hidraulica basica 4d

8/20/2019 Hidraulica Basica 4d

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José Antonio Luna Vera

Febrero 2015

Tabla de contenido

Prefacio ................................................................................................................................................ vii

1

Fundamentos ................................................................................................................................... 1

1.1 Sistema d e Unidades en Hidráulica ......................................................................................... 1 1.2

Propiedades de los Fluidos ...................................................................................................... 2

1.3 Ejercicios ................................................................................................................................. 8 1.4

Ejercicios Propuestos............................................................................................................. 19

2 Hidrostática ................................................................................................................................... 21 2.1 Presión ................................................................................................................................... 21 2.2 Manómetros ........................................................................................................................... 22 2.3 Fuerza de Presión Sobre una Sup erficie Plana ....................................................................... 24 2.4 Fuerza de Presión sobre u na Superficie Curva ...................................................................... 25 2.5

Flotación................................................................................................................................ 27

2.5.1 Empuje de Flotación ...................................................................................................... 27 2.5.2 Estabilidad de flotación y metacentro ............................................................................ 27

2.6 Equilibrio Relativo ................................................................................................................ 29 2.6.1 Recipiente con aceleración l ineal constante ................................................................... 29 2.6.2 Recipiente en rotación con velocidad angular constante ................................................ 30

2.7 Ejercicios resueltos ................................................................................................................ 32 2.8

Ejercicios Propuestos............................................................................................................. 52

3

Cinemática de los Fluidos ............................................................................................................. 53

3.1 Descripción del Flujo ............................................................................................................ 53 3.2 Campos de Flujo .................................................................................................................... 54

3.2.1

Campos de Velocidades ................................................................................................. 54

3.2.2 Línea de Corriente y de Trayectoria .............................................................................. 56 3.2.3 Campo de Aceleración ................................................................................................... 57 3.2.4 Tubo de Corriente .......................................................................................................... 58

3.3

Clasificación de los flujos...................................................................................................... 59

3.3.1 Fluido incompresible ..................................................................................................... 59 3.3.2 Relacionadas con el flujo de fluidos .............................................................................. 59 3.3.3 Flujos en Una, Dos y 3 Dimensiones: ............................................................................ 59 3.3.4

Flujo estacionario .......................................................................................................... 60

3.4 Volumen de Control .............................................................................................................. 60 3.5 Ecuación de la Continuidad ................................................................................................... 60 4 Ecuación de la Energía .................................................................................................................. 62 4.1

Fundamentos ......................................................................................................................... 62

4.2 Teorema de la Conservación de la Energía ............................................................................ 63 4.2.1 Ecuación de la E nergía .................................................................................................. 63

4.2.2

Líneas de energía ........................................................................................................... 66 4.2.3

Entrega y Ganancia de Energía ...................................................................................... 68

a) Flujo en tuberías por impulsión o ganancia de energía .......................................................... 68 b) Flujo en tuberías con entrega o pérdida de energía ................................................................ 71

4.3 Ejercicios resueltos ................................................................................................................ 73 4.3.1

Descarga de un Tubo a la Atmósfera ............................................................................. 73

4.3.2 Venturímetro ................................................................................................................. 74 4.3.3

Orificio en una Placa ..................................................................................................... 75

4.3.4 Tubo Pitot ...................................................................................................................... 76 4.3.5 Tubo Venturi ................................................................................................................. 77 4.3.6 Drenado de un Tanque ................................................................................................... 78 4.3.7

Sifón .............................................................................................................................. 83


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Apuntes de Hidráulica Básica José Antonio Luna Vera

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4.3.8 Bombeo y líneas de energía ........................................................................................... 87 4.4 Ejercicios Propuestos............................................................................................................. 90 5 Ecuación de la Cantidad de Mov imiento ....................................................................................... 91 5.1 Fundamentos ......................................................................................................................... 91 5.2

Aplicaciones .......................................................................................................................... 92

5.2.1 Un chorro normal a una placa fija .................................................................................. 92 5.2.2 Fuerza ejercida po r una boquilla .................................................................................... 93 5.2.3 Flujo bi-dimensional, cálculo d e la fuerza ejercida en un conducto curvo ..................... 94 5.2.4 Impacto de un chorro sobr e una placa cargada .............................................................. 95 5.2.5 Flujo bi-dimensional ...................................................................................................... 95 5.2.6 Flujo de un chorro ......................................................................................................... 97

5.3 Ejercicios propuestos ............................................................................................................. 98 6

Análisis Dimensional y Semejanza Hidráulica .............................................................................. 99

6.1

Fundamentos ......................................................................................................................... 99

6.2 Teorema de Buckingham ................................................................................................. 101 6.3

Análisis de Datos Ex perimentales ....................................................................................... 104

6.3.1

Problemas con un parámetro .................................................................................... 104

6.3.2 Problemas con dos parámetros ................................................................................. 105 6.3.3 Problemas con tres parámetros o más ...................................................................... 105

6.4 Modelos Físicos................................................................................................................... 105 6.4.1 Similitud Hidráulica .................................................................................................... 105 6.4.2 Semejanza Geométrica ................................................................................................ 106 6.4.3

Semejanza Cinemática ................................................................................................. 106

6.4.4 Semejanza Dinámica ................................................................................................... 107 6.4.5 Número de Reynolds ................................................................................................... 109 6.4.6 Número de Froude ....................................................................................................... 110

6.5 Ejercicios resueltos .............................................................................................................. 111 6.6

Ejercicios propuestos ........................................................................................................... 114

7 Flujo en Tuberías ......................................................................................................................... 115 7.1 Número de Reynolds ........................................................................................................... 115 7.2 Régimen de Flujo ................................................................................................................ 115

7.2.1

Distribución de Velocidades en flujo laminar .............................................................. 116

7.2.2 Distribución de Velocidades en flujo turbulento .......................................................... 117 7.3 Pérdidas de Energía en Tuberías.......................................................................................... 118

7.3.1 Ecuación de Darcy Weisbach ..................................................................................... 119 7.3.2 Fórmulas para calcular el factor ............................................................................... 121 a)

Fórmula de Po iseuille (1846) para Flujo Laminar ............................................................... 121

b) Fórmula de Blasius (1913) para Tubos Lisos con flujo turbulento ...................................... 121 c) Ecuación Prandtl von Karman (1920-1930) para flujo turbulento .................................... 121

d)

Fórmula d e Nikuradse (1920) .............................................................................................. 122

e)

Fórmula Colebrook-White (1939) para flujo turbulento ...................................................... 123

f)

Aproximaciones explícitas del factor ............................................................................... 123

7.3.3 Variación del factor de fricción con el tiempo .......................................................... 123 7.4 Ecuaciones empíricas para el cálculo d el flujo en tuberías .................................................. 124 7.5 Problemas Típicos de Flujo en T uberías .............................................................................. 125 7.6 Pérdidas Locales o p érdidas menores .................................................................................. 130 7.7 Línea Piezométrica y Gradiente de Energía ......................................................................... 130

7.7.1 Línea piezométrica ...................................................................................................... 130 7.7.2 Línea de Energía .......................................................................................................... 130 7.7.3 Longitud Equivalente .................................................................................................. 131

7.8 Flujo a través de sistemas de tuberías .................................................................................. 131


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7.8.1 Tuberías simples .......................................................................................................... 132 7.8.2 Tuberías en serie .......................................................................................................... 132 7.8.3 Tuberías Equivalentes .................................................................................................. 132 7.8.4 Tuberías en paralelo..................................................................................................... 143 7.8.5

Redes abiertas .............................................................................................................. 149

7.8.6 Redes cerradas ............................................................................................................. 150 7.9 Aplicaciones ........................................................................................................................ 150 7.10 Ejercicios propuestos ........................................................................................................... 152


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Lista de Figuras

Figura 1. Acción capilar que eleva el agua en un tubo pequeño. ...........................................................................4

Figura 2 Tensión superficial. .................................................................................................................................4

Figura 3. Esquema de la deformación bajo acción de una fuerza de corte constante (Streeter, 1970). ..................5

Figura 4. Comparación de la viscosidad para varios fluidos según Rocha (2007) ...................................................6

Figura 5. Concepto de la presión de vapor. ...........................................................................................................7

Figura 6. Efecto de capilaridad en un tubo y fuerzas de adhesión........................................................................10

Figura 7. Fuerza en una gota de agua. ................................................................................................................11

Figura 8. Problema del eje y el eje en una camisa concéntrica. ...........................................................................12

Figura 9. Problema del flujo a través de una tubería. ..........................................................................................13

Figura 10. Flujo de un fluido sobre una superficie fija. .........................................................................................14

Figura 11. Comparación de las distribuciones de velocidad lineal y parabólica, Ejercicio 9. ................................15

Figura 12. Deslizamiento de un bloque por un plano inclinado. ...........................................................................16

Figura 13. Cilindro del Ejercicio 11. .................................................................. ..................................................18

Figura 14. Discos coaxiales del Ejercicio 12. .................................................................. .....................................19

Figura 15. Distribución de presiones en pared plana vertical. ..............................................................................21

Figura 16. Manómetros simples ..........................................................................................................................22

Figura 17. Manómetros diferenciales. .................................................................................................................22

Figura 18. Concepto del centro de presión. .........................................................................................................24

Figura 19. Fuerzas hidrostáticas sobre una superficie curva. ...............................................................................25

Figura 20. Elementos de análisis para determinar la estabilidad de un recipiente en agua..................................27

Figura 21. Sección transversal de una embarcación sujeta a flotación. ...............................................................28

Figura 22. Recipiente en movimiento con acelaración lineal constante. ..............................................................29

Figura 23. Diagrama del recipiente con movimiento uniforme ascendente. ........................................................30

Figura 24. Esquema de un recipiente que gira con aceleración constante. ..........................................................31

Figura 25. Tanque de aceite del Ejercicio 14 .......................................................................................................32

Figura 26. Compuerta del Ejercicio 17. ............................................................................ ...................................34

Figura 27. Compuerta del Ejercicio 17. ............................................................................ ...................................34

Figura 28. Compuerta del Ejercicio 18 ......................................................................... .......................................35

Figura 29. Esquema de un dique expuesto a fuerzas hidrostáticas. .....................................................................36

Figura 30. Superficie curva del paramento del dique en el a fuerzas hidrostáticas...............................................37

Figura 31. Cajón flotante. ...................................................................................................................................39

Figura 32. Esquema para verificar la estabilidad de un barco. ............................................................................40

Figura 33. Características geométricas de la embarcación para el Ejercicio 24: ..................................................42

Figura 34. Diagrama 1 del Ejercicio 25: ...................................................................... ........................................43




Figura 38. Esquema 1 del Ejercicio 27: ......................................... ................................................................ ......47

Figura 39. Esquema 2 del Ejercicio 27: ................................................... ............................................................48





Figura 44. Diagrama del cilindro para el Ejercicio 30: ................................................................ .........................51

Figura 45. Conceptos de línea d e corriente, vector de posición, velocidad y desplazamiento. ..............................54

Figura 46. Longitud recorrida por una partícula. .................................................................................................54

Figura 47. Elemento diferencial del vector desplazamiento. ...................................................... ..........................55

Figura 48. Regla del producto cruz. .....................................................................................................................57

Figura 49. Planos osculador, normal y rectificador. .............................................................................................58

Figura 50. Esquema del tubo de corriente. ..........................................................................................................58


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Figura 51. Ejemplo de volumen de control. .........................................................................................................60

Figura 52. Flujo a través de un conducto y conservación de masa. ......................................................................60

Figura 53. Tubo de corriente. ..............................................................................................................................63

Figura 54. Flujo desde un depósito elevado; aplicación de la ecuación de la energía. ..........................................64

Figura 55. Distribución de velocidades para flujo laminar en un conducto circular. .............................................65

Figura 56. Esquema de un líquido cuando éste circula a lo largo de u n tubo o canal El gradiente de energía y la

línea piezométrica indican variaciones en la energía y en la carga de presión respectivamente. .........................67

Figura 57. Ejemplo de líneas de energía. .............................................................................................................67

Figura 58. Esquema de a dición energía al sistema y entrega, respectivamente. ..................................................68

Figura 59. Flujo en tuberías con impulsión. .........................................................................................................68

Figura 60. Características del ejemplo de una Bomba. ........................................................................................70

Figura 61. Ejemplo de flujo a través de una Turbina. ...........................................................................................72

Figura 62. Diagrama del Ejercicio 32 ............................................................................ ......................................73

Figura 63. Venturímetro. ....................................................................................................................................74

Figura 64. Flujo por orificio de una placa ............................................................................................................75

Figura 65. Tubo Venturi. .....................................................................................................................................77

Figura 66. ...........................................................................................................................................................78

Figura 67. Ejemplo de volumen de control. .........................................................................................................79

Figura 68. Drenado de un recipiente. ..................................................................................................................79

Figura 69. Drenado de un tanque........................................................................................................................80

Figura 70. Descarga de agua por una manguera. ...............................................................................................81

Figura 71. ...........................................................................................................................................................82

Figura 72. ...........................................................................................................................................................83

Figura 73. Ejemplo del flujo por un sifón. ............................................................................................................85

Figura 74. Esquema del ejemplo ilustrativo de una bomba. ................................................................................87

Figura 75. Esquema del ejemplo de una bomba impulsora. .................................................................................88

Figura 76. Diagrama del sistema hidraúlico para el Ejercicio 43 .........................................................................89

Figura 77. Botes geométricamente similares. ................................................................................................... 106

Figura 78. Similitud cinemática insatisactoria. ................................................ .................................................. 107

Figura 79. Esquema del flujo laminar. ................................................................................ ............................... 116

Figura 80. Esquema del flujo turbulento. .......................................................................................................... 116

Figura 81. Flujo en un tubo a presión. ............................................................................................................... 118

Figura 82. Diagrama de Moody. ....................................................................................................................... 120

Figura 83. Ejemplo de flujo en serie. ................................................................................................................. 132

Figura 84. Ejemplo de Tubo en serie................................... ............................................................... ................ 139

Figura 85. Ejemplo de flujo d e tuberías en paralelo. .................................................................. ........................ 143

Figura 86 .......................................................................................................................................................... 147

Figura 87 .......................................................................................................................................................... 148

Figura 88. .........................................................................................................................................................149


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Si la molécula está en la superficie del líquido experimenta varias fuerzas de cohesión cuyaresultante es perpendicular a la superficie. El desbalanceo de fuerzas produce una tensión en lasuperficie del fluido entre las componentes horizontales, esta acción es conocida como tensiónsuperficial .

La tensión superficial de un líquido es el trabajo necesario para llevar moléculas del interior delfluido a la superficie, y es igual a la fuerza tangencial que actúa en el contorno de la superficie encontacto, se mide en o .

Figura 1. Acción capilar que eleva el agua en un tubo pequeño.

En la Figura 1 se observa que cuando se introduce un tubo delgado en un fluido (por ejemplo el agua)el nivel de esta en el tubo sube por arriba del nivel del agua del recipiente. En este caso se presentaadhesión entre el líquido y la pared del tubo, entonces se dice que el líquido mo ja la pared del tubo.

La altura a la que sube el fluido depende del valor de la tensión superficial, , el radio del tubo, ,el peso específico del líquido, , y del ángulo de contacto, , entre el tubo y el fluido. A partir deldiagrama de cuerpo libre mostrado en la Figura 2, se observa que la fuerza vertical debido a la tensiónsuperficial es

Y que el peso del fluido será

Para lograr equilibrio se debe satisfacer la igualdad de las dosfuerzas

El ángulo de contacto es función del fluido y de la superficie de contacto del tubo.

r

MEÑISCO

Figura 2 Tensión superficial.


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Tabla 3. Tensión superficial del agua aire según Sotelo (1987).

0 10 20 30 40 50 60 80 100Tensión superficial

0.0769 0.0754 0.0739 0.0725 0.0709 0.0692 0.0673 0.0638 0.0588

j) Viscosidad y esfuerzo cortante: La viscosidad mide la medida de la resistencia al flujo delfluido. Suponga que se tiene sobre una placa fija un fluido con un espesor (ver Figura 3 ), en lasuperficie se tiene una placa móvil a la cual se le imprime una fuerza, . La fuerza transmite unesfuerzo de corte, , sobre el fluido a través de la superficie de la placa con área, . Los efectosde ésta acción se transmiten a todos las partículas del fluido, siendo que un elemento diferencialde fluido siente los cambios en la velocidad y definen un gradiente de velocidades, .

Figura 3. Esquema de la deformación bajo acción de una fuerza de corte constante (Streeter, 1970).

La placa ejerce el esfuerzo tangencial: . Las investigaciones de éste fenómeno indican que elesfuerzo tangencial es proporcional al gradiente de v elocidades, esto es

10

Y la fuerza total

11

Donde es la constante de proporcionalidad, conocida comúnmente como viscosidad dinámica oabsoluta , el esfuerzo cortante , es la fuerza ( ) y es el área ( ).

Los fluidos que siguen las leyes descritas por las fórmulas mencionadas son llamados fluidos Newtonianos (fluidos cuya viscosidad puede considerarse constante en el tiempo); por ejemplo:

- Aire:- Agua:

-

Aceite de motor SAE30W

En el sistema CGS absoluto, la viscosidad se ex presa como

Los fluidos con viscosidad alta tienden a ser espesos y presentan alta resistencia para fluir sobre unasuperficie (por ejemplo: el aceite, la melaza, la miel, la brea, etc.). En cambio, los de baja viscosidad,fluyen fácilmente (por ejemplo: el agua, los gases, alcohol, etc.). En general, varios fluidos secomportan como fluidos newtonianos, bajo condiciones normales de presión y temperatura. El agua esun ejemplo de un fluido con viscosidad muy pequeña.

y

F U

y

uc c'

da

b

x

b'


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1.3 Ejercicios

Ejercicio 1:El peso de un líquido es de , al introducirlo en una probeta graduada se conoce su volumen de

. Determine a) el peso específico, b) la densidad y c) la densidad relativa del líquido.

Solución:

a) El peso específico:

b) La densidad. Por definición, se tiene , entonces

c)

La densidad relativa. La ecuación que def ine la densidad relativa será:

Ejercicio 2:

Encontrar el valor del peso específico del agua cuando es sometida a una presión de . Utilice para el agua a , y .

Solución: La expresión que se emplea para resolver el pro blema es la siguiente

Despejando

Pero


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Ejercicio 3:

La presión en un punto a diez kilómetros debajo de la superficie del océano es de .

Determine: a) la diferencia de presiones entre la superficie y el punto a la profundidad indicada, b) el peso específico del agua de mar a esta profundidad y, c) la reducción porcentual del volumen, si el peso específico de la misma en la superficie es de y su módulo volumétrico deelasticidad promedio de . Supóngase que la gravedad no varía apreciablemente.

Solución:

A la profundidad de la presión es , entonces

Luego, en la superficie

a) Diferencia de presiones entre la superficie y el punto a de profundidad en el mar:

b)

La ecuación del cambio de densidad de un fluido será entonces

c) La reducción porcentual del volumen se c alcula a partir de la ecuación

Por tanto


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Ejercicio 4:

Considere un tubo capilar circular de radio el cual está mojado por un líquido, densidad . Si se

sumerge en un recipiente que esté lleno con el líquido, Figura 6, éste último asciende inmediatamente auna altura , arriba de la superficie del líquido del recipiente. Determine una expresión para calcular laaltura , cuando a) el fluido es agua y b) el fluido es mercurio. El tubo tiene un diámetro de .( Respuesta: )

Solución: Sea, , la tensión superficial del líquido con respecto al aire. La columna de líquido en eltubo capilar es levantada por una fuerza que actúa en contra de la fuerza de gravedad. La magnitud delevantamiento capilar es función del radio del tubo capilar y del ángulo de contacto, , y de lasustancia en contacto con un tubo.

a) Agua b) Mercurio c) Diagrama de cuerpo libre

Figura 6. Efecto de capilaridad en un tubo y fuerzas de adhesión.

a) Si el fluido es agua a , entonces, , la tensión superficial en la interfaceliquido gas vidrio limpio es: , , ver Figura 6a. Por tanto, la fuerzade la tensión superficial, , tomando en cuenta el diagrama de cuerpo libre que se observa en laFigura 6c, se calcula como sigue

Y el peso del fluido será

Aplicando la condición de equilibrio entre las do s fuerzas,

Reemplazando valores


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b) Si el fluido es mercurio a , entonces, , la tensión superficial en lainterface liquido gas vidrio limpio es: , y el nivel del menisco delfluido está por abajo como se observa en la Figura 6b. Por tanto, la altura se calcula con la

ecuación obtenida anteriormente, entonces:

Ejercicio 5:

El caso de una gota de agua es un ejemplo de tensiónsuperficial, en la que se tienen dos fuerzas para lograr

justamente esa forma esférica. Determine la presión queexperimentan las gotas de los líquidos:

Solución:

Tomando la mitad de la gota, la Figura 7 presenta undiagrama de las dos fuerzas que intervienen en el efecto de tensión superficial. Primero, la fuerzadebido a la presión interna:

Y luego, la fuerza debido a la tensión superficial:

Y para lograr el equilibrio:

O bien

Figura 7. Fuerza en una gota de agua.


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Ejercicio 6:

Una placa está separada de otra placa fija y se mueve a con un esfuerzo cortante de

. Determine la viscosidad del fluido entre las placas.

Solución:

De acuerdo con la ley de viscosidad de Newton, se tiene

Ejercicio 7:

Un fluido newtoniano llena el vacío entre un eje y una camisa concéntrica. Cuando se aplica una fuerzade paralelo al eje, el cilindro alcanza una velocidad de . Si se aplica una fuerzade , ¿Qué velocidad alcanzará el cilindro?. La temperatura del eje y del cilindro se mantieneconstante.

Solución:

Figura 8. Problema del eje y el eje en una camisa concéntrica.

De la ecuación 11

Reordenando

Por tanto,


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Ejercicio 8:

El agua se mueve a través de una tubería. El perfil de velocidades en alguna sección de la tubería es

como se muestra en la figura y se exp resa matemáticamente como14

Donde distancia radial desde el eje central; velocidad del agua en la posición , es unaconstante, viscosidad absoluta del agua, diámetro interior del tubo.

a. ¿Cuál es el esfuerzo cortante en la pared d e la tubería causada por el agua? b. ¿Cuál es el esfuerzo cortante en la posición ?c. Si el perfil dado persiste en una distancia a lo largo de la tubería, ¿qué arrastre se induce en

el tubo ocasionado por el flujo del agua en esa distancia?

Figura 9. Problema del flujo a través de una tubería.

Solución: A partir de la expresión 14

Así

En las paredes,

En el punto,

En los resultados anteriores se puede ignorar el signo negativo

La fuerza de arrastre en el tubo a lo largo de una longitud será

ur

R

D Flujo


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Ejercicio 9:

El fluido de la Figura 10 tiene viscosidad dinámica y densidad relativa de

. Calcule el gradiente de velocidades y el esfuerzo cortante en el contorno y en los puntosubicados a , y del contorno, suponiendo que la distribución de velocidades es:a) lineal y b) parabólica con vértice en el punto A. El origen está en el punto B, y

.

u

u

A

U y

B Figura 10. Flujo de un fluido sobre una superficie fija.

Solución:

a)

El gradiente de velocidades para la distribución lineal considera la Ley de Viscosidad

Entonces

Para ;

Si se trata de una parábola que pasa por el punto A, cuyas coordenadas son el vértice y el

punto B, el origen de la distribución de velocidades

Si

Si

Si


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Sustituyendo en

Entonces, la ecuación de la velocidad es

Tabla 5. Solución tabular al Ejercicio 9.

0 0.000 0.000 30 0.1464 0.0005 0.005 0.145 28 0.1366 0.075

10 0.010 0.280 26 0.1269 0.15015 0.015 0.405 24 0.1171 0.22520 0.020 0.520 22 0.1074 0.300

25 0.025 0.625 20 0.0976 0.37530 0.030 0.720 18 0.0878 0.45035 0.035 0.805 16 0.0781 0.52540 0.040 0.880 14 0.0683 0.60045 0.045 0.945 12 0.0586 0.67550 0.050 1.000 10 0.0488 0.75055 0.055 1.045 8 0.0390 0.82560 0.060 1.080 6 0.0293 0.90065 0.065 1.105 4 0.0195 0.97570 0.070 1.120 2 0.0098 1.05075 0.075 1.125 0 0.0000 1.125

Figura 11. Comparación de las distribucion es de velocidad lineal y parabólica, Ejercicio 9.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

Velocidad (m/s)

(du/dy) Parabólico(du/dy) Lineal


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Ejercicio 10:

Un cubo con lados de tiene una masa de ( ) se encuentra inicialmente en reposo

sobre plano inclinado de ver Figura 12 . La superficie del plano inclinado contiene una película deaceite con viscosidad y espesor de . ¿Cuál es laresistencia del aceite cuando han transcurrido 5 segundos de haber iniciado su movimiento pordeslizamiento?. Suponga una distribución lineal de velocidades.

Figura 12. Deslizamiento de un bloque por un plano inclinado.

Solución:

Unidades de la viscosidad

Aplicando la ecuación 10

Según la primera ley de Newton

W


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Integrando

La fuerza de arrastre cuando transcurrieron será:


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Ejercicio 11:

Un cilindro sólido de acero se desliza

verticalmente dentro de un cilindro hueco con las dimensionesmostradas en la Figura 13. Si el cilindro interno lleva unavelocidad . El espacio entre los cilindros se cubre

con una película de aceite con viscosidad .

Determine el espesor de la película de aceite requerido para quese den las condiciones dadas.

Solución:

Donde

es el área de contacto de la superficie del cilindro sólido con el aceite

De acuerdo con la ley de viscosidad de Newton

Despejando se obtiene

Figura 13. Cilindro del Ejercicio 11.

R

e

H=30 cm

D=2.5 cm


UCB | 19

Ejercicio 12:

Una película uniforme de aceite de de espesor

separa dos discos uniformes de acero y dediámetro, montados coaxialmente. Despreciando losefectos de borde calcule el par de torsión necesario parahacer girar uno de los discos a una velocidad de

. La viscosidad del aceite es .

Solución:

Esfuerzo por el movimiento viscoso

Esfuerzo sobre un área

Par de torsión

La velocidad lineal

De la ecuación del esfuerzo sobre un área

Luego, reemplazando en la ecuación del par de torsión y posteriormente del esfuerzo se o btiene

1.4

Ejercicios Propuestos

1. Determinar la viscosidad absoluta del mercurio en si en poises es igual a .Respuesta: .

2. Si la viscosidad absoluta de un aceite es de 510 poises, ¿Cuál es la viscosidad en el sistema?. Respuesta: .

3. Dos superficies planas de grandes dimensiones están separadas y el espacio entre ellasestá lleno con un líquido cuya viscosidad absoluta es . Suponiendo que elgradiente de velocidades es lineal, ¿qué fuerza se requiere para arrastrar una placa de muy

poco espesor y de área a la velocidad constante de si la placa dista deuna de las superficies? Respuesta: .

4. ¿Qué diámetro mínimo tendrá un tubo de vidrio para que el ascenso debido a la capilaridad delagua a no supere ? Respuesta: .

Figura 14. Discos coaxiales del Ejercicio 12.

R

Aceite

Disco de acero

e


14/83


UCB | 20

5. ¿Qué presión se ha de aplicar, aproximadamente, al agua para reducir su volumen en un 1.25% si su módulo volumétrico de elasticidad es ? Respuesta:

6.

Un cilindro de acero sólido de de radio gira concéntricamente en el interior de uncilindro hueco y fijo de de radio. Ambos cilindros tienen una longitud de .

Determinar la viscosidad del líquido que llena el espacio entre los dos cilindros, si se necesitaun par de para mantener una velocidad angular de revoluciones por minuto.Respuesta:

7. Un bloque cúbico de de masa y de lado se desliza hacia abajo por un planoinclinado en respecto a la horizontal. La superficie del plano inclinado está cubierta conuna película de de aceite y viscosidad dinámica . ¿Cuál será lavelocidad del bloque si la distribución de velocidades en el aceite es lineal?. Respuesta:

8.

Determinar la fuerza necesaria para desplazar una placa de espesor muy pequeño a unavelocidad de , con los datos indicados en la figura siguiente:


UCB | 21

2 Hidrostática

La hidrostática estudia las presiones y fuerzas que resultan por el peso de los fluidos en reposo.

2.1 Presión

La presión de un fluido es la fuerza por unidad de área que actúa sobre una superficie y actúa por igualen todas las direcciones. La presión que ejerce un fluido sobre la superficie plana actúa

perpendicularmente a ese plano. La unidad de presión común es el , también conocido comoPascal . Dependiendo del punto de referencia utilizado (con o sin la presión atmosférica), la

presión se puede describir como presión absoluta o presión relativa.

1) Presión Atmosférica ( ): es la presión en cualquier punto dado en la atmósfera de la Tierracausada por el peso del aire sobre el punto de medición. La atmósfera estándar (símbolo: )es una unidad de presión igual a (o , .

2) Presión Absoluta ( ): la presión con su punto ajustado a cero a la presión de vacío .3) Presión Relativa ( ): es la presión con su punto cero ajustado a la presión atmosférica .

En la ingeniería se utiliza más la presión relativa que la presión absoluta.

La relación entre estas presiones se puede expresar con la siguiente expresión

15

El cambio de la presión dentro de un fluido se puede expresar como

16

Para un fluido con densidad constante, la ecuación diferencial puede ser integrada como

17

Donde es una constante que se obtiene por la condición de frontera. Si la presión límite superior esy la profundidad del fluido, , la presión en el fondo, Figura 15, puede derivarse como:

18

Figura 15. Distribución de presiones en pared plana vertical.

h

y

Patm

ph patm


15/83


UCB | 22

Para dos puntos en el mismo fluido, la ecuación 18 puede ser reescrita como sigue

19

2.2 Manómetros

La presión se mide con Manómetros y estos pueden ser de diversas formas. Un manómetro simple esun tubo con un extremo conectado al fluido y el otro abierto a la atmósfera (a este manómetro tambiénse le conoce como piezómetro). La presión en el punto A de la Figura 16 se puede derivar de la altura

en el tubo.

20

Figura 16. Manómetros simples

Un manómetro más complicado para medir la presión utiliza el tubo en con un fluido diferente. Asíentonces, la presión en el Punto A se obtiene igualando las presiones de ambos lados sobre el punto B,donde se unen los dos fl uidos, ver Figura 17a.

Entonces

21

a) Manómetro en U b) Manómetro Diferencial

Figura 17. Manómetros diferenciales.

A

Tubería

A

hh

Piezómetro


UCB | 23

El manómetro diferencial se utiliza para medir la diferencia de presión entre dos puntos, como seobserva en la Figura 17b. Un tubo en con mercurio (u otro fluido con mayor peso específico) se unea dos tuberías (A y B) cuyas presiones serán medidas. La diferencia de presión se puede derivar pormedición de la diferencias de elevación entre los puntos A y B ( ), y el desnivel de la superficie de

mercurio ( ) .

Igualando las presiones en C

Por lo tanto

22

Ejercicio 13:Un tubo en U contiene dos fluidos como se muestra en laf ig ura . S i e l f lu id o 2 es m erc uri o ( ) y la a lt ur adel fluido 1 sobre el nivel de referencia es 14 cm y elmercurio asciende 2 cm. ¿Cuál es la densidad del fluido 1?

Solución: Se utiliza el peso específico del agua encondiciones estándar

Entonces, la densidad del mercurio será

Para resolver el problema se obtienen las presiones en el nivel de referencia debido a 1 y a 2

En general

Por tanto

Dr1

Dr2


16/83


UCB | 24

2.3 Fuerza de Presión Sobre una Superficie Plana

Para una superficie plana con área como se muestra en la Figura 18, la fuerza de presión total es la

fuerza resultante, esta puede ser derivada por integración de las fuerzas actuando sobre elementos pequeños por medio de la fórmula siguiente:

23

Donde se obtiene de la Figura 18 por la relación geométrica: , que es la profundidad delfluido medida desde la superficie hasta el centro de gravedad del elemento diferencial como se observaen la figura mencionada. Por estática se sabe q ue

24

Entonces la distancia al centro de gravedad se calcula por medio de la siguiente relación

25

Sin embargo, se conoce el centroide de la superficie, y la fuerza de presión puede ser obtenida comouna función de la distancia al centro d e gravedad del área

26

Donde es la profundidad vertical medida desde la superficie del fluido hasta el centroide de lafigura geométrica, y es el área de la superficie plana.

Figura 18. Concepto del centro de presión.

El centro de presión es el punto en el cual actúa la resultante de la fuerza de presión, se calcula pormedio de la expresión siguiente

27


UCB | 25

El numerador es el momento de inercia de l a superficie sobre el eje a través de O, y es igual a

28

Entonces

29

El cociente entre el momento de inercia y el área se denomina radio de giro, y éste elevado al cuadradose define como el cuadrado del radio de giro, . De ahí que en algunos textos se tiene laecuación siguiente:

30

2.4 Fuerza de Presión sobre una Superficie Curva

Para superficies curvadas, la fuerza de presión está dividida en una componente horizontal y otravertical. La fuerza vertical es el peso total del fluido sobre la superficie curvada y su centro de

presión actúa a través d e su ce ntro d e gravedad. La fuerza ho rizontal es igual a la fuerza de presión sobre una superficie plana vertical proyectada por la superficie curvead a. La fuerza resultante

es una combinación triangular de las partes horizontal y vertical.31

Donde es el volumen del fluido sobre la superficie curva.

La componente horizontal de la fuerza se obtiene aplicando la ecuación

32

Y la resultante se consigue con la siguiente

33

Figura 19. Fuerzas hidrostáticas sobre una superficie curva.


17/83


18/83


UCB | 28

a) Estable: El metacentro está por encima del centro de gravedad del barco: Se produce unadesviación y se genera un par motor entre y que tiende a restablecer el equilibrio: elequilibrio es estable.

b) Inestable: El metacentro se encuentra p or debajo del centro de gravedad del barco: lo cual produce un par motor entre y que tiende al desequilibrio d e la embarcación: el equilibrio esinestable.

c) Indiferente: El metacentro coincide con el centro de gravedad del ba rco: no hay equilibrio y se produce rotación continua, entonces se dice que el equilibrio es indiferente.

35

Donde: es el volumen desplazado y es el momento de inercia mínimo del plano del cuerpo en lalínea de flotación

Luego, la distancia entre el metacentro y el centro de gravedad (altura metacéntrica) se puede calcular por simple geometría:

36

Figura 21. Sección transversal de una embarcación sujeta a flotación.

Suponga los ejes longitudinal y transversal de un barco con la sección transversal aproximada como seve en la Figura 21. La rotación alrededor del eje longitudinal se denomina Balanceo y una rotación enel eje transversal se conoce como Cabeceo.

Con la acción de una fuerza externa el barco se balancea y se inclina un ángulo


UCB | 29

2.6 Equilibrio Relativo

Suponga que se tiene un líquido en un recipiente hermético con movimiento lineal, por lo tanto, el

líquido también se mueve junto con el depósito; sin embargo, las partículas del fluido no cambian de posición con relación al recipiente, por tanto, el líquido tiene densidad constante y se mueve como uncuerpo sólido, por lo que se considera que el equilibrio de las partículas es relativo.

2.6.1 Recipiente con aceleración lineal constante

El recipiente de la Figura 22 se mueve con aceleración constante, , y la partícula A cuyo peso esen la superficie lilbre está sometida a dos fuerzas exteriores: la fuerza debida a la presión normal aesa superficie, y el peso . La fuerza de inercia es el vector cuya magnitud es

Figura 22. Recipiente en movimiento con acelaración lineal constante.

De acuerdo con la figura anterior la superficie libre es un plano inclinado que forma un ángulo con lahorizontal, siendo que la suma de fuerzas en l as direcciones cartesianas debe ser nula, por tanto

De donde

y

Además

O sea, se cumple que para todas las partículas

37

Simplifiando, se tiene

38


19/83


UCB | 30

Esto se interpreta imaginando a todas las partículas situadas en la superficie libre inclinada con unángulo , y todas las partículas están situadas en planos paralelos a la superficie y de igual presión.

Cuando un recipiente se mueve en una dirección que genera dos componentes de aceleración como el

que se observa en la figura siguiente, en que el objeto tiene un movimiento ascendente sobre un planoinclinado.

Figura 23. Diagrama del recipiente con movimiento uniforme ascendente.

Considere nuevamente las fuerzas que actúan sobre una partícula , el peso y la fuerza ejercida por las partículas de alrededor que actúa perpendicularmente a la s uperficie del fluido. La resultantesobre la partícula es paralela al eje del sistema cartesiano mostrado, el cual forma un ángulo con lahorizontal y con aceleración , con esto se cumple las siguientes relaciones

y

Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene

Simplificando

Si se quiere calcular el ángulo de la superficie se aplica la expresión

39

2.6.2

Recipiente en rotación con velocidad angular constanteCuando un recipiente gira y en su interior se tiene un fluido con densidad constante, la forma de lasuperficie libre tiene la forma de un paraboloide de revolución. Cualquier plano vertical que pasa porel eje de revolución corta la superficie obteniéndose una parábola como se observa en la figurasiguiente:


UCB | 31

Figura 24. Esquema de un recipiente que gira con aceleración constante.

Las fuerzas que actúa sobre la masa de una partícula A situada en la superficie son su peso y lafuerza normal . La aceleración de la masa de la partícula A será , dirigida hacia el eje derotación. Finalmente, la resultante de las fuerzas y debe actuar en la misma dirección que laaceleración (como se observa en la figura).

Aplicando el principio de Newton

Y

40

Donde es el ángulo entre el eje X y la tangente en A sobre la curva, y la pendiente de esta tangente es, o bien, en términos de elementos diferenciales, , ahora, sustituyendo este valor en la

expresión anterior se tiene

Por integración, se obtiene

La cual, es una constante de ingregación que se halla por las condiciones de fronteraCuando

Por lo tanto, la ecuación que describe la forma de la parábola queda como sigue

41


20/83


UCB | 32

2.7

Ejercicios resueltos

Ejercicio 14:

La figura muestra un tanque de aceite con un extremoabierto a la atmósfera y el otro está cerrado en el que setiene aire por encima del aceite. Calcule la presiónmanométrica en los puntos A, B, C, D, E y F, y la

presión del aire en el lado cerrado del recipiente.

Solución:

La presión manométrica en el punto A es igual a la presión atmosférica, por consiguiente:

a) Presión en el punto B

b) Presión en el punto C

c) Presión en el punto D : Es igual a la presión en el punto B

d) Presión en el punto E : Es igual a la presión en el punto A, puesto que se encuentran al mismonivel:

Presión en el punto F: El nivel de F está por encima de A, por tanto, la presión en F es negativa

Presión en el aire: El peso del aire es despreciable, po r tanto, la presión es igual a la del punto F

Ejercicio 15:

Un muro rectangular protege un sembradío del agua que conduce uncanal de riego (densidad del agua: ). Su ancho es dey la profundidad del agua es de . Estimar la fuerza de presión y sucentro de presión.

Solución:

Figura 25. Tanque de aceite del Ejercicio 14

Dr =0.80

Aire

Aceite

A

B

C

E

F

D

h=2 m

y

Patm

p= h

F


UCB | 33

Otra forma de calcular la fuerza sobre el muro es obteniendo el volumen del prisma bajo la línea dedistribución de presiones

Ubicación de la fuerza hidrostática: El punto de aplicación de la fuerza, medido desde la superficie delagua, se obtiene aplicando la ecuación 29

Donde

Que es similar a tomar el centroide del prisma:

Ejercicio 16:Una placa plana de forma cuadrada ( de lado) está situada en la base de una pared de un canalque conduce agua (densidad del agua: ), ésta se utiliza como una compuerta paraalimentar los surcos de riego situado a un lado del canal. Si la profundidad del agua es de , estimela fuerza hidrostática y su centro de presión.

Solución:Centroide de la compuerta

Profundidad al centro de gravedad

Área de la compuerta

Fuerza hidrostática

El momento de inercia

Así entonces, el centro de presión es igual a

Debido a que la pared es vertical


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UCB | 34

Ejercicio 17:

Estimar la fuerza resultante de agua sobre una compuerta decuadrante circular. Su radio es 1m y anchura 2m. El centro de

gravedad para el sector circular es (medido desde el centro

del círculo a la derecha). (Repta: , )

Solución:

a) Fuerza Horizontal

El centroide para una superficie plana vertical de de alto por de ancho es ; luego, la fuerza horizontal se obtiene con la siguiente expresión

Se ubica en un punto medido desde el fondo, igual a

b) Fuerza Vertical

Situada a una distancia del centro del sector circular

c) Fuerza Resultante

Fuerza resultante

Ángulo de acción de la fuerza resultante

Esto es abajo de la linea horizontal y pasa a través del punto en el que se intersectan la líneas dela fuerza vertical y la línea de la fuerza horizontal.

Figura 26. Compuerta del Ejercicio 17.

Figura 27. Compuerta del Ejercicio 17.

F x

F y

A

o

F x

F y

r/3

4r/(3 )

A

o

F

r

F F y

F x


UCB | 35

Ejercicio 18:

Determine las componentes de la fuerza hidrostática porunidad de ancho que ejerce el fluido sobre la compuerta desector ci rcular ( ) mostrada en la f igura. Determinetambién la resultante, el punto de aplicación de la fuerzasobre la superficie curva.

Solución: La fuerza horizontal es aquella que actúa sobreuna superficie proyectada en el plano vertical

Y actúa a la distancia del punto

La fuerza vertical es igual al peso del fluido imaginario sobre la superficie curva de la compuerta

Cuya línea de acción pasa por el centro de gravedad de la figura ABO

La resultante será

Que actúa sobre la línea cuya inclinación será

La resultante actúa sobre la línea de acción con inclinación y pasa por el eje del sectorcircular; por lo tanto, el punto de aplicación de la fuerza resultante está en la superficie curva de lacompuerta y situada a distancias: y medidas desde los ejes que pasan por el centro O.

y

Figura 28. Compuerta del Ejercicio 18

F H

F V

o A

B

xcg

y


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UCB | 36

Ejercicio 19:

Un dique con de altura y de ancho tiene su paramento interno de forma parabólica. Calcule lafuerza resultante y el centro de presiones si el fluido esagua ( ).

Solución 1: La fuerza horizontal actúa sobre unasuperficie proyectada en el plano vertical. Luego, lafuerza vertical es igual al peso del fluido que seencuentra por encima de la superficie curva.

Fuerza horizontal:

Posición de respecto al eje que pasa por la corona deldique:

Fuerza vertical:

Resultante

Figura 29. Esquema de un dique expuesto afuerzas hidrostáticas.

cg

cp

y p4 m

2.0 2.8 m


UCB | 37

Ejercicio 20:

Un cubo de madera de en cada lado la flota en el agua. La densidad de la madera es .Calcule la profundidad sumergida del cubo.

Solución: El peso del cubo será

El volumen de agua desplazada es

Así la profundidad sumergida se obtendrá igualando el volumen del cuerpo sumergido con el volumendel agua desplazada

Ejercicio 21:

Una esfera hueca de plástico se mantiene a flote por debajo de la superficie de un embalse de agua( ) , l a esfera está sujeta con una cuerda anclada al fondo. Si la esfera ti ene un volumende y la tensión en la cuerda es . Calcule

a) La fuerza de empuje que ejerce el agua sobre la esfera.b) La masa de la esfera.c) Si se rompe la cuerda, entonces la esfera saldrá a flote hacia la superficie. ¿qué fracción del

volumen de la esfera quedará sumergida?

Figura 30. Superficie curva delparamento del dique en el a fuerzas

hidrostáticas.

38 xo

(xo , yo )

y

x

35 yo

cg

dx

xo= 1.5 m yo= 4.0 mcg

o


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UCB | 38

Solución: el diagrama de cuerpo libre que exp erimenta la esfera será como se muestra en la figura

a) Esfera Sumergida:

Por tanto

b) Masa de la esfera: Planteando la suma de fuerzas en la vertical se tiene

Luego

c) Esfera flotando: La fuerza de empuje del agua es igual al peso de la esfera y, a su vez, esta esigual al peso del agua desalojado por la esfera

Proporción de la esfera sumergida

T

E

W

Esfera

Embalse


UCB | 39

Ejercicio 22:

Determinar las condiciones de estabilidad del cajónmostrado en la Figura 31 y si su peso es y susdimensiones son y por .a) ¿Cómo será la estabilidad del cajón en la direcciónmostrada en la figura?, b) ¿Cómo será la estabilidad en ladirección perpendicular al plano de la figura?.

Solución: Si es la profundidad sumergida, entonces sedesea verificar la estabilidad en los ejes y .

a) Verificación de la estabilidad en el eje

Cálculo del momento de inercia

Profundidad de flotación

Igualando con el peso del cajón, se tiene

Ubicación del centro de flotación. Es igual al centroide del f luido desplazado

Distancia entre el centro de gravedad del cajón y el cen tro de flotación,

Altura metacéntrica

Como entonces el cajón es estable en el eje

b) Verificación de la estabilidad en el eje

Como entonces el cajón también es estable en el eje

Figura 31. Cajón flotante.

B= 1.8 m

1.2 m cg 0.3 m C

L= 4 m

B= 1.8 m

a

b

a'


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UCB | 40

Ejercicio 23:

Un bote tiene de ancho y de largo. El peso total del bote es toneladas. Su centro degravedad está a por encima de la superficie. Se pide:a) encontrar la altura metacéntrica, y

b) calcular el par restaurador cuando el bote se inclina y su costado extremo se sumerge .

Solución:

a) Profundidad sumergida en el agua

a) Barco en reposo. b) Barco con un giro .

Figura 32. Esquema para verificar la estabilidad de un barco.

De la Figura 32 se tiene

Ubicación del centro de flotación en

6.1 m

H 1

0.3 m

2.015 m

cg

W B

F B

B B'

W B

F B

0.3 m B

6.1 m

H 2

0.3 m

2.015 m

c g

M

B

y

x


UCB | 41

De igual modo para

El centro de gravedad se encuentra a desde el fondo, por tanto, restando el

valor de , se tiene

Luego, se verifica que

Finalmente, la altura metacéntrica será

Como , entonces se concluye que el barco es estable, y el par motor se obtiene como sigue:


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26/83


UCB | 44

b) Por relación de triángulos

Luego

Dividiendo miembro a miembro entre las dos ecuaciones anteriores, se tiene

Entonces

Y

Finalmente, la altura metacéntrica será

c)

El par motor será


UCB | 45

Ejercicio 26:

Se desea verificar si la pieza de madera ( ) con la posición indicada en la Ejercicio 36 tienela capacidad de flotar en agua.

Solución: Si la pieza de madera flota entonces su peso es igual a la fuerza de empuje. Para verificar sila pieza de madera flota en la posición mostrada se debe calcular la distancia que hay del centroide deflotación al centro de gravedad de la pieza ( ), y comparar con la distancia del centro de presión almetacentro ( ). Entonces se logra la estabilidad cuando .

Entonces, si la pieza de madera flota en la posiciónindicada entonces se cumple

Donde: peso de la maderafuerza de empujevolumen de la pieza de madera

peso específico de la madera peso específico del agua (fluido)

De la ecuación anterior, se tieneEntonces

Calculamos el volumen de la madera

Cálculo de

El área de la sección transversal sumergida tiene laforma de un trapecio

Factorizando

Luego

Figura 36. Diagrama 1 del Ejercicio 26:


b=0.8 m

L=1.5 m

60°

y

b=0.8 m

60°

x b/2-x


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UCB | 46

Reemplazando en la ecuación para el área desplazada se tiene

Finalmente, el volumen desplazado será

Sustituyendo el volumen de la madera y el volumen desplazado en la ecuación de equilibrio se tiene

Sustituyendo valores

Una simplificación de la ecuación anterior resulta

La solución de la ecuación cuadrática resulta

Se elige

Debido a que su valor resulta más congruente con las dimensiones que se tiene

El centro de gravedad de la pieza triangular es

Cálculo del centro de flotación

Como

Entonces

La distancia del centro de gravedad al centro de flotación será entonces


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Distancia del centro de flotación al metacentro

El plano de flotación tiene dos superficies en la que el cuerpo flota, en el sentido de y en el sentido de, el momento de inercia mínimo será en el último, por tanto

Volumen desplazado

Luego, la distancia del centro de flotación al metacentro se obtiene aplicando

Comparando y tenemos

Por consiguiente, el cuerpo es inestable y se producirá un giro de la pieza de madera hasta lograr suequilibrio. En esta situación, es muy probable que la pieza de madera mantenga su equilibrio en formainvertida; para ello se propone al estudiante realizar los cálculos para verificar esta aseveración.

Ejercicio 27:

Una gabarra (barcaza) con grúa tiene forma rectangular en planta, su área en el plano de flotación esmuy grande en comparación con su profundidad, lo que asegura su estabilidad. La barcaza pesa

y la grúa . El centro de gravedad resultante de la combinación está en el nivel de lacubierta, mientras que el centro de gravedad de la grúa es de 3 m por encima de la cubierta.

Se están realizando pruebas para asegurar laestabilidad de la gabarra-grúa. Si la grúa se muevehorizontalmente de lado por 0.8 m y la barcaza giraen un ángulo de , se pide: a) ¿Cuál es la alturametacéntrica del sistema?, y b) cuando la grúa estáde vuelta en su posición central, necesitamos saber¿qué tan alto puede ser elevada la pluma antes deque la barcaza se vuelva inestable?.

Solución:

a) Altura Metacéntrica: se trata de encontrar el metacentro por e xperimentación, por lo que

Figura 38. Esquema 1 del Ejercicio 27:


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UCB | 48

Por consiguiente, el metacentro está por encimade la cubierta.

El centro de gravedad de la barcaza será

(Por debajo de la superficie de la cubierta)

Si el centro de gravedad de la pluma está por encima de lacubierta, , y el centro del sistema de gravedad se mueve

por encima de la cubierta 0.8344m, entonces

Así que la grúa se puede mover a una elevación iguala a:

Ejercicio 28:

Un camión cisterna transporta agua en un recipiente cuyas dimensiones son de . Elrecipiente está abierto en su parte superior. El agua es desplazada debido a la acción de la aceleraciónhorizontal del camión y justo antes del momento de su derrame la superficie del agua forma un ángulode respecto a la horizontal.

Determinar:a) La aceleración justo antes del derrame

b)

La distancia desplazada del fluido antes del derrame y la profundidad del fluido en reposo .c)

¿En qué posición se desplaza menos ag ua en la parte posterior?d) El volumen del fluido que se derrama cuando la aceleración es .

Solución: Para éste problema se tiene la ecuación siguiente

Del análisis de los vectores

Solución a) Depejando la aceleración en términos de lasotras variables tenemos

Donde: y , por tanto

Solución b) De acuerdo con la figura

a x g+

a Ra z



3 m

a x


UCB | 49

Lo cual significa que la profundidad del fluido en reposo es

c) Si el recipiente está ubicado en el otro sentido, de talmodo que la dimensión más corta (ancho ) es

paralela al movimiento del recipiente, entonces

Entonces, el movimiento en la dirección igual a la orientación del recipiente con base de generarámenor desplazamiento.

b) Volumen original del fluido será

O bien

Luego, cuando el recipiente se mueve con una aceleración de , la superficie del fluido formaun ángulo

El desplazamiento en las paredes anterior y posterior del recipiente será

El fluido ascenderá en la parte posterior del recipiente

Lo cual significa que hubo un derrame de fluido, ya que la pared del recipiente sólo alcanza una profundidad de .

Entonces, el fluido se ha derramado, y el perfil de la superficie del agua tiene el ángulo calculado, peroel fluido alcanza el borde posterior como se muestra en la figura. El desplazamiento del fluido se da enla pared delantera


C L


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Así, el volumen final será:

El volumen derramado, , será:

Ejercicio 29:

Un recipiente abierto, parcialmente lleno de un líquido, gira alrededor de su eje vertical con unavelocidad angular constante. Determinar la ecuación de la superficie libre del líquido cuando este hayaadquirido la velocidad angular del recipiente.

La aceleración de la masa es ,luego, por la ecuación de Newton

Del diagrama de fuerzas y remplazando laaceleración de la masa se obtiene

La suma fuerzas en la vertical nos da

Sustituyento en la ecuación de laaceleración de la masa

Donde es el ángulo entre el eje x y la tangente a la curva en el punto A.

Como sustituyendo en la ecuación anterior, se tiene

Integrando



3.0

0.6224

1.3776 2 m

y

x

W

F p

y

x

A

F x

W F p


UCB | 51

Que cuando y , entonces

Que representa la ecuación de la parábola

Ejercicio 30:

Un depósito cilíndrico está abierto en su parte superior, su profundidad es de y su diámetro .Si el depósito contiene agua hasta una profundidad de , y el cilindro gira alrededor de su ejegeométrico, se pide: a) ¿Qué velocidad angular se puede alcanzar sin que se derrame el agua?, b) ¿Cuáles la presión en los puntos C y D en el fondo cuando ?. c) ¿Cuál es el volumen de aguaque quedaría si la aceleración alcanza un valor de ?

Figura 44. Diagrama del cilindro para el Ejercicio 3 0:

Solución:

a) Volumen inicial:

Volumen del paraboloide:

Si no existe derrame del fluido entonces éste volumen es igual al que se tiene en condiciones deequilibrio

C D

1.5 m2 m

x

1.0 m

0.5 m

y1

(0.5,1)

o

C D

1.5 m


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UCB | 52

2.8 Ejercicios Propuestos

Problemas 1, 2, 3, 5, 8, 12, 15, 20, 29, 36, 51 y 52 Vol.

1


UCB | 53

3 Cinemática de los Fluidos

La cinemática de los fluidos estudia y describe las leyes que rigen el movimiento de las partículas delos líquidos, inicialmente sin considerar la masa o las fuerzas que impulsan su movimiento. Paraestudiar el movimiento de un fluido es imprescindible conocer algunos conceptos que en hidráulica seconocen como ecuaciones básicas o fundamentales de la hidráulica.

Las ecuaciones fundamentales que rigen el movimiento de los fluidos como el agua se derivan de lasleyes básicas de la física, estas son las leyes de: conservación de la masa, cantidad de movimiento yenergía. La ley de la conservación de la masa se formuló a finales del siglo XVIII, y la ley deconservación de la energía en la mitad del siglo XIX. La ley de conservación de la cantidad demovimiento viene de la segunda ley de Newton declarada en 1687.

En la física moderna, la masa y la energía se pueden transformar de una a otra según lo sugerido porAlbert Einstein en 1905. Esto combina dos leyes de conservación individuales en una sola ley de laconservación de la masa y energía. Sin embargo, la conversión entre la masa y la energía no son derelevancia para los fluidos estudiados por la hidráulica, tan sólo las dos leyes individuales deconservación se utilizan en la hidráulica. La conservación de la masa también se llama ecuación decontinuidad.

Las mencionadas leyes han derivado en la s premisas siguientes:

En la conservación de masa se afirma que: la masa no se crea ni se destruye.

En el principio de conservación de energía, resulta que la energía no se crea ni se destruye .

Finalmente, en la conservación de momentum un cuerpo en movimiento no puede ganar o perderimpulso si no se aplica una fuerza externa.

La aplicación de las tres leyes fundamentales descritas se explica detalladamente a lo largo de lossiguientes capítulos.

3.1 Descripción del Flujo

El movimiento de los fluidos se puede analizar a partir de dos aproximaciones

a) Aproximación Lagrangiana: Lagrange (1736-1813) indica que se debe seguir el elementoindividual del fluido sobre este a medida que avanza; esto es, un conjunto de partículas se

mueven a lo largo de la línea de corriente.

b) Aproximación Euleriana: Euler (1707-1783) considera un punto en el espacio, centra elestudio en un sitio fijo y observa cómo cambian las propiedades del fluido en ese punto con el

paso del tiempo.

La región ocupada por el fluido en movimiento define un campo de flujo. Existen dos campos deflujo: uno denominado escalar y otro vectorial. En la cinemática de fluidos interesa el estudio delmovimiento puro de las partículas, por lo cual en la práctica será suficiente interpretar el movimientocon magnitudes escalares.


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3.2

Campos de Flujo

Un campo de flujo es un espacio en el que hay un fluido en movimiento. En cada campo de flujo es posible determinar las magnitudes escalares o vectoriales de diferentes variables físicas.

Un campo escalar está definido por la magnitud que tiene la variable física (presión, densidad ytemperatura)

Un campo vectorial requiere la definición de su magnitud, dirección y sentido para que la variablefísica tenga significado, como ocurre con la velocidad, aceleración y rotación.

Las magnitudes físicas de los campos escalar y vectorial de un campo de flujo son función de suubicación en el espacio y tiempo, ya que su magnitud puede variar de un punto a otro y así como en eltiempo.

3.2.1 Campos de Velocidades

El estudio del movimiento de una partícula de fluido se efectúa por el conocimiento del vector quedescribe la posición en función del tiempo o bien en función del conocimiento de la trayectoria querecorre la partícula en el tiempo.

El primer caso corresponde asociarlo con el vector de posición en función del tiempo

Donde , y son los vectores unitarios correspondientes a los ejes coordenados ortogonales; yson las componentes escalares en función del tiempo, .

Figura 45. Conceptos de línea de corriente, vector de posición, velocidad y desplazamiento.

En el segundo caso, la posición de la partícula se determina por la longitud recorrida a lo largo de latrayectoria, .

Figura 46. Longitud recorrida por una partícula.


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El vector velocidad de una partícula se define como la rapidez de cambio de la ubicación del vector de posición de la partícula , y este puede ser calculada con

Donde es un vector diferencial de arco sobre la trayectoria que recorre la partícula en un intervalode tiempo . Éste vector es tangente en cada punto a lo largo de la trayectoria y es función deltiempo y de la posición en el espacio. La magnitud del vector es igual a la longitud del elementodiferencial de arco

Figura 47. Elemento diferencial del vector desplazamiento.

De modo que la velocidad puede ser expresada en términos de sus componentes ortogonales; y así entonces, estas componentes son func ión de la posición y del tiempo

La magnitud del vector de velocidad , denotada por se calcula como sigue

La magnitud del vector velocidad se puede obtener como sigue

Si es un vector unitario tangente en cada punto de la trayectoria de la partícula, la velocidad se puedeexpresar en términos del vector del diferencial de arco, , como sigue:


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Cuyas componentes son

La aceleración en coordenadas intrínsecas se puede determinar suponiendo el movimientounidimensional, en el que cada punto de la trayectoria tiene un sistema de coordenadas, al cual sedenomina sistema intrínseco de coordenadas.

Para cada punto se puede expresar un vector según ese sistema, entonces se definen los vectores

unitarios: , y tales que

es tangente a la curvaes la normal a la tangente y colineal con el

radio de curvatura y

es perpendicular

Y los tres vectores forman planos que se muestraen la Figura 49 y se d enominan como sigue:

es el plano osculador y

el plano normal

el plano rectificador

3.2.4 Tubo de Corriente

Un tubo de corriente está formado por líneas de corriente que pasan a través de una pared curva ycerrada compuesta por líneas de corriente, ver Figura 50. Debido a que el flujo es permanente y el tubode corriente es fijo en el espacio, no pueden existir velocidades perpendiculares a las paredes quelimitan el tubo de corriente. Por ejemplo, en mecánica de fluidos se utiliza este concepto pararepresentar el flujo a través de tuberías.

Figura 50. Esquema del tubo de corriente.

Figura 49. Planos osculador, normal y rectificador.


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3.3 Clasificación de los flujos

En términos generales los flujos se clasifican en grandes grupos que involucran a sus propiedades,

formas de movimiento, variantes en el espacio o el tiempo o en ambos.

3.3.1 Fluido incompresible

Es una simplificación para analizar el movimiento del fluido y en este caso se tiene densidad constante,esto es:

3.3.2 Relacionadas con el flujo de fluidos

Se dice que el Flujo permanente cuando el flujo es constante y las propiedades en cada punto en elfluido no cambian con el tiempo. En hidráulica se tienen diversos tipos de flujos debido a que estosinteractúan con los conductos que llevan los fluidos formando líneas de corriente contínuas odiscontínuas, como ocurre el flujo a través de las tuberías y los canales.

La tabla siguiente describe los flujos según el tiempo y el espacio.

Tabla 7. Resumen de la clasificación de los flujos, según el espacio y el tiempo.

Flujo Permanante Flujo No PermananteLas variables permanacenconstantes en eltiempo:VelocidadPresiónDensidad

Las variablescambian en eltiempo.

Flujo Uniforme Flujo No Uniforme (Flujo Variado)

Las variableshidráulicas

permanecenconstantes en eltiempo.

Las variableshidráulicascambian en elespacio.

3.3.3

Flujos en Una, Dos y 3 Dimensiones:

Un flujo unidimensional requiere sólo una coordenada para describir el cambio en las propiedades deflujo.

El flujo bi-dimensional requiere dos coordenadas para describir el cambio en las propiedades de flujo.

El flujo tri- dimensional requiere las tres coordenadas para describir el cambio en las propiedades deflujo.


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En general, la mayoría de los campos de flujo son tridimensionales. Sin embargo, muchos problemas prácticos se pueden simplificar a una o dos dimensiones, por simple conveniencia de cálculo.

3.3.4 Flujo estacionario

En un flujo estacionario las variables no dependen d el tiempo

Y las cantidades enun punto no dependen del tiempo, es decir:

3.4

Volumen de Control

Una masa apropiada de fluido se puede identificar mediante el uso de volumen de control. La ¡Error!No se encuentra el origen de la referencia. muestra tres ejemplos de volumen de control, que sonsolamente una región puramente imaginaria dentro de un cuerpo de fluido que fluye. La región es porlo general en un lugar fijo y de tamaño fijo. Dentro de la región, todas las fuerzas dinámicas que seanulan entre sí. Por lo tanto, la atención puede centrarse en las fuerzas que actúan en el exterior delvolumen de control.

Figura 51. Ejemplo de volumen de control.

3.5 Ecuación de la Continuidad

El principio de la conservación de masa tambiénes muy utilizado para la solución de problemascon fluidos. Esto significa que la proporción demasa de fluido que fluye por la sección 1 es iguala la proporción de masa de fluido que fluye porsección 2. Esta es la comúnmente llamadaecuación de continuidad.

Suponga un volumen de control formado pormuchas líneas de corriente como el que semuestra en la Figura 52, en el ingreso, se tiene lasección 1, con una velocidad y su seccióntransversal, se mantiene constante en unelemento diferencial, . A la salida, sección 2,se tiene una situación similar, con velocidad y

Figura 52. Flujo a través de un conducto yconservación de masa.


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sección transversal, con una longitud del elemento diferenc

hidraulica basica 4d

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