Programa de Engenharia OceanicaCOPPE / UFRJ

Universidade Federal do Rio de Janeiro

Hidrodinamica

SH Sphaier

Julho de 2003

2 SH Sphaier

HIDRODINAMICA

SH Sphaier

Julho de 2003

2 SH Sphaier

Conteudo

1 Ondas de Gravidade 11.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Problema de Valor de Contorno para Ondas de Gravidade . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Linearizacao do Problema de Valor de Contorno Bidimensional . . . . . . . . . . . . 31.4 Solucao por Separacao de Variaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 Teoria Linear de Ondas de Gravidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5.1 A Equacao de Dispersao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5.2 Campos de Velocidade e de Aceleracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5.3 Orbitas das Partıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5.4 Distribuicao de Pressao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.6 Aguas Profundas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.7 Aguas Rasas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.8 Outras Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.8.1 Fluxo de Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.8.2 Energia de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.8.3 Fluxo de Energia e Velocidade de Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.8.4 Onda Estacionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.9 Resumo das Principais Expressoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.9.1 Aguas Intermediarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.9.2 Aguas Profundas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.9.3 Aguas Rasas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.10 Batedor de Ondas do Tipo Pistao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.10.1 Obtencao do Potencial de Velocidades Solucao do Problema . . . . . . . . . . 291.10.2 Batedor de Ondas Tipo Flap e Outros Tipos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.11 Hipotese de Froude-Krylov para o Calculo de Forca de Onda . . . . . . . . . . . . . 351.11.1 Cancelamento de Forcas de Froude-Krylov para Ondas Longas em Estruturas

Semi-submersıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.12 Ondas de Gravidade: Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.12.1 O Problema de Valor de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.12.2 Princıpios Basicos para Expansao em Ordens . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.12.3 Aplicacao ao Problema de Ondas de Gravidade . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.12.4 Mudanca de Notacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.12.5 Equacao de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.12.6 Condicao de Contorno no Fundo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

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1.12.7 Condicao de Contorno Cinematica na Superfıcie Livre . . . . . . . . . . . . . 461.12.8 Condicao de Contorno Dinamica na Superfıcie Livre . . . . . . . . . . . . . . 461.12.9 Potencial de Ondas de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.12.10Potencial de Ondas de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2 Representacao de Escoamentos por Distribuicao de Singularidades 492.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.2 O Problema de Valor de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.3 Solucao atraves do Uso de Singularidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.4 O Algoritmo de Solucao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.5 Outras Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.6 Forca Atuando sobre o Corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.7 Equacao Integral para Determinacao de uma Funcao Potencial . . . . . . . . . . . . 57

2.7.1 Discretizacao das Equacoes Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.8 A Solucao Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Lista de Figuras

1.1 Perfil da Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Solucao grafica da equacao de dispersao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3 Onda propagando-se em fundo plano inclinado I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4 Onda propagando-se em fundo plano inclinado II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5 c/c∞, L/L∞ e cg/c∞ em funcao de d/L∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6 Obtencao grafica dos autovalores mj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.7 Perfil da onda e perfis de velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.8 Perfil da onda e perfis de aceleracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.9 Orbitas das partıculas Fluidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.10 Distribuicao da pressao em ondas, com a profundidade . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.11 Energia potencial de uma fatia vertical em uma onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.12 Grupo de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.13 H/H∞ em funcao de d/L∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.14 Gerador de Ondas em Forma de Pistao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.15 Cancelamento em Formas Retangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.16 Cancelamento em Estruturas Semisubmersıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.1 Definicoes geometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.2 Distribuicao de singularidades no interior do corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.3 Distribuicao de singularidades no interior do corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.4 Relacoes geometricas em um elemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5

Capıtulo 1

Ondas de Gravidade

1.1 Introducao

A hidrodinamica do navio e de estruturas oceanicas esta intimamente ligada a fenomenos de ondas degravidade devidas a superfıcie livre, a qual e uma parte do contorno do domınio fluido e esta sujeitaa um campo de pressao constante dado pela pressao atmosferica. Nesta superfıcie nao ha restricaogeometrica de movimento, estando o fluido livre para se movimentar, modificando sua forma. Hacondicoes a serem satisfeitas, que sao imposicoes de leis fısicas envolvendo aspectos cinematicos edinamicos.

Chamamos de ondas de gravidade ao movimento oscilatorio de um fluido devido a efeitos grav-itacionais ocasionados pela presenca de superfıcie livre. Qualquer perturbacao que ocasione umavariacao da pressao do fluido proximo a superfıcie livre, acarreta um movimento da massa fluidaem busca do equilıbrio com a pressao atmosferica e com isto mudanca de forma desta superfıcie. Operfil de uma onda regular e mostrado na figura 1.5.

Figura 1.1: Perfil da Onda

No estudo de ondas de gravidade assumimos as hipoteses de que o fluido e incompressıvel e ideal,

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que o escoamento e irrotacional e que as forcas de corpo derivam de um potencial gravitacional.Com as hipoteses de fluido incompressıvel e escoamento irrotacional podemos dizer que o campode velocidades e dado pelo gradiente de uma funcao, que satisfaz a equacao de Laplace em todo odomınio fluido. Essas hipoteses impoem tambem que seja satisfeita a Integral de Euler em todo odomınio fluido. Como na superfıcie livre a pressao e constante e igual a pressao atmosferica, devemosaplicar sobre ela a Integral de Euler com a pressao igual a pressao atmosferica. A superfıcie livre edescrita pelo movimento das partıculas fluidas no contorno em contato com a atmosfera, sendo entaodesconhecida. Seu movimento e uma das incognitas a serem determinadas. Sabemos que e formadasempre pelo mesmo grupo de partıculas fluidas. Se definirmos a funcao que descreve a superfıcielivre entao sua derivada substantiva devera ser sempre nula.

1.2 Problema de Valor de Contorno para Ondas de Gravidade

Para equacionar o problema exposto acima utilizaremos um sistema de coordenadas Oxyz, comorigem na superfıcie livre em repouso, eixo Oz apontando para cima. O problema acima exposto erepresentado pelo problema de valor de contorno para a funcao φ, cujo gradiente representa o campode velocidades:

1. em todo o domınio fluido deve ser satisfeita a equacao de Laplace, uma vez que supomos queo fluido e incompressıvel e o escoamento irrotacional

∇2φ(x, y, z, t) = 0

2. na superfıcie livre deveremos satisfazer a condicao cinematica imposta pelo movimento afimdas partıculas fluidas e a forma da superfıcie livre. Definindo a forma da equacao da superfıcielivre por:

Fsl(x, y, z, t) = z − ζ(x, y, t) = 0

teremosD

DtFsl(x, y, z, t) =

D

Dt(z − ζ(x, y, t)) = 0

ouD

Dtz − D

Dtζ(x, y, t) = 0

Desenvolvendo esta expressao obtemos

vz(x, y, z = ζ, t)−[∂ζ(x, y, t)

∂t+ (v(x, y, z = ζ, t) · ∇) ζ(x, y, t)

]=

vz(x, y, z = ζ, t)−[∂ζ(x, y, t)

∂t

+vx(x, y, z = ζ, t)∂ζ(x, y, t)

∂x+ vy(x, y, z = ζ, t)

∂ζ(x, y, t)∂y

]=

∂φ(x, y, z = ζ, t)∂z

− ∂ζ(x, y, t)∂t

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−∂φ(x, y, z = ζ, t)∂x

∂ζ(x, y, t)∂x

− ∂φ(x, y, z = ζ, t)∂y

∂ζ(x, y, t)∂y

=

∂φ

∂z− ∂ζ

∂t− ∂φ

∂x

∂ζ

∂x− ∂φ

∂y

∂ζ

∂y= 0

3. na superfıcie livre Fsl(x, y, z, t) = z − ζ(x, y, t) = 0 deveremos satisfazer a condicao dinamicaimposta pela pressao atmosferica, uma vez que supomos que o fluido e ideal e incompressıvel,o escoamento irrotacional e as forcas de corpo derivam de um potencial; entao pela Integralde Euler

patm = p(x, y, z = ζ, t) = −ρ

[∂φ(x, y, z = ζ, t)

∂t+

12| ∇φ(x, y, z = ζ, t) |2 +gz

]

4. no fundo, em z + d = 0∂φ

∂z= 0

1.3 Linearizacao do Problema de Valor de Contorno Bidimensional

A partir do problema de valor de contorno tridimensional apresentado acima vamos estudar aquio fenomeno de ondas de gravidade como se sua propagacao fosse na direcao Ox conservando todassuas caracterısticas para todos os planos y = constante. Assim podemos estudar o problema noplano Oxz independentemente de y. No plano Oxz, y = 0, deve ser satisfeita a equacao de Laplace,

∇2φ(x, z, t) = 0

A equacao da superfıcie livre e entao dada por:

Fsl(x, z, t) = z − ζ(x, t) = 0

Nesta superfıcie devem ser satisfeitas a condicao cinematica e a condicao dinamica:

∂φ(x, z = ζ, t)∂z

− ∂ζ(x, t)∂t

− ∂φ(x, z = ζ, t)∂x

∂ζ(x, t)∂x

= 0

patm = p(x, z = ζ, t) = −1ρ

[∂φ(x, z = ζ, t)

∂t+

12| ∇φ(x, z = ζ, t) |2 +gz

]Observando estas duas condicoes de contorno, verificamos duas dificuldades:

1. temos um termo nao linear em cada uma delas, a saber:

∂φ(x, z = ζ, t)∂x

∂ζ(x, t)∂x

e

12| ∇φ(x, z = ζ, t) |2

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2. estas condicoes devem ser satisfeitas em z = ζ(x, t) sendo ζ uma incognita do problema. Temosque avaliar

∂φ(x, z = ζ, t)∂t

,

∂φ(x, z = ζ, t)∂x

e

12(| ∇φ(x, z = ζ, t) |)2

sem que conhecamos a superfıcie

Fsl(x, z, t) = z − ζ(x, t) = 0

Estas duas dificuldades impedem uma solucao fechada do problema. Faremos algumas simpli-ficacoes para podermos obter uma solucao aproximada. Admitindo que as ondas sao de pequenasamplitudes, as velocidades das partıculas fluidas tambem o serao. No limite, se as amplitudes foremnulas o movimento das partıculas fluidas e nulo. Podemos ver que nas duas condicoes de contorno ostermos nao lineares serao entao produtos de parcelas pequenas. Cometendo um certo erro podemosdespreza-los. O erro sera tanto menor quanto menor forem as amplitudes das ondas. Teremos entao:

∂φ

∂z− ∂ζ

∂t= 0 em z = ζ(x, t)

∂φ

∂t+ gζ +

patm

ρ= 0 em z = ζ(x, t)

Expandindo os termos a serem avaliados em z = ζ em serie de Taylor em torno de z = 0 podemosescrever:

∂φ(x, z = ζ, t)∂t

=∂φ(x, z = 0, t)

∂t+ ζ

∂2φ(x, z = 0, t)∂z∂t

+ . . .

∂φ(x, z = ζ, t)∂z

=∂φ(x, z = 0, t)

∂z+ ζ

∂2φ(x, z = 0, t)∂2z

+ . . .

Da hipotese de pequenas amplitudes podemos aqui considerar que ao substituirmos

∂φ(x, z = ζ, t)∂t

=∂φ(x, z = 0, t)

∂t

∂φ(x, z = ζ, t)∂z

=∂φ(x, z = 0, t)

∂z

estaremos cometendo um erro que sera tanto menor quanto menor for a amplitude da onda.Considerando que a pressao atmosferica e nula, teremos agora nosso problema dado por

∇2φ(x, z, t) = 0 em todo o domınio fluido (1.1)

∂φ

∂z− ∂ζ

∂t= 0 em z = 0 (1.2)

∂φ

∂t+ gζ = 0 em z = 0 (1.3)

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∂φ

∂z= 0 em z = −d (1.4)

Temos entao estabelecido o problema de valor de contorno para determinacao da funcao φ. Nesteproblema temos entretanto outra incognita que e a funcao que descreve a forma da superfıcie livreζ(x, t). Esta funcao pode ser escrita em termos da funcao φ. A condicao de contorno dinamica (1.3),que e a Integral de Euler linearizada aplicada a superfıcie livre, relaciona ζ e φ. Dela podemos obtera equacao da superfıcie livre

ζ = −1g

∂φ(x, 0, t)∂t

(1.5)

Combinando esta expressao com a condicao cinematica (1.2) teremos

∂φ

∂z+

1g

∂2φ(x, 0, t)∂t2

= 0 em z = 0 (1.6)

Reunindo as equacoes (1.1), (1.89) e (1.4) temos entao o problema de valor de contorno linear paradeterminacao da funcao potencial de velocidades

∇2φ(x, z, t) = 0 em todo o domınio fluido

∂φ

∂z+

1g

∂2φ(x, 0, t)∂t2

= 0 em z = 0

∂φ

∂z= 0 em z = −d

Em casos de profundidade infinita esta ultima condicao e modificada para

limz→−∞

∂φ

∂z= 0 (1.7)

1.4 Solucao por Separacao de Variaveis

O metodo de solucao por separacao de variaveis, baseia-se em supor que a solucao da equacao deLaplace, pode ser escrita como o produto de funcoes a uma unica variavel. Assim admitimos que afuncao φ, funcao a tres variaveis, pode ser escrita como o produto de tres funcoes, F , G e H, funcoesa uma unica variavel, respectivamente de x, z e t.

A equacao de Laplace e expressa de diferentes maneiras para diferentes sistemas de coordenadas.De acordo com o problema em estudo podemos utilizar o sistema mais conveniente e aproveitar ometodo de separacao de variaveis para expandir a funcao em serie de autofuncoes para obtermos suasolucao.

Para apresentacao do metodo aplicado a alguns problemas de escoamentos em presenca de su-perfıcie livre nos ateremos a um sistema de coordenadas retilıneo bidimensional.

Adotamos um sistema Oxz, com eixo Ox horizontal na superfıcie livre e Oz voltado para cima.A equacao de Laplace e dada por

∂2φ

∂x2+

∂2φ

∂z2= 0

Aplicando entao o metodo de separacao de variaveis de forma tal que

φ(x, z, t) = F (x)G(z)H(t)

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e substituindo na equacao de Laplace obtemos:

F′′GH + FG

′′H = 0

ou entaoF

′′

F= −G

′′

G

Como o primeiro membro e uma funcao exclusiva de x e o segundo membro e funcao somente de z,a igualdade so e possıvel se:

F′′

F= −G

′′

G= ±m2

k (1.8)

onde mk e uma constante.A partir da expressao (1.41) podemos fazer o seguinte quadro de solucoes de acordo com o valor

de m2k, se positivo ou negativo.

Se equacao em x equacao em z solucao em x solucao em z

−m2k F

′′+ m2

kF = 0 G′′ −m2

kG = 0 cos mkx ; sin mkx exp(±mkz)+m2

k F′′ −m2

kF = 0 G′′

+ m2kG = 0 exp(±mkx) cos mkz ; sin mkz

Utilizando a forma complexa

Se equacao em x equacao em z solucao em x solucao em z

−m2k F

′′+ m2

kF = 0 G′′ −m2

kG = 0 exp(±imkx) exp(±mkz)+m2

k F′′ −m2

kF = 0 G′′

+ m2kG = 0 exp(±mkx) exp(±imkz)

onde i e o unitario imaginario, i =√−1

A escolha do sinal associado a m2k e por conseguinte da forma das solucoes em x e z dependera

das condicoes de contorno.Analisemos alguns casos:

1. Ondas em um domınio com profundidade infinita.

Principais conclusoes:

(a) Nao podemos admitir solucoes que crescam para x → ±∞, isto e, nao podemos aceitar

F (x) = exp(±mkx)

uma vez que pela equacao (1.5) a onda assumiria uma elevacao infinita para grandesvalores de x.

(b) Nao podemos aceitar solucoes do tipo

G(z) = exp(−mkz)

isto e, nao podemos aceitar solucoes que crescam com a profundidade,ver equacao (1.90).

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(c) A solucao devera ser do tipo

φ =∞∑

k=0

Hk(t) exp(mkz) [ack cos(mkx) + as

k sin(mkx)]

ou na forma complexa

φ =∞∑

k=0

Hk(t) exp(mkz)[a+

k exp(imkx) + a−k exp(−imkx)]

(1.9)

onde ack, a

sk, a

+k e a−k sao coeficientes a serem determinados.

2. Ondas em um domınio com profundidade finita d.

(a) Nao podemos admitir solucoes do tipo

F (x) = exp(±mkx)

pelas mesmas razoes acima citadas em (1.a).(b) No fundo G

′(z = −d) = 0 e a solucao em G(z) deve ser uma combinacao

G(z) = b1 exp(mkz) + b2 exp(−mkz) (1.10)

Usando a condicao de contorno no fundo G′(z = −d) = 0 nesta expressao temos

G′(−d) = mk [b1 exp(−mkd)− b2 exp(mkd)] = 0

e entaob1 exp(−mkd) = b2 exp(mkd) =

12b

com esta igualdade e a equacao (1.10) entao

G(z) = b1 exp(mkz) + b2 exp(−mkz)

= b1 exp(mkz) exp(mkd) exp(−mkd) + b2 exp(−mkz) exp(−mkd) exp(mkd)

= b1 exp(−mkd) exp[mk(z + d)] + b2 exp(mkd) exp[−mk(z + d)]

= b12{exp[mk(z + d)] + exp[−mk(z + d)]}

e finalmenteG = b cosh[mk(z + d)] (1.11)

(c) A solucao e dada por

φ =∞∑

k=0

Hk(t) cosh[mk(z + d)][ack cos(mkx) + as

k sin(mkx)]

ou em forma complexa

φ =∞∑

k=0

Hk(t) cosh[mk(z + d)][a+k exp(imkx) + a−k exp(−imkx)] (1.12)

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1.5 Teoria Linear de Ondas de Gravidade

A expressao (1.12) e a solucao geral da equacao de Laplace satisfazendo a condicao de contorno nofundo e condicoes sobre o comportamento para x → ±∞, e representa a solucao do problema deondas de gravidade. Vamos agora supor que temos uma unica onda monocromatica. Assim temos:

φ = H(t) cosh[m0(z + d)]a exp(−im0x) (1.13)

Como a solucao e uma funcao harmonica em x o parametro m0 representa a periodicidade em x, deforma tal que se L e o comprimento da onda entao:

m0L = 2π

A este parametro chamamos numero de onda.Nao impuzemos ainda a condicao de contorno na superfıcie livre. Utilizando a expressao geral

proposta para a funcao φ nesta condicao, temos:

H′′

H= −g

G′(z = 0)

G(z = 0)

Da equacao (1.11) temos

−gG

′(z = 0)

G(z = 0)= −gm0 tanh m0d

onde g, m0 e a tangente hiperbolica sao sempre valores positivos, logo podemos escrever:

σ2 = gm0 tanhm0d (1.14)

eH

′′+ σ2H = 0 (1.15)

A solucao desta equacao diferencial (1.15) e dada por

H = a+ exp(iσt) + a− exp(−iσt)

Esta funcao e harmonica e o parametro σ representa a periodicidade em t, de forma tal que se T eo perıodo da onda entao:

σT = 2π

Admitindo a+ = ia e a− = 0, sendo a real, teremos entao

φ = ia cosh[m0(z + d)] exp[i(σt−m0x)] (1.16)

A equacao (1.14) e a equacao da dispersao e relaciona o comprimento da onda L com o perıodo Tde acordo com a profundidade d. Voltaremos a esta equacao em outra secao.

A condicao de contorno dinamica, a ser satisfeita na superfıcie livre, impoe uma relacao entre afuncao definindo o perfil da superfıcie livre e o potencial de velocidades.

ζ = −1g

∂φ(x, 0, t)∂t

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Desta equacao resultaζ =

σ

ga cosh(m0d) exp[i(σt−m0x)]

ou considerando somente a parte real

ζ =σ

ga cosh(m0d) cos(σt−m0x)

o que sugereζ = ζ0 cos(σt−m0x) (1.17)

onde ζ0 = (σ/g)a cosh(m0d) e a amplitude da onda.Utilizando este resultado em (1.16) chegamos a:

φ = iζ0g

σ

cosh(m0(z + d))cosh(m0d)

exp[i(σt−m0x)] (1.18)

Utilizando a equacao da dispersao (1.14) teremos:

φ = iζ0σ

m0

cosh(m0(z + d))sinh(m0d)

exp[i(σt−m0x)]

A equacao (1.17) descreve o perfil da onda, tanto no tempo quanto no espaco. Um ponto do perfilcom elevacao ζ1 desloca-se ao longo do tempo ocupando diversas posicoes x, com velocidade igual avelocidade do perfil, chamada celeridade da onda. Os valores de x estao relacionado com o tempode tal forma que

σt−m0x = constante

Derivando esta expressao em relacao ao tempo teremos

m0c− σ = 0

onde c e a celereridade da onda; assim

c =σ

m0=

L

T

Com os resultados obtidos ate entao, podemos dizer que o perfil da superfıcie livre tem a formade uma senoide e desloca-se na direcao do eixo x positiva. Como frizamos anteriormente a solucaoda equacao (1.1) sujeita a (1.89), admitindo que mk igual a um valor constante negativo deve serignorada, pois implicaria em uma solucao do potencial de velocidades, indicando que haveria umcrescimento do perfil da superfıcie livre e, como sera visto abaixo, dos campos de velocidade eaceleracao com o valor de x, o que fisicamente nao e razoavel. Outro aspecto a se considerar e quede acordo com a escolha das constantes nas solucoes gerais de F e H obterıamos perfis da onda nasformas:

ζ = ζ0 cos(±σt±m0x± δc)

ouζ = ζ0 sin(±σt±m0x± δs)

onde δc e δs sao angulos de fase. A escolha da forma e dos sinais depende da forma da onda emrelacao a origem e direcao de propagacao.

10 SH Sphaier

1.5.1 A Equacao de Dispersao

A equacao de dispersao e dada por (1.14):

σ2 = gm0 tanh m0d

Figura 1.2: Solucao grafica da equacao de dispersao

A figura 1.2 apresenta uma forma grafica de obtencao do valor de m0. Reescrevemos a equacao(1.14) na forma

y =σ2d

g

1m0d

= tanhm0d

e buscamos a intersecao da equacao das curvas

y1 =σ2d

g

1m0d

e y2 = tanhm0d

encontramos o valor de m0 que satisfaz a equacao (1.14).A equacao da dispersao (1.14) pode ser reescrita em termos da celeridade da onda na forma(

2π

T

)2

= g

(2π

L

)tanh m0d

ou

c = g

(1σ

)tanh m0d (1.19)

SH Sphaier 11

Observando as duas formas da equacao da dispersao, (1.14) e (1.19), vemos que o numero de onda,o comprimento de onda e a celeridade da onda dependem da profundidade. Isto e, ondas comdiferentes perıodos propagam-se com diferentes velocidades, celeridade da onda.

Para grandes profundidades o argumento da tangente hiperbolica cresce muito e entao a tangentetende para o valor 1 (um):

limd→∞

tanhm0d = 1

e por conseguinte, para aguas profundas,

σ2 = gm0 =2π

L∞g (1.20)

Figura 1.3: Onda propagando-se em fundo plano inclinado I

Figura 1.4: Onda propagando-se em fundo plano inclinado II

12 SH Sphaier

Observemos agora o que ocorre com uma onda monocromatica que se propaga em um fundoplano levemente inclinado de aguas profundas para aguas rasas (ver figuras 1.3 e 1.4). Tracemosdois planos verticais, um situado em aguas profundas A e outro em aguas mais rasas B. Podemosdizer que o numero de ondas que em um certo intervalo de tempo passa por A e o mesmo que onumero de ondas que no mesmo intervalo de tempo passa por B. Isto quer dizer entao que o perıododa onda e imutavel. Consequentemente σ2/g e um parametro constante para uma mesma onda.Usando entao este argumento na equacao de dispersao (1.14) e o limite de aguas profundas podemosescrever:

σ2

g=

2π

L∞=

2π

Ltanh(

2πd

L) (1.21)

ou

σ2d

2πg=

d

L∞=

d

Ltanh(

2πd

L) (1.22)

Destas relacoes temos

L∞ =2πg

σ2=

2πg(2πT

)2 =gT 2

2π(1.23)

T

L∞=

T

Ltanh(

2πd

L) (1.24)

ou

c = c∞ tanh(2πd

L) (1.25)

Com estas expressoes podemos entao escrever a celeridade e o comprimento da onda em funcao daprofundidade e a partir de seus valores em aguas profundas.

c

c∞= tanh(

2πd

L) (1.26)

L

L∞= tanh(

2πd

L) (1.27)

A hipotese feita acima de o fundo ser um plano inclinado implica que em um mesmo comprimentode onda a profundidade local varia, e a equacao de dispersao foi obtida para fundo constante. Assim,o estudo que estamos fazendo tem suas limitacoes. Estamos incorrendo em um erro, que sera taomenor quanto menor for a inclinacao do fundo.

Com as equacoes (1.26) e (1.27) podemos fazer um grafico representativo da variacao de c/c∞ eL/L∞ em funcao d/L∞ ver figura 1.5.

SH Sphaier 13

Figura 1.5: c/c∞, L/L∞ e cg/c∞ em funcao de d/L∞

Para pequenos valores de d, tendemos ao caso conhecido como de aguas rasas. Na realidadequem define esta tendencia e a relacao d/L e nao somente a profundidade d. Teremos aguas rasasquando a profundidade relativa for pequena em relacao ao comprimento de onda. Nesta situacao oargumento da tangente hiperbolica e pequeno e a tangente hiperbolica e aproximadamente igual aoargumento resultando que a equacao de dispersao torna-se

σ2

g= m2

0d

Desta relacao vemos que o numero de onda e por conseguinte o comprimento de onda continuamvariando com a profundidade, porem

σ2

m20

=(

2π

T

)2( L

2π

)2

=(

L

T

)2

= c2

e entaoc =

√gd

Observamos deste ultimo resultado que a celeridade tem um valor fixo para aguas rasas e o compri-mento da onda e proporcional ao perıodo em aguas rasas.

L = T√

gd

Retornando a equacao (1.14) lembramos que esta foi obtida da substituicao da solucao na formade cosseno hiperbolico em z na condicao de contorno na superfıcie livre. Se utilizarmos a solucaoem cosseno simples em z na condicao de contorno na superfıcie livre, obteremos

σ2 = −gmk tanmkd (1.28)

A figura 1.6 apresenta uma forma grafica de obtencao do valor de mj , obtida reescrevendo a equacao(1.28) na forma

y = −σ2d

g

1mjd

= tan mjd

14 SH Sphaier

e buscando a intersecao da equacao do primeiro e do segundo membros.

Figura 1.6: Obtencao grafica dos autovalores mj

A tabela 1.1 apresenta as variacoes da relacao comprimento de onda / profundidade em funcaodo perıodo, em forma adimensional, atraves da equacao da dispersao.

1.5.2 Campos de Velocidade e de Aceleracao

Uma vez determinada a funcao potencial de velocidades podemos determinar o campo de velocidadesatraves de:

v = ∇φ = i∂φ

∂x+ k

∂φ

∂z= ivx + kvz

isto e, as componentes vx e vz sao dadas por

vx = <(

∂φ

∂x

)=

ζ0σ cosh[m0(z + d)]sinh(m0d)

cos(σt−m0x) (1.29)

vz = <(

∂φ

∂z

)= −ζ0σ sinh[m0(z + d)]

sinh(m0d)sin(σt−m0x) (1.30)

Observando a equacao (1.29) podemos afirmar que quando ζ e maximo, vx e maximo. Por outrolado, vz e maximo quando ζ e nulo e decrescente com x. Estas conclusoes podem ser observadasmais claramente na figura (1.7).

SH Sphaier 15

d/L m0d tanh(m0d) σ2d/g d/L∞ L∞/L0.001 0.006283 0.006283 0.000039 0.000006 159.1570.003 0.018850 0.018847 0.000355 0.000057 53.05790.005 0.031416 0.031406 0.000987 0.000157 31.84140.007 0.043982 0.043954 0.001933 0.000308 22.75100.009 0.056549 0.056488 0.003194 0.000508 17.70270.010 0.062832 0.062749 0.003943 0.000627 5.93640.030 0.188496 0.186294 0.035116 0.005589 5.36780.050 0.314159 0.304216 0.095572 0.015211 3.28710.070 0.439823 0.413498 0.181866 0.028945 2.41830.090 0.565487 0.512037 0.289550 0.046083 1.95290.100 0.628319 0.556893 0.349906 0.055689 1.79560.200 1.256637 0.850134 1.068310 0.170027 1.17620.300 1.884956 0.954931 1.800002 0.286479 1.04710.400 2.513274 0.986963 2.480508 0.394785 1.01320.500 3.141593 0.996272 3.129881 0.498136 1.00370.600 3.769912 0.998938 3.765906 0.599363 1.00100.700 4.398230 0.999698 4.396899 0.699788 1.00030.800 5.026548 0.999914 5.026115 0.799931 1.00000.900 5.654867 0.999976 5.654728 0.899978 1.00001.000 6.283185 0.999993 6.283142 0.999993 1.0000

Tabela 1.1: Comprimento de onda em funcao da profundidade

16 SH Sphaier

Figura 1.7: Perfil da onda e perfis de velocidades

Para determinarmos as aceleracoes devemos inicialmente lembrar que com a linearizacao doproblema de valor de contorno, desprezamos o termo v2 na Integral de Euler, cuja origem e o termoconvectivo da aceleracao. Para sermos consistentes devemos entao desprezar o termo convectivo e aaceleracao e dada somente pela derivada local, logo:

ax = <(

∂vx

∂t

)= −ζ0σ

2 cosh[m0(z + d)]sinh(m0d)

sin(σt−m0x) (1.31)

az = <(

∂vz

∂t

)= −ζ0σ

2 sinh[m0(z + d)]sinh(m0d)

cos(σt−m0x) (1.32)

A aceleracao horizontal ax e maxima quando ζ e nulo e decrescente. A aceleracao vertical e maximaquando ζ e mınimo (ver figura 1.8).

Figura 1.8: Perfil da onda e perfis de aceleracao

1.5.3 Orbitas das Partıculas

A observacao das orbitas das partıculas exige que acompanhemos uma partıcula, isto e, esta e umaobservacao Lagrangeana. Como temos campos de velocidades descritos na forma Euleriana podemos

SH Sphaier 17

escrever:

xf (t) = x0 +∫ t

0vx(xf , zf , t)dt

zf (t) = z0 +∫ t

0vz(xf , zf , t)dt

A dificuldade de solucionar estas equacoes deve-se a termos que integrar estas funcoes vx e vz aolongo da trajetoria que e desconhecida. Lembrando entretanto das aproximacoes feitas anterior-mente temos, para sermos consistentes, que admitir que as orbitas das partıculas permanecem nasproximidades do ponto inicial. Expandindo as funcoes vx e vz em series de Taylor em torno daposicao media temos

vx(xf , zf , t) = vx(x0, z0, t) + (xf − x0)∂vx

∂x(x0, z0, t) + (zf − z0)

∂vx

∂z(x0, z0, t) + . . .

vz(xf , zf , t) = vx(x0, z0, t) + (xf − x0)∂vz

∂x(x0, z0, t) + (zf − z0)

∂vz

∂z(x0, z0, t) + . . .

pode-se verificar que para mantermos a consistencia com o desenvolvimento anterior podemos fazer

vx(xf , zf , t) = vx(x0, z0, t)

vz(xf , zf , t) = vz(x0, z0, t)

Assim sendo as orbitas sao definidas por

x− x0 =∫ t

0

∂φ

∂x(x0, z0, t)dt =

∫ t

0dt

[ζ0σ cosh[m0(z0 + d)]

sinh(m0d)cos(σt−m0x0)

](1.33)

=ζ0 cosh[m0(z0 + d)]

sinh(m0d)sin(σt−m0x0)

z − z0 =∫ t

0

∂φ

∂z(x0, z0, t)dt =

∫ t

0−dt

[ζ0σ sinh(m0(z0 + d))

sinh(m0d)sin(σt−m0x0)

](1.34)

=ζ0 sinh[m0(z0 + d)]

sinh(m0d)cos(σt−m0x0)]

Com as expressoes acima obtemos

(x− x0)2

(cosh[m0(z0 + d)])2+

(z − z0)2

(sinh[m0(z0 + d)])2={

ζ0

sinh(m0d)

}2

Esta expressao indica que as orbitas das partıculas sao elıpticas. Das equacoes (1.33) e (1.34)podemos observar que para z0 = 0 temos a equacao da superfıcie livre. No fundo podemos observarque

x− x0 =ζ0

sinh(m0d)sin(σt−m0x0)

z + d = 0

isto e, a partıcula executa um movimento harmonico horizontal.

18 SH Sphaier

A visualizacao das orbitas pode ser observada na figura 1.9.

Figura 1.9: Orbitas das partıculas Fluidas

1.5.4 Distribuicao de Pressao

Uma vez obtido o potencial de velocidades podemos determinar a pressao em qualquer ponto doescoamento:

p = −ρ∂φ

∂t− ρgz

Sob a superfıcie z = 0 temos

p = −ρ∂φ(z = 0)

∂t= ρgζ

Isto e, a pressao dinamica na superfıcie z = 0 e igual a pressao hidrostatica de uma coluna de aguacorrespondente a elevacao da superfıcie livre local. Este resultado e fısicamente razoavel. Entretanto,nao e preciso. Senao vejamos. Sobre a superfıcie livre instantanea a pressao e

p = −ρ∂φ

∂t− ρgz = ρgζem0z − ρgz = ρgζem0ζ − ρgζ

Aproximando a exponencial por em0ζ ≈ 1 + m0ζ a pressao na superfıcie livre torna-se

p = ρgζem0ζ − ρgζ = ρgζ(1 + m0ζ)− ρgζ = ρgm0ζ2

isto e, a pressao na superfıcie livre nao e nula. Este e um erro que vem da linearizacao do problemaque acarreta a transferencia da posicao para se impor a condicao de contorno. Em termos de aplicacaopratica e conveniente assumir uma distribuicao de pressao dinamica linear entre a superfıcie z = 0e a superfıcie livre, em que na superfıcie z = 0 assume-se pdin = ρgζ.

A figura 1.10 mostra o diagrama de pressoes conforme discutido acima.

SH Sphaier 19

Figura 1.10: Distribuicao da pressao em ondas, com a profundidade

1.6 Aguas Profundas

Convem salientar que se tivessemos considerado o caso de aguas profundas, z →∞, terıamos

G(z) = a exp(m0z)

com istoH

′′

H= −g

G′(z = 0)

G(z = 0)= −gm0

logo a equacao da dispersao e escrita na forma

σ2 = gm0

O potencial de velocidades resultante seria

φ = iζ0σ

m0exp(m0z) exp[i(σt−m0x)]

Nas expressoes das velocidades, aceleracoes e movimentos orbitais teremos

limd→∞

cosh[m0(z + d)]sinh(m0d)

= exp(m0z)

limd→∞

sinh[m0(z + d)]sinh(m0d)

= exp(m0z)

Neste caso as orbitas das partıculas serao circulares

(x− x0)2 + (z − z0)2 = ζ20e2m0z0

A celeridade da onda que e dada por

c =L

T=

σ

m0=√

g

m0tanh(m0d)

tem como limite para aguas profundas

c =√

g

m0

Convenciona-se que o limite de aguas profundas se da quando L/d = 2.

20 SH Sphaier

1.7 Aguas Rasas

Outro limite importante e o de aguas rasas, isto e, quando m0d << 1. Neste caso temos como limitespara o seno hiperbolico e o cosseno hiperbolico respectivamente o argumento da funcao e o valor 1:

limm0d→ε

sinh(m0d) = m0d

limm0d→ε

sinh[m0(z + d)] = m0(z + d)

limm0d→ε

cosh[m0(z + d)] = 1

Deve-se notar que 0 ≤ z ≤ d.Neste caso limite as velocidades, aceleracoes e a celeridade assumem entao as expressoes

vx =ζ0σ

m0dcos(σt−m0x)

vz = −ζ0σ(1 +z

d) sin(σt−m0x)

ax = −ζ0σ2

m0dsin(σt−m0x)

az = −ζ0σ2(1 +

z

d) cos(σt−m0x)

ec =

√gd =

σ

m0

Observemos que esta equacao impoe uma celeridade constante para qualquer perıodo de onda,perdendo a caracterıstica de dispersividade, embora a equacao derive da equacao de dispersao.Lembrando que

ζ = ζ0 cos(σt−m0x)

obtemos entao

vx =σ

m0dζ =

√gd

ζ

d= c

ζ

d=√

g

dζ

Destes resultados podemos verificar que no caso de aguas rasas a velocidade na direcao x e constantecom a profundidade, e bem maior que a componente da velocidade na direcao z, podendo ate alcancarvalores muito grandes. A celeridade da onda, por outro lado e fixa independentemente do perıododa onda. No caso das orbitas das partıculas temos

(x− x0)2

A2+

(z − z0)2

B2= 1

ondeA =

ζ0

m0d

B = ζ0(1 +z

d)

Convenciona-se aceitar que o limite de aguas rasas se da quando L/d = 20.

SH Sphaier 21

1.8 Outras Propriedades

1.8.1 Fluxo de Massa

Anteriormente determinamos as orbitas das partıculas fluidas, concluindo que em aguas profundassao circulares. Para tal aproximamos as velocidades instantaneas pela pela velocidades das partıculasna posicao de repouso das partıculas. Entretanto se considerarmos que as partıculas quando seencontram acima da posicao de repouso tem maiores velocidades que quando passam pela posicaoinferior, podemos concluir que em media, ao longo de um perıodo, elas avancam na direcao depropagacao da onda.

O fluxo de massa medio e igual a:

F =1L

∫ x+L

x

∫ ζ

−dρvxdzdx

onde:

vx =g m0

σ

ζ cosh[m0(d + z)]cosh[m0(d)]

A avaliacao do fluxo e feita integrando-se inicialmente na vertical:

F =ρ

L

∫ x+L

x

g ∗ ζ(x, t) sinh[m0(d + ζ(x, t))]σcosh(m0d)

dx

Para a avaliacao da integral em x expandimos as exponenciais em torno de m0d e −m0d,

F =ρ

L

∫ x+L

x

g ∗ ζ(x, t)2σcosh(m0d)

[em0d(1 + m0ζ(x, t))− e−m0d(1−m0ζ(x, t))]dx

A integral acima tem como resultado:

F =ζ20ρgm0

2σ

Assim resulta que ha um fluxo medio de massa, que e um efeito de segunda ordem.

1.8.2 Energia de Onda

Para avaliar a energia que uma onda carrega consigo, consideremos uma fatia vertical da onda (verfigura 1.11). A energia potencial na fatia e dada por:

d (Ep) = ρgzmdx(d + ζ)

onde dx e a largura da fatia e zm e a altura media da fatia

zm =d + ζ

2

22 SH Sphaier

Figura 1.11: Energia potencial de uma fatia vertical em uma onda

A energia potencial de uma onda por comprimento de onda e dada por:

Ep =1L

∫ x+L

xd(Ep) =

1L

∫ x+L

xρg

(d + ζ)2

2dx =

ρgd2

2+

ρgH2

16onde H = 2a e a altura da onda.

A contribuicao media de energia devida unicamente ao movimento ondulatorio e entao

Ep =ρgH2

16A energia cinetica dEc de um elemento (de uma partıcula elementar) e dada por:

dEc =dm

2| ∇φ |2= ρ

dx dz

2(v2x + v2

z

)onde dm = ρdxdz.

Integrando ao longo da altura e ao longo do comprimento, e entao dividindo pelo comprimentode onda L, temos a energia cinetica media por comprimento de onda

Ec =1L

∫ x+L

x

∫ 0

−d

ρ

2(v2x + v2

z

)dxdz

que apos substituicao de vx e vy e executados os calculos, nos fornece:

Ec =ρgH2

16

Com estes resultados temos entao que a energia total por comprimento de onda e

Et = Ep + Ec =ρgH2

8

SH Sphaier 23

1.8.3 Fluxo de Energia e Velocidade de Grupo

A forca exercida sobre um elemento dz de uma parede vertical fluida pode ser escrita como:

dF = pdz = (pdin + ρgz)dz

O fluxo de energia atraves do elemento dz da ”parede” e dado por

dG = vxpdz

Integrando o fluxo elementar de energia do fundo ate a superfıcie livre obtemos o fluxo totalatraves da respectiva ”parede”:

G =∫ ζ

−dvxpdz

O fluxo medio temporal e entao dado por:

G =1T

∫ t+T

t

∫ ζ

−dvxpdtdz =

ρgσ

4m0

(H

2

)2(2m0d + sinh(2m0d)sinh(2m0d)

)= Etcn

onde

n =12

(1 +

2m0d

sinh(2m0d)

)A partir desta expressao podemos dizer que a energia total da onda por unidade de comprimento

de onda propaga-se com uma velocidade cg, velocidade de grupo, diferente da celeridade e dada por

cg = cn

e

G = Etcn =ρgH2

8cg

Consideremos agora duas ondas progressivas propagando-se na mesma direcao com mesmas al-turas H e perıodos levemente diferentes, T1 e T2. O perfil resultante desta superposicao e dadopor:

ζ = ζ1 + ζ2 =H

2{cos(σ1t−m0,1x) + cos(σ2t−m0,2x)} (1.35)

onde

σ1 = σ − 4σ

2

σ2 = σ +4σ

2

m0,1 = m0 −4m0

2

m0,2 = m0 +4m0

2

24 SH Sphaier

Desenvolvendo a expressao (1.35) acima temos:

ζ = H cos[12{(σ1 + σ2)t− (m0,1 + m0,2)x}

]cos[12{(σ1 − σ2)t− (m0,1 −m0,2)x}

]

= H cos (σt−m0x) cos[4m0

2

(4σ

4m0t− x

)]Este resultado mostra que o perfil da onda resultante e equivalente ao de uma onda frequencia

σ e altura modulada, variando com o tempo de acordo com

H = H cos[12(4σt−4m0x)]

Isto e, a superposicao das ondas apresenta um perfil envoltorio H(t, x) que se propaga com velocidade

cenvoltoria =4σ

4m0

No limite quanto 4σ e 4m0 vao a zero obtemos

lim4σ→0

cenvoltoria =dσ

dm0

= cg =c

2

(1 +

2m0d

sinh(2m0d)

)A figura 1.12 mostra a propagacao de um grupo de ondas. Um perfil envoltorio viaja com a

velocidade de grupo cg menor que a celeridade das ondas (ver figura 1.5) que se propagam dentrodesta envoltoria, com amplitude variavel dada pelo perfil da envoltoria. Este fenomeno e conhecidocomo batimento.

Figura 1.12: Grupo de ondas

Retornemos agora ao problema da propagacao da onda monocromatica apresentado na secaoanterior. A onda monocromatica pode ser vista como uma onda cujo perfil da envoltoria temcomprimento infinito e por conseguinte amplitude ”modulada” constante. O perfil ”envoltorio”

SH Sphaier 25

propaga-se com velocidade cg e a onda com velocidade c. Assim a energia da onda transmite-se coma velocidade de grupo cg. Observando as figuras 1.3 e 1.4, podemos dizer que toda a energia queentra pela secao A tem que sair pela secao B, entao:

cgH2 = cg,∞H2

∞

onde os subscritos ∞ representam as propriedades em aguas profundas. Esta expressao mostra que,para mantermos um fluxo constante de energia, a altura da onda tem que variar a medida que ocomprimento, a celeridade e a velocidade de grupo variam com a profundidade. Assim, obtemos:(

H∞H

)2

=cg

cg,∞=(

tanh2πd

L

)(1 +

2m0d

sinh(2m0d)

)A figura (1.13) mostra a variacao da relacao de H/H∞ em funcao de d/L∞).

Figura 1.13: H/H∞ em funcao de d/L∞

1.8.4 Onda Estacionaria

A superposicao de duas ondas progressivas de mesmas alturas propagando-se em direcoes opostasnos fornece o seguinte resultado para o perfil resultante:

ζ = ζ1 + ζ2 =H

2{cos(σt−m0x) + cos(σt + m0x)} = H cos(σt) cos(m0x) (1.36)

26 SH Sphaier

O potencial de velocidades associado a este perfil e dado por

φ = −gζ0

σ

cosh(m0(z + d))cosh(m0d)

cos(m0x) sin(σt)

Observamos que este tambem satisfaz o problema de valor de contorno resolvido para ondas pro-gressivas. Observamos tambem, de (1.36), que os zeros do perfil de onda nao ”viajam”, Os camposde velocidades e as orbitas das partıculas sao dadas por:

vx =∂φ

∂x=

ζ0σ cosh(m0(z + d))sinh(m0d)

sin(m0x) sin(σt)

vz = −∂φ

∂z=

ζ0σ sinh(m0(z + d))sinh(m0d)

cos(m0x) sin(σt)

x− x0 = −ζ0 cosh(m0(z0 + d))sinh(m0d)

cos(m0x0) sin(σt)

z − z0 =ζ0 sinh(m0(z0 + d))

sinh(m0d)sin(m0x0) sin(σt)

Observemos que as partıculas fluidas deslocam-se ao longo de uma reta, e nao mais ao longo deuma elipse como no caso de uma onda progressiva. Da mesma forma que duas ondas progressivassuperpostas geraram uma onda estacionaria, duas ondas estacionarias superpostas geram um ondaprogressiva.

1.9 Resumo das Principais Expressoes

φ = AF (z)ei(σt−m0x)

ζ = <−1g

∂φ

∂t|z=0 = <−1

gAiσF (0)ei(σt−m0x)

= <−1gAiσF (0)ei(σt−m0x)

Θ = σt−m0x

ζ = ζ0 cos(Θ)

A = igζ0

σF (0)

φ = igζ0

σF (0)F (z)eiΘ

vx = <∂φ

∂x= <ig

ζ0

σF (0)F (z)(−im0)eiΘ

=m0g

σF (0)F (z)ζ0 cos(Θ)

vz = <∂φ

∂z= <ig

ζ0

σF (0)F

′(z)eiΘ

SH Sphaier 27

=g

σF (0)F

′(z)ζ0(− sin(Θ))

ax =∂vx

∂t=

m0g

σF (0)F (z)ζ0(−σ) sin(Θ)

az =∂vz

∂t=

g

σF (0)F

′(z)ζ0(−σ cos(Θ))

pz = −ρ∂φ

∂t= −ρ

∂φ

∂t|z=0F (z) = ρgζF (z)

1.9.1 Aguas Intermediarias

F (z) = cosh[m0(z + d)]

F (0) = cosh(m0d)

σ2 = m0g tanh(m0d)

F′(z) = m0 sinh[m0(z + d)]

1.9.2 Aguas Profundas

F (z) = em0z

F (0) = 1

σ2 = m0g

F′(z) = m0e

m0z

1.9.3 Aguas Rasas

F (z) = limm0d→ε

cosh[m0(z + d)] = 1

F (0) → 1

tanh(m0d) ≈ m0d

σ2 = m20gd

F′(z) = lim

m0d→εm0 sinh[m0(z + d)] ≈ m2

0d

28 SH Sphaier

1.10 Batedor de Ondas do Tipo Pistao

No capıtulo anterior estudamos o problema de ondas de gravidade propagando-se em um domınioinfinito −∞ < x < ∞. Vamos agora estudar ondas geradas por um pistao horizontal. Com omovimento do pistao sao induzidas velocidades as partıculas fluidas, e consequentemente sao geradasondas que se radiam a partir do corpo. Nosso objetivo nesta secao nao e somente de estudar oproblema do batedor de ondas, mas muito mais de introduzir os conceitos de massa adicional eamortecimento inerentes ao problema de radiacao.

O pistao horizontal esta dotado de um movimento harmonico com amplitude s0 e frequencia σ

s = s0 sinσt

sobre o qual aplicamos uma forca horizontal F para vencer a reacao fluida Fh(ver figura refFig-ICF-02).

Figura 1.14: Gerador de Ondas em Forma de Pistao

Utilizando a lei de Newton podemos descrever o movimento do corpo por

ms = F + Fh

onde Fh e a reacao hidrodinamica. Assim

F = ms− Fh

Nosso objetivo e determinar a reacao hidrodinamica sobre o batedor, o que nos permitira determinara forca a ser aplicada ao batedor. Para determinar a reacao hidrodinamica temos que determinar apressao atraves da Integral de Euler, o que nos exige determinar o potencial de velocidades. Enfim,temos que resolver o problema de valor de contorno geral da hidrodinamica aplicado ao caso presente.Trata-se de um escoamento bidimensional em uma regiao com profundidade finita em que os efeitosviscosos sao desprezıveis, o fluido e incompressıvel, o escoamento pode ser considerado irrotacionale as forcas de corpo derivam de um potencial. Do ponto de vista do fluido o pistao pode ser vistocomo uma parede vertical dotada de um movimento harmonico. Ondas sao formadas nesta regiao

SH Sphaier 29

e transmitem-se para o fluido. A este fenomeno damos o nome de radiacao, uma vez que ondasse radiam do corpo para o infinito. Temos neste caso um domınio semi infinito em x. Definimosum sistema de coordenadas Oxz colocado junto a superfıcie do pistao e sobre a superfıcie livre econsideramos que o movimento do pistao e de pequenas amplitudes. De forma semelhante ao quefizemos no problema anterior as condicoes de contorno na superfıcie livre sao linearizadas e aplicadasna posicao media. Junto ao pistao faremos uma aproximacao semelhante aplicando a condicao decontorno na posicao media do pistao.

Podemos escrever o seguinte problema de valor de contorno para determinacao do potencial develocidades φ, que rege o movimento do fluido.

∇2φ = 0 (1.37)

em todo domınio fluido

∂2φ

∂t2+ g

∂φ

∂z= 0 (1.38)

na superfıcie z = 0

∂φ

∂z= 0 (1.39)

em z = −d

<(

∂φ

∂x

)= s0σ cos σt (1.40)

em x = 0.Alem destas condicoes devem ser impostas condicoes de radiacao para lim x → ∞. Neste caso,

esta condicao estabelece que longe do corpo uma unica onda progressiva propague-se carregando aenergia cedida ao fluido pelo batedor a cada ciclo.

Notemos que a quarta condicao, valida na parede do corpo esta sendo aproximada, a medida quevamos aplica-la na posicao media do corpo.

1.10.1 Obtencao do Potencial de Velocidades Solucao do Problema

Para a obtencao da solucao do problema vamos aplicar o metodo de separacao de variaveis, de formasimilar ao que fizemos anteriormente.

Assim, aplicando-se o metodo de separacao de variaveis a equacao de Laplace, dada por

∂2φ

∂x2+

∂2φ

∂z2= 0

de forma tal queφ(x, z, t) = F (x)G(z)H(t)

obtemos:F

′′GH + FG

′′H = 0

ou entaoF

′′

F= −G

′′

G

30 SH Sphaier

Como observado anteriormente, o primeiro membro e uma funcao exclusiva de x e o segundo membroe funcao somente de z, a igualdade so e possıvel se:

F′′

F= −G

′′

G= ±m2

k (1.41)

onde mk e uma constante.A partir desta expressao, podemos mais uma vez repetir o quadro de solucoes de acordo com o

valor de m2k, se positivo ou negativo.

Se equacao em x equacao em z solucao em x solucao em z

−m2k F

′′+ m2

kF = 0 G′′ −m2

kG = 0 cos mkx ; sin mkx exp(±mkz)+m2

k F′′ −m2

kF = 0 G′′

+ m2kG = 0 exp(±mkx) cos mkz ; sin mkz

ou, utilizando a forma complexa

Se equacao em x equacao em z solucao em x solucao em z

−m2k F

′′+ m2

kF = 0 G′′ −m2

kG = 0 exp(±imkx) exp(±mkz)+m2

k F′′ −m2

kF = 0 G′′

+ m2kG = 0 exp(±mkx) exp(±imkz)

em que i e o unitario imaginario, i =√−1

A escolha do sinal associado a m2k e por conseguinte da forma das solucoes em x e z dependera

das condicoes de contorno.Lembrando que no presente caso, nao temos mais um domınio infinito para a variavel x, uma

vez que a parede do batedor limita o domınio fluido, temos um caso a mais para analisar alem doque vimos anteriormente. Alem disto a profundidade e finita, isto e, o domınio vertical, o domınioda variavel z e finito.

Admitindo que o batedor de ondas oscila harmonicamente com frequencia σ, uma possıvel solucaoe dada por:

φ = a0cosh(m0(z + d))

cosh(m0d)exp[i(σt−m0x)] (1.42)

= a0Z0(m0z)F0(m0x)eiσt

Alem desta solucao, que equivale ao caso:

F′′

+ m20F = 0

G′′ −m2

0G = 0

temos que incorporar as solucoes que decrescem com x indo para infinito, F = exp(−mjx), isto esolucoes para o par

F′′ −m2

jF = 0

G′′

+ m2jG = 0

SH Sphaier 31

que, associado as condicoes de contorno no fundo definem

Gj(mjz) = cos[mj(z + d)]

que substituıda na condicao de superfıcie livre, equacao 1.38, geram

Fj(x)Gj(z = 0)∂2H(t)

∂t2+ gFj(x)H(t)

∂Gj(z)∂z

|z=0 = 0

−σ2Gj(z = 0) + g∂Gj(z)

∂z|z=0 = 0

σ2 = −gmk tan(mkd)

Reunindo essas duas solucoes, a forma geral da solucao da equacao de Laplace bidimensional emum domınio semi-infinito, em coordenadas cartesianas satisfazendo as condicoes (1.38), (1.39) e ascondicoes de radiacao e

φ =∞∑

j=0

ajGj(mjz)Fj(mjx)eiσt

onde, para j = 0 temos uma onda progressiva tal que:

G0(m0z) = cosh[m0(z + d)]

F0(m0x) = e−im0x

e para j 6= 0 temos os modos evanescentes, com:

Gj(mjz) = cos[mj(z + d)]

Fj(mjx) = e−mjx

aj sao coeficientes a serem determinados e m0 e o numero de onda solucao da equacao de dispersao

σ2 = gm0 tanh(m0d)

e mj sao as solucoes da equacaoσ2 = −gmj tan(mjd)

Observemos que conhecemos a frequencia da oscilacao do batedor e a profundidade local. Comestes dois parametros podemos determinar o numero de onda m0, autovalor da solucao representandoa onda progressiva, e mj os autovalores dos modos evanescentes. Temos ainda a determinar oscoeficientes aj e tambem nao fizemos uso da condicao de contorno na superfıcie do pistao.

A obtencao dos coeficientes aj e conseguida aplicando-se a equacao (1.40)

∂φ

∂x= {−im0a0G0(m0z)F0(0) +

∞∑j=1

−mjajGj(mjz)Fj(0)}eiσt = σs0eiσt (1.43)

ou

−im0a0G0(m0z)−∞∑

j=1

mjajGj(mjz) = σs0 (1.44)

32 SH Sphaier

Utilizaremos a seguir a propriedade de ortogonalidade das funcoes Gj no intervalo −d < z < 0,estabelecendo que ∫ 0

−dGiGjdz =

{0 para i 6= jNj para i = j

onde

Nj =∫ 0

−dG2

j (mjz)dz =

sinh(2m0d) + 2m0d

4m0para j = 0

sin(2mjd) + 2mjd4mj

para j 6= 0

Assim multiplicando-se a equacao (1.44) pela funcao Gi e integrando a equacao no intervalo −d <z < 0 temos

−im0a0

∫ 0

−dG0Gidz −

∞∑j=1

mjaj

∫ 0

−dGjGidz = σs0

∫ 0

−dGidz (1.45)

com a propriedade de ortogonalidade das funcoes Gj , descrita acima, resulta entao para i = 0

−im0a0N0 = s0σ

∫ 0

−dG0(m0z)dz (1.46)

e para i 6= 0

−miaiNi = s0σ

∫ 0

−dGi(miz)dz (1.47)

oua0 = iA0s0σ

para i = 0 e para i 6= 0ai = −Ais0σ

onde

Ai =∫ 0

−dGj(mjz)dz

1mjNj

(1.48)

Podemos agora calcular a pressao hidrodinamica atuante sobre o corpo a partir da Integral de Eulerlinearizada

p = −ρ∂φ

∂t(x = 0) = −iσρ

∞∑j=0

ajGj(mjz)eiσt = s0σ2ρ

A0G0 + i∞∑

j=1

AjGj

eiσt

e entao a forca hidrodinamica

Fx =∫ 0

−dpnxdz =

∫ 0

−d−pdz =

s0σ2ρ

−A0

∫ 0

−dG0dz − i

∞∑j=1

Aj

∫ 0

−dGjdz

eiσt

porem, como ∫ 0

−dGjdz = mjAjNj

SH Sphaier 33

temos

Fx = s0σ2ρ

−A20m0N0 − i

∞∑j=1

A2jmjNj

eiσt

e entao

Fh = <(Fx) = −ρσA20m0N0[s0σ cos(σt)] + ρ

∞∑j=1

A2jmjNj [s0σ

2 sin(σt)]

Os termos entre colchetes sao a velocidade e a aceleracao do corpo

s = s0σ cos(σt)

s = −s0σ2 sin(σt)

Definindo

m11 = ρ∞∑

j=1

A2jmjNj

n11 = ρσA20m0N0

Assim a forca e entao dada porFh = −m11s− n11s

Este resultado mostra que a forca hidrodinamica atuante sobre o pistao e composta de dois termos,um proporcional a aceleracao e o outro proporcional a velocidade do corpo. De forma semelhante aoque vimos anteriormente, o primeiro termo e a massa adicional que esta ligada aos modos evanes-centes, que nao contribuem na propagacao de energia. O outro termo, que nao apareceu anterior-mente, quando nao consideramos a presenca de superfıcie livre, esta relacionado ao modo progressivoque, ao contrario dos modos evanescentes, transmite energia. Por ser entao um termo dissipativo,damos o nome de coeficiente de amortecimento.

Lembrando agora que para grandes valores de x os modos evanescentes desaparecem, o perfil daonda a grandes distancias sera dado unicamente pela onda progressiva, cujo potencial e

φ = a0G0(m0z)F0(m0x)eiσt = iA0s0σG0(m0z)F0(m0x)eiσt

O perfil da onda nesta regiao e dado por

ζ = −1g∂φ/∂t =

A0

gs0σ

2G0(m0z)ei(σt−m0x)

Logo a amplitude de onda ζ0 e dada por

ζ0 =A0

gs0σ

2G0(0)

e obtemos para o coeficiente de amortecimento

n11 =ρ g N0

σ tanh(m0d)

(ζ0

s0

)2

34 SH Sphaier

Deve ser notado que a amplitude da onda varia linearmente com a amplitude do movimento docorpo, e e funcao da frequencia σ.

Embora tenhamos trabalhado aqui com um caso de um corpo que se estende desde a superfıcielivre ate o fundo, que tem uma forma reta e so pode executar movimento horizontal o resultadoobtido pode ser generalizado.

Todo corpo oscilando junto a superfıcie livre gera ondas que se radiam do corpo para omeio fluido e, devido a estas ondas, sofre uma forca de reacao hidrodinamica compostade dois termos. Um proporcional a aceleracao relacionado com os modos evanescentese outro proporcional a velocidade relacionado com a energia que se propaga com a ondaprogressiva.

1.10.2 Batedor de Ondas Tipo Flap e Outros Tipos

Acima consideramos que o Batedor atuava como um pistao. Vejamos agora que alteracoes devemser introduzidas no procedimento acima se, ao inves de um batedor que se desloca igualmente emtoda sua vertical, tenhamos um batedor que atua com distintas velocidades ao longo da vertical.

Consideremos por exemplo que o batedor e do tipo flap em que na linha d’agua, em z = 0, eletem velocidade

s(z = 0, t) = s0σ cos(σt) (1.49)

e no fundos(z = −d, t) = 0 (1.50)

Isto e, a velocidade horizontal do batedor varia linearmente com z:

s(z, t) = s0(d + z

d)σ cos(σt) (1.51)

Assim, aplicando-se uma aproximacao linear para a condicao de contorno de igualdade da compo-nente da velocidade do corpo na direcao da normal a superfıcie corpo e da componente da velocidadedas partıculas fluidas na direcao da mesma normal a superfıcie do corpo, teremos que, as velocidadeshorizontais das partıculas fluidas em x = 0 ao longo da vertical, deverao ser iguais as velocidadesinstantaneas do batedor na direcao horizontal, porem aplicadas na posicao media do batedor, x = 0:

∂φ(x = 0, z, t)∂x

= s0σ (d + z

d) exp iσt (1.52)

Com isto havera alteracoes em relacao ao que vimos para o caso anterior, refletidas nas equacoes(1.45), (1.46) e (1.47) de tal maneira que, para o presente problema teremos:

−im0a0

∫ 0

−dG0Gidz −

∞∑j=1

mjaj

∫ 0

−dGjGidz = σs0

∫ 0

−d(d + z

d)Gidz (1.53)

Cujo resultado e, termpo para i = 0

−im0a0N0 = s0σ

∫ 0

−d(d + z

d)G0(m0z)dz (1.54)

SH Sphaier 35

e para i 6= 0

−miaiNi = s0σ

∫ 0

−d(d + z

d)Gi(miz)dz (1.55)

oua0 = iA0s0σ

para i = 0 e para i 6= 0ai = −Ais0σ

onde

Ai =1

mjNj

∫ 0

−d(d + z

d)Gj(mjz)dz (1.56)

Com isto podemos generalizar estes resultados dizendo que, se o batedor oscila em torno de umavertical com pequenas amplitudes

s(z, t) = s0(z)σ cos(σt) (1.57)

as alteracoes acima se refletem na determinacao dos coeficientes Ai:

Ai =1

mjNj

∫ 0

−ds0(z)Gj(mjz)dz (1.58)

1.11 Hipotese de Froude-Krylov para o Calculo de Forca de Onda

Vimos acima o problema de radiacao. Um corpo oscila junto a superfıcie livre gera ondas que sepropagam carregando energia. Determinamos a solucao para o caso de um batedor de ondas comoexemplo basico. Originalmente nao existiam ondas no meio fluido. Vamos agora estudar o problemada acao de ondas em um corpo fixo junto a superfıcie livre.

Consideremos um retangulo flutuando na superfıcie livre e determinemos a forca de onda atuantesobre ele segundo a hipotese de Froude-Krylov, isto e, a forca devida a onda incidente. Segundoa hipotese de Froude-Krylov, as forcas hidrodinamicas atuando em um corpo flutuante devem-seunicamente a acao da onda incidente. Despreza-se o efeito da difracao das ondas incidentes.

A forca hidrodinamica e calculada integrando-se as pressoes devidas as ondas incidentesatuando sobre a superfıcie imaginaria dada pela posicao instantanea a ser ocupada pelocorpo.

A pressao e dada pela Integral de Euler linearizada

p = −ρ∂φ

∂t− ρgz

e a forca e entao

F = Fd + Fe = −ρ

∫S0

(∂φ

∂t+ gz

)nds

onde Fd representa a contribuicao dinamica

Fd = −ρ

∫S0

(∂φ

∂t

)nds

36 SH Sphaier

e Fe representa a contribuicao estatica

Fe = −ρ

∫S0

(gz)nds

Admitindo que o potencial de velocidades deve-se unicamente a onda incidente, de (1.91) temos:

φ = φinc = A(z)ei(σt−m0x)

entaopd = −ρ

∂φinc

∂t= −iσρA(z)ei(σt−m0x)

= −iσρA(z)[cos(σt−m0x) + i sin(σt−m0x)]

Tomando agora a parte real da pressao obtemos a forca

Fd = σρ

∫s0

A(z) sin(σt−m0x)nds (1.59)

A figura (1.15) mostra o retangulo na superfıcie livre. O centro do retangulo encontra-se local-izado em x0, tem boca b, calado T e pontos extremos A,B, C e D. As normais voltadas para forado meio fluido estao indicadas em cada trecho do contorno. O trecho S1 e limitado pelos pontos Ae B, S2 e limitado pelos pontos B e C e S3 pelos pontos C e D.

Figura 1.15: Cancelamento em Formas Retangulares

Observando a figura (1.15) podemos reescrever a equacao (1.59) na forma

Fd = σρ

∫ D

AA(z) sin(σt−m0x)nds

SH Sphaier 37

Fd = σρ

∫ B

AA(z) sin(σt−m0x)i(−dz)

+σρ

∫ C

BA(z) sin(σt−m0x)k(dx)

+σρ

∫ D

CA(z) sin(σt−m0x)−i(dz)

Escrevendo as componentes em x e em z separadamente teremos

Fd,x = σρ

{∫ −T

0A(z) sin[σt−m0(x0 − b/2)](−)dz −

∫ 0

−TA(z) sin[σt−m0(x0 + b/2)]dz

}

Fd,x = σρ {sin[σt−m0(x0 − b/2)]− sin[σt−m0(x0 + b/2)]}∫ 0

−TA(z)dz

= σρ {sin[(σt−m0x0) + m0b/2]− sin(σt−m0x0)−m0b/2]}∫ 0

−TA(z)dz

= σρ

∫ 0

−TA(z)dz {sin(σt−m0x0) cos(m0b/2) + cos(σt−m0x0) sin(m0b/2)

− sin(σt−m0x0) cos(m0b/2) + cos(σt−m0x0) sin(m0b/2)}

e assim

Fd,x = 2σρ

∫ 0

−TA(z)dz cos(σt−m0x0) sin(m0b/2) (1.60)

Fd,z = σρ

∫ C

BA(z) sin(σt−m0x)dx = σρA(−T )

∫ x0+b/2

x0−b/2sin(σt−m0x)dx

= −σρA(−T )cos(σt−m0x)

m0|x0+b/2x0−b/2

= −σρA(−T )m0

{cos[σt−m0(x0 + b/2)]− cos[σt−m0(x0 − b/2)]}

= −σρA(−T )m0

{cos[(σt−m0x0)−m0b/2]− cos[(σt−m0x0) + m0b/2]}

= −σρA(−T )m0

{cos(σt−m0x0) cos(m0b/2) + sin(σt−m0x0) sin(m0b/2)

− cos(σt−m0x0) cos(m0b/2) + sin(σt−m0x0) sin(m0b/2)}

e finalmente

Fd,z = 2σρA(−T )

m0sin(σt−m0x0) sin(m0b/2) (1.61)

Comom0b

2=

2πb

2L=

πb

L

38 SH Sphaier

a relacao entre a boca do retangulo e o comprimento da onda podera, por um efeito de formaacarretar que a amplitude da forca seja nula. Assim as forcas horizontal e vertical terao amplitudesnulas se

b

L= nπ n = 1, 2, ....

Podemos tambem observar que a forca horizontal e regida pelo cosseno de σt enquanto a forcavertical pelo seno. Vemos que a forca horizontal passara por um maximo sempre que a amplitudepassar por um maximo em x0, enquanto a forca vertical e maxima quando temos um no em x0.

1.11.1 Cancelamento de Forcas de Froude-Krylov para Ondas Longas em Estru-turas Semi-submersıveis

Vimos que e possıvel cancelar-se as forcas e ou os momentos hidrodinamicos em estruturas flutuantesdo tipo retangular. Outro tipo de cancelamento se da para estruturas em que alguns membros afloramda superfıcie livre e outros tem suas extremidades localizadas totalmente no meio fluido, quando asondas sao longas.

A figura 1.16 apresenta o esquema de uma estrutura semi-submersıvel em um plano. As colunasestao indicadas com C1 e C2 e o pontoon com PON. O fundo da estrutura esta na cota z2. A partesuperior do pontoon esta na cota z1. As bases das colunas tem comprimento l1 e o comprimento dopontoon tem comprimento l2.

SH Sphaier 39

Figura 1.16: Cancelamento em Estruturas Semisubmersıveis

A pressao e composta por duas parcelas, estatica e dinamica. A essas soma-se a pressao at-mosferica, que normalmente e assumida ser igual a zero.

p = patm + pest + pdin

A pressao estatica e dada por:p = ρgz

e com ela obtem-se que a forca de empuxo e o peso do volume imerso. Nas colunas a forca de empuxo

40 SH Sphaier

e:E =

∫S

pestndS =∫

Sρgz2(2l1 + l2)k−

∫S

ρgz1(l2)k

A pressao na parte superior do pontoon e menor que na parte inferior. Assim o pontoon sofre umaforca para cima. A pressao dinamica e dada por:

pdin = −ρ∂φ(x, z, t)

∂t= −ρ

∂φ(x, 0, t)∂t

em0z

e como o perfil da onda e dado por:

ζ = −1g

∂φ(x, 0, t)∂t

= ζ0 cos(σt−m0x)

entao∂φ(x, 0, t)

∂t= −gζ0 cos(σt−m0x)

epdin = ρgζ0 cos(σt−m0x)em0z

Na situacao em que a crista de uma onda londa passa pelo centro geometrico da plataforma,toda a plataforma estara sujeita a pressoes como se estive toda ela em situacao de crista. A situacaoem que a crista passa pelo centro da estrutura localizado na posicao x0, corresponde a

Θ = σt0 −m0x0 = σt0 −2π

Lx0 = n · 2 · π

onde n e um inteiro. Se a onda e longa em relacao ao tamanho da estrutura, e a crista se localizano centro da estrutura, entao

l1 + l2 + l1L

<< 1

Θ = σt−m0x == σt−m0x0 − 2πx− x0

L≈ 1− 2π

x− x0

L

em toda a regiao da estrutura, e

pdin ≈ ρgζ0em0z(1− 2π

x− x0

L)

Com a pressao dinamica determina-se agora as forcas nas colunas e no pontoon

fC1 =∫

l1

pdin(z2)dx ≈ ρgζ0em0z2 l1

fC2 =∫

l1

pdin(z2)dx ≈= ρgζ0em0z2 l1

fPON =∫

l2

pdin(z2)dx−∫

l2

pdin(z1)dx ≈ l2ρgζ0(em0z2 − em0z1)

Como z1 e z2 tem valores negativos e o modulo de z2 e maior que o de z1 entao a forca dinamica nopontoon aponta para baixo.

SH Sphaier 41

Este calculo pode ser ainda mais aprimorado considerando-se a influencia do pontoon comoelemento de perturbacao do movimento vertical das partıculas fluidas. Para o caso de um pontoonse secao circular, poderıamos aplicar a formulacao de Morison associada a aceleracao vertical, comCm = 1 + Cad = 1 + 1, que debaixo da crista e negativa, e desprezando-se os efeitos viscosos.

Para efeito de projeto, em que se queira minimizar o movimento vertical, pode-se determinar maisprecisamente as cotas e as dimensoes da estrutura resolvendo-se as integrais das pressoes exatamente,e introduzindo-se o efeito da massa adicional local nos pontoons. Inicialmente com o volume, a areade linha dagua e o formato da estrutura determina-se a massa adicional e a frequencia natural.Tenta-se fazer com que este o perıodo natural nao venha a estar contido na faixa de frequenciade excitacao do mar. A seguir determina-se o comprimento da onda cujo perıodo coincida com operıodo natural da estrutura. Para este comprimento ajusta-se as dimensoes principais. Caso aspremissas impostas a volume, area de linha da agua e formato nao sejam satisfeitas, faz-se um ajustena geometria e retorna-se ao inıcio do problema.

1.12 Ondas de Gravidade: Segunda Ordem

O problema a ser tratado neste capıtulo e o de propagacao de ondas de gravidade e seus efeitos,quando encontram um corpo de grandes dimensoes. Trata-se da determinacao do potencial develocidades, resolvendo-se a equacao de Laplace em um domınio em que as fronteiras superfıcie livree superfıcie do corpo sao moveis e desconhecidas. Alem desta dificuldade, as condicoes cinematicae dinamica na superfıcie livre contem termos nao lineares, bem como a condicao cinematica nasuperfıcie do corpo.

Uma forma classica de se abordar o problema, em hidrodinamica de corpos flutuantes, da-seatraves da linearizacao do problema. Para a onda incidente recai-se na solucao de Airy, enquantopara o problema de movimentos do corpo flutuante tem-se o capıtulo da hidrodinamica conhecidocomo Comportamento de Sistemas Flutuantes no Mar. Com o avanco do conhecimento sofre asinfluencias de segunda ordem no problema e a necessidade de considera-las, este antigo capıtulopassou a ser chamado de Teoria de Primeira Ordem do Comportamento de Corpos Flutuantes.

Neste capıtulo concentramo-nos nos efeitos de segunda ordem. Tratamos o potencial de veloci-dades, a superfıcie livre, os movimentos do corpo flutuante como a soma de duas parcelas, quechamamos uma de primeira ordem e a outra de segunda ordem. Podemos dizer que as grandezasde primeira ordem tem ”intensidades da mesma ordem”que a relacao entre a amplitude da ondaincidente dividida pelo comprimento da mesma onda. As grandezas de segunda ordem tem ”in-tensidades da ordem”do quadrado da relacao amplitude de onda - comprimento de onda. Comoveremos o problema para obtencao das propriedades de primeira ordem, correspondente ao prob-lema de primeira ordem, e identico ao problema linearizado. No presente capıtulo nos concentramosno problema de segunda ordem.

1.12.1 O Problema de Valor de Contorno

Para equacionar o problema utilizaremos um sistema de coordenadas Oxyz, com origem na superfıcielivre em repouso, eixo Oz apontando para cima. O problema acima exposto e representado peloproblema de valor de contorno para a funcao φ, cujo gradiente representa o campo de velocidades:

1. em todo o domınio fluido deve ser satisfeita a equacao de Laplace, uma vez que supomos que

42 SH Sphaier

o fluido e incompressıvel e o escoamento irrotacional

∇2φ(x, y, z, t) = 0 (1.62)

2. na superfıcie livre deveremos satisfazer a condicao cinematica imposta pelo movimento afimdas partıculas fluidas e a forma da superfıcie livre:

D

DtFsl(x, y, z, t) =

D

Dt(z − ζ(x, y, t)) = 0 (1.63)

ondeFsl(x, y, z, t) = z − ζ(x, y, t) = 0 (1.64)

e a equacao que define a superfıcie livre. Assim, a condicao cinematica na superfıcie livre edada por:

∂φ(x, y, z = ζ, t)∂z

− ∂ζ(x, y, t)∂t

− ∂φ(x, y, z = ζ, t)∂x

∂ζ(x, y, t)∂x

− ∂φ(x, y, z = ζ, t)∂y

∂ζ(x, y, t)∂y

= 0

(1.65)

3. na superfıcie livre deveremos satisfazer a condicao dinamica imposta pela pressao atmosferica,uma vez que supomos que o fluido e ideal e incompressıvel, o escoamento irrotacional e asforcas de corpo derivam de um potencial; entao pela Integral da Equacao de Euler

patm = p(x, y, z = ζ, t) = −ρ

[∂φ(x, y, z = ζ, t)

∂t+

12| ∇φ(x, y, z = ζ, t) |2 +gz

](1.66)

4. no fundo, em z + d = 0∂φ

∂z= 0 (1.67)

5. na superfıcie do corpo deveremos satisfazer a condicao cinematica que traduz a afinidade dosmovimentos do corpo e das partıculas fluidas:

D

DtFc(x, y, z, t) = 0 (1.68)

ondeFc(x, y, z, t) = 0 (1.69)

e a equacao que define a superfıcie do corpo.

Esta condicao corresponde a igualdade entre as componentes das velocidades do fluido e docorpo na direcao da normal a superfıcie do corpo:

∂φ

∂n= vn = v · n = u · n = un (1.70)

O domınio fluido e limitado por −∞ < x < ∞, −∞ < y < ∞ e −∞ < z ≤ ζ excetuando-se ointerior do domınio limitado por Fc = 0.

SH Sphaier 43

1.12.2 Princıpios Basicos para Expansao em Ordens

Com a finalidade de se introduzir os conceitos de ordem de forma aplicada atemo-nos inicialmenteao tratamento de ondas de gravidade.

Supomos inicialmente que o potencial de velocidades, a elevacao da superfıcie livre e a pressaosao somas de potencial, elevacoes da superfıcie livre e pressoes de diferentes ordens:

φ = φ1 + φ2 + φ3 + ..... (1.71)

ζ = ζ1 + ζ2 + ζ3 + ..... (1.72)

p = p1 + p2 + p3 + ..... (1.73)

Dizemos que φ1 e ζ1 sao de ordem ε, onde ε e a ordem da perturbacao do problema inicial dosistema em equilıbrio estatico, em que as partıculas fluidas estao em repouso. Podemos raciocinarcomo se ε fosse igual a relacao H/L, onde H e a altura da onda e L e o comprimento da onda.

Assim, se ε = H/L e pequeno, os movimentos das partıculas fluidas sao pequenos e o problemapode ser linearizado. Caso ε nao seja tao pequeno nao podemos mais linearizar o problema, e temosque levar em consideracao esta influencia. A ideia da metodologia e admitir que haja uma pequenainfluencia de segunda ordem dada pelo potencial φ2, que gera um movimento de segunda ordem dasuperfıcie livre ζ2. Essas grandezas de segunda ordem sao supostas serem de ordem ε2. Alem disto,nao se objetiva resolver um problema nao linear, porem resolver um novo problema linear que corrijaa solucao abandonando os efeitos de terceira ordem ε3 e superiores. Caso os efeitos de terceira ordemsejam importantes, temos entao que ir ate a terceira ordem, abandonando efeitos de quarta ordeme superiores.

Aqui estamos estabelecendo a forma das ordens dos termos, mas em geral e possıvel obter auto-maticamente as ”intensidades”das ordens superiores, a partir da primeira ordem, de acordo com asequacoes que regem o problema.

Dizemos que duas funcoes f e g sao da mesma ordem (com notacao f = o(g)) se:

limε→0

f

g= 1

e que f e de ordem superior a g (com notacao f = O(g)) se

limε→0

f

g= 0

Uma outra questao que deve ser observada e o fato de termos funcoes que devem ser avaliadasem superfıcies moveis. Nestes casos expandimos essas funcoes em torno da posicao media em seriesde Taylor.

1.12.3 Aplicacao ao Problema de Ondas de Gravidade

Assim por exemplo se queremos avaliar o potencial de velocidades, sua derivada em relacao ao tempoou sua derivada em relacao as variaveis x e z na superfıcie livre fazemos:

φ(x, z = ζ, t) = φ(x, z = 0, t) + ζ∂φ(x, z = 0, t)

∂z+ . . . (1.74)

44 SH Sphaier

∂φ(x, z = ζ, t)∂t

=∂φ(x, z = 0, t)

∂t+ ζ

∂2φ(x, z = 0, t)∂z∂t

+ . . . (1.75)

∂φ(x, z = ζ, t)∂z

=∂φ(x, z = 0, t)

∂z+ ζ

∂2φ(x, z = 0, t)∂2z

+ . . . (1.76)

∂φ(x, z = ζ, t)∂x

=∂φ(x, z = 0, t)

∂x+ ζ

∂2φ(x, z = 0, t)∂z∂x

+ . . . (1.77)

Introduzindo as expansoes (1.71) e (1.72) teremos:

φ(x, z = ζ, t) = φ1(x, z = 0, t) + φ2(x, z = 0, t) + φ3(x, z = 0, t) + . . .

+(ζ1 + ζ2 + ζ3 + . . .)∂(φ1(x, z = 0, t) + φ2(x, z = 0, t) + φ3(x, z = 0, t) + . . .)

∂z

+12(ζ1 + ζ2 + ζ3 + . . .)2

∂2(φ1(x, z = 0, t) + φ2(x, z = 0, t) + φ3(x, z = 0, t) + . . .)∂z2

+ . . .

que desenvolvendo leva a:

φ(x, z = ζ, t) = φ1(x, z = 0, t) + φ2(x, z = 0, t) + φ3(x, z = 0, t)

+ζ1∂φ1(x, z = 0, t)

∂z+ ζ1

∂φ2(x, z = 0, t)∂z

+ ζ1∂φ3(x, z = 0, t)

∂z

+ζ2∂φ1(x, z = 0, t)

∂z+ ζ2

∂φ2(x, z = 0, t)∂z

+ ζ2∂φ3(x, z = 0, t)

∂z

+ζ3∂φ1(x, z = 0, t)

∂z+ ζ3

∂φ2(x, z = 0, t)∂z

+ ζ3∂φ3(x, z = 0, t)

∂z

+12ζ21

∂2φ1(x, z = 0, t)∂z2

+12ζ21

∂2φ2(x, z = 0, t)∂z2

+12ζ21

∂2φ3(x, z = 0, t)∂z2

+ζ1ζ2∂2φ1(x, z = 0, t)

∂z2+ ζ1ζ2

∂2φ2(x, z = 0, t)∂z2

+ ζ1ζ2∂2φ3(x, z = 0, t)

∂z2

+12ζ22

∂2φ1(x, z = 0, t)∂z2

+12ζ22

∂2φ2(x, z = 0, t)∂z2

+12ζ22

∂2φ3(x, z = 0, t)∂z2

+ . . .

e reagrupando por ordem:φ(x, z = ζ, t) = φ1(x, z = 0, t)+

φ2(x, z = 0, t) + ζ1∂φ1(x, z = 0, t)

∂z

+φ3(x, z = 0, t) + ζ1∂φ2(x, z = 0, t)

∂z+ ζ2

∂φ1(x, z = 0, t)∂z

+12ζ21

∂2φ1(x, z = 0, t)∂z2

+ . . . (1.78)

Utilizando procedimento similar tem-se:

SH Sphaier 45

• para a derivada em t∂φ(x, z = ζ, t)

∂t=

∂φ1(x, z = 0, t)∂t

+

∂φ2(x, z = 0, t)∂t

+ ζ1∂2φ1(x, z = 0, t)

∂z∂t

+∂φ3(x, z = 0, t)

∂t+ζ1

∂2φ2(x, z = 0, t)∂z∂t

+ζ2∂2φ1(x, z = 0, t)

∂z∂t+

12ζ21

∂3φ1(x, z = 0, t)∂z2∂t

+. . . (1.79)

• para a derivada em x∂φ(x, z = ζ, t)

∂x=

∂φ1(x, z = 0, t)∂x

+

∂φ2(x, z = 0, t)∂x

+ ζ1∂2φ1(x, z = 0, t)

∂z∂x

+∂φ3(x, z = 0, t)

∂x+ζ1

∂2φ2(x, z = 0, t)∂z∂x

+ζ2∂2φ1(x, z = 0, t)

∂z∂x+

12ζ21

∂3φ1(x, z = 0, t)∂z2∂x

+. . . (1.80)

• para a derivada em z∂φ(x, z = ζ, t)

∂z=

∂φ1(x, z = 0, t)∂z

+

∂φ2(x, z = 0, t)∂z

+ ζ1∂2φ1(x, z = 0, t)

∂2z

+∂φ3(x, z = 0, t)

∂z+ζ1

∂2φ2(x, z = 0, t)∂z2

+ζ2∂2φ1(x, z = 0, t)

∂z2+

12ζ21

∂3φ1(x, z = 0, t)∂z3

+. . . (1.81)

1.12.4 Mudanca de Notacao

Utilizamos ate aqui a notacao classica de derivadas parciais, utilizamos um subescrito para denotarordem e explicitamos as variaveis independentes. Com esta notacao a vizualizacao das equacoestorna-se confusa. Tentando melhorar esta vizualizacao vamos usar a seguinte notacao.

• Ordem

utilizaremos um superescrito entre parenteses

φ(1), φ(2), ζ(1), ζ(2)

• Derivadas

utilizaremos um subescrito

∂φ1(x, z, t)∂x

= φ(1)x

∂φ2(x, z, t)∂z

= φ(2)z

∂ζ1(x, z, t)∂x

= ζ(1)x

etc.

46 SH Sphaier

1.12.5 Equacao de Laplace

Substituindo a expressao (1.71) na equacao de Laplace (1.62) podemos verificar que cada um dospotenciais φi tem que satisfazer a equacao de Laplace, porem num domınio levemente alterado:

∇2φ(1)(x, y, z, t) = 0 (1.82)

∇2φ(2)(x, y, z, t) = 0 (1.83)

No domınio −∞ < x < ∞,−∞ < y < ∞,−∞ < z ≤ 0.

1.12.6 Condicao de Contorno no Fundo

Substituindo a expressao (1.71) na condicao de contorno no fundo teremos:

∂φ

∂z=

∂(φ(1) + φ(2) + . . .)∂z

= 0 (1.84)

e assim∂φ

∂z=

∂φ(1)

∂z= 0 (1.85)

∂φ

∂z=

∂φ(2)

∂z= 0 (1.86)

em z = −d.

1.12.7 Condicao de Contorno Cinematica na Superfıcie Livre

A equacao (1.65) representa a condicao de contorno cinematica a ser satisfeita na superfıcie livre.Substituindo as expressoes (1.81), (1.80) e (1.72) em (1.65) obtemos a expressao da condicaocinematica que deve valer em z = 0 contendo termos ate a segunda ordem:

ζ(1)t − φ(1)

z + ζ(2)t − φ(2)

z + φ(1)x ζ(1)

x − ζ(1)x φ(1)

zz + O(ε3) = 0 (1.87)

a ser satisfeita em z = 0, onde os termos foram agrupados por ordem.A separacao por ordem nao e tao automatica como na equacao de Laplace e na condicao no

fundo, e sera feita adiante.

1.12.8 Condicao de Contorno Dinamica na Superfıcie Livre

A equacao (1.66) representa a condicao de contorno dinamica a ser satisfeita na superfıcie livre.Substituindo as expressoes (1.81), (1.81), (1.80) e (1.72) em (1.66) obtemos a condicao a ser satisfeitaem z = 0 com termos ate a segunda ordem:

φ(1)t + gζ(1) + φ

(2)t + gζ(2) + ζ(1)φ

(1)tz +

12[(φ(1)

x )2 + (φ(1)z )2] + O(ε3) = 0 (1.88)

onde os termos foram agrupados por ordem.Neste caso tambem a separacao por ordem nao e tao automatica como na equacao de Laplace e

na condicao no fundo, e sera feita adiante.

SH Sphaier 47

1.12.9 Potencial de Ondas de Primeira Ordem

Se separarmos o problema de primeira ordem, teremos o problema de valor de contorno obtidoquando linearizamos o problema. Buscamos a funcao potencial de velocidades φ1 tal que em todo odomınio fluido (com −∞ < z ≤ 0) temos que satisfazer a equacao de Laplace:

∇2φ(1)(x, z, t) = 0

Na superfıcie z = 0 devem ser satisfeitas a condicao cinematica e a condicao dinamica:

φ(1)z − ζ

(1)t = 0

ζ(1) = −1gφ

(1)t

Combinando estas expressoes tem-se

φ(1)z +

1gφ

(1)tt = 0 em z = 0 (1.89)

e no fundo, em z = −dφ(1)

z = 0

Em casos de profundidade infinita esta ultima condicao e modificada para

limz→−∞

φ(1)z = 0 (1.90)

A solucao deste problema de valor de contorno e dada por:

φ1 = iζ01g

σ

cosh(m0(z + d))cosh(m0d)

exp[i(σt−m0x)] (1.91)

comm0c1 − σ = 0

onde c1 e a celereridade da onda; assim

c1 =σ

m0=

L1

T

A superfıcie livre e definida por:ζ(1) = ζ

(1)0 cos(σt−m0x)

A relacao entre a frequencia (temporal) e o numero de onda (frequencia espacial) e dada pela equacaoda dispersao:

σ2 = gm0 tanh m0d

e a pressao em qualquer ponto do meio fluido e dada por:

p(1) = −ρ[φ

(1)t + gz

]deve ser observado que assumimos que o numero de onda, a celeridade e o comprimento da onda saotambem expandidos em ordens.

Para sermos mais precisos devemos dizer que a pressao hidrostatica e de ordem zero. Assim,

p(0) = −ρgz

p(1) = −ρφ(1)t

48 SH Sphaier

1.12.10 Potencial de Ondas de Segunda Ordem

O potencial de primeira ordem satisfaz a equacao de Laplace, assim o de segunda ordem tambemira satisfazer

∇2φ(2) = φ(2)xx + φ(2)

zz = 0 (1.92)

De forma similar no fundo temos:φ(2)

z = 0 (1.93)

Na superfıcie livre temos as condicoes cinematica e dinamica. Utilizando-se as condicoes de contornona superfıcie livre (1.87) e (1.88), eliminando os termos de primeira ordem e de ordens superiores asegunda, essas condicoes sao escritas na forma:

ζ(2)t − φ(2)

z = −φ(1)x ζ(1)

x + ζ(1)x φ(1)

zz (1.94)

φ(2)t + gζ(2) = −ζ(1)φ

(1)tz − 1

2[(φ(1)

x )2 + (φ(1)z )2] (1.95)

A pressao hidrodinamica de segunda ordem e dada por:

p(2) = −ρφ(2)t − ρ

2[(φ(1)

x )2 + (φ(1)z )2] (1.96)

Da condicao dinamica de segunda ordem temos que o perfil da onda de segunda ordem e dadopor:

ζ(2) =1g{−φ

(2)t − ζ(1)φ

(1)tz − 1

2[(φ(1)

x )2 + (φ(1)z )2]} (1.97)

Combinando as equacoes (1.94) e (1.95) chegamos a:

φ(2)tt + gφ(2)

z = −g(ζ(1)φ(1)zz − φ(1)

x ζ(1)x )− ζ

(1)t φ

(1)tz − ζ(1)φ

(1)tzt − φ(1)

x φ(1)xt − φ(1)

z φ(1)zt (1.98)

Substituindo o potencial de primeira ordem e o perfil da onda na expressao acima obtemos

φ(2)tt + gφ(2)

z = 3ζ(1)0 gσ

m0ζ(1)0

sinh(2m0d)ei2(σt−m0x) (1.99)

que sugere que a solucao seja da forma

φ(2) = a cosh[2m0(z + d)]ei2(σt−m0x) (1.100)

Deve ser observado que a equacao (1.99) torna-se homogenea para o caso de aguas profundas.Isto quer dizer que nao ha um potencial de segunda ordem.

φ(2)tt + gφ(2)

z = 0 (1.101)

Porem, mesmo assim, a superfıcie livre sofre uma deformacao de segunda ordem dada por:

ζ(2) =1g{−ζ(1)φ

(1)tz − 1

2[(φ(1)

x )2 + (φ(1)z )2]} (1.102)

Capıtulo 2

Representacao de Escoamentos porDistribuicao de Singularidades

2.1 Introducao

O objetivo do estudo e o de se poder gerar os campos de velocidade, pressao, etc ... como consequenciade um escoamento em torno de um corpo. Lembrando que atraves da superposicao de um dipolo eum escoamento retılineo uniforme permanente pudemos representar o escoamento de um fluido idealem torno de um cırculo e que com a superposicao de uma fonte, um sumidouro e um escoamentoretilıneo representamos o escoamento em torno de um ”ovoide”, vamos estender estes resultadospara representar outras formas. Vamos utilizar varias fontes e varios sumidouros e determinar suasintensidades para tal.

2.2 O Problema de Valor de Contorno

Para formalizar matematicamente o problema, utilizaremos um sistema de coordenadas Oxy fixo noespaco. O campo de velocidades do escoamento incidente e dado por U i, onde U e sua intensidadee i e o vetor unitario apontando na direcao positiva de Ox.

Vamos admitir em nosso estudo que o fluido e incompressıvel e os efeitos viscosos sao desprezıveis,supondo entao que o escoamento e irrotacional. Assim, o campo de velocidades v pode ser dadopelo gradiente de uma funcao potencial de velocidades, isto e:

v = ∇Φ (2.1)

sendo esta funcao potencial de velocidade solucao da equacao de Laplace

∇2Φ = 0 (2.2)

e satisfazendo junto ao corpo a condicao de impenetrabilidade

n · ∇Φ = 0 (2.3)

onde n = nxi+nyj = cos(n, x)i+cos(n, y)j e o vetor unitario normal ao contorno do corpo apontandopara fora do domınio fluido, e j o vetor unitario apontando na direcao Oy. Para pontos muito

49

50 SH Sphaier

afastados do corpo o potencial de velocidades tende para Ux, isto e:

Φ → Ux com R →∞ (2.4)

onde R =√

x2 + y2

A funcao Φ pode ser escrita como a superposicao do escoamento incidente Ux e um potencial deperturbacao devido a presenca do corpo Uφs

Φ = U(x + φs) (2.5)

Introduzindo (2.5) em (2.3)

n · ∇Φ = n · ∇{U(x + φs)} = Un · (i +∇φs)

= U(i · n + n · ∇φs) = U{cos(x, n) +∂φs

∂n} = 0

ou

∂φs

∂n= −n · ∇φs = − cos(x, n) (2.6)

Com (2.2), (2.4), (2.5) e (2.6) podemos escrever o seguinte problema de valor de contorno para φs

∇2φs = 0 em todo domınio (2.7)

∂φs

∂n= − cos(n, x) no contorno do corpo (2.8)

φs → 0 com R →∞ (2.9)

2.3 Solucao atraves do Uso de Singularidades

Para representarmos a funcao φs utilizaremos uma serie de fontes e/ou sumidouros distribuıdos aolongo de uma linha no interior do corpo. A figura 2.3 apresenta um quadro das definicoes geometricasutilizadas.

SH Sphaier 51

Figura 2.1: Definicoes geometricas

Chamando qj(η, ξ) a intensidade das fontes, teremos:

φs =n∑1

qj(η, ξ)ln |rj − ri|

2π(2.10)

onde|rj − ri| =

√(x− ηj)2 + (y − ξj)2 (2.11)

Podemos verificar que ln r satisfaz as equacoes (2.7) e (2.9) do problema de valor de contornoestabelecido acima. Colocamos varias singularidades na linha S(η, ξ) e calculamos as suas influenciasem cada ponto (x, y) do domınio.

52 SH Sphaier

As figuras 2.3 e 2.3 mostram a representacao de um contorno por elementos reta sobre os quaissao distribuidas as singularidades

Figura 2.2: Distribuicao de singularidades no interior do corpo

SH Sphaier 53

Figura 2.3: Distribuicao de singularidades no interior do corpo

A fonte com intensidade qj colocada no ponto (ηj , ξj) cria o potencial φj .

φj(x, y) =qj

2πln |rj − ri| (2.12)

A influencia de todas fontes cria o potencial dado em (2.10). As condicoes (2.7) e (2.9) estaoautomaticamente satisfeitas. Falta satisfazer a condicoes (2.8). Esta determinara entao os valoresde qj de tal forma que seja gerada uma linha de corrente fechada representando entao o corpo.

Com (2.10) em (2.8) teremos:

n · ∇

(n∑1

qj

2πln |rj − ri|

)= − cos(x, n) = −nx (2.13)

oun∑

j=1

qj

2πn ·{

∂

∂xln |rj − ri|i +

∂

∂yln |rj − ri|j

}= −nx

54 SH Sphaier

n∑j=1

qj

2π

{1

|rj − ri|∂|rj − ri|

∂xn · i +

1|rj − ri|

∂|rj − ri|∂y

n · j}

= −nx

n∑j=1

qj

2π

1|rj − ri|

{x− ηj

|rj − ri|cos(n, x) +

y − ξj

|rj − ri|cos(n, y)

}= −nx

n∑j=1

qj

2π|rj − ri|2{(x− ηj) cos(n, x) + (y − ξj) cos(n, y)} = −nx (2.14)

Como temos N incognitas precisamos satisfazer esta equacao em N pontos do contorno. Assim,teremos N equacoes

n∑j=1

qj

2πr2ij

{(xi − ηj) cos(n, x) |i +(yi − ξj) cos(n, y) |i} = −nx,i (2.15)

FazendoAij =

12πr2

ij

{(xi − ηj)nx,i + (yi − ξj)ny,i} (2.16)

podemos escrevern∑

j+1

Aijqj = −nx,i (2.17)

Os coeficientes Aij , sao chamados de coeficientes de influencia, pois indicam como uma fonte deintensidade unitaria colocada na posicao (ηj , ξj) do espaco (ponto fonte) influenciaria cada posicao(xi, yi) do domınio (ponto campo).

2.4 O Algoritmo de Solucao

Deve ser conhecido o contorno do corpo e seu posicionamento em relacao a um sistema de eixos Oxy,uma vez que pressupomos que o escoamento incide na direcao x. A escolha dos pontos no interior docorpo onde colocaremos as singularidades e arbitraria, e de sua escolha vai depender numa melhorou pior representacao do escoamento.

Escolhemos sobre o corpo um numero de pontos igual ao numero de singularidades onde queremosimpor a condicao de contorno. A seguir determinamos os cossenos diretores do vetor da normal aospontos do contorno e entao os coeficientes de influencia. Resolvemos a equacao

[A]{q} = {c} (2.18)

onde: [A] e a matriz dos coeficientes Aij , {q} vetor de dos coeficientes qj e {c} o vetor independente,vetor dos cossenos diretores nx,i = cos(ni, xi).

Assim, temos que fornecer as coordenadas dos pontos onde vamos aplicar as condicoes de contornoe os respectivos cossenos diretores nx e ny. O algoritmo programado preve que se forneca pontos aolongo do contorno ordenados de 1 a N percorrendo o contorno do corpo, mantendo seu interior anossa esquerda. Assim, o corpo e substituıdo por um polıgono.

SH Sphaier 55

Os pontos sobre o corpo, onde queremos satisfazer a condicao de contorno, sao os pontos mediosdos lados do polıgono. A figura 2.4 mostra detalhes sobre um elemento do corpo. Este elemento,elemento i une os pontos i e i + 1. Observando-se a figura temos

t = txi + tyj (2.19)

tx = cos(t, x) = cos α =∆x

s

ty = cos(t, y) = sin α =∆y

s

∆x = xi+1 − xi; ∆y = yi+1 − yi; s =√

∆x2 + ∆y2

n = nxi + nyj (2.20)

nx = cos β = cos(α + π/2) = − sinα = −tx

ny = sinβ = sin(α + π/2) = cos α = ty

Figura 2.4: Relacoes geometricas em um elemento

56 SH Sphaier

Convem ressaltar que a melhor escolha e aquela em que as fontes e/ou os sumidouros sao colo-cados nos pontos medios onde sao aplicadas as condicoes de contorno. Isto aparentemente criauma singularidade no coeficiente de influencia. Entretanto, esta dificuldade pode ser ultrapassadaanaliticamente. Assim procedendo, temos

Aii = −0.5

2.5 Outras Propriedades

Uma vez obtidas as intensidades das fontes, podemos entao determinar as velocidades, as aceleracoes,as pressoes e a funcao de corrente:

1. Velocidades

vx =∂Φ∂x

= U

1 +n∑

j=1

qj

2π

x− ηj

|rj − ri|2

vy =

∂Φ∂y

= Un∑

j=1

qj

2π

y − ξj

|rj − ri|2(2.21)

2. Aceleracoes

ax =∂vx

∂t+ vx

∂vx

∂x+ vy

∂vx

∂y

ay =∂vy

∂t+ vx

∂vy

∂x+ vy

∂vy

∂y(2.22)

3. Pressoes

p = −ρ

{∂Φ∂t

+12| ∇Φ |2

}

= −ρ

U [1 +n∑

j=1

qj

2πln |rj − ri|]

+U2

2

1 + 2n∑

j=1

qj

2π

x− ηj

|rj − ri|2+

n∑j=1

qj

2π

x− ηj

|rj − ri|2

2

+

n∑j=1

qj

2π

y − ξj

|rj − ri|2

2 (2.23)

4. Funcao de Corrente

Ψ = U(y +∑

j

qj

2πθj) θj = arctan

(y − ξj

x− ηj

)(2.24)

Observemos que se trata de uma funcao constante ao longo de cada linha de corrente. Sequisermos tracar as linhas de corrente, deveremos determinar o conjunto dos pontos {(x, y), |Ψ = C}, o lugar geometrico dos pontos para os quais Ψ = C.

SH Sphaier 57

2.6 Forca Atuando sobre o Corpo

A forca atuante sobre o corpo e dado pela integral da forca elementar em cada elemento do contornopnds, isto e:

F =∫

Spnds (2.25)

Considerando a pressao constante ao longo de cada elemento do polıgono a integral pode ser dis-cretizada em um somatorio:

F = {n∑

i=1

pinx,i∆si}i + {n∑

i=1

piny,i∆si}j

Assim, as forcas nas direcoes Ox e Oy sao dadas por:

Fx = {n∑

i=1

pinx,i∆si} (2.26)

Fy = {n∑

i=1

piny,i∆si} (2.27)

2.7 Equacao Integral para Determinacao de uma Funcao Potencial

Inicialmente foi introduzida uma solucao para a equacao de Laplace utilizando-se uma extensao daideia de se usar um conjunto de fontes e sumidouros para representar formas de corpos no meiofluido.

Um tratamento similar do problema pode tambem ser utilizado, porem de forma mais rigorosa.A tecnica consiste em utilizar a segunda identidade de Green e transformar o problema de valorde contorno em uma equacao integral e resolve-la discretizando o domınio de integracao e sobrecada elemento discreto do domınio assumir uma forma de representacao da funcao incognita, con-centrada em alguns pontos, constante ao longo de cada elemento, variando linearmente ao longo decada elemento e assim sucessivamente. Existem varias formas bastante similares, porem com suasparticularidades, de tratar o problema. Assim, encontramos na literatura o metodo de paineis, ometodo da integral de contorno, o metodo da funcao de Green, o metodo de elementos de contorno,etc...

Iremos apresentar a equacao integral equivalente ao problema de valor de contorno para obtencaoda solucao da equacao de Laplace:

∇2φ = 0

em que conhecemos a forma do comportamento da funcao ou sua derivada normal em partes ou emtodo o contorno. Como sabemos a equacao de Laplace tem solucao unica se conhecermos ao longo detodo o contorno ou a funcao ou sua derivada ou combinacao linear de ambas. Assim, se o contornodo problema e a linha S = S1

⋃S2⋃S3 e

∂φ

∂n= f(x, y)

58 SH Sphaier

em S1,φ = g(x, y)

em S2 e

α∂φ

∂n+ βφ = h(x, y)

em S3, a equacao de Laplace tem solucao unica.Aqui nos ateremos somente ao problema em que conhecemos φ em Sa correspondente a parte ou

todo o contorno e conhecemos ∂φ/∂n na parte complementar de Sa.Com o uso da segunda identidade de Green∫ ∫

V[φ ∇2G− G ∇2φ]dV =

∫S[φ

∂G

∂n−G

∂φ

∂n]dS

e da funcao G,

G =ln |r|2π

=ln r

2π

onde |r| = r =√

(x0 − xc)2 + (y0 − yc)2, solucao fundamental da equacao de Poisson com termonao homogeneo dado pelo δ de Dirac

∇2G = δ(r)

Retirando o ponto r0 do domınio V , atraves da introducao de um contorno Sε circular envolvendo-o,com raio rε e volume Vε teremos:

∇2G = 0

em todos os pontos do domınio V − Vε e entao:∫Sε

[φ∂G

∂nε−G

∂φ

∂nε]dSε +

∫S[φ

∂G

∂n−G

∂φ

∂n]dS

Como o contorno Sε e circular:

dSε = rεdθ , ∂/∂nε = −∂/∂rε e ln r = ln rε

e entao ∫Sε

φ(Sε)∂G

∂nSε

dSε =∫

Sε

φ(Sε)(−∂1

2πrε)rεdθ = −

∫Sε

φ(Sε)2π

dθ

e no limite, quando rε ⇒ 0

−∫

Sε

φ(Sε)2π

dθ = −φ(r0)

A outra integral ∫Sε

[G∂φ

∂nε]dSε =

∫Sε

ln rεφnεrεdθ

no limite, quando rε ⇒ 0 e nula.Assim,

φ(r0) =∫

SφrS

∂G(rS , r0)∂nS

dS −∫

S

∂φ(rS

∂nSG(rs, r0)dS

SH Sphaier 59

Caso o ponto r0 seja um ponto do domınio, podemos retira-lo do domınio de integracao envolvendo-o com um semi-cırculo. Procedemos como acima, e obtemos uma expressao similar a acima poremdo lado esquerdo temos φ(r0)/2 e na integral devemos retirar o trecho de linha em torno do pontorS = r0.

.5φ(r0) = PV

∫S

φ(rS)∂G(rS , r0)

∂nSdS −

∫S

∂φ(rS

∂nSG(rs, r0)dS

O sımbolo PV antes da integral significa que sobre a linha contorno nao podemos integrar quandor = 0. Como vimos nestes casos resolvemos analiticamente o problema somente em torno desteponto e a contribuicao e incorporada atraves do termo a direita.

Caso o ponto r0 seja um ponto fora do domınio, procedemos da mesma forma e temos:

0 =∫

Sφ

∂G(rS , r0)∂nS

dS −∫

S

∂φ(rS

∂nSG(rs, r0)dS

Vemos assim que o problema de valor de contorno e transformado em uma equacao integralequivalente para determinacao do potencial φ na forma:

cφ = PV

∫S

φ∂G

∂nds−

∫S

∂φ

∂nGds

onde c = 1, 1/2, 0 para pontos no domınio, no contorno S e fora do domınio, respectivamente.Dizemos que estamos diante de uma equacao integral pois a funcao incognita encontra-se dentro

da integral.Esta equacao integral estabelece o problema de obtencao da funcao φ em todo o domınio fluido

se conhecermos φ e ∂φ/∂n no contorno do domınio fluido. Dizemos que esta e a formulacao diretapara obtermos a funcao atraves de uma integral de contorno.

Observemos que se conhecemos φ somente em parte do contorno, nao podemos calcular a integralacima para obtencao φ em todo o domınio. O mesmo se da para ∂φ/∂n. Assim, nossas incognitassao os valores de φ e sua derivada normal em partes do contorno. Nossas incognitas encontram-seno integrando, o que caracteriza uma equacao integral. Nosso problema e obter φ e sua derivadanormal em todo o contorno e consequentemente obter φ em todo o domınio.

Podemos desenvolver o problema acima e obter outra forma de representar o problema por umaequacao integral dada por:

φ =∫

SγGds

Este potencial tem que satisfazer uma condicao de contorno de derivada normal na forma

∂φ

∂n= −1

2γ + PV

∫S

γ∂G

∂ndS = g(xS , yS)

Temos novamente uma Equacao Integral para obtencao do potencial φ conhecendo-se a forma desua derivada normal no contorno. Nossa incognita agora e a funcao γ ao longo do contorno.

2.7.1 Discretizacao das Equacoes Integrais

Formulacao Direta

Admitindo que no metodo direto a forma das equacoes e:

12g(s) =

∫S

g(s)H(s, r)d s−∫S

h(s)G(s, r)d s

60 SH Sphaier

onde:g(s) = φ(s)

h(s) =∂φ(s)∂ns

H(s, r) =∂G(s, r)

∂ns

Usando um numero finito de pontos sobre o contorno e aplicando uma regra de integracao podemosaproximar as integrais de linha ao longo do contorno. Utilizando por exemplo retangulos temos:

12gi =

N∑j=1,i6=j

Hijgj −N∑

j=1

Gijhj

Incorporando gi/2 ao primeiro termo do segundo membro chegamos a

N∑j=1

Gijhj −N∑

j=1

Hijgj = 0

Nesta equacao discretizada conhecemos N −m valores de gj e m de fj e com ela determinamos osvalores restantes. Alem disto:

Hij ={

[cos αj(yi − yj) + sin αj(xi − xj)]∆sj/(2πr2ij) se i 6= j

−1/2 se i = j

Gij ={

ln rij∆sj/(2π) se i 6= j−∆sj/(2π) se i = j

α e o angulo entre a normal ao contorno no ponto (xj , yj) e o eixo Ox, com a normal orientada parafora do domınio.

Marcamos sobre o contorno um conjunto de pontos de 1 a N +1, seguindo o interior a esquerda efazendo o ponto N + 1 coincir com o ponto inicial. Assim o contorno e subdividido em um conjuntode N elementos. No meio de cada elemento temos os pontos utilizados para avaliar as integrais. Emcada elemento podemos determinar os cossenos diretores dos vetores tangentes:

tx =xf − xi

∆s

ty =yf − yi

∆s

∆s =√

(xf − xi)2 + (yf − yi)2

Sabendo que o vetor normal e perpendicular ao vetor tangente temos nx = ty e ny = −tx. Sabemostambem que

∂

∂n= nx

∂

∂x+ ny

∂

∂y

Esta ultima expressao e entao utilizada para se determinar as derivadas normais da funcao G.

SH Sphaier 61

Formulacao Indireta

Aplicando o procedimento apresentado acima, agora para a formulacao do metodo indireto chegamosa equacao na forma discretizada:

∂φ

∂n+

n∑j=1

Dijγj = 0

onde:

Dij =

{ (cos αi(yi − yj)/r2

ij + sinαi(xi − xj)/r2ij

)∆sj/(2π) se i 6= j

−1/2 se i = j

2.8 A Solucao Fundamental

A equacao de Laplace em coordenadas polares e dada por

∂2φ

∂r2+

∂φ

r∂r+

∂2φ

r2∂θ2= 0

Aplicando entao o metodo de separacao de variaveis de forma tal que

φ(r, θ) = R(r)Θ(θ)

e substituindo na equacao de Laplace obtemos:

R′′Θ +

1r2

RΘ′′ +1rR

′Θ = 0

ou entao

r2 R′′

R+ r

R′

R= −Θ

′′

Θ= ±λ2

Em que o primeiro membro e uma funcao exclusiva de r e o segundo membro e funcao somente deΘ, sendo assim, a igualdade so e possıvel se ambos forem iguais a uma constante λ2. Separando aexpressao acima em duas equacoes diferenciais ordinarias temos:

r2R′′

+ rR′ − (±λ2)R = 0

Θ′′ ± λ2Θ = 0

A equacao em R(r) e a equacao diferencial de Euler.Observemos a solucao para o caso em que λ = 0:

- a equacao em θ e agoraΘ

′′= 0

cuja solucao e da forma:Θ = a1 + a2θ

62 SH Sphaier

- a equacao para R e:rR

′′+ R

′= 0

fazendo R′= G obtemos

rdG

dr+ G = 0

oudG

G= −dr

r

que integrada conduz a

lnG = − ln r ou G =1r

e assimR

′= G =

1r→ R = a3 ln r + a4b1

- compondo essas duas solucoes obtemos:

φ = b1 + b2θ + b3 ln r + b4 ln rθ

A solucao logarıtmica obtida acima e chamada de solucao fundamental. E a solucao da equacaode Laplace com uma singularidade na origem e tambem obtida como solucao da equacao de Poisson

∂2φ

∂r2+

∂φ

r∂r+

∂2φ

r2∂θ2= δ(r = 0)

onde δ representa a ”funcao”delta de Dirac.