se pagan $ 150000 de impuesto predial. Cul ser el impuesto que deba pagar un lote avaluado en $ 30000000 situado en el mismo sector urbano? 7. Los alumnos de un curso han recolectado dinero para realizar una excursin de 8 das y con la suma recolectada pueden viajar 20 estudiantes. Si la excursin

disminuye a slo 5 das, cuntos estudiantes pueden ir con el mismo dinero? 8. Carlos demora 45 minutos para ir hasta la escuela ms cercana a la casa, viajando en la bicicleta a 28 Km/h. Cunto tiempo demorar si viaja en el bus que viaja a 60 Km/h en promedio? 9. Un camin transporta 12 toneladas de cemento en 5 viajes. Cuntos viajes deber realizar para transportar 60 toneladas? 10. Para confeccionar un vestido de 2 piezas, se necesita 2.20 metros de pao de 1.50 de ancho. Cuntos metros deber comprar si el pao que encontr solo tiene 1.10 metros de ancho?

2.1.3. PORCENTAJE El resultado de calcular un tanto por ciento de un nmero se llama porcentaje. Por ejemplo el 35 por ciento se representa de la siguiente manera: 35%. Adems se puede representar como: 35% = 35 = 0.35 100

Una forma de calcular un porcentaje es por medio de una regla de tres simple directa. Ej. Hallar el 35 % de $ 250000. Capital $ 250000 X entonces, X = 250000 35 = 87500 100 Porcentaje (%) 100 35

R/. El 35% de $ 250000 es $ 87500. Otra forma de calcular el ejemplo anterior es utilizando la equivalencia decimal del porcentaje, entonces

$ 250000 0.35 = $ 87500 Sabiendo que un tanto por ciento se puede calcular por medio de una regla de tres simple directa, entonces en un problema tambin se puede encontrar el porcentaje. Ej. En una empresa hay 880 empleados de los cuales slo 44 son mujeres.Qu tanto por ciento de los empleados representa las mujeres? Empleados 880 44 entonces, X = Porcentaje (%) 100 X 44 100 =5 880

R/. El 5 % de los empleados son mujeres. Y por ltimo se puede calcular el nmero del cual se conoce el porcentaje. Ej. Por la compra de un electrodomstico, Carmen recibi una rebaja de $ 6240 que corresponde al 12% del precio inicial del electrodomstico. Cul era el precio inicial? Capital X 6240 entonces, X = 6240 100 = 52000 12 Porcentaje (%) 100 12

R/. El precio inicial del electrodomstico era de $ 52000. Ejercicios 1. Un vendedor recibe una comisin del 5% sobre las ventas que realiza. Cunto dinero recibir despus de vender $ 8500000? 2. Qu tanto por ciento de rebaja recibi Mario si por comprar drogas facturadas en $ 14200 pag $ 13845?

3. Jorge gana mensualmente un sueldo de $ 385000. Adems recibe el 5% de su sueldo bsico como subsidio de transporte y 8% por antigedad. A cunto asciende su sueldo mensual? 4. Suponiendo que la poblacin de Bogot es de 6000000 de habitantes aproximadamente y solo 1800000 tiene casa propia. a. Qu tanto por ciento de los habitantes tienen casa propia? b. Qu tanto por ciento no tiene casa propia? 5. En una carpintera se fabrica asientos a un costo de $ 21800. Si le gana el 30% sobre el costo al venderlos. a. Cunto gana por cada asiento? b. Cul es el precio de venta de cada asiento? 6. En la seccin A de una fbrica salieron 7 empleados de vacaciones que representan el 10% del total, y en la seccin B sali un 7% que corresponden a 14 empleados. Cuntos empleados hay en cada seccin?Cuntos empleados hay en las dos secciones?

2.2. UNIDADES DE MEDIDA Una unidad de medida es una cantidad estandarizada de una determinada magnitud fsica. En general, una unidad de medida toma su valor a partir de un patrn o de una composicin de otras unidades definidas previamente. Cada unidad tiene un smbolo asociado a ella, el cual se ubica a la derecha de un factor que expresa cuntas veces dicha cantidad se encuentra representada. Es comn referirse a un mltiplo o submltiplo de una unidad, los cuales se indican ubicando un sufijo delante del smbolo que la identifica. En esta unidad es motivo de estudio las unidades de medida de tensin, corriente y resistencia y es necesario tener en cuenta que: La tensin es la fuerza que impulsa a la corriente. La corriente es lo que se mueve o desplaza. La resistencia es lo que se opone o limita el paso de la corriente. En la siguiente tabla se resume cada magnitud con su respectivo smbolo, unidad e instrumento. Magnitud Smbolo Unidad Smbolo Instrumento Smbolo

Tensin E Voltio V Voltmetro

Corriente I Amperio A Ampermetro

Resistencia R Ohmio Ohmetro

Tabla de los mltiplos y submltiplos de las unidades. Mltiplos Submltiplos Smbolo Nombre Smbolo Nombre D Deca d deci H Hecto c centi K Kilo m

mili M Mega micro G Giga n nano T Tera p pico P Peta f femto E Exa a atto Z Zetta z zepto Y Yotta y yocto

Notemos que cada mltiplo se escribe con letra mayscula y cada submltiplo con letra minscula. En la siguiente tabla esta cada uno de los mltiplos y submltiplos con sus respectivas

equivalencias. Mltiplos 10 Y 1024 10-21 Z 1021 -18 10 E 1018 -15 10 P 1015 10-12 T 1012 -9 10 G 109 10-6 M 106 -3 10 K 103 10-2 H 102 -1 10 D 10-24

V, A, 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 10-15 10-18 10-21 10-24 d

cm

n p f a z y

10 102 103 106 109 1012 1015 1018 1021 1024

Submltiplos Con los valores anteriores se puede realizar las conversiones que se requieran. Ej. Convertir 9 GV a fV. Para realizar esta conversin se puede hacer de las siguientes formas: 1 forma: Con una regla tres simple directa. 1 Paso GV 1 9 X V 109

entonces, X = 9 109

1 X = 9 109 V 2 Paso V 1 9 109 X fV 1015

entonces, X = 9 109 1015 1 X = 9 1024 fV 2 forma: Por medio de la notacin cientfica. 9 GV 109V 1015fV = 9 1024 fV 1 GV 1V Ejercicios Realizar las siguientes conversiones: 1. 15 A a TA 2. 0.42 G a z 3. 100 TV a PV 4. 18.5 aA a zA 5. 25 H a

6. 80000 pV a V 7. 62.3 YA a yA 8. 0.02 Z a z 9. 105 cV a DV 10. 10-10 EA a nA

TECNICO LABORAL EN MECNICA AUTOMOTRZ ASIGNATURA DE MATEMATICAS GUIA DE CLASE No 3 NOMBRE DEL ESTUDIANTE: FECHA: DOCENTE: JOHN JAIRO ESCOBAR MACHADO UNIDADES: CONCEPTOS PREVIOS MOVIMIENTO Y FUERZA (DINMICA) TIEMPO: 3 Horas TIEMPO: 9 Horas

ACTIVIDADES: FSICA MECNICA FUERZA LEYES DE NEWTON OBJETIVO: Al finalizar esta unidad el estudiante tendr la habilidad de analizar y resolver problemas de la cinemtica, movimiento y fuerza (dinmica).

3.1. CONCEPTOS PREVIOS El estudio del movimiento de objetos, y los conceptos afines de fuerza y energa, forman el campo llamado mecnica. Por costumbre se divide a la mecnica en dos partes: cinemtica, que es la descripcin de cmo se mueven los objetos y dinmica, que trata de por qu se mueven los objetos y como lo hacen. En esta primera parte de la gua nos ocuparemos de la cinemtica. A continuacin formularemos las ecuaciones cannicas de los movimientos en una y dos dimensiones. 3.1.1. Movimiento uniformemente rectilneo (a = 0) Desplazamiento: x = vt (Km, m, cm, mm,) Velocidad: v= x (Km/h, m/s,) t Tiempo: t=x ( h, min, s,) v 3.1.2. Movimiento uniformemente acelerado (a = constante) x = v0t 1at2 2 v = v0 + at v2 = v20 2ax 3.1.3. Cada de los cuerpos Las ecuaciones de la cada de los cuerpos son las mismas del movimiento uniformemente acelerado pero cambiamos la aceleracin (a) por la aceleracin de la gravedad (g), su valor aproximado es g = 9.8 m/s2 y a x por y.

3.1.4. Tiro Parablico

ax = 0 ay = - g

vx = v0cos vy = v0sen gt

x = v0cos t y = v0sen t gt2

Ejercicios de repaso 1. Cul debe ser la velocidad promedio para viajar 220 Km en 2.25 h? 2. Auna velocidad promedio de 31 Km/h, qu distancia recorrer un ciclista en 135 min? 3. Un pjaro puede volar a 30 Km/h. Cunto tardar en volar 22 Km? 4. Supongamos que se disea un aeropuerto para aeronaves pequeas. Determinado tipo de avin, que podra usar ese aeropuerto, debe alcanzar una velocidad de despegue de 100 Km/h, y puede acelerar a 2 m/s2. Si la pista tiene de longitud, puede el aeroplano alcanzar la velocidad adecuada para el despegue? 5.Cunto tarda un automvil en recorrer 30 m si acelera partiendo del reposo a una tasa de 2 m/s2? 6. Supongamos que se deja caer una pelota desde una torre de 70 m de altura. Hasta qu altura habr cado al transcurrir 1, 2 y 3 segundos? 7. Una persona arroja una pelota hacia arriba, al aire, con una velocidad inicial de 15 m/s. Calcular (a) la altura que alcanza, y (b) el tiempo que pasa la pelota en el aire antes de regresar a la mano. 8. Se arroja una piedra en sentido horizontal desde un barranco de 100 m de altura. Choca con el piso a 90 m de distancia de la base del barranco. A qu velocidad fue lanzada? 9. A un baln de ftbol lo patean a un ngulo = 37 con una velocidad de 20 m/s. Calcule (a) la altura mxima, (b) el tiempo que viaja hasta que pega en el suelo, y (c) la distancia a la llega al suelo. 10. Un tigre salta en direccin horizontal desde una roca de 15 m de altura, con una velocidad de 4 m/s. A qu distancia de la base de la roca llegar al suelo? 3.2. MOVIMIENTO Y FUERZA (DINMICA) En forma intuitiva podemos definir a la fuerza como cualquier tipo de empuje o jaln sobre un objeto. Un mtodo para medir en forma cuantitativa la magnitud o intensidad de una fuerza es usar una bscula de resorte. Esta bscula se usa normalmente para determinar el peso de un objeto. El peso es la fuerza de gravedad actuando sobre un

cuerpo. Podemos representar cualquier fuerza mediante una flecha en un diagrama, igual como se hace con la velocidad. La direccin de la flecha es naturalmente la direccin del empuje o el jaln, y su longitud se traza proporcionalmente a la intensidad o magnitud de la fuerza. Para empujar un objeto por una mesa a velocidad constante, se necesita tan slo la fuerza de la mano, slo para equilibrar la fuerza de friccin. La fuerza de empuje es de igual magnitud que la fuerza de friccin, pero tienen direcciones opuestas, y por lo tanto, la fuerza neta sobre un objeto, que es la suma vectorial de las dos fuerzas, es cero. 3.2.1. Primera Ley de Newton del movimiento Todo cuerpo contina en su estado de reposo o de velocidad uniforme en lnea recta a menos que una fuerza neta que acte sobre l lo obligue a cambiar ese estado. A esta primera ley de newton se llama con frecuencia ley de inercia. 3.2.2. Segunda Ley de Newton del movimiento La aceleracin de un objeto es directamente proporcional a la fuerza neta que acta sobre l, e inversamente proporcional a su masa. La direccin de la aceleracin es la misma de la fuerza neta aplicada. Con frecuencia se confunden los trminos masa y peso entre s, pero es importante diferenciarlos. Masa es una propiedad de un cuerpo, es una medida de la inercia o cantidad de materia de un cuerpo. Por otro lado, peso es una fuerza, la fuerza de gravedad que acta sobre el cuerpo. Para visualizar la diferencia, supongamos que llevamos un objeto a la luna. All pesar una sexta parte de lo que pesaba en la tierra, ya que la fuerza de gravedad es ms dbil, pero la masa seguir siendo la misma. El patrn de medida de la masa en el sistema internacional (SI), es el kilogramo (Kg). La segunda ley de Newton en forma de ecuacin: F = ma en donde, a representa la aceleracin, m la masa y F la fuerza neta. Por fuerza neta se entiende la suma vectorial de todas las fuerzas que actan sobre el cuerpo. Mediante la segunda ley de Newton podemos dar una definicin ms precisa de fuerza, es una accin capaz de acelerar un objeto. Las unidades en que se mide la fuerza estn resumidas en la siguiente tabla. Sistema Masa Fuerza SI Kilogramo (Kg) Newton (N)

cgs Gramo (g) dina Ingls slug libra (lb) La unidad de masa slug, se define como la masa que adquiere una aceleracin de 1 pie/ s2. Donde, 1 N = 1 Kg . m/ s2 1dina = 10-5 N 2 1 dina = 1 g . cm/ s 1 lb = 4.45 N 1 libra = 1slug . pie/ s2 Ej. 1. Calcular la fuerza neta que se necesita para acelerar un automvil deportivo de 1500 Kg de peso a g. Solucin F = ma = (1500Kg)(0.5)(9.8 m/s2) = 7350 N Ej. 2. Qu fuerza neta se necesita para desacelerar a un automvil que pesa 1500 Kg desde una velocidad de 100 Km/h hasta reposo, en una distancia de 55 m? Solucin Tomando la ecuacin de velocidad del movimiento uniformemente acelerado, para encontrar la aceleracin. v2 = v20 2ax de modo que a = v2 v20 2x a= 0 (28 m/s)2 2(55 m) a = 7.1 m/s2 La fuerza neta necesaria es entonces F = ma = (1500 Kg)( 7.1 m/s2) = 10650 N 3.2.3. Tercera Ley de Newton del movimiento Siempre que un objeto ejerce una fuerza sobre otro objeto, el segundo ejerce una fuerza igual y opuesta sobre el primero.

3.2.4. Fuerza de gravedad y fuerza normal La fuerza de gravedad sobre un cuerpo (Fg), que tambin es su peso (w), se puede representar mediante Fg = w = mg La direccin de esta fuerza es hacia abajo, hacia el centro de la tierra. Para un objeto que descansa sobre una mesa, la mesa es la que ejerce una fuerza hacia arriba. La mesa se comprime ligeramente bajo el objeto, y por su elasticidad, empuja al objeto hacia arriba. La fuerza que ejerce la mesa se llama, con frecuencia, la fuerza de contacto, porque se da cuando dos objetos estn en contacto. Cuando una fuerza de

contacto obra en direccin perpendicular a la superficie comn de contacto, se le llama en general la fuerza normal. Normal quiere decir perpendicular; por lo mismo se identifica con FN en el diagrama. FN

Fg Las fuerzas de la figura anterior actan ambas sobre una caja, que permanece en reposo sobre una superficie, y entonces la suma vectorial de esas dos fuerzas debe ser cero. Ej.1. Un amigo le regala a usted una caja de 10 Kg de caramelos. La caja descansa sobre una superficie lisa, sin friccin, de una mesa. (a) Calcule el peso de la caja y

la fuerza normal que obra sobre ella, (b) Ahora su amigo se recarga sobre la caja con una fuerza de 40 N, calcule el peso de la caja y la fuerza normal que acta sobre ella, y (c) Si su amigo tira de caja hacia arriba con una fuerza de 40 N, cul es ahora el peso de la caja y fuerza normal sobre ella? Solucin (a) Como la caja descansa sobre la mesa, el peso es FN w = mg = (10 Kg)( 9.8 m/s2) = 98 N

mg La fuerza neta (F) sobre la caja es F = FN mg. Como la caja est en reposo, la fuerza neta sobre ella es cero (F = ma, y a = 0). As, FN mg = 0, entonces FN = mg = 98 N La fuerza normal es 98 N. (b) Su amigo se recarga sobre la caja con una fuerza de 40 N, entonces ahora hay tres fuerzas que obran sobre la caja; el peso de la caja sigue siendo 98 N

FN 40 N

w = mg = 98 N

mg La fuerza neta es F = FN mg 40 N, y es igual a cero, porque la caja permanece en reposo, entonces FN mg 40 N = 0 de modo que FN = mg + 40 N = 98 N + 40 N = 138 N, lo cual es algo mayor que la fuerza en (a). (c) El peso de la caja sigue siendo 98 N y acta hacia abajo. La fuerza que su amigo ejerce y la fuerza normal actan ambas hacia arriba (direccin positiva). FN 40 N w = mg = 98 N

mg Como se ve en la figura, la caja no se mueve, porque la fuerza hacia arriba de su amigo es menor que el peso. La fuerza neta, es nuevamente cero, es igual F = FN mg + 40 N = 0 entonces, FN = mg 40 N = 98 N 40 N = 58 N El tirn del amigo hacia arriba no es suficiente para mover la caja. Ej.2. Calcule la suma de las dos fuerzas que obran sobre el pequeo bote de la siguiente figura. Solucin

y (a)(b) F1y

F1 = 40 N

45 F1x F2x F2y F2 = 30 N

x37

Esas dos fuerzas de La figura (a), se muestran resueltas en el plano cartesiano en la figura (b). Las componentes de F1 y F2 son F1X = F1 cos 45 = (40 N)(0.707) = 28.3 N F1y = F1 sen 45 = (40 N)(0.707) = 28.3 N F2X = F2 cos 37 = (30 N)(0.799) = 24.0 N F2y = F2 sen 37 = (30 N)(0.602) = 18.1 N F2y es negativa, porque apunta hacia el eje negativo del eje y. Las componentes resultantes sonFR y FR FR x

FR x = F1x + F2X = 28.3 N + 24.0 N = 52.3 N FR y = F1y + F2X = 28.3 N 18.1 N = 10.2 N Por el teorema de Pitgoras, tenemos _____________ _________________ FR = (FRx)2 + (FRy)2 = (52.3 N)2 + (10.2 N)2 = 53.3 N La nica duda que queda es el ngulo que hace la fuerza resultante neta F R con el eje x. Empleamos la siguiente ecuacin: tan = FRy / FRx tan = 10.2 N = 0.195 52.3 N = 11 3.2.5. Fuerza de friccin cintica

Cuando un cuerpo se mueve por una superficie spera, la fuerza de friccin cintica obra en

sentido contrario al del movimiento del cuerpo. La magnitud de esa fuerza depende de la naturaleza de las dos superficies deslizantes. Para unas superficies determinadas es proporcional a la fuerza normal entre ellas, aquella que uno de los objetos ejerce sobre otro, perpendicular a su superficie comn de contacto (vase la figura). La fuerza normal sobre un cuerpo que resbala sobre una superficie horizontal es igual al peso del cuerpo (mg). La fuerza de friccin no depende mucho de la superficie total de contacto; esto es, la fuerza de friccin sobre un ladrillo es esencialmente la misma si se desliza sobre una cara amplia, o sobre su extremo, siempre y cuando las superficies tengan la misma calidad.FN FA

Ffrmg

Podemos transformar una proporcin en una ecuacin si introducimos la constante de proporcionalidad (k), entonces tenemos: Ffr = k FN (friccin cintica)

Es una ecuacin aproximada, pero razonablemente exacta y muy til. El trmino k se llama coeficiente de friccin cintica, y su valor depende de las dos superficies. Algunos valores medidos para una diversidad de superficies aparecen en la siguiente tabla. Superficies Coeficiente de friccin esttica s

Coeficiente de friccin cintica k Madera sobre madera Hielo sobre hielo Metal sobre metal (lubricado) Acero sobre acero (sin lubricar) Hule sobre concreto seco Hule sobre concreto mojado Hule sobre otras superficies slidas Tefln sobre tefln en aire Tefln sobre acero en aire Rodamientos de bolas lubricados Articulaciones del cuerpo humano 0.4 0.1 0.15 0.7 1.0 0.7 14 0.04 0.04 < 0.01 0.01 0.2 0.03 0.07 0.6 0.8 0.5 1 0.04 0.04 < 0.01 0.01

Sin embargo estos valores son aproximados, porque depende de si las superficies estn mojadas o secas, o de hasta qu grado se han lijado o frotado, o de si tienen muchas ralladuras, y de otros factores por el estilo. Lo que hemos estado describiendo es la friccin cintica, cuando un cuerpo resbala sobre otro. Tambin existe la friccin esttica, que es la fuerza paralela a las dos superficies, la cual puede presentarse aun cuando no haya deslizamiento. La friccin esttica est determinada por Ffr = s FN, siendo s el coeficiente de friccin esttica. Al aumentar la magnitud de la fuerza aplicada (FA) sobre un cuerpo, la fuerza de friccin esttica aumenta en forma lineal para equilibrarla exactamente, hasta que la

fuerza aplicada llega a s FN. Si la fuerza aplicada aumenta ms, el cuerpo comenzar a moverse y la fuerza de friccin bajar hasta un valor constante, caracterstico de la friccin cintica. Ej.1. Una caja de 10 Kg descansa en un piso horizontal. El coeficiente de friccin esttica es s = 0.4, y el de friccin cintica es k =0.3. Calcule la fuerza de friccin que obra sobre la caja si se ejerce una fuerza horizontal externa (FA) cuya magnitud es (a) 0 N, (b) 10 N, (c) 20 N, (d) 38 N, y (e) 40 N. Solucin (a) Como no se aplica fuerza en este primer caso, la caja no se mueve, entonces F = FN mg = 0, por consiguiente, FN = mg = (10 Kg)(9.8 m/s2) = 98 N y Ffr = 0. (b) La fuerza de friccin esttica se opone a cualquier fuerza aplicada, hasta llegar a un mximo de s FN = (0.4)(98 N) = 39.2 N, y la fuerza aplicada es de FA = 10 N. Por lo cual la caja no se mover, y como FA Ffr =0, entonces Ffr = 10 N. (c) Tampoco es suficiente una fuerza de 20 N aplicada para mover la caja. As que, Ffr = 20N. (d) La fuerza aplicada de 38 N todava no es lo suficientemente grande como para mover la caja, entonces Ffr = 38 N. (e) Una fuerza de 40 N har que la caja comience a moverse, porque es mayor que la fuerza mxima de friccin esttica de 39.2 N. En adelante se tiene friccin cintica, en lugar de friccin esttica, y la magnitud en este caso es Ffr = k FN =(0.3)(98 N) = 29 N. Ahora tenemos una fuerza neta horizontal sobre la caja, cuya magnitud F = 40 N 29 N = 11 N, por ello la caja se acelerar a una tasa, a = F/m = 11 N / 10 Kg = 1.1 m/s2, siempre y cuando la fuerza aplicada siga siendo de 40 N. Ej.2. Una caja que pesa 10 Kg es arrastrada sobre una superficie horizontal, mediante una fuerza (FP) de 40 N, que se aplica a un ngulo de 30, y supongamos que el coeficiente de friccin cintica es igual a 0.3. Calcule la aceleracin. Solucin FN FP Ffr

mg La fuerza que ejerce la persona (FP), tiene las componentes en los ejes de x e y, las cuales son FPx = FP cos 30 = (40 N)(0.866) = 35 N FPy = FP sen 30 = (40 N)(0.50) = 20 N La fuerza con la que el piso empuja el paquete hacia arriba, la fuerza neta es, F = FN mg + FPy = 0 entonces, FN = mg FPy = 98 N 20 N = 78 N Para la direccin x, tenemos que la fuerza de friccin es igual a k FN =(0.3)(78 N) = 23 N. Entonces F = FPx Ffr = 35 N 23 N = 12 N, como F = max, entonces max = 12N ax = 12 N = 1.2 m/s2. 10 Kg Ejercicios 1. Cunta tensin debe resistir una cuerda que se usa para acelerar un automvil de 1200 Kg a 0.6 m/s2? No tener en cuenta la friccin. 2. Qu fuerza se necesita para acelerar una bicicleta de 80 Kg de masa, incluyendo su ciclista, a una tasa de 1.85 m/s2? 3. Una fuerza de neta de 225 N acelera un objeto 4.2 m/s2. Cul es la masa del objeto? 4. Cul es el peso de un astronauta de 70 Kg (a) en la tierra, (b) en la luna (g = 1.7 m/s2), (c) en Venus (g = 8.7 m/s2), y (d) en el espacio exterior viajando a velocidad constante? 5. Qu fuerza promedio se necesita para detener un automvil de 1000 Kg en 6 s cuando viaja a 90 Km/h? 6. Cul es la fuerza promedio que ejerce un tirador de bala sobre la bala de 7 Kg si recorre una distancia de 2.8 m y la suelta con una velocidad de 13 m/s? 7. Una caja que pesa 70 N descansa sobre el piso. Una cuerda amarrada a la caja va hacia arriba, pasa por una polea y de su otro extremo se cuelga un peso. Calcule la fuerza que el piso ejerce sobre la caja cuando el peso que cuelga del otro lado de la polea es (a) 30 N, (b) 60 N y (c) 90 N.

8. Las dos fuerzas F1 y F2 que se ven en la siguiente figura, obran sobre un objeto de 10 Kg; si F1 = 12 N y F2 = 15 N, calcule la fuerza neta sobre el objeto y su aceleracin para cada uno de los casos, (a) y (b).F1 90 F2 120 y y

x

F2

x

(a) (b) F1 9. El coeficiente de friccin cintica entre una caja de 20 Kg y el piso es 0.3. Qu fuerza horizontal se necesita para mover la caja a una velocidad uniforme por el piso? 10. Hay dos cajas en contacto, con masas de 80 y 110 Kg, y estn en reposo sobre una superficie horizontal. Sobre una caja se ejerce una fuerza de 650 N. El coeficiente de friccin cintica es 0.2. Calcule (a) la aceleracin del sistema, y (b) la fuerza que ejerce cada caja sobre la otra.