hierarchical hybrid control of large scale systems

8/3/2019 Hierarchical Hybrid Control of Large Scale Systems

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ISSN 1055-1425

September 1996

This work was performed as part of the California PATH Program of the

University of California, in cooperation with the State of California Business,Transportation, and Housing Agency, Department of Transportation; and the

United States Department of Transportation, Federal Highway Administration.

The contents of this report reflect the views of the authors who are responsible

for the facts and the accuracy of the data presented herein. The contents do not

necessarily reflect the official views or policies of the State of California. This

report does not constitute a standard, specification, or regulation.

CALIFORNIA PATH PROGRAM

INSTITUTE OF TRANSPORTATION STUDIES

UNIVERSITY OF CALIFORNIA, BERKELEY

Hierarchical, Hybrid Control

of Large Scale Systems

UCB-ITS-PRR-96-23

California PATH Research Report

John Lygeros


2/123

H i e r a r c h i c a l , H y b r i d C o n t r o l o f

L a r g e S c a l e S y s t e m s

b y

J o h n L y g e r o s

B . E n g . I m p e r i a l C o l l e g e o f S c i e n c e T e c h n o l o g y a n d M e d i c i n e , L o n d o n 1 9 9 0

M . S c . I m p e r i a l C o l l e g e o f S c i e n c e T e c h n o l o g y a n d M e d i c i n e , L o n d o n 1 9 9 1

A d i s s e r t a t i o n s u b m i t t e d i n p a r t i a l s a t i s f a c t i o n o f t h e

r e q u i r e m e n t s f o r t h e d e g r e e o f

D o c t o r o f P h i l o s o p h y

i n

E n g i n e e r i n g - E l e c t r i c a l E n g i n e e r i n g

a n d C o m p u t e r S c i e n c e s

i n t h e

G R A D U A T E D I V I S I O N

o f t h e

U N I V E R S I T Y o f C A L I F O R N I A a t B E R K E L E Y

C o m m i t t e e i n c h a r g e :

P r o f e s s o r S h a n k a r S a s t r y , C h a i r

P r o f e s s o r P r a v i n V a r a i y a

P r o f e s s o r R o b e r t o H o r o w i t z

1 9 9 6


3/123

A b s t r a c t

H i e r a r c h i c a l , H y b r i d C o n t r o l o f

L a r g e S c a l e S y s t e m s

b y

J o h n L y g e r o s

D o c t o r o f P h i l o s o p h y i n E n g i n e e r i n g - E l e c t r i c a l E n g i n e e r i n g a n d C o m p u t e r S c i e n c e s

U n i v e r s i t y o f C a l i f o r n i a a t B e r k e l e y

P r o f e s s o r S h a n k a r S a s t r y , C h a i r

T h e c o n t r o l o f l a r g e s c a l e d y n a m i c a l s y s t e m s i s o n e o f t h e b i g g e s t c h a l l e n g e s f a c i n g c o n t r o l e n g i n e e r s

t o d a y . L a r g e s c a l e s y s t e m s a r e c o m m o n i n a p p l i c a t i o n s s u c h a s c h e m i c a l p r o c e s s c o n t r o l , p o w e r g e n e r a t i o n

a n d d i s t r i b u t i o n a n d h i g h w a y a n d a i r t r a c c o n t r o l , a m o n g o t h e r s . O f p a r t i c u l a r i n t e r e s t a r e m u l t i - a g e n t ,

s c a r c e r e s o u r c e p r o b l e m s , w h e r e a l a r g e n u m b e r o f a g e n t s , e q u i p p e d w i t h c o m m u n i c a t i o n a n d c o n t r o l

c a p a b i l i t i e s h a v e t o m a k e e c i e n t u s e o f a s c a r c e r e s o u r c e . T h e s i z e a n d c o m p l e x i t y o f t h e s e s y s t e m s m a k e s

i t d i c u l t t o a p p r o a c h t h e m u s i n g t o o l s f r o m t h e c l a s s i c a l , c e n t r a l c o n t r o l l i t e r a t u r e . T o m a n a g e t h e s y s t e m

c o m p l e x i t y d e s i g n e r s a r e o f t e n f o r c e d t o u s e h y b r i d c o n t r o l s c h e m e s , i . e . d e s i g n s t h a t m a k e u s e o f b o t h

d i s c r e t e a n d c o n t i n u o u s c o n t r o l l e r s .

I n t h i s d i s s e r t a t i o n w e t r y t o a p p r o a c h t h e p r o b l e m o f l a r g e s c a l e s y s t e m s f r o m s u c h a h i e r a r c h i c a l ,

h y b r i d c o n t r o l v i e w p o i n t . O u r a n a l y s i s i s b a s e d o n a n e w h y b r i d d y n a m i c a l s y s t e m f o r m u l a t i o n , t h a t

a l l o w s u s t o m o d e l l a r g e s c a l e s y s t e m s i n a m o d u l a r f a s h i o n . T h r e e p r o b l e m s a r e a d d r e s s e d : c o n t r o l l e r

d e s i g n , c l o s e d l o o p p e r f o r m a n c e v e r i c a t i o n a n d t h e e x t e n s i o n o f s y s t e m a u t o n o m y . F i r s t , a c o n t r o l s c h e m e

b a s e d o n s e m i - a u t o n o m o u s a g e n t o p e r a t i o n i s p r o p o s e d . O u r s c h e m e n a t u r a l l y l e a d s t o h i e r a r c h i c a l , h y b r i d

d e s i g n s , w i t h c o n t i n u o u s c o n t r o l l e r s t r y i n g t o o p t i m i z e e a c h a g e n t ' s r e s o u r c e u t i l i z a t i o n a t a l o w e r l e v e l

a n d d i s c r e t e c o n t r o l l e r s r e s o l v i n g i n t e r - a g e n t c o n i c t s a t a h i g h e r l e v e l . A n a l g o r i t h m i s p r e s e n t e d t o

p r o d u c e t h e c o n t i n u o u s c o n t r o l l e r s , a s w e l l a s a b s t r a c t i o n s o f t h e i r p e r f o r m a n c e i n t e r m s o f t h e d i s c r e t e

l e v e l . T h e a l g o r i t h m m a k e s u s e o f i d e a s f r o m g a m e t h e o r y , t r e a t i n g t h e d e s i g n p r o c e s s a s a t w o p l a y e r ,

z e r o s u m g a m e , b e t w e e n t h e c o n t r o l l e r o f a n a g e n t a n d t h e d i s t u r b a n c e g e n e r a t e d b y t h e a c t i o n s o f o t h e r

a g e n t s . T h e r e s u l t i n g a b s t r a c t i o n s c a n b e t h o u g h t o f a s g u i d e l i n e s f o r t h e d e s i g n o f t h e d i s c r e t e l a y e r .

T h e i m p l i c a t i o n i s t h a t i f t h e r e s u l t i n g c o n t i n u o u s c o n t r o l l e r s a r e u s e d a n d t h e d i s c r e t e c o n t r o l l e r s a t i s e s

t h e g u i d e l i n e s , t h e c l o s e d l o o p h y b r i d s y s t e m i s , b y d e s i g n , g u a r a n t e e d t o e x h i b i t t h e d e s i r e d b e h a v i o r .

T h i s a p p r o a c h a l s o e x t e n d s t o t h e v e r i c a t i o n o f c l o s e d l o o p p e r f o r m a n c e r e q u i r e m e n t s f o r a g i v e n c o n t r o l

s c h e m e . T h e p r o b l e m c a n b e a p p r o a c h e d f r o m a n o p t i m a l c o n t r o l v i e w p o i n t , a s o n e o f t h e p l a y e r s i n t h e

g a m e n a m e l y t h e c o n t r o l l e r h a s i t s s t r a t e g y x e d b y t h e g i v e n c o n t r o l s c h e m e . F i n a l l y , s o m e d i s c u s s i o n

o f t h e d e s i g n i s s u e s i n v o l v e d i n e x t e n d i n g t h e c o n t r o l l e r a u t o n o m y i n p r e s e n t e d . T h e e m p h a s i s i s o n h y b r i d

e e c t s s u c h a s i n s t a n t a n e o u s f a u l t s t h a t q u a l i t a t i v e l y c h a n g e t h e p l a n t d y n a m i c s . W e i n v e s t i g a t e t h e

h i e r a r c h i c a l a n d h y b r i d i s s u e s i n v o l v e d i n t h e d e s i g n o f a f a u l t t o l e r a n t " c o n t r o l s c h e m e .

T h e a l g o r i t h m s a r e i l l u s t r a t e d b y m e a n s o f e x a m p l e s t h r o u g h o u t t h e d i s s e r t a t i o n . I n a d d i t i o n , a c a s e

s t u d y o n t h e a p p l i c a t i o n o f t h e p r o p o s e d t e c h n i q u e s t o t h e c o n t r o l o f a n a u t o m a t e d h i g h w a y s y s t e m i s

p r e s e n t e d i n t h e c o n c l u d i n g c h a p t e r s .

S h a n k a r S a s t r y

C h a i r

2


4/123

C o n t e n t s

1 I n t r o d u c t i o n 1

1 . 1 C o n t r o l o f L a r g e S c a l e S y s t e m s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1

1 . 2 I s s u e s t o b e A d d r e s s e d : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3

1 . 2 . 1 C o n t r o l l e r D e s i g n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3

1 . 2 . 2 V e r i c a t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5

1 . 2 . 3 E x t e n d i n g S y s t e m A u t o n o m y : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7

1 . 3 O u t l i n e : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7

2 M o d e l i n g & M a t h e m a t i c a l T o o l s 9

2 . 1 H y b r i d D y n a m i c a l S y s t e m s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9

2 . 1 . 1 T h e E l e m e n t s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9

2 . 1 . 2 T h e D e n i t i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 1

2 . 1 . 3 S p e c i a l E e c t s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 2

2 . 1 . 4 G r a p h i c a l R e p r e s e n t a t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 4

2 . 1 . 5 O p e r a t i o n s o n H y b r i d D y n a m i c a l S y s t e m s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 5

2 . 2 A g e n t M o d e l : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 7

2 . 2 . 1 H i e r a r c h y o f s u b s y s t e m s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 7

2 . 2 . 2 H y b r i d A u t o m a t o n M o d e l : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 8

2 . 2 . 3 M u l t i a g e n t D e s i g n a n d V e r i c a t i o n E n v i r o n m e n t : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 9

2 . 3 M a t h e m a t i c a l T o o l s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 1

2 . 3 . 1 G a m e T h e o r y : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 1

2 . 3 . 2 O p t i m a l C o n t r o l : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 2

2 . 3 . 3 D y n a m i c a l S y s t e m s a n d T o p o l o g y : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 3

3 C o n t r o l l e r D e s i g n 2 4

3 . 1 D i s c r e t e L a y e r : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 4

3 . 1 . 1 D e s i g n P h a s e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 4

3 . 1 . 2 D i s c r e t e L a y e r A b s t r a c t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 5

3 . 2 C o n t i n u o u s L a y e r : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 5

3 . 2 . 1 M u l t i o b j e c t i v e C o n t r o l l e r D e s i g n A l g o r i t h m : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 6

3 . 2 . 2 C o n t r o l l e r A u t o m a t o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 7

3 . 2 . 3 T e c h n i c a l I s s u e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 8

3 . 2 . 4 I n t e r f a c e a n d D i s c r e t e D e s i g n R e v i s i t e d : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 8

3 . 3 T h e T r a i n - G a t e E x a m p l e : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 9

3 . 3 . 1 P r o b l e m S t a t e m e n t : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 9

3 . 3 . 2 G a m e T h e o r e t i c F o r m u l a t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 1

3 . 3 . 3 D e s i g n f o r S a f e t y : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 2

i i i


5/123

3 . 3 . 4 D e s i g n f o r T h r o u g h p u t : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 4

3 . 3 . 5 C o n t r o l l e r D e s i g n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 5

3 . 4 S u m m a r y o f K e y P o i n t s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 7

4 V e r i c a t i o n 3 8

4 . 1 I n v a r i a n t V e r i c a t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 9

4 . 2 M u l t i A g e n t S y s t e m V e r i c a t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 9

4 . 3 E x a m p l e : T h e L e a k i n g G a s B u r n e r : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 1

4 . 3 . 1 P r o b l e m S t a t e m e n t : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 1

4 . 3 . 2 O p t i m a l C o n t r o l F o r m u l a t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 1

4 . 3 . 3 V e r i c a t i o n P r o c e s s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 2

5 S y s t e m A u t o n o m y 4 5

5 . 1 A d a p t a t i o n a n d L e a r n i n g : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 5

5 . 2 H y b r i d I s s u e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 6

5 . 2 . 1 F a u l t M o d e l i n g : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 7

5 . 2 . 2 M o d e l i n g o f E x t r e m e P a r a m e t e r V a r i a t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 8

5 . 3 F a u l t T o l e r a n t C o n t r o l l e r D e s i g n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 8

5 . 3 . 1 F a u l t D e t e c t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 8

5 . 3 . 2 F a u l t H a n d l i n g : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 9

5 . 3 . 3 D e a l i n g w i t h E x t r e m e P a r a m e t e r V a r i a t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 0

5 . 4 H i e r a r c h i c a l I s s u e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 0

5 . 4 . 1 I n f o r m a t i o n H i e r a r c h y : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 0

5 . 4 . 2 C o n t r o l H i e r a r c h y : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 1

6 A u t o m a t e d H i g h w a y S y s t e m s : H y b r i d D e s i g n 5 3

6 . 1 T h e P l a t o o n i n g C o n c e p t : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 3

6 . 2 P r o b l e m F o r m u l a t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 5

6 . 2 . 1 D i s c r e t e L e v e l A b s t r a c t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 5

6 . 2 . 2 O v e r v i e w o f t h e A H S R e s e a r c h E o r t : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 6

6 . 2 . 3 H y b r i d V e h i c l e M o d e l : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 8

6 . 2 . 4 D e s i g n R e q u i r e m e n t s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 3

6 . 2 . 5 A s s u m p t i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 5

6 . 3 S i n g l e L a n e S a f e t y T h e o r e m : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 7

6 . 3 . 1 B a c k g r o u n d L e m m a s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 7

6 . 3 . 2 S a f e t y T h e o r e m : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 8

6 . 4 M u l t i L a n e S a f e t y T h e o r e m : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 0

6 . 4 . 1 B a c k g r o u n d L e m m a s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 1

6 . 4 . 2 S a f e t y T h e o r e m : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 2

6 . 5 T h e L e a d e r C o n t r o l L a w : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 3

6 . 5 . 1 D e s i g n f o r s a f e t y : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 3

6 . 5 . 2 D e s i g n f o r c o m f o r t : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 8

6 . 5 . 3 D e s i g n f o r e c i e n c y : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 8

6 . 5 . 4 P r o o f o f L e a d e r S a f e t y L e m m a : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 9

6 . 6 T h e J o i n C o n t r o l L a w : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 9

6 . 6 . 1 D e s i g n f o r S a f e t y : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 1

6 . 6 . 2 N u m e r i c a l I n v e s t i g a t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 4

6 . 6 . 3 C o m p l e t i n g t h e D e s i g n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 6

i v


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6 . 6 . 4 T h e S p l i t D e s i g n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 7

6 . 7 T h e L a n e C h a n g e L a w s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 7

6 . 8 K e y P o i n t s a n d D i s c u s s i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 0

7 A u t o m a t e d H i g h w a y S y s t e m s : F a u l t T o l e r a n t D e s i g n 9 4

7 . 1 E x t e n d e d I n f o r m a t i o n S t r u c t u r e : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 4

7 . 1 . 1 C a p a b i l i t y M o n i t o r : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 4

7 . 1 . 2 P e r f o r m a n c e M o n i t o r : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 8

7 . 2 E x t e n d e d C o n t r o l S t r u c t u r e : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 0 0

7 . 2 . 1 C o o r d i n a t i o n S u p e r v i s o r S t r a t e g i e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 0 0

7 . 2 . 2 A t o m i c M a n e u v e r s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 0 3

7 . 2 . 3 V e r i c a t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 0 4

7 . 3 K e y P o i n t s a n d D i s c u s s i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 0 5

8 C o n c l u d i n g R e m a r k s 1 0 7

A S e n s o r & A c t u a t o r R a n g e s 1 1 6

A . 1 V e h i c l e C a p a b i l i t i e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 1 6

A . 2 R e l a t i v e v e l o c i t y a t i m p a c t : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 1 7

A . 3 S e n s o r R a n g e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 1 7

v


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C h a p t e r 1

I n t r o d u c t i o n

1 . 1 C o n t r o l o f L a r g e S c a l e S y s t e m s

T h e d e m a n d f o r i n c r e a s e d l e v e l s o f a u t o m a t i o n a n d s y s t e m i n t e g r a t i o n h a v e f o r c e d c o n t r o l e n g i n e e r s t o d e a l

w i t h i n c r e a s i n g l y l a r g e r a n d m o r e c o m p l e x s y s t e m s . A m o n g t h e r e a s o n s t h a t h a v e c o n t r i b u t e d t o t h i s p u s h

f o r h i g h e r l e v e l s o f a u t o m a t i o n a r e n a n c i a l b e n e t s a n d e n v i r o n m e n t a l c o n s i d e r a t i o n s . P r e l i m i n a r y s t u d i e s

i n d i c a t e t h a t i n c r e a s e d a u t o m a t i o n i n a i r t r a c m a n a g e m e n t s y s t e m s , h i g h w a y s y s t e m s , c h e m i c a l p r o c e s s

c o n t r o l , p o w e r g e n e r a t i o n a n d d i s t r i b u t i o n e t c . c a n l e a d t o p e r f o r m a n c e i m p r o v e m e n t i n t e r m s o f f u e l

c o n s u m p t i o n , a n d e c i e n c y . T h e s i z e o f t h e s e b u s i n e s s e s i s s u c h t h a t e v e n m i n o r c h a n g e s i n p e r f o r m a n c e

t r a n s l a t e t o l a r g e a m o u n t s o f m o n e y g a i n e d o r l o s t a n d o r c o n s i d e r a b l e i m p a c t t o t h e e n v i r o n m e n t . A t t h e

s a m e t i m e , r e c e n t t e c h n o l o g i c a l a d v a n c e s , s u c h a s f a s t e r c o m p u t e r s , c h e a p e r a n d m o r e r e l i a b l e s e n s o r s a n d

t h e i n t e g r a t i o n o f c o n t r o l c o n s i d e r a t i o n s i n t h e p r o d u c t d e s i g n a n d m a n u f a c t u r i n g p r o c e s s , h a v e m a d e i t

p o s s i b l e t o e x t e n d t h e p r a c t i c a l a p p l i c a t i o n s o f c o n t r o l t o s y s t e m s t h a t w e r e i m p o s s i b l e t o d e a l w i t h i n t h e

p a s t .

T h e n e e d f o r H y b r i d C o n t r o l

T o d e a l w i t h l a r g e , c o m p l e x s y s t e m s e n g i n e e r s a r e u s u a l l y i n c l i n e d t o u s e a c o m b i n a t i o n o f c o n t i n u o u s a n d

d i s c r e t e c o n t r o l l e r s . T h e r e a s o n s w h y c o n t i n u o u s c o n t r o l l e r s a r e u s e d a r e m a n y :

I n t e r a c t i o n w i t h t h e p h y s i c a l p l a n t , t h r o u g h s e n s o r s a n d a c t u a t o r s , i s e s s e n t i a l l y a n a l o g , i . e . c o n t i n -

u o u s , f r o m t h e e n g i n e e r i n g p o i n t o f v i e w .

C o n t i n u o u s m o d e l s h a v e b e e n d e v e l o p e d , u s e d a n d v a l i d a t e d e x t e n s i v e l y i n t h e p a s t i n m o s t a r e a s

t h a t i n t e r e s t c o n t r o l e n g i n e e r s e . g . e l e c t r i c a l a n d m e c h a n i c a l s y s t e m s , e l e c t r o m a g n e t i c s y s t e m s , e t c .

P o w e r f u l c o n t r o l t e c h n i q u e s h a v e a l r e a d y b e e n d e v e l o p e d f o r m a n y c l a s s e s o f c o n t i n u o u s s y s t e m s .

M o r e o v e r , i n c o n j u n c t i o n w i t h t h e r e l i a b l e c o n t i n u o u s m o d e l s , p r o o f s o f g u a r a n t e e d p e r f o r m a n c e c a n

b e o b t a i n e d f o r t h e s e t e c h n i q u e s .

A n e q u a l l y c o m p e l l i n g c a s e c a n b e m a d e i n f a v o r o f d i s c r e t e c o n t r o l l e r s , h o w e v e r :

D i s c r e t e a b s t r a c t i o n s m a k e i t e a s i e r t o m a n a g e t h e c o m p l e x i t y o f t h e s y s t e m . I t i s n o t a n a c c i d e n t

t h a t m o s t o f t h e w o r k o n d i s c r e t e c o n t r o l l e r s s t a r t e d i n t h e a r e a o f m a n u f a c t u r i n g , w h e r e c o m p l e x

s y s t e m s w e r e r s t e n c o u n t e r e d a n d m o d e l e d .

D i s c r e t e m o d e l s a r e e a s i e r t o c o m p u t e w i t h , a s a l l c o m p u t e r s a n d a l g o r i t h m s a r e e s s e n t i a l l y d i s c r e t e .

1


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D i s c r e t e a b s t r a c t i o n s m a k e i t e a s y t o i n t r o d u c e l i n g u i s t i c a n d q u a l i t a t i v e i n f o r m a t i o n i n t h e c o n t r o l l e r

d e s i g n .

I n t h e l i t e r a t u r e , t h e t e r m h y b r i d s y s t e m s i s u s e d t o d e s c r i b e s y s t e m s t h a t i n c o r p o r a t e b o t h c o n t i n u o u s

a n d d i s c r e t e d y n a m i c s . D e s i g n a n d a n a l y s i s o f s u c h s y s t e m s i s p a r t i c u l a r l y c h a l l e n g i n g . A n o b v i o u s

c h a l l e n g e a r i s e s f r o m t h e s i z e o f t h e p r o b l e m a n d t h e d i v e r s e r e q u i r e m e n t s t h a t t h e d e s i g n n e e d s t o s a t i s f y .

E v e n t h o u g h t h e u l t i m a t e g o a l o f a d e s i g n m a y b e n a n c i a l b e n e t , a n u n d e r l y i n g c o n s t r a i n t i s t h a t t h i s

s h o u l d b e a c h i e v e d w i t h o u t a n a d v e r s e i m p a c t o n t h e e n v i r o n m e n t , t h e s a f e t y o f t h e u s e r s , e t c . T h e s e

c o n s i d e r a t i o n s o f t e n m a k e c o n t r a d i c t o r y d e m a n d s o n t h e d e s i g n a n d a c o m p r o m i s e b e t w e e n t h e m n e e d s

t o b e s o u g h t . T h i s m a y r e q u i r e t h e f u s i o n o f e x p e r t i z e f r o m m a n y s c i e n t i c d i s c i p l i n e s : c o m p u t e r s c i e n c e ,

c o n t r o l , c h e m i c a l e n g i n e e r i n g , o p e r a t i o n s r e s e a r c h , e t c . T h e p r o b l e m b e c o m e s e v e n m o r e d i c u l t f o r

s y s t e m s w h e r e a p a r t l y s a t i s f a c t o r y d e s i g n a l r e a d y e x i s t s . T h e m o m e n t u m o f t h e u s e r s , d e s i g n e r s a n d

a g e n c i e s o f t e n m a k e s t h e i m p l e m e n t a t i o n o f n e w i d e a s p r o b l e m a t i c . F o r s u c h s y s t e m s i t m a y b e d i c u l t

t o d i s t i n g u i s h b e t w e e n t h e a c t u a l i s s u e s t h a t n e e d t o b e a d d r e s s e d b y a n e w d e s i g n a n d i s s u e s t h a t a r i s e

b e c a u s e o f a d h e r e n c e t o c u r r e n t p r a c t i c e s .

T h e b i g g e s t c h a l l e n g e , h o w e v e r , i s t h e l a c k o f f o r m a l m a t h e m a t i c a l t o o l s f o r t h e a n a l y s i s a n d d e s i g n

o f s u c h s y s t e m s . T h r o u g h t h e y e a r s a n u m b e r o f t o o l s h a v e b e e n d e v e l o p e d t o d e a l w i t h p u r e l y c o n t i n u o u s

o r p u r e l y d i s c r e t e s y s t e m s . N o n e o f t h e s e t o o l s h o w e v e r i s c a p a b l e o f f u l l y a d d r e s s i n g t h e i s s u e s a r i s i n g

i n h y b r i d s y s t e m s . T h e d e v e l o p m e n t o f s p e c i a l i z e d h y b r i d s y s t e m t o o l s h a s r e c e n t l y b e e n t h e f o c u s o f a

n u m b e r o f r e s e a r c h g r o u p s 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 1 0 , 1 1 . T h i s d i s s e r t a t i o n w i l l s u m m a r i z e o n e s u c h e o r t

1 2 , 1 3 , 1 4 , 1 5 , 1 6 , 1 7 , 1 8 , 1 9 , 2 0 , 2 1 .

M u l t i - A g e n t S c a r c e R e s o u r c e S y s t e m s

A v e r y i n t e r e s t i n g c l a s s o f s y s t e m s t h a t a r e n a t u r a l l y s u i t e d f o r h y b r i d c o n t r o l a r e m u l t i a g e n t , s c a r c e

r e s o u r c e s y s t e m s . T h e i r c o m m o n c h a r a c t e r i s t i c i s t h a t m a n y a g e n t s a r e t r y i n g t o m a k e o p t i m u m u s e o f

a c o n g e s t e d , c o m m o n r e s o u r c e . E x a m p l e s o f s u c h s y s t e m s a r e h i g h w a y s y s t e m s , w h e r e v e h i c l e s c o m p e t e

f o r s c a r c e h i g h w a y s p a c e - t i m e , a i r t r a c m a n a g e m e n t s y s t e m s w h e r e a i r c r a f t c o m p e t e f o r a i r s p a c e

a n d r u n w a y s p a c e , p o w e r g e n e r a t i o n a n d d i s t r i b u t i o n s y s t e m s w h e r e p r o d u c e r s a n d c o n s u m e r s o f p o w e r

m a k e u s e o f t h e c o m m o n d i s t r i b u t i o n g r i d , c o m p u t e r n e t w o r k s , e t c . B e c a u s e o f t h e c h a l l e n g i n g p r o b l e m s

a s s o c i a t e d w i t h t h e c o n t r o l o f m u l t i - a g e n t , s c a r c e r e s o u r c e s y s t e m s , t h i s a r e a h a s a t t r a c t e d c o n s i d e r a b l e

a t t e n t i o n b o t h t h e o r e t i c a l l y a n d i n a p p l i c a t i o n 2 2 , 2 3 , 2 4 , 1 7 , 2 5 .

T h e d e s i g n o f c o n t r o l l e r s f o r m u l t i a g e n t s c a r c e r e s o u r c e p r o b l e m s p r e s e n t s a n u m b e r o f d i c u l t i e s :

E v e n t h o u g h t h e i n d i v i d u a l a g e n t s t a t e s p a c e m a y b e s m a l l , t h e p o s s i b l e c o u p l i n g b e t w e e n t h e a g e n t s

l e a d s t o a v e r y l a r g e n u m b e r o f i n t e r a c t i n g s t a t e s .

T h e n u m b e r o f a g e n t s m a y b e d y n a m i c a l l y c h a n g i n g p l a n e s t a k e o a n d l a n d , v e h i c l e s g e t o n a n d

o t h e h i g h w a y , e t c . .

F a u l t s i n o n e a g e n t m a y a d v e r s e l y e e c t e v e r y o n e e l s e .

T h e o p t i m u m p o l i c y f o r e a c h a g e n t m a y n o t c o i n c i d e w i t h t h e c o m m o n g o o d " . T h e r e f o r e , c o m p r o -

m i s e s n e e d t o b e m a d e .

T h e l a s t c o m m e n t i n d i c a t e s t h a t t h e i n f o r m a t i o n s t r u c t u r e p l a y s a c r u c i a l r o l e i n t h e d e s i g n . T o a c h i e v e

t h e c o m m o n o p t i m u m o n e s h o u l d i d e a l l y h a v e a c e n t r a l i z e d c o n t r o l s c h e m e , i . e . o n e o r a l l t h e a g e n t s h a v e

a c c e s s t o a l l t h e i n f o r m a t i o n . T h e c e n t r a l i z e d c o n t r o l l e r c o m p u t e s t h e g l o b a l o p t i m u m a n d c o m m a n d s t h e

a g e n t s a c c o r d i n g l y . S u c h c e n t r a l i z e d s c h e m e s h a v e b e e n u s e d s u c c e s s f u l l y i n c e r t a i n a p p l i c a t i o n s . T h e y

s e e m t o w o r k b e s t i n c a s e s w h e r e t h e e n v i r o n m e n t i s h i g h l y s t r u c t u r e d f o r e x a m p l e i n t r a i n s c h e d u l i n g .

I n m o s t c a s e s , h o w e v e r , a s o l u t i o n l i k e t h i s m a y b e u n d e s i r a b l e f o r a n u m b e r o f r e a s o n s :

2


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I t i s l i k e l y t o b e v e r y c o m p u t a t i o n a l l y i n t e n s i v e , a s a l a r g e c e n t r a l i z e d c o m p u t e r w i l l p r o b a b l y b e

n e e d e d t o m a k e a l l t h e d e c i s i o n s .

I t m a y b e l e s s r e l i a b l e , a s t h e c o n s e q u e n c e s a r e l i k e l y t o b e c a t a s t r o p h i c i f t h e c e n t r a l i z e d c o n t r o l l e r

i s d i s a b l e d .

T h e i n f o r m a t i o n t h a t n e e d s t o b e e x c h a n g e d m a y b e t o o l a r g e f o r t h e a v a i l a b l e c o m m u n i c a t i o n

c a p a b i l i t i e s .

A s t h e n u m b e r o f a g e n t s m a y b e l a r g e a n d o r d y n a m i c a l l y c h a n g i n g , t h e o p t i m a l s t r a t e g y m a y b e

h a r d t o o b t a i n a n d m a y h a v e t o b e c o n s t a n t l y u p d a t e d .

A n o t h e r e x t r e m e a l t e r n a t i v e w o u l d b e a c o m p l e t e l y d e c e n t r a l i z e d s c h e m e . H e r e , e a c h a g e n t t a k e s c o n t r o l

d e c i s i o n s i n d i v i d u a l l y b a s e d o n l o c a l i n f o r m a t i o n f o r e x a m p l e i n f o r m a t i o n o b t a i n e d t h r o u g h s e n s o r s a b o u t

i t s o w n s t a t e a n d t h e s t a t e o f n e i g h b o r i n g a g e n t s . T h e a d v a n t a g e o f s u c h a s c h e m e i s t h a t i t r e q u i r e s

n o i n f o r m a t i o n e x c h a n g e b e t w e e n t h e a g e n t s . H e n c e t h e c a l c u l a t i o n s i n v o l v e d i n t h e c o n t r o l l e r d e s i g n a r e

l i k e l y c a n b e a l o t s i m p l e r . O n t h e o t h e r h a n d i t i s l i k e l y t o b e v e r y i n e c i e n t c o m p a r e d t o t h e g l o b a l

o p t i m u m . M o r e o v e r , p r o o f s o f p e r f o r m a n c e c l a i m s a r e g o i n g t o b e v e r y h a r d , a s t h e g l o b a l b e h a v i o r m a y

b e d i c u l t t o i n f e r f r o m t h e l o c a l c a l c u l a t i o n s .

I f a c o m p l e t e l y d e c e n t r a l i z e d s o l u t i o n i s u n a c c e p t a b l e a n d a c o m p l e t e l y c e n t r a l i z e d s o l u t i o n i s p r o h i b i t -

i n g l y c o m p l e x o r e x p e n s i v e , a n i n - b e t w e e n c o m p r o m i s e w i l l h a v e t o b e s o u g h t . S u c h a c o m p r o m i s e w i l l

f e a t u r e s e m i a u t o n o m o u s a g e n t o p e r a t i o n . I n t h i s c a s e e a c h a g e n t i s t r y i n g t o o p t i m i z e i t s o w n u s a g e o f t h e

r e s o u r c e a n d c o o r d i n a t e s w i t h n e i g h b o r i n g a g e n t s i f t h e r e i s a c o n i c t o f o b j e c t i v e s . C l e a r l y s u c h a s o l u t i o n

i s l i k e l y t o b e l e s s e c i e n t t h a n a c e n t r a l i z e d s c h e m e a n d h a r d e r t o i m p l e m e n t t h a n a d e c e n t r a l i z e d s c h e m e ;

h o w e v e r , i t m a y b e t h e o n l y f e a s i b l e c h o i c e .

I t s h o u l d b e n o t e d t h a t s e m i a u t o n o m o u s a g e n t c o n t r o l i s n a t u r a l l y s u i t e d f o r h y b r i d d e s i g n s .

T h e c o n t r o l l e r c a n b e a r r a n g e d i n a m u l t i l e v e l h i e r a r c h y . A t t h e l o w e r l e v e l s e a c h a g e n t c h o o s e s i t s

o w n o p t i m a l s t r a t e g y , w h i c h w i l l b e i n t h e f o r m o f a c o n t i n u o u s c o n t r o l l a w . A t t h e h i g h e r l e v e l s d i s c r e t e

c o o r d i n a t i o n i s u s e d t o r e s o l v e c o n i c t s . T h e h y b r i d d y n a m i c s a r i s e f r o m t h e i n t e r a c t i o n b e t w e e n c o n t i n u o u s

s i n g l e a g e n t o p t i m a l s t r a t e g i e s a n d d i s c r e t e c o n i c t r e s o l u t i o n p r o t o c o l s . T h i s d i s s e r t a t i o n w i l l b e p r i m a r i l y

c o n c e r n e d w i t h t h i s a p p r o a c h t o m u l t i a g e n t h y b r i d c o n t r o l d e s i g n .

1 . 2 I s s u e s t o b e A d d r e s s e d

W e w i l l a d d r e s s t h r e e p r o b l e m s t h a t a r i z e i n l a r g e s c a l e s y s t e m s : c o n t r o l l e r d e s i g n , v e r i c a t i o n a n d

e x t e n d i n g s y s t e m a u t o n o m y . F o r t h e r s t t w o p r o b l e m s t h e t r e a t m e n t w i l l b e f o r m a l , w h i l e f o r t h e

t h i r d i t w i l l p r i m a r i l y b e b a s e d o n i n t u i t i o n a n d e x a m p l e s .

1 . 2 . 1 C o n t r o l l e r D e s i g n

O u r w o r k a i m s a t d e s i g n i n g h y b r i d c o n t r o l l e r s s o t h a t c e r t a i n a s p e c t s o f t h e c l o s e d l o o p s y s t e m p e r f o r m a n c e

a r e a - p r i o r i g u a r a n t e e d , w i t h o u t h a v i n g t o c a r r y o u t a n y v e r i c a t i o n . T h i s a p p r o a c h i s a l s o t a k e n b y o t h e r

r e s e a r c h e r s i n t h e e l d s e e f o r e x a m p l e 8 , 6 , 2 3 , 2 6 , 2 7 , 1 8 , 2 8 . T h e a d v a n t a g e i s t h a t i t e a s e s t h e

r e q u i r e m e n t s o n v e r i c a t i o n s o m e w h a t a s a l a r g e p a r t o f t h e c o m p l e x i t y c a n b e a b s o r b e d b y c a r e f u l d e s i g n .

F r a m e w o r k

T h e p l a n i s t o s t a r t b y m o d e l i n g t h e s y s t e m s d y n a m i c s a t t h e c o n t i n u o u s l e v e l . E a c h a g e n t w i l l b e m o d e l e d

i n d e p e n d e n t l y b y a s t a t e s p a c e m o d e l w i t h r e l a t i v e l y f e w s t a t e s . T w o f a c t o r s a e c t t h e s y s t e m e v o l u t i o n

3


10/123

a t t h i s l e v e l . T h e r s t i s t h e c o n t r o l , t h a t t h e d e s i g n e r h a s t o d e t e r m i n e . T h e s e c o n d i s t h e d i s t u r b a n c e s

t h a t e n t e r t h e s y s t e m , o v e r w h i c h w e a s s u m e n o c o n t r o l . W e w i l l d i s t i n g u i s h t h r e e c l a s s e s o f d i s t u r b a n c e s :

C l a s s 1 : E x o g e n o u s s i g n a l s , s u c h a s u n m o d e l e d f o r c e s a n d t o r q u e s i n m e c h a n i c a l s y s t e m s , s e n s o r

n o i s e , e t c .

C l a s s 2 : U n m o d e l e d d y n a m i c s

C l a s s 3 : T h e a c t i o n s o f o t h e r a g e n t s , i n a m u l t i a g e n t s e t t i n g .

D i s t u r b a n c e s o f C l a s s 1 a n d 2 a r e s t a n d a r d i n c l a s s i c a l c o n t r o l t h e o r y . C l a s s 3 w i l l b e t h e m o s t i n t e r e s t i n g

o n e f r o m t h e p o i n t o f v i e w o f h y b r i d c o n t r o l . R e c a l l t h a t a t t h i s s t a g e w e a r e m e r e l y m o d e l i n g t h e p l a n t ,

t h e r e f o r e w e a s s u m e n o c o o p e r a t i o n b e t w e e n t h e a g e n t s . A s a r e s u l t , e a c h a g e n t v i e w s t h e a c t i o n s o f i t s

n e i g h b o r s a s u n c o n t r o l l a b l e d i s t u r b a n c e s .

I n t h i s s e t t i n g s p e c i c a t i o n s a b o u t t h e c l o s e d l o o p s y s t e m c a n b e e n c o d e d i n t e r m s o f c o s t f u n c t i o n s . A

n u m b e r o f c o s t f u n c t i o n s m a y n e e d t o b e c o n s i d e r e d t o e n c o d e d i e r e n t r e q u i r e m e n t s f o r e x a m p l e s a f e t y ,

e c i e n c y , e t c . . I t w i l l b e a s s u m e d t h a t t h e c o s t f u n c t i o n s c a n b e r a n k e d i n t e r m s o f i m p o r t a n c e f o r

e x a m p l e s a f e t y w i l l b e m o r e i m p o r t a n t t h a n e c i e n c y . A c c e p t a b l e p e r f o r m a n c e c a n b e e n c o d e d b y m e a n s

o f t h r e s h o l d s o n t h e n a l c o s t s .

C o n t i n u o u s D e s i g n

T h e r s t o b j e c t i v e i s t o d e r i v e a c o n t i n u o u s d e s i g n f o r t h e c o n t r o l i n p u t s t h a t g u a r a n t e e s p e r f o r m a n c e

d e s p i t e t h e d i s t u r b a n c e s . T h e d e s i g n o f t h e c o n t i n u o u s l a w s w i l l b e o p t i m a l w i t h r e s p e c t t o t h e c l o s e d l o o p

s y s t e m r e q u i r e m e n t s . A n i d e a l t o o l f o r t h i s k i n d o f s e t u p i s g a m e t h e o r y . I n t h e g a m e t h e o r e t i c f r a m e w o r k

t h e c o n t r o l a n d t h e d i s t u r b a n c e s a r e v i e w e d a s a d v e r s a r i e s i n a g a m e . T h e c o n t r o l s e e k s t o i m p r o v e s y s t e m

p e r f o r m a n c e w h i l e t h e d i s t u r b a n c e s e e k s t o m a k e i t w o r s e . G a m e s l i k e t h e s e d o n o t n e c e s s a r i l y h a v e w i n n e r s

a n d l o s e r s . I f , h o w e v e r , w e s e t t h r e s h o l d s o n t h e c o s t f u n c t i o n s t o d i s t i n g u i s h a c c e p t a b l e f r o m u n a c c e p t a b l e

p e r f o r m a n c e w e c a n s a y t h a t t h e c o n t r o l w i n s t h e g a m e i f t h e r e q u i r e m e n t s a r e s a t i s e d f o r a n y a l l o w a b l e

d i s t u r b a n c e , w h i l e t h e d i s t u r b a n c e w i n s o t h e r w i s e .

T h e p r i n c i p l e s i n v o l v e d i n g a m e t h e o r e t i c d e s i g n a r e v e r y s i m i l a r t o t h e o n e s f o r o p t i m a l c o n t r o l .

R o u g h l y s p e a k i n g , t h e d e s i g n e r h a s t o n d t h e b e s t p o s s i b l e c o n t r o l a n d t h e w o r s t p o s s i b l e d i s t u r b a n c e . I f

t h e r e q u i r e m e n t s a r e m e t f o r t h i s p a i r , i t i s p o s s i b l e t o o b t a i n a s a t i s f a c t o r y d e s i g n o n e s u c h d e s i g n i s t h e

b e s t p o s s i b l e " c o n t r o l . I f t h e r e q u i r e m e n t s a r e n o t s a t i s e d t h e p r o b l e m c a n n o t b e s o l v e d a s i s , s i n c e

t h e r e e x i s t s a c h o i c e o f d i s t u r b a n c e f o r w h i c h , n o m a t t e r w h a t t h e c o n t r o l l e r d o e s , t h e c l o s e d l o o p s y s t e m

w i l l f a i l t o s a t i s f y t h e r e q u i r e m e n t s .

G a m e t h e o r e t i c i d e a s h a v e a l r e a d y b e e n a p p l i e d i n t h i s c o n t e x t t o p r o b l e m s w i t h d i s t u r b a n c e s o f C l a s s 1

a n d 2 a n d q u a d r a t i c c o s t f u n c t i o n s . T h e r e s u l t i n g c o n t r o l l e r s a r e t h e s o c a l l e d H

1

o r L

2

o p t i m a l c o n t r o l l e r s

s e e f o r e x a m p l e 2 9 , 3 0 . W e w i l l t r y t o e x t e n d t h e s e i d e a s t o t h e m u l t i a g e n t , h y b r i d s e t t i n g a n d f o c u s

o n d i s t u r b a n c e s o f C l a s s 3 .

D i s c r e t e D e s i g n

T h e s o l u t i o n t o t h e g a m e t h e o r e t i c p r o b l e m w i l l p r o d u c e a c o n t i n u o u s c o n t r o l l a w a n d a s e t o f i n i t i a l

c o n d i t i o n s f o r w h i c h p e r f o r m a n c e i s g u a r a n t e e d f o r a n y d i s t u r b a n c e . I f d i s c r e t e s w i t c h i n g b e t w e e n c o n t r o l

l a w s i s r e q u i r e d , t h e s e t o f i n i t i a l c o n d i t i o n s c a n b e u s e d a s g u i d e l i n e s f o r t h e s w i t c h i n g a f o r m o f i n t e r f a c e

b e t w e e n t h e c o n t i n u o u s a n d d i s c r e t e d o m a i n s .

I f i t t u r n s o u t t h a t t h e d i s t u r b a n c e i s s u c h t h a t t h e s p e c i c a t i o n s c a n n o t b e m e t f o r a n y c o n t r o l l e r t h e

d e s i g n f a i l s . T h e o n l y w a y t o s a l v a g e t h e s i t u a t i o n i s t o s o m e h o w l i m i t t h e d i s t u r b a n c e . F o r d i s t u r b a n c e s

o f C l a s s 3 t h i s m a y b e p o s s i b l e b y m e a n s o f c o m m u n i c a t i o n a n d c o o r d i n a t i o n b e t w e e n t h e a g e n t s . T h e

4


11/123

o b j e c t i v e t h e n i s t o c o m e u p w i t h a d i s c r e t e d e s i g n t h a t l i m i t s t h e d i s t u r b a n c e s o t h a t a c o n t i n u o u s d e s i g n

i s f e a s i b l e . U n f o r t u n a t e l y , n o f o r m a l t e c h n i q u e e x i s t s f o r d e t e r m i n i n g t h e c o o r d i n a t i o n n e c e s s a r y t o s o l v e

s u c h a p r o b l e m . T y p i c a l l y a d i s c r e t e d e s i g n i s c a r r i e d o u t b a s e d o n h e u r i s t i c s a n d i n s i g h t g a i n e d f r o m

t h e c o n t i n u o u s l e v e l d e s i g n . T h e n t h e s y s t e m i s a n a l y z e d t o d e t e r m i n e w h e t h e r t h e c o o r d i n a t i o n p r o v i d e s

e n o u g h d i s t u r b a n c e r e d u c t i o n f o r t h e p r o b l e m t o h a v e a s o l u t i o n . I n t h i s d i s s e r t a t i o n w e w i l l l i m i t o u r

a t t e n t i o n t o t h e d e s i g n o f c o n t i n u o u s c o n t r o l l a w s a n d i n t e r f a c e s b e t w e e n t h e s e l a w s a n d t h e d i s c r e t e w o r l d .

I n t h e e x a m p l e s w e c o n s i d e r t h e r e q u i r e m e n t s o n t h e d i s c r e t e d e s i g n w i l l i n t u i t i v e l y f o l l o w .

S u m m a r i z i n g , o u r a p p r o a c h t o h y b r i d c o n t r o l l e r d e s i g n c o n s i s t s o f d e t e r m i n i n g c o n t i n u o u s c o n t r o l l a w s

a n d c o n d i t i o n s u n d e r w h i c h t h e y s a t i s f y t h e c l o s e d l o o p r e q u i r e m e n t s . T h e n a d i s c r e t e d e s i g n i s c o n s t r u c t e d

t o e n s u r e t h a t t h e s e c o n d i t i o n s a r e m e t . T h i s p r o c e s s e l i m i n a t e s t h e n e e d f o r a u t o m a t i c v e r i c a t i o n a s t h e

h y b r i d c l o s e d l o o p s y s t e m i s g u a r a n t e e d t o s a t i s f y t h e s p e c i c a t i o n s b y d e s i g n .

1 . 2 . 2 V e r i c a t i o n

A n o t h e r s t a n d a r d a p p r o a c h t o t h e d e s i g n o f h y b r i d c o n t r o l l e r s i n v o l v e s i n d e p e n d e n t l y c o m i n g u p w i t h a

r e a s o n a b l e d e s i g n f o r b o t h t h e d i s c r e t e a n d c o n t i n u o u s p a r t s . T h e c o m b i n e d h y b r i d c o n t r o l l e r i s t h e n p u t

t o g e t h e r b y m e a n s o f i n t e r f a c e s , a n d v e r i c a t i o n i s c a r r i e d o u t t o e n s u r e t h a t i t s a t i s e s c e r t a i n p r o p e r t i e s .

B e c a u s e o f t h e c o m p l e x i t y o f t h e s y s t e m , v e r i c a t i o n i s u s u a l l y d o n e a u t o m a t i c a l l y , u s i n g s o m e s p e c i a l i z e d

c o m p u t e r p r o g r a m .

C o m p u t e r A i d e d V e r i c a t i o n

T h i s a p p r o a c h h a s b e e n m o t i v a t e d b y t h e s u c c e s s o f v e r i c a t i o n t e c h n i q u e s f o r n i t e s t a t e s y s t e m s . V e r -

i c a t i o n a l g o r i t h m s f o r n i t e s t a t e m a c h i n e s h a v e b e e n i n u s e f o r y e a r s a n d e c i e n t p r o g r a m s e x i s t t o

i m p l e m e n t t h e m C O S P A N 3 1 , H S I S 3 2 , S T A T E M A T E 3 3 , e t c . . T h e y h a v e p r o v e d v e r y s u c c e s s f u l

i n d i s c r e t e p r o b l e m s s u c h a s c o m m u n i c a t i o n p r o t o c o l s 3 4 a n d s o f t w a r e a l g o r i t h m s . T h e p u s h t o w a r d s

s t r o n g e r v e r i c a t i o n t e c h n i q u e s h a s b e e n i n t h e d i r e c t i o n o f e x t e n d i n g t h e s t a n d a r d n i t e s t a t e m a c h i n e

r e s u l t s t o i n c o r p o r a t e p r o g r e s s i v e l y m o r e c o m p l i c a t e d c o n t i n u o u s d y n a m i c s . T h e r s t e x t e n s i o n h a s b e e n

f o r s y s t e m s w i t h c l o c k s 3 5 , 3 6 a n d m u l t i - r a t e c l o c k s 5 . T h e o r e t i c a l r e s u l t s h a v e e s t a b l i s h e d c o n d i t i o n s

u n d e r w h i c h p r o b l e m s l i k e t h e s e c a n b e s o l v e d c o m p u t a t i o n a l l y a n d a l g o r i t h m s h a v e b e e n d e v e l o p e d t o

i m p l e m e n t t h e v e r i c a t i o n p r o c e s s f o r e x a m p l e t i m e d C O S P A N 3 7 , K R O N O S 3 8 a n d U U P A A L 3 9 .

V e r i c a t i o n o f t i m e d s y s t e m s h a s p r o v e d u s e f u l i n a p p l i c a t i o n s s u c h a s d i g i t a l c i r c u i t v e r i c a t i o n 4 0 a n d

r e a l - t i m e s o f t w a r e 4 1 . R e c e n t l y t h e t h e o r y h a s b e e n e x t e n d e d t o s y s t e m s w h e r e t h e d y n a m i c s c a n b e m o d -

e l e d b y r e c t a n g u l a r d i e r e n t i a l i n c l u s i o n s . T h e r e s u l t s i n d i c a t e t h a t , u n d e r c e r t a i n c o n d i t i o n s , a u t o m a t i c

v e r i c a t i o n s h o u l d a l s o b e p o s s i b l e f o r s u c h s y s t e m s 4 2 , b u t m o s t a p p l i c a t i o n s h a v e b e e n t o a c a d e m i c

e x a m p l e s r a t h e r t h a n a c t u a l s y s t e m s . T o o u r k n o w l e d g e t h e o n l y c o m p u t e r p a c k a g e c a p a b l e o f d e a l i n g

w i t h d i e r e n t i a l i n c l u s i o n s , H Y T E C H , i s s t i l l u n d e r d e v e l o p m e n t 4 3 .

P r o g r e s s i n t h e d i r e c t i o n o f a u t o m a t i c v e r i c a t i o n h a s b e e n i m p e d e d b y t w o f u n d a m e n t a l o b s t a c l e s .

T h e r s t i s u n d e c i d a b i l i t y . T o g u a r a n t e e t h a t a u t o m a t i c v e r i c a t i o n a l g o r i t h m w i l l t e r m i n a t e i n n i t e

n u m b e r o f s t e p s w i t h a n a n s w e r , t h e s y s t e m n e e d s t o s a t i s f y v e r y s t r i n g e n t t e c h n i c a l r e q u i r e m e n t s . I t

c a n b e s h o w n 1 0 t h a t r e l a x i n g a n y o f t h e s e r e q u i r e m e n t s m a k e s t h e p r o b l e m u n d e c i d a b l e . T h e s e c o n d

p r o b l e m i s c o m p u t a t i o n a l c o m p l e x i t y . E v e n r e l a t i v e l y s i m p l e h y b r i d s y s t e m s l e a d t o v e r y l a r g e n u m b e r s

o f d i s c r e t e s t a t e s w h e n l o o k e d a t f r o m t h e p o i n t o f v i e w o f a u t o m a t i c v e r i c a t i o n . E v e n t h o u g h e c i e n t

a l g o r i t h m s t h a t m a k e u s e o f f o r m a l r e d u c t i o n t e c h n i q u e s a s w e l l a s h e u r i s t i c s a n d u s e r i n p u t t o f a c i l i t a t e

t h e s e a r c h e x i s t , t h e p r o b l e m m a y s t i l l b e p r o h i b i t i v e l y l a r g e f o r c u r r e n t c o m p u t e r s 4 1 .

C o m p u t a t i o n a l c o m p l e x i t y i s a f u n d a m e n t a l i s s u e f o r v e r i c a t i o n a n d c a n , i n p r i n c i p l e , c a u s e p r o b l e m s

t o a n y v e r i c a t i o n a l g o r i t h m . T o a d d r e s s t h e i s s u e o f u n d e c i d a b i l i t y t h e c o n c e p t o f a b s t r a c t i o n m a y b e

5


12/123

u s e d . A h y b r i d s y s t e m t h a t f a i l s t o s a t i s f y t h e d e c i d a b i l i t y r e q u i r e m e n t s i s r e p l a c e d b y a n a b s t r a c t i o n ,

i . e . a h y b r i d s y s t e m t h a t c a n p r o d u c e a t l e a s t a s m a n y r u n s a s t h e o r i g i n a l s y s t e m a n d p o s s i b l y m o r e .

T h e a b s t r a c t i o n c a n b e c h o s e n t o b e a d e c i d a b l e h y b r i d s y s t e m ; f o r m a l r e s u l t s e x i s t t h a t d e t e r m i n e t h e

q u a l i t y o f a b s t r a c t i o n t h a t c a n b e e x p e c t e d 9 . V e r i c a t i o n c a n t h e n b e c a r r i e d o u t o n t h e a b s t r a c t i o n .

I f i t t u r n s o u t t h a t t h e a b s t r a c t i o n s a t i s e s t h e n e c e s s a r y r e q u i r e m e n t s t h e n t h e o r i g i n a l s y s t e m i s a l s o

g u a r a n t e e d t o s a t i s f y t h e m . I f t h e a b s t r a c t i o n f a i l s t o s a t i s f y t h e r e q u i r e m e n t s h o w e v e r , n o c o n c l u s i o n c a n

b e d r a w n a b o u t t h e o r i g i n a l s y s t e m . T h e f a i l u r e m a y b e d u e t o a t r a j e c t o r y o f t h e o r i g i n a l s y s t e m o r t o

a s p u r i o u s t r a j e c t o r y g e n e r a t e d b y o v e r a b s t r a c t i o n " . T h e a b s t r a c t i o n w i l l t h e n h a v e t o b e r e n e d a n d

t h e v e r i c a t i o n r e p e a t e d . B e s i d e s t h i s t e c h n i c a l p r o b l e m , t h e m a i n d r a w b a c k o f a b s t r a c t i o n t e c h n i q u e s i s

t h a t t h e y e x a s p e r a t e t h e c o m p l e x i t y s i t u a t i o n . E v e n a s i m p l e d y n a m i c a l s y s t e m m a y r e q u i r e a n i m m e n s e l y

c o m p l i c a t e d a b s t r a c t i o n a u t o m a t o n t o r e p r o d u c e i t s t r a j e c t o r i e s t o w i t h i n r e a s o n a b l e a c c u r a c y .

V e r i c a t i o n u s i n g O p t i m a l C o n t r o l

O p t i m a l c o n t r o l a n d g a m i n g i d e a s m a y a l s o p r o v e u s e f u l f o r v e r i c a t i o n . S t a n d a r d a u t o m a t i c v e r i c a t i o n

t e c h n i q u e s i n v o l v e s o m e f o r m o f e x h a u s t i v e s e a r c h , t o v e r i f y t h a t a l l p o s s i b l e r u n s o f t h e s y s t e m s s a t i s f y

a c e r t a i n p r o p e r t y . A s d i s c u s s e d a b o v e t h i s l e a d s t o u n d e c i d a b i l i t y a n d c o m p l e x i t y p r o b l e m s . A n o p t i m a l

c o n t r o l a p p r o a c h t o v e r i c a t i o n i n v o l v e s s o l v i n g a n o p t i m a l c o n t r o l p r o b l e m t o o b t a i n t h e w o r s t p o s s i b l e

r u n w i t h r e s p e c t t o a g i v e n r e q u i r e m e n t a n d t h e n v e r i f y i n g t h a t t h e s p e c i c a t i o n h o l d s f o r t h i s r u n . I f t h i s

i s t h e c a s e , i t w i l l a l s o h o l d f o r a l l o t h e r r u n s .

V e r i c a t i o n o f c l o s e d l o o p h y b r i d s y s t e m s i s b e t t e r s u i t e d f o r o p t i m a l c o n t r o l , r a t h e r t h a n g a m e t h e o r y ,

a s o n e o f t h e t w o p l a y e r s t h e c o n t r o l l e r h a s i t s s t r a t e g y x e d a - p r i o r i . T h e r e f o r e o n l y t h e d i s t u r b a n c e s ,

t r y i n g t o d o t h e i r w o r s t t o u p s e t t h e d e s i g n , e n t e r t h e p i c t u r e . A n i n t e r e s t i n g c l a s s o f d i s t u r b a n c e s t h a t

n e e d t o b e c o n s i d e r e d i n t h i s c o n t e x t i s :

C l a s s 4 : C o m m a n d s f r o m t h e d i s c r e t e c o n t r o l l e r

F r o m t h e p o i n t o f v i e w o f t h e c o n t i n u o u s s y s t e m w h e r e t h e o p t i m a l c o n t r o l p r o b l e m i s t o b e s o l v e d

t h e s e c o m m a n d s c a n b e v i e w e d a s s i g n a l s t h a t m a k e t h e c o n t i n u o u s s y s t e m s w i t c h b e t w e e n c o n t r o l l a w s ,

x e d p o i n t s e t c . O p t i m a l c o n t r o l c a n b e u s e d t o d e t e r m i n e t h e d i s c r e t e c o m m a n d s e q u e n c e s t h a t f o r c e

t h e c o n t i n u o u s s y s t e m t o v i o l a t e t h e p e r f o r m a n c e s p e c i c a t i o n s . I f t h e d i s c r e t e d e s i g n i s s u c h t h a t t h e s e

c o m m a n d s e q u e n c e s a r e e x c l u d e d t h e n t h e h y b r i d d e s i g n i s v e r i e d . 4 4 d i s c u s s e s t h e a p p l i c a t i o n o f t h e s e

i d e a s t o t h e a u t o m a t e d h i g h w a y e x a m p l e .

T h e m a i n a d v a n t a g e o f t h e o p t i m a l c o n t r o l p o i n t o f v i e w t o v e r i c a t i o n i s t h a t , b y r e m o v i n g t h e

r e q u i r e m e n t f o r a n e x h a u s t i v e s e a r c h , t h e l i m i t a t i o n s o f c o m p l e x i t y a n d u n d e c i d a b i l i t y d i s a p p e a r . I t i s

q u i t e l i k e l y t h a t m a n y h y b r i d s y s t e m s t h a t a r e u n d e c i d a b l e f r o m t h e a u t o m a t i c v e r i c a t i o n p o i n t o f v i e w

w i l l b e a m e n a b l e t o o p t i m a l c o n t r o l v e r i c a t i o n . O n t h e d o w n s i d e , v e r i c a t i o n u s i n g o p t i m a l c o n t r o l

r e q u i r e s a l o t o f i n p u t f r o m t h e u s e r . M o r e o v e r , o p t i m a l c o n t r o l p r o b l e m s w i l l , i n g e n e r a l , b e v e r y h a r d t o

s o l v e a n a l y t i c a l l y . I t i s t h e r e f o r e u n l i k e l y t h a t t h i s a p p r o a c h c a n b e a p p l i e d , a t l e a s t b y h a n d , t o s y s t e m s

w i t h m o r e t h a n a f e w d i s c r e t e s t a t e s . F o r t h e t i m e b e i n g v e r i c a t i o n u s i n g o p t i m a l c o n t r o l i s n o m a t c h f o r

a u t o m a t i c v e r i c a t i o n t e c h n i q u e s f o r s y s t e m s t o w h i c h t h e l a t t e r c a n b e a p p l i e d .

G e n e r a t i o n o f A b s t r a c t i o n s

O p t i m a l c o n t r o l i d e a s c a n a l s o b e u s e d t o g e n e r a t e a b s t r a c t i o n s o f c o n t i n u o u s b e h a v i o r i n t e r m s o f d i s c r e t e

l a n g u a g e s . F o r e x a m p l e o p t i m a l c o n t r o l c a n b e u s e d t o o b t a i n t h e m i n i m u m a n d m a x i m u m t i m e s t h a t

a h y b r i d s y s t e m s p e n d s i n e a c h d i s c r e t e s t a t e . T h e s e b o u n d s c a n t h e n b e u s e d a s a r u d i m e n t a r y t i m e d

a b s t r a c t i o n o f t h e h y b r i d s y s t e m . S i m i l a r l y , t h e s e t s o f i n i t i a l c o n d i t i o n s f o r w h i c h t h e p e r f o r m a n c e r e q u i r e -

m e n t s a r e s a t i s e d , t h a t a r e g e n e r a t e d b y s o l v i n g t h e g a m e t h e o r y p r o b l e m s , c a n b e u s e d a s a d i e r e n t

6


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d i s c r e t e a b s t r a c t i o n s a f e " v s u n s a f e " s t a t e s f o r e x a m p l e . A s i n t h e c a s e o f v e r i c a t i o n , t h e r e q u i r e m e n t

f o r d e s i g n e r i n p u t l i m i t s t h e c o m p l e x i t y o f t h e p r o b l e m s t h a t c a n b e h a n d l e d a n a l y t i c a l l y .

1 . 2 . 3 E x t e n d i n g S y s t e m A u t o n o m y

T h e t e c h n i q u e s d i s c u s s e d a b o v e w i l l p r i m a r i l y b e a p p l i c a b l e f o r s y s t e m o p e r a t i o n u n d e r n o r m a l c o n d i t i o n s .

T h e p r o b l e m b e c o m e s a l o t m o r e c o m p l i c a t e d i f s y s t e m f a u l t s a r e t o b e c o n s i d e r e d . P a r t o f o u r e o r t

w i l l b e t o s e t d o w n g u i d e l i n e s f o r i n c r e a s i n g t h e s y s t e m a u t o n o m y a n d p r o d u c i n g a f a u l t t o l e r a n t d e s i g n .

R o u g h l y s p e a k i n g , t h e s e g u i d e l i n e s c a n b e t h o u g h t o f a s t h e e q u i v a l e n t o f a d a p t a t i o n a n d l e a r n i n g f o r a

h i e r a r c h i c a l l y o r g a n i z e d , h y b r i d s y s t e m . O u r a p p r o a c h w i l l b e i l l u s t r a t e d b y m e a n s o f a n e x a m p l e f r o m

h i g h w a y a u t o m a t i o n .

E x t e n d e d I n f o r m a t i o n S t r u c t u r e

C o n v e n t i o n a l a d a p t a t i o n a n d l e a r n i n g t e c h n i q u e s f o c u s o n q u a n t i t a t i v e l y t u n i n g t h e c o n t r o l l e r b y o b -

s e r v i n g t h e i n p u t o u t p u t p e r f o r m a n c e o f t h e c l o s e d l o o p s y s t e m . T h e o n l y i n f o r m a t i o n n e e d e d f o r t h i s

p u r p o s e r e l a t e s t o t h e s t a t e , i n p u t s a n d o u t p u t s o f t h e s y s t e m a n d c a n b e o b t a i n e d t h r o u g h s e n s o r s . A

f a u l t t o l e r a n t d e s i g n o n t h e o t h e r h a n d w i l l h a v e t o a d a p t t o q u a l i t a t i v e c h a n g e s i n t h e s y s t e m d y n a m i c s

l o s s o f c a p a b i l i t i e s , e t c . . A s a c o n s e q u e n c e , i n a d d i t i o n t o s t a t e i n f o r m a t i o n , t h e f a u l t t o l e r a n t c o n t r o l l e r

w i l l n e e d i n f o r m a t i o n a b o u t t h e s y s t e m c a p a b i l i t i e s . F o r a h y b r i d d e s i g n l i k e t h e o n e s d i s c u s s e d s o f a r t h i s

i n f o r m a t i o n w i l l h a v e t o b e p r e s e n t e d i n a f o r m c o m p a t i b l e w i t h t h e l e v e l o f a b s t r a c t i o n o f e a c h c o n t r o l l e r

d i s c r e t e i n f o r m a t i o n f o r d i s c r e t e c o n t r o l l e r s a n d c o n t i n u o u s i n f o r m a t i o n f o r c o n t i n u o u s o n e s . E x t e n d i n g

t h e i n f o r m a t i o n s t r u c t u r e i n t h i s w a y w i l l e s s e n t i a l l y a m o u n t t o a d d i n g a n e w h i e r a r c h y , t h a t m i m i c s t h e

c o n t r o l h i e r a r c h y , t o p r o p a g a t e t h e c a p a b i l i t y i n f o r m a t i o n .

E x t e n d e d C o n t r o l S t r u c t u r e

T h e r e q u i r e m e n t f o r a u t o n o m y a l s o e n h a n c e s t h e h y b r i d n a t u r e o f t h e d e s i g n , a s i t f o r c e s t h e d e s i g n e r t o

m a k e a n e x p l i c i t d i s t i n c t i o n b e t w e e n s t r a t e g i c p l a n n i n g a n d c o n t r o l e x e c u t i o n . O u r d e s i g n p r o c e d u r e w i l l

i n v o l v e s p l i t t i n g t h e c o n t r o l l e r i n t o t w o l a y e r s , a s u p e r v i s o r a n d a r e g u l a t o r . T h e s u p e r v i s o r m a k e s u s e

o f t h e c a p a b i l i t y i n f o r m a t i o n p r o p a g a t e d b y t h e e x t e n d e d i n f o r m a t i o n s t r u c t u r e t o d e t e r m i n e s t r a t e g y , i . e .

a s e q u e n c e o f c o n t r o l a c t i o n s c o m p a t i b l e w i t h t h e s y s t e m c a p a b i l i t y . T h e s t r a t e g y m a y n e e d t o c h a n g e o n l y

w h e n t h e s y s t e m c a p a b i l i t y c h a n g e s . T h e r e g u l a t o r o n t h e o t h e r h a n d i s r e s p o n s i b l e f o r i m p l e m e n t i n g t h i s

s t r a t e g y .

1 . 3 O u t l i n e

T h e m a t e r i a l o f t h e d i s s e r t a t i o n i s a r r a n g e d i n e i g h t c h a p t e r s . I n C h a p t e r 2 a f r a m e w o r k f o r m o d e l i n g m u l t i -

a g e n t s y s t e m s b y m e a n s o f i n t e r a c t i n g h y b r i d a u t o m a t a a n d t h e i r i n p u t o u t p u t c o n n e c t i o n s i s p r e s e n t e d .

S o m e b a c k g r o u n d m a t e r i a l f r o m g a m e t h e o r y a n d o p t i m a l c o n t r o l i s a l s o g i v e n , a l o n g w i t h r e f e r e n c e s w h e r e

a m o r e t h o r o u g h p r e s e n t a t i o n c a n b e f o u n d .

I n C h a p t e r 3 t h e d e s i g n m e t h o d o l o g y o u t l i n e d a b o v e i s p r e s e n t e d . A n a l g o r i t h m f o r r e c o n c i l i n g t h e

o f t e n c o n t r a d i c t o r y d e m a n d s m a d e b y t h e v a r i o u s d e s i g n r e q u i r e m e n t s i s p r o p o s e d . T h e r e s u l t i s a n

o p t i m a l c o n t r o l l e r a n d a s e t o f i n i t i a l c o n d i t i o n s f o r w h i c h p e r f o r m a n c e i s g u a r a n t e e d . T h e r e q u i r e m e n t s

t h a t t h e d i s c r e t e c o n t r o l l e r i n h e r i t s f r o m t h e c o n t i n u o u s d e s i g n a r e d e r i v e d a s c o r o l l a r i e s o f t h e a l g o r i t h m .

T h e a p p l i c a t i o n o f o u r a p p r o a c h i s i l l u s t r a t e d b y m e a n s o f t h e t r a i n - g a t e c o n t r o l l e r " , a s i m p l e e x a m p l e

f r o m t h e t i m e d a u t o m a t a v e r i c a t i o n l i t e r a t u r e .

7


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I n C h a p t e r 4 v e r i c a t i o n u s i n g o p t i m a l c o n t r o l i d e a s i s d i s c u s s e d . O u r a p p r o a c h i s i l l u s t r a t e d b y m e a n s

o f a n o t h e r e x a m p l e f r o m t i m e d a u t o m a t a v e r i c a t i o n , t h e l e a k i n g g a s b u r n e r " .

I n C h a p t e r 5 t h e p r i n c i p l e s i n v o l v e d i n e x t e n d i n g t h e s y s t e m a u t o n o m y t o m a k e i t c a p a b l e o f d e a l i n g

w i t h d e g r a d e d c o n d i t i o n s o f o p e r a t i o n a r e p r e s e n t e d . T h e d i s c u s s i o n w i l l r e l y h e a v i l y o n i n t u i t i o n d e r i v e d

f r o m t h e a p p l i c a t i o n o f t h e s e p r i n c i p l e s t o t h e a u t o m a t e d h i g h w a y e x a m p l e .

I n C h a p t e r s 6 a n d 7 p o s s i b l e a p p l i c a t i o n s o f o u r a p p r o a c h a r e d i s c u s s e d . T h e f o c u s i s t h e a u t o -

m a t e d h i g h w a y p r o b l e m . T h i s p r o b l e m d i s p l a y s a l l t h e c h a r a c t e r i s t i c s t h a t m a k e l a r g e s c a l e s y s t e m d e s i g n

c h a l l e n g i n g l a r g e , d y n a m i c a l l y c h a n g i n g n u m b e r o f a g e n t s , c o n i c t i n g d e m a n d s f o r e c i e n c y , s a f e t y a n d

c o m f o r t , p o s s i b i l i t y o f f a u l t s , e t c . . I n C h a p t e r 6 a d e s i g n a p p r o a c h f o r a h y b r i d c o n t r o l l e r t h a t g u a r a n t e e s

s a f e t y , e c i e n c y a n d p a s s e n g e r c o m f o r t i s p r e s e n t e d

1

. E v e n t h o u g h t h e d e s i g n f o c u s e s o n o n l y o n e h i g h w a y

a u t o m a t i o n c o n c e p t , m o s t o f t h e c a l c u l a t i o n s a r e g e n e r a l e n o u g h t o a p p l y t o a n y o t h e r c o n c e p t v e r b a t i m .

I n C h a p t e r 7 t h e d e s i g n i s e x t e n d e d a l o n g t h e l i n e s o f C h a p t e r 5 . T h e r e s u l t i n g f a u l t t o l e r a n t d e s i g n i s

o u t l i n e d a n d p r o o f s o f c e r t a i n a s p e c t s o f i t s p e r f o r m a n c e w i l l b e g i v e n .

F i n a l l y , C h a p t e r 8 c o n t a i n s s o m e c o n c l u d i n g r e m a r k s a n d d i r e c t i o n s o f f u t u r e w o r k .

1

A s i m i l a r d e s i g n i s p r e s e n t e d i n 2 8 u n d e r d i e r e n t a s s u m p t i o n s

8


15/123

C h a p t e r 2

M o d e l i n g & M a t h e m a t i c a l T o o l s

I n t h i s c h a p t e r , w e p r e s e n t a r a t h e r g e n e r a l m o d e l f o r m u l t i a g e n t s y s t e m s . E a c h a g e n t i s m o d e l e d a s a

h y b r i d d y n a m i c a l s y s t e m . T h e m o d e l i n g f r a m e w o r k i s m o d u l a r , i n t h a t a h y b r i d s y s t e m c a n b e s p e c i e d

a s a c o m p o s i t i o n o f s u b s y s t e m s . A n a g e n t m o d e l c a n i n c l u d e s u b s y s t e m s r e p r e s e n t i n g t h e p l a n t d y n a m i c s ,

s e n s o r s , a c t u a t o r s , c o m m u n i c a t i o n d e v i c e s a n d c o n t r o l l e r s . I n o t h e r w o r d s , e a c h a g e n t s p e c i c a t i o n i s a

t r e e s t r u c t u r e d h i e r a r c h y o f s u b s y s t e m s . I n s o m e c a s e s , a g e n t s m a y c o o r d i n a t e t h e i r a c t i o n s w i t h e a c h

o t h e r , w h i l e i n o t h e r s , t h e a c t i o n s o f o n e a g e n t m a y a p p e a r a s d i s t u r b a n c e t o o t h e r a g e n t s . I n t e r a c t i o n s

b e t w e e n a g e n t s c a n b e c a p t u r e d v i a s e n s i n g a n d c o m m u n i c a t i o n .

2 . 1 H y b r i d D y n a m i c a l S y s t e m s

T h e b a s i c e n t i t y o f o u r m o d e l s w i l l b e t h e h y b r i d d y n a m i c a l s y s t e m o r h y b r i d a u t o m a t o n t h e

t e r m s w i l l b e u s e d i n t e r c h a n g e a b l y . H y b r i d a u t o m a t a a r e c o n v e n i e n t a b s t r a c t i o n s o f s y s t e m s w i t h p h a s e d

o p e r a t i o n a n d t h e y a p p e a r e x t e n s i v e l y i n t h e l i t e r a t u r e i n v a r i o u s f o r m s 8 , 5 . T h e m o d e l w e c o n s i d e r w i l l

b e s i m i l a r t o m o d e l s u s e d p r i m a r i l y i n c o m p u t e r s c i e n c e i n p a r t i c u l a r t h e o n e s i n 8 a n d 9 . H o w e v e r ,

b e c a u s e w e a r e i n t e r e s t e d i n m o d e l i n g d i e r e n t a g e n t s a n d t h e i r i n t e r a c t i o n w e w i l l t a k e a m o r e i n p u t o u t p u t

a p p r o a c h , a l o n g t h e l i n e s o f t h e r e a c t i v e m o d u l e p a r a d i g m 4 5 . F o r a n e x c e l l e n t o v e r v i e w o f h y b r i d m o d e l s

f r o m t h e d y n a m i c a l s y s t e m s p o i n t o f v i e w s e e 7 .

2 . 1 . 1 T h e E l e m e n t s

V a r i a b l e s

A h y b r i d a u t o m a t o n i s a d y n a m i c a l s y s t e m w h i c h d e t e r m i n e s t h e e v o l u t i o n a n d i n t e r a c t i o n o f a n i t e

c o l l e c t i o n o f v a r i a b l e s . W e w i l l c o n s i d e r t w o d i s t i n c t k i n d s o f v a r i a b l e s , d i s c r e t e a n d c o n t i n u o u s .

D e n i t i o n 1 A v a r i a b l e i s c a l l e d d i s c r e t e i f i t t a k e s v a l u e s i n a c o u n t a b l e s e t a n d i t i s c a l l e d c o n t i n u o u s

o t h e r w i s e .

B y a c o u n t a b l e s e t w e m e a n a n y s e t h o m e o m o r p h i c t o a s u b s e t o f t h e i n t e g e r s u n d e r t h e d i s c r e t e t o p o l o g y .

W e w i l l a s s u m e n o s p e c i a l a l g e b r a i c s t r u c t u r e f o r t h e v a l u e s o f t h e d i s c r e t e v a r i a b l e s . T h e o n l y o p e r a t i o n s

w e w i l l a l l o w a r e a s s i g n i n g a v a l u e t o a v a r i a b l e a n d c h e c k i n g w e a t h e r t h e v a l u e o f a v a r i a b l e a n d a m e m b e r

o f t h e v a l u e s e t o r t h e v a l u e s o f t w o v a r i a b l e s t h a t t a k e v a l u e s i n t h e s a m e s e t a r e e q u a l . B e c a u s e w e

w i l l b e i n t e r e s t e d i n d i e r e n t i a t i n g c o n t i n u o u s v a r i a b l e s w i t h r e s p e c t t o t i m e w e w i l l a s s u m e t h a t t h e y t a k e

v a l u e s i n s e t s t h a t a r e d i e o m o r p h i c t o s u b s e t s o f R

n

f o r s o m e v a l u e o f n

1

.

1

T h e d e n i t i o n s g e n e r a l i z e t o w e a k e r c o n d i t i o n s , f o r e x a m p l e c o n t i n u o u s v a r i a b l e s l y i n g o n a m a n i f o l d .

9


16/123

T h e v a r i a b l e s i n o u r m o d e l w i l l b e s p l i t i n t o t h r e e c l a s s e s : I n p u t s e x t e r n a l , O u t p u t s i n t e r f a c e a n d

S t a t e p r i v a t e

2

. W e w i l l d e n o t e t h e i n p u t s p a c e s e t w h e r e t h e i n p u t v a r i a b l e s t a k e v a l u e s b y :

U = U

D

U

C

t h e o u t p u t s p a c e b y :

Y = Y

D

Y

C

a n d t h e s t a t e s p a c e b y :

X = X

D

X

C

T h e s u b s c r i p t s D a n d C i n d i c a t e w h e t h e r t h e v a r i a b l e i s d i s c r e t e o r c o n t i n u o u s . T o a v o i d u n n e c e s s a r y

s u b s c r i p t s w e w i l l d e n o t e b y u a n e l e m e n t o f U , b y y a n e l e m e n t o f Y a n d b y q ; x a n e l e m e n t o f X . U n d e r

t h e a b o v e a s s u m p t i o n s X c a n b e s h o w n s e e S e c t i o n 2 . 3 t o b e a m e t r i c s p a c e .

T i m e

W e a r e i n t e r e s t e d i n c a p t u r i n g t h e d y n a m i c e v o l u t i o n o f t h e s e v a r i a b l e s , s o w e n e e d s o m e n o t i o n o f t i m e " .

L e t T d e n o t e t h e s e t o f t i m e s o f i n t e r e s t . O u r m o d e l s w i l l e v o l v e i n c o n t i n u o u s t i m e , s o w e w i l l a s s u m e

t h a t T = t

i

; t

f

R . T h e d e n i t i o n s s h o u l d e a s i l y e x t e n d t o o t h e r s e t s T w i t h a p p r o p r i a t e t o p o l o g i c a l

a n d a l g e b r a i c s t r u c t u r e .

T h e v a r i a b l e s w i l l e v o l v e e i t h e r c o n t i n u o u s l y a s a f u n c t i o n o f t i m e o r i n i n s t a n t a n e o u s j u m p s . T h e r e f o r e

t h e e v o l u t i o n o f t h e s y s t e m w i l l b e o v e r s e t s o f t h e f o r m :

T = f

0

0

;

1

0

1

;

2

; : : :

0

n , 1

;

n

g 2 . 1

w i t h

i

2 T f o r a l l i ,

0

0

= t

i

;

n

= t

f

a n d

i

=

0

i

i + 1

f o r a l l i = 1 ; 2 ; : : : ; n , 1 . T h e i m p l i c a t i o n i s t h a t

i

a r e t h e t i m e s w h e r e t h e d i s c r e t e j u m p s o f t h e s t a t e o r i n p u t o c c u r . W e w i l l u s e t o d e n o t e a n e l e m e n t

o f T . F o r v i s u a l i z a t i o n p u r p o s e s , f o r e v e r y i n t e r v a l

0

i , 1

;

i

w i t h

0

i , 1

i

w e w i l l d e n o t e t h e e v o l u t i o n o f

t h e c o n t i n u o u s s t a t e a s a c o n t i n u o u s f u n c t i o n o f t 2

0

i , 1

;

i

a n d t h e e v o l u t i o n o f t h e d i s c r e t e s t a t e a s a

c o n s t a n t f u n c t i o n . A t t h e j u m p t i m e s t h e s t a t e i s n o t a f u n c t i o n a s i t c a n a s s u m e m a n y v a l u e s , j u m p i n g

f r o m o n e t o t h e o t h e r i n t h e o r d e r i n d i c a t e d b y t h e

i

' s .

D y n a m i c s

T h e v a r i a b l e e v o l u t i o n w i l l b e d e t e r m i n e d b y f o u r q u a n t i t i e s :

I X 2 . 2

f : X U , ! T X

C

2 . 3

E X U X 2 . 4

h : X U , ! Y 2 . 5

H e r e T X

C

r e p r e s e n t s t h e t a n g e n t s p a c e o f t h e s p a c e X

C

. T h e i n t e r p r e t a t i o n i s t h e f o l l o w i n g :

I i s t h e s e t o f p o s s i b l e v a l u e s o f t h e i n i t i a l s t a t e s , i . e . :

q

0

0

; x

0

0

2 I

T h e v e c t o r e l d , f , d e t e r m i n e s t h e e v o l u t i o n o f t h e c o n t i n u o u s s t a t e i n i n t e r v a l s o f t h e f o r m

0

i , 1

;

i

w i t h

0

i , 1

i

. F o r e v e r y t 2

0

i , 1

;

i

:

_x t = f q t ; x t ; u t

2

T h e t e r m s i n b o l d c o m e f r o m t h e s y s t e m t h e o r y l i t e r a t u r e w h i l e t h e t e r m s i n b r a c k e t s a r e m o r e c o m p u t e r s c i e n c e o r i e n t e d .

T h e y c a n b e u s e d i n t e r c h a n g e a b l y , t h o u g h w e s t i c k t o t h e t e r m s i n b o l d m o s t o f t h e t i m e .

1 0


17/123

W i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y w e w i l l a s s u m e t h a t f i s t i m e i n v a r i a n t

3

. W e w i l l m a k e t h e s t a n d a r d a s s u m p t i o n s

o n f f o r e x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s o f s o l u t i o n s t o t h e o r d i n a r y d i e r e n t i a l e q u a t i o n .

T h e s e t E d e t e r m i n e s t h e d i s c r e t e e v o l u t i o n o f t h e s t a t e . T h e i n t e r p r e t a t i o n i s t h a t t h e s t a t e c a n k e e p

e v o l v i n g c o n t i n u o u s l y a s l o n g a s :

q t ; x t ; u t ; q t ; x t 2 E

T h e s t a t e c a n t a k e a d i s c r e t e j u m p a t t i m e

i

f r o m q

i

; x

i

2 X t o q

0

i

; x

0

i

2 X i f :

q

i

; x

i

; u

i

; q

0

i

; x

0

i

2 E

F i n a l l y , h d e t e r m i n e s t h e o u t p u t e v o l u t i o n . F o r a l l t 2 :

y t = h q t ; x t ; u t

2 . 1 . 2 T h e D e n i t i o n s

C o l l e c t i n g t h e a b o v e e l e m e n t s w e g i v e t h e f o l l o w i n g d e n i t i o n s :

D e n i t i o n 2 A h y b r i d d y n a m i c a l s y s t e m , H , i s a c o l l e c t i o n X ; U ; Y ; I ; f ; E ; h , w i t h :

X = X

D

X

C

U = U

D

U

C

Y = Y

D

Y

C

I X

f : X U , ! T X

C

E X U X

h : X U , ! Y

w h e r e X

C

; U

C

; Y

C

a r e r e s p e c t i v e l y d i e o m o r p h i c t o o p e n s u b s e t s o f R

n

; R

m

; R

p

, f o r s o m e n i t e v a l u e s o f

n ; m ; p a n d X

D

; U

D

; Y

D

a r e c o u n t a b l e s e t s .

D e n i t i o n 3 A r u n o f t h e h y b r i d d y n a m i c a l s y s t e m H o v e r a n i n t e r v a l T = t

i

; t

f

c o n s i s t s o f a c o l l e c t i o n

; q ; x ; y ; u :

2 T

q : , ! X

D

x : , ! X

C

y : , ! Y

u : , ! U

w h i c h s a t i s e s t h e f o l l o w i n g p r o p e r t i e s :

1 . I n i t i a l C o n d i t i o n : q

0

0

; x

0

0

2 I .

2 . D i s c r e t e E v o l u t i o n : q

i

; x

i

; u

i

; q

0

i

; x

0

i

2 E , f o r a l l i .

3

W i t h s o m e a d d i t i o n a l n o t a t i o n o v e r h e a d t h e s a m e d e n i t i o n c a n b e g i v e n i n t e r m s o f t h e o w o f t h e v e c t o r e l d . T h e

a d v a n t a g e t o t h i s w o u l d b e t h a t t h e d e n i t i o n w o u l d d i r e c t l y e x t e n d t o o t h e r c a s e s , s u c h a s d i s c r e t e t i m e s y s t e m s .

1 1


18/123

3 . C o n t i n u o u s E v o l u t i o n : f o r a l l i w i t h

0

i

i + 1

a n d f o r a l l t

2

0

i

;

i + 1

:

_x t = f q t ; x t ; u t 2 . 6

q t = q

0

i

2 . 7

q t ; x t ; u t ; q t ; x t 2 E 2 . 8

F o r e v e r y p a i r o f s t a t e - i n p u t v a l u e s q ; x ; u c o n s i d e r t h e q u a n t i t y

4

:

q ; x ; u = x + f q ; x ; u

D e n i t i o n 4 A h y b r i d a u t o m a t o n , H , i s n o n - b l o c k i n g i f f o r a l l q ; x ; u 2 X U o n e o f t h e f o l l o w i n g

i s t r u e :

1 . f q

0

; x

0

j q

0

; x

0

2 X n f q ; x g ; q ; x ; u ; q

0

; x

0

2 E g 6= ;

2 . T h e r e e x i s t 0 s u c h t h a t f o r a l l 2 0 ; :

q ;

q ; x ; u ; u ; q ;

q ; x ; u 2 E

R o u g h l y s p e a k i n g a h y b r i d a u t o m a t o n i s n o n - b l o c k i n g i f a r u n c a n c o n t i n u e f r o m e v e r y s t a t e , e i t h e r b y a

d i s c r e t e j u m p 1 o r b y o w i n g a l o n g t h e v e c t o r e l d 2 .

2 . 1 . 3 S p e c i a l E e c t s

W e b r i e y i n v e s t i g a t e s o m e o f t h e b e h a v i o r s t h a t o u r h y b r i d m o d e l i s c a p a b l e o f g e n e r a t i n g . F i r s t n o t e t h a t

t h e m o d e l i s n o n d e t e r m i n i s t i c . E v e n i f t h e c o n t i n u o u s e v o l u t i o n i s u n i q u e l y d e t e r m i n e d o n c e u i s s p e c i e d ,

t h e r e i s s t i l l n o n d e t e r m i n i s m i n t h e d i s c r e t e e v o l u t i o n . F o r a g i v e n c h o i c e o f q ; x ; u b o t h d i s c r e t e a n d

c o n t i n u o u s e v o l u t i o n m a y b e p o s s i b l e . M o r e o v e r , f o r t h e d i s c r e t e e v o l u t i o n , m a n y d e s t i n a t i o n s q

0

; x

0

m a y

b e p o s s i b l e .

F o r c o n v e n i e n c e w e w i l l d i s t i n g u i s h t w o s p e c i a l k i n d s o f v a r i a b l e s , e v e n t s a n d p a r a m e t e r s .

D e n i t i o n 5 A n e v e n t , , i s a d i s c r e t e v a r i a b l e w h o s e t r a n s i t i o n s r a t h e r t h a n i t s a c t u a l v a l u e a r e

i m p o r t a n t . W e s a y o c c u r r e d a t

i

i f

i

6=

0

i

.

D e n i t i o n 6 A p a r a m e t e r , p 2 X

C

, i s a c o n t i n u o u s v a r i a b l e w h i c h r e m a i n s c o n s t a n t d u r i n g t h e c o n t i n -

u o u s e v o l u t i o n , t h a t i s :

f

p

q ; x ; u 0

f o r a l l q ; x ; u

2X

U . f

p

s t a n d s f o r t h e v e c t o r e l d p r o j e c t e d o n t o t h e c o o r d i n a t e p

2X

C

.

A s i m p l e c o n s t r u c t i o n a l l o w s u s t o a s s o c i a t e a n e v e n t t o a t r a n s i t i o n o f t h e d i s c r e t e s t a t e .

C o n s t r u c t i o n 1 E v e n t G e n e r a t i o n :

G i v e n a h y b r i d a u t o m a t o n , H , a s s u m e t h a t a n e v e n t , i s t o o c c u r i f a n d o n l y i f t h e d i s c r e t e s t a t e t r a n s i t i o n s

f r o m q

1

2 X

D

t o q

2

2 X

D

. C o n s t r u c t a n e w a u t o m a t o n , H

0

s u c h t h a t :

X

0

= X

D

f 0 ; 1 g X

C

U

0

= U

4

B y a b u s e o f n o t a t i o n , w e i d e n t i f y t h e t a n g e n t s p a c e o f X

C

= R

n

w i t h X

C

i t s e l f .

1 2


19/123

Y

0

= Y

I

0

= I f 0 g

f

0

q ; ; x ; u = f q ; x ; u f o r 2 f 0 ; 1 g

E

0

X

0

U

0

X

0

, w i t h e

0

= q ; ; x ; u ; q

0

;

0

; x

0

2 E

0

i f a n d o n l y i f :

q ; x ; u ; q

0

; x

0

2 E 2 . 9

q ; q

0

6= q

1

; q

2

a n d =

0

2 . 1 0

q ; q

0

= q

1

; q

2

a n d 6=

0

2 . 1 1

h

0

q ; ; x ; u = h q ; x ; u

2

I n s o m e c a s e s t h e s y s t e m d y n a m i c s m a y h a v e t o d e p e n d n o t o n l y o n t h e c u r r e n t v a l u e o f t h e s t a t e b u t

a l s o o n t h e v a l u e a t t h e t i m e o f t h e l a s t d i s c r e t e j u m p s e e f o r e x a m p l e t h e h y b r i d m o d e l s o f 2 a n d 7 .

T h i s e e c t c a n b e m o d e l e d i n t h i s f r a m e w o r k u s i n g p a r a m e t e r s .

C o n s t r u c t i o n 2 M e m o r y P a r a m e t e r s

A s u s u a l l e t q 2 X

D

d e n o t e t h e d i s c r e t e s t a t e , x 2 X

C

d e n o t e t h e c o n t i n u o u s s t a t e a n d u 2 U d e n o t e t h e

i n p u t . L e t x d e n o t e t h e v a l u e o f t h e c o n t i n u o u s s t a t e r i g h t a f t e r t h e l a s t d i s c r e t e j u m p . W e w o u l d l i k e t o

m o d e l c o n t i n u o u s d y n a m i c s o f t h e f o r m :

_x = F q ; x ; x ; u

q 0 2 I

D

x 0 2 I

C

C o n s i d e r t h e h y b r i d a u t o m a t o n g i v e n b y :

X = X

D

X

C

X

C

U

Y = X

I = I

D

S

x 2 I

C

x ; x

f q ; x ; p ; u = F q ; x ; p ; u 0

T

E f q ; x ; p ; u ; x ; p g

S

f q ; x ; p ; u ; x ; x j q ; x 6= q

0

; x

0

g

h q ; x ; p ; u = q ; x ; p

T h e e e c t o f x o n t h e d i s c r e t e e v o l u t i o n i s a l s o e a s y t o m o d e l b y f u r t h e r r e s t r i c t i n g E . 2

F i n a l l y , b y a p p r o p r i a t e l y d e n i n g t h e b o u n d a r y o f E , o n e i s a b l e t o m o d e l a u t o n o m o u s j u m p s i . e .

s i t u a t i o n s w h e r e t h e s t a t e h a s t o j u m p t o a n e w v a l u e a n d c o n t r o l l e d j u m p s i . e . s i t u a t i o n s w h e r e t h e

s y s t e m c a n b e f o r c e d t o j u m p b y t h e i n p u t u

5

.

5

I n 7 i t i s s h o w n t h a t a u t o n o m o u s s w i t c h i n g i . e . s i t u a t i o n s w h e r e t h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n h a s t o c h a n g e a n d c o n t r o l l e d

s w i t c h i n g i . e . s i t u a t i o n s w h e r e t h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n c a n b e f o r c e d t o c h a n g e b y t h e i n p u t a r e s p e c i a l c a s e s o f a u t o n o m o u s

a n d c o n t r o l l e d j u m p s r e s p e c t i v e l y

1 3


20/123

R e m a r k : n o t e t h a t i t i s e a s y t o m o d e l c o n t i n u o u s c o n t r o l s y s t e m s i n t h i s f r a m e w o r k . F o r e x a m p l e ,

c o n s i d e r a s t a n d a r d c o n t r o l s y s t e m o n r e a l v a r i a b l e s , w i t h n s t a t e s m i n p u t s a n d p o u t p u t s , d e n e d b y :

_x t = F x t ; u t

x 0 = x

0

y t = H x t ; u t

I t c a n b e m o d e l e d b y a h y b r i d a u t o m a t o n w i t h a s i n g l e d i s c r e t e s t a t e c a l l i t Q d e n e d b y :

X = f Q g R

n

U = R

m

Y = R

p

I = Q ; x

0

f : X U , ! R

n

f Q ; x ; u = F x ; u

E =

x 2 R

n

Q ; x ; U ; Q ; x

h : X

U

, !Y

h Q ; x ; u = H x ; u

T h e s e t E i s e s s e n t i a l l y t h e g r a p h o f t h e i d e n t i t y m a p o n X f o r e a c h v a l u e s o f u . I n t h e s e q u e l w e w i l l o m i t

t h e d i s c r e t e s t a t e w h e n w r i t i n g h y b r i d a u t o m a t a c o r r e s p o n d i n g t o s t a n d a r d c o n t r o l s y s t e m s . T h i s i s d o n e

t o s i m p l i f y t h e n o t a t i o n s o m e w h a t .

F o r m o r e c o m p l i c a t e d e x a m p l e s o f m o d e l i n g u s i n g h y b r i d a u t o m a t a t h e r e a d e r i s r e f e r r e d t o C h a p t e r s

5 a n d 6 .

2 . 1 . 4 G r a p h i c a l R e p r e s e n t a t i o n

I f t h e d i s c r e t e s t a t e c a n a s s u m e a n i t e n u m b e r o f v a l u e s i t i s v e r y c o n v e n i e n t t o r e p r e s e n t t h e h y b r i d

a u t o m a t o n b y a n i t e g r a p h . W e c a n a s s o c i a t e a n i t e g r a p h t o a g i v e n h y b r i d a u t o m a t o n H u s i n g t h e

f o l l o w i n g c o n s t r u c t i o n .

C o n s t r u c t i o n 3 G r a p h G e n e r a t i o n :

N o d e s : t h e n u m b e r o f n o d e s i n t h e g r a p h w i l l b e e q u a l t o t h e n u m b e r o f p o s s i b l e v a l u e s o f t h e d i s c r e t e

s t a t e . T h e n o d e s w i l l b e i n d e x e d b y a c o r r e s p o n d i n g d i s c r e t e s t a t e v a l u e , q 2 X

D

.

C o n t i n u o u s E v o l u t i o n : t o e a c h n o d e , q , w e a s s o c i a t e a v e c t o r e l d , f

q

:

f

q

: X

C

U , ! T X

C

2 . 1 2

x ; u 7, ! f q ; x ; u

T h e i m p l i c a t i o n i s t h a t w h i l e i n t h e n o d e q t h e c o n t i n u o u s s t a t e e v o l v e s a c c o r d i n g t o f

q

.

N o d e I n v a r i a n t s : T o e a c

hierarchical hybrid control of large scale systems

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