hill operators and orbital stability

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGA

CENTRO DE CIENCIAS EXATAS

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

PROGRAMA DE POS-GRADUACAO EM MATEMATICA

(Mestrado)

THIAGO PINGUELLO DE ANDRADE

Operadores de Hill e a Estabilidade Orbital de Ondas Viajantes

Periodicas

Maringa-PR

2010

THIAGO PINGUELLO DE ANDRADE

Operadores de Hill e a Estabilidade Orbital de Ondas Viajantes

Periodicas

Dissertacao apresentada ao Programa de Pos-

Graduacao em Matematica do Departamento de

Matematica, Centro de Ciencias Exatas da Uni-

versidade Estadual de Maringa, como requisito

parcial para obtencao do tıtulo de Mestre em

Matematica.

Area de concentracao: Analise

Orientador: Prof. Dr. Fabio Matheus Amorin Na-

tali

Maringa

2010

Dedico este trabalho a Deus.

À minha mãe.

Laura Pinguello de Andrade.

Agradecimentos

A Deus em primeiro lugar, a minha famılia, meu pai Jesus Carlos, minha finada mae

Laura, minha segunda mae Delmita, meus irmaos Joao Paulo e Lucas. Aos professores

de graduacao Magda e Adilandre, pelo incentivo que deram para eu fazer o mestrado, aos

amigos Regis e Issamu pelo companheirismo e ajuda logo no inicio. A minha namorada

Debora. Aos meus professores do mestrado, Cıcero, Marcelo Escudeiro, Marcos Primo,

Rosali, Elenice, Carlos Braga, Marcelo Cavalcanti, Gleb e em especial o professor Fabio

Natali que foi meu orientador que com certeza me ajudou muito sempre cobrando e

exigindo o maximo. Ao professor Aldevino que sempre me acolheu. A todos os meus

amigos do mestrado e demais amigos em geral. Ao professor Jaime e a professora Valeria

que aceitaram o convite para banca desta dissertacao.

A Capes, pelo apoio financeiro.

Resumo

Esse trabalho tem como objetivo o estudo do espectro relacionado ao operador de

Hill L = − d2

dx2 + Q(x). Mostramos que os autovalores nao positivos de L podem ser

caracterizados conhecendo-se uma das suas autofuncoes. Aplicacoes deste resultado sao

estabelecidas com respeito a estabilidade orbital de solucoes ondas viajantes periodicas

para alguns modelos dispersivos.

Abstract

This work is concerned with the study of the spectrum related to the Hill operator

L = − d2

dx2 + Q(x). We show that the non-positive eigenvalues of L can be characterized

by knowing one of its eigenfunctions. Applications of this result are established regarding

the orbital stability of periodic traveling wave solutions for some dispersive models.

sumario

Introducao 9

1 Preliminares 17

1.1 Notacoes e conceitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2 Elementos da Analise Funcional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3 Funcoes elıpticas de Jacobi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4 Propriedades analıticas do discriminante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.5 Resultados auxiliares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.5.1 Alternativa de Fredholm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.5.2 Teorema Espectral para o operador Lc. . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2 Teoria Floquet 32

2.1 Teorema de Floquet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2 Teste de estabilidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.3 Caso simetrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.4 Teorema da Oscilacao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.5 Equacao diferencial para o produto de solucoes. . . . . . . . . . . . . . . . 75

3 Famılias isonerciais de operadores autoadjuntos 80

3.1 Indice de inercia e famılias isonerciais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.2 Famılias isonerciais de operadores de Hill. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4 Operador de Hill 89

4.1 Nova versao para o Teorema de Floquet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.2 O espectro nao positivo do operador de Hill. . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5 Estabilidade Orbital 106

5.1 Estabilidade de solucoes ondas viajantes periodicas para a equacao KdV. . 113

5.1.1 Existencia de curva de solucoes ondas periodicas para KdV. . . . . 114

5.1.2 Propriedade espectral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

5.1.3 Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

5.2 Estabilidade de ondas viajantes periodicas para a equacao mKdV. . . . . . 143

5.2.1 Existencia de curva de solucoes ondas periodicas para mKdV. . . . 144

5.2.2 Propriedade espectral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

5.2.3 Estabilidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

6 Apendice 166

Bibliografia 168

Introducao

O estudo da estabilidade no sentido orbital associado a equacoes diferenciais parciais

nao lineares de evolucao com condicoes de fronteira periodicas tem recebido um trata-

mento muito satisfatorio nos ultimos anos devido ao grande numero de problemas que

tem sido abordados, bem como a importancia fısica que os mesmos apresentam. Por

exemplo, os problemas que apresentam este tipo de condicao de fronteira sao fisicamente

mais aceitaveis do que os que possuem condicoes nulas no infinito (ver Osborne [46]).

Neste sentido, a presente dissertacao visa estabelecer uma contribuicao relevante para

esta abordagem.

Vamos agora ilustrar algumas contribuicoes concernentes a este assunto. De fato,

um dos primeiros trabalhos nesta direcao e devido a Benjamin em [15] com respeito as

solucoes suaves chamadas de ondas cnoidal. Estas, foram deduzidas primeiramente por

Korteweg e de Vries em [34] para a conhecida equacao de Korteweg-de Vries (KdV daqui

em diante),

ut + uux + uxxx = 0, (1)

onde u = u(x, t), x, t ∈ R, e uma funcao a valores reais. Esta equacao modela a propagacao

de ondas de aguas rasas em um canal. Benjamin em [15] adiantou um esboco para a

estabilidade de ondas do tipo cnoidal na forma,

ϕ(ξ) = β2 + (β3 − β2)cn2

(√β3 − β1

12ξ, k

), (2)

onde cn denota a funcao elıptica de Jacobi chamada cnoidal, k ∈ (0, 1) e denominado o

modulo da funcao elıptica e βi sao parametros reais, i = 1, 2, 3. Todavia, o trabalho em

[15] apresentou uma justificativa pouco detalhada para a estabilidade e muitos aspectos

nao sao muito claros. Recentemente, Angulo, Bona e Scialom em [11] estabeleceram

uma teoria completa para a estabilidade de ondas viajantes periodicas da forma u(x, t) =

ϕ(x− ct), onde ϕ e do tipo (2) para a equacao (1). A abordagem para este resultado foi

Introducao 11

a adaptacao ao caso periodico da teoria desenvolvida por Grillakis, Shatah e Strauss em

[29]. Outros resultados de estabilidade no sentido orbital para solucoes do tipo cnoidal em

(2) para sistemas do tipo Schrodinger, Hirota-Satsuma e Klein-Gordon-Schrodinger foram

estabelecidos por Angulo [13], Angulo e Linares [9] e Natali e Pastor [40], respectivamente.

Em todos estes trabalhos, fez-se necessario o uso de uma teoria espectral elaborada para

o problema de autovalor periodico,d2

dx2Ψ + [ρ− n(n+ 1)k2sn2(x; k)]Ψ = 0

Ψ(0) = Ψ(2K(k)), Ψ′(0) = Ψ′(2K(k)),

(3)

com n ∈ N e sn denotando a funcao elıptica de Jacobi de tipo snoidal. A funcao K

representa a integral elıptica completa de primeiro tipo dada por,

K(k) =

∫ 1

0

dt√(1− t2)(1− k2t2)

.

A equacao diferencial de segunda ordem em (3) e conhecida como a forma de Jacobi da

equacao de Lame.

Podemos ainda mencionar que Angulo em [10] estabeleceu a primeira prova de esta-

bilidade orbital para ondas viajantes/estacionarias para a equacao Schrodinger nao linear

(NLS daqui em diante),

iut + uxx + |u|2u = 0, (4)

e para a equacao modificada de Korteweg-de Vries (mKdV daqui em diante),

ut + u2ux + uxxx = 0, (5)

cujo perfil da onda periodica do tipo dnoidal e dada por

ϕ(ξ) = η2dn(η1ξ, k), (6)

onde ηi, i = 1, 2, sao parametros reais. Nestes dois casos, foram utilizados a teoria

de estabilidade dada por Weinstein [49], combinada com a teoria espectral associada ao

problema de autovalor em (3). Ademais, Natali e Pastor em [41] deduziram um resultado

de estabilidade orbital para ondas estacionarias do tipo (6), associada a equacao de Klein-

Gordon

utt − uxx + u− |u|2u = 0, (7)

Introducao 12

usando a teoria de estabilidade contida em Grillakis, Shatah e Strauss [28]. Mais ainda,

neste trabalho foi dada a primeira prova de instabilidade orbital para ondas do tipo

cnoidal,

ϕ(ξ) = α2cn(α1ξ, k), (8)

para αi ∈ R, i = 1, 2, usando novamente a teoria em [28]. E importante mencionar que

as equacoes (4) e (5) admitem ondas periodicas do tipo (8) (ver Secao 5.2). Contudo, nao

e possıvel concluir um resultado de estabilidade/instabilidade para estes dois casos (ver

Angulo [10]).

Agora, para equacoes dispersivas de evolucao em uma forma geral

ut + upux − (Mu)x = 0, (9)

Angulo e Natali em [7], estabeleceram uma teoria completa no estudo da estabilidade

orbital de ondas viajantes periodicas e positivas da forma u(x, t) = ϕ(x− ct), isto e, ϕ e

solucao da seguinte equacao,

(M + c)ϕ− 1

p+ 1ϕp+1 = Aϕ, (10)

onde Aϕ e uma constante de integracao a qual assumimos ser nula, ou seja, Aϕ ≡ 0. Em

(9) temos, p ≥ 1 um inteiro e M denota um operador tipo multiplicador definido via

transformada de Fourier (ver Secao 1.1) dado por

Mg(k) = β(k)g(k), k ∈ Z, (11)

onde o sımbolo β denota uma funcao mensuravel, localmente limitada e par sobre R.

A teoria em [7] determinou, por exemplo, a primeira prova sobre a estabilidade nao

linear de uma famılia de ondas viajantes periodicas positivas para a equacao de Benjamin-

Ono

ut + uux −Huxx = 0 , (12)

onde H denota a transformada de Hilbert no contexto periodico dada por

Hf(x) =1

Lp.v.

∫ L

0

cotg[π(x− y)

L

]f(y) dy. (13)

Outra consequencia importante da teoria em [7], foi a determinacao da estabilidade e

instabilidade de ondas viajantes/estacionarias associadas as equacoes crıtica de Korteweg-

de Vries e crıtica Schrodinger, dadas respectivamente, por

ut + u4ux + uxxx = 0, (14)

Introducao 13

e

iut + uxx + |u|4u = 0. (15)

Outras contribuicoes podem ser encontradas em [2], [4], [5], [6], [8], [12] e [14].

Neste momento, concentraremos nossos esforcos em equacoes do tipo (9). Com efeito,

em todos os trabalhos citados acima (excetuando-se o caso da equacao (12)), faz-se

necessario o conhecimento da quantidade e multiplicidade dos autovalores nao-positivos

(o qual nos referiremos como propriedade espectral, em toda a dissertacao) associados aos

operadores de Hill do tipo

L = − d2

dx2+Q(x) (16)

onde o potencial Q : R → R e uma funcao infinitamente diferenciavel e periodica de

perıodo L > 0. O conhecimento desta propriedade espectral e crucial no estudo da

estabilidade. Por exemplo, seguindo as ideias de Bona [17], Grillakis, Shatah e Strauss [29]

e Weinstein [49], as condicoes que determinam a estabilidade para equacoes de evolucao

nao lineares da forma (9) podem ser listadas da seguinte forma:

(P0) existe uma curva suave de solucoes periodicas nao triviais

c ∈ I ⊆ R 7→ ϕc ∈ Hnper([0, L]), ∀ n ∈ N;

(P1) L possui um unico autovalor negativo λ, o qual e simples;

(P2) o autovalor 0 e simples e esta associado a autofuncaod

dxϕc;

(P3)d

dc

∫ L

0

ϕ2c(x)dx > 0.

(17)

Desta forma, quando consideramos as equacoes (1) ou (5), isto e, p = 1 ou p = 2

(M = −∂2x para os dois casos) em (9), tem-se

Lc = − d2

dx2+ c− ϕpc , (18)

onde p = 1, 2. Nestes casos, podemos estabelecer as propriedades espectrais (P1) e (P2)

em (17) estudando o problema periodico (3) (c.f. [10] e [11]) ou, entao, estudar o com-

portamento da transformada de Fourier de ϕc e ϕpc (c.f. [7]). No caso p = 4 e M = −∂2x,

Introducao 14

nao e possıvel determinar as propriedades (P1) e (P2) usando um problema do tipo (3).

Podemos estabelecer o resultado desejado pela abordagem em [7] (ver [3]).

Agora estabeleceremos as principais caracterısticas desta dissertacao. Nosso estudo se

baseia no recente trabalho de Neves em [43]. Com efeito, consideremos o operador de Hill

L em (16) definido em L2per([0, L]) com domınio D(L) = H2

per([0, L]). Usando a imersao

compacta H1per([0, L]) → L2

per([0, L]) e o fato que L e autoadjunto (ver Teorema 1.23 no

caso especıfico em que Q = c − ϕpc) temos que o resolvente de L e compacto e assim o

espectro de L e uma sequencia de numeros reais,

λ0 ≤ λ1 ≤ λ2 ≤ λ3 ≤ ... .

Portanto, pelo Teorema da Oscilacao (ver Teorema 2.11) temos,

λ0 < λ1 ≤ λ2 < λ3 ≤ λ4 < · · · < λ2n−1 ≤ λ2n < · · ·, (19)

onde a igualdade λ2n−1 = λ2n significa que temos um autovalor duplo. Nesta dissertacao

caracterizaremos os autovalores nao positivos ou equivalentemente conforme o Teorema

1.23 o espectro nao positivo de L dado em (16), sabendo-se apenas o comportamento de

uma de suas autofuncoes. De fato, seja p(x) uma autofuncao de L associado ao autovalor

λ. Pelo Teorema da Oscilacao (ver Teorema 2.11) e sabido que se p(x) tem 2n zeros no

intervalo [0, L) entao λ pode ser λ2n−1 ou λ2n. A abordagem que apresentaremos neste

trabalho estabelece que p(x) contem toda a informacao necessaria para caracterizar o

autovalor λ, a saber se λ e simples ou duplo e quando λ = λ2n−1 ou λ = λ2n. Uma

resposta parcial para esta questao vem dada pela segunda parte do Teorema de Floquet

(ver Teorema 2.1).

Embora o Teorema de Floquet seja um resultado difıcil de ser aplicado pois e necessario

o conhecimento especıfico de um par de solucoes normalizadas associadas a equacao de

Hill

−y′′ +Q(x)y = 0, (20)

isto e, um par y1 e y2 de solucoes linearmente independentes (LI daqui em diante) satis-

fazendo

y1(0) = 1, y′1(0) = 0, y2(0) = 0, y′2(0) = 1,

por meio de uma reinterpretacao deste Teorema obteremos uma condicao que depende so-

mente da autofuncao conhecida p(x) e, consequentemente, obteremos uma caracterizacao

Introducao 15

especıfica do seu autovalor associado. Mais precisamente, usando a segunda parte do

Teorema de Floquet, concluiremos que se p(x) e uma solucao periodica de (20) e y(x) for

outra solucao de (20) LI com p(x) tem-se

y(x+ L) = ρ1y(x) + θp(x), onde θ e constante. (21)

Mais ainda, se θ = 0 temos que y e periodica de perıodo L ou 2L. Em (21), ρ1 e uma das

raızes da equacao caracterıstica

ρ2 − [y1(L) + y′2(L)]ρ+ 1 = 0.

Com estes argumentos em maos, e possıvel explicitar um valor exato para θ conhecendo

apenas o comportamento da funcao p(x). O resultado central desta dissertacao (ver

Teorema 4.4) nos mostra que se p(x) e uma autofuncao do operador L com autovalor

associado λk, k ≥ 1, e θ e a constante em (21) entao λk e simples se, e somente se, θ 6= 0.

Alem disso, se p(x) possui 2n zeros no intervalo semi-aberto [0, L), entao λk = λ2n−1 desde

que θ < 0 e λk = λ2n desde que θ > 0.

Conforme veremos em nossas aplicacoes, temos que ddxϕc e uma autofuncao do operador

Lc em (18) associado ao autovalor λk = 0. No caso da equacao KdV temos que esta

possui uma solucao onda viajante periodica par e positiva com o perfil dado por (2).

Assim, como ddxϕc tem dois zeros no intervalo [0, L) entao λ1 = 0 ou λ2 = 0, isto e, o

autovalor zero e o segundo ou o terceiro na sequencia (19). Logo, fixando L = π temos

que θ ≈ −0, 01 < 0. Portanto λ1 = 0 e e um autovalor simples. Como λ0 e sempre

simples (ver Lema 2.18) temos que as propriedades (P1) e (P2) em (17) sao verificadas.

Para estabelecer a propriedade (P0) fazemos uso do Teorema da Funcao Implıcita. Este

Teorema determina que as constantes βi, i = 1, 2, 3, dependem suavemente de c ∈ I (o qual

e essencial na obtencao de (P3)) e que as ondas viajantes periodicas da forma (2) tenham

o mesmo perıodo L > 0, para todo c ∈ I. Desta maneira, usando as propriedades das

funcoes elıpticas de Jacobi tem-se que a propriedade (P3) e verificada e, consequentemente,

temos provado a estabilidade.

No caso da equacao mKdV, para ondas periodicas do tipo dnoidal em (6), a situacao

e analoga, isto e, fixando L = π temos que θ ≈ −0, 59 < 0. Portanto λ1 = 0 e e um

autovalor simples. Como λ0 e sempre simples temos que as propriedades (P1) e (P2) em

(17) tambem sao verificadas. Isto posto, fazendo uso do Teorema da Funcao Implıcita

e propriedades das funcoes elıpticas de Jacobi tem-se que (P0) e (P3) sao satisfeitas e,

Introducao 16

portanto, obtemos o resultado de estabilidade desejado.

Todavia, de modo a estabelecer o valor de θ e como consequencia a determinacao da

posicao do autovalor zero na sequencia (19) associado as equacoes aqui estudadas, faz-

se necessario uma serie de calculos numericos utilizando um bom programa matematico.

Nesta dissertacao, usamos o aplicativo Maple 12 para fazer estes calculos. Assim, nao e

possıvel estabelecer o valor de θ em (21) para valores arbitrarios de L > 0 e de c ∈ I. Logo,

fixando L = π, escolhemos um c0 conveniente no intervalo I determinado via Teorema

da Funcao Implıcita de modo a obter os calculos requeridos. Poderıamos ser induzidos a

pensar que a estabilidade a qual estamos propondo a estudar so pode ser provada para

este valor c0 ∈ I. Contudo, usaremos um outro resultado devido a Neves em [44] o qual

determina que a quantidade e a multiplicidade dos autovalores nao positivos (que estamos

supondo que sejam uma quantidade finita) associados aos operadores de Hill

Ls = − d2

dx2+Q(x, s),

onde Q(x, s) e assumido ser uma funcao periodica de perıodo π na variavel x e e conti-

nuamente diferenciavel para x ∈ R e s pertecente a um intervalo aberto J ⊂ R, nao muda

quando s percorre J . Neste caso, dizemos que a famılia Ls e isonercial. Logo, e suficiente

estabelecermos o resultado para um valor fixado s0 ∈ J . Para esta abordagem, usaremos

a conhecida Lei da Inercia de Sylvester na forma generalizada.

O plano desta dissertacao e dado como segue. No Capıtulo 1 apresentamos as notacoes

e alguns resultados auxiliares que serao utilizados nos demais capıtulos. No Capıtulo 2

estabelecemos alguns resultados da Teoria Floquet para que estes sirvam como base nos

argumentos do Capıtulo 4. No Capıtulo 3 estudamos a famılia isonercial de operadores de

Hill o qual sera de grande utilidade na obtencao das propriedades (P1) e (P2). No Capıtulo

4 provamos uma nova versao do Teorema de Floquet que utilizaremos para caracterizar

o espectro dos operadores de Hill. Finalmente, no Capıtulo 5 aplicaremos os argumentos

dos capıtulos anteriores para a obtencao da estabilidade para ondas viajantes periodicas

para as equacoes KdV e mKdV.

Capıtulo 1

Preliminares

1.1 Notacoes e conceitos.

Seja Ω um conjunto aberto de R e 1 ≤ p <∞, definimos Lp(Ω) o espaco das funcoes

(mais precisamente, de classe de equivalencias ) definidas em Ω a valores reais ou com-

plexos e mensuraveis a Lebesgue com norma

‖f‖p =

(∫Ω

|f(x)|pdx) 1

p

.

Se p =∞, tem-se

‖f‖∞ = supx∈Ω

ess|f(x)|.

O espaco Lp(Ω) quando munido com uma das normas acima e um espaco de Banach.

Se p = 2, L2(Ω) torna-se um espaco de Hilbert munido do produto interno,

(f, g)2 := (f, g) =

∫Ω

f(x)g(x)dx, f, g ∈ L2(Ω).

Definiremos agora os espacos de Sobolev periodicos, usando os conceitos de Iorio e

Iorio [32]. Denote por P = C∞per a colecao de todas as funcoes f : R → C que sao

infinitamente diferenciaveis e periodicas de perıodo fixado L > 0. A colecao P ′ de to-

dos os funcionais lineares contınuos definidos de P em C e denominado o conjunto das

distribuicoes periodicas. Dado ψ ∈ P ′ o valor de ψ em ϕ ∈ P e denotado por,

ψ(ϕ) = 〈ψ, ϕ〉.

Seja k ∈ Z e considere Θk(x) = e2ikπxL para x ∈ R. A transformada de Fourier de ψ em

P ′ e a funcao ψ : Z→ C dada por

ψ(k) =1

L〈ψ,Θ−k〉, k ∈ Z.

1.1 Notacoes e conceitos. 18

Toda funcao ψ ∈ Lp([0, L]), p ≥ 1 e um elemento de P ′ definido por

〈ψ, ϕ〉 =1

L

∫ L

0

ψ(x)ϕ(x)dx,

onde ϕ ∈ P . Se ψ ∈ Lp([0, L]), p ≥ 1, entao para k ∈ Z, define-se a transformada de

Fourier de ψ como

ψ(k) =1

L

∫ L

0

ψ(x)e−2ikxπ

L dx.

Para s ∈ R, o espaco de Sobolev Hsper([0, L]) := Hs

per e definido como sendo o conjunto

das f ∈ P ′ tais que

‖f‖2Hsper

= L∞∑

k=−∞

(1 + |k|2)s|f(k)|2 <∞.

A colecao Hsper([0, L]) e um espaco de Hilbert com relacao ao produto interno,

(f, g)s = L∞∑

k=−∞

(1 + |k|2)sf(k)g(k).

Quando s = 0, H0per([0, L]) sera denotado por L2

per([0, L]). Temos que L2per([0, L]) e um

espaco de Hilbert munido do produto interno,

(f, g) := (f, g)0 =

∫ L

0

f(x)g(x)dx

e norma ‖.‖L2per.

Para s = p ∈ Z+, o espaco de Sobolev Hpper([0, L]) := Hp

per pode ser definido como

sendo o conjunto das funcoes f mensuraveis, periodicas com perıodo L e

Dαf ∈ Lpper([0, L]) para |α| ≤ p ,

onde Dαf e a derivada considerada no sentido fraco.

O espaco das sequencias α = (αn)n∈Z de quadrado somavel denotado por l2(Z) e

definido como sendo,

l2 (Z) =

α ; ‖α‖l2 :=

(∞∑

n=−∞

|αn|2) 1

2

<∞

.

Apresentamos agora o Teorema de Parseval que sera utilizado no decorrer desta dis-

sertacao. Tal resultado pode ser encontrado em Iorio e Iorio [32]. Denotemos por PCper

o espaco das funcoes contınuas por partes e periodicas de perıodo L. Dado f ∈ PCper, a

1.2 Elementos da Analise Funcional. 19

transformada de Fourier de f e a sequencia de numeros complexos f =(f(k)

)k∈Z

definida

por,

f(k) = ck =1

L

∫ L

0

f(x)e−2ikxπ

L dx .

Os numeros f(k) = ck sao os coeficientes de Fourier de f e a serie,

+∞∑k=−∞

cke2iπkxL ,

e a serie de Fourier gerada por f .

Teorema 1.1 (Parseval). Seja f ∈ Cper e suponha que f ′ ∈ PCper. Entao a serie de

Fourier gerada por f converge uniformemente a f sobre R. Alem disso, temos a identidade

‖f‖2l2 =

1

L‖f‖2

L2per.

Ou equivalentemente,

(f , g)l2 =+∞∑

k=−∞

f(k)g(k) =1

L

∫ L

0

f(x)g(x)dx =1

L(f, g)L2

per.

A ultima igualdade e conhecida como identidade de Parseval.

Demonstracao: Ver [32] . 2

Teorema 1.2 (Plancherel). A transformada de Fourier

F : L2per([0, L]) −→ l2(Z) ,

onde F(f) = f , e um isomorfismo vetorial topologico.

Demonstracao: Ver [32]. 2

1.2 Elementos da Analise Funcional.

Nesta secao definiremos o adjunto de um operador linear nao limitado e exibiremos

alguns resultados que serao utilizados no decorrer da dissertacao. Sejam E e F espacos

de Banach e A : D(A) ⊂ E −→ F um operador linear definido num domınio D(A) ⊂ E,


(o qual chamamos de operador nao limitado) tal que D(A) e denso em E. Definamos o

seguinte conjunto,

D(A∗) = τ ∈ F ′; τ A e limitada , (1.1)

onde τ A e a composta de τ ∈ F ′ com o operador A, isto e, (τ A)(ν) = τ(A(ν)) para

todo ν ∈ D(A) .

Em outras palavras,

D(A∗) = τ ∈ F ′; existeC ≥ 0 tal que |〈τ, A(ν)〉| ≤ C‖ν‖E, para todo ν ∈ D(A) .

Como τ ∈ D(A∗) e A e linear temos que τ A e linear e limitada, e D(τ A) = D(A)

e denso em E. Logo, pelo Principio da extensao (ver [33]), temos que existe uma unica

extensao fτ : E −→ R linear e limitada que estende τ A : D(A) −→ R a todo espaco E.

Alem disso, ‖fτ‖E′ = ‖τ A‖D(A)′ . Definamos entao,

A∗ : D(A∗) ⊂ F ′ −→ E ′

τ 7−→ A∗(τ) = fτ .(1.2)

Como fτ estende τ A, entao fτ coincide com τ A em D(A), ou seja,

fτ (ν) = (τ A)(ν), para todo ν ∈ D(A) .

Resulta daı e de (1.2) a seguinte relacao de adjuncao:

〈A∗(τ), ν〉E′,E = 〈τ, A(ν)〉F ′,F , para todo ν ∈ D(A) e para todo τ ∈ D(A∗) . (1.3)

Observe que, D(A∗) e claramente um subespaco vetorial. Mais alem, A∗ e um operador

linear. Com efeito, sejam τ1, τ2 ∈ D(A∗). Entao, A∗(τ1 + τ2) = fτ1+τ2 , onde fτ1+τ2 e a

unica extensao linear e limitada de (τ1 + τ2) A a todo E. No entanto, fτ1 = A∗(τ1)

e fτ2 = A∗(τ2) sao tais que estendem τ1 A e τ2 A a E, respectivamente. Assim,

A∗(τ1) + A∗(τ2) = fτ1 + fτ2 estende (τ1 + τ2) A a todo E. Pela unicidade da extensao

resulta que fτ1+τ2 = fτ1 + fτ2 , ou seja, A∗(τ1 + τ2) = A∗(τ1) + A∗(τ2), o que prova a

linearidade de A∗.

Definicao 1.3. O operador linear A∗ : D(A∗) ⊂ F ′ −→ E ′ referido acima denomina-se

adjunto de A. Se A = A∗, dizemos que A e um operador autoadjunto.


Observacao 1.4. Se A e limitado, entao τ A e limitado para todo τ ∈ F ′. Logo,

D(A∗) = τ ∈ F ′; existeC ≥ 0 tal que |〈τ, A(ν)〉| ≤ C‖ν‖E, para todo ν ∈ D(A) = F ′ .

Alem disso, se D(A) = E vem que A∗(τ) = τ A pois A∗(τ)|D(A) = τ A .

Ademais, temos duas definicoes importantes do qual faremos uso nesta dissertacao, a

definicao de operadores fechados e a definicao de operadores compactos.

Definicao 1.5. Seja A um operador linear definido num domınio D(A). Dizemos que A e

fechado se ele satisfaz a seguinte propriedade: Sempre que νn ⊂ D(A) e uma sequencia

satisfazendo νn −→ ν e A(νn) −→ f , entao ν ∈ D(A) e A(ν) = f .

Definicao 1.6. Um operador linear A definido num espaco de Hilbert H e denominado

compacto, quando para toda sequencia limitada νnn∈N de vetores de H, podemos extrair

de A(νn)n∈N uma subsequencia convergente em H. Em outras palavras, A leva conjuntos

limitados em conjuntos relativamente compactos, isto e, conjuntos cujo fecho e compacto.

Enunciaremos agora alguns resultados envolvendo o operador Adjunto A∗.

Proposicao 1.7. O adjunto A∗ de A : D(A) ⊂ E −→ F e um operador fechado.


Teorema 1.8. Seja A : D(A) ⊂ E −→ F um operador linear, fechado com D(A) = E .

Se A−1 existe e e limitado. Entao, (A∗)−1 existe e e limitado, com

(A∗)−1 = (A−1)∗ .

Reciprocamente, se (A∗)−1 existe e e limitado. Entao A−1 existe e e limitado, com

(A∗)−1 = (A−1)∗ .


Teorema 1.9. Seja S e A operadores densamente definidos sobre um espaco de Hilbert

H. Se A e limitado e S e fechado, entao T = S + A e fechado.


1.3 Funcoes elıpticas de Jacobi. 22

Proposicao 1.10. Seja A e um operador simetrico e sobrejetivo densamente definido

num espaco de Hilbert H, ou seja, A(D(A)) = H, entao A e autoadjunto.


Teorema 1.11. Sejam S e A operadores densamente definidos em um espaco de Hilbert

H, tais que S e autoadjunto e A e limitado, simetrico com D(S) ⊂ D(A). Entao, T =

A+ S e autoadjunto.


Definicao 1.12. Sejam X e Y espacos de Banach com X ⊂ Y . Dizemos que X esta

compactamente imerso em Y se,

(i) X → Y , isto e, se existe c > 0 tal que, ‖u‖Y ≤ ‖u‖X ∀u ∈ X.

(ii) Se umm∈N ⊂ X e limitada, entao existe umkk∈N ⊂ um convergente em Y , ou

seja, a inclusao I : X −→ Y e compacta.

Denotamos esta imersao compacta por, Xc→ Y .

1.3 Funcoes elıpticas de Jacobi.

Apresentamos agora algumas propriedades basicas das integrais elıpticas e as funcoes

elıpticas de Jacobi, as quais sao denotadas por sn(u), cn(u) e dn(u). Uma descricao mais

detalhada pode ser encontrada nas referencias [18] e [20]. A integral elıptica de primeiro

tipo, e definida por∫ y

0

dt√(1− t2)(1− k2t2)

=

∫ ϕ

0

dθ√1− k2 sin2(θ)

≡ F (ϕ, k),

onde y = sin(ϕ). A integral elıptica de segundo tipo e∫ y

0

√1− k2t2

1− t2dt =

∫ ϕ

0

√1− k2 sin2(θ)dθ ≡ E(ϕ, k) .

O numero k e chamado modulo da integral elıptica e pertence ao intervalo (0, 1). O

numero k′ =√

1− k2 e chamado o modulo complementar. O parametro ϕ e chamado o

1.3 Funcoes elıpticas de Jacobi. 23

argumento das integrais elıpticas. E usualmente entendido que 0 ≤ y ≤ 1 ou ainda que

0 ≤ ϕ ≤ π

2. Para y = 1, as integrais acima sao ditas completas. Neste caso, escrevemos,∫ 1

0

dt√(1− t2)(1− k2t2)

=

∫ π2

0


≡ F(π

2, k)≡ K(k) ≡ K,

e ∫ 1

0

√1− k2t2

1− t2dt =

∫ π2

0

√1− k2 sin2(θ)dθ ≡ E

(π2, k)≡ E(k) ≡ E .

Ademais, temos que limk→0+

K(k) = limk→0+

E(k) =π

2, enquanto que limk→1− E(k) = 1 e

limk→1− K(k) = +∞. Para k ∈ (0, 1), temos

dK

dk> 0,

d2K

dk2> 0,

dE

dk< 0,

d2E

dk2< 0, e E(k) < K(k) .

Alem disso, E(k) +K(k) e E(k)K(k) sao funcoes estritamente crescentes para k ∈ (0, 1).

Podemos ainda deduzir algumas derivadas das funcoes K e E que serao usadas no decorrer

desta dissertacao, dK

dk=E − k′2Kkk′2

,

dE

dk=E −Kk

.

As funcoes elıpticas de Jacobi sao definidas como segue. Considere a integral elıptica,

u(y1; k) ≡ u =

∫ y1

0

dt√(1− t2)(1− k2t2)

=

∫ ϕ

0


≡ F (ϕ, k),

que e uma funcao estritamente crescente na variavel y1. Sua inversa e escrita como sendo

y1 = sin(ϕ) ≡ sn(u; k) onde ϕ = am(u; k) (a funcao am(u; k) e chamada funcao amplitude

de u). Podemos escrever ainda, y1 =sn(u) quando nao e necessario enfatizar o modulo

k. As outras duas funcoes elıpticas basicas, as funcoes cnoidal e dnoidal sao definidas em

termos de sn por, cn(u; k) =

√1− sn2(u; k) ,

dn(u; k) =√

1− k2y21 =

√1− k2sn2(u; k) .

Notemos que estas funcoes sao normalizadas fazendo-se uso de sn(0; k) = 0, cn(0; k) = 1

e dn(0; k) = 1. A funcao sn e ımpar, enquanto que cn e dn sao pares. Mais ainda, tais

funcoes sao periodicas com perıodos reais 4K, 4K e 2K respectivamente, isto e,

sn(u+ 4K; k) = sn(u; k), cn(u+ 4K; k) = cn(u; k), dn(u+ 2K; k) = dn(u; k) .

1.4 Propriedades analıticas do discriminante. 24

Temos, ainda, as relacoes basicas,

sn2(u) + cn2(u) = 1, k2sn2(u) + dn2(u) = 1, k′2sn2(u) + cn2(u) = dn2(u),

−1 ≤ sn(u; k) ≤ 1, −1 ≤ cn(u; k) ≤ 1, k′2 ≤ dn(u; k) ≤ 1 ,

sn(u+ 2K; k) = −sn(u; k), cn(u+ 4K; k) = −cn(u; k) ,

para todo k ∈ (0, 1) e u ∈ R. Alem disso,

sn(0) = 0, cn(0) = 1, sn(K) = 1, cn(K) = 0 ,

e

sn(u; 0) = sin(u), cn(u; 0) = cos(u), sn(u; 1) = tanh(u), cn(u; 1) = sech(u) .

Finalmente, tem-se as formulas derivadas,

d

dusn(u) = cn(u)dn(u),

d

ducn(u) = −sn(u)dn(u),

d

dudn(u) = −k2cn(u)sn(u) .

1.4 Propriedades analıticas do discriminante.

Nesta secao apresentaremos a funcao discriminante ∆ bem como alguns resultados

importantes relacionados a tais funcoes. Temos, por exemplo, que a funcao ∆ e uma

funcao analıtica inteira. Considere a equacao

y′′ + [λ+Q(x)]y = 0, (1.4)

onde Q(x) e contınua e periodica com perıodo minimal L = π e λ ∈ C . Isto e, para todo

x temos,

Q(x+ π) = Q(x) (1.5)

e se p e um numero tal que 0 < p < π, entao existe um intervalo minimal I tal que

Q(x + p) 6= Q(x) ∀ x ∈ I. A equacao (1.4) e denominada equacao de Hill. Pela teoria

de equacoes diferenciais ordinarias temos que (1.4) possui duas solucoes continuamente

diferenciaveis y1(x) e y2(x) que sao univocamente determinadas pelas condicoes,

y1(0, λ) = 1, y′1(0, λ) = 0, y2(0, λ) = 0 e y′2(0, λ) = 1 . (1.6)

1.4 Propriedades analıticas do discriminante. 25

As condicoes dadas em (1.6) sao chamadas condicoes normalizadas referentes a equacao

(1.4).

Neste contexto definimos a funcao ∆.

Definicao 1.13. Seja y1(x, λ) e y2(x, λ) as solucoes de (1.4) univocamente determinadas

pelas condicoes iniciais (1.6). Entao, a funcao discriminante denotada por ∆ e definida

por

∆(λ) = y1(π, λ) + y′2(π, λ).

Exibimos agora um resultado que garante que o discriminante e uma funcao analıtica

inteira e que possui infinitos zeros.

Teorema 1.14. A funcao

∆(λ) = y1(π, λ) + y′2(π, λ) ,

e uma funcao analıtica inteira de variavel complexa λ. Sua ordem de crescimento para

|λ| −→ +∞ e exatamente1

2, isto e existe uma constante positiva M tal que,

|∆(λ)| e−M√|λ| e limitada, ∀ λ (1.7)

e uma constante positiva m tal que, λ real e λ −→ −∞ implica que

|∆(λ)| e−m√|λ| −→ +∞. (1.8)

Demonstracao: Uma demonstracao pode ser encontrada em [38] (ver tambem [39]). 2

Corolario 1.15. As funcoes,

∆(λ) + 2 e ∆(λ)− 2 ,

possuem um numero infinito de zeros .


1.5 Resultados auxiliares. 26

1.5 Resultados auxiliares.

1.5.1 Alternativa de Fredholm.

Nesta secao apresentaremos a Alternativa de Fredholm, que sob certas condicoes

garante a existencia de solucoes L-periodicas para sistemas lineares nao homogeneos da

forma

x = A(t)x+ f(t) , (1.9)

onde A(t) e uma matriz, n×n, contınua e A(t), f(t) sao funcoes L-periodicas com relacao

a variavel t. Os conceitos neste topico podem ser encontrados em [26].

Definicao 1.16. Seja A(t) uma matriz, n× n, contınua. O sistema linear,

y = −A(t)ty(t)

onde A(t)t denota a matriz transposta da matriz A(t), e chamado de equacao adjunta de

x = A(t)x . (1.10)

A equacao adjunta tambem pode ser escrita na forma

y = −yA(t) , (1.11)

com y designando um vetor linha. Se X(t) e a matriz principal de (1.10), entao

Y (t) = X(t)−1 e a matriz principal de (1.11). De fato, derivando y = y0X−1(t) obte-

mos,

y = −y0X−1XX−1 = −y0X

−1A = −yA .

Analisemos entao a existencia de solucoes L-periodicas para (1.9), isto e, solucoes de

perıodo minimal L para (1.9). No caso homogeneo, isto e, f ≡ 0, tem-se o seguinte

resultado.

Lema 1.17. Se A(t) e L-periodica, entao os sistemas homogeneos (1.10) e (1.11) tem o

mesmo numero de solucoes linearmente independentes.



Teorema 1.18 (Alternativa de Fredholm). O sistema (1.9) tem solucao L-periodica se, e

somente se, a condicao de ortogonalidade∫ L

0

y(t)f(t)dt = 0

esta satisfeita para toda solucao L-periodica de (1.11). O integrando y(t)f(t) e o produto

usual da matriz linha y(t) pela matriz coluna f(t).


1.5.2 Teorema Espectral para o operador Lc.

Antes de enunciarmos e demonstrarmos o Teorema Espectral para o operador Lc,

veremos a definicao de espectro e resolvente de um operador A, definido num domınio

D(A) ⊂ H, onde H e um espaco de Hilbert. Enunciaremos o resultado que caracteriza

o espectro de A quando este e um operador autoadjunto e alguns outros resultados que

serao utilizados.

Definicao 1.19 (Resolvente e Espectro). Seja A : D(A) −→ H um operador fechado com

domınio D(A) ⊂ H. Os conjuntos

ρ(A) = λ ∈ C : A− λI possui inversa limitada e R(A− λI) = H,

onde R(A−λI) denota a imagem da aplicacao A−λI e σ(A) = C −ρ(A), sao chamados

respectivamente o conjunto resolvente de A e o conjunto espectro de A. Se λ ∈ ρ(A),

Rλ(A) = (A− λI)−1 e chamado de operador resolvente de A em λ.

O espectro de A pode ser dividido em tres partes disjuntas.

(i) Dizemos que λ ∈ σp (espectro pontual) de A, se (A− λI)ν = 0 possui solucao nao

trivial. Em outras palavras λ ∈ σp se λ e um autovalor associado ao operador A.

(ii) Dizemos que λ ∈ σc (espectro contınuo) de A se o operador (A − λI)−1 existe,

esta densamente definido em H, porem nao e limitado.

(iii) Dizemos que λ ∈ σr (espectro residual) de A se (A − λI)−1 existe, porem nao

esta densamente definido em H, podendo (A− λI)−1 ser limitado ou nao.

Teorema 1.20 (Espectro de operador autoadjunto). Seja A : D(A) ⊂ H −→ H um

operador autoadjunto com domınio D(A) denso em H. Entao,


(i) σ(A) ⊂ R.

(ii) A nao possui espectro residual. Assim σ(A) = σp(A) ∪ σc(A) .

Demonstracao: Ver [14] 2

Neste contexto, definimos tambem o espectro essencial do operador A citado acima.

Definicao 1.21 (Espectro Essencial). Seja A : D(A) ⊂ H −→ H um operador linear.

(a) λ ∈ σ(A) e nao essencial se, e somente se as seguintes condicoes sao satisfeitas,

(1) λ e um autovalor isolado de σ(A),

(2) o Nucleo N (A− λI) possui dimensao finita.

Neste caso chamamos este conjunto de λ’s de espectro discreto de A e o denotamos por

σdisc(A).

(b) O complementar do conjunto σdisc(A) no σ(A) e chamado de espectro essencial

de A. Denotamos este conjunto por σess(A). Assim, σ(A) = σdisc(A) ∪ σess(A) .

Teorema 1.22 (Invariancia do Espectro Essencial). Sejam A e B, operadores autoad-

juntos sobre um espaco de Hilbert H, tal que

(1) D(A) = D(B) ,

(2) A − B e um operador compacto de D(A) em H, onde D(A) e considerado com a

norma do grafico gerado por A, ‖u‖2A = ‖A(u)‖2 + ‖u‖2 (note que D(A) com a

norma do grafico ‖ · ‖A e um espaco de Banach, pois A e fechado).

Entao, σess(A) = σess(B) .


Vamos agora enunciar e demonstrar o Teorema Espectral para o operador Lc .

Teorema 1.23. O operador Lc definido por

Lc(y) = −y′′ + (c− ϕp)y (1.12)

e fechado, nao limitado e autoadjunto sobre L2per([0, L]). Seu espectro consiste em um

numero enumeravel infinito de autovalores (que se acumulam no infinito), isto e, tem-se

σess(Lc) = ∅ (onde σess(Lc) denota o espectro essencial do operador Lc). Em particular,

Lc tem o autovalor 0 com a autofuncao ϕ′c.


Demonstracao: Suponhamos que nossas funcoes periodicas tenham perıodo L. Note

que o operador Lc definido em H2per([0, L]) e um operador fechado e autoadjunto sobre

L2per([0, L]). De fato, o operador Lc, pode ser escrito na forma,

Lc = S + A ,

onde S = − d2

dx2+ c e A = −ϕpc . Note que, para todo u, v ∈ D(S), temos

(S(u), v)L2per

= (−u′′ + cu, v)L2per

=

∫ L

0

−u′′(x)v(x)dx+

∫ L

0

cu(x)v(x)dx

=

∫ L

0

−u(x)v′′(x)dx+

∫ L

0

cu(x)v(x)dx

= (u,−v′′ + cv)L2per

= (u, S(v))L2per

,

isto e, S e simetrico. Alem disso, o problema − d2

dx2u + cu = f sempre admite solucao,

para toda f ∈ L2per([0, L]), ou seja, S e sobrejetor. Assim, pela Proposicao 1.10, o oper-

ador S e autoadjunto. Por outro lado, observe que A e simetrico e D(S) = H2per([0, L]) ⊂

L2per([0, L]) = D(A). Ademais, como ϕpc e periodica, entao ϕpc e limitada e consequente-

mente A e limitado. Portanto, pelo Teorema 1.11, S + A e autoadjunto e assim Lc e

autoadjunto. Podemos tambem, usar Lc na forma Lc = S+A, para garantir que Lc e um

operador fechado. Com efeito, como A e limitado e S e fechado, temos pelo Teorema 1.9

que Lc e fechado. Poderıamos ter usado que Lc e autoadjunto, neste caso, a Proposicao

1.7 garantiria que Lc e fechado.

O operador Lc possui espectro essencial vazio, isto e, σess(Lc) = ∅. De fato, para

S = − d2

dx2+ c, sabemos que σess(S) = ∅. Por outro lado, considerando A = Lc, obtemos

T = A − S : D(A) = H2per([0, L]) −→ L2

per([0, L]) tal que, T (u) = −ϕpcu. Ademais,

sendo un −→ u em H2per([0, L]), H2

per([0, L])c→ L2

per([0, L]) e ϕpc limitado, existe uma

subsequencia unk tal que,

ϕpcunk −→ ϕpcu em L2per([0, L]), se k −→ +∞ .

Logo, T e compacto. Portanto, como D(A) = D(S) e T e compacto, temos pelo Teorema

1.22 que σess(A) = σess(S), de onde encontramos que, σess(Lc) = ∅.


Vamos provar agora que o espectro T := − d2

dx2+ c e um conjunto infinito enumeravel

de autovalores satisfazendo

γ0 ≤ γ1 ≤ γ2 ≤ ..., (1.13)

onde γn −→ +∞ quando n −→ +∞. De fato, pelo Teorema de Lax-Milgran o operador

− d2

dx2+ c e inversıvel, deste modo seja Rc :=

(− d2

dx2+ c

)−1

, cujo sımbolo e1

c+ n2

para n ∈ Z. Como1

c+ n2∈ l2(Z) entao pelo Teorema de Plancherel existe um unico

Gc ∈ L2per([0, L]) tal que Gc(n) =

1

c+ n2. Devido a este fato tem-se a acao

Rcf(x) =1

L

∫ L

0

Gc(x− y)f(y)dy,

definida em L2per([0, L]). Como o intervalo [0, L] e limitado e∫ L

0

∫ L

0

|G(x− y)|2dxdy = L‖G‖2L2per

temos que Hc(x, y) := Gc(x− y) ∈ L2per([0, L])× L2

per([0, L]), isto e, o nucleo Hc(x, y) :=

Gc(x− y) ∈ L2per([0, L]× [0, L]) e assim, obtemos que Rc e um operador Hilbert-Schmidt

sobre L2per([0, L]) (ver [33]). Portanto Rc e um operador compacto sobre L2

per([0, L]) para

todo c > 0 (ver [1]). Desta maneira, obtemos (1.13).

O proximo passo e mostrar que existe µ1 suficientemente grande de modo que M :=

(Lc+µ1)−1 existe e define um operador limitado, positivo, autoadjunto e compacto. Com

efeito, primeiramente, temos que Lc e limitado por baixo, isto e, se f ∈ D(Lc) tem-se,

〈Lcf, f〉 ≥ −β〈f, f〉, onde β = ‖ϕc‖L∞per + c. Entao, podemos escolher um µ1 tal que

Lc + µ1 > 0, isto e, M e positivo. Denotemos, µ := µ1 somente por conveniencia. Seja

ν um numero positivo tal que ν + ϕc − c > 0 e ν + µ > 0. Logo, para µ > 0 tem-

se, f = (Lc + µ)g ⇔(I −

(− d2

dx2

))g = Υf onde − d2

dx2g = Rµ+ν [(ν + ϕc − c)g] e

Υ = Rν+µ. Denotaremos h = ν + ϕc − c. Agora, do Teorema de Parseval, segue que∥∥∥∥ d2

dx2g

∥∥∥∥L2per

≤ supn∈Z

1

n2 + ν + µ

‖h‖L+∞

per‖g‖L2

per.

Entao, podemos escolher, µ tal que

∥∥∥∥− d2

dx2

∥∥∥∥B(L2

per)

< 1 e Lc + µ > 0. Entao,

I −(− d2

dx2

)e invertıvel e com isto g =

(I −

(− d2

dx2

))−1

Υf . Assim escrevemos M =

(L + µ)−1 =(I −

(− d2

dx2

))−1

Υ. Sendo Υ um operador compacto e(I −

(− d2

dx2

))−1

∈

B(L2per([0, L])) temos que M e um operador compacto. Entao existe uma base ortonor-

mal ϕk∞k=0 de L2per([0, L]) constituıda de autofuncoes de M com autovalores nao nulos

µk∞k=0 satisfazendo,

µ1 ≥ µ2 ≥ µ3 ≥ ... > 0,

e µk −→ 0 quando k −→∞. Como, Mϕk = µkϕk ∈ D(Lc + µ) obtemos

Lcϕk =

(1

µk− µ

)ϕk := λkϕk .

Entao, existe uma sequencia de autovalores de Lc, λk∞k=0, satisfazendo

λ0 ≤ λ1 ≤ λ2 ≤ λ3 ≤ ...,

e λk −→∞ quando k −→∞. Este argumento mostra o desejado.

2

Capıtulo 2

Teoria Floquet

Neste capıtulo apresentaremos um breve estudo da teoria Floquet. Os principais

resultados sao o Teorema de Floquet e o Teorema da Oscilacao. Esses resultados serao

de grande utilidade para a teoria desenvolvida nos capıtulos seguintes.

2.1 Teorema de Floquet.

Seja Q : R→ R (ou C ) uma funcao de variavel real x definida para todos os valores

de x.

Assumimos que Q(x) e contınua e periodica com perıodo minimal π. Isto e para todo

x temos,

Q(x+ π) = Q(x) . (2.1)

Se Q(x) possui as propriedades mencionadas acima, entao conforme [30] a equacao

diferencial,

y′′ +Q(x)y = 0, (2.2)

possui duas solucoes continuamente diferenciaveis y1(x) e y2(x) as quais sao univocamente

determinada pelas condicoes.

y1(0) = 1, y′1(0) = 0, y2(0) = 0 e y′2(0) = 1 . (2.3)

As solucoes da equacao (2.2) juntamente com as condicoes (2.3) sao denominadas solucoes

normalizadas de (2.2).

Antes de estabelecermos o Teorema de Floquet, devemos definir a equacao carac-

terıstica e o expoente caracterıstico associado a (2.2). Neste contexto, a equacao carac-

terıstica e a equacao

ρ2 − [y1(π) + y′2(π)]ρ+ 1 = 0, (2.4)

2.1 Teorema de Floquet. 33

e o expoente caracterıstico e o numero α o qual satisfaz as equacoes

eiαπ = ρ1 e−iαπ = ρ2, (2.5)

onde ρ1 e ρ2 sao as raızes da equacao caracterıstica (2.4).

A partir destas definicoes, podemos observar o seguinte fato,

2cos(απ) = y1(π) + y′2(π). (2.6)

Com efeito, substituindo (2.5) em (2.4) temos, e2iαπ − (y1(π) + y′2(π))eiαπ + 1 = 0

e−2iαπ − (y1(π) + y′2(π))e−iαπ + 1 = 0(2.7)

Subtraindo em (2.7) uma equacao da outra temos

2isen(2απ)− (y1(π) + y′2(π))eiαπ + (y1(π) + y′2(π))e−iαπ = 0,

ou seja,

2i(2 sin(απ) cos(απ)) + (y1(π) + y′2(π))(e−iαπ − eiαπ) = 0 . (2.8)

Temos agora tres casos a considerar, α = n ∈ Z, α = a+ bi com b 6= 0 e α ∈ R \ Z.

Se α ∈ R \ Z, entao e−iαπ − eiαπ = 2i sin(απ) 6= 0, assim de (2.8) temos,

y1(π) + y′2(π) =−4i sin(απ) cos(απ)

e−iαπ − eiαπ=−4i sin(απ) cos(απ)

−2i sin(απ)= 2 cos(απ).

Se α = n ∈ Z entao eiαπ = einπ = e−inπ = ±1, assim (2.4) e (2.5) implicam que (2.6)

e valido.

Se α = a+bi com b 6= 0 entao e−iαπ−eiαπ 6= 0. De fato, suponha que e−iαπ−eiαπ = 0

entao,

e−iaπebπ = eiaπe−bπ.

Multiplicando esta equacao por e−iaπebπ temos,

(cos(2aπ)− i sin(2aπ))e2bπ = 1

e separando a parte real e a imaginaria obtemos, cos(2aπ)e2bπ = 1

sin(2aπ)e2bπ = 0.(2.9)


A segunda equacao de (2.9) fornece que 2a e um inteiro. Mas se 2a for um inteiro entao da

primeira equacao de (2.9) temos que e2bπ = 1, isto e b = 0 o que e contradicao. Portanto

e−iαπ − eiαπ 6= 0 e como no caso que α ∈ R \ Z temos (2.6). Ademais, podemos observar

que ρ1ρ2 = eiαπe−iαπ = 1.

Teorema 2.1. (Teorema de Floquet.)

(i) Se as raızes ρ1 e ρ2 da equacao caracterıstica (2.4) sao distintas, entao a equacao

de Hill (2.2) possui duas solucoes linearmente independentes,

f1(x) = eiαxP1(x), f2(x) = e−iαxP2(x) ,

onde P1(x) e P2(x) sao periodicas com perıodo π .

(ii) Se ρ1 = ρ2, entao a equacao (2.2) tem uma solucao nao trivial a qual e periodica

com perıodo π (quando ρ1 = ρ2 = 1) ou 2π (quando ρ1 = ρ2 = −1). Se p(x) for

uma solucao periodica e y(x) for outra solucao linearmente independente de p(x).

Entao

y(x+ π) = ρ1y(x) + θp(x), onde θ e constante. (2.10)

Ainda, θ = 0 e equivalente a

y1(π) + y′2(π) = ±2, y2(π) = 0 e y′1(π) = 0 .

Demonstracao: (i) Caso ρ1 6= ρ2. Se y(x) e uma solucao de (2.2), entao sendo

a equacao (2.2) autonoma, temos que y(x + π) e tambem uma solucao de (2.2). Em

particular y1(x + π) e y2(x + π) sao solucoes de (2.2). Como y1(x) e y2(x) formam uma

base para o conjunto de todas as solucoes de (2.2), e possıvel expressar y1(x+π) e y2(x+π)

como combinacao linear de y1(x) e y2(x), logo, y1(x+ π) = c1y1(x) + c2y2(x)

y2(x+ π) = c3y1(x) + c4y2(x) .(2.11)

Pela primeira equacao de (2.11) temos,

y1(π) = y1(0 + π) = c1y1(0) + c2(0) = c1.1 + c2.0 = c1,

isto e,

y1(π) = c1 .


Por outro lado, derivando a primeira equacao obtemos,

y′1(x+ π) = c1y′1(x) + c2y

′2(x),

e considerando x = 0 obtem-se,

y′1(0) = y′1(0 + π) = c1y′1(0) + c2y

′2(0) = c1.0 + c2.1 = c2 ,

isto e,

c2 = y′1(π).

Desta forma,

y1(x+ π) = y1(π)y1(x) + y′1(π)y2(x) .

Atraves de um raciocınio analogo, tem-se

y2(x+ π) = y2(π)y1(x) + y′2(π)y2(x) .

Portanto o sistema (2.11) assume a forma,y1(x+ π) = y1(π)y1(x) + y′1(π)y2(x)

y2(x+ π) = y2(π)y1(x) + y′2(π)y2(x).

(2.12)

Assuma agora que y 6≡ 0 e uma solucao de (2.2) tal que,

y(x+ π) = ρy(x) , (2.13)

para alguma constante ρ. Se y = c1y1 + c2y2, resulta de (2.12) que c1 e c2 devem

satisfazer o seguinte sistema linear,(y1(π)− ρ)c1 + y2(π)c2 = 0

y′1(π)c1 + (y′2(π)− ρ)c2 = 0.

(2.14)

De fato,

ρy(x) = y(x+ π) = c1y1(x+ π) + c2y2(x+ π)

= c1(y1(π)y1(x) + y′1(π)y2(x)) + c2(y2(π)y1(x) + y′2(π)y2(x)

= c1y1(π)y1(x) + c1y′1(π)y2(x) + c2y2(π)y1(x) + c2y

′2(π)y2(x),


e como y = c1y1 + c2y2 temos,

ρ(c1y1(x) + c2y2(x)) = (c1y1(π) + c2y2(π))y1(x) + (c1y′1(π) + c2y

′2(π))y2(x).

Entao,

(c1y1(π) + c2y2(π)− ρc1)y1(x) + (c1y′1(π) + c2y

′2(π) + ρc2)y2(x) = 0 (2.15)

Assim, pelo fato de y1 e y2 serem linearmente independentes, segue por (2.15) o desejado

em (2.14).

Reciprocamente, se (2.14) e satisfeito entao y satisfaz (2.13). Agora uma condicao

necessaria e suficiente para (2.14) possuir uma solucao c1, c2 nao trivial e∣∣∣∣∣∣ y1(π)− ρ y2(π)

y′1(π) y′2(π)− ρ

∣∣∣∣∣∣ = 0. (2.16)

Por um lado, observe que para todo x, o Wronskiano de y1 com y2 e 1. De fato por

(2.3) temos,

W (y1, y2)(0) = y1(0)y2(0)− y2(0)y′1(0) = 1 6= 0.

Entao pela formula de Abel Liouville temos que o Wronskiano num ponto arbitrario x e

dado por,

W (y1, y2)(x) = W (y1, y2)(0)e−∫ x0 p(s)ds,

onde p(x) e o coeficiente do termo y′ da EDO y′′ + py′ + y = f , que no nosso caso e zero.

Desta forma, concluı-se,

W (y1, y2)(x) = W (y1, y2)(0) = 1, ∀x ∈ R .

Por outro lado, (2.16) e dado por,

0 = (y1(π)− ρ)(y′2(π)− ρ)− y′1(π)y2(π)

= y1(π)y′2(π)− ρ(y1(π) + y′2(π)) + ρ2 − y′1(π)y2(π)

= ρ2 − ρ(y1(π) + y′2(π)) + (y1(π)y′2(π)− y2(π)y′1(π))

= ρ2 − ρ(y1(π) + y′2(π)) +W (y1, y2)(x0)

= ρ2 − ρ(y1(π) + y′2(π)) + 1.


Portanto, (2.16) e identica a equacao caracterıstica (2.4).

Deste modo, se ρ = ρ1 e uma raiz de (2.16) podemos encontrar c1 e c2 tal que

y = c1y1 + c2y2 6≡ 0 com y satisfazendo (2.13), isto e, y(x+ π) = ρy(x). Sendo (2.13) sa-

tisfeito, vamos definir

P1(x) = e−iαxy(x) .

Entao, como P1 6≡ 0, pois y 6≡ 0 temos,

P1(x+ π) = e−iα(x+π)y(x+ π)

= e−iαxe−iαπy(x+ π)

= e−iαxe−iαπρy(x) .

Sendo ρ = ρ1 = eiαπ temos,

P1(x+ π) = e−iαxe−iαπeiαπy(x) = e−iαxy(x) = P1(x) .

Daı, P1 e periodica com perıodo π. Alem disso, podemos escrever y como sendo

y(x) = e+iαxe−iαxy(x) = eiαxP1(x) .

Associado a esse ρ1, obtemos assim uma solucao de (2.2), dada por,

f1(x) = eiαxP1(x)

onde P1 e periodica com perıodo π.

Suponha que (2.16) possua uma segunda solucao ρ = ρ2 6= ρ1. Assim, por um proce-

dimento similar ao feito no caso ρ = ρ1, definimos P2(x) = eiαxy(x), donde obtemos

f2(x) = e−iαxP2(x),

com P2 periodica com perıodo π e P2 6≡ 0. Como P1 6≡ 0 e P2 6≡ 0, temos da definicao de

f1 e f2 que,

f1 6≡ 0 e f2 6≡ 0 . (2.17)

Contudo, a primeira parte do Teorema de Floquet ainda nao esta demonstrada. Resta

mostrar que f1 e f2 sao linearmente independentes. Suponha por absurdo que f1 e f2 sao


linearmente dependentes, entao existem constantes λ1 e λ2 (nao nulas simultaneamente)

tais que,

λ1f1(x) + λ2f2(x) = 0 ∀ x ∈ R . (2.18)

Sendo P1 e P2 periodicas com perıodo π temos,

f1(x+ π) = eiαxeiαπP1(x+ π) = ρ1eiαxP1(x) = ρ1f1(x)

e

f2(x+ π) = e−iαxe−iαπP2(x+ π) = ρ2e−iαxP2(x) = ρ2f2(x) .

Assim, de (2.18) temos,

λ1ρ1f1(x) + λ2ρ2f2(x) = λ1f1(x+ π) + λ2f2(x+ π) = 0 ∀ x ∈ R . (2.19)

Sendo λ1f1 e λ2f2 nao ambas identicamente nulas, as equacoes (2.18) e (2.19) sao

compatıveis somente se ρ1 = ρ2. Com efeito, as equacoes (2.18) e (2.19) nos fornecem o

seguinte sistema, λ1f1(x) + λ2f2(x) = 0

λ1ρ1f1(x) + λ2ρ2f2(x) = 0 .

(2.20)

Se λ1 6= 0 e λ2 6= 0, multiplicando a primeira equacao do sistema (2.20) por ρ2 obtemos,λ1ρ2f1(x) + λ2ρ2f2(x) = 0

λ1ρ1f1(x) + λ2ρ2f2(x) = 0 .

(2.21)

Subtraindo as equacoes em (2.21) temos,

λ1f1(x)(ρ2 − ρ1) = 0 ∀ x ∈ R .

Como λ1 6= 0 e de (2.17) tem-se f1 6≡ 0, ∃ x0 tal que f1(x0) 6= 0. Assim, λ1f1(x0)(ρ1−

ρ2) = 0 e sendo λ1f1(x0) 6= 0, segue que ρ2 − ρ1 = 0 e entao ρ2 = ρ1. Logo, temos uma

contradicao, pois supomos inicialmente que ρ1 6= ρ2.

Se λ1 6= 0 e λ2 = 0, temos da primeira equacao de (2.20) que f1 ≡ 0, porem isto e

contradicao, pois vimos em (2.17) que f1 6≡ 0. Da mesma forma, se λ1 = 0 e λ2 6= 0

temos da primeira equacao de (2.20) que f2 ≡ 0, porem isto tambem e contradicao, ja que

vimos em (2.17) que f2 6≡ 0. Consequentemente, temos que f1, f2 e LI. Este argumento

mostra o teorema para ρ1 6= ρ2.


Como ρ1ρ2 = 1, entao ou |ρ1| = |ρ2| = 1 ou pelo menos um dos valores |ρ1| ou |ρ2|

excede 1. No primeiro caso temos que todas as solucoes de (2.2) sao limitadas e no segundo

caso temos que existem solucoes de (2.2) ilimitadas, desde que ρ1 6= ρ2 ( α sendo real ou

nao, ver Corolario 2.2 e Corolario 2.3 ou Teste de Estabilidade).

(ii) Consideremos o caso ρ1 = ρ2. Pelo fato de ρ1 ser solucao de (2.4) podemos

construir uma solucao y∗1(x) de (2.2) tal que,

y∗1(x+ π) = ρ1y∗1(x). (2.22)

Como ρ1 = ρ2 e ρ1ρ2 = 1 temos que ρ1 = ±1 e assim y∗1 e periodica com perıodo π ou

2π, com efeito, se ρ1 = 1, temos de (2.22) que y∗1 e periodica com perıodo π e se ρ1 = −1

entao,

y∗1(x+ 2π) = y∗1(x+ π + π) = −y∗1(x+ π) = −(−y∗1(x)) = y∗1(x)

e portanto y∗1(x) e periodica com perıodo 2π. Observe o seguinte, se ρ e raiz de (2.4) (e

ρ 6= 0) temos,ρ2 + 1

ρ= y1(π) + y′2(π) .

Assim, supondo ρ = ±1 vem que

y1(π) + y′2(π) =2

ρ= 2ρ . (2.23)

Com o intuito de encontrar as propriedades da solucao y∗2 a qual e LI com y∗1 assumimos

primeiramente que y2(π) 6= 0. Entao, podemos escolher por (2.14) e (2.4), c1 := y2(π)

obtendo c2 = (ρ1 − y1(π)) e y∗1 como sendo,y∗1(x) = y2(π)y1(x) + [ρ1 − y1(π)]y2(x)

y∗2(x) = y2(x).

Pela definicao de c1, temos que c1 e c2 satisfazem a primeira equacao de (2.14). Porem c1 e

c2 devem satisfazer a segunda equacao de (2.14) para existir y∗1 tal que y∗1(x+π) = y1(x).

Com efeito,

y′1(π)c1 + (y′2(π)− ρ)c2 = y′1(π)y2(π) + (y′2(π)− ρ)(ρ− y1(π)

= y′1(π)y2(π) + ρ(y′2(π)− y′2(π)y1(π)− ρ2 + ρy1(π)

= −W (y1, y2)(π)− 1 + ρ(y′2(π) + y1(π)) ,


ou seja,

y′1(π)c1 + (y′2(π)− ρ)c2 = −2 + ρ(y′2(π) + y1(π)) . (2.24)

Multiplicando (2.23) por ρ, obtemos por (2.24)

y′1(π)c1 + (y′2(π)− ρ)c2 = −2 + 2

= 0 .

Desta forma, dada qualquer funcao y∗2 LI com y∗1, definamos y2 = y∗2 e tomemos y∗2 no

sistema fundamental juntamente com y1. Observe que c1 = y2(π) 6= 0 garante que y1 e y∗2

sejam LI. Agora de (2.12) e de (2.23) temos,

y∗2(x+ π) = y2(x+ π) = y2(π)y1(x) + y′2(π)y∗2(x)

= y2(π)y1(x) + (2ρ1 − y1(π))y∗2(x)

= y2(π)y1(x) + (ρ1 + ρ1 − y1(π))y∗2(x)

= y2(π)y1(x) + ρ1y∗2(x) + ρ1y2(x)− y1(π)y2(x)

= ρ1y∗2(x) + [y2(π)y1(x) + (ρ1 − y1(π))y2(x)]

= ρ1y∗2(x) + y∗1(x)

= ρ1y∗2(x) + θy∗1(x) .

Vamos agora, assumir que y2(π) = 0. Sendo W (y1, y2)(π) = 1 temos,

y1(π)y′2(π)− y′1(π)y2(π) = 1.

Porem, y2(π) = 0 implica que y1(π)y′2(π) = 1. Entao por (2.23), temos o sistemay1(π)y′2(π) = 1

y1(π) + y′2(π) = ±2 = 2ρ1.

Daı,

y1(π) = y′2(π) = ρ1 . (2.25)


Escolhendo y∗1 = y2 temos de (2.12), (2.23) e (2.25)

y∗1(x+ π) = y2(x+ π) = y2(π)︸︷︷︸=0

y1(x) + y′2(π)y2(x) = (ρ1 + ρ1 − y1(π))y2(x)

= ρ1y2(x) + (ρ1 − y1(π))y2(x) = ρ1y2(x) + (y1(π)− y1(π)︸︷︷︸=0

)y2(x)

= ρ1y∗1(x) .

Sendo y∗2 solucao LI com y∗1 = y2, podemos definir y1 = y∗2 e teremos,

y∗2(x+ π) = y1(x+ π)

= y1(π)y1(x) + y′1(π)y2(x)

= ρ1y∗2(x) + y′1(π)y∗1(x) .

Alem disso, notemos que o caso θ = 0 pode ocorrer somente quando y2(π) = 0, pois

se y2(π) 6= 0 vimos que θ = 1. Portanto se θ = 0 entao y2(π) = 0. Por outro lado se

y2(π) = 0 temos θ = y′1(π). Logo se y2(π) = 0 e y′1(π) = 0 entao θ = 0. Estes argumentos

provam a seguinte equivalencia,

θ = 0 ⇔ y2(π) = 0 e y′1(π) = 0.

A afirmacao y1(π) + y′2(π) = ±2 ocorre do fato de ρ1 = ρ2 = ±1. Temos finalmente a

prova do Teorema de Floquet. 2

O Teorema de Floquet nos fornece algumas consequencias imediatas que nos permitem

caracterizar quando algumas solucoes de (2.2) sao limitadas.

Corolario 2.2. Se ρ1 6= ρ2 e α e real, entao existe um limite superior M que nao depende

de x para o valor absoluto |y(x)| de toda solucao de (2.2).

Demonstracao: Seja y solucao de (2.2). Como ρ1 6= ρ2 temos pelo Teorema de Floquet,

y = c3f1 + c4f2.

Alem disso, sendo α real entao |eiαx| = |e−iαx| = 1. Sendo P1 e P2 contınuas e periodicas

temos,

|y(x)| = |c3f1(x) + c3f2(x)| ≤ |c3f1(x)|+ |c3f2(x)|

= |c3eiαxP1(x)|+ |c4e

−iαxP2(x)| = |c3P1(x)|+ |c4P2(x)| ≤M,


onde M nao depende de x. 2

Corolario 2.3. Se ρ1 6= ρ2 e α nao e real entao existe uma solucao nao trivial e ilimitada

y(x) de (2.2).

Demonstracao: De fato, se α nao e real entao existe a, b ∈ R, b 6= 0 tal que,

α = a+ bi .

Desta forma,

|f1(x)| = |eiαxP1(x)| = |ei(a+bi)xP1(x)|

= |e−bxeiaxP1(x)| = e−bx|P1(x)| .

Portanto f1 e ilimitada e como f1 e solucao de (2.2) temos o desejado. 2

Corolario 2.4. Se ρ1 = ρ2 = ±1 = ρ, entao para toda solucao de (2.2) ser limitada e

necessario e suficiente que

y1(π) + y′2(π) = ±2, y2(π) = 0 e y′1(π) = 0 ,

ou equivalentemente que θ = 0 (de acordo com o Teorema de Floquet).

Demonstracao: Suponhamos que toda solucao de (2.2) seja limitada, vimos no Teorema

de Floquet (quando ρ = ρ1 = ρ2 = ±1) que existe uma solucao y1 de (2.2) tal que

y1(x+ π) = ρy1(x). Sendo y2 outra solucao LI com y1 ela deve satisfazer

y2(x+ π) = ρy2(x) + θy1(x) .

Assim, para mostrar o desejado, basta mostrar que θ = 0. Suponha por absurdo que

θ 6= 0. Definamos,

g1(x) = y1(x),

onde y1 satisfaz y1(x+ π) = ρy1(x) e

g2 = y2 −θ

πρxg1(x),

onde y2 e LI com y1. A solucao y2 satisfaz a condicao (ii) do Teorema de Floquet, isto e,

y2(x+ π) = ρy2(x) + θy1(x).


Notemos que g1 e g2 sao periodicas de perıodo π ou 2π. De fato, g1 e

π-periodica ou 2π-periodica por definicao e g2 satisfaz,

g2(x+ π) = y2(x+ π)− θ

πρ(x+ π)g1(x+ π)

= ρ1y2(x) + θy1(x)− θ

πρxg1(x+ π)− θπ

πρg1(x+ π)

= ρy2(x) + θy1(x)− θ

πρxρy1(x)− θπ

πρρy1(x)

= ρ(y2(x)− θx

πρy1(x)) = ρg2(x) .

Disto segue que g2 tambem e periodica com perıodo π ou 2π.

Portanto com a condicao θ 6= 0 e ρ = ρ1 = ρ2 temos duas solucoes de (2.2) dadas por;y1(x) =

1

ρg1(x)

y2(x) = g2(x) +θ

πρxg1(x) .

(2.26)

Assim, como g1, g2 sao periodicas e θ 6= 0, segue pela segunda equacao de (2.26) que y2

e uma solucao ilimitada, o que e contradicao pois havıamos assumido inicialmente que

todas as solucoes de (2.2) sao limitadas. Portanto, θ = 0 e pelo Teorema de Floquet,

y1(π) + y′2(π) = ±2, y2(π) = 0, y′1(π) = 0.

Reciprocamente, se y1(π) + y′2(π) = ±2, y2(π) = 0 e y′1(π) = 0 temos do fato de

ρ1 = ρ2 = ±1 e y1(x), y2(x) serem linearmente independentes que y1(x + π) = ±y1(x) e

y2(x+ π) = ±y2(x) + θy1(x) com θ = 0 daı,

y1(x+ π) = ±y1(x) e y2(x+ π) = ±y2(x)

e portanto todas as solucoes de (2.2) sao limitadas. 2

Definiremos agora a nocao de solucao estavel para (2.2).

Definicao 2.5. Sempre que todas as solucoes de (2.2) forem limitadas diremos que elas

sao estaveis. Caso contrario, diremos que elas sao instaveis.

2.2 Teste de estabilidade. 44

Corolario 2.6. Se (2.2) possui uma solucao periodica nao trivial com perıodo nπ, n ≥ 2

mas nenhuma solucao com perıodo π ou 2π, entao todas as solucoes sao periodicas com

perıodo nπ.

Demonstracao: Pelo Teorema de Floquet, vimos se ρ1 = ρ2 entao existe uma solucao

de perıodo π ou 2π. Logo, se (2.2) nao possui nenhuma solucao com perıodo π ou 2π

entao ρ1 6= ρ2. Deste modo, pela parte (i) do Teorema de Floquet temos que toda solucao

y de (2.2) e da forma,

y(x) = c1f1(x) + c2f2(x). (2.27)

Seja y uma solucao nao trivial periodica com perıodo nπ. Entao

y(x) = y(x+ nπ) = c1a1f1(x) + c2a2f2(x) , (2.28)

onde, a1 = eiαnπ e a2 = e−iαnπ. Assim, por (2.27) e (2.28) temos,

(1− a1)c1f1 + (1− a2)c2f2 ≡ 0.

Mas sendo f1 e f2 LI tem-se,

c1(a1 − 1) = 0 e c2(a2 − 1) = 0.

Como y e solucao nao trivial, entao c1 ou c2 e nao nulo e com isso a1 = 1 ou a2 = 1.

Em ambos os casos encontramos que nα e um inteiro par. Logo pela definicao de a1 e a2

temos que a1 = a2 = 1 e assim para todo i = 1, 2 encontramos,

fi(x+ nπ) = aifi(x) = 1.fi(x) = fi(x) ∀ x ∈ R .

Portanto todas as solucoes de (2.2) sao periodicas com perıodo nπ. 2

2.2 Teste de estabilidade.

Teorema 2.7 (Teste de Estabilidade). As solucoes de (2.2) sao estaveis, se e somente,

se y1(π) + y′2(π) e real e

y1(π) + y′2(π) < 2 ou

y1(π) + y′2(π) = ±2 e y2(π) = y′1(π) = 0 .

2.2 Teste de estabilidade. 45

Demonstracao: Caso ρ1 6= ρ2 .

Sendo ρ1 6= ρ2 entao α 6= k ∀ k ∈ Z. De fato, se α = k para algum k ∈ Z teremos,

ρ1 = eikπ = cos (kπ) + i sin (kπ) = cos (kπ) + i· 0 = cos (kπ)− i sin (kπ) = e−ikπ = ρ2 ,

o que nao ocorre. Por outro lado, fazendo uso dos Corolarios 2.2 e 2.3 temos que a

estabilidade de solucoes e equivalente ao caso de α ∈ R .

Contudo, α ∈ R se, e somente se y1(π) + y′2(π) ∈ R e |y1(π) + y′2(π)| < 2. Com efeito,

suponha α 6= k ∀ k ∈ Z com α real. Assim, 2 cos(απ) ∈ R e como y1(π) + y′2(π) =

2 cos(απ), temos que y1(π) + y′2(π) ∈ R. Alem disso, |y1(π) + y′2(π)| = |2 cos(απ)| < 2,

pois α 6= k ∀ k ∈ Z.

Reciprocamente, supondo y1(π) + y′2(π) ∈ R e |y1(π) + y′2(π)| < 2. Mostremos que

α e real. De fato, como y1(π) + y′2(π) ∈ R e y1(π) + y′2(π) = 2 cos(απ), temos que

2 cos(απ) ∈ R. Agora seja α = a+ bi e suponha que b 6= 0, entao

cos(απ) = cos(aπ + bπi) = cos(aπ) cos(bπi)− sin(aπ) sin(bπi).

Por outro lado, note que cos(z) =eiz + e−iz

2implica

cos(ix) =e−x + ex

2= cosh(x)

e sin(z) =eiz − e−iz

2iimplica,

sin(ix) =e−x − ex

2i= i

(ex − e−x

2

)= i sinh(x).

Entao,

cos(απ) = cos(aπ) cosh(bπ)− i sin(aπ) sinh(bπ).

Sendo cos(απ) ∈ R, segue que sin(aπ) sinh(bπ) = 0. Porem b 6= 0 e com isto sinh(bπ) 6=

0, donde sin(aπ) = 0 e consequentemente a ∈ Z. Disto segue que

|y1(π) + y′2(π)| = 2| cos(απ)| = 2| cos(aπ)|| cosh(bπ)| > 2,

o que e uma contradicao. Portanto b = 0 e α ∈ R.

Portanto se ρ1 6= ρ2, entao toda solucao ser estavel e equivalente a y1(π) + y′2(π) ser

real e |y1(π) + y′2(π)| < 2.

2.3 Caso simetrico. 46

Se ρ1 = ρ2 ja vimos no Corolario 2.4 que estabilidade de toda solucao de (2.2) e

equivalente a

y1(π) + y′2(π) = ±2, y2(π) = 0 e y′1(π) = 0.

2

2.3 Caso simetrico.

Nesta secao, vamos deduzir algumas propriedades das solucoes de (2.2) quando as-

sumimos que o potencial Q(x) e uma funcao par, isto e,

Q(x) = Q(−x), ∀x ∈ R . (2.29)

Veremos que e possıvel estabelecer relacoes entre os valores de y1, y2, y′1 e y′2 nos pontos

x =π

2e x = π e estas relacoes permitem uma classificacao mais detalhada das solucoes

de perıodo π ou 2π.

Teorema 2.8. Seja y1 e y2 solucoes normalizadas de (2.2) e assuma que Q satisfaz (2.29).

Entao valem as seguintes relacoes.

(i) y1(π) = 2y1

(π2

)y′2

(π2

)− 1 = 1 + 2y′1

(π2

)y2

(π2

),

(ii) y2(π) = 2y2

(π2

)y′2

(π2

),

(iii) y′1(π) = 2y1

(π2

)y′1

(π2

),

(iv) y′2(π) = y1(π).

Em todos os casos temos que y1 e par e y2 e ımpar. Quando existe uma solucao nao

trivial de (2.2) de perıodo π ou 2π, ha tambem uma tal solucao periodica a qual e par

ou ımpar. Portanto estas solucoes periodicas sao necessariamente multiplas de uma das

solucoes normalizadas y1 ou y2, a menos que todas as solucoes sao periodicas com perıodo

π ou 2π (pois assim sempre havera tal solucao periodica e multipla de y1 ou y2 ).

Demonstracao: Se Q e par e se y(x) e uma solucao de (2.2) entao y(−x) e tambem

uma solucao. De fato,

d2

dx2(y(−x)) +Q(x)y(−x) = −(−y′′(−x)) +Q(−x)y(−x) = y′′(−x) +Q(−x)y(−x) = 0 .


Como

1 = y1(0) = y1(−0) , 0 = y′1(0) = y′1(−0)

e

0 = y2(0) = y2(−0) = −y2(−0) , 1 = y′2(−0) =d

dxy2(−0) = −y′2(−0) ,

temos que as condicoes normalizadas coincidem para y1(−x) e y1(x) bem como para y2(x)

e −y2(−x). Portanto pelo teorema de existencia e unicidade para equacoes diferenciais

ordinarias tem-se

y1(x) = y1(−x) e y2(x) = −y2(−x) ∀x ∈ R ,

isto e, y1(x) e par e y2(x) e ımpar. Portanto encontramos a partir de (2.12) para x = −π2

,

y1

(−π

2+ π)

= y1

(π2

)= y1(π)y1

(π2

)− y′1(π)y2

(π2

)(2.30)

y2

(−π

2+ π)

= y2

(π2

)= y2(π)y1

(π2

)− y′2(π)y2

(π2

). (2.31)

Note tambem que y′1(x) e ımpar e y′2(x) e par. Com efeito, como y1 e par e y2 e ımpar

−y′1(−x) = − d

dxy1(−x).(−1) =

d

dxy1(x) = y′1(x)

e

y′2(−x) =d

dx[y2(−x)] =

d

dxy2(−x).(−1) = − d

dx(−y2(x)) =

d

dxy2(x) = y′2(x) .

Por outro lado diferenciando (2.12) com relacao a x temos,y′1(x+ π) = y1(π)y′1(x) + y′1(π)y′2(x)

y′2(x+ π) = y2(π)y′1(x) + y′2(π)y′2(x).

Considerando x = −π2

e usando que y′1 e ımpar e y′2 e par, temos

y′1

(π2

)= −y1(π)y′1

(π2

)+ y′1(π)y′2

(π2

)(2.32)

y′2

(π2

)= −y2(π)y′1

(π2

)+ y′2(π)y′2

(π2

). (2.33)

Podemos considerar (2.30) ate (2.33) como um sistema de equacoes lineares nas variaveis


y1(π), y2(π), y′1(π) e y′2(π).

y1

(π2

)= y1(π)y1

(π2

)− y′1(π)y2

(π2

)

y2

(π2

)= y2(π)y1

(π2

)− y′2(π)y2

(π2

)

y′1

(π2

)= −y1(π)y′1

(π2

)+ y′1(π)y′2

(π2

)

y′2

(π2

)= −y2(π)y′1

(π2

)+ y′2(π)y′2

(π2

).

De (2.30) e (2.32) obtemos,y1

(π2

)= y1 (π) y1

(π2

)− y′1 (π) y2

(π2

)

y′1

(π2

)= −y1(π)y′1

(π2

)+ y′1(π)y′2

(π2

).

Como queremos encontrar y1(π) e y′1(π), resolvemos este sistema em funcao destas

variaveis. De fato, sendo A a matriz dos coeficientes referente a este sistema encontramos

que,

detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣y1

(π2

)−y2

(π2

)

−y′1(π

2

)y′2

(π2

)∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = W (y1, y2)

(π2

)= 1 .

Assim, o sistema possui solucao unica e pela a regra de Crammer ela vem dada por,

y1(π) = y1

(π2

)y′2

(π2

)+ y′1

(π2

)y2

(π2

)

= y1

(π2

)y′2

(π2

)− y′1

(π2

)y2

(π2

)+ y′1

(π2

)y2

(π2

)+ y′1

(π2

)y2

(π2

)

= W (y1, y2)(π

2

)+ 2y′1

(π2

)y2

(π2

)

= 1 + 2y′1

(π2

)y2

(π2

),

e

y′1(π) = y1

(π2

)y′1

(π2

)+ y′1

(π2

)y1

(π2

)

= 2y1

(π2

)y′1

(π2

),


ou seja,

y1(π) = 1 + 2y′1

(π2

)y2

(π2

)e y′1 (π) = 2y1

(π2

)y′1

(π2

),

provando (i) e (iii). Agora de (2.31) e (2.33) temos,y2

(π2

)= y2 (π) y1

(π2

)− y′2 (π) y2

(π2

)

y′2

(π2

)= −y2(π)y′1

(π2

)+ y′2 (π) y′2

(π2

).

Novamente, temos que o determinante desse sistema e dado por

W (y1, y2)(π

2

)= 1 6= 0 .

Fazendo uso da regra de Crammer, a solucao do sistema vem dada por

y2(π) = y2

(π2

)y′2

(π2

)+ y′2

(π2

)y2

(π2

)= 2y′2

(π2

)y2

(π2

),

e

y′2(π) = y1

(π2

)y′2

(π2

)+ y′1

(π2

)y2

(π2

)

= y1

(π2

)y′2

(π2

)− y′1

(π2

)y2

(π2

)+ 2y′1

(π2

)y2

(π2

)

= 1 + 2y′1

(π2

)y2

(π2

)

= y1(π),

ou seja,

y2(π) = 2y′2

(π2

)y2

(π2

)e y′2 (π) = y1(π) .

Provando (ii) e (iv). Se y(x) e periodica com perıodo π ou 2π e nao identicamente nula,

as funcoes,

u(x) = y(x) + y(−x) e v(x) = y(x)− y(−x),

tambem sao periodicas. Como u e par e v e ımpar, pois

u(−x) = y(−x) + y(−(−x)) = y(−x) + y(x) = u(x)

e

−v(−x) = −(y(−x)− y(−(−x))) = y(x)− y(−x) = v(x)


temos que u e v nao podem ser ambas nulas exceto se y ≡ 0. Provemos a ultima afirmacao

do teorema. De fato, temos

u(x) = c1y1(x) + c2y2(x) + c1y1(−x) + c2y2(−x) .

Como y1(x) e par e y2(x) e ımpar temos,

u(x) = c1y1(x) + c2y2(x) + c1y1(x)− c2y2(−(−x))

= c1y1(x) + c2y2(x) + c1y1(x)− c2y2(x)

= 2c1y1(x) .

Disto segue que u e multiplo de y1(x). Da mesma forma, vemos que v e multiplo de y2(x)

isto e,

v(x) = u(x) = c1y1(x) + c2y2(x)− c1y1(x)− c2y2(−x) = 2c2y2(x).

2

Lema 2.9. Assuma que y1(x) seja uma solucao par de (2.2). Entao y1(x) possui semi-

perıodo π se, e somente, se y1

(π2

)= 0.

Demonstracao: Se y1(x) e semi-periodica com semi-perıodo π entao,

y1(x+ π) = −y1(x), ∀x ∈ R .

Entao para x = −π2

temos,

−y1

(−π

2

)= y1

(−π

2+ π)

= y1

(π2

).

Logo,

y1

(π2

)= −y1

(−π

2

),

donde y1

(π2

)= 0, ja que y1 e par e com isto y1

(π2

)= y1

(−π

2

).

Reciprocamente, suponhamos que y1

(π2

)= 0 e mostremos que y1(x + π) = −y1(x).

De fato, note primeiro que y1

(π2

)= 0 e y1 par, implica y1

(−π

2

)= −y1

(−π

2

)e y′1

(π2

)=

−y′1(−π

2

)pois y1 e par. Considere o seguinte problema,

y′′1(x) +Q(x)y1(x) = 0

y1

(−π

2

)= −y1

(−π

2

)= 0

y′1(π2

)= −y′1

(−π

2

).

(2.34)


Ja vimos que y1(x + π) e solucao da equacao (2.34). Alem disso, −y1(x) e solucao,

pois,

(−y1(x))′′ +Q(x)(−y1(x)) = −(y′′1(x) +Q(x)y1(x)) = 0.

Observe ainda que sendo y1 par e y1

(π2

)= 0 tem-se

y1

(−π

2+ π)

= y1

(π2

)= −y1

(−π

2

)ou seja y1(x+ π) e −y1(x) satisfaz a mesma condicao em x = −π

2. Alem disso,

y′1

(−π

2+ π)

= y′1

(π2

)= −y′1

(−π

2

),

isto e, y′1(x+ π) satisfazem a mesma condicao que −y′1(x) em x = −π2

. Pelo Teorema de

Existencia e Unicidade para equacao diferenciais ordinarias linear de 2a ordem temos que

y1(x+ π) = −y(x), ∀x ∈ R e com isto y1 e semi-periodica de semi-perıodo π. 2

Teorema 2.10. Se as condicoes do Teorema 2.8 sao satisfeitas, entao existe uma solucao

periodica nao trivial de (2.2)

(i) par e de perıodo π se, e somente se y′1

(π2

)= 0 ,

(ii) ımpar e de perıodo π se, e somente se y2

(π2

)= 0 ,

(iii) par e de perıodo 2π se, e somente se y1

(π2

)= 0 ,

(iv) ımpar e de perıodo 2π se, e somente se y′2

(π2

)= 0.

Demonstracao: Com intuito de mostrar o teorema, usaremos do Teorema 2.8 o fato

que uma solucao par de (2.2) e um multiplo de y1 e uma solucao ımpar de (2.2) e um

multiplo de y2.

Para provar (1) vamos assumir primeiro que existe y solucao de (2.2) nao trivial par

e periodica com perıodo π. Assim y1 e tambem periodica com perıodo π e o mesmo vale

para y′1. De fato, como y e par segue que y e multiplo de y1. Logo y1 = cky pois y e nao

trivial. Entao,

y1(x+ π) = cky(x+ π) = cky(x) = y1(x) ∀x ∈ R .


Alem disso, y′1(x+ π) = y′1(x), ja que y1(x+ π) = y1(x). Deste modo y′1

(π2

)= y′1

(−π

2

),

pois y′1

(−π

2+ π)

= y′1

(−π

2

). Por outro lado y′1 e uma funcao ımpar, donde y′1

(π2

)=

−y′1(−π

2

). Consequentemente,

y′1

(π2

)= 0 .

Reciprocamente, se y′1

(π2

)= 0 entao y′1

(−π

2

)= 0, pois y′1 e ımpar. Ademais,

y1

(−π

2

)= y1

(π2

), pois y1 e par. Portanto y1 satisfaz a mesma condicao em x = −π

2e

em x =π

2. A partir disto, podemos considerar o problema,

y′′1(x) +Q(x)y1(x) = 0

y1

(−π

2

)= y1

(π2

)y′1(π2

)= y′1

(−π

2

)= 0 .

(2.35)

Defina agora, h(x) = y1(x + π) ∀x ∈ R . Como ja vimos h e solucao de (2.35). Alem

disso,

h(−π

2

)= y1

(π2

)= y1

(−π

2

)e h′

(−π

2

)= y′1

(π2

)= y′1

(−π

2

)= 0,

isto e, h satisfaz a mesma condicao que y1 em x = −π2

e h′ satisfaz a mesma condicao

que y′1 em x = −π2

. Assim pelo Teorema de Existencia e Unicidade temos que ϕ = y1

e portanto y1 e π-periodica. Seguindo a mesma ideia acima, obtemos (2). Neste caso,

basta utilizar que y2 e ımpar e que ϕ(x) = y2(x + π) satisfaz a mesma condicao que y2

em x =π

2e e solucao do problema

y′′2(x) +Q(x)y2(x) = 0 ,

y2

(−π

2

)= −y2

(π2

)= 0 ,

y′2(−π

2

)= y′2

(π2

).

(2.36)

Para provar (3), suponha que exista solucao de (2.2) nao trivial a qual e par e de

perıodo 2π e mostremos que y1

(π2

)= 0. De fato, pelo item (i) deste teorema temos

que y′1(π) = 0. Assim por (iii) do Teorema 2.8, temos que y1

(π2

)y′1

(π2

)= 0, isto e,

y1

(π2

)= 0 ou y′1

(π2

)= 0. Se y1

(π2

)= 0 temos o desejado. Suponhamos entao que

y1

(π2

)6= 0 e y′1

(π2

)= 0. Sendo y′1

(π2

)= 0 temos por (i) do Teorema 2.8 que y1(π) = 1

e como ja vimos que y′1(π) = 0, segue de (2.12) que y1(x + π) = y1(x), ∀x ∈ R . Disto e

do fato que uma solucao par e multipla de y1 nos fornece que y e periodica com perıodo

π o que e uma contradicao. Reciprocamente, como y1

(π2

)= 0 temos pelo Lema 2.9 que

2.4 Teorema da Oscilacao. 53

y1 e semi-periodica com semi-perıodo π e portanto y1 e periodica com perıodo 2π. Sendo

y1 par, temos o desejado.

A parte (4) segue por um raciocınio similar aos da parte (3). Neste caso, por (ii) deste

teorema temos, y2(π) = 0. Logo (ii) do Teorema 2.8 implica que y2

(π2

)y′2

(π2

)= 0.

Caso y′2

(π2

)6= 0, entao y2

(π2

)= 0. Deste modo, por (iv) e (i) do Teorema 2.8 temos

que y′2(π) = 1. Como y2(π) = 0 e y′2(π) = 1, temos de (2.12) que y2(x + π) = y2(x) ∀x.

Assim y2 e ımpar e periodica com perıodo π, o que e um absurdo (pois caso exista uma

solucao ımpar, esta sera multipla de y2 e consequentemente periodica com perıodo π, isto

e, nao pode haver uma solucao ımpar com perıodo 2π). Uma demonstracao analoga a

demonstracao do Lema 2.9 mostra que se y2 e uma solucao ımpar para (2.2), entao y2

possui semi-perıodo π se, e somente, se y′2

(π2

)= 0. Isto estabelece a volta da parte (4).

2

2.4 Teorema da Oscilacao.

Considere agora a seguinte equacao,

y′′ + [λ+Q(x)]y = 0 , (2.37)

onde λ e um parametro e Q e uma funcao periodica real de x com perıodo π. Neste

contexto, salvo mencao em contrario, vamos assumir Q duas vezes diferenciavel.

Sejam y1 e y2 duas solucoes LI de (2.37) satisfazendo as condicoes iniciais

y1(0) = 1, y′1(0) = 0, y2(0) = 0 e y′2(0) = 1.

Para enfatizar sua dependencia sobre λ, as vezes escreveremos y1(x, λ) e y2(x, λ) em vez

de y1 e y2. Um dos nossos principais problemas sera a determinacao dos valores de λ para

o qual as solucoes da equacao (2.37) sao estaveis. Um outro problema sera a determinacao

desses valores de λ para o qual a equacao (2.37) possui uma solucao de perıodo π ou 2π.

O seguinte teorema devido a Liapounoff [37] e a Haupt [31] conecta os dois problemas.

Teorema 2.11. (Teorema da Oscilacao) A cada equacao diferencial (2.37), ha duas

sequencias de numeros reais monotonas nao decrescentes,

λ0, λ1, λ2, λ3, λ4, λ5, λ6, ... (2.38)


e

λ′1, λ′2, λ′3, λ′4, λ′5, λ′6, λ′7, ... (2.39)

tal que (2.37) possui uma solucao de perıodo π se, e somente, se λ = λn, n = 0, 1, 2, 3, ...

e uma solucao de perıodo 2π se, e somente, se λ = λ′n, n = 1, 2, 3, 4, ....

Os (λn)’s e (λ′n)’s satisfazem a desigualdade,

λ0 < λ′1 ≤ λ′2 < λ1 ≤ λ2 < λ′3 ≤ λ′4 < λ3 ≤ λ4 < ... (2.40)

com

limn→∞

1

λn= 0 e lim

n→∞

1

λ′n= 0. (2.41)

As solucoes de (2.37) sao estaveis nos intervalos

(λ0, λ′1), (λ′2, λ1), (λ2, λ

′3), (λ′4, λ3), ... (2.42)

Nos pontos finais desses intervalos as solucoes de (2.37) sao em geral instaveis. Isto

sempre e verdadeiro para λ = λ0. As solucoes de (2.37) sao estaveis para λ = λ2n+1 ou

λ = λ2n+2 se, e somente, se λ2n+1 = λ2n+2 e elas sao estaveis para λ = λ′2n+1 ou λ = λ′2n+2

se, e somente, se λ′2n+1 = λ′2n+2.

Para valores complexos de λ, (2.37) possui sempre solucoes instaveis. Os (λn)’s sao

as raızes da equacao ∆(λ) = 2 e os (λ′n)’s sao as raızes da equacao ∆(λ) = −2, onde,

∆(λ) = y1(π, λ) + y′2(π, λ) .

Antes de iniciar a demonstracao deste teorema, faremos algumas consideracoes que

serao uteis no decorrer da demonstracao e no seu entendimento. Os numeros reais (λn)’s

serao chamados valores caracterısticos de primeira especie de (2.37) e os (λ′n)’s serao

chamados de valores caracterısticos de segunda especie. Os intervalos em (2.42) sobre o

eixo real λ serao chamados de intervalos de estabilidade, deste modo um ponto final de

um tal intervalo pertencera a ele se, e somente, se (2.37) possuir solucoes estaveis para o

correspondente valor de λ. Similarmente falaremos sobre os intervalos de instabilidade.

Ambos os intervalos de estabilidade e instabilidade sao ordenados de maneira natural. O

intervalo de instabilidade (−∞, λ0) estara sempre presente e o chamaremos de intervalo de

instabilidade de ordem zero, o intervalo (λ′1, λ′2) e denominado como o primeiro intervalo

de instabilidade.


Observe que de acordo com o Teorema da Oscilacao, nenhum intervalo de estabilidade

e nem de instabilidade pode ser reduzido a um ponto pois λ′2n+2 < λ2n+1 e λ2n < λ′2n+1.

Os intervalos de estabilidade nunca podem desaparecer, mas dois deles podem reunir-

se em um unico caso λ2n+1 = λ2n+2 ou λ′2n+1 = λ′2n+2. Por exemplo se λ1 = λ2 temos

um novo intervalo que e (λ′3, λ′3), analogamente se λ′3 = λ′4 teremos o intervalo (λ2, λ3).

Contudo os intervalos de instabilidade (com excecao do intervalo de ordem zero) podem

desaparecer completamente, isso acontece se Q(x) e constante. Uma demonstracao deste

fato e dado na secao 7.6 em [38].

Demonstracao: (Teorema da Oscilacao)

Vamos dividir a demonstracao em varios passos e lemas.

Passo-1) Excluiremos primeiro a possibilidade de solucoes estaveis para (2.37), no

caso de λ ser um valor complexo. Assuma que λ = µ + iσ onde µ e σ sao reais e σ 6= 0.

Seja y = u+ iv uma solucao de (2.37) a qual e do tipo,

y(x) = eiαxp(x) = u+ iv (2.43)

onde α e real e onde p e periodica com perıodo π. De acordo com o Teorema de Floquet,

uma tal solucao y(x) existe se temos estabilidade para alguma solucao de (2.37). De fato,

escrevendo (2.37) como y′′ +Q1y = 0, temos dois casos a considerar:

1) Se ρ1 6= ρ2, entao a solucao estavel g o qual existe pode ser escrita da forma,

g = c1f1 + c2f2

onde f1 e f2 sao dadas no Teorema de Floquet. Por outro lado,

g2 = c21e

2iαxp21(x) + c1c2p1(x)p2(x) + c2

2e−2iαxp2

2(x) .

Desta forma, sendo g estavel e c1c2p1(x)p2(x) limitada vem que f1 e f2 sao estaveis.

Portanto f1 ou f2 pode ser considerada a solucao do tipo (2.43). Note que, como f1 e f2

sao estaveis entao α e real.

2) Se ρ1 = ρ2, entao ρ1 = ρ2 = ±1 e α e real. Como sempre existe uma solucao da

forma y(x + π) = ρ1y(x), definindo p1(x) = e−iαxy(x), temos que f(x) = eiαxp1(x) e a

solucao do tipo (2.43) com α real.

Isto garante que λ complexo e existencia de uma solucao estavel implica na existencia

de uma solucao do tipo (2.43) com α real.


Dividindo (2.37) em sua parte real e imaginaria encontramos,

0 = y′′ + (λ+Q(x))y

= (u+ iv)′′ + (µ+ iσ +Q(x))(u+ iv)

= u′′ + iv′′ + µu+ iµv + iuσ − σv + uQ(x) + ivQ(x)

= u′′ + µu− σv + uQ(x) + i(v′′ + µv + uσ + vQ(x)) ,

ou seja, u′′ + µu− σv + uQ(x) = 0

v′′ + µv + σu+ vQ(x) = 0 .

Podemos reescrever o sistema acima como, u′′ + [µ+Q(x)]u = vσ

v′′ + [µ+Q(x)]v = −uσ .(2.44)

Agora, se multiplicarmos a primeira equacao de (2.44) por v e a segunda por u e

subtrairmos, os resultados vemos u′′v + [µ+Q(x)]uv = v2σ

v′′u+ [µ+Q(x)]vu = −u2σ ,

e

u′′v − v′′u = σ(u2 + v2) . (2.45)

Vamos integrar a expressao (2.45) de modo a obter∫ x

0

(u′′(t)v(t)− v′′(t)u(t))dt = σ

∫ x

0

(u2(t) + v2(t))dt . (2.46)

O termo do lado esquerdo de (2.46) pode ser manipulado usando integracao por partes e

desta forma

u′(t)v(t)

∣∣∣∣x0

−∫ x

0

u′(t)v′(t)dt−[v′(t)u(t)

∣∣∣∣x0

−∫ x

0

v′(t)u′(t)dt

]= σ

∫ x

0

(u2(t) + v2(t))dt .

Com isto,

u′(t)v(t)

∣∣∣∣x0

− v′(t)u(t)

∣∣∣∣x0

= σ

∫ x

0

(u2(t) + v2(t))dt ,

e assim temos,

u′(x)v(x)− v′(x)u(x) = σ

∫ x

0

(u2(t) + v2(t))dt+ c (2.47)

onde c = −u′(0)v(0) + v′(0)u(0) e uma constante.


Agora, vemos por (2.43) que todas as funcoes |u|, |v|, |u′| e |v′| devem ser limitadas

para todos os valores de x, ja que p(x) e diferenciavel e periodica. Com efeito,

|u+ iv| = |eiαxp(x)| = |p(x)| ≤M .

Entao√u2 + v2 ≤M

u2 + v2 ≤M2 .

Logo, u2 ≤M2

v2 ≤M2 ,

ou seja, |u| ≤M

|v| ≤M .

Similarmente,

|u′ + iv′| =∣∣∣∣ ddx (eiαxp(x)

)∣∣∣∣ = |iαeiαxp(x) + eiαxp′(x)| ≤ C1M + |p′(x)| ≤ C ,

isto e, |u′| ≤ C

|v′| ≤ C .

Assim existe um limite superior para |uv′−vu′| a qual e independente de x. De acordo

com (2.47) o mesmo vale para o valor absoluto de

I(x) =

∫ x

0

[u2(t) + v2(t)]dt .

Contudo |I(x)| −→ ∞ quando x −→∞, pois u2+v2 = |p|2 e portanto para n = 0, 1, 2, 3, ...

I(nπ) =

∫ nπ

0

[u2(t) + v2(t)]dt = n

∫ π

0

|p(t)|2dt .

Portanto se λ e nao real nao podemos ter uma solucao do tipo (2.43).

Passo-2 No que segue, desejamos mostrar que existe um numero real λ∗ tal que para

qualquer λ ≤ λ∗ as solucao de (2.37) sao instaveis. Para este proposito selecionamos um

λ∗ tal que para todo x

λ∗ +Q(x) < 0 .


Este fato e certamente possıvel pelo fato de Q(x) ser uma funcao periodica e portanto

limitada de x. Mostraremos que se λ ≤ λ∗, entao y1(x, λ) −→∞ quando x −→∞. Para

isto, escrevamos (2.37) na forma,

y′′ = D(x)y , (2.48)

onde D(x) = −λ−Q(x) > 0, para todo x. Observe que y1(0) = 1 , y′1(0) = 0 (usando as

condicoes inicias) e y′′1(0) = D(0)y1(0) = (−λ − Q(0)) > 0, deste modo 0 e um ponto de

mınimo local de y1(x), isto e,

Figura 2.1:

Logo y′1(x) e crescente em uma vizinhanca a direita de 0. Assim, segue que para todo

x positivo suficientemente pequeno tem-se y′1(x) > 0. Seja S o conjunto de zeros positivos

de y′1. Mostremos que S = ∅. De fato, se por absurdo S 6= ∅ temos que inf S = ε > 0.

Entao, seja (xn) ⊆ S tal que xn → ε, assim y′1(xn)→ y′1(ε). Como y′1(xn) = 0 para todo

n, segue que y′1(ε) = 0. Agora multiplicando (2.48) por y′1(x) temos,

y′′1(x)y′1(x) = D(x)y1(x)y′1(x) . (2.49)

Usando (2.49) temos apos integrarmos em [0, x] que∫ x

0

y′′1(x)y′1(x)dx =

∫ x

0

D(x)y1(x)y′1(x)dx . (2.50)

Podemos integrar o lado esquerdo de (2.50) de modo a obter

(y′1(x))2 − (y′1(0))2 −∫ x

0

y′′1(x)y′1(x)dx =

∫ x

0

D(x)y1(x)y′1(x)dx .

Agora, por (2.48) e o fato que y′1(0) = 0 tem-se

(y′1(x))2 −∫ x

0

D(x)y1(x)y′1(x)dx =

∫ x

0

D(x)y1(x)y′1(x)dx ,


ou seja,

(y′1(x))2 = 2

∫ x

0

D(x)y1(x)y′1(x)dx . (2.51)

Considerando x = ε em (2.51) e usando que y′1(ε) = 0 obtemos

0 = (y′1(ε))2 = 2

∫ ε

0

D(x)y1(x)y′1(x)dx . (2.52)

Mas y1(0) = 1 e y′1(x) ≥ 0 em [0, ε] e assim y1(x) ≥ 1 em [0, ε]. Ademais, sendo

D(x) > 0∀x, temos de (2.52) que∫ ε

0

D(x)y1(x)y′1(x)dx > 0,

o que e um absurdo. Isso mostra que y′1(x) > 0 para todo x > 0. Portanto y1(x) e

monotona crescente para x > 0, o que significa que y1(x) > 1 para x > 0 ja que y1(0) = 1.

Alem disso, como D, y1 e y′1 sao funcoes estritamente positivas, (2.51) implica que, y′1

e monotona crescente. Dado um x arbitrario mas fixado, temos pelo Teorema do Valor

Medio que existe 0 ≤ x0 ≤ x, tal que

y′1(x0) =y1(x)− y1(0)

x− 0=y1(x)− 1

x− 0.

Desde que δ = y′1(x0) > 0 vemos,

y1(x) ≥ 1 + δ(x− 0) ≥ 1 + δ(x− x0) .

e com isso y1(x) −→∞ quando x −→∞.

De maneira semelhante temos que y′2(x) > 1 para x > 0. De fato, assumindo que o

conjunto S de zeros de y′2 seja nao vazio, encontramos que

0 = y′2(ε)2 = 1 + 2

∫ ε

0


onde D(x) > 0 para todo x e y2 e y′2 sao positivas em (0, ε), o que e uma contradicao.

Portanto S = ∅ e entao y′2(x) > 0 para todo x ≥ 0. Concluımos entao que y2(x) e

crescente em (0,∞) e como

y2(0) = 0 e y′2(x)2 = 1 + 2

∫ x

0


segue que y′2(x) e monotona crescente. Logo, y′2(0) = 1 implica que y′2(x) > 1 para todo

x > 0.

Provamos com estes argumentos o seguinte lema.


Lema 2.12. Se λ ≤ λ∗, entao para todo x > 0, temos

y1(x, λ) + y′2(x, λ) > 2 .

2

Note que se ρ1 = ρ2 entao ρ1 = ρ2 = ±1 e pela equacao caracterıstica, temos

y1(π, λ) + y′2(π, λ) = ±2. Deste modo, o Lema 2.12 nos fornece que ρ1 6= ρ2 e daı α em

y1(x) = Aeiαxp1(x) + Be−iαxp2(x) nao pode ser real, pois se α fosse real terıamos y1(x)

estavel o que nao ocorre. Portanto encontramos que se λ e complexo ou se λ ≤ λ∗, entao

nao existe solucao y(x) de (2.37) a qual e do tipo (2.43) com α real. Examinaremos de

perto as propriedades das funcoes ∆(λ)− 2 e ∆(λ) + 2, onde

∆(λ) = y1(π, λ) + y′2(π, λ) . (2.53)

Observacao 2.13. Observe que ∆(λ) = 2 ⇔ ρ2 − 2ρ + 1 = 0 ⇔ (ρ− 1)2 = 0 ⇔ ρ = 1.

Analogamente ∆(λ) = −2 ⇔ ρ = −1, assim ∆(λ) = 2 e equivalente a ρ1 = ρ2 = 1 e

∆(λ) = −2 e equivalente a ρ1 = ρ2 = −1. Logo se ∆(λ) = ±2, entao (2.37) tera uma

solucao do tipo (2.43) com α real. De fato, ∆(λ) = 2 implica que ρ1 = ρ2 = 1, entao por

(ii) Do teorema de Floquet, existe y(x) solucao de (2.37) tal que y(x + π) = eiαπy(x) e

definindo p1(x) = e−iαxy(x) teremos y(x) = eiαxp1(x) com p1(x) periodica com perıodo π.

Como para λ complexo ou λ ≤ λ∗ temos que (2.37) nao admite solucao do tipo (2.43)

com α real, temos o seguinte lema.

Lema 2.14. Todas as raızes da equacao ∆(λ)− 2 = 0 e ∆(λ) + 2 = 0 sao reais e maiores

que λ∗.

Demonstracao: Se λ for complexo vimos que (2.37) nao admite solucao do tipo (2.43).

Por outro lado como λ e raiz de ∆(λ)− 2 = 0 ou ∆(λ) + 2 = 0 temos da Observacao 2.13

que existe uma solucao do tipo (2.43) o que e um absurdo e portanto λ e real. Tambem se

λ ≤ λ∗ nao ha solucao do tipo (2.43), porem como λ e raiz de ∆(λ)−2 = 0 ou ∆(λ)+2 = 0

entao (2.37) admite solucao do tipo (2.43) e temos novamente um absurdo, logo λ > λ∗.

Portanto as raızes de ∆(λ)− 2 = 0 e ∆(λ) + 2 = 0 sao reais e maiores que λ∗. 2

Conforme vimos no Teorema 1.14 e no Corolario 1.15 nas preliminares, as funcoes

∆(λ)−2 e ∆(λ)+2 sao funcoes analıticas inteiras de λ e possuem infinitos zeros. De acordo


com o Lema 2.14 todos estes zeros sao reais e maiores que λ∗. Esses fatos estabelecem

a existencia das duas sequencias (2.38) e (2.39) desse teorema. Concluiremos que estas

sequencias sao nao decrescente, quando mostrarmos mais adiante as desigualdades dadas

em (2.40).

Na verdade, fazendo uso do Teorema de Floquet, temos o seguinte lema.

Lema 2.15. A equacao (2.37) possui uma solucao periodica de perıodo π se, e somente,

se ∆(λ) = 2 e uma solucao periodica de perıodo 2π se, e somente, se ∆(λ) = −2.

Demonstracao: Basta notar que ∆(λ) = 2 e equivalente a ρ1 = ρ2 = 1 e ∆(λ) = −2 e

equivalente a ρ1 = ρ2 = −1. Pois se ρ1 = ρ2 = 1, pelo item (ii) do Teorema de Floquet,

(2.37) possui uma solucao periodica com perıodo π e se ρ1 = ρ2 = −1 pelo mesmo motivo,

(2.37) possui uma solucao semi-periodica com semi-perıodo π e consequentemente uma

funcao periodica com perıodo 2π.

Reciprocamente, se (2.37) possui uma solucao periodica y(x) de perıodo π, entao esta

solucao deve satisfazer y(x+ π) = y(x) para todo x. Suponha que ρ1 6= ρ2, entao por (i)

do Teorema de Floquet,

y(x) = Aeiαxp(x) +Be−iαxp2(x) .

Entao

y(x+ π) = Aeiα(x+π)p(x) +Be−iα(x+π)p2(x) ,

e como y(x+ π) = y(x), vem que

Aeiαxp1(x)(1− eiαπ) +Be−iαxp2(x)(1− e−iαπ) = 0 .

Sendo eiαxp1(x) LI com e−iαxp2(x) e y 6≡ 0 temos,

A(1− eiαπ) = B(1− e−iαπ) = 0 , (2.54)

e portanto ρ1 = ρ2 = 1 o que e contradicao. Note que y 6≡ 0 garante que A ou B e

diferente de zero, ja que basta apenas que um desses valores seja diferente de zero em

(2.54) para termos ρ1 = ρ2 = 1.

Deste modo, ρ1 = ρ2 e como y(x+π) = y(x) segue que por (ii) do Teorema de Floquet

que ρ1 = ρ2 = 1. Se essa solucao y(x) for LI com a solucao periodica de perıodo π o


ıtem (ii) do Teorema de Floquet e a periodicidade de y(x) garantem que θ = 0 e assim

ρ1 = ρ2 = 1 da mesma forma.

Se (2.37) possui uma solucao periodica y(x) com perıodo 2π entao supondo ρ1 6= ρ2 e

usando raciocınio analogo ao feito acima obtemos

Aeiαxp1(x)(1− eiαπ)(1 + eiαπ) +Be−iαxp2(x)(1− e−iαπ)(1 + e−iαπ) = 0 .

Consequentemente,

A(1− eiαπ)(1 + eiαπ) = B(1− e−iαπ)(1 + e−iαπ) = 0 , (2.55)

donde ρ1 = ρ2, o que e contradicao. Portanto ρ1 = ρ2. Logo, se y(x) for a solucao

periodica com perıodo 2π dada por (ii) do Teorema de Floquet ou uma solucao LD com

ela, entao y(x + π) = −y(x) e consequentemente ρ1 = ρ2 = −1. Caso y(x) seja uma

solucao LI com a solucao periodica de perıodo 2π dada por (ii) do teorema de Floquet,

do fato de y(x) ser periodica com perıodo 2π, teremos θ = 0 e novamente ρ1 = ρ2 = −1.

2

Provamos ate o momento que a cada equacao (2.37), ha duas sequencias λn e λ′n que

sao limitadas inferiormente por λ∗ tal que (2.37) possui uma solucao de perıodo π se,

e somente, se λ = λn, n = 0, 1, 2, 3, ... e uma solucao de perıodo 2π se, e somente, se

λ = λ′n, n = 1, 2, 3, .... Ademais, como ∆(λ) e uma funcao analıtica inteira a qual possui

infinitos zeros, temos que as relacoes limite em (2.41) sao verdadeiras. Provemos agora a

desigualdade (2.40). Para este proposito necessitamos do seguinte lema.

Lema 2.16. Seja µ uma raiz da equacao ∆(λ)−2 = 0 tal que ∆′(λ) ≤ 0 para λ = µ. Entao

∆′(λ) < 0 em qualquer intervalo aberto µ < λ < µ∗1 em que ∆(λ) > −2. Similarmente,

seja µ′ uma raiz de ∆(λ)+2 = 0 e seja ∆′(µ′) ≥ 0, entao ∆′(λ) > 0 em qualquer intervalo

aberto µ′ < λ < µ′1 em que ∆(λ) < 2.

Antes de provarmos o Lema 2.16, podemos observar que ele prova ambas as desigual-

dades (2.40) e a afirmacao de que os intervalos abertos (2.42) sao intervalos de estabilidade.

De fato, veja pelo Lema 2.12 que se λ ≤ λ∗, entao ∆(λ) > 2. Ademais, concluımos que

entre os infinitos zeros reais da funcao ∆(λ)−2 deve haver um menor a qual chamaremos

de λ0.

Provaremos mais tarde (veja Lema 2.18) que ∆′(λ0) < 0. Portanto, o Lema 2.16

mostra que para λ > λ0, ∆(λ) deve ser uma funcao decrescente ate ∆(λ) = −2. Isto deve


realmente acontecer para um certo λ = λ′1 > λ0, desde que ∆(λ) + 2 possui infinitos zeros

reais sem um ponto limite finito. Tambem ∆′(λ′1) = 0 ou ∆′(λ′1) < 0. Se ∆′(λ′1) = 0, λ′1

e uma raiz dupla de ∆(λ) + 2 = 0 e sera listada como λ′1 e λ′2 e nesse caso λ′1 = λ′2.

De acordo com o Lema 2.71 o qual sera visto depois, ∆(λ) + 2 = 0 nao pode possuir

raızes de multiplicidade superior a dois. Assim ∆′(λ′1) = 0 implica, conforme o Lema

2.16, que ∆(λ) aumenta para λ > λ′2 = λ′1 ate que ele atinja o valor 2.

Por outro lado se ∆′(λ′1) < 0, entao ∆(λ) < −2 para λ′1 < λ < λ′2, onde λ′2 e o menor

zero de ∆(λ)+2 o qual e maior que λ′1. Como ∆(λ) < −2 no intervalo (λ′1, λ′2), pelo Teste

de Estabilidade temos que este intervalo e um intervalo de instabilidade para as solucoes

de (2.37).

Como ∆(λ) < ∆(λ′2) para todo λ < λ′2 e suficientemente proximo de λ′2, temos,

∆′(λ′2) ≥ 0. Com isto, usando o Lema 2.16, podemos concluir que ∆(λ) e uma funcao

crescente de λ em qualquer intervalo λ′2 < λ < λ1, na qual ∆(λ) < 2. O maior intervalo

deste tipo e o intervalo (λ′2, λ1) onde λ1 denota a menor raiz de ∆(λ)− 2 o qual e maior

que λ′2. O Teste de Estabilidade mostra que este intervalo e um intervalo de estabilidade

para as solucoes de (2.37).

Continuando desta maneira, encontramos que as desigualdades (2.40) valem e que os

intervalos abertos em (2.42) sao somente intervalos de estabilidade para as solucoes de

(2.37). A Figura 2.2 ilustra melhor estes fatos.

Vamos enfim provar o Lema 2.16.

Demonstracao: (Lema 2.16). No decorrer desta prova iremos omitir as variaveis x e λ

de modo a simplificar a notacao.

Diferenciando y1 e y2 com respeito a λ, denotaremos,

d

dλy1(x, λ) = z1(x, λ),

d

dλy2(x, λ) = z2(x, λ)

e

d

dλy′1(x, λ) = z′1(x, λ),

d

dλy′2(x, λ) = z′2(x, λ)

onde,d

dxz1 =

d

dx

d

dλy1 =

d

dλ

d

dxy1 =

d

dλy′1 = z′1 .


Figura 2.2:

Do mesmo modo,

z′2 =d

dxz2.

Tambem escreveremos η1, η2, η′1 e η′2, respectivamente para y1(π, λ), y2(π, λ), y′1(π, λ) e

y′2(π, λ). Como antes, escreveremos ∆ para η1 + η′2 e ∆′ para a derivada de ∆ com

respeito a λ o qual e,

∆′(λ) = z1(π, λ) + z′2(π, λ) .

No que segue, iremos obter a formula,

∆′(λ) = (η1 − η′2)

∫ π

0

y1(x)y2(x)dx− η2

∫ π

0

(y1(x))2dx+ η′1

∫ π

0

(y2(x))2dx . (2.56)

Para provar (2.56), diferenciamos (2.37) com respeito a λ e obtemos para y = y1 e


y = y2 as seguintes equacoes,

z′′1 + (λ+Q)z1 = −y1 e z′′2 + (λ+Q)z2 = −y2,

respectivamente. De fato,

d

dλ[y′′1 + (λ+Q)y1] =

d

dλ(0) = 0 .

Entao,d

dλy′′1 + (λ+Q)

d

dλy1 + 1.y1 = 0 ,

isto e,

z′′1 + (λ+Q)z1 = −y1 .

Usando a mesma argumentacao obtemos tambem

z′′2 + (λ+Q)z2 = −y2 .

Deste modo, temos o seguinte sistema de equacoes diferenciais de segunda ordem,

z′′1 + (λ+Q)z1 = −y1

z′′2 + (λ+Q)z2 = −y2 .

(2.57)

Associado a este sistema, temos as condicoes iniciais,

z1(0) = z′1(0) = 0 e z2(0) = z′2(0) = 0 . (2.58)

De fato, como y1(0, λ) = 1 ∀λ, temos,

z1(0, λ) =d

dλy1(0, λ) =

d

dλ(1) = 0 .

De maneira analoga, encontramos as outras condicoes iniciais em (2.58).

A formula geral para a solucao de uma equacao diferencial de segunda ordem nao

homogenea em termos da solucao da equacao homogenea vem dado por,


z1(x) = y1(x)

∫ x

0

y2(t)y1(t)dt− y2(x)

∫ x

0

(y1(t))2dt

z′1(x) = y′1(x)

∫ x

0

y2(t)y1(t)dt− y′2(x)

∫ x

0

(y1(t))2dt

z2(x) = y1(x)

∫ x

0

(y2(t))2dt− y2(x)

∫ x

0

y1(t)y2(t)dt

z′2(x) = y′1(x)

∫ x

0

(y2(t))2dt− y′2(x)

∫ x

0

y1(t)y2(t)dt .

(2.59)

Onde as funcoes z1 e z2 em (2.59) sao aquelas solucoes de (2.57) a qual satisfazem as

condicoes iniciais (2.58).

Com efeito, para cada λ arbitrario mas fixado temos que o sistema (2.57) se torna

um sistema de EDO de 2a ordem. Considere assim o problema homogeneo associado,

y′′ + (λ + Q)y = 0 o qual e justamente (2.37). Para esta equacao, temos duas solucoes

y1, y2 a qual satisfazem y1(0) = 0, y′1(0) = 1, y2(0) = 1 e y′2(0) = 0. Queremos encontrar

α1(x) e α2(x) tal que z1(x) = α1(x)y1(x) + α2(x)y2(x) seja solucao da primeira equacao

em (2.57) e β1(x) e β2(x), tal que z2(x) = β1(x)y1(x)+β2(x)y2(x) seja solucao da segunda

equacao em (2.57). Como W (y1, y2) = 1 temos,

α1 =y1y2

W (y1, y2)= y1y2

α2 = − y1y1

W (y1, y2)= −y2

1

β1 =y2y2

W (y1, y2)= y2

2

β2 = − y1y2

W (y1, y2)= −y1y2 .

(2.60)

Assim, para descobrirmos α1, α2, β1 e β2 podemos integrar as quatro igualdades (2.60) de

modo a obter

α1(x)− α1(0) =

∫ x

0

y1(t)y2(t)dt ,

α2(x)− α2(0) = −∫ x

0

(y1(t))2dt

(2.61)


β1(x)− β1(0) =

∫ x

0

(y2(t))2dt ,

β2(x)− β2(0) = −∫ x

0

y1(t)y2(t)dt .

(2.62)

Deste modo,

z1(x) = y1(x)

∫ x

0

y2(t)y1(t)dt− y2(x)

∫ x

0

(y1(t))2dt+ y1(x)α1(0) + y2(x)α2(0) . (2.63)

Sendo z1(0) = 0, entao (2.63) implica,

0 = z1(0) = y1(0)α1(0) + y2(0)α2(0) = 0.α1(0) + 1.α2(0) = α2(0) .

Por outro lado derivando (2.63) e usando que z′1(0) = 0, temos α1(0) = 0 donde obtemos

z1(x) e z′1(x) como em (2.59). Para obter z2(x) e z′2(x) em (2.59) basta usar um argumento

analogo.

As funcoes z1(x) e z2(x) em (2.59) sao as solucoes de (2.57) a qual satisfazem as

condicoes iniciais z1(0) = z′1(0) = 0 e z2(0) = z′2(0) = 0. Como

∂

∂λy1(x, λ) = z1(x, λ) ,

∂

∂λy2(x, λ) = z2(x, λ)

e∂

∂λy′1(x, λ) = z′1(x, λ) ,

∂

∂λy′2(x, λ) = z′2(x, λ)

e sendo as condicoes iniciais para y1 e y2 independentes de λ, temos que as solucoes em

(2.59) sao de fato as solucoes para (2.57).

Atribuindo x = π na primeira e na terceira igualdade de (2.59) e substituindo este

fato na formula de ∆′(λ) obtemos,

∆′(λ) =d

dλy1(π, λ) +

d

dλy′2(π, λ)

= z1(π) + z2(π)

= y1(π)

∫ π

0

y2(t)y1(t)dt− y2(π)

∫ π

0

(y1(t))2dt

+y′1(π)

∫ π

0

(y2(t))2dt− y′2(π)

∫ π

0

y1(t)y2(t)dt ,


isto e,

∆′(λ) = [y1(π)− y′2(π)]

∫ π

0

y1(t)y2(t)− y2(π)

∫ π

0

(y1(t))2dt+ y′1(π)

∫ π

0

(y2(t))2dt ,

provando assim a formula (2.56).

Como W (y1, y2) = y1y′2 − y2y

′1 = 1, para todo x, encontramos para x = π que

η1η′2 − η2η

′1 = 1 . (2.64)

Entao por (2.64) tem-se,

∆2 − 4 = (η1 + η′2)2 − 4(η1η′2 − η2η

′1)

= η21 + 2η1η

′2 + η′22 − 4η1η

′2 + 4η2η

′1

= η21 − 2η1η

′2 + η′22 + 4η2η

′1

= (η1 − η′2)2 + 4η2η′1 .

Portanto,

∆2 − 4 = (η1 − η′2)2 + 4η2η′1 . (2.65)

Denote, sgn(η′1) = 1 se η′1 > 0 e sgn(η′1) = −1 se η′1 < 0. Assumindo que η′1 6= 0,

encontramos de (2.56) uma caracterizacao para ∆′(λ),

∆′(λ) = F (y1, y2, η1, η2) , (2.66)

onde

F (y1, y2, η1, η2) = sgn(η′1)

∫ π

0

(√|η′1|y2 + sgnη′1

(η1 − η′2)

2√|η′1|

y1

)2

dx− (∆2 − 4)

4|η′1|

∫ π

0

y21dx

De fato, por (2.64) podemos ver que,

F (y1, y2, η1, η2) = sgn(η′1)

∫ π

0

η′1y22dx+ (sgn(η′1))2

∫ π

0

2(η1 − η′2)

2√|η′1|

y1

√|η′1|y2dx

+ sgn(η′1)

∫ π

0

(η1 − η′2)2

4|η′1|y2

1dx− sgn(η′1)(∆2 − 4)

4|η′1|

∫ π

0

y21dx

= (η1 − η′2)

∫ π

0

y1y2dx+ sgn(η′1)|η′1|∫ π

0

y22dx− sgn(η′1)

4η′1η2

4|η′1|

∫ π

0

y21dx .

Como η′1 6= 0, temos dois casos a considerar:


(1) Se η′1 < 0, entao |η′1| = −η′1 e sgn(η′1) = −1.

Por (2.56) temos,

F (y1, y2, η1, η2) = (η1 − η′2)

∫ π

0

y1y2dx+ (−1)(−η′1)

∫ π

0

y22dx− (−1)

η′1−η′1

η2

∫ π

0

y21dx

= (η1 − η′2)

∫ π

0

y1y2dx+ η′1

∫ π

0

y22dx− η2

∫ π

0

y21dx

= ∆′(λ) .

(2) Se η′1 > 0, entao sgn(η′1) = 1 e |η′1| = η′1. Logo,

F (y1, y2, η1, η2) = (η1 − η′2)

∫ π

0

y1y2dx+ η′1

∫ π

0

y22dx− η2

∫ π

0

y21dx

= ∆′(λ) .

Em ambos os casos temos F (y1, y2, η1, η2) = ∆′(λ), como querıamos.

A equacao (2.66) mostra que ∆′(λ) possui o mesmo sinal que η′1 em qualquer intervalo

na qual η′1 6= 0 e ∆2 ≤ 4. Considere agora um valor µ de λ tal que

∆(µ) = 2 e ∆′(µ) ≤ 0 .

Desejamos estabelecer o fato de que, para um δ suficientemente pequeno ∆(λ) e decres-

cente no intervalo, µ < λ < µ + δ. Se ∆′(µ) < 0, isto e evidente pois ∆ e uma funcao

diferenciavel. Assuma agora que ∆(µ) = 2 e ∆′(µ) = 0. Nesse caso, de acordo com (2.66),

devemos ter η′1(µ) = 0, pois se η′1(µ) 6= 0 entao por (2.66), teremos

y2 =−sgn(η′1)(η1 − η′2)

2|η′1|y1

e assim, W (y1, y2)(t0) = 0, o que e contradicao. Como tambem temos

0 = ∆2 − 4 = (η1 − η′2)2 + 4η′1η2

encontramos que η1(µ)− η′2(µ) = 0 e como η1η′2− η2η

′1 = 1 segue que η1η

′2− η2.0 = 1, isto

e, η1η′2 = 1. Assim como η1(µ)− η′2(µ) = 0 temos

η1(µ) = η′2(µ) = 1 .


Entao (2.56) se reduz na forma,

∆′(λ) = −η2

∫ π

0

y21(x)dx .

Portanto ∆′(µ) = 0 implica que η2(µ) = 0, ja que y1(0) = 1 garante que y1 nao seja

constante igual a zero em [0, π]. Calculemos agora ,

∆′′(λ) =d

dλ∆′(λ),

para λ = µ, onde µ e tal que

η′1(µ) = η2(µ) = 0 e η1(µ) = η′2(µ) = 1 . (2.67)

Faremos isto diferenciando (2.56) com respeito a λ e usando (2.59) para x = π a fim de

obter as derivadas com respeito a λ de η′1(λ), η′2(λ) para λ = µ. Atraves de um calculo

vemos que se (2.67) vale entao,

∆′′(λ) = 2

(∫ π

0

y1(x)y2(x)dx

)2

− 2

∫ π

0

y21(x)dx

∫ π

0

y22(x)dx . (2.68)

Com efeito, diferenciando (2.56), temos,

d

dλ∆′(λ) =

(d

dλ(η1 − η′2)

)∫ π

0

y1(x)y2(x)dx−(d

dλη2

)∫ π

0

y21(x)dx

+

(d

dλη′1

)∫ π

0

y22(x)dx+ (η1 − η′2)

d

dλ

(∫ π

0

y1(x)y2(x)dx

)

−η2d

dλ

(∫ π

0

y21(x)dx

)+ η′1

d

dλ

(∫ π

0

y22(x)dx

),

ou seja,

d

dλ∆′(λ) = (z1(x)− z′2(x))

∫ π

0

y1(x)y2(x)dx− z2(x)

∫ π

0

y21(x)dx

+z′1(x)

∫ π

0

y22(x)dx+ (η1 − η′2)

d

dλ

(∫ π

0

y1(x)y2(x)dx

)

−η2d

dλ

(∫ π

0

y21(x)dx

)+ η′1

d

dλ

(∫ π

0

y22(x)dx

).

Agora usando as quatro igualdades de (2.59) para x = π e considerando λ = µ temos,


d

dλ∆′(λ)

∣∣∣∣λ=µ

=

(y1(π)

∫ π

0

y2(t)y1(t)dt− y2(π)

∫ π

0

y21(t)dt− y′1(π)

∫ π

0

y22(t)dt

+y′2(π)

∫ π

0

y1(t)y2(t)dt

)∫ π

0

y1(t)y2(t)dt−(y1(π)

∫ π

0

y22(t)dt

−y2(π)

∫ π

0

y1(t)y2(t)dt

)∫ π

0

y21(t)dt+

(y′1(π)

∫ π

0

y2(t)y1(t)dt

−y′2(π)

∫ π

0

y21(t)dt

)∫ π

0

y22(t)dt

=

(2

∫ π

0

y2(t)y1(t)dt

)∫ π

0

y1(t)y(t)dt−(∫ π

0

y22(t)dt

)∫ π

0

y21(t)dt

−(∫ π

0

y21(t)dt

)∫ π

0

y22(t)dt

= 2

(∫ π

0

y2(t)y1(t)dt

)2

− 2

(∫ π

0

y22(t)dt

)(∫ π

0

y21(t)dt

),

de onde obtemos (2.68). Assim como y1 e y2 sao LI, usando a desigualdade de Schwartz

temos,(∫ π

0

y1(x)y2(x)dx

)2

=(y1, y2

)2

L2 < ‖y1‖2L2‖y2‖2

L2 =

∫ π

0

y21(x)dx

∫ π

0

y22(x)dx .

Consequentemente de (2.68) segue que,

∆′′(µ) < 0 . (2.69)

Desta forma, ∆(λ) e novamente encontrado como sendo decrescente (µ e ponto de

maximo local, µ 6= λ0) em um intervalo µ < λ < µ+ δ.

Suponha que o Lema 2.16 seja falso. Entao, existe um numero µ∗ > µ tal que ∆′(λ) < 0

para µ < λ < µ∗, ja que garantimos o δ acima. Porem ∆′(µ∗) = 0 apesar de ∆(λ∗) > −2.

Devemos ter entao,

∆2(µ∗)− 4 = (η1 − η′2)2 + 4η′1η2 < 0 , (2.70)

pois ∆ decresce a partir de µ onde ∆(µ) = 2 e quando chega em µ∗ temos que a funcao

∆ para de decrescer uma vez que ∆′(µ∗) = 0 . Contudo −2 < ∆′(µ∗) < 2, e assim

|∆(µ∗)| < 2. A Figura 2.3 ilustra melhor este fato.


Figura 2.3:

Portanto η′1η2 < 0 para λ = µ∗. Mas entao η′1(µ∗) 6= 0 e de acordo com (2.66),

∆′(µ∗) 6= 0, a qual e uma contradicao. Deste modo provamos o Lema 2.16 no caso

∆(λ) = 2 e ∆′(µ) ≤ 0.

Analisemos o caso ∆(λ) = −2 e ∆′(µ) ≥ 0. Vamos estabelecer o fato que existe um

δ suficientemente pequeno tal que ∆(λ) e crescente no intervalo µ < λ < µ + δ. Se

∆′(µ) > 0 isto e imediato. Se ∆′(µ) = 0, da mesma forma como fizemos no outro caso

temos, η1(µ) − η′2(µ) = 0 e η1η′2 = 1, porem com ∆(λ) = −2 e η1 = η′2 = −1. Daı

∆′′(µ) > 0 e ∆(λ) e crescente no intervalo µ < λ < µ + δ. Assim suponha novamente

que o lema e falso. Como existe um δ tal que ∆ e crescente no intervalo µ < λ < µ + δ,

entao existe um menor µ∗ tal que ∆′(λ) > 0 para µ < λ < µ∗, mas ∆′(µ∗) = 0 apesar

de ∆(µ∗) < 2, teremos entao ∆2(µ∗) − 4 = (η1 − η′2)2 + 4η′1η2 < 0. Logo, η′1η2 < 0 para

λ = µ∗ e daı η′1(µ∗) 6= 0 e por (2.66) encontraremos ∆′(µ∗) 6= 0, o que e uma contradicao.

Portanto provamos o lema no caso ∆(λ) = −2 e ∆′(µ) ≥ 0. 2

Incidentalmente mostramos de fato que o seguinte lema e verdadeiro.

Lema 2.17. (i) As raızes da equacao ∆2(λ) = 4 ou sao raızes simples ou raızes duplas.

(ii) Se para um valor de λ = µ temos ∆2(µ) = 4 e ∆′(µ) = 0, entao ∆′′(µ) < 0 se

∆(µ) = 2 e ∆′′(µ) > 0 se ∆(µ) = −2 .

(iii) Condicoes necessarias e suficientes para ∆2(µ)− 4 e ∆′(µ) anularem-se simultane-

amente sao,

η1(µ)− η′2(µ) = η′1(µ)− η2(µ) = 0 . (2.71)


Demonstracao: (i) Pela demonstracao do Lema 2.16 temos que, ∆′′(µ) > 0 ou ∆′′(µ) <

0, isto e, ∆′′ nunca e zero. Sendo ∆(λ) e uma funcao analıtica (ver Teorema 1.14) e µ

uma raız de ∆2(λ)− 4, temos que existe m 6= 0, m ∈ N tal que,

∆2(λ)− 4 = (λ− µ)mg(λ) , (2.72)

com g(λ) 6= 0 ∀λ . Note que,

(∆2(λ)− 4)′ = 2∆(λ)∆′(λ) = m(λ− µ)m−1g(λ) + (λ− µ)mg′(λ) (2.73)

e

(∆2(λ)− 4)′′ = 2∆(λ)∆′′(λ) + 2(∆′(λ))2 = m(m− 1)(λ− µ)m−2g(λ)

+m(λ− µ)m−1g′(λ) + (λ− µ)mg′′(λ) +m(λ− µ)m−1g′(λ) .

(2.74)

Deste modo para mostrar o lema, basta estabelecer que se µ e raiz de ∆2(λ)−4 e ∆′′(λ) 6=

0, entaom em (2.72), e menor ou igual a 2 (m acima e a multiplicidade da raiz µ). Suponha

entao que m > 2, assim o lado direito da equacao (2.74) e igual a zero em λ = µ. Logo,

2∆(µ)∆′′(µ) + 2(∆′(µ))2 = 0 .

Temos dois casos a considerar: ∆′(µ) = 0 e ∆′(µ) 6= 0. Se ∆′(µ) = 0 entao 2∆(µ)∆′′(µ) =

0 e como ∆(µ) = ±2, segue que ∆′′(µ) = 0 o que e uma contradicao e entao m ≤ 2. Se

∆′(µ) 6= 0, temos do fato de ∆(µ) = ±2 e da equacao (2.73) que, m(λ − µ)m−1g(λ) +

(λ − µ)mg′(λ) 6= 0, o que e uma contradicao quando m ≥ 2. Portanto novamente temos

m < 2.

A parte (ii) ja foi feita na demonstracao do Lema 2.16.

Verifiquemos finalmente a parte (iii). Assuma que ∆2(µ)− 4 = 0 e ∆′(µ) = 0. Entao

(2.66) implica que η′1(µ) = 0. Por outro lado de (2.65) temos que (η1 − η′2) = 0. Assim

substituindo (η1 − η′2) = η′1(µ) = 0 em (2.56) temos,

0 = ∆′(µ) = −η2

∫ π

0

y21(x)dx.

Sendo y1 6≡ 0 em [0, π] pois y′1(0) = 1 e y1 e suave, temos η2(µ) = 0. Portanto

η1(µ)− η′2(µ) = η′1(µ)− η2(µ) = 0. Reciprocamente, substituindo (2.71) em (2.56) temos

∆′(µ) = 0 e substituindo (2.71) em (2.65) temos que ∆2(µ)− 4 = 0. 2

Para completar a prova do Teorema da Oscilacao, necessitamos do lema abaixo.


Lema 2.18. Seja λ0 a menor raiz da equacao ∆2(λ)−4 = 0. Entao λ0 e uma raiz simples

e ∆′(λ0) < 0.

Demonstracao: Como ∆2(λ) − 4 e uma funcao analıtica, para provar que λ0 e uma

raiz simples basta mostrar que ∆′(λ0) 6= 0. Com efeito, suponha que ∆′(λ0) = 0. Con-

forme vimos no Lema 2.12, se λ < λ0 entao ∆(λ) > 2. Assim λ = λ0 nao pode ser

ponto de maximo. Por outro lado se ∆′(λ0) = 0 e ∆2(λ0) − 4 = 0, entao ∆′(λ0) = 0 e

∆(λ0) = 2 ou ∆′(λ0) = 0 e ∆(λ0) = −2, mas o caso ∆(λ0) = −2 nao pode ocorre, pois

∆(λ) > 2 ∀λ < λ0 e ∆(λ) e suave. Logo, ∆′(λ0) = 0 e ∆(λ0) = 2 e de acordo com o

Lema 2.17, λ0 e ponto de maximo de ∆(λ) o que e contradicao. Portanto ∆′(λ0) 6= 0 e λ0

e raiz simples. Ademais como ∆(λ) e suave, decrescente a esquerda de λ0 e ∆′(λ0) 6= 0,

segue que ∆′(λ0) < 0. 2

Como veremos uma comparacao do Lema 2.17 e do Teorema de Floquet mostra que

podemos completar a prova do Teorema da Oscilacao atraves do seguinte corolario.

Corolario 2.19. A equacao (2.37) possui duas solucoes LI, periodicas com perıodo π ou

2π se, e somente, se a equacao ∆2(λ)− 4 = 0 possui raiz dupla.

Demonstracao: De fato, no Lema 2.17 vimos que uma condicao necessaria e suficiente

para ∆2(λ)− 4 = 0 e ∆′(λ) = 0 e que

η1(µ)− η′2(µ) = η′1(µ) = η2(µ) = 0 . (2.75)

Assim se (2.37) possui duas solucoes LI de perıodo π ou 2π, as solucoes de (2.37) sao

estaveis e como ∆(µ) = ±2, pelo Teste de Estabilidade segue que η′1(µ) = η2(µ) = 0 e por

(2.65) temos que η1(µ)− η′2(µ) = 0, logo (2.75) vale. Reciprocamente, como (2.75) ocorre

temos ∆(µ) = ±2, e daı, ρ1 e ρ2 raızes da equacao caracterıstica satisfazem, ρ1 = ρ2 = ±1

(ver Observacao 2.13). Assim, (2.75) implica que θ = 0 em (ii) no Teorema de Floquet.

Portanto, temos duas solucoes LI de perıodo π ou 2π. 2

O Teste de Estabilidade, o Corolario 2.19 e o Lema 2.17 mostram que as solucoes de

(2.37) sao estaveis para λ = λ2n+1 (respectivamente, λ = λ′2n+1) se, e somente, se λ2n+1

(respectivamente, λ′2n+1) e uma raiz dupla de ∆2(λ) − 4 = 0, isto e, se e somente, se

λ2n+1 = λ2n+2 (respectivamente, λ′2n+1 = λ′2n+2). Com efeito, sendo as solucoes de (2.37)

estaveis e |∆(λ2n+1)| = 2 (respectivamente, |∆(λ′2n+1)| = 2) temos pelo teste de estabili-

dade que ∆(λ2n+1) = 2. (respectivamente, |∆(λ′2n+1)| = −2) e η2 = η′1 = 0. Deste fato e

2.5 Equacao diferencial para o produto de solucoes. 75

de (2.65) segue que η1− η′2 = 0 e do Lema 2.72 obtemos que ∆′(λ2n+1) = ∆′(λ′2n+1) = 0 e

portanto λ2n+1 (respectivamente, λ′2n+1) e raiz dupla. Reciprocamente, pelo Corolario 2.19

se λ2n+1 (respectivamente, λ′2n+1) e uma raiz dupla entao ha duas solucoes LI periodicas e

portanto as solucoes de (2.37) sao estaveis para λ = λ2n+1 (respectivamente, λ = λ′2n+1).

2

2.5 Equacao diferencial para o produto de solucoes.

Nesta secao veremos algumas propriedades da equacao,

y′′′ + 4Qy′ + 2Q′y = 0 (2.76)

a qual e chamada equacao para o produto de duas solucoes da equacao de Hill. Este nome

vem do fato que o produto de quaisquer duas solucoes da equacao de Hill e solucao de

(2.76). Veremos ainda que toda solucao de (2.76) e obtida como combinacao linear de

produtos de duas solucoes da equacao de Hill.

Lema 2.20. Seja η1 e η2 duas solucoes quaisquer de,

y′′(x) +Q(x)y(x) = 0 (2.77)

onde Q(x+ π) = Q(x), ∀x. Entao z = η1η2 satisfaz,

d3

dx3z(x) + 4Q(x)

d

dxz(x) + 2

(d

dxQ(x)

)z(x) = 0 . (2.78)

Isto e, o produto de qualquer duas solucoes de (2.77) e solucao de (2.78). Alem disso, a

equacao (2.76) possui ao menos uma solucao periodica nao trivial com perıodo π.

Demonstracao:

Diferenciando z = η1η2 com respeito a x tres vezes temos,

d3

dx3z(x) =

d

dx

(d

dx

(d

dxz(x)

))=

d

dx

(d

dx(η′1η2 + η′2η1)

)

=d

dx(η′′1η2 + η′1η

′2 + η′′2η1 + η′2η

′1) =

d

dx(−Q(x)η1η2 + η′1η

′2 −Q(x)η2η1 + η′2η

′1) ,


isto e,

d3

dx3z(x) =

d

dx(−2Q(x)η1η2 + 2η′1η

′2) = −2

d

dx(Q(x)η1η2) + 2 (η′′1η2 + η′1η

′′2)

= −2

(d

dxQ(x)

)η1η2 − 2Q(x) (η′1η2 + η1η

′2) + 2 (−Q(x)η1η

′2 −Q(x)η2η

′1)

= −2

(d

dxQ(x)

)z(x)− 4Q(x)

(d

dxz(x)

),

ou seja,d3

dx3z(x) + 4Q(x)

d

dxz(x) + 2

(d

dxQ(x)

)z(x) = 0 ,

como querıamos. Observe que nao impomos a condicao de que η1 fosse diferente de η2 e

assim η21, η2

2 tambem sao solucoes de (2.76). Verifiquemos agora a existencia de solucao

periodica para (2.78). Com efeito, pelo Teorema de Floquet temos que se ρ1 6= ρ2 entao

z = f1f2 e a solucao periodica procurada onde f1(x) = eiαxp1(x) e f2(x) = e−iαxp2(x).

Caso ρ1 = ρ2 entao o item (ii) do Teorema de Floquet garante a existencia de uma solucao

g(x) periodica com perıodo ou semi-perıodo π para (2.77). Assim, z = g2 e uma solucao

π-periodica para (2.76). 2

Os proximos resultados nos dizem um pouco mais sobre a equacao para o produto de

solucoes de (2.77).

Lema 2.21. Se η1 e η2 sao duas solucoes linearmente independentes de (2.77) entao,

η21, η1η2 e η2

2

sao solucoes linearmente independentes de (2.76).

Demonstracao: Sendo η1 e η2 duas solucoes de (2.77), temos do Lema 2.20 que

η21, η1η2 e η2

2 sao solucoes de (2.78). Assim para provarmos o lema, basta mostrarmos

que o Wronskiano destas tres solucoes em x = 0 e diferente de zero. Com efeito,

W (η21, η1η2, η

22) = det

η2

1 η1η2 η22

(η21)′ (η1η2)′ (η2

2)′

(η21)′′ (η1η2)′′ (η2

2)′′

= −6η1η′1η2(η′2)2 + 2η3

1(η′2)3 + 6η1(η′1)2η22η′2 − 2(η′1)3η3

2.


Como η1(0) = 1 = η′2(0) e η′1(0) = 0 = η2(0), temos

W (η21, η1η2, η

22)(0) = −6η1(0)η′1(0)η2(0)(η′2)2(0) + 2η3

1(0)(η′2)3(0)

+6η1(0)(η′1)2(0)η22(0)η′2(0)− 2(η′1)3(0)η3

2(0) = 2 .

Logo, W (η21, η1η2, η

22)(0) 6= 0 e portanto as solucoes acima sao LI. 2

Lema 2.22. Se a equacao caracterıstica para a equacao (2.77) possui raızes ρ1 e ρ2 com

ρ1 6= ρ2 e se η1 e η2 sao solucoes nao triviais de (2.77) entao,

η1(x+ π) = ρ1η1(x) e η2(x+ π) = ρ2η2(x) . (2.79)

Alem disso, η1η2 e periodica com perıodo π e todas solucoes de (2.76) com perıodo π sao

multiplas desta solucao.

Demonstracao: Observe que (2.79) e praticamente o item (i) do Teorema de Floquet,

pois se ρ1 6= ρ2, entao η1(x) = eiαxp1(x) e η2(x) = e−iαxp2(x) com p1(x) e p2(x) periodicas

com perıodo π. Assim,

η1(x+ π) = eiα(x+π)p1(x+ π) e η2(x+ π) = e−iα(x+π)p2(x+ π)

donde obtemos (2.79). Tambem, η1η2 e periodica com perıodo π do fato que ρ1ρ2 = 1.

Deste modo, resta mostrar que toda solucao π-periodica de (2.76) e multipla de η1η2.

Com efeito, como a equacao (2.76) e linear e homogenea e como as solucoes η21, η1η2 e η2

2

de (2.76) sao LI (ver o Lema 2.21), temos que qualquer solucao de (2.76) e combinacao

linear de η21, η1η2 e η2

2. Seja entao y4 = a1η21 + a2η1η2 + a3η

22 uma solucao arbitraria de

(2.76) com perıodo π. Mostremos que

y4 = αη1η2 . (2.80)

Note que, sendo η1η2 de perıodo π temos,

y4(x+ π) = a1η21(x+ π) + a2η1η2(x+ π) + a3η

22(x+ π)

= a1η21(x+ π) + a2η1η2(x) + a3η

22(x+ π) .

(2.81)

Por outro lado, como y4(x+ π) = y4(x) temos de (2.81) a seguinte igualdade,

a1η21(x+ π) + a3η

22(x+ π) = a1η

21(x) + a3η

22(x) ,


isto e,

a1u+ a3v = 0 ,

onde u(x) = η21(x+ π)− η2

1(x) e v(x) = η22(x+ π)− η2

2(x). Dividiremos agora a1 e a3 em

tres casos,

(i) Se a1 6= 0 e a3 = 0.

Neste caso η21(x + π) − η2

1(x) = 0, entao η1(x + π) = ±η1(x) e consequentemente

ρ1 = ±1 o que e uma contradicao.

(ii) Se a1 = 0 e a3 6= 0.

Do mesmo modo temos, η2(x + π) = ±η2(x) e assim ρ2 = ±1 o que e uma con-

tradicao.

(iii) Se a1 6= 0 e a3 6= 0.

Entao a1u + a3v = 0 com a1, a3 6= 0. Daı u = −a3

a1

v que implica que u e v sao

linearmente dependentes. Como ρj 6= ±1, j = 1, 2, segue que,

η21(x) =

(a3 (ρ2

2 − 1)

a1(ρ21 − 1)

)η2

2(x) ,

o que e uma contradicao pois vimos que η21 e η2

2 sao linearmente independentes.

Portanto vemos que nenhum dos tres casos podem ocorrer. Isto nos mostra que

a1 = a3 = 0. Assim, considerando α = a2 em (2.81), obtemos (2.80) como querıamos.

2

Proposicao 2.23. Ou todas as solucoes de (2.78) com perıodo π sao multiplas de uma

unica, ou todas solucoes de (2.78) sao periodicas com perıodo π. Isso acontece se, e

somente, se todas as solucoes de (2.77) sao periodicas com perıodo π ou todas periodicas

com perıodo 2π.

Demonstracao: Mostremos primeiro a segunda parte.

Se todas as solucoes de (2.77) sao π-periodicas (ou todas 2π-periodicas), entao

ρ1 = ρ2 = 1 (ou ρ1 = ρ2 = −1) .


Daı, η1(x+π) = η1(x) e η2(x+π) = η2(x) (ou η1(x+π) = −η1(x) e η2(x+π) = −η2(x)).

Em ambos os casos η21, η1η2 e η2

2 sao periodicas com perıodo π e como sao LI segue que

todas as solucoes de (2.78) sao periodicas com perıodo π.

Reciprocamente, se todas as solucoes de (2.77) sao periodicas de perıodo π, entao η21, η

22

e η1η2 sao periodicas de perıodo π. Como η1 e η2 sao solucoes LI por (2.77), resta mostrar

que elas sao periodicas com perıodo π ou 2π. Observe que η21(x+ π) = η2

1(x) implica que

η1(x + π) = ±η1(x) e do mesmo modo η2(x + π) = ±η2(x). Contudo nao podemos ter

η1 periodica com perıodo π e η2 periodica com perıodo minimal 2π, ou equivalentemente,

η1(x+ π) = η1(x) e η2(x+ π) = −η2(x). Com efeito, se este fato ocorre, entao

η1η2(x+ π) = −η1η2(x), ∀x ∈ R ,

o que nao e verdadeiro, pois η1η2 e periodica de perıodo π.

Provemos agora a primeira parte do lema. Para isto negamos a primeira afirmacao e

mostremos que a segunda e valida. Com efeito, temos pela contrapositiva do Lema 2.22

que ρ1 = ρ2 = ±1. Deste modo, por (ii) do Teorema de Floquet temos que existem η1 e

η2 solucoes LI de (2.77) tais que η1(x+π) = ρ1η1(x) e η2(x+π) = ρ1η2(x)+θη1(x) onde θ

e uma constante. Se θ = 0 entao todas as solucoes de (2.77) sao periodicas com perıodo π

ou 2π. Pela segunda parte do lema (o qual ja demonstramos) temos que todas as solucoes

de (2.78) sao periodicas com perıodo π. Se θ 6= 0 entao (2.77) possui apenas uma solucao

η, periodica com perıodo π ou periodica com semi-perıodo π e consequentemente η2 e a

unica solucao periodica de (2.78). Assim todas as solucoes de (2.78) com perıodo π serao

multiplas de η2(x). Isto e uma contradicao quando negamos a primeira afirmacao. Entao

θ = 0 e temos provado a proposicao.

2

Capıtulo 3

Famılias isonerciais de operadores

autoadjuntos

3.1 Indice de inercia e famılias isonerciais.

Comecemos este capıtulo com a seguinte definicao oriunda da teoria elementar de

matrizes.

Definicao 3.1. A inercia de uma matriz simetrica A e uma terna de inteiros nao nega-

tivos (n, z, p) onde n, z e p sao respectivamente o numero de elementos negativos, nulos e

positivos do espectro de A, contados com suas respectivas multiplicidades.

No caso de operadores autoadjuntos L (possivelmente ilimitados) definidos em um

espaco de Hilbert H de dimensao infinita, definimos o ındice de inercia In(L) como sendo

o par (n, z), onde n e a dimensao do subespaco negativo de L (espaco gerado pelos

autovetores ou autofuncoes associados aos elementos negativos do espectro de L) e z e

a dimensao do subespaco nulo de L (subespaco gerado pelos autovetores ou autofuncoes

associados aos elementos nulos do espectro de L).

Os operadores com o qual estamos lidando sao autoadjuntos, seu espectro coincide

com o conjunto dos autovalores, isto e, σess(L) = ∅ (σess denota o espectro essencial, ver

subsecao 1.5.2) e os operadores satisfazem a seguinte propriedade. Existe γ > 0 tal que o

espectro de L que fica a esquerda de γ consiste de um numero finito de auto valores e a

correspondente projecao espectral possui dimensao finita. Deste modo o ındice de inercia

fica bem definido.

Definicao 3.2. Uma famılia de operadores autoadjuntos Ls := L(s), que depende de um

parametro s e chamada isonercial se o ındice de inercia In(Ls) de Ls nao depende de s.

3.1 Indice de inercia e famılias isonerciais. 81

O metodo que utilizaremos para obtermos famılias isonerciais de operadores e baseada

na lei de inercia de Sylvester (cuja demonstracao pode ser encontrada em [27] ). No caso

periodico esta lei pode ser resumida como segue.

Lema 3.3. (Lei da inercia de Sylvester generalizada) Se L e um operador autoadjunto e

M e um operador limitado inversıvel com adjunto M∗, entao In(MLM∗) = In(L), onde

MLM∗ e um operador autoadjunto com domınio (M∗)(D(L)).

Demonstracao: Ver [27] 2

Suponha agora que a familia de operadores L(s) depende suavemente do parametro s

e satisfaz a seguinte equacao,

dLds

= B(s)L(s) + L(s)B∗(s) (3.1)

onde B(s) e um operador dado. Seja M(s) a solucao de,

d

dsM(s) = B(s)M(s), M(s0) = I . (3.2)

Temos de (3.1) que L(s) satisfaz,

L(s) = M(s)L(s0)M∗(s) . (3.3)

De fato, podemos ver que M(s)L(s)M∗(s) e solucao do problema,d

dsL(s) = B(s)L(s) + L(s)B∗(s)

L(s0) = L0 = M (s0)L(s0)M∗(s0) ,

posto que,

d

ds(M(s)L(s0)M∗(s)) = M(s)L(s0)

d

ds(M∗(s)) +

d

ds(M(s))L(s0)M∗(s)

= M(s)L(s0)M∗(s)B∗(s) +B(s)M(s)L(s0)M∗(s)

= [M(s)L(s0)M∗(s)]B∗(s) +B(s) [M(s)L(s0)M∗(s)] .

Por outro lado L(s) tambem e solucao do problema acima e como os dados iniciais

coincidem isto e, M(s0)L(s0)M∗(s0) = L(s0) temos pelo teorema de existencia e unicidade

que (3.3) realmente ocorre.

3.2 Famılias isonerciais de operadores de Hill. 82

Deste modo, se M(s) e um operador inversıvel e limitado, o Lema 3.3 nos fornece

In (L(s0)) = In (M(s)L(s0)M∗(s)) . (3.4)

Logo, por (3.3) temos,

In (M(s)L(s0)M∗(s)) = In (L(s)) . (3.5)

Portanto de (3.4) e (3.5) temos que a familia L(s) e isonercial. A equacao (3.1) e a

equacao que governa as famılias de operadores isonerciais.

3.2 Famılias isonerciais de operadores de Hill.

Esta secao e devotada ao estudo das famılias de operadores de Hill definidos em

L2per([0, π]).

L(s)(h) = −h′′ +Q(x, s)h , (3.6)

onde h′ e a derivada de h com respeito a x. O domınio do operador L(s) e

D(L(s)) = H2per([0, π]), ∀ s ∈ R. O potencial Q(x, s) e assumido como sendo periodico

com perıodo π no espaco e continuamente diferenciavel para x ∈ R e s em um intervalo

I ⊂ R.

O nucleo de L(s) e constituıdo de todas as solucoes periodicas da equacao,

−y′′ +Qy = 0 . (3.7)

A equacao (3.7) e fechada com relacao ao produto de duas solucoes

−y′′′ + 4Qy′ + 2Q′y = 0 . (3.8)

Em outras palavras, o produto de quaisquer duas solucoes de (3.7) e solucao de (3.8)

(ver pagina 75). Observe que em vez da equacao de Hill como em (2.2), estamos lidando

com a equacao dada (3.7). Porem, podemos usar os resultados obtidos anteriormente sem

perda de generalidade, ja que podemos multiplicar (3.7) por (−1) e obter

−(−y′′)−Qy = 0 .

Assim, escrevendo −Q = Q1, temos (3.7) na forma da equacao de Hill em (2.2). Pelo

Lema 2.21 temos que se η1 e η2 sao duas solucoes LI de (3.7) entao η21, η1η2 e η2

2 sao tres


solucoes LI de (3.8). Assumiremos agora a seguinte hipotese,

(H) λ = 0 e um autovalor de L(s) para cada s ∈ I.

Observe que esta hipotese e equivalente a assumir que a equacao de Hill possui solucao

nao trivial. Considere T (s) como sendo o operador de L2per([0, π]] com domınio D(T ) =

H3per([0, π]) dado por

T (s)y = −y′′′ + 4Qy′ + 2Q′y .

Entao a Proposicao 2.23 provada na Secao 2.5 torna-se.

Lema 3.4. Se a hipotese (H) e satisfeita entao o nucleo de T (s) possui dimensao 1 ou

3. O caso de dimensao 3 ocorre se, e somente se todas as solucoes de (3.7) sao periodicas

com perıodo π.2

Seja y1 = y1(x, s) e y2 = y2(x, s) duas solucoes quaisquer de (3.7). Estas solucoes sao con-

tinuamente diferenciaveis em todas as variaveis. Entao, diferenciando (3.7) com respeito

a s, tem-se que

z1 =dy1

ds(x, s) e z2 =

dy2

ds(x, s) ,

devem satisfazer

−z′′1 +Qz1 +dQ

dsy1 = 0 , (3.9)

e

−z′′2 +Qz2 +dQ

dsy2 = 0 , (3.10)

respectivamente. Multiplicando (3.9) por y2 e integrando de 0 a π obtemos,∫ π

0

dQ

dsy1y2dx =

∫ π

0

(z′′1y2 −Qz1y2)dx

=

∫ π

0

z′′1y2dx−∫ π

0

Qz1y2dx

= z′1y2

∣∣∣∣π0

−∫ π

0

z′1y′2dx−

∫ π

0

Qz1y2dx

= z′1y2

∣∣∣∣π0

− z1y′2

∣∣∣∣π0

−∫ π

0

z1y′′2dx−

∫ π

0

Qz1y2dx

=

∫ π

0

−z1(−y′′2 +Qy2)dx .


Sendo −y′′2 +Qy2 = 0 temos, ∫ π

0

dQ

dsy1y2dx = 0 . (3.11)

Similarmente, multiplicando (3.9) por y1 encontramos,∫ π

0

dQ

dsy2

1dx = 0 . (3.12)

Tambem, multiplicando (3.10) por y2 deduzimos,∫ π

0

dQ

dsy2

2dx = 0 . (3.13)

Portanto de (3.11), (3.12) e (3.13) temos,

dQ

ds∈ [y2

1, y22, y1y2]⊥ ,

onde [y21, y

22, y1y2] denota o subespaco gerado por y2

1, y22 e y1y2. Por outro lado, como

a equacao (3.8) e linear e homogenea com y21, y2

2, y1y2 solucoes LI de (3.8), temos que

qualquer solucao de (3.8) e combinacao linear de y21, y2

2, y1y2. Assim, temos

[y21, y

22, y1y2] = Ker(T (s)) .

Consequentemente,dQ

ds∈ Ker(T (s))⊥ . (3.14)

Alem disso, para todo u ∈ D(T (s)) e v ∈ D(T ∗(s)) temos,

(T (s)(u), v)L2per

= (u, T ∗(s)(v))L2per

,

isto e,

(−u′′′ + 4Qu′ + 2Q′u, v)L2per

= (u, T ∗(s)(v))L2per

. (3.15)

Logo como u e v sao periodicas com perıodo π segue de (3.15)

(u, T ∗(s)(v))L2per

= − (u′′′, v)L2per

+ 4 (Qu′, v)L2per

+ 2 (Q′u, v)L2per

= (u, v′′′)L2per− 4 (u, v′Q+Q′v)L2

per+ 2 (u, vQ′)L2

per

= (u, v′′′ − 4v′Q− 2Q′v)L2per

= (u,−T (s)(v))L2per

.


Daı T ∗(s) = −T (s) e de (3.14) concluı-se,

dQ

ds∈ Ker(T (s))⊥ = Ker(T ∗(s))⊥ .

Agora, a equacao −y′′′ + 4Qy′ + 2Q′y = 0 pode ser reduzida no seguinte sistema,u′1

u′2

u′3

=

0 1 0

0 0 1

2Q′ + 4Q 0 0

u1

u2

u3

,

onde u1 = −y, u′1 = u2, u′2 = u3 e u′3 = 2Q′u1 + 4Qu1. Como a matriz acima e contınua

usando a alternativa de Fredholm (Teorema 1.18) temos que a equacao,

−y′′′ + 4Qy′ + 2Q′y =dQ

ds(3.16)

possui ao menos uma solucao periodica com perıodo π. Seja b = b(x, s) uma solucao

periodica de (3.16). Considere o operador B(s) definido por,

B(s)(h) = (2bh)′ + b′h (3.17)

onde ′ denota a derivada em x. O operador adjunto de B(s) e,

B∗(s)(h) = −2bh′ + b′h . (3.18)

De fato,

(B(s)(h), u)L2per

= (3b′h+ 2bh′, u)L2per

= (3b′h, u)L2per(0,π) + (2bh′, u)L2

per

= (h, 3b′u)L2per

+ (h′, 2bu)L2per

= (h, 3b′u)L2per

+ (h,−2u′b− 2b′u)L2per

= (h,−2bu′ + b′u)L2per

e como (B(s)(h), u)L2per

= (h,B∗(s)(u))L2per

, para todo h ∈ D(B(s)) e u ∈ D(B∗(s)), temos

(3.18). Mostremos agora que os operadores L(s), B(s) e B∗(s) dados respectivamente por

(3.6), (3.17) e (3.18) satisfazem a equacao que governa as famılias de operadores isonerciais


(3.1). Com efeito, por um lado temos,((BL+ LB∗)(s)

)(h) = B(s)

(L(s)(h)

)+ L(s)

(B∗(s)(h)

)

= B(s)

(− h′′ +Qh

)+ L(s)

(− 2bh′ + b′h

)

= 3b′(− h′′ +Qh

)+ 2b

(− h′′ +Qh

)′−(− 2bh′ + b′h

)′′

+Q

(− 2bh′ + b′h

)

= −3b′h′′ + 3b′Qh− 2bh′′′ + 2bQ′h+ 2bQh′ + 2

(b′h′′ + b′′h′

+bh′′′ + b′h′′)− b′′′h− b′′h′ − b′h′′ − b′′h′ − 2Qbh′ +Qb′h

=d

dsQ(h) ,

isto e, (B(s)L(s) + L(s)B∗(s)

)(h) =

d

dsQ(h) . (3.19)

Por outro lado,d

dsL(h) =

d

ds(−h′′(x) +Q(x, s)h(x)) =

d

dsQ(h) . (3.20)

Assim de (3.19) e (3.20) temos o desejado. Alem disso, o problema de Cauchy,du

ds= B(s)u(s)

u(s0) = u0

(3.21)

e uma EDP linear de primeira ordem com coeficientes suaves. Portanto ele e soluvel para

ambos valores negativos e positivos de s e u(s) e inversıvel e limitado. De fato, usando a

definicao de B(s), podemos reescrever (3.21) na forma,

g(x, s) ·D(u(x, s)) + c(x, s)u(x, s) = 0 , (3.22)

onde g(x, s) = (−2b(x, s), 1), D(u(x, s)) = (ux(x, s), us(x, s)) e c(x, s) = −3bx(x, s). Con-

forme a referencia [25], a equacao (3.22) pode ser resolvida utilizando o metodo das


caracterısticas. Neste contexto, defina α(t) = u(x(t), s(t)). Como estamos no caso linear,

entao

α(t) = g(x(t), s(t)) ·D(u(x(t), s(t))) .

Assim, por (3.22) temos,

α(t) = 3bx(x(t), s(t))α(t) .

Alem disso, temos que D(u(x(t), s(t))) = g(x(t), s(t)) . Desta forma, (3.22) pode ser re-

duzida no seguinte sistema de equacoes diferenciais ordinarias,x(t) = −2b(x(t), s(t))

s(t) = 1

α(t) = 3bx(x(t), s(t))α(t) ,

(3.23)

que resolvendo nos fornece,

α(t) = c1(x(t))T (t, t0) , (3.24)

onde T (t, t0) = e∫ tt0

3bx(x(ξ),s(ξ))dξ.

Contudo de (3.23) temos, s(t) = t com s(t0) = s0. Entao por (3.24)

u(x, s) = c1(x)T (s, s0), s ∈ R ,

onde,

T (s0, s0) = I

T (s, s0) = T (s0, s)−1

T (s, s0)T (s0, r) = T (s, r) .

Assim, definindo

M(s) = T (s, s0) ,

temos,

M(s0) = I

M(s)−1 = T (s, s0)−1 = T (s0, s) .

Portanto por (3.2) o operador M(s) esta bem definido, inversıvel e limitado.

Provamos desta forma o principal resultado desta secao.

Teorema 3.5. Considere L(s) o operador de Hill,

L(s)(h) = −h′′(x) +Q(x, s)h(x)


cujo domınio e D(L(s)) = H2per([0, π]). Se λ = 0 e um autovalor de L(s), para cada

s no intervalo I e o potencial Q(x, s) e continuamente diferenciavel, entao a famılia de

operadores L(s), s ∈ I, e isonercial.

2

Observacao 3.6. Como veremos mais adiante, o operador de Hill

L(s)(h) = −h′′(x) +Q(x, s)h(x)

para um potencial Q fixado, possui, para um s0 fixo, um unico autovalor negativo simples e

0 e auto valor simples. Daı o ındice de inercia In(L(s0)) = (1, 1), para esse s0 fixo. Assim,

o teorema anterior garante que a famılia de operadores L(s) e isonercial e In(L(s)) =

(1, 1) para todo s ∈ I.

Capıtulo 4

Operador de Hill

Neste capıtulo, demonstraremos um importante resultado que caracteriza o espectro

nao positivo do operador de Hill (2.2), a partir de uma autofuncao conhecida. Para isso,

demonstramos uma versao melhorada do Teorema de Floquet de modo a caracterizar a

constante θ que aparece em (2.10).

4.1 Nova versao para o Teorema de Floquet.

Seja a equacao de Hill,

y′′ +Qy = 0, (4.1)

com Q contınua periodica com perıodo π e a equacao caracterıstica associada a (4.1),

ρ2 − [y1(π) + y′2(π)]ρ+ 1 = 0 (4.2)

onde y1 e y2 sao duas solucoes LI da equacao (4.1) univocamente determinadas pelas

condicoes iniciais,

y1(0) = 1, y′1(0) = 0, y2(0) = 0 e y′2(0) = 1 .

Vimos no Teorema de Floquet que se ρ1 = ρ2 = 1 e raiz de (4.1), entao (4.1) admite uma

solucao p periodica com perıodo π. Alem disso, se y for uma outra solucao de (4.1) LI

com p entao y satisfaz,

y(x+ π) = y(x) + θp(x), ∀x ∈ R ,

com θ constante.

O que veremos agora e uma nova versao para o item (ii) do Teorema de Floquet.

Vamos considerar o caso ρ1 = ρ2 = 1 e nosso principal objetivo e obter uma formula para

4.1 Nova versao para o Teorema de Floquet. 90

θ que dependa somente da solucao p de (4.1), a qual e nao trivial e periodica com perıodo

π . Suponha que p possua zeros simples z1 < z2 < z3 < ... < z2n no intervalo [0, π).

Temos entao,

p(zi) = 0, p′(zi) 6= 0 e p′′(zi) = −(λ+Q(zi))p(zi) = 0 .

Note que p′(zi) 6= 0 e garantido pelo fato de zi ser um zero simples de p(x). Entao, usando

a formula de Taylor, podemos escrever p(x) como

p(x) = (x− zi)p′(zi) +O((x− zi)3)

onde O((x− zi)3) e o resto do desenvolvimento em serie de Taylor de p. Portanto para x

proximo de zi, temos

p(x)

(x− zi)=

(x− zi)p′(zi)(x− zi)

+O((x− zi)3)

(x− zi)= p′(zi) +O((x− zi)2) .

Logo,x− zip(x)

=1

p′(zi) +O((x− zi)2).

Como p(x) e diferenciavel e zi−1 < zi, pelo teorema de Rolle, podemos escolher um

ponto xi no intervalo (zi−1, zi) tal que p′(xi) = 0. Assumimos tambem que este xi e

unico em cada intervalo (zi−1, zi). Portanto os zeros zi de p e xi de p′ sao intercalados da

seguinte forma,

z1 < x1 < z2 < x2 < z3 < x3 < ... < x2n−1 < z2n < x2n . (4.3)

Ademais, eles se repetirao para direita e para esquerda pela periodicidade da funcao p.

Defina para [x1, x1 + π) a funcao q dada por,

q(x) =x− zip(x)

=1

p′(zi) +O((x− zi)2), x ∈ [xi−1, xi) , (4.4)

onde i = 2, 3, ..., 2n+1, z2n+1 = z1 +π e x2n+1 = x1 +π. A Figura 4.1 ilustra os intervalos

onde q esta definida.

Como p e periodica com perıodo π e z2n+1 = z1 +π temos que q pode ser estendida em

toda a reta de modo que q seja periodica com perıodo π. Esta funcao auxiliar desempenha

um papel importante nesta dissertacao, ela nos serve para caracterizar θ em (2.10) no

Teorema de Floquet.

Vejamos agora algumas propriedades da funcao q(x).


Figura 4.1:

(i) A funcao q(x) e suave por partes com descontinuidades de tipo salto nos pontos

xi’s pois q(x+i ) 6= q(x−i ). Alem disso q(x) e contınua a direita, ja que,

q(x+i−1) = lim

x→x+i−1

x− zip(x)

= q(xi−1) ,

enquanto,

q(x−i ) = limx→x−i

x− zip(x)

=xi − zip(xi)

6= xi − zi+1

p(xi)= q(xi) .

Em adicao, pela definicao de q encontramos,

q(zi) =1

p′(zi).

A Figura (4.2) ilustra o comportamento da funcao q.

(ii) A derivada da funcao q para x diferente de zi e xi vem dada por,

q′(x) =p(x)− (x− zi)p′(x)

p2(x)=

1− q(x)p′(x)

p(x). (4.5)

Agora, aplicando a regra L’Hospital duas vezes obtemos,

limx→zi

q′(x) = limx→zi

−(x− zi)p′′′(x)− p′′(x)

2(p′(x))2 + 2p(x)p′′(x)=

0

2(p′(zi))2= 0 .

Com isto, q′ pode ser definida nos pontos zi’s, bastando definir q′(zi) = 0.


Figura 4.2:

Por outro lado, como p′(x+i ) = p′(x−i ) = 0 segue que,

q′(x+i ) = lim

x→x+i

1− q(x)p′(x)

p(x)=

1

p(xi)= lim

x→x−i

1− q(x)p′(x)

p(x)= q′(x−i ).

Deste modo, q′ pode ser definida nos pontos xi’s, bastando definir

q′(xi) =1

p(xi). Portanto podemos assumir que q′(x) e continua em R.

(iii) Verifiquemos agora que

q′(x)

p(x), ∀x ∈ R , (4.6)

esta bem definida e e continua em R. Com efeito, pelo visto acima, q′ e contınua em

R, assim resta verificar o comportamento deq′

pnos pontos zi’s, uma vez que estes sao

os zeros de p(x). Como temos indeterminacao nos pontos zi’s podemos usar a regra de

L’Hospital. Assim apos tres aplicacoes sucessivas desta regra obtemos,

limx→zi

q′(x)

p(x)=limx→zi

(1

2(p′(x))3 + 4p(x)p′(x)p′′(x)

)(−(x− zi)p′′′(x)− p′′(x)

2(p′(x))2 + 2p(x)p′′(x)

)=

0

2(p′(zi))3=0

Logo o limite existe e com isso podemos redefinirq′

pde modo que seja contınua nestes

pontos.

Definamos agora

j(xi) =q(x+

i )− q(x−i )

p(xi)=

1

p(x)

(xi − zi+1

p(x)− (xi − zi)

p(x)

)=zi − zi+1

p2(xi). (4.7)

Podemos formular o seguinte lema,


Lema 4.1. Se p(x) e uma solucao periodica de perıodo π de (2.37), q(x) e a funcao

definida em (4.4) e j(xi) vem dada por (4.7). Entao, para cada a ∈ R fixado,

y(x) = −q(x) +

∑xi∈(a,x]

j(xi)

p(x) + 2p(x)

∫ x

a

q′(t)

p(t)dt , (4.8)

e solucao de (2.37) no intervalo [a, a+ π). Satisfazendo as condicoes iniciais

y(a) = −q(a), y′(a) = q′(a) . (4.9)

Em particular y(x) e LI com p(x) e W (p(x), y(x)) = 1.

Demonstracao: Vamos comecar provando a continuidade de y(x). E suficiente checar

a continuidade nos pontos xi’s onde q(x) e descontınua. Note que nos pontos zi’s ja

verificamos queq′

pe contınua. De (4.8) e do fato de j(xi) nao ser atingido quando

calculamos y(x−i ), tem-se,

y(x−i ) = −q(x−i ) +

∑xi∈(a,xi)

j(xi)

p(xi) + 2p(xi)

∫ xi

a

q′(t)

p(t)dt

= −q(x−i ) +

∑xi∈(a,xi]

j(xi)

p(xi)− j(xi)p(xi) + 2p(xi)

∫ xi

a

q′(t)

p(t)dt

(4.10)

e de (4.7) temos,

q(x−i ) + j(xi)p(xi) = q(x+i ) . (4.11)

Entao por (4.10) e (4.11) concluımos,

y(x−i ) = −q(x+i ) +

∑xi∈(a,xi]

j(xi)

p(xi) + 2p(xi)

∫ xi

a

q′(t)

p(t)dt = y(x+

i ) .

Portanto a funcao y(x) definida por (4.8) e contınua. Deste modo, para x 6= xi, temos

pelo fato de q′(x) = −q′(x) + 2q′(x) = −q′(x) + 2p(x)q′(x)

p(x)que,

y′(x) = q′(x) +

∑xi∈(a,x]

j(xi)

p′(x) + 2p′(x)

∫ x

a

q′(t)

p(t)dt . (4.12)

Para x = xi temos p′(xi) = 0, daı y′(x−i ) = q′(xi) = y′(x+i ). Portanto y e uma funcao

continuamente diferenciavel. Alem disso y satisfaz a condicao inicial (4.9). De fato,

y(a) = −q(a) +

∑xi∈(a,a]

j(xi)

p(x) + 2p(x)

∫ a

a

q′(t)

p(t)dt = −q(a)


e

y′(a) = q′(a) +

∑xi∈(a,a]

j(xi)

p′(a) + 2p′(a)

∫ a

a

q′(t)

p(t)dt = q′(a) .

Finalmente para x diferente de zi e xi tem-se,

y′′(x) = q′′(x) +

∑xi∈(a,x]

j(xi)

p′′(x) + 2p′′(x)

∫ x

a

q′(t)

p(t)+ 2p′(x)

q′(x)

p(x)(4.13)

e de (4.5),

q′′(x) =−q(x)p′′(x)− q′(x)p′(x)

p(x)−(

1− q(x)p′(x)

p(x)

)p′(x)

p(x)

= −q(x)p′′(x)

p(x)− 2q′(x)p′(x)

p(x)

= −Q(x)q(x)− 2p′(x)q′(x)

p(x).

Entao, usando (4.13) e que p e solucao de (4.1) temos,

y′′(x) = −Q(x)q(x)− 2p′(x)q′(x)

p(x)+

∑xi∈(a,x]

j(xi)

p′′(x) + 2p′′(x)

∫ x

a

q′(t)

p(t)+ 2p′(x)

q′(x)

p(x)

= Q(x)

−q(x) +

∑xi∈(a,x]

j(xi)

p(x) + 2p(x)

∫ x

0

q′(t)

p(t)dt

= Q(x)y(x) .

Ademais, para x diferente de xi e zi temos,∣∣∣∣∣∣ y(x) p(x)

y′(x) p′(x)

∣∣∣∣∣∣ = y(x)p′(x)− y′(x)p(x)

=

−q(x) +

∑xi∈(a,x]

j(xi)

p(x) + 2p(x)

∫ x

0

q′(t)

p(t)dt

p′(x)

−

q′(x) +

∑xi∈(a,x]

j(xi)

p′(x) + 2p′(x)

∫ x

a

q′(t)

p(t)

p(x)

= −q(x)p′(x)− p(x)q′(x) .

(4.14)


Usando (4.14) e (4.5) temos,

W (p(x), y(x)) = p′(x)q(x) + p(x)

(1− q(x)p′(x)

p(x)

)= 1 .

Portanto o lema esta provado no caso que x e diferente de xi e zi. Verifiquemos agora

o caso em que x = xi e x = zi.

Observe que podemos caracterizar de (4.8) e (4.4) a segunda derivada de y(x) e q(x)

respectivamente para x diferente de xi e zi sem fazer simplificacoes, isto e,

y′′(x) = −q′′(x) +

∑xi∈(a,x]

j(xi)

p′′(x) + 2p′′(x)

∫ x

a

q′(t)

p(t)+ 2p′(x)

q′(x)

p(x)

+[2p(x)q′′(x) + 2p′(x)q′(x)] p(x)− 2p′(x)p(x)q′(x)

p2(x)

(4.15)

e

q′′(x) =−(x− zi)p2(x)p′′(x)− 2p2(x)p′(x) + 2(x− zi)p(x)(p′(x))2

p4(x)(4.16)

onde x ∈ [xi−1, xi).

Seja entao x = zi, nesse caso se o limite abaixo existe entao podemos estender

continuamente q′′(x) nos pontos zi’s definindo q′′(zi) como sendo o valor do limite,

q′′(z+i ) = q′′(z−i ) = lim

x→zi

−(x− zi)p2(x)p′′(x)− 2p2(x)p′(x) + 2(x− zi)p(x)(p′(x))2

p4(x).

Como podemos observar temos uma indeterminacao nesse limite, daı aplicando a regra

de L’Hospital quatro vezes encontramos que o limite existe e e dado por

q′′(zi) =−24(p′(zi))

2p′′′(zi) + 56(p′(zi))2p′′′(zi)− 40(p′(zi))

2p′′′(zi)

24(p′(zi))4

= −1

3

Q(zi)(p′(zi))

3

(p′(zi))4

= −1

3Q(zi)q(zi) .

(4.17)

Da mesma forma como fizemos para definir continuamente q′′(x) nos pontos zi’s, definimos

2p′(x)q′(x)

p(x)e

[2p(x)q′′(x) + 2p′(x)q′(x)] p(x)− 2p′(x)p(x)q′(x)

p2(x),

nos pontos zi’s, porem aplicando a regra de L’Hospital uma vez para 2pq′

pe duas vezes

para[2pq′′ + 2p′q′] p− 2p′pq′

p2. Neste caso definimos,

2p′q′

p(zi) = 2q′′(zi) (4.18)


e ([2pq′′ + 2p′q′] p− 2p′pq′

p2

)(zi) = 2q′′(zi) . (4.19)

Portanto de (4.15), (4.17), (4.18) e (4.19) vemos que y′′(x) pode ser definida continuamente

para os pontos zi’s e y′′(zi) e dada por

y′′(zi) = 3q′′(zi) +

∑xi∈(a,x]

j(xi)

Q(zi)p(zi) + 2Q(zi)p(zi)

∫ zi

a

q′(t)

p(t)dt

= Q(zi)

−q(zi) +

∑xi∈(a,x]

j(xi)

p(zi) + 2p(zi)

∫ zi

a

q′(t)

p(t)dt

= Q(zi)y(zi) .

Como para x 6= xi e x 6= zi, W (p(x), y(x)) = 1, temos da formula de Abel Liouville em

[26] que W (p(zi), y(zi)) = 1.

No caso em que x = xi a funcao q tem uma descontinuidade de salto, porem ela esta

bem definida neste ponto e e diferenciavel a direita dos pontos xi’s. Considerando entao

a derivada a direita mostremos que y satisfaz a equacao nos pontos xi’s. Com efeito, de

(4.16) temos que,

q′′(xi) = −(xi − zi+1)p′′(xi)

p2(xi)= −Q(xi)q(xi) . (4.20)

Portanto de (4.15) e (4.20) temos que,

y′′(xi) = −q′′(xi) +

∑xi∈(a,x]

j(xi)

Q(xi)p(xi) + 2Q(xi)p(xi)

∫ xi

a

q′(t)

p(t)dt+ 2q′′(xi)

= Q(xi)

−q(xi) +

∑xi∈(a,x]

j(xi)

p(xi) + 2p(zi)

∫ xi

a

q′(t)

p(t)dt

= Q(xi)y(xi) .

Como para x 6= xi e x 6= zi W (p(x), y(x)) = 1, temos novamente da formula de Abel

Liouville em [26] que W (p(xi), y(xi)) = 1.

2

O proximo teorema e uma nova versao do item (ii) do teorema de Floquet, porem um


pouco melhorada ja que neste caso, conseguimos uma caracterizacao para θ em termos

da funcao periodica p a qual e LI com y dada em (4.8).

Teorema 4.2. Se p e uma solucao periodica com perıodo π de (2.37), q e a funcao definida

em (4.4) e j(xi) e dado em (4.7). Entao a solucao y linearmente independente de p tal

que W (p(x), y(x)) = 1 satisfaz,

y(x+ π) = y(x) + θp(x) (4.21)

onde θ e dado por,

θ =∑

xi∈(0,π]

j(xi) + 2

∫ π

0

q′(t)

p(t)dt (4.22)

Em particular, y(x) e periodica com perıodo π se, e somente se θ = 0.

Demonstracao: Observemos primeiro que devido a periodicidade, o valor de θ dado

por (4.22) e o mesmo para cada constante a fixada isto e,

θ =∑

xi∈(a,a+π]

j(xi) + 2

∫ a+π

a

q′(t)

p(t)dt

No que segue y(x) sera a solucao dada em (4.8), a qual esta definida no intervalo

[a, a+ π). Como p(a+ π) = p(a) e y(a) = −q(a) temos que se a+ π nao coincide com os

pontos xi’s entao,

y(a+ π) = y((a+ π)−)

= −q((a+ π)−) +

∑xi∈(a,a+π)

j(xi)

p(a+ π) + 2p(a+ π)

∫ a+π

a

q′(t)

p(t)dt

= −q(a+ π) +

∑xi∈(a,a+π]

j(xi) + 2

∫ a+π

a

q′(t)

p(t)dt

p(a+ π)

= −q(a) + θp(a+ π)

= y(a) + θp(a) ,

isto e,

y(a+ π) = y(a) + θp(a) . (4.23)


Se a+π coincide com algum ponto de salto xi, entao a igualdade (4.11) e o argumento

usado no Lema 4.1 implica

y(a+ π) = y((a+ π)−)

= −q((a+ π)−) +

∑xi∈(a,a+π)

j(xi)

p(a+ π) + 2p(a+ π)

∫ a+π

a

q′(t)

p(t)dt

= −q(a+ π) +

∑xi∈(a,a+π]

j(xi) + 2

∫ a+π

a

q′(t)

p(t)dt

p(a+ π)

= −q(a) + θp(a+ π)

= y(a) + θp(a) .

Agora da periodicidade de (4.12) e da periodicidade de q′ e p′, obtemos,

y′(a+ π) = y′((a+ π)−)

= q′((a+ π)−) +

∑xi∈(a,a+π)

j(xi)

p′(a+ π) + 2p′(a+ π)

∫ a+π

a

q′(t)

p(t)dt

= q′((a+ π)+) +

∑xi∈(a,a+π]

j(xi) + 2

∫ a+π

a

q′(t)

p(t)dt

p′(a+ π)

= q′(a) + θp′(a) ,

isto e,

y′(a+ π) = y′(a) + θp′(a) . (4.24)

As igualdades (4.23) e (4.24) implica que y(x) pode ser estendida suavemente para

toda a reta pela relacao, y(x+ π) = y(x) + θp(x) e assim o teorema esta provado. 2

4.2 O espectro nao positivo do operador de Hill. 99

4.2 O espectro nao positivo do operador de Hill.

Nesta secao caracterizamos o espectro nao positivo do operador de Hill a partir de

uma autofuncao dada e esta caracterizacao depende desta autofuncao. Seja Q(x) uma

funcao periodica infinitamente diferenciavel, com perıodo minimal π. Seja L o operador

sobre L2per([0, π]) com domınio D(L) = H2

per([0, π]) definido por,

L(y(x)) = −y′′(x) +Q1(x)y(x) (4.25)

onde Q1 = −Q. De acordo com o Teorema da Oscilacao, o espectro do operador de L e

formado por uma sequencia ilimitada de numeros reais,

λ0 < λ1 ≤ λ2 < λ3 ≤ λ4 < ... < λ2n−1 ≤ λ2n...

onde os λ,ns sao as raızes da equacao caracterıstica, que no caso ρ1 = ρ2 = 1 e dada por,

∆(λ) = y1(π, λ) + y′2(π, λ) = 2 (4.26)

e y1(x, λ) e y2(x, λ) sao as solucoes LI da equacao diferencial

−y′′(x) + (Q1(x)− λ)y(x) = 0 (4.27)

determinada pelas condicoes iniciais,

y1(0, λ) = 1, y′1(0, λ) = 0, y2(x, λ) = 0 e y′2(0, λ) = 1 (4.28)

Alem disso, o Teorema da Oscilacao garante que o espectro de L esta relacionado ao

espectro do problema semi-periodico, isto e, o valor de λ tal que (4.27) possui solucoes

nao triviais 2π-periodicas. O espectro semi-periodico e formado por uma sequencia

λ′1, λ′2, λ′3, ... onde os (λ′n)’s sao as raızes da equacao caracterıstica,

∆(λ) = y1(π, λ) + y′2(π, λ) = −2 .

Os autovalores λn e λ′n satisfaz a desigualdade,

λ0 < λ′1 ≤ λ′2 < λ1 ≤ λ2 < λ′3 ≤ λ′4 < λ3 ≤ λ4 < ... .

Portanto a derivada ∆′(λ) para λ = λn e maior ou igual a zero se n e ımpar e menor ou

igual a zero se n e par. Estes fatos ja verificamos no teorema da Oscilacao.

O proximo resultado foi provado por Haupt [31].


Teorema 4.3. Seja y(x, λ) uma solucao periodica real e nao trivial de (2.37) com perıodo

π ou 2π. Se λ = λ′2n+1 ou λ = λ′2n entao y(x, λ) possui exatamente 2n + 1 zeros no

intervalo semi-aberto 0 ≤ x < 2π. Se λ = λ2n−1 ou λ = λ2n, entao y(x, λ) possui

exatamente 2n zeros no intervalo 0 ≤ x < π.

Demonstracao: Ver [38], [24]. 2

O espectro de L e tambem caracterizado pelo numero de zeros das autofuncoes con-

forme veremos no proximo teorema. O Teorema 4.3 nos diz que se p e uma autofuncao

associada ao auto valor λ2n−1 ou λ2n, entao p possui exatamente 2n zeros no intervalo

[0, π).

Veremos agora o principal resultado desta dissertacao o qual nos fornece uma volta

para o Teorema 4.3 em um certo sentido.

Teorema 4.4. Se p(x) e autofuncao de L associada ao autovalor λk, k ≥ 1 e θ e a

constante dada pelo Teorema 4.2, entao λk e simples se, e somente, se θ 6= 0. Alem disso,

se p possui 2n zeros no intervalo semi-aberto [0, π), entao λk = λ2n−1 se θ < 0 e λk = λ2n

se θ > 0.

Demonstracao: Primeira afirmacao.

Usando o Lema 2.71, temos que as raızes λk sao simples ou duplas. Suponha que a

raız λk e simples e que θ = 0. Sendo θ = 0 temos do Teorema 4.2 que toda solucao de

(4.27) e estavel para λ = λk, assim pelo Teorema da Oscilacao a raiz λk e dupla o que e

uma contradicao.

Reciprocamente se para λk temos θ 6= 0, entao pela demonstracao do Teste de Estabi-

lidade, temos que existe uma solucao instavel para (4.27), logo pelo Teorema da Oscilacao

segue que λk e simples.

Segunda afirmacao.

Para mostrarmos a segunda afirmacao, consideremos as funcoes,

ξ(x, λ) =d

dλy1(x, λ), η(x, λ) =

d

dλy2(x, λ)

onde y1(x, λ) e y2(x, λ) sao as solucoes LI de (4.27).

As funcoes ξ(x, λ) e η(x, λ) satisfazem respectivamente as equacoes do sistema,


−ξ(x, λ)′′ + (Q1(x)− λ)ξ(x, λ) = y1(x, λ)

−η(x, λ)′′ + (Q1(x)− λ)η(x, λ) = y2(x, λ)(4.29)

e a condicao inicial homogenea,

ξ(0, λ) = ξ′(0, λ) = η(0, λ) = η′(0, λ) = 0 . (4.30)

Com efeito, como y1(x, λ) e solucao de (4.27) temos,

−ξ(x, λ)′′ + (Q1(x)− λ)ξ(x, λ) = − d2

dx2

(d

dλy1(x, λ)

)+ (Q1(x)− λ)

d

dλy1(x, λ)

= − d

dλ

(d2

dx2y1(x, λ)

)+

d

dλ((Q1(x)− λ)y1(x, λ))

−(d

dλ(Q1(x)− λ)

)y1(x, λ) .

Entao, usando (4.27) temos

−ξ(x, λ)′′ + (Q1(x)− λ)ξ(x, λ) =d

dλ

(− d2

dx2y1(x, λ) + (Q1(x)− λ)y1(x, λ)

)+ y1(x, λ)

=d

dλ(0) + y1(x, λ) = y1(x, λ)

Similarmente,

−η(x, λ)′′ + (Q1(x)− λ)η(x, λ) = − d2

dx2

(d

dλy2(x, λ)

)+ (Q1(x)− λ)

d

dλy2(x, λ)

= − d

dλ

(d2

dx2y2(x, λ)

)+

d

dλ((Q1(x)− λ)y2(x, λ))

−(d

dλ(Q1(x)− λ)

)y2(x, λ)

=d

dλ

(− d2

dx2y2(x, λ) + (Q1(x)− λ)y2(x, λ)

)+ y2(x, λ)

=d

dλ(0) + y2(x, λ) = y2(x, λ)

Em adicao, como y1(0, λ) = 1 ∀λ, temos,

ξ(0, λ) =d

dλy1(0, λ) =

d

dλ(1) = 0


De maneira analoga, encontramos as outras condicoes iniciais em (4.30).

Seja y a solucao de (4.27) linearmente independente com p dada pelo Teorema 4.2.

Observe que p e autofuncao de L associada ao autovalor λk. Deste modo, y e solucao de

(4.27) para λ = λk. De fato, como p e autofuncao associado a λk, entao p e solucao de

(4.27) com λ = λk. Alem disso, no Teorema 4.2 p e y sao solucoes da mesma equacao.

Assim y e solucao para (4.27) com λ = λk.

Sendo y, p um conjunto de solucoes linearmente independentes de (4.27) para λ = λk,

entao existem constantes c1 e c2 tal que y2(x, λk) = c1p(x)+c2y(x) e constantes c3 e c4 tal

que y1(x, λk) = c3p(x) + c4y(x). A fim de encontrar c1 e c2 consideremos os dados iniciais

sobre y1(x, λ) e y2(x, λ) para obtermos o seguinte sistema,0 = y2(0, λk) = c1p(0) + c2y(0)

1 = y′2(0, λk) = c1p′(0) + c2y

′(0)

(4.31)

Por outro lado, usando o Teorema 4.2, temos que o determinante da matriz dos coefi-

cientes e dado por,

det

p(0) y(0)

p′(0) y′(0)

= W (p, y)(0) = 1 .

Logo, usando a Regra de Crammer temos que as solucoes do sistema (4.31) sao,

c1 =

∣∣∣∣∣∣ 0 y(0)

1 y′(0)

∣∣∣∣∣∣1

= −y(0) e c2 =

∣∣∣∣∣∣ p(0) 0

p′(0) 1

∣∣∣∣∣∣1

= p(0) .

Assim,

y2(x, λk) = −y(0)p(x) + p(0)y(x) . (4.32)

Da mesma forma temos que,

y1(x, λk) = y′(0)p(x)− p′(0)y(x) (4.33)

Portanto usando (4.21), (4.32) e (4.33) obtemos,


y1(π, λk) = 1− θp(0)p′(0), y′1(π, λk) = −θ(p′(0))2

y2(π, λk) = θp2(0) e y′2(π, λk) = 1 + θp(0)p′(0)

(4.34)

Com efeito, substituindo as constantes nas suas respectivas equacoes temos,

y1(π, λk) = y′(0)p(π)− p′(0)y(π)

= y′(0)p(0 + π)− p′(0)y(0 + π)

= y′(0)p(0)− p′(0)[y(0) + θp(0)]

= W (p, y)(0)− θp′(0)p(0)

= 1− θp′(0)p(0)

y2(π, λk) = −y(0)p(π) + p(0)y(π)

= −y(0)p(0 + π) + p(0)y(0 + π)

= −y(0)p(0) + p(0)[y(0) + θp(0)]

= θp2(0)

y′1(π, λk) = y′(0)p′(π)− p′(0)y′(π)

= y′(0)p(0 + π)− p′(0)y(0 + π)

= y′(0)p′(0)− p′(0)[y′(0) + θp′(0)]

= −θp′(0)p(0)

y′2(π, λk) = −y(0)p′(π) + p(0)y′(π)

= −y(0)p′(0 + π) + p′(0)y(0 + π)

= −y(0)p′(0) + p(0)[y′(0) + θp′(0)]

= W (p, y)(0) + θp(0)p′(0)

= 1 + θp(0)p′(0) .

Agora, resolvendo o sistema nao homogeneo (4.29) com condicoes iniciais (4.30) e

usando (4.34) para avaliar as solucoes em x = π e λ = λk, obtemos,

ξ(π, λk) = y1(π, λk)

∫ π

0

y2(t)y1(t)dt− y2(π, λk)

∫ π

0

y21(t)dt

= (1− θp(0)p′(0))(y1, y2)L2per− θp2(0)‖y1‖2

L2per


η(π, λk) = y1(π, λk)

∫ π

0

y22(t)dt− y2(π, λk)

∫ π

0

y1(t)y2(t)dt

= (1− θp(0)p′(0))‖y2‖2L2per− θp2(0)(y1, y2)L2

per

ξ′(π, λk) = y′1(π, λk)

∫ π

0

y2(t)y1(t)dt− y′2(π, λk)

∫ π

0

y21(t)dt

= −θ(p′(0))2(y2, y1)L2per− (1 + θp(0)p′(0))‖y1‖2

L2per

η′(π, λk) = y′1(π, λk)

∫ π

0

y22(t)dt− y2(π, λk)

∫ π

0

y1(t)y2(t)dt

= −θ(p′(0))2‖y2‖2L2per− (1 + θp(0)p′(0))(y1, y2)L2

per.

Portanto a derivada ∆′(λ) em λ = λk e dada por,

∆′(λk) = ξ(π, λk) + η′(π, λk)

= (1− θp(0)p′(0))(y1, y2)L2per− θp2(0)‖y1‖2

L2per

−θ(p′(0))2‖y2‖2L2per− (1 + θp(0)p′(0))(y1, y2)L2

per

= −θ[‖y1‖2

L2perp2(0) + 2(y1, y2)L2

perp(0)p′(0) + ‖y2‖2

L2per

(p′(0))2].

Observemos que o termo que aparece multiplicando θ acima e uma forma quadratica

positiva de R2 avaliada em (p(0), p′(0)) e que p(0) e p′(0) nao podem anular-se simultane-

amente. Assim temos,

∆′(λk)θ < 0 . (4.35)

A desigualdade (4.35) nos fornece a prova do teorema, pois se θ < 0, entao ∆′(λk) > 0

e assim λk = λ2n−1 e se θ > 0 entao ∆′(λk) < 0 e assim λk = λ2n. A Figura 4.3 ilustra

melhor este fato.


Figura 4.3:

Como θ 6= 0 nao ha risco de algum λk ser raız dupla da equacao caracterıstica.

2

Observacao 4.5. Se p possui 2n zeros em [0, π) e θ < 0, entao λk = λ2n−1 e nao apenas

um λ da forma λ2m−1 com m nao necessariamente sendo n. De fato, suponha que λk e

algum λ da forma λ2m−1 com m 6= n. Note que θ 6= 0 implica que λ2m−1 e simples e assim

dimAut(λ2m−1) = 1. Por outro lado, se λ2m−1 e autovalor associado a outra autofuncao,

digamos f , temos pelo Teorema 4.3 que f possui 2m zeros no intervalo [0, π). Portanto

f = cp e assim p tambem possui 2m zeros em [0, π), o que e uma contradicao.

Capıtulo 5

Estabilidade Orbital

Neste capıtulo, temos como objetivo obter alguns resultados de estabilidade no sentido

orbital de solucoes ondas viajantes periodicas para equacoes do tipo KdV. Isto e, equacoes

da forma

ut + upux + uxxx = 0 , (5.1)

onde u : R × R −→ R e periodica de perıodo L no espaco, p ≥ 1, p ∈ N . A equacao

(5.1) admite solucoes ondas viajantes da forma

u(x, t) = ϕc(x− ct) , (5.2)

onde ϕc e uma funcao suave e periodica com perıodo L. Consideraremos aqui somente

os casos p = 1 e p = 2, os quais consistem nas equacoes de Korteweg-de Vries (KdV) e

modificada Korteweg-de Vries (mKdV). Para o caso p = 4, ver Angulo e Natali em [3] .

Para os outros casos nao e conhecido uma teoria de existencia e estabilidade.

Substituindo u(x, t) = ϕc(x− ct) em (5.1) temos,

(ϕc(x− ct))t + (ϕc(x− ct))p(ϕc(x− ct))x + (ϕc(x− ct))xxx = 0 ,

isto e,

−cϕ′c + ϕpcϕ′c + ϕ′′′c = 0.

Agora usando o fato qued

dx

(1

p+ 1ϕp+1c

)= ϕpcϕ

′c e integrando de γ0 a γ temos,

−c∫ γ

γ0

d

dxϕcdx+

∫ γ

γ0

d

dx

(1

p+ 1ϕp+1c

)dx+

∫ γ

γ0

d

dxϕ′′cdx = 0 ,

ou seja,

−cϕc(γ) +1

p+ 1ϕp+1c (γ) + ϕ′′c (γ) = Aϕc. (5.3)

Escolhendo Aϕc ≡ 0, obtemos a equacao que determina as ondas viajantes periodicas para

a equacao (5.1), (− d2

dx2+ c

)ϕc −

1

p+ 1ϕp+1c = 0. (5.4)

Estabilidade Orbital 107

Associado com (5.4), consideramos o operador linear autoadjunto, fechado e ilimitado

Lc : D(Lc) −→ L2per([0, L]) definido em um subespaco denso de L2

per([0, L]) por

Lc(y) = −y′′ + (c− ϕpc)y . (5.5)

Conforme vimos na Proposicao 1.23 e no Teorema da Oscilacao 2.11, o espectro do

operador Lc e um conjunto infinito e enumeravel de autovalores, λn, com

λ0 < λ1 ≤ λ2 < λ3 ≤ λ4 < · · · < λ2n−1 ≤ λ2n < · · ·,

e λk −→∞ quando k −→∞.

Definicao 5.1. Seja ϕ uma solucao onda viajante periodica com perıodo L da equacao,(− d2

dx2+ c

)ϕ− 1

p+ 1ϕp+1 = 0

e considere τrϕ(x) = ϕ(x + r), x ∈ R e r ∈ R. Definimos o conjunto Ωϕ ⊂ H1per([0, L]),

a orbita gerada por ϕ, como sendo,

Ωϕ = g ; g = τrϕ, para algum r ∈ R

e para qualquer η > 0 defina o conjunto Uη ⊂ H1per([0, L]) por

Uη =

f ; inf

g∈Ωϕ‖f − g‖H1

per< η

.

Com esta terminologia, dizemos que ϕ e orbitalmente estavel em H1per([0, L]) pelo fluxo

gerado pela equacao (5.1) se,

(i) Existe s0 tal que Hs0per([0, L]) ⊂ H1

per([0, L]) e o problema de valor inicial associado

a (5.1) e globalmente bem posto em Hs0per([0, L]).

(ii) Para cada ε > 0, existe um δ > 0 tal que para cada u0 ∈ Uδ ∩Hs0per([0, L]), a solucao

de (5.1) com u(0, x) = u0(x) satisfaz u(t) ∈ Uε para todo t ∈ R.

O teorema que segue, garante o item (i) da definicao de estabilidade.

Teorema 5.2 (Boa colocacao para KdV e mKdV). Seja s ≥ 1. Para cada u0 ∈ Hsper([0, L])

existe uma unica solucao de (5.1) tal que para T > 0, pertence a C([0, T ];Hsper([0, L])).


Alem disso, a correspondencia u0 7−→ u e uma funcao analıtica entre espacos de funcoes

adequados. Tem-se ainda as quantidades conservadas,

E(u) =

∫ L

0

(u2x

2− up+2

(p+ 1)(p+ 2)

)dx = E(u0)

F(u) =1

2

∫ L

0

u2(x)dx = F(u0) .


Neste contexto, conforme as referencias [16], [17], [29] e [49] as condicoes que implicam

estabilidade no sentido orbital de solucoes ondas viajantes periodicas para a equacao (5.1)

sao,

(P0) Existe uma curva suave nao trivial de solucoes periodicas para (5.4)

da forma c ∈ J ⊂ R −→ ϕc ∈ Hnper([0, L])∀ n ∈ N . Onde J e um

intervalo a ser determinado;

(P1) O operador linearizado Lc possui um unico autovalor negativo o qual

e simples .

(P2) O autovalor 0 e simples e esta associado com a autofuncao ϕ′c .

(P3)d

dc

∫ π

0

ϕ2c(x)dx > 0.

(5.6)

Seguindo as ideias de Grillakis M., Shatah J. e Strauss W. em [28], pode-se provar o

seguinte resultado.

Teorema 5.3. Seja ϕc uma solucao onda viajante periodica de (5.4) e suponha que a parte

(i) da definicao de estabilidade ocorre. Suponha tambem que as propriedades (P1) e (P2)

em (5.6) sejam satisfeitas. Escolha χ ∈ L2per tal que Lχ = ϕc, e defina I = (χ, ϕc)L2

per.

Se I < 0, entao ϕc e estavel.

Observacao 5.4. Se mostrarmos a condicao (P0) em (5.6) temos que χ pode ser escolhido

como sendo χ = − ∂

∂cϕc. Desta forma, temos que

I < 0 ⇔ d

dc

∫ L

0

ϕ2c(x)dx > 0 . (5.7)


O proximo passo e estabelecer uma proposicao que diz que a funcao ϕc dada em (5.2)

e ponto critico do funcional G := E + cF onde E e F sao definidos por,

E(ν) =

∫ π

0

(ν2x

2− νp+2

(p+ 1)(p+ 2)

)dx e F(ν) =

1

2

∫ π

0

ν2dx . (5.8)

Alem disso, o operador Lc pode ser caracterizado como sendo,

Lc(y) = G ′′(ϕ)(y) = E ′′(ϕ)(y) + cF ′′(ϕ)(y) . (5.9)

Proposicao 5.5. Seja o funcional G := E + cF : H1per([0, L]) −→ R, onde E e F sao

definidos em (5.8). Entao a solucao onda viajante periodica ϕc e ponto crıtico desse

funcional e Lc e caracterizado como sendo (5.9).

Demonstracao: Inicialmente mostramos que o funcional G : H1per([0, L]) −→ R e duas

vezes diferenciavel e que suas derivadas primeira e segunda sao dadas por,

G ′(ν) = −ν ′′ + cν − νp+1

p+ 1

e

G ′′(ν)(y) = −y′′ + cy − νpy ,

respectivamente. Com efeito, seja o funcional

E : H1per([0, L]) −→ R

ν 7−→ E(ν) =

∫ L

0

(ν2x

2− νp+2

(p+ 1)(p+ 2)

)dx .

Sabemos que E e Gateaux diferenciavel se existe f ∈ B(H1per([0, L]),R

)=(H1per([0, L])

)′tal que o limite abaixo existe e

limt→0

1

t

[E(ν + th)− E(ν)− 〈f, th〉H−1

per,H1per

]= 0, ∀h ∈ H1

per([0, L]).

Alem disso a derivada de Gateaux de E e dada por E ′(ν) = f . Deste modo, definindo

ϑE = limt→0

1

t

[E(ν + th)− E(ν)− 〈f, th〉H−1

per,H1per

],

temos,

ϑE = limt→0

1

t

[E(ν + th)− E(ν)− 〈f, th〉H−1

per,H1per

]

= limt→0

1

t

[∫ L

0

((νx + thx)

2

2− (ν + th)p+2

(p+ 1)(p+ 2)− ν2

x

2+

νp+2

(p+ 1)(p+ 2)

)− 〈f, th〉H−1

per,H1per

].


Logo,

ϑE = limt→0

1

t

[∫ L

0

(ν2x

2+ νxthx +

t2h2x

2−

(p+2

0

)νp+2

(p+ 1)(p+ 2)−(p+2

1

)νp+1th

(p+ 1)(p+ 2)

−(p+2

2

)νpt2h2

2(p+ 2)− · · · −

(p+2p

)ν2tphp

(p+ 1)(p+ 2)−(p+2p+1

)νtp+1hp+1

(p+ 1)(p+ 2)−(p+2p+2

)tp+2hp+2

(p+ 1)(p+ 2)

−ν2x

2+

νp+2

(p+ 1)(p+ 2)

)− 〈f, th〉H−1

per,H1per

],

ou seja,

ϑE = limt→0

[∫ L

0

(νxhx +

1

2th2x −

(p+2

1

)νp+1h

(p+ 1)(p+ 2)−

(p+2

2

)νpth2

(p+ 1)(p+ 2)− . . .−

(p+2p

)ν2tp−1hp

(p+ 1)(p+ 2)

−(p+2p+1

)νtphp+1

(p+ 1)(p+ 2)−(p+2p+2

)tp+1hp+2

(p+ 1)(p+ 2)

)dx− 〈f, h〉H−1

per,H1per

].

Assim, usando o Teorema da Convergencia Dominada de Lebesgue temos,

ϑE =

∫ L

0

(νxhx −

νp+1h

(p+ 1)

)dx− 〈f, h〉H−1

per,H1per. (5.10)

Agora, integrando (5.10) por partes e usando o fato de ν ser periodica encontramos que,

ϑE =

⟨−νxx −

νp+1

p+ 1, h

⟩H−1per,H1

per

− 〈f, h〉H−1per,H1

per.

Com isto, se tomarmos f = −νxx−νp+1

p+ 1∈ H−1

per([0, L]), pela arbitrariedade de h teremos

que o limite acima existira e sera zero. Portanto

E ′(ν) = −ν ′′ − νp+1

p+ 1.

Do mesmo modo, definindo

ϑF = limt→0

1

t

[F(ν + th)−F(ν)− 〈g, th〉H−1

per,H1per

],

temos,

ϑF = limt→0

1

t

[F(ν + th)−F(ν)− 〈g, th〉H−1

per,H1per

]

= limt→0

1

t

[∫ L

0

(1

2(ν + th)2 − ν2

2

)dx− 〈g, th〉H−1

per,H1per

],


ou seja,

ϑF = limt→0

1

t

[∫ L

0

(1

2(ν)2 + tνh+

t2h2

2− ν2

2

)dx− 〈g, th〉H−1

per,H1per

]

= limt→0

[∫ L

0

(νh+

th2

2

)dx

]− 〈g, h〉H−1

per,H1per.

Usando novamente o Teorema da Convergencia Dominada de Lebesgue temos,

ϑF =

∫ L

0

(νh) dx− 〈g, h〉H−1per,H1

per

= 〈ν, h〉H−1per,H1

per− 〈g, h〉H−1

per,H1per.

Logo basta considerarmos g = ν que o limite acima existira e sera zero. Disto segue que,

F ′(ν) = g = ν.

Portanto o funcional G e Gateaux diferenciavel e como ele e contınuo temos que F e

Frechet diferenciavel e a derivada de Frechet de G e,

G ′(ν) = E ′(ν) + cF ′(ν) = −ν ′′ + cν − νp+1

p+ 1. (5.11)

Podemos finalmente, verificar que ϕc e ponto crıtico do funcional G. De fato, usando

que ϕc e solucao de (5.4) e (5.11) temos,

G ′(ϕc) = −ϕ′′c + cϕc −ϕp+1c

p+ 1= 0 ,

isto e ϕc e ponto crıtico do funcional G.

Com o intuito de obter Lc ≡ G ′′(ϕ), analisemos a diferenciabilidade do operador

G ′ : H1per([0, L]) −→ H−1

per([0, L]). Sabemos que,

E ′ : H1per([0, L]) −→ H−1

per[(0, L)]

υ 7−→ E ′(υ) = −υ′′ − υp+1

p+ 1: H1

per([0, L]) −→ R

h 7−→ E ′(υ)(h) .

Se existe

f ∈ B(H1per([0, L]);H−1

per([0, L]))

= X ,

tal que o limite

limt→0

1

t[E ′(ϕ+ th)− E ′(ϕ)]− f(h) ,


existe e e zero para todo h ∈ H1per([0, L]), entao E ′ e Gateaux diferenciavel e a derivada

de Gateaux de E ′ em υ e dada por E ′′(υ) ≡ f , onde E ′′(υ)(h) = f(h)∀h ∈ H1per([0, L]).

Neste caso, definindo

ϑE = limt→0

1

t[E ′(ϕ+ th)−E ′(ϕ)]−f(h)

temos,

ϑE = limt→0

1

t[E ′(υ + th)− E ′(υ)]− f(h)

= limt→0

1

t

[−(υ + th)′′ − (υ + th)p+1

p+ 1+ υ′′ +

υp+1

p+ 1

]− f(h) ,

isto e,

ϑE = limt→0

1

t

[−υ′′ − th′′ −

(p+1

0

)υp+1

p+ 1−(p+1

1

)υpth

p+ 1−(p+1

2

)υp−1t2h2

p+ 1− · · · −

(p+1p

)υtphp

p+ 1

−(p+1p+1

)tp+1hp+1

p+ 1+ υ′′ +

υp+1

p+ 1

]− f(h)

= limt→0

[−h′′ − hυp −

(p+1

2

)υp−1th2

p+ 1− · · · −

(p+1p+1

)tphp+1

p+ 1

]− f(h)

= −h′′ − hυp − f(h) .

Como − d2

dx2− υp ∈ B

(H1per([0, L]);H−1

per([0, L])), basta considerar,

f =

(− d2

dx2− υp

)∈ B

(H1per([0, L]);H−1

per([0, L]))

que o limite ϑE existira e sera zero. Alem disso,

E ′′(υ) ≡(− d2

dx2− υp

)e E ′′(υ)(y) = −y′′ − υpy.

Encontremos agora a derivada de Gateaux de,

F ′ : H1per([0, L]) −→ H1

per([0, L])

υ 7−→ F ′(υ) = υ .

5.1 Estabilidade de solucoes ondas viajantes periodicas para a equacao KdV. 113

Observe que,

limt→0

1

t[F ′(υ + th)−F ′(υ)]− g(h) = lim

t→0

1

t[υ + th− υ]− g(h)

= limt→0

1

t

[th]− g(h)

= Id(h)− g(h) .

Assim quando g ≡ Id : H1per([0, L]) −→ H1

per([0, L]) temos que,

limt→0

1

t[F ′(υ + th)−F ′(υ)]− g(h) = 0 .

Daı, F ′′(ϕ) = Id e F ′′(ϕ)(y) = y. Logo, G ′′(υ) = E ′′(υ) + cF ′′(υ) = − ∂2

∂x2+ c− υp. Como

E ′′(ϕ) + cF ′′(ϕ) e contınua, temos Frechet diferenciabilidade.

Portanto, a derivada de Frechet de G ′ no ponto υ = ϕ e dada por,

G ′′(ϕ) = − d2

dx2+ c− ϕp = Lc ,

como querıamos. Com isso a prova da proposicao esta completa. 2

5.1 Estabilidade de solucoes ondas viajantes periodicas

para a equacao KdV.

Nesta secao temos como objetivo obter a estabilidade no sentido orbital de solucoes

ondas viajantes periodicas para equacao de Korteweg-de Vries (KdV) dada em (5.5) para

p = 1. Isto e,

ut + uux + uxxx = 0 , (5.12)

onde u : R x R −→ R e periodica de perıodo L na variavel x.

Na primeira subsecao garantimos que a propriedade (P0) em (5.6) ocorre, isto e, que

existe uma curva suave de solucoes ondas periodicas de perıodo L para (5.4) com p = 1.

Em seguida, na segunda subsecao faremos o uso do Teorema 4.4 que caracteriza o espectro

nao positivo de Lc dado em (5.5) para garantir as propriedades (P1) e (P2) em (5.6).

Finalmente, na ultima subsecao provamos que o valor de I definido no Teorema 5.3 e

negativo e assim todas as hipoteses do Teorema 5.3 estao satisfeitas, o que nos permite

concluir a estabilidade neste caso.


5.1.1 Existencia de curva de solucoes ondas periodicas para KdV.

Construiremos agora uma curva suave de ondas periodicas com perıodo L da forma

u(x, t) = ϕc(x − ct) que sao solucoes de (5.4) no caso p = 1. Observe que multiplicando

(5.4) (caso p = 1) por ϕ′ temos,

−cϕcϕ′c +1

2ϕ2cϕ′c + ϕ′′cϕ

′c = 0.

Integrando esta ultima equacao de a a γ temos,∫ γ

a

(−cϕc(x)ϕ′c(x) +

1

2ϕ2c(x)ϕ′c(x) + ϕ′c(x)ϕ′′c (x)

)dx = 0 ,

isto e, ∫ γ

a

(− c

2

d

dxϕ2c(x) +

1

2

1

3

d

dxϕ3c(x) +

1

2

d

dx(ϕ′c(x))2

)dx = 0 .

Portanto,(ϕ′c)

2

2= −1

6ϕ3c +

c

2ϕ2c +Bϕc

o qual pode ser escrito no forma,

(ϕ′c)2 =

1

3P (ϕc) , (5.13)

onde P (t) = −t3 + 3ct2 + 6Bϕc .

Agora para um c > 0 fixado, explicitaremos uma solucao periodica, positiva e nao

constante ϕc para (5.13) utilizando o metodo da quadratura. Se P (t) possui somente uma

raiz real β, entao temos solucoes ilimitadas, o que nao nos fornece solucoes periodicas. A

Figura 5.1 ilustra isto.

Figura 5.1:


Portanto P (t) deve possuir tres raızes reais, digamos β1 < β2 < β3. Logo, P (t) assume

a forma,

P (t) = (t− β1)(t− β2)(β3 − t) , (5.14)

onde o sinal de menos esta incorporado no terceiro fator. Desenvolvendo (5.14) obtemos,

P (t) = (t2 − tβ2 − tβ1 + β1β2)(β3 − t)

= −t3 + t2(β3 + β2 + β1) + t(−β2β3 − β1β3 − β1β2) + β1β2β3 .

Assim temos o sistema, β3 + β2 + β1 = 3c

β2β3 + β1β3 + β1β2 = 0

β1β2β3 = 6Bϕc .

(5.15)

Como procuramos solucoes positivas e periodicas para (5.13), escolhemos β2, β3 tal que

0 < β2 < β3. Veremos adiante (pagina 121), que se β2 = 0 entao ha solucao ϕc para (5.13)

com “perıodo infinito”.

Observacao 5.6. Nesta dissertacao escolhemos trabalhar com solucoes positivas para

facilitar a construcao de uma curva suave de solucoes como veremos adiante. A teoria

desenvolvida no Capıtulo 4 pode ser aplicada em solucoes que mudam de sinal ou sao

negativas (caso existam).

O grafico de P (t) deve assumir a forma dada na Figura 6.1.

Figura 5.2:

Logo, a solucao ϕc que procuramos deve assumir valores no intervalo [β2, β3]. Como


β3 > 0, podemos normalizar ϕc colocando ρ =ϕcβ3

tal que (5.13) torna-se,

(ρ′)2 =1

3β3

(β3ρ− β1

β3

)(β3ρ− β2

β3

)(1− ρ) ,

isto e,

(ρ′)2 =β3

3(ρ− η1)(ρ− η2)(1− ρ) , (5.16)

onde ηi =βiβ3

, i = 1, 2. Note que a variavel ρ mora no intervalo (η2, 1). Com o intuito de

explicitar uma solucao para (5.13) vamos fazer uma mudanca de variaveis pondo-se,

ρ = 1 + (η2 − 1) sin2(ψ) , (5.17)

com ψ(0) = 0 e ψ contınua. Substituindo ρ em (5.16) temos,[(1 + (η2 − 1) sin2(ψ))′

]2=β3

3[1 + (η2 − 1) sin2(ψ)

−η1][1 + (η2 − 1) sin2(ψ)− η2][−(η2 − 1) sin2(ψ)]

assim,

[2(η2 − 1) sin(ψ) cos(ψ)ψ′]2

=β3

3[1 + (η2 − 1) sin2(ψ)

−η1][1 + (η2 − 1) sin2(ψ)− η2][−(η2 − 1) sin2(ψ)] ,

ou seja,

[2(η2 − 1) sin(ψ) cos(ψ)ψ′]2

=β3

3(1− η1)[1 + (η2 − 1) sin2(ψ)− η2][−(η2 − 1) sin2(ψ)]

+β3

3[(η2 − 1) sin2(ψ)][1 + (η2 − 1) sin2(ψ)

−η2][−(η2 − 1) sin2(ψ)] .

(5.18)

Como ρ ∈ (0, 1), segue de (5.17) que (η2 − 1) sin2(ψ) 6= 0 e cos2(ψ) 6= 0. Logo

(η2 − 1) sin2(ψ) cos2(ψ) 6= 0. Assim podemos isolar (ψ′)2 em (5.18) e obter,

(ψ′)2

=β3

12(1− η1)

[1 + (η2 − 1) sin2(ψ)− η2

(η2 − 1)2 sin2(ψ)(1− sin2(ψ))

]

+β3

12

[((η2 − 1) sin2(ψ))(1 + (η2 − 1) sin2(ψ)− η2)(−(η2 − 1) sin2(ψ))

(η2 − 1)2 sin2(ψ)(1− sin2(ψ))

],


isto e,

(ψ′)2

=β3

12(1− η1)

[1 + (η2 − 1) sin2(ψ)− η2

(η2 − 1)2 sin2(ψ)(1− sin2(ψ))

− ((η2 − 1) sin2(ψ))(1 + (η2 − 1) sin2(ψ)− η2)((η2 − 1) sin2(ψ))

((1− η1)(η2 − 1)2 sin2(ψ)(1− sin2(ψ))

],

=β3

12(1− η1)

[(−(1− η2)(η2 − 1) sin2(ψ)

(η2 − 1)2 sin2(ψ)(1− sin2(ψ))− (η2 − 1) sin2(ψ)(η2 − 1) sin2(ψ)

(η2 − 1)2 sin2(ψ)(1− sin2(ψ))

)

−(

(1− η2) sin2(ψ)

(1− η1)(1− sin2(ψ))+

(η2 − 1) sin2(ψ) sin2(ψ)

(1− η1)(1− sin2(ψ))

)].

Logo, (ψ′)2 assume a seguinte forma,

(ψ′)2 =β3

12(1− η1)

[(1

1− sin2(ψ)− sin2(ψ)

1− sin2(ψ)

)

− (1− η2)

(1− η1)

(sin2(ψ)

1− sin2(ψ)− sin2(ψ) sin2(ψ)

1− sin2(ψ)

)],

isto e,

(ψ′)2 =β3

12(1− η1)

[1− 1− η2

1− η1

sin2(ψ)

]com ψ(0) = 0 e 0 ≤ ψ ≤ π

2. Definindo

k2 =1− η2

1− η1

e λ =β3

12(1− η1) , (5.19)

obtemos,

(ψ′)2 = λ(1− k2 sin2(ψ)) . (5.20)

Como k2 =1− η1

1− η2

=β3 − β2

β3 − β1

, β1 < β2 < β3 e 0 < β2 < β3, temos que 0 < k2 < 1.

Alem disso, λ =β3

12(1 − η2) =

β3 − β1

12e β1 < β2 < β3 implica que λ > 0. Deste

modo podemos reescrever (5.20) da forma,

1 =ψ′

√λ√

1− k2 sin2(ψ). (5.21)

Integrando (5.21) de 0 a z, encontramos que,∫ z

0

1 ds =1√λ

∫ z

0

ψ′√1− k2 sin2(ψ)

ds ,


e usando mudanca de variaveis obtemos,

F (ψ, k) =√λz =

∫ ψ

0

dψ√1− k2 sin2(ψ)

. (5.22)

O lado direito de (5.22) e justamente uma integral elıptica de primeiro tipo, assim

pelas propriedades de funcoes elıpticas (ver secao 1.3) temos,

sinψ = sn(√λz; k) . (5.23)

Substituindo (5.23) em (5.17), encontramos

ρ = 1 + (η2 − 1)sn2(√λz; k) .

Como sn2 + cn2 = 1 temos,

ρ = η2 + (1− η2)cn2(√λz; k) .

Portanto da definicao de ρ, de λ e de ηi, i = 1, 2 encontramos que,

ϕc = β3

[β2

β3

+

(1− β2

β3

)cn2

(√β3

12

(1− β1

β3

)z; k

)].

E finalmente,

ϕc = β2 + (β3 − β2)cn2

(√β3 − β1

12z; k

)(5.24)

e uma solucao explıcita para (5.13).

Vamos analisar agora o perıodo fundamental da solucao encontrada ϕc. Como cn2

possui perıodo real fundamental 2K, onde K = K(k) representa a integral elıptica com-

pleta de primeiro tipo, segue que a solucao onda cnoidal ϕc em (5.24) possui perıodo

fundamental Tϕc dado por,

Tϕc =4√

3√β3 − β1

K(k) . (5.25)

De fato,

ϕc

(z +

4√

3√β3 − β1

K; k

)= β2 + (β3 − β2)cn2

(√β3 − β1

2√

3

(z +

4√

3√β3 − β1

K

); k

),

= β2 + (β3 − β2)cn2

(√β3 − β1

2√

3z + 2K; k

)

= β2 + (β3 − β2)cn2

(√β3 − β1

2√

3z; k

)

= ϕc(z; k) .


Podemos observar que o perıodo fundamental da solucao ϕc para um c fixado depende

de k, β3 e β1. Entao usaremos (5.19) e o sistema (5.15) para encontrar algumas pro-

priedades do perıodo fundamental Tϕc como por exemplo que Tϕc >2√

3π√3c

para um c > 0

fixado.

Da primeira equacao de (5.15) e de (5.19) temos que,

k2 =β3 − β2

β3 − β1

=β3 − β2

β3 − (3c− β2 − β3)=

β3 − β2

2β3 + β2 − 3c. (5.26)

Por outro lado, como estamos considerando 0 < β2 < β3, temos da segunda equacao de

(5.15) que,

β1 = − β2β3

β2 + β3

. (5.27)

Substituindo (5.27) na segunda equacao de (5.15) temos,

− β2β3

β2 + β3

+ β2 + β3 = 3c ,

isto e,

β23 + β3(β2 − 3c) + (β2

2 − 3cβ2) = 0 . (5.28)

Resolvendo esta equacao em funcao de β3 encontramos que,

β3 = β3(β2) =3c− β2 +

√(β2 − 3c)2 − 4(β2

2 − 3cβ2)

2. (5.29)

Note que consideramos o caso + pois β3 > 0, do contrario, podemos ter c = β2 e

teremos β3 = c(1−√

3) < 0 o que e uma contradicao.

A fim de simplificar nossa notacao definiremos a seguinte funcao,

∆c(x) = (x− 3c)2 − 4(x2 − 3cx) .

Deste modo β3(β2) =3c− β2 +

√∆c(β2)

2e 2β3 + β2 − 3c =

√∆c(β2). Com esta

terminologia temos de (5.26) que,

k2 =(3c− β2 +

√∆c(β2))− β2

2(2β3 + β2 − 3c)=

3c− 3β2 +√

∆c(β2)

2√

∆c(β2),

ou seja,

k2 =3(c− β2) +

√∆c(β2)

2√

∆c(β2). (5.30)

Ademais, como estamos considerando 0 < β2 < β3 com β3 real temos que ∆c(β2) ≥ 0,

mais precisamente ∆c(β2) = −3β22 +6cβ2+9c2 ≥ 0. As raızes de ∆c(β2) sao −c e 3c, porem


Figura 5.3:

elas nao sao atingidas ja que β2 > 0 e β3 6= 0. A Figura 5.3 ilustra o comportamento de

∆c(β2).

Como podemos ver ∆(β2) ≥ 0 e a expressao para β3(β2) implica que 0 < β2 < 3c.

Porem quando β2 = 2c temos que, β3(2c) =3c− 2c+

√∆c(2c)

2= 2c, mas isto nao pode

ocorrer pois estamos considerando 0 < β2 < β3. Assim β3(β2) =3c− β2 +

√∆c(β2)

2e

representado graficamente pela Figura 5.4.

Figura 5.4:

Pelo fato de β2 ∈ (0, 2c)∪ (2c, 3c), segue que β2 ∈ (0, 2c)∪ (2c, 3c). Porem se β3 < 2c,


entao β2 > 2c > β3 o que contraria 0 < β2 < β3. Daı, 2c < β3 < 3c e consequentemente

0 < β2 < 2c. Portanto temos a relacao,

0 < β2 < 2c < β3 < 3c . (5.31)

Agora de (5.30) temos que,

k(β2) −→ 1− quando β2 −→ 0 (5.32)

e

k(β2) −→ 0+ quando β2 −→ 2c. (5.33)

Logo, usando (5.32) temos K(k(β2)) −→ +∞ e consequentemente,

Tϕc(β2) =4√

3

[∆c(β2)]14

K −→ +∞ ,

quando β2 −→ 0. Ademais de (5.33) segue que, K(k(β2)) −→ π

2e consequentemente,

Tϕc(β2) =4√

3

[∆c(β2)]14

K −→ 4√

3√3c

π

2=

2√

3π√3c

quando β2 −→ 2c.

Conforme afirmamos na pagina 115, se β2 = 0 entao temos solucao ϕc para (5.13)

com “perıodo infinito”. De fato, vimos acima que o perıodo fundamental, Tϕc −→ +∞

quando β2 −→ 0+. Ademais, se β2 −→ 0+ entao k −→ 1− e neste caso,

limk→1−

cn(u; k) = sech(u) ,

deste modo, ϕc vem dada por,

ϕc(x) = 3c sech2

(√c

2x

).

Veremos no proximo teorema que Tϕc em funcao de β2 e uma funcao estritamente

decrescente e assim o perıodo fundamental Tϕc de ϕc deve satisfazer,

Tϕc >2√

3π√3c

para c fixado. A Figura 5.5 ilustra o comportamento do perıodo fundamental Tϕc(β2).

Mostremos agora, que existe para um perıodo L > 0 fixado, uma curva suave de

solucoes ondas cnoidais para a equacao 5.13.


Figura 5.5:

Inicialmente, verifiquemos que existe uma famılia de solucoes ondas cnoidais com

um perıodo fixado. De fato, seja L > 0 e c > 0 tal que, c >4π2

L2. Conforme vimos

anteriormente, a funcao β2 ∈ (0, 2c) 7−→ Tϕc(β2) e estritamente decrescente, assim existe

um unico β2 = β2(c) ∈ (0, 2c) tal que o perıodo fundamental da onda cnoidal ϕc sera

Tϕc(β2(c)) = L. Isto nos garante que existe uma famılia de ondas cnoidais de perıodo L

fixado.

O proximo teorema, garante que existe a curva suave de solucoes ondas cnoidais para

a equacao 5.13.

Teorema 5.7. Seja L > 0 arbitrario mas fixado. Considere c0 >4π2

L2e o unico

β20 = β2(c0) ∈ (0, 2c0) tal que Tϕc0 = L. Entao,

(1) Existe um intervalo J(c0) com c0 em seu interior, um intervalo B(β20) com β20 em

seu interior e uma unica funcao Λ(c0) = β20 e

Tϕc(β2) =4√

3

(∆c(β2))14

K(k) = L (5.34)

onde c ∈ J(c0), β2 = Λ(c) e k2 = k2(c) ∈ (0, 1) e definido por (5.30).

(2) A solucao onda cnoidal em (5.24), determinada por β1(c), β2(c), β3(c), possui

perıodo fundamental L e satisfaz (5.13). Alem disso a aplicacao

c ∈ J(c0) 7−→ ϕc ∈ Hnper([0, L]), n ∈ N


e uma funcao suave.

(3) J(c0) pode ser escolhido como

(4π2

L2,+∞

).

Demonstracao: A ideia da demonstracao e aplicar o Teorema da Funcao Implıcita.

Com efeito, considere o conjunto aberto Ω =

(β2, c); c >

4π2

L2, β2 ∈ (0, 2c)

⊆ R2 e

defina Ψ : Ω −→ R por,

Ψ(β, c) =4√

3

∆c(β2)14

K(k(β2, c))

onde k2(β2, c) =3c− 3β2 +

√∆c(β2)

2√

∆c(β2), ∆c(β2) = (β2 − 3c)2 − 4(β2

2 − 3cβ2) e

d∆c

dβ2

= −6β2 + 6c.

No que segue mostramos que,

dΨ

dβ2

(β2, c) > 0. (5.35)

Observe quedΨ

dβ2

(β2, c) =−6(c− β2)

√3

∆54c (β2)

K(k) +4√

3

∆14c (β2)

dK

dk

dk

dβ2

.

Agora diferenciando k2(β2, c) com respeito a β2 temos,

2kdk

dβ2

=−6√

∆c(β2) + (6c− 6β2)−∆− 1

2c (β2)(6c− 6β2)(3c− 3β +

√∆c(β2))

4∆c(β2)

isto e,

dk

dβ2

=−6√

∆c(β2) + (6c− 6β2)−∆− 1

2c (β2)(6c− 6β2)(3c− 3β2 +

√∆c(β2))

8k∆c(β2)(5.36)

Denotando o numerador do lado direito de (5.36) por σ, temos

σ =−6√

∆c(β2)+6c−6β2−∆− 1

2c (β2)(18c2−18cβ2+6c

√∆c(β2)

−18cβ2+18β22−6β

√∆c(β2))

= −6√

∆c(β2)− 18c2∆− 1

2c (β2) + 36cβ2∆

− 12

c (β2)− 18β22∆− 1

2c (β2)

= −(6√

∆c(β2) + 18∆− 1

2c (β2)(β2 − c)2) .


Entao (5.36) pode ser reescrito da forma,

dk

dβ2

= −(6√

∆c(β2) + 18∆− 1

2c (β2)(β2 − c)2)

8k∆c(β2)< 0 . (5.37)

Usando (5.37) e a relacao,

dK

dx(x) =

E(x)− (1− x2)K(x)

x(1− x2), ∀x ∈ (0, 1),

onde E e a integral elıptica de segundo tipo, temos a seguinte equivalencia,

dΨ

dβ2

(β2, c) > 0 ⇔ [k2(1− k2)− k4(1− k2) + 2(1− k2) + 2(1− k2)2(1− k2)

+2k2(1− k2)]K −

[2((1− k2)2 + k2)

]E < 0 .

(5.38)

De fato,

dΨ

dβ2

(β2, c) =2(3c− 3β2)

√3

−∆54c (β2)

K(k) +4√

3

∆14c (β2)

[E(k)− (1− k2)K(k)

x(1− k2)

]dk

dβ2

=k(1− k2)∆

14c (β2)(3c− 3β)2

√3K + ∆

54c (β2)4

√3(− dkdβ2

)(E − (1− k2)K)

−∆32c (β2)k(1− k2)

.

Logo usando (5.30) vemos que,

dΨ

dβ2

(β2, c) =k(1− k2)∆

14c (β2)(2∆

12c (β2)k2 −∆

12c (β2))2

√3K

−∆c(β2)32k(1− k2)

+∆

54c (β2)4

√3(− dkdβ2

)(E−(1−k2)K)

−∆c(β2)32k(1− k2)

,

ou seja,

dΨ

dβ2

(β2, c) =k(1− k2)∆

34c (β2)(2k2 − 1)2

√3K + ∆

34c (β2)∆

12c (β2)4

√3(− dkdβ2

)(E−(1−k2)K)

−∆32c (β2)k(1− k2)

=k(1− k2)(2k2 − 1)2

√3K + ∆

12c (β2)4

√3(− dkdβ2

)(E−(1−k2)K)

−∆12c (β2)k(1− k2)

=−2√

3

∆12c (β2)k(1− k2)

[k(1− k2)(2k2 − 1)K − 2∆

12c (β2)

(dk

dβ2

)(E − (1− k2)K)

]

=2√

3

∆12c (β2)k(1− k2)

[k(1− k2)(1− 2k2)K + 2∆

12c (β2)

(dk

dβ2

)(E − (1− k2)K)

].


Denotando Γ =

[k(1− k2)(1− 2k2)K + 2∆

12c (β2)

(dk

dβ2

)(E − (1− k2)K)

]temos,

dΨ

dβ2

(β2, c) =2√

3

∆12c (β2)k(1− k2)

[Γ] .

Por outro lado, por (5.30) e (5.37) temos,

Γ = k(1− k2)(1− 2k2)K − 2∆12c (β2)

[(6√

∆c(β2) + 18∆− 1

2c (β2)(β2 − c)2)

8k∆c(β2)

](E − (1− k2)K)

= k(1− k2)(1− 2k2)K −∆12c (β2)

[(3√

∆c(β2) + ∆− 1

2c (β2)(2

√∆c(β2)k2 −

√∆c(β2))2)

8k∆c(β2)

]

(E − (1− k2)K)

= k(1− k2)(1− 2k2)K −∆12c (β2)

[3∆c(β2) + (4∆c(β2)k4 − 4∆c(β2)k2 + ∆c(β2))

2k∆c(β2)∆12c (β2)

]

(E − (1− k2)K)

= k(1− k2)(1− 2k2)K −∆12c (β2)

[3 + (4k4 − 4k2 + 1)

2k∆12c (β2)

](E − (1− k2)K) .

Logo,

Γ = k(1− k2)(1− 2k2)K − 2

(k4 − k2 + 1

k

)(E − (1− k2)K) .

Portanto,

dΨ

dβ2

(β2, c) =2√

3

∆12c (β2)k(1− k2)

[k(1− k2)(1− 2k2)K − 2

(k4 − k2 + 1

k

)(E − (1− k2)K)

]

=2√

3

∆12c (β2)k2(1− k2)

[k2(1− k2)(1− 2k2)K − 2

(k4 − k2 + 1

)(E − (1− k2)K)

]

=2√

3

∆12c (β2)k2(1− k2)

[(k2(1− k2)2 − k4(1− k2) + 2(1− k2)2(1− k2)

+2k2(1− k2))K − 2((1− k2) + k2)E].


Sendo2√

3

∆12c (β2)k2(1− k2)

> 0, temos a equivalencia desejada em (5.38).

Daı,dΨ

dβ2

(β2, c) > 0 se e somente se,

(−3k2 + k4 + 2)K − (2− 2k2 + 2k4)E < 0.

Definamos agora a seguinte funcao,

g(k) = (−3k2 + k4 + 2)K − (2− 2k2 + 2k4)E .

Observe que,

limk→0+

g(k) = limk→0+

2 [K(k)− 2E(k)] = 2π

2− 2

π

2= 0 .

Assim para mostrarmos quedΨ

dβ2

(β2, c) > 0, basta mostrarmos que g(k) e estritamente

decrescente em (0, 1). De fato,

g′(k) = (−6k + 4k3)K + (−3k2 + k4 + 2)dK

dk− (−4k + 8k3)E − (2− 2k2 + 2k4)

dE

dk

= (−6k + 4k3)K + (−3k2 + k4 + 2)

[E − (1− k2)K

k(1− k2)

]

−(−4k + 8k3)E − (2− 2k2 + 2k4)

[E −Kk

]

= 5k(k2K − 2k2E −K + E)

= 5k((1− 2k2)E − (1− k2)K

).

Sendo k > 0 temos que g′(k) < 0 se e somente se,

(1− 2k2)E − (1− k2) < 0 ⇔ (1− 2k2)E < (1− k2)K .

Porem como k2 ∈ (0, 1) segue que,

1− 2k2 = 1− k2 − k2 < 1− k2 − k2 + k2 = 1− k2

e como (1− k2) > 0, E > 0 e K > 0 temos

(1− 2k2)E < (1− k2)K ,


como querıamos.

Portanto pelo Teorema da Funcao Implıcita, existe uma unica funcao suave Λ definida

numa vizinhanca J(c0), tal que Ψ(Λ(c), c) = L para cada c ∈ J(c0), donde se obtem

(5.34). Como c0 foi escolhido arbitrariamente no intervalo J =

(4π2

L2,+∞

), segue da

unicidade da funcao Λ, que podemos estender seu domınio de definicao para todo intervalo

J , completando assim a prova. 2

Corolario 5.8. Considere a aplicacao Λ : J(c0) −→ B(β20) determinada pelo Teorema

5.7. Entao Λ e uma funcao estritamente decrescente em I(c0).

Demonstracao: Pela prova do Teorema 5.7, sabemos que Ψ(Λ(c), c) = L para cada

c ∈ J(c0). Assim usando o Teorema da Funcao Implıcita,

dΛ

dc(c) = −

dΨdcdΨdβ2

. (5.39)

Porem, como ja provamos quedΨ

dβ2

< 0, basta mostrarmos quedΨ

dc< 0 ocorre de

modo a obtermosdΛ

dc(c) < 0. Com efeito, diferenciando Ψ com respeito a c obtemos,

dΨ

dc=−√

3(6β + 18c)

∆54c (β2)

K +4√

3

∆14c (β2)

dK

dk

dk

dc. (5.40)

Por outro lado diferenciando k2 =3c− 3β2 +

√∆c(β2)

2√

∆c(β)com respeito a c e usando a

propria expressao de k2 em (5.30) obtemos,

2kdk

dc=

(6∆12c (β2) + (6β2 + 18c))−∆

− 12

c (β2)(6β2 + 18c)(2∆12c k2)

4∆c(β2)

=(6∆

12c (β2) + (6β2 + 18c))− 2(6β2 + 18c)(k2)

4∆c(β2).

Desta forma, encontramos,

dk

dc=

(6∆12c (β2) + (6β2 + 18c)(1− 2k2)

8k∆c(β2). (5.41)

Agora substituindo (5.41) em (5.40) temos,


dΨ

dc=−√

3(6β2 + 18c)

∆54c (β2)

K +4√

3

∆14c (β2)

[E − (1− k2)K

k(1− k2)

][(6∆

12c (β2) + (6β2 + 18c)(1− 2k2)

8k∆c(β2)

]

=4√

3

8k2(1− k2)∆54c (β2)

[− 2k2(1− k2)(6β2 + 18c)K

+(E − (1− k2)K)(6√

∆c(β2) + (6β2 + 18c)(1− 2k2))

],

ou seja,

dΨ

dc=

4√

3(6β2 + 18c)

8k2(1− k2)∆54c (β2)

[− 2k2(1− k2)K + (1− 2k2)(E − (1− k2)K)

]

+24√

3√

∆c(β2)

8k2(1− k2)∆54c (β2)

[E − (1− k2)K

]

=4√

3(6β2 + 18c)

8k2(1− k2)∆54c (β2)

[(k2 − 1)K + (1− 2k2)E

]

+24√

3√

∆c(β2)

8k2(1− k2)∆54c (β2)

[E + (k2 − 1)K

].

AssimdΨ

dc< 0 se e somente se,

4√

3(6β2 + 18c)

8k2(1− k2)∆54c (β2)

[(k2−1)K+(1−2k2)E

]<

24√

3√

∆c(β2)

8k2(1− k2)∆54c (β2)

[(1−k2)K−E

]. (5.42)

Porem, (5.42) ocorre se, e somente se

4√

3(6β2 + 18c)[(k2 − 1)K + (1− 2k2)E] < 24√

3∆12c (β2)[(1− k2)K − E]

o que e equivalente a

[4√

3(6β2+18c)(1−2k2)+24√

3∆12c (β2)]E < [24

√3∆

12c (β2)(1−k2)+4

√3(6β2+18c)(1−k2)]K .

Como E < K, E > 0, K > 0 e [24√

3∆12c (β2)(1−k2)+4

√3(6β2 +18c)(1−k2)] > 0, temos


as seguintes equivalencias,

[4√

3(6β2 + 18c)(1− 2k2) + 24√

3∆12c (β2)] < [24

√3∆

12c (β2)(1− k2) + 4

√3(6β2 + 18c)(1− k2)]

⇔ −4√

3(6β2 + 18c)k2 + 24√

3√

∆c(β2) < 24√

3√

∆c(β2)(1− k2) ⇔

−4√

3(6β2 + 18c)k2 < −24√

3√

∆c(β2)k2 ⇔ β2 + 3c >√

∆c(β2).

Como β2 + 3c > 0 e√

∆c(β2) > 0, entao β2 + 3c >√

∆c(β2) se, e somente se,

β22 + 6cβ2 + 9c2 > −3β2

2 + 6cβ2 + 9c2 ⇔ β22 > −3β2

2 .

PortantodΨ

dc< 0 e finalmente

dΛ

dc< 0. 2

Veremos agora um resultado que sera util para mostrar que o valor I dado pelo Teorema

5.4 e negativo.

Corolario 5.9. A funcao k2 definida em (5.19) dada por,

k2(c) =3c− 3Λ(c) +

√∆c

2√

∆c

. (5.43)

e suave com respeito a c ed

dck2(c) > 0.

Demonstracao: Pelo Teorema 5.7 vemos que β2 = Λ(c). Assim substituindo β2 = Λ(c)

em (5.3) encontramos que k2 depende de c e vem dado por (5.43). Ademais, o Teorema

5.7 nos garante que a funcao Λ(c) e suave e portanto sendo ∆c(Λ(c)) > 0 temos que k2(c)

e suave.

Verifiquemos agora qued

dck2(c) > 0. Com efeito,

d

dc∆c = −6Λ(c)

d

dcΛ(c) + 6Λ(c) + 6c

d

dcΛ(c) + 18c

= 6d

dcΛ(c)(c− Λ(c)) + 6Λ(c) + 18c .

Por outro lado, a derivada com respeito a c de (5.43) vem dada por,

d

dck2(c) =

1

4∆c

[2√

∆c

(3− 3

d

dcΛ(c) +

1

2√

∆c

d

dc∆c

)− 1

∆c

d

dc∆c

(3c− 3Λ(c) +

√∆c

)],


ou seja,

d

dck2(c) =

1

4∆c

[2

(3− 3

d

dcΛ(c) +

1

2

6 ddc

Λ(c) (c− Λ(c)) + 6 Λ(c) + 18 c√

∆c

)√∆c

−(6 ddc

Λ(c) (c− Λ(c)) + 6 Λ(c) + 18 c) (

3 c− 3 Λ(c) +√

∆c

)√

∆c

]

= − 6

4∆c

[−∆c +

d

dcΛ(c)∆c + 3

d

dcΛ(c)c2 − 6c

d

dcΛ(c)Λ(c) + 3

d

dcΛ(c)Λ(c)2

−6cΛ(c)− 3 Λ(c)2 + 9 c2

]

= − 6

4∆c

[d

dcΛ(c)∆c + 3

d

dcΛ(c)c2 − 6c

d

dcΛ(c)Λ(c) + 3

d

dcΛ(c)Λ(c)2 − 12cΛ(c)

]

= − 6

4∆c

[d

dcΛ(c)

(∆c + 3 c2 − 6cΛ(c) + 3 Λ(c)2)− 12cΛ(c)

],

isto e,d

dck2(c) =

6

4∆c

[− d

dcΛ(c)

(12c2

)+ 12cΛ(c)

]. (5.44)

Pelo Corolario (5.8) temos que − d

dcΛ(c) > 0. Portanto, Λ(c) > 0, c > 0 e (5.44)

implica qued

dck2(c) > 0 .

2

Podemos explicitar c, β1, β2 e β3 em funcao de k e L. Portanto a solucao ϕc pode ser

explicitada em funcao de k e L.

Isto e possıvel gracas ao seguinte sistema,

k2 =3c− 3β +

√∆c(β2)

2√

∆c(β)

L =4√

3

∆14c (β2)

K .

(5.45)

Note que elevando a segunda equacao de (5.45) ao quadrado temos,

∆12c (β2) =

48K2

L2. (5.46)


Substituindo (5.46) na primeira equacao de (5.45) temos,

k2 =

(3c− 3β2 +

48K2

L2

)L2

96K2=L2(3c− 3β2) + 48K2

96K2.

Daı,

L2(3c− 3β2) = 48K2(2k2 − 1)

e entao,

c =16K2(2k2 − 1)

L2+ β2 . (5.47)

Agora, substituindo ∆c(β2) = −3β22 + 6β2c+ 9c2 em (5.46) temos a equacao,

β22 − 2β2c− 3c2 +

16.48K4

L4= 0 . (5.48)

Resolvendo (5.48) para β2, tem-se

β2 = c± 1

2

√16c2 − 4.16.48K4

L4.

Substituindo β2 em (5.47) temos,

c =2.16K2(2k2 − 1)

2L2+ c± 1

2

√16c2 − 4.16.48K4

L4,

isto e,

2.16K2(2k2 − 1) = ±√

16c2L4 − 4.16.48K4 . (5.49)

Usando (5.49) temos,

4.162K4(1− 2k2)2 = 16c2L4 − 4.16.48K4 .

ou seja,

c2 =4.16.K4(1− 4k2 + 4k4 + 3)

L4.

Como c > 0, temos

c =16K2

√1− k2 + k4

L2. (5.50)

e consequentemente de (5.47) vemos,

β2 =16K2

(√1− k2 + k4 + (1− 2k2)

)L2

. (5.51)

Usando a formula para β3 em funcao de β2 (5.29), (5.50), (5.51) e a segunda equacao

do sistema (5.45) temos,

β3 =1

2

[3

(16K2

√1− k2 + k4

L2

)− 16K2

(√1− k2 + k4 + (1− 2k2)

L2

)+

48K2

L2

],


isto e,

β3 =16K2

(√1− k2 + k4 + (1 + k2)

)L2

. (5.52)

Ademais, como β3 − β1 = 2β3 + β2 − 3c =√

∆c(β2) =48K2

L2temos,

β1 =16K2

(√1− k2 + k4 − (2− k2)

)L2

. (5.53)

Portanto substituindo (5.51), (5.52) e (5.53) em (5.24) encontramos que,

ϕc(ξ) = ϕc(k)(ξ) =16K2

(√1− k2 + k4 + (1− 2k2)

)L2

+48K2k2

L2cn2

(√4K2

L2ξ; k

).

5.1.2 Propriedade espectral.

Nosso objetivo agora e mostrar as propriedades (P1) e (P2) da condicao de estabilidade.

No que segue, consideraremos L = π, pois usaremos um metodo numerico. Usaremos π

para simplificar, mas poderıamos utilizar qualquer valor real fixado.

Observe que o Teorema 3.5 implica que a familia de operadores Lc e isonercial, isto

e, o numero de autovalores negativos e nulos e sempre o mesmo para qualquer que seja

c > 0. Deste modo, e suficiente verificar as propriedades (P1) e (P2) para um c > 0 fixado

arbitrariamente, digamos um c0.

A curva ϕc solucao de (5.4), o qual sera objeto de trabalho nesta secao e sempre

periodica com perıodo L, qualquer que seja c > 0, em particular para c = c0. Isto foi

garantido por meio do Teorema da Funcao Inversa na subsecao 5.1.1.

Observe agora que, ϕ′c0 onde ′ denota a derivada com respeito a variavel espacial e

uma autofuncao do operador Lc0 associado ao autovalor 0. De fato, usando (5.4) temos,

Lc0(ϕ′c0) = ϕ′′′c0 + c0ϕ′c0− ϕc0ϕ′c0

= ϕ′′′c0 + cϕ′c0 −1

2(ϕ2

c0)′

=

(ϕ′′c0 + c0ϕc0 −

1

2ϕ2c0

)′= 0 .

Com o intuito de garantir as propriedades (P1) e (P2) em (5.6), vamos encontrar a

constante θ dada no Teorema 4.2 e em seguida aplicar o Teorema 4.4. Note que e possıvel

determinar θ, pois θ depende somente da autofuncao∂

∂xϕc0(x) associada ao operador Lc0

e no nosso caso temos uma forma explıcita para essa autofuncao.


Como a constante c esta fixada arbitrariamente, isto e, c = c0 e c depende univo-

camente de k, fixamos c0 de modo que o correspondente k0 satisfaca k0 =

√1

2. Neste

contexto, defina

p(x) =d

dxϕc0(x)

e

θ = j(x1) + j(x2) + 2

∫ π

0

q′(t)

p(t)dt .

De modo a obter θ, temos que determinar os zeros de p(x) no intervalo [0, π] e em

seguida encontrar as raızes de p′(x) no intervalo [0, π]. Com efeito, temos

p(x) =d

dx(ϕc0(x))

onde

ϕc0(x) = 2

(K(

1√2

))2√3

π2+ cn2

2K(

1√2

)x

π,

1√2

.

Logo,

p(x) =− 4

πcn

2K(

1√2

)x

π,

1√2

K

(1√2

)dn

2K(

1√2

)x

π,

1√2

sn

2K(

1√2

)x

π,

1√2

.

Os zeros de p(x) em[0,π

2

]sao,

z1 = 0 e z2 =π

2.

Considerando as raızes de p no lado negativo e utilizando que p(x) e ımpar temos,

q(−x) =−x−

(−π

2

)p(−x)

=x− π

2

p(x)= q(x) ,

isto e, q(x) e par. Logoq′(x)

p(x)e par e sendo,

j(x1) = −z2 − z1

p2(x1)= −

π2− 0

p2(x1)= −

(0 + π)− π2

(−p(−x1))2= −(z1 + π)− z2

p2(x2)= j(x2)

obtemos que a expressao de θ pode ser simplificada. Com efeito, podemos obte-la usando

apenas a metade do intervalo [0, π] isto e,

θ = 2j(x1) + 4

∫ π2

0

q′(t)

p(t)dt .


Figura 5.6:

Observe que, p ser periodica e (4.3) garantem que p(−x1) = p(x2). Observe tambem

que esta simplificacao permite que encontremos θ com apenas uma raiz de p′.

O grafico de p(x) vem dado na Figura 5.6. Derivando p(x) encontramos p′(x), isto e,

p′(x) =192

π4

(K

(1√2

))4

dn2

2K(

1√2

)z

π,

1√2

sn2

2K(

1√2

)z

π,

1√2

+96

π4

(K

(1√2

))4

cn2

2K(

1√2

)z

π,

1√2

sn2

2K(

1√2

)z

π,

1√2

−192

π4

(K

(1√2

))4

cn2

2K(

1√2

)z

π,

1√2

dn2

2K(

1√2

)z

π,

1√2

.

A funcao p′(x) possui um zero em[0, π

2

]. Usando o programa Maple, este zero pode

ser encontrado como sendo,

x1 w 0, 624795 .

Vamos agora encontrar j(x1). Como j(x1) = − π

2p2(x1)temos,


j(x1)=−π2

− 4

πcn

2K(

1√2

)x1

π,

1√2

K

(1√2

)dn

2K(

1√2

)x1

π,

1√2

sn

2K(

1√2

)x1

π,

1√2

−2

w −0, 02096018906 .

Logo,

2j(x1) w −0, 04192037812 .

Como z1 = 0 e z2 = π2

temos que q(x) e dado por,

q(x) =

x

p(x), x ∈ [0, x1)

x− π2

p(x), x ∈

[x1,

π

2

].

A Figura 5.7 ilustra a funcao q.

Figura 5.7:

Assim para x ∈ [0, x1) temos,

q(x) = x

− 4

πcn

2K(

1√2

)x

π,

1√2

K

(1√2

)dn

2K(

1√2

)x

π,

1√2

sn

2K(

1√2

)x

π,

1√2

−1


e consequentemente,

q′(x) =− 1

96π3K

(1√2

)−3

cn

2K(

1√2

)x

π,

1√2

−1

dn

2K(

1√2

)x

π,

1√2

−1

sn

2K(

1√2

)x

π,

1√2

−1

− 1

48xπ2K

(1√2

)−2

cn

2K(

1√2

)z

π,

1√2

−2

− 1

96xπ2K

(1√2

)−2

dn

2K(

1√2

)x

π,

1√2

−2

+1

48xπ2K

(1√2

)−2

sn

2K(

1√2

)x

π,

1√2

−2

.

Por outro lado, se x ∈[x1,

π

2

]temos,

q(x) = (x− π

2)

− 4

πcn

2K(

1√2

)x

π,

1√2

K

(1√2

)dn

2K(

1√2

)x

π,

1√2

sn

2K(

1√2

)x

π,

1√2

−1

.

Derivando com respeito a x, a funcao q, obtemos

q′(x) =− 1

96π3K

(1√2

)−3

cn

2K(

1√2

)x

π,

1√2

−1

dn

2K(

1√2

)x

π,

1√2

−1

sn

2K(

1√2

)x

π,

1√2

−1

− 1

48(x− π

2)π2K

(1√2

)−2

cn

2K(

1√2

)x

π,

1√2

−2

− 1

96(x+

π

2)π2K

(1√2

)−2

dn

2K(

1√2

)x

π,

1√2

−2

+1

48(x+

π

2)π2

(K

(1√2

))−2

sn

2K(

1√2

)x

π,

1√2

−2

.


Logo,q′(x)

p(x)em [0, x1) e

q′(x)

p(x)em[x1,

π

2

]vem dado respectivamente por,

q′(x)

p(x)=− 1

96

− 1

96π3K

(1√2

)−3

cn

2K(

1√2

)z

π,

1√2

−1

dn

2K(

1√2

)z

π,

1√2

−1

sn

(2

cK(1/2√

2)z

π,

1√2

)−1

− 1

48zπ2K

(1√2

)−2

cn

2K(

1√2

)z

π,

1√2

−2

− 1

96zπ2K

(1√2

)−2

dn

2K(

1√2

)z

π

1√2

−2

+1

48zπ2K

(1√2

)−2

sn

2K(

1√2

)z

π,

1√2

−2 π3K

(1√2

)−3

cn

2K(

1√2

)z

π,

1√2

−1

dn

2K(

1√2

)z

π,

−1

sn

2K(

1√2

)z

π,

1√2

−1

e

q′(x)

p(x)= − 1

96

− 1

96π3K

(1√2

)−3

cn

2K(

1√2

)z

π,

1√2

−1

dn

2K(

1√2

)z

π,

1√2

−1

sn

2

(1√2

)z

π,

1√2

−1

−1

48

(z − 1

2π

)π2K

(1√2

)−2

cn

2K(

1√2

)z

π,

1√2

−2

− 1

96

(z − 1

2π

)π2K

(1√2

)−2

dn

2K(

1√2

)z

π,

1√2

−2

+1

48

(z − 1

2π

)π2

K

(1√2

)−2

sn

2K(

1√2

)z

π,

1√2

−2 π3K

(1√2

)−3

cn

2K(

1√2

)z

π,

1√2

−1

dn

2K(

1√2

)z

π,

1√2

−1

sn

2K(

1√2

)z

π,

1√2

−1

.


Usando novamente o programa Maple, obtemos que a integral deq′

pem [0, x1) e∫ x1

0

q′(t)

p(t)dt w 0, 003047359311

e em [x1,π2] temos, ∫ π

2

x1

q′(t)

p(t)dt w 0, 003099057633 .

Portanto conseguimos estimar o valor aproximado de θ.

θ = 2j(x1) + 4

∫ π2

0

q′(t)

p(t)dt

= 2j(x1) + 4

∫ x1

0

q′(t)

p(t)dt+ 4

∫ π2

x1

q′(t)

p(t)dt

w −0, 04192037812 + 4(0, 003047359311) + 4(0, 003099057633)

w −0, 01733471035 .

Assim,

θ w −0, 01 .

Portanto, como p(x) possui exatamente dois zeros no intervalo [0, π) (ver Figura 5.6) e

θ e negativo, temos pelo Teorema 4.4 que o autovalor 0 e simples e e o segundo autovalor

associado a autofuncao ϕ′c0 do operador linearizado Lc0 . Com isso, o espectro do operador

linearizado Lc0 , possui a seguinte estrutura,

λ0 < λ1 = 0 < λ2 < λ3 ≤ ...

e assim temos exatamente um autovalor negativo o qual e simples.

Como a famılia de operadores de Hill e isonercial (ver Teorema 3.5), temos que esta

propriedade vale para o operador Lc, para todo c ∈ (4,∞).

Neste caso, In(Lc) = (1, 1) ∀c ∈ (4,∞) .

5.1.3 Estabilidade

Para obtermos a estabilidade, segundo o Teorema 5.3, temos que exibir um χ ∈

L2per([0, π]), tal que Lc(χ) = ϕc e I = (χ, ϕc)L2

per< 0, uma vez que ja mostramos as


propriedades (P1) e (P2) da condicao de estabilidade em (5.6). Ademais, como provamos

tambem a condicao (P0) da condicao de estabilidade, temos pela Observacao 5.4 que χ

pode ser escolhido como sendo χ = − d

dcϕc. Este χ satisfaz Lc(χ) = ϕc. Com efeito, como

−ϕ′′c + cϕc − 12ϕ2c = 0 entao, − d

dc

(−ϕ′′c + cϕc −

1

2ϕ2c

)= 0 e assim,

Lc(− d

dcϕc

)=

(d

dcϕc

)′′− c

(d

dcϕc

)+ ϕc

(d

dcϕc

)

=d

dc(ϕ′′c )−

d

dc(cϕc) +

1

2

d

dc

(ϕ2c

)+ ϕc

= − d

dc

(−ϕ′′c + cϕc −

1

2ϕ2c

)+ ϕc

= ϕc .

Deste modo, para obtermos a estabilidade procurada basta mostrar que I < 0. Os

lemas que seguem serao uteis para a demonstracao deste fato.

Lema 5.10. Seja K(k) =

∫ 1

0

1√(1− x2)

√(1− k2x2)

dx a integral elıptica completa de

primeiro tipo e E(k) =

∫ 1

0

√(1− k2x2)√(1− x2)

dx a integral elıptica completa de segundo tipo,

entao Υ(k) = K(k)E(k) e crescente.

Demonstracao: Defina a funcao, h : (0, 1) ∈ R −→ R tal que,

h(k) = E(k)−√

1− k2K(k) .

Observe que,

limk→0+

h(k) = limk→0+

(E(k)−K(k)) =π

2− π

2= 0 . (5.54)

Por outro lado, h e estritamente crescente no intervalo (0, 1). De fato,

h′(k) =dE

dk(k)− d

dk

(√1− k2

)K(k)−

√1− k2

dK

dk

=E(k)−K(k)

k+kK(k)

k′+k′2K(k)

kk′− E(k)

kk′

=k′E(k)− k′K(k) + k2K(k) + k′

2K(k)− E(k)

kk′

=k′E(k)− k′K(k) +K(k)− E(k)

kk′,


ou seja,

h′(k) =(1− k′)K(k)− (1− k′)E(k))

kk′=

(1− k′)kk′

(K(k)− E(k)) .

Assim, como k ∈ (0, 1) e E(k) < K(k), encontramos

h′(k) > 0, ∀k ∈ (0, 1).

isto e, h e estritamente crescente no intervalo (0, 1). Deste fato e (5.54), obtemos

h(k) > 0 ∀k ∈ (0, 1) . (5.55)

Alem disso, de (5.55) temos,

E2(k)− (1− k2)K2(k) > 0 . (5.56)

Mostremos agora que Υ(k) e crescente. Diferenciando Υ(k) com respeito a k, temos

dΥ

dk(k) =

(E (k)

(1− k2) k− K (k)

k

)E (k) + K (k)

(E (k)

k− K (k)

k

)

=(E (k))2 − (K (k))2 + (K (k))2 k2

(1− k2) k,

isto e,dΥ

dk(k) =

E2(k)− (1− k2)K2(k)

(1− k2)k. (5.57)

Portanto de (5.56) e (5.57), temos quedΥ

dk(k) > 0 ∀k ∈ (0, 1) e assim Υ e estritamente

crescente. 2

Lema 5.11. Seja K(k) =

∫ 1

0

1√(1− x2)

√(1− k2x2)

dx a integral elıptica completa de

primeiro tipo, entao a funcao Γ(k) = K2(k)(−2 + k2 +

√1− k2 + k4

)e crescente.

Demonstracao: Mostremos quedΥ

dk> 0. De fato,

dΥ

dk=

d

dk

[K2(k)(−2 + k2 +

√1− k2 + k4)

]

= 2K(k)dK

dk(k)(−2 + k2 +

√1− k2 + k4) +K2(k)

(2k +

4k3 − 2k

2√

1− k2 + k4

)

= 2K(k)

[E(k)− (1− k2)K(k)

k(1− k2)

](−2 + k2 +

√1− k2 + k4)

+K2(k)

(2k +

4k3 − 2k

2√

1− k2 + k4

)


Como a funcao (−2+k2 +√

1− k2 + k4) e estritamente negativa em (0, 1) e E(k) < K(k)

temos que

(−2 + k2 +√

1− k2 + k4)E(k) > (−2 + k2 +√

1− k2 + k4)K(k).

Daı,

dΥ

dk> 2K2(k)

[1− 2(1− k2)

k(1− k2)(−2 + k2 +

√1− k2 + k4) + 2k +

4k3 − 2k

2√

1− k2 + k4︸︷︷︸V (k)

]

= 2K2(k)V (k) .

Como V (k) > 0 em (0, 1) temos quedΥ

dk> 0 como querıamos. 2

A proposicao seguinte mostra que I < 0 e assim ϕc e estavel no sentido orbital.

Proposicao 5.12. A solucao onda viajante periodica de (5.4) ϕc dado por

ϕc(x) =16K2(k)

π2(√

1− k2 + k4) + 48K2(k)

π2k2cn2

(√4K2(k)

π2x, k

)

satisfaz I = (χ, ϕc)L2per

< 0.

Demonstracao: Note que,

I =

(− d

dcϕc, ϕc

)L2per

=

∫ π

0

− d

dcϕc(ϕc)dx = −

∫ π

0

1

2

d

dc(ϕc)

2 dx = −1

2

d

dc

∫ π

0

(ϕc)2 dx

Deste modo para mostrar que I < 0, basta verificar que1

2

d

dc

∫ π

0

(ϕc)2 > 0.

Com o intuito de facilitar esta estimativa usaremos que,∫ π

0

ϕ2c(x)dx = 2c

∫ π

0

ϕc(x)dx . (5.58)

Para isto, basta integrarmos a equacao −ϕ′′c + cϕc −ϕ2c

2= 0 de 0 a π, onde encontramos,∫ π

0

ϕ′′c (x)dx+ c

∫ π

0

ϕc(x)dx− 1

2

∫ π

0

ϕ2(x)dx = 0 . (5.59)

Como ϕc e periodica com perıodo π, temos que

∫ π

0

ϕ′′c (x)dx = −ϕ′(x)

π0

= −ϕ′c(π) +

ϕ′c(0) = 0, assim (5.59) nos fornece a igualdade desejada (5.58).


Por (5.58) e o fato de ϕc ser positiva, I torna-se,

I = − d

dc

(c

∫ π

0

ϕc(x)dx

)

= −2

∫ π

0

ϕc(x)dx− 2cd

dc

∫ π

0

ϕc(x)dx

< −2cd

dc

∫ π

0

ϕc(x)dx .

Assim e suficiente mostrarmos que,

d

dc

∫ π

0

ϕc(x)dx > 0. (5.60)

A integral em (5.60) e dada por,∫ π

0

ϕc(x)dx =

∫ π

0

16K2(k)

π2(√

1− k2 + k4 + 1− 2k2) + 48K 2 (k)

π2k2cn2

(√4K 2 (k)

π2x, k

)dx

=16K 2 (k)

π(√

1− k2 + k4 + 1− 2k2) + 48K2(k)

π2k2

∫ π

0

cn2

(2K (k)

πx, k

)dx .

Escrevendo ξ =2K (k)

πx segue que,∫ π

0

ϕc(x)dx =16K2(k)

π(√

1− k2 + k4 + 1− 2k2) + 48K2(k)

π2k2 π

2K(k)

∫ 2K(k)

0

cn2 (ξ, k) dξ

=16K2(k)

π(√

1− k2 + k4 + 1− 2k2) + 24K(k)

πk2

∫ 2K(k)

0

cn2 (ξ, k) dξ

=16K2(k)

π(√

1− k2 + k4 + 1− 2k2) + 48K(k)

πk2

∫ K(k)

0

cn2 (ξ, k) dξ

=16K2(k)

π(√

1− k2 + k4+1−2k2)+48K(k)

πk2

[1

k2

(E(ξ)− (1− k2)ξ

)∣∣∣∣K(k)

0

]

=16K2(k)

π(√

1− k2 + k4 + 1− 2k2) + 48K(k)

πk2

[1

k2

(E (k)− (1 − k2 )ξ

)]

=16K (k)

π

[−2K(k) + k2K(k) +

√1− k2 + k4K(k) + 3E(k)

]

=16

π

[K2(k)

(−2 + k2 +

√1− k2 + k4

)]+

48

πK(k)E(k) .

5.2 Estabilidade de ondas viajantes periodicas para a equacao mKdV. 143

Usando a notacao dos Lemas 5.10 e 5.11 temos,∫ π

0

ϕc(x)dx =16

πΓ(k) +

48

πΥ(k) . (5.61)

Por outro lado, como c depende de k,

d

dc

∫ π

0

ϕc(x)dx =d

dk

(∫ π

0

ϕc(x)dx

)dk

dc, (5.62)

onde pelo Corolario 5.9,dk

dc> 0 .

Portanto usando (5.62), (5.61) e os Lemas 5.10 e 5.11, encontramos que

∫ π

0

ϕc(x)dx

e crescente com respeito a variavel c. Assim, temos valido a desigualdade (5.60) e conse-

quentemente a proposicao. 2

Utilizando os argumentos estabelecidos nesta secao e o Teorema 5.3 tem-se o seguinte

teorema de estabilidade.

Teorema 5.13. Seja c ∈ (4,∞). Entao ϕc dada em (5.24), solucao para (5.4) e estavel

em H1per([0, L]) pelo fluxo da equacao Korteweg-de Vries.

2

5.2 Estabilidade de ondas viajantes periodicas para

a equacao mKdV.

Neste capıtulo vamos obter a estabilidade no sentido orbital de solucoes ondas viajantes

periodicas para equacao modificada Korteweg-de Vries (mKdV) dada em (5.1) com p = 2,

em outras palavras, vamos considerar

ut + u2ux + uxxx = 0 , (5.63)

onde u : R x R −→ R e periodica de perıodo L no espaco. Novamente, aplicaremos as

teorias desenvolvidas nos capıtulos iniciais, como o Teorema 4.4 e o Teorema 5.3 para

obter estabilidade.

Com o intuito de facilitar as contas no decorrer desta secao, consideremos a equacao

mKdV (5.63) na forma,

ut + 3u2ux + uxxx = 0 . (5.64)


Neste caso, como temos a constante 3 no termo u2ux de (5.64) e como para mKdV p em

(5.1) e igual a dois, temos que a equacao que determina as ondas viajantes periodicas e

dada por, (− d2

dx2+ c

)− ϕ3

c = 0 . (5.65)

Ademais, o operador Lc se torna,

Lc(y) = −y′′ + (c− 3ϕ2c)y . (5.66)

Como no caso da KdV, garantiremos primeiro que existe uma curva suave de solucoes

ondas periodicas para (5.65) todas elas de mesmo perıodo L. Em seguida mostraremos

que o operador Lc dado em (5.66) possui um unico auto valor negativo e simples e 0 e

autovalor simples associado a auto funcao ϕ′c. Finalmente usaremos o Teorema 5.3 para

garantir a estabilidade no sentido orbital das ondas periodicas relacionadas a equacao

(5.64).

5.2.1 Existencia de curva de solucoes ondas periodicas para mKdV.

Nesta secao, explicitamos uma curva suave de ondas periodicas com perıodo L > 0 da

forma u(x, t) = ϕc(x − ct) o quais sao solucoes de (5.65). De fato, multiplicando (5.65)

por ϕ′c temos,

−ϕ′′cϕ′c + cϕcϕ′c − ϕ3

cϕ′c = 0 . (5.67)

Integrando (5.67) de γ0 a γ temos,

−∫ γ

γ0

ϕ′′c (x)ϕ′c(x)dx+ c

∫ γ

γ0

ϕc(x)ϕ′c(x)dx−∫ γ

γ0

ϕ3c(x)ϕ′c(x)dx = 0 . (5.68)

Observe que (5.68) pode ser reescrita na forma,

−∫ γ

γ0

d

dx(ϕ′c(x))2dx+ c

∫ γ

γ0

d

dxϕ2(x)dx− 1

4

∫ γ

γ0

d

dxϕ4c(x)dx = 0 .

Usando o Teorema Fundamental do Calculo temos,

−(ϕ′c)2

2= − c

2ϕ2c +

1

4ϕ4c + 2Bϕc ,

onde B e uma constante de integracao nao nula. Logo,

[ϕ′c(x)]2 =1

2

[−ϕ4

c(x) + 2cϕc(x)2 + 4Bϕc

]. (5.69)


Ademais, podemos escrever (5.69) na forma,

[ϕ′c(x)]2 =1

2P (ϕc(x)) , (5.70)

onde P (t) = −t4 + 2ct2 + 4Bϕc . A equacao (5.70) e uma EDO de primeira ordem nao

linear.

No que segue, para cada c > 0 fixado, explicitaremos uma solucao periodica ϕc para

(5.70) fazendo uso da forma da quadratura. De fato ϕc deve satisfazer (5.69) e como

assumimos que P (t) possui quatro raızes reais, P (t) assume a forma,

P (t) = (σ21 − t2)(t2 − σ2

2)

= −t4 + t2(σ21 + σ2

2)− σ21σ

22 ,

(5.71)

onde −σ1, σ1, −σ2 e σ2 sao os zeros reais do polinomio P (t). Note que, este polinomio

deve possuir raızes reais pois estamos procurando solucao ϕc que assumem valores em R.

Caso tenhamos duas raızes reais e duas raızes complexas, entao P (t) possui o comporta-

mento conforme ilustra a Figura 5.8.

Figura 5.8:

Neste caso, conforme [10], teremos uma solucao ϕc que muda de sinal. Mais precisa-

mente,

ϕc(x) = bcn(βx; k) ,


onde b e β dependem de c. Alem disso, ainda por [10], para esta ϕc o operador Lc possui

dois autovalores negativos e nao podemos aplicar a teoria de estabilidade estabelecida

aqui.

Assumimos entao P (t) com quatro raızes reais. Desta forma, como ϕc deve satisfazer

(5.69) e P (t) e caracterizado em (5.71), temos que as raızes de P (t) devem satisfazer, 2c = σ21 + σ2

2

4B = −σ21σ

22 .

(5.72)

Como procuramos solucoes positivas e periodicas para (5.65), escolhemos σ1 e σ2, tais

que

0 < σ2 < σ1. (5.73)

Veremos mais adiante (pagina 152), que se σ2 = 0, entao obtem-se solucoes com “perıodo

infinito”.

O polinomio P (t) deve possuir o comportamento como ilustra a Figura 5.9.

Figura 5.9:

Deste modo por (5.70), a solucao ϕc para (5.65) que procuramos deve assumir valores

no intervalo σ2 < ϕc < σ1. Definindo

φ =ϕcσ1

, (5.74)


k2 =σ2

1 − σ22

σ21

, (5.75)

e substituindo em (5.70) temos,

[φ′σ1]2 =1

2(σ2

1 − φ2σ21)(φ2σ2

1 − σ22)

=σ2

1

2(1− φ2)(φ2σ2

1 − σ22) .

Como σ1 > 0, podemos isolar (φ′)2, isto e,

[φ′]2 =σ2

1

2(1− φ2)

(φ2 − σ2

2

σ21

)

=σ2

1

2(1− φ2)

(φ2 − 1 +

σ21 − σ2

2

σ21

).

(5.76)

Logo, (5.75) e (5.76) implica que,

[φ′]2

=σ2

1

2(1− φ2)

(φ2 − 1 + k2

). (5.77)

Vamos introduzir uma nova variavel atraves da relacao,

φ2 = 1− k2 sin2(ψ) . (5.78)

Substituindo (5.76) em (5.77) temos,[(√1− k2 sin2(ψ)

)′ ]2

=σ2

1

2(k2 sin2(ψ)(k2 − k2 sin2(ψ)) ,

isto e,(−2k2 sin(ψ) cos(ψ)ψ′)2

4(1− k2 sin2(ψ))=σ2

1

2(k2 sin2(ψ)(k2 − k2 sin2(ψ)) . (5.79)

Como σ2 < ϕc(x) < σ1, ∀x ∈ R, pela definicao de φ em (5.74) segue que,

φ(x) ∈(σ2

σ1

, 1

), ∀x ∈ R . (5.80)

Alem disso pela definicao de k2 em (5.75) temos de (5.73),

k2 ∈ (0, 1). (5.81)

Desta forma, por (5.78), (5.80) e (5.81) segue que,

1− k2 sin2(ψ) 6= 0, sin(ψ) 6= 0 e cos(ψ) 6= 0 . (5.82)


Portanto, usando (5.82) podemos isolar (ψ′)2 em (5.79), isto e,

[ψ′]2 =σ2

1

2(1− k2 sin2(ψ))

[4k2 sin2(ψ)(k2 − k2 sin2(ψ))

4k2k2 sin2(ψ) cos2(ψ)

],

ou seja,

[ψ′]2 =σ2

1

2(1− k2 sin2(ψ)) . (5.83)

Escrevendo l =σ1√

2, temos que (5.83) se torna,

[ψ′]2 =2l2

2(1− k2 sin2(ψ)) ,

isto e,

ψ′ = l√

1− k2 sin2(ψ) . (5.84)

Como ja vimos em (5.82) que 1− k2 sin2(ψ) 6= 0, podemos reescrever (5.84) na forma,

l =ψ′√

1− k2 sin2(ψ). (5.85)

Agora, integrando (5.84) de 0 a x, encontramos∫ x

0

lds =

∫ x

0

1√1− k2 sin2(ψ)

ψ′(s)ds

e usando mudanca de variaveis obtemos,

lx =

∫ ψ

0

dt√1− k2 sin2(t)

. (5.86)

O lado direito de (5.86) e justamente uma integral elıptica de primeiro tipo. Assim

pelas propriedades de funcoes elıpticas em 1.3 temos,

sin(ψ) = sn(lx; k) . (5.87)

Substituindo (5.87) em (5.78), temos

φ2 = 1− k2sn2(lx; k) .

Sendo dn2(u) = 1− k2sn2 obtemos,

φ2 = dn2(lx; k) .

Daı, usando a definicao de φ em (5.74) e o fato em que l =σ1√

2obtem-se,

ϕ2c = σ2

1dn2

(σ1√

2x, k

).


Portanto, como σ1 > 0 e 0 < σ2 < ϕc(x) < σ1, ∀x ∈ R , encontramos,

ϕc(x) = σ1dn

(σ1√

2x; k

). (5.88)

A funcao ϕc em (5.88) e uma solucao positiva e periodica para (5.65) que procurava-mos.

Analisemos agora o perıodo fundamental da solucao ϕc de (5.65). Como dn possui

perıodo fundamental real 2K, onde K = K(k) representa a integral elıptica completa de

primeiro tipo, segue que a solucao onda dnoidal ϕc em (5.88) possui perıodo fundamental

Tϕc dado por,

Tϕc =2√

2

σ1

K(k) . (5.89)

De fato,

ϕc

(x+

2√

2

σ1

K(k)

)= σ1dn

(σ1√

2

(x+

2√

2

σ1

K(k)

), k

)

= σ1dn

(σ1x√

2+σ1√

2

2√

2

σ1

K(k), k

)

= σ1dn

(σ1x√

2+ 2K(k), k

)

= σ1dn

(σ1√

2x; k

)= ϕc(x) .

Observe que o perıodo fundamental da solucao ϕc para um c > 0 fixo depende de K,

σ1 e σ2. Mostremos agora que o perıodo fundamental Tϕc depende de uma unica variavel.

Com efeito, pela primeira equacao de (5.72) temos,

σ21 = 2c− σ2

2 . (5.90)

Substituindo (5.90) em (5.75) encontramos,

k2 =σ2

1 − σ22

σ21

=2c− σ2

2 − σ22

2c− σ22

=2c− 2σ2

2

2c− σ22

, (5.91)

isto e, para cada c > 0 fixo, k2 = k2(σ2) . Desta forma substituindo (5.90) e (5.91) na

expressao para o perıodo fundamental (5.89), obtemos

Tϕc =2√

2√2c− σ2

2

K(k) ,

onde k2(σ2) e dado em (5.91). Logo o perıodo fundamental Tϕc depende de uma unica

variavel σ2.


Com o intuito de obter o comportamento do perıodo fundamental Tϕc em funcao de

σ2, verifiquemos qual e o seu domınio para cada c > 0 fixado. Sabemos de (5.90) que,

σ2 =√

2c− σ21 . (5.92)

Alem disso, como σ2 e real e 0 < σ2 < σ1 temos que 2c− σ21 > 0, isto e,

0 < σ2 < σ1 <√

2c . (5.93)

Por outro lado, se σ1 =√c, entao de (5.92) temos,

σ2 =√

2c− σ21 =

√2c− (

√c)2 =

√2c− c =

√c = σ1 , (5.94)

o que e uma contradicao. Desta forma, por (5.93) e (5.94) temos,

σ2 ∈ (0,√c) ∪ (

√c,√

2c) .

Contudo, se σ2 ∈ (√c,√

2c), entao√c < σ2 <

√2c e c < σ2

2 . Tambem, 0 < σ2 < σ1

implica que σ22 < σ2

1. Assim,

c < σ22 < σ2

1 . (5.95)

Logo, por (5.95) e (5.92), encontramos que

2c = c+ c < σ21 + σ2

2 = 2c

o que e uma contradicao. Com isso,

σ2 ∈ (0,√c) . (5.96)

Ademais, sendo σ21 + σ2

2 = 2c temos de (5.96) que,

σ1 ∈ (√c,√

2c) . (5.97)

Portanto de (5.96), (5.97) e (5.93) encontramos o domınio procurado,

0 < σ2 <√c < σ1 <

√2c .

A Figura (5.10) ilustra a funcao σ1 = σ1(σ2) =√

2c− σ21.

Como vimos, o perıodo fundamental Tϕc depende de σ2. Vamos entao verificar o que

ocorre com Tϕc(σ2) quando σ2 se aproxima de zero ou de√c. Se σ2 −→ 0, entao por


Figura 5.10:

(5.91) k2(σ2) −→ 1− e assim pelas propriedades da integral elıptica completa de primeiro

tipo K(k), temos que K(k) −→ +∞. Portanto

Tϕc(σ2) =2√

2√2c− σ2

2

K(k(σ2)) −→ +∞ (5.98)

quando σ2 −→ 0. Por outro lado se σ2 −→√c, entao de (5.91),

k2(σ2) =2c− 2σ2

2

2c− σ22

−→ 2c− 2(√c)2

2c− (√c)2

= 0

e assim K(k(σ2)) −→ π

2. Portanto

Tϕc(σ2) =2√

2√2c− σ2

2

K(k(σ2)) −→ 2√

2√2c− (

√c)2

π

2=

√2π√c

(5.99)

quando σ2 −→√c .

No proximo teorema veremos que a funcao para o perıodo fundamental Tϕc e estrita-

mente decrescente. Desta forma,

Tϕc(σ2) >

√2π√c, ∀σ2 ∈ (0,

√c) .

A Figura 5.11 ilustra o comportamento da funcao Tϕc .

Portanto, para um c > 0 fixado, existe uma solucao ϕc de (5.65) tal que o perıodo de

ϕc e Tϕc(σ2) com σ2 = σ2(c) podendo variar no intervalo (0,√c). Vimos nesse caso que

Tϕc varia no intervalo

(√2π√c,+∞

).


Figura 5.11:

Mencionamos na pagina 146, que se σ2 = 0 entao temos solucao ϕc para (5.65) com

“perıodo infinito”. De fato, vimos acima que o perıodo fundamental, Tϕc −→ +∞ quando

σ2 −→ 0+. Ademais, se σ2 −→ 0+ entao k −→ 1− e neste caso,

limk→1−

dn(u; k) = sech(u) ,

isto e, teremos ϕc dada por,

ϕc(x) =√

2csech(√cx) .

Mostremos agora, que existe para um perıodo L > 0 fixado, uma curva suave de

solucoes ondas dnoidais para a equacao (5.65).

Inicialmente, verifiquemos que existe uma famılia de solucoes ondas dnoidais com

um perıodo fixado. De fato, seja L > 0 e c > 0 tal que, c >2π2

L2. Conforme vimos

anteriormente, a funcao σ2 ∈ (0,√c) 7−→ Tϕc(σ2) e estritamente decrescente, assim existe

um unico σ2 = σ2(c) ∈ (0,√c) tal que o perıodo fundamental da onda dnoidal ϕc sera

Tϕc(σ2(c)) = L. Isto nos garante que existe uma famılia de ondas dnoidais com perıodo

L fixado.

O proximo teorema, garante que existe a curva suave de solucoes ondas dnoidais para

a equacao 5.65.


Teorema 5.14. Seja L > 0 arbitrario mas fixado. Considere c0 >2π2

L2e o unico

σ20 = σ2(c0) ∈ (0,√c0) tal que Tϕc0 = L. Entao,

(1) Existe um intervalo J1(c0) com c0 em seu interior, um intervalo B1(σ20) com σ20

em seu interior e uma unica funcao Λ1(c0) = σ20 e

Tϕc(σ2) =2√

2√2c− σ2

2

K(k) = L , (5.100)

onde c ∈ J1(c0), σ2 = Λ1(c) e k2 = k2(c) ∈ (0, 1) e definido por (5.91).

(2) A solucao onda dnoidal em (5.88), determinada por σ1(c) e σ2(c), possui perıodo

fundamental L e satisfaz (5.65). Alem disso a aplicacao

c ∈ J1(c0) 7−→ ϕc ∈ H2per([o, L])

e uma funcao suave.

(3) J1(c0) pode ser escolhido como

(2π2

L2,+∞

).

Demonstracao: A demonstracao consiste em uma aplicacao do Teorema da Funcao

Implıcita. Considere o conjunto aberto,

Ω1 =

(σ2, c); c >

2π2

L2, σ2 ∈ (0,

√c)

⊂ R2

e defina Ψ1 : Ω −→ R por

Ψ1(σ2, c) =2√

2√2c− σ2

2

K(k(σ2, c)) , (5.101)

onde k2 e definido em (5.75). Temos por hipotese que Ψ1(σ20 , c0) = L. Com o intuito

de aplicar o Teorema da Funcao Implıcita, mostremos quedΨ1

dσ2

(σ2, c) < 0. Com efeito,

diferenciando Ψ1(σ2, c) com respeito a σ2, temos

dΨ1

dσ2

(σ2, c) =2√

2σ2

(2c− σ22)

32

K(k) +2√

2√2c− σ2

2

dK

dk

dk

dσ2

. (5.102)

Por outro lado diferenciando k2 =2c− 2σ2

2

2c− σ22

com respeito a σ2, temos

2k(σ2)dk

dσ2

(σ2) =−4σ2(2c− σ2

2)− (−2σ22)(2c− 2σ2

2)

(2c− σ22)2


isto e,dk

dσ2

(σ2) =−4σ2c+ 2σ3

2 + 2σ2c− 2σ32

k(2c− σ22)2

=−2σ2c

k(2c− σ22)2

. (5.103)

Como σ2, c, k > 0, temos de (5.103) que,

dk

dσ2

(σ2, c) < 0, ∀σ2, c . (5.104)

Portanto de (5.102) e (5.103) segue que,dk

dσ2

(σ2, c) < 0 se, e somente se,

2√

2σ2

(2c− σ22)

32

K(k) <2√

2√2c− σ2

2

dK

dk(k)

(2σ2c

k(2c− σ22)2

). (5.105)

Multiplicando (5.105) pork(2c− σ2

2)52

2√

2σ2

> 0, temos que (5.105) ocorre se, e somente se

k(2c− σ22)K(k) < 2c

dK

dk(k) . (5.106)

ComodK

dk=E − (1− k2)K

k(1− k2)onde E e a integral elıptica completa de segundo tipo, entao

de (5.106) temos as equivalencias,

k(2c− σ22)K(k) < 2c

dK

dk(k) ⇔ k(2c− σ2)K(k) < 2c

(E(k)− (1− k2)K(k)

k(1− k2)

)⇔ k2(1− k2)(2c− σ2

2)K(k) + 2c(1− k2)K(k) < 2cE(k) ⇔

[k2(2c− σ22) + 2c](1− k2)K(k) < 2cE(k) . (5.107)

Usando a expressao para k2 em (5.75), temos que (5.107) ocorre se, e somente se

2(1− k2)K(k)(2c− σ22) < 2cE(k) (5.108)

Por outro lado, ainda da formula para k2 em (5.75) temos,

2c

2c− σ22

=−(2c− 2σ2

2)

2c− σ22

+4c− 2σ2

2

2c− σ22

= −k2 + 2 .

Desta forma temos que (5.108) vale se, e somente se

2(1− k2)K(k) < (2− k2)E(k) . (5.109)

Definindo β2 = 1 − k2, temos quedβ

dσ2

=−k√1− k2

dk

dσ2

. Assim, como k ∈ (0, 1) segue de

(5.104) que β e uma funcao decrescente de σ2 ∈ (0,√c). Alem disso, da definicao de β2


temos β(σ2) ∈ (0, 1), β(0) = 0, e β(1) = 1. Logo, de (5.109) e da definicao de β2

temos que

d

dσ2

Ψ1(σ2, c) < 0 ⇔ (2 + β2 − 1)E(√

1− β2)− 2(1 + β2 − 1)K(√

1− β2) > 0 ,

isto e,

d

dσ2

Ψ1(σ2, c) < 0 ⇔ f(β) = (1 + β2)E(√

1− β2)− 2β2K(√

1− β2) > 0 ,

Como f(1) = 0

(limx→0+

E(k) = limx→0+

K(k) =π

2

)e suficiente mostrar que f e estritamente

decrescente. De fato, como kdE

dk(k) = E(k)−K(k) temos,

f ′(β) = 2βE(k)− (1 + β2)β[E(k)−K(k)]

1− β2− 4βK(k) +

2β(E(k)−K(k)+(1−β2)K(k))

1− β2

=2(1− β2)βE(k)− (1 + β2)βE(k) + (1 + β2)βK(k)− (1− β2)4βK(k)

1− β2

+2βE(k)− 2βK(k) + 2β(1− β2)K(k)

1− β2.

Assim, temos as equivalencias,

f ′(β) < 0 ⇔[2(1− β2)β − (1 + β2)β + 2β

]E(k) <

[3(1 + β2)β + 2β − 2β(1− β2)

]K(k)

⇔[2(1− β2)− (1 + β2) + 2

]E(k) <

[3(1 + β2) + 2− 2(1− β2)

]K(k) ⇔

3(1− β2)E(k) < 3

(1 +

5

3β2

)K(k) ⇔ (1− β2)E(k) <

(1 +

5

3β2

)K(k)

Como E(k) < K(k), 1 + 53β2 > 0 e (1− β2) <

(1− 5

3β2)

segue o desejado. Mostramos

entao qued

dσ2

Ψ1(σ2, c) < 0.

Portanto pelo Teorema da Funcao Implıcita, existe uma unica funcao suave Λ1 definida

numa vizinhanca J1(c0), tal que Ψ1(Λ1(c), c) = L para cada c ∈ J1(c0). Mostramos

desta forma o item (i) e (ii) do teorema. Como c0 foi escolhido arbitrario no intervalo

J1 =

(2π2

L2,+∞

), segue da unicidade da funcao Λ1, que podemos estender seu domınio

de definicao para

(2π2

L2,+∞

). Isto prova o ultimo item do teorema. 2

O proximo corolario garante que a funcao Λ1 definida no Teorema 5.14 e uma funcao

estritamente decrescente.


Corolario 5.15. Considere a aplicacao Λ1 : J1(c0) −→ B1(σ20), determinada pelo Teo-

rema 5.14. Entao Λ1 e uma funcao estritamente decrescente em J1(c0) .

Demonstracao: Pelo Teorema da Funcao Implıcita, ainda no contexto da demonstracao

do Teorema 5.14, temos que Ψ1(Λ1(c), c) = L para cada c ∈ J1(c0) e

d

dcΛ1(c) = −

dΨ1

dcdΨ1

dσ2

.

Como ja provamos quedΨ1

dσ2

< 0, para mostrar o corolario basta mostrar quedΨ1

dc< 0.

De fato, derivando (5.121) com respeito a c, temos

dΨ1

dc= − 2

√2

(2c− σ22)

32

K(k) +2√

2√2c− σ2

2

dK

dk

dk

dσ2

. (5.110)

Por outro lado, diferenciando (5.75) com respeito a c temos,

2kdK

dc=

2(2c− σ22)− 2(2c− 2σ2

2)

(2c− σ22)2

=4c− 2σ2

2 − 4c+ 4σ22

(2c− σ22)2

,

isto e,dK

dc=

σ22

k(2c− σ22)2

. (5.111)

Substituindo (5.111) em (5.110), temos as equivalencias.dΨ1

dc(σ2, c) < 0 ⇔

2√

2

(2c− σ22)

12

σ22

k(2c− σ22)2

dK

dk<

2√

2

(2c− σ22)

32

K(k) ⇔ σ22

k(2c− σ22)

dK

dk< K(k) ⇔

σ22

k

dK

dk< (2c− σ2

2)K(k) . (5.112)

Definindo k′2

= (1− k2), temos

(2c− σ22)k′

2

= (2c− σ22)(1− k2) = (2c− σ2

2)

[1− 2c− 2σ2

2

2c− σ22

]= σ2

2 . (5.113)

Assim, de (5.113), a desigualdade (5.112) ocorre se, e somente se

K(k) >k′

2

k

dK

dk. (5.114)

Finalmente comodK

dk=E − k′2Kkk′2

, temos de (5.114) que

dΨ1

dc(σ2, c) < 0 ⇔ k2K(k) > E(k)− k1

2

K(k) ⇔ (k2 + k′2

)K(k) > E(k)


e como k2 + k′2

= 1, temos que

dΨ1

dc(σ2, c) < 0 ⇔ K(k) > E(k) .

2

Como no caso da KdV , podemos explicitar c, σ1 e σ2 em funcao de k e L. Com isso

a solucao ϕc para (5.65) pode ser explicitada em funcao de k e L.

Para isto considere o sistema,k2 =

2c− 2σ22

2c− σ22

L =2√

2√2c− σ2

2

K(k) .

(5.115)

Elevando a segunda equacao de (5.115) ao quadrado temos,

−σ22 =

8K2(k)

L2− 2c . (5.116)

Substituindo (5.116) na primeira equacao de (5.115) encontramos,

k2 =2c+2

(8K2(k)L2 −2c

)2c+

(8K2(k)L2 − 2c

)=

(16K2(k)L2 − 2cL2

L2

)(

8K2(k)L2

) =16K2(k)−2cL2

8K2(k)=

8K2(k)−cL2

4K2(k). (5.117)

Usando (5.117), segue que

cL2 = 8K2(k)− 4k2K2(k) ,

isto e,

c =4K2(k)

L2(2− k2), k ∈ (0, 1) . (5.118)

Ademais, substituindo (5.118) em (5.116) , vem que

σ22 = −8K2(k)

L2+ 2

(4K2(k)

L2(2− k2)

)

=8K2(k)

L2(1− k2) ,

ou seja,

σ2 =2√

2k′2K(k)

L. (5.119)


Finalmente, como σ21 + σ2

2 = 2c temos,

σ21 = 2

(4K2(k)

L2(2− k2)

)− 8K2(k)

L2(1− k2)

=8K2(k)

L2

[(2− k2)− (1− k2)

]

=8K2(k)

L2,

ou seja,

σ1 =2√

2K(k)

L. (5.120)

Portanto a solucao dada em (5.88) se torna,

ϕc(x) =2√

2K(k)

Ldn

(2√

2K(k)L√2

x; k

),

isto e,

ϕc(x) =2√

2

LK(k)dn

(2K(k)

Lx; k

). (5.121)

O fato de ϕc depender somente de k e L sera util para caracterizarmos o espectro do

operador Lc, uma vez que usaremos ϕc na forma (5.121).

5.2.2 Propriedade espectral.

Nesta secao vamos mostrar que as propriedades (P1) e (P2) da condicao de estabilidade

em (5.6) ocorrem. Novamente pelo Teorema 3.5, temos que a famılia de operadores Lcem (5.66) e isonercial. Assim e suficiente provar (P1) e (P2) para um c > 0 fixado

arbitrariamente, digamos c0.

Note que, ϕ′c0 onde ′ denota a derivada em x, e autofuncao do operador Lc0 dado em

(5.66), associado ao autovalor 0. De fato, como ϕc0 e solucao de (5.65) temos,

Lc0(ϕ′c0) = −ϕ′′′c0 + c0ϕ′c0− 3ϕ2

c0ϕ′c0 = −ϕ′′′c0 + c0ϕ

′c0− 1

33(ϕ3

c0)′

=(−ϕ′′c0 + c0ϕc0 − ϕ3

c0

)′= 0

Com o objetivo de garantir as propriedades (P1) e (P2), vamos encontrar a constante θ

dada no Teorema 4.2 e em seguida aplicar o Teorema 4.4. Note que e possıvel estimar


o valor de θ, pois θ depende somente da autofuncao ϕ′c0 associada ao operador Lc0 e no

nosso caso, temos uma forma explıcita para essa autofuncao.

Como a constante c esta fixada, isto e, c = c0 e c depende univocamente de k, entao k

tambem esta fixado. Por outro lado, a constante c e fixada arbitrariamente. Logo fixamos

c de modo que o k fixo satisfaca k0 = k(c0) =1

2. Para este k0 temos,

ϕc0(x) =2√

2

πK

(1

2

)dn

(2K(

12

)π

x;1

2

).

Assim, a autofuncao p(x) = ϕ′c(x) e dada por,

p(x) =2√

2

πK

(1

2

)(−1

4

)sn

(2K(

12

)π

x;1

2

)cn

(2K(

12

)π

x;1

2

)2K(

12

)π

,

isto e,

p(x) = −√

2

π2K2

(1

2

)sn

(2K(

12

)π

x;1

2

)cn

(2K(

12

)π

x;1

2

). (5.122)

Como dn e uma funcao par, temos que p e uma funcao ımpar. O grafico de p e dado na

Figura 5.12.

Figura 5.12:

A funcao p(x) possui dois zeros no intervalo [0, π), o quais sao z1 = 0 e z2 =π

2.

Consequentemente p′(x) possui um zero x1 no intervalo(

0,π

2

)e outro zero x2 no intervalo


(π2, π)

. Assim, a constante θ deduzida no Teorema 4.2 e dada por,

θ = j(x1) + j(x2) + 2

∫ π

0

q′(t)

p(t)dt . (5.123)

onde j e definida em (4.7) e q definida em (4.4). Por outro lado, como p e ımpar, temos

q(−x) =−x− (−zi)p(−x)

=x− zip(x)

= q(x) ,

isto e, q e uma funcao par. Do fato deq′(x)

p(x)ser par e

j(x1) = −z2 − z1

p2(x1)= −

π2− 0

p2(x1)= −

(0 + π)− π2

(−p(−x1))2= −(z1 + π)− z2

p2(x2)= j(x2)

temos que a expressao para θ em (5.123) pode ser reduzida ao intervalo[0,π

2

], ou seja,

θ = 2j(x1) + 4

∫ π2

0

q′(t)

p(t)dt . (5.124)

Desta forma, para obtermos o valor de θ, temos que estimar p′(x), encontrar sua raiz

x1 no intervalo[0,π

2

], obter o valor de j(x1) e finalmente encontrar q e obter o valor de

θ atraves da equacao (5.124).

Seguindo esse cronograma, diferenciamos p dada em (5.122), isto e,

p′(x) = −√

2

(K

(1

2

))2

cn

(2K(

12

)π

x,1

2

)sn

(2K(

12

)π

x,1

2

)π−2

A funcao p′ possui um zero x1 no intervalo[0,π

2

]. Usando o programa Maple, con-

seguimos um valor aproximado para x1,

x1 w 0, 7495150 .

Como encontramos um valor aproximado para x1, podemos entao obter um valor

aproximado para j(x1). De fato, sabemos que,

j(x1) = −π2− 0

p2(x1)= − π

2p2(x1)

= −1

4π5

(K

(1

2

))−4(

cn

(2K(

12

)π

x1,1

2

))−2(sn

(2K(

12

)π

x1,1

2

))−2

Usando novamente o programa Maple, obtemos

j(x1) w −37, 89451252 .


Como z1 = 0 e z2 =π

2, temos que q e dado por,

q(x) =

x

p(x), x ∈ [0, x1)

x− π2

p(x), x ∈

[x1,

π

2

].

Assim, para x ∈ [0, x1) temos,

q(x) = −1

2x√

2π2

(K

(1

2

))−2(

cn

(2

K(

12

)x

π,1

2

))−1(sn

(2

K(

12

)x

π,1

2

))−1

.

e consequentemente,

q′(x) = −1

2

√2π2

(K

(1

2

))−2(

cn

(2

K(

12

)x

π,1

2

))−1(sn

(2

K(

12

)x

π,1

2

))−1

−x√

2π dn

(2

K(

12

)x

π,1

2

)(K

(1

2

))−1(

cn

(2

K(

12

)x

π,1

2

))−2

+x√

2π dn

(2

K(

12

)x

π,1

2

)(K

(1

2

))−1(

sn

(2

K(

12

)x

π,1

2

))−2

Para x ∈[x1,

π2

]temos,

q(x)=−1

2

(x− 1

2π

)√2π2

(K

(1

2

))−2(

cn

(2

K(

12

)x

π,1

2

))−1(sn

(2

K(

12

)x

π,1

2

))−1

e portanto,

q′(x) = −1

2

√2π2

(K

(1

2

))−2(

cn

(2

K(

12

)x

π,1

2

))−1(sn

(2

K(

12

)x

π,1

2

))−1

−(x− 1

2π

)√2π dn

(2

K(

12

)x

π,1

2

)(K

(1

2

))−1(

cn

(2

K(

12

)x

π,1

2

))−2

+

(x− 1

2π

)√2π dn

(2

K(

12

)x

π,1

2

)(K

(1

2

))−1(

sn

(2

K(

12

)x

π,1

2

))−2

.


Logo,q′

pem [0, x1) vem dado por,

q′(x)

p(x)= −1

2

−1

2

√2π2

(K

(1

2

))−2(

cn

(2

K(

12

)x

π,1

2

))−1(sn

(2

K(

12

)x

π,1

2

))−1

−x√

2π dn

(2

K(

12

)x

π,1

2

)(K

(1

2

))−1(

cn

(2

K(

12

)x

π,1

2

))−2

+x√

2π dn

(2

K(

12

)x

π,1

2

)(K

(1

2

))−1(

sn

(2

K(

12

)x

π,1

2

))−2

√2π2

(K

(1

2

))−2(

cn

(2

K(

12

)x

π,1

2

))−1(sn

(2

K(

12

)x

π,1

2

))−1

.

Por outro lado,q′

pem[x1,

π

2

]e dado por,

q′(x)

p(x)= −1

2

−1

2

√2π2

(K

(1

2

))−2(

cn

(2

K(

12

)x

π,1

2

))−1(sn

(2

K(

12

)x

π,1

2

))−1

−(x− 1

2π

)√2π dn

(2

K(

12

)x

π,1

2

)(K

(1

2

))−1(

cn

(2

K(

12

)x

π,1

2

))−2

+

(x− 1

2π

)√2π dn

(2

K(

12

)x

π,1

2

)(K

(1

2

))−1(

sn

(2

K(

12

)x

π,1

2

))−2

√2π2

(K

(1

2

))−2(

cn

(2

K(

12

)x

π,1

2

))−1(sn

(2

K(

12

)x

π,1

2

))−1

.

Usando o programa Maple, temos que a integral deq′

pem [0, x1) e aproximadamente

∫ x1

0

q′(t)

p(t)dt w 0, 4754396367

e em[x1,

π

2

)temos, ∫ π

2

x1

q′(t)

p(t)w 9, 392268479 .


Deste modo, conseguimos o valor de θ,

θ = 2j(x1) + 4

∫ x1

0

q′(t)

p(t)dt+ 4

∫ π2

x1

q′(t)

p(t)dt

w 2(−37, 89451250) + 4(9, 407248707) + 4(9.392268479) ,

isto e,

θ w −0, 59095625.

Portanto como p(x) possui exatamente dois zeros no intervalo [0, π) e θ e negativo,

temos pelo Teorema 4.4 que o autovalor 0 e simples e e o segundo autovalor associado

a autofuncao p(x) = ϕ′c0(x) do operador Lc0 dado em (5.66). Com isso para c = c0 o

espectro do operador Lc0 dado em (5.66) satisfaz (P1) e (P2).

5.2.3 Estabilidade.

Como ja mostramos que as propriedades (P1) e (P2) em (5.6) ocorrem, para obtermos

a estabilidade no sentido orbital das ondas viajantes periodicas para mKdV, segundo o

Teorema 5.3, basta exibir um χ ∈ L2per([0, L]), tal que Lc(χ) = ϕc e I = (χ, ϕc)L2

per< 0.

Ademais, mostramos tambem a propriedade (P0) da condicao de estabilidade, assim a

observacao 5.4 implica que χ pode ser escolhido como, χ = − d

dcϕc. Note que, construımos

uma curva suave de solucoes ϕc para (5.65) dependendo de c, ela nao depende do perıodo

L.

A funcao χ realmente satisfaz Lc(χ) = ϕc. De fato, como −ϕ′′c + cϕc − ϕ3c = 0, entao

− d

dc

(−ϕ′′c + cϕc − ϕ3

c

)= 0 e assim,

Lc(− ddcϕc)

=

(d

dcϕc

)′′− c

(d

dcϕc

)+ 3ϕ2

c

(d

dcϕc

)

=d

dcϕ′′c − c

d

dc(ϕc) + 3

1

3

d

dc

(ϕ3c

)+ ϕc

=d

dc

(−ϕ′′c + cϕc − ϕ3

c

)+ ϕc = ϕc .

Desta forma, para obtermos a estabilidade procurada, basta mostrar que I < 0.

A proxima proposicao mostra que I < 0 e consequentemente a estabilidade para

solucao ondas viajantes periodicas para mKdV.


Proposicao 5.16. A solucao onda viajante periodica de (5.65) ϕc dada por

ϕc =2√

2

πK(k)dn

(2K(k)

πx; k

)satisfaz I = (χ, ϕc)L2

per< 0, onde χ = − d

dcϕc.

Demonstracao: Observe que,

I =

(d

dcϕc, ϕc

)L2per

=

∫ π

0

− d

dc(ϕc(x))ϕc(x)dx = −

∫ π

0

1

2

d

dc(ϕc)

2 = −1

2

d

dc

∫ π

0

(ϕc)2(x)dx .

Deste modo, para mostrar que I < 0, basta mostrar que,

d

dc

∫ π

0

ϕ2c(x)dx > 0 . (5.125)

A integral em (5.125) e dada por,∫ π

0

ϕ2c(x)dx =

∫ π

0

8

π2K2(k)dn2

(2K(k)

πx; k

)dx

=8

π2K2(k)

∫ π

0

dn2

(2K(k)

πx; k

)dx .

Escrevendo ξ =2K(k)

πx e usando que dn e par e

∫ K(k)

0

dn2(ξ, k)dξ = E(ξ), temos

∫ π

0

ϕ2c(x)dx =

8K2(k)

π2

π

2K(k)

∫ 2K(k)

0

dn2(ξ, k)dξ

=4K(k)

π

∫ 2K(k)

0

dn2(ξ, k)dξ =8K(k)

π

∫ K(k)

0

dn2(ξ, k)dξ

=8K(k)

πE(k) .

Assim, ∫ π

0

ϕ2c(x)dx =

8K(k)

πE(k) . (5.126)

Porem c depende de k, daı

d

dc

∫ π

0

ϕ2c(x)dx =

d

dc

(∫ π

0

ϕ2c(x)dx

)dk

dc. (5.127)

Usando (5.126) e o Lema 5.10, temos que

d

dk

(∫ π

0

ϕc(x)dx

)> 0 . (5.128)


Por outro lado, de (5.111) temos quedk

dc> 0.

Portanto de (5.111), (5.128) e (5.127), temos que (5.125) e valido. Isto prova a

proposicao e consequentemente a estabilidade no sentido orbital de solucoes ondas vi-

ajantes periodicas para a equacao modificada Korteweg-de Vries (mKdV). 2

Na verdade, os argumentos estabelecidos nesta secao e o Teorema 5.3 provam o seguinte

teorema de estabilidade.

Teorema 5.17. Seja c ∈ (2,∞). Entao a solucao ϕc de (5.65) dada em (5.88), e estavel

em H1per([0, L]) pelo fluxo da equacao modificada Korteweg-de Vries.

2

Capıtulo 6

Apendice

Neste apendice analisaremos o espectro nao positivo do operador Lc no caso da KdV,

Lc(y) = −y′′ + (c− ϕc)y

onde ϕc tem perıodo minimal π e D(Lc) = H2per([0, L]). Os argumentos aqui mencionados

podem ser aplicados a outros tipos de operadores de Hill.

Conforme vimos no capitulo 5, o operador Lc possui uma autofuncao p(x) =d

dxϕc0

com perıodo π, onde ϕc e dada por,

ϕc(ξ)=16K2

(√1−k2+k4+(1−2k2)

)L2

+48K2k2

L2cn2

(2K

Lξ; k

)(6.1)

A funcao p e representada por,

Figura 6.1:

Como p e periodica com perıodo π e p e ımpar, temos

p2(xi) = p2(xi+1), ∀i ∈ N∗. (6.2)

Apendice 167

Por outro lado, ainda pelo fato de p ser periodica com perıodo π e p ımpar,

zi+1 − zi = zi+2 − zi+1, ∀i ∈ N∗. (6.3)

Portanto, como j(xi) =zi+1 − zip2(xi)

, temos de (6.2) e (6.3) que,

j(xi) = j(xi+1), ∀i ∈ N∗. (6.4)

Pela periodicidade deq′

p,

∫ a+π

a

q′(t)

p(t)dt =

∫ π

0

q′(t)

p(t)dt,

para qualquer a ∈ R fixado. Neste contexto, para a = kπ temos,∫ (k+1)π

kπ

q′(t)

p(t)dt =

∫ kπ+π

kπ

q′(t)

p(t)dt =

∫ π

0

q′(t)

p(t)dt (6.5)

onde k ∈ N∗.

Vamos agora definir o espaco Hsmπ−per, para m ∈ N∗.

Definicao 6.1. O espaco Hsmπ−per e o espaco Hs

per porem com suas funcoes sendo periodicas

com perıodo mπ. Observe que para m = 1, Hsmπ−per = Hs

per.

Como toda funcao periodica com perıodo π e periodica com perıodo mπ, temos bem

definido em H2mπ−per o operador

Lc,mπ = − d2

dx2+ c− ϕc ,

onde ϕc e periodica com perıodo π.

Na busca por alguma propriedade espectral para o espectro nao positivo deste oper-

ador, consideramos a constante θ dada pelo Teorema (4.2),

θmπ =∑

xi∈(0,mπ]

j(xi) + 2

∫ mπ

0

q′(t)

p(t)dt

Para m = 1, temos θ1 = θ, que ja encontramos como sendo

θ ' −0, 01.

Observe que θmπ pode ser reescrito na forma,

θmπ =∑

xi∈(0,mπ]

j(xi) + 2

[m−1∑k=0

(∫ (k+1)π

kπ

q′(t)

p(t)dt

)].

Apendice 168

Como p e periodica com perıodo π e∑

xi∈(0,π]

j(xi) = 2j(x1), temos por (6.4) que,

θmπ = 2mj(x1) + 2

[m−1∑k=0

(∫ (k+1)π

kπ

q′(t)

p(t)dt

)]

e usando (6.5) tem-se,

θmπ = 2mj(x1) + 2m

∫ π

0

q′(t)

p(t)dt

= m

(2j(x1) + 2

∫ π

0

q′(t)

p(t)dt

)

= mθ1 = mθ .

Sendo θ ' −0, 01, temos que

θmπ ' −(0, 01).m

e assim θmπ < 0.

Portanto, pelo teorema (4.4), 0 e simples e 0 e o 2m-esimo auto valor do espectro de

Lc,mπ.

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