hintikka principle math rev

7/30/2019 Hintikka Principle Math Rev

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T h i s b o o k , w r i t t e n b y o n e o f p h i l o s o p h y ' s p r e - e m i n e n t l o g i c i a n s ,a r g u e s t h a t m a n y o f t h e b a s i c a s s u m p t i o n s c o m m o n l y m a d e i n l o g i c ,

t h e f o u n d a t i o n s o f m a t h e m a t i c s a n d m e t a p h y s i c s a r e i n n e e d o fc h a n g e . I t i s t h e r e f o r e a b o o k o f c r i t i c a l i m p o r t a n c e t o l o g i c a l t h e o r ya n d t h e p h i l o s o p h y o f m a t h e m a t i c s .

J a a k k o H i n t i k k a p r o p o s e s a n e w b a s i c f i r s t - o r d e r l o g i c a n d u s e s i tt o e x p l o r e t h e f o u n d a t i o n s o f m a t h e m a t i c s . T h i s n e w l o g i c e n a b l e sl o g i c i a n s t o e x p r e s s o n t h e f i r s t - o r d e r l e v e l s u c h c o n c e p t s a s e q u i -c a r d i n a l i t y , i n f i n i t y a n d t r u t h i n t h e s a m e l a n g u a g e . T h e f a m o u s

i m p o s s i b i l i t y r e s u l t s b y G ö d e l a n d T a r s k i t h a t h a v e d o m i n a t e d t h ef i e l d f o r t h e p a s t s i x t y y e a r s t u r n o u t t o b e m u c h l e s s s i g n i f i c a n t t h a nh a s b e e n t h o u g h t . A l l o f o r d i n a r y m a t h e m a t i c s c a n i n p r i n c i p l e b ed o n e o n t h i s f i r s t - o r d e r l e v e l , t h u s d i s p e n s i n g w i t h a l l p r o b l e m sc o n c e r n i n g t h e e x i s t e n c e o f s e t s a n d o t h e r h i g h e r - o r d e r e n t i t i e s .



T H E P R I N C I P L E S O F M A T H E M A T I C S R E V I S I T E D



T H E P R I N C I P L E S O F

M A T H E M A T I C SR E V I S I T E D

J A A K K O H I N T J K K A

B o s t o n U n i v e r s i t y

C A M B R I D G EU N I V E R S I T Y P R E S S



P U B L I S H E D B Y T H E P R E S S S Y N D I C A T E O F T H E U N I V E R S I T Y O F C A M B R I D G E

T h e P i t t B u i l d i n g , T r u m p i n g t o n S t r e e t , C a m b r i d g e , U n i t e d K i n g d o m

C A M B R I D G E U N I V E R S I T Y P R E S S

T h e E d i n b u r g h B u i l d i n g , C a m b r i d g e C B 2 2 R U , U K h t t p : / / w w w . c u p . c a m . a c . u k

4 0 W e s t 2 0 t h S t r e e t , N e w Y o r k , N Y 1 0 0 1 1 - 4 2 1 1 , U S A h t t p : / / w w w . c u p . o r g

1 0 S t a m f o r d R o a d , O a l d e i g h , M e l b o u r n e 3 1 6 6 , A u s t r a l i a

R u i z d e A l a r c ó n 1 3 , 2 8 0 1 4 M a d r i d , S p a i n

© C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s 1 9 9 6

T h i s b o o k i s i n c o p y r i g h t . S u b j e c t t o s t a t u t o r y e x c e p t i o n

a n d t o t h e p r o v i s i o n s o f r e l e v a n t c o l l e c t i v e l i c e n s i n g a g r e e m e n t s ,

n o r e p r o d u c t i o n o f a n y p a r t m a y t a k e p l a c e w i t h o u t

t h e w r i t t e n p e r m i s s i o n o f C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s ; .

F i r s t p u b l i s h e d 1 9 9 6

F i r s t p a p e r b a c k e d i t i o n 1 9 9 8

R e p r i n t e d 1 9 9 9

T y p e s e t i n ' F i m e s

L i b r a , y o f C o n g r e s s C a t a l o g i n g i n P u b l i c a t i o n d a t a i s a v a i l a b l e .

A c a t a l o g r e c o r d f o r t h i s b o o k i s a v a i l a b l e f r o m t h e B r i t i s h L i b r a r y .

I S B N 0 5 2 1 4 9 6 9 2 6 h a r d b a c kI S B N 0 5 2 1 6 2 4 9 8 3 p a p e r b a c k

T r a n s f e r r e d t o d i g i t a l p r i n t i n g 2 0 0 3



C o n t e n t s

I n t r o d u c t i o n p a g e v i i

1 T h e f u n c t i o n s o f l o g i c a n d t h e p r o b l e m o f t r u t hd e f i n i t i o n 1

2 T h e g a m e o f l o g i c 2 2

3 F r e g e ' s f a l l a c y f o i l e d : I n d e p e n d e n c e - f r i e n d l y l o g i c 4 64 T h e j o y s o f i n d e p e n d e n c e : S o m e u s e s o f I F l o g i c 7 2

5 T h e c o m p l e x i t i e s o f c o m p l e t e n e s s 8 8

6 W h o ' s a f r a i d o f A l f r e d T a r s k i ? T r u t h d e f i n i t i o n s f o rI F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e s 1 0 5

7 T h e l i a r b e l i e d : N e g a t i o n i n I F l o g i c 1 3 1

8 A x i o m a t i c s e t t h e o r y : F r a e n k e l s t e i n ' s m o n s t e r ? 1 6 3

9 I F l o g i c a s a f r a m e w o r k f o r m a t h e m a t i c a l t h e o r i z i n g 1 8 3

1 0 C o n s t r u c t i v i s m r e c o n s t r u c t e d 2 1 1

1 1 T h e e p i s t e m o l o g y o f m a t h e m a t i c a l o b j e c t s 2 3 5

A p p e n d i x ( b y G a b r i e l S a n d u ) 2 5 4

R e f e r e n c e s 2 7 1

I n d e x o f n a m e s 2 8 1

I n d e x o f s u b j e c t s a n d t i t l e s 2 8 5

V



I n t r o d u c t i o n

T h e t i t l e o f t h i s w o r k i s m o d e l e d o n B e r t r a n d R u s s e l l ' s 1 9 0 3 b o o kT h e P r i n c i p l e s o f M a t h e m a t i c s . W h a t i s t h e c o n n e c t i o n ? A s I s e e i t ,R u s s e l l ' s b o o k w a s a n i m p o r t a n t s t e p i n h i s s t r u g g l e t o l i b e r a t e

h i m s e l f f r o m t r a d i t i o n a l a p p r o a c h e s t o l o g i c a n d t h e f o u n d a t i o n s o fm a t h e m a t i c s a n d t o r e p l a c e t h e m b y a n a p p r o a c h u s i n g a s i t s m a i n

t o o l , a n d d e r i v i n g i t s i n s p i r a t i o n f r o m , t h e n e w l o g i c c r e a t e d b y F r e g ea n d P e a n o . I n t h e P r i n c i p l e s , R u s s e l l i s n o t y e t a c t u a l l y c o n s t r u c t i n g

t h e n e w f o u n d a t i o n f o r m a t h e m a t i c s w h i c h h e l a t e r b u i l t w i t h A . N .W h i t e h e a d . T h e P r i n c i p l e s i s n o t t h e P r i n c i p i a . W h a t R u s s e l l i s d o i n gi n t h e 1 9 0 3 b o o k i s t o e x a m i n e t h e c o n c e p t u a l p r o b l e m s t h a t a r i s e i nt h e f o u n d a t i o n s o f l o g i c a n d m a t h e m a t i c s , e x p o s e t h e d i f f i c u l t i e s i nt h e e a r l i e r v i e w s a n d b y s o d o i n g t r y t o f i n d g u i d e l i n e s f o r t h e r i g h ta p p r o a c h .

I n t h i s b o o k , I a m h o p i n g i n t h e s a m e s p i r i t t o p r e p a r e t h e g r o u n df o r t h e n e x t r e v o l u t i o n ( i n J e f f e r s o n ' s s e n s e r a t h e r t h a n L e n i n ' s ) i n t h ef o u n d a t i o n s o f m a t h e m a t i c s . A s i n R u s s e l l , t h i s i n v o l v e s b o t h a c r i t i -c a l a n d a c o n s t r u c t i v e t a s k , e v e n t h o u g h t h e y c a n n o t b e s e p a r a t e df r o m e a c h o t h e r . I n d e e d , i f t h e r e h a d n o t b e e n t h e d a n g e r o fc o n f u s i n g b i b l i o g r a p h e r s , I w o u l d h a v e g i v e n t h i s b o o k t h e d o u b l ee n t e n d r e t i t l e T h e P r i n c i p l e s o f M a t h e m a t i c s R e v i s ( i t ) e d .

T h e c r i t i c a l p a r t o f m y a g e n d a i s t h e e a s i e r o n e t o d e s c r i b e . I n d e e d ,i f ! w e r e T h o m a s K u h n , I c o u l d g i v e a m o s t c o n c i s e d e s c r i p t i o n o f t h es t a t e o f t h e a r t i n t h e f o u n d a t i o n s o f l o g i c a n d m a t h e m a t i c s . A l m o s t

e v e r y o n e i n t h e f i e l d a s s u m e s t h a t h e o r s h e i s d o i n g n o r m a l s c i e n c e ,e v e n t h o u g h i n r e a l i t y a s e r i o u s c r i s i s i s a b o u t t o b r e a k o u t . H e n c ew h a t i s n e e d e d h e r e i s c r i s i s s c i e n c e i n K u h n ' s s e n s e , a n d n o t n o r m a l

v i i



V i i i I N T R O D U C T I O N

s c i e n c e w i t h i t s s a f e , o r a t l e a s t g e n e r a l l y a c c e p t e d , c o n c e p t u a lf r a m e w o r k a n d i t s a g r e e d - u p o n c r i t e r i a o f s u c c e s s . M o s t o f t h er e c e i v e d v i e w s c o n c e r n i n g t h e o v e r a l l s i t u a t i o n i n t h e f o u n d a t i o n s o f

l o g i c a n d m a t h e m a t i c s a r e n o t o n l y o p e n t o d o u b t b u t a r e a r g u a b l y( a n d o f t e n d e m o n s t r a b l y ) f a l s e . I n d e e d , a r g u m e n t s a n d d e m o n s t r a -t i o n s t o t h i s e f f e c t w i l l b e p r e s e n t e d i n t h i s w o r k .

T h e d o g m a s t h a t a r e r i p e f o r r e j e c t i o n i n c l u d e t h e f o l l o w i n gc o m m o n p l a c e s : T h e b a s i c p a r t o f l o g i c , t h e t r u e e l e m e n t a r y l o g i c , i so r d i n a r y f i r s t - o r d e r l o g i c , a t l e a s t i f y o u a r e a c l a s s i c i s t . I f y o u a r e a ni n t u i t i o n i s t , y o u u s e i n s t e a d H e y t i n g ' s i n t u i t i o n i s t f i r s t - o r d e r l o g i c .

I n e i t h e r c a s e , o u r b a s i c e l e m e n t a r y l o g i c a d m i t s o f a c o m p l e t ea x i o m a t i z a t i o n .O n t h e l e v e l o f f i r s t - o r d e r l o g i c , y o u c a n o n l y f o r m u l a t e f o r m a l

r u l e s o f i n f e r e n c e , t h a t i s , t r e a t l o g i c s y n t a c t i c a l l y . F o r ( a n d w i t h t h i sp o i n t I a g r e e ) i n o r d e r t o d o s e m a n t i c s ( m o d e l t h e o r y ) , y o u n e e da t r u t h d e f i n i t i o n f o r t h e l a n g u a g e i n q u e s t i o n . A c c o r d i n g t o t h ec u r r e n t v i e w s , s u c h a t r u t h d e f i n i t i o n c a n n o t b e f o r m u l a t e d i n t h es a m e l a n g u a g e , o n l y i n a s t r o n g e r m e t a l a n g u a g e . F o r f i r s t - o r d e r

l a n g u a g e s , s u c h a t r u t h d e f i n i t i o n m u s t n a t u r a l l y b e f o r m u l a t e d i n s e tt h e o r y o r i n a s e c o n d - o r d e r l a n g u a g e . I n b o t h c a s e s , w e a r e d e a l i n gw i t h a m a t h e m a t i c a l r a t h e r t h a n a p u r e l y l o g i c a l l a n g u a g e . M o d e lt h e o r y i s t h u s i n e v i t a b l y a m a t h e m a t i c a l d i s c i p l i n e , a n d n o t a p u r e l yl o g i c a l o n e . M o r e o v e r , w h a t a f o r m a l t r u t h d e f i n i t i o n c a n d o i s o n l ya n a b s t r a c t c o r r e l a t i o n b e t w e e n s e n t e n c e s a n d t h e f a c t s t h a t m a k et h e m t r u e . T h e y c a n n o t p r o v i d e a n e x p l a n a t i o n o f w h a t i t i s t h a tm a k e s a s e n t e n c e t r u e . F o r m a l t r u t h d e f i n i t i o n s c a n n o t s h o w , e i t h e r ,h o w s e n t e n c e s a r e a c t u a l l y v e r i f i e d .

N o n t r i v i a l f i r s t - o r d e r m a t h e m a t i c a l t h e o r i e s , i n c l u d i n g e l e m e n t a r ya r i t h m e t i c , a r e i n e v i t a b l y i n c o m p l e t e i n a l l t h e i n t e r e s t i n g s e n s e s o ft h e t e r m . T h e r e a r e n o a b s o l u t e p r i n c i p l e s t o g u i d e t h e s e a r c h f o rs t r o n g e r d e d u c t i v e a x i o m s f o r m a t h e m a t i c a l t h e o r i e s .

F i r s t - o r d e r l o g i c i s i n c a p a b l e o f d e a l i n g w i t h t h e m o s t c h a r a c t e r i s -t i c c o n c e p t s a n d m o d e s o f i n f e r e n c e i n m a t h e m a t i c s , s u c h a s m a t h -

e m a t i c a l i n d u c t i o n , i n f i n i t y , e q u i c a r d i n a l i t y , w e l l - o r d e r i n g , p o w e rs e t f o r m a t i o n , a n d s o f o r t h . H e n c e m a t h e m a t i c a l t h i n k i n g i n v o l v e se s s e n t i a l l y h i g h e r - o r d e r e n t i t i e s o f s o m e s o r t o r t h e o t h e r , b e t h e ys e t s , c l a s s e s , r e l a t i o n s , p r e d i c a t e s , a n d s o f o r t h , i n t h e s t r o n g s e n s e o fi n v o l v i n g q u a n t i f i c a t i o n o v e r t h e m . F o r m a l l y s p e a k i n g , m a t h e m a t -i c s c a n b e d o n e o n t h e f i r s t - o r d e r l e v e l o n l y i f t h e v a l u e s o f i n d i v i d u a lv a r i a b l e s i n c l u d e h i g h e r - o r d e r e n t i t i e s , s u c h a s s e t s . I t i s t h e r e f o r e



I N T R O D U C T I O N i x

t h e o r e t i c a l l y i l l u m i n a t i n g t o f o r m u l a t e m a t h e m a t i c a l t h e o r i e s i ns e t - t h e o r e t i c a l t e r m s . A x i o m a t i c s e t t h e o r y i s a c c o r d i n g l y a n a t u r a lf r a m e w o r k f o r m a t h e m a t i c a l t h e o r i z i n g .

N e g a t i o n i s a s i m p l e c o n c e p t w h i c h i n v o l v e s m e r e l y a r e v e r s a l o ft r u t h - v a l u e s , t r u e a n d f a l s e . I t i s a c h a r a c t e r i s t i c f e a t u r e o f c o n s t r u c -t i v i s t i c a p p r o a c h e s t o l o g i c t o d e n y t h e l a w o f e x c l u d e d m i d d l e .

A n o t h e r t r a d e m a r k o f c o n s t r u c t i v i s m i s t h e r e j e c t i o n o f t h e a x i o m o fc h o i c e . I n g e n e r a l , t h e w a y t o i m p l e m e n t a c o n s t r u c t i v i s t i c i n t e r p r e -

t a t i o n o f l o g i c i s t o c h a n g e t h e r u l e s o f i n f e r e n c e o r p e r h a p s t o c h a n g es o m e o f t h e c l a u s e s i n a t r u t h d e f i n i t i o n .

F u r t h e r m o r e , i t i s g e n e r a l l y ( t h o u g h n o t u n i v e r s a l l y ) a s s u m e d b yl i n g u i s t s , l o g i c i a n s a n d p h i l o s o p h e r s t h a t o n e s h o u l d t r y t o a b i d e b yt h e s o - c a l l e d p r i n c i p l e o f c o m p o s i t i o n a l i t y i n o n e ' s s e m a n t i c s . I t s a y st h a t t h e s e m a n t i c a l v a l u e o f a g i v e n c o m p l e x e x p r e s s i o n i s a l w a y sa f u n c t i o n o f t h e s e m a n t i c a l v a l u e s o f i t s c o m p o n e n t e x p r e s s i o n s . T h ef u n c t i o n i n q u e s t i o n i s d e t e r m i n e d b y t h e s y n t a c t i c a l f o r m o f t h eg i v e n e x p r e s s i o n .

I n t h i s w o r k , I w i l l a r g u e t h a t n o t o n l y o n e o r t w o o f t h e s e

w i d e s p r e a d v i e w s a r e m i s t a k e n , b u t t h a t a l l o f t h e m a r e w r o n g .M o r e o v e r , I w i l l s h o w w h a t t h e c o r r e c t v i e w s a r e t h a t s h o u l d r e p l a c e

t h e e r r o n e o u s d o g m a s l i s t e d a b o v e . I a m n o t a d e c o n s t r u c t i v i s t o ra s k e p t i c . O n t h e c o n t r a r y , I a m t r y i n g t o w a k e m y f e l l o w p h i l o s -o p h e r s o f m a t h e m a t i c s f r o m t h e i r s k e p t i c a l s l u m b e r s a n d t o p o i n to u t t o t h e m a w e a l t h o f n e w c o n s t r u c t i v e p o s s i b i l i t i e s i n t h e f o u n d a -t i o n s o f m a t h e m a t i c s . T h i s w i l l b e d o n e b y d e v e l o p i n g a n e w a n db e t t e r b a s i c l o g i c t o r e p l a c e o r d i n a r y f i r s t - o r d e r l o g i c . T h i s r e c e i v e db a s i c l o g i c o w e s i t s e x i s t e n c e t o a n u n d u l y r e s t r i c t i v e f o r m u l a t i o n o ft h e f o r m a t i o n r u l e s f o r f i r s t - o r d e r l o g i c p r o b a b l y m o t i v a t e d b y a nu n c r i t i c a l a c c e p t a n c e o f t h e d o g m a o f c o m p o s i t i o n a l i t y . T h e n e wl o g i c w h i c h i s f r e e o f t h e s e r e s t r i c t i o n s p r o v i d e s t h e i n s i g h t s t h a t i nm y j u d g m e n t a r e n e e d e d i n t h e f o u n d a t i o n s o f l o g i c a n d m a t h e m a t -i c s . I r o n i c a l l y , t h e r e c e i v e d f i r s t - o r d e r l o g i c w h i c h I a m d e m o t i n g i st h e c o r e p a r t o f t h e t h e n n e w l o g i c t o w h o s e i n t r o d u c t i o n R u s s e l l w a s

p a v i n g t h e w a y i n t h e P r i n c i p l e s o f M a t h e m a t i c s . T h e a d m i r e r s o fR u s s e l l c a n n e v e r t h e l e s s f i n d s o m e c o n s o l a t i o n i n t h e c l o s e n e s s o f m y

n e w l o g i c t o t h e k i n d o f l o g i c R u s s e l l w a s p r o p a g a t i n g . T h e t w on e v e r t h e l e s s d i f f e r s i g n i f i c a n t l y i n t h e i r p h i l o s o p h i c a l a n d o t h e rg e n e r a l t h e o r e t i c a l i m p l i c a t i o n s a n d s u g g e s t i o n s .

I n m y j u d g m e n t , e v e n t h e c r i t i c a l a s p e c t s o f t h i s b o o k w i l l h a v ea l i b e r a t i n g e f f e c t . T h e r e a s o n i s t h a t m a n y o f t h e d o g m a s I h a v e j u s t



X I N T R O D U C T I O N

l i s t e d a r e e s s e n t i a l l y r e s t r i c t i v e , i n c l u d i n g t h e o r e m s a s t o w h a tc a n n o t b e d o n e i n l o g i c o r i n m a t h e m a t i c s . R e f u t i n g t h e m i s t h e r e f o r ea n a c t o f l i b e r a t i o n . F o r a s i g n i f i c a n t e x a m p l e , i t t u r n s o u t t h a t i n o n e

p e r f e c t l y n a t u r a l s e n s e o f t h e w o r d m a t h e m a t i c s c a n i n p r i n c i p l e b ed o n e o n t h e f i r s t - o r d e r l e v e l . I n g e n e r a l m y l i b e r a t e d f i r s t - o r d e r l o g i cc a n d o m u c h m o r e i n m a t h e m a t i c s t h a n p h i l o s o p h e r s h a v e r e c e n t l yt h o u g h t o f a s b e i n g p o s s i b l e .

T h e s t r a t e g y o f t h i s l o g i c i a n ' s l i b e r a t i o n m o v e m e n t d o e s n o t r e l yo n c o m p l i c a t e d t e c h n i c a l r e s u l t s , b u t o n a c a r e f u l e x a m i n a t i o n o fs e v e r a l o f t h e k e y c o n c e p t s w e e m p l o y i n l o g i c a n d m a t h e m a t i c s ,

i n c l u d i n g t h e f o l l o w i n g c o n c e p t s : q u a n t i f i e r , s c o p e , l o g i c a l p r i o r i t ya n d l o g i c a l d e p e n d e n c e , c o m p l e t e n e s s , t r u t h , n e g a t i o n , c o n s t r u c t i v -i t y , a n d k n o w l e d g e o f o b j e c t s a s d i s t i n g u i s h e d f r o m k n o w l e d g e o ff a c t s . A p a t i e n t a n a l y s i s o f t h e s e i d e a s c a n u n c o v e r i n t h e m g r e a t e rc o n c e p t u a l r i c h e s t h a n p h i l o s o p h e r s a n d m a t h e m a t i c i a n s h a v e s u s -p e c t e d . I t h a s r e c e n t l y b e e n f a s h i o n a b l e t o b a d m o u t h C a r n a p ' s i d e a

o f p h i l o s o p h y o f s c i e n c e a s a l o g i c a l a n a l y s i s o f t h e l a n g u a g e o fs c i e n c e , a n d b y a n a l o g y o f t h e p h i l o s o p h y o f m a t h e m a t i c s a s t h e

l o g i c a l a n a l y s i s o f t h e " l a n g u a g e " o f m a t h e m a t i c s t h a t i s , o f t h eb a s i c c o n c e p t s o f m a t h e m a t i c s a n d m e t a m a t h e m a t i c s . U n d o u b t e d l yC a r n a p a n d h i s c o l l e a g u e s w e r e n e i t h e r s e n s i t i v e e n o u g h t o t h ed e e p e r c o n c e p t u a l i s s u e s n o r i n p o s s e s s i o n o f s u f f i c i e n t l y p o w e r f u ll o g i c a l t o o l s . N o n e t h e l e s s , o b j e c t i v e l y s p e a k i n g a s t u d y o f t h e r o l e s o fl a n g u a g e , t r u t h a n d l o g i c i n m a t h e m a t i c s s e e m s t o m e b y f a r t h e m o s tf r u i t f u l a p p r o a c h t o t h e p h i l o s o p h i c a l n a t u r e o f m a t h e m a t i c a l t h e -o r i e s . F o r a b r i e f w h i l e ! w a s p l a y i n g w i t h t h e i d e a o f c a l l i n g t h i s b o o kL a n g u a g e , T r u t h a n d L o g i c i n M a t h e m a t i c s .

T h i s s t r a t e g y i m p l i e s t h a t m y b o o k w i l l b e m o r e l i k e R u s s e l l ' sP r i n c i p l e s t h a n h i s P r i n c i p i a i n a n o t h e r r e s p e c t , t o o . M o s t o f t h e t i m eI a m n o t d e v e l o p i n g m y i d e a s h e r e i n t h e f o r m o f a m a t h e m a t i c a l o rl o g i c a l t r e a t i s e , w i t h f u l l f o r m a l d e t a i l s a n d e x p l i c i t p r o o f . T h i s w o r ki s a p h i l o s o p h i c a l e s s a y , a n d n o t a r e s e a r c h p a p e r o r t r e a t i s e i n l o g i co r m a t h e m a t i c s . E v e n t h o u g h I w i l l t r y t o e x p l a i n a l l t h e m a i n f o r m a l

d e t a i l s t h a t I n e e d i n t h i s b o o k , I w i l l a c c o r d i n g l y d o s o o n l y i n s o f a ra s t h e y s e e m t o b e n e c e s s a r y f o r t h e p u r p o s e o f u n d e r s t a n d i n g m yo v e r a l l l i n e o f t h o u g h t .

I n t h i n k i n g a b o u t t h e s u b j e c t m a t t e r — o r , r a t h e r , s u b j e c t m a t -t e r s — o f t h i s b o o k o v e r t h e y e a r s ! h a v e p r o f i t e d f r o m e x c h a n g e s w i t hm o r e p e o p l e t h a n I c a n r e c a l l , l e t a l o n e l i s t h e r e . T h r e e o f t h e mo c c u p y a s p e c i a l p o s i t i o n , h o w e v e r , b e c a u s e t h e y h a v e m a d e a c o n t r i -



I N T R O D U C T I O N X l

b u t i o n o f o n e k i n d o r t h e o t h e r t o t h e g e n e s i s o f t h i s b o o k . S o m e o ft h e p o i n t s I a m m a k i n g h e r e I h a v e a r g u e d w i t h o r , r a t h e r ,a g a i n s t — o n e o f m y o l d e s t A m e r i c a n f r i e n d s , B u r t o n D r e b e n , e v e r

s i n c e I c a m e t o k n o w h i m i n 1 9 5 4 . A f t e r f o r t y y e a r s , I b e l i e v e I h a v ef i n a l l y f o u n d t h e c l i n c h i n g a r g u m e n t s f o r m y l i n e o f t h o u g h t .

M o s t o f t h e n e w i d e a s e x p o u n d e d i n t h i s b o o k I h a v e d e v e l o p e d i nc l o s e c o o p e r a t i o n w i t h G a b r i e l S a n d u . I n s o m e c a s e s , I c a n n o t a n yl o n g e r s a y w h o c a m e u p o n w h i c h i d e a f i r s t . I c a n o n l y h o p e t h a t h ew i l l s o o n p u b l i s h h i s v e r s i o n o f s o m e o f t h e m a i n r e s u l t s o f t h i s b o o k .

S a n d u h a s a l s o c o n t r i b u t e d t o t h i s b o o k s u b s t a n t i a l l y t h r o u g h

s p e c i f i c c o m m e n t s , c r i t i c i s m s a n d s u g g e s t i o n s . H e h a s w r i t t e n a ni m p o r t a n t c o m p a r i s o n b e t w e e n s o m e o f o u r r e s u l t s a n d K r i p k e ' sa p p r o a c h t o t r u t h w h i c h i s p r i n t e d b e l o w a s a n a p p e n d i x t o t h i sb o o k . I n b r i e f , t h i s b o o k o w e s m o r e t o G a b r i e l S a n d u t h a n I a ml i k e l y t o b e a w a r e o f m y s e l f . F u r t h e r m o r e , J a n n e H i i p a k k a h a s b e e no f i n v a l u a b l e h e l p , n o t o n l y i n p r e p a r i n g t h e m a n u s c r i p t b u t a l s o i n

c o r r e c t i n g m i s t a k e s a n d m a k i n g s u g g e s t i o n s .I n w o r k i n g o n t h i s b o o k , I h a v e c o m e t o a p p r e c i a t e m o r e a n d

m o r e t h e i m p o r t a n c e o f t h e i s s u e s r a i s e d b y t h e c l a s s i c s o f t w e n t i e t h -c e n t u r y p h i l o s o p h y o f m a t h e m a t i c s , e s p e c i a l l y H i l b e r t , T a r s k i ,

C a r n a p a n d G ö d e l . W h i l e I f r e q u e n t l y d i s a g r e e w i t h e a c h o f t h e m ,t h e q u e s t i o n s t h e y w e r e a s k i n g a r e m u c h m o r e i m p o r t a n t t h a n m o s to f t h e i s s u e s t h a t h a v e b e e n d e b a t e d r e c e n t l y , a n d e m i n e n t l y w o r t h

g o i n g b a c k t o f o r p r o b l e m s a n d i d e a s . I o n l y r e g r e t t h a t I h a v ed e v e l o p e d m y o w n i d e a s f a r t o o l a t e t o d i s c u s s t h e m w i t h t h e l i k e s o f

T a r s k i , C a r n a p o r G ö d e l .I h a v e n o t r e c e i v e d a n y d i r e c t g r a n t s u p p o r t o r r e l e a s e t i m e w h i l e

w r i t i n g t h i s b o o k . I n d i r e c t s u p p o r t i n c l u d e s a g r a n t f r o m t h e A c a d -e m y o f F i n l a n d w h i c h h a s m a d e p o s s i b l e t h e w o r k o f S a n d u a n dH i i p a k k a . T r a v e l g r a n t s f r o m t h e A c a d e m y o f F i n l a n d h a v e a l s of a c i l i t a t e d s e v e r a l o f m y w o r k i n g t r i p s t o F i n l a n d . B o s t o n U n i v e r s i t yh a s p r o v i d e d a c o n g e n i a l w o r k i n g e n v i r o n m e n t . I n f a c t , t h e o r i g i n so f t h i s b o o k c a n b e t r a c e d b a c k t o t h e i n s i g h t t h a t s e l f - a p p l i e d t r u t h

d e f i n i t i o n s a r e p o s s i b l e f o r i n d e p e n d e n c e - f r i e n d l y l a n g u a g e s ; a ni n s i g h t w h i c h f i r s t o c c u r r e d t o m e i n t h e m i d s t o f a s e m i n a r I w a sc o n d u c t i n g a t B o s t o n U n i v e r s i t y i n 1 9 9 1 . I h a v e a l s o h a d a no p p o r t u n i t y t o h e l p o r g a n i z e s e v e r a l s y m p o s i a u n d e r t h e a u s p i c e s o ft h e B o s t o n C o l l o q u i u m f o r P h i l o s o p h y a n d H i s t o r y o f S c i e n c ew h i c h h a v e p r o v i d e d s t i m u l i f o r t h e i d e a s t h a t h a v e r e a c h e d f r u i t i o ni n t h i s b o o k .



X i i I N T R O D U C T I O N

R e l a t i v e l y l i t t l e o f t h e m a t e r i a l p u b l i s h e d h e r e h a s b e e n a v a i l a b l ee a r l i e r . M u c h o f C h a p t e r 1 0 h a s b e e n p u b l i s h e d u n d e r t h e t i t l e" C o n s t r u c t i v i s m A u f g e h o b e n " i n t h e p r o c e e d i n g s o f t h e " L o g i c a 9 4 "

c o n f e r e n c e h e l d i n t h e C z e c h R e p u b l i c i n J u n e 1 9 9 4 . A v e r s i o n o fC h a p t e r 2 h a s a p p e a r e d i n D i a l e c t i c a v o l . 4 9 ( 1 9 9 5 ) , p p . 2 2 9 — 2 4 9u n d e r t h e t i t l e , " T h e G a m e s o f L o g i c a n d t h e G a m e s o f I n q u i r y . "S o m e e x a m p l e s a n d s o m e o f t h e o t h e r m a t e r i a l i n t h i s b o o k , e s p e c i a l -l y i n C h a p t e r 7 , a r e l i f t e d f r o m t h e p r e p r i n t e n t i t l e d D e f i n i n g T r u t h ,t h e W h o l e T r u t h a n d N o t h i n g B u t t h e T r u t h , p u b l i s h e d i n t h ep r e p r i n t s e r i e s o f t h e D e p a r t m e n t o f P h i l o s o p h y , U n i v e r s i t y o f

H e l s i n k i , i n 1 9 9 1 . T h e r e s t o f m y l i t e r a r y " t h e f t s " f r o m m y o w n e a r l i e rw o r k s a r e u n i n t e n t i o n a l .F i n a l l y m y t h a n k s a r e d u e t o C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s f o r

a c c e p t i n g m y b o o k f o r p u b l i c a t i o n i n t h e i r p r o g r a m . I t i s a s p e c i a lc o m p l i m e n t f o r a w o r k o n t h e f o u n d a t i o n s o f m a t h e m a t i c s t o s h a r e

a p u b l i s h e r w i t h R u s s e l l a n d W h i t e h e a d .



1

T h e F u n c t i o n s o f L o g i c a n d t h e P r o b l e mo f T r u t h D e f i n i t i o n

T h e m o s t p e r v a s i v e m i s c o n c e p t i o n a b o u t t h e r o l e o f l o g i c i n m a t h -e m a t i c a l t h e o r i z i n g m a y t u r n o u t t o b e t h e m o s t i m p o r t a n t o n e .A d m i t t e d l y , t h i s m i s t a k e i s e a s i l y d r e s s e d u p t o l o o k l i k e a b i a s e de m p h a s i s o r a n e x a g g e r a t e d d i v i s i o n o f l a b o r . B u t i t i s n o n e t h e l e s s

a s e r i o u s m a t t e r . I t c a n b e e x p o s e d b y a s k i n g t h e n a i v e - s o u n d i n g

q u e s t i o n : W h a t c a n l o g i c d o f o r a m a t h e m a t i c i a n ? W h a t i s t h e r o l e o fl o g i c i n m a t h e m a t i c s ?

A s a c a s e s t u d y , I p r o p o s e t o c o n s i d e r o n e o f t h e m o s t i n f l u e n t i a lw o r k s i n t h e f o u n d a t i o n s o f m a t h e m a t i c s a n d o n e o f t h e l a s t m a j o rw o r k s t h a t d o e s n o t u s e t h e r e s o u r c e s o f m o d e r n l o g i c . T h i s w o r k i sH u b e r t ' s F o u n d a t i o n s o f G e o m e t r y ( 1 8 9 9 ) . W h a t H i l b e r t d o e s t h e r e i s

t o p r e s e n t a n a x i o m a t i z a t i o n ( a x i o m s y s t e m ) o f E u c l i d e a n g e o m e t r y .S u c h a s y s t e m i s a n o n l o g i c a l a x i o m s y s t e m . I t i s a s y s t e m a t i z a t i o n o f

t h e t r u t h s ( o r d i n a r y s c i e n t i f i c o r m a t h e m a t i c a l t r u t h s , n o t l o g i c a lt r u t h s ) o f s o m e d i s c i p l i n e , u s u a l l y s o m e b r a n c h o f m a t h e m a t i c s o rs c i e n c e . T h e s y s t e m a t i z a t i o n i s o b t a i n e d b y , a s i t w e r e , c o m p r e s s i n ga l l t h e t r u t h s a b o u t t h e s u b j e c t m a t t e r i n t o a f i n i t e ( o r r e c u r s i v e l ye n u m e r a b l e ) s e t o f a x i o m s . I n a c e r t a i n s e n s e , t h e y a r e s u p p o s e d t ot e l l y o u e v e r y t h i n g t h e r e i s t o b e t o l d a b o u t t h i s s u b j e c t m a t t e r . S u c ha n a x i o m a t i z a t i o n , i f c o m p l e t e , w i l l g i v e y o u a n o v e r v i e w o f t h e

e n t i r e f i e l d i n q u e s t i o n . I f y o u h a v e r e a c h e d i n y o u r i n v e s t i g a t i o n i n t ot h i s f i e l d a c o m p l e t e a x i o m s y s t e m , t h e n t h e r e s t o f y o u r w o r k w i l lc o n s i s t i n m e r e l y t e a s i n g o u t t h e l o g i c a l c o n s e q u e n c e s o f t h e a x i o m s .

Y o u d o n o t a n y l o n g e r n e e d a n y n e w o b s e r v a t i o n s , e x p e r i m e n t s o ro t h e r i n p u t s f r o m r e a l i t y . I t s u f f i c e s t o s t u d y t h e a x i o m s ; y o u n o

l o n g e r n e e d t o s t u d y t h e r e a l i t y t h e y r e p r e s e n t . O b v i o u s l y , t h i s

1



2 T H E P R I N C I P L E S O F M A T H E M A T I C S R E V I S I T E D

i n t e l l e c t u a l m a s t e r y o f a n e n t i r e d i s c i p l i n e i s t h e m o s t i m p o r t a n ta t t r a c t i o n o f t h e e n t i r e a x i o m a t i c m e t h o d .

P h i l o s o p h e r s s o m e t i m e s t h i n k o f t h e a x i o m a t i c m e t h o d a s a w a y o fj u s t i f y i n g t h e t r u t h s t h a t a n a x i o m s y s t e m c a p t u r e s a s i t s t h e o r e m s . I f

s o , t h e a x i o m s h a v e t o b e m o r e o b v i o u s t h a n t h e t h e o r e m s , a n d t h ed e r i v a t i o n o f t h e o r e m s f r o m a x i o m s h a s t o p r e s e r v e t r u t h . T h e l a t t e r

r e q u i r e m e n t i s d i s c u s s e d b e l o w . A s t o t h e f o r m e r , t h e o b v i o u s n e s sr e q u i r e m e n t p l a y s n o r o l e i n t h e m o s t i m p o r t a n t s c i e n t i f i c t h e o r i e s . N oo n e h a s e v e r c l a i m e d t h a t M a x w e l l ' s o r S c h r o d i n g e r ' s e q u a t i o n s a r ei n t u i t i v e l y o b v i o u s . T h e i n t e r e s t o f s u c h f u n d a m e n t a l p h y s i c a l e q u a -

t i o n s i s n o t e v e n d i m i n i s h e d e s s e n t i a l l y b y t h e k n o w l e d g e t h a t t h e y a r eo n l y a p p r o x i m a t e l y t r u e . T h e e x p l a n a t i o n i s t h a t s u c h e q u a t i o n s s t i l lo f f e r a n o v e r v i e w o f a w i d e r a n g e o f p h e n o m e n a . T h e y a r e m e a n s o ft h e i n t e l l e c t u a l m a s t e r y o f t h e p a r t o f r e a l i t y t h e y d e a l w i t h . G e n e r a l l ys p e a k i n g , t h i s t a s k o f i n t e l l e c t u a l m a s t e r y i s a m u c h m o r e i m p o r t a n tm o t i v a t i o n o f t h e a x i o m a t i c m e t h o d t h a n a q u e s t o f c e r t a i n t y .

H i l b e r t ' s a x i o m a t i z a t i o n o f g e o m e t r y i s a n e x t r e m e e x a m p l e o ft h i s f a c t . H i l b e r t d o e s n o t e v e n r a i s e t h e q u e s t i o n w h e t h e r t h e a x i o m s

o f E u c l i d e a n g e o m e t r y a r e t r u e i n a c t u a l p h y s i c a l s p a c e . A l l h e i si n t e r e s t e d i n i s t h e s t r u c t u r e d e l i n e a t e d b y t h e a x i o m s . T h i s s t r u c t u r ei s s p e l l e d o u t b y t h e t h e o r e m s o f t h e a x i o m s y s t e m . W h e t h e r t h i ss t r u c t u r e i s i n s t a n t i a t e d b y w h a t w e c a l l p o i n t s , l i n e s a n d p l a n e s o r b ye n t i t i e s o f s o m e o t h e r k i n d i s i m m a t e r i a l t o h i s p u r p o s e .

B u t w h a t i s t h e j o b o f l o g i c i n t h i s e n t e r p r i s e ? I n H i l b e r t ' s t r e a t i s e i tr e m a i n s t a c i t o r a t l e a s t u n f o r m a l i z e d . N o t a s i n g l e s y m b o l o f f o r m a l

l o g i c d i s f i g u r e s H u b e r t ' s p a g e s . H i l b e r t ' s m o n o g r a p h c o u l d h a v eb e e n w r i t t e n e v e n i f B o o l e , F r e g e a n d C a n t o r h a d n e v e r b e e n b o r n .Y e t l o g i c i s a n a l l - i m p o r t a n t p r e s e n c e i n H u b e r t ' s t r e a t i s e i n m o r et h a n o n e w a y .

O n e w a y i s c o m p l e t e l y o b v i o u s t o a n y c o n t e m p o r a r y p h i l o s o p h e r ,l o g i c i a n o r m a t h e m a t i c i a n . I n f a c t , t h i s r o l e o f l o g i c i s s o o b v i o u s t h a ts u b s e q u e n t t h i n k e r s t e n d t o t a k e i t f o r g r a n t e d , t h e r e b y m i s s i n g

m u c h o f t h e h i s t o r i c a l s i g n i f i c a n c e o f H i l b e r t ' s a c h i e v e m e n t . H u b e r t

i s e n v i s a g i n g w h a t i s n o w a d a y s c a l l e d a p u r e l y l o g i c a l a x i o m s y s t e m .T h a t i s t o s a y , a l l s u b s t a n t i v e a s s u m p t i o n s a r e c o d i f i e d i n t h e a x i o m s ,w h e r e a s a l l t h e t h e o r e m s a r e d e r i v e d f r o m t h e a x i o m s b y p u r e l yl o g i c a l m e a n s . T h i s i d e a m a y b e t a k e n t o b e t h e g i s t o f t h e e n t i r ea x i o m a t i c m e t h o d . F a m i l i a r i t y w i t h t h i s i d e a i s s o c o m p l e t e i n o u rd a y s t h a t w e e a s i l y f o r g e t w h a t a b o l d n o v e l t y s u c h a t r e a t m e n t w a si n H i l b e r t ' s h i s t o r i c a l s i t u a t i o n . O n e i n d e x o f t h i s n o v e l t y i s t h e l a b e l



T H E F U N C T I O N S O F L O G I C 3

t h a t H u b e r t ' s c o n t e m p o r a r i e s p u t o n h i s a p p r o a c h , c a l l i n g i t " f o r -m a l i s t i c " . O f c o u r s e t h i s t e r m i s c o m p l e t e l y u n d e s e r v e d . W h e n

H u b e r t s a i d t h a t i n s t e a d o f p o i n t s , l i n e s , a n d c i r c l e s h e c o u l d h a v es p o k e n o f c h a i r s , t a b l e s , a n d b e e r m u g s , h e w a s m e r e l y h i g h l i g h t i n gt h e p u r e l y l o g i c a l n a t u r e o f t h e d e r i v a t i o n o f t h e o r e m s f r o m a x i o m s . 1B e c a u s e o f t h e p u r e l y l o g i c a l n a t u r e o f H i l b e r t ' s a x i o m s y s t e m , a l l

p r o o f s f r o m a x i o m s c o u l d b e r e p r e s e n t e d i n a n e x p l i c i t f o r m a l ( b u t o fc o u r s e i n t e r p r e t e d ) l o g i c a l n o t a t i o n , w i t h o u t a n y r e l e v a n t d i f f e r e n c e .T h i s i d e a o f a p u r e l y l o g i c a l c o n s e q u e n c e w a s f a m i l i a r t o A r i s t o t l e ,

t h o u g h n o t t o s u c h i n t e r v e n i n g t h i n k e r s a s K a n t . T h i s p u r e l y l o g i c a l

c h a r a c t e r o f t h e p a s s a g e f r o m t h e a x i o m s t o t h e o r e m s d o e s n o t m e a nt h a t t h e a x i o m s a n d t h e t h e o r e m s m u s t b e u n i n t e r p r e t e d . I t d o e s n o tm e a n t h a t t h e a x i o m s c a n n o t b e t r u e ( m a t e r i a l l y t r u e ) . I n f a c t ,H i l b e r t e l s e w h e r e ( 1 9 1 8 , p . 1 4 9 ) i n d i c a t e d q u i t e e x p l i c i t l y t h a t i n a n ya c t u a l a p p l i c a t i o n o f g e o m e t r y , t h e t r u t h o f t h e a x i o m s i s a m a t e r i a l( e m p i r i c a l ) m a t t e r . E v e n t h e a c t u a l t r u t h o f t h e a x i o m s o f c o n t i n u i t yh a s t o b e e m p i r i c a l l y a s c e r t a i n e d . 2

A f u r t h e r d i s t i n c t i o n i s n e v e r t h e l e s s i n o r d e r . I t i s i m p o r t a n t t o

r e a l i z e t h a t a n o n l o g i c a l a x i o m s y s t e m c a n b e e i t h e r i n t e r p r e t e d , a s i na p p l i e d g e o m e t r y o r t h e r m o d y n a m i c s , o r u n i n t e r p r e t e d , a s i n s e tt h e o r y o r l a t t i c e t h e o r y . T h e o n l y d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e t w o i s t h a ti n t h e l a t t e r t h e f u n d a m e n t a l n o n l o g i c a l c o n c e p t s a r e l e f t u n i n t e r -p r e t e d . T h i s d o e s n o t m a k e a n y d i f f e r e n c e t o t h e d e r i v a t i o n o f c o n -s e q u e n c e s ( e . g . , t h e o r e m s ) f r o m p r e m i s e s ( e . g . , a x i o m s ) . S u c h d e r i v a -t i o n s p r o c e e d e x a c t l y i n t h e s a m e w a y i n t h e t w o c a s e s , a s l o n g a s t h e y

a r e p u r e l y l o g i c a l . H e n c e i n p u r e l y l o g i c a l l y f o r m u l a t e d n o n l o g i c a la x i o m s y s t e m s t h e c o n t r a s t b e t w e e n i n t e r p r e t e d a n d u n i n t e r p r e t e ds y s t e m s d o e s n o t m a t t e r . H i l b e r t ' s p r o v o c a t i v e s l o g a n a b o u t t h eg e o m e t r y o f c h a i r s , t a b l e s , a n d b e e r m u g s c a n b e u n d e r s t o o d a sf l a u n t i n g t h i s p a r i t y o f i n t e r p r e t e d a n d u n i n t e r p r e t e d a x i o m s y s t e m sw h e n i t c o m e s t o t h e d e r i v a t i o n o f t h e o r e m s , a n d h e n c e i n d i r e c t l yi l l u s t r a t i n g t h e p u r e l y l o g i c a l c h a r a c t e r o f g e o m e t r i c a l p r o o f s .

T h e s a m e p o i n t c a n b e p u t i n a s l i g h t l y d i f f e r e n t w a y . T h e q u e s t i o n

w h e t h e r l o g i c a l i n f e r e n c e s c a n b e c a p t u r e d b y c o m p l e t e l y f o r m a l( c o m p u t a b l e , r e c u r s i v e ) r u l e s i s i n d e p e n d e n t o f t h e q u e s t i o n w h e t h e rt h e l a n g u a g e i n w h i c h t h o s e i n f e r e n c e s a r e d r a w n i s " f o r m a l " , t h a t i s ,u n i n t e r p r e t e d , o r " i n f o r m a l " , t h a t i s , i n t e r p r e t e d . T h e q u e s t i o n o f

i n t e r p r e t a t i o n p e r t a i n s t o t h e n o n l o g i c a l c o n s t a n t s o f t h e l a n g u a g e .L o g i c a l c o n s t a n t s a r e a s s u m e d t o h a v e t h e s a m e m e a n i n g i n e i t h e r

c a s e .




U n i n t e r p r e t e d n o n l o g i c a l a x i o m s y s t e m s m a y b e t h o u g h t o f a sp e r t a i n i n g t o c e r t a i n s t r u c t u r e s a s s u c h , w h i l e t h e c o r r e s p o n d i n gi n t e r p r e t e d s y s t e m s d e a l w i t h t h e a c t u a l i n s t a n t i a t i o n s o f t h e s es t r u c t u r e s .

H e r e , t h e n , i s a n e x a m p l e o f t h e r o l e o f l o g i c w h i c h u n d e r s t a n d a b l yi s o n t o p o f t h e m i n d s o f m o s t o f m y f e l l o w p h i l o s o p h e r s , l o g i c i a n sa n d m a t h e m a t i c i a n s . L o g i c i s t h e s t u d y o f t h e r e l a t i o n s o f l o g i c a lc o n s e q u e n c e , t h a t i s , o f r e l a t i o n s o f i m p l i c a t i o n o r e n t a i l m e n t . I t sc o n c r e t e m a n i f e s t a t i o n i s a n a b i l i t y t o p e r f o r m l o g i c a l i n f e r e n c e s ,t h a t i s , t o d r a w d e d u c t i v e c o n c l u s i o n s . I w i l l c a l l t h i s t h e d e d u c t i v e

f u n c t i o n o f l o g i c .T h e t o o l s n e e d e d f o r t h i s j o b a r e n o r m a l l y t h o u g h t o f a s b e i n gc o l l e c t e d i n t o s u n d r y a x i o m a t i z a t i o n s o f l o g i c . T h e t e r m " a x i o m a t i z a -

t i o n " a s u s e d h e r e i s n e v e r t h e l e s s a c o u r t e s y t i t l e . F o r a s o - c a l l e da x i o m a t i z a t i o n o f s o m e p a r t o f l o g i c i s m e r e l y a m e t h o d o f e n u m e r a t -

i n g r e c u r s i v e l y a l l t h e l o g i c a l t r u t h s e x p r e s s i b l e i n s o m e e x p l i c i t( " f o r m a l " ) l a n g u a g e o r t h e o t h e r . T h i s e n u m e r a t i o n i s u s u a l l y m a d e

t o a p p e a r u n i f o r m w i t h n o n l o g i c a l a x i o m s y s t e m s , l i k e H i l b e r t ' s

s y s t e m o f g e o m e t r y . T h a t i s t o s a y , t h e e n u m e r a t i o n i s o b t a i n e d b yp u t t i n g f o r w a r d c o m p l e t e l y f o r m a l a x i o m s t o s t a r t t h e e n u m e r a t i o n

f r o m , a n d e q u a l l y f o r m a l r u l e s o f i n f e r e n c e w h o s e r e p e a t e d a p p l i c a -t i o n s a r e t h e m e a n s o f a c c o m p l i s h i n g t h e e n u m e r a t i o n . I n s p i t e o ft h i s s i m i l a r i t y i n e x p o s i t i o n a l s t y l e , o n e m u s t b e a w a r e o f t h ef u n d a m e n t a l d i f f e r e n c e s b e t w e e n n o n l o g i c a l a n d l o g i c a l a x i o m s y s -t e m s . N o n l o g i c a l a x i o m a t i z a t i o n t r a d e s i n o r d i n a r y n o n l o g i c a l ( m a -

t e r i a l o r m a t h e m a t i c a l ) t r u t h , l o g i c a l a x i o m a t i z a t i o n i n s o - c a l l e dl o g i c a l t r u t h . N o n l o g i c a l a x i o m s y s t e m s n o r m a l l y h a v e a n i n t e n d e di n t e r p r e t a t i o n , e v e n w h e n t h e d e r i v a t i o n s f r o m a x i o m s a r e p u r e l yl o g i c a l , w h e r e a s a n a x i o m a t i z a t i o n o f l o g i c h a s t o b e p u r e l y f o r m a l t og e n e r a t e t h e m e c h a n i c a l e n u m e r a b i l i t y . A n o n l o g i c a l a x i o m s y s t e mc a n b e f o r m u l a t e d w i t h o u t s a y i n g a n y t h i n g a b o u t a n y e x p l i c i t l yf o r m u l a t e d l o g i c . I n f a c t , t h i s i s w h a t H i l b e r t d o e s i n t h e G r u n d l a g e n( 1 8 9 9 ) . E v e n t h o u g h a l l h i s d e r i v a t i o n s o f t h e o r e m s f r o m a x i o m s a r e

c a r r i e d t h r o u g h i n c o n f o r m i t y w i t h i m p e c c a b l e l o g i c , n o t a s i n g l ee x p l i c i t r u l e o f l o g i c a l i n f e r e n c e i s e v e r a p p e a l e d t o b y H i l b e r t i n h i sf a m o u s b o o k .

F r o m a n a x i o m a t i z a t i o n o f l o g i c , p a t t e r n s o f v a l i d l o g i c a l i n f e r -e n c e a r e o b t a i n e d a s a s p e c i a l c a s e i n t h e f o r m o f c o n d i t i o n a l s

( 1 . 1 )




I f a n d o n l y i f s u c h a c o n d i t i o n a l ( w i t h S 1 a s t h e a n t e c e d e n t a n d S 2 a st h e c o n s e q u e n t ) i s l o g i c a l l y t r u e ( v a l i d , a s a s o m e t i m e a l t e r n a t i v et e r m g o e s ) i s a n i n f e r e n c e f r o m S 1 t o S 2 v a l i d .

N e v e r t h e l e s s i n t h e c o u r s e o f t h i s b o o k I w i l l p o i n t o u t d i f f i c u l t i e sw i t h t h i s c h a r a c t e r i z a t i o n o f v a l i d i n f e r e n c e s i n t e r m s o f l o g i c a l t r u t h .

I w i l l r e t u r n t o t h i s m a t t e r a t t h e e n d o f C h a p t e r 7 .I t i s i m p o r t a n t t o r e a l i z e t h a t t h i s t a s k o f s p e l l i n g o u t t h e v a l i d

i n f e r e n c e - p a t t e r n s c a n n o t b e e n t r u s t e d t o t h e i l l - n a m e d " r u l e s o fi n f e r e n c e " o f a n a x i o m a t i z a t i o n o f l o g i c . F o r t h e r a i s o n d ' ê t r e o f s u c h" r u l e s o f i n f e r e n c e " i s t o s e r v e a s a v e h i c l e f o r e n u m e r a t i n g l o g i c a l

t r u t h s , a n d n o t m a t e r i a l o r m a t h e m a t i c a l t r u t h s . H e n c e t h e o n l yt h i n g r e q u i r e d o f t h e m i s t h a t t h e y p r e s e r v e l o g i c a l t r u t h . F o r t h i sp u r p o s e , i t i s n o t e v e n n e c e s s a r y t h a t t h e y p r e s e r v e m a t e r i a l t r u t h ,t h a t i s , t r u t h s i m p l i c i t e r . T h e r e a r e i n f a c t p l e n t y o f e x a m p l e s o fs o - c a l l e d i n f e r e n c e r u l e s u s e d i n t h e a x i o m a t i z a t i o n o f s o m e p a r t o fl o g i c t h a t d o n o t p r e s e r v e t r u t h a s s u c h . T h e b e s t k n o w n c a s e s i np o i n t a r e p r o b a b l y t h e r u l e s o f n e c e s s i t a t i o n i n m o d a l l o g i c . I n t h e m ,o n e m a y f o r i n s t a n c e " i n f e r " t h e l o g i c a l t r u t h o f

N ( S 1 S 2 ) ( 1 . 2 )

f r o m t h e l o g i c a l t r u t h o f

( 1 . 3 )

w h e r e N i s t h e n e c e s s i t y o p e r a t o r . B u t o f c o u r s e f r o m t h e p l a i n( n a t u r a l ) t r u t h o f ( 1 . 3 ) o n e c a n n o t i n f e r t h e t r u t h o f ( 1 . 2 ) . S i m i l a r

e x a m p l e s c a n a l s o b e f o u n d i n o r d i n a r y n o n m o d a l l o g i c .T h u s a p h i l o s o p h e r s h o u l d b e e x t r a c a r e f u l w i t h s u c h t e r m s a s

" r u l e o f i n f e r e n c e " o r e v e n " r u l e o f l o g i c a l i n f e r e n c e " . T h e y c a n i n t h ew r o n g h a n d s b e v i c i o u s l y a m b i g u o u s . A t t h e v e r y l e a s t , w e h a v e t od i s t i n g u i s h c a r e f u l l y b e t w e e n a l o g i c a l p r o o f ( f r o m p r e m i s e s ) o fm a t e r i a l t r u t h a n d l o g i c a l ( p s e u d o ) p r o o f o f a l o g i c a l t r u t h . T h e l a t t e ri s b e s t l o o k e d u p o n m e r e l y a s a s e g m e n t o f t h e r e c u r s i v e e n u m e r -

a t i o n o f l o g i c a l t r u t h s .F o r a w h i l e , m a t h e m a t i c i a n s t e n d e d t o t a k e t h e b a s i c r u l e s o f v a l i d

l o g i c a l i n f e r e n c e f o r g r a n t e d . S o m e t i m e s t h e y w e r e t h o u g h t o f a sb e i n g t o o o b v i o u s t o n e e d a n y p a r t i c u l a r l y e x p l i c i t t r e a t m e n t . S o m e -t i m e s i t w a s a s s u m e d — a n d i s s t i l l b e i n g a s s u m e d t h a t F r e g e a n dR u s s e l l a c c o m p l i s h e d t h i s t a s k o n c e a n d f o r a l l . O r i f t h e y d i d n o t ,t h e n H i l b e r t ' s h e n c h m a n W i l h e l m A c k e r m a n n d i d s o . F o r w h a t




A c k e r m a n n d i d i n 1 9 2 8 u n d e r H u b e r t ' s s u p e r v i s i o n w a s t o f o r m u l a t ef o r t h e f i r s t t i m e t h a t b a s i c g r o u n d - f l o o r p a r t o f l o g i c ( a s i t s e e m s t o

b e ) t h a t e v e r y b o d y a n d h i s s i s t e r h a v e t a k e n f o r g r a n t e d e v e r s i n c e .T h i s i s w h a t i s u s u a l l y k n o w n a s f i r s t - o r d e r l o g i c , q u a n t i f i c a t i o nt h e o r y o r ( l o w e r ) p r e d i c a t e c a l c u l u s . I t u s e d t o b e p r e s e n t e d a s i f i tr e s u l t e d f r o m a m i n o r r e g i m e n t a t i o n o f o u r o r d i n a r y - l a n g u a g e u s e o fe v e r y s a n d s o m e s . T h i s i d e a s e e m s t o b e v i n d i c a t e d b y C h o m s k y ' s u s eo f q u a n t i f i c a t i o n a l l o g i c a s t h e m a i n m e d i u m o f h i s b o r n - a g a i nl o g i c a l f o r m s ( L F ' s ) o f n a t u r a l - l a n g u a g e s e n t e n c e s ( s e e , e . g . ,

C h o m s k y 1 9 7 7 , p . 5 9 ) . S m a l l w o n d e r , t h e r e f o r e , t h a t f i r s t - o r d e r l o g i c

i s g e n e r a l l y t a k e n t o b e t h e s a f e , u n p r o b l e m a t i c c o r e a r e a o f l o g i c ,a n d t h a t t h e l a n g u a g e s r e l y i n g o n i t a r e c o n s i d e r e d a s a n a t u r a lv e h i c l e o f o u r n o r m a l r e a s o n i n g a n d t h i n k i n g . A n u m b e r o f c o n c r e t ed e v e l o p m e n t s i n t h e f o u n d a t i o n s o f m a t h e m a t i c s i n f a c t p r o m p t e dl o g i c i a n s a n d m a t h e m a t i c i a n s t o p r e s e n t e x p l i c i t a x i o m a t i z a t i o n s o ft h i s p a r t o f l o g i c s e p a r a t e f r o m t h o s e h i g h e r e c h e l o n s o f l o g i c w h i c hi n v o l v e q u a n t i f i c a t i o n o v e r s u c h a b s t r a c t e n t i t i e s a s p r e d i c a t e s ,c l a s s e s , s e t s , a n d / o r r e l a t i o n s .

I t i s i n f a c t e a s y t o s e e w h y f i r s t - o r d e r l o g i c a t f i r s t s e e m s t o b ea l o g i c i a n ' s d r e a m c o m e t r u e . F i r s t a n d f o r e m o s t t h i s l o g i c a d m i t s o fa c o m p l e t e a x i o m a t i z a t i o n . T h i s s e e m s a t f i r s t s i g h t t o e f f e c t i v e l yf u l f i l l t h e h o p e s o f H i l b e r t a n d o t h e r s t h a t t h e r e i s a n u n p r o b l e m a t i ca n d c o m p l e t e l y a x i o m a t i z a b l e b a s i c l o g i c . T h e e x i s t e n c e o f s u c ha l o g i c w a s i n f a c t o n e o f t h e p r e s u p p o s i t i o n s o f w h a t i s k n o w n a sH u b e r t ' s p r o g r a m — a p r o g r a m , t h a t i s , o f p r o v i n g t h e c o n s i s t e n c y o f

c e r t a i n m a t h e m a t i c a l t h e o r i e s , p r i m a r i l y a r i t h m e t i c a n d a n a l y s i s , b ys h o w i n g t h a t o n e c a n n o t f o r m a l l y d e r i v e a c o n t r a d i c t i o n f r o m t h e i ra x i o m s . I f t h e l o g i c t h a t i s b e i n g u s e d i s n o t c o m p l e t e , t h e n t h e e n t i r ep r o j e c t l o s e s i t s p o i n t f o r t h e r e m a y t h e n b e u n p r o v a b l e c o n t r a d i c -t i o n s a m o n g t h e l o g i c a l c o n s e q u e n c e s o f t h e a x i o m s . L u c k i l y , a s i ts e e m s , f i r s t - o r d e r l o g i c w a s s h o w n t o b e c o m p l e t e l y a x i o m a t i z a b l eb y G ö d e l i n 1 9 3 0 . F u r t h e r m o r e , f i r s t - o r d e r l o g i c c a n b e s h o w n t oa d m i t a l l s o r t s o f n i c e m e t a l o g i c a l r e s u l t s , s u c h a s c o m p a c t n e s s ( a n

i n f i n i t e s e t o f s e n t e n c e s i s c o n s i s t e n t i f a n d o n l y i f a l l i t s f i n i t e s u b s e t sa r e ) , u p w a r d s L ö w e n h e i m — S k o l e m t h e o r e m ( a c o n s i s t e n t f i n i t e s e t o fs e n t e n c e s h a s a c o u n t a b l e m o d e l ) , s e p a r a t i o n t h e o r e m ( i f i a n d t a r ec o n s i s t e n t s e t s o f f o r m u l a s b u t c u ' r i s i n c o n s i s t e n t , t h e n f o r s o m e" s e p a r a t i o n f o r m u l a " S i n t h e s h a r e d v o c a b u l a r y o f a a n d t w e h a v ea I — S , t i — S ) , i n t e r p o l a t i o n t h e o r e m ( i f I — ( S 1 n o n t r i v i a l l y ,t h e n f o r s o m e f o r m u l a I i n t h e s h a r e d v o c a b u l a r y o f S 1 a n d S 2 ,




I ) , — ( I S 2 ) ) , B e t h ' s t h e o r e m ( i m p l i c i t d e f i n a b i l i t y i m p l i e se x p l i c i t d e f i n a b i l i t y ) , a n d s o f o r t h . I n b r i e f , f i r s t - o r d e r l o g i c d o e s n o to n l y s e e m b a s i c , i t i s v e r y n e a r l y l o o k s l i k e a l o g i c i a n ' s p a r a d i s e .

A d m i t t e d l y , c o n s t r u c t i v i s t i c l o g i c i a n s a n d m a t h e m a t i c i a n s h a v es o u g h t t o c h a n g e s o m e o f t h e r u l e s o f f i r s t - o r d e r l o g i c . B u t t h i s d o e sn o t s e e m t o h a v e s h a k e n m o s t p h i l o s o p h e r s ' b e l i e f s t h a t i n s o m e s i z e ,s h a p e o r f o r m f i r s t - o r d e r l o g i c i s t h e t r u e u n p r o b l e m a t i c c o r e a r e a o fl o g i c .

P h i l o s o p h i c a l l y , f i r s t - o r d e r l o g i c o w e s i t s s p e c i a l s t a t u s l a r g e l y t ot h e f a c t t h a t i t i s i n a s e n s e a n o m i n a l i s t i c e n t e r p r i s e . I t i n v o l v e s

q u a n t i f i c a t i o n o n l y o v e r i n d i v i d u a l s , t h a t i s , p a r t i c u l a r o b j e c t s o re n t i t i e s t h a t a r e d e a l t w i t h a s i f t h e y w e r e p a r t i c u l a r s . T h i s i s i n f a c tw h y t h i s l o g i c i s c a l l e d f i r s t - o r d e r l o g i c .

H o w e v e r , s t o r m c l o u d s b e g i n t o g a t h e r a s s o o n a s l o g i c i a n sv e n t u r e b e y o n d t h e e n c h a n t e d l a n d o f f i r s t - o r d e r l o g i c . A n d t h e yh a v e t o d o s o , f o r u n f o r t u n a t e l y f i r s t - o r d e r l o g i c s o o n t u r n s o u t t o b et o o w e a k f o r m o s t m a t h e m a t i c a l p u r p o s e s . I t s r e s o u r c e s d o n o ts u f f i c e t o c h a r a c t e r i z e f u l l y s u c h c r u c i a l c o n c e p t s a s m a t h e m a t i c a l

i n d u c t i o n , w e l l - o r d e r i n g , f i n i t e n e s s , c a r d i n a l i t y , p o w e r s e t , a n d s of o r t h . F i r s t - o r d e r l o g i c i s t h u s i n s u f f i c i e n t f o r m o s t p u r p o s e s o f a c t u a lm a t h e m a t i c a l t h e o r i z i n g . M o r e o v e r , t h e t e r r a i n b e y o n d i t h a s p r o -v e d u n c h a r t e d a n d t r e a c h e r o u s . I t i s n o t o r i o u s t h a t t h o s e l o g i c a lm e t h o d s w h i c h g o b e y o n d f i r s t - o r d e r l o g i c g i v e r i s e t o s e r i o u sp r o b l e m s , n o m a t t e r w h e t h e r w e a r e d e a l i n g w i t h s e t t h e o r y o rh i g h e r - o r d e r l o g i c ( t y p e t h e o r y ) . T h e r e d o e s n o t a t f i r s t s e e m t o b e

m u c h t o c h o o s e b e t w e e n t h e t w o . S e c o n d - o r d e r l o g i c h a s b e e nb r a n d e d b y Q u i n e a s s e t t h e o r y i n s h e e p ' s c l o t h i n g . A n d t h e r e i s i nf a c t a m u l t i t u d e o f o v e r l a p p i n g p r o b l e m s c o n c e r n i n g t h e t w o . I nh i g h l i g h t i n g t h e s e p r o b l e m s , p h i l o s o p h e r s o f y o r e u s e d t o p o i n t t op a r a d o x e s s o m e t i m e s a m o u n t i n g t o o u t r i g h t c o n t r a d i c t i o n s . T h es a d t r u t h i s t h a t e v e n i f w e r i d o u r s e l v e s o f a l l t h r e a t e n i n g i n c o n s i s t -e n c i e s , m a y b e b y s o m e s o r t o f t y p e s t r a t i f i c a t i o n ( a s i n s e c o n d - o r d e rl o g i c a n d m o r e g e n e r a l l y i n h i g h e r - o r d e r l o g i c ) , w e s t i l l h a v e t h e

p r o b l e m o f f i n d i n g o u t w h i c h f o r m u l a s a r e l o g i c a l l y t r u e . E l i m i n a t -i n g w h a t i s l o g i c a l l y f a l s e d o e s n o t g i v e u s a m e a n s o f a s c e r t a i n i n gw h a t i s l o g i c a l l y t r u e . O f t e n t h e s e p r o b l e m s a r e q u i t e s p e c i f i c . I s t h ea x i o m o f c h o i c e v a l i d ? W h a t a x i o m s d o w e n e e d i n a x i o m a t i c s e tt h e o r y ? H o w a r e h i g h e r - o r d e r q u a n t i f i e r s t o b e u n d e r s t o o d ? T h e l i s to f s e r i o u s p r o b l e m s c a n b e c o n t i n u e d a d n a u s e a m , i f n o t a d i n -f i n i t u m .




I f ! e n d e d m y s u r v e y o f t h e r o l e o f l o g i c i n m a t h e m a t i c a l t h e o r i e sh e r e , p e r h a p s w i t h s o m e f u r t h e r e l a b o r a t i o n o f t h e d i f f i c u l t i e sc o n n e c t e d w i t h t h e u s e s o f l o g i c b e y o n d f i r s t - o r d e r t h e o r i e s , f e wp h i l o s o p h e r s w o u l d b e s u r p r i s e d . H o w e v e r , s u c h a p r o c e d u r e w o u l dl e a v e h a l f o f t h e r e a l s t o r y u n t o l d , a n d i n d e e d t h e m o r e b a s i c h a l f o ft h e s t o r y o f t h e u s e s o f l o g i c i n m a t h e m a t i c s .

I n o r d e r t o e n a b l e y o u t o s e e w h a t I m e a n , I c a n a s k : W h a t w o u l dy o u h a v e t o d o i n o r d e r t o t u r n H i l b e r t ' s a x i o m a t i z a t i o n o f g e o m e t r yi n t o a s t a t e o f t h e a r t l o g i c - b a s e d a x i o m s y s t e m ? W h a t I h a v ed i s c u s s e d s o f a r i s w h a t h a s t o b e d o n e t o H i l b e r t ' s a r g u m e n t a t i o n ,

t h a t i s , t o t h e l i n e s o f r e a s o n i n g w h i c h l e a d h i m f r o m t h e a x i o m s t ot h e t h e o r e m s . M o s t o f s u c h r e a s o n i n g t u r n s o u t t o u t i l i z e f i r s t - o r d e rr e a s o n i n g , w i t h a s m a t t e r i n g o f n u m b e r - t h e o r e t i c a l a n d s e t -t h e o r e t i c a l r e a s o n i n g t h r o w n i n . B u t e v e n b e f o r e w e c a n h o p e t o

e x p r e s s H i l b e r t ' s i n f e r e n c e s i n t h e l a n g u a g e o f l o g i c , w e h a v e t oe x p r e s s i n s u c h a l a n g u a g e t h e u l t i m a t e p r e m i s e s o f h i s i n f e r e n c e s

t h a t i s t o s a y , t h e a x i o m s o f g e o m e t r y . A n d h e r e i s t h e o t h e r , u n j u s t l yu n d e r e m p h a s i z e d , s e c o n d f u n c t i o n o f l o g i c a l c o n c e p t s i n m a t h e m a t -

i c s . T h e y a r e r e l i e d o n e s s e n t i a l l y i n t h e v e r y f o r m u l a t i o n o f m a t h -e m a t i c a l t h e o r i e s . W e c a n m a k e t h e a x i o m s o f a t y p i c a l m a t h e m a t i c a l

t h e o r y s a y w h a t t h e y s a y o n l y b y u s i n g s u i t a b l e l o g i c a l c o n c e p t s ,s u c h a s q u a n t i f i e r s a n d l o g i c a l c o n n e c t i v e s .

T h i s f a c t i s v i v i d l y i l l u s t r a t e d o n c e a g a i n b y H i l b e r t ' s t r e a t m e n t o fg e o m e t r y . H i s a x i o m s d e a l w i t h c e r t a i n s p e c i f i e d r e l a t i o n s b e t w e e n -

n e s s , e q u i d i s t a n c e , a n d s o f o r t h , b e t w e e n c e r t a i n s p e c i f i e d k i n d s o f

o b j e c t sp o i n t s ,

l i n e s , a n d s o f o r t h . W h a t t h e a x i o m s s a y a b o u t t h e s ee n t i t i e s i s f o r m u l a t e d b y m e a n s o f t h e b a s i c l o g i c a l n o t i o n s , m a i n l yq u a n t i f i e r s a n d p r o p o s i t i o n a l c o n n e c t i v e s . O f c o u r s e , H i l b e r t d o e sn o t u s e a n y e x p l i c i t l o g i c a l s y m b o l s , b u t f o r m u l a t e s h i s a x i o m s b ym e a n s o f o r d i n a r y m a t h e m a t i c a l l a n g u a g e . B u t a n y o n e w h o h a sa m o d i c u m o f e l e m e n t a r y l o g i c c a n w r i t e d o w n a f i r s t - o r d e r f o r m u l a -t i o n o f a l l o f H i l b e r t ' s a x i o m s i n f i f t e e n m i n u t e s , w i t h t w o e x c e p t i o n s .T h e y a r e t h e A r c h i m e d e a n a x i o m , w h i c h r e l i e s o n t h e n o t i o n o f

n a t u r a l n u m b e r , a n d t h e s o - c a l l e d a x i o m o f c o m p l e t e n e s s , w h i c ht u r n s o n t h e n o t i o n o f t h e m a x i m a l i t y o f a m o d e l .

T h e A r c h i m e d e a n a x i o m s a y s t h a t f r o m a g i v e n l i n e s e g m e n t o n ec a n r e a c h a n y g i v e n p o i n t o n t h e s a m e l i n e b y e x t e n d i n g t h e s e g m e n tb y i t s o w n l e n g t h a f i n i t e n u m b e r o f t i m e s . T h e a x i o m o f c o m p l e t e -n e s s w a s a s e c o n d t h o u g h t o n H i l b e r t ' s p a r t . I t a p p e a r s f i r s t i nH u b e r t ( 1 9 0 0 ) , a n d m a k e s i t s e n t r y i n t o H i l b e r t ' s g e o m e t r i c a l m o n o -




g r a p h i n i t s F r e n c h t r a n s l a t i o n ( 1 9 0 0 ) a n d t h e n i n t h e s e c o n dG e r m a n e d i t i o n ( 1 9 0 3 ) . I t s i m p o r t c a n b e e x p r e s s e d b y s a y i n g t h a tt h e i n t e n d e d m o d e l s o f t h e o t h e r a x i o m s m u s t b e m a x i m a l i n t h es e n s e t h a t n o n e w g e o m e t r i c a l o b j e c t s c a n b e a d d e d t o t h e m w i t h o u tm a k i n g o n e o f t h e s e a x i o m s f a l s e .

M o r e g e n e r a l l y , m u c h o f t h e f o u n d a t i o n a l w o r k t h a t h a s b e e nd o n e s i n c e C a u c h y b y w o r k i n g m a t h e m a t i c i a n s c o n s i s t e d i n e x p r e s s -i n g i n f i r s t - o r d e r l o g i c a l t e r m s t h e p r e c i s e c o n t e n t s o f d i f f e r e n tm a t h e m a t i c a l c o n c e p t s . A f a m i l i a r b u t i n s t r u c t i v e c a s e i n p o i n t i so f f e r e d b y t h e s o - c a l l e d s - 5 d e f i n i t i o n s o f c o n c e p t s l i k e c o n t i n u i t y

a n d d i f f e r e n t i a t i o n . ( I w i l l r e t u r n t o t h e m i n C h a p t e r 2 . ) A n o t h e re x a m p l e i s f o u n d i n t h e d i f f e r e n t a n d i n c r e a s i n g l y g e n e r a l c o n c e p t s o fi n t e g r a l t h a t w e r e d e v e l o p e d i n t h e l a t e n i n e t e e n t h a n d e a r l y t w e n t i -e t h c e n t u r i e s . I n d e v e l o p i n g s u c h i d e a s , m a t h e m a t i c i a n s w e r e n o te n g a g e d i n t h e d i s c o v e r y o f n e w m a t h e m a t i c a l t r u t h s . T h e y w e r ee n g a g e d i n a n a l y z i n g d i f f e r e n t m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s i n l o g i c a lt e r m s .

I w i l l c a l l t h i s f u n c t i o n o f l o g i c ( l o g i c a l c o n c e p t s ) i n e x p r e s s i n g t h e

c o n t e n t o f m a t h e m a t i c a l p r o p o s i t i o n s i t s d e s c r i p t i v e f u n c t i o n . M a n yi n t e r e s t i n g p h e n o m e n a i n t h e f o u n d a t i o n s o f m a t h e m a t i c s b e c o m e

e a s i e r t o u n d e r s t a n d i n t h e l i g h t o f t h e t e n s i o n w h i c h t h e r e o f t e n i s i ne v i d e n c e b e t w e e n t h i s d e s c r i p t i v e f u n c t i o n a n d t h e d e d u c t i v e f u n c -t i o n o f l o g i c i n m a t h e m a t i c s . A r g u a b l y , t h e d e s c r i p t i v e f u n c t i o n i s t h e

m o r e b a s i c o f t h e t w o f u n c t i o n s ! h a v e d i s t i n g u i s h e d f r o m e a c h o t h e r .I f m a t h e m a t i c a l p r o p o s i t i o n s w e r e n o t e x p r e s s e d i n t e r m s o f l o g i c a lc o n c e p t s , t h e i r i n f e r e n t i a l r e l a t i o n s h i p s w o u l d n o t b e p o s s i b l e t oh a n d l e b y m e a n s o f l o g i c .

W h a t I h a v e c a l l e d t h e d e s c r i p t i v e f u n c t i o n o f l o g i c c a n b e p u t i n t os e r v i c e a s a t o o l o f c o n c e p t u a l a n a l y s i s . T h i s p o s s i b i l i t y i s i l l u s t r a t e db y e x a m p l e s f r o m t h e h i s t o r y o f m a t h e m a t i c s l i k e t h e o n e s j u s tm e n t i o n e d , b u t i t i s n o t r e s t r i c t e d t o m a t h e m a t i c s . I t i s w h a t u n d e r -l i e s H i l b e r t ' s l e s s t h a n c o m p l e t e l y h a p p y t e r m i n o l o g y w h e n h e c a l l sh i s a x i o m s i m p l i c i t d e f i n i t i o n s o f t h e g e o m e t r i c a l c o n c e p t s i n v o l v e d

i n t h e m .I t i s i m p o r t a n t t o r e a l i z e t h a t t h i s d e s c r i p t i v e f u n c t i o n o f l o g i c i n

f o r m u l a t i n g m a t h e m a t i c a l a x i o m s i s t h e s a m e — a n d h e n c e e q u a l l yi n d i s p e n s a b l e n o m a t t e r w h e t h e r t h e a x i o m s b e l o n g t o a n i n t e r -p r e t e d a x i o m s y s t e m , f o r i n s t a n c e , t o t h e a x i o m s o f t h e r m o d y n a m i c so r i n t e r p r e t e d g e o m e t r y , o r t o a n u n i n t e r p r e t e d a x i o m s y s t e m , s u c ha s t h e a x i o m s o f g r o u p t h e o r y , t h e o r y o f f i e l d s , o r l a t t i c e t h e o r y . E v e n



1 0 T H E P R I N C I P L E S O F M A T H E M A T I C S R E V I S I T E D

a b s t r a c t m a t h e m a t i c a l t h e o r i e s c a n b e t h o u g h t o f a s e x p l i c a t i o n s o fc e r t a i n i n t u i t i v e c o n c e p t s , t o p o l o g y a s a n e x p l i c a t i o n o f t h e c o n c e p to f c o n t i n u i t y , g r o u p t h e o r y o f t h e i d e a o f s y m m e t r y , l a t t i c e t h e o r yo f t h e n o t i o n s r e l a t e d t o t h e i d e a o f o r d e r i n g , a n d s o f o r t h . I n a l l t h e s ec a s e s , f o r t h e e x p l i c a t o r y p u r p o s e l o g i c a l n o t i o n s o f s o m e s o r t a r e c l e a r l y

a m u s t . T h u s w e c a n s e e t h a t t h o s e p h i l o s o p h e r s w h o m a i n t a i n t h a tl o g i c a l n o t i o n s l i k e q u a n t i f i e r s d o n o t h a v e t h e s a m e s e n s e i n m a t h e -m a t i c a l t h e o r i e s a s t h e y h a v e i n e v e r y d a y l i f e a r e n o t o n l y o f f t h e m a r kb u t o f f t h e m a p . 3 O n t h e c o n t r a r y , t h e r e p r e s e n t a t i o n o f m a t h e m a t -i c a l p r o p o s i t i o n s i n f o r m a l o r i n f o r m a l l a n g u a g e i s p r e d i c a t e d o n t h e

a s s u m p t i o n t h a t l o g i c a l c o n s t a n t s a r e b e i n g u s e d w i t h t h e i r n o r m a lm e a n i n g .A r e a l i z a t i o n o f t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e t w o f u n c t i o n s o f l o g i c i n

m a t h e m a t i c s p r o m p t s f u r t h e r q u e s t i o n s . T h e m a i n o n e c o n c e r n s t h ew a y d i f f e r e n t p a r t s a n d a s p e c t s o f l o g i c s e r v e t h e t w o ( o r t h r e e ) f u n c -t i o n s . W h i c h p a r t s s e r v e w h i c h f u n c t i o n ? W h a t i s r e q u i r e d o f l o g i ct h a t i t c a n s e r v e o n e o r t h e o t h e r o f t h e t w o f u n c t i o n s ? O r , m u s tt h e r e f o r s o m e r e a s o n b e j u s t o n e i n d i v i s i b l e l o g i c s e r v i n g b o t h t h e

d e s c r i p t i v e a n d t h e d e d u c t i v e p u r p o s e ? T h e s e a r e f u n d a m e n t a lq u e s t i o n s i n t h e p h i l o s o p h y o f m a t h e m a t i c s , a n d y e t t h e y h a v e b e e ns c a r c e l y r a i s e d i n e a r l i e r l i t e r a t u r e . I w i l l r e t u r n t o t h e m a t t h e e n d o fC h a p t e r s 9 a n d 1 0 .

A c k n o w l e d g i n g t h e d e s c r i p t i v e f u n c t i o n o f l o g i c i n m a t h e m a t i c a lt h e o r i e s i n f a c t o c c a s i o n s a n a d d i t i o n t o w h a t w a s s a i d e a r l i e r o f t h ep u r e l y l o g i c a l c h a r a c t e r o f a n a x i o m s y s t e m l i k e H i l b e r t ' s

G r u n d l a g e n . N o t o n l y m u s t i t b e t h e c a s e t h a t a l l t h e p r o o f s o ft h e o r e m s f r o m a x i o m s a r e c o n d u c t e d p u r e l y l o g i c a l l y ; i t m u s t a l s o b er e q u i r e d t h a t t h e r e p r e s e n t a t i o n a l t a s k o f t h e a x i o m s i s a c c o m -p l i s h e d b y p u r e l y l o g i c a l m e a n s . I n p r a c t i c e t h i s n o r m a l l y m e a n s t h a tt h e o n l y n o n l o g i c a l n o t i o n s i n t h e a x i o m s y s t e m a r e c e r t a i n u n d e -f i n e d p r o p e r t i e s a n d r e l a t i o n s a m o n g t h e o b j e c t s o f t h e t h e o r y i nq u e s t i o n . O f t h e m , o n l y s u c h t h i n g s a r e a s s u m e d t h a t a r e e x p l i c i t l ys t a t e d i n t h e a x i o m s .

T h i s p u r e l y l o g i c a l c h a r a c t e r o f t h e f o r m u l a t i o n o f a x i o m s i s o n l yp a r t l y n e c e s s i t a t e d b y t h e r e q u i r e m e n t t h a t p r o o f s o f t h e o r e m s f r o ma x i o m s m u s t b e p u r e l y l o g i c a l . I t i s p a r t a n d p a r c e l o f H i l b e r t ' sc o n c e p t i o n o f t h e a x i o m a t i c m e t h o d . A p a r t i a l r e a s o n i s t h a t t h e o n l ye n t i t i e s t h a t t h e a x i o m s m a y m e n t i o n m u s t b e t h e o b j e c t s o f t h et h e o r y . F o r i n s t a n c e , i n t h e a x i o m s o f g e o m e t r y w e m u s t n o t p o s t u -l a t e a c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n p o i n t s o n a l i n e a n d r e a l n u m b e r s , f o r



T H E F U N C T I O N S O F L O G I C 1 1

t h e l a t t e r a r e n o t o b j e c t s o f g e o m e t r y . I n a c t u a l h i s t o r i c a l f a c t ,H u b e r t ' s c h o i c e o f h i s a x i o m s s e e m s t o h a v e b e e n d e e p l y i n f l u e n c e db y t h e r e q u i r e m e n t t h a t t h e y m u s t b e p u r e l y l o g i c a l i n t h e s e n s ei n d i c a t e d h e r e .

T h e n e g l e c t o f t h e d e s c r i p t i v e f u n c t i o n o f l o g i c a l i s e s p e c i a l l ys t r i k i n g i n r e c e n t d i s c u s s i o n s o f t h e p h i l o s o p h i c a l p r o b l e m s o fc o g n i t i v e s c i e n c e . A c e n t r a l r o l e i s p l a y e d t h e r e b y t h e n o t i o n o fr e p r e s e n t a t i o n , e s p e c i a l l y m e n t a l b u t t o s o m e e x t e n t a l s o l i n g u i s t i c .N o w , w h a t w o u l d a t y p i c a l s i t u a t i o n o f l i n g u i s t i c r e p r e s e n t a t i o nl o o k l i k e ? O n t h e b a s i s o f w h a t w a s s a i d e a r l i e r , r e p r e s e n t a t i o n b y

m e a n s o f f i r s t - o r d e r l o g i c s h o u l d c e r t a i n l y b e t h e t e s t c a s e . T h e r e m a yn o t b e a n y c o m p l e t e l y p r e s u p p o s i t i o n l e s s A d a m i c d i s c o u r s e t o s e r v ea s a t e s t i n g - g r o u n d o f t h e o r i e s o f r e p r e s e n t a t i o n , b u t i n t h e f i r s t -o r d e r h e i r s t o F r e g e ' s w e s e e m t o h a v e — G o t t s e i

L o b a s i m p l e m o d e o f r e p r e s e n t a t i o n w h i c h e v e r y b o d y a d m i t s i sa b a s i c o n e . O r i s i t t h e c a s e t h a t w e h a v e t o e x e m p t a g r e a t m a n yc o g n i t i v e s c i e n t i s t s a n d t h e i r p e t p h i l o s o p h e r s f r o m t h e s c o p e o f t h a t" e v e r y b o d y " ? I n r e a d i n g t h e r e l e v a n t l i t e r a t u r e , i t i s h a r d t o a v o i d t h e

i m p r e s s i o n t h a t m a n y c o n t e m p o r a r y p h i l o s o p h e r s o f c o g n i t i v es c i e n c e a r e d e s p e r a t e l y t r y i n g t o r e s t r i c t t h e i r a t t e n t i o n t o s u c h f o r m so f r e p r e s e n t a t i o n a s d o n o t i n v o l v e l o g i c . I f s o , w e a r e w i t n e s s i n ga c o m e d y i n w h i c h o n e f r a c t i o n o f p h i l o s o p h e r s s c r u p u l o u s l y t r i e s t oa v o i d d i s c u s s i n g t h e v e r y c a s e s o f r e p r e s e n t a t i o n w h i c h o t h e r s t r e a ta s t h e p a r a d i g m a t i c o n e s . O r , i s i t p e r h a p s t h a t p h i l o s o p h e r s o fc o g n i t i o n h a v e n o t a c k n o w l e d g e d t h e d e s c r i p t i v e f u n c t i o n o f l o g i c ,w h i c h a m o u n t s i n e f f e c t t o i t s r e p r e s e n t a t i v e f u n c t i o n ? I f s o , t h e y a r ed i s r e g a r d i n g t h e m e d i u m o f r e p r e s e n t a t i o n f o r t h e o v e r w h e l m i n g

m a j o r i t y o f o u r a d v a n c e d t h e o r e t i c a l k n o w l e d g e .A n d e v e n i f a p h i l o s o p h e r b e l i e v e s t h a t t h e a l l - i m p o r t a n t m e n t a l

i n f o r m a t i o n p r o c e s s i n g u s e s s o m e m e a n s o t h e r t h a n l i n g u i s t i c o rl o g i c a l r e p r e s e n t a t i o n , h e o r s h e s h o u l d s t i l l o f f e r a r e a l i s t i c a l t e r n a -t i v e a c c o u n t o f t h e c o g n i t i v e p r o c e s s e s t h a t c a n b e c a r r i e d o u t b ym e a n s o f f i r s t - o r d e r l a n g u a g e s .

T h e s y s t e m a t i c s t u d y o f t h e d e d u c t i v e f u n c t i o n o f l o g i c i s k n o w na s p r o o f t h e o r y . T h e s y s t e m a t i c s t u d y o f t h e d e s c r i p t i v e f u n c t i o n o fl o g i c i s k n o w n a s m o d e l t h e o r y o r l o g i c a l s e m a n t i c s . S e v e r a l h i g h l yi n f l u e n t i a l l o g i c i a n s a n d p h i l o s o p h e r s u s e d t o m a i n t a i n a n d i n

s o m e c a s e s s t i l l m a i n t a i n — t h e i m p o s s i b i l i t y o f m o d e l t h e o r y a sa l a r g e - s c a l e p h i l o s o p h i c a l l y r e l e v a n t s y s t e m a t i c e n t e r p r i s e . S o m eu s e d t o d e n y t h e v e r y p o s s i b i l i t y o f m o d e l t h e o r y o u t r i g h t , s o m e i t s




p o s s i b i l i t y i n t h e a l l - i m p o r t a n t c a s e o f o u r a c t u a l w o r k i n g ( o rp e r h a p s b e t t e r , t h i n k i n g ) l a n g u a g e , w h i l e s t i l l o t h e r s m e r e l y d e n y

i t s p h i l o s o p h i c a l r e l e v a n c e . I n d i f f e r e n t v a r i a n t s , s u c h d o u b t s h a v eb e e n e x p r e s s e d b y F r e g e , R u s s e l l , W i t t g e n s t e i n , t h e C a r n a p o f t h e

e a r l y t h i r t i e s , Q u i n e a n d C h u r c h . T h e w a y i n w h i c h t h i s t r a d i t i o nw a s g r a d u a l l y a n d p a r t i a l l y o v e r c o m e i s s t u d i e d b r i e f l y i n H i n t i k k a

( 1 9 8 8 b ) . T h i s u n d e r e s t i m a t i o n o f m o d e l t h e o r y a m o n g p h i l o s o p h i -c a l l y o r i e n t e d l o g i c i a n s c a n t y p i c a l l y b e t r a c e d b a c k t o a f a i l u r e t o

a p p r e c i a t e t h e d e s c r i p t i v e ( r e p r e s e n t a t i o n a l ) f u n c t i o n o f l o g i c .N o t w i t h s t a n d i n g s u c h d o u b t s , m o d e l t h e o r y h a s a p p a r e n t l y

p r o v e d p o s s i b l e , b e c a u s e a c t u a l , a s t h e s c h o l a s t i c s u s e d t o s a y . B u tq u e s t i o n s c a n s t i l l b e r a i s e d a b o u t i t s p h i l o s o p h i c a l r e l e v a n c e .W h a t p r e c i s e l y a r e t h e c o n c e p t u a l p r e s u p p o s i t i o n s o f m o d e l t h e o r y ?

T h e c r u c i a l c o n c e p t i n a n y s u c h t h e o r y i s , u n s u r p r i s i n g l y , t h ec o n c e p t o f m o d e l . T h e i d e a i s t o d i s c u s s w h a t a s e n t e n c e S s a y s b ya s s o c i a t i n g w i t h i t a c l a s s o f s t r u c t u r e s , a l s o k n o w n a s m o d e l s ,s c e n a r i o s , s y s t e m s , p o s s i b l e w o r l d s , w o r l d s , o r w h a t n o t . L e t u sc a l l t h i s c l a s s M ( S ) . S t r i c t l y s p e a k i n g , t h e r e a r e t w o r e l a t e d s e n s e s

o f m o d e l h e r e , d e p e n d i n g o n w h e t h e r i n t h e p a s s a g e f r o m S t oM ( S ) t h e n o n l o g i c a l c o n s t a n t s o f S a r e a l l o w e d t o b e r e i n t e r p r e t e d .M o d e l s o f t h e s e c o n d k i n d a r e o f c o u r s e t h e s a m e a s t h e m o d e l s o ft h e f i r s t k i n d m o d u l o i s o m o r p h i s m . I n t h e f o u n d a t i o n s o f m a t h e m a t -i c s , t h e d i s t i n c t i o n b e t w e e n t h e t w o k i n d s o f m o d e l s m a k e s l i t t l ed i f f e r e n c e .

B u t h o w i s M ( S ) s p e c i f i e d ? I n o r d e r t o s p e c i f y i t , w e m u s t o b v i o u s -l y d o t w o t h i n g s . F i r s t , w e h a v e t o b e g i v e n s o m e c l a s s ( s e t , s p a c e ) o f

m o d e l s , t h a t i s , s t r u c t u r e s o f t h e a p p r o p r i a t e s o r t . S e c o n d , b yr e f e r e n c e t o S w e h a v e t o g i v e t h e c r i t e r i a a s t o w h e n a g i v e n m e m b e rM o f q u a l i f i e s a s o n e o f t h e m o d e l s o f S .

T h e f o r m e r q u e s t i o n ( t h e q u e s t i o n o f t h e c h o i c e o f d i d n o ta t t r a c t m u c h a t t e n t i o n o n t h e p a r t o f l o g i c i a n s u n t i l t h e d e v e l o p m e n to f a b s t r a c t ( a l i a s m o d e l - t h e o r e t i c a l ) I o g i c s ( s e e h e r e B a r w i s e a n dF e f e r m a n 1 9 8 5 ) . I n d e p e n d e n t l y o f t h e m , c e r t a i n i n t e r e s t i n g c a n d i -

d a t e s f o r a n o n s t a n d a r d c h o i c e o f h a v e m e a n w h i l e b e e n p r o p o s e d .T h e y c a n i n v o l v e o n t h e o n e h a n d n o v e l s t r u c t u r e s t h a t w e r e n o te a r l i e r c o n s i d e r e d a s m o d e l s , s u c h a s t h e u r n m o d e l s o f V e i k k oR a n t a l a ( 1 9 7 5 ) t h a t w i l l b e e x p l a i n e d i n C h a p t e r 5 . O n t h e o t h e rh a n d t h e y c a n i n v o l v e d e l i b e r a t e r e s t r i c t i o n s o n t h e s p a c e o f m o d e l s .O n e e s p e c i a l l y i n t e r e s t i n g r e s t r i c t i o n i s o b t a i n e d b y r e q u i r i n g t h a tt h e s u r v i v i n g m o d e l s s h o u l d p o s s e s s c e r t a i n s u i t a b l e e x t r e m a l i t y




( m a x i m a l i t y a n d m i n i m a l i t y ) p r o p e r t i e s ( s e e H i n t i k k a 1 9 9 3 b ) . M o r ew o r k i s n e v e r t h e l e s s i n o r d e r i n t h i s d i r e c t i o n . P e r h a p s t h e " s p e c i a lm o d e l s " j u s t m e n t i o n e d c o u l d i n t h e f u t u r e s e r v e u s e f u l l y a s t e s t c a s e s

i n t h e v e r y , v e r y a b s t r a c t t h e o r y o f a b s t r a c t l o g i c s .I w i l l r e t u r n b r i e f l y t o t h e i d e a s o f m a x i m a l i t y a n d m i n i m a l i t y i n

C h a p t e r 9 .F o r t h e p u r p o s e s o f m y l i n e o f t h o u g h t h e r e , t h e c e n t r a l q u e s t i o n i s

t h e s e c o n d o n e , t h e q u e s t i o n a s t o w h e n a m o d e l M i s a m o d e l o fa s e n t e n c e S . H e r e a p a r t i a l a n s w e r i s o b v i o u s . I n t h e b a s i c s e n s e o fm o d e l , M i s a m o d e l o f S i f a n d o n l y i f S i s t r u e i n M . A n d t h e c o n d i -

t i o n s o f a s e n t e n c e b e i n g t r u e i n a m o d e l i s w h a t t r u t h d e f i n i t i o n sc o d i f y . H e n c e t h e s p e c i f i c a t i o n o f t h e a l l - i m p o r t a n t r e l a t i o n s o f b e i n ga m o d e l o f i s e s s e n t i a l l y a m a t t e r o f t r u t h d e f i n i t i o n s .

T h e q u e s t i o n o f t h e p o s s i b i l i t y o f t r u t h d e f i n i t i o n s , a n d t h eq u e s t i o n o f t h e p r e s u p p o s i t i o n s o f s u c h t r u t h d e f i n i t i o n s , a r e t h u s o fm a j o r i n t e r e s t t o t h e e n t i r e f o u n d a t i o n o f l o g i c a n d m a t h e m a t i c s .T h e p h i l o s o p h i c a l v i a b i l i t y o f m o d e l t h e o r y s t a n d s o r f a l l s w i t h t h ep h i l o s o p h i c a l v i a b i l i t y o f t r u t h d e f i n i t i o n s , a n d t h e r e l a t i v e d e p e n d -

e n c e o r i n d e p e n d e n c e o f m o d e l t h e o r y o n o t h e r a p p r o a c h e s t of o u n d a t i o n s i s a m a t t e r o f w h e t h e r t h o s e o t h e r a p p r o a c h e s a r ep r e s u p p o s e d i n t h e r e l e v a n t t r u t h d e f i n i t i o n s . E v e n t h o u g h T a r s k ih i m s e l f n e v e r h i g h l i g h t e d t h e f a c t ( a s f a r a s I k n o w ) , i t i s n o a c c i d e n tt h a t t h e s a m e t h i n k e r d e v e l o p e d b o t h t h e f i r s t e x p l i c i t t r u t h d e f i n i -t i o n s a n d l a t e r ( w i t h h i s s t u d e n t s a n d a s s o c i a t e s ) t h e c o n t e m p o r a r ym o d e l t h e o r y i n t h e n a r r o w e r t e c h n i c a l s e n s e .

T h e m o s t c o m m o n l y u s e d t y p e o f t r u t h d e f i n i t i o n w a s i n t r o d u c e db y A l f r e d T a r s k i i n 1 9 3 5 — o r p e r h a p s 1 9 3 3 , i f w e h e e d t h e p u b l i c a -t i o n d a t e o f t h e P o l i s h o r i g i n a l . A s w i l l b e e x p l a i n e d m o r e f u l l y i nC h a p t e r 5 , t h e g u i d i n g p r i n c i p l e o f T a r s k i ' s e n t e r p r i s e w a s w h a t

l o g i c i a n s a t t h e t i m e ( a n d l a t e r ) u s u a l l y c a l l e d t h e i d e a o f r e c u r s i v ed e f i n i t i o n . L a t e r l i n g u i s t s a r e w o n t t o c a l l i t c o m p o s i t i o n a l i t y . T h i sp r i n c i p l e s a y s t h a t t h e s e m a n t i c a t t r i b u t e s o f a c o m p l e x e x p r e s s i o na r e f u n c t i o n s o f t h e s e m a n t i c a t t r i b u t e s o f i t s c o n s t i t u e n t e x p r e s s i o n s .

A p p l i e d t o t r u t h d e f i n i t i o n s , i t s a y s t h a t t h e t r u t h - v a l u e o f a s e n t e n c ei s d e t e r m i n e d b y t h e s e m a n t i c a l a t t r i b u t e s o f i t s c o n s t i t u e n t e x p r e s -s i o n s . O n e p e r h a p s h o p e s t o b e a b l e t o s a y h e r e : i t d e p e n d s o n l y , o nt h e t r u t h - v a l u e s o f i t s c o n s t i t u e n t e x p r e s s i o n s . U n f o r t u n a t e l y t h ec o n s t i t u e n t e x p r e s s i o n s o f q u a n t i f i e d s e n t e n c e s t y p i c a l l y c o n t a i n f r e ev a r i a b l e s . T h e y a r e o p e n f o r m u l a s , n o t s e n t e n c e s , a n d t h e r e f o r ec a n n o t h a v e a t r u t h - v a l u e .



1 4 T H E P R I N C I P L E S O F M A T H E M A T I C S R E V i S I T E D

T h i s e x p l a i n s t h e f i r s t m a i n f e a t u r e o f T a r s k i ' s t r u t h d e f i n i t i o n .T h e t r u t h - v a l u e o f a s e n t e n c e i s d e f i n e d b y h i m w i t h t h e h e l p o fa n o t h e r n o t i o n w h i c h a p p l i e s a l s o t o o p e n f o r m u l a s , n a m e l y , t h en o t i o n o f s a t i s f a c t i o n . T h e d e f i n i t i o n i s a p p l i e d f r o m i n s i d e o u t ,b e g i n n i n g w i t h t h e s i m p l e s t ( a t o m i c ) f o r m u l a s i n t h e s e n t e n c e i nq u e s t i o n . A c r u c i a l r o l e i s p l a y e d b y t h e n o t i o n o f a v a l u a t i o n , w h i c h i si n d e e d a n a s s i g n m e n t o f i n d i v i d u a l s t o e a c h i n d i v i d u a l c o n s t a n t a n de a c h i n d i v i d u a l v a r i a b l e o f t h e l a n g u a g e i n q u e s t i o n a s i t s v a l u e s . T h i sr e l i a n c e o f T a r s k i - t y p e d e f i n i t i o n s o f t r u t h o n t h e a u x i l i a r y c o n c e p t o fs a t i s f a c t i o n h a s , s t r a n g e l y e n o u g h , l e d s o m e s c h o l a r s t o d e n y t h a t

T a r s k i ' s t r u t h d e f i n i t i o n i s c o m p o s i t i o n a l .V e r y b r i e f l y , a T a r s k i - t y p e t r u t h d e f i n i t i o n c a n b e e x p l a i n e d b yk e e p i n g i n m i n d t h a t t r u t h i s r e l a t i v e t o a m o d e l M a n d a v a l u a t i o n v .

A v a l u a t i o n a s s i g n s t o e a c h n o n l o g i c a l p r i m i t i v e s y m b o l , i n c l u d i n g t h e

i n d i v i d u a l v a r i a b l e s x 1 , x 2 , . . . , x 1 , . . . , a n e n t i t y o f t h e a p p r o p r i a t e t y p ef r o m t h e m o d e l M . A s e n t e n c e ( c l o s e d f o r m u l a ) i s t r u e i f a n d o n l y i ft h e r e i s a v a l u a t i o n t h a t s a t i s f i e s i t . S a t i s f a c t i o n i s d e f i n e d r e c u r s i v e l yi n t h e o b v i o u s w a y . F o r i n s t a n c e , ( 8 x 3 5 [ x 1 ] i s s a t i s f i e d b y a v a l u a t i o n

v i f a n d o n l y i f t h e r e i s a v a l u a t i o n w h i c h d i f f e r s f r o m v o n l y f o r t h ea r g u m e n t x 1 a n d w h i c h s a t i s f i e s S [ x 1 ] . L i k e w i s e , v s a t i s f i e s i f

a n d o n l y i f e v e r y v a l u a t i o n t h a t d i f f e r s f r o m v o n l y o n x 1 s a t i s f i e s S [ x 1 ] .

F o r p r o p o s i t i o n a l c o n n e c t i v e s , t h e u s u a l t r u t h - t a b l e c o n d i t i o n s a r eu s e d t o c h a r a c t e r i z e s a t i s f a c t i o n .

T h e s a t i s f a c t i o n o f a n a t o m i c f o r m u l a i s d e f i n e d i n t h e u s u a l w a y .F o r i n s t a n c e , R ( x 1 , i s s a t i s f i e d b y v i f a n d o n l y i f > e v ( R ) .

P u t t i n g a l l t h e s e s t i p u l a t i o n s t o g e t h e r , w e c a n i n d e e d a r r i v e a t a r e c u r -s i v e t r u t h d e f i n i t i o n .

T h e f u r t h e r d e t a i l s o f T a r s k i ' s p r o c e d u r e d o n o t h a v e t o c o n c e r n u sh e r e , b u t o n l y t h e m a i n f e a t u r e s o f h i s t r u t h d e f i n i t i o n . I f a t r u t hd e f i n i t i o n i s f o r m u l a t e d e x p l i c i t l y i n a m e t a l a n g u a g e , i t i s n a t u r a l t oa s s u m e t h a t t h a t m e t a l a n g u a g e c o n t a i n s e l e m e n t a r y a r i t h m e t i c . T h e no n e c a n u s e t h e n o r m a l t e c h n i q u e o f G ö d e l n u m b e r i n g t o d i s c u s s t h es y n t a x o f t h e f i r s t - o r d e r l a n g u a g e i n q u e s t i o n . I f t h i s l a n g u a g e c o n t a i n s

a f i n i t e n u m b e r o f p r e d i c a t e a n d f u n c t i o n s y m b o l s , t h e n t h e l o g i c a lt y p e o f t h e v a l u a t i o n f u n c t i o n v i s e s s e n t i a l l y a m a p p i n g f r o m n a t u r a ln u m b e r s ( G ö d e l n u m b e r s o f s y m b o l s a n d f o r m u l a s ) i n t o t h e i n d i v i d -u a l s o f t h e d o m a i n d o ( M ) o f t h e m o d e l i n q u e s t i o n . T h e t r u t h p r e d i c a t e

i t s e l f w h i c h e m e r g e s f r o m a T a r s k i - t y p e t r e a t m e n t t h e r e f o r e h a s w h a tl o g i c i a n s c a l l a f o r m . I n o t h e r w o r d s , i t h a s t h e f o r m o f a s e c o n d -o r d e r e x i s t e n t i a l q u a n t i f i e r ( o r a f i n i t e s t r i n g o f s u c h q u a n t i f i e r s )




f o l l o w e d b y a f i r s t - o r d e r f o r m u l a . A l l t h e q u a n t i f i e r s i n t h i s f o r m u l ar a n g e o v e r e i t h e r n a t u r a l n u m b e r s o r e l s e o v e r t h e ( o t h e r ) i n d i v i d u a l si n t h e d o m a i n d o ( M ) o f t h e m o d e l i n q u e s t i o n . I n o t h e r w o r d s , t h e y a r e

f i r s t - o r d e r q u a n t i f i e r s .I n d e e d , w e c a n s e e t h e m o s t i m p o r t a n t f e a t u r e o f T a r s k i - t y p e t r u t h

d e f i n i t i o n s f o r f i r s t - o r d e r l a n g u a g e s : t h e d e f i n i t i o n i t s e l f i s f o r m u l a t e di n a s e c o n d - o r d e r l a n g u a g e , t h a t i s t o s a y , i n a l a n g u a g e i n w h i c h o n ec a n q u a n t i f y o v e r v a l u a t i o n s . T h i s f e a t u r e o f T a r s k i ' s t r u t h d e f i n i t i o nw a s n o t a n a c c i d e n t a l o n e , a s T a r s k i h i m s e l f p r o v e d . h e p r o v e dt h a t , g i v e n c e r t a i n a s s u m p t i o n s , a t r u t h d e f i n i t i o n c a n b e g i v e n f o r

a l a n g u a g e o n l y i n a s t r o n g e r m e t a l a n g u a g e . T h i s i s T a r s k i ' s f a m o u si m p o s s i b i l i t y r e s u l t . I t i s c l o s e l y r e l a t e d t o G ö d e l ' s ( 1 9 3 1 ) i n c o m p l e t e -n e s s r e s u l t s . I n d e e d , i t h a s b e e n e s t a b l i s h e d t h a t G ö d e l f i r s t a r r i v e d a th i s i n c o m p l e t e n e s s r e s u l t s b y d i s c o v e r i n g t h e u n d e f i n a b i l i t y o f a r i t h -

m e t i c a l t r u t h i n a f i r s t - o r d e r a r i t h m e t i c a l l a n g u a g e .T h e d e t a i l s o f T a r s k i - t y p e t r u t h d e f i n i t i o n s a n d o f T a r s k i ' s i m p o s s i -

b i l i t y r e s u l t a r e f a m i l i a r f r o m t h e l i t e r a t u r e , a n d t h e r e f o r e w i l l n o t b ee l a b o r a t e d h e r e ( c f . E b b i n g h a u s , F l u m , a n d T h o m a s 1 9 8 4 , C h . 3 ;

M o s t o w s k i 1 9 6 5 , C h . 3 ) .T r u t h d e f i n i t i o n s a r e i m p o r t a n t f o r s e v e r a l d i f f e r e n t r e a s o n s ,

t h o u g h t h o s e r e a s o n s a r e n o t a l l e q u a l l y d i r e c t l y r e l e v a n t t o t h ef o u n d a t i o n s o f m a t h e m a t i c s . W i t h o u t t h e n o t i o n o f t r u t h t h e r e i s l i t t l e

h o p e o f c a p t u r i n g s u c h b a s i c c o n c e p t s o f l o g i c a s v a l i d i t y ( t r u t h i ne v e r y m o d e l ) a n d l o g i c a l c o n s e q u e n c e . F u r t h e r m o r e , a t r u t h d e f i n i t i o n

i s c a l c u l a t e d t o s p e c i f y t h e t r u t h - c o n d i t i o n s o f d i f f e r e n t s e n t e n c e s S .T h e s e t r u t h - c o n d i t i o n s a r e c l o s e l y r e l a t e d t o t h e n o t i o n o f m e a n i n g , i n

t h e s e n s e o f s e n t e n c e m e a n i n g . F o r w h a t o u r a s s e r t i v e l y u t t e r e ds e n t e n c e S i n e f f e c t s a y s c a n b e p a r a p h r a s e d b y s a y i n g t h a t w h a tS a s s e r t s i s t h a t i t s t r u t h - c o n d i t i o n s a r e s a t i s f i e d . T h u s t o k n o w t h et r u t h - c o n d i t i o n s o f S i s t o k n o w w h a t S m e a n s .

T h e o n l y m a j o r q u a l i f i c a t i o n n e e d e d h e r e h a s a l r e a d y b e e n m a d e .T r u t h - c o n d i t i o n s d e a l w i t h s e n t e n c e m e a n i n g , n o t s y m b o l m e a n i n g .T h e l a t t e r h a s t o b e t r e a t e d s e p a r a t e l y , a n d i t m u s t b e t a k e n f o r g r a n t e d

i n t h e f o r m u l a t i o n o f t r u t h - c o n d i t i o n s a n d t r u t h d e f i n i t i o n s . T h i s p o i n ti s u s e f u l t o k e e p i n m i n d . S o m e p h i l o s o p h e r s h a v e , f o r i n s t a n c e , t r i e d t o

c r i t i c i z e T a r s k i - t y p e t r u t h d e f i n i t i o n s f o r i l l i c i t r e l i a n c e o n t h e c o n c e p to f m e a n i n g . T h e r e l i a n c e i s t h e r e , b u t i t i s n o t i l l i c i t b e c a u s e i t i s n o tc i r c u l a r . T a r s k i ' s p r o j e c t i s n o t h i n g m o r e a n d n o t h i n g l e s s t h a n t o d e f i n e

t r u t h - c o n d i t i o n s i n t e r m s o f s y m b o l m e a n i n g , t h a t i s , s e n t e n c e m e a n i n gi n t e r m s o f s y m b o l m e a n i n g . T h e r e i s n o t h i n g w r o n g i n s u c h a n a t t e m p t .




T a r s k i ' s a n d G ö d e l ' s n e g a t i v e r e s u l t s h a v e b e e n t a k e n t o h a v em a j o r p h i l o s o p h i c a l a n d o t h e r g e n e r a l t h e o r e t i c a l i m p l i c a t i o n s . T h eu n d e f i n a b i l i t y o f s u c h b a s i c m e t a l o g i c a l c o n c e p t s a s t r u t h , v a l i d i t y

a n d l o g i c a l c o n s e q u e n c e o n t h e f i r s t - o r d e r l e v e l s h o w s t h a t o r d i n a r yf i r s t - o r d e r l o g i c i s i n a n i m p o r t a n t s e n s e n o t s e l f - s u f f i c i e n t . D i f f e r e n tp h i l o s o p h e r s h a v e s o u g h t t o d r a w d i f f e r e n t c o n c l u s i o n s f r o m t h i sf a i l u r e . S o m e r u l e o u t m e t a l o g i c a s a p u r e l y l o g i c a l d i s c i p l i n e ,m a i n t a i n i n g t h a t i t b e l o n g s t o s e t t h e o r y a n d h e n c e t o m a t h e m a t i c s .O t h e r s , l i k e P u t n a m ( 1 9 7 1 ) , a r g u e t h a t l o g i c m u s t b e t a k e n t oc o m p r e h e n d a l s o h i g h e r - o r d e r l o g i c a n d p e r h a p s , b y i m p l i c a t i o n ,

p a r t s o f s e t t h e o r y . G e n e r a l l y s p e a k i n g , T a r s k i ' s r e s u l t s e e m s t oc o n f i r m o n e ' s w o r s t f e a r s a b o u t t h e d e p e n d e n c e o f m o d e l t h e o r y o nh i g h e r - o r d e r l o g i c a n d t h e r e b y o n q u e s t i o n s o f s e t s a n d s e t e x i s t e n c e .I t h a s e v e n b e e n a l l e g e d t h a t t h i s m a k e s m o d e l t h e o r y l i t t l e m o r et h a n a p a r t o f s e t t h e o r y . I n d e e d , t h e a p p a r e n t d e p e n d e n c e o fT a r s k i - t y p e t r u t h d e f i n i t i o n s o n s e t t h e o r y i s i n m y v i e w o n e o f t h em o s t d i s c o n c e r t i n g f e a t u r e s o f t h e c u r r e n t s c e n e i n l o g i c a n d i n t h e

f o u n d a t i o n s o f m a t h e m a t i c s . I a m s o r e l y t e m p t e d t o c a l l i t " T a r s k i ' s

c u r s e " . I t i n f l i c t s m o d e l t h e o r y w i t h a l l t h e p r o b l e m s a n d u n c e r t a i n -t i e s o f t h e f o u n d a t i o n s o f s e t t h e o r y . M o r e g e n e r a l l y , T a r s k i ' s c u r s em i g h t b e u n d e r s t o o d a s t h e u n d e f i n a b i l i t y o f t r u t h f o r a g i v e nl a n g u a g e i n t h a t l a n g u a g e ( g i v e n T a r s k i ' s a s s u m p t i o n s ) . T h e i m p o r t -a n c e o f t h i s n e g a t i v e r e s u l t c a n n o t b e e x a g g e r a t e d . O n e o f i t s f i r s tv i c t i m s w a s C a r n a p ' s g r a n d i o s e v i s i o n o f a s i n g l e u n i v e r s a l l a n g u a g e

i n w h i c h H u b e r t ' s a n d G ö d e l ' s f o r m a l i z a t i o n t e c h n i q u e s w o u l d a l s oe n a b l e u s t o d i s c u s s i t s o w n s e m a n t i c s . I n a m o r e g e n e r a l p e r s p e c t i v e ,

T a r s k i ' s u n d e f i n a b i l i t y r e s u l t i n e v i t a b l y g i v e s e v e r y m o d e l t h e o r i s ta n d m o s t s e m a n t i c i s t s a b a d i n t e l l e c t u a l c o n s c i e n c e . T h e e x p l i c i tf o r m a l l a n g u a g e s T a r s k i ' s r e s u l t p e r t a i n s t o w e r e n o t c o n s t r u c t e d t ob e m e r e l y l o g i c i a n s ' p l a y t h i n g s . T h e y w e r e t o b e b e t t e r t o o l s , b e t t e ro b j e c t l a n g u a g e s f o r t h e s c i e n t i f i c a n d m a t h e m a t i c a l e n t e r p r i s e . B u t

i f a m o d e l t h e o r i s t d e c i d e s t o s t u d y o n e o f t h e m , h e o r s h e w i l l t h e nh a v e e i t h e r t o u s e a s t r o n g e r m e t a l a n g u a g e f o r t h e p u r p o s e o r e l s e t o

l e a v e t h e m e t a l a n g u a g e i n f o r m a l . I n t h e f o r m e r c a s e , w e h a v e t h eb l i n d l e a d i n g t h e b l i n d o r , m o r e s p e c i f i c a l l y , t h e s e m a n t i c s o f a l a n -g u a g e b e i n g s t u d i e d b y m e a n s o f a m o r e m y s t e r i o u s l a n g u a g e , w h i l ei n t h e l a t t e r c a s e t h e s e m a n t i c i s t h a s s i m p l y g i v e n u p h i s o r h e rp r o f e s s i o n a l r e s p o n s i b i l i t i e s .

S e c o n d , o n e c a n t r y t o a p p l y T a r s k i ' s r e s u l t t o o u r a c t u a l w o r k i n gl a n g u a g e , c a l l e d " c o l l o q u i a l l a n g u a g e " b y T a r s k i h i m s e l f . T h e a p p l i -




c a t i o n i s n o t u n p r o b l e m a t i c , f o r T a r s k i ' s t h e o r e m i s f o r m u l a t e d s o a st o d e a l o n l y w i t h f o r m a l ( b u t i n t e r p r e t e d ) l a n g u a g e s s a t i s f y i n gc e r t a i n e x p l i c i t c o n d i t i o n s . B u t a s s u m i n g t h a t t h e c o n d i t i o n s o fT a r s k i ' s r e s u l t a r e s a t i s f i e d b y o u r o r d i n a r y w o r k i n g l a n g u a g e , t h e nw e c a n n o t d e f i n e t r u t h f o r t h i s l a n g u a g e . T h e m a i n c h a r a c t e r i s t i c o fo u r o w n a c t u a l l a n g u a g e , d u l y e m p h a s i z e d b y T a r s k i , i s i t s u n i v e r s a l -i t y . T h e r e i s t h e r r e f o r e n o s t r o n g e r m e t a l a n g u a g e b e y o n d ( o r o v e r ) i ti n w h i c h t h e n o t i o n o f t r u t h f o r t h i s u n i v e r s a l l a n g u a g e c o u l d b ed e f i n e d .

H e n c e p r e s u m a b l y t h e a s s u m p t i o n s o n w h i c h T a r s k i ' s t h e o r e m

r e s t s d o n o t a p p l y t o n a t u r a l l a n g u a g e s . B u t i f s o , w e h a v e r e a c h e da m a j o r n e g a t i v e m e t a t h e o r e m c o n c e r n i n g w h a t c a n b e d o n e b y w a yo f a n e x p l i c i t s e m a n t i c a l t h e o r y o f o r d i n a r y l a n g u a g e . A n d e v e n i f w e

c o n s i d e r , i n s t e a d o f o u r e v e r y d a y ( " c o l l o q u i a l " ) d i s c o u r s e , t h e c o n -c e p t u a l s y s t e m c o d i f i e d i n t h e l a n g u a g e o f s c i e n c e , w e s t i l l o b t a i nr e m a r k a b l e n e g a t i v e r e s u l t s . A s T a r s k i h i m s e l f e x p r e s s e d i t o n o n e

o c c a s i o n ( T a r s k i 1 9 9 2 , i n a l e t t e r t o N e u r a t h , 7 S e p t e m b e r 1 9 3 6 ) :

T h e r e s t i l l r e m a i n s t h e p r o b l e m o f u n i v e r s a l l a n g u a g e . I t a p p e a r s t o m e , t h a tt h i s p r o b l e m h a s b e e n c o m p l e t e l y c l e a r e d u p t h r o u g h t h e d i s c u s s i o n s o f t h eV a r s o v i a n s ( L e s n i e w s k i a n d m y s e l f ) a n d a l s o t h e V i e n n e s e ( o f G ö d e l a n d

C a r n a p ) : o n e c a n n o t m a n a g e w i t h a u n i v e r s a l l a n g u a g e . O t h e r w i s e o n ew o u l d h a v e t o f o r e g o [ s i c ] i n t r o d u c i n g a n d m a k i n g p r e c i s e t h e m o s ti m p o r t a n t s y n t a c t i c a l a n d s e m a n t i c a l c o n c e p t s ( " t r u e " , " a n a l y t i c " , " s y n -t h e t i c " , " c o n s e q u e n c e " , e t c . ) . O n e m i g h t n o w t h i n k t h a t t h i s c i r c u m s t a n c e i so f n o s p e c i a l i m p o r t a n c e f o r t h e a c t u a l s c i e n c e s , t h a t t h e r e f o r e f o r t h ep u r p o s e s o f a c t u a l s c i e n c e s a s i n g l e u n i v e r s a l l a n g u a g e c a n s u f f i c e e n t i r e l y .E v e n t h i s o p i n i o n a p p e a r s t o m e a s i n c o r r e c t , a n d f o r t h e f o l l o w i n g r e a s o ni n p a r t i c u l a r : t o p u r s u e a c t u a l s c i e n c e s , s o m e t h i n g l i k e p h y s i c s , o n e m u s th a v e a v a i l a b l e a n e x t e n d e d m a t h e m a t i c a l a p p a r a t u s ; n o w w e k n o w h o w -e v e r , t h a t f o r e v e r y l a n g u a g e ( t h e r e f o r e a l s o f o r t h e p r e s u m e d " u n i v e r s a ll a n g u a g e " ) o n e c a n g i v e e n t i r e l y e l e m e n t a r y n u m b e r - t h e o r e t i c c o n c e p t s ,r e s p e c t i v e l y s e n t e n c e s , w h i c h i n t h i s l a n g u a g e c a n n o t b e m a d e p r e c i s e ,r e s p e c t i v e l y c a n n o t b e p r o v e d .

M o r e g e n e r a l l y , t h e u n d e f i n a b i l i t y o f t r u t h c a n b e c o n s i d e r e da p a r a d i g m a t i c i n s t a n c e o f t h e i m p o r t a n t b u t f r e q u e n t l y u n a c k n o w -l e d g e d a s s u m p t i o n o f t h e i n e f f a b i l i t y o f s e m a n t i c s . T h i s i s n o t a no c c a s i o n t o e x a m i n e t h e f u l l r o l e o f t h i s a s s u m p t i o n i n t h e g e n e r a lp h i l o s o p h y o f t h e l a s t h u n d r e d - o d d y e a r s . S o m e a s p e c t s o f i t s c a r e e ra r e e x a m i n e d i n H i n t i k k a ( 1 9 8 8 b ) a n d i n H i n t i k k a a n d H i n t i k k a( 1 9 8 6 , C h . 1 ) . H o w e v e r , i t i s r e l e v a n t t o n o t e t h a t t h i s a s s u m p t i o n




d o m i n a t e d t h e e a r l y d e v e l o p m e n t o f c o n t e m p o r a r y l o g i c a l t h e o r y . I tw a s e m b r a c e d , b y , a m o n g o t h e r s , F r e g e , W i t t g e n s t e i n , t h e V i e n n aC i r c l e d u r i n g i t s " f o r m a l m o d e o f s p e e c h " y e a r s , Q u i n e a n d C h u r c h .W e h a v e a l s o s e e n t h a t T a r s k i u p h e l d a v e r s i o n o f t h e s a m e i n e f f a b i l -i t y t h e s i s a s a p p l i e d t o h i s " c o l l o q u i a l l a n g u a g e " . I h a v e a r g u e de l s e w h e r e t h a t t h e i d e a o f t h e i n e f f a b i l i t y o f s e m a n t i c s , i n a s o m e w h a tg e n e r a l i z e d f o r m , i s t h e m a i n s t a y o f t h e m e t h o d o l o g y o f h e r m e n e u t i -c a l a n d d e c o n s t r u c t i v i s t a p p r o a c h e s t o p h i l o s o p h y . A g r e a t d e a l t h u sr e s t s o n t h e q u e s t i o n o f t h e d e f i n a b i l i t y o f t r u t h , e s p e c i a l l y o n t h eq u e s t i o n w h e t h e r w e c a n d e f i n e t r u t h f o r a r e a l i s t i c w o r k i n g l a n -

g u a g e i n t h a t l a n g u a g e i t s e l f . I t i s g e n e r a l l y t h o u g h t t h a t a l l t h a t t h e r ei s u n p r o b l e m a t i c a l t o l o g i c ( a t l e a s t t o t h e k i n d o f l o g i c a m a t h e m a -t i c i a n h a s o c c a s i o n t o u s e ) i s f i r s t - o r d e r l o g i c . E v e r y t h i n g e l s e

d e p e n d s o n a s e t t h e o r y , f o r m u l a t e d a s a f i r s t - o r d e r a x i o m a t i ct h e o r y . B u t s e t t h e o r y i s n o t a p a r t o f l o g i c , b u t a p a r t o f m a t h e m a t -

i c s . H e n c e i t c a n n o t p r o v i d e a n y a b s o l u t e b a s i s f o r t h e r e s t o fm a t h e m a t i c s , a n d i s i t s e l f b e s e t w i t h a l l t h e p r o b l e m s o f s e t e x i s t e n c e .

I n t h i s b o o k , I w i l l s h o w t h a t t h i s d e f e a t i s t p i c t u r e i s w r o n g . N o t

s u r p r i s i n g l y , a c e n t r a l p a r t o f t h i s p r o g r a m c o n c e r n s t h e i d e a s o ft r u t h a n d t r u t h d e f i n i t i o n . I t t u r n s o u t , h o w e v e r , t h a t i n o r d e r t o d os o I w i l l f i r s t h a v e t o r e v i s e s o m e o f o u r c o m m o n i d e a s a b o u t t r u t ha n d o t h e r s e m a n t i c a l i d e a s , a s w e l l a s a b o u t t h e f o u n d a t i o n s o f l o g i c .

T a r s k i ' s r e s u l t s e e m s t o s u g g e s t — a n d e v e n t o e s t a b l i s h a n e g a -t i v e a n s w e r t o t h e p r o b l e m o f a r e a l i s t i c , p h i l o s o p h i c a l l y i n t e r e s t i n gd e f i n a b i l i t y o f t r u t h . A s s u c h , T a r s k i ' s r e s u l t i s b u t a m e m b e r o f af a m i l y o f a p p a r e n t l y n e g a t i v e r e s u l t s w h i c h a l s o i n c l u d e G ö d e l ' si n c o m p l e t e n e s s r e s u l t s a n d L i n d s t r ö m ' s ( 1 9 6 9 ) t h e o r e m , a c c o r d i n gt o w h i c h t h e r e c a n n o t b e a s t r o n g e r l o g i c t h a n f i r s t - o r d e r l o g i c( s a t i s f y i n g c e r t a i n c o n d i t i o n s ) w h i c h h a s t h e s a m e n i c e p r o p e r t i e s a sf i r s t - o r d e r l o g i c , p r i n c i p a l l y c o m p a c t n e s s a n d t h e u p w a r d L ö w e n -h e i m — S k o l e m p r o p e r t y . S u c h n e g a t i v e r e s u l t s h a v e d o m i n a t e d t h et h i n k i n g o f p h i l o s o p h e r s o f m a t h e m a t i c s i n r e c e n t d e c a d e s . I n m yc o n s i d e r e d j u d g m e n t , t h e i r i m p o r t a n c e h a s b e e n v a s t l y e x a g g e r a t e d .

A t h i r d f u n c t i o n o f l o g i c i n m a t h e m a t i c s h a s c r o p p e d u p i n t h ec o u r s e o f m y d i s c u s s i o n a b o v e . I t i s t h e u s e o f f i r s t - o r d e r l o g i c a sa m e d i u m o f a x i o m a t i c s e t t h e o r y . T h i s s e t t h e o r y i s i n t u r n s u p p o s e dt o s e r v e a s t h e u n i v e r s a l f r a m e w o r k o f a l l m a t h e m a t i c s .

T h i s c o n c e p t i o n o f s e t t h e o r y a s t h e l i n g u a u n i v e r s a l i s ( o r a t l e a s t a sa l i n g u a f r a n c a ) o f m a t h e m a t i c s i s n o t u n i v e r s a l l y a c c e p t e d , a n d i t i si n a n y c a s e r i d d l e d w i t h d i f f i c u l t i e s . T h e s e p r o b l e m s w i l l b e d i s c u s s e d




m o r e f u l l y l a t e r i n t h i s b o o k , e s p e c i a l l y i n C h a p t e r 8 . A s a p r e v i e w o fw h a t i s t o f o l l o w , t h e f o l l o w i n g p r o b l e m a r e a s a r e p e r h a p s w o r t hm e n t i o n i n g h e r e :

( I ) T h e c u r r e n t c o n c e p t i o n o f s e t t h e o r y a s a x i o m a t i c a n d d e d u c t i v et h e o r y i s q u i t e d i f f e r e n t f r o m t h e c o n c e p t i o n o f s e t t h e o r yp r e v a l e n t e a r l i e r . M a t h e m a t i c i a n s l i k e H u b e r t t h o u g h t o f s e tt h e o r y , n o t a s a t h e o r y a m o n g m a n y , b u t a s a s u p e r - t h e o r y ,a t h e o r y o f a l l t h e o r i e s , w h i c h w e r e t h o u g h t o f m o d e l - t h e o r e t i -

c a l l y r a t h e r t h a n d e d u c t i v e l y .

( i i ) F o r r e a s o n s v o i c e d s o f o r c e f u l l y b y T a r s k i , t h e c o n c e p t i o n s o fa u n i v e r s a l t h e o r y a n d u n i v e r s a l l a n g u a g e f o r a l l m a t h e m a t i c s o f

a n y s o r t i s w r o u g h t w i t h s e r i o u s p r o b l e m s . F o r o n e t h i n g , s u c ha u n i v e r s a l t h e o r y m u s t i n e v i t a b l y b e d e d u c t i v e l y i n c o m p l e t e .

( i i i ) A x i o m a t i c s e t t h e o r y l i k e w i s e i s i n e v i t a b l y i n c o m p l e t e d e d u c t -i v e l y . B e c a u s e o f t h i s i n c o m p l e t e n e s s , t h e n e c e s s a r y a s s u m p t i o n s

o f s e t e x i s t e n c e a r e e x t r e m e l y t r i c k y .

H o w e v e r , t h i s i s n o t t h e e n d o f t h e w o e s o f a x i o m a t i c s e t t h e o r y . T h ef u l l h o r r o r s t o r y i s n o t r e v e a l e d u n t i l w e t a k e a c l o s e r l o o k a t t h ed i f f e r e n t n o t i o n s o f c o m p l e t e n e s s a n d i n c o m p l e t e n e s s i n C h a p t e r 5a n d t h e n a p p l y t h e m t o a x i o m a t i c s e t t h e o r y i n C h a p t e r 8 .

T h u s i t i s g e n e r a l l y ( b u t n o t u n i v e r s a l l y ) t h o u g h t t h a t t h e b a s i cd i f f i c u l t i e s i n t h e f o u n d a t i o n s o f m a t h e m a t i c s a r e p r o b l e m s o f s e te x i s t e n c e , a n d m o r e g e n e r a l l y t h a t t h e t r u e c o r e a r e a o f m a t h e m a t i c si s s e t t h e o r y .

A t t h i s p o i n t i t m a y b e i n s t r u c t i v e t o r e t u r n t o t h e r e l a t i o n o f t h ef i r s t t w o f u n c t i o n s o f l o g i c t o e a c h o t h e r . O b v i o u s l y , t h e d e s c r i p t i v ef u n c t i o n i s t h e b a s i c o n e . N e e d l e s s t o s a y , o n e c a n t r y t o s t u d yp o s s i b l e i n f e r e n c e s b y r e f e r e n c e t o t h e i r p e r c e i v e d a p p e a l t o u s a n ds y s t e m a t i z e t h o s e t h a t s e e m t o b e a c c e p t a b l e . T h e c u r r e n t e u p h e m -i s m f o r s u c h a n a p p e a l t o p e o p l e ' s m o r e o r l e s s e d u c a t e d p r e j u d i c e s i s" i n t u i t i o n " . S u c h a s t u d y o f o u r " l o g i c a l i n t u i t i o n s " n e v e r t h e l e s s

s o o n r e a c h e s a p o i n t w h e r e w e n e e d a f i r m e r f o u n d a t i o n f o r o u rs y s t e m o f l o g i c a l i n f e r e n c e s . T h e p e o p l e ' s , a n d e v e n t h e p h i l o s o p h i c a ll o g i c i a n ' s , s o - c a l l e d i n t u i t i o n s h a v e t u r n e d o u t t o b e f a l l i b l e , a n de v e n m a t h e m a t i c i a n s h a v e n o t r e a c h e d u n a n i m i t y a s t o w h i c hp r i n c i p l e s o f i n f e r e n c e t h e y s h o u l d r e l y o n . I f a n e x a m p l e i s n e e d e d ,t h e n t h e c h e c k e r e d h i s t o r y o f t h e a x i o m o f c h o i c e s e r v e s a s a c a s e i np o i n t .




T h e r i g h t p r e s c r i p t i o n f o r t h e s e i n f e r e n t i a l w o e s i s t o p a y a t t e n t i o nt o t h e d e s c r i p t i v e f u n c t i o n o f l o g i c . T h i s i s w h a t s h o w s w h i c hp u t a t i v e l o g i c a l i n f e r e n c e s r e a l l y p r e s e r v e t r u t h — a n d w h y . F o ri n s t a n c e , w h y i s i t t h a t w e c a n i n f e r S 1 a n d f r o m ( S 1 & S 2 ) ? B e c a u s e

o f t h e m e a n i n g o f " & " a s t h e c o n n e c t i v e w h i c h c o m b i n e s s e n t e n c e s i ns u c h a w a y t h a t b o t h o f t h e m h a v e t o b e t r u e i n o r d e r f o r t h ec o m b i n a t i o n t o b e t r u e .

M o r e g e n e r a l l y , t h e b a s i s o f a l l m o d e l t h e o r y i s t h e r e l a t i o n o fa s e n t e n c e S t o t h e s e t M ( S ) o f i t s m o d e l s . A p u t a t i v e i n f e r e n c e f r o m

t o i s t h e n v a l i d i f a n d o n l y i f M ( S 1 ) M ( S 2 ) .

M a n y v a r i a t i o n s a r e p o s s i b l e h e r e , b u t t h e y d o n o t a f f e c t t h e m a i np o i n t . L o g i c a l i n f e r e n c e s a r e b a s e d o n t h e m e a n i n g o f t h e s y m b o l st h e y i n v o l v e , a n d p u r e l y l o g i c a l i n f e r e n c e s r e l y o n l y o n t h e m .

I a m p a i n f u l l y a w a r e t h a t d i s t i n c t i o n s o f t h e k i n d I a m m a k i n gh e r e h a v e b e e n c h a l l e n g e d b y c e r t a i n p h i l o s o p h e r s . T h e b a s e s o f t h e i r

t h e s e s a r e a b s t r a c t v i e w s o f m e a n i n g a n d t h e e v i d e n t i a l s t a t u s o fm e a n i n g a s c r i p t i o n s . H e r e I a m t a l k i n g a b o u t t h e c o n c r e t e i s s u e s i nt h e f o u n d a t i o n s o f l o g i c a n d m a t h e m a t i c s . A n d t h e r e t h e d i s t i n c t i o n s

I a m t a l k i n g a b o u t h a v e a n u n m i s t a k a b l e i m p o r t .T h i s c a n b e i l l u s t r a t e d b y p u s h i n g m y l i n e o f t h o u g h t f u r t h e r .

F r o m w h a t ! h a v e s a i d , i t f o l l o w s t h a t a s t u d y o f t h e i n f e r e n c e s p e o p l ea r e i n c l i n e d t o d r a w q u a l i f i e s a s a g e n u i n e l o g i c o n l y i n s o f a r a s t h o s ei n f e r e n c e s a r e b a s e d o n t h e d e s c r i p t i v e f u n c t i o n o f p a r t o f t h e l o g i c i nq u e s t i o n . W h a t t h i s m e a n s i n p r a c t i c e c a n b e s e e n f o r i n s t a n c e f r o mt h e s o - c a l l e d n o n m o n o t o n i c l o g i c s . T h e y m a y b e m a g n i f i c e n t l yi n t e r e s t i n g a n d i m p o r t a n t , b u t t h e y a r e n o t l o g i c s i n t h e s e n s e j u s te x p l a i n e d .

I n t h e p r e m i s e s a n d c o n c l u s i o n s o f n o n m o n o t o n i c i n f e r e n c e s t h el o g i c a l c o n s t a n t s c l e a r l y h a v e t h e i r n o r m a l m e a n i n g . H e n c e t h eu n u s u a l p r i n c i p l e s o f i n f e r e n c e s t u d i e d i n t h e s e " l o g i c s " a r e n o t b a s e do n t h e s a m e m o d e l - t h e o r e t i c a l m e a n i n g o f l o g i c a l n o t i o n s a s i n o u ro r d i n a r y l o g i c . T h e y a r e b a s e d o n s o m e t h i n g e l s e . A n d i t i s n o t v e r yh a r d t o s e e w h a t t h i s " s o m e t h i n g e l s e " i s . F o r i n s t a n c e , i n w h a t i s

k n o w n a s c i r c u m s c r i p t i v e i n f e r e n c e s , t h e " s o m e t h i n g e l s e " i s t h ea s s u m p t i o n t h a t t h e p r e m i s e s i n s o m e s e n s e s u p p l y a l l t h e i n f o r m a -t i o n t h a t i s r e l e v a n t t o t h e s u b j e c t m a t t e r . I n s o m e c a s e s , t h i s m e a n st h a t a l l t h e r e l e v a n t i n d i v i d u a l s a r e m e n t i o n e d i n t h e p r e m i s e s o r t h a tt h e i r e x i s t e n c e i s i m p l i e d b y t h e p r e m i s e s ( c f . H i n t i k k a 1 9 8 8 c ) . S u c ha s s u m p t i o n s a r e i n t e r e s t i n g , a n d t h e y c a n b e i m p o r t a n t b o t h i nt h e o r y a n d i n p r a c t i c e , b u t t h e y b e l o n g t o t h e s t u d y o f h u m a n




c o m m u n i c a t i o n , a n d n o t t o l o g i c . A r i s t o t l e w o u l d h a v e d e a l t w i t ht h e m i n t h e T o p i c s , n o t i n t h e A n a l y t i c s .

T h i s i s n o t m e r e l y a t e r m i n o l o g i c a l m a t t e r . I t m a k e s a d i f f e r e n c e t o

t h e w a y t h e " n o n m o n o t o n i c i n f e r e n c e s " a r e s t u d i e d . F o r i n s t a n c e ,i n f e r e n c e s b y c i r c u m s c r i p t i o n o u g h t t o b e s t u d i e d b y r e f e r e n c e t ot h e i r m o d e l - t h e o r e t i c a l b a s i s a n d n o t m e r e l y b y p o s t u l a t i n g c e r t a i nn e w p a t t e r n s o f i n f e r e n c e . W h a t w e h a v e i n " n o n m o n o t o n i c l o g i c s " i sa c l e a r i n s t a n c e o f o v e r e m p h a s i z i n g t h e d e d u c t i v e f u n c t i o n o f l o g i c a tt h e e x p e n s e o f i t s d e s c r i p t i v e f u n c t i o n .

I n r e a l i t y , t h e c o r e a r e a o f l o g i c i s t h e o n e w h e r e a l l t h e v a l i d

i n f e r e n c e s a r e b a s e d o n t h e m o d e l - t h e o r e t i c a l m e a n i n g o f l o g i c a lc o n s t a n t s . W h e t h e r o n e w a n t s t o c a l l w h a t g o e s b e y o n d t h i s c o r ea r e a " l o g i c " o r n o t i s a m a t t e r o f i n t e l l e c t u a l t a s t e . S o m e o n e e l s em i g h t a l l i t h e u r i s t i c s o r f o r m a l i z e d p s y c h o l o g y o f r e a s o n i n g . T h ei m p o r t a n t t h i n g i s t o b e c l e a r a b o u t w h a t o n e i s d o i n g .

N o t e s1

F o r t h i s f a m o u s q u i p , s e e B l u m e n t h a l ( 1 9 3 5 , p . 4 0 3 ) a n d T o e p e l l ( 1 9 8 6 , p . 4 2 ) .A m o r e p e d e s t r i a n b u t a t t h e s a m e t i m e p e r h a p s m o r e p e r s u a s i v e e v i d e n c e f o rH u b e r t ' s c o n c e r n w i t h t h e p u r e l y l o g i c a l r e l a t i o n s b e t w e e n t h e a x i o m s a n d t h e

t h e o r e m s i s f o r t h c o m i n g f r o m t h e d e v e l o p m e n t o f H i l b e r t ' s t h i n k i n g ( T o e p e l l1 9 8 6 ) . O f i m p o r t a n c e , a m a j o r r o l e i n H u b e r t ' s d e v e l o p m e n t w a s p l a y e d b y

q u e s t i o n s a s t o w h i c h a x i o m s a r e t h o s e t h a t r e s u l t s l i k e P a s c a l ' s T h e o r e m a n dD e s a r g u e ' s T h e o r e m d e p e n d o r d o n o t d e p e n d o n .

2 T h i s q u e s t i o n o f t h e s t a t u s o f t h e a x i o m s o f c o n t i n u i t y w a s a t t h e t i m e a m a t t e r o fc o n s i d e r a b l e i n t e r e s t . I n t h e p h i l o s o p h y o f p h y s i c s , t h i n k e r s l i k e M a c h h a d

f l a u n t e d t h e i d e a o f a p r e s u p p o s i t i o n l e s s , p u r e l y d e s c r i p t i v e p h e n o m e n o l o g i c a ls c i e n c e t y p i c a l l y d e s c r i b i n g t h e r e l e v a n t p h e n o m e n a b y m e a n s o f d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s . A g a i n s t t h e m , B o l t z m a n n p o i n t e d o u t v i g o r o u s l y t h a t e v e n t h ea p p l i c a b i l i t y o f d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s r e s t e d o n n o n t r i v i a l e m p i r i c a l a s s u m p t i o n sc o n c e r n i n g t h e p h e n o m e n a , n a m e l y , o n a s s u m p t i o n s o f c o n t i n u i t y a n d d i f f e r e n -t i a b i l i t y ( s e e , e . g . , B o l t z m a n n 1 9 0 5 ) . I t w o u l d b e i n t e r e s t i n g t o k n o w w h oi n f l u e n c e d w h o m i n t h i s e m p h a s i s o n t h e e m p i r i c a l c o n t e n t o f c o n t i n u i t y a s s u m p -

t i o n s .

B e n a c e r r a f ( 1 9 7 3 ) i n B e n a c e r r a f a n d P u t n a m ( 1 9 8 3 ) a t t r i b u t e s s u c h a v i e w t o

D a v i d H i l b e r t . I n m y v i e w , t h i s i s a r a d i c a l m i s i n t e r p r e t a t i o n o f H i l b e r t ' s i d e a s ; s e eH i n t i k k a ( 1 9 9 6 ) a n d C h a p t e r 9 .



2

T h e G a m e o f L o g i c

T h e p i v o t a l r o l e o f t r u t h d e f i n i t i o n s i n t h e f o u n d a t i o n s o f l o g i c a n dm a t h e m a t i c s p r o m p t s t h e q u e s t i o n w h e t h e r t h e y c a n b e f r e e d f r o mt h e s e v e r e l i m i t a t i o n s w h i c h T a r s k i ' s i m p o s s i b i l i t y r e s u l t a p p a r e n t l yi m p o s e s o n t h e m — a n d w h e t h e r t h e y c a n b e f r e e d f r o m o t h e r a l l e g e do r r e a l d e f e c t s t h a t c r i t i c s c l a i m t o h a v e f o u n d i n t h e m .

O n e d e f e c t f o r w h i c h T a r s k i - t y p e t r u t h d e f i n i t i o n s a r e b l a m e d i st h a t o f e x c e s s i v e a b s t r a c t n e s s . I t h a s b e e n a l l e g e d b y , a m o n g o t h e r s ,s o i - d i s a n t i n t u i t i o n i s t s a n d c o n t r u c t i v i s t s , t h a t s u c h d e f i n i t i o n s m e r e -l y c h a r a c t e r i z e a c e r t a i n a b s t r a c t r e l a t i o n s h i p b e t w e e n s e n t e n c e s a n df a c t s . B u t s u c h d e f i n i t i o n s l e a v e u n e x p l a i n e d , s o t h i s l i n e o f t h o u g h tg o e s , a s t o w h a t i t i s t h a t m a k e s t h i s r e l a t i o n a t r u t h r e l a t i o n . I np a r t i c u l a r , s u c h a b s t r a c t r e l a t i o n s a r e u n r e l a t e d t o t h e a c t i v i t i e s b ym e a n s o f w h i c h w e a c t u a l l y v e r i f y a n d f a l s i f y s e n t e n c e s o f t h i s o r t h a t

l a n g u a g e , w h e t h e r a n a t u r a l l a n g u a g e o r a f o r m a l ( b u t i n t e r p r e t e d )o n e . A s W i t t g e n s t e i n m i g h t h a v e p u t i t , e a c h e x p r e s s i o n b e l o n g s t os o m e l a n g u a g e g a m e w h i c h g i v e s t h a t e x p r e s s i o n i t s m e a n i n g . As p e c i f i c a t i o n o f t r u t h - c o n d i t i o n s d o e s n o t p r o v i d e u s w i t h s u c h ag a m e , a s M i c h a e l D u m m e t t h a s d o g g e d l y a r g u e d t i m e a n d a g a i n( s e e , e . g . , D u m m e t t 1 9 7 8 , 1 9 9 1 ) .

C r i t i c i s m s l i k e t h e s e h a v e a g o o d d e a l t o s a y f o r t h e m s e l v e s . T h e r e

i s m u c h t o b e s a i d f o r t h e f u n d a m e n t a l W i t t g e n s t e i n i a n i d e a t h a t a l lm e a n i n g i s m e d i a t e d b y c e r t a i n c o m p l e x e s o f r u l e - g o v e r n e d h u m a na c t i v i t i e s w h i c h W i t t g e n s t e i n c a l l e d l a n g u a g e g a m e s . M u c h o fW i t t g e n s t e i n ' s l a t e p h i l o s o p h y i s d e v o t e d t o d e f e n d i n g t h i s f u n d a -

m e n t a l v i s i o n a g a i n s t a c t u a l o r p o t e n t i a l u s u a l l y p o t e n t i a l c r i t i -c i s m s , a s i s a r g u e d i n H i n t i k k a ( 1 9 9 3 b ) .

2 2



T H E G A M E O F L O G I C 2 3

T h e k i n d s o f c r i t i c i s m s I a m t a l k i n g a b o u t a r e o f t e n e x p r e s s e d i nt e r m s o f a n e e d t o r e p l a c e a t r u t h - c o n d i t i o n a l s e m a n t i c s b y a v e r i f i -

c a t i o n i s t o n e . T h e p h i l o s o p h e r s s t r e s s i n g s u c h a n e e d n e v e r t h e l e s su n i f o r m l y o v e r l o o k t h e f a c t ( p o i n t e d o u t i n H i n t i k k a 1 9 8 7 ) t h a t t h e

c o n s t a n t b e t w e e n t r u t h - c o n d i t i o n a l a n d v e r i f i c a t i o n i s t s e m a n t i c s i sn o t e x c l u s i v e . F o r p e r f e c t l y g o o d t r u t h - c o n d i t i o n s c a n i n p r i n c i p l e b e

d e f i n e d i n t e r m s o f t h e v e r y a c t i v i t i e s o f v e r i f i c a t i o n a n d f a l s i f i c a t i o n .I n d e e d , i t c a n b e a r g u e d t h a t s u c h a s y n t h e s i s i s i m p l i c i t i n W i t t g e n -s t e i n ' s p h i l o s o p h y o f l a n g u a g e ( c i H i n t i k k a a n d H i n t i k k a 1 9 8 6 ,C h . 8 ) . T h e d e e p i d e a i n W i t t g e n s t e i n i s n o t t h a t l a n g u a g e c a n b e

u s e d i n a v a r i e t y o f w a y s , m o s t o f t h e m n o n d e s c r i p t i v e ; r a t h e r ,W i t t g e n s t e i n ' s p o i n t i s t h a t d e s c r i p t i v e m e a n i n g i t s e l f h a s t o b em e d i a t e d b y r u l e - g o v e r n e d h u m a n a c t i v i t i e s , t h a t i s , b y l a n g u a g eg a m e s . M o r e o v e r , t h e f i r s t l a n g u a g e g a m e s W i t t g e n s t e i n c o n s i d e r e dw e r e g a m e s o f v e r i f i c a t i o n a n d f a l s i f i c a t i o n . I n s u c h g a m e s , m e a n i n gc a n b e b o t h t r u t h - c o n d i t i o n a l a n d v e r i f i c a t i o n i s t , i n t h a t t h e t r u t h -c o n d i t i o n s t h e m s e l v e s a r e , a s i t w e r e , c r e a t e d a n d m a i n t a i n e d b yl a n g u a g e g a m e s o f v e r i f i c a t i o n a n d f a l s i f i c a t i o n .

W i t t g e n s t e i n h i m s e l f d o e s n o t p a y m u c h s y s t e m a t i c a t t e n t i o n t os u c h J a n u s - f a c e d l a n g u a g e g a m e s , a n d h i s s e l f - d e s i g n a t e d f o l l o w e r sh a v e a l m o s t t o t a l l y f a i l e d t o a p p r e c i a t e t h e m . I n t h i s c h a p t e r , I w i l ln e v e r t h e l e s s s h o w t h a t t h e i d e a o f l a n g u a g e g a m e s c a n b e m a d ea c o r n e r s t o n e o f a n e x t r e m e l y i n t e r e s t i n g l o g i c o - s e m a n t i c a l t h e o r y .I n d o i n g s o , I w i l l a l s o u n c o v e r a n i m p o r t a n t a d d i t i o n a l a m b i g u i t y ,t h i s t i m e a n a m b i g u i t y a f f e c t i n g t h e n o t i o n o f v e r i f i c a t i o n .

F u r t h e r m o r e , i t w i l l b e s h o w n m o r e b y e x a m p l e t h a n b y a r g u -m e n t — t h a t t h e i n v o l v e m e n t o f h u m a n l y p l a y a b l e l a n g u a g e g a m e sd o e s n o t m a k e a c o n c e p t o f t r u t h a n y t h e l e s s o b j e c t i v e o r r e a l i s t i c .

T h e s e p r o g r a m m a t i c r e m a r k s , h o w e v e r , n e e d t o b e p u t i n t op r a c t i c e . T h e r e i s a n o b v i o u s w a y o f d e a l i n g w i t h t h e d i f f i c u l t i e s

a b o u t t r u t h d e f i n i t i o n s . I t i s t o c o n f r o n t t h e p r o b l e m d i r e c t l y a n d t oa s k : W h a t a r e t h e r e l e v a n t l a n g u a g e g a m e s , a n y w a y , t h a t c o n s t i t u t et h e n o t i o n o f t r u t h ? H o w d o w e i n f a c t v e r i f y a n d f a l s i f y s e n t e n c e s ?

L e t u s t a k e a s i m p l e e x a m p l e . H o w c a n ( a n d m u s t ) y o u v e r i f y a ne x i s t e n t i a l s e n t e n c e o f t h e f o l l o w i n g f o r m ?

( B x ) S [ x ] ( 2 . 1 )

w h e r e S [ x ] i s q u a n t i f i e r - f r e e ? T h e a n s w e r i s o b v i o u s . I n o r d e r t ov e r i f y ( 2 . 1 ) , o n e m u s t f i n d a n i n d i v i d u a l , s a y b , s u c h t h a t

S [ b ] ( 2 . 2 )




i s t r u e . H e r e e t y m o l o g y s e r v e s t o i l l u s t r a t e e p i s t e m o l o g y . I n s e v e r a ll a n g u a g e s , e x i s t e n c e i s e x p r e s s e d b y a l o c u t i o n w h o s e l i t e r a l t r a n s l a -t i o n w o u l d b e " o n e c a n f i n d " . F o r t h e q u a l i t y o f t h e p u d d i n g i t s p r o o f

m a y b e i n e a t i n g i t , b u t w h e n i t c o m e s t o e x i s t e n c e t h e p r o o f o f t h ep u d d i n g i s i n f i n d i n g i t .

P r o p o s i t i o n a l c o n n e c t i v e s c a n b e t r e a t e d i n t h e s a m e m a n n e ra l m o s t a f o r t i o r i . F o r i n s t a n c e , i f y o u h a v e t o v e r i f y a d i s j u n c t i o n( S 1 V w h a t y o u h a v e t o d o i s n o m o r e a n d n o l e s s t h a n t o c h o o s eo n e o f t h e d i s j u n c t s a n d s 2 a n d v e r i f y i t .

B u t w h a t a b o u t m o r e c o m p l e x c a s e s ? I w i l l u s e a f o r m a l ( b u t

i n t e r p r e t e d ) f i r s t - o r d e r l a n g u a g e L a s a n e x a m p l e . I n o r d e r t o s p e a ko f t r u t h a n d f a l s i t y i n c o n n e c t i o n w i t h s u c h a l a n g u a g e , s o m e m o d e lM o f L ( w h i c h y o u c a n t h i n k o f e i t h e r a s " t h e a c t u a l w o r l d " o r a sa g i v e n f i x e d " p o s s i b l e w o r l d " ) m u s t b e s p e c i f i e d i n w h i c h t r u t h o rf a l s i t y o f t h e s e n t e n c e s o f L i s b e i n g c o n s i d e r e d . T h e d o m a i n o fi n d i v i d u a l s o f M i s c a l l e d d o ( M ) . T h a t L h a s b e e n i n t e r p r e t e d o nM m e a n s t h a t e a c h a t o m i c s e n t e n c e ( o r i d e n t i t y ) i n t h e v o c a b u l a r y o fL p l u s a f i n i t e n u m b e r o f i n d i v i d u a l c o n s t a n t s ( n a m e s o f m e m b e r s o f

d o ( M ) ) h a s a d e f i n i t e t r u t h - v a l u e , t r u e o r f a l s e .C o n s i d e r n o w a s a n e x a m p l e a s e n t e n c e o f L o f t h e f o r m

( V x ) ( B y ) S [ x , y ] ( 2 . 3 )

W h a t i s n e e d e d f o r m e t o b e i n a p o s i t i o n t o v e r i f y ( 2 . 3 ) ? T h e a n s w e r i so b v i o u s . C l e a r l y I m u s t b e a b l e , g i v e n a n y v a l u e o f x , s a y a , t o f i n da v a l u e o f y , s a y b , s u c h t h a t S [ a , b ] i s t r u e . T h e o n l y d i f f e r e n c e a sc o m p a r e d w i t h ( 2 . 1 ) i s t h a t n o w t h e i n d i v i d u a l t o b e l o o k e d f o rd e p e n d s o n t h e i n d i v i d u a l g i v e n t o t h e v e r i f i e r a s t h e v a l u e a o f t h ev a r i a b l e x .

W h a t i s n e e d e d f o r t h e p u r p o s e o f m a k i n g t h e f i n d i n g o f a s u i t a b l eh a v e r i t a b l e t e s t c a s e o f t h e t r u t h o f ( 2 . 3 ) ? C l e a r l y w e h a v e a t e s t c a s eo n o u r h a n d s i f t h e v a l u e a o f x i s c h o s e n i n t h e m o s t u n f a v o r a b l e w a ya s f a r a s t h e i n t e r e s t s o f t h e v e r i f i e r a r e c o n c e r n e d . D e s c a r t e s m i g h th a v e c o n c e p t u a l i z e d t h i s i d e a b y l e t t i n g t h e c h o i c e o f a b e m a d e b y

a m a i m g e n i e . I t i s n e v e r t h e l e s s m o r e u s e f u l t o p i c k u p a c l u e f r o mJ o h n v o n N e u m a n n r a t h e r t h a n R e n é D e s c a r t e s a n d t o t h i n k o f t h a tc r i t i c a l c h o i c e m a d e b y a n i m a g i n a r y o p p o n e n t i n a s t r a t e g i c g a m e .

T h e n a t u r a l w a y o f g e n e r a l i z i n g a n d s y s t e m a t i z i n g o b s e r v a t i o n so f t h e k i n d j u s t m a d e i s t h e r e f o r e t o d e f i n e c e r t a i n t w o - p e r s o n g a m e so f v e r i f i c a t i o n a n d f a l s i f i c a t i o n . T h e t w o p l a y e r s m a y b e c a l l e d t h ei n i t i a l v e r i f i e r a n d t h e i n i t i a l f a l s ( f i e r . I h a v e c a l l e d s u c h g a m e s




s e m a n t i c a l g a m e s a n d a n a p p r o a c h t o t h e s e m a n t i c s o f b o t h f o r m a la n d n a t u r a l l a n g u a g e s g a m e - t h e o r e t i c a l s e m a n t i c s , i n s h o r t G T S .

T h e s e m a n t i c a l g a m e G ( 5 0 ) a s s o c i a t e d w i t h a s e n t e n c e S 0 b e g i n s

w i t h A t e a c h s t a g e o f t h e g a m e , t h e p l a y e r s a r e c o n s i d e r i n g s o m es e n t e n c e o r o t h e r S 1 . T h e e n t i r e g a m e i s p l a y e d o n s o m e g i v e n m o d e lM o f t h e u n d e r l y i n g l a n g u a g e .

O n t h e b a s i s o f w h a t h a s b e e n s a i d , t h e r u l e s f o r s e m a n t i c a l g a m e sa r e t h o r o u g h l y u n s u r p r i s i n g :

( R . v ) G ( S 1 v b e g i n s w i t h t h e c h o i c e b y t h e v e r i f i e r o f ( i = 1 o r

2 ) . T h e r e s t o f t h e g a m e i s a s i n G ( 5 1 ) .( R . & ) G ( 5 1 & b e g i n s w i t h t h e c h o i c e b y t h e f a l s i f i e r o f S 1 ( i = 1

o r 2 ) . T h e r e s t o f t h e g a m e i s a s i n G ( S J .

( G . E ) G ( ( l x ) S [ x ] ) b e g i n s w i t h t h e c h o i c e b y t h e v e r i f i e r o f a m e m -b e r o f d o ( M ) . I f t h e n a m e o f t h i s i n d i v i d u a l i s b , t h e r e s t o f t h eg a m e i s a s i n G ( S [ b ] ) .

( G . A ) G ( ( V x ) S [ x ] ) l i k e w i s e , e x c e p t t h a t f a l s i f i e r m a k e s t h e c h o i c e .

( R . p . s ) G ( 5 ) i s l i k e G ( S ) , e x c e p t t h a t t h e r o l e s o f t h e t w o p l a y e r s( a s d e f i n e d b y t h e s e r u l e s ) a r e i n t e r c h a n g e d .

( R . A t ) I f A i s a t r u e a t o m i c s e n t e n c e ( o r i d e n t i t y ) , t h e v e r i f i e r w i n sG ( A ) a n d t h e f a l s i f i e r l o s e s i t . I f A i s a f a l s e a t o m i c s e n t e n c e( o r i d e n t i t y ) , v i c e v e r s a .

S i n c e e a c h a p p l i c a t i o n o f o n e o f t h e r u l e s ( R . V ) — ( R . — ' ) e l i m i n a t e s

o n e l o g i c a l c o n s t a n t , a n y g a m e G ( S ) r e a c h e s i n a f i n i t e n u m b e r o fm o v e s a s i t u a t i o n i n w h i c h ( R . A t ) a p p l i e s — t h a t i s , a s i t u a t i o n w h i c hs h o w s w h i c h p l a y e r w i n s .

I t i s t o b e n o t e d t h a t t h e n a m e b m e n t i o n e d i n ( R . E ) a n d ( R . A ) n e e dn o t b e l o n g t o L . H o w e v e r , b e c a u s e o f t h e f i n i t e l e n g t h o f a n y p l a y o fa s e m a n t i c a l g a m e , o n l y a f i n i t e n u m b e r o f n e w n a m e s i s n e e d e d i nt h e l a n g u a g e n e c e s s a r y t o c o p e w i t h a n y g i v e n p l a y o f a s e m a n t i c a lg a m e .

T h e r u l e ( R . A t ) r e q u i r e s a s p e c i a l c o m m e n t . I t i n t r o d u c e s a na p p a r e n t c i r c u l a r i t y i n t o m y t r e a t m e n t i n t h a t i t c o n t a i n s a r e f e r e n c et o t h e t r u t h o r f a l s i t y o f a t o m i c s e n t e n c e s . H o w e v e r , a s w a s p o i n t e do u t a b o v e , t h e c o n c e p t o f t r u t h c a n b e a p p l i e d t o t h e r e l e v a n t a t o m i cs e n t e n c e s a s s o o n a s a l l t h e n o n l o g i c a l c o n s t a n t s o f t h e g i v e ns e n t e n c e h a v e b e e n i n t e r p r e t e d o n t h e g i v e n m o d e l M w i t h r e s p e c t t ow h i c h t h e t r u t h o r f a l s i t y o f S i s b e i n g e v a l u a t e d a n d o n w h i c h G ( S ) i s




b e i n g p l a y e d . T h i s i n t e r p r e t a t i o n i s p a r t a n d p a r c e l o f t h e d e f i n i t i o no f M . I t i s d e t e r m i n e d b y t h e m e a n i n g s o f t h e n o n l o g i c a l c o n s t a n t so f S .

W h a t ( R . A t ) h e n c e c o d i f i e s i s a k i n d o f d i v i s i o n o f l a b o r . T h eg a m e - t h e o r e t i c a l a n a l y s i s o f t r u t h t a k e s t h e m e a n i n g s o f p r i m i t i v en o n l o g i c a l c o n s t a n t s o f a n i n t e r p r e t e d f i r s t - o r d e r l a n g u a g e f o rg r a n t e d . T h i s f i x e s t h e t r u t h - v a l u e s o f t h e r e l e v a n t a t o m i c s e n t e n c e s ,t h a t i s , o f a l l s e n t e n c e s t h a t c a n s e r v e a s e n d p o i n t s o f a s e m a n t i c a lg a m e . W h a t m y c h a r a c t e r i z a t i o n d o e s i s t o e x t e n d t h e n o t i o n o f t r u t ht o a l l o t h e r s e n t e n c e s o f t h e l a n g u a g e i n q u e s t i o n .

T h e f a c t t h a t I a m t h u s r e s t r i c t i n g m y t a s k d o e s n o t m e a n t h a tI c o n s i d e r a f u r t h e r m o d e l - t h e o r e t i c a l a n a l y s i s o f m e a n i n g s u n n e c -e s s a r y . M y o n l y r e a s o n f o r t h e r e s t r i c t i o n i s t h a t o t h e r w i s e t h e s c o p eo f m y e n t e r p r i s e w o u l d b e c o m e u n r e a l i s t i c a l l y a n d u n m a n a g e a b l yl a r g e .

I t i s i m p o r t a n t t o r e a l i z e , h o w e v e r , t h a t w h a t i s t a k e n f o r g r a n t e dh e r e i s m e r e l y s y m b o l m e a n i n g . T h e n o t i o n o f s e n t e n c e m e a n i n g i si n e x t r i c a b l y t i e d t o t h e n o t i o n o f t r u t h . A s o n e m i g h t s a y , a s e n t e n c e

m e a n s w h a t i t m e a n s b y s h o w i n g u s w h a t t h e w o r l d i s l i k e w h e n t h es e n t e n c e i s t r u e . T h u s t h e n o t i o n o f t r u t h i s t h e b e - a l l a n d e n d - a l l o fs e n t e n c e m e a n i n g i n g e n e r a l .

T o r e t u r n t o t h e r u l e s o f s e m a n t i c a l g a m e s , i t i s i m p o r t a n t t or e a l i z e t h a t t h e n o t i o n o f t r u t h i s i n n o w a y i n v o l v e d i n t h e e x p l i c i tf o r m u l a t i o n o f t h e r u l e s t h a t g o v e r n t h e w a y m o v e s a r e m a d e i ns e m a n t i c a l g a m e s . O n l y o n a h e u r i s t i c l e v e l c a n i t b e s a i d t h a t t h e i rg u i d i n g i d e a i s t h a t S i s t r u e i f a n d o n l y i f t h e a p p l i c a t i o n s o f t h e g a m e

r u l e s c a n a l w a y s b e c h o s e n b y t h e i n i t i a l v e r i f i e r s o a s t o b e t r u t h -p r e s e r v i n g . T h i s h e u r i s t i c i d e a l e a d s a l s o t o t h e f o l l o w i n g g a m e -t h e o r e t i c a l t r u t h d e f i n i t i o n f o r a p p l i e d f i r s t - o r d e r l a n g u a g e s :

( R . T ) S i s t r u e i n M i f a n d o n l y i f t h e r e e x i s t s a w i n n i n g s t r a t e g y f o rt h e i n i t i a l v e r i f i e r i n t h e g a m e G ( S ) w h e n p l a y e d o n M .

C o r r e s p o n d i n g l y , t h e f a l s i t y o f a s e n t e n c e c a n b e d e f i n e d

( R . F ) S i s f a l s e i n M i f a n d o n l y i f t h e r e e x i s t s a w i n n i n g s t r a t e g y i nG ( S ) f o r t h e i n i t i a l f a l s i f i e r .

T h e r e i s a n a p p a r e n t l y s m a l l b u t i n r e a l i t y m o s t c o n s e q u e n t i a ld i f f e r e n c e b e t w e e n t h e i d e a s r e p r e s e n t e d h e r e a n d t h o s e o f c o n s t r u e -t i v i s t s l i k e D u m m e t t . T h e y a r e n o t a v e r s e t o u s i n g n o t i o n s f r o ms t r a t e g i c g a m e s i n e x p l a i n i n g t h e i r i d e a s b u t t h e y g i v e t h e g a m e




a n a l o g y a w r o n g , o r p e r h a p s a f a r t o o s i m p l i s t i c , t u r n . F o r i n s t a n c eD u m m e t t w r i t e s ( 1 9 7 8 , p . 1 9 ) :

T h e c o m p a r i s o n b e t w e e n t h e n o t i o n o f t r u t h a n d t h a t o f w i n n i n g a g a m es t i l l s e e m s t o m e a g o o d o n e .

B u t t h i s s p e c i f i c a n a l o g y i s a b a d o n e . T h e i n t e r e s t i n g a n a l o g y i sb e t w e e n t h e n o t i o n o f t r u t h a n d t h e e x i s t e n c e o f a w i n n i n g s t r a t e g y .I n t h i s r e s p e c t , s e m a n t i c a l g a m e s d i f f e r e s s e n t i a l l y f r o m t h e " g a m e s "o f f o r m a l p r o o f . T h e r e t h e a n a l o g u e t o l o g i c a l t r u t h i s w i n n i n g i na s i n g l e p l a y o f t h e g a m e o f p r o o f - s e a r c h i n g . A l l o f t h i s i l l u s t r a t e s t h e

s u b t l e t i e s — a n d t h e i m p o r t a n c e — o f t h e a p p a r e n t l y o b v i o u s t r u t hd e f i n i t i o n ( R . T ) .

T h e s e s e m a n t i c a l g a m e s a n d t h e t r u t h d e f i n i t i o n b a s e d o n t h e mc a n b e e x t e n d e d i n d i f f e r e n t d i r e c t i o n s . A s i m i l a r a p p r o a c h c a n a l s ob e u s e d i n t h e s e m a n t i c s o f n a t u r a l l a n g u a g e s . T h e t r e a t m e n t o f f i r s t -o r d e r l a n g u a g e s b y m e a n s o f s e m a n t i c a l g a m e s i s a p a r a d i g m a t i ce x a m p l e o f w h a t h a s b e e n g a m e - t h e o r e t i c a l s e m a n t i c s ( G T S ) . A ne x t e n s i v e s u r v e y o f G T S i s p r e s e n t e d i n H i n t i k k a a n d S a n d u ( 1 9 9 6 ) .

T h i s i s n o t t h e o c c a s i o n t o a d v e r t i s e t h e m e r i t s o f G T S . I t sa p p l i c a t i o n s f o r n a t u r a l l a n g u a g e s s p e a k f o r t h e m s e l v e s . T h e y a r ep a r t i a l l y e x p o u n d e d i n H i n t i k k a a n d K u l a s ( 1 9 8 3 , 1 9 8 5 ) a n d i nH i n t i k k a a n d S a n d u ( 1 9 9 1 ) . T h e p r e s e n t b o o k c a n b e c o n s i d e r e da n o t h e r a p p l i c a t i o n a n d f u r t h e r d e v e l o p m e n t o f t h e i d e a s o f g a m e -t h e o r e t i c a l s e m a n t i c s . T h i s f u r t h e r d e v e l o p m e n t i s n o t p r o m p t e d b ya f e e l i n g o f s a t i s f a c t i o n w i t h t h e e x i s t i n g t h e o r y , b u t b y t h e q u e s t i o n s

a n d p u z z l e s i t g i v e s r i s e t o . A t t h e s a m e t i m e , a n e x a m i n a t i o n o f t h e s eo p e n q u e s t i o n s h e l p s t o p u t G T S i t s e l f i n t o s h a r p e r f o c u s .

T h e p u z z l e s I a m t a l k i n g a b o u t a r e t y p i c a l l y n o t d i f f i c u l t i e s f o r t h ed e v e l o p m e n t o f t h e t h e o r y , b u t c u r i o u s p h e n o m e n a t h a t s u g g e s t t h a tf u r t h e r e x p l a n a t i o n s a r e n e e d e d . I n p a r t i c u l a r , m y g a m e - t h e o r e t i c a lt r u t h d e f i n i t i o n a n d t h e s e m a n t i c a l g a m e s o n w h i c h i t i s b a s e dr e q u i r e — a n d d e s e r v e a n u m b e r o f f u r t h e r c o m m e n t s .

( i ) T h e t r u t h d e f i n i t i o n u s e s t h e n o t i o n o f a w i n n i n g s t r a t e g y . H e r et h e n o t i o n o f s t r a t e g y i s u s e d i n i t s n o r m a l g a m e - t h e o r e t i c a ls e n s e , w h i c h c a n b e u n d e r s t o o d o n t h e b a s i s o f t h e e v e r y d a ys e n s e o f t h e w o r d " s t r a t e g y " b u t i s s t r i c t e r t h a n t h a t . I n m y s e n s e ,

a s t r a t e g y f o r a p l a y e r i s a r u l e t h a t d e t e r m i n e s w h i c h m o v e t h a tp l a y e r s h o u l d m a k e i n a n y p o s s i b l e s i t u a t i o n t h a t c a n c o m e u p i nt h e c o u r s e o f a p l a y o f t h a t g a m e .




T h i s n o t i o n o f s t r a t e g y i s t h e c e n t r a l c o n c e p t i n t h e m a t h -e m a t i c a l t h e o r y o f g a m e s . B y u s i n g i t , a n y g a m e c a n b e a s s u m e d

t o b e r e p r e s e n t e d i n a n o r m a l f o r m i n w h i c h i t c o n s i s t s s i m p l y o f

t h e c h o i c e o f a s t r a t e g y b y e a c h p l a y e r . T o g e t h e r , t h e s e c h o i c e sc o m p l e t e l y d e t e r m i n e t h e c o u r s e o f a p l a y o f t h e g a m e , i n c l u d i n g

a n a n s w e r t o t h e q u e s t i o n o f w h o w i n s a n d w h o l o s e s . A w i n n i n g

s t r a t e g y f o r a p l a y e r i s o n e w h i c h r e s u l t s i n t h a t p l a y e r w i n n i n gn o m a t t e r w h i c h s t r a t e g y i s c h o s e n b y t h e o t h e r p l a y e r o rp l a y e r s .

T h e s e n o t i o n s a r e r a t h e r a b s t r a c t , e v e n t h o u g h t h e s t a r t i n g -

p o i n t s o f t h e a b s t r a c t i o n a r e f a m i l i a r a n d c l e a r . T h i s a b s t r a c t -n e s s i s a p r o b l e m f o r a p h i l o s o p h i c a l a n a l y s t , b u t i t i s a l s o a no p p o r t u n i t y f o r f u r t h e r d e v e l o p m e n t . I w i l l a v a i l m y s e l f o f t h i s

o p p o r t u n i t y i n C h a p t e r 1 0 .( i i ) T h i s k i n d o f t r u t h d e f i n i t i o n i s n o t r e s t r i c t e d t o f o r m a l ( b u t

i n t e r p r e t e d ) f i r s t - o r d e r l a n g u a g e s b u t c a n b e e x t e n d e d t o v a r i o u so t h e r l o g i c a l l a n g u a g e s . I t c a n a l s o b e e x t e n d e d t o n a t u r a ll a n g u a g e s . E v e n t h o u g h q u a n t i f i e r s ( q u a n t i f i e r p h r a s e s ) b e h a v e

i n c e r t a i n r e s p e c t s d i f f e r e n t l y i n n a t u r a l l a n g u a g e s f r o m t h e w a yt h e y b e h a v e i n t h e u s u a l f o r m a l f i r s t - o r d e r l a n g u a g e s , a t r e a t m e n t

c a n b e p r e s e n t e d f o r t h e m , t o o , i n t h e s a m e g a m e - t h e o r e t i c a ls p i r i t . W h a t i s e s p e c i a l l y i m p o r t a n t h e r e i s t h a t t h e v e r y s a m et r u t h d e f i n i t i o n a p p l i e s t h e r e , t o o , w i t h o u t a n y c h a n g e s . I n o t h e rw o r d s , e v e n t h o u g h t h e g a m e r u l e s f o r p a r t i c u l a r m o v e s a r ed i f f e r e n t , p r e c i s e l y t h e s a m e c h a r a c t e r i z a t i o n o f t r u t h a n d f a l s i t y

c a n a l s o b e u s e d i n t h e s e m a n t i c s o f n a t u r a l l a n g u a g e s .

( i i i ) T h u s w e h a v e r e a c h e d a s e m a n t i c a l t r e a t m e n t o f f i r s t - o r d e rl a n g u a g e s a n d a c h a r a c t e r i z a t i o n o f t r u t h w h i c h i s i n m a n y w a y sa m o s t s a t i s f a c t o r y o n e . I t s n a t u r a l n e s s c a n b e i l l u s t r a t e d b y t e l -l i n g e v i d e n c e . T h e n a t u r a l n e s s o f t h e g a m e - t h e o r e t i c a l t r e a t m e n t

o f q u a n t i f i e r s i s i l l u s t r a t e d b y t h e f a c t t h a t i t w a s p u t f o r w a r dc o m p l e t e l y e x p l i c i t l y b y C . S . P e i r c e ( H i l p i n e n 1 9 8 3 ) a n d t h a t i th a s b e e n s p o n t a n e o u s l y r e s o r t e d t o b y l o g i c i a n s a n d m a t h e m a -

t i c i a n s p r a c t i c a l l y a l w a y s w h e n t h e u s u a l T a r s k i - t y p e t r u t hd e f i n i t i o n s d o n o t a p p l y ; a n d i n d e e d s o m e t i m e s w h e n t h e y d oa p p l y , a s f o r i n s t a n c e i n t h e D i o p h a n t i n e g a m e s o f n u m b e r o ft h e o r i s t s l i k e J o n e s ( 1 9 7 4 ) .

S o m e o f t h e r e a s o n s w h y T a r s k i - t y p e t r u t h d e f i n i t i o n s f a i l w i l l b ed i s c u s s e d i n t h e l a t e r c h a p t e r s o f t h i s b o o k . S o m e o t h e r s c a n b e n o t e d




h e r e . O n e o f t h e m i s d u e t o t h e f a c t t h a t T a r s k i - t y p e t r u t h d e f i n i t i o n ss t a r t f r o m t h e t r u t h - c o n d i t i o n s o f t h e s i m p l e s t ( a t o m i c ) s e n t e n c e sa n d w o r k t h e i r w a y r e c u r s i v e l y t o t h e c o m p l e x o n e s . T h i s p r e s u p -

p o s e s t h a t t h e r e a l w a y s a r e f i x e d s t a r t i n g - p o i n t s f o r s u c h a p r o -c e d u r e ; i n o t h e r w o r d s , t h a t t h e f o r m u l a s o f o n e ' s l a n g u a g e a r ew e l l - f o u n d e d a s s e t t h e o r i s t s w o u l d s a y . I t i s n e v e r t h e l e s s p o s s i b l e t oi n t r o d u c e , u s e , a n d t o s t u d y l a n g u a g e s w h i c h d o n o t s a t i s f y t h i sr e q u i r e m e n t . C a s e s i n p o i n t a r e g a m e q u a n t i f i e r l a n g u a g e s a n d m o r eg e n e r a l l y t h e i n f i n i t e l y d e e p l a n g u a g e s f i r s t i n t r o d u c e d i n H i n t i k k aa n d R a n t a l a ( 1 9 7 6 ) . F o r s u c h l a n g u a g e s , i t i s i m p o s s i b l e t o g i v e

T a r s k i - t y p e t r u t h d e f i n i t i o n s . I n c o n t r a s t , g a m e - t h e o r e t i c a l c h a r a c -t e r i z a t i o n s o f t r u t h a r e p e r f e c t l y p o s s i b l e . T h e o n l y n o v e l t y i s t h a ts o m e p l a y s o f a g a m e c a n n o w b e i n f i n i t e l y l o n g . B u t , f o r a g a m et h e o r i s t t h i s i s n o o b s t a c l e t o a d e f i n i t i o n o f w i n n i n g a n d l o s i n g . A n do n c e t h e s e n o t i o n s a r e d e f i n e d , t h e r e s t o f o n e ' s G T S o p e r a t e s a s o fo l d .

M o r e g e n e r a l l y s p e a k i n g , G T S i s l i t t l e m o r e t h a n a s y s t e m a t i z -a t i o n o f t h e m a t h e m a t i c i a n s ' t i m e - h o n o r e d w a y s o f u s i n g q u a n t i f i e r s

a n d o f t h i n k i n g o f t h e m . C a r e f u l m a t h e m a t i c i a n s h a b i t u a l l y u s el o c u t i o n s l i k e " g i v e n a n y v a l u e o f x , o n e c a n f i n d a v a l u e o f y s u c h

t h a t . . . " A t y p i c a l c o n t e x t o f s u c h t a l k i s t h e s o - c a l l e d e p s i l o n - d e l t ad e f i n i t i o n o f a n o t i o n l i k e l i m i t o r d e r i v a t i v e . A n i n d e p e n d e n tt e s t i m o n y m i g h t b e m o r e p e r s u a s i v e h e r e t h a n m y o w n w o r d s .S p e a k i n g o f t h e c o n c e p t o f l i m i t , I a n S t e w a r t w r i t e s i n a r e c e n t b o o k :

F i n a l l y • K a r l W e i e r s t r a s s s o r t e d o u t t h e m u d d l e i n 1 8 5 0 o r t h e r e a b o u t s b y

t a k i n g t h e p h r a s e ' a s n e a r a s w e p l e a s e ' s e r i o u s l y . H o w n e a r d o w e p l e a s e ?H e t r e a t e d a v a r i a b l e , n o t a s a q u a n t i t y a c t i v e l y c h a n g i n g , b u t s i m p l y a s

a s t a t i c s y m b o l f o r a n y m e m b e r o f a s e t o f p o s s i b l e v a l u e s . ( S t e w a r t 1 9 9 2 , p .1 0 5 )

I n o t h e r w o r d s , W e i e r s t r a s s u s e d q u a n t i f i e r s t o a n a l y z e t h e c o n c e p to f l i m i t . B u t h o w d i d W e i e r s t r a s s t r e a t q u a n t i f i e r s ? S t e w a r t c o n -t i n u e s :

A f u n c t i o n f ( x ) a p p r o a c h e s a l i m i t L a s x a p p r o a c h e s a v a l u e a i f , g i v e n a n yp o s i t i v e n u m b e r g , t h e d i f f e r e n c e f ( x ) — l A s l e s s t h a n e w h e n e v e r x — a i s l e s s

t h a n s o m e n u m b e r ö d e p e n d i n g o n t . I t ' s l i k e a g a m e : ' Y o u t e l l m e h o w c l o s e

y o u w a n t f ( x ) t o b e t o L ; t h e n I ' l l t e l l y o u h o w c l o s e x h a s t o b e t o a . ' P l a y e rE p s i l o n s a y s h o w n e a r h e p l e a s e s ; t h e n D e l t a i s f r e e t o s e e k h i s o w n p l e a s u r e .I f D e l t a a l w a y s h a s a w i n n i n g s t r a t e g y , t h e n f ( x ) t e n d s t o t h e l i m i t L .( S t e w a r t 1 9 9 2 , p p . 1 0 5 — 1 0 6 )




T h e o n l y w o r d i n S t e w a r t ' s a c c o u n t t h a t I d o n o t l i k e i s ' l i k e ' ( i n " l i k ea g a m e " ) , f o r w h a t h e d e s c r i b e s i s p r e c i s e l y t h e t r u t h - c o n d i t i o n f o rt h e e — ( 5 q u a n t i f i e r d e f i n i t i o n o f l i m i t i n g a m e - t h e o r e t i c a l s e m a n t i c s .

H o w e v e r , t h e g a m e - t h e o r e t i c a l t r e a t m e n t o f t r u t h i n i n t e r p r e t e df i r s t - o r d e r l a n g u a g e s d o e s n o t y e t s a t i s f y e v e r y t h i n g t h a t p h i l o s -o p h e r s m i g h t l e g i t i m a t e l y a s k o f i t . F i r s t , w h a t m y t r e a t m e n t y i e l d sa r e t r u t h - c o n d i t i o n s f o r d i f f e r e n t f i r s t - o r d e r s e n t e n c e s . T h e y a r e n o tu n i t e d i n t o a g e n u i n e t r u t h d e f i n i t i o n o r t r u t h p r e d i c a t e . S u c h a d e f i n i -t i o n m u s t b e f o r m u l a t e d i n a m e t a l a n g u a g e i n w h i c h w e c a n s p e a k o ft h e s y n t a x o f t h e g i v e n f i r s t - o r d e r o b j e c t l a n g u a g e . N o w w e c a n

d i s c u s s t h e s y n t a x o f a g i v e n f i r s t - o r d e r l a n g u a g e i n a n o t h e r f i r s t -o r d e r m e t a l a n g u a g e , p r o v i d e d t h a t t h e l a t t e r c o n t a i n s a m o d i c u m o fe l e m e n t a r y a r i t h m e t i c , f o r i n s t a n c e b y u s i n g t h e w e l l - k n o w n t e c h -

n i q u e o f G ö d e l n u m b e r i n g . A t r u t h d e f i n i t i o n w i l l t h e n h a v e t oc o n s i s t i n t h e d e f i n i t i o n o f a n u m b e r - t h e o r e t i c a l p r e d i c a t e T ( x ) w h i c ha p p l i e s t o t h e G ö d e l n u m b e r o f a s e n t e n c e i f a n d o n l y i f t h i s s e n t e n c ei s t r u e i n t h e m o d e l u n d e r c o n s i d e r a t i o n . S u c h d e f i n i t i o n s f o r i n t e r -p r e t e d f i r s t - o r d e r o b j e c t l a n g u a g e s c a n n o t b e f o r m u l a t e d i n a f i r s t -

o r d e r m e t a l a n g u a g e . A f o r t i o r i , a t r u t h d e f i n i t i o n f o r a g i v e n i n t e r -p r e t e d f i r s t - o r d e r l a n g u a g e c a n n o t b e f o r m u l a t e d i n t h a t l a n g u a g ei t s e l f .

I n t h e s e r e s p e c t s , m y g a m e - t h e o r e t i c a l t r u t h - c o n d i t i o n s d o n o ta l o n e h e l p u s w i t h t h e c r u c i a l p r o b l e m s a s i n d i c a t e d i n C h a p t e r 1 .

( i v ) W h a t t h e g a m e - t h e o r e t i c a l a p p r o a c h d o e s t e l l u s i s w h a t t h et r u t h - c o n d i t i o n s o f f i r s t - o r d e r s e n t e n c e s a r e l i k e . T h e s e t r u t h -c o n d i t i o n s a r e f o r m u l a t e d i n t e r m s o f s t r a t e g i e s o f t h e t w o p l a y e r s .N o w t h e n o t i o n o f s t r a t e g y i s i t s e l f a m e n a b l e t o a l o g i c a l a n a l y s i s a n dt o a f o r m u l a t i o n i n l o g i c a l t e r m s . S u p p o s e t h a t a f i r s t - o r d e r s e n t e n c eS i s i n a n e g a t i o n n o r m a l f o r m ( i . e . , a l l n e g a t i o n s i g n s p r e f i x e d t oa t o m i c f o r m u l a s o r i d e n t i t i e s ) . S i n c e e v e r y f i r s t - o r d e r f o r m u l a c a n b eb r o u g h t t o t h i s f o r m b y a n e f f e c t i v e p r o c e d u r e , t h i s i s n o t a r e s t r i c t i v ea s s u m p t i o n . T h e n a s t r a t e g y f o r t h e i n i t i a l v e r i f i e r i s d e f i n e d b ya f i n i t e s e t o f f u n c t i o n s ( k n o w n a s c h o i c e f u n c t i o n s o r S k o l e m f u n c -

t i o n s ) w h o s e v a l u e s t e l l w h i c h i n d i v i d u a l t h e v e r i f i e r i s t o c h o o s e a te a c h o f h i s o r h e r m o v e s . T h e s e m o v e s a r e i n S c o n n e c t e d w i t h i t se x i s t e n t i a l q u a n t i f i e r s a n d d i s j u n c t i o n s . T h e a r g u m e n t s o f t h e s ef u n c t i o n s a r e t h e i n d i v i d u a l s c h o s e n b y t h e f a l s i f i e r u p t o t h a t p o i n ti n a p l a y o f t h e g a m e G ( S ) . C h o i c e f u n c t i o n s a r e s e c o n d - o r d e r

e n t i t i e s , a n d t h e i r e x i s t e n c e o r n o n e x i s t e n c e c a n b e e x p r e s s e d b ya s e c o n d - o r d e r s e n t e n c e . I n t h i s w a y , t h e g a m e - t h e o r e t i c a l t r u t h -




c o n d i t i o n o f S c a n b e e x p r e s s e d b y a s e c o n d - o r d e r s e n t e n c e S * , w h i c hc a n b e c o n s i d e r e d a s a t r a n s l a t i o n o f S .

S p e a k i n g m o r e e x p l i c i t l y , S * c a n b e o b t a i n e d t h r o u g h t h e f o l l o w -i n g s t e p s :

( a ) L e t ( a x ) b e a n e x i s t e n t i a l q u a n t i f i e r o c c u r r i n g i n S w i t h i n t h es c o p e o f t h e u n i v e r s a l q u a n t i f i e r s ( V y 1 ) , ( V y , ) , . . . R e p l a c e

e a c h o c c u r r e n c e o f x b o u n d t o ( 3 x ) b y f ( y 1 , Y 2 ,.

w h e r e f i sa n e w f u n c t i o n s y m b o l , d i f f e r e n t f o r d i f f e r e n t e x i s t e n t i a l q u a n t i -

f i e r s . O m i t t h e q u a n t i f i e r ( 3 x ) .T h e s e f u n c t i o n s a r e u s u a l l y c a l l e d i n l o g i c t h e S k o l e m f u n c t i o n s

o f S .

( b ) L e t ( S 1 v S 2 ) b e a d i s j u n c t i o n o c c u r r i n g w i t h i n t h e s c o p e o f t h eu n i v e r s a l q u a n t i f i e r s ( V y 1 ) , ( V y 2 ) , . . . ( V y , J . R e p l a c e t h e d i s j u n c -t i o n b y

v

( 2 . 4 )

w h e r e g i s a n e w f u n c t i o n s y m b o l , d i f f e r e n t f o r d i f f e r e n t d i s j u n c -t i o n s a n d d i f f e r e n t f r o m t h e f u n c t i o n s f m e n t i o n e d i n ( a ) .

I n t h i s w o r k , I w i l l e x t e n d t h e u s u a l t e r m i n o l o g y s o m e w h a ta n d a l s o c a l l t h e g f u n c t i o n s S k o l e m f u n c t i o n s .

( c ) P r e f i x t h e r e s u l t i n g f o r m u l a b y

. ( 2 . 5 )

w h e r e f 1 , f 2 , . . . a r e a l l t h e f u n c t i o n s i n t r o d u c e d i n ( a ) a n d

g 1 , g 2 , . . . a l l t h e f u n c t i o n s i n t r o d u c e d i n ( b ) .T h e r e s u l t S * w i l l b e c a l l e d t h e s e c o n d - o r d e r t r a n s l a t i o n o f S . I t

e x p r e s s e s t h e g a m e - t h e o r e t i c a l t r u t h - c o n d i t i o n o f S . I t s t a t e s h o wt h e t r u t h o f S i s c o n n e c t e d w i t h t h e s e m a n t i c a l g a m e s o f v e r i f i c a -t i o n a n d f a l s i f i c a t i o n d e s c r i b e d e a r l i e r .

( v ) I t m a y n e v e r t h e l e s s b e q u e s t i o n e d w h e t h e r t h e c o n c e p t o f t r u t hi n g e n e r a l i s r e a l l y i l l u m i n a t e d b y t h e g a m e - t h e o r e t i c a l c o n d i t i o n s .

T h e j o b t h a t t h e y d o i s t o s p e c i f y w h a t q u a n t i f i c a t i o n a l s e n t e n c e sm e a n b y s p e c i f y i n g t h e i r t r u t h - c o n d i t i o n s . T h e n o t i o n o f t r u t h i s h e r ea m e r e l y a u x i l i a r y o n e , i t s e e m s . I n o t h e r w o r d s , t h e f i r s t - o r d e rs e m a n t i c a l g a m e s s e e m t o b e l a n g u a g e g a m e s f o r q u a n t i f i e r s , a n d n o tf o r t h e c o n c e p t o f t r u t h . T h i s i s a p p a r e n t l y i n k e e p i n g w i t h t h e n a t u r eo f t h e s e g a m e s a s g a m e s o f s e e k i n g a n d f i n d i n g . T h e c o n c e p t u a lc o n n e c t i o n b e t w e e n q u a n t i f i e r s a n d t h e a c t i v i t i e s o f s e e k i n g a n d




f i n d i n g i s e a s y t o a p p r e c i a t e , b u t t h e r e d o e s n o t s e e m t o b e a n ye q u a l l y n a t u r a l l i n k b e t w e e n s e m a n t i c a l g a m e s a n d t h e n o t i o n o ft r u t h i n g e n e r a l . T h i s c a n b e t h o u g h t o f a s b e i n g i l l u s t r a t e d a l s o b yt h e i m p o s s i b i l i t y o f d e f i n i n g t r u t h o f q u a n t i f i c a t i o n a l s e n t e n c e s i nt h o s e f i r s t - o r d e r l a n g u a g e s w h i c h r e c e i v e t h e i r m e a n i n g f r o m m ys e m a n t i c a l g a m e s . O n e c a n s u s p e c t h e r e , a s W i t t g e n s t e i n w o u l d h a v e

d o n e , t h a t t h e c o n c e p t o f t r u t h c a n o n l y r e c e i v e a u s e — a n d e r g o

a m e a n i n g — i n t h e c o n t e x t o f c e r t a i n o t h e r l a n g u a g e g a m e s . H e n c ea g r e a t d e a l o f f u r t h e r w o r k n e e d s t o b e d o n e h e r e , u n l e s s w e a r e

r e a d y t o a c q u i e s c e t o a l l t h e d i f f e r e n t k i n d s o f i n c o m p l e t e n e s s e s

t h a t p r e v a i l h e r e . I s h a l l t a k e u p t h e s e q u e s t i o n s l a t e r i n t h i sw o r k .A n o t h e r s e t o f p u z z l e s c o n c e r n s t h e r e l a t i o n o f G T S t o c o n s t r u c -

t i v i s t i c i d e a s . I n a s e n s e , I s e e m t o h a v e r e a l i z e d t h e c o n s t r u c t i v i s t s 'd r e a m . I h a v e s h o w n t h e e x t r e m e l y c l o s e c o n n e c t i o n w h i c h o b t a i n sb e t w e e n t h e g a m e - t h e o r e t i c a l l y d e f i n e d c o n c e p t o f t r u t h a n d t h ea c t i v i t i e s ( s e m a n t i c a l g a m e s ) b y m e a n s o f w h i c h t h e t r u t h a n d f a l s i t yo f o u r s e n t e n c e i s e s t a b l i s h e d . T h e l a c k o f s u c h a c o n n e c t i o n i n e a r l i e r

t r u t h d e f i n i t i o n s h a s b e e n t h e f a v o r i t e t a r g e t o f c o n s t r u c t i v i s t s . N o wt h i s o b j e c t i o n i s c o m p l e t e l y e l i m i n a t e d .

B u t , p a r a d o x i c a l l y , n o n e o f t h e c o n s e q u e n c e s w h i c h c o n s t r u c t i v i s t sh a v e b e e n a r g u i n g f o r f o l l o w f r o m t h e g a m e - t h e o r e t i c a l t r u t hd e f i n i t i o n . I n f a c t , a s f a r a s f i r s t - o r d e r l o g i c i s c o n c e r n e d , t h e g a m e -t h e o r e t i c a l t r u t h d e f i n i t i o n p r e s e n t e d e a r l i e r i n t h i s c h a p t e r i s e q u i v -a l e n t t o t h e u s u a l T a r s k i - t y p e t r u t h d e f i n i t i o n , a s s u m i n g t h e a x i o m o f

c h o i c e . I n d e e d , t h e s e c o n d - o r d e r t r u t h - c o n d i t i o n o f a g i v e n s e n t e n c eS d e f i n e d e a r l i e r i n t h i s c h a p t e r i s e q u i v a l e n t t o 5 , a s s u m i n g t h en o r m a l ( s t a n d a r d ) i n t e r p r e t a t i o n o f s e c o n d - o r d e r q u a n t i f i e r s . A r et h e c o n s t r u c t i v i s t s ' a i m s v a c u o u s ? S o m e t h i n g s t r a n g e i s c l e a r l y g o i n go n h e r e . I w i l l r e t u r n t o t h i s p u z z l e i n C h a p t e r 1 0 .

O n e p a r t i c u l a r f a c e t o f c o n s t r u c t i v i s t i c i d e a s t u r n s o u t t o b ea t e a s e r , t o o . G i v e n t h e d e f i n i t i o n s o f t r u t h a n d f a l s i t y ( R . T ) a n d ( R . F )p r e s e n t e d e a r l i e r , t h e r e i s i n g e n e r a l n o r e a s o n t o b e l i e v e t h a t t h e l a w

o f e x c l u d e d m i d d l e s h o u l d h o l d . F o r a c c o r d i n g t o ( R . T ) a n d ( R . F ) i th o l d s f o r a g i v e n s e n t e n c e S o n l y i f e i t h e r t h e i n i t i a l v e r i f i e r o r i n i t i a lf a l s i f i e r h a s a w i n n i n g s t r a t e g y i n G ( S ) . B u t w e k n o w f r o m g a m et h e o r y t h a t t h e r e a r e m a n y t w o - p e r s o n z e r o - s u m g a m e s i n w h i c hn e i t h e r h a s a w i n n i n g s t r a t e g y . A s i m p l e e x a m p l e i s a g a m e i n w h i c he a c h o f t h e t w o p l a y e r s c h o o s e s a n a t u r a l n u m b e r , i n d e p e n d e n t l y o ft h e o t h e r ' s c h o i c e . T h e p l a y e r w i t h t h e l a r g e r n u m b e r w i n s .




G a m e s i n w h i c h o n e o f t h e t w o p l a y e r s h a s a w i n n i n g s t r a t e g y a r es a i d t o b e d e t e r m i n e d . T h e a s s u m p t i o n t h a t t h e o n e o r t h e o t h e rp l a y e r h a s a w i n n i n g s t r a t e g y i s k n o w n a s a d e t e r m i n a c y ( o r d e t e r -m i n a t e n e s s ) a s s u m p t i o n . S o m e s u c h a s s u m p t i o n s c a n b e e x t r e m e l ys t r o n g , a s i s k n o w n f o r i n s t a n c e f r o m t h e d i f f e r e n t v e r s i o n s o f t h ea x i o m o f d e t e r m i n a c y i n s e t t h e o r y ( c f . h e r e F e n s t a d 1 9 7 1 ) .

H e n c e t h e l a w o f e x c l u d e d m i d d l e c a n n o t i n g e n e r a l b e e x p e c t e d t oh o l d i f t r u t h i s d e f i n e d g a m e - t h e o r e t i c a l l y . T h i s s h o u l d w a r m t h eh e a r t o f e v e r y t r u e c o n s t r u c t i v i s t , f o r t h e l a w o f e x c l u d e d m i d d l e h a sl o n g b e e n t h e i r f a v o r i t e t a r g e t o f c r i t i c i s m . Y e t i n t h a t s u p p o s e d c o r e

a r e a o f c o n t e m p o r a r y l o g i c , o r d i n a r y f i r s t - o r d e r l o g i c , t e r t i u m n o nd a t u r d o e s h o l d . A n o p t i m i s t m i g h t s p e a k h e r e o f a f o r t u n a t e c o i n -c i d e n c e , w h i l e a p e s s i m i s t m i g h t b e l e d t o w o n d e r w h e t h e r f i r s t - o r d e rl o g i c i s r e a l l y r e p r e s e n t a t i v e a t a l l o f t h e d i f f e r e n t i n t r i g u i n g t h i n g st h a t G T S s h o w s c a n h a p p e n i n l o g i c . I w i l l r e t u r n t o t h i s m a t t e r , t o o ,l a t e r i n C h a p t e r 7 . T h e r e , a n d e l s e w h e r e i n t h e r e s t o f t h i s b o o k , i t w i l lt u r n o u t t h a t o r d i n a r y f i r s t - o r d e r l o g i c i s a f o o l ' s p a r a d i s e i n t h a t i to f f e r s a p o o r a n d i n d e e d m i s l e a d i n g s a m p l e o f t h e v a r i e t y o f t h i n g s

t h a t c a n h a p p e n i n l o g i c i n g e n e r a l .Y e t a n o t h e r P a n d o r a ' s b o x o f p u z z l i n g q u e s t i o n s c o n c e r n s t h e

o v e r a l l c h a r a c t e r o f s e m a n t i c a l g a m e s , e s p e c i a l l y a s t o w h a t t h e y a r en o t . E a r l i e r , I r e f e r r e d t o t h e m a s a c t i v i t i e s o f a t t e m p t e d v e r i f i c a t i o na n d f a l s i f i c a t i o n . Y e t t h i s i d e n t i f i c a t i o n i s b y n o m e a n s u n p r o b l e -m a t i c . T h e v e r y t e r m s " v e r i f i c a t i o n " a n d " f a l s i f i c a t i o n " h a v e t o b eh a n d l e d w i t h g r e a t c a r e . F o r w h a t k i n d s o f a c t i v i t i e s d o w e u s u a l l yt h i n k o f a s b e i n g i n v o l v e d i n t h e v e r i f i c a t i o n a n d f a l s i f i c a t i o n o fp r o p o s i t i o n s ? A n y o r d i n a r y a n s w e r i s l i k e l y t o i n c l u d e a t l e a s t t h ef o l l o w i n g t w o k i n d s o f p r o c e s s e s :

( a ) l o g i c a l ( d e d u c t i v e ) i n f e r e n c e s

( b ) d i f f e r e n t k i n d s o f s c i e n t i f i c i n f e r e n c e , f o r i n s t a n c e , i n d u c t i v ei n f e r e n c e s

Y e t i t i s i m p o r t a n t t o r e a l i z e t h a t s e m a n t i c a l g a m e s a r e d i f f e r e n t

f r o m b o t h t h e s e k i n d s o f a c t i v i t i e s . H o w ? W h y ? I f s e m a n t i c a l g a m e sd o n o t c o d i f y t h e w a y s i n w h i c h w e i n o u r a c t u a l e p i s t e m o l o g i c a lp r a c t i c e v e r i f y a n d f a l s i f y s e n t e n c e s , t h e n w h a t l i g h t c a n t h e y s h e d o na r e a l i s t i c n o t i o n o f t r u t h ?

T h i s r h e t o r i c a l q u e s t i o n c a n b e a n s w e r e d i n t w o p a r t s . F i r s t , t h ea c t i v i t y o f l o g i c a l l y p r o v i n g s o m e t h i n g i s a l a n g u a g e g a m e o f i t s o w n ,w i t h i t s o w n r u l e s d i f f e r e n t f r o m t h e r u l e s o f s e m a n t i c a l g a m e s .




S e c o n d , a n d m o s t i m p o r t a n t , t h i s l a n g u a g e g a m e i s p a r a s i t i c o ns e m a n t i c a l g a m e s . I n d e e d , a n a t t e m p t t o p r o v e t h a t S 1 l o g i c a l l yi m p l i e s S 2 c a n b e t h o u g h t o f a s a f r u s t r a t e d a t t e m p t t o c o n s t r u c ta m o d e l ( " p o s s i b l e w o r l d " ) i n w h i c h S 1 i s t r u e b u t S 2 i s n o t . I f t r u t h i su n d e r s t o o d g a m e - t h e o r e t i c a l l y , t h e n t h i s m e a n s c o n s t r u c t i n ga m o d e l ( w o r l d ) M i n w h i c h t h e i n i t i a l v e r i f i e r h a s a w i n n i n g s t r a t e g yi n t h e g a m e G ( S 1 ) p l a y e d o n M b u t n o t i n t h e g a m e G ( S 2 ) p l a y e dl i k e w i s e o n M . F o r t h e p u r p o s e s o f o r d i n a r y f i r s t - o r d e r l o g i c , t h er u l e s f o r s u c h a t t e m p t e d m o d e l c o n s t r u c t i o n c a n b e r e a d f r o m t h er u l e s f o r s e m a n t i c a l g a m e s f o r m u l a t e d a b o v e . T h e r e s u l t i s a c o m -

p l e t e s e t o f t o b l e a u r u l e s f o r f i r s t - o r d e r l o g i c . B y t u r n i n g t h e m u p s i d ed o w n w e t h e n o b t a i n a s o m e w h a t m o r e f a m i l i a r l o o k i n g s e t o fs e q u e n t c a l c u l u s r u l e s f o r f i r s t - o r d e r l o g i c .

H e n c e o r d i n a r y d e d u c t i v e l o g i c d o e s n o t p r e s e n t a n a l t e r n a t i v e t os e m a n t i c a l g a m e s f o r t h e p r o c e s s o f v e r i f i c a t i o n a n d f a l s i f i c a t i o n . T h er u l e s o f d e d u c t i v e l o g i c a r e t h e m s e l v e s p a r a s i t i c o n t h e r u l e s f o rs e m a n t i c a l g a m e s .

S o m e w h a t s i m i l a r p o i n t s c a n b e m a d e o f t h e p r o c e s s e s t h a t a r e

u s u a l l y s a i d t o b e t h e w a y s o f v e r i f y i n g a n d f a l s i f y i n g p r o p o s i t i o n sf o r i n s t a n c e s c i e n t i f i c h y p o t h e s e s . T h e y , t o o , a r e , c o n c e p t u a l l y

s p e a k i n g , p a r a s t i c o n s e m a n t i c a l g a m e s .W e h a v e h e r e a s i t u a t i o n r e m i n i s c e n t o f M e n o ' s p a r a d o x , b u t

w i t h o u t a p a r a d o x i c a l c o n c l u s i o n . I n o r d e r t o f i n d o u t w h e t h e ra p r o p o s i t i o n i s t r u e , o n e h a s t o k n o w w h a t i t m e a n s f o r i t t o b e t r u e .W h a t t h i s m e a n s i s t h a t t h e l a n g u a g e g a m e s o f a c t u a l s c i e n t i f i c o r

o t h e r r e a l - l i f e v e r i f i c a t i o n d e p e n d o n t h e s e m a n t i c a l l a n g u a g e g a m e st h a t a r e c o n s t i t u t i v e o f a s e n t e n c e ' s t r u t h i n t h e f i r s t p l a c e .F o r i n s t a n c e , a s s u m e t h a t I h a v e t o v e r i f y i n a c t u a l s c i e n t i f i c o r

e v e r y d a y p r a c t i c e a f u n c t i o n a l d e p e n d e n c e s t a t e m e n t o f t h ef o r m

( V x ) ( R y ) S [ x , y ] ( 2 . 3 )

( w i t h x a n d y t a k i n g r e a l - n u m b e r v a l u e s ) . I n o r d e r t o v e r i f y ( 2 . 3 ) ,

I n a t u r a l l y d o n o t u n d e r t a k e t o p l a y a g a m e a g a i n s t a n i m a g i n a r y o rr e a l o p p o n e n t , w a i t i n g f o r h i m o r h e r o r i t t o c h o o s e a r e a l - n u m b e rv a l u e o f x f o r m e t o r e s p o n d t o . W h a t I t y p i c a l l y d o i s t o t r y t o f i n do u t w h a t t h e f u n c t i o n i s t h a t r e l a t e s x t o y i n ( 2 . 1 ) , f o r i n s t a n c e , b ym e a n s o f a c o n t r o l l e d e x p e r i m e n t w i t h x a s t h e c o n t r o l l e d v a r i a b l ea n d y a s t h e o b s e r v e d v a r i a b l e . S u p p o s e t h a t t h a t e x p e r i m e n t y i e l d st h e f u n c t i o n g ( x ) = y a s i t s r e s u l t . T h i s m e a n s t h a t g ( x ) i s a S k o l e m




f u n c t i o n o f ( 2 . 3 ) , t h a t i s , t h a t t h e f o l l o w i n g i s t r u e

( V x ) S [ x , g ( x ) ] ( 2 . 6 )

B u t t h i s m e a n s t h a t g ( x ) i s t h e s t r a t e g y f u n c t i o n ( o r a p a r t o f o n e )w h i c h e n a b l e s m e t o w i n t h e s e m a n t i c a l g a m e c o n n e c t e d w i t h ( 2 . 3 ) ,t h a t i s , w h o s e e x i s t e n c e i s t h e t r u t h - c o n d i t i o n o f ( 2 . 3 ) a c c o r d i n g t ot h e g a m e - t h e o r e t i c a l t r u t h d e f i n i t i o n .

T h i s c a n b e g e n e r a l i z e d . T h e t a s k o f a c t u a l l y v e r i f y i n g a s e n t e n c eS i n t h e s e n s e o f g e t t i n g t o k n o w i t s t r u t h d o e s n o t m e a n t h a t t h ei n i t i a l v e r i f i e r w i n s a p l a y o f t h e g a m e G ( S ) . S u c h a w i n m a y b e d u e

m e r e l y t o g o o d l u c k o r t o a f a i l u r e o f o n e ' s o p p o n e n t t o p u r s u e a no p t i m a l s t r a t e g y . C o m i n g t o k n o w t h a t S i s t r u e m e a n s f i n d i n ga w i n n i n g s t r a t e g y f o r t h i s g a m e . T h e l a t t e r e n t e r p r i s e m a k e s s e n s e i np r i n c i p l e o n l y t o s o m e o n e w h o m a s t e r s t h e g a m e G ( S ) w h o s es t r a t e g i e s I a m t a l k i n g a b o u t . H e n c e t h e g a m e s o f a c t u a l v e r i f i c a t i o na n d f a l s i f i c a t i o n a r e b a s e d o n s e m a n t i c a l g a m e s , w h i c h a r e c o n c e p -t u a l l y t h e m o r e f u n d a m e n t a l k i n d o f g a m e . T h e g a m e s o f a c t u a lv e r i f i c a t i o n a n d f a l s i f i c a t i o n a r e s e c o n d a r y l a n g u a g e g a m e s p a r a s i t i c

o n t h e s e m a n t i c a l g a m e s I h a v e e x p l a i n e d . C o n f u s i n g t h e t w o k i n d so f g a m e s w i t h e a c h o t h e r i s l i k e c o n f u s i n g a c t u a l w a r f a r e i n t h et r e n c h e s w i t h t h e t a s k o f a g e n e r a l s t a f f p l a n n i n g a c a m p a i g n .

I n s u m , e v e n t h o u g h a r e a l - l i f e p r o c e s s o f v e r i f i c a t i o n d o e s n o t i n -v o l v e p l a y i n g a s e m a n t i c a l g a m e , i t a i m s a t p r o d u c i n g t h e v e r yi n f o r m a t i o n a w i n n i n g s t r a t e g y f u n c t i o n w h o s e e x i s t e n c e g u a r a n -t e e s t r u t h a c c o r d i n g t o G T S .

T h e s e o b s e r v a t i o n s a r e i n s t r u c t i v e i n s e v e r a l w a y s . T h e y s h o w ,f i r s t o f a l l , t h a t t h e v e r y c o n c e p t s o f v e r i f i c a t i o n a n d f a l s i f i c a t i o n a r ea m b i g u o u s . T h e t e r m i n o l o g y ( a n d i d e o l o g y ) o f l a n g u a g e g a m e ss e r v e s u s w e l l i n e x p l a i n i n g t h i s p o i n t . T h e r e a r e o n t h e o n e h a n dt h o s e g a m e s w h i c h s e r v e t o d e f i n e t r u t h . I h a v e s h o w n t h a t s e m a n t i -

c a l g a m e s c a n p l a y t h i s r o l e . B u t b e c a u s e o f t h i s v e r y f u n c t i o n , s u c hg a m e s c a n n o t b e t h o u g h t o f a s g a m e s o f e s t a b l i s h i n g ( p r o v i n g ,v e r i f y i n g ) a s e n t e n c e w h o s e t r u t h - c o n d i t i o n s a r e , s o t o s p e a k , a l r e a d y

k n o w n , w i t h o u t f a l l i n g p r e y t o M e n o ' s p a r a d o x . A r e s u c h g a m e s t ob e c a l l e d g a m e s o f v e r i f i c a t i o n ? E i t h e r a n s w e r c a n b e d e f e n d e d , b u t

t h e i n t e r e s t i n g p o i n t i s t h a t b o t h a n s w e r s a r e p o s s i b l e .O n t h e o t h e r h a n d t h e r e a r e g a m e s w h e r e t h e t r u t h - c o n d i t i o n s o f

t h e r e l e v a n t s e n t e n c e s a r e t a k e n f o r g r a n t e d , a n d t h e g a m e s e r v e sm e r e l y t o e n a b l e t h e i n q u i r e r t o c o m e t o k n o w t h a t t h e s e c o n d i t i o n sa r e i n f a c t s a t i s f i e d . I t i s a g a i n a g o o d q u e s t i o n w h e t h e r s u c h g a m e s




s h o u l d b e c a l l e d g a m e s o f v e r i f i c a t i o n a n d f a l s i f i c a t i o n . A n e d g e i sg i v e n t o t h i s q u e s t i o n b y t h e f a c t t h a t s u c h g a m e s a r e n o t m e r e l yg a m e s o f v e r i f i c a t i o n a n d f a l s i f i c a t i o n . T h e y s e r v e a p u r p o s e t h a tg o e s b e y o n d t h a t o f c h a r a c t e r i z i n g t h e n o t i o n s o f t r u t h a n d f a l s i t y .T h e y s e r v e t h e p u r p o s e o f c o m i n g t o k n o w t h e t r u t h o f t h e s e n t e n c e si n q u e s t i o n .

P e r h a p s b o t h o f t h e s e t w o k i n d s o f g a m e s d e s e r v e t o b e r e l a t e d t ot h e n o t i o n o f t r u t h . I n t h e f o r m e r , w h a t i s a t i s s u e i s t h e v e r y n o t i o n o ft r u t h , v e r i t a s , w h e r e a s i n t h e l a t t e r w e a r e d e a l i n g w i t h s o m e p a r t i c u -l a r t r u t h , v e r u m .

W h a t h a s b e e n f o u n d s t r o n g l y s u g g e s t s t h a t m u c h o f t h e r e c e n tt a l k o f v e r i f i c a t i o n , f a l s i f i c a t i o n , a s s e r t i b i l i t y c o n d i t i o n s a n d s o f o r t h ,i s b a s e d o n a c o n f u s i o n b e t w e e n t h e t w o r e l a t e d b u t i m p o r t a n t l yd i f f e r e n t k i n d s o f l a n g u a g e g a m e s w h i c h I h a v e j u s t d i s t i n g u i s h e df r o m e a c h o t h e r . T h e " r e a l - l i f e " o r " r e a l s c i e n c e " v e r i f i c a t i o n p r o -c e s s e s c a n i n f a c t b e s u b s u m e d u n d e r t h e a p p r o a c h t o i n q u i r y a n dr e a s o n i n g i n g e n e r a l w h i c h I h a v e c a l l e d t h e i n t e r r o g a t i v e m o d e l o fi n q u i r y . I n i t , a n i n q u i r e r r e a c h e s n e w i n f o r m a t i o n t h r o u g h a s e r i e s o f

q u e s t i o n s p u t t o a s u i t a b l e s o u r c e o f i n f o r m a t i o n ( " o r a c l e " ) , i n t e r -s p e r s e d w i t h l o g i c a l i n f e r e n c e s f r o m a n s w e r s p r e v i o u s l y r e c e i v e d( p l u s i n i t i a l p r e m i s e s ) . T h i s m o d e l i s r e a l l y m u c h m o r e t h a n a m e r e" m o d e l " ; i t i s a n e w o v e r a l l f r a m e w o r k f o r e p i s t e m o l o g y . I h a v es t u d i e d i t i n a n u m b e r o f p u b l i c a t i o n s , j o i n t l y w i t h m y a s s o c i a t e s ( s e e ,e . g . , H i n t i k k a 1 9 8 5 , 1 9 8 8 a ) . T h e i n t e r r o g a t i v e m o d e l o f i n q u i r y c a na l s o b e f o r m u l a t e d a s a g a m e ( l a n g u a g e g a m e ) . P r i m a f a c i e , i t d o e s

n o t l o o k a l t o g e t h e r d i f f e r e n t f r o m t h e s e m a n t i c a l g a m e s b e i n ge x a m i n e d h e r e . H e n c e a c o n f u s i o n b e t w e e n t h e t w o i s n a t u r a l , a l b e i ti n e x c u s a b l e . I n r e a l i t y , t h e t w o k i n d s o f g a m e s a r e c o n c e p t u a l l yd i f f e r e n t f r o m e a c h o t h e r i n e x t r e m e l y i m p o r t a n t w a y s . F o r o n et h i n g , i n t e r r o g a t i v e g a m e s d e p e n d , a s w a s i n d i c a t e d , o n r u l e s o fl o g i c a l i n f e r e n c e . I f t h e y a r e c h a n g e d , w h a t c a n b e v e r i f i e d b y m e a n so f i n t e r r o g a t i v e i n q u i r y w i l l a l s o c h a n g e . I n f a c t , b e c a u s e o f t h ee p i s t e m i c e l e m e n t o f i n t e r r o g a t i v e i n q u i r y , i t m a y v e r y w e l l b e a r g u e d

t h a t t h e u s u a l d e d u c t i v e r u l e s o f f i r s t - o r d e r l o g i c h a v e t o b e c h a n g e di n o r d e r t o s e r v e t h i s p u r p o s e . I f i n t e r r o g a t i v e g a m e s w e r e t h e l o g i c a l

h o m e o f t h e n o t i o n o f t r u t h , t h e n c h a n g e s i n t h e r u l e s o f l o g i c a li n f e r e n c e w o u l d a f f e c t t h e c o n c e p t o f t r u t h . T h i s w o u l d b e i n k e e p i n g

w i t h t h e t h i n k i n g o f c o n s t r u c t i v i s t s l i k e D u m m e t t , w h o p r o p o s e t od i s c u s s t h e " e n i g m a " o f t r u t h b y r e f e r e n c e t o r u l e s o f l o g i c a l i n f e r -e n c e , a n d i n f a c t a d v o c a t e m o d i f y i n g t h e c l a s s i c a l r u l e s o f f i r s t - o r d e r




d e d u c t i v e i n f e r e n c e . B u t o n c e w e r e a l i z e t h a t t h e l a n g u a g e g a m e sw h i c h a r e c o n s t i t u t i v e o f t h e n o t i o n o f t r u t h a r e s e m a n t i c a l g a m e s ,a n d n o t t h e g a m e s o f i n t e r r o g a t i v e i n q u i r y , t h e n t h e b a s i s o f t h i sc o n s t r u c t i v i s t i c l i n e o f t h o u g h t v a n i s h e s . F o r s e m a n t i c a l g a m e s a r em o r e b a s i c t h a n t h e " g a m e s " o f f o r m a l l o g i c a l p r o o f . Y o u m a y c h a n g et h e r u l e s o f d e d u c t i v e i n f e r e n c e s b y c h a n g i n g t h e r u l e s o f s e m a n t i c a lg a m e s . L a t e r , i n C h a p t e r 1 0 , I w i l l g i v e c o n c r e t e e x a m p l e s . B u t t h e r e i sn o w a y i n e v i d e n c e b y w h i c h w e c o u l d n a t u r a l l y d o t h e c o n v e r s e .M o r e o v e r , t h e m o v e - b y - m o v e r u l e s o f s e m a n t i c a l g a m e s o f t h e k i n d

f o r m u l a t e d a b o v e a r e s o o b v i o u s t h a t t h e y o f f e r s c a r c e l y a n y f o o t -

h o l d f o r a c r i t i c t o t r y t o c h a n g e t h e m . E v e n t h e c h a n g e s t h a t w i l l b ec o n s i d e r e d e x p e r i m e n t a l l y i n C h a p t e r 1 0 w i l l n o t a f f e c t t h e s e m o v e -b y - m o v e r u l e s .

O n e c a n s a y m o r e h e r e , h o w e v e r . I f y o u s e r i o u s l y e x a m i n e i n t e r r o -g a t i v e g a m e s , i t w i l l b e c o m e o v e r w h e l m i n g l y c l e a r t h a t t h e i n t e r r o -g a t i v e i n q u i r y t h e y m o d e l c a n o n l y b e u n d e r s t o o d a n d s t u d i e da d e q u a t e l y a s a i m i n g a t k n o w l e d g e , a n d n o t m e r e l y a t t r u t h . O t h e r -w i s e , t h e r e i s n o h o p e o f u n d e r s t a n d i n g s u c h c r u c i a l n o t i o n s a s t h e

q u e s t i o n — a n s w e r r e l a t i o n s h i p , t h e c r i t e r i a o f c o n c l u s i v e a n s w e r -h o o d , t h e p r e s u p p o s i t i o n s o f d i f f e r e n t q u e s t i o n s , a n d s o f o r t h . M o s ti m p o r t a n t , w i t h o u t a c k n o w l e d g i n g t h e e p i s t e m i c e l e m e n t i n i n t e r r o -g a t i v e i n q u i r y w e c a n n o t c o p e w i t h t h e u s e o f s u c h i n q u i r y f o r t h ea l l - i m p o r t a n t p u r p o s e o f a n s w e r i n g q u e s t i o n s , a n d n o t m e r e l y d e r i v -i n g g i v e n c o n c l u s i o n s f r o m g i v e n p r e m i s e s . H e n c e i n t e r r o g a t i v ei n q u i r y m u s t b e v i e w e d a s a n e s s e n t i a l l y e p i s t e m i c l a n g u a g e g a m e ,

a i m i n g a t k n o w l e d g e a n d n o t m e r e l y a t t r u t h . A n d b y t h e p a r i t y o fc a s e s , w e m u s t v i e w t h e s u n d r y p r o c e s s e s w h i c h p a s s a s v e r i f i c a t i o na n d / o r c o n f i r m a t i o n i n o r d i n a r y u s a g e a n d o f w h i c h t h e i n t e r r o g a -t i v e m o d e l i s a g e n e r a l i z e d m o d e l .

T h u s w e h a v e t o d i s t i n g u i s h f r o m e a c h o t h e r t h r e e d i f f e r e n t k i n d so f l a n g u a g e g a m e s . T h e i r m o s t i m p o r t a n t c h a r a c t e r i s t i c s c a n b es u m m e d u p i n t h e a c c o m p a n y i n g t a b l e o n p . 3 8 .

I n t h i s t a b l e , t h e q u e s t i o n m a r k i n d i c a t e s t h a t w i n n i n g a p l a y o f

t h e g a m e G ( S ) i s n o t a h a l l m a r k o f t h e t r u t h o f S . I f i t w e r e , M e n o ' sp a r a d o x w o u l d b e a p p l i c a b l e a n d s e m a n t i c a l g a m e s c o u l d n o t b eu s e d t o d e f i n e t r u t h b e c a u s e t h a t n o t i o n w o u l d b e n e e d e d t o d e f i n ea n d t o u n d e r s t a n d s e m a n t i c a l g a m e s . A s i t i s , t r u t h i s d e f i n e di n d i r e c t l y a s t h e e x i s t e n c e o f a w i n n i n g s t r a t e g y .

W e m i g h t a l s o s p e a k o f e p i s t e m i c g a m e s a s t r u t h - s e e k i n g g a m e sa n d o f s e m a n t i c a l g a m e s a s t r u t h - c o n s t i t u t i n g g a m e s .




I n t e r r o g a t i v e

G A M E T Y P E S e m a n t i c a l g a m e P r o o f g a m e g a m e

W H A T ? l o g i c a l t r u t h k n o w l e d g e o f

W I N N I N G t r u t h s

S H O W S

C R I T E R I O N t r u t h o f t h e c l o s u r e o f t h e c l o s u r e o f t h e

O F o u t p u t s e n t e n c e g a m e t a b l e a u g a m e t a b l e a u

W I N N I N G

O P E R A T I O N A L - s e e k i n g a n d a t t e m p t e d q u e s t i o n i n g

I Z A T I O N f i n d i n g c o u n t e r - m o d e l

c o n s t r u c t i o n

p l u s l o g i c a l

i n f e r e n c e

T h e r e a r e c l o s e r r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n t h e t h r e e k i n d s o f g a m e s .

A p r o o f " g a m e " c o n n e c t e d w i t h S c a n b e t h o u g h t o f a s a n a t t e m p t e dc o n s t r u c t i o n o f a m o d e l i n w h i c h S i s n o t t r u e , t h a t i s , i n w h i c h t h e r ei s n o w i n n i n g s t r a t e g y f o r t h e i n i t i a l v e r i f i e r . A n i n t e r r o g a t i v e g a m e i s

l i k e a p r o o f g a m e e x c e p t t h a t a n s w e r s t o q u e s t i o n s c a n b e a d d e d a sn e w p r e m i s e s . I n s p i t e o f t h e s e c o n n e c t i o n s , i t i s p h i l o s o p h i c a l l y v e r y

i m p o r t a n t t o d i s t i n g u i s h t h e m c l e a r l y f r o m e a c h o t h e r . S e m a n t i c a lg a m e s a r e o u t d o o r g a m e s . T h e y a r e p l a y e d a m o n g t h e o b j e c t s o f t h el a n g u a g e o n e s p e a k s , a n d t h e y c o n s i s t l a r g e l y o f t h e c h o i c e s o f t h et w o p l a y e r s b e t w e e n d i f f e r e n t o b j e c t s . I n c o n t r a s t , p r o o f g a m e s a r ei n d o o r g a m e s . T h e y a r e p l a y e d w i t h p e n c i l a n d p a p e r , w i t h c h a l k a n dc h a l k b o a r d , o r t h e s e d a y s m o s t l i k e l y w i t h a c o m p u t e r .

N o t e a l s o t h a t n o n e o f t h e t h r e e t y p e s o f g a m e s i s a d i a l o g i c a lg a m e i n t h e l i t e r a l s e n s e o f t h e w o r d . T h e l a s t t w o a r e " g a m e s a g a i n s tn a t u r e " i n a g a m e t h e o r i s t ' s s e n s e . F o r i n s t a n c e , a l l t h a t t h e i n q u i r e r ' so p p o n e n t d o e s i n a n i n t e r r o g a t i v e g a m e i s o c c a s i o n a l l y t o a n s w e r

q u e s t i o n s .O n c e y o u d e v e l o p a t h e o r y o f i n t e r r o g a t i v e g a m e s o f i n q u i r y , y o u

w i l l a l s o s e e t h a t c o n s t r u c t i v i s t s l i k e D u m m e t t a r e m a k i n g f u r t h e ru n w a r r a n t e d a n d d i s t o r t i v e a s s u m p t i o n s c o n c e r n i n g t h e c h a r a c t e r o ft h e s e " g a m e s a g a i n s t n a t u r e " . E v e n t h o u g h I h a v e n o t f o u n d a" s m o k i n g g u n " s t a t e m e n t i n h i s w r i t i n g s , a n u m b e r o f t h i n g s D u m m e t ts a y s ( e . g . , 1 9 7 8 , p . 2 2 7 ) m a k e s s e n s e t o m e o n l y i f t h e e m p i r i c a l i n p u t




i n t o t h e p r o c e s s o f v e r i f i c a t i o n a n d f a l s i f i c a t i o n c o n s i s t s e n t i r e l y o fo b s e r v a t i o n s w h o s e e x p r e s s i o n s i n l a n g u a g e a r e a s s u m e d t o b ea t o m i c p r o p o s i t i o n s . T h i s f i t s v e r y w e l l i n t o D u m m e t t ' s p a r a d i g m

c a s e o f a r i t h m e t i c , w h e r e t h e d i r e c t l y v e r i f i a b l e p r o p o s i t i o n s a r en u m e r i c a l o n e s . I n g e n e r a l , t h i s a s s u m p t i o n a m o u n t s t o c l a i m i n gt h a t t h e o n l y a n s w e r s o n e c a n h o p e t o o b t a i n i n i n t e r r o g a t i v e g a m e sa r e p a r t i c u l a r t r u t h s . I h a v e c a l l e d t h i s a s s u m p t i o n t h e a t o m i s t i cp o s t u l a t e . A c l o s e r e x a m i n a t i o n s h o w s , h o w e v e r , t h a t n o t o n l y i s t h i sa s s u m p t i o n u n w a r r a n t e d , b u t t h a t i t h a s d i s t o r t e d p h i l o s o p h e r s '

e n t i r e v i e w o f s c i e n t i f i c i n q u i r y . I n t h i s r e s p e c t , t o o , D u m m e t t ' s i d e a s

o f w h a t t h e p r o c e s s e s ( " l a n g u a g e g a m e s " ) a r e l i k e w h i c h w e a c t u a l l yu s e t o v e r i f y a n d f a l s i f y o u r s e n t e n c e s a r e i n a c c u r a t e .O f c o u r s e D u m m e t t a n d h i s i l k h a v e n o t e n j o y e d t h e p r i v i l e g e o f

c o n s i d e r i n g m y i n t e r r o g a t i v e m o d e l i n s o m a n y w o r d s . W h a t t h e yh a v e h a d i n m i n d i s s o m e , m o r e o r l e s s , u n a r t i c u l a t e d i d e a o f h o w w ei n p r a c t i c e v e r i f y a n d f a l s i f y s c i e n t i f i c a n d e v e r y d a y p r o p o s i t i o n s . B u tt h e i n t e r r o g a t i v e m o d e l i s c a l c u l a t e d t o c a p t u r e a l l s u c h a c t i v i t i e s .I n d e e d , t h e o n l y m a i n a s s u m p t i o n I h a v e t o m a k e f o r t h e a p p l i c a b i l -

i t y o f t h e i n t e r r o g a t i v e a p p r o a c h i s t h a t a l l n e w i n f o r m a t i o n i m -p o r t e d i n t o t h e a r g u m e n t c a n b e t h o u g h t o f a s b e i n g o b t a i n e d a s a na n s w e r t o a n i m p l i c i t ( o r e x p l i c i t ) q u e s t i o n a d d r e s s e d t o a s u i t a b l es o u r c e o f i n f o r m a t i o n . F o r t h i s t o b e p o s s i b l e , l i t t l e m o r e i s r e q u i r e dt h a n t h a t t h e i n q u i r e r i s a w a r e w h e r e h e o r s h e g e t s h i s o r h e ri n f o r m a t i o n f r o m . H e n c e t h e i n t e r r o g a t i v e m o d e l a p p l i e s e x t r e m e l yw i d e l y t o a l l s o r t s o f d i f f e r e n t p r o c e s s e s o f k n o w l e d g e - s e e k i n g a n dv e r i f i c a t i o n , p r e s u m a b l y i n c l u d i n g w h a t c o n s t r u c t i v i s t s h a v e i nm i n d . H e n c e t h e y a r e n o t n e c e s s a r i l y w r o n g a b o u t o u r a c t u a lp r o c e s s e s o f i n q u i r y . T h e i r m i s t a k e i s t o a s s u m e t h a t t h e s e p r o c e s s e sa r e c o n s t i t u t i v e o f t h e n o t i o n o f t r u t h . T h e y h a v e m i s s e d t h e p o i n t o fM e n o ' s p a r a d o x . T o s e e k t r u t h , o n e h a s t o k n o w w h a t t r u t h i s .

H e n c e t h e u s u a l s c i e n t i f i c a n d / o r e v e r y d a y p r o c e d u r e s o f v e r i f i c a -t i o n c a n n o t s e r v e t o d e f i n e t r u t h . T h i s s u g g e s t s t h a t s e m a n t i c a lg a m e s m i g h t u l t i m a t e l y b e u s e d t o d e f i n e a n a c t u a l t r u t h p r e d i c a t e .

W h e t h e r m y a r g u m e n t s s h o w t h a t s e m a n t i c a l g a m e s c a n d o s od e p e n d s o n w h a t w i l l b e f o u n d a b o u t s u c h n o t i o n s a s S k o l e mf u n c t i o n . I w i l l r e t u r n t o s u c h q u e s t i o n s i n C h a p t e r 6 .

T h e d i s t i n c t i o n b e t w e e n s e m a n t i c a l g a m e s o n t h e o n e h a n d a n d" g a m e s " o f f o r m a l p r o o f a s w e l l a s i n t e r r o g a t i v e g a m e s o n t h e o t h e rh a n d i s t h u s , i n a n y c a s e , a c r u c i a l o n e . A t t h e s a m e t i m e , t h ed i s t i n c t i o n p u t s t h e n a t u r e o f s e m a n t i c a l g a m e s i n t o s h a r p e r p r o f i l e .




W h a t c o n s e q u e n c e s o r s u g g e s t i o n s d o e s t h e g a m e - t h e o r e t i c a la p p r o a c h ( a n d i t s s u c c e s s ) t o l o g i c y i e l d ? T h e r e s t o f t h i s b o o k i s b u t

o n e l o n g a r g u m e n t c a l c u l a t e d t o a n s w e r t h i s q u e s t i o n . O n e s p e c i f i cs u g g e s t i o n m i g h t n e v e r t h e l e s s b e r e g i s t e r e d h e r e . I n o r d e r t o s e ew h a t i t i s , w e m i g h t c o n s i d e r w h a t G T S s a y s o f t r u t h o f s e n t e n c e s o ft h e f o r m

( V x ) ( J y ) S [ x , y ] ( 2 . 3 )

w h e r e S [ x , y ] i s ( f o r s i m p l i c i t y o n l y ) a s s u m e d n o t t o c o n t a i n q u a n t i -f i e r s . A c c o r d i n g t o G T S , ( 2 . 3 ) i s t r u e i f a n d o n l y i f t h e r e e x i s t s

a w i n n i n g s t r a t e g y f o r t h e i n i t i a l v e r i f i e r i n t h e c o r r e l a t e d g a m e . S u c ha s t r a t e g y w i l l t e l l a m o n g o t h e r t h i n g s h o w t o c h o o s e t h e v a l u e o fy d e p e n d i n g o n t h e v a l u e o f x . T h i s p a r t o f t h e v e r i f i e r ' s s t r a t e g y c a nt h e r e f o r e b e c o d i f i e d i n a f u n c t i o n f ( x ) = y . F o r s u c h a f u n c t i o n t ob e p a r t o f a w i n n i n g s t r a t e g y m e a n s t h a t t h e f o l l o w i n g s e n t e n c e i st r u e :

( ] f ) ( V x ) S [ x , f ( x ) ] ( 2 . 7 )

C o n v e r s e l y , ( 2 . 7 ) i s o b v i o u l y t r u e i f ( 2 . 3 ) i s .H e n c e ( 2 . 3 ) a n d ( 2 . 7 ) m u s t b e t r u e s i m u l t a n e o u s l y . B u t t h e e q u i v a l -

e n c e o f ( 2 . 3 ) a n d ( 2 . 7 ) i s b u t a v a r i a n t o f t h e a x i o m o f c h o i c e . H e n c eG T S r e s o u n d i n g l y v i n d i c a t e s t h i s c o n t r o v e r s i a l a x i o m . M o r e o v e r ,t h e r e a s o n s f o r t h e v a l i d i t y o f t h e a x i o m o f c h o i c e a r e p u r e l y l o g i c a l .

T h e a x i o m i s b u t a c o r o l l a r y o f t h e g a m e - t h e o r e t i c a l d e f i n i t i o n o ft r u t h . H e n c e G T S r e a l i z e s H i l b e r t ' s ( 1 9 2 3 , p . 1 5 7 ) b o l d c o n j e c t u r e ,

n o t o n l y v i n d i c a t i n g t h e a x i o m o f c h o i c e b u t s h o w i n g t h a t i t i s a su n e x c e p t i o n a b l e a t r u t h a s 2 + 2 = 4 .I n o n e s e n s e , i t i s a n u n d e r s t a t e m e n t t o s a y t h a t t h e g a m e -

t h e o r e t i c a l v i e w p o i n t v i n d i c a t e s t h e a x i o m o f c h o i c e b e c a u s e , b y t h es a m e t o k e n , i t v i n d i c a t e s a n y e q u i v a l e n c e b e t w e e n a n y o l d f i r s t - o r d e rs e n t e n c e a n d i t s s e c o n d - o r d e r " t r a n s l a t i o n " ( t r u t h - c o n d i t i o n ) . S o m es u c h e q u i v a l e n c e s a r e k n o w n t o b e s t r o n g e r t h a n t h e p l a i n - v a n i l l ae q u i v a l e n c e s b e t w e e n ( 2 . 3 ) a n d ( 2 . 7 ) , w h e r e S [ x , y ] d o e s n o t c o n t a i n

q u a n t i f i e r s o r d i s j u n c t i o n s ( i n i t s n e g a t i o n n o r m a l f o r m ) . F o r i n -s t a n c e , s u c h s i m p l e e q u i v a l e n c e s c a n n o t e n f o r c e t h e e x i s t e n c e o fn o n r e c u r s i v e f u n c t i o n s w h i l e s o m e o f t h e m o r e c o m p l e x e q u i v a l e n -c e s c a n ( s e ô K r e i s e l 1 9 5 3 ; M o s t o w s k i 1 9 5 5 ) . H e n c e w e a p p a r e n t l yh a v e h e r e a h i e r a r c h y o f s t r o n g e r a n d s t r o n g e r a s s u m p t i o n s a v a i l -a b l e t o m a t h e m a t i c i a n s . H o w e v e r , a s e p a r a t e i n v e s t i g a t i o n i s s t i l ln e e d e d t o s e e w h e t h e r t h e m o r e c o m p l e x e q u i v a l e n c e s a r e a c t u a l l y




s t r o n g e r a s s u m p t i o n s t h a n t h e o r d i n a r y a x i o m o f c h o i c e i n a s e t -t h e o r e t i c a l c o n t e x t . W h a t h a s b e e n s e e n i n a n y c a s e s h o w s t h a t t h ea x i o m o f c h o i c e c a n n o t b e d i s c u s s e d i n i s o l a t i o n . I t i s a m e m b e r o fa s e r i e s o f a s s u m p t i o n s t h a t c a n a l l b e j u s t i f i e d i n t h e s a m e w a y .M o r e o v e r , i t s j u s t i f i c a t i o n o r r e j e c t i o n i s t i e d t o m o r e g e n e r a lq u e s t i o n s o f t h e n a t u r e o f t r u t h , e s p e c i a l l y t o q u e s t i o n s c o n c e r n i n gt h e g a m e - t h e o r e t i c a l a n a l y s i s o f t r u t h . I n s o f a r a s I c a n v i n d i c a t e t h eg e n e r a l i d e a s o f G T S , I c a n t o t h e s a m e e x t e n t v i n d i c a t e t h e a x i o m o fc h o i c e . I n C h a p t e r 1 0 i t w i l l t u r n o u t t h a t e v e n c e r t a i n i n t e r e s t i n gc o n s t r u c t i v i s t i c c h a n g e s i n m y g a m e - t h e o r e t i c a l a p p r o a c h f a i l t o

p r o v i d e a n y r e a s o n s f o r r e j e c t i n g t h e a x i o m o f c h o i c e .G ö d e l h a s a d v o c a t e d a c u l t i v a t i o n o f o u r m a t h e m a t i c a l i n t u i t i o ni n w a y s t h a t w o u l d e v e n t u a l l y e n a b l e u s t o s e e t h e t r u t h o r f a l s i t y o fd i f f e r e n t s e t - t h e o r e t i c a l a s s u m p t i o n s . I n t h e s p i r i t o f G ö d e l ' s i d e a , i tm a y b e s a i d t h a t g a m e - t h e o r e t i c a l s e m a n t i c s p r o v i d e s u s w i t h t h ei n t u i t i o n s t h a t a r e n e e d e d t o v i n d i c a t e t h e a x i o m o f c h o i c e p l u s

a n u m b e r o f r e l a t e d a s s u m p t i o n s . I b e l i e v e t h a t t h i s i s a f a i r w a y o fd e s c r i b i n g t h e s i t u a t i o n . M o r e o v e r , t h e i n t u i t i o n s i n q u e s t i o n h a v e

b e e n s e e n t o b e s o l i d l y g r o u n d e d o n t h e w a y s i n w h i c h w e a c t u a l l yd e a l w i t h t h e c o n c e p t o f t r u t h .

O n e c a n a d d a s l i g h t l y d i f f e r e n t t w i s t t o t h e a x i o m o f c h o i c e b yr e c a l l i n g t h a t ( 2 . 7 ) i s b u t a r e s t a t e m e n t o f t h e t r u t h o f ( 2 . 3 ) f r o ma g a m e - t h e o r e t i c a l v i e w p o i n t . H e n c e t h e e q u i v a l e n c e o f ( 2 . 7 ) a n d

( 2 . 3 ) i s f o r a g a m e - t h e o r e t i c a l s e m a n t i c i s t a n i n s t a n c e o f T a r s k i ' ss o - c a l l e d T - s c h e m a . T h i s s c h e m a i s u s u a l l y s a i d t o b e o f t h e f o r m

3 i s t r u e i - + S

w h e r e 6 i s a q u o t e o r a d e s c r i p t i o n o f S . M o r e g e n e r a l l y , w e c a n s p e a ko f a n i n s t a n c e o f t h e T - s c h e m a i n o u r e x t e n d e d s e n s e w h e n e v e r a n

e q u i v a l e n c e i s s e t u p b e t w e e n a s e n t e n c e a n d i t s t r u t h - c o n d i t i o n . T h ee q u i v a l e n c e b e t w e e n ( 2 . 7 ) a n d ( 2 . 3 ) i s a c a s e i n p o i n t . H e n c e t h ea x i o m o f c h o i c e i s f r o m t h e g a m e - t h e o r e t i c a l v i e w p o i n t c l o s e l yr e l a t e d t o t h e T - s c h e m a , a r e l a t i o n s h i p w h i c h i l l u s t r a t e s t h e i n t u -

i t i v e n e s s o f t h e a x i o m o f c h o i c e i n t h e f r a m e w o r k o f G T S .T h e s a m e i n t u i t i v e n e s s i s l i k e w i s e a s s o c i a t e d w i t h t h e s t r o n g e rf o r m s o f t h e a x i o m o f c h o i c e o b t a i n e d b y s e t t i n g u p e q u i v a l e n c e sb e t w e e n m o r e c o m p l e x f i r s t - o r d e r s e n t e n c e s a n d t h e i r r e s p e c t i v eg a m e - t h e o r e t i c a l t r u t h - c o n d i t i o n s .

A s k e p t i c a l r e a d e r m i g h t v e r y w e l l r e m a i n u n c o n v i n c e d . B u t e v e nt h e m o s t d o g m a t i c s k e p t i c — o r s h o u l d I s a y , t h e m o s t s k e p t i c a l




s k e p t i c ? — n o w k n o w s w h a t h e o r s h e m u s t f o c u s t h e i r c r i t i c a ls c r u t i n y o n . A l l e v i d e n c e f o r G T S i s i p s o f a c t o e v i d e n c e f o r t h e a x i o m

o f c h o i c e . A n y i n t e r e s t i n g c r i t i c i s m o f t h e a x i o m o f c h o i c e m u s t b eb a s e d o n a n e x a m i n a t i o n o f t h e b a s i c i d e a s o f G T S , a n d i n p a r t i c u l a ro f t h e g a m e - t h e o r e t i c a l d e f i n i t i o n o f t r u t h a s t h e e x i s t e n c e o f a w i n -n i n g s t r a t e g y f o r t h e i n i t i a l v e r i f i e r i n a s e m a n t i c a l g a m e . I n d e e d ,I w i l l m y s e l f s u b j e c t t h i s d e f i n i t i o n t o a c l o s e r e x a m i n a t i o n i nC h a p t e r 1 0 . H e n c e t h e r e a d e r w i l l h a v e t o r e m a i n i n s u s p e n s e , t i l l t h el a s t e p i s o d e o f t h e s t o r y o f t h e p e r i l s a n d t r i u m p h s o f t h e a x i o m o fc h o i c e .

F u r t h e r m o r e , i t i s n o t o n l y t h e c o n c e p t s o f v e r i f i c a t i o n a n df a l s i f i c a t i o n ( a s w e l l a s t h e c o n t r a s t b e t w e e n t r u t h - c o n d i t i o n a l a n dv e r i f i c a t i o n i s t s e m a n t i c s ) t h a t a r e s h o w n b y G T S t o n e e d f u r t h e ra t t e n t i o n a n d f u r t h e r d i s t i n c t i o n s . I t i s l i k e w i s e s e e n t h a t t h e r e c e i v e dt r i c h o t o m y o f s y n t a x — s e m a n t i c s — p r a g m a t i c s h a s t o b e r e c o n -s i d e r e d , f o r w h e r e d o e s g a m e - t h e o r e t i c a l s e m a n t i c s b e l o n g i n t h i s

c l a s s i f i c a t i o n ? I t d e a l s w i t h s o m e o f t h e b a s i c s e m a n t i c a l r e l a t i o n sb e t w e e n l a n g u a g e a n d t h e w o r l d , a n d h e n c e s h o u l d b e l o n g t o

s e m a n t i c s . A t t h e s a m e t i m e , i t d e a l s w i t h t h e u s e s o f l a n g u a g e i nc e r t a i n l a n g u a g e g a m e s . H e n c e C h a r l e s M o r r i s ( 1 9 3 8 ) , w h o i s p r i -

m a n l y r e s p o n s i b l e f o r t h e u n f o r t u n a t e s y n t a x — s e m a n t i c s p r a g m a -

t i c s t r i c h o t o m y , w o u l d p r e s u m a b l y r e l e g a t e i t t o w h a t Y e h o s h u aB a r - H i l l e l u s e d t o c a l l t h e p r a g m a t i c w a s t e p a p e r b a s k e t .

T h e r i g h t c o n c l u s i o n f r o m m y c a s e s t u d y i s t h a t t h e t r a d i t i o n a ld i s t i n c t i o n b e t w e e n s e m a n t i c s a n d p r a g m a t i c s i n v o l v e s t w o s e p a r a t ef a l l a c i e s . F i r s t , c r u c i a l s e m a n t i c a l r e l a t i o n s l i k e t h a t o f t r u t h c a n e x i s t

( a n d p e r h a p s m u s t e x i s t ) o n l y i n t h e f o r m o f c e r t a i n r u l e - g o v e r n e dh u m a n a c t i v i t i e s a l a W i t t g e n s t e i n i a n l a n g u a g e g a m e s . B e i n g a c t i v i t i e so f l a n g u a g e u s e , t h e y w o u l d h a v e t o b e p i g e o n h o l e d a s b e l o n g i n g t o

p r a g m a t i c s . I n s p i t e o f t h i s , t h e i r a p p l i c a b i l i t y t o t h e q u e s t i o n o f t h et r u t h o f a g i v e n s e n t e n c e i n s o m e p a r t i c u l a r w o r l d d o e s n o t d e p e n d o n

t h e h u m a n a g e n t s w h o i m p l e m e n t t h e s e g a m e s . T h e i r a p p l i c a b i l i t yd e p e n d s o n l y o n t h e s t r u c t u r e o f t h e " w o r l d " ( m o d e l ) i n q u e s t i o n .

H e n c e t h e c o n t r a s t b e t w e e n s e m a n t i c s a n d p r a g m a t i c s m u s t b ed e f i n e d i n s o m e o t h e r w a y , l e s t w e e n d u p s a y i n g t h a t s e m a n t i c s i sa p a r t o f p r a g m a t i c s . P e r s o n a l l y I w o u l d n o t m i n d s u c h a c o n c l u s i o nv e r y m u c h , a s l o n g a s t h e o t h e r f a l l a c y m u d d l i n g t h e s e t w o n o t i o n s i sa v o i d e d . T h i s f a l l a c y c o n s i s t s i n t h i n k i n g t h a t a l l t h e o r i e s o f l a n g u a g em u s t i n e v i t a b l y i n v o l v e t h e l a n g u a g e u s e r s , a n d a r e t h e r e f o r e p a r t a n dp a r c e l o f t h e p s y c h o l o g y a n d s o c i o l o g y o f l a n g u a g e . T h i s v i e w i s a s




f a l l a c i o u s a s t h e c l a i m w o u l d b e t h a t t h e s t u d y o f s y n t a x i s a p a r t o fg r a p h o l o g y ( o r i n t h e p r e s e n t d a y a n d a g e , o f t h e t e c h n o l o g y o fc o m p u t e r d i s p l a y s a n d c o m p u t e r p r i n t o u t s ) . I n b o t h c a s e s , w e c a n( a n d d o ) a b s t r a c t f r o m t h e i d i o s y n c r a c i e s o f t h e p e r s o n s ( a n d c o m -p u t e r s ) i n q u e s t i o n a n d c o n c e n t r a t e o n t h e g e n e r a l r u l e s t h a t g o v e r nw r i t i n g o r l a n g u a g e u s e , r e s p e c t i v e l y . I f a d r a m a t i z a t i o n o f t h i s f a c t i sn e e d e d , t h e n t h e r e a d e r i s i n v i t e d t o t h i n k o f h o w a u t o m a t a c o u l d b ep r o g r a m m e d t o p l a y s e m a n t i c a l g a m e s a s t h e y p e r f e c t l y w e l l c o u l d b ep r o g r a m m e d t o d o . T h e h a r d w a r e o f s u c h r o b o t s w o u l d b e i r r e l e v a n tt o t h e s e m a n t i c a l a n d l o g i c a l s i t u a t i o n — o n l y t h e s o f t w a r e w o u l d

m a t t e r .A f u r t h e r i m p o r t a n t c o n t r i b u t i o n w h i c h t h e g a m e - t h e o r e t i c a l a p -p r o a c h c a n m a k e t o t h e p h i l o s o p h i c a l c l a r i f i c a t i o n o f l o g i c i s a na c c o u n t o f h o w t h e b o u n d v a r i a b l e s o f q u a n t i f i c a t i o n r e a l l y w o r k .W h a t d o e s s u c h a v a r i a b l e " m e a n " ? S u c h q u e s t i o n s a p p e a r e a s y t oa n s w e r o n l y a s l o n g a s y o u d o n o t r a i s e t h e m i n s o m a n y w o r d s . I t i s f a rf r o m c l e a r h o w a s e n t e n c e i n ( s a y ) a f i r s t - o r d e r f o r m a l n o t a t i o n i s i nf a c t p r o c e s s e d p s y c h o l i n g u i s t i c a l l y , i n s p i t e o f t h e f r e q u e n t p r a c t i c e o f

l i n g u i s t s t o u s e i n e f f e c t f i r s t - o r d e r l o g i c a s t h e m e d i u m o f s e m a n t i c a lr e p r e s e n t a t i o n , o r a s t h e m e d i u m o f r e p r e s e n t i n g l o g i c a l f o r m . O n e ' s

f i r s t i d e a i s t o t h i n k o f b o u n d v a r i a b l e s a s s o m e s o r t o f r e f e r r i n g t e r m s .B u t e v e n t h o u g h a r e s i m i l a r i t i e s b e t w e e n t h e v a r i a b l e s o f q u a n t i f i c a -t i o n a n d o r d i n a r y s i n g u l a r t e r m s , t h e r e a r e a l s o d i f f e r e n c e s .

M a n y o f t h e s a m e p u z z l e s w h i c h a r i s e i n c o n n e c t i o n w i t h t h e f o r m a l

v a r i a b l e s o f q u a n t i f i c a t i o n a l s o a r i s e i n c o n n e c t i o n w i t h t h e q u a n t i f i e rp h r a s e s o f n a t u r a l l a n g u a g e s . T h i s i s n o t s u r p r i s i n g , f o r o n e o f t h em a i n u s e s o f f o r m a l q u a n t i f i c a t i o n t h e o r y i s s u p p o s e d t o b e t o s e r v e a s

t h e f r a m e w o r k o f s e m a n t i c a l r e p r e s e n t a t i o n i n t o w h i c h t h e q u a n t i f i e rs e n t e n c e s o f n a t u r a l l a n g u a g e s c a n b e t r a n s l a t e d ( c f . R u s s e l l 1 9 0 5 ) .

F o r i n s t a n c e , t w o o c c u r r e n c e s o f t h e s a m e s i n g u l a r t e r m r e f e r t o t h es a m e i n d i v i d u a l . B u t t w o o c c u r r e n c e s o f t h e s a m e q u a n t i f i e r p h r a s e ( o rt h e s a m e v a r i a b l e ) n e e d n o t d o s o . T h i s c a n b e i l l u s t r a t e d b y t h ec o n t r a s t b e t w e e n t h e f o l l o w i n g s e n t e n c e s :

J o h n a d m i r e s J o h n . ( 2 . 8 )

E v e r y b o d y a d m i r e s e v e r y b o d y . ( 2 . 9 )

I f y o u w a n t t o f i n d a s e n t e n c e w h i c h i s s e m a n t i c a l l y p a r a l l e l t o ( 2 . 8 ) , i ti s n o t t h e s y n t a c t i c a n a l o g u e ( 2 . 9 ) t o ( 2 . 8 ) b u t r a t h e r

E v e r y b o d y a d m i r e s h i m s e l f . ( 2 . 1 0 )




I n g a m e - t h e o r e t i c a l S e m a n t i c s , b o u n d v a r i a b l e s a r e p l a c e h o l d e r sf o r t h e n a m e s o f t h e i n d i v i d u a l s w h i c h t h e p l a y e r s c h o o s e d u r i n ga p l a y o f a s e m a n t i c a l g a m e . T h e y a r e t h u s r e l a t i v e t o s u c h a p l a y . T h e y

c a n b e s a i d t o s t a n d f o r p a r t i c u l a r i n d i v i d u a l s w i t h i n t h e c o n t e x t o fo n e p a r t i c u l a r p l a y , b u t n o t a b s o l u t e l y . T h i s h e l p s t o e x p l a i n b o t h t h es i m i l a r i t i e s a n d t h e d i s s i m i l a r i t i e s b e t w e e n q u a n t i f i c a t i o n a l v a r i a b l e sa n d o r d i n a r y s i n g u l a r t e r m s . F u r t h e r d e t a i l s a r e f o u n d i n H i n t i k k aa n d K u l a s ( 1 9 8 5 ) .

F o r i n s t a n c e , e a c h o c c u r r e n c e o f a q u a n t i f i e r p h r a s e h a s t o b er e p l a c e d b y t h e n a m e o f a n i n d i v i d u a l i n d e p e n d e n t l y o f o t h e r s , e v e n i f

t h e t w o p h r a s e s a r e f o r m a l l y i d e n t i c a l . T h i s e x p l a i n s t h e s e m a n t i c a ld i f f e r e n c e b e t w e e n s u c h s e n t e n c e s a s ( 2 . 8 ) a n d ( 2 . 9 ) .

I n g e n e r a l , t h e g a m e - t h e o r e t i c a l a p p r o a c h f a c i l i t a t e s a t h e o r e t i c a l l ys a t i s f y i n g a c c o u n t o f t h e b e h a v i o r o f t h e v a r i a b l e s o f q u a n t i f i c a t i o ni n f o r m a l l a n g u a g e s a n d o f q u a n t i f i e r p h r a s e s i n n a t u r a l l a n g u a g e s ,i n c l u d i n g s e v e r a l a s p e c t s o f a n a p h o r a i n n a t u r a l l a n g u a g e s ( s e e h e r e ,e . g . , H i n t i k k a 1 9 7 6 a a n d H i n t i k k a a n d K u l a s 1 9 8 5 ) . T h i s c l a r i f i c a -t i o n o f t h e b a s i c n o t a t i o n s o f t h e l o g i c o f q u a n t i f i c a t i o n b y m e a n s o f

G T S i s a n a t u r a l c o n t i n u a t i o n o f t h e a n a l y s i s o f b a s i c m a t h e m a t i c a lc o n c e p t s b y m e a n s o f q u a n t i f i e r s c a r r i e d o u t b y t h e l i k e s o f W e i e r -s t r a s s . I n t h i s r e s p e c t , t h e q u o t e f r o m I a n S t e w a r t e a r l i e r i n t h i sc h a p t e r i s a m o s t i n s t r u c t i v e o n e .

T h e p o s s i b i l i t y o f a g a m e - t h e o r e t i c a l c o n c e p t o f t r u t h w h i c h a c -c o r d s w i t h o u r n a t u r a l c o n c e p t o f t r u t h , t o g e t h e r w i t h t h e d i s t i n c t i o nb e t w e e n s e m a n t i c a l ( t r u t h - c o n d i t i o n i n g ) a n d i n t e r r o g a t i v e ( t r u t h -s e e k i n g ) g a m e s a l s o h a s p r o f o u n d p h i l o s o p h i c a l r e p e r c u s s i o n s . F o ro n e t h i n g , i t s h o w s w h a t i s t r u e a n d w h a t i s f a l s e i n p r a g m a t i s tc o n c e p t i o n s o f t r u t h . W h a t i s t r u e i s t h a t t o s p e a k o f t r u t h i s n o t t os p e a k o f a n y i n d e p e n d e n t l y e x i s t i n g c o r r e s p o n d e n c e r e l a t i o n s b e -t w e e n l a n g u a g e a n d t h e w o r l d . T h e r e a r e n o s u c h r e l a t i o n s . O r , a sW i t t g e n s t e i n o n c e p u t i t , t h e c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n l a n g u a g e a n dt h e w o r l d i s e s t a b l i s h e d o n l y b y t h e u s e o f o u r l a n g u a g e — t h a t i s , b y

s e m a n t i c a l g a m e s . T r u t h i s l i t e r a l l y c o n s t i t u t e d b y c e r t a i n h u m a n

r u l e - g o v e r n e d a c t i v i t i e s .W h a t i s f a l s e i n p r a g m a t i s t i d e a s a b o u t t r u t h i s t h e c l a i m t h a t t h e

r e l e v a n t a c t i v i t i e s a r e t h e a c t i v i t i e s b y m e a n s o f w h i c h w e t y p i c a l l yf i n d o u t w h a t i s t r u e — t h a t i s t o s a y , v e r i f y , f a l s i f y , c o n f i r m , d i s c o n -f i r m a n d s o f o r t h , o u r p r o p o s i t i o n s . T h i s c l a i m i s b a s e d o n o v e r l o o k -i n g t h e a l l - i m p o r t a n t d i s t i n c t i o n b e t w e e n t r u t h - e s t a b l i s h i n g g a m e s

( t h a t i s , s e m a n t i c a l g a m e s ) a n d t r u t h - s e e k i n g g a m e s ( t h a t i s , i n t e r r o -




g a t i v e o r p e r h a p s o t h e r e p i s t e m i c g a m e s ) . F o r a l l t h e i r f o r m a ls i m i l a r i t i e s a n d p a r t i a l m u t u a l d e t e r m i n a t i o n s , t h e s e t w o k i n d s o fl a n g u a g e g a m e s a r e f u n d a m e n t a l l y d i f f e r e n t f r o m e a c h o t h e r p h i l o -s o p h i c a l l y a n d s h o u l d b e k e p t s t r i c t l y a p a r t . A n d w h e n t h e y a r ed i s t i n g u i s h e d f r o m e a c h o t h e r a n d t h e i r t r u e n a t u r e r e c o g n i z e d , t h e nt h e p r a g m a t i s t c l a i m i s s e e n t o b e f a l s e . O u r a c t u a l t r u t h - s e e k i n g p r a c -t i c e s , w h e t h e r o r n o t t h e y a r e r e l a t i v e t o a h i s t o r i c a l e r a , e p i s t e m i c o rs c i e n t i f i c c o m m u n i t y , s o c i a l c l a s s o r g e n d e r , a r e n o t c o n s t i t u t i v e o fo u r n o r m a l c o n c e p t o f t r u t h t h a t i s , o f t h e c o n c e p t o f t r u t h .



3

F r e g e ' s F a l l a c y F o i l e d :I n d e p e n d e n c e - F r i e n d l y L o g i c

S e v e r a l o f t h e p r o b l e m s u n c o v e r e d i n t h e f i r s t t w o c h a p t e r s a b o v ec a n b e t r a c e d t o a c o m m o n s o u r c e . T h i s s o u r c e i s a s o m e w h a ts u r p r i s i n g o n e . I f t h e r e i s a n a l m o s t u n i v e r s a l l y a c c e p t e d d o g m a i nc o n t e m p o r a r y l o g i c a l t h e o r y a n d a n a l y t i c p h i l o s o p h y , i t i s t h e s t a t u s

o f t h e u s u a l f i r s t - o r d e r l o g i c a s t h e u n p r o b l e m a t i c c o r e a r e a o f l o g i c .

" I f I d o n ' t u n d e r s t a n d i t , I d o n o t u n d e r s t a n d a n y t h i n g , " f e l l o wp h i l o s o p h e r o n c e s a i d t o m e i n d i s c u s s i n g f i r s t - o r d e r l o g i c . A n d w h e no n a n o t h e r o c c a s i o n I e x p r e s s e d r e s e r v a t i o n s c o n c e r n i n g t h e c l a i m so f t h e r e c e i v e d f i r s t - o r d e r l o g i c t o b e t h e t r u e S p r a c h i o g i k , t h e l o g i c o fo u r n a t u r a l l a n g u a g e , a w e l l - k n o w n p h i l o s o p h e r ' s r e s p o n s e w a s :" N o t h i n g i s s a c r e d i n p h i l o s o p h y a n y l o n g e r . " H e m i g h t h a v e a d d e d ," O r i n l i n g u i s t i c s , e i t h e r , " w i t h a s i d e g l a n c e a t t h e r o l e o f t h e u s u a lq u a n t i f i c a t i o n a l ( f i r s t - o r d e r ) n o t a t i o n a s t h e p r e f e r r e d m e d i u m o f

r e p r e s e n t i n g l o g i c a l f o r m ( L F ) i n C h o m s k y ' s l i n g u i s t i c t h e o r i z i n g .Y e t t h e r e c e i v e d f i r s t - o r d e r l o g i c , a s f o r m u l a t e d b y t h e l i k e s o f

F r e g e , R u s s e l l a n d W h i t e h e a d , o r H i l b e r t a n d A c k e r m a n n , i n v o l v e sa n i m p o r t a n t r e s t r i c t i v e a s s u m p t i o n w h i c h i s l a r g e l y u n m o t i v a t e d —o r p e r h a p s r a t h e r m o t i v a t e d b y w r o n g r e a s o n s . T h i s a s s u m p t i o n i st h e h i d d e n s o u r c e o f t h e p r o b l e m s r e g i s t e r e d a b o v e . F o r s i m p l i c i t y ,I w i l l r e f e r t o i t a s F r e g e ' s f a l l a c y o r m i s t a k e . T h o u g h I w i l l n o t

d i s c u s s t h e h i s t o r i c a l a p p r o p r i a t e n e s s o r i n a p p r o p r i a t e n e s s o f t h a tl a b e l h e r e , i t i s o f s o m e i n t e r e s t t o n o t e t h a t P e i r c e w o u l d h a v e f o u n di t m u c h e a s i e r t o a v o i d t h i s m i s t a k e — i f h e c o m m i t t e d i t i n t h e f i r s tp l a c e .

I n o r d e r t o d i a g n o s e F r e g e ' s m i s t a k e , w e h a v e t o g o b a c k t o t h eb a s i c i d e a s o f f i r s t - o r d e r l o g i c . T h i s p a r t o f l o g i c i s a l s o k n o w n a s

4 6



I N D E P E N D E N C E - F R I E N D L Y L O G I C 4 7

q u a n t i f i c a t i o n t h e o r y . I t i s i n f a c t c l e a r t h a t t h e n o t i o n s o f e x i s t e n t i a la n d u n i v e r s a l q u a n t i f i c a t i o n p l a y a c r u c i a l r o l e i n s e r v i n g b o t h t h e

d e d u c t i v e a n d t h e d e s c r i p t i v e f u n c t i o n o f l o g i c , s o m u c h s o t h a t t h eb i r t h o f c o n t e m p o r a r y l o g i c i s u s u a l l y i d e n t i f i e d w i t h t h e r o u g h l y

s i m u l t a n e o u s d i s c o v e r y o f t h e n o t i o n o f q u a n t i f i e r b y F r e g e a n dP e i r c e .

B u t t o s a y t h a t f i r s t - o r d e r l o g i c i s t h e l o g i c o f q u a n t i f i e r s i s t o u t t e ra h a l f - t r u t h . I f y o u c o n s i d e r t h e t w o q u a n t i f i e r s i n i s o l a t i o n f r o me a c h o t h e r y o u a r e n o t g o i n g t o o b t a i n a n i n t e r e s t i n g l o g i c t h a t i s

t o s a y , a l o g i c w h i c h c o u l d s e r v e t h e p u r p o s e s o f a n o n t r i v i a l

l a n g u a g e . A l l w e w o u l d g e t i s s o m e m i l d g e n e r a l i z a t i o n o f s y l l o g i s t i cl o g i c , f o r i n s t a n c e , m o n a d i c p r e d i c a t e l o g i c .N o , t h e r e a l s o u r c e o f t h e e x p r e s s i v e p o w e r o f f i r s t - o r d e r l o g i c l i e s

n o t i n t h e n o t i o n o f q u a n t i f i e r p e r s e , b u t i n t h e i d e a o f a d e p e n d e n tq u a n t 4 i e r . I f y o u w a n t t o g i v e a s i m p l e b u t r e p r e s e n t a t i v e e x a m p l e o fa q u a n t i f i c a t i o n a l s e n t e n c e , i t w i l l n o t b e a s y l l o g i s t i c p r e m i s e w i t h

j u s t o n e u n i v e r s a l o r e x i s t e n t i a l q u a n t i f i e r , b u t a s e n t e n c e w h e r e a ne x i s t e n t i a l q u a n t i f i e r d e p e n d s o n a u n i v e r s a l o n e , s u c h a s

y ] ( 3 . 1 )

W i t h o u t s u c h d e p e n d e n t q u a n t i f i e r s , f i r s t - o r d e r l a n g u a g e s w o u l d b ep i t i f u l l y w e a k i n e x p r e s s i v e p o w e r . F o r i n s t a n c e , w i t h o u t t h e m w ec a n n o t e x p r e s s a n y f u n c t i o n a l d e p e n d e n c i e s i n a p u r e l y q u a n t i f i c a -t i o n a l l a n g u a g e . T h e f a c t t h a t e x i s t e n t i a l q u a n t i f i c a t i o n c a n b eh i d d e n u n d e r a f u n c t i o n a l n o t a t i o n d o e s n o t c h a n g e t h e s i t u a t i o n .S u c h h i d d e n q u a n t i f i e r s a r e f o r c e d o u t o f t h e c l o s e t w h e n f u n c t i o ns y m b o l s a r e e l i m i n a t e d i n f a v o r o f p r e d i c a t e s y m b o l s .

H e n c e i t i s n o e x a g g e r a t i o n t o s a y t h a t t o u n d e r s t a n d f i r s t - o r d e rl o g i c i s t o u n d e r s t a n d t h e n o t i o n o f a d e p e n d e n t q u a n t i f i e r . I f m yl e a r n e d f r i e n d j u s t q u o t e d i s r i g h t , i f y o u d o n o t u n d e r s t a n d t h en o t i o n o f a d e p e n d e n t q u a n t i f i e r y o u d o n o t u n d e r s t a n d a n y t h i n g .

O n e i m p o r t a n t s e r v i c e w h i c h g a m e - t h e o r e t i c a l s e m a n t i c s p e r -f o r m s i s t o e x p l a i n t h e n a t u r e o f t h e d e p e n d e n c e i n q u e s t i o n . I n

g a m e - t h e o r e t i c a l t e r m s , t h i s d e p e n d e n c e i s i n f o r m a t i o n a l d e p e n d e n c e .I t m e a n s t h a t w h e n a p l a y e r o f a s e m a n t i c a l g a m e m a k e s a m o v ep r o m p t e d b y a d e p e n d e n t q u a n t i f i e r , t h e n h e o r s h e k n o w s w h a t t h e

e a r l i e r m o v e i s l i k e t h a t w a s p r o m p t e d b y t h e q u a n t i f i e r i t d e p e n d so n . I n t h e t e c h n i c a l j a r g o n o f g a m e t h e o r y , t h e e a r l i e r m o v e i s i n t h e

i n f o r m a t i o n s e t o f t h e o t h e r ( l a t e r ) m o v e . F o r i n s t a n c e , i n p l a y i n ga g a m e w i t h ( 3 . 1 ) , w h e n t h e v e r i f i e r c h o o s e s a v a l u e f o r y , h e o r s h e




k n o w s w h i c h i n d i v i d u a l w a s c h o s e n b y t h e f a l s i f i e r a s a v a l u e o f x a n dc a n u s e t h i s i n f o r m a t i o n i n m a k i n g h i s o r h e r c h o i c e o f t h e v a l u e o f y .

T h i s g a m e - t h e o r e t i c a l e x p l a n a t i o n o f t h e n a t u r e o f d e p e n d e n tq u a n t i f i e r s i s n o m e a n f e a t . A t l e a s t i t i s s u p e r i o r t o s u c h m e a n e re x p l a n a t i o n s o f t h e n a t u r e o f q u a n t i f i e r s a s F r e g e ' s s u g g e s t i o n t oc o n s t r u e f i r s t - o r d e r q u a n t i f i e r s a s s e c o n d - o r d e r p r e d i c a t e s ( p r e d i -c a t e s o f o n e - p l a c e p r e d i c a t e s ) , w h i c h s e r v e t o t e l l w h e t h e r t h e g i v e np r e d i c a t e i s e m p t y o r n o n e m p t y , e x c e p t i o n l e s s o r e x c e p t i o n -a d m i t t i n g . S u c h e x p l a n a t i o n s o v e r l o o k t h e f a c t t h a t q u a n t i f i e r s c a ns y n t a c t i c a l l y s p e a k i n g b e a p p l i e d t o c o m p l e x o r s i m p l e p r e d i c a t e s

w i t h m o r e t h a n o n e a r g u m e n t - p l a c e . T h i s o v e r s i g h t i n e f f e c t m e a n sd i s r e g a r d i n g t h e p o s s i b i l i t y o f d e p e n d e n t q u a n t i f i e r s , a n d h e n c ed i s r e g a r d i n g t h e t r u e s o u r c e o f t h e e x p r e s s i v e s t r e n g t h o f f i r s t - o r d e rl a n g u a g e s . I t i s n o t o n l y t h e c a s e t h a t t h e r e a r e c e r t a i n a r c a n ep h e n o m e n a i n t h e s e m a n t i c s o f n a t u r a l l a n g u a g e q u a n t i f i e r s t h a t a r en o t d o n e f u l l j u s t i c e t o b y c o n s i d e r i n g q u a n t i f i e r s a s h i g h e r - o r d e rp r e d i c a t e s . B y s o d o i n g o n e j u s t c a n n o t b r i n g o u t f u l l y t h e m o s ti m p o r t a n t f e a t u r e s o f t h e b e h a v i o r o f q u a n t i f i e r s , a s I w i l l a r g u e l a t e r

i n t h i s p a p e r .I n t h e n o t a t i o n o f t h e u s u a l f i r s t - o r d e r l o g i c , q u a n t i f i e r d e p e n d -

e n c e i s i n d i c a t e d b y p a r e n t h e s e s . E a c h q u a n t i f i e r i s a s s i g n e d a p a i r o fp a r e n t h e s e s i n d i c a t i n g i t s s c o p e . A q u a n t i f i e r o c c u r r i n g w i t h i n t h es c o p e o f a n o t h e r i s d e p e n d e n t o n i t . T h i s i s n o t t h e o n l y w a y o fi n d i c a t i n g d e p e n d e n c e , h o w e v e r . F o r i n s t a n c e , i n t h e g a m e t h e o r e t i c a ls e c o n d - o r d e r t r a n s l a t i o n s o f f i r s t - o r d e r s e n t e n c e s t h e d e p e n d e n c e o f

a n e x i s t e n t i a l q u a n t i f i e r o n u n i v e r s a l o n e s i s s h o w n b y t h e s e l e c t i o no f a r g u m e n t s o f t h e S k o l e m f u n c t i o n t h a t r e p l a c e s i t . F o r i n s t a n c e i n

y , z , u ] ( 3 . 2 )

t h e d e p e n d e n c i e s a r e i n d i c a t e d b y t h e t a c i t p a r e n t h e s e s d e l i n e a t i n gt h e s c o p e s o f t h e d i f f e r e n t q u a n t i f i e r s . I n t h e s e c o n d - o r d e r t r a n s l a -t i o n o f ( 3 . 2 ) , t o w i t ,

( 3 f ) ( J g ) ( V x ) ( V z ) S { x , f ( x ) , z , g ( x , z ) ] ( 3 . 3 )

t h e d e p e n d e n c i e s a r e i n d i c a t e d b y a r g u m e n t s e l e c t i o n r a t h e r t h a np a r e n t h e s e s . I n g e n e r a l , t h e v a r i a b l e x b o u n d t o a g i v e n e x i s t e n t i a lq u a n t i f i e r ( 3 x ) i s r e p l a c e d i n t h e s e c o n d - o r d e r t r a n s l a t i o n b y a f u n c -t i o n a l t e r m f ( z 1 , z 2 , . . . ) , p r e c i s e l y w h e n t h e u n i v e r s a l q u a n t i f i e r sw i t h i n w h o s e s c o p e ( a x ) o c c u r s a r e ( V z 1 ) , ( V z 2 ) , . . . ( I a m o n c e a g a i n




a s s u m i n g t h a t t h e s e n t e n c e i n q u e s t i o n i s i n t h e n e g a t i o n n o r m a lf o r m . )

I n c o n t r a s t ,

y , z , u ] ( 3 . 4 )

i s e q u i v a l e n t t o

f ( x , z ) , z , g ( x , z ) ] ( 3 . 5 )

w h e r e t h e n e w a r g u m e n t z i n f ( x , z ) s h o w s t h a t ( 3 y ) d e p e n d s i n ( 3 . 4 )a l s o o n ( V z ) a n d n o t o n l y o n ( V x ) , a s i n ( 3 . 2 ) .

B u t t h e t w o m e t h o d s o f i n d i c a t i n g d e p e n d e n c e a n d i n d e p e n d e n c ea r e n o t e q u i v a l e n t . T h e F r e g e — R u s s e l l u s e o f p a r e n t h e s e s i s m o r er e s t r i c t i v e t h a n t h e u s e o f S k o l e m f u n c t i o n s . F o r i n s t a n c e , c o n s i d e rt h e f o l l o w i n g s e c o n d - o r d e r s e n t e n c e w h i c h i s o n a p a r w i t h ( 3 . 3 ) a n d( 3 . 5 ) :

( 3 f ) ( 3 g ) ( V x ) ( V z ) S [ x , f i x ) , z , g ( z ) ] ( 3 . 6 )

F r o m t h e g a m e - t h e o r e t i c a l v i e w p o i n t , ( 3 . 6 ) i s i n p e r f e c t o r d e r . I t

e x p r e s s e s t h e e x i s t e n c e o f a w i n n i n g s t r a t e g y i n a s e m a n t i c a l g a m et h a t i s e a s i l y d e f i n e d a n d i m p l e m e n t e d . T h e m o v e - b y - m o v e r u l e s o ft h i s g a m e a r e t h e s a m e a s i n t h e G T S o f o r d i n a r y f i r s t - o r d e r l o g i c . I nt h i s g a m e , t h e i n i t i a l f a l s i f i e r c h o o s e s t w o i n d i v i d u a l s b , d t o s e r v e a st h e r e s p e c t i v e v a l u e s o f x a n d z . T h e n t h e i n i t i a l v e r i f i e r c h o o s e sa v a l u e o f y , s a y c , k n o w i n g o n l y t h e v a l u e o f x ; a n d c h o o s e s a v a l u e o f

u , s a y e , k n o w i n g o n l y t h e v a l u e o f z , i n b o t h c a s e s w i t h a n e y e t ow i n n i n g t h e g a m e w i t h S [ b , c , d , e ] . A d m i t t e d l y , i n o r d e r t o i m p l e -m e n t s u c h a g a m e i n a f o r m w h i c h i n v o l v e s h u m a n p l a y e r s , w e m u s tt h i n k o f t h e i n i t i a l v e r i f i e r a s a t e a m o f a t l e a s t t w o h u m a n b e i n g s .T h i s i s n o h i n d r a n c e t o a g a m e - t h e o r e t i c a l l o g i c i a n , h o w e v e r . A l lt h a t i t m e a n s i s t h a t m y s e m a n t i c a l g a m e s c a n o c c a s i o n a l l y l o o k

m o r e l i k e b r i d g e , w h e r e e a c h " p l a y e r " i n t h e t e c h n i c a l j a r g o n o f g a m et h e o r y i s a p a i r o f h u m a n b e i n g s p o s s e s s i n g s o m e w h a t d i f f e r e n t

i n f o r m a t i o n , t h a n c h e s s , w h e r e t h e g a m e - t h e o r e t i c a l u s a g e o f

" p l a y e r " c o i n c i d e s w i t h t h e c o l l o q u i a l o n e . ( M o r e g e n e r a l l y s p e a k -i n g , a g a m e t h e o r i s t ' s " p l a y e r s " c a n h u m a n l y s p e a k i n g b e t e a m s o fs e v e r a l m e n o r w o m e n . )

B u t a l t h o u g h t h e r e i s a w e l l - d e f i n e d s e m a n t i c a l g a m e t h a t c o r r e -s p o n d s t o ( 3 . 6 ) a n d l e n d s i t a w e l l - d e f i n e d t r u t h - c o n d i t i o n , t h e r e i s n of o r m u l a o f t h e t r a d i t i o n a l f i r s t - o r d e r l o g i c w h i c h i s e q u i v a l e n t t o( 3 . 6 ) . T h i s c a n b e s e e n b y t r y i n g t o o r d e r l i n e a r l y t h e q u a n t i f i e r s ( V x ) ,




( V z ) , ( 3 y ) , ( e u ) . I f w e i n d i c a t e t h e o r d e r b y > w e c a n a r g u e a s f o l l o w s :S i n c e y = f ( x ) d e p e n d s o n x b u t n o t o n z , w e m u s t h a v e

( ' l x ) > ( V y ) > ( V z ) ( 3 . 7 )

S i n c e u = g ( z ) d e p e n d s o n z b u t n o t o n x , w e m u s t h a v e

( V z ) > ( 3 u ) > ( V x ) ( 3 . 8 )

B u t ( 3 . 7 ) a n d ( 3 . 8 ) a r e i n c o m p a t i b l e , t h u s p r o v i n g m y p o i n t .I f w e d e v i s e a n o t a t i o n w h i c h a l l o w s p a r t i a l r a t h e r t h a n l i n e a r

o r d e r i n g , t h e n w e c a n e a s i l y f o r m u l a t e e q u i v a l e n t s t o ( 3 . 6 ) . T h e

f o l l o w i n g t w o - d i m e n s i o n a l f o r m u l a f i t s t h e b i l l :

u ] ( 3 . 9 )

I t w i l l b e s h o w n f u r t h e r o n , h o w e v e r , t h a t p a r t i a l l y o r d e r e d q u a n t i -f i e r s t r u c t u r e s a r e n o t t h e m o s t n a t u r a l w a y o f c a p t u r i n g t h e

p h e n o m e n o n o f i n f o r m a t i o n a l i n d e p e n d e n c e .T h u s , w e h a v e a r r i v e d a t a d i a g n o s i s o f F r e g e ' s m i s t a k e . T h i s

d i a g n o s i s i s v i r t u a l l y f o r c e d o n u s b y t h e g a m e - t h e o r e t i c a l v i e w p o i n t .T h e f i r s t q u e s t i o n a n y g a m e t h e o r i s t w o r t h h i s o r h e r u t i l i t y m a t r i xw i l l a s k a b o u t s e m a n t i c a l g a m e s i s : A r e t h e y g a m e s w i t h p e r f e c ti n f o r m a t i o n o r n o t ? L o o k e d u p o n f r o m o u r a n a c h r o n i s t i c g a m e -

t h e o r e t i c a l p e r s p e c t i v e , F r e g e i n e f f e c t a n s w e r e d : L o g i c i s a g a m ew i t h p e r f e c t i n f o r m a t i o n . I n s p i t e o f i t s p r i m a f a c i e p l a u s i b i l i t y , t h i sa n s w e r i s n e v e r t h e l e s s s u b s p e c i e l o g i c a e n o t o n l y a r b i t r a r y a n d

r e s t r i c t i v e b u t w r o n g , i n t h a t i n c u t s o f f f r o m t h e p u r v i e w o f l o g i c a lm e t h o d s a l a r g e c l a s s o f a c t u a l u s e s o f o u r l o g i c a l c o n c e p t s . T h e f a c tt h a t t h o s e u s e s a r e d e s c r i p t i v e r a t h e r t h a n d e d u c t i v e o u g h t n o t t oh a v e d e t e r r e d F r e g e , e i t h e r . T h e c r u c i a l f a c t h e r e i s t h a t t h e i d e a sF r e g e w a s o v e r l o o k i n g a r e i m p l i c i t l y a n i n t e g r a l p a r t a n d p a r c e l o fa l o g i c w h i c h e v e r y b o d y h a s p r a c t i s e d a n d w h i c h a l m o s t e v e r y b o d yt h i n k s o f a s t h e u n p r o b l e m a t i c c o r e a r e a o f l o g i c , n a m e l y , t h e l o g i c o fq u a n t i f i e r s .

H e n c e w h a t i s t o b e d o n e h e r e i s c l e a r . W e h a v e t o e x t e n d o u rf a m i l i a r t r a d i t i o n a l f i r s t - o r d e r l o g i c i n t o a s t r o n g e r l o g i c w h i c ha l l o w s f o r i n f o r m a t i o n i n d e p e n d e n c e w h e r e t h e r e c e i v e d F r e g e —R u s s e l l n o t a t i o n f o r b i d s i t . T h e r e s u l t i s a l o g i c w h i c h w i l l b e c a l l e di n d e p e n d e n c e - f r i e n d l y ( I F ) f i r s t - o r d e r l o g i c . I t i s f u l l y a s b a s i c a so r d i n a r y f i r s t - o r d e r l o g i c . I t i s o u r t r u e e l e m e n t a r y l o g i c . E v e r y t h i n gy o u n e e d t o u n d e r s t a n d i t , y o u a l r e a d y n e e d t o u n d e r s t a n d t r a d i -




t i o n a l F r e g e — R u s s e l l f i r s t - o r d e r l o g i c . T o q u o t e m y o w n e a r l i e re x p o s i t i o n , I F f i r s t - o r d e r l o g i c i s a t r u e M a f i a l o g i c : I t i s a l o g i c y o u

c a n n o t r e f u s e t o u n d e r s t a n d .I F f i r s t - o r d e r l o g i c c a n b e i m p l e m e n t e d i n s e v e r a l d i f f e r e n t w a y s ,

s o m e o f w h i c h w i l l b e d i s c u s s e d f u r t h e r o n . T h e f o r m u l a t i o n u s e dh e r e i n v o l v e s o n e n e w i t e m o f n o t a t i o n , f o r w h i c h I w i l l u s e t h e s l a s h

' 7 " . I t w i l l b e u s e d t o e x e m p t a q u a n t i f i e r o r a c o n n e c t i v e ( o r , f o r t h a tm a t t e r , a n y l o g i c a l l y a c t i v e i n g r e d i e n t o f a s e n t e n c e ) f r o m t h e s c o p e

o f a n o t h e r o n e . T h u s , f o r i n s t a n c e

( V x ) ( R y / V x ) S [ x , y ] ( 3 . 1 0 )

i s l i k e ( 3 . 1 ) e x c e p t t h a t t h e c h o i c e b y t h e v e r i f i e r o f a v a l u e o f y m u s tb e m a d e i n i g n o r a n c e o f t h e v a l u e o f x . I n t h i s c a s e , t h e f o r m e r c h o i c e

m i g h t a s w e l l b e m a d e b e f o r e t h e l a t t e r . I n o t h e r w o r d s , ( 3 . 1 0 ) i sl o g i c a l l y e q u i v a l e n t t o

y ] ( 3 . 1 1 )

I n t h i s p a r t i c u l a r c a s e , t h e s l a s h n o t a t i o n d o e s n o t y i e l d a n y t h i n g t h a t

w e c o u l d n o t e x p r e s s w i t h o u t i t . B u t i n o t h e r c a s e s , t h e i n d e p e n d e n c e -f r i e n d l y n o t a t i o n e n a b l e s u s t o e x p r e s s w h a t c a n n o t b e e x p r e s s e d i nt h e o l d n o t a t i o n . F o r i n s t a n c e , ( 3 . 6 ) c a n n o w b e e x p r e s s e d o n t h ef i r s t - o r d e r l e v e l a s

( V x ) ( V z ) ( B y / V z ) ( 3 u / V x ) S [ x , y , z , u ] ( 3 . 1 2 )

I t i s s e e n h e r e h o w t h e s l a s h n o t a t i o n s e r v e s t o o m i t p o t e n t i a la r g u m e n t s o f t h e S k o l e m ( s t r a t e g y ) f u n c t i o n s a s s o c i a t e d w i t h a f i r s t -o r d e r s e n t e n c e .

T h e q u a n t i f i e r s t r u c t u r e e x e m p l i f i e d b y ( 3 . 1 2 ) ( o r , e q u i v a l e n t l y , b y( 3 . 9 ) ) i s k n o w n a s t h e H e n k i n q u a n t i f i e r .

T h e s l a s h n o t a t i o n , u n l i k e t h e b r a n c h i n g n o t a t i o n , c a n ( a n d m u s t )a l s o b e a p p l i e d n a t u r a l l y t o p r o p o s i t i o n a l c o n n e c t i v e s . F o r i n s t a n c e ,i n

( V x ) ( S 1 [ x ] ( v / V x ) S 2 [ x ] ) ( 3 . 1 3 )

t h e c h o i c e b e t w e e n S 1 [ x ] a n d S 2 [ x ] m u s t b e m a d e i n d e p e n d e n t l y o ft h e v a l u e o f x . H e n c e ( 3 . 1 3 ) i s e q u i v a l e n t t o

( V x ) S 1 [ x ] v ( V x ) S 2 [ x ] ( 3 . 1 4 )

B u t i n o t h e r c a s e s t h e s l a s h n o t a t i o n i s u n e l i m i n a b l e ( o n t h e f i r s t -o r d e r l e v e l ) e v e n w h e n a p p l i e d t o p r o p o s i t i o n a l c o n n e c t i v e s . A n




e x a m p l e i s

( S 1 [ x , y , z ] ( v / V x ) S 2 [ x , y , z ] ) ( 3 . 1 5 )

I n a s e c o n d - o r d e r t r a n s l a t i o n , ( 3 . 1 5 ) b e c o m e s

[ x , f ( x ) , z ] & ( g ( z ) = 0 ) )

v ( S 2 [ x , f ( x ) , z ] & ( g ( z ) 0 ) ) ) ( 3 . 1 6 )

w h i c h s h o w s t h e p a r a l l e l i s m b e t w e e n ( 3 . 1 5 ) a n d ( 3 . 1 2 ) .I t t u r n s o u t t h a t f o r t h e p u r p o s e s o f I F f i r s t - o r d e r w e d o n o t e v e n

h a v e t o d e a l w i t h a l l t h e d i f f e r e n t p o s s i b l e t y p e s o f i n d e p e n d e n c e . I t

a l s o s u f f i c e s t o e x p l a i n t h e s l a s h n o t a t i o n f o r f o r m u l a s i n n e g a t i o nn o r m a l f o r m t h a t i s , i n a f o r m i n w h i c h a l l n e g a t i o n - s i g n s a r ep r e f i x e d t o a t o m i c f o r m u l a s o r i d e n t i t i e s . R u l e s f o r t r a n s f o r m i n gf o r m u l a s i n t o n e g a t i o n n o r m a l f o r m a n d o u t o f i t a r e t h e s a m ei n I F f i r s t - o r d e r l o g i c a s i n i t s t r a d i t i o n a l v a r i a n t .

T h u s w e c a n e x p l a i n t h e f o r m a l i s m o f I F f i r s t - o r d e r l o g i c a sf o l l o w s :

L e t S 0 b e a f o r m u l a o f o r d i n a r y f i r s t - o r d e r l o g i c i n n e g a t i o n

n o r m a l f o r m . A f o r m u l a o f I F f i r s t - o r d e r l o g i c i s o b t a i n e d b y a n yf i n i t e n u m b e r o f t h e f o l l o w i n g s t e p s :

( a ) I f ( 3 y ) 5 1 [ y ] o c c u r s i n S 0 w i t h i n t h e s c o p e o f a n u m b e r o f u n i v e r s a l

q u a n t i f i e r s w h i c h i n c l u d e ( Y x 1 ) , ( V x 2 ) . . . , t h e n i t m a y b e r e p l a c e d

b y

( 3 y / V x 1 , V x 2 , . . ( 3 . 1 7 )

( b ) I f ( S 1 v 5 2 ) o c c u r s i n S o w i t h i n t h e s c o p e o f a n u m b e r o f u n i v e r s a lq u a n t i f i e r s w h i c h i n c l u d e ( V x 1 ) , ( V x 2 ) . . . , t h e n i t m a y b e r e p l a c e d

b y

( S 1 ( v / V x 1 , V x 2 , . . . ) S 2 ) ( 3 . 1 8 )

L a n g u a g e s u s i n g I F f i r s t - o r d e r l o g i c a r e c a l l e d I F f i r s t - o r d e r l a n -g u a g e s .

I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e s w i l l b e m y m a i n c o n c e p t u a l t o o l i n t h e r e s to f t h i s w o r k . T h e y d e s e r v e ( a n d n e e d ) a n u m b e r o f f u r t h e r e x p l a n a -t i o n s . E a r l i e r d i s c u s s i o n s o f i n d e p e n d e n c e - f r i e n d l y f i r s t - o r d e r l o g i ca r e f o u n d i n S a n d u ( 1 9 9 3 ) a n d H i n t i k k a ( 1 9 9 5 b ) .

( i ) A f e w r e m a r k s a r e i n o r d e r c o n c e r n i n g t h e f o r m a t i o n r u l e s f o rI F f i r s t - o r d e r l o g i c . T h e y w i l l t u r n o u t t o b e m o r e i n t e r e s t i n g t h a nw h a t m i g h t f i r s t a p p e a r .




I n t h e f o r m e n v i s a g e d i n ( a ) a n d ( b ) , t h o s e f o r m a t i o n r u l e s f o r I Ff i r s t - o r d e r l a n g u a g e s t h a t i n t r o d u c e s l a s h e s a r e o f a n u n u s u a l f o r m .T h e y t a k e a n a l r e a d y f o r m e d s e n t e n c e ( c l o s e d f o r m u l a ) a n d , i n s t e a do f u s i n g i t a s a b u i l d i n g - b l o c k f o r m o r e c o m p l e x e x p r e s s i o n s , m o d i f yc e r t a i n s u b f o r m u l a s o f t h e e x p r e s s i o n i n q u e s t i o n . M o r e o v e r , t h e s ec h a n g e s i n s i d e t h e g i v e n e x p r e s s i o n a r e c o n t e x t - s e n s i t i v e . W h a tc h a n g e s a r e a d m i s s i b l e d e p e n d s o n t h e c o n t e x t o f t h e s u b f o r m u l a i nq u e s t i o n . F o r i n s t a n c e , w h e t h e r ( d y ) c a n b e r e p l a c e d ( s a l v a w e l l -f o r m e d n e s s ) b y d e p e n d s o n w h e t h e r ( V x ) o c c u r s s o m e w h e r ei n t h e l a r g e r f o r m u l a w i t h ( 3 y ) w i t h i n i t s s c o p e .

I c o u l d e l i m i n a t e t h i s d e f e c t ( i f i t i s a d e f e c t ) o f t h e f o r m a t i o n r u l e sf o r I F l o g i c b y u s i n g a s l i g h t l y d i f f e r e n t n o t a t i o n . I n i t , t h e i n d e p e n -d e n c e o f ( J y ) f r o m ( Y x ) ( w h e r e t h e f o r m e r o c c u r s i n t h e s c o p e o f t h el a t t e r ) i s n o t e x p r e s s e d b y r e p l a c i n g ( d y ) b y b u t b y r e p l a c i n g( V x ) b y I t i s o b v i o u s h o w t h i s n o t a t i o n c a n b e u s e d i n a l l t h ed i f f e r e n t c a s e s .

F o r i n s t a n c e , ( 3 . 1 0 ) c a n b e w r i t t e n i n t h e a l t e r n a t i v e n o t a t i o n a s

y ] ( 3 . 1 9 )

w h i l e ( 3 . 1 2 ) w o u l d b e c o m e

y , z , u ] ( 3 . 2 0 )

a n d ( 3 . 1 4 ) w o u l d b e c o m e

( V x / / v ) ( S 1 [ x ] v S 2 [ x ] ) ( 3 . 2 1 )

T h e d o u b l e - s l a s h n o t a t i o n i s i n f a c t s o m e w h a t m o r e n a t u r a l t h a nt h e s i n g l e - s l a s h o n e . U n f o r t u n a t e l y , I d i d n o t r e a l i z e t h i s f a c t w h e nI c h o s e m y n o t a t i o n , a n d a t l e a s t f o r t h e p u r p o s e s o f t h i s b o o k i t i st o o l a t e t o c h a n g e n o w . T h i s d o e s n o t m a t t e r v e r y m u c h , h o w e v e r ,

f o r t h e i n t e r e s t i n g t h i n g h e r e i s a c o m p a r i s o n b e t w e e n t h e t w on o t a t i o n s .

T h e n a t u r a l n e s s o f t h e d o u b l e - s l a s h n o t a t i o n i s s h o w n b y t h e f a c tt h a t t h e f o r m a t i o n r u l e s f o r I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e s w o u l d b ec o n t e x t - i n d e p e n d e n t . O v e r a n d a b o v e t h i s a d v a n t a g e , t h e d o u b l e -s l a s h n o t a t i o n h a s o t h e r a d v a n t a g e s . F o r i n s t a n c e , i t w o u l d e n a b l e u st o f o r m u l a t e v a r i o u s s i m p l e l o g i c a l l a w s . F o r i n s t a n c e , t h e e q u i v a l -e n c e o f ( 3 . 1 3 ) a n d ( 3 . 1 4 ) w i l l t h e n b e a n i n s t a n c e o f a d i s t r i b u t i o n l a wf o r ( V x / / v ) :

( V x / / v ) ( S 1 [ x ] v S 2 [ x ] ) ( 3 . 2 1 )




w i l l b e e q u i v a l e n t t o

( V x ) S 1 { x ] v ( V x ) S 2 [ x ] ( 3 . 2 2 )

E v e n t h o u g h t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n / a n d / / i s i n s o m e s e n s e o n l ya m a t t e r o f n o t a t i o n , i t w i l l n e v e r t h e l e s s t u r n o u t i n C h a p t e r 6 t h a t i ti l l u s t r a t e s c e r t a i n i m p o r t a n t m e t h o d o l o g i c a l p r o b l e m s .

( i i ) F r e g e ' s f a l l a c y i s c o n n e c t e d w i t h a n i m p o t a n t u n c l a r i t y c o n -c e r n i n g t h e n o t i o n o f s c o p e . T h i s n o t i o n i s u s e d w i d e l y b o t h i n l o g i ca n d i n l i n g u i s t i c s , a n d i t i s n o r m a l l y t a k e n f o r g r a n t e d . W h e n i tc o m e s t o f i r s t - o r d e r l a n g u a g e s ( a n d t o t h e i r c o u n t e r p a r t s i n n a t u r a l

l a n g u a g e s ) , t h e v e r y n o t i o n o f s c o p e n e v e r t h e l e s s i n v o l v e s c e r t a i ns e r i o u s p r o b l e m s . T h e y a r e o n c e a g a i n b r o u g h t o u t i n t o t h e o p e n b yt h e g a m e - t h e o r e t i c a l a p p r o a c h . I t s h o w s a t o n c e t h a t t h e t r a d i t i o n a ln o t i o n o f s c o p e h a s t w o e n t i r e l y d i f f e r e n t f u n c t i o n s w h e n i t i s a p p l i e dt o q u a n t i f i e r s .

F i r s t , i t i s u s e d t o i n d i c a t e t h e o r d e r i n w h i c h t h e g a m e r u l e s a r ea p p l i e d t o a g i v e n f o r m u l a . I n o t h e r w o r d s , t h e n e s t i n g o f s c o p e ss e r v e s t o i n d i c a t e l o g i c a l p r i o r i t y . T h i s n o t i o n o f s c o p e w i l l b e c a l l e d

p r i o r i t y s c o p e . I n t h e r e c e i v e d n o t a t i o n o f f i r s t - o r d e r l o g i c , p r i o r i t ys c o p e i s i n d i c a t e d b y t h e i n c l u s i o n o f t h e s c o p e o f a q u a n t i f i e r ( o ra c o n n e c t i v e ) i n t h e s c o p e o f a n o t h e r . T h e l a t t e r w i l l t h e n h a v e t h er i g h t o f w a y w h e n i t c o m e s t o g a m e r u l e a p p l i c a t i o n . I n o r d e r t o s e r v e

t h i s p u r p o s e , t h e s c o p e s o f q u a n t i f i e r s a n d o f c o n n e c t i v e s m u s t b ep a r t i a l l y o r d e r e d — t h a t i s , t h e y m u s t b e n e s t e d . F u r t h e r m o r e , o n l yt h e r e l a t i v e o r d e r o f t h e s c o p e s m a t t e r s a n d n o t t h e i r a c t u a l e x t e n t i na s e n t e n c e o r d i s c o u r s e .

B u t t h e s c o p e s o f q u a n t i f i e r s a r e a l s o s u p p o s e d t o i n d i c a t e s o m e -t h i n g e l s e . W h e n t h e s c o p e o f a q u a n t i f i e r ( Q x ) i s i n d i c a t e d b y ap a i r o f p a r e n t h e s e s , t h e n t h e s e g m e n t o f t h e s e n t e n c e w i t h i n t h o s ep a r e n t h e s e s i s s u p p o s e d t o b e w h e r e t h e v a r i a b l e x i s b o u n d t o t h eq u a n t i f i e r i n q u e s t i o n . T h e s e v a r i a b l e s a r e o f t e n c o m p a r e d t oa n a p h o r i c p r o n o u n s . T h e s c o p e o f a q u a n t i f i e r i s t h e n t h e p a r t o fa s e n t e n c e w h e r e s u c h a p r o n o u n c a n h a v e t h e q u a n t i f i e r i n q u e s t i o n

a s i t s h e a d . T h i s k i n d o f s c o p e w i l l b e c a l l e d t h e b i n d i n g s c o p e . T h ed i s t i n c t i o n b e t w e e n p r i o r i t y s c o p e a n d b i n d i n g s c o p e i s r e l a t e d t o t h ed i f f e r e n c e b e t w e e n C h o m s k y ' s ( 1 9 8 ! ) n o t i o n s o f g o v e r n m e n t a n db i n d i n g , a n d c o u l d b e u s e d t o e l u c i d a t e w h a t C h o m s k y i s t r y i n g t og e t a t i n h i s t h e o r y .

O n c e t h e d i s t i n c t i o n i s m a d e , t h e n i t i s s e e n t h a t t h e r e i s n o r e a s o nw h y p r i o r i t y s c o p e a n d b i n d i n g s c o p e s h o u l d a l w a y s g o t o g e t h e r .




F o r i n s t a n c e , t h e r e i s n o r e a s o n w h y t h e s c o p e s o f t w o q u a n t i f i e r s ( i nt h e p u r e l y f o r m a l s e n s e o f s c o p e i n l o g i c ) c o u l d b e o n l y p a r t i a l l yo v e r l a p p i n g , e v e n t h o u g h t h e F r e g e — R u s s e l l n o t a t i o n r e q u i r e s t h a t

t h e y b e e i t h e r n o n o v e r l a p p i n g o r e l s e n e s t e d ( o n e o f t h e m c o n t a i n e di n t h e o t h e r ) . I t c a n e v e n b e a r g u e d t h a t t h e n o t i o n o f b i n d i n g s c o p e i sn o t a n u n a n a l y z a b l e o n e i n n a t u r a l l a n g u a g e s . F u r t h e r m o r e , t h eb i n d i n g s c o p e o f a q u a n t i f i e r n e e d n o t b e a c o n t i n u o u s s e g m e n t o fa s e n t e n c e o r a d i s c o u r s e .

O n c e t h e s i t u a t i o n i s t h o u g h t o f i n t h e s e t e r m s , t h e n i t i s s e e n t h a tt h e u s u a l n o t i o n o f s c o p e a s i t i s b e i n g a c t u a l l y e m p l o y e d i s a r o y a l

m e s s . T h i s m e s s a s s u m e s a s o m e w h a t d i f f e r e n t c o m p l e x i o n f o rl o g i c i a n s a n d l i n g u i s t s . F o r l o g i c i a n s r u n n i n g t o g e t h e r t h e t w o s e n s e so f s c o p e h a s b e e n a n u n n e c e s s a r y o b s t a c l e t o t h e i r t h e o r i z i n g , b u t f o rl i n g u i s t s i t h a s a c t u a l l y h a r m e d t h e i r t h e o r i e s , i n t h a t i t h a s l e d t h e mt o o v e r l o o k c e r t a i n t e l l i n g p h e n o m e n a o f o u r S p r a c h i o g i k .

F r e g e ' s m i s t a k e c a n t h u s b e s e e n a s b e i n g a r e s u l t o f c o n f l a t i n g t h et w o u s e s o f p a r e n t h e s e s . T h e m o s t n a t u r a l w a y o f u s i n g t h e m f o r t h ep u r p o s e o f i n d i c a t i n g l o g i c a l p r i o r i t y i s t o r e q u i r e t h a t t h e s c o p e s o f

q u a n t i f i e r s a r e n e s t e d . B u t t o d o s o p r e c l u d e s a m e r e l y p a r t i a lo v e r l a p p i n g o f q u a n t i f i e r s c o p e s , e v e n t h o u g h s u c h a v i o l a t i o n o f t h en e s t i n g r e q u i r e m e n t i s a p e r f e c t l y n a t u r a l t h i n g f r o m t h e v a n t a g ep o i n t o f b i n d i n g s c o p e .

I f F r e g e ' s n e e d l e s s r e s t r i c t i o n s o n t h e u s e o f s c o p e i n d i c a t o r s a r er e m o v e d , w e t h e n o b t a i n a f i r s t - o r d e r l a n g u a g e t h a t i s a s s t r o n g a s I Ff i r s t - o r d e r l a n g u a g e . I f q u a n t i f i e r s a r e i n d e x e d t o g e t h e r w i t h t h ec o r r e s p o n d i n g p a r e n t h e s e s , w e c o u l d t h e n f o r i n s t a n c e e x p r e s s ( 3 . 1 2 )a s f o l l o w s :

( V x ) 1 y , z , u ] ) 1 ) 2 ( 3 . 2 3 )

H e r e t h e s c o p e o f t h e i n i t i a l u n i v e r s a l q u a n t i f i e r ( V x ) ( w i t h a n i n d e x( V x ) 1 ) c o n s i s t s o f t w o s e g m e n t s o f t h e f o r m u l a i n q u e s t i o n . T h ef o r m e r i s

a n d t h e l a t t e r i s

1 ( S [ x , y , u , z ] ) 1

w h e r e i n b o t h s e g m e n t s t h e s u b s c r i p t s m e r e l y i n d i c a t e t h a t t h ep a r e n t h e s e s i n q u e s t i o n b e l o n g t o ( V x ) = ( V x ) 1 . I n c o n t r a s t , t h e s c o p e




o f ( V z ) ( V z ) 2 i s a c o n t i n u o u s o n e , c o n s i s t i n g o f

2 ( ( 3 u ) S [ x , y , z , u ] ) 2

B u t b y t h u s l i f t i n g t h e q u a n t i f i e r ( a u ) f r o m t h e s c o p e o f ( V x ) w ea c c o m p l i s h p r e c i s e l y t h e s a m e a s i s d o n e i n m y n o t a t i o n b y w r i t i n g i ta s

T h i s s h o w s h o w f u n d a m e n t a l F r e g e ' s f a l l a c y w a s . I t c o u l d b ec o r r e c t e d e v e n w i t h o u t i n t r o d u c i n g a n y n e w s y m b o l s i n t o o u r l o g i c ,

b y m e r e l y c h a n g i n g t h e u s e o f t h e i n n o c e n t - l o o k i n g d e v i c e o f p a r -e n t h e s e s . ( T h e s u b s c r i p t s a r e n o t a n y m o r e m e a n i n g f u l i n t h e m s e l v e s

t h a n c o n n e c t i n g l i n e s . ) A t t h e s a m e t i m e ( 3 . 2 3 ) s h o w s t h a t s u c h ap r o c e d u r e w o u l d b e s o c l u m s y a s t o b e i m p r a c t i c a b l e .N o m a t t e r w h i c h n o t a t i o n i s u s e d , t h e s t e p f r o m o r d i n a r y f i r s t -

o r d e r l o g i c t o I F f i r s t - o r d e r l o g i c i s l i t t l e m o r e t h a n t h e r e c o g n i t i o n o ft h e f a c t t h a t t h e t w o k i n d s o f s c o p e d o n o t h a v e t o g o t o g e t h e r . F o ri n s t a n c e , i n o u r s l a s h n o t a t i o n t h e f o r m a l s c o p e ( i n d i c a t e d b yp a r e n t h e s e s ) c a n b e t a k e n t o b e t h e b i n d i n g s c o p e , w h i l e t h e s l a s hn o t a t i o n i n v o l v e s a r e c o g n i t i o n o f t h e f a c t t h a t p r i o r i t y s c o p e d o e s

n o t a u t o m a t i c a l l y f o l l o w t h e b i n d i n g s c o p e .( i i i ) A s p e c i a l c a s e o f t h e p h e n o m e n o n o f i n f o r m a t i o n a l i n d e p e n -

d e n c e h a s b e e n s t u d i e d b y l o g i c i a n s e v e r s i n c e H e n k i n ( 1 9 6 1 ) u n d e rt h e h e a d i n g " b r a n c h i n g q u a n t i f i e r s " ( c f . e . g . , B a r w i s e 1 9 7 9 , E n d e r t o n

1 9 7 0 , W a l k o e 1 9 7 0 ) . T h e c o n n e c t i o n b e t w e e n t h e t w o c a n b e s e e nf r o m a n e x a m p l e . A s w a s n o t e d p r e v i o u s l y , o u r f a m i l i a r H e n k i nq u a n t i f i e r s e n t e n c e

y , z , u ] ( 3 . 1 2 )

c a n b e w r i t t e n , i n s t e a d o f t h e s l a s h n o t a t i o n , i n a n o n l i n e a r n o t a t i o na s f o l l o w s :

} S [ x ,y , z , u I J ( 3 . 9 )

H e r e t h e m u t u a l d e p e n d e n c i e s a n d i n d e p e n d e n c i e s o f d i f f e r e n t q u a n -

t i f i e r s a r e i n d i c a t e d b y a p a r t i a l o r d e r i n g o f t h o s e q u a n t i f i e r s . T h i si d e a c a n e a s i l y b e g e n e r a l i z e d . H o w e v e r , i t d o e s n o t y i e l d a r e a l l ys a t i s f a c t o r y a n a l y s i s o f t h e s i t u a t i o n . F o r o n e t h i n g , t h e b r a n c h i n gn o t a t i o n h a s n o t b e e n u s e d i n c o n n e c t i o n w i t h p r o p o s i t i o n a l c o n -

n e c t i v e s , w h i c h c a n a l s o e x h i b i t i n f o r m a t i o n a l i n d e p e n d e n c e , u n t i lv e r y r e c e n t l y a n d f o r t h e f i r s t t i m e a p p a r e n t l y i n S a n d u a n dV ä ä n ä n e n ( 1 9 9 2 ) .




A l s o , t h e p a r t i a l o r d e r i n g o f q u a n t i f i e r s c o r r e s p o n d s i n a g a m e -t h e o r e t i c a l a p p r o a c h t o a p a r t i a l o r d e r i n g o f t h e i r i n f o r m a t i o n s e t sw i t h r e s p e c t t o c l a s s - i n c l u s i o n . B u t i n g e n e r a l t h e r e i s n o r e a s o nw h a t e v e r t o t h i n k t h a t t h e i n f o r m a t i o n s e t s o f d i f f e r e n t m o v e s i na g a m e a r e e v e n p a r t i a l l y o r d e r e d . H e n c e b r a n c h i n g o r p a r t i a l l yo r d e r e d q u a n t i f i e r s a r e n o t r e p r e s e n t a t i v e o f t h e g e n e r a l s i t u a t i o n .A d m i t t e d l y , i t t u r n s o u t t h a t i n t h e s p e c i a l c a s e o f q u a n t i f i e r s a l l t h e i rp o s s i b l e p a t t e r n s o f d e p e n d e n c e a n d i n d e p e n d e n c e d o r e d u c e t o as u i t a b l e p a r t i a l o r d e r i n g . H o w e v e r , t h i s i s n o t t r u e i n g e n e r a l .

F u r t h e r m o r e , o n e h a s t o h a n d l e n e g a t i o n v e r y c a g i l y i n t h e c o n t e x t

o f i n f o r m a t i o n a l l y i n d e p e n d e n t q u a n t i f i e r s , a s w i l l b e s h o w n i n C h a p -t e r 7 . I t i s n o t e v e n c l e a r t h a t a l l t h e e a r l i e r t r e a t m e n t s o f b r a n c h i n gq u a n t i f i e r s h a n d l e n e g a t i o n i n a c o n s i s t e n t m a n n e r .

M o s t i m p o r t a n t l y , b r a n c h i n g i s a m a t t e r o f t h e i n t e r p l a y o f q u a n t i -f i e r s , a n d n o t o f t h e i n t e r p r e t a t i o n o f q u a n t i f i e r s t a k e n o n e b y o n e . F o r

t h i s r e a s o n , g e n e r a l i z a t i o n s o f t h e n o t i o n o f q u a n t i f i e r t a k e n i ni s o l a t i o n f r o m o t h e r q u a n t i f i e r s d o n o t h e l p e s s e n t i a l l y i n u n d e r s t a n d -i n g b r a n c h i n g a n d o t h e r i n f o r m a t i o n a l l y i n d p e n d e n t q u a n t i f i e r s . F o r

i n s t a n c e , i n s p i t e o f t h e o t h e r k i n d s o f s u c c e s s t h a t t h e t h e o r y o fg e n e r a l i z e d q u a n t i f i e r s h a s e n j o y e d , i t h a s n o t h e l p e d e s s e n t i a l l y t o

u n d e r s t a n d b r a n c h i n g q u a n t i f i e r s . A d m i t t e d l y , t h e r e e x i s t t r e a t m e n t so f i n l o r m a t i o n a l l y i n d e p e n d e n t q u a n t i f i e r s i n t h e t r a d i t i o n o f g e n e r a l -i z e d q u a n t i f i e r s ( s e e , f o r e x a m p l e , W e s t e r s t a h i 1 9 8 9 a n d K e e n a n a n dW e s t e r s t a h l 1 9 9 6 ) . T h e y d o n o t b r i n g o u t t h e g e n e r a l i t y o f t h ep h e n o m e n o n o f i n d e p e n d e n c e , h o w e v e r , o r e v e n r e a c h a f u l l y s a t i s -

f a c t o r y t r e a t m e n t o f t h e s e m a n t i c s o f i n f o r m a t i o n a l l y i n d e p e n d e n tq u a n t i f i e r s .H o w e v e r , s o m e o f t h e g e n e r a l i s s u e s t h a t a r e p r o m p t e d b y t h e

p h e n o m e n o n o f i n f o r m a t i o n a l i n d e p e n d e n c e h a v e b e e n d i s c u s s e d b yp h i l o s o p h e r s a n d l o g i c i a n s i n t h e e a r l i e r l i t e r a t u r e i n t h e s p e c i a l c a s e o fb r a n c h i n g q u a n t i f i e r s t r u c t u r e s . A m o n g o t h e r t h i n g s , s e v e r a l o f t h em o s t i m p o r t a n t p e r s p e c t i v e s o f I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e s a r e g e n e r a l i z -a t i o n s o f t h e p r o p e r t i e s o f b r a n c h i n g q u a n t i f i e r s . I w i l l r e t u r n t o t h e m

l a t e r i n t h i s c h a p t e r .( i v ) T h e b e s t m e a s u r e o f t h e n a t u r a l n e s s o f I F f i r s t - o r d e r l o g i c i s t h e

s i m p l i c i t y o f t h e ( g a m e - t h e o r e t i c a l ) s e m a n t i c s t h a t g o v e r n s i t . H o w a r et h e s e m a n t i c a l g a m e r u l e s f o r I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e s r e l a t e d t o t h o s eo f o r d i n a r y f i r s t - o r d e r l a n g u a g e s ? T h e r e l a t i o n s h i p i s a n i n t e r e s t i n go n e a n d a s i m p l e r e l a t i o n s h i p a t t h a t . I t i s o n e o f i d e n t i t y . T h e r u l e sf o r m a k i n g m o v e s i n a s e m a n t i c a l g a m e i n I F f i r s t - o r d e r l o g i c a r e




p r e c i s e l y t h e s a m e a s t h o s e u s e d i n o r d i n a r y f i r s t - o r d e r l o g i c , e x c e p tt h a t i m p e r f e c t i n f o r m a t i o n i s a l l o w e d . T h e e x t e n s i v e f o r m o f a g a m e

c o n n e c t e d w i t h a n I F s e n t e n c e i s t h e s a m e a s t h a t o f t h e c o r r e s p o n d i n go r d i n a r y f i r s t - o r d e r f o r m u l a , e x c e p t f o r t h e f a c t t h a t t h e i n f o r m a t i o ns e t s o f s o m e o f t h e m o v e s d o n o t c o n t a i n a l l t h e e a r l i e r m o v e s . ( T h ei n f o r m a t i o n s e t o f a m o v e i n c l u d e s a l l a n d o n l y t h o s e e a r l i e r m o v e sw h i c h a r e k n o w n t o t h e p l a y e r m a k i n g t h e m o v e . )

M o r e o v e r , i t i s i m p o r t a n t t o r e a l i z e t h a t t h i s f a i l u r e o f p e r f e c ti n f o r m a t i o n h a s n o t h i n g s u b j e c t i v e a b o u t i t . I t i s n o t a m a t t e r o f

a l i m i t a t i o n o f h u m a n k n o w l e d g e o r h u m a n i n g e n u i t y . I t i s a f e a t u r e o f

t h e c o m b i n a t o r i a l s i t u a t i o n s t h a t c a n c o m e u p i n a s e m a n t i c a l g a m e .T h e t r u t h o r f a l s i t y o f a s e n t e n c e S o f a n I F l a n g u a g e i s a n o b j e c t i v ef a c t a b o u t t h e w o r l d w h i c h S c a n b e u s e d t o s p e a k o f . T h i s o b j e c t i v i t yo f t r u t h i n I F f i r s t - o r d e r l o g i c w i l l b e f u r t h e r i l l u s t r a t e d i n C h a p t e r 7 .

( v ) I t i s t o b e n o t e d t h a t t h e i r r e d u c i b l y i n d e p e n d e n c e - f r i e n d l yf o r m u l a s a r e t y p i c a l l y s t r o n g e r t h a n t h e c o r r e s p o n d i n g f o r m u l a s o ft r a d i t i o n a l f i r s t - o r d e r l o g i c . T h e r e a s o n i s c l e a r f r o m a g a m e -t h e o r e t i c a l p e r s p e c t i v e . F r o m t h i s v i e w p o i n t , a s e n t e n c e a s s e r t s t h e

e x i s t e n c e o f a w i n n i n g s t r a t e g y f o r t h e i n i t i a l v e r i f i e r i n t h e c o r r e s p o n d -i n g g a m e . T h e p r e s e n c e o f i n f o r m a t i o n a l i n d e p e n d e n c e m e a n s t h e u s eo f f e w e r a r g u m e n t s i n s o m e o f t h e s t r a t e g y f u n c t i o n s ; i n o t h e r w o r d s ,t h e u s e o f a s t r a t e g y b a s e d o n l e s s i n f o r m a t i o n . H e n c e t h e e x i s t e n c e o fs u c h a s t r a t e g y i s a s t r o n g e r c l a i m t h a n t h e e x i s t e n c e o f t h e a n a l o g o u ss t r a t e g y b a s e d o n m o r e i n f o r m a t i o n . I t t h u s t u r n s o u t t h a t I F f i r s t -o r d e r l a n g u a g e s a r e n o t o n l y s t r o n g e r t h a n o r d i n a r y o n e s , b u t e x -t r e m e l y s t r o n g .

T h e g r e a t e r e x p r e s s i v e s t r e n g t h o f I F f i r s t - o r d e r l o g i c a s c o m p a r e dt o i t s o l d e r b r o t h e r h a s a c o n c r e t e m e a n i n g . I t d o e s n o t m e a n o n l y , o ri n t h e f i r s t p l a c e , g r e a t e r d e d u c t i v e r e s o u r c e s . W h a t i t m e a n s i s t h a tt h e r e a r e c l a s s e s ( k i n d s ) o f s t r u c t u r e s ( e v e n f i n i t e o n e s ) t h a t s i m p l yc a n n o t b e d e s c r i b e d b y m e a n s o f t h e r e s o u r c e s o f o r d i n a r y f i r s t - o r d e rl o g i c . P a r t i c u l a r e x a m p l e s w i l l b e d i s c u s s e d i n C h a p t e r 7 . T h i s k i n d o fa d v a n t a g e o f I F f i r s t - o r d e r l o g i c i s n a t u r a l l y o f g r e a t p o t e n t i a l i n t e r e s t

b o t h t h e o r e t i c a l l y a n d i n p r a c t i c e — t h a t i s , i n v i e w o f t h e r o l e o f l o g i ci n m a t h e m a t i c a l t h e o r i z i n g .

A n e x a m p l e m a y h e l p t h e r e a d e r t o a p p r e c i a t e t h i s p o i n t . C o n s i d e rt h e f o l l o w i n g f o r m u l a

( V x ) ( V z ) ( 3 y / V z ) ( B u / V x ) ( ( ( x =

& H ( x , y ) & H ( z , u ) & — H ( x , u ) & H ( z , y ) ) ( 3 . 2 4 )




I t i s e a s i l y s e e n t o b e e q u i v a l e n t t o

z ) ( f ( x ) f ( z ) ) ) & H ( x , f ( x ) )

& H ( z , f ( z ) ) & H ( x , f ( z ) ) & H ( z , f ( x ) ) ) ( 3 . 2 5 )

I n o t h e r w o r d s , w h a t ( 3 . 2 4 ) s a y s i s t h a t o n e c a n c o r r e l a t e w i t h e a c hx a n i n d i v i d u a l f ( x ) s u c h t h a t t h e c o r r e l a t e s o f t w o d i f f e r e n t i n d i v i d -u a l s a r e d i f f e r e n t a n d d i f f e r f r o m e a c h o t h e r i n t h e w a y i n d i c a t e d b y( 3 . 2 5 ) . T h u s , i f H ( x , y ) i s r e a d " y i s a h o b b y o f x ' s " , t h e n ( 3 . 2 4 ) s a y ss o m e t h i n g l i k e " e v e r y b o d y h a s a u n i q u e h o b b y . "

I t c a n b e s h o w n t h a t ( 3 . 2 4 ) — ( 3 . 2 5 ) d o n o t r e d u c e t o a n y e x p r e s s i o n so f a n o r d i n a r y f i r s t - o r d e r l a n g u a g e . W h a t ( 3 . 2 4 ) d o e s i s t h e r e f o r e t oc a p t u r e a s i t s m o d e l s a c l a s s o f s t r u c t u r e s w i t h a r e l a t i v e l y s i m p l e

c h a r a c t e r i s t i c c o m m o n f e a t u r e . Y e t t h i s c l a s s o f s t r u c t u r e s c a n n o t b ec a p t u r e d b y o r d i n a r y f i r s t - o r d e r l o g i c . T h u s t h e b a s i s o f t h e g r e a t e rs t r e n g t h o f I F f i r s t - o r d e r l o g i c i s i t s g r e a t e r r e p r e s e n t a t i o n a l c a p a c i t y ,a n d n o t i t s a b i l i t y t o o f f e r t o a l o g i c i a n n e w d e d u c t i v e g i m m i c k s .

( v i ) I n s p i t e o f t h e i r s t r e n g t h , I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e s h a v e a n u m -

b e r o f w e l c o m e p r o p e r t i e s . A m o n g o t h e r r e s u l t s , I F f i r s t - o r d e r l o g i ch a s t h e f o l l o w i n g p r o p e r t i e s :

( A ) I t i s c o m p a c t . T h i s f a c t i s e a s i l y p r o v e d . L e t a b e a n i n f i n i t e s e t o f

f o r m u l a s o f I F f i r s t - o r d e r l o g i c . L e t a * b e t h e s e t o f s e c o n d - o r d e rt r a n s l a t i o n s o f a l l t h e m e m b e r s o f a , w i t h d i f f e r e n t i n i t i a l e x i s t e n t i a lf u n c t i o n q u a n t i f i e r s u s i n g d i f f e r e n t f u n c t i o n v a r i a b l e s . L e t a * * b e t h er e s u l t o f o m i t t i n g a l l t h e s e i n i t i a l f u n c t i o n q u a n t i f i e r s f r o m a l l t h em e m b e r s o f T h i s a * * i s a s e t o f o r d i n a r y f i r s t - o r d e r f o r m u l a s .

C l e a r l y , i f o n e o f a , a * a n d a * * i s s a t i s f i a b l e , t h e n a l l t h e s e a r e . B e c a u s eo r d i n a r y f i r s t - o r d e r l o g i c i s c o m p a c t , a * * i s c o n s i s t e n t i f a n d o n l y i f a l li t s f i n i t e s u b s e t s a r e c o n s i s t e n t . B u t c l e a r l y s u c h a s u b s e t i s

c o n s i s t e n t i f a n d o n l y i i i t s p a r e n t s u b s e t x o f a i s c o n s i s t e n t . A n d x i sc o n s i s t e n t b y h y p o t h e s i s .

( B ) I F f i r s t - o r d e r l o g i c h a s t h e ( d o w n w a r d s ) L ö w e n h e i m — S k o l e mp r o p e r t y . I n o r d e r t o p r o v e t h i s l e t a b e a f i n i t e s e t o f f o r m u l a s o f a n I F

f i r s t - o r d e r l a n g u a g e , a n d l e t a * a n d a * * b e f o r m e d a s b e f o r e . C l e a r l y a ,a * a n d a * * a r e s a t i s f i a b l e i n t h e s a m e d o m a i n s . B u t i n v i r t u e o f t h ed o w n w a r d s L ö w e n h e i m — S k o l e m t h e o r e m f o r o r d i n a r y f i r s t - o r d e rl o g i c , a * * i s s a t i s f i a b l e i n a c o u n t a b l e d o m a i n i f s a t i s f i a b l e a t a l l .

( C ) T h e s e p a r a t i o n t h e o r e m h o l d s i n a s t r e n g t h e n e d f o r m . T o s e et h i s , a s s u m e t h a t a a n d a r e s e t s o f f o r m u l a s o f a n I F f i r s t - o r d e rl a n g u a g e s a t i s f y i n g t h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n s :




( i ) a a n d r a r e b o t h c o n s i s t e n t .( i i ) a U r i s i n c o n s i s t e n t .

T h e n t h e r e i s a f o r m u l a o f t h e c o r r e s p o n d i n g o r d i n a r y f i r s t - o r d e rl a n g u a g e ( i . e . , a s l a s h - f r e e f o r m u l a ) S s u c h t h a t

( i i i ) t I — S

( i v ) A l l t h e n o n l o g i c a l c o n s t a n t s o f S o c c u r i n t h e m e m b e r s o f b o t ha a n d ' r .

T h e s e p a r a t i o n t h e o r e m c a n b e p r o v e d b y t r a n s f o r m i n g a a n d t i n t oa * a n d a * * a s w e l l a s i n t o t 4 ' a n d a s b e f o r e . I t i s e a s i l y s e e n t h a t t h e

s e p a r a t i o n t h e o r e m o f o r d i n a r y f i r s t - o r d e r l o g i c a p p l i e s t o a * * a n d

r * * , y i e l d i n g a n o r d i n a r y f i r s t - o r d e r f o r m u l a S 0 a s t h e s e p a r a t i o nf o r m u l a . T h i s S 0 i s e a s i l y s e e n t o s e r v e a l s o a s t h e s e p a r a t i o n f o r m u l ac l a i m e d t o e x i s t i n t h e t h e o r e m .

( D ) I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e s a d m i t o f t h e S k o l e m n o r m a l f o r m i na s t r o n g e r s e n s e t h a n o r d i n a r y f i r s t - o r d e r l a n g u a g e s . I n t h e m , t h eS k o l e m n o r m a l f o r m S 2 o f a g i v e n f o r m u l a S 1 , w h i c h i s a f o r m u l a o ft h e f o r m

( 3 . 2 6 )

i s s a t i s f i a b l e i f a n d o n l y i f S 1 i s s a t i s f i a b l e . B u t S 1 a n d s 2 n e e d n o t b el o g i c a l l y e q u i v a l e n t n o r h a v e t h e s a m e v o c a b u l a r y . B u t i n I F f i r s t - o r d e rl o g i c , e a c h f o r m u l a c a n e a s i l y b e s e e n t o h a v e a n e q u i v a l e n t f o r m u l a

w h i c h i s l i k e ( 3 . 2 6 ) e x c e p t t h a t e v e r y ( 3 Y k ) i s r e p l a c e d b y

( 3 y / V x k l , V x k 2 , . . . ) ( 3 . 2 7 )

w h e r e

X k 2 , . .. } c { x 1 , x 2 , .

. . } ( 3 . 2 8 )

T h e g i v e n f o r m u l a S 1 c a n b e t r a n s f o r m e d i n t o S 2 b y f i r s t t r a n s f o r m i n gi t i n t o i t s p r e n e x f o r m , t h a t i s , i n t o a f o r m w h e r e a l l q u a n t i f i e r s a r e a t

t h e b e g i n n i n g o f t h e f o r m u l a . T h e n o n e c a n e x t e n d t h e s c o p e o fa u n i v e r s a l q u a n t i f i e r ( V x ) o v e r a n u m b e r o f e x i s t e n t i a l q u a n t i f i e r s

( 9 y 2 ) , . . . i f o n e r e p l a c e s t h e m b y T h e s a m ec a n b e d o n e t o s e v e r a l u n i v e r s a l q u a n t i f i e r s a t t h e s a m e t i m e . T h i sy i e l d s t h e d e s i r e d f o r m .

I n r e s u l t s l i k e ( d ) w e c a n a l s o i n c l u d e w i t h i n t h e i r s c o p e t h e i n i t i a l l y

t a c i t " S k o l e m f u n c t i o n s " a s s o c i a t e d w i t h d i s j u n c t i o n s . F o r i n s t a n c e ,t h e S k o l e m n o r m a l f o r m o f

{ x , y , z ] ( v / V x ) S 2 [ x , y ] ) ( 3 . 2 9 )




c a n b e

V z ) ( ( S 1 [ x , y , z ] & ( u = 0 ) )

v ( S 2 [ x , y ] ( 3 . 3 0 )

( E ) B e t h ' s t h e o r e m o n d e f i n a b i l i t y h o l d s i n I F f i r s t - o r d e r l o g i c i na s h a r p e r f o r m . T h i s t h e o r e m s a y s t h a t a n " i m p l i c i t " d e f i n a b i l i t y o fa c o n s t a n t , s a y a o n e - p l a c e p r e d i c a t e P . o n t h e b a s i s o f a c o n s i s t e n tt h e o r y T [ P ] , e n t a i l s i t s e x p l i c i t d e f i n a b i l i t y o n t h e b a s i s o f t h e s a m et h e o r y . I n o t h e r w o r d s , a s s u m e t h a t

( T [ P ] & T [ P ' ] ) F — ( V x ) ( P ( x ) 4 — * P ' ( x ) ) ( 3 . 3 1 )

w h e r e P ' i s a n e w o n e - p l a c e p r e d i c a t e c o n s t a n t . T h e n f o r a s u i t a b l ed e f i n i e n s ( c o m p l e x f o r m u l a ) D [ x ] w i t h x a s i t s o n l y i n d i v i d u a l v a n -a b l e b u t w i t h o u t P ( o r P ' ) w e h a v e

T [ P ] ( 3 . 3 2 )

T h i s r e s u l t c a n b e p r o v e d f o r I F f i r s t - o r d e r l o g i c o n t h e b a s i s o f t h es e p a r a t i o n t h e o r e m i n p r e c i s e l y t h e s a m e w a y a s t h e c o r r e s p o n d i n g r e s u l t

f o r o r d i n a r y f i r s t - o r d e r l o g i c . F r o m t h e p r o o f ( a n d t h e s e p a r a t i o n t h e -o r e m ) i t c a n b e s e e n t h a t t h e d e f i n i e n s D [ x ] c a n a l w a y s b e c h o s e n t o b ea f o r m u l a o f o r d i n a r y f i r s t - o r d e r l o g i c .

( F ) J u s t a s e v e r y o r d i n a r y f i r s t - o r d e r s e n t e n c e w a s s e e n i n C h a p t e r 2t o h a v e a s e c o n d - o r d e r t r a n s l a t i o n , i n t h e s a m e w a y e a c h s e n t e n c e o fa n I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e c a n b e s e e n t o h a v e a s i m i l a r s e c o n d - o r d e rt r a n s l a t i o n . T h e t r a n s l a t i o n i s o b t a i n e d i n t h e s a m e w a y a s i n o r d i n a r yf i r s t - o r d e r l a n g u a g e s ( s e e C h a p t e r 2 ) . T h e o n l y d i f f e r e n c e i s t h a t t h ea r g u m e n t s x 1 , x 2 , . . . a r e d r o p p e d f r o m t h e f u n c t i o n c o r r e l a t e d w i t h

V x 2 , . . . ) o r w i t h ( v V x 2 , . . . ) .

( G ) A s i n o r d i n a r y f i r s t - o r d e r l o g i c , t h e s e c o n d - o r d e r t r a n s l a t i o n s o f

I F f i r s t - o r d e r s e n t e n c e s a r e o f t h e f o r m . U n l i k e o r d i n a r y f i r s t - o r d e rl o g i c , h o w e v e r , I F f i r s t - o r d e r l o g i c a l s o a l l o w s f o r t h e c o n v e r s e

t r a n s l a t i o n . I n o t h e r w o r d s , e a c h s e n t e n c e h a s a t r a n s l a t i o n ( l o g i c a le q u i v a l e n t ) i n I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e . E v e n t h o u g h t h i s r e s u l t i sk n o w n f r o m t h e l i t e r a t u r e , i t i s s t i l l u s e f u l t o s e e h o w i t c a n b ee s t a b l i s h e d . 1

A s e n t e n c e h a s t h e f o r m o f a s e q u e n c e o f s e c o n d - o r d e r e x i s t e n t i a l

q u a n t i f i e r s f o l l o w e d b y a f i r s t - o r d e r f o r m u l a . F i r s t , w e r e p l a c e a l lp r e d i c a t e v a r i a b l e s b y f u n c t i o n v a r i a b l e s . T h i s c a n b e d o n e o n e b y o n e .




F o r i n s t a n c e , s u p p o s e w e h a v e a f o r m u l a o f t h e f o r m

( 3 . 3 3 )

w h e r e X i s a o n e - p l a c e p r e d i c a t e v a r i a b l e . T h e n w e c a n r e p l a c e ( 3 . 3 3 )b y t h e f o r m u l a

( 3 . 3 4 )

w h e r e S ' [ f ] i s o b t a i n e d f r o m S E X ] b y r e p l a c i n g e v e r y a t o m i c f o r m u l ao f t h e f o r m X ( y ) o r X ( b ) b y

f ( y ) = o ( 3 . 3 5 )

o r

f ( b ) = O ( 3 . 3 6 )

r e s p e c t i v e l y .

A l t e r e l i m i n a t i n g a l l p r e d i c a t e v a r i a b l e s i n t h i s w a y , a l l t h e f o r m u l a sw e n e e d t o d e a l w i t h a r e o f t h e f o r m

. . ( 3 f k ) ( V x l ) ( V x 2 ) . . . ( V x 1 ) S [ f 1 , f k ' x 1 , x 2 , . . . , x 1 ]

( 3 . 3 7 )

w h e r e S E ] i s a q u a n t i f i e r - f r e e o r d i n a r y f i r s t - o r d e r f o r m u l a .H e r e ( 3 . 3 7 ) c a n b e e x p r e s s e d i n a n e q u i v a l e n t f o r m i n t h e I F

f i r s t - o r d e r n o t a t i o n i f t h e f o l l o w i n g t w o c o n d i t i o n s a r e s a t i s f i e d :( a ) T h e r e i s n o n e s t i n g o f f u n c t i o n s f , .( b ) E a c h o c c u r s i n S [ ] w i t h o n l y o n e s e q u e n c e o f a r g u m e n t s ,

s a y , w i t h t h e v a r i a b l e s x 1 1 , m i s s i n g f r o m i t s s e t o f a r g u m e n t s .

F o r t h e n w e c a n r e p l a c e ( 3 . 3 7 ) s i m p l y b y

( V x 1 ) ( Y x 2 ) . . . ( V x , ) . . . . . ) S * ( 3 . 3 8 )

w h e r e S * r e s u l t s f r o m r e p l a c i n g e a c h f , f o l l o w e d b y i t s a r g u m e n t s b y y 1 .

W h a t h a s t o b e s h o w n i s t h e r e f o r e h o w a n a r b i t r a r y ( 3 . 3 7 ) c a n b eb r o u g h t t o a f o r m w h e r e ( a ) — ( b ) a r e s a t i s f i e d .

I w i l l i l l u s t r a t e t h i s t r a n s i t i o n b y m e a n s o f t w o e x a m p l e s . F i r s t ,c o n s i d e r a f o r m u l a o f t h e f o r m

f ( x 2 ) ] ( 3 . 3 9 )

H e r e ( a ) i s s a t i s f i e d . I n o r d e r t o b r i n g i t t o a f o r m w h e r e ( b ) i s a l s os a t i s f i e d , w e c a n r e w r i t e i t a s

= x 2 ) ( f ( x 1 ) = g ( x 2 ) ) ) & S [ f ( x 1 ) , g ( x 2 ) ] )

( 3 . 4 0 )




T h i s i s e a s i l y s e e n t o b e e q u i v a l e n t t o

= x 2 ) D ( Y i = Y 2 ) ) & S [ y 1 , . v 2 ] )

( 3 . 4 1 )

F o r t h e s e c o n d e x a m p l e , c o n s i d e r a f o r m u l a o f t h e f o r m

( 3 . 4 2 )

H e r e c o n d i t i o n ( a ) i s n o t s a t i s f i e d . I n o r d e r t o m e e t t h i s c o n d i t i o n , w ec a n c o n s i d e r t h e f o r m u l a

= f 1 ( x 1 ) ) & ( X 3 = f 2 ( x 2 ) ) ) D S [ x 3 ] )

( 3 . 4 3 )

w h i c h s a t i s f i e s b o t h ( a ) a n d ( b ) . I n d e e d , ( 3 . 4 3 ) i s l o g i c a l l y e q u i v a l e n tt o

1 V x 2 V x 3 )

( ( ( x 1 = x 3 ) i - 4 y 1 = y 3 ) ) & ( ( x 2 = x 4 ) 4 — 4 y 2 = y 4 ) &

( ( ( Y 2 = X 2 ) & ( Y 2 = x 3 ) ) D S [ y 2 ] ) ) ( 3 . 4 4 )

I n n e i t h e r e x a m p l e a r e t h e o t h e r s i n g u l a r t e r m s o c c u r r i n g i n Sa f f e c t e d . W e c a n t h e r e f o r e e l i m i n a t e o n e b y o n e a l l t h e v i o l a t i o n s o f

t h e r e q u i r e m e n t s ( a ) a n d ( b ) m e n t i o n e d e a r l i e r i n t h i s s e c t i o n . T h i sp r o c e s s t e r m i n a t e s a f t e r a f i n i t e n u m b e r o f s t e p s , y i e l d i n g t h e d e s i r e d

t r a n s l a t i o n .( v i ) A t t h i s p o i n t , i t i s i n o r d e r t o l o o k b a c k a t t h e p r e c i s e w a y t h ei n f o r m a t i o n s e t s o f d i f f e r e n t m o v e s a r e d e t e r m i n e d i n s e m a n t i c a lg a m e s w i t h I F s e n t e n c e s . T h e s m a l l e x t r a s p e c i f i c a t i o n t h a t i s n e e d e di s t h a t m o v e s c o n n e c t e d w i t h e x i s t e n t i a l q u a n t i f i e r s a r e a l w a y si n d e p e n d e n t o f e a r l i e r m o v e s w i t h e x i s t e n t i a l q u a n t i f i e r s . T h i s a s -s u m p t i o n w a s t a c i t l y m a d e i n t h e s e c o n d - o r d e r t r a n s l a t i o n o f I Ff i r s t - o r d e r s e n t e n c e s e x p l a i n e d e a r l i e r i n t h i s c h a p t e r . T h e r e a s o n f o r

t h i s p r o v i s i o n i s t h a t o t h e r w i s e " f o r b i d d e n " d e p e n d e n c i e s o f e x i s t e n -t i a l q u a n t i f i e r s o n u n i v e r s a l q u a n t i f i e r s c o u l d b e c r e a t e d t h r o u g h t h em e d i a t i o n o f i n t e r v e n i n g e x i s t e n t i a l q u a n t i f i e r s .

T h i s p o i n t c a n b e i l l u s t r a t e d a s f o l l o w s : I f t h e p r o v i s i o n i s h e e d e d ,t h e s e c o n d - o r d e r t r a n s l a t i o n o f

y , z , u ] ( 3 . 4 5 )




w i l l b e

f ( x ) , z , g ( z ) J ( 3 . 4 6 )

I f i t i s n o t h e e d e d , t h e t r a n s l a t i o n w i l l b e

f ( x ) , z , h ( z , f ( x ) ) ] ( 3 . 4 7 )

T h e t w o s e c o n d - o r d e r t r a n s l a t i o n s ( 3 . 4 6 ) a n d ( 3 . 4 7 ) a r e n o t e q u i v -a l e n t . O b v i o u s l y ( 3 . 4 6 ) i s a t l e a s t a s s t r o n g a s ( 3 . 4 7 ) . W i t h o u t t h ep r o v i s i o n , t h e r e i s n o w a y o f c a p t u r i n g t h e s t r o n g e r s t a t e m e n t ( 3 . 4 6 )i n I F f i r s t - o r d e r l o g i c . H e n c e t h e e x t r a p r o v i s i o n h a s t o b e a d o p t e d .

I w i l l n o t t r y t o p r o v e t h i s i m p o s s i b i l i t y h e r e — t h a t i s t o s a y , t h ei m p o s s i b i l i t y o f e x p r e s s i n g ( 3 . 4 6 ) i n a n I F n o t a t i o n w i t h o u t t h ec o n v e n t i o n o f o m i t t i n g t h e i n i t i a l v e r i f i e r ' s m o v e s f r o m i n f o r m a t i o ns e t s . W h a t c a n b e e a s i l y s h o w n i s t h a t w e g e t a d i f f e r e n t i n t e r p r e t a -t i o n w i t h a n d w i t h o u t t h e c o n v e n t i o n . F o r t h e p u r p o s e , i t s u f f i c e s t o

p r o v i d e a n e x a m p l e w h e r e t h e s e c o n d - o r d e r t r a n s l a t i o n s ( 3 . 4 6 ) a n d( 3 . 4 7 ) a r e n o t e q u i v a l e n t . S u c h a n e x a m p l e i s

( V x ) ( V z ) ( 3 y / V z ) ( 3 u / V x ) ( ( y x ) & ( u z ) & ( ( x = = u ) ) ( 3 . 4 8 )

W i t h t h e c o n v e n t i o n , t h e n o n e m p t y m o d e l s o f ( 3 . 4 8 ) a r e a l l i n f i n i t eo n e s . W i t h o u t t h e c o n v e n t i o n , ( 3 . 4 8 ) i s s a t i s f i e d i n t h e f o l l o w i n gt w o - e l e m e n t m o d e l M :

d o ( M ) = ( 3 . 4 9 )

f ( a ) — = b f ( b ) = ag ( a , b ) = b g ( b , a ) = ag ( a , a ) = b g ( b , b ) = a

I t i s e a s y t o s e e t h a t f a n d g s a t i s f y t h e f o r m u l a

( V x ) ( V z ) ( ( x = = g ( z , f ( x ) ) ) ) ( 3 . 5 0 )

w h i c h i s a s u b f o r m u l a o f t h e t r a n s l a t i o n o f ( 3 . 4 8 ) t o a s e c o n d - o r d e rf o r m w i t h o u t t h e c o n v e n t i o n . T h i s t r a n s l a t i o n i s o f c o u r s e

= z ) * - ÷ ( f ( x ) = g ( z , f ( x ) ) ) ) ( 3 . 5 1 )

A l l t h i s i l l u s t r a t e s t h e i n d i s p e n s a b i l i t y o f t h e c o n v e n t i o n f o r a r e a s o n -a b l e s e m a n t i c s o f I F f i r s t - o r d e r l o g i c .

( v i i i ) I t i s i m p o r t a n t t o u n d e r s t a n d p r e c i s e l y w h a t t h e r e l a t i o n -s h i p i s b e t w e e n I F f i r s t - o r d e r l o g i c a n d i t s t r a d i t i o n a l o r d e r b r o t h e r .T h e f o l l o w i n g a r e a m o n g t h e m o s t r e l e v a n t a s p e c t s o f t h i s r e l a t i o n -s h i p :




( a ) O r d i n a r y f i r s t - o r d e r l o g i c i s a s p e c i a l c a s e o f I F f i r s t - o r d e r l o g i c .

( b ) N o i d e a s a r e i n v o l v e d i n I F f i r s t - o r d e r l o g i c t h a t w e r e n o t n e e d e d

f o r t h e u n d e r s t a n d i n g o f o r d i n a r y f i r s t - o r d e r l o g i c .

( c ) T e c h n i c a l l y s p e a k i n g I F f i r s t - o r d e r l o g i c i s a c o n s e r v a t i v e e x t e n -s i o n o f o r d i n a r y f i r s t - o r d e r l o g i c .

I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e s n e v e r t h e l e s s d i f f e r s t r i k i n g l y f r o m t h eo r d i n a r y f i r s t - o r d e r l o g i c i n s e v e r a l w a y s . T h r e e o f t h e m a r e s oi m p o r t a n t a s t o s e r v e n a t u r a l l y a s l e a d - i n s i n t o t h e n e x t t h r e ec h a p t e r s . T h e s e t h r e e f o r m s o f u n f a m i l i a r l o g i c a l b e h a v i o r a r e t h e

f o l l o w i n g :

( a ) I F f i r s t - o r d e r l o g i c d o e s n o t a d m i t o f a c o m p l e t e a x i o m a t i z a t i o n .( b ) I F f i r s t - o r d e r l o g i c d o e s n o t a d m i t o f a T a r s k i - t y p e t r u t h d e f i n i -

t i o n .

( c ) T h e l a w o f e x c l u d e d m i d d l e d o e s n o t h o l d i n I F f i r s t - o r d e r l o g i c .

C o m b i n e d w i t h t h e s t a t u s o f I F f i r s t - o r d e r l o g i c a s t h e n a t u r a lb a s i c c o r e a r e a o f l o g i c , t h e s e o b s e r v a t i o n s w i l l b e s e e n t o p u t t h ee n t i r e f o u n d a t i o n s o f l o g i c i n a n e w l i g h t , a s I w i l l s h o w i n t h e

s u b s e q u e n t c h a p t e r s o f t h i s b o o k . A m o n g t h e m i n o r n e w b r i d g e s o n eh a s t o c r o s s h e r e i s t h e p r e c i s e d e f i n i t i o n o f n o t i o n s l i k e l o g i c a lc o n s e q u e n c e a n d l o g i c a l e q u i v a l e n c e . T h e n o v e l t y i s d u e t o t h ef a i l u r e o f t h e l a w o f e x c l u d e d m i d d l e , w h i c h f o r c e s u s t o a s s o c i a t ew i t h e a c h s e n t e n c e S n o t o n l y t h e c l a s s M ( S ) o f a l l m o d e l s i n w h i c h i ti s t r u e , b u t a l s o t h e c l a s s M ( S ) o f a l l m o d e l s i n w h i c h i t i s f a l s e , f o r t h el a t t e r i s n o l o n g e r a m e r e c o m p l e m e n t o f t h e f o r m e r . T h i s p r o m p t st h e q u e s t i o n : A r e t w o s e n t e n c e s l o g i c a l l y e q u i v a l e n t i f a n d o n l y i ft h e y a r e t r u e i n t h e s a m e m o d e l s ( o n t h e s a m e i n t e r p r e t a t i o n ) , o r a r et h e y t o b e s o c a l l e d i f a n d o n l y i f t h e y a r e t r u e a n d f a l s e i n t h e s a m em o d e l s ? I n t h i s w o r k , I w i l l c o n s i s t e n t l y o p t f o r t h e f o r m e r a l t e r n a -t i v e , a n d f o r i t s a n a l o g i e s w i t h o t h e r c o n c e p t s o f t h e m e t a t h e o r y o fl o g i c .

I n d e e d , a n A r g u s - e y e d r e a d e r m a y a l r e a d y h a v e n o t i c e d t h a tI t a c i t l y r e l i e d o n s u c h a n u n d e r s t a n d i n g o f t h e b a s i c m e t a l o g i c a l

n o t i o n s l i k e l o g i c a l e q u i v a l e n c e i n t h e p r e c e d i n g a r g u m e n t s t h a te s t a b l i s h e d s o m e o f t h e b a s i c l o g i c a l p r o p e r t i e s o f I F f i r s t - o r d e rl a n g u a g e s . M o r e o v e r , a n d m o s t i m p o r t a n t l y , a n I F f i r s t - o r d e r s e n -t e n c e a n d i t s s e c o n d - o r d e r t r a n s l a t i o n a r e t r u e i n t h e s a m e m o d e l s ,b u t t h e y a r e n o t f a l s e i n t h e m o d e l s . T h i s f o l l o w s f r o m t h e f a c tt h a t t e r t i u m n o n d a t u r h o l d s o r d i n a r y s e c o n d - o r d e r l o g i c , b u t n o t

i n I F f i r s t - o r d e r l o g i c .




B y m e a n s o f I F f i r s t - o r d e r l o g i c w e c a n o v e r c o m e m o s t o f t h el i m i t a t i o n s o f o r d i n a r y f i r s t - o r d e r l o g i c w h i c h w e r e p o i n t e d o u t i ne a r l i e r c h a p t e r s . I F f i r s t - o r d e r l o g i c i s t h u s t h e k e y t o o l i n m ya p p r o a c h t o t h e f o u n d a t i o n s o f l o g i c a n d m a t h e m a t i c s . E a r l i e r ,I a r g u e d f o r t h e s t a t u s o f I F f i r s t - o r d e r l o g i c a s t h e c o r e a r e a o f a l ll o g i c . T h i s s p e c i a l s t a t u s o f t h e n o t i o n o f i n f o r m a t i o n a l i n d e p e n d e n c ec a n b e i l l u s t r a t e d f u r t h e r b y p o i n t i n g o u t t h e u b i q u i t y o f t h e p h e -n o m e n o n o f i n f o r m a t i o n a l i n d e p e n d e n c e i n t h e s e m a n t i c s o f n a t u r a ll a n g u a g e s . T h i s u b i q u i t y i s n o t o b v i o u s p r i m a f a c i e , a l t h o u g h t h es u c c e s s o f G T S m a k e s i t p r e d i c t a b l e . T h e r e a s o n s f o r i t s i n c o n s p i c u -

o u s n e s s a r e d i a g n o s e d i n H i n t i k k a ( 1 9 9 0 ) .( i x ) S o m e p h i l o s o p h e r s h a v e s e e n i n t h e a b s e n c e o f a c o m p l e t ep r o o f p r o c e d u r e t h e b a s i s o f a s e r i o u s o b j e c t i o n t o I F f i r s t - o r d e rl o g i c . S u c h a w a y o f t h i n k i n g i s b a s e d o n a n u m b e r o f s e r i o u sm i s t a k e s . A p p a r e n t l y t h e s k e p t i c s t h i n k t h a t t h e y c a n n o t u n d e r s t a n da l a n g u a g e u n l e s s t h e y u n d e r s t a n d i t s l o g i c ; t h a t t h e y d o n o tu n d e r s t a n d i t s l o g i c u n l e s s t h e y u n d e r s t a n d w h a t i t s l o g i c a l t r u t h sa r e ; a n d t h a t t h e y d o n o t u n d e r s t a n d t h e l o g i c a l t r u t h s o f a p a r t o f

l o g i c u n l e s s t h e y h a v e a c o m p l e t e a x i o m a t i z a t i o n o f s u c h t r u t h s( v a l i d f o r m u l a s ) . T h e l a s t t w o s t e p s o f t h i s l i n e o f t h o u g h t a r e b o t hf a l l a c i o u s . F i r s t , w h a t i s n e e d e d t o u n d e r s t a n d a l a n g u a g e i s t ou n d e r s t a n d t h e n o t i o n o f t r u t h ( t r u t h s i m p l i c i t e r , n o t l o g i c a l t r u t h ) a sa p p l i e d t o i t . T h e r e a s o n i s t h a t w h a t a s e n t e n c e s a y s i s i n e f f e c t t h a tt h e w o r l d i s s u c h t h a t i t i s t r u e i n t h e w o r l d . T h i s p o i n t i s c o m p l e t e l yo b v i o u s , a n d i t h a s b e e n e m p h a s i z e d b y a v a r i e t y o f p r o m i n e n tp h i l o s o p h e r s a l l t h e w a y f r o m F r e g e t o D a v i d s o n . I d o n o t s e e m u c hp o i n t i n a r g u i n g f o r i t e l a b o r a t e l y h e r e .

S i n c e I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e s a d m i t t r u t h d e f i n i t i o n s e x p r e s s i b l ei n t h e l a n g u a g e i t s e l f , a s w i l l b e e x p l a i n e d i n a l a t e r c h a p t e r , t h e yc a n n o t p o s s i b l y b e f a u l t e d o n t h i s p o i n t .

T h e s u b t l e r m i s t a k e s e e m s t o b e t h a t i n o r d e r t o u n d e r s t a n d l o g i co n e h a s t o u n d e r s t a n d i t s l o g i c a l t r u t h s . T h i s i s a t b e s t a h a l f - t r u t h .O n e p o s s i b l e m i s t a k e h e r e i s t o t h i n k t h a t l o g i c a l t r u t h s a r e m e r e l y

a s u b c l a s s o f t r u t h s . H e n c e , a c c o r d i n g t o t h i s l i n e o f t h o u g h t , as a t i s f a c t o r y a c c o u n t o f t r u t h f o r a l a n g u a g e o u g h t t o y i e l d a sa s p e c i a l c a s e a n a c c o u n t o f l o g i c a l t r u t h f o r t h i s l a n g u a g e . B u tl o g i c a l t r u t h s i m p l y i s n o t a s p e c i e s o f ( p l a i n ) t r u t h , n o t w i t h s t a n d i n gt h e v i e w s o f F r e g e a n d R u s s e l l . L o g i c a l t r u t h s a r e n o t t r u t h s a b o u tt h i s w o r l d o f o u r s . T h e y a r e t r u t h s a b o u t a l l p o s s i b l e w o r l d s , t r u t h so n a n y i n t e r p r e t a t i o n o f n o n l o g i c a l c o n s t a n t s . T h i s n o t i o n i s a n




a n i m a l o f a n e n t i r e l y d i f f e r e n t c o l o r f r o m o r d i n a r y t r u t h i n s o m e o n ew o r l d . I n t h i s s e n s e , t o c a l l v a l i d s e n t e n c e s " l o g i c a l l y t r u e " i s a m i s -n o m e r . S e v e r a l p h i l o s o p h e r s w h o s w e a r b y t h e o r d i n a r y n o t i o n o ft r u t h a r e n o n e t h e l e s s m o r e t h a n a l i t t l e s k e p t i c a l o f t h e u l t i m a t ev i a b i l i t y o f t h e v e r y n o t i o n o f l o g i c a l t r u t h .

M o r e o v e r , i t s i m p l y i s n o t t r u e t h a t t h e o n l y w a y o f c o m i n g t om a s t e r t h e n o t i o n o f l o g i c a l t r u t h i s t o p r o v i d e a r e c u r s i v e e n u m e r -a t i o n o f l o g i c a l l y t r u e s e n t e n c e s . S u c h a n e n u m e r a t i o n i s n e i t h e rn e c e s s a r y n o r s u f f i c i e n t f o r t h e p u r p o s e . O n t h e o n e h a n d , e v e n i f w e

c a n g i v e s u c h a n e n u m e r a t i o n , i t i s n o t a u t o m a t i c a l l y c l e a r w h a t i t i s

t h a t i s b e i n g e n u m e r a t e d . O n t h e o t h e r h a n d , t h e r e a r e o t h e r w a y st h a n r e c u r s i v e e n u m e r a t i o n o f c o m i n g t o u n d e r s t a n d t h e i d e a o fl o g i c a l t r u t h . I n d e e d , i f y o u u n d e r s t a n d t h e o r d i n a r y n o t i o n o f t r u t hi n a m o d e l a n d a l s o u n d e r s t a n d w h a t t h e t o t a l i t y o f a l l m o d e l s i s , y o uc a n c h a r a c t e r i z e v a l i d ( l o g i c a l l y t r u e ) s e n t e n c e s t h a t a r e t r u e ( i n t h eo r d i n a r y s e n s e ) i n a l l m o d e l s . T h i s w a y o f c o m i n g t o u n d e r s t a n d t h en o t i o n o f l o g i c a l t r u t h d o e s n o t p r e s u p p o s e t h e a x i o m a t i z a b i l i t y o fa l l l o g i c a l t r u t h s n o r i n d e e d a n y l o g i c a l p r o o f m e t h o d a t a l l .

I t i s f a i r l y c l e a r t h a t m a n y o f t h e p h i l o s o p h e r s w h o o b j e c t t o I Ff i r s t - o r d e r l o g i c o n t h e g r o u n d s o f i t s i n c o m p l e t e n e s s a r e a s s u m i n gs o m e v e r s i o n o f t h e s y n d r o m e w h i c h I h a v e c a l l e d b e l i e f i n t h eu n i v e r s a l i t y o f l a n g u a g e . A m o n g i t s m a n i f e s t a t i o n s i s t h e a s s u m p t i o nt h a t a l l s e m a n t i c s i s i n e f f a b l e a n d t h e t h e s i s t h a t p r o p e r l y s p e a k i n gw e c a n s p e a k o f o n l y t h i s w o r l d o f o u r s . I f t h e l a t t e r t h e s i s i s t r u e ,l o g i c a l t r u t h s m u s t b e a s u b c l a s s o f o r d i n a r y t r u t h s , a s F r e g e a n dR u s s e l l t h o u g h t , f o r t h e r e i s n o t h i n g e l s e f o r t h e m t o b e t r u e a b o u t .W h a t e v e r o n e t h i n k s o f s u c h t h e s e s , i t i s i n a p p r o p r i a t e t o b a s e o n e ' sa r g u m e n t s o n t h e m h e r e . T h e r e a s o n i s t h a t t h e q u e s t i o n o f t h ed e f i n a b i l i t y o r u n d e f i n a b i l i t y o f t r u t h i s o n e o f t h e m o s t i m p o r t a n tt e s t c a s e s a s t o w h e t h e r t h e u n i v e r s a l i t y a s s u m p t i o n i s c o r r e c t o r n o t .H e n c e t o a s s u m e u n i v e r s a l i t y i n t h e p r e s e n t i n s t a n c e i s i n e f f e c t t oa r g u e i n a v i c i o u s ( o r a t b e s t u n i n f o r m a t i v e ) c i r c l e .

S o m e p h i l o s o p h e r s , f o r i n s t a n c e Q u i n e , h a v e e x p r e s s e d t h e f e a r

t h a t a l o g i c w h i c h i s n o t a x i o m a t i z a b l e i s t o o u n w i e l d y t o b e v i a b l e .I F f i r s t - o r d e r l o g i c o f f e r s a c o u n t e r e x a m p l e t o s u c h p a r a n o i a . H o wm a n a g e a b l e I F f i r s t - o r d e r l o g i c i s c o n c e p t u a l l y , i s a t t e s t e d t o b y t h ef a c t t h a t m o s t o f t h e " n i c e " m e t a t h e o r e m s t h a t h o l d i n o r d i n a r yf i r s t - o r d e r l o g i c a l s o h o l d i n I F f i r s t - o r d e r l o g i c , a s w e h a v e s e e n .

( x ) T h e a p p r e h e n s i o n s p r o m p t e d b y t h e n o n a x i o m a t i z a b i l i t y o ft h e l o g i c a l t r u t h s o f I F f i r s t - o r d e r l o g i c c a n p e r h a p s b e p a r t l y a l l a y e d




b y c o n s i d e r i n g t h e q u e s t i o n o f t h e a x i o m a t i z a b i l i t y o f t h e i n c o n s i s t -e n t ( u n s a t i s f i a b l e ) f o r m u l a s o f I F f i r s t - o r d e r l o g i c . A m o m e n t ' st h o u g h t s h o w s t h a t t h e c l a s s o f i n c o n s i s t e n t f o r m u l a s o f o u r n e wl o g i c i s i n d e e d a x i o m a t i z a b l e . T h i s c a n b e s h o w n a n d a n a x i o m a t -i z a t i o n c a n b e f o u n d — a l o n g t h e u s u a l w a y . G i v e n a f i n i t e s e t a o ff o r m u l a s , w e c a n f o r m u l a t e a s e t o f r u l e s f o r a d d i n g n e w f o r m u l a s t oi t a l o n g t h e s a m e l i n e s a s , s a y , i n t h e s t e p - b y - s t e p r u l e s f o r c o n s t r u c t -i n g a m o d e l s e t a l i a s " H i n t i k k a s e t " i n t h e s e n s e o f S m u l l y a n ( 1 9 6 8 ) .I n t u i t i v e l y , w e c a n t h i n k o f f o l l o w i n g t h e s e r u l e s a s a n a t t e m p t t od e s c r i b e m o r e a n d m o r e f u l l y a m o d e l i n w h i c h a l l t h e m e m b e r s o f

a a r e t r u e . T h e r u l e s f o r d o i n g s o a r e , f o r m a l l y s p e a k i n g , i n v e r s e s o fc e r t a i n d i s p r o o f r u l e s . I t i s n o t d i f f i c u l t t o s h o w ( t h o u g h I w i l l n o t d os o h e r e ) t h a t t h e s e r u l e s c a n b e c h o s e n s o a s t o b e c o m p l e t e . T h a t i s t o

s a y , t h e y c a n b e c h o s e n i n s u c h a w a y t h a t t h e y b r i n g o u t t h ei n c o n s i s t e n c y o f a n y i n c o n s i s t e n t a t h a t c a n b e u n c o v e r e d b y a f i n i t en u m b e r o f a p p l i c a t i o n s o f t h e c o n s t r u c t i o n r u l e s : a l l t h e d i f f e r e n tw a y s o f t r y i n g t o c o n s t r u c t a m o d e l f o r t h e m e m b e r s o f a w i l l r u n i n t oa d e a d e n d , j u s t a s i n o r d i n a r y f i r s t - o r d e r l o g i c .

T h e o n l y r e a s o n w h y t h i s c o m p l e t e d i s p r o o f p r o c e d u r e d o e s n o ty i e l d a p r o o f p r o c e d u r e i n I F f i r s t - o r d e r l o g i c i s t h e b e h a v i o r o fn e g a t i o n . F o r a c o m p l e t e p r o o f p r o c e d u r e , s a y , a p r o c e d u r e f o rp r o v i n g a c o n c l u s i o n C f r o m a s e t a o f p r e m i s e s , w e n e e d r u l e s f o rt r y i n g t o c o n s t r u c t a m o d e l i n w h i c h t h e m e m b e r s o f a a r e t r u e b u tC n o t t r u e . I n g e n e r a l , a l a s , t h e r e i s n o c o n t r a d i c t o r y n e g a t i o n o f C i nt h e r e l e v a n t I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e ( i . e . , n o f o r m u l a w h i c h w o u l d b e

t r u e j u s t i n c a s e C i s n o t ) f o r w h i c h w e c o u l d t r y t o c o n s t r u c t a m o d e lj o i n t l y w i t h a . I t i s f o r t h i s r e a s o n t h a t a c o m p l e t e d i s p r o o f p r o c e d u r ed o e s n o t t r a n s l a t e i n t o a c o m p l e t e p r o o f p r o c e d u r e i n t h e t e e t h o fa f a i l u r e o f a t e r t i u m n o n d a t u r .

M o s t o f t h e d e t a i l s o f a d i s p r o o f p r o c e d u r e o f t h e k i n d j u s te n v i s a g e d a r e n o t i n t e r e s t i n g . T h e r e n e v e r t h e l e s s i s o n e p o i n t w o r t hn o t i n g i n i t . I n t h e u s u a l p r o o f a n d d i s p r o o f p r o c e d u r e s , t h e l i o n ' ss h a r e o f t h e w o r k i s d o n e b y i n s t a n t i a t i o n r u l e s o r b y r u l e s e q u i v a l e n t

t o t h e m , e s p e c i a l l y b y t h e r u l e o f e x i s t e n t i a l i n s t a n t i a t i o n o r i t s d u a l ,u n i v e r s a l g e n e r a l i z a t i o n . I n t h e u s u a l s i m p l e f o r m o f t h e r u l e o fe x i s t e n t i a l i n s t a n t i a t i o n , a n e w i n d i v i d u a l c o n s t a n t i s b r o u g h t i n t or e p l a c e t h e v a r i a b l e b o u n d t o a n e x i s t e n t i a l q u a n t i f i e r .

I n I F l o g i c , s u c h a s i m p l e r u l e o f e x i s t e n t i a l i n s t a n t i a t i o n i s n ol o n g e r a d e q u a t e . S u c h a r u l e c a n n o t d i s c r i m i n a t e d i f f e r e n t k i n d s o fd e p e n d e n c i e s o f a n e x i s t e n t i a l q u a n t i f i e r o n u n i v e r s a l q u a n t i f i e r s




w i t h a w i d e r s c o p e . I n s t e a d o f t h e f o r m e r r u l e w h i c h s i m p l y t a k e s u sf r o m a n e x i s t e n t i a l l y q u a n t i f i e d s e n t e n c e

( ± c ) S [ x ] ( 3 . 5 2 )

t o i t s s u b s t i t u t i o n - i n s t a n c e

S [ b ] ( 3 . 5 3 )

w h e r e b i s a n e w i n d i v i d u a l c o n s t a n t , w e m u s t h a v e a r u l e w h i c h t a k e s

u s f r o m a f o r m u l a

S 1 = S 1 [ ( l y / V x 1 , V x 2 , . . . ) S 2 [ y ] ] ( 3 . 5 4 )

( i n t h e n e g a t i o n n o r m a l f o r m ) w h i c h c o n t a i n s a n e x i s t e n t i a l l y q u a n t i -f l e d s u b f o r m u l a t o a n e w s e n t e n c e o f t h e f o r m

( 3 . 5 5 )

w h e r e ( V z 1 ) , ( V z 2 ) , . . . a r e a l l t h e u n i v e r s a l q u a n t i f i e r s o t h e r t h a n( V x 1 ) , ( V x 2 ) , . . . w i t h i n t h e s c o p e o f w h i c h ( ] y / V x 1 , V x 2 , . . . ) o c c u r s i n

s 2 a n d w h e r e f i s a n e w f u n c t i o n c o n s t a n t . T h i s r u l e m i g h t b e c a l l e dt h e r u l e o f f u n c t i o n a l i n s t a n t i a t i o n . W e a l s o n e e d a s t i p u l a t i o n t o t h e

e f f e c t t h a t a r u l e o f u n i v e r s a l i n s t a n t i a t i o n m u s t n o t b e a p p l i e d t oa f o r m u l a ( i n n e g a t i o n n o r m a l f o r m ) t o w h i c h t h e r u l e o f f u n c t i o n a li n s t a n t i a t i o n c a n b e a p p l i e d . O t h e r w i s e w e c a n n o t r e a c h a s o u n d a n dc o m p l e t e s y s t e m o f r u l e s o f d i s p r o o f f o r I F f i r s t - o r d e r l o g i c a l o n ga n y t h i n g l i k e t h e u s u a l l i n e s .

T h i s r e s u l t m i g h t s e e m t o b e r a t h e r q u a i n t , b u t o n a c l o s e r s c r u t i n yi t t u r n s o u t t o t h r o w l i g h t o n g e n e r a l i s s u e s c o n c e r n i n g t h e n a t u r e o fq u a n t i f i e r s . I f t h e i d e a o f q u a n t i f i e r s a s h i g h e r - o r d e r p r e d i c a t e s i sr i g h t , t h e n a f i r s t - o r d e r e x i s t e n t i a l q u a n t i f i e r p r e f i x e d t o a n o p e nf o r m u l a s a y s m e r e l y t h a t t h e ( u s u a l l y c o m p l e x ) p r e d i c a t e d e f i n e d b yt h a t o p e n f o r m u l a i s n o t e m p t y . T h e r e s u l t i n g l o g i c s o u n d e r s t o o dm u s t b e e x h a u s t e d b y t h e u s u a l r u l e o f e x i s t e n t i a l i n s t a n t i a t i o n w h i c h

i n t r o d u c e s o n e n e w i n d i v i d u a l c o n s t a n t , f o r t h e n o n e m p t y n e s s o f

a p r e d i c a t e c a n b e e x p r e s s e d b y u s i n g s u c h a c o n s t a n t . H o w e v e r , w ej u s t s a w t h a t s u c h a s i m p l e i n s t a n t i a t i o n r u l e i s n o t s u f f i c i e n t o ra l w a y s a d m i s s i b l e . W h y n o t ? T h e r e a s o n o b v i o u s l y i s t h a t H i l b e r tw a s r i g h t a n d F r e g e w r o n g t h a t i s , t h a t q u a n t i f i e r s a r e i n r e a l i t yt a c i t c h o i c e f u n c t i o n s t h a t d e p e n d o n s o m e o u t s i d e u n i v e r s a l q u a n t i -

f i e r s b u t n o t o n o t h e r s . T h e i n s u f f i c i e n c y o f t h e u s u a l r u l e o fe x i s t e n t i a l i n s t a n t i a t i o n i n I F f i r s t - o r d e r l o g i c t h u s c o n s t i t u t e s t e l l i n g




e v i d e n c e a g a i n s t t h e i d e a t h a t q u a n t i f i e r s a r e m e r e l y h i g h e r - o r d e rp r e d i c a t e s .

T h e n a t u r a l n e s s o f t h e r u l e o f f u n c t i o n a l i n s t a n t i a t i o n c a n b ei l l u s t r a t e d i n a v a r i e t y o f w a y s . F o r i n s t a n c e , a p e r c e p t i v e r e a d e r m a yh a v e n o t i c e d t h a t i t i s v e r y c l o s e l y r e l a t e d t o t h e w a y m o s t m e t a -t h e o r e t i c a l r e s u l t s w e r e p r o v e d , a s i n S e c t i o n ( a ) . F u r t h e r m o r e , t h eo l d - f a s h i o n e d r u l e o f e x i s t e n t i a l i n s t a n t i a t i o n c a n b e t h o u g h t o f a sa l i m i t i n g c a s e o f f u n c t i o n a l i n s t a n t i a t i o n a n d t h e i n s t a n t i a t i n gi n d i v i d u a l c o n s t a n t a s a f u n c t i o n c o n s t a n t w i t h z e r o a r g u m e n t s .T h u s t h e s u f f i c i e n c y o f t h e r u l e o f e x i s t e n t i a l i n s t a n t i a t i o n i n o r d i -

n a r y f i r s t - o r d e r l o g i c c a n b e t h o u g h t o f a s y e t a n o t h e r p i e c e o fu n d e s e r v e d l u c k w h i c h h a s b e f a l l e n t h i s p a r t i c u l a r l o g i c , b u t w h i c h i sn o t r e p r e s e n t a t i v e o f t h e r e a l s i t u a t i o n i n l o g i c i n g e n e r a l .

C o n v e r s e l y , t h e n e w r u l e o f f u n c t i o n a l i n s t a n t i a t i o n i s a m o s tn a t u r a l g e n e r a l i z a t i o n o f t h e o l d r u l e o f e x i s t e n t i a l i n s t a n t i a t i o n .O t h e r c h a n g e s i n t h e f a m i l i a r r u l e s o f l o g i c a l i n f e r e n c e m a y l i k e w i s eb e n e e d e d i n I F f i r s t - o r d e r l o g i c . F o r i n s t a n c e , w e m a y c h o o s e t os t i p u l a t e t h a t t h e i n c l u s i o n o f t h e s y n t a c t i c a l s c o p e o f ( Q 2 x ) w i t h i n

t h e s c o p e o f ( Q 1 x ) a u t o m a t i c a l l y m e a n s t h a t t h e f o r m e r d e p e n d so n t h e l a t t e r . I f s o , t h e u s u a l r u l e s f o r e x t e n d i n g a n d c o n -t r a c t i n g t h e s c o p e o f t h e q u a n t i f i e r o v e r a n o t h e r q u a n t i f i e r m a y h a v et o b e r e f o r m u l a t e d .

A n o t h e r d i m e n s i o n o f t h e n e e d f o r a r u l e o f f u n c t i o n a l i n s t a n t i -a t i o n i s t h a t i t i l l u s t r a t e s t h e f a i l u r e o f c o m p o s i t i o n a l i t y i n I Ff i r s t - o r d e r l o g i c . I n t h e m o s t n a t u r a l r u l e s o f d i s p r o o f f o r t h i s l o g i c ,

w h a t i s s u b s t i t u t e d f o r a n e x i s t e n t i a l l y b o u n d v a r i a b l e d e p e n d sf o r i t s c o n t e x t o n t h e e n t i r e i n i t i a l f o r m u l a t o b e t e s t e d f o r p o s s i b l ei n c o n s i s t e n c i e s .

Y e t a n o t h e r i m p l i c a t i o n o f t h e n e e d f o r a f u n c t i o n a l i n s t a n t i a t i o nr u l e p e r t a i n s t o t h e r e l a t i o n o f t h e s e m a n t i c a l g a m e s o f v e r i f i c a t i o na n d f a l s i f i c a t i o n t o t h e g a m e s o f f o r m a l p r o o f a n d d i s p r o o f . A t f i r s t

s i g h t , i t l o o k s a s i f o n e c o u l d r e a d f r o m t h e r u l e s o f v e r i f i c a t i o n g a m e sr u l e s f o r c o n s t r u c t i n g a w o r l d i n w h i c h t h e r e e x i s t s a w i n n i n g

s t r a t e g y f o r t h e i n i t i a l v e r i f i e r . I n a c e r t a i n s e n s e t h i s h o l d s f o rd i s p r o o f p r o c e d u r e s , b u t n o t i n a s d i r e c t a s e n s e a s m i g h t f i r s t s e e m t ob e t h e c a s e . F o r t h e e x i s t e n c e o f a w i n n i n g s t r a t e g y i s n o t a m a t t e r o ft h e p o s s i b i l i t y o f m a k i n g m o v e s i n a c e r t a i n w a y i n d e p e n d e n t l yo f o t h e r m o v e s . T h e e x i s t e n c e o f a s t r a t e g y i n v o l v e s d e p e n d e n c i e s o fm o v e s o n o r o f e a c h o t h e r . S u c h ( i n ) d e p e n d e n c i e s c a n b e c a p t u r e do n l y b y m e a n s o f f u n c t i o n s .




T h u s i n a v e r y r e a l s e n s e I F l o g i c d o e s n o t o n l y f o r c e u s t o r e t h i n kt h e s e m a n t i c s o f o u r b a s i c l o g i c ; i t f o r c e s u s a l s o t o r e c o n s i d e r o u rr u l e s o f l o g i c a l i n f e r e n c e . I n t e r m s o f m y a n a c h r o n i s t i c i n d i c t m e n t o f

F r e g e , h i s m i s t a k e i s n o t l i m i t e d t o f o r m u l a t i n g h i s f o r m a t i o n r u l e st o o r e s t r i c t i v e l y . I f h e h a d r e m o v e d t h e r e s t r i c t i o n s , h e w o u l d a l s oh a v e h a d t o s t r e n g t h e n h i s r u l e s o f i n f e r e n c e .

N o t e

1 T h i s s e e m s t o h a v e b e e n e s t a b l i s h e d f i r s t b y W a l k o e ( 1 9 7 0 ) ; b u t s e e a l s o E n d e r t o n( 1 9 7 0 ) a n d B a r w i s e ( 1 9 7 9 ) .



4

T h e J o y s o f I n d e p e n d e n c e :S o m e U s e s o f I F L o g i c

S o f a r , I h a v e b e e n t a l k i n g a b o u t w h a t I F l o g i c i s l i k e . T h e n e x t q u e s -t i o n i s w h a t s u c h a l o g i c c a n d o . T h i s q u e s t i o n a d m i t s o f a v a r i e t y o f

p a r t i a l a n s w e r s a l r e a d y a t t h e p r e s e n t s t a g e o f t h e e x p l o r a t i o n t h a t i sb e i n g c a r r i e d o u t h e r e .

P e r h a p s t h e m o s t g e n e r a l k e y t o t h e u s e f u l n e s s o f a r e c o g n i t i o n o f

i n f o r m a t i o n a l i n d e p e n d e n c e i s t h e u b i q u i t y o f s u c h i n d e p e n d e n c e .M a n y p h i l o s o p h e r s s t i l l s e e m t o t h i n k o f b r a n c h i n g q u a n t i f i e r s — a n d

i n f o r m a t i o n a l i n d e p e n d e n c e i n g e n e r a l a s a m a r g i n a l p h e n o m -e n o n , a l o g i c i a n ' s c u r i o s i t y w i t h o u t d e e p e r t h e o r e t i c a l i n t e r e s t . I nv i e w o f s u c h v i e w s , i t i s i m p o r t a n t t o r e a l i z e t h a t i n f o r m a t i o n a li n d e p e n d e n c e i s i n r e a l i t y a w i d e s p r e a d a n d i m p o r t a n t f e a t u r e o f t h es e m a n t i c s o f n a t u r a l l a n g u a g e s . I t c a n b e s h o w n t o p l a y a c r u c i a l r o l ei n e p i s t e m i c l o g i c , i n t h e t h e o r y o f q u e s t i o n s a n d a n s w e r s , i n t h e d ed i c t o v e r s u s d e r e d i s t i n c t i o n , a n d s o f o r t h .

T h e p r e v a l e n c e o f i n f o r m a t i o n a l i n d e p e n d e n c e d o e s n o t c o m e a sa s u r p r i s e t o a n y o n e w h o t h i n k s g a m e - t h e o r e t i c a l l y a b o u t t h es e m a n t i c s o f n a t u r a l l a n g u a g e s . T h e l e a d i n g i d e a o f s u c h a g a m e -t h e o r e t i c a l a p p r o a c h i s t o a s s o c i a t e a g a m e r u l e t o e a c h d i f f e r e n ts t r u c t u r a l f e a t u r e a n d t o e a c h l e x i c a l i t e m o f a n a t u r a l l a n g u a g e . B u ta s s o o n a s t h a t h a s b e e n d o n e , y o u h a v e — o r , r a t h e r , l a n g u a g e u s e r s

h a v e — t h e o p t i o n o f c o n s i d e r i n g s o m e m o v e s a s b e i n g m a d e o n t h eb a s i s o f n o n m a x i m a l i n f o r m a t i o n s e t s , n o m a t t e r w h a t t h e s t r u c t u r a lf e a t u r e o r l e x i c a l i t e m i n q u e s t i o n i s . H e n c e t h e p r e v a l e n c e o fi n d e p e n d e n c e i s v i r t u a l l y a c o r o l l a r y o f t h e b a s i c i d e a o f G T S ,a s s u m i n g o f c o u r s e i t s s u c c e s s i n e l u c i d a t i n g t h e d i f f e r e n t a s p e c t s o ft h e s e m a n t i c s o f n a t u r a l l a n g u a g e s .

7 2



J O Y S O F I N D E P E N D E N C E : S O M E U S E S O F I F L O G I C 7 3

T h e u b i q u i t y o f t h e p h e n o m e n o n o f i n f o r m a t i o n a l i n d e p e n d e n c ei n n a t u r a l l a n g u a g e n e v e r t h e l e s s h a s b e e n h i d d e n b y t h e f a c t t h a ti n f o r m a t i o n a l i n d e p e n d e n c e i s n o t i n d i c a t e d i n n a t u r a l l a n g u a g e s b ya n y u n i f o r m s y n t a c t i c a l d e v i c e . T h e r e a s o n s f o r t h i s s e c r e t i v e n e s s o fn a t u r a l l a n g u a g e g r a m m a r t u r n o u t i n f a c t t o b e h i g h l y i n t e r e s t -i n g f r o m t h e v i e w p o i n t o f l i n g u i s t i c t h e o r i z i n g ( s e e H i n t i k k a

1 9 9 0 ) .

A t e r m i n o l o g i c a l c o m m e n t m a y b e i n o r d e r h e r e . A t l e a s t o n eo b s e r v e r h a s i n d i s c u s s i o n c a l l e d I F f i r s t - o r d e r l o g i c " d e v i a n t " . T h ee p i t h e t i s u n d e s e r v e d . I F f i r s t - o r d e r l o g i c i s a c o n s e r v a t i v e e x t e n s i o n

o f o r d i n a r y f i r s t - o r d e r l o g i c . I t c o n t a i n s c l a s s i c a l f i r s t - o r d e r l o g i c a sa p a r t , a n d h e n c e c a n n o t b e c a l l e d n o n c l a s s i c a l e x c e p t o n t h e p a i n o fd e v i a n t t e r m i n o l o g y . M o r e t h a n t h a t : e v e n t h o u g h t h e e x t e n s i o nb e y o n d o r d i n a r y f i r s t - o r d e r l o g i c w h i c h I F f i r s t - o r d e r l o g i c r e p r e -s e n t s e x h i b i t s n o n c l a s s i c a l b e h a v i o r , t h i s e x t e n s i o n i s f o r c e d o n u s b yp e r f e c t l y c l a s s i c a l p r i n c i p l e s . W h a t h a p p e n e d w a s t h a t I a s s u m e ds o m e p e r f e c t l y c l a s s i c a l l a w s f o r t h e n o n o r d i n a r y p a r t o f I F f i r s t -o r d e r l o g i c , s u c h a s D e M o r g a n ' s l a w s , t h e l a w o f d o u b l e n e g a t i o n ,

a n d s o f o r t h . B u t t h e n i t t u r n e d o u t t h a t t h o s e a s s u m p t i o n s e n t a i l e da v i o l a t i o n o f a n o t h e r a l l e g e d l y c l a s s i c a l l a w , n a m e l y , t h e l a w o fe x c l u d e d m i d d l e . H e n c e a t t r i b u t e s l i k e " d e v i a n t " a n d " n o n c l a s s i c a l "w h e n a p p l i e d t o I F f i r s t - o r d e r l o g i c a r e a p t t o d i r e c t a h e a r e r ' sa t t e n t i o n t o a d i a m e t r i c a l l y w r o n g d i r e c t i o n .

O n e c a n a l s o p o i n t o u t t h a t , i n p r i n c i p l e , i n t e r p r e t e d I F f i r s t - o r d e rs e n t e n c e s a r e n o t c o n n e c t e d w i t h e x p e r i e n c e i n a m o r e d i s t a n t m a n -n e r t h a n o r d i n a r y f i r s t - o r d e r s e n t e n c e s . I h a v e p o i n t e d o u t o n e a r l i e ro c c a s i o n s , f o r i n s t a n c e i n H i n t i k k a ( 1 9 8 8 a ) , t h a t e v e n s e n t e n c e s w i t ha c o m p l e x q u a n t i f i e r p r e f i x c a n b e t h o u g h t o f a s h a v i n g b e e n l e a r n e d

d i r e c t l y . I n p a r t i c u l a r , w h a t a c o n t r o l l e d e x p e r i m e n t s h o w s i na s i m p l e t w o - v a r i a b l e c a s e i s h o w t h e o b s e r v e d v a r i a b l e d e p e n d s o nt h e c o n t r o l v a r i a b l e . T h e o u t c o m e o f s u c h a n e x p e r i m e n t i s t h e r e f o r ea s e n t e n c e o f t h e f o r m

y ] ( 4 . 1 )

n o r m a l l y w i t h s o m e r e s t r i c t i o n x 1 < x < x 2 o n x . M o r e c o m p l e xe x p e r i m e n t a l s e t u p s c a n y i e l d m o r e c o m p l e x p r o p o s i t i o n s . A m o -m e n t ' s t h o u g h t s h o w s t h a t t h e y c a n l i k e w i s e y i e l d a n I F f i r s t - o r d e rs e n t e n c e , f o r e x a m p l e ,

y , z , u ] ( 4 . 2 )




H e r e x a n d z a r e t h e c o n t r o l v a r i a b l e s , y a n d u t h e o b s e r v e d o n e s .W h a t t h e e x p e r i m e n t w i l l h a v e t o s h o w i s , a m o n g o t h e r t h i n g s , t h a ty d o e s n o t d e p e n d o n z o r u o n x . E s t a b l i s h i n g s u c h a n i n d e p e n d e n c ee x p e r i m e n t a l l y m a y b e d i f f i c u l t i n p r a c t i c e , b u t i t i s n o t i m p o s s i b l e i np r i n c i p l e .

O n e c a n s a y m o r e h e r e , h o w e v e r . O n e s u r p r i s e i s n o t e n o u g h . I tw a s s e e n i n t h e p r e c e d i n g c h a p t e r t h a t t h i n g s a r e n o t i n l o g i c a s w eu s e d t o t h i n k . T h e t r u e b a s i c l o g i c i s n o t o r d i n a r y f i r s t - o r d e r l o g i c ,b u t i n d e p e n d e n c e - f r i e n d l y f i r s t - o r d e r l o g i c . B u t t h i n g s a r e n o t a s w eu s e d t o t h i n k i n m a t h e m a t i c s , e i t h e r . T h e u s u a l p i c t u r e o f m a t h e m a t -

i c a l p r a c t i c e i s o f a m a t h e m a t i c i a n c a r r y i n g o u t p r o o f s i n t e r m s o ff i r s t - o r d e r l o g i c . W h a t e v e r a s s u m p t i o n s o n e h a s t o m a k e b e y o n df i r s t - o r d e r l o g i c a r e s e t - t h e o r e t i c a l , a n d t h e e n t i r e e n t e r p r i s e c a n i n

p r i n c i p l e b e c a r r i e d o u t w i t h i n a n a x i o m a t i c s e t t h e o r y .T h i s i s a m i s l e a d i n g p i c t u r e o f m a t h e m a t i c s . O n e r e a s o n w h y i t i s

m i s l e a d i n g i s t h a t m a t h e m a t i c s i s f u l l o f c o n c e p t u a l i z a t i o n s w h i c h i nt h e l a s t a n a l y s i s m u s t b e e x p r e s s e d b y m e a n s o f I F f i r s t - o r d e r l o g i cr a t h e r t h a n o f o r d i n a r y f i r s t - o r d e r l o g i c s , e v e n t h o u g h t h i s i n g r e d i e n t

i s s e l d o m a c k n o w l e d g e d i n s o m a n y w o r d s . P e r h a p s t h e m o s tf a m i l i a r e x a m p l e i s o f f e r e d b y t h e n o t i o n o f u n i f o r m d i f f e r e n t i a b i l i t y .

T h e f u n c t i o n f ( x ) i s d i f f e r e n t i a b l e a t e a c h p o i n t o f a n i n t e r v a lx 1 < x < x 2 i f a n d o n l y i f

< x < x 2 ) & ( I z i < I o I ) )

D ( I ( ( f ( x + z ) — f ( x ) ) / z ) - - - y I < I r D ) ( 4 . 3 )

T h e f u n c t i o n i s u n i f o r m l y d i f f e r e n t i a b l e i n t h e s a m e i n t e r v a l i f a n do n l y i f t h e s a m e c o n d i t i o n i s s a t i s f i e d w i t h r e p l a c e d b y I nt h i s c a s e o f u n i f o r m d i f f e r e n t i a b i l i t y , a c o n f u s i o n b e t w e e n d e p e n d e n ta n d i n d e p e n d e n t q u a n t i f i e r s h a s a c t u a l l y m a n i f e s t e d i t s e l f i n t h eh i s t o r y o f m a t h e m a t i c s ( s e e , f o r i n s t a n c e , G r a b i n e r 1 9 8 1 , p . 1 3 3 ) .

I n g e n e r a l , t h e m a t h e m a t i c a l n o t i o n o f u n i f o r m i t y i s c l o s e l yr e l a t e d t o t h e i d e a o f i n f o r m a t i o n a l i n d e p e n d e n c e .

S u c h e x a m p l e s a r e e a s i l y m u l t i p l i e d . I n m a n y c a s e s , t h e u s e o f I Fq u a n t i f i e r s i s h i d d e n b y t h e u s e o f f u n c t i o n s y m b o l s . C o n s i d e ra s e c o n d - o r d e r f o r m u l a w h e r e t w o f u n c t i o n s a r e a s s e r t e d t o e x i s t .S u p p o s e t h e a r g u m e n t s e t s o f t h o s e f u n c t i o n s a r e n o t l i n e a r l yo r d e r e d b y c l a s s - i n c l u s i o n . T h e n t h e r e s u l t i n g e x p r e s s i o n w i l l h a v et h e l o g i c a l f o r m

( 4 . 4 )




w h e r e t h e s e t s { x 1 1 , x 1 2 , .. . } a r e n o t l i n e a r l y o r d e r e d b y c l a s s i n c l u -

s i o n . T h e n t h e t r a n s l a t i o n o f ( 4 . 4 ) t o t h e f i r s t - o r d e r l e v e l w i l l n o r -m a l l y i n v o l v e i r r e d u c i b l y I F q u a n t i f i e r s .

E v e n a s e n t e n c e a s s e r t i n g t h e e x i s t e n c e o f a s i n g l e f u n c t i o n , w h o s ea r g u m e n t s e t s a t i t s d i f f e r e n t o c c u r r e n c e s a r e n o t l i n e a r l y o r d e r e d b yc l a s s i n c l u s i o n , c a n b e a c a s e i n p o i n t . A n e x a m p l e m i g h t b e o f t h ef o r m

( ] f ) ( V x ) ( V z ) S [ x , z , . f ( x ) , f ( z ) ] ( 4 . 5 )

H e r e ( 4 . 5 ) i s e a s i l y s e e n t o b e e q u i v a l e n t t o

z ) ( y = u ) ) ) ( 4 . 6 )

S u c h e x a m p l e s p e r h a p s i l l u s t r a t e w h y i n f o r m a t i o n a l i n d e p e n d e n c ei s n o t a n u n k n o w n p h e n o m e n o n i n w o r k i n g m a t h e m a t i c s . O n ec a n n o t p e r h a p s h o p e t o f i n d e x a m p l e s o f b r a n c h i n g f i r s t - o r d e rq u a n t i f i e r s t r u c t u r e s e x p l i c i t l y m e n t i o n e d i n m a t h e m a t i c a l t r e a t i s e s ,b u t o n e s h o u l d n o t b e s u r p r i s e d t o f i n d m a t h e m a t i c a l r e s u l t s w h i c ha s s e r t t h e e x i s t e n c e o f t w o f u n c t i o n s o f o n e v a r i a b l e w h o s e v a l u e s f o r

r e s p e c t i v e l y d i f f e r e n t a r g u m e n t s c a n b e r e l a t e d t o e a c h o t h e r i n as p e c i f i a b l e w a y , a s i n a s e n t e n c e l i k e

f ( x ) , z , g ( z ) ] ( 4 . 7 )

A n d , a s h a s b e e n s e e n , t o a s s e r t ( 4 . 7 ) i s e q u i v a l e n t t o a s s e r t i n g t h ei n d e p e n d e n c e - f r i e n d l y f i r s t - o r d e r s e n t e n c e

y , z , u ] ( 4 . 2 )

T h e c o n n e c t i o n b e t w e e n t h e n o t i o n o f i n f o r m a t i o n a l i n d e p e n -d e n c e a n d t h e r e l a t i o n b e t w e e n t h e a r g u m e n t s e t s o f d i f f e r e n t f u n c -t i o n s c a n b e p u t t o u s e f o r c l a r i f i c a t o r y p u r p o s e s t h a t t r a n s c e n d t h es c o p e o f l o g i c a n d m a t h e m a t i c s . C o n s i d e r , a s a n e x a m p l e , t h eq u e s t i o n a s t o w h e n t w o p h y s i c a l s y s t e m s a n d E 2 a r e i n d e p e n d e n to f e a c h o t h e r . L e t u s a s s u m e , f o r t h e s a k e o f a n a l y s i s , t h a t t h e s e

s y s t e m s a n d t h e i r b e h a v i o r a r e s p e c i f i e d i n f i r s t - o r d e r t e r m s . T h e n

o n e m a y b e t e m p t e d t o s a y t h a t a n d E 2 a r e i n d e p e n d e n t i f a n do n l y i f t h e q u a n t i f i e r s c h a r a c t e r i z i n g o n e r a n g e o v e r a s e t o f i n d i v i d -u a l s d i f f e r e n t f r o m , a n d e x c l u s i v e o f , t h e r a n g e o f v a l u e s o f q u a n t i f i e r s

c h a r a c t e r i z i n g t h e o t h e r . W e c a n n o w s e e t h a t t h i s r e q u i r e m e n t i s n o ta l w a y s s u f f i c i e n t . F o r t h e r e l a t i v e o r d e r o f t h e m e m b e r s o f t h e t w os e t s o f c h a r a c t e r i z i n g q u a n t i f i e r s m a y s t i l l c r e a t e d e p e n d e n c i e s b e -t w e e n t h e t w o s e t s , a n d h e n c e b e t w e e n t h e t w o s y s t e m s . H e n c e , f o r




a s a t i s f a c t o r y c h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e m u t u a l i n d e p e n d e n c e o f t h e t w os y s t e m s , i t m u s t a l s o b e r e q u i r e d t h a t t h e q u a n t i f i e r s c h a r a c t e r i z i n g o n ea r e i n f o r m a t i o n a l l y i n d e p e n d e n t o f t h o s e c h a r a c t e r i z i n g t h e o t h e r .

A n e s p e c i a l l y i n t e r e s t i n g a n d t a c i t u s e o f i n f o r m a t i o n a l l y i n d e p e n -d e n t q u a n t i f i e r s i s f o u n d i n t h e m a t h e m a t i c s o f q u a n t u m t h e o r y . L e tu s a s s u m e t h a t w e a r e t h e r e c o n s i d e r i n g a s y s t e m s w h o s e s t a t e

d e p e n d s a m o n g o t h e r s o n t w o v a r i a b l e s x , z . L e t y a n d u b e v a r i a b l e sf o r t h e o b s e r v e d v a l u e s o f x a n d z , r e s p e c t i v e l y . L e t S [ x , y , z , u ] b e

a s p e c i f i c a t i o n o f h o w x , y , z , u a r e r e l a t e d t o e a c h o t h e r . I n p r a c t i c e ,S [ x , y , z , u ] i n c l u d e s a s p e c i f i c a t i o n o f t h e s t a t e o f t h e s y s t e m i n

q u e s t i o n , i n c l u d i n g t h e v a l u e s o f x a n d z . I t w i l l a l s o i n c l u d e as p e c i f i c a t i o n o f t h e p r o j e c t i o n o p e r a t o r s w h i c h l e a d f r o m t h e s t a t ev e c t o r t o t h e p o s s i b l e o b s e r v e d v a l u e s y a n d u .

T h e c r u c i a l q u e s t i o n i s w h e t h e r x a n d z a r e s i m u l t a n e o u s l ym e a s u r a b l e . T h i s q u e s t i o n m e a n s a s k i n g w h e t h e r y c a n d e p e n d o n l yo n x a n d u o n l y o n z . O t h e r w i s e , t h e o b s e r v e d v a l u e s c a n n o t h e l p t os p e c i f y t h e a c t u a l o n e s . B u t t h i s q u e s t i o n a m o u n t s t o a s k i n g w h e t h e rt h e f o l l o w i n g s e n t e n c e i s t r u e :

( ] f ) ( 3 g ) ( V x ) ( V z ) S [ x , f ( x ) , z , g ( z ) ] ( 4 . 7 )

I f x a n d z a r e c o n j u g a t e v a r i a b l e s , t h e w e l l - k n o w n a n s w e r i s t h a t ( 4 . 7 )i s n o t t r u e . O f c o u r s e , t h i s d o e s n o t p r e c l u d e t h a t o n e c a n m e a s u r ee i t h e r x o r z . H o w e v e r , i f o n e t h e n t r i e s t o m e a s u r e t h e o t h e r o n e , t o o ,t h e r e s u l t d e p e n d s a l s o o n t h e f i r s t v a r i a b l e . I n o t h e r w o r d s , t h ef o l l o w i n g s e n t e n c e s c a n b e t r u e e v e n t h o u g h ( 4 . 7 ) i s n o t :

( B f ) ( R g ) ( V x ) ( V z ) S [ x , f ( x ) , z , g ( z , x ) ] ( 4 . 8 )

( J f ) ( d g ) ( V x ) Q V z ) S [ x , f ( x , z ) , z , g ( z ) ] ( 4 . 9 )

B u t t h i s p o s s i b i l i t y i s w e l l k n o w n f r o m t h e t h e o r y o f I F l o g i c . I n f a c t ,( 4 . 7 ) i s e q u i v a l e n t t o t h e I F s e n t e n c e

( V x ) ( V z ) ( a y / V z ) ( J u / V x ) S [ x , y , z , u ] ( 4 . 2 )

w h i l e ( 8 ) — ( 9 ) a r e e q u i v a l e n t t o t h e f o l l o w i n g o r d i n a r y f i r s t - o r d e rs e n t e n c e s :

( V x ) ( J y ) ( V z ) ( J u ) S [ x , y , z , u ] ( 4 . 1 0 )

y , z , u ] ( 4 . 1 1 )

A s u s u a l , t h e I F f o r m u l a ( 4 . 2 ) i s s t r o n g e r t h a n t h e c o r r e s p o n d i n g




o r d i n a r y f i r s t - o r d e r f o r m u l a s ( 4 . 1 0 ) — ( 4 . 1 1 ) . T h u s ( 4 . 2 ) = ( 4 . 7 ) c a n f a i l

t o b e t r u e e v e n t h o u g h ( 4 . 1 0 ) ( 4 . 8 ) a n d ( 4 . 1 1 ) ( 4 . 9 ) a r e t r u e .M o r e o v e r , i t n e e d n o t e v e n b e t h e c a s e t h a t ( 4 . 7 ) i s f a l s e ; i t m a y s i m p l y

f a i l t o b e t r u e . ( T h e r e a d e r w i l l f i n d m o r e a b o u t t h i s p o s s i b i l i t y i nC h a p t e r 7 . )

T h u s c e r t a i n i n i t i a l l y p u z z l i n g a s p e c t s o f t h e c o n c e p t u a l s i t u a t i o ni n q u a n t u m t h e o r y , e s p e c i a l l y t h e i m p o s s i b i l i t y o f m e a s u r i n g c o n j u -g a t e v a r i a b l e s a t t h e s a m e t i m e , c a n b e u n d e r s t o o d a s e x a m p l e s o f t h ec h a r a c t e r i s t i c b e h a v i o r o f q u a n t i f i e r s i n I F l o g i c . T h i s f a c t , t o g e t h e rw i t h m y e a r l i e r e x p l a n a t i o n o f h o w n a t u r a l l y t h e d i s t i n c t i v e f e a t u r e s

o f I F l o g i c e m e r g e o u t o f g a m e - t h e o r e t i c a l s e m a n t i c s , h e l p s t od e m y s t i f y t h e i n d e t e r m i n a c y p h e n o m e n a o f q u a n t u m t h e o r y .T h e r e i s a n o t h e r c o n n e c t i o n h e r e w i t h w h a t i s f o u n d i n q u a n t u m

t h e o r y . T h e f o r m u l a s ( 4 . 8 ) = ( 4 . 1 0 ) a n d ( 4 . 9 ) = ( 4 . 1 1 ) c a n b e t a k e n t op e r t a i n t o t h e t w o d i f f e r e n t o r d e r s o f t h e t w o p r o j e c t i v e o p e r a t i o n st h a t c h a r a c t e r i z e t h e m e a s u r e m e n t o f x a n d z , r e s p e c t i v e l y . T h e r e s u l ti s d i f f e r e n t i n t h e t w o c a s e s i n t h a t ( 4 . 8 ) = ( 4 . 1 0 ) a n d ( 4 . 9 ) = ( 4 . 1 1 ) a r en o t e q u i v a l e n t . T h i s a m o u n t s t o t h e p h e n o m e n o n o f n o n c o m -

m u t a t i v i t y , w h i c h a g a i n t u r n s o u t t o b e a m a n i f e s t a t i o n o f a s i m p l ef e a t u r e o f I F l o g i c . H o w c l o s e w e a r e h e r e t o t h e a c t u a l m a t h e m a t i c so f q u a n t u m t h e o r y i s s h o w n b y t h e w e l l - k n o w n r e s u l t s ( s e e , e . g . ,H u g h e s 1 9 8 9 , p p . 1 0 2 — 1 0 4 ) t o t h e e f f e c t t h a t c o m p a t i b l e o b s e r v a b l e sc o m m u t e . F o r o n e c a n d e f i n e c o m p a t i b l e o b s e r v a b l e s a s t w o o b s e r v -a b l e s b o t h o f w h i c h d e p e n d f u n c t i o n a l l y o n o n e a n d t h e s a m e t h i r do b s e r v a b l e .

I t i s w o r t h p o i n t i n g o u t t h a t i n a n a l y z i n g a n d e x p l i c a t i n g s u c hn o t i o n s a s i n d e t e r m i n a c y a n d f a i l u r e o f c o m m u t a t i v i t y I h a v e n o ta p p e a l e d i n t h e l e a s t t o t h e p h y s i c a l s i t u a t i o n i n q u a n t u m t h e o r y , f o ri n s t a n c e t o t h e a l l e g e d i n f l u e n c e o f t h e m e a s u r e m e n t a p p a r a t u s o nt h e o b j e c t o f m e a s u r e m e n t . I d o n o t n e e d s u c h h y p o t h e s e s h e r e .

I n m a t h e m a t i c s , u n l i k e p h y s i c s , t h e i n f o r m a t i o n a l i n d e p e n d e n c eo f q u a n t i f i e r s r a n g i n g o v e r d i f f e r e n t c l a s s e s o f i n d i v i d u a l s i s s o m e -

t i m e s t a k e n f o r g r a n t e d . A s a r e s u l t , a n e n t i r e a n d e x t e n s i v e m a t h -

e m a t i c a l t h e o r y c a n b e e s s e n t i a l l y a t h e o r y o f c e r t a i n k i n d s o fi n f o r m a t i o n a l l y i n d e p e n d e n t q u a n t i f i e r s . A n i m p o r t a n t e x a m p l e i so f f e r e d b y w h a t i s k n o w n a s t h e R a m s e y T h e o r y i n c o m b i n a t o r i c s . I tw a s l a u n c h e d b y F r a n k R a m s e y ( 1 9 3 0 ) a s a b y - p r o d u c t o f h i s w o r ko n t h e d e c i s i o n p r o b l e m o f f i r s t - o r d e r l o g i c , a n d r e d i s c o v e r e d i n

1 9 3 3 b y a g r o u p o f y o u n g m a t h e m a t i c i a n s t h a t i n c l u d e d P a u l E r d ö sa n d G e o r g e S z e k e r e s . T h e f i r s t p r o b l e m t h a t c a u g h t t h e a t t e n t i o n o f




o n e o f t h e m ( E s t h e r K l e i n ) c a n s e r v e t o i l l u s t r a t e t h e r o l e o f i n f o r m a -t i o n a l l y i n d e p e n d e n t q u a n t i f i e r s i n R a m s e y T h e o r y . T h e p r o b l e mw a s t o p r o v e t h e f o l l o w i n g t h e o r e m : I f f i v e p o i n t s a l l l i e i n a p l a n e b u tn o t h r e e o f t h e m i n a s t r a i g h t l i n e , t h e n f o u r o f t h e f i v e a l w a y s f o r ma c o n v e x q u a d r i l a t e r a l ( c f . G r a h a m a n d S p e n c e r 1 9 9 0 , p . 1 1 4 ) . T h e

f i v e o r i g i n a l p o i n t s c a n b e t h o u g h t o f a s b e i n g i n t r o d u c e d b y f i v eu n i v e r s a l q u a n t i f i e r s , s a y ( V x 1 ) , ( V x 2 ) , ( V x 3 ) , ( V x 4 ) a n d ( V x 5 ) . T h e

c h o i c e o f t h e f o u r c a n b e f o r m a l i z e d b y a n e x i s t e n t i a l q u a n t i f i e rs p e c i f y i n g t h e e x c l u d e d p o i n t , s a y

( 4 . 1 2 )

T h e q u a n t i f i e r s b y m e a n s o f w h i c h i t i s s t i p u l a t e d t h a t t h e o t h e r f o u rf o r m a c o n v e x q u a d r i l a t e r a l c l e a r l y c a n — a n d m u s t — b e t a k e n t o b ei n d e p e n d e n t o f t h e f i f t h a n d o f ( d y ) .

E r d ö s a n d K l e i n q u i c k l y g e n e r a l i z e d t h e p r o b l e m o f 1 + 2 " 2

g i v e n p o i n t s a n d a c o n v e x k - s i d e d p o l y g o n . I n r e c a l l i n g t h e e v e n t ,S z e k e r e s s u b s e q u e n t l y w r o t e

W e s o o n r e a l i z e d t h a t s i m p l e - m i n d e d a r g u m e n t w o u l d n o t d o a n d t h e r ew a s a f e e l i n g o f e x c i t e m e n t t h a t a n e w t y p e o f g e o m e t r i c a l p r o b l e m e m e r g e df r o m o u r c i r c l e . ( G r a h a m a n d S p e n c e r 1 9 9 0 , p . 1 1 4 ) .

I n t h e l i g h t o f h i n d s i g h t , w e c a n s a y t h a t t h e " n e w t y p e o f • . . p r o b l e m "

w a s a p r o b l e m i n v o l v i n g i n f o r m a t i o n a l l y i n d e p e n d e n t q u a n t i f i e r s .T h i s i s t h e e x p l a n a t i o n o f t h e n o n t r i v i a l i t y o f p r o o f s o f r e l a t i v e l ys i m p l e r e s u l t s i n R a m s e y T h e o r y w h i c h w a s n o t e d b y S z e k e r e s . I n

f a c t , t h e e n t i r e R a m s e y T h e o r y i s s h o t t h r o u g h w i t h i n f o r m a t i o n a l l yi n d e p e n d e n t q u a n t i f i e r s .T h i s c a n b e i l l u s t r a t e d a n d d o c u m e n t e d b y c o n s i d e r i n g a s a n

e x a m p l e o n e o f t h e m a i n r e s u l t s o f R a m s e y T h e o r y , k n o w n a s t h eH a l e s — J e w e t t T h e o r e m . I t c a n b e f o r m u l a t e d i n t h e c o n v e n t i o n a lt e r m i n o l o g y a s f o l l o w s :

F o r a l l r , t t h e r e e x i s t s N ' = H J ( r , t ) s o t h a t f o r N N ' , t h ef o l l o w i n g h o l d s : I f t h e v e r t i c e s o f a r e r - c o l o r e d t h e r e e x i s t s

a m o n o c h r o m a t i c l i n e .I h a v e f o l l o w e d h e r e t h e f o r m u l a t i o n o f G r a h a m , R o t s c h i l d , a n d

S p e n c e r ( 1 9 9 0 , p p . 3 2 — 3 5 ) . O n e d o e s n o t e v e n h a v e t o k n o w t h ep r e c i s e d e f i n i t i o n s o f t h e c o n c e p t s u s e d h e r e t o r e a l i z e w h a t i s g o i n go n . ( A s a n a i d t o v i s u a l i z a t i o n , i s r o u g h l y s p e a k i n g a n N -d i m e n s i o n a l c u b e w i t h e d g e s o f t u n i t s . ) I t i s e a s i l y s e e n t h a t t h eH a l e s — J e w e t t T h e o r e m c a n b e r e f o r m u l a t e d a s f o l l o w s :




F o r a l l t , t h e f o l l o w i n g h o l d s : F o r e a c h R t h e r e e x i s t s N ' , a n d f o re a c h t o g e t h e r w i t h a r - c o l o r i n g o f i t s v e r t i c e s , t h e r e e x i s t s a l i n e

I i n s u c h t h a t , i f N N ' a n d R r , t h e n 1 i s m o n o c h r o m a t i c .

H e r e " e x i s t i n g f o r " m e a n s b e i n g f u n c t i o n a l l y d e p e n d e n t o n .T h e p o i n t i s t h a t N ' i s a f u n c t i o n o n l y o f t a n d R w h i l e I i s a f u n c t i o no f o n l y t , N , a n d t h e r - c o l o r i n g . F o r i n s t a n c e , f o r 1 w e c a n t a k e t h e l i n ei n t h a t h a s t h e l a r g e s t n u m b e r o f e l e m e n t s o f t h e s a m e c o l o r . T h i sb r i n g s i n t o t h e o p e n t h a t t h e r e i s a H e n k i n q u a n t i f i e r s t r u c t u r e a sp a r t o f t h e l o g i c a l f o r m o f t h e H a l e s — J e w e t t T h e o r e m .

S i m i l a r c o m m e n t s c a n b e m a d e o f s e v e r a l o t h e r t h e o r e m s o f

R a m s e y T h e o r y . A s w a s m e n t i o n e d , i t s e e m s t o m e t h a t t h e o v e r a l lc h a r a c t e r o f R a m s e y T h e o r y i s c l o s e l y r e l a t e d t o t h e p e r v a s i v e u s e o fi n f o r m a t i o n a l l y i n d e p e n d e n t q u a n t i f i e r s i n i t . I n f a c t , s o m e o f t h ep e c u l i a r i t i e s o f i n f o r m a t i o n a l l y i n d e p e n d e n t q u a n t i f i e r s h a v e b e e nn o t e d p r e c i s e l y i n t h e c o n t e x t o f R a m s e y T h e o r y b y l o g i c i a n s a n dl i n g u i s t s s t u d y i n g g e n e r a l i z e d q u a n t i f i e r s ( s e e K e e n a n a n dW e s t e r s t a h l , 1 9 9 6 ) . T h e y h a v e n o t p o i n t e d o u t t h e g e n e r a l i t y o f t h ep h e n o m e n o n i n q u e s t i o n , h o w e v e r .

T h e c o m b i n a t o r i a l c o m p l e x i t y o f I F f i r s t - o r d e r l o g i c i s r e l a t e d t oc e r t a i n t y p e s o f c o m p u t a t i o n a l c o m p l e x i t y . T h i s m a t t e r i s s t u d i e d i nH i n t i k k a a n d S a n d u ( 1 9 9 5 ) . T h e y c o n s i d e r a f i r s t - o r d e r a r i t h m e t i c a ll a n g u a g e L . W i t h e a c h f o r m u l a F o r L , t h e y c o r r e l a t e a c o m p u t e ra r c h i t e c t u r e c a p a b l e o f c o m p u t i n g t h e S k o l e m f u n c t i o n s o f F ( i n t h ee x t e n d e d s e n s e o f S k o l e m f u n c t i o n e x p l a i n e d i n C h a p t e r 2 ) . F o r a no p e n f o r m u l a F [ x ] w i t h , s a y , o n e f r e e v a r i a b l e x , t h i s c o m p u t e ra r c h i t e c t u r e w i l l t h e n b e a b l e t o c o m p u t e f o r a n y g i v e n v a l u e x ,w h e t h e r t h i s v a l u e s a t i s f i e s F [ x ] o r n o t . F o r a c l o s e d f o r m u l a

( s e n t e n c e ) t h i s c o m p u t e r c a n c a l c u l a t e t h e t r u t h - v a l u e o f t h e s e n t e n c ei n q u e s t i o n .

T h i s c o r r e l a t i o n b e t w e e n l o g i c a l f o r m u l a s a n d c o m p u t e r a r c h i t e c -t u r e s i s a g e n e r a l i z a t i o n o f t h e a n t e d i l u v i a n o r , r a t h e r , p r e - v o n

N e u m a n n c o r r e l a t i o n b e t w e e n t r u t h - f u n c t i o n s a n d s w i t c h i n g c i r -c u i t s . A s w a s j u s t p r e s e n t e d , i t i s n o t c o m p l e t e w h e n o n e g o e s b e y o n d

p r o p o s i t i o n a l l o g i c i n t h e s e n s e t h a t m a n y c o n s i s t e n t f i r s t - o r d e rs e n t e n c e s d o n o t h a v e r e c u r s i v e S k o l e m f u n c t i o n s . N o c o m p u t e ra r c h i t e c t u r e i s t h e n c o r r e l a t e d w i t h t h e m , n o t w i t h s t a n d i n g t h e i rc o n s i s t e n c y . I w i l l r e t u r n t o t h i s m a t t e r i n C h a p t e r 1 0 . I t d o e s n o ti n v a l i d a t e t h e u s e t o w h i c h I a m p u t t i n g t h e ( a d m i t t e d l y p a r t i a l )c o r r e l a t i o n b e t w e e n f i r s t - o r d e r f o r m u l a s a n d c o m p u t i n g a r c h i t e c -t u r e s .




H o w d o e s t h i s c o r r e l a t i o n b e h a v e ? S u p p o s e I a m g i v e n t w of o r m u l a s . T o e a c h I c a n c o r r e l a t e a c e r t a i n c o m p u t e r , b u t I c a n a l s oc o m b i n e t h e t w o f o r m u l a s i n t o a m o r e c o m p l e x o n e . T h i s c o m b i n e df o r m u l a w i l l b e c o r r e l a t e d ( w i t h a u s u a l l y m o r e c o m p l e x ) c o m p u t e ra r c h i t e c t u r e .

T h i s c o r r e l a t i o n c a n b e e x t e n d e d t o s i m p l e a n d m o r e c o m p l e xf u n c t i o n a l e x p r e s s i o n s ( f u n c t i o n a l t e r m s ) . T h e n t h e c o r r e l a t e o f s u c ha t e r m w i l l b e s i m p l y a c o m p u t e r a r c h i t e c t u r e t h a t w i l l c o m p u t e t h ef u n c t i o n i n q u e s t i o n .

A n y s u c h f u n c t i o n a l e x p r e s s i o n f 0 [ x ] c a n a l s o b e c o r r e l a t e d w i t h

t h e f o r m u l a( V x ) ( B y ) ( y = f ' 0 [ x ] ) ( 4 . 1 3 )

C l e a r l y t h e S k o l e m f u n c t i o n o f ( 4 . 1 3 ) c a n b e c h o s e n t o b e f 0 [ x ] .H o w e v e r , h e r e w e a r e c o n s i d e r i n g f o r m u l a — a r c h i t e c t u r e c o r r e l a -t i o n s , a n d u s i n g t h e e x t e n s i o n t o f u n c t i o n a l e x p r e s s i o n s o n l y a s a ne x p o s i t o r y d e v i c e . S t r i c t l y s p e a k i n g y o u s h o u l d a l w a y s t h i n k o f a l lf u n c t i o n s a s h a v i n g b e e n e l i m i n a t e d f r o m f o r m u l a s I a m d i s c u s s i n g i n

t e r m s o f p r e d i c a t e s i n t h e u s u a l w a y , r e w r i t i n g , f o r e x a m p l e , f ( x ) = ya s F ( x , y ) w h e r e i t i s a s s u m e d t h a t

( V x ) ( J y ) F ( x , y ) ( 4 . 1 4 )

( V x ) ( V y ) ( V z ) ( ( F ( x , y ) & F ( x , z ) ) D y = z ) ( 4 . 1 5 )

T h e f a i l u r e o f a n a n a l o g y b e t w e e n f i r s t - o r d e r f o r m u l a s a n d f i r s t -o r d e r f u n c t i o n a l e x p r e s s i o n s i l l u s t r a t e s h o w e a s i l y o n e l o s e s s i g h t o fi n f o r m a t i o n a l i n d e p e n d e n c e b y s w i t c h i n g o n e ' s a t t e n t i o n t o f u n c -t i o n s . I t i s a s i f o n e h a d a l r e a d y o p e n e d t h e d o o r a l i t t l e b i t t o t h ea x i o m o f c h o i c e m e r e l y b y a l l o w i n g f u n c t i o n s y m b o l s i n t o o n e ' sf i r s t - o r d e r l a n g u a g e .

B u t s u p p o s e I s t a r t f r o m t w o c o m p u t e r a r c h i t e c t u r e s , e a c h c o r r e -l a t e d w i t h a c e r t a i n o r d i n a r y f i r s t - o r d e r f o r m u l a . F u r t h e r m o r e ,s u p p o s e t h a t t h e s e c o m p u t e r a r c h i t e c t u r e s a r e t h e n c o m b i n e d i n t o

a m o r e c o m p l e x o n e . I s t h e r e s t i l l a n o r d i n a r y f i r s t - o r d e r f o r m u l ac o r r e l a t e d w i t h t h e c o m b i n e d a r c h i t e c t u r e ? T h e r i g h t a n s w e r i s : I td e p e n d s . I t i s n o t h a r d t o s e e t h a t i f t h e t w o g i v e n c o m p u t e r s a r ec o m b i n e d s e q u e n t i a l l y , t h e r e s u l t i s a c o r r e l a t e o f a m o r e c o m p l e xo r d i n a r y f i r s t - o r d e r f o r m u l a . F o r i n s t a n c e , i f t h e t w o f o r m u l a s a r e

f u n c t i o n a l t e r m s [ x ] a n d f 2 [ x ] , t h e n t h e s e q u e n t i a l c o m b i n a t i o nc o r r e s p o n d s t o f 2 [ f 1 [ x ] ] .




I t i s e a s i l y s e e n , h o w e v e r , t h a t w h e n t w o c o m p u t e r a r c h i t e c t u r e sa r e c o m b i n e d i n p a r a l l e l ( e . g . , a s c o m p o n e n t s o f a m o r e c o m p r e h e n -s i v e a r c h i t e c t u r e ) t h e r e s u l t i s n o l o n g e r a l w a y s a c o r r e l a t e o f a no r d i n a r y f i r s t - o r d e r e x p r e s s i o n . F o r i n s t a n c e , c o n s i d e r t h e f o l l o w i n gc o m b i n e d a r c h i t e c t u r e , w h e r e C 1 , C 2 , a n d C 0 a r e c o r r e l a t e s o fc e r t a i n f u n c t i o n a l e x p r e s s i o n s f 1 [ x ] , f 2 [ x ] , a n d f 0 [ x ] :

C l C 0

f 1 [ x ]

C 2 f 0 [ f 1 [ x ] , f 2 [ x ] Jf 2 [ ' I

T h u s t h e r e i s a f u n c t i o n a l e x p r e s s i o n c o r r e l a t e d w i t h t h e c o m -b i n e d a r c h i t e c t u r e ; b u t t h e r e i s n o l o n g e r a n o r d i n a r y f i r s t - o r d e rf o r m u l a c o r r e l a t e d w i t h i t . F o r s u p p o s e C 1 a n d C 2 a r e c o r r e l a t e dw i t h

a n d ( 4 . 1 6 )

( V z ) ( a u ) S 1 [ z , u ] ( 4 . 1 7 )

T h e n i n t h e f o r m u l a c o r r e l a t e d w i t h t h e c o m b i n e d a r c h i t e c t u r e ( R y )m u s t d e p e n d o n ( Y x ) b u t n o t o n ( V z ) . L i k e w i s e , ( B u ) m u s t d e p e n d o n

( V z ) b u t n o t o n ( V x ) . S u c h a p a t t e r n o f d e p e n d e n c i e s c a n n o t b er e p r e s e n t e d b y a n y o r d i n a r y q u a n t i f i e r p r e f i x .

H o w e v e r , i t c a n o b v i o u s l y b e e x p r e s s e d b y m e a n s o f t h e I F p r e f i x

( V x ) ( V z ) ( J y / V z ) ( d u / V x ) ( 4 . 1 8 )

H e n c e a p a r a l l e l c o m b i n a t i o n o f a r c h i t e c t u r e s c o r r e s p o n d s , n o ta l w a y s t o a n o r d i n a r y f i r s t - o r d e r f o r m u l a , b u t ( a l w a y s ) t o a n I Ff i r s t - o r d e r f o r m u l a . I n t h i s i n t e r e s t i n g s e n s e , I F f i r s t - o r d e r l o g i c i s t h e

l o g i c o f p a r a l l e l p r o c e s s i n g . F o r a l l p r a c t i c a l p u r p o s e s , i t i s s u c h a

l o g i c i n t h e s a m e s e n s e i n w h i c h t r u t h - f u n c t i o n t h e o r y i s t h e l o g i c o fs w i t c h i n g c i r c u i t s , a l b e i t w i t h t h e q u a l i f i c a t i o n t o b e r e g i s t e r e d i nC h a p t e r 1 0 .

I n d e p e n d e n c e - f r i e n d l y l o g i c c a n a l s o b e u s e d t o d i s c u s s m a t t e r s o fp r i n c i p l e i n t h e f o u n d a t i o n s o f m a t h e m a t i c s . A m o n g o t h e r t h i n g s , i tt h r o w s a d d i t i o n a l i n t e r e s t i n g l i g h t o n t h e a x i o m o f c h o i c e . I t w a sn o t e d i n t h e p r e c e d i n g c h a p t e r t h a t i n I F f i r s t - o r d e r l o g i c w e c a n




h a v e a c o m p l e t e d i s p r o o f p r o c e d u r e , e v e n t h o u g h t h e r e i s n o c o m -p l e t e p r o o f p r o c e d u r e . S u c h a c o m p l e t e d i s p r o o f p r o c e d u r e n e v e r -t h e l e s s c a n n o t b e o b t a i n e d s i m p l y b y e x t e n d i n g t h e t e c h n i q u e s o ff i r s t - o r d e r r e a s o n i n g t o I F f i r s t - o r d e r l o g i c . T h e u s u a l r u l e o f i n s t a n -t i a t i o n , e s p e c i a l l y t h e r u l e f o r e x i s t e n t i a l i n s t a n t i a t i o n , c a n n o t d o t h ew h o l e j o b . T h e r e a s o n i s i n t r i n s i c t o t h e v e r y i d e a s o f q u a n t i f i e rd e p e n d e n c e a n d i n d e p e n d e n c e . I f w e t r y t o d e a l w i t h q u a n t i f i e r s i n I Ff i r s t - o r d e r l o g i c b y m e a n s o f s u c c e s s i v e i n s t a n t i a t i o n s , w e l o s e t r a c ko f w h i c h i n s t a n t i a t i o n s d e p e n d o n w h i c h . W e n e e d a r u l e o f f u n c -t i o n a l i n s t a n t i a t i o n f o r t h e p u r p o s e , a s w a s i n d i c a t e d i n t h e p r e c e d -

i n g c h a p t e r . T h e f a c t t h a t i t i s p o s s i b l e t o u s e o n l y i n d i v i d u a li n s t a n t i a t i o n i n o r d i n a r y f i r s t - o r d e r l o g i c i s a f o r t u n a t e b u t a t y p i c a la n d a c c i d e n t a l f e a t u r e o f t h i s l o g i c . I n t h i s r e s p e c t , a s i n s e v e r a lo t h e r s ( c f . C h a p t e r 2 ) , o r d i n a r y f i r s t - o r d e r l o g i c i s s i m p l y t o o s i m p l et o s e r v e a s a p a r a d i g m c a s e o f w h a t r e a l l o g i c i s l i k e i n g e n e r a l .

I n f a c t , w e c o u l d u s e t h e r u l e o f f u n c t i o n a l i n s t a n t i a t i o n ( c f .C h a p t e r 3 ) a l s o i n o r d i n a r y f i r s t - o r d e r l o g i c , a n d o b t a i n a n e l e g a n tp r o o f m e t h o d . P e r h a p s w e o u g h t t o d o s o , n o t o n l y b e c a u s e o f t h e

t e c h n i c a l m e r i t s o f t h e r e s u l t i n g p r o o f m e t h o d b u t p r i m a r i l y b e c a u s ei t w o u l d b r i n g o u t m o r e p e r s p i c u o u s l y t h a n t h e r e c e i v e d m e t h o d s t h e

a l l - i m p o r t a n t r e l a t i o n s o f d e p e n d e n c e a n d i n d e p e n d e n c e b e t w e e nd i f f e r e n t q u a n t i f i e r s . I n a n y c a s e , i t i s a m p l y c l e a r t h a t t h e r u l e o f

f u n c t i o n a l i n s t a n t i a t i o n f o r m u l a t e d i n C h a p t e r 3 i s a n a r c h e t y p a l l yf i r s t - o r d e r ( q u a n t i f i c a t i o n a l ) r u l e . I t i s a n i m m e d i a t e a n d n a t u r a le x p r e s s i o n o f t h e n o r m a l i n t e r p r e t a t i o n o f q u a n t i f i e r s a s c o d i f y i n gc h o i c e f u n c t i o n s o f a c e r t a i n k i n d ( c f . h e r e H i n t i k k a a n d S a n d u 1 9 9 4 ) .

I f s o , t h e n t h e a x i o m o f c h o i c e i s v i n d i c a t e d , f o r , w h e n a p p l i e d t oa s e n t e n c e o f t h e f o r m

( V x ) ( 3 y ) S [ x , y ] ( 4 . 1 )

w h e r e S [ x , y ] i s i n a n e g a t i o n n o r m a l f o r m w i t h n o e x i s t e n t i a lq u a n t i f i e r s a n d n o d i s j u n c t i o n s , i t y i e l d s a s a c o n s e q u e n c e

( V x ) S [ x , f ( x ) ] ( 4 . 1 9 )

w h e r e f i s a n e w f u n c t i o n c o n s t a n t . B u t s u c h i n f e r e n c e s a r e p r e c i s e l yw h a t t h e a x i o m o f c h o i c e j u s t i f i e s .

A l l t h i s c o u l d — a n d s h o u l d — b e s a i d w i t h r e f e r e n c e t o o r d i n a r yf i r s t - o r d e r l o g i c . W h a t I F f i r s t - o r d e r l o g i c d o e s i s , i n t h e f i r s t p l a c e , t oi l l u s t r a t e t h e o r g a n i c p l a c e o f t h e r u l e o f f u n c t i o n a l i n s t a n t i a t i o n i nd e a l i n g w i t h q u a n t i f i e r s o f a n y k i n d b y p o i n t i n g o u t t h a t i n I F




f i r s t - o r d e r l o g i c s o m e s u c h r u l e i s i n d i s p e n s a b l e . T h e s p e c i f i c c o n t r i -b u t i o n t h a t I F f i r s t - o r d e r l o g i c m a k e s h e r e i s t o s h o w t h a t m o r ec o m p l e x a n d p o t e n t i a l l y m o r e p o w e r f u l v a r i a t i o n s o f t h e a x i o m o fc h o i c e c a n b e j u s t i f i e d i n t h e s a m e w a y . T h e i n f e r e n c e s t h e y a u t h o r i z ec o m e a b o u t b y a p p l y i n g t h e r u l e o f f u n c t i o n a l i n s t a n t i a t i o n t os e n t e n c e s m o r e c o m p l e x t h a n ( 4 . 1 ) .

T h u s w e o b t a i n s t r i k i n g e v i d e n c e n o t o n l y o f t h e a c c e p t a b i l i t y o ft h e a x i o m o f c h o i c e b u t a l s o o f i t s c h a r a c t e r a s a p u r e l y l o g i c a lp r i n c i p l e . I n d e e d , t h e r u l e o f f u n c t i o n a l i n s t a n t i a t i o n c a n b e c o n -s i d e r e d a g e n e r a l i z a t i o n o f t h e a x i o m o f c h o i c e a t t h e s a m e t i m e a s i t

c a n b e c o n s i d e r e d a g e n e r a l i z a t i o n o f t h e u s u a l r u l e o f e x i s t e n t i a li n s t a n t i a t i o n i n t e r m s o f i n d i v i d u a l s .T h e m o s t t e l l i n g c o n t e x t n e v e r t h e l e s s , i n w h i c h t h e n o t i o n o f

i n f o r m a t i o n a l i n d e p e n d e n c e p l a y s a c r u c i a l r o l e i s , e p i s t e m i c d i s -c o u r s e , i n c l u d i n g t h e u s e o f q u e s t i o n s a n d a n s w e r s . T h e n o t i o n o fi n d e p e n d e n c e d o e s n o t o n l y o f f e r a n e w a n d s h a r p e r t o o l f o r d i s c u s -s i n g e p i s t e m i c l o g i c a n d t h e l o g i c a n d s e m a n t i c s o f q u e s t i o n s a n da n s w e r s . T h i s n o t i o n i s i n d i s p e n s a b l e f o r t h e p u r p o s e o f c a p t u r i n g

t h e c e n t r a l c o n c e p t s t h a t f i g u r e i n o u r u s e o f s u c h i d e a s a s k n o w l e d g ea s w e l l a s q u e s t i o n a n d a n s w e r . H e r e I w i l l d i s c u s s o n l y t h e l o g i c o fk n o w l e d g e u s u a l l y r e f e r r e d t o a s e p i s t e m i c l o g i c .

T h e r o l e o f i n f o r m a t i o n a l i n d e p e n d e n c e i n e p i s t e m i c l o g i c i s n o to n l y i m p o r t a n t i n i t s o w n r i g h t — i t w i l l l a t e r t u r n o u t t o o f f e r i n s i g h t si n t o t h e e p i s t e m o l o g y o f m a t h e m a t i c s ( s e e C h a p t e r 1 1 ) . I t i s t h e r e -f o r e i n o r d e r t o s k e t c h b r i e f l y t h e r o l e o f i n f o r m a t i o n a l i n d e p e n d e n c ei n e p i s t e m i c l o g i c ( f o r t h e c o n c e p t s u s e d h e r e , s e e H i n t i k k a 1 9 9 2 ) .

A s u s u a l , I t a k e t h e n o t i o n o f k n o w s t h a t a s t h e s o l e p r i m i t i v e . T h es e n t e n c e a k n o w s t h a t S w i l l b e r e p r e s e n t e d a s K a S . I n a d d i t i o n t o t h e

n o t i o n o f k n o w i n g t h a t , w e u s e d t h e n o t i o n o f e p i s t e m i c p o s s i b i l i t y :P b S m e a n s i t i s p o s s i b l e , f o r a l l t h a t b k n o w s , t h a t S . S i n c e t h e o n l y c a s e

c o n s i d e r e d h e r e i s o n e i n w h i c h o n l y o n e p e r s o n ' s k n o w l e d g e i s b e i n gd i s c u s s e d , t h e s u b s c r i p t i n d i c a t i n g t h e a g e n t ( k n o w e r ) c a n s o m e t i m e sb e o m i t t e d .

I t c a n b e s a i d t h a t a s t a t e m e n t l i k e K a S d e a l s w i t h t h e k n o w l e d g e o ff a c t s ( o r o f p r o p o s i t i o n s ) . T h e l o g i c o f s u c h k n o w l e d g e i s r e l a t i v e l y

e a s y t o m a s t e r . I a m t a k i n g h e r e t h e u s u a l s e m a n t i c s o f s u c h n o t i o n sf o r g r a n t e d . W h a t i s n o t e q u a l l y c l e a r i s h o w o u r k n o w l e d g e o f e n t i t i e s( o r o f o b j e c t s ) o f d i f f e r e n t k i n d s ( o t h e r t h a n f a c t s , i n c a s e y o u t h i n k o f

f a c t s a s e n t i t i e s ) c a n b e u n d e r s t o o d a n d h o w i t i s r e l a t e d ( t o t h e e x t e n ti t i s r e l a t e d ) t o o u r k n o w l e d g e o f f a c t s .




T h e m o s t i m p o r t a n t k i n d o f k n o w l e d g e i n v o l v i n g i n d i v i d u a l s ,f u n c t i o n s , a n d o t h e r e n t i t i e s ( d i f f e r e n t f r o m f a c t s ) i s t h e k i n d o f k n o w -

l e d g e w h i c h i n E n g l i s h i s e x p r e s s e d b y t h e d i f f e r e n t w h - c o n s t r u c t i o n s .H o w a r e t h e y t o b e e x p r e s s e d i n a n e x p l i c i t l o g i c a l n o t a t i o n ?

E a r l i e r , a t t e m p t s w e r e m a d e t o d e a l w i t h t h e s e c o n s t r u c t i o n s i nt e r m s o f K p l u s o r d i n a r y f i r s t - o r d e r q u a n t i f i e r s . S e v e r a l c o n s t r u c -t i o n s c a n a p p a r e n t l y b e d e a l t w i t h i n s u c h a m a n n e r , i n c l u d i n g t h ef o l l o w i n g :

a k n o w s w h e t h e r o r n o t S = K a S v K a S ( 4 . 2 0 )

a k n o w s w h e t h e r S 1 o r S 2 = K a S 1 v K a S 2 ( 4 . 2 1 )

a k n o w s w h o s a t i s f i e s t h e c o n d i t i o n S E x ] = ( 4 . 2 2 )

B u t m o r e c o m p l e x k i n d s o f k n o w l e d g e c a n n o t b e s o d e a l t w i t h .S c h e m a t i c e x a m p l e s i l l u s t r a t i n g t h i s i n c l u d e t h e f o l l o w i n g :

a k n o w s t o w h o m ( y ) e a c h i n d i v i d u a l ( x ) b e a r s t h e r e l a t i o nS ( x , y ) ( 4 . 2 3 )

a k n o w s w h e t h e r e a c h i n d i v i d u a l ( x ) s a t i s f i e s t h e c o n d i t i o nS 1 [ x ] o r S 2 [ x ] ( 4 . 2 4 )

I t c a n b e s h o w n t h a t t h e m e a n i n g o f t h e s e s e n t e n c e s c a n n o t b ea c c o u n t e d f o r i n t e r m s o f a n i n t e r p l a y o f K a n d f i r s t - o r d e r q u a n t i f i e r s

( a n d p r o p o s i t i o n a l c o n n e c t i v e s ) . I n t e r m s o f c o n v e n t i o n a l l o g i c a ln o t a t i o n , t h e y c a n b e e x p r e s s e d o n l y b y r e s o r t i n g t o s e c o n d - o r d e rq u a n t i f i c a t i o n . I n d e e d , ( 4 . 2 3 ) — ( 4 . 2 4 ) a r e e q u i v a l e n t t o t h e f o l l o w -

i n g :

f ( x ) ) ( 4 . 2 5 )

& ( f ( x ) = 0 ) ) v ( S 2 [ x ] & ( f ( x ) 0 ) ) ) ( 4 . 2 6 )

B u t t h i s p o s e s a d d i t i o n a l p r o b l e m s . F o r o n e t h i n g , t h e r e i s n o t r a c e o fh i g h e r - o r d e r q u a n t i f i c a t i o n i n t h e E n g l i s h s e n t e n c e s ( 4 . 2 3 ) — ( 4 . 2 4 )a n y m o r e t h a n t h e r e i s s u c h a t r a c e i n ( 4 . 2 0 ) — ( 4 . 2 1 ) . W h y , t h e n , m u s t

w e u s e s e c o n d - o r d e r q u a n t i f i e r s i n ( 4 . 2 3 ) a n d ( 4 . 2 4 ) ? A n d w h y s h o u l d( 4 . 2 3 ) — ( 4 . 2 4 ) h a v e t o b e d e a l t w i t h i n a n e s s e n t i a l l y d i f f e r e n t w a y f r o m

( 4 . 2 1 ) — ( 4 . 2 2 ) , w h e n t h e r e i s n o c l u e t o s u c h a d i f f e r e n c e i n t h e s eo r d i n a r y - l a n g u a g e k n o w l e d g e s t a t e m e n t s ?

A m e t h o d i s f o u n d i n t h i s a p p a r e n t m a d n e s s w h e n w e r e a l i z e t h a tt h e E n g l i s h w h - e l e m e n t s , l o g i c a l l y s p e a k i n g , m e r e l y i n d i c a t e i n d e -p e n d e n c e o f a s e n t e n c e - i n i t i a l K . T h i s i s t r u e o f s u c h " p r o p o s i t i o n a l "




q u e s t i o n s a s ( 4 . 2 0 ) — ( 4 . 2 1 ) w h i c h a r e u s u a l l y n o t i n c l u d e d a m o n gw h - q u e s t i o n s a s w e l l a s o f s u c h w h - q u e s t i o n s p r o p e r a s ( 4 . 2 2 ) — ( 4 . 2 3 ) .( I t i s n o t e v e n c l e a r h o w ( 4 . 2 4 ) s h o u l d b e l a b e l e d i n t h e r e c e i v e dc l a s s i f i c a t i o n . ) T h u s ( 4 . 2 0 ) — ( 4 . 2 4 ) c a n b e r e p r e s e n t e d a s f o l l o w s :

K ( S ( v / K ) S ) ( 4 . 2 7 )

K ( S 1 ( v / K ) S 2 ) ( 4 . 2 8 )

( 4 . 2 9 )

y ] ( 4 . 3 0 )

K ( V x ) ( S 1 [ x ] ( v / K ) S 2 [ x ] ) ( 4 . 3 1 )

H e r e ( 4 . 2 5 ) — ( 4 . 2 6 ) a r e s i m p l y t h e s e c o n d - o r d e r t r a n s l a t i o n s o f ( 4 . 3 0 ) —( 4 . 3 1 ) . W e c a n n o w s e e w h y ( 4 . 2 3 ) — ( 4 . 2 4 ) d o n o t a l l o w f o r a f o r m u l a -t i o n i n t e r m s o f a l i n e a r s e q u e n c e o f q u a n t i f i e r s p l u s K . I f w e t r y t o

e x p r e s s ( 4 . 3 0 ) o n t h e f i r s t - o r d e r l e v e l w i t h o u t i n d e p e n d e n t q u a n t i -f i e r s , w e r u n i n t o a n u n s o l v a b l e d i l e m m a . S i n c e d e p e n d s o n ( V x ) ,

i t s h o u l d c o m e l a t e r t h a n ( V x ) . B u t s i n c e i t i s i n d e p e n d e n t o f K , i ts h o u l d p r e c e d e K a n d h e n c e a l s o ( V x ) . S i m i l a r r e m a r k s a p p l y t o( 4 . 2 4 ) a n d ( 4 . 3 1 ) .

T h e s i m i l a r i t y b e t w e e n I F e p i s t e m i c l a n g u a g e s a n d E n g l i s h b e -c o m e s e v e n m o r e p r o n o u n c e d w h e n w e u s e t h e d o u b l e - s l a s h n o t a -

t i o n . T h i s i s i l l u s t r a t e d b y t h e f o l l o w i n g t r a n s l a t i o n s :

a k n o w s w h e t h e r o r n o t S = ( K a / / v ) ( S v 5 ) ( 4 . 3 2 )

a k n o w s w h e t h e r S 1 o r = ( K a / / v ) ( S 1 v S 2 ) ( 4 . 3 3 )

a k n o w s w h o ( x ) i s s u c h t h a t S E x ] = ( 4 . 3 4 )

a k n o w s t o w h o m ( y ) e a c h i n d i v i d u a l ( x ) b e a r s t h e

r e l a t i o n S [ x , y ] = y ] ( 4 . 3 5 )

a k n o w s w h e t h e r e a c h i n d i v i d u a l ( x ) s a t i s f i e s t h e c o n d i t i o n

S 1 [ x ] o r S 2 [ x ] = ( K a / / v ) ( V x ) ( S 1 [ x ] v S 2 [ x ] )

( 4 . 3 6 )

T h i s i s n o t t h e r i g h t o c c a s i o n t o d e v e l o p f u r t h e r t h e t h e o r y o fe p i s t e m i c l o g i c r e s u l t i n g f r o m t h e s e i d e a s . T h e r e n e v e r t h e l e s s i s o n em a s s i v e f a c t t h a t w i l l l a t e r b e r e l e v a n t t o m y i n v e s t i g a t i o n s i n t h i sb o o k . I n o r d e r t o s e e w h a t i t i s , w e m a y c o n s i d e r t h e t w o e p i s t e m i c




s t a t e m e n t s

K ( J x ) S [ x ] ( 4 . 3 7 )

K ( B x / K ) S [ x ] ( 4 . 2 9 )

W h a t d o e s t h e i r t r u t h m e a n m o d e l - t h e o r e t i c a l l y ? W h a t ( 4 . 3 7 ) s a y s i st h a t i n e a c h m o d e l ( w o r l d , s c e n a r i o ) c o m p a t i b l e w i t h w h a t i s k n o w nt h e r e i s a n i n d i v i d u a l x s a t i s f y i n g S [ x ] . I n o t h e r w o r d s , i t i s k n o w n t h a tt h e r e i s a n x s u c h t h a t S [ x ] . W h a t ( 4 . 2 9 ) s a y s i s t h a t I c a n c h o o s e a ni n d i v i d u a l x , i n d e p e n d e n t l y o f w h a t e v e r w o r l d m y o p p o n e n t c h o o s e s ,

s u c h t h a t S [ x ] i s t r u e i n t h a t w o r l d . T h i s c l e a r l y m e a n s t h a t i t i s k n o w nw h o s u c h a n x i s , T h e i m p o r t a n t s e m a n t i c a l d i f f e r e n c e i s t h a t o f t h e s et w o t h e f o r m e r ( 4 . 3 7 ) d e p e n d s o n l y o n w h a t i s t r u e i n e a c h o f t h e w o r l d s

c o n s i d e r e d a l o n e . N o c o m p a r i s o n s b e t w e e n d i f f e r e n t w o r l d s a r e m a d e .

T h e l a t t e r , t h a t i s ( 4 . 2 9 ) , d e p e n d s a l s o o n w h a t c o u n t s a s t h e s a m ei n d i v i d u a l i n d i f f e r e n t w o r l d s . I n o r d e r t o s p e c i f y t h e s e m a n t i c s o fk n o w s t h a t s t a t e m e n t s , t h e f o r m e r i s e n o u g h . I n o r d e r t o s p e c i f y t h es e m a n t i c s o f k n o w s + w h - c o n s t r u c t i o n s w e a l s o n e e d c r i t e r i a o f c r o s s -

w o r l d i d e n t i t y . T h e y a r e n o t f i x e d b y w h a t i s t r u e i n e a c h w o r l d t a k e na l o n e .

I n b r i e f , t h e c r i t e r i a o f k n o w i n g t h a t d o n o t c o m p l e t e l y d e t e r m i n ew h a t c o u n t s a s k n o w l e d g e o f i n d i v i d u a l s a n d o t h e r k i n d s o f e n t i t i e s ,

f o r i n s t a n c e w h a t c o u n t s a s k n o w i n g w h o , w h a t , w h e n , w h e r e , a n d s of o r t h . T h i s r e s u l t i s e m i n e n t l y i n a g r e e m e n t w i t h w h a t i s f o u n d i no r d i n a r y d i s c o u r s e . I n o r d e r t o u n d e r s t a n d , f o r i n s t a n c e , a k n o w s w h os t a t e m e n t , o n e m u s t k n o w w h a t t h e c r i t e r i a o f i d e n t i f i c a t i o n a r e t h a tt h e s p e a k e r o r w r i t e r i s p r e s u p p o s i n g . I n s o f a r a s w e a r e d e a l i n g w i t ho b j e c t i v e m e a n i n g , t h e s e c r i t e r i a a r e o b j e c t i v e . M o r e o v e r , t h e s a m ec r i t e r i a m u s t b e u s e d t h r o u g h o u t a n y c o h e r e n t a r g u m e n t o r d i s -c o u r s e . B u t t h e y d o n o t r e d u c e t o t h e c r i t e r i a o f k n o w i n g t h a t

( k n o w i n g f a c t s ) . A c c o r d i n g l y , d i f f e r e n t c r i t e r i a c a n b e a d o p t e d , a n da r e a d o p t e d , o n d i f f e r e n t o c c a s i o n s . K n o w i n g w h o s o m e o n e i s m e a n ss o m e w h a t d i f f e r e n t t h i n g s t o p a s s p o r t a u t h o r i t i e s , t h e F B I , o r t o t h e

r e g i s t r a r o f y o u r u n i v e r s i t y ; a n d i t m e a n s r a d i c a l l y d i f f e r e n t t h i n g s t ot h e o c c u l t w r i t e r w h o o n c e a s k e d i n a B o s t o n G l o b e a d : " W h o w e r ey o u i n 1 4 9 3 ? " a n d t o t h e a n o n y m o u s B r i t i s h m a l e c h a u v i n i s t p i g w h oc o i n e d t h e s a y i n g , " B e n i c e t o y o u n g g i r l s . Y o u n e v e r k n o w w h o t h e yw i l l b e . " A c h o i c e b e t w e e n a l l t h e s e d i f f e r e n t c r i t e r i a o f i d e n t i f i c a t i o ni s d e t e r m i n e d n o t b y s o m e e t e r n a l a n d i m m u t a b l e l o g i c , j u s t b e c a u s et h e u n d e r l y i n g l o g i c w i l l r e m a i n t h e s a m e s t r u c t u r a l l y n o m a t t e r




w h i c h c h o i c e i s m a d e ; t h e c h o i c e i s r a t h e r g u i d e d b y g e n e r a l e p i -s t e m o l o g i c a l c o n s i d e r a t i o n s p l u s t h e s p e c i f i c p u r p o s e o f t h e d i s -c o u r s e i n q u e s t i o n .

T h i s o b s e r v a t i o n c a n b e e x t e n d e d t o k n o w l e d g e o f h i g h e r - o r d e re n t i t i e s , f o r i n s t a n c e , k n o w l e d g e o f f u n c t i o n s . T h i s i s a n i m p o r t a n tp o i n t , f o r f u n c t i o n s a r e i n e v i t a b l y i n v o l v e d a s s o o n a s a n e x i s t e n t i a lq u a n t i f i e r d e p e n d s o n a u n i v e r s a l o n e . F o r i n s t a n c e , i n o r d e r t o b e i na p o s i t i o n t o s a y t h a t a s c i e n t i s t s k n o w s t h a t a v a r i a b l e y d e p e n d s o na n o t h e r , s a y x , i n a c e r t a i n w a y s p e c i f i e d b y S { x , y ] i t d o e s n o t s u f f i c et h a t t h e r e e x i s t s a f u n c t i o n f s u c h t h a t h e k n o w s t h a t

K , ( V x ) S [ x , f ( x ) ] ( 4 . 3 8 )

T h i s f u n c t i o n f m u s t f u r t h e r m o r e b e k n o w n t o s . O n l y t h e n d o e s( 4 . 3 8 ) i m p l y

y ] ( 4 . 3 9 )

A n d t h e f a c t t h a t f i s k n o w n t o s i s e x p r e s s e d b y

= y ) ( 4 . 4 0 )

N o w t h e t r u t h - c o n d i t i o n o f s t a t e m e n t s l i k e ( 4 . 3 9 ) a r e n o t d e t e r m i n e db y t h e t r u t h - c o n d i t i o n s o f u n s l a s h e d s t a t e m e n t s o f t h e f o r m I n

o r d e r t o a p p l y e p i s t e m i c c o n c e p t s t o f u n c t i o n s , w e m u s t t h e r e f o r eh a v e i n d e p e n d e n t c r i t e r i a a s t o w h e n t h e y a r e k n o w n .



5

T h e C o m p l e x i t i e s o f C o m p l e t e n e s s

I n v i e w o f w h a t w a s s a i d i n C h a p t e r s 3 — 4 , t h e r e i s n o d o u b t a b o u t t h e

c h a r a c t e r o f I F f i r s t - o r d e r l o g i c a s t h e b a s i c a r e a o f o u r l o g i c . B u tw h a t i s t h i s l o g i c l i k e ? W h a t i s n e w a b o u t i t ? I n C h a p t e r s 3 — 4 , an u m b e r o f p a r t i a l a n s w e r s w e r e g i v e n t o t h e s e q u e s t i o n s . P e r h a p s t h em o s t g e n e r a l o n e c o n c e r n s t h e e x p r e s s i v e s t r e n g t h o f o u r n e w b a s i c

l o g i c . I n v i e w o f t h e c l o s e s i m i l a r i t y b e t w e e n o r d i n a r y a n d I Ff i r s t - o r d e r l o g i c , i t m a y c o m e a s a s u r p r i s e t h a t I F f i r s t - o r d e r l o g i c i sm u c h s t r o n g e r t h a n i t s m o r e r e s t r i c t e d t r a d i t i o n a l v e r s i o n . H o wm u c h s t r o n g e r w i l l b e c o m e c l e a r e r i n t h e c o u r s e o f m y e x a m i n a t i o no f i t s p r o p e r t i e s a n d a p p l i c a t i o n s .

O n e c o n s e q u e n c e o f t h e s t r e n g t h o f I F f i r s t - o r d e r l o g i c i s t h a t i td o e s n o t a d m i t o f a c o m p l e t e a x i o m a t i z a t i o n . T h e s e t o f v a l i d f o r m u l a so f I F f i r s t - o r d e r l o g i c i s n o t r e c u r s i v e l y e n u m e r a b l e . H e n c e t h e r e i s

n o f i n i t e ( o r r e c u r s i v e ) s e t o f a x i o m s f r o m w h i c h a l l v a l i d s e n t e n c e s o ft h i s l o g i c c a n b e d e r i v e d a s t h e o r e m s b y m e a n s o f c o m p l e t e l y f o r m a l

( r e c u r s i v e ) r u l e s o f i n f e r e n c e . T h u s t h e f i r s t r e m a r k a b l e p r o p e r t y o fI F f i r s t - o r d e r l o g i c i s t h a t , u n l i k e i t s s p e c i a l c a s e o f o r d i n a r y f i r s t -o r d e r l o g i c , i t d o e s n o t a d m i t o f a c o m p l e t e a x i o m a t i z a t i o n . T h e

r e a s o n s f o r t h i s i n c o m p l e t e n e s s w i l l b e e x p l a i n e d i n C h a p t e r 7 .H o w a r e w e t o r e a c t t o t h i s i n c o m p l e t e n e s s ? D i f f e r e n t p e r s p e c t i v e s

a r e p o s s i b l e h e r e . P u r e l y t e c h n i c a l l y , i n v i e w o f t h e p o w e r o f I Ff i r s t - o r d e r l o g i c , t h e f a i l u r e o f t h i s l o g i c t o b e a x i o m a t i z a b l e i sp e r h a p s n o t e n t i r e l y s u r p r i s i n g . Y e t t h i s f a i l u r e ( a n d t h i s p o w e r ) g o e sa g a i n s t a p h i l o s o p h i c a l t r a d i t i o n o f l o n g s t a n d i n g . A c c o r d i n g t o t h i st r a d i t i o n a l w a y o f t h i n k i n g , i n c o m p l e t e n e s s i s a p r o b l e m f o r m a t h -e m a t i c i a n s , n o t f o r l o g i c i a n s . I t w a s i n m a n y w a y s s h o c k i n g o f G ö d e l

8 8



C O M P L E X I T I E S O F C O M P L E T E N E S S 8 9

t o p r o v e t h a t a m a t h e m a t i c a l t h e o r y a s s i m p l e a s e l e m e n t a r y a r i t h -m e t i c i s i n c o m p l e t e . Y e t t h e n e a r l y u n i v e r s a l a s s u m p t i o n h a s b e e nt h a t t h i s i n c o m p l e t e n e s s i s s o m e h o w a t t r i b u t a b l e t o t h e c h a r a c t e r o fe l e m e n t a r y a r i t h m e t i c a s a m a t h e m a t i c a l t h e o r y . L o g i c i a n s a n dp h i l o s o p h e r s c o u l d f i n d s o m e c o n s o l a t i o n i n t h e t h o u g h t t h a t p u r el o g i c , w h i c h t y p i c a l l y w a s t a k e n t o b e f i r s t - o r d e r l o g i c , r e m a i n e du n t a i n t e d b y t h e d r e a d e d v i r u s o f i n c o m p l e t e n e s s .

A d m i t t e d l y , c e r t a i n a r e a s o f w h a t i s c o m m o n l y c a l l e d l o g i c , f o ri n s t a n c e s e c o n d - o r d e r l o g i c , h a v e b e e n k n o w n t o b e i n c o m p l e t e . B u tt h e t y p i c a l r e a c t i o n t o t h e i r i n c o m p l e t e n e s s h a s b e e n t o r e c l a s s i f y

t h e m a s m a t h e m a t i c a l r a t h e r t h a n p u r e l y l o g i c a l t h e o r i e s , p e r h a p sa m o u n t i n g t o s e t t h e o r y ( o r a p a r t t h e r e o f ) c o n s i d e r e d a s a m a t h -e m a t i c a l t h e o r y .

T h i s k i n d o f r e a c t i o n t o G ö d e l ' s i n c o m p l e t e n e s s r e s u l t i s n o ta p e c u l i a r i t y o f t w e n t i e t h - c e n t u r y p h i l o s o p h e r s . I t i s i n r e a l i t y p a r ta n d p a r c e l o f a l o n g t r a d i t i o n w h i c h g o e s b a c k a t l e a s t t o D e s c a r t e s .D e s c a r t e s r e j e c t e d t r a d i t i o n a l s y l l o g i s t i c l o g i c a s b e i n g t r i v i a l a n df r u i t l e s s , w h i l e e x t o l l i n g t h e p o w e r o f m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g , e s -

p e c i a l l y o f t h e a n a l y t i c m e t h o d o f G r e e k g e o m e t e r s . 1 I n a s i m i l a r v e i n ,K a n t d e c l a r e d l o g i c a s b e i n g b a s e d o n t h e l a w o f c o n t r a d i c t i o n a n dy i e l d i n g o n l y a n a l y t i c t r u t h s , i n c o n t r a d i s t i n c t i o n t o t h e s y n t h e t i ca p r i o r i t r u t h s o f m a t h e m a t i c s . A g a i n s t s u c h a b a c k g r o u n d , i t w a sn o t s u r p r i s i n g t h a t G ö d e l i a n i n c o m p l e t e n e s s w a s t h o u g h t o f a s b e i n gd u e t o t h e s t a t u s o f e l e m e n t a r y a r i t h m e t i c a s a m a t h e m a t i c a l t h e o r y .

Y e t a c l o s e r a n a l y s i s o f t h e h i s t o r y o f t h i s t r a d i t i o n s o o n p r o d u c e s

w a r n i n g s i g n a l s . W h a t e v e r t h e r i g h t i n t e r p r e t a t i o n o f t h e a n c i e n ta n a l y t i c m e t h o d i s , a n d w h a t e v e r o n e t h i n k s o f i t s u s e i n t h e h a n d s o fD e s c a r t e s a n d h i s c o n t e m p o r a r i e s , i t i s a f a c t t h a t i t w a s u s e d b yG r e e k g e o m e t e r s i n t h e c o n t e x t o f r e a s o n i n g w h i c h c a n b e c a p t u r e db y t h e r e s o u r c e s o f o u r o r d i n a r y f i r s t - o r d e r l o g i c . F u r t h e r m o r e , f o rK a n t t h e g i s t o f t h e m a t h e m a t i c a l m e t h o d c o n s i s t e d i n t h e u s e o f

i n s t a n t i a t i o n r u l e s , w h i c h w i t h o u r t w e n t i e t h - c e n t u r y h i n d s i g h t a r ea g a i n p a r t a n d p a r c e l o f l o g i c i n o u r s e n s e , t h a t i s , o f f i r s t - o r d e r l o g i c .

H e n c e i t i s c l e a r t h a t a t t h e e a r l i e r s t a g e s o f t h i s t r a d i t i o n t h eb o u n d a r y b e t w e e n l o g i c a n d m a t h e m a t i c s w a s d r a w n i n a n e s s e n t i a l -l y d i f f e r e n t w a y f r o m w h a t t w e n t i e t h - c e n t u r y p h i l o s o p h e r s a r e u s e dt o . Y e t t h i s h i s t o r i c a l d i s c r e p a n c y h a s n o t r e a l l y b e e n a c k n o w l e d g e db y m o s t p h i l o s o p h e r s . T h e y g o o n t h i n k i n g i n t e r m s o f a n e s s e n t i a ld i f f e r e n c e b e t w e e n u n p r o b l e m a t i c l o g i c a n d t r e a c h e r o u s m a t h e m a t -i c s . T h i s m a y , a m o n g o t h e r t h i n g s , e x p l a i n w h y H i l b e r t ' s i d e a s h a v e




n o t b e e n a p p r e c i a t e d m o r e w i d e l y . O n e t h i n g t h a t h e t r i e d t o d o w a st o b r e a k d o w n t h e t r a d i t i o n a l d i c h o t o m y b e t w e e n l o g i c a l a n dm a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g .

A g a i n s t t h i s b a c k g r o u n d , i t i s a s h o c k i n d e e d t h a t t h e m o s t b a s i cp a r t o f o u r l o g i c , I F f i r s t - o r d e r l o g i c , i s i n c o m p l e t e . T h i s s h o c k i s n o t

j u s t a m a t t e r o f b e i n g u n u s e d t o t h e i d e a t h a t a g e n u i n e p a r t o f l o g i cc o u l d b e i n c o m p l e t e . F o r o n e t h i n g , i t f o r c e s u s t o l o o k a t t h e e n t i r eh i s t o r y o f t h e f o u n d a t i o n s o f m a t h e m a t i c s i n a n e w l i g h t . F o ri n s t a n c e , s u p p o s e , a s a l i g h t - h e a r t e d t h o u g h t - e x p e r i m e n t , t h a t F r e g eh a d c o r r e c t e d h i s f a l l a c y , a d m i t t e d i n f o r m a t i o n a l l y i n d e p e n d e n t

q u a n t i f i e r s a n d r e a l i z e d t h a t t h e r e s u l t i n g l o g i c i s n o t a x i o m a t i z a b l e .T h i s w o u l d h a v e m a d e n o n s e n s e o f h i s e n t i r e p r o j e c t . F o r w h a tw o u l d t h e n h a v e b e e n t h e p o i n t o f r e d u c i n g m a t h e m a t i c s t o l o g i c , i ft h e l o g i c n e e d e d f o r t h a t p u r p o s e c a n n o t b e a x i o m a t i z e d ? H o w c o u l dF r e g e h a v e p o s s i b l y b e e n a b l e t o c h a r a c t e r i z e t h e l o g i c w h i c h t h er e d u c t i o n a i m s a t , s i n c e h e a v o i d e d s e m a n t i c a l m e t h o d s a n d u s e do n l y f o r m a l ( s y n t a c t i c a l ) o n e s ? A g a i n , H i l b e r t c o u l d n o t h a v e

c o n c e i v e d o f h i s f a m o u s p r o j e c t o f p r o v i n g s e m a n t i c a l ( m o d e l - t h e o r -

e t i c a l ) c o n s i s t e n c y o f m a t h e m a t i c a l t h e o r i e s b y e s t a b l i s h i n g t h e i rp r o o f - t h e o r e t i c a l c o n s i s t e n c y , i f h e h a d r e a l i z e d t h a t t h e t r u e b a s i cl o g i c h e n e e d e d i n t h o s e t h e o r i e s w o u l d n o t h a v e a c o m p l e t ep r o o f - t h e o r e t i c a l a x i o m a t i z a t i o n .

I t i s a l s o i n s t r u c t i v e h e r e t o r e c a l l w h a t w a s f o u n d i n C h a p t e r 2 . I tw a s p o i n t e d o u t t h e r e t h a t , i n a p e r s p e c t i v e p r o v i d e d b y G T S ,o r d i n a r y f i r s t - o r d e r l o g i c i s i n m a n y r e s p e c t s u n r e p r e s e n t a t i v e o f t h ec o n c e p t u a l s i t u a t i o n i n g e n e r a l . O n e o f t h e r e a s o n s w h y I F f i r s t -o r d e r l o g i c i s i n t e r e s t i n g i s t h a t i t i s m o r e r e p r e s e n t a t i v e o f t h e w h o l er a n g e o f t h i n g s t h a t c a n h a p p e n i n l o g i c i n g e n e r a ! t h a n o r d i n a r yf i r s t - o r d e r l o g i c . I t r e p r e s e n t s a c o n c r e t e e x a m p l e o f f e a t u r e s t h a t a r e

c h a r a c t e r i s t i c o f l o g i c i n g e n e r a l b u t a r e n o t e x h i b i t e d b y i t s m o r et r a d i t i o n a l c o u s i n s . I n c o m p l e t e n e s s i s o n e s u c h f e a t u r e . S o m e o t h e r s

w i l l b e e x a m i n e d i n t h e n e x t c o u p l e o f c h a p t e r s .I n o r d e r t o u n d e r s t a n d t h e c o n c e p t u a l s i t u a t i o n c r e a t e d b y t h e

i n c o m p l e t e n e s s o f I F f i r s t - o r d e r l o g i c , w e h a v e t o a l s o t a k e i n t oa c c o u n t G ö d e l ' s c e l e b r a t e d i m p o s s i b i l i t y r e s u l t s ( 1 9 3 1 ) . I d o n o tt h i n k i t i s a n y e x a g g e r a t i o n t o s a y t h a t t h e c o m m u n i t y o f p h i l o s -

o p h e r s a n d m a t h e m a t i c i a n s h a s s t i l l n o t m a n a g e d t o c o p e w i t h t h et r u e i m p o r t o f G ö d e l ' s d i s c o v e r i e s a n d t o d r a w t h e r i g h t c o n s e -

q u e n c e s f r o m t h e m f o r t h e f u t u r e d e v e l o p m e n t o f t h e f o u n d a t i o n s o fm a t h e m a t i c s .




F i r s t , w e h a v e t o r e a l i z e t h a t t h e r e a r e s e v e r a l e n t i r e l y d i f f e r e n tn o t i o n s o f c o m p l e t e n e s s . T h e y d o n o t e v e n a p p l y t o t h e s a m e s o r t o ft h i n g . F o r i n s t a n c e , w h a t G ö d e l w a s d e a l i n g w i t h w a s t h e i n c o m -p l e t e n e s s o f a n o n l o g i c a l ( m a t h e m a t i c a l ) t h e o r y , n a m e l y , e l e m e n t a r ya r i t h m e t i c , w h e r e a s t h e i n c o m p l e t e n e s s o f I F f i r s t - o r d e r l o g i c p e r -t a i n s t o a p a r t o f l o g i c , n a m e l y , t o t h e n o n a x i o m a t i z a b i l i t y o f al o g i c a l t h e o r y . I t i s a s e r i o u s m i s t a k e t o a s s i m i l a t e t h e s e t w o k i n d s o ft h e o r i e s t o e a c h o t h e r . S u c h a n a s s i m i l a t i o n i n e f f e c t m e a n s o v e r -l o o k i n g t h e d i s t i n c t i o n b e t w e e n t h e t w o f u n c t i o n s o f l o g i c i n m a t h e -m a t i c s w h i c h w a s e m p h a s i z e d i n C h a p t e r 1 .

W e h a v e t o d i s t i n g u i s h f r o m e a c h o t h e r , a t t h e v e r y l e a s t , t h ef o l l o w i n g s e n s e s o f c o m p l e t e n e s s :

( a ) D e s c r i p t i v e c o m p l e t e n e s s . I t i s a p r o p e r t y o f a n o n l o g i c a l a x i o ms y s t e m T . I t m e a n s t h a t t h e m o d e l s o f T c o m p r i s e o n l y t h e

i n t e n d e d m o d e l s . I f t h e r e i s o n l y o n e i n t e n d e d m o d e l ( m o d u l oi s o m o r p h i s m ) , d e s c r i p t i v e c o m p l e t e n e s s m e a n s c a t e g o r i c i t y , w i t h

t h e i n t e n d e d m o d e l a s t h e s o l e m o d e l o f T

N o t i c e t h a t n o r e f e r e n c e t o a n y m e t h o d o f l o g i c a l p r o o f i sm a d e i n t h i s c h a r a c t e r i z a t i o n . A l l t h a t i s n e e d e d i s t h e r e l a t i o n o fa s e n t e n c e t o i t s m o d e l s p l u s t h e i d e a o f a n i n t e n d e d m o d e l .

I f , f o l l o w i n g t h e t e r m i n o l o g y o f l o g i c i a n s , t h e s e t o f i n t e n d e d

m o d e l s i s s a i d t o c o n s t i t u t e a t h e o r y , d e s c r i p t i v e c o m p l e t e n e s sm e a n s t h a t t h i s t h e o r y i s a x i o m a t i z a b l e . T h i s i s p r e c i s e l y t h e s e n s e

i n w h i c h E u c l i d a n d H u b e r t w e r e t r y i n g t o a x i o m a t i z e g e o m e t r y .

I t i s a l s o t h e s e n s e i n w h i c h w e s p e a k o f t h e a x i o m a t i z a t i o n o fs o m e p h y s i c a l t h e o r y . I n t h a t c a s e , t h e i n t e n d e d m o d e l s a r es i m p l y a l l t h e p h y s i c a l l y p o s s i b l e s y s t e m s o f t h e r e l e v a n tk i n d .

( b ) S e m a n t i c a l c o m p l e t e n e s s . I t i s a p r o p e r t y o f a s o - c a l l e d a x i o m a t i z -

a t i o n o f ( s o m e p a r t o f ) l o g i c . I t m e a n s t h a t a l l t h e v a l i d s e n t e n c e s

o f t h e u n d e r l y i n g l a n g u a g e c a n b e o b t a i n e d a s t h e o r e m s f r o m t h e

s o - c a l l e d a x i o m s o f t h a t s y s t e m o f l o g i c b y m e a n s o f i t s i n f e r e n c e

r u l e s . I f w e a s s u m e t h e u s u a l p e r m i s s i v e s t a n d a r d s o f a x i o m a t i z -a t i o n , t h e n t h e r e e x i s t s a c o m p l e t e a x i o m a t i z a t i o n f o r s o m e p a r t

o f l o g i c i f a n d o n l y i f t h e s e t o f l o g i c a l l y t r u e ( v a l i d ) s e n t e n c e s ( o f

t h a t p a r t o f l o g i c ) i s r e c u r s i v e l y e n u m e r a b l e .

( c ) D e d u c t i v e c o m p l e t e n e s s i s a p r o p e r t y o f a n o n l o g i c a l a x i o ms y s t e m T t o g e t h e r w i t h a n a x i o m a t i z a t i o n o f l o g i c ( m e t h o d o ff o r m a l l o g i c a l p r o o f ) . I t m e a n s t h a t f r o m T o n e c a n p r o v e b y




m e a n s o f t h e u n d e r l y i n g l o g i c C o r C f o r e a c h s e n t e n c e C o f t h e

l a n g u a g e i n q u e s t i o n .( d ) T h e r e i s a f u r t h e r u s e o f t h e t e r m " c o m p l e t e " i n c o n n e c t i o n w i t h

n o n l o g i c a l a x i o m s y s t e m s . I t c a n b e c a l l e d H i l b e r t i a n c o m p l e t e -n e s s , f o r t h e l o c u s c l a s s i c u s o f t h i s s e n s e o f t h e t e r m i s t h e s o - c a l l e d

a x i o m o f c o m p l e t e n e s s f i r s t u s e d i n t h e s e c o n d e d i t i o n o f H u b e r t ' s

G r u n d l a g e n d e r G e o m e t r i e ( 1 8 9 9 , s e c o n d e d . 1 9 0 2 ) . S t r i c t l y s p e a k -

i n g , t h o u g h , t h e a x i o m o c c u r s f i r s t i n H i l b e r t ( 1 9 0 0 ) . T h e d i f f i c u l t y

o f u n d e r s t a n d i n g t h e n o t i o n o f c o m p l e t e n e s s i s i l l u s t r a t e d b y t h e

c o n f u s i o n s s u r r o u n d i n g H i l b e r t ' s " u n g l ü c k s e l i g e s A x i o m "

( F r e u d e n t h a l 1 9 5 7 , p . 1 1 7 ) . T h e s e n s e o f c o m p l e t e n e s s i t i n v o l v e sw a s f i r s t a s s i m i l a t e d t o t h e o t h e r s e n s e o f c o m p l e t e n e s s . O n l y i nB a l d u s ( 1 9 2 8 ) d o w e f i n d a c l e a r s t a t e m e n t o f t h e d i f f e r e n c e b e -

t w e e n H i l b e r t i a n c o m p l e t e n e s s a n d o t h e r s e n s e s o f c o m p l e t e n e s s .

H i l b e r t ' s a x i o m i s i n e f f e c t a m a x i m a l i t y a s s u m p t i o n . I t s a y st h a t t h e i n t e n d e d m o d e l s o f t h e a x i o m s y s t e m s a r e s u c h t h a t n on e w g e o m e t r i c a l o b j e c t s c a n b e a d d e d t o t h e m w i t h o u t v i o l a t i n gt h e ( o t h e r ) a x i o m s o f t h e s y s t e m . M a x i m a l i t y a s s u m p t i o n s o f t h i s

k i n d p l a y a p o t e n t i a l l y i m p o r t a n t r o l e i n t h e f o u n d a t i o n s o fm a t h e m a t i c s b u t t h e m a x i m a l i t y o f a m o d e l w i t h r e s p e c t t o t h ei n d i v i d u a l s i t c o n t a i n s i s a f u n d a m e n t a l l y d i f f e r e n t i d e a f r o m t h e

m a x i m a l i t y o f t h e s y s t e m , w h i c h i s w h a t t h e d e s c r i p t i v e a n dd e d u c t i v e s e n s e s o f c o m p l e t e n e s s d e a l w i t h .

T h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e s e d i f f e r e n t s e n s e s o f c o m p l e t e n e s s w i l lb e c o m e c l e a r e r a s w e p r o c e e d . P h i l o s o p h e r s m a y h a v e b e e n c o n f u s e d

h e r e b y t h e f a c t t h a t t h e r e a r e i n t e r r e l a t i o n s b e t w e e n t h e s e d i f f e r e n tk i n d s o f c o m p l e t e n e s s a n d i n c o m p l e t e n e s s . F o r i n s t a n c e , l e t u sa s s u m e t h a t t h e r e i s o n l y o n e i n t e n d e d m o d e l f o r a n o n l o g i c a l t h e o r yT w h i c h i s b a s e d o n a s e m a n t i c a l l y c o m p l e t e l o g i c L . T h e n T i s

d e s c r i p t i v e l y c o m p l e t e o n l y i f i t i s d e d u c t i v e l y c o m p l e t e . H o w e v e r , i fL i s n o t s e m a n t i c a l l y c o m p l e t e , t h e n T c a n b e d e s c r i p t i v e l y c o m p l e t ee v e n w h e n i t i s d e d u c t i v e l y i n c o m p l e t e .

T h e d i f f e r e n c e s b e t w e e n ( a ) — ( c ) a r e n o t m e r e l y t e c h n i c a l . T h e y a r em a n i f e s t a t i o n s o f t h e d i f f e r e n t p u r p o s e s w h i c h l o g i c c a n s e r v e i nm a t h e m a t i c a l t h i n k i n g . T h e s e p u r p o s e s w e r e d i s c u s s e d i n C h a p t e r 1 .C o m p l e t e n e s s i n t h e s e n s e ( a ) p e r t a i n s t o t h e d e s c r i p t i v e f u n c t i o n o fl o g i c i n m a t h e m a t i c s w h i c h w a s d e s c r i b e d t h e r e . I f a m a t h e m a t i c i a nh a s r e a c h e d a d e s c r i p t i v e l y c o m p l e t e a x i o m s y s t e m , t h e n h e o r s h eh a s r e a c h e d a n i n t e l l e c t u a l m a s t e r y o f t h e r a n g e o f s t r u c t u r e s t h a t a r e




e x e m p l i f i e d b y t h e i n t e n d e d m o d e l s o f T T h e m a t h e m a t i c i a n h a ss e p a r a t e d t h e s e s t r u c t u r e s f r o m a l l t h e o t h e r s a n d e x p r e s s e d w h a t i sc h a r a c t e r i s t i c o f t h e m .

I n c o n t r a s t t o s u c h d e s c r i p t i v e c o m p l e t e n e s s ( a ) , d e d u c t i v e c o m -p l e t e n e s s ( c ) d e a l s w i t h s o m e t h i n g e l s e . I t d e a l s w i t h t h e d e d u c t i v ef u n c t i o n o f l o g i c , w h i c h i n t h i s c a s e a m o u n t s t o a m a t h e m a t i c i a n ' sa b i l i t y t o d e a l c o m p u t a t i o n a l l y w i t h t h e g i v e n t h e o r y T . C o m p l e t e -n e s s i n t h i s s e n s e m e a n s t h a t t h e r e i s a n a l g o r i t h m f o r s e p a r a t i n gw h a t i s t r u e a n d w h a t i s f a l s e i n w h a t c a n b e s a i d o f t h e m o d e l s o f TS u c h a n a l g o r i t h m t a k e s t h e f o r m o f a s e t o f r u l e s f o r d e r i v i n g

t h e o r e m s f r o m a x i o m s . A n e m p h a s i s o n t h i s k i n d o f c o m p l e t e n e s s( d e d u c t i v e c o m p l e t e n e s s ) o f t e n r e f l e c t s a c o n c e p t i o n a c c o r d i n g t ow h i c h t h e e s s e n c e o f m a t h e m a t i c a l p r a c t i c e i s t h e o r e m - p r o v i n g . I ta l s o m e a n s e m p h a s i z i n g t h e d e d u c t i v e f u n c t i o n o f l o g i c a t t h e

e x p e n s e o f i t s d e s c r i p t i v e f u n c t i o n .T h e g e n e r a l d i s t i n c t i o n o f w h i c h t h e c o n t r a s t b e t w e e n d e s c r i p t i v e

c o m p l e t e n e s s a n d d e d u c t i v e c o m p l e t e n e s s i s a s p e c i a l c a s e i s n o t n e w .A s a n e x a m p l e , l o g i c i a n s a l m o s t r o u t i n e l y m a k e a d i s t i n c t i o n b e -

t w e e n d e s c r i p t i v e c o m p l e x i t y a n d c o m p u t a t i o n a l c o m p l e x i t y . T h ef o r m e r d e a l s w i t h t h e p o w e r o f a l o g i c t o c a p t u r e d i f f e r e n t k i n d s o fs t r u c t u r e s " o u t t h e r e " , w h i l e t h e l a t t e r d e a l s w i t h t h e c o m p l e x i t y o f

t h e d i f f e r e n t d e r i v a t i o n s o f t h e o r e m s f r o m a x i o m s . T h i s o b v i o u s l yp a r a l l e l s t h e d i s t i n c t i o n b e t w e e n d e s c r i p t i v e c o m p l e t e n e s s o n t h e o n e

h a n d a n d d e d u c t i v e ( a s w e l l a s s e m a n t i c a l ) c o m p l e t e n e s s o n t h e o t h e r( s e e , e . g . , D a w a r a n d H e l l a f o r t h c o m i n g ) .

W h a t a r e t h e m a i n c o n s e q u e n c e s o f G ö d e l ' s i n c o m p l e t e n e s s t h e -o r e m ? W h a t d i d h e r e a l l y p r o v e ? F i r s t a n d f o r e m o s t , i t i s i m p o r t a n tt o r e a l i z e t h a t t h e o n l y k i n d o f i n c o m p l e t e n e s s t h a t h e e s t a b l i s h e dd i r e c t l y i s t h e d e d u c t i v e i n c o m p l e t e n e s s o f e l e m e n t a r y a r i t h m e t i c .T h a t i s , t h e r e i s n o r e c u r s i v e e n u m e r a t i o n o f t h e t r u e s e n t e n c e s o fe l e m e n t a r y a r i t h m e t i c i m p l e m e n t e d b y a n a x i o m a t i z a t i o n o f t h eu n d e r l y i n g l o g i c . I n o t h e r w o r d s , n o c o n s i s t e n t a x i o m a t i z a t i o n T o fe l e m e n t a r y l o g i c , t a k e n t o g e t h e r w i t h a n e x p l i c i t l y a x i o m a t i z e d l o g i c

L , e n a b l e s u s t o p r o v e ( i . e . t o p r o v e f r o m T b y m e a n s o f t h e l o g i c L )e i t h e r S o r — ' S f o r e a c h s e n t e n c e S e x p r e s s i b l e i n t h e l a n g u a g e o fe l e m e n t a r y a r i t h m e t i c .

A s w a s j u s t n o t e d , f r o m t h i s d e d u c t i v e i n c o m p l e t e n e s s o n e c a ni n f e r t h e i n e v i t a b i l i t y o f t h e d e s c r i p t i v e i n c o m p l e t e n e s s o f e l e m e n t a r ya r i t h m e t i c o n l y i f L i s s e m a n t i c a l l y c o m p l e t e . T h i s w a s t h e c a s e w i t ht h e l o g i c G ö d e l a c t u a l l y u s e d . H e u s e d o r d i n a r y f i r s t - o r d e r l o g i c ,




w h i c h h e h a d p r o v e d s e m a n t i c a l l y c o m p l e t e h i m s e l f i n G ö d e l ( 1 9 3 0 ) .B u t t h e o b s e r v a t i o n s m a d e i n t h i s w o r k p u t t h e m a t t e r i n a n e w l i g h t .I t h a s b e e n s e e n t h a t t h e c o m p l e t e n e s s o f o r d i n a r y f i r s t - o r d e r l o g i c i s

m e r e l y a b y - p r o d u c t o f t h e u n n e c e s s a r y a n d u n n a t u r a l r e s t r i c t i o n st h a t F r e g e a n d R u s s e l l i m p o s e d o n t h e f o r m a t i o n r u l e s o f t h i s l o g i c i nr u l i n g o u t i n d e p e n d e n c e - f r i e n d l i n e s s . H e n c e i t i s l i k e l y t h a t w e h a v et o u s e a s e m a n t i c a l l y i n c o m p l e t e l o g i c a n y w a y . A n d i f s o , G ö d e l ' sr e s u l t s d o n o t i m p l y a n y t h i n g a b o u t t h e p r o s p e c t s o f f o r m u l a t i n gd e s c r i p t i v e l y c o m p l e t e a x i o m s y s t e m s f o r e l e m e n t a r y a r i t h m e t i c , n o t

e v e n o n t h e u s u a l f i r s t - o r d e r l e v e l .

H e r e w e c a n s e e o n e k i n d o f i m p a c t t h a t I F f i r s t - o r d e r l o g i c h a s i nv i r t u e o f i t s v e r y e x i s t e n c e . O n e i m p l i c i t r e a s o n w h y t h e p o s s i b i l i t y o ff o r m u l a t i n g d e s c r i p t i v e l y c o m p l e t e n o n l o g i c a l t h e o r i e s b a s e d o na s e m a n t i c a l l y c o m p l e t e l o g i c h a s n o t b e e n t a k e n s e r i o u s l y h a s b e e nn o t e d p r e v i o u s l y . I t i s t h e b e l i e f t h a t n o l o g i c w o r t h i t s n a m e c a n b ei n c o m p l e t e . I F f i r s t - o r d e r l o g i c p r o v i d e s a c o n c r e t e c o u n t e r e x a m p l et o s u c h b e l i e f s , e v e n t h o u g h i t d o e s n o t i t s e l f p r o v i d e t h e p o s s i b i l i t y o fa d e s c r i p t i v e l y c o m p l e t e a x i o m a t i z a t i o n o f e l e m e n t a r y a r i t h m e t i c .

I n f a c t , i t w i l l b e s h o w n l a t e r i n t h i s w o r k h o w s u c h s e m a n t i c a l l yc o m p l e t e a x i o m a t i z a t i o n s c a n i n f a c t b e f o r m u l a t e d b y m e t h o d ss u g g e s t e d b y t h e g a m e - t h e o r e t i c a l a p p r o a c h t o l o g i c a n d m a t h e m a t -i c s . I n t h i s w a y , t h e d e v e l o p m e n t s r e p o r t e d i n t h i s b o o k p u t G ö d e l ' si n c o m p l e t e n e s s r e s u l t s i n a n e w a n d i n t e r e s t i n g p e r s p e c t i v e .

F r o m t h i s p e r s p e c t i v e , i t m u s t b e s a i d t h a t t h e p h i l o s o p h i c a lc o m m u n i t y h a s n o t a c k n o w l e d g e d h o w l i m i t e d t h e s i g n i f i c a n c e o fG ö d e l ' s i n c o m p l e t e n e s s r e s u l t r e a l l y i s . T h i s p o i n t i s r e l a t e d t o w h a tw a s s a i d e a r l i e r o f t h e d i f f e r e n c e i n t h e s i g n i f i c a n c e o f t h e d i f f e r e n tk i n d s o f c o m p l e t e n e s s , e s p e c i a l l y t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n d e s c r i p t i v ea n d d e d u c t i v e c o m p l e t e n e s s . T h i s m i s p e r c e p t i o n h a s d e e p e r r o o t s .P h i l o s o p h e r s h a v e b e e n i m p r e s s e d b y G ö d e l ' s r e s u l t b e c a u s e t h e yh a v e o v e r e s t i m a t e d t h e i m p o r t a n c e o f d e d u c t i v e a n d c o m p u t a t i o n a lt e c h n i q u e s i n m a t h e m a t i c s . T h e y h a v e b e e n s e d u c e d b y t h e o v e r s i m -p l i f i e d p i c t u r e o f m a t h e m a t i c a l a c t i v i t y a s m e r e t h e o r e m - p r o v i n g . I n

r e a l i t y , i t i s c l e a r t h a t d e d u c t i v e i n c o m p l e t e n e s s i s n o t t h e m o s ti m p o r t a n t k i n d o f i n c o m p l e t e n e s s . W h a t a t t r a c t e d m a t h e m a t i c i a n s ,s c i e n t i s t s a n d p h i l o s o p h e r s i n t h e f i r s t p l a c e t o t h e a x i o m a t i c m e t h o dw a s t h e p o s s i b i l i t y o f a n i n t e l l e c t u a l m a s t e r y o f a w h o l e a r e a o fi m p o r t a n t t r u t h s , s a y a l l g e o m e t r i c a l t r u t h s . A c o m p l e t e a x i o ms y s t e m w a s a m e a n s o f r e a c h i n g t h a t m a s t e r y . B u t t h i s k i n d o fm a s t e r y i s i n t h e l a s t a n a l y s i s a m a s t e r y o f t h e m o d e l s o f t h e a x i o m s ,




a n d n o t o f t h e t h i n g s w e ( o r o u r c o m p u t e r s ) c a n d e d u c t i v e l y p r o v ea b o u t t h e m . S u c h m a s t e r y c a n m a n i f e s t i t s e l f i n w a y s o t h e r t h a na m e c h a n i c a l d e r i v a t i o n o f t h e o r e m s f r o m a x i o m s . C o n t r a r y t o t h eo v e r s i m p l i f i e d p i c t u r e t h a t m o s t p h i l o s o p h e r s h a v e o f m a t h e m a t i c a lp r a c t i c e , m u c h o f w h a t a m a t h e m a t i c i a n a c t u a l l y d o e s i s n o t t od e r i v e t h e o r e m s f r o m a x i o m s . T h i s p o i n t i s e s p e c i a l l y c l e a r i n t h o s eb r a n c h e s o f m a t h e m a t i c s w h i c h d o i n f a c t s t a r t f r o m a g i v e n s e t o fa x i o m s , f o r i n s t a n c e , t h e t h e o r y o f g r o u p s . W h a t a g r o u p t h e o r i s t o ra m a t h e m a t i c i a n w o r k i n g i n a s i m i l a r f i e l d d o e s i s o n l y t o a l i m i t e de x t e n t t h e o r e m - p r o v i n g i n t h e s t r i c t s e n s e o f t h e t e r m . M o s t o f i t c a n

f r o m a l o g i c a l p o i n t o f v i e w b e c h a r a c t e r i z e d o n l y a s a m e t a t h e o r y o fg r o u p t h e o r y . I t i s a q u e s t f o r a n o v e r v i e w o f a l l t h e m o d e l s o f a g i v e nt h e o r y , a n d n o t o f i t s d e d u c t i v e c o n s e q u e n c e s . A m a t h e m a t i c i a n f o ri n s t a n c e c l a s s i f i e s g r o u p s a n d p r o v e s r e p r e s e n t a t i o n t h e o r e m s f o rd i f f e r e n t k i n d s o f g r o u p s . S u c h t h e o r i z i n g i s l a r g e l y i n d e p e n d e n t o f t h ed e d u c t i v e r e s o u r c e s w h i c h t h e m a t h e m a t i c i a n i n q u e s t i o n c o m m a n d s .

T h e k i n d o f c o m p l e t e n e s s r e l e v a n t t o t h i s k i n d o f e n t e r p r i s e i so b v i o u s l y d e s c r i p t i v e c o m p l e t e n e s s . T h i s n o t i o n i s d e f i n a b l e c o m -

p l e t e l y i n d e p e n d e n t l y o f a n y a x i o m a t i z a t i o n o f t h e u n d e r l y i n g l o g i c ,a n d h e n c e i n d e p e n d e n t l y o f a l l q u e s t i o n s o f d e d u c t i v e c o m p l e t e n e s s .I t a d m i t t e d l y p r e s u p p o s e s t h a t w e u n d e r s t a n d t h e s e n t e n c e — m o d e lr e l a t i o n s h i p . B u t t h i s w e n e e d t o m a s t e r i n o r d e r t o u n d e r s t a n d t h em e a n i n g s o f o u r s e n t e n c e s i n t h e f i r s t p l a c e . I t d o e s n o t p r e s u p p o s e ,a s w e j u s t s a w , t h a t t h e a x i o m s y s t e m i n q u e s t i o n i s d e d u c t i v e l yc o m p l e t e .

H e n c e G ö d e l ' s i n c o m p l e t e n e s s r e s u l t d o e s n o t t o u c h d i r e c t l y o nt h e m o s t i m p o r t a n t s e n s e o f c o m p l e t e n e s s a n d i n c o m p l e t e n e s s ,n a m e l y , d e s c r i p t i v e c o m p l e t e n e s s a n d i n c o m p l e t e n e s s . T h i s i s a ni m p o r t a n t o b s e r v a t i o n , f o r G ö d e l ' s r e s u l t h a s g e n e r a l l y b e e n t a k e nt o p o i n t o u t l i m i t s t o w h a t c a n b e d o n e b y m e a n s o f l o g i c . T h ee x p l a n a t i o n o f t h i s d i s c r e p a n c y i n p e r c e p t i o n i s t h a t t h e d i s t i n c t i o nb e t w e e n t h e d i f f e r e n t k i n d s o f c o m p l e t e n e s s h a s n o t b e e n m a d ec l e a r l y b y t h e m a j o r i t y o f p h i l o s o p h e r s a n d m a t h e m a t i c i a n s . T h i s

f a i l u r e h a s e v e n l e d t o t h e p a n i c r e a c t i o n o f d o u b t i n g e v e n t h ev i a b i l i t y o f t h e c o n c e p t o f a r i t h m e t i c a l t r u t h . I n r e a l i t y , G ö d e l ' si n c o m p l e t e n e s s r e s u l t c a s t s a b s o l u t e l y n o s h a d o w o n t h e n o t i o n o ft r u t h . A l l t h a t i t s a y s i s t h a t t h e w h o l e s e t o f a r i t h m e t i c a l t r u t h sc a n n o t b e l i s t e d , o n e b y o n e , b y a T u r i n g m a c h i n e .

T h u s w e h a v e r e a c h e d a n i n t e r e s t i n g i n s i g h t i n t o G ö d e l ' s i n c o m -p l e t e n e s s t h e o r e m . T h i s r e s u l t p e r t a i n s t o t h e d e d u c t i v e a n d c o r n -




p u t a t i o n a l w a y s o f d e a l i n g w i t h n o n l o g i c a l a x i o m s y s t e m s . N o t i n gt h i s t r u e a d d r e s s o f G ö d e l ' s r e s u l t h e l p s u s t o u n d e r s t a n d t h e u r g e n c yo f t h e t h e o r e t i c a l p r o b l e m s w h i c h G ö d e l ' s i n c o m p l e t e n e s s t h e o r e mh a s f o r c e d u s t o f a c e . I n m a n y w a y s t h e s e p r o b l e m s h a v e b e c o m ei n c r e a s i n g l y m o r e p r e s s i n g b y t h e d e v e l o p m e n t s w h i c h h a v e o c -c u r r e d s i n c e G ö d e l r e a c h e d h i s t h e o r e m . I n t h e m e a n t i m e , c o m p u t a -t i o n a l a n d d e d u c t i v e w a y s o f d e a l i n g w i t h p r o b l e m s o f v i r t u a l l y a n yk i n d h a v e b e c o m e i n c r e a s i n g l y m o r e c o m m o n i n a l m o s t a l l w a l k s o fl i f e b e c a u s e o f t h e e x p l o s i v e d e v e l o p m e n t o f c o m p u t e r t e c h n o l o g y .S u c h c o m p u t a t i o n a l t e c h n i q u e s a r e p r e v a l e n t i n a r e a s l i k e c o g n i t i v e

s c i e n c e a n d a r t i f i c i a l i n t e l l i g e n c e . I t f o l l o w s f r o m G ö d e l ' s a n dT a r s k i ' s r e s u l t s ( o r i s a t l e a s t s t r o n g l y s u g g e s t e d b y t h e m ) t h a tc o m p u t a t i o n a l t e c h n i q u e s c a n n e v e r e x h a u s t t h e t h e o r y o f t h ep h e n o m e n a i n q u e s t i o n . H e n c e t h e s t a t u s o f m o s t o f t h e c o m p u t a -t i o n a l a p p r o a c h e s t o d i f f e r e n t k i n d s o f i n q u i r y a r e b o u n d t o s t a yf o r e v e r i n a l i m b o o f i n c o m p l e t e n e s s . T h i s s e e m s t o d e p r i v e c o m p u t a -t i o n a l m e t h o d s o f a l l d e e p e r t h e o r e t i c a l i n t e r e s t . T h e e n t i r e d e v e l o p -m e n t o f c o m p u t e r - b a s e d t e c h n o l o g y f o r d e a l i n g w i t h l a n g u a g e a n d

t h i n k i n g i s t h u s n o t o n l y u n d e r s u s p i c i o n b u t a l r e a d y i n d i c t e d f o rb e i n g a d h o c , a m e r e c o l l e c t i o n o f t r i c k s a n d r u l e s o f t h u m b p u tt o g e t h e r f o r t h e p u r p o s e s o f a p p l i c a t i o n . S u c h o v e r a l l s u s p i c i o n s a r eo f c o u r s e u n j u s t i f i e d . H o w e v e r , p h i l o s o p h i c a l l y s p e a k i n g a j u s t i f i c a -t i o n p r e s u p p o s e s a s h i f t o f e m p h a s i s a w a y f r o m a t t e m p t s t o c a p t u r ea r i t h m e t i c a l t r u t h s , o r w h a t e v e r p h e n o m e n a o n e m a y b e s t u d y i n g , i no n e f e l l s w o o p c o m p u t a t i o n a l l y t o t h e n e v e r - e n d i n g p u r s u i t o f b e t t e r

a n d b e t t e r a p p r o x i m a t i o n s o f t h e t a r g e t p h e n o m e n a .T h u s i n a s e n s e G ö d e l ' s r e a l m e s s a g e w a s m e r e l y t h e d e d u c t i v ei n c o m p l e t e n e s s o f e l e m e n t a r y a r i t h m e t i c . A s s u c h , h i s f a m o u s r e s u l t

a f f e c t s o n l y t h e p r o s p e c t s o f o u r d e d u c t i v e m a s t e r y o f e l e m e n t a r ya r i t h m e t i c a n d n o t o u r a b i l i t y t o d e a l w i t h t h i s b r a n c h o f m a t h e m a t -i c s a x i o m a t i c a l l y o r d e s c r i p t i v e l y , u n l e s s s u c h a x i o m a t i c t r e a t m e n t sa r e c o n s t r a i n e d t o u s e o n l y o r d i n a r y f i r s t - o r d e r l o g i c .

A d m i t t e d l y , G ö d e l ' s i n c o m p l e t e n e s s r e s u l t s a r e c l o s e l y r e l a t e d t o

t h e u n d e f i n a b i l i t y o f a r i t h m e t i c a l t r u t h i n e l e m e n t a r y a r i t h m e t i ci t s e l f . H o w e v e r , t h i s a s p e c t o f G ö d e l ' s r e s u l t s c a n b e j u d g e d i n t h es a m e w a y a s T a r s k i ' s r e s u l t ( 1 9 3 5 , 1 9 5 6 a ) c o n c e r n i n g t h e u n d e f i n a -b i l i t y o f t r u t h f o r a l a n g u a g e i n t h a t l a n g u a g e i t s e l f , a n d w i l l b e s o

j u d g e d i n C h a p t e r 6 .M e a n w h i l e , a f e w c o m m e n t s o f a n o t h e r k i n d m a y b e i n o r d e r .

A c o n f u s i o n b e t w e e n d e d u c t i v e a n d s e m a n t i c a l c o m p l e t e n e s s ( a n d




i n c o m p l e t e n e s s ) i s a l s o w h a t u n d e r l i e s t h e f a s h i o n a b l e c o m p a r i s o n sb e t w e e n n o n - E u c l i d e a n g e o m e t r i e s a n d n o n c l a s s i c a l l o g i c s . T h ep o s s i b i l i t y o f n o n - E u c l i d e a n g e o m e t r i e s i s a c o n s e q u e n c e o f t h ed e s c r i p t i v e i n c o m p l e t e n e s s o f a n a x i o m a t i c g e o m e t r y w i t h o u t t h ep a r a l l e l p o s t u l a t e . B u t d i f f e r e n t k i n d s o f l o g i c s a r e n o t m o d e l s o f a n yo n e i n c o m p l e t e t h e o r y t h a t c o u l d b e c o m p l e t e d b y a d d i n g n e wa x i o m s . I n o r d e r t o o b t a i n d i f f e r e n t l o g i c s , i t i s n o t e n o u g h t o c h o o s e

d i f f e r e n t a x i o m s . F o r t h i s p u r p o s e , y o u h a v e t o d e f i n e d i f f e r e n tn o t i o n s o f m o d e l a n d / o r t r u t h . Y o u c a n n o t a s m u c h a s s p e a k o f t h es e m a n t i c a l c o m p l e t e n e s s o f a l o g i c a l a x i o m a t i z a t i o n w i t h o u t h a v i n g

d e f i n e d t h e n o t i o n s o f m o d e l a n d t r u t h a n d , b y t h e i r m e a n s , t h en o t i o n o f v a l i d i t y .T h e i n c o m p l e t e n e s s t h a t a t t a c h e s t o I F f i r s t - o r d e r l o g i c i s n a t -

u r a l l y s e m a n t i c a l i n c o m p l e t e n e s s . A s s u c h , i t h a s f e w i m p l i c a t i o n s f o rt h e c o m p l e t e n e s s o r i n c o m p l e t e n e s s o f n o n l o g i c a l t h e o r i e s . O n t h ec o n t r a r y , t h e e n h a n c e d s t r e n g t h o f I F f i r s t - o r d e r l o g i c m a k e s i tc e t e r i s p a r i b u s a b e t t e r t o o l f o r f o r m u l a t i n g d e s c r i p t i v e l y c o m p l e t en o n l o g i c a l t h e o r i e s , n o t w i t h s t a n d i n g i t s s e m a n t i c a l i n c o m p l e t e n e s s .

I n d e e d , a s s o o n a s w e h a v e a v i a b l e n o t i o n o f t r u t h - i n - a - m o d e l a to u r d i s p o s a l , a n d a l s o s o m e c h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e t o t a l i t y o f a l lm o d e l s o f t h e g i v e n l a n g u a g e , t h e n w e c a n s e t u p a n a x i o m s e t f o re l e m e n t a r y a r i t h m e t i c h o p i n g r e a l i s t i c a l l y t h a t i t m i g h t t h e n t u r n o u tt o b e c o m p l e t e . T h e i n t e n d e d k i n d o f c o m p l e t e n e s s I h a v e c a l l e d i td e s c r i p t i v e c o m p l e t e n e s s — w i l l t h e n b e d i f f e r e n t f r o m d e d u c t i v ec o m p l e t e n e s s . F o r o n e t h i n g , n o t h i n g i s s a i d i n t h e c h a r a c t e r i z a t i o no f t h i s k i n d o f c o m p l e t e n e s s o f a n y a c t u a l d e d u c t i v e m e t h o d ; t h eq u e s t i o n o f d e d u c t i v e c o m p l e t e n e s s d o e s n o t e v e n h a v e t o b e r a i s e di n o r d e r t o b e a b l e t o s p e a k o f d e s c r i p t i v e c o m p l e t e n e s s . D e s c r i p t i v ec o m p l e t e n e s s i s i n a s e n s e a p u r e l y m o d e l - t h e o r e t i c a l n o t i o n .

U n f o r t u n a t e l y t h i s i m p l i e s t h a t d e s c r i p t i v e c o m p l e t e n e s s i s s u b -j e c t t o " T a r s k i ' s c u r s e " d i s c u s s e d i n C h a p t e r 1 . T h e n o t i o n o f v a l i d -

i t y , t h a t i s , t r u t h i n e v e r y m o d e l , c a n n o t b e c h a r a c t e r i z e d w i t h o u tc h a r a c t e r i z i n g t h e n o t i o n o f t r u t h ; w h i c h i n t u r n c a n n o t b e d e f i n e d ( i f

T a r s k i ' s r e s u l t i s t h e l a s t w o r d o n t h e s u b j e c t ) w i t h o u t r e s o r t i n g t oa s t r o n g e r m e t a l a n g u a g e , f o r i n s t a n c e , t o h i g h e r - o r d e r l o g i c o r s e tt h e o r y . A n d t h a t a p p e a l t o s e t t h e o r y s e e m s t o e n t a i l a l l t h e p r o b -l e m s , p u z z l e s a n d p a r a d o x e s t h a t s e t t h e o r y i s r i p e w i t h .

O n e t h i n g t h a t I w i l l d o i n t h i s b o o k i s t o s t u d y d i f f e r e n t w a y s o u to f t h i s p r o b l e m . F o r i n s t a n c e , a s f a r a s G ö d e l ' s i m m e d i a t e s u b j e c t -

m a t t e r , e l e m e n t a r y a r i t h m e t i c , i s c o n c e r n e d , d e s c r i p t i v e c o m p l e t e -




n e s s w o u l d b e e a s y t o r e a c h i f w e w e r e a l l o w e d t o a s c e n d t o t h es e c o n d - o r d e r l e v e l . E s s e n t i a l l y , a l l w e h a v e t o d o i s t o r e p l a c e i na P e a n o - t y p e a x i o m s y s t e m t h e s c h e m a f o r i n d u c t i o n b y t h e s e c o n d -o r d e r f o r m u l a t i o n o f t h e p r i n c i p l e o f i n d u c t i o n :

( V X ) ( ( X ( 0 ) & ( V y ) ( X ( y ) X ( y + 1 ) ) ) ( V y ) X ( y ) ) ( 5 . 1 )

O f c o u r s e , t h e s t a n d a r d i n t e r p r e t a t i o n i n H e n k i n ' s ( 1 9 5 0 ) s e n s e o f t h es e c o n d - o r d e r l a n g u a g e b e i n g u s e d m u s t b e p r e s u p p o s e d . U n f o r t u -n a t e l y , a s w a s p o i n t e d o u t i n C h a p t e r 1 , s e c o n d - o r d e r l o g i c a p p a r e n t l yi n v o l v e s a l l t h e v e x i n g p r o b l e m s o f s e t e x i s t e n c e , a n d i s t h e r e f o r e

d e e m e d b y m a n y p h i l o s o p h e r s t o b e b e y o n d t h e p a l e o f p u r e l o g i c .A n d e v e n o n t h e f i r s t - o r d e r l e v e l , t h e r e a r e w a y s o f o b t a i n i n gd e s c r i p t i v e l y c o m p l e t e a x i o m a t i z a t i o n s o f e l e m e n t a r y a r i t h m e t i c . I t

f o l l o w s f r o m G ö d e l ' s r e s u l t t h a t s u c h a x i o m a t i z a t i o n s m u s t n o t u s eo r d i n a r y f i r s t - o r d e r l o g i c o r a n y o t h e r d e d u c t i v e l y c o m p l e t e l o g i c .B u t i t i s n o t d i f f i c u l t t o f i n d o t h e r k i n d s o f f i r s t - o r d e r l o g i c t o f i t t h eb i l l . I n d e e d , i n C h a p t e r 7 i t w i l l b e s h o w n h o w e l e m e n t a r y a r i t h m e t i c

c a n b e c o m p l e t e l y a x i o m a t i z e d ( i n t h e d e s c r i p t i v e s e n s e o f c o m p l e t e -

n e s s ) o n t h e f i r s t - o r d e r l e v e l . A n o t h e r , a n d s o m e w h a t m o r e e x o t i c ,w a y o f d o i n g s o w i l l b e b r i e f l y d i s c u s s e d i n C h a p t e r 1 0 .

T h e r e a r e o t h e r w a y s o f i l l u s t r a t i n g t h e f a c t t h a t G ö d e l ' s r e s u l t s d on o t c o v e r a l l t h e b a s e s e v e n i n t h e f o u n d a t i o n s o f a r i t h m e t i c . F o ri n s t a n c e , e v e n i f e l e m e n t a r y a r i t h m e t i c w e r e d e d u c t i v e l y c o m p l e t e , i tw o u l d n o t y e t b e d e s c r i p t i v e l y c o m p l e t e . I n m o r e l i t e r a l t e r m s , e v e n

t h e d e d u c t i v e l y c o m p l e t e t h e o r y w h i c h i s t r u e i n t h e s t r u c t u r e o fn a t u r a l n u m b e r s i s n o t d e s c r i p t i v e l y c o m p l e t e . 2 ( N e e d l e s s t o s a y , t h i st h e o r y i s n o t a x i o m a t i z a b l e . ) I t a d m i t s o f s e v e r a l d i f f e r e n t n o n -i s o m o r p h i c m o d e l s ; i t d o e s n o t h a v e t h e s t r u c t u r e f o r m e d b y n a t u r a ln u m b e r s ( w i t h a d d i t i o n a n d m u l t i p l i c a t i o n ) a s i t s o n l y m o d e l . I n -d e e d , t h e d e s c r i p t i v e i n c o m p l e t e n e s s o f P e a n o a r i t h m e t i c i s a na l m o s t d i r e c t c o n s e q u e n c e o f t h e c o m p a c t n e s s o f f i r s t - o r d e r l o g i c . I td o e s n o t n e e d G ö d e l ' s e l a b o r a t e a r g u m e n t f o r i t s p r o o f . A l l t h i ss h o w s h o w m a n y i m p o r t a n t i s s u e s a r e l e f t u n t o u c h e d b y G ö d e l ' s

r e s u l t s .I n a d i f f e r e n t d i r e c t i o n , i t i s k n o w n t h a t t h e r e a r e d e d u c t i v e l y

c o m p l e t e a n d h e n c e d e c i d a b l e t h e o r i e s o f r e a l s a n d o f s u f f i c i e n t l ye l e m e n t a r y g e o m e t r y ( s e e , e . g . , T a r s k i 1 9 5 1 , 1 9 5 9 ) . T h e s e t h e o r i e s a r e

n e v e r t h e l e s s — o r , f o r t h a t v e r y r e a s o n d e s c r i p t i v e l y i n c o m p l e t e .T h e y a d m i t o f d i f f e r e n t n o n i s o m o r p h i c m o d e l s , a n d h e n c e w i l l n o ts a t i s f y a m a t h e m a t i c i a n w h o l i k e H u b e r t i s c o m m i t t e d f i r s t a n d




f o r e m o s t t o t h e s t u d y o f c e r t a i n k i n d s o f s t r u c t u r e s , s u c h a s t h es t r u c t u r e o f t h e " r e a l " r e a l s . S u c h a m a t h e m a t i c i a n w i l l n o t b e

i m p r e s s e d b y t h e d e d u c t i v e c o m p l e t e n e s s o f a T a r s k i - t y p e t h e o r y o fr e a l s .

O n e u p s h o t o f t h i s i n c o m p l e t e e x a m i n a t i o n o f t h e p r o b l e m s o fi n c o m p l e t e n e s s i s a v i r t u a l r e v e r s a l o f t h e t r a d i t i o n a l p i c t u r e s k e t c h e d

a b o v e . I n c o m p l e t e n e s s i s a l o g i c a l r a t h e r t h a n a m a t h e m a t i c a lp h e n o m e n o n . T h e r e a r e i n p r i n c i p l e n o o b s t a c l e s f o r m a t h e m a -

t i c i a n s t o r e a c h t h e k i n d o f c o m p l e t e n e s s t h a t r e a l l y m a t t e r s t o t h e m ,n a m e l y d e s c r i p t i v e c o m p l e t e n e s s . I n s u b s e q u e n t c h a p t e r s , I w i l l t r y

t o s a y a l i t t l e b i t m o r e o f t h e c o n c r e t e w a y s o f r e a l i z i n g s u c hc o m p l e t e n e s s . B u t i n o r d e r t o r e a c h s u c h c o m p l e t e n e s s , t h e u n d e r l y -i n g l o g i c m u s t b e s t r e n g t h e n e d s o a s t o b e c o m e s e m a n t i c a l l y i n c o m -p l e t e .

I n t h i s r e s p e c t , I F f i r s t - o r d e r l o g i c i s t a i l o r - m a d e t o s a t i s f y t h ee x i s t i n g n e e d o f s u c h a s t r o n g a n d n a t u r a l , b u t a t t h e s a m e t i m e ,s e m a n t i c a l l y i n c o m p l e t e l o g i c .

T h e s e b r i e f r e m a r k s e n a b l e u s t o d e s c r i b e t h e g e n e r a l p r o b l e m

s i t u a t i o n t h a t G ö d e l ' s i n c o m p l e t e n e s s r e s u l t f o r c e s o n u s . T h e c r u c i a lf e a t u r e o f t h e s i t u a t i o n i s n o t t h a t w e c a n n o t s o m e h o w s e t u pd e s c r i p t i v e l y c o m p l e t e s y s t e m s o f a x i o m s f o r t h e m a t h e m a t i c a lt h e o r i e s w e a r e i n t e r e s t e d i n I w i l l s o o n r e t u r n t o t h e q u e s t i o n a s t oh o w w e c a n a c t u a l l y s e t t h e m u p . T h e p o s s i b i l i t y o f d e s c r i p t i v e l yc o m p l e t e a x i o m a t i z a t i o n s n e v e r t h e l e s s d o e s n o t d i m i n i s h t h e i m -p o r t a n c e o f t h e p r o b l e m o f f i n d i n g a c t u a l d e d u c t i v e w a y s o f d e a l i n gw i t h t h e s t r u c t u r e s t h a t t h e a x i o m s y s t e m d e a l s w i t h . H e n c e t h e m a i np o s t - G ö d e l i a n , n o t t o s a y p o s t m o d e r n , f o u n d a t i o n a l p r o b l e m i s t ol o o k f o r n e w d e d u c t i v e m e t h o d s a n d t o a n a l y z e t h e m . G ö d e l ' s r e s u l t ss h o w t h a t t h i s c a n n o t b e d o n e m e c h a n i c a l l y , m u c h l e s s a l l a t o n c e ,b u t o f c o u r s e t h i s i s p r e c i s e l y t h e r e a s o n w h y t h i s n e w " f u n d a m e n t a lp r o b l e m o f t h e p h i l o s o p h y o f m a t h e m a t i c s " i s a n i n t r i g u i n g o n e . I np r a c t i c e , s u c h s t r o n g e r a i d s o f d e d u c t i o n c a n o f t e n b e c o d i f i e d i n t h ef o r m o f n e w a x i o m s f o r t h e m a t h e m a t i c a l t h e o r y i n q u e s t i o n . H e n c e

t h e t a s k I a m t a l k i n g a b o u t h e r e i s n o t e n t i r e l y u n l i k e t h e t a s k o ff i n d i n g s t r o n g e r a n d s t r o n g e r a x i o m s o f s e t t h e o r y .H e r e t h e i m p a c t o f G ö d e l ' s i n c o m p l e t e n e s s t h e o r e m i s r e i n f o r c e d

b y t h a t o f t h e i n c o m p l e t e n e s s o f I F f i r s t - o r d e r l o g i c . I n t h e p r e c e d i n gc h a p t e r , i t w a s s e e n t h a t m a t h e m a t i c s i s s h o t t h r o u g h w i t h c o n c e p t st h a t r e l y o n I F f i r s t - o r d e r l o g i c . W h a t t h i s m e a n s i s t h a t t h e f u l l l o g i ct h a t i s n e e d e d i n m o s t o f t h e a d v a n c e d m a t h e m a t i c a l t h e o r i e s i s n o t



1 0 0 T H E P R I N C I P L E S O F M A T H E M A T I C S R E V I S I T E D

a m e n a b l e t o a s e m a n t i c a l l y c o m p l e t e a x i o m a t i z a t i o n . M a t h e m a t i c a lr e a s o n i n g , f o r i n s t a n c e m a t h e m a t i c a l t h e o r e m - p r o v i n g , c a n n o t b e

r e d u c e d t o t h e d e d u c t i o n o f n e w r e s u l t s b y m e a n s o f a l o g i c t h a t c a nb e c o m p l e t e l y c a p t u r e d b y a n y s e t o f r e c u r s i v e r u l e s . M o r e o v e r , t h e

n e w p r i n c i p l e s o f r e a s o n i n g w h o s e n e e d i s a l w a y s l u r k i n g j u s t u n d e rt h e s u r f a c e a r e i n p r i n c i p l e b u t l o g i c a l r a t h e r t h a n s e t - t h e o r e t i c a l .

F o r t h i s r e a s o n , o r d i n a r y f i r s t - o r d e r a x i o m a t i c s e t t h e o r y i s a ni n a p p r o p r i a t e f r a m e w o r k f o r m a t h e m a t i c a l t h e o r i z i n g w h e n i t c o m e st o f i n d i n g n e w a n d s t r o n g e r p r i n c i p l e s o f m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g ,e v e n i f t h e n e e d f o r f i n d i n g e v e r s t r o n g e r s e t - t h e o r e t i c a l a s s u m p t i o n s

i s a c k n o w l e d g e d .M o r e g e n e r a l l y s p e a k i n g , a s s o o n a s w e r e a l i z e t h a t t h e f u n d a m e n -t a l l o g i c o f m a t h e m a t i c s i s I F f i r s t - o r d e r l o g i c r a t h e r t h a n i t s o l d -f a s h i o n e d b r o t h e r , w e l o s e a n y a n d e v e r y r e a s o n t o f o r m u l a t ed e d u c t i v e l y c o m p l e t e t h e o r i e s i n m a t h e m a t i c s , e x c e p t f o r a t y p i c a ls p e c i a l c a s e s . F o r a n a x i o m a t i c t h e o r y c a n b e d e d u c t i v e l y c o m p l e t eo n l y i f t h e u n d e r l y i n g l o g i c i s s e m a n t i c a l l y c o m p l e t e w h e n r e s t r i c t e dt o d e d u c t i o n s f r o m t h e a x i o m s o f t h a t t h e o r y . A n d u s u a l l y t h i s i s

p o s s i b l e o n l y i f t h a t b a s i c l o g i c i s s e m a n t i c a l l y c o m p l e t e i n g e n e r a l .F o r i n s t a n c e , o n e c a n n o w s t a t e c o n c i s e l y o n e r e a s o n w h y s e t

t h e o r y i s i n a p p r o p r i a t e a s a b a s i s o f m a t h e m a t i c s . T h e p r o b l e m i s n o tt h a t s e t t h e o r y h a s l e d t o p a r a d o x e s o r t h r e a t e n s t o l e a d t o p a r a -d o x e s . T h e p r o b l e m i s n o t t h e d e d u c t i v e i n c o m p l e t e n e s s o f s e tt h e o r y , e i t h e r . I t i s i t s d e s c r i p t i v e i n c o m p l e t e n e s s . T h i s i s t h e r e a s o nw h y s e t t h e o r y c a n n o t p r o v i d e a i m s , m u c h l e s s g u i d e l i n e s , f o r a

s e a r c h o f i n c r e a s i n g l y s t r o n g e r n e w a s s u m p t i o n s w h i c h c a n b et h o u g h t o f a s p r o v i d i n g b e t t e r d e d u c t i v e m e t h o d s f o r d e a l i n g w i t h i t .T h i s d e s c r i p t i v e i n c o m p l e t e n e s s p e r t a i n s i n t h e f i r s t p l a c e t o f i r s t -

o r d e r a x i o m a t i z a t i o n s o f s e t t h e o r y . B u t i n i t s u s u a l f o r m s a x i o m a t i cs e t t h e o r y d o e s n o t h a v e r e a l l y n a t u r a l h i g h e r - o r d e r m o d e l s , e i t h e r .I w i l l r e t u r n t o t h e p r o s p e c t s o f a x i o m a t i c s e t t h e o r y i n C h a p t e r 8 .

S o w h a t s h o u l d a m a t h e m a t i c i a n d o ? W h e n a l o g i c i a n o r a m a t h -e m a t i c i a n s e t s u p a n a x i o m a t i c s y s t e m t h e s e d a y s h i s o r h e r m a i n a i m

i n v a r i a b l y i s t o m a k e i t d e d u c t i v e l y c o m p l e t e . I c a n e n v i s a g e a f u t u r ei n w h i c h t h e t y p i c a l a i m o f a m a t h e m a t i c i a n o r l o g i c i a n i s t of o r m u l a t e d e s c r i p t i v e l y c o m p l e t e a x i o m s y s t e m s w h i c h a r e d e d u c t -i v e l y i n c o m p l e t e . T h i s i s t h e k i n d o f a x i o m s y s t e m t h a t c a n b e s t s e r v et h e c r u c i a l p u r p o s e o f g u i d i n g t h e m a t h e m a t i c i a n s ' a n d l o g i c i a n s 'n e v e r - e n d i n g q u e s t f o r i n c r e a s i n g l y s t r o n g e r d e d u c t i v e p r i n c i p l e s f o rt h a t p a r t i c u l a r t h e o r y . D e s c r i p t i v e c o m p l e t e n e s s p r o v i d e s t h e n t h e



C O M P L E X I T I E S O F C O M P L E T E N E S S 1 0 1

a i m w h i c h c a n h e l p t o d i r e c t t h e l o g i c i a n s ' s e a r c h f o r s t r o n g e r l o g i c a lp r i n c i p l e s t h a t w o u l d p r o v i d e m o r e d e d u c t i v e p o w e r .

S u c h d e s c r i p t i v e l y c o m p l e t e a x i o m s y s t e m s m u s t n o n e t h e l e s s b eo n t h e f i r s t - o r d e r l e v e l . F o r o t h e r w i s e t h e y w i l l b e s u b j e c t t o T a r s k i ' sc u r s e : t h e i r m o d e l t h e o r y w o u l d a r g u a b l y i n v o l v e s e t - t h e o r e t i c a lc o n c e p t s .

T h i s o b s e r v a t i o n p r o v i d e s a n a n s w e r t o a q u e s t i o n t h a t m a ya l r e a d y h a v e o c c u r r e d t o t h e r e a d e r . I s n o t t h e t a s k o f f i n d i n g n e wa x i o m s a d d r e s s e d e v e r y d a y b y w o r k i n g l o g i c i a n s , a t l e a s t t a c i t l y ?F o r t h e o b v i o u s s u g g e s t i o n h e r e i s t h a t g u i d e l i n e s f o r t h e s e a r c h f o r

n e w d e d u c t i v e p r i n c i p l e s a r e p r o v i d e d b y t h e m o d e l t h e o r y f o r t h a tp a r t o f m a t h e m a t i c s i n q u e s t i o n . F o r i n s t a n c e , i n e l e m e n t a r y a r i t h -m e t i c w e h a v e a n i c e t r u t h d e f i n i t i o n w h i c h c a n g u i d e a l o g i c i a n ' s o r

m a t h e m a t i c i a n ' s s e a r c h f o r s t r o n g e r a x i o m s .S o m e w h a t s i m i l a r t h i n g s c a n b e s a i d o f a l o g i c i a n ' s q u e s t f o r

s e m a n t i c a l l y c o m p l e t e a x i o m a t i z a t i o n s o f s o m e p a r t o f l o g i c . T h i sk i n d o f c o m p l e t e n e s s i s , a s I h a v e s h o w n , a m i r a g e a r e a d y o n t h e l e v e lo f I F f i r s t - o r d e r l o g i c . W h a t c a n b e d o n e , h o w e v e r , i s t o g i v e a n o n -

a x i o m a t i c c h a r a c t e r i z a t i o n o f l o g i c a l t r u t h ( v a l i d i t y ) a n d t o u s e i t a sa g u i d e l i n e f o r l o o k i n g f o r s t r o n g e r d e d u c t i v e p r i n c i p l e s . I n p r a c t i c e ,i t i s d i f f i c u l t ( a n d p o i n t l e s s ) t o t r y t o d i s t i n g u i s h t h e q u e s t f o r s t r o n g e rd e d u c t i v e p r i n c i p l e s s h a r p l y f r o m t h e q u e s t f o r s t r o n g e r d e s c r i p t i v ea x i o m s .

B u t t h i s c a n n o t b e t h e w h o l e s t o r y . F o r o n e t h i n g , n o t a l l m o d e lt h e o r y h e l p s u s i n o u r s e a r c h f o r t h e r i g h t d e d u c t i v e p r i n c i p l e s . F o r

t h e p u r p o s e , w e m u s t h a v e s o m e i d e a o f w h a t t h e i n t e n d e d m o d e l s o ft h e r e l e v a n t t h e o r y a r e s o t h a t w e c a n c h a r a c t e r i z e t r u t h s i n t h o s em o d e l s . F u r t h e r m o r e , w e m u s t g a i n s o m e n e w i n s i g h t s i n t o t h es t r u c t u r e o f t h e i n t e n d e d m o d e l s i n o r d e r t o s e e w h a t f o l l o w sl o g i c a l l y f r o m t h e ( d e s c r i p t i v e l y c o m p l e t e ) a x i o m s c h a r a c t e r i z i n gt h o s e s t r u c t u r e s . T h u s i t i s n o t t h e w h o l e s t o r y t h a t d e d u c t i v e l o g i c i sa m e a n s o f u n d e r s t a n d i n g b e t t e r t h e s t r u c t u r e s a m a t h e m a t i c a la x i o m s y s t e m s p e c i f i e s . S o m e t i m e s , t h e t r a f f i c f l o w s i n t h e o t h e r

d i r e c t i o n : b e t t e r g r a s p o f t h o s e s t r u c t u r e s i s n e e d e d t o s e e w h a t t h ed e d u c t i v e c o n s e q u e n c e s o f t h e a x i o m s a r e .

A d m i t t e d l y , t h i s " r e v e r s e l o g i c " s i t u a t i o n d o e s n o t s e e m t o a r i s ev e r y o f t e n i n m a t h e m a t i c a l p r a c t i c e . B u t p e r h a p s t h i s r a r i t y i s s o m e -t h i n g o f a n i l l u s i o n . F o r i n s t a n c e , w h e n n u m b e r - t h e o r e t i c a l r e s u l t sa r e p r o v e d b y a n a l y t i c a l m e a n s w h a t h a p p e n s i s t h a t t h e s t r u c t u r e o fn a t u r a l n u m b e r s i s c o n s i d e r e d a s p a r t o f a m o r e c o m p l i c a t e d s t r u c -




t u r e , i n s i g h t s i n t o w h i c h p r o v i d e i n s i g h t s a l s o i n t o t h e s t r u c t u r e o fn a t u r a l n u m b e r s . A n o t h e r e x a m p l e i s p r o v i d e d b y t h e w a y i n w h i c ht h e c o n t i n u i t y a s s u m p t i o n s c o n c e r n i n g r e a l n u m b e r s w e r e o r i g i n a l l yi n s p i r e d b y t h e a n a l o g y b e t w e e n t h e s t r u c t u r e o f r e a l s a n d t h es t r u c t u r e o f a g e o m e t r i c a l l i n e .

A s e a r c h f o r s t r o n g e r d e d u c t i v e a s s u m p t i o n s i s a l s o c l o s e l y r e l a t e dt o t h a t f e t i s h o f r e c e n t p h i l o s o p h y o f m a t h e m a t i c s , n a m e l y , m a t h -e m a t i c a l p r a c t i c e . A s w a s p o i n t e d o u t a b o v e , a m a t h e m a t i c i a n i st y p i c a l l y s e a r c h i n g f o r a n i n s i g h t i n t o t h e s t r u c t u r e o f a l l m o d e l s o fa g i v e n t h e o r y . O n l y a m i n u s c u l e p a r t o f a p r a c t i s i n g m a t h e m a -

t i c i a n ' s a c t u a l w o r k c o n s i s t s i n d e d u c t i v e l y d e r i v i n g t h e o r e m s f r o ma x i o m s , p h i l o s o p h e r s ' p r e c o n c e p t i o n s n o t w i t h s t a n d i n g . A d m i t t e d l y ,s u c h r e p r e s e n t a t i o n t h e o r e m s d o n o t u s u a l l y g i v e r i s e t o n e w a x i o m sf o r t h e o r i g i n a l g i v e n t h e o r y o r t o n e w l o g i c a l p r i n c i p l e s . N e v e r t h e -l e s s , w h e n t h e g i v e n t h e o r y i s d e d u c t i v e l y i n c o m p l e t e , s u c h m e t a -t h e o r e m s m a y b e o n e w a y o f f i n d i n g n e w a x i o m s . I a m e v e n t e m p t e dt o s u g g e s t t h a t t h e r o l e G ö d e l a s s i g n e d t o i n t u i t i o n i n t h e f o u n d a -t i o n s o f m a t h e m a t i c s s h o u l d r e a l l y b e u n d e r s t o o d a s p o i n t i n g o u t t h e

i m p o r t a n c e o f t h i s m e t a t h e o r e t i c a l a n d m o d e l - t h e o r e t i c a l w a y o fd e r i v i n g b e t t e r d e d u c t i v e p r i n c i p l e s f o r t h e s t u d y o f c e r t a i n k i n d s o fs t r u c t u r e s f r o m i n s i g h t s c o n c e r n i n g t h e s e s t r u c t u r e s d i r e c t l y .

I w i l l r e t u r n t o t h e p r o b l e m o f f i n d i n g s t r o n g e r a s s u m p t i o n s i nC h a p t e r s 8 — 9 . F u r t h e r r e a s o n s w i l l b e g i v e n t h e r e a s t o w h y a x i o m -a t i c s e t t h e o r y s e r v e s s i n g u l a r l y b a d l y t h e n e w p u r p o s e s o f f o u n d a -t i o n a l r e s e a r c h t h a t G ö d e l ' s i n c o m p l e t e n e s s r e s u l t s f o r c e l o g i c i a n s t of a c e .

T h e s e v i e w p o i n t s c a n b e i l l u s t r a t e d i n t e r m s o f t h e v e r y d i s t i n c t i o nm a d e e a r l i e r i n t h i s c h a p t e r b e t w e e n d i f f e r e n t s e n s e s o f c o m p l e t e n e s s .D o u b t s a r e p e r h a p s p r o m p t e d b y m y c h a r a c t e r i z a t i o n o f d e s c r i p t i v ec o m p l e t e n e s s , t h e r e a s o n b e i n g t h e r e f e r e n c e i t c o n t a i n s t o t h e c l a s so f i n t e n d e d m o d e l s . T h e s e i n t e n d e d m o d e l s a r e s o m e t i m e s r e f e r r e dt o a l s o a s s t a n d a r d m o d e l s . H o w e v e r , i n t h i s u s a g e t h e t e r m " s t a n -d a r d " i s m e r e l y a e u p h e m i s m f o r " i n t e n d e d " , f o r i t c a n n o t i n g e n e r a l

b e i d e n t i f i e d w i t h a n y o f t h e s e n s e s o f s t a n d a r d n e s s ( s u c h a s H e n k i n ' si n h i s 1 9 5 0 p a p e r ) t h a t c a n b e s t r i c t l y d e f i n e d . I t i s n o t e v e n c l e a r w h a t

t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e s e d i f f e r e n t s e n s e s o f s t a n d a r d n e s s i s , o rm a y b e .

H e n c e a n y r e f e r e n c e t o i n t e n d e d m o d e l s i n t h e d e f i n i t i o n o fd e s c r i p t i v e c o m p l e t e n e s s m i g h t s e e m e x t r i n s i c t o t h e t r u e f o u n d a -

t i o n s o f m a t h e m a t i c s , a n d p e r h a p s e v e n d a n g e r o u s l y u n c l e a r . H o w



C O M P L E X I T I E S O F C O M P L E T E N E S S 1 0 3

c a n w e c h a r a c t e r i z e s u c h m o d e l s w i t h s i g h t u n s e e n , s o t o s p e a k ? O n ew a y o f a l l a y i n g s u c h d o u b t s i s t o p o i n t o u t t h a t t h e i d e a o f t h e

i n t e n d e d m o d e l n e e d n o t b e a n y m o r e d u b i o u s t h a n t h e i d e a o ft h e m o d e l i n g e n e r a l . A s w a s i n e f f e c t p o i n t e d o u t i n C h a p t e r 1 , t h e

g e n e r a l c o n c e p t o f m o d e l a l s o i n v o l v e s p r e l o g i c a l i d e a s c o n c e r n i n gw h a t a s t r u c t u r e m u s t b e l i k e i n o r d e r t o b e a c c e p t a b l e a s a m o d e l

s i m p l i c i t e r . O n e w a y o f s e e i n g t h i s i s t o e x a m i n e h o w t h e n o t i o n o fm o d e l c a n n a t u r a l l y b e v a r i e d . S u c h v a r i a t i o n h e l p s u s t o u n d e r s t a n dw h a t t h e u n v a r i e d n o t i o n o f m o d e l i n v o l v e s .

O n e c a n f o r i n s t a n c e , w i d e n t h e c o n c e p t s o f m o d e l a n d o b t a i n

a w e a k e r l o g i c a s a c o n s e q u e n c e t h a t i s , a l o g i c i n w h i c h f e w e rf o r m u l a s a r e v a l i d b e c a u s e t h e r e a r e m o r e m o d e l s f o r t h e m t o f a i l t ob e t r u e i n . A w a y o f d o i n g s o i s e a s i l y u n c o v e r e d b y m e a n s o f G T S . I ts h o w s t h a t o u r u s u a l l o g i c i s b a s e d o n a n i m p o r t a n t a s s u m p t i o n . T h ed i f f e r e n t c h o i c e s m a d e b y t h e t w o p l a y e r s c a n b e t h o u g h t o f i n t h es a m e w a y a s p r o b a b i l i t y t h e o r i s t s t h i n k o f t h e i r s a m p l i n g p r o -c e d u r e s , t o w i t , a s " d r a w s " ( s e l e c t i o n s ) o f " b a l l s " ( i n d i v i d u a l s ) f r o ma n " u r n " ( d o m a i n o f a m o d e l ) . N o r m a l l y , i t i s a s s u m e d t h a t t h e

p o p u l a t i o n o f b a l l s i n a n u r n s t a y s t h e s a m e b e t w e e n s u c c e s s i v ed r a w s i n t h e l o g i c a l t e r m i n o l o g y ; t h a t t h e m o d e l d o e s n o t c h a n g eb e t w e e n t h e s u c c e s s i v e m o v e s i n a s e m a n t i c a l g a m e . T h i s a s s u m p t i o ni s n o t u n a v o i d a b l e . P r o b a b i l i t y t h e o r i s t s h a v e i n f a c t d e v i s e d " u r nm o d e l s " w h i c h a r e c h a n g e d i n a c c o r d a n c e w i t h s o m e f i x e d l a w

b e t w e e n t h e d r a w s . I n t h e s a m e w a y , w e c a n a l l o w t h e m o d e l o nw h i c h a s e m a n t i c a l g a m e i s b a s e d t o c h a n g e i n c e r t a i n s p e c i f i e d w a y s

b e t w e e n t h e s u c c e s s i v e m o v e s o f t h e g a m e . T h e r e s u l t i s a w e l l -d e f i n e d l o g i c w h i c h c a n b e u s e d i n t h e s t u d y o f t h e f o u n d a t i o n s o fm a t h e m a t i c s ( s e e H i n t i k k a 1 9 7 5 , R a n t a l a 1 9 7 5 ) .

I n t h e o t h e r d i r e c t i o n , o n e c a n c h a n g e o n e ' s l o g i c b y i m p o s i n ge x t r a c o n d i t i o n s o n i t . T h i s w i l l r e s u l t i n t h e r e b e i n g m o r e l o g i c a lt r u t h s t h a n b e f o r e , f o r t h e r e a r e n o w f e w e r a c c e p t a b l e m o d e l s i nw h i c h a f o r m u l a c a n f a i l t o b e t r u e . O n c e a g a i n , t h e r e s u l t i n g n e wl o g i c c a n h a v e i n t e r e s t i n g u s e s i n t h e s t u d y o f t h e f o u n d a t i o n s o f

m a t h e m a t i c s . A n e s p e c i a l l y i n t e r e s t i n g p o s s i b i l i t y i n t h i s d i r e c t i o n i st o i m p l e m e n t m a x i m a l i t y a n d m i n i m a l i t y a s s u m p t i o n s c o n c e r n i n gm o d e l s , n o t b y m e a n s o f e x p l i c i t a x i o m s o r o t h e r k i n d s o f s e n t e n c e s ,b u t a s a m o d e l o f t h e u n d e r l y i n g l a n g u a g e i n t h e f i r s t p l a c e . T h i sp o s s i b i l i t y i s t e n t a t i v e l y e x p l o r e d i n H i n t i k k a ( 1 9 9 3 a ) .

I m p l i c i t i n t h e t r a d i t i o n a l n o t i o n o f a m o d e l i s a r e j e c t i o n o fc h a n g e s o f b o t h t h e s e t w o k i n d s . H e n c e t h i s t r a d i t i o n a l n o t i o n o f




m o d e l i n v o l v e s h i g h l y n o n t r i v i a l p r e l o g i c a l a s s u m p t i o n s . I t i s n o ta n y m o r e o f a d a n g e r o u s a s s u m p t i o n t o t h i n k t h a t s o m e h o w a n a r -r o w e r c l a s s o f i n t e n d e d m o d e l s o f s o m e m a t h e m a t i c a l t h e o r y i s g i v e nt o u s . C e r t a i n l y w e h a v e a s s h a r p a n i d e a o f t h e s t r u c t u r e o f n a t u r a ln u m b e r s a s w e h a v e o f t r a d i t i o n a l m o d e l s a s d i s t i n g u i s h e d f r o m t h e i rr i v a l s .

I t s e e m s t o m e t h a t t h e u s e f u l n e s s o f o u r p r e l o g i c a l i d e a s a b o u tc e r t a i n c l a s s e s o f s t r u c t u r e s c o u l d b e e x p l o i t e d m o r e w i d e l y t h a nt h e y h a v e i n f a c t b e e n u t i l i z e d . F o r i n s t a n c e , t h e s e c o n d n u m b e r c l a s s

( t h e s t r u c t u r e o f c o u n t a b l e o r d i n a l s ) i s i n o u r d a y u s u a l l y s t u d i e d a s

a n a s p e c t o f a x i o m a t i c s e t t h e o r y . I w o u l d n o t b e s u r p r i s e d i f i t t u r n e do u t t o b e h e l p f u l t o d r a f t i n t o t h e s e r v i c e o f s o m e s e t t h e o r i s t s i na m o r e d i r e c t w a y t h e i n t u i t i o n s w e h a v e a b o u t t h e s e c o n d n u m b e r

c l a s s , b y c o n s i d e r i n g i t s m o d e l t h e o r y d i r e c t l y i n i t s o w n r i g h t .W e h a v e t h u s s e e n t h a t t h e r u m o r s o f t h e d e m i s e o f c o m p l e t e n e s s

i n m a t h e m a t i c s h a v e b e e n g r e a t l y e x a g g e r a t e d . T h e m o s t i m p o r t a n tk i n d o f c o m p l e t e n e s s i n m a t h e m a t i c s i s a l i v e a n d w e l l i n t h e l a n d o fm o d e l t h e o r y . H o w e v e r , t h e i n d e p e n d e n c e o f t h a t l a n d s t i l l a p p e a r s

t o r e m a i n i n j e o p a r d y , a s w a s e m p h a s i z e d i n C h a p t e r 1 . F o r i t s b a s i cn o t i o n , t h e n o t i o n o f t r u t h i n a m o d e l , s t i l l s e e m s t o u s t o t a k e r e f u g ei n h i g h e r - o r d e r c o n s i d e r a t i o n s w h i c h a p p e a r t o i n v i t e a n i n v a s i o n o fh i g h e r - o r d e r l o g i c a l ( o r e l s e s e t - t h e o r e t i c a l ) f o r e i g n a r m i e s . M y n e x tt a s k h e n c e i s t o s e e h o w t h i s d a n g e r c a n b e a v o i d e d .

N o t e s

F o r t h e h i s t o r y o f t h e a n a l y t i c m e t h o d o f a n c i e n t G r e e k g e o m e t e r s a n d f o r i t ss u b s e q u e n t h i s t o r y , c f . H i n t i k k a a n d R e n i e s ( 1 9 7 4 ) . F o r K a n t , s e e H i n t i k k a ( 1 9 7 3 ) .

2 I n t h i s s e n s e , a " t h e o r y " i s s i m p l y a d e d u c t i v e l y c l o s e d s e t o f f o r m u l a s .



7

T h e L i a r B e l i e d : N e g a t i o n i n I F L o g i c

( A ) T e r t i u m d a t u rS o f a r s o g o o d . A t r u t h p r e d i c a t e c a n a f t e r a l l b e d e f i n e d i n a n I Ff i r s t - o r d e r l a n g u a g e f o r t h e G ö d e l n u m b e r s o f t h e s e n t e n c e s o f t h a tv e r y s a m e l a n g u a g e . B u t w h a t a b o u t t h e a r g u m e n t s w h i c h T a r s k ia n d o t h e r s h a v e p r e s e n t e d a g a i n s t t h e d e f i n a b i l i t y o f t r u t h f o ra f o r m a l l a n g u a g e i n t h a t l a n g u a g e i t s e l f ? T h e b e s t k n o w n o f t h e s ea r g u m e n t s a r e c l o s e l y r e l a t e d t o t h e t i m e - h o n o r e d o r p e r h a p s r a t h e r

t i m e - a b u s e d l i a r p a r a d o x ( f o r t h i s p a r a d o x , s e e M a r t i n 1 9 7 8 a n d1 9 8 4 ) . T h e y a r e i l l u s t r a t e d b y a n o u t l i n e o f a n a r g u m e n t w h i c he s t a b l i s h e s t h e i n d e f i n a b i l i t y o f t r u t h f o r a f i r s t - o r d e r a r i t h m e t i c a ll a n g u a g e i n t h a t l a n g u a g e . S u c h a n a r g u m e n t c a n u s e t h e t e c h n i q u eo f G ö d e l n u m b e r i n g . I n r o u g h o u t l i n e , t h e a r g u m e n t r u n s a s f o l l o w s :

L e t n b e t h e n u m e r a l r e p r e s e n t i n g t h e n u m b e r n . A c c o r d i n g t ot h e d i a g o n a l l e m m a , f o r a n y e x p r e s s i o n S [ x ] i n t h e l a n g u a g e o fe l e m e n t a r y a r i t h m e t i c c o n t a i n i n g x a s i t s o n l y v a r i a b l e , t h e r e i s

a n u m b e r n r e p r e s e n t e d b y t h e n u m e r a l n s a t i s f y i n g t h e f o l l o w i n gc o n d i t i o n :

g ( S [ n ] ) = n ( 7 . 1 )

w h e r e g ( S [ n ] ) i s t h e G ö d e l n u m b e r o f t h e e x p r e s s i o n o b t a i n e d f r o mS [ x ] t h r o u g h r e p l a c i n g x b y n . A s s u m e n o w t h a t t h e r e i s a t r u t hp r e d i c a t e T [ x ] i n t h e a r i t h m e t i c a l l a n g u a g e i n q u e s t i o n , t h a t i s ,

a n u m e r i c a l p r e d i c a t e T [ x ] s u c h t h a t T [ n ] i s a t r u e a r i t h m e t i c a ls t a t e m e n t i f a n d o n l y i f n i s t h e G ö d e l n u m b e r o f a t r u e a r i t h m e t i c a ls t a t e m e n t . T h e n w e c o u l d a p p l y t h e d i a g o n a l l e m m a t o a n do b t a i n a n u m b e r d s u c h t h a t t h e G ö d e l n u m b e r o f

( 7 . 2 )

1 3 1




i s d . H e n c e w h a t ( 7 . 2 ) s a y s i s t h a t t h e s e n t e n c e w i t h t h e G ö d e l n u m b e rd i s f a l s e . B u t t h a t s e n t e n c e i s ( 7 . 2 ) , w h i c h y i e l d s a c o n t r a d i c t i o n .

T h i s l i n e o f t h o u g h t i s s i m i l a r t o t h e u s u a l p r o o f s o f G ö d e l ' si n c o m p l e t e n e s s t h e o r e m e x c e p t t h a t t h e r e t h e a c t u a l p r o v a b i l i t yp r e d i c a t e a n d n o t t h e h y p o t h e t i c a l t r u t h p r e d i c a t e i s b e i n g c o n s i d -e r e d .

W h a t h a p p e n s t o t h i s h i g h l y i m p o r t a n t l i n e o f t h o u g h t w h e n w em o v e f r o m o r d i n a r y f i r s t - o r d e r a r i t h m e t i c t o I F f i r s t - o r d e r a r i t h m e -t i c ? A t f i r s t s i g h t t h i s a r g u m e n t m i g h t s e e m i m p o s s i b l e t o d e f a u l t .A f t e r a l l , I F f i r s t - o r d e r l o g i c i s s t r o n g e r t h a n t h e o r d i n a r y o n e , a n d

h e n c e t h e p a r a d o x m i g h t s e e m t o b e i m p o s s i b l e t o a v o i d a l s o i n I Ff i r s t - o r d e r l a n g u a g e s .I n o r d e r t o s e e w h y t h e l i a r p a r a d o x d o e s n o t a r i s e i n I F f i r s t - o r d e r

l a n g u a g e s , w e h a v e t o g o b a c k t o t h e b a s i c i d e a s o f g a m e - t h e o r e t i c a ls e m a n t i c s . I n i t , t h e t r u t h o f a s e n t e n c e S i s d e f i n e d a s t h e e x i s t e n c e o fa w i n n i n g s t r a t e g y f o r t h e i n i t i a l v e r i f i e r i n t h e c o r r e s p o n d i n gs e m a n t i c a l g a m e G ( S ) . T h e f a l s i t y o f S i s d e f i n e d a s t h e e x i s t e n c e o fa w i n n i n g s t r a t e g y o f t h e i n i t i a l f a l s i f i e r i n G ( S ) . N e g a t i o n i s h a n d l e d

b y s t i p u l a t i n g t h a t G ( S ) i s l i k e G ( S ) e x c e p t t h a t t h e r o l e s o f t h e t w op l a y e r s h a v e b e e n e x c h a n g e d .

T h e s e s t i p u l a t i o n s a r e s i m p l e a n d n a t u r a l , b u t t h e y h a v e a s t r i k i n gc o n s e q u e n c e . T h i s c o n s e q u e n c e c o n c e r n s t h e l a w o f e x c l u d e d m i d d l eo r t h e l a w o f b i v a l e n c e , a s s o m e p e o p l e p r e f e r t o p u t i t . T h i s p r i n c i p l eo f t e r t i u m n o n d a t u r b e c o m e s a d e t e r m i n a c y a s s u m p t i o n i n t h e s e n s eo f g a m e t h e o r y . I n o t h e r w o r d s , i t a s s e r t s t h a t t h e r e a l w a y s e x i s t sa w i n n i n g s t r a t e g y f o r o n e o r t h e o t h e r o f t h e t w o p l a y e r s o fa s e m a n t i c a l g a m e . A s w e k n o w f r o m g a m e t h e o r y ( a n d f r o m s e tt h e o r y ) , d e t e r m i n a c y a s s u m p t i o n s a r e n o r m a l l y f a r f r o m o b v i o u s .T h e y o f t e n f a i l . T h e y r e p r e s e n t s t r o n g a s s u m p t i o n s w h i c h a l l o wa q u a n t i f i e r i n v e r s i o n , i n t h a t a d e t e r m i n a c y a s s u m p t i o n e n a b l e s o n et o i n f e r f r o m t h e n o n e x i s t e n c e o f a w i n n i n g s t r a t e g y f o r o n e o f t h ep l a y e r s t h e e x i s t e n c e o f a w i n n i n g s t r a t e g y f o r t h e o t h e r o n e . S i g h tu n s e e n , t h e r e i s t h e r e f o r e n o r e a s o n t o t h i n k t h a t t h e l a w o f e x c l u d e d

m i d d l e s h o u l d h o l d i n m y s e m a n t i c a l g a m e s . I t i s o n l y b y a l u c k yc o i n c i d e n c e , s o t o s p e a k , t h a t i t h o l d s i n o r d i n a r y f i r s t - o r d e r l o g i c . I nI F f i r s t - o r d e r l o g i c , i t i s e a s i l y s e e n t o f a i l , a n d t o f a i l i n a r a d i c a l

m a n n e r .I n o r d e r t o s e e t h i s , w e c a n r e c a l l t h a t m a n y o f t h e " n i c e "

m e t a t h e o r e m s t h a t h o l d i n o r d i n a r y f i r s t - o r d e r l o g i c c o n t i n u e t oh o l d i n I F , s o m e t i m e s i n a s t r e n g t h e n e d f o r m . O n e o f t h e m i s t h e



N E G A T I O N I N I F L O G I C 1 3 3

s e p a r a t i o n t h e o r e m , w h i c h s a y s t h a t t w o j o i n t l y i n c o n s i s t e n t b u ts e p a r a t e l y c o n s i s t e n t s e t s o f f o r m u l a s o f a n I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e ,s a y o a n d x , c a n a l w a y s b e " s e p a r a t e d " b y a s i n g l e o r d i n a r y f i r s t - o r d e r

f o r m u l a F i n t h e s e n s e t h a t r I — F a n d x I — F .

A s s u m e n o w t h a t t h e c o n t r a d i c t o r y n e g a t i o n o f a n I F f i r s t - o r d e rs e n t e n c e i s s o m e h o w e x p r e s s i b l e i n t h e s a m e l a n g u a g e , s a y b y t h es e n t e n c e S 1 . T h e n b y a p p l y i n g t h e s e p a r a t i o n t h e o r e m t o { S 1 } a n d{ S 2 } i t i s s e e n t h a t b o t h o f t h e m m u s t b e s e n t e n c e s o f o r d i n a r yf i r s t - o r d e r l o g i c . F o r t h e n t h e r e i s a s e p a r a t i o n f o r m u l a w h i c hb e l o n g s t o a n o r d i n a r y f i r s t - o r d e r l a n g u a g e s u c h t h a t

s i t — s o

F -

B u t s i n c e I — i t f o l l o w s t h a t S 1 i s e q u i v a l e n t t o a n d t oT h i s s h o w s t h a t t h e o n l y I F f i r s t - o r d e r f o r m u l a s w h o s e

c o n t r a d i c t o r y n e g a t i o n i s e x p r e s s i b l e i n t h e I F l a n g u a g e a r e p r e c i s e l yt h e o r d i n a r y f i r s t - o r d e r f o r m u l a s . I n t h i s s e n s e , t h e l a w o f e x c l u d e d

m i d d l e h o l d s o n l y i n t h e f r a g m e n t o f a n I F l a n g u a g e c o n s i s t i n g o fo r d i n a r y f i r s t - o r d e r l a n g u a g e .

T h e u p s h o t i s t h a t i n I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e s , t h e l a w o f e x c l u d e dm i d d l e i n e v i t a b l y f a i l s . T h i s r e s u l t r e q u i r e s a n u m b e r o f c o m m e n t sa n d e x p l a n a t i o n s .

( i ) T h i s r e s u l t i s n o t d u e t o o u r a r b i t r a r y c h o i c e t o d e f i n e f a l s i t y i na c e r t a i n w a y f o r I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e s , n a m e l y , i n t h e w a ye x p l a i n e d a b o v e . I t i s i n d e p e n d e n t o f o u r t e r m i n o l o g y . T h e r e a l i s s u ei s h o w n e g a t i o n b e h a v e s i n I F l a n g u a g e s . I n d e e d , w h a t e v e r i n t e r e s tm y o b s e r v a t i o n s m a y h a v e i s d u e t o t h e f a c t t h a t w e d i d n o t a s s u m ea n y b r e a k d o w n o f t h e l a w o f e x c l u d e d m i d d l e o r a n y t r u t h - v a l u eg a p s o r a t h i r d t r u t h - v a l u e . W h a t w e h a v e i s a n i n e v i t a b l e c o n s e -q u e n c e o f t h e m o s t n a t u r a l s e m a n t i c s f o r I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e s ,n a m e l y , t h e g a m e - t h e o r e t i c a l o n e . I n d e e d , s i n c e n e i t h e r T a r s k i - t y p et r u t h d e f i n i t i o n s n o r s u b s t i t u t i o n a l o n e s a r e a v a i l a b l e i n I F f i r s t -

o r d e r l a n g u a g e s , w e s c a r c e l y h a v e a n y c h o i c e h e r e b u t t o u s e s o m ev e r s i o n o f g a m e - t h e o r e t i c a l s e m a n t i c s .

( i i ) T h i s o b s e r v a t i o n c a n b e s h a r p e n e d . L e t u s m e r e l y a s s u m e t h a tt h e u s u a l i n t e r c o n n e c t i o n s h o l d b e t w e e n n e g a t i o n a n d t h e o t h e r

l o g i c a l c o n s t a n t s . T h e s e i n t e r c o n n e c t i o n s a r e c o d i f i e d i n t h e l a w o fd o u b l e n e g a t i o n , i n D e M o r g a n ' s l a w s a n d i n t h e i n t e r d e f i n a b i l i t y o ft h e t w o q u a n t i f i e r s . T h e s e l a w s c e r t a i n l y h o l d f o r c l a s s i c a l n e g a t i o n .




A s s u m e a l s o t h a t t h e u s u a l g a m e - t h e o r e t i c a l r u l e s f o r t h e o t h e rn o t i o n s ( & , v , V ) a p p l y . T h e y , t o o , m e r e l y i n c o r p o r a t e p e r f e c t l yc l a s s i c a l a s s u m p t i o n s . W e t h e n n e e d a r u l e f o r n e g a t i o n o n l y f o r t h et r i v i a l c a s e o f a n e g a t e d a t o m i c s e n t e n c e . Y e t t h e r e s u l t i s t h e s a m et r e a t m e n t f o r n e g a t i o n a s w a s o u t l i n e d a b o v e . I n t e r a l i a , t h e l a w o fe x c l u d e d m i d d l e f a i l s . S o m e h o w a n a p p a r e n t l y n o n c l a s s i c a l l o g i cr e s u l t s f r o m e n t i r e l y c l a s s i c a l a s s u m p t i o n s .

T h u s w e c a n s e e t h a t t h e p r i m a f a c i e s u r p r i s i n g b e h a v i o r o fn e g a t i o n i n I F f i r s t - o r d e r l o g i c i s n o t d u e t o o u r g a m e r u l e f o rn e g a t i o n , w h i c h r e v e r s e s t h e r o l e s o f t h e t w o p l a y e r s . T h i s r u l e c a n b e

r e p l a c e d b y t h e p e r f e c t l y c l a s s i c a l r u l e s w h i c h m e r e l y p u s h n e g a t i o ns i g n s d e e p e r i n t o a f o r m u l a . G i v e n t h e o t h e r g a m e r u l e s , t h e t w ok i n d s o f r u l e s f o r n e g a t i o n a r e s i m p l y e q u i v a l e n t .

I n a s e n s e i l l u s t r a t e d b y t h i s l i n e o f t h o u g h t , w e c a n n o t h e l pt r e a t i n g n e g a t i o n i n t h e w a y i n d i c a t e d a b o v e , w h i c h l e a d s t o t h ei n e v i t a b l e r e s u l t t h a t S i s n o t t h e c o n t r a d i c a t o r y n e g a t i o n o f S b u ta s t r o n g e r ( d u a l ) n e g a t i o n .

( i i i ) T h e k i n d o f f a i l u r e o f t h e p r i n c i p l e o f e x c l u d e d m i d d l e t h a t w e

a r e d e a l i n g w i t h h e r e i s a n u n a v o i d a b l e c o m b i n a t o r i a l c o n s e q u e n c eo f t h e w a y q u a n t i f i e r s a n d o t h e r c o n c e p t s i n t e r a c t w i t h e a c h o t h e r . I th a s n o t h i n g t o d o w i t h t h e l i m i t a t i o n s o f h u m a n k n o w l e d g e . E p i -s t e m i c f a i l u r e s o f t e r t i u m n o n d a t u r s h o u l d b e s t u d i e d i n e p i s t e m i c

l o g i c , n o t h e r e . T h e f a i l u r e I h a v e d e s c r i b e d h a s n o t h i n g t o d o w i t hs o m e p a r t i c u l a r s u b j e c t m a t t e r , f o r e x a m p l e , w i t h t h e f u t u r e a sd i s t i n g u i s h e d f r o m t h e p a s t . I t h a s n o t h i n g t o d o w i t h i n f i n i t y , e i t h e r .

B e l o w ( s e e ( v ) ) a f i n i t e m i n i e x a m p l e i s g i v e n o f a s e n t e n c e p e r t a i n i n gt o a u n i v e r s e o f s i x i n d i v i d u a l s w h e r e o n e c a n l i t e r a l l y s e e ( a t l e a s ta f t e r a f e w m o m e n t s t h o u g h t ) t h a t a c e r t a i n s e n t e n c e i s n e i t h e r t r u en o r f a l s e . Y o u c a n c o m e t o s e e v i r t u a l l y d i r e c t l y t h a t a n y a t t e m p t t ov e r i f y a c e r t a i n s i m p l e s e n t e n c e c a n b e d e f e a t e d a n d t h a t a n y a t t e m p tt o f a l s i f y i t c a n l i k e w i s e b e d e f e a t e d . W h a t e l s e c a n a n y m a n ( o r , a sS a m u e l J o h n s o n m i g h t a d d , a n y w o m a n o r a n y c h i l d ) r e a s o n a b l y s a yh e r e e x c e p t t h a t s u c h a s e n t e n c e i s n e i t h e r t r u e n o r f a l s e ? T h u s a l i t t l e

r e f l e c t i o n c a n e a s i l y b r i n g h o m e t o y o u t h e n a t u r a l n e s s , n a y , t h ei n e v i t a b i l i t y o f o u r t r e a t m e n t o f n e g a t i o n .

( i v ) U n l i k e o t h e r a p p r o a c h e s , s u c h a s i n t u i t i o n i s m , o u r t r e a t m e n to f a l o g i c i n w h i c h t h e l a w o f e x c l u d e d m i d d l e f a i l s d o e s n o t i n v o l v ea n y t a m p e r i n g w i t h t h e d e f i n i t o r y l a w s o f o r d i n a r y f i r s t - o r d e r l o g i c .T h e g a m e r u l e s f o r s e m a n t i c a l g a m e s c o n n e c t e d w i t h I F f i r s t - o r d e rs e n t e n c e s a r e p r e c i s e l y t h e s a m e a s t h o s e f o r o r d i n a r y f i r s t - o r d e r




l a n g u a g e s , e x c e p t f o r a l l o w i n g t h a t c e r t a i n m o v e s a r e m a d e b y t h ei n i t i a l v e r i f i e r i n i g n o r a n c e o f c e r t a i n e a r l i e r o n e s . M o r e o v e r , t h el o g i c a l t r u t h s a n d v a l i d r u l e s o f i n f e r e n c e o f o r d i n a r y f i r s t - o r d e r l o g i c

r e m a i n u n p r o b l e m a t i c a l l y v a l i d .( v ) I t m i g h t b e i n s t r u c t i v e t o i l l u s t r a t e t h e s e r e m a r k s b y a s i m p l e

e x a m p l e . F o r t h e p u r p o s e , c o n s i d e r a m i n i u n i v e r s e c o n s i s t i n g o f s i xe n t i t i e s , t h r e e g e n t l e m e n ( A l a n , B r i a n , a n d C e c i l ) w h o b e t w e e n t h e m

h a v e t h r e e h o b b i e s , n a m e l y , r i d i n g , s a i l i n g , a n d t e n n i s . I n d i c a t i n gh o b b i e s b y a n a r r o w , w e c a n s u m u p t h e r e l a t i o n s h i p s h o l d i n g h e r eb y m e a n s o f t h e f o l l o w i n g d i a g r a m :

A l a n

B r i a n = b . s = s a i l i n g ( D )

C e c i l = C . • t = t e n n i s

F o r s i m p l i c i t y , I w i l l t a c i t l y r e s t r i c t t h e v a r i a b l e s x a n d z t o g e n t l e -m e n a n d t h e v a r i a b l e s y a n d u t o h o b b i e s . C o n s i d e r , t h e n , t h e

f o l l o w i n g s t a t e m e n t s :y ) & H ( z , u ) & ( y u ) ) ( 7 . 3 )

y ) & H ( z , u ) & ( y u ) ) ( 7 . 4 )

y ) & H ( z , u ) ) ( y = u ) ) ( 7 . 5 )

H e r e ( 7 . 3 ) s a y s t h a t a n y t w o d i f f e r e n t g e n t l e m e n h a v e r e s p e c t i v eh o b b i e s t h a t a r e d i f f e r e n t , t h a t i s , t h a t n o t w o d i f f e r e n t g e n t l e m e n

h a v e a l l t h e i r h o b b i e s i n c o m m o n . M o r e o v e r , b y p u t t i n g x = z w e s e et h a t ( 7 . 3 ) i m p l i e s t h a t e a c h g e n t l e m a n h a s a t l e a s t t w o h o b b i e s . I t i si m m e d i a t e l y s e e n t h a t ( 7 . 3 ) i s t r u e i n t h e m o d e l ( D ) . I t i s a l s o s e e n t h a t( 7 . 5 ) i s t h e c o n t r a d i c t o r y n e g a t i o n o f ( 7 . 3 ) a n d h e n c e f a l s e i n ( D ) .

C l e a r l y , ( 7 . 4 ) i s t r u e i f a n d o n l y i f t h e r e a r e f u n c t i o n f a n d g s u c ht h a t

( V x ) ( V z ) ( H ( x , f ( x ) ) & H ( z , g ( z ) ) & ( f ( x ) g ( z ) ) ) ( 7 . 6 )

C a n s u c h f u n c t i o n s b e d e f i n e d i n t h e m o d e l D ? L e t u s s e e . B ys y m m e t r y i t s u f f i c e s t o c o n s i d e r t h e c a s e

f ( a ) = r ( 7 . 7 )

T h e n a s u b s t i t u t i o n o f a f o r b o t h x a n d z i n ( 7 . 6 ) y i e l d s

H ( a , f ( a ) ) & H ( a , g ( a ) ) & ( f ( a ) g ( a ) ) ( 7 . 8 )




T h i s i s p o s s i b l e o n l y i f

g ( a ) = s ( 7 . 9 )

B y p u t t i n g x = a , z = b w e o b t a i n

H ( a , f ( a ) ) & H ( b , g ( b ) ) & ( f ( a ) g ( b ) ) ( 7 . 1 0 )

T h i s i s p o s s i b l e o n l y i f

g ( b ) = t ( 7 . 1 1 )

I n t h e s a m e w a y a s i n ( 7 . 9 ) , i t c a n b e s h o w n t h a t

f ( b ) = r ( 7 . 1 2 )

I n t h e s a m e w a y a s i n ( 7 . 1 1 ) w e c a n s h o w t h a t

f ( c ) = s ( 7 . 1 3 )

B u t t h e n w e c a n s u b s t i t u t e c a n d a f o r x a n d z , r e s p e c t i v e l y , a n do b t a i n

H ( c , f ( c ) ) & H ( a , g ( a ) ) & ( f ( c ) # g ( a ) ) ( 7 . 1 4 )w h i c h i s i n v i e w o f ( 7 . 7 ) p o s s i b l e o n l y i f

( 7 . 1 5 )

B u t t h i s c o n t r a d i c t s ( 7 . 1 3 ) , s h o w i n g t h a t ( 7 . 4 ) i s n o t t r u e i n D .B y r e v i e w i n g t h i s l i n e o f t h o u g h t a c o u p l e o f t i m e s y o u c a n r e a c h

a p o i n t a t w h i c h y o u c a n d i r e c t l y s e e t h e f a i l u r e o f ( 7 . 4 ) t o b e t r u e

s i m p l y b y i n s p e c t i n g t h e m o d e l . I n o t h e r w o r d s , y o u c a n t r a i ny o u r s e l f l i t e r a l l y t o s e e f r o m t h e m o d e l ( D ) t h a t a n y s t r a t e g y o fa t t e m p t e d v e r i f i c a t i o n o f ( 7 . 4 ) c a n b e d e f e a t e d b y a s u i t a b l e c o u n t e r -s t r a t e g y .

N o w , i t c a n e a s i l y b e s e e n t h a t ( 7 . 5 ) i s n o t o n l y t h e ( d u a l ) n e g a t i o no f ( 7 . 3 ) b u t a l s o o f ( 7 . 4 ) . T h e r e a s o n i s t h a t a w i n n i n g s t r a t e g y m u s tw o r k n o m a t t e r w h a t m o v e s m y o p p o n e n t m a k e s , i n d e p e n d e n t l y o ft h e i r d e p e n d e n c e o n ( o r i n d e p e n d e n c e o f ) o t h e r s . H e n c e n e i t h e r ( 7 . 4 )

n o r i t s n e g a t i o n ( 7 . 5 ) i s t r u e — t h a t i s , t h e l a w o f e x c l u d e d m i d d l e f a i l sf o r ( 7 . 4 ) .

T h i s s i m p l e e x a m p l e i l l u s t r a t e s s e v e r a l i m p o r t a n t f a c t s , s o m e o ft h e m e x p l a i n e d a b o v e . I t s h o w s t h a t t h e f a i l u r e o f t h e l a w o f e x c l u d e d

m i d d l e i s b y n o m e a n s a s s u m e d i n o u r t r e a t m e n t . I t i s a c o n s e q u e n c eo f a c e r t a i n c o m b i n a t o r i a l f e a t u r e o f t h e b e h a v i o r o f n e g a t i o n i n I Fl o g i c . I n i n t u i t i v e t e r m s , t h i s c o m b i n a t o r i a l f a c t c a n b e i n t e r p r e t e d a s




s a y i n g t h a t e v e r y s e r i o u s a t t e m p t t o v e r i f y ( 7 . 2 ) i n ( D ) c a n b e d e f e a t e da n d t h a t e v e r y s e r i o u s a t t e m p t t o f a l s i f y i t i n ( D ) c a n b e l i k e w i s ed e f e a t e d . B y s e r i o u s a t t e m p t , I m e a n h e r e a n a t t e m p t g o v e r n e d b y a n

e x p l i c i t s t r a t e g y . I n t h e c a s e o n h a n d , t h e r e l e v a n t c o m b i n a t o r i a l f a c ti s a f i n i t a r y o n e . T h i s s h o w s t h a t i n f i n i t y c a n n o t i n a n y w a y b e

b l a m e d f o r t h e f a i l u r e o f t e r t i u m n o n d a t u r , e v e n i f i n o t h e r c a s e s t h ec o m b i n a t o r i c s i n v o l v e d i s i n f i n i t a r y .

T o p u t t h e s a m e p o i n t i n a d i f f e r e n t w a y , t h e a p p l i c a b i l i t y o rn o n a p p l i c a b i l i t y o f t e r t i u m n o n d a t u r t o a g i v e n s e n t e n c e i n a c e r t a i n

m o d e l ( " w o r l d " ) i s a n o b j e c t i v e f a c t a b o u t t h a t m o d e l o r w o r l d . I t

d o e s n o t d e p e n d o n a n y l i m i t a t i o n s o f o n e ' s k n o w l e d g e a b o u t t h ew o r l d , n o r d o e s i t i m p l y t h a t t h e r e a r e s u c h l i m i t a t i o n s .M o r e g e n e r a l l y , t h e e x a m p l e i l l u s t r a t e d t h e f a c t t h a t q u e s t i o n s

c o n c e r n i n g t h e l o g i c a l t r u t h a n d s a t i s f i a b i l i t y o f I F f i r s t - o r d e r f o r -m u l a s a r e i n a r e a s o n a b l e s e n s e c o m b i n a t o r i a l . T h e y a r e q u e s t i o n sc o n c e r n i n g t h e p o s s i b i l i t y o f c e r t a i n k i n d s o f s t r u c t u r e s o f i n d i v i d -

u a l s . T h e s e " k i n d s " a r e c h a r a c t e r i z e d i n a w a y s i m i l a r t o , s a y , t h es t r u c t u r e s i n v o l v e d i n R a m s e y - t y p e t h e o r e m s . T h e s e s t r u c t u r e s c a n

b e f i n i t e , b u t t h e y m a y o f c o u r s e a l s o b e i n f i n i t e . I n n e i t h e r c a s e a r ea n y t o t a l i t i e s o f s e t s o r f u n c t i o n s o r a n y o t h e r k i n d s o f h i g h e r - o r d e re n t i t i e s i n v o l v e d .

W h a t d i s t i n g u i s h e s o u r e x a m p l e f r o m o t h e r s i s i t s s i m p l i c i t y . B yl o o k i n g a t ( D ) a n d b y r e v i e w i n g t h e a r g u m e n t p r e s e n t e d a b o v e i ny o u r m i n d , y o u c a n r e a c h a p o i n t w h e r e y o u c a n a l m o s t l i t e r a l l y s e et h e f a i l u r e o f t h e p r i n c i p l e o f e x c l u d e d m i d d l e . E v e n t h o u g h t h e s a m ec a n n o t b e s a i d o f m o r e c o m p l e x c a s e s , t h e d i f f e r e n c e l i e s m e r e l y i na c o n t i n g e n t l i m i t a t i o n o f h u m a n c a p a c i t i e s , a n d n o t i n t h e s u b j e c tm a t t e r .

I t i s e v e n p o s s i b l e i n p r i n c i p l e t o f o r m u l a t e e x a m p l e s o f s u f f i c i e n t l ys i m p l e i n f i n i t e s t r u c t u r e s w h e r e t h e f a i l u r e o f t e r t i u m n o n d a t u r c o u l db e s e e n e q u a l l y d i r e c t l y .

A l l t h i s i l l u s t r a t e s t h e f a c t t h a t o u r t r u t h d e f i n i t i o n d e a l s w i t h t h es t r a t e g i e s o f s e m a n t i c g a m e s a n d n o t w i t h t h e i r d e f i n i t o r y r u l e s .

L a t e r , i n C h a p t e r 1 0 , a n i m p o r t a n t p o s s i b i l i t y w i l l b e f o u n d o fc h a n g i n g o u r t r u t h d e f i n i t i o n w i t h o u t c h a n g i n g t h e m o v e - b y - m o v ed e f i n i t o r y r u l e s o f s e m a n t i c a l g a m e s .

H e r e t h e r e a d e r i s p e r h a p s a l r e a d y c a t c h i n g a g l i m p s e o f w h y i t i sh o p e l e s s t o t r y t o i m p l e m e n t c o n s t r u c t i v i s t i c i d e a s b y s o m e h o wm a n i p u l a t i n g t h e d e f i n i t o r y r u l e s o f t h e g a m e s o f f o r m a l p r o o f . E v e nw h e n w e m o v e f r o m s u c h f o r m a l g a m e s t o t h e i r r e a l b a s i s i n t h e f o r m




o f s e m a n t i c a l g a m e s i t s t i l l d o e s n o t h e l p t o t r y t o v a r y t h e d e f i n i t o r yr u l e s o f s u c h g a m e s . C o n v e r s e l y , o u r r e s u l t s i l l u s t r a t e a t t h e s a m et i m e t h e a d v a n t a g e s o f a s t r a t e g i c v i e w p o i n t i n l o g i c a l a n d l i n g u i s t i ct h e o r y .

( v i ) I n o r d e r t o a v o i d m i s u n d e r s t a n d i n g , i t i s i n o r d e r t o p o i n t o u tt h a t t h e f a i l u r e o f t h e l a w o f e x c l u d e d m i d d l e f o r a c e r t a i n s e n t e n c eS i s n o g u a r a n t e e t h a t i t s c o n t r a d i c t o r y n e g a t i o n i s n o t e x p r e s s i b l e i na I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e . F o r i n s t a n c e , i t i s e a s i l y s e e n t h a t i n m a n ym o d e l s a s e n t e n c e o f t h e f o l l o w i n g f o r m i s n e i t h e r t r u e n o r f a l s e :

y ] ( 7 . 1 6 )

w h e r e A [ x , y ] i s a t o m i c . Y e t ( 7 . 1 6 ) i s e a s i l y s e e n t o b e l o g i c a l l ye q u i v a l e n t t o

y ] ( 7 . 1 7 )

a n d h e n c e t o h a v e a s i t s c o n t r a d i c t o r y n e g a t i o n

A [ x , y ] ( 7 . 1 8 )

W h a t h a p p e n s i n t h e m o r e c o m p l i c a t e d e x a m p l e j u s t p r e s e n t e d i sn o t o n l y t h a t t e r t i u m n o n d a t u r f a i l s , b u t t h a t t h e c o n t r a d i c t o r yn e g a t i o n o f a s e n t e n c e i s n o t e x p r e s s i b l e i n t h e I F f i r s t - o r d e r l a n -g u a g e i n q u e s t i o n .

T h e b e h a v i o r o f n e g a t i o n i n I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e s h a s a n u m b e ro f c o n s e q u e n c e s , i n c l u d i n g t h e f o l l o w i n g :

( a ) U n l e s s c o n d i t i o n a l s a r e t r e a t e d s e p a r a t e l y , m a t e r i a l i m p l i c a t i o n( t r u t h - f u n c t i o n a l c o n d i t i o n a l ) i s n o t e x p r e s s i b l e i n g e n e r a l i n I F

f i r s t - o r d e r l a n g u a g e s . F o r i n s t a n c e , ( F G ) a n d F v G ) e x -

p r e s s s o m e t h i n g s t r o n g e r t h a n t h e c u s t o m a r y m a t e r i a l i m p l i c a -t i o n o f t r u t h - f u n c t i o n t h e o r y .

I t w o u l d b e i n t e r e s t i n g t o e x a m i n e w h e t h e r t h i s f a c t m i g h th a v e t a c i t l y b e e n r e s p o n s i b l e f o r t h e u n e a s e m a n y p h i l o s o p h e r sh a v e f e l t a b o u t t r u t h - f u n c t i o n a l c o n d i t i o n a l s .

( b ) T h e s a m e a p p l i e s t o e q u i v a l e n c e s . I f ( S 1 * - + S 2 ) i s c o n s t r u e d a s

( S 1 & S 2 ) v & S 2 ) ( 7 . 1 9 )

t h e n i t s l o g i c a l t r u t h e n t a i l s t h a t S 1 a n d S 2 b o t h s a t i s f y t h e l a w o f

e x c l u d e d m i d d l e a n d h e n c e b e l o n g t o o r d i n a r y f i r s t - o r d e r l o g i c .( c ) A s a n a p p l i c a t i o n o f t h e s e o b s e r v a t i o n s , c o n s i d e r T a r s k i ' s T -

s e n t e n c e s . T h e y a r e s u b s t i t u t i o n - i n s t a n c e s o f t h e s c h e m a

( T ) f l i s t r u e




w h e r e " H " i s a p l a c e h o l d e r f o r a q u o t e o r a s t r u c t u r a l d e s c r i p t i o no f t h e s e n t e n c e w h i c h i s t o r e p l a c e " p . " ( T ) i s e q u i v a l e n t t o

( T ) * ( H i s t r u e & p ) v ( f l i s n o t t r u e & p )

( T ) * c l e a r l y e n t a i l s

( 7 . 2 0 )

I n o t h e r w o r d s , a n y s e n t e n c e w h o s e t r u t h c a n b e c h a r a c t e r i z e d b ym e a n s o f a n e x p l i c i t l y f o r m u l a t e d i n s t a n c e o f t h e T - s c h e m a s a t i s -

f i e s t h e l a w o f e x c l u d e d m i d d l e ; i t h a s a c o n t r a d i c t o r y n e g a t i o n i n

t h e s a m e l a n g u a g e . B u t i f s o , T a r s k i ' s T - s c h e m a i s u s e l e s s i n i t s

u s u a l f o r m i n I F l o g i c . W h a t i t t r i e s t o e x p r e s s i s t r u e a n d i m p o r -t a n t , n a m e l y , t h a t a s e n t e n c e S a n d i t s t r u t h - c o n d i t i o n c ( S ) m u s tb e t r u e s i m u l t a n e o u s l y . B u t t h e u s u a l f o r m a l e x p r e s s i o n s o f t h eT - s c h e m a r e q u i r e m o r e . I t r e q u i r e s t h a t S a n d c ( S ) m u s t a l s o b ef a l s e s i m u l t a n e o u s l y . T h i s r e q u i r e m e n t c a n n o t b e s u s t a i n e d i n I Ff i r s t - o r d e r l o g i c . H e n c e t h e e n t i r e m a t t e r o f t h e T - s c h e m a h a s t ob e h a n d l e d w i t h c a u t i o n . I t i s u n p r o b l e m a t i c o n l y i n o r d i n a r y

f i r s t - o r d e r l a n g u a g e s .A s I h a v e p o i n t e d o u t b e f o r e ( H i n t i k k a 1 9 7 6 b ) , t h e T - s c h e m a f a i l s

f o r a n o t h e r r e a s o n , t o o . L i k e o t h e r f e a t u r e s o f T a r s k i ' s a p p r o a c h , i tp r e s u p p o s e s c o m p o s i t i o n a l i t y . W h e n c o m p o s i t i o n a l i t y f a i l s , T -s c h e m a m a y a l s o f a i l . C a s e s i n p o i n t a r e f o u n d w h e n t h e T - s c h e m a i sf o r m u l a t e d i n n a t u r a l l a n g u a g e s , f o r e x a m p l e , a s f o l l o w s :

( T ) * * H i s t r u e i f a n d o n l y i f p

w i t h " H " a n d " p " w o r k i n g a s b e f o r e , b u t t h i s t i m e " p " w o r k i n g a sa p l a c e h o l d e r f o r E n g l i s h s e n t e n c e s ( f r e e o f i n d e x i c a l s ) . B y s u b s t i t u -t i n g " a n y o n e c a n b e c o m e a m i l l i o n a i r e " f o r " p " a n d i t s q u o t e f o r " H "a n d b y t a k i n g o n l y o n e h a l f o f t h e e q u i v a l e n c e w e c a n s e e t h a t ( T ) * *e n t a i l s

" a n y o n e c a n b e c o m e a m i l l i o n a i r e " i s t r u e i f a n y o n e c a nb e c o m e a m i l l i o n a i r e ( 7 . 2 1 )

B u t ( 7 . 2 1 ) i s n o t t r u e : o n e p e r s o n m a k i n g a c o o l m i l l i o n d o e s n o ti m p l y t h a t e v e r y o n e c a n d o i t .

T h e e x p l a n a t i o n i s t h a t t h e g a m e r u l e f o r a n y h a s p r i o r i t y o v e r t h eg a m e r u l e f o r c o n d i t i o n a l s . F r o m t h a t i t f o l l o w s t h a t t h e f o r c e o f a n yd e p e n d s o n w h e r e i t o c c u r s i n a s e n t e n c e , f o r i n s t a n c e , i n a c o n d i -t i o n a l s e n t e n c e . I n o t h e r w o r d s , i t v i o l a t e s c o m p o s i t i o n a l i t y .




B e c a u s e o f t h i s s c o p e p e c u l i a r i t y o f a n y , i t h a s a w i d e r s c o p e i n( 7 . 2 1 ) t h a n t h e r e b y m a k i n g ( 7 . 2 1 ) f a l s e .

T h i s c o u n t e r e x a m p l e t o T a r s k i ' s T - s c h e m a m i g h t s e e m t o t u r n o na p e c u l i a r i t y o f t h e E n g l i s h a n y t h a t h a s n o g e n e r a l t h e o r e t i c a li n t e r e s t . T h a t w o u l d b e a m i s p e r c e p t i o n , h o w e v e r . W h a t ( 7 . 2 1 ) r e a l l yi l l u s t r a t e s i s t h e f a i l u r e o f c o m p o s i t i o n a l i t y i n n a t u r a l l a n g u a g e s ,e r g o a n e x t r e m e l y i n t e r e s t i n g g e n e r a l p h e n o m e n o n .

I n s u m , t h e T - s c h e m a i s v i r t u a l l y u s e l e s s f o r a d i s c u s s i o n o f t r u t ha n d t r u t h d e f i n i t i o n s i n g e n e r a l . T h e p r e s u p p o s i t i o n s i t i s p r e d i c a t e do n c a n n o t b e e x p e c t e d t o h o l d i n g e n e r a l o u t s i d e o r d i n a r y f i r s t - o r d e r

l a n g u a g e s .T h e f a i l u r e o f t h e T - s c h e m a t o s e r v e a s a s a t i s f a c t o r y c r i t e r i o n o f

t h e c h a r a c t e r i z a t i o n o f t r u t h a l s o m e a n s t h a t d i s q u o t a t i o n a l a c -c o u n t s o f t r u t h a r e s e r i o u s l y i n c o m p l e t e . T h e y p r e s u p p o s e c o m p o s i -t i o n a l i t y a n d t e r t i u m n o n d a t u r , n e i t h e r o f w h i c h c a n b e e x p e c t e d t oh o l d i n l a n g u a g e s o f m o r e t h a n m i n i m a l e x p r e s s i b l e p o w e r a n ds u r e l y n o t i n o r d i n a r y l a n g u a g e . C o n s e q u e n t l y , T a r s k i ' s T - s c h e m ac a n n o t s e r v e a s a c o n d i t i o n o n o u r c o n c e p t i o n o f t r u t h i n g e n e r a l .

T h e f a i l u r e o f t r u t h - f u n c t i o n a l c o n d i t i o n s t o b e e x p r e s s i b l e i n I Ff i r s t - o r d e r l a n g u a g e s i s a m o r e s i g n i f i c a n t f a c t t h a n o n e m i g h t f i r s ts u s p e c t . T h i s s i g n i f i c a n c e c a n b e s e e n b y a s k i n g : W h a t d o w e n e e dt r u t h - f u n c t i o n a l c o n d i t i o n a l s f o r , a n y w a y ? A n i m p o r t a n t p a r t o f t h ea n s w e r i s : W e n e e d t h e m f o r t h e p u r p o s e s o f l o g i c a l p r o o f . F o ri n s t a n c e , w i t h o u t a c o n t r a d i c t o r y n e g a t i o n a t o u r d i s p o s a l , w e c a n -n o t u s e m o d u s p o n e n s , e x c e p t i n a w e a k e n e d f o r m .

T h e s a m e p o i n t c a n b e p u t i n a n o t h e r w a y . T h e f o r m u l a s t h a t c a ns e r v e t o j u s t i f y i n f e r e n t i a l s t e p s f r o m o n e s e n t e n c e t o a n o t h e r , a s t h et r u t h - f u n c t i o n a l c o n d i t i o n a l " i f S 1 , t h e n S 2 " w o u l d s e r v e t o f a c i l i t a t ea n i n f e r e n c e f r o m S 1 t o S 2 , t u r n o u t t o b e e x t r e m e l y s t r o n g s e n t e n c e ss e m a n t i c a l l y . T h e y c a n n o t b e e x p r e s s e d i n o r d i n a r y f i r s t - o r d e r l a n -g u a g e , a n d t h e y c a n n o t b e e x p r e s s e d i n I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e , e i t h e r .L a t e r i n t h i s c h a p t e r w e s h a l l s e e a n e x a m p l e o f a s t i l l s t r o n g e rl a n g u a g e i n w h i c h t h e y c a n b e s o e x p r e s s e d .

T h i s s t r e n g t h a n d s u b t l e t y o f i n f e r e n t i a l r e l a t i o n s h i p s , r e f l e c t e d b yt h e i r f a i l u r e t o b e e x p r e s s e d e x c e p t i n v e r y s t r o n g l a n g u a g e s , m a k e s i t

h i g h l y u n l i k e l y t h a t w e h u m a n s c o u l d h a v e d i r e c t u n a i d e d i n s i g h t si n t o t h e i r s t a t u s a s " i n f e r e n c e t i c k e t s " . A n d i f s o , a n o t h e r c o m m o nv i e w o f l o g i c b i t e s t h e d u s t . I t i s t h e i d e a o f l o g i c a s a s y s t e m a t i z a t i o n o f

o u r i n t u i t i o n s a b o u t r e l a t i o n s h i p s o f l o g i c a l c o n s e q u e n c e b e t w e e np r o p o s i t i o n s . T h e r e i s p r e c i o u s l i t t l e r e a s o n t o t h i n k t h a t w e c o u l d




h a v e v i a b l e " i n t u i t i o n s " a b o u t m a t t e r s s o c o m p l e x t h a t t h e y c a n n o te v e n b e e x p r e s s e d i n a n I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e .

T h i s o b s e r v a t i o n f u r t h e r e n h a n c e s t h e s t a t u s o f m o d e l - t h e o r e t i c a lc o n c e p t s a n d t h e o r i e s a s c o m p a r e d w i t h t h e r o l e o f p r o o f - t h e o r e t i c a l( i n f e r e n t i a l ) a p p r o a c h e s t o l o g i c .

A n a d d i t i o n a l o b s e r v a t i o n i s r e l e v a n t h e r e . I n C h a p t e r 3 i t w a ss e e n t h a t I F f i r s t - o r d e r l o g i c e n a b l e s u s t o c a p t u r e , a s t h e m o d e l so f a f o r m u l a , c l a s s e s o f s t r u c t u r e s t h a t c a n n o t b e l i k e w i s e c a p t u r e db y a n y o r d i n a r y f i r s t - o r d e r f o r m u l a . L e t L b e s u c h a c l a s s o f s t r u c -t u r e s , c a p t u r e d b y t h e f o r m u l a F ( X ) . T h e n i t f o l l o w s f r o m w h a t

h a s b e e n s e e n t h a t t h e c o m p l e m e n t o f Z c a n n o t b e c a p t u r e d b y a n yI F f i r s t - o r d e r f o r m u l a , F o r t h i s c o m p l e m e n t w o u l d h a v e t o b e c a p -t u r e d b y t h e c o n t r a d i c t o r y n e g a t i o n o f F ( X ) , w h i c h i s n o t a v a i l a b l eu n l e s s F ( X ) i s a f o r m u l a o f o r d i n a r y f i r s t - o r d e r l o g i c . B u t t h e n i t d o e sn o t e n h a n c e t h e r e p r e s e n t a t i o n a l c a p a c i t i e s o f o r d i n a r y f i r s t - o r d e rl o g i c .

T h e b e h a v i o r o f n e g a t i o n i n I F f i r s t - o r d e r l o g i c a l s o s h o w s h o wt h i s l o g i c c a n e s c a p e t h e c l u t c h e s o f t h e t h i r d m a i n r e s u l t ( b e s i d e s

G ö d e l ' s a n d T a r s k i ' s ) t h a t a p p a r e n t l y s e v e r e l y r e s t r i c t s w h a t c a n b ed o n e b y m e a n s o f l o g i c . T h i s r e s u l t i s k n o w n a s L i n d s t r ö m ' s T h e o r e m

( s e e L i n d s t r ö m 1 9 6 9 ; c f . E b b i n g h a u s , F l u m a n d T h o m a s 1 9 8 4 , C h . 1 2 ) .I t i s a r e s u l t i n t h e t h e o r y o f a b s t r a c t ( m o d e l - t h e o r e t i c a l ) l o g i c sw h i c h s a y s , r o u g h l y s p e a k i n g , t h a t t h e o r d i n a r y f i r s t - o r d e r l o g i c i s i na n a t u r a l s e n s e t h e s t r o n g e s t p o s s i b l e l o g i c s a t i s f y i n g c e r t a i n c o n d i -t i o n s . T h i s s e n s e i s s i m p l y a n e x p l i c a t i o n o f t h e i d e a t h a t a s t r o n g e rl o g i c e n a b l e s o n e t o m a k e f i n e r d i s t i n c t i o n s a m o n g m o d e l s t h a na w e a k e r o n e .

O f t h e c o n d i t i o n s o f L i n d s t r ö m ' s T h e o r e m , m o s t a t t e n t i o n h a s b e e nd i r e c t e d a t t h e a s s u m p t i o n s t h a t t h e l o g i c i n q u e s t i o n i s c o m p a c t a n dt h a t i t v a l i d a t e s t h e L ö w e n h e i m — S k o l e m t h e o r e m . S i n c e I F f i r s t - o r d e rl o g i c s a t i s f i e s t h e s e c o n d i t i o n s a n d y e t i s s t r o n g e r t h a n i t i n t h er e l e v a n t s e n s e o f t h e t e r m , t h e s e t w o a s s u m p t i o n s c a n n o t b e a l l t h ei m p o r t a n t o n e s . I n d e e d , t h e j o k e r i n t h e p a c k t u r n s o u t t o b e

L i n d s t r ö m ' s a s s u m p t i o n t h a t n e g a t i o n b e h a v e s l i k e c o n t r a d i c t o r yn e g a t i o n . T h i s a s s u m p t i o n i s n o t s a t i s f i e d b y I F f i r s t - o r d e r l o g i c , a n df o r t h i s r e a s o n i t c a n b e s t r o n g e r t h a n o r d i n a r y f i r s t - o r d e r l o g i c ,L i n d s t r ö m ' s T h e o r e m n o t w i t h s t a n d i n g . T h u s n e g a t i o n o n c e a g a i np l a y s a c r u c i a l r o l e i n t h e f o u n d a t i o n s o f l o g i c . A n d , o n c e a g a i n ,a p p a r e n t r e s t r i c t i o n s o n t h e p o w e r o f l o g i c t u r n o u t n o t t o b e r e a lo n e s .




( B ) T h e l i a r i s m e r e l y a n o n t r u t h - t e l l e r

I n t h e l i g h t o f o u r r e s u l t s , w e c a n n o w s e e w h y i t i s t h a t t h e l i a r p a r a d o x

d o e s n o t a r i s e i n I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e s . T h e s t a t u s o f t h e d i a g o n a ll e m m a s t r i c t l y s p e a k i n g n e e d s a r e v i e w . B u t s i n c e i t b a s i c a l l y e x p r e s s e s

a c o m b i n a t o r i a l f a c t a b o u t e l e m e n t a r y n u m b e r t h e o r y , t h e r e i s n or e a s o n t o e x p e c t t h a t i t d o e s n o t h o l d i n I F f i r s t - o r d e r l o g i c . B u t w h a te s c a p e h a t c h e s d o e s i t s v a l i d i t y l e a v e u s w i t h ?

L e t u s s e e . L e t u s a p p l y t h e d i a g o n a l l e m m a t o o u r t r u t h p r e d i c a t eT . T h e n w e o b t a i n t h e r e s u l t t h a t t h e r e e x i s t s a n u m b e r h s u c h t h a t h i st h e G ö d e l n u m b e r o f

( 7 . 2 2 )

T h e n i t i s e a s i l y s e e n i n t h e u s u a l w a y t h a t i f

T [ h ] ( 7 . 2 3 )

i s f a l s e , i t i s t r u e , a n d v i c e v e r s a . B u t ( 7 . 2 3 ) n e e d n o t b e e i t h e r t r u e o rf a l s e . H e n c e n o c o n t r a d i c t i o n e n s u e s . T h e l i a r p a r a d o x d o e s n o t v i t i a t e

t h e t r u t h d e f i n i t i o n w e h a v e g i v e n f o r s u i t a b l e I F f i r s t - o r d e r l a n -g u a g e s . T h e l i a r s e n t e n c e m e r e l y t u r n s o u t t o b e n e i t h e r t r u e n o rf a l s e .

T h i s r e s o l u t i o n o f t h e l i a r p a r a d o x i s s o s i m p l e a s t o p r o m p ts u r p r i s e a n d e v e n d i s b e l i e f . A f e w c o m m e n t s a r e t h e r e f o r e i n o r d e r .

( a ) T h e r e i s n o t h i n g m y s t e r i o u s a b o u t t h e f a c t t h a t ( 7 . 2 3 ) i s n e i t h e rt r u e n o r f a l s e . T h a t i t i s n e i t h e r i s m e r e l y a c o m b i n a t o r i a l f e a t u r e o f t h e

s t r u c t u r e s t h a t ( 7 . 2 3 ) s p e a k s o f . I n p r i n c i p l e , t h i s f a c t i s a s s t r a i g h t f o r -w a r d a s o u r e x a m p l e a b o u t ( D ) a b o v e . I t m e a n s t h a t e a c h s t r a t e g y o fv e r i f i c a t i o n f o r ( 7 . 2 3 ) c a n b e d e f e a t e d a n d t h a t e a c h s t r a t e g y o ff a l s i f i c a t i o n c a n l i k e w i s e b e f r u s t r a t e d . T h a t w e c a n n o t s e e t h i s f a c td i r e c t l y , a s w e c o u l d s e e t h e c o r r e s p o n d i n g f a c t i n t h e c a s e o f ( 7 . 4 ) i nr e l a t i o n t o ( D ) , i s m e r e l y d u e t o t h e g r e a t e r c o m p l e x i t y o f ( 7 . 2 3 ) a sc o m p a r e d t o ( 7 . 4 ) . O t h e r w i s e t h e t w o a r e o n a p a r . O n e m i g h t e v e ns u g g e s t t h a t t h e d r a m a t i z a t i o n o f t h e p r o p e r t i e s ( 7 . 2 3 ) v i a a c o m p a r i -

s o n w i t h t h e l i a r p a r a d o x i s a p a r t i a l w a y o f h i g h l i g h t i n g t h i s i n t u i t i v ef e a t u r e o f ( 7 . 2 3 ) . M y p o i n t h e r e i s c l o s e l y r e l a t e d t o t h e f a c t t h a tG d d e l ' s i m p o s s i b i l i t y t h e o r e m , w h i c h h e h i m s e l f c o m p a r e d w i t h t h el i a r p a r a d o x , c a n b e p r o v e d c o n s t r u c t i v i s t i c a l l y .

( b ) F u r t h e r m o r e , t h e c o m b i n a t o r i a l f e a t u r e s o f ( 7 . 2 3 ) a r e i n d e p e n -d e n t o f o u r t e r m i n o l o g y . T h e y c a n n o t b e c h a n g e d , f o r e x a m p l e , b yd e f i n i n g f a l s i t y i n a w a y d i f f e r e n t f r o m o u r s . T h e c r u c i a l p o i n t i s t h a t




t h e r e i s b a s i c a l l y o n l y o n e w a y o f c h a r a c t e r i z i n g n e g a t i o n i n I Ff i r s t - o r d e r l o g i c .

I t h a s s o m e t i m e s b e e n s u g g e s t e d ( c f . e . g . , S i m m o n s 1 9 9 0 , P . 2 9 0 ) a s

a s o l u t i o n f o r p a r a d o x e s l i k e t h a t o f t h e l i a r t h a t t h e r e i s i n t h e l a s ts e m a n t i c a l a n a l y s i s n o p a r a d o x - g e n e r a t i n g c o n c e p t t o b e e x p r e s s e d .W h a t h a s b e e n s e e n s h o w s t h a t t h i s i s n o t t h e c a s e i n t h e a p p r o a c hd e v e l o p e d h e r e . F o r t h e e x i s t e n c e o f a w i n n i n g s t r a t e g y f o r t h e i n i t i a lv e r i f i e r i s a d e f i n i t e c o m b i n a t o r i a l p r o p e r t y o f m o d e l s , n o m a t t e rw h e t h e r t h e g a m e i n q u e s t i o n i s d e t e r m i n a t e o r n o t . H e n c e , i n a v e r yc o n c r e t e s e n s e , t h e r e i s s u c h a c o n c e p t o f t r u t h t o b e d e f i n e d f o r I F

f i r s t - o r d e r l a n g u a g e s .( c ) I t w a s a s s u m e d a b o v e i n t h e a r g u m e n t c o n c e r n i n g ( 7 . 2 2 ) — ( 7 . 2 3 )

t h a t t h e d i a g o n a l l e m m a a p p l i e s w h e n e l e m e n t a r y a r i t h m e t i c i sd e v e l o p e d w i t h i n t h e f r a m e w o r k o f I F f i r s t - o r d e r l o g i c i n s t e a d o f a no r d i n a r y o n e . E v e n t h o u g h t h e c o r r e c t n e s s o f t h i s a s s u m p t i o n i s f a i r l yo b v i o u s , i t i s s t i l l w o r t h n o t i n g h e r e . T h e r e a s o n w h y t h e d i a g o n a ll e m m a a p p l i e s i s t h a t t h e s y n t a x o f I F f i r s t - o r d e r a r i t h m e t i c a l l a n -g u a g e c a n b e h a n d l e d ( v i a a s u i t a b l e G ö d e l n u m b e r i n g ) i n i t s o w n

o r d i n a r y f i r s t - o r d e r - l o g i c f r a g m e n t . H e n c e o n e c a n r e p r e s e n t t h ed i a g o n a l f u n c t i o n s ( c f . M e n d e l s o n 1 9 8 7 , p . 1 5 5 ) i n t h e l a n g u a g e a sb e f o r e , f o r i t d e a l s s i m p l y w i t h t h e s y n t a x o f t h e a r i t h m e t i c a l l a n g u a g e

i n q u e s t i o n . F u r t h e r m o r e , t h e r e p r e s e n t a b i l i t y o f t h e d i a g o n a l f u n c -t i o n s i s t h e o n l y s u b s t a n t i a l a s s u m p t i o n n e e d e d f o r t h e d i a g o n a l

l e m m a , w h i c h i s t h e r e f o r e a p p l i c a b l e i n I F f i r s t - o r d e r a r i t h m e t i c a ll a n g u a g e s .

T h e s a m e r e m a r k s a p p l y m u t a t i s m u t a n d i s t o t h e f r a g m e n t s o fs e c o n d - o r d e r a r i t h m e t i c a l l a n g u a g e s , u n s u r p r i s i n g l y , b e c a u s e t h e y a r e

e q u i v a l e n t t o t h e c o r r e s p o n d i n g I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e s .( d ) I f y o u t a k e a w i d e r v i e w o f t h e s i t u a t i o n , y o u w i l l f i n d t h a t n o t

o n l y s h o u l d y o u h a v e e x p e c t e d t h e l i a r p a r a d o x n o t t o t o u c h o u r t r u t hd e f i n i t i o n b u t t h a t y o u s h o u l d h a v e e x p e c t e d i t t o b e i m m u n e t o a l lp a r a d o x e s . I n o r d e r t o s e e t h i s , y o u m a y h a v e a l o o k a t t h e s e c o n d -o r d e r t r u t h d e f i n i t i o n a s p r e s e n t e d i n C h a p t e r 6 . W h a t i t s a y s i s t h a t

t h e r e e x i s t s a p r e d i c a t e ( o f t h e G ö d e l n u m b e r s o f s e n t e n c e s ) s a t i s f y i n gc e r t a i n c o n d i t i o n s s u c h t h a t x h a s t h i s p r e d i c a t e . W h a t a r e t h e r e l e v a n tc o n d i t i o n s ? T h e y s p e l l o u t p r e c i s e l y t h e f e a t u r e s w h i c h o u r i n t u i t i v ec o n c e p t o f t r u t h h a s , a p p l i e d t o t h e g i v e n I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e s a n sa n y s p e c i a l t r u t h p r e d i c a t e . T h e r e i s n o s e l f - r e f e r e n c e h e r e t o g e n e r a t ep a r a d o x e s o r c o n t r a d i c t i o n s . U n l e s s o u r i n t u i t i v e c o n c e p t i o n o f t r u t hi s s e r i o u s l y f l a w e d , t h i s s e c o n d - o r d e r d e f i n i t i o n c a n n o t g o a s t r a y , f o r i t




m e r e l y c a p t u r e s w h a t w e m e a n b y t h e t r u t h o f a n I F f i r s t - o r d e rs e n t e n c e . H e n c e n o p a r a d o x e s c a n b e g e n e r a t e d b y s u c h a d e f i n i t i o n .A n d t h e p o s s i b i l i t y o f t r a n s l a t i n g t h e s e c o n d - o r d e r t r u t h d e f i n i t i o nb a c k i n t o t h e I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e i n q u e s t i o n i s s i m p l y a m a t t e r o fa w e l l - k n o w n l o g i c a l r e s u l t .

( e ) T h e e a s e a t w h i c h t h e l i a r p a r a d o x w a s a v o i d e d i n I F f i r s t - o r d e rl a n g u a g e s s u g g e s t s t h a t i t d o e s n o t p o s e a s e r i o u s t h r e a t a g a i n s t t r u t h

d e f i n i t i o n s o r a g a i n s t t h e p o s s i b i l i t y o f a c o n s i s t e n t c o n c e p t o f t r u t ha l s o i n n a t u r a l l a n g u a g e s . I n s t e a d , i t s u g g e s t s a n i m p o r t a n t g e n e r a l

p o i n t . I n s o m e s e n s e , t h e l i a r p a r a d o x h a s m o r e t o d o w i t h o u r c o n c e p t

o f n e g a t i o n t h a n w i t h o u r c o n c e p t o f t r u t h . T h i s i s s u g g e s t e d a l s o b yt h e w a y i n w h i c h l i a r - l i k e a r g u m e n t s a r e u s e d b y G ö d e l a n d T a r s k i . A tb o t t o m , t h e s e u s e s a r e b a s e d o n t h e d i a g o n a l l e m m a w h i c h i s a c o m b i -n a t o r i a l f a c t a b o u t f i r s t - o r d e r a r i t h m e t i c a l l a n g u a g e s . T h e r e i s n ol e e w a y w i t h r e s p e c t t o s u c h a m e t a t h e o r e m . A f o r t i o r i , a n y t r u t hp r e d i c a t e i s v u l n e r a b l e t o t h e d i a g o n a l l e m m a . T h e r e i s n o w a y o fa v o i d i n g t h i s a p p l i c a t i o n . H e n c e t h e o n l y p o s s i b l e w a y o u t i s t oc h a l l e n g e t h e t r u e - f a l s e d i c h o t o m y .

I n a c o n s t r u c t i v e v e i n , t h e f a i l u r e o f t h e l i a r p a r a d o x i n I F f i r s t - o r d e rl a n g u a g e s , n o t w i t h s t a n d i n g t h e p o s s i b i l i t y o f b e i n g a b l e t o d e f i n e t h e i r

o w n t r u t h , t h r o w s s o m e f u r t h e r l i g h t o n t h e p r o s p e c t s o f g i v i n g t r u t hd e f i n i t i o n s f o r n a t u r a l l a n g u a g e s . I n d e e d , l i a r - l i k e p a r a d o x e s a n d t h ed i a g o n a l a r g u m e n t s w h i c h t h e y r e l y o n a r e o f t e n a d d u c e d a s a r e a s o nf o r t h e i m p o s s i b i l i t y o f d e f i n i n g t r u t h f o r n a t u r a l l a n g u a g e s .

W h a t h a s b e e n p r e s e n t e d i s m o r e t h a n j u s t a n e x a m p l e o f a r i c h

l a n g u a g e f o r w h i c h t r u t h c a n b e d e f i n e d i n t h e l a n g u a g e i t s e WI n d e p e n d e n t l y o f a l l q u e s t i o n s c o n c e r n i n g t h e r e l a t i o n s o f I F f i r s t -o r d e r l a n g u a g e s a n d a l l q u e s t i o n s a s t o w h e t h e r a n y t r u t h d e f i n i t i o n sl i k e t h e o n e s e x p o u n d e d h e r e a r e p o s s i b l e i n n a t u r a l l a n g u a g e s , t h ed e f i n a b i l i t y o f t r u t h f o r I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e s h a s c e r t a i n m a s s i v ec o n s e q u e n c e s . I t e x p l o d e s o n c e a n d f o r a l l t h e m y t h t h a t s e m a n t i c a lc o n c e p t s l i k e t r u t h c a n n o t b e e x p r e s s e d i n t h e ( s u f f i c i e n t l y r i c h )l a n g u a g e t o w h i c h t h e y a r e a p p l i e d , a s w e l l a s t h e m y t h t h a t a T a r s k i -

t y p e h i e r a r c h y o f m e t a l a n g u a g e s i s i n e v i t a b l e f o r t h e p u r p o s e o fe s c a p i n g s e m a n t i c a l p a r a d o x e s , a s h a s b e e n a l l e g e d ( c f . S i m m o n s 1 9 9 0 ,e s p e c i a l l y p p . 2 9 6 — 2 9 9 ) .

O u r r e s u l t s i n c i d e n t a l l y s h o w t h a t t h e m a i n c o m p e t i n g a p p r o a c h e st o t r u t h f a i l t o d o t h e s a m e j o b a s t h e a c c o u n t o f f e r e d h e r e . T h i s h o l d sb o t h o f r e d u n d a n c y " t h e o r i e s " o f t r u t h i n c l u d i n g d i s q u o t a t i o n a lo n e s , a n d o f i n d u c t i v e t r u t h d e f i n i t i o n s . I f t h e y a r e f o r m u l a t e d i n t h e




s a m e l a n g u a g e a s t h e o n e t o w h i c h t h e p r o p o s e d t r u t h p r e d i c a t ep e r t a i n s , t h e n t h e y a r e s u b j e c t t o t h e l i a r - t y p e c o u n t e r e x a m p l e sd i s c u s s e d h e r e .

( f ) A w a r y r e a d e r m i g h t n e v e r t h e l e s s s t i l l f e e l i n s e c u r e a b o u t t h ed a n g e r s o f p o s s i b l e p a r a d o x e s . O n e s o u r c e o f w o r r y i s t h a t , e v e n

t h o u g h I F f i r s t - o r d e r l o g i c i s ( s e m a n t i c a l l y ) i n c o m p l e t e t h e r e s t i l le x i s t s a c o m p l e t e d i s p r o o f p r o c e d u r e . D o e s t h i s c o m p l e t e n e s s p e r h a p sm a k e I F f i r s t - o r d e r l o g i c t o o s t r o n g t o b e s a f e ?

T h e a n s w e r i s t h a t t h e c o m p l e t e d i s p r o o f m e t h o d d o e s n o t g i v e r i s e

t o a n y p a r a d o x e s , b u t i n s t e a d g i v e s r i s e t o i n t e r e s t i n g r e s u l t s . F o r t h e

p u r p o s e , c o n s i d e r a n o n l o g i c a l f i n i t e l y a x i o m a t i z a b l e t h e o r y T w h i c hc o n t a i n s e l e m e n t a r y a r i t h m e t i c a n d w h i c h i s f o r m u l a t e d i n a n I Ff i r s t - o r d e r l a n g u a g e . T h e g e n e r a l d i s p r o o f p r o c e d u r e f o r I F f i r s t - o r d e rl o g i c y i e l d s a d i s p r o o f p r o c e d u r e f o r t h e t h e o r y T , i n t h e s e n s e o fa c o m p l e t e p r o o f p r o c e d u r e f o r e s t a b l i s h i n g i n c o n s i s t e n c y w i t h t h ea x i o m s o f T U s i n g t h i s t e c h n i q u e o f G ö d e l n u m b e r i n g , w e c a n d i s c u s st h e m e t a t h e o r y o f T i n T i t s e l f . T h e c o m p l e t e d i s p r o o f p r o c e d u r e j u s tm e n t i o n e d g i v e s r i s e t o a p r e d i c a t e D i s p ( x ) , w h i c h i s t r u e o f t h e G ö d e l

n u m b e r g ( S ) o f a s e n t e n c e S i f S i s d i s p r o v a b l e o n t h e b a s i s o f T ,a s s u m i n g t h a t T i s c o n s i s t e n t . B e c a u s e o f t h e c o m p l e t e n e s s o f t h ep r o c e d u r e , D i s p ( x ) h o l d s o f t h e G ö d e l n u m b e r g ( S ) o f S i f a n d o n l y i fS i s i n c o n s i s t e n t w i t h T I f w e a p p l y t h e d i a g o n a l l e m m a t o t h e f o r m u l aD i s p ( x ) , w e o b t a i n a f o r m u l a

D i s p ( n ) ( 7 . 2 4 )

w h e r e t h e G ö d e l n u m b e r o f ( 7 . 2 4 ) i s n a n d w h e r e n i s t h e n u m e r a l sr e p r e s e n t i n g n . W h a t c a n w e s a y t o ( 7 . 2 4 ) ? I f i t i s t r u e , t h e n i t i sd i s p r o v a b l e . B u t s i n c e t h e d i s p r o o f p r o c e d u r e i n q u e s t i o n c l e a r l y

p r o d u c e s o n l y f a l s e s e n t e n c e s i n t h e m o d e l s o f T , t h e n ( 7 . 2 4 ) m u s t b ef a l s e i n s u c h m o d e l s . H e n c e i t c a n n o t b e t r u e i n t h e m .

B u t f a i r l y o b v i o u s l y ( 7 . 2 4 ) i s , l i k e t h e c o m p a r a b l e p r e d i c a t e i no r d i n a r y f i r s t - o r d e r l a n g u a g e s , e x p r e s s i b l e i n a n o r d i n a r y f i r s t - o r d e r

f o r m . H e n c e i t s s t r o n g a n d c o n t r a d i c t o r y n e g a t i o n s c o i n c i d e . T h e r e -

f o r e t h e r e e x i s t s a s e n t e n c e ,D i s p ( n ) ( 7 . 2 5 )

w h i c h i s t r u e b u t w h o s e n e g a t i o n i s n o t d i s p r o v a b l e . H e n c e t h e t h e o r yT i s c o n s i s t e n t b u t i n c o m p l e t e i n t h e s e n s e t h a t t h e n e g a t i o n ( 7 . 2 4 ) o f

( 7 . 2 5 ) c a n n o t b e s h o w n b y o u r d i s p r o o f p r o c e d u r e t o b e i n c o n s i s t e n tw i t h T




T h u s t h e e x i s t e n c e o f a c o m p l e t e d i s p r o o f p r o c e d u r e d o e s n o t r e s u l ti n p a r a d o x e s b u t i n a r e m a r k a b l e p o s i t i v e r e s u l t . I t s h o w s t h a t i f

a s t a t e m e n t ( e . g . , a f i n i t e l y a x i o m a t i z a b l e t h e o r y ) T e x p r e s s i b l e i n I F

f i r s t - o r d e r l a n g u a g e i s c o n s i s t e n t ( i n t h e w e a k s e n s e o f n o t b e i n gl o g i c a l l y f a l s e ) , i t s c o n s i s t e n c y i n t h i s s e n s e c a n b e p r o v e d b y e s t a b l i s h -i n g t h e t r u t h o f a c e r t a i n p a r t i c u l a r s e n t e n c e i n t h e s a m e l a n g u a g e . I n

t h i s s e n s e , p r o b l e m s o f c o n s i s t e n c y , l i k e p r o b l e m s o f t r u t h , c a n a l w a y sb e f o r m u l a t e d i n t h e s a m e I F l a n g u a g e a s t h e o r i g i n a l t h e o r y T A t t h es a m e t i m e , w e c a n s e e t h a t T i s i n e v i t a b l y i n c o m p l e t e d e d u c t i v e l y :t h e r e w i l l b e s e n t e n c e s t h a t a r e f a l s e ( i n t h e d o m a i n o f n a t u r a l

n u m b e r s ) b u t n o t d i s p r o v a b l e o n t h e b a s i s o f T .T h e b e h a v i o r o f n e g a t i o n i n I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e s i s a l s o o n e o ft h e s o u r c e s o f t h e l i m i t a t i o n s o f I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e s m e n t i o n e d i nC h a p t e r 4 a b o v e . O n e a s p e c t o f t h e s e l i m i t a t i o n s c o n f r o n t s u s i n t h et h e o r y o f d e f i n i t i o n s . I n d e e d , I F f i r s t - o r d e r l o g i c i s l i k e l y t o p u t t h ee n t i r e r o l e o f d e f i n i t i o n s i n l o g i c a n d m a t h e m a t i c s i n a n e w l i g h t . T h ec u r r e n t v i e w o f e x p l i c i t d e f i n i t i o n s i s t h a t t h e y a r e n o n c r e a t i v e .W h a t e v e r c a n b e p r o v e d ( o r d e f i n e d ) b y u s i n g a d e f i n i t i o n m u s t b e

p r o v a b l e ( o r d e f i n a b l e ) w i t h o u t u s i n g i t . N e i t h e r o f t h e s e r e q u i r e m e n t si s s a t i s f i e d i n I F f i r s t - o r d e r l o g i c . I n o r d e r t o s e e t h i s , c o n s i d e r a ni r r e d u c i b l y I F f i r s t - o r d e r f o r m u l a S ( x ) w i t h x a s i t s o n l y f r e e v a r i a b l e .S u p p o s e w e w a n t t o a b b r e v i a t e S [ x ] b y i n t r o d u c i n g a n e w o n e - p l a c ep r e d i c a t e c o n s t a n t P ( x ) a s a s h o r t h a n d . T h e r e i s o f c o u r s e n o h a r m i nd o i n g s o , a s l o n g a s w e r e a l i z e t h a t t h e c o n s t a n t s o i n t r o d u c e d i s n o t o na p a r l o g i c a l l y w i t h t h e p r i m i t i v e n o n l o g i c a l c o n s t a n t s o f t h e u n d e r l y -i n g l a n g u a g e . F o r s u c h a n i n t r o d u c e d c o n s t a n t t h e l a w o f e x c l u d e dm i d d l e d o e s n o t h o l d , u n l i k e t h e o r i g i n a l n o n l o g i c a l c o n s t a n t s o f t h el a n g u a g e . F r o m t h a t i t f o l l o w s t h a t t h e e x p l i c i t d e f i n i t i o n o f P ( x )c a n n o t b e e x p r e s s e d b y a s e n t e n c e l i k e

( 7 . 2 6 )

f o r ( 7 . 2 6 ) i m p l i e s t h a t t h e l a w o f e x c l u d e d m i d d l e a p p l i e s t o S [ x ] .F u r t h e r m o r e , w e c a n n o t u s e t h e d e f i n i e n s P ( x ) i n o t h e r f o r m u l a s

t h a t a r e a b b r e v i a t e d d e f i n i t i o n a l l y . S u c h d e p e n d e n t a b b r e v i a t i v e d e f i -n i t i o n s c a n i n t r o d u c e f a l s e a s s u m p t i o n s i n t o o n e ' s a r g u m e n t .

T h e s e r e m a r k s s u g g e s t a w a y o f e x t e n d i n g I F f i r s t - o r d e r l o g i c i n t h ef o r m i t h a s b e e n d e f i n e d h e r e . T h i s w a y c o n s i s t s i n a l l o w i n g t h en o n l o g i c a l c o n s t a n t s ( p r e d i c a t e s a n d f u n c t i o n s ) t o b e o n l y p a r t i a l l yd e f i n e d , s o t h a t t h e y n e e d n o t s a t i s f y t h e l a w o f e x c l u d e d m i d d l e . T h i sw o u l d o p e n i n t e r e s t i n g p o s s i b i l i t i e s o f f u r t h e r d e v e l o p i n g I F f i r s t -




o r d e r l o g i c a s h a s b e e n e x p l a i n e d i n t h i s b o o k . E x p l o i t i n g t h e s ep o s s i b i l i t i e s w o u l d b r i n g t h e t h e o r y o f I F f i r s t - o r d e r l o g i c i n c o o p e r -a t i o n w i t h t h e t h e o r i e s o f p a r t i a l i t y a n d p a r t i a l l o g i c s . ( T h e y a r es u r v e y e d i n a m a s t e r l y f a s h i o n b y F e n s t a d , 1 9 9 6 . ) I n s p i t e o f t h e g r e a t

p o t e n t i a l i n t e r e s t o f s u c h d e v e l o p m e n t s , I w i l l n o t i n d u l g e i n t h e mh e r e . I n s t e a d , I w i l l e x p l a i n a d i f f e r e n t k i n d o f e x t e n s i o n o f t h e o r i g i n a lI F f i r s t - o r d e r l o g i c o f t h e C h a p t e r 3 v i n t a g e .

( C ) C o n t r a d i c t i o e x m a c h i n a

A t t h i s p o i n t o f m y m y s t e r y s t o r y o f t h e m i s s i n g n e g a t i o n , I f u l l y e x p e c tL i e u t e n a n t C o l o m b o t o s c r a t c h h i s h e a d a n d s a y t o m e : " Y e s , b u t t h e r ei s s t i l l o n e q u e s t i o n t h a t b o t h e r s m e . W h y c a n n o t w e s i m p l y i n t r o d u c ea c o n t r a d i c t o r y n e g a t i o n b y a f i a t ? A l l w e n e e d t o g i v e a s e m a n t i c a lm e a n i n g t o s u c h a n e g a t i o n , s a y — i S , i s t o s t i p u l a t e t h a t — i S i s t r u e

j u s t i n c a s e S i s n o t t r u e . W h a t ' s w r o n g w i t h s u c h a p r o c e d u r e ? " .A s a l w a y s , C o l o m b o i s r i g h t . T h e r e i s n o t h i n g w r o n g i n t r o d u c i n g a

c o n t r a d i c t o r y ( w e a k ) n e g a t i o n a s i t w e r e a n a f t e r t h o u g h t . T h e r e s u l t

w i l l b e c a l l e d a n e x t e n d e d I F f i r s t - o r d e r I a n g u a g e . I t s l o g i c a l v o c a b u -l a r y i s t h e s a m e a s t h a t o f o u r b a s i c I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e , t h a t i s ,

& , v , V a n d = , p l u s t h e c o n t r a d i c t o r y n e g a t i o n — i . T h e s e l a n g u a g e sh a v e s e v e r a l i n t e r e s t i n g p r o p e r t i e s , s o m e o f w h i c h w i l l b e d i s c u s s e dl a t e r . T h e i r s e m a n t i c s i s d e t e r m i n e d b y t h e e a r l i e r r u l e s o f s e m a n t i c a lg a m e s f o r I F f i r s t - o r d e r l o g i c p l u s a s e m a n t i c a l r u l e f o r c o n t r a d i c t o r yn e g a t i o n . H o w e v e r , t h e r e a r e c o n d i t i o n s w h i c h s u c h a s e m a n t i c a l r u l em u s t s a t i s f y .

( a ) T h e o n l y s e m a n t i c a l r u l e w h i c h o n e c a n g i v e t o t h e c o n t r a d i c t o r yn e g a t i o n i s t h e n e g a t i v e o n e :

i S i s t r u e i f a n d o n l y i f S i s n o t t r u e , o t h e r w i s e f a l s e . ( R . — i )

I n p a r t i c u l a r , n o g a m e r u l e s c a n b e u s e d t o d e f i n e c o n t r a d i c t o r y n e g a t i o n .

O n e w a y o f s e e i n g t h i s i s t o p o i n t o u t t h a t t h e c o n t r a d i c t o r y n e g a t i o ns h o u l d c e r t a i n l y o b e y D c M o r g a n ' s l a w s , t h e l a w o f d o u b l e n e g a t i o n a n d

t h e u s u a l l a w s f o r n e g a t e d q u a n t i f i e r s ( i . e . , t h e e q u i v a l e n c e o f w i t h( V x ) a n d o f ( V x ) w i t h ( a x ) — i ) . B u t i t c a n e a s i l y b e s e e n t h a t i f y o ua s s u m e t h e s e l a w s a s a p a r t o f y o u r s y s t e m o f g a m e r u l e s , t h e n y o u e n d u p

w i t h t h e s t r o n g ( d u a l ) n e g a t i o n a n d n o t t h e c o n t r a d i c t o r y o n e . H e n c e , i n

v i e w o f t h e s e o b s e r v a t i o n s , i f c o n t r a d i c t o r y n e g a t i o n c o u l d b e d e f i n e d b y

s e m a n t i c a l g a m e r u l e s , i t w o u l d h a v e t o c o i n c i d e w i t h o u r d u a l ( s t r o n g )n e g a t i o n , w h i c h i n f a c t i t d o e s n o t .




( b ) I n t h e s e n s e t h a t c a n b e s e e n f r o m ( a ) , c o n t r a d i c t o r y n e g a t i o n i si n a g a m e - t h e o r e t i c a l t r e a t m e n t o f t h e s e m a n t i c s o f I F f i r s t - o r d e rl a n g u a g e s i n e v i t a b l y p a r a s i t i c o n t h e d u a l n e g a t i o n .

( c ) A n o t h e r c o n s e q u e n c e o f ( a ) i s t h a t c o n t r a d i c t o r y n e g a t i o n c a ns y n t a c t i c a l l y s p e a k i n g o c c u r o n l y i n f r o n t o f a n e n t i r e s e n t e n c e ( c l o s e df o r m u l a ) . I t c a n n o t b e p r e f i x e d t o a n o p e n f o r m u l a , f o r t h e n y o u w o u l dn e e d a g a m e r u l e t o h a n d l e a s u b s t i t u t i o n - i n s t a n c e o f t h a t o p e nf o r m u l a w h e n y o u r e a c h i t i n a s e m a n t i c a l g a m e .

T h e r e a r e c e r t a i n e x c e p t i o n s t o t h i s r e s t r i c t i o n , b u t t h e y d o n o tc h a n g e t h e m a i n p o i n t . F o r o n e t h i n g , — i c a n o c c u r i n f r o n t o f a n

a t o m i c f o r m u l a f o r n o f u r t h e r r u l e a p p l i c a t i o n s a r e n e e d e d i n t h a t c a s e .F u r t h e r m o r e , o n e c a n o b v i o u s l y a l l o w c o n t r a d i c t o r y n e g a t i o n t oo c c u r w i t h i n t h e s c o p e o f & , v a n d — i . E v e n i n t h e q u a n t i f i c a t i o n a lc o n t e x t s , t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n a n d i i s s o m e t i m e s i m m a t e r i a l .C o n s i d e r , f o r i n s t a n c e , a g a m e o f t h e f o r m T h e f i r s t m o v e

h e r e i s m a d e b y t h e i n i t i a l v e r i f i e r . H e ( s h e , i t ) h a s t o c h o o s e a m e m b e rb e d o ( M ) ( o f t h e d o m a i n o f t h e m o d e l i n q u e s t i o n ) s u c h t h a t h e ( s h e , i t )h a s a w i n n i n g s t r a t e g y i n G ( S [ b ] ) . B u t t h i s m e a n s t h a t t h e i n i t i a l

v e r i f i e r f a i l s t o h a v e a w i n n i n g s t r a t e g y a v a i l a b l e i n [ x ] ) i f a n do n l y i f t h e r e i s n o n e i n a n y g a m e o f t h e f o r m G ( S [ d ] ) f o r a n y d e d o ( M ) .

B u t w h a t t h i s m e a n s i s t h a t

i ( 7 . 2 7 )

i s t r u e i f a n d o n l y i f

( V x ) i S [ x ] ( 7 . 2 8 )

i s l i k e w i s e t r u e , w i t h t h e i n i t i a l q u a n t i f i e r ( V x ) b e i n g g o v e r n e d b y i t su s u a l g a m e r u l e . I n o t h e r w o r d s , t h e s y m b o l c o m b i n a t i o na l w a y s m a k e s p e r f e c t s e n s e w h e n i t o c c u r s s e n t e n c e - i n i t i a l l y , u n l i k e ( a sy o u c a n e a s i l y s e e ) t h e s y m b o l c o m b i n a t i o n ( V x ) i .

T h e r e i s o n e m o r e e x c e p t i o n t o t h e b a n o n c o n t r a d i c t o r y n e g a t i o ni n s i d e f o r m u l a s . W h e n a n e g a t i o n - s i g n i s p r e f i x e d t o a n a t o m i cf o r m u l a , i t c l e a r l y d o e s n o t m a t t e r w h e t h e r i t i s v i e w e d a s e x p r e s s i n g

a d u a l o r a c o n t r a d i c t o r y n e g a t i o n . T h i s o b s e r v a t i o n d o e s n o t m a t t e ra g r e a t d e a l f o r t h e t h e o r y o f I F f o r m a l l a n g u a g e s , b u t i t h e l p s u s t ou n d e r s t a n d s o m e a s p e c t s o f n e g a t i o n i n n a t u r a l l a n g u a g e s .

T h e r e s u l t o f a d d i n g t h e c o n t r a d i c t o r y n e g a t i o n i t o I F f i r s t - o r d e rl o g i c c r e a t e s a t y p e o f l o g i c w h i c h m a y a t f i r s t s e e m s o m e w h a t s t r a n g e ,b o t h s y n t a c t i c a l l y a n d s e m a n t i c a l l y . S y n t a c t i c a l l y , b e c a u s e t h e w a y

i c a n o c c u r i s r e s t r i c t e d i n a n u n u s u a l w a y . S e m a n t i c a l l y , b e c a u s e t h e




s e m a n t i c a l r u l e s f o r n i s o f a k i n d d i f f e r e n t f r o m t h e s e m a n t i c a l r u l e sf o r t h e o t h e r l o g i c a l c o n s t a n t s . M e t h o d o l o g i c a l l y , i t i s e s p e c i a l l yi n t e r e s t i n g t o s e e t h e i n t e r p l a y b e t w e e n s y n t a c t i c a l a n d s e m a n t i c a lr u l e s h e r e . F o r i n s t a n c e , i f w e h a d t r i e d t o i n t r o d u c e i i n s u c h a w a yt h a t i t c o u l d o c c u r i n f r o n t o f a n y f o r m u l a o r s u b f o r m u l a a l s o i n s i d e ra s e n t e n c e , w e c o u l d n o t h a v e g i v e n s e m a n t i c a l r u l e s f o r t h e k i n d o fn e g a t i o n s o i n t r o d u c e d . O n e c o r o l l a r y t h e r e f o r e i s t h a t w e c a n n o ta s s u m e t h a t e a c h l o g i c a l c o n s t a n t , n o t e v e n e a c h p r o p o s i t i o n a l c o n -n e c t i v e , c a n b e i n t r o d u c e d b y r e c u r s i v e f o r m a t i o n r u l e s o f a u s u a l s o r t ,

i n s p i t e o f t h e g l i b a s s u m p t i o n o f s o m e p h i l o s o p h e r s t h a t w e m u s t

a l w a y s b e a b l e t o d o s o . I t c o u l d b e a r g u e d t h a t t h i s s y n t a c t i c a l d o g m ah a s b e e n i n s t r u m e n t a l i n s m u g g l i n g t h e h o p e l e s s s e m a n t i c a l a s -s u m p t i o n o f c o m p o s i t i o n a l i t y i n t o t h e p h i l o s o p h e r s ' a n d l i n g u i s t s '

t h e o r i e s .

( d ) S t r i c t l y s p e a k i n g , w e t h u s h a v e t w o d i f f e r e n t e x t e n s i o n s o f I Ff i r s t - o r d e r l o g i c . I f w e m e r e l y a d d a l l c o n t r a d i c t o r y n e g a t i o n s o f I Ff i r s t - o r d e r s e n t e n c e s ( c l o s e d f o r m u l a s ) , w e o b t a i n w h a t w e w i l l c a l le x t e n d e d I F l o g i c . I f w e a l s o a d d t r u t h - f u n c t i o n a l c o m b i n a t i o n s o f

( f o r m u l a s o b t a i n a b l e b y m e a n s o f & , v a n d i f r o m ) I F f i r s t - o r d e rf o r m u l a s , w e o b t a i n w h a t w i l l b e c a l l e d t r u t h - f u n c t i o n a l l y ( T F ) e x t -e n d e d I F f i r s t - o r d e r l o g i c .

( e ) B y m o v i n g t o e x t e n d e d I F f i r s t - o r d e r l o g i c , o n e o f t h e u n s a t i s f a c -

t o r y f e a t u r e s o f i t s u n e x t e n d e d v a r i a n t c a n b e a v o i d e d . I n u n e x t e n d e dI F l o g i c , n o d e d u c t i o n t h e o r e m h o l d s . G i v e n t w o s e n t e n c e s S 1 a n d S 2 ,t h e r e i s i n g e n e r a l n o s e n t e n c e S 0 w h i c h i s v a l i d i f a n d o n l y i f S 2 i s t r u ei n e v e r y m o d e l i n w h i c h S 1 i s t r u e . F o r i n s t a n c e , ( S 1 S 2 ) i s v a l i d i f a n d

o n l y i f S 2 i s t r u e i n e a c h m o d e l i n w h i c h i s n o t f a l s e , w h i c h i s i ng e n e r a l a d i f f e r e n t m a t t e r a l t o g e t h e r .

I n c o n t r a s t , i n e x t e n d e d I F f i r s t - o r d e r l o g i c , i v f i l l s t h e b i l l ,

b e i n g t r u e i f a n d o n l y i f S 1 i s n o t t r u e o r S 2 i s t r u e .T h i s s h o w s t h e r a t i o n a l e o f t h e e x t e n d e d I F f i r s t - o r d e r l o g i c a s

c o m p a r e d t o i t s u n e x t e n d e d v e r s i o n . L o o k i n g b a c k a t t h e t w o m a i nf u n c t i o n s o f l o g i c t h a t w e r e d i s t i n g u i s h e d f r o m e a c h o t h e r i n C h a p -

t e r 1 , w e c a n s e e t h a t t h e n o t i o n o f c o n t r a d i c t o r y n e g a t i o n a n dt h e r e f o r e t h e e x t e n s i o n o f I F f i r s t - o r d e r l o g i c i s v i t a l f o r t h e d e d u c t i v ef u n c t i o n o f l o g i c . W i t h o u t t h e e x t e n s i o n , t h e d e d u c t i o n t h e o r e m d o e sn o t h o l d . A n d i t s n o t h o l d i n g m e a n s t h a t a n i n f e r e n c e f r o m t h e t r u t h o fS 1 t o t h e t r u t h o f S 2 i s n o t g u a r a n t e e d b y t h e t r u t h o f a n y f o r m u l a o ft h e l a n g u a g e i n q u e s t i o n . H e n c e o n e o f t h e p u r p o s e s o f t h e e x t e n s i o n i st o f a c i l i t a t e t h e d e d u c t i v e f u n c t i o n o f l o g i c .




( f ) T h e i n t r o d u c t i o n o f w e a k ( c o n t r a d i c t o r y ) n e g a t i o n n e v e r t h e l e s sn e c e s s i t a t e s a r e v i e w o f t h e b a s i c c o n c e p t s o f I F f i r s t - o r d e r l o g i c . T h er e a s o n i s t h a t I h a v e s o f a r d e a l t w i t h t w o s e n t e n c e s t h a t t h e t r u e i n t h e

s a m e m o d e l s a s b e i n g l o g i c a l l y e q u i v a l e n t , e v e n t h o u g h t h e y c a n b ef a l s e i n d i f f e r e n t s e t s o f m o d e l s . T w o s e n t e n c e s t h a t a r e l o g i c a l l y

e q u i v a l e n t h a v e e q u i v a l e n t c o n t r a d i c t o r y n e g a t i o n s , b u t n o t a l w a y se q u i v a l e n t s t r o n g ( d u a l ) n e g a t i o n s . M o r e o v e r , s e c o n d - o r d e r t r a n s l a -t i o n s o f f i r s t - o r d e r s e n t e n c e s p r e s e r v e o n l y t r u t h , c o n t r a d i c t o r y n e g a -t i o n , a n d l o g i c a l e q u i v a l e n c e a s i t h a s s o f a r b e e n d e f i n e d , b u t n o tn e c e s s a r i l y f a l s i t y . H e n c e t w o f i r s t - o r d e r s e n t e n c e s m a y h a v e t h e s a m e

s e c o n d - o r d e r t r a n s l a t i o n s , b u t d i f f e r e n t s t r o n g n e g a t i o n s . A c c o r d i n g -l y , t w o f i r s t - o r d e r s e n t e n c e s m a y b e l o g i c a l l y e q u i v a l e n t b u t o n e o ft h e m c a n b e i m p o s s i b l e t o r e p r e s e n t a s a n o r d i n a r y f i r s t - o r d e r s e n -t e n c e i n t h e s e n s e t h a t i t s s t r o n g n e g a t i o n d i f f e r s f r o m c o n t r a d i c t o r yn e g a t i o n .

A l l t h i s m a y a t f i r s t s e e m c o n f u s i n g , b u t t h e r e i s n o t h i n g p a r a d o x i -c a l a b o u t i t . W h a t f o l l o w s i s t h a t w e m u s t b e c a r e f u l w h e n u s i n g t h e

n o t i o n o f e q u i v a l e n c e a s a p p l i e d i n I F f i r s t - o r d e r l o g i c . I t m i g h t i n

f a c t b e a p p r o p r i a t e t o d i s t i n g u i s h t h e s t r o n g e q u i v a l e n c e o f S 1 a n dw h i c h p r e s e r v e s t r u t h a n d f a l s i t y , f r o m t h e i r w e a k e q u i v a l e n c e , w h i c hi s t h e s e n s e o f l o g i c a l e q u i v a l e n c e s o f a r e m p l o y e d a n d w h i c h m e a n s

o n l y t h a t S 1 a n d a r e t r u e i n t h e s a m e m o d e l s .O n e c o n s e q u e n c e t h a t f o l l o w s f r o m h e r e i s t h a t t h e l o g i c a l e q u i v -

a l e n c e o f t h e s e c o n d - o r d e r t r a n s l a t i o n s o f S 1 a n d g u a r a n t e e s o n l yt h e i r w e a k e q u i v a l e n c e , b u t n o t t h e i r s t r o n g e q u i v a l e n c e . T h u s i na s e n s e I F f i r s t - o r d e r l o g i c s e e m s r i c h e r t h a n s e c o n d - o r d e r l o g i c i nt h a t i t f a c i l i t a t e s f i n e r d i s t i n c t i o n s t h a n t h e l a t t e r . T h i s i s o n l ya p p a r e n t r i c h n e s s , h o w e v e r , f o r t h e s a m e d i s t i n c t i o n s c o u l d b e m a d eo n t h e s e c o n d - o r d e r l e v e l , a l b e i t b y u s i n g n o n s t a n d a r d n o t i o n s o fn e g a t i o n .

A f t e r h a v i n g e x p l a i n e d t h e i d e a o f e x t e n d e d I F f i r s t - o r d e r l o g i c , i ti s t i m e f o r m e t o r e t u r n t o t h e c r u c i a l q u e s t i o n o f t r u t h d e f i n i t i o n s .W e h a v e t o a s k : W h y d o e s n ' t t h e c o n t r a d i c t o r y n e g a t i o n r e c r e a t e t h e

l i a r p a r a d o x ? I n d e e d , s o m e o f t h e v e r s i o n s o f t h e p a r a d o x a r ef o r m u l a t e d p r e c i s e l y i n t e r m s o f G ö d e l - t y p e s e n t e n c e s w h i c h s a y , s ot o s p e a k , " I a m n o t t r u e " r a t h e r t h a n " I a m f a l s e " .

B u t h o w c o u l d w e c o n s t r u c t s u c h a s e n t e n c e ? P r e s u m a b l y b ym e a n s o f t h e d i a g o n a l l e m m a . B u t i n o r d e r t o u s e t h e d i a g o n a ll e m m a h e r e , w e w o u l d h a v e t o a p p l y i t t o a n o p e n f o r m u l a . i

w h e r e T [ x ] i s t h e t r u t h p r e d i c a t e . B u t s u c h a f o r m u l a i s r u l e d o u t b y




t h e r e s t r i c t i o n s a s t o w h e r e — i c a n o c c u r i n w e l l - f o r m e d f o r m u l a s . I tc a n n o t o c c u r p r e f i x e d t o o p e n f o r m u l a s .

( g ) W h a t t h i s m e a n s i s t h a t i t m a k e s s e n s e t o a p p l y t h e n o t i o n s o ft r u t h a n d f a l s i t y a l s o t o a n e x t e n d e d I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e . I t m u s tb e n o t e d , h o w e v e r , t h a t e x t e n d e d I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e s d o n o ta l l o w f o r a t r u t h d e f i n i t i o n t h a t c a n b e f o r m u l a t e d i n t h e s a m el a n g u a g e . F o r , i f w e w e r e t o d o s o , w e w o u l d h a v e t o s a y i n t h a tl a n g u a g e t h a t , f o r t h e G ö d e l n u m b e r g ( — i S ) t h e c o n t r a d i c t o r yn e g a t i o n — i S o f a n y f o r m u l a S ,

T ( g ( i S ) ) i f a n d o n l y i f n o t T ( g ( S ) ) ( 7 . 2 9 )

w h e r e q ( S ) i s t h e G ö d e l n u m b e r o f S . B u t w e c a n n o t r e p l a c e " n o t " i n( 7 . 2 9 ) b y b e c a u s e i t w o u l d t h e n b e p r e f i x e d t o a n o p e n f o r m u l a ,a n d i n p a r t i c u l a r t o a n o p e n f o r m u l a i n t h e s c o p e o f a s e n t e n c e - i n i t i a lu n i v e r s a l q u a n t i f i e r .

I d o n o t s e e t h a t t h i s c o n s t i t u t e s a n o b j e c t i o n t o e x t e n d e d I Fl a n g u a g e s . J u s t b e c a u s e t h e n o t i o n o f c o n t r a d i c t o r y n e g a t i o n i s s on a t u r a l , I d o n o t s e e t h a t i t h a s t o b e c a p t u r e d b y a t r u t h d e f i n i t i o n .

F o r a n o t h e r t h i n g , a n y f i n i t e n u m b e r o f s e n t e n c e s o f t h e f o r mT ( g ( i T ( g ( S ) ) ( 7 . 3 0 )

c a n b e a d d e d t o a n e x t e n d e d I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e w i t h o u t a n yp r o b l e m s . F u r t h e r m o r e , i n e x t e n d e d I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e s w e c a nh a v e a p a r t i a l t r u t h d e f i n i t i o n w h i c h a p p l i e s t o a l l s e n t e n c e s ( c l o s e df o r m u l a s ) S t h a t d o n o t c o n t a i n c o n t r a d i c t o r y n e g a t i o n S i n c e

e a c h i o c c u r s p r e f i x e d t o s u c h a n S , t h i s t r u t h d e f i n i t i o n i n d i r e c t l y

d e t e r m i n e s t h e t r u t h a n d f a l s i t y o f a l l s e n t e n c e s o f e x t e n d e d I Ff i r s t - o r d e r l a n g u a g e s , a n d h e n c e d o e s t h e j o b o f a t r u t h d e f i n i t i o n a sf u l l y a s c a n b e e x p e c t e d . I n t h i s q u a l i f i e d s e n s e , t r u t h d e f i n i t i o n i sp o s s i b l e a l s o i n e x t e n d e d I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e s .

I n t h e s e n s e t h a t a p p e a r s f r o m t h e s e r e m a r k s , a t r u t h d e f i n i t i o n f o ra n u n e x t e n d e d I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e i n d i r e c t l y d e f i n e s t h e n o t i o no f t r u t h a l s o f o r t h e c o r r e s p o n d i n g e x t e n d e d I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e .

T h i s i s i n f a c t t h e b e s t o n e c a n p o s s i b l y d o h e r e , i n t h e s e n s e t h a tt h e l i m i t a t i o n s t h a t r u l e o u t a t r a n s l a t i o n o f a u n i v e r s a l g e n e r a l i z -

a t i o n o f ( 7 . 2 9 ) i n o n e ' s o b j e c t l a n g u a g e a r e u n a v o i d a b l e . F o r i f t h e s er e s t r i c t i o n s w e r e r e m o v e d , w e c o u l d f o r m u l a t e a t r u t h p r e d i c a t e f o ra n e x t e n d e d I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e . A l l w e h a v e t o d o i s t o a d d t o t h ec o n j u n c t i o n o f c l a u s e s i n t h e p r e d i c a t e s o m e t h i n g l i k e t h e f o l l o w i n g :

( V x ) ( V y ) ( ( N e g ( x , y ) ( , X ( x ) 4 - + X ( y ) ) ) ( 7 . 3 1 )




w h e r e N e g ( x , y ) i s t h e r e l a t i o n t h a t h o l d s b e t w e e n x a n d y i f a n d o n l yi f y i s t h e G ö d e l n u m b e r o f t h e c o n t r a d i c t o r y n e g a t i o n o f t h e f o r m u l aw i t h t h e G ö d e l n u m b e r x . T h i s r e l a t i o n i s o b v i o u s l y r e p r e s e n t a b l e a ss o o n a s o u r l a n g u a g e c o n t a i n s a m o d i c u m o f e l e m e n t a r y n u m b e rt h e o r y .

B u t t h e e x t e n d e d t r u t h p r e d i c a t e a l l o w s f o r t h e l i a r p a r a d o x . T h ep a r a d o x i s o b t a i n e d b y a p p l y i n g t h e d i a g o n a l l e m m a t o t h e f o r m u l a

— i w h e r e T r * ( x ) i s t h e e x t e n d e d t r u t h p r e d i c a t e . T h e d i a g o n a ll e m m a y i e l d s a n u m b e r n s u c h t h a t

g ( _ i T r * ( n ) ) = n ( 7 . 3 2 )

B u t ( 7 . 3 2 ) i s p a r a d o x i c a l . H e n c e t h e r e s t r i c t i o n s m e n t i o n e d a r eu n a v o i d a b l e .

( h ) C o n s i d e r n o w t h e f r a g m e n t o f e x t e n d e d I F f i r s t - o r d e r l o g i cw h i c h c o n t a i n s o n l y s e n t e n c e s o f t h e f o r m S , w h e r e S i s a s e n t e n c eo f t h e u n e x t e n d e d I F f i r s t - o r d e r l o g i c . T h i s f r a g m e n t h a s s e v e r a lr e m a r k a b l e p r o p e r t i e s . F o r i n s t a n c e , w e c a n t e s t w h e t h e r i S i sl o g i c a l l y t r u e b y t r y i n g t o c o n s t r u c t a m o d e l f o r S . A s w a s p o i n t e d

o u t i n C h a p t e r 1 , t h e r e i s a c o m p l e t e s e t o f r u l e s f o r d o i n g s o . H e n c e ,— i S i s l o g i c a l l y t r u e ( i . e . , t r u e i n e v e r y m o d e l o f t h e u n d e r l y i n gl a n g u a g e ) i f a n d o n l y i f t h i s c o n s t r u c t i o n p r o c e s s c o m e s t o a d e a de n d . B u t t h i s m e a n s t h a t t h e l o g i c o f s e n t e n c e s o f t h e f o r m n S ( w h e r eS i s a n I F f i r s t - o r d e r s e n t e n c e ) i s s e m a n t i c a l l y c o m p l e t e .

( i ) T h e r e s u l t s o f t h e l a s t t w o s e c t i o n s w i l l b e p u t i n a n i n t e r e s t i n gp e r s p e c t i v e b y f u r t h e r o b s e r v a t i o n s . I t w a s s a i d e a r l i e r t h a t I F f i r s t -

o r d e r l o g i c i s m u c h s t r o n g e r t h a n o r d i n a r y f i r s t - o r d e r l o g i c . E x -t e n d e d I F f i r s t - o r d e r l o g i c i s e v e n s t r o n g e r . H o w s t r o n g ? T h a td e p e n d s o n h o w y o u m e a s u r e s t r e n g t h . I n C h a p t e r 9 i t w i l l b ep o i n t e d o u t t h a t t h e r e i s a s e n s e i n w h i c h o n e c a n d o a l l o f o r d i n a r ym a t h e m a t i c s b y m e a n s o f t h e e x t e n d e d I F f i r s t - o r d e r l o g i c , n o t j u s tn o t a t i o n a l l y b u t m o d e l - t h e o r e t i c a l l y . A m o n g o t h e r t h i n g s , f o r e a c hn o r m a l m a t h e m a t i c a l t h e o r y t h e r e i s o n e i n a n e x t e n d e d I F f i r s t -o r d e r l a n g u a g e h a v i n g m u t a t i s m u t a n d i s t h e s a m e m o d e l s .

W h a t s u c h r e s u l t s i m p l y i s t h a t e x t e n d e d I F f i r s t - o r d e r l o g i c i s a ni n f i n i t e l y b e t t e r c a n d i d a t e f o r t h e r o l e o f a m a t h e m a t i c a l m a t h e s i s

u n i v e r s a l i s t h a n , f o r e x a m p l e , s e t - t h e o r e t i c a l l a n g u a g e s . T h e r e a s o n i st h a t b y g i v i n g a c h a r a c t e r i z a t i o n o f t r u t h f o r e x t e n d e d I F f i r s t - o r d e rl a n g u a g e s ( a l b e i t o n l y v i a a t r u t h d e f i n i t i o n f o r t h e c o r r e s p o n d i n gu n e x t e n d e d I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e ) w e c a n i n e f f e c t f u l f i l l C a r n a p ' sd r e a m a n d g i v e a c h a r a c t e r i z a t i o n o f m a t h e m a t i c a l t r u t h ( m a t h -




e m a t i c a l v a l i d i t y , i f y o u p r e f e r ) , a n d t o g i v e i t i n t h e s a m e l a n g u a g e b y

m e a n s o f w h i c h y o u c a n i n p r i n c i p l e d o y o u r m a t h e m a t i c s . F o r a n ys u f f i c i e n t l y r i c h m a t h e m a t i c a l t h e o r y o n e c a n t h e n c h a r a c t e r i z e t h ec o n c e p t o f t r u t h f o r i t i n t h a t v e r y s a m e l a n g u a g e . T h i s i s s o m e t h i n g t h a ty o u j u s t c a n n o t d o f u l l y i n s e t t h e o r y , a s w i l l b e s h o w n i n C h a p t e r 8 .

H o w i m p o r t a n t t h i s f a c t i s c a n b e s e e n b y r e c a l l i n g t h e d e d u c t i v ei n c o m p l e t e n e s s o f m o s t m a t h e m a t i c a l t h e o r i e s . W h a t t h i s m e a n s i s

t h a t a n i m p o r t a n t p a r t o f a m a t h e m a t i c i a n ' s w o r k i s t h e s e a r c h f o rn e w d e d u c t i v e p r i n c i p l e s s u i t a b l e f o r t h e t h e o r y t h a t h e o r s h e i sp u r s u i n g . M y r e s u l t s s h o w t h a t i f t h a t t h e o r y i s f o r m u l a t e d i n a n

e x t e n d e d I F l a n g u a g e , t h a t s e a r c h c a n b e c o n d u c t e d b y m e a n s o f t h ev e r y s a m e l a n g u a g e . A l a n g u a g e l i k e t h a t o f s e t t h e o r y w h i c h d o e sn o t a l l o w t h e f o r m u l a t i o n o f d e s c r i p t i v e l y c o m p l e t e t h e o r i e s d o e s n o te n j o y a c o m p a r a b l e p r i v i l e g e . T h u s m y r e s u l t s h a v e i m p o r t a n tc o n s e q u e n c e s f o r t h e f o r m u l a t i o n s o f m a t h e m a t i c s i n g e n e r a l .

A s a n e x a m p l e o f t h e s e c o n s e q u e n c e s , i t m a y b e p o i n t e d o u t t h a t i ne x t e n d e d I F l o g i c o n e c a n f o r m u l a t e a d e s c r i p t i v e l y c o m p l e t e a x i o ms y s t e m f o r e l e m e n t a r y n u m b e r t h e o r y . I n o r d e r t o d o s o , o n e

b a s i c a l l y n e e d s , o v e r a n d a b o v e t h e u s u a l f i r s t - o r d e r P e a n o a x i o m s ,a n a x i o m o f i n d u c t i o n a s s t r o n g a s i t s s e c o n d - o r d e r v e r s i o n

( V X ) ( ( X ( O ) & ( V y ) ( X ( y ) X ( y + 1 ) ) D ( V y ) X ( y ) ( 7 . 3 3 )

B u t ( 7 . 3 3 ) i s a s e n t e n c e , h e n c e t h e c o n t r a d i c t o r y n e g a t i o n o fa s e n t e n c e . S i n c e t h i s s e n t e n c e h a s a n e q u i v a l e n t I F f i r s t - o r d e rt r a n s l a t i o n , ( 7 . 3 3 ) h a s a n e q u i v a l e n t i n t h e c o r r e s p o n d i n g e x t e n d e dI F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e . A n d t h i s i m p l i e s t h a t e l e m e n t a r y n u m b e rt h e o r y a d m i t s o f a d e s c r i p t i v e l y c o m p l e t e a x i o m a t i z a t i o n b y m e a n so f e x t e n d e d I F f i r s t - o r d e r l o g i c .

( D ) N e g a t i o n i s a S i a m e s e T w i n c o n c e p t

O u r r e s u l t s p u t t h e e n t i r e c o n c e p t o f n e g a t i o n w i t h i n a s u r p r i s i n g l yn e w l i g h t . L o g i c i a n s a n d p h i l o s o p h e r s s o m e t i m e s t h i n k o f n e g a t i o n

a s a s i m p l e a n d u n p r o b l e m a t i c i d e a . A l l t h a t i s i n v o l v e d , s o i t m i g h ts e e m , i s a n i n v e r s i o n o f t r u t h - v a l u e s . F o r i n s t a n c e , i n t h e T r a c t a t u sW i t t g e n s t e i n h e l d t h a t t h e n e g a t i o n o f a p i c t o r i a l l y i n t e r p r e t e ds e n t e n c e i s n o t o n l y a l s o a p i c t u r e , b u t t h e s a m e p i c t u r e , o n l y w i t h i t sp o l a r i t y r e v e r s e d . P e r h a p s l o g i c i a n s a n d p h i l o s o p h e r s s h o u l d h a v et a k e n a c u e f r o m l i n g u i s t s , w h o h a v e f o u n d o r d i n a r y - l a n g u a g en e g a t i o n a c o m p l e x a n d p u z z l i n g p h e n o m e n o n .




O u r r e s u l t s l e a d t o a s t r i k i n g c o n c l u s i o n . W h a t t h e y s h o w i s t h a t i na n y s u f f i c i e n t l y r i c h l a n g u a g e , t h e r e w i l l b e t w o n o t i o n s o fn e g a t i o n p r e s e n t . O r i f y o u p r e f e r a d i f f e r e n t f o r m u l a t i o n , o u r o r d i -n a r y c o n c e p t o f n e g a t i o n i s i n t r i n s i c a l l y a m b i g u o u s . T h e r e a s o n i st h a t o n e o f t h e c e n t r a l t h i n g s w e c e r t a i n l y w a n t t o e x p r e s s i n o u rl a n g u a g e i s t h e c o n t r a d i c t o r y n e g a t i o n . B u t i t w a s f o u n d e a r l i e r i nt h i s c h a p t e r ( c f . ( a ) — ( b ) a b o v e ) t h a t a c o n t r a d i c t o r y n e g a t i o n i s n o ts e l f - s u f f i c i e n t . I n o r d e r t o h a v e a c t u a l r u l e s f o r d e a l i n g w i t h n e g a t i o n ,o n e m u s t a l s o h a v e t h e d u a l n e g a t i o n p r e s e n t , h o w e v e r i m p l i c i t l y .

W h a t i s t r u l y r e m a r k a b l e h e r e i s n o t j u s t t h e p o s s i b i l i t y o f h a v i n g

t w o d i f f e r e n t n o t i o n s o f n e g a t i o n p r e s e n t i n o n e ' s l a n g u a g e , b u t t h ev i r t u a l n e c e s s i t y o f d o i n g s o i n s u f f i c i e n t l y s t r o n g l a n g u a g e s . T h ec r u c i a l f a c t h e r e i s n o t t h a t w e c a n i n t r o d u c e a c o n t r a d i c t o r yn e g a t i o n i n t h e w a y w e h a v e d o n e . R a t h e r , i t i s t h e f a c t t h a t i t m u s t b es o i n t r o d u c e d . T h e c o n t r a d i c t o r y n e g a t i o n c a n n o t b e i n t r o d u c e d b ym e a n s o f a n y g a m e r u l e s . H e n c e i t h a s t o b e d i f f e r e n t f r o m t h e l o g i c a l -l y p r i m a r y ( d u a l ) n e g a t i o n t h a t c a n b e d e f i n e d b y t h e g a m e r u l e s .

A n o t h e r i m p o r t a n t f a c t i s t h a t t h e s t r o n g ( d u a l ) n e g a t i o n c a n b e

i n t r o d u c e d i n o n l y o n e w a y . I t s p r o p e r t i e s a r e c o m p l e t e l y f i x e d i n a nI F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e .

W h a t t h i s i m p l i e s f o r t h e s e m a n t i c s o f n a t u r a l l a n g u a g e s i s c l e a r .W e m i g h t a s a t h o u g h t - e x p e r i m e n t t h i n k o f t h e l a n g u a g e c o m m u n i t ya s i f i t w e r e f a c i n g t h e t a s k o f c r e a t i n g a s u f f i c i e n t l y s t r o n g a r t i f i c i a ll a n g u a g e f o r r o u g h l y t h e s a m e p u r p o s e a s a n a t u r a l l a n g u a g e . S u c ha n i m a g i n a r y l e g i s l a t i v e l i n g u i s t f a c e s a n i n t e r e s t i n g p r o b l e m . O n t h e

o n e h a n d , t h e m o s t i m p o r t a n t t h i n g t h a t h a s t o b e e x p r e s s e d i n s u c ha l a n g u a g e i s c l e a r l y t h e c o n t r a d i c t o r y n e g a t i o n . B u t i t c a n n o t b e t h eo n l y n o t i o n o f n e g a t i o n p r e s e n t . S o m e t h i n g e l s e h a s t o b e i n v o l v e d i nt h e l a n g u a g e , h o w e v e r t a c i t l y . F o r w e j u s t c a n n o t f o r m u l a t e a d -

e q u a t e s e m a n t i c a l o r s y n t a c t i c a l r u l e s f o r t h e l a n g u a g e i n q u e s t i o n i nt e r m s o f t h e c o n t r a d i c t o r y n e g a t i o n a l o n e . W i t h o u t t h e d u a l n e g a -t i o n , o n e ' s l a n g u a g e i s j u s t n o t a d e q u a t e f o r t h e p u r p o s e s o f l o g i c a l

a n d s e m a n t i c a l p r o c e s s i n g . ( F o r i n s t a n c e , t h e r u l e s o f s e m a n t i c a l

g a m e s h a v e t o b e f o r m u l a t e d i n t e r m s o f t h e d u a l n e g a t i o n . ) I f o u ri m a g i n a r y l i n g u i s t i c i n v e n t o r u s e s o n l y o n e s y m b o l f o r n e g a t i o n ,t h e n h e o r s h e h a s t o p u t t h a t o n e s y m b o l t o t w o e s s e n t i a l l y d i f f e r e n tu s e s . T h i s i n e v i t a b l y l e a d s t o c o m p l i c a t i o n s o f s o m e s o r t o r t h eo t h e r .

N o w t h e l a n g u a g e c o m m u n i t y i s i n a n e s s e n t i a l l y s i m i l a r p o s i t i o na s t h e i m a g i n a r y l a n g u a g e d e s i g n e r , f o r i n n a t u r a l l a n g u a g e s w e s e e m




t o b e d e a l i n g w i t h o n e n e g a t i o n o n l y , n a m e l y , t h e c o n t r a d i c t o r y o n e .A c c o r d i n g l y , t h e b e h a v i o r o f n e g a t i o n i n n a t u r a l l a n g u a g e s i s l i k e l yt o e x h i b i t c u r i o s i t i e s c a u s e d b y t h e n e e d o f a l s o u s i n g , h o w e v e rt a c i t l y , t h e o t h e r ( d u a l ) n e g a t i o n . T h i s s u g g e s t s a n i n t e r e s t i n g p e r -s p e c t i v e f r o m w h i c h t o v i e w t h e p h e n o m e n o n o f n e g a t i o n i n n a t u r a ll a n g u a g e s .

I c a n n o t a t t e m p t h e r e a f u l l - s c a l e d i s c u s s i o n o f n e g a t i o n i n n a t u r a ll a n g u a g e s . I a m i n a n y c a s e f u l l y c o n v i n c e d t h a t t h e r e s u l t s r e a c h e d i nt h i s c h a p t e r w i l l a l s o b e a n e s s e n t i a l p a r t o f a n y h a l f - w a y s a t i s f a c t o r yt h e o r y o f n e g a t i o n w h e n i t c o m e s t o n a t u r a l l a n g u a g e s . F o r o n e

t h i n g , i n s p i t e o f t h e c o n f u s i n g c o m p l e x i t i e s o f n a t u r a l l a n g u a g e s ,s e v e r a l f e a t u r e s o f t h e b e h a v i o r o f n e g a t i o n i n E n g l i s h b e c o m e m o r eu n d e r s t a n d a b l e w h e n t h e y a r e c o m p a r e d w i t h w h a t w e f i n d i ne x t e n d e d I F l a n g u a g e s .

A m o n g o t h e r t h i n g s , w e o b t a i n a n i n t e r e s t i n g p e r s p e c t i v e o n t h eb i f u r c a t i o n o f n a t u r a l - l a n g u a g e n e g a t i o n i n t o v e r b a l a n d s e n t e n t i a ln e g a t i o n . I t w o u l d b e a s e r i o u s o v e r s i m p l i f i c a t i o n s i m p l y t o a s s i m i -l a t e t h i s d i c h o t o m y t o t h e d i s t i n c t i o n b e t w e e n s t r o n g a n d w e a k

n e g a t i o n i n e x t e n d e d I F l a n g u a g e s ; b u t t h e t w o c o n t r a s t s a r e n o tu n r e l a t e d , e i t h e r . W h e n a n e g a t i o n - s i g n o c c u r s i n f r o n t o f a n a t o m i cf o r m u l a i n a f o r m a l l a n g u a g e , t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n s t r o n g ( f a l -s i f y i n g ) n e g a t i o n a n d w e a k ( c o n t r a d i c t o r y ) n e g a t i o n d i s a p p e a r s .H e n c e v e r b a l n e g a t i o n , w h i c h v e r y r o u g h l y s p e a k i n g n e g a t e s t h eu n q u a n t i f i e d p a r t o f a s e n t e n c e , c a n b e c o n s t r u e d a s t h e c o n t r a d i c -t o r y n e g a t i o n w h i c h t h e n a t u r a l l a n g u a g e n e g a t i v e i n g r e d i e n t o b v i -o u s l y e x p r e s s e s i n t h e f i r s t p l a c e .

A t t h e s a m e t i m e , t h e v a g a r i e s o f c o n t r a d i c t o r y n e g a t i o n i nn a t u r a l l a n g u a g e s l i k e E n g l i s h b e c o m e u n d e r s t a n d a b l e . T h e b a s i cf a c t i s t h a t e x p l i c i t o r d i n a r y - l a n g u a g e n e g a t i o n i s t h e c o n t r a d i c t o r yo n e . C o m p l i c a t i o n s a r i s e p a r t l y b e c a u s e s u c h a n e g a t i o n i s n o ts e l f - s u f f i c i e n t , a n d p a r t l y b e c a u s e i t c a n n o t a l w a y s o c c u r m e a n i n g -

f u l l y i n a l l c o n t e x t s i n w h i c h i t s h o u l d , p u r e l y s y n t a c t i c a l l y s p e a k i n g ,b e a d m i s s i b l e . H e n c e i t m a y b e e x p e c t e d t h a t t h e r e a r e s e m a n t i c a l

r e g u l a r i t i e s w h i c h s e m a n t i c a l l y s p e a k i n g m o v e e i t h e r t o a s e n t e n c e -i n i t i a l p o s i t i o n o r t o a p o s i t i o n w h i c h c o r r e s p o n d s t o f r o n t i n g a na t o m i c f o r m u l a . F o r i n s t a n c e , t h e f a c t t h a t w e c a n e a s i l y f o r m t h ec o n t r a d i c t o r y o f a n E n g l i s h s e n t e n c e b y p r e f i x i n g i t b y " I t i s n o t t h ec a s e t h a t " i s l i k e i n t r o d u c i n g a s e n t e n c e - i n i t i a l c o n t r a d i c t o r y n e g a -t i o n i n t o a n I F f i r s t - o r d e r l o g i c w i t h o u t b e i n g a b l e t o i n t r o d u c e i ti n t o a n y p o s i t i o n e x c e p t t h e s e n t e n c e - i n i t i a l o n e . T h e d i f f i c u l t y o r




p e r h a p s e v e n i m p o s s i b i l i t y o f g i v i n g e f f e c t i v e l y a p p l i c a b l e r u l e s f o rf o r m i n g c o n t r a d i c t o r y n e g a t i o n s i n E n g l i s h i s i n k e e p i n g w i t h t h ei n e v i t a b l e a b s e n c e o f c o n t r a d i c t o r y n e g a t i o n f r o m a n e n t i r e I Ff i r s t - o r d e r l a n g u a g e , w i t h o u t e x t e n d i n g i t b y a n e w t y p e o f f o r m a t i o nr u l e s a n d b y a n e w t y p e o f t r u t h - c o n d i t i o n .

T h e r e e v e n s e e m s t o b e l i n g u i s t i c r e g u l a r i t i e s i n E n g l i s h w h i c h a r ec l o s e l y r e l a t e d t o t h e a w k w a r d n e s s o f l o c a t i n g n e g a t i o n b e t w e e na s e n t e n c e - i n i t i a l p o s i t i o n a n d a m i n i m a l - s c o p e p o s i t i o n i n a nE n g l i s h s e n t e n c e , a p a r t f r o m t r u t h - f u n c t i o n a l c o m p o u n d i n g . O n er e g u l a r i t y i s s e e n b y r a i s i n g t h e f o l l o w i n g q u e s t i o n : W h e n c a n n o t b e

p r e f i x e d t o a q u a n t i f i e r p h r a s e i n E n g l i s h ? T h e f o l l o w i n g e x a m p l e si l l u s t r a t e s o m e o f t h e a c c e p t a b l e c o n s t r u c t i o n s :

N o t e v e r y S c o t s m a n i s s t i n g y . ( 7 . 3 4 )

N o t a s i n g l e s t u d e n t f a i l e d .N o t m a n y r u n n e r s m a n a g e d t o f i n i s h .

I n c o n t r a s t , t h e f o l l o w i n g c o n s t r u c t i o n s a r e u n a c c e p t a b l e :

n o t a n y( 7 . 3 5 )

n o t e a c h

n o t s o m e

n o t f e w

n o t s e v e r a l

W h a t m a k e s t h e d i f f e r e n c e ? I t t u r n s o u t t h a t t h e q u a n t i f i e r si n v o l v e d i n ( 7 . 3 5 ) a l l h a v e a w i d e r s c o p e t h a n n e g a t i o n w h i l e t h o s e i n( 7 . 3 4 ) d o n o t . H e n c e t h e c o n s t r u c t i o n s ( 7 . 3 5 ) , i f t h e y w e r e a d m i s s i b l e ,c o u l d p u s h n e g a t i o n i n t o t h e s e n t e n c e - i n t e r n a l n o - m a n ' s - l a n d . I nc o n t r a s t , t h e q u a n t i f i e r s o c c u r r i n g i n ( 7 . 3 4 ) d o n o t h a v e t h e r i g h t o fw a y i n r e l a t i o n t o n e g a t i o n . T h e r e f o r e t h e y l e t n e g a t i o n s t a ys e n t e n c e - i n i t i a l , a n d h e n c e p r e s u m a b l y a c o n t r a d i c t o r y n e g a t i o n .

T h i s e x p l a n a t i o n i s r e i n f o r c e d b y o b s e r v i n g t h a t t h e c o n s t r u c t i o n si n s t a n t i a t e d i n ( 7 . 3 4 ) a r e c e t e r i s p a r i b u s a d m i s s i b l e o n l y i n t h e s u b j e c tp o s i t i o n , b u t n o t i n t h e o b j e c t p o s i t i o n . F o r i n s t a n c e , o n e c a n s a y

N o t e v e r y h u n t e r s h o t a l i o n . ( 7 . 3 6 )

b u t n o t

A h u n t e r s h o t n o t e v e r y l i o n . ( 7 . 3 7 )

T h e r e a s o n i s t h a t i f n o t o c c u r s i n a p h r a s e w h i c h o c c u p i e s a n o b j e c tp o s i t i o n , i t c a n b e w i t h i n t h e s c o p e o f o t h e r q u a n t i f i e r s , t y p i c a l l y




q u a n t i f i e r s i n t h e s u b j e c t - p o s i t i o n p h r a s e . T h i s w o u l d o n c e a g a i nl a n d n e g a t i o n i n a p o s i t i o n w h e r e c o n t r a d i c t o r y n e g a t i o n c a n n o to c c u r , i f w e a s s u m e t h a t t h e E n g l i s h i s l i k e e x t e n d e d I F l a n g u a g e .

T h i s r e g u l a r i t y h a s n o t h i n g t o d o w i t h t h e " i n t e n d e d " m e a n i n g o fe x p r e s s i o n s l i k e ( 7 . 3 7 ) , f o r i t i s a c c e p t a b l e t o s a y

N o t e v e r y l i o n w a s s h o t b y a h u n t e r . ( 7 . 3 8 )

T h e r e a r e o t h e r l i n g u i s t i c r e g u l a r i t i e s w h i c h b e c o m e u n d e r s t a n d -a b l e i n t h e l i g h t o f t h e b e h a v i o r o f n e g a t i o n i n I F l a n g u a g e s . O n e o ft h e m i s t h e f a c t t h a t o v e r t n e g a t i o n c a n b e a b a r r i e r t o a n a p h o r a .

T h i s f a c t h a s b e e n n o t e d i n t h e l i t e r a t u r e , a n d I r e n e H e i m ( 1 9 8 2 , p p .1 1 5 — 1 1 7 ) h a s e v e n u s e d i t s a l l e g e d i n e x p l i c a b i l i t y i n g a m e - t h e o r e t i c a l

s e m a n t i c s a s a b a s i s f o r a n a t t e m p t e d c r i t i c i s m o f G T S . N o w i t c a n b es e e n t h a t s u c h a t t e m p t e d o b j e c t i o n s c a n b e t u r n e d i n t o e v i d e n c e f o rg a m e - t h e o r e t i c a l s e m a n t i c s , a n d n o t a g a i n s t i t .

T h i s p h e n o m e n o n i s e x e m p l i f i e d b y t h e f a c t t h a t a n a p h o r a i sp o s s i b l e i n t h e f o r m e r o f t h e f o l l o w i n g t w o s e n t e n c e s , b u t n o t i n t h el a t t e r :

S o m e s t u d e n t p a s s e d t h e e x a m i n a t i o n . S h e m u s t h a v e s t u d i e d

v e r y h a r d . ( 7 . 3 9 )

N o t e v e r y s t u d e n t f a i l e d t o p a s s t h e e x a m i n a t i o n . S h e m u s th a v e s t u d i e d v e r y h a r d . ( 7 . 4 0 )

S i n c e ( 7 . 3 9 ) a n d ( 7 . 4 0 ) a r e l o g i c a l l y e q u i v a l e n t , i t m i g h t a t f i r s t s e e mp u z z l i n g t h a t a n a p h o r a i s a c c e p t a b l e i n o n e o f t h e m b u t n o t i n t h e

o t h e r . T h i s f a c t i s n e v e r t h e l e s s e a s i l y a c c o u n t e d f o r . I n H i n t i k k a a n dK u l a s ( 1 9 8 5 ) , a t h e o r y o f a n a p h o r a i s d e v e l o p e d w i t h i n G T S . A p a r tf r o m t h e d e t a i l s t h e b a s i c i d e a i s c l e a r , a n d i t i s t h e o n l y t h i n g I n e e dt o e v o k e h e r e . T h e i d e a i s t h a t , i n a n y p l a y o f a s e m a n t i c a l g a m e ,a n a p h o r i c p r o n o u n s r e f e r t o c e r t a i n i n d i v i d u a l s i n t r o d u c e d e a r l i e r i nt h e c o u r s e o f t h e s a m e p l a y . F o r i n s t a n c e i n ( 7 . 3 9 ) , t h e f i r s t g a m e r u l et o b e a p p l i e d i s t h e r u l e f o r s o m e . I t i n v o l v e s a c h o i c e o f a n i n d i v i d u a l ,

s a y S u s a n , f r o m t h e r e l e v a n t d o m a i n , w h e r e u p o n t h e g a m e i s c o n -

t i n u e d w i t h r e s p e c t t o

S u s a n p a s s e d t h e e x a m i n a t i o n . S u s a n i s a s t u d e n t . S h e m u s th a v e s t u d i e d v e r y h a r d . ( 7 . 4 1 )

W h e n s o m e t i m e l a t e r i n t h e g a m e t h e p r o n o u n S h e i s d e a l t w i t h ,t h e r e w i l l b e a n e l i g i b l e v a l u e f o r i t a v a i l a b l e , n a m e l y , S u s a n . H e n c ea n a p h o r a i s p o s s i b l e i n ( 7 . 3 9 ) .




I n c o n t r a s t , ( 7 . 4 0 ) i s n o t i n t e r p r e t e d d i r e c t l y t h r o u g h a n y g a m ep l a y e d w i t h i t . S i n c e i t s f i r s t s e n t e n c e o b v i o u s l y i n v o l v e s a ( s e n t e n c e -i n i t i a l ) c o n t r a d i c t o r y n e g a t i o n , i t i s i n t e r p r e t e d o n l y i n d i r e c t l y a s t h ec o n t r a d i c t o r y n e g a t i o n o f

E v e r y s t u d e n t f a i l e d t o p a s s t h e e x a m i n a t i o n . ( 7 . 4 2 )

E v e n i f a g a m e w i t h ( 7 . 4 2 ) i s i n v o l v e d i n t h e i n t e r p r e t a t i o n o f ( 7 . 4 0 ) , i td o e s n o t a u t o m a t i c a l l y r e s t o r e t h e p o s s i b i l i t y o f a n a p h o r a i n ( 7 . 4 0 ) .T h e r e a r e t w o c o n c u r r e n t r e a s o n s f o r t h i s . O n t h e o n e h a n d , w h a t t h ef i r s t s e n t e n c e o f ( 7 . 4 0 ) s a y s i s t h a t t h e r e i s n o w i n n i n g s t r a t e g y f o r

a g a m e w i t h ( 7 . 4 2 ) . H e n c e i t d o e s n o t g i v e a n y c l u e s a s t o w h a t k i n d o fp l a y w i t h ( 7 . 4 2 ) m i g h t b e r e l e v a n t h e r e , a n d c o n s e q u e n t l y w h a t

i n d i v i d u a l s m i g h t b e c h o s e n b y t h e p l a y e r s i n s u c h a g a m e . T h e r e f o r et h e r e a r e n o w e l l - d e f i n e d i n d i v i d u a l s i n t h e o f f i n g t o s e r v e a s t h e

v a l u e o f e v e r y i n ( 7 . 4 0 ) a n d h e n c e a s a v a l u e o f t h e a n a p h o r i c p r o n o u nS h e .

O n t h e o t h e r h a n d , i n d i v i d u a l s i n t r o d u c e d b y a p p l i c a t i o n s o f r u l e sf o r u n i v e r s a l q u a n t i f i e r s ( l i k e t h e e v e r y i n ( 7 . 4 2 ) ) a r e n o t a u t o m a t i -

c a l l y a v a i l a b l e a s v a l u e s o f a n a p h o r i c p r o n o u n s . ( I w i l l n o t d i s c u s sh e r e t h e r e a s o n s a n d l i m i t s f o r t h i s r e g u l a r i t y . )

I n a n y c a s e , t h i s r e g u l a r i t y h a s n o t h i n g t o d o w i t h t h e q u a n t i f i e re v e r y a s s u c h . F o r w e h a v e a s i m i l a r s i t u a t i o n w i t h p a i r s o f s e n t e n c e sl i k e t h e f o l l o w i n g :

F e w s t u d e n t s p a s s e d t h e e x a m i n a t i o n . T h e y m u s t h a v es t u d i e d v e r y h a r d t o b e a b l e t o d o s o . ( 7 . 4 3 )

N o t m a n y s t u d e n t s p a s s e d t h e e x a m i n a t i o n . T h e y m u s th a v e s t u d i e d v e r y h a r d t o b e a b l e t o d o s o . ( 7 . 4 4 )

T h e r e a r e p r i m a f a c i e e x c e p t i o n s t o t h e r u l e t h a t n e g a t i o n i sa b a r r i e r t o a n a p h o r a . T h e y a r e n e v e r t h e l e s s p r e c i s e l y t h e k i n d s o fe x c e p t i o n s t h a t l i t e r a l l y p r o v e t h e r u l e . I n f a c t , t h e y a r e e x a m p l e s i nw h i c h t h e s e m a n t i c a l g a m e w i t h t h e u n n e g a t e d s e n t e n c e i s b r o u g h t

i n a n d c o n s i d e r e d e x p l i c i t l y o r i m p l i c i t l y , u s u a l l y t o p r o v i d e a r e a s o nw h y t h e u n n e g a t e d s e n t e n c e i s f a l s e . T h e f o l l o w i n g i s a c a s e i n p o i n t :

N o b o d y s t o l e y o u r d i a m o n d s , f o r h e w o u l d h a v e h a dt o s c a l e a t e n - f o o t w a l l t o d o i t . ( 7 . 4 5 )

A n e v e n s i m p l e r r e g u l a r i t y w h i c h b e c o m e s u n d e r s t a n d a b l e f r o mo u r v a n t a g e p o i n t i s t h e s e m a n t i c a l o r d e r i n g p r i n c i p l e t h a t g i v e s




n e g a t i o n p r i o r i t y o v e r e v e r y a l s o w h e n t h e n e g a t i o n i n g r e d i e n t i sw i t h i n t h e s y n t a c t i c a l s c o p e o f e v e r y . F o r i n s t a n c e ,

E v e r y t h i n g t h a t g l i t t e r s i s n o t g o l d . ( 7 . 4 6 )

d o e s n o t h a v e t h e l o g i c a l f o r m

( V x ) ( x g l i t t e r s — i ( x i s g o l d ) ) ( 7 . 4 7 )

b u t r a t h e r

— i ( V x ) ( x g l i t t e r s x i s g o l d ) ( 7 . 4 8 )

W h y ? B e c a u s e t h e f o r m e r r e a d i n g w o u l d p l a c e a c o n t r a d i c t o r yn e g a t i o n i n t h e s c o p e o f a u n i v e r s a l q u a n t i f i e r w h e r e i t i s n o ti n t e r p r e t a b l e i n a l l s i m i l a r s e n t e n c e s . W h a t i s i n t e r e s t i n g a b o u t t h i sp h e n o m e n o n i s t h a t i t o c c u r s i n a w i d e v a r i e t y o f l a n g u a g e s , s o m e o ft h e m c o m p l e t e l y u n r e l a t e d t o e a c h o t h e r . I t t h e r e f o r e c r i e s o u t f o ra t h e o r e t i c a l e x p l a n a t i o n . T h e r e s u l t s r e a c h e d i n t h i s c h a p t e r p r o v i d es u c h a n e x p l a n a t i o n .

T h i s l i s t o f e x p l a n a t i o n s o f n a t u r a l l a n g u a g e p h e n o m e n a c o u l d b e

c o n t i n u e d . S i m i l a r p r o b l e m s h a v e i n f a c t b e e n n o t e d b y l i n g u i s t s , f o ri n s t a n c e i n c o n n e c t i o n w i t h t h e p h e n o m e n a o f n e g - r a i s i n g ( c f . e . g . ,H o r n 1 9 8 9 , p p . 3 0 8 — 3 3 0 ) . M a n y o f t h e m a d m i t o f e x p l a n a t i o n s a l o n g

t h e s a m e l i n e s a s t h e p h e n o m e n a n o t e d h e r e . W h a t h a s b e e n s a i ds u f f i c e s t o s h o w t h a t I F f i r s t - o r d e r l o g i c w i l l p l a y a c r u c i a l r o l e i ns u c h a s t u d y .

I t i s t o b e n o t e d a l s o t h a t a l l w e n e e d t o s o l v e t h e i n f o r m a l l i a r - t y p ep a r a d o x e s i s t o a c k n o w l e d g e t h a t n e g a t i o n b e h a v e s i n n a t u r a l

l a n g u a g e s i n e s s e n t i a l l y t h e s a m e w a y a s i n e x t e n d e d I F f i r s t -o r d e r l a n g u a g e s . A n a n a l y s i s o f t h e s e l f - r e f e r e n t i a l m e c h a n i s m

w h i c h l e a d s t o s u c h p r i m a f a c i e p a r a d o x e s i s n e e d e d o n l y f o r t h ep u r p o s e o f a r g u i n g f o r t h e n a t u r a l n e s s o f t h i s s o l u t i o n , a n d n o tf o r t h e s o l u t i o n i t s e l f . F o r i n s t a n c e , c o n s i d e r t h e a r c h e t y p a l l i a rs e n t e n c e

S e n t e n c e ( 7 . 4 9 ) i s f a l s e . ( 7 . 4 9 )

W h a t k i n d o f p r o c e d u r e i s i n v o l v e d i n t r y i n g t o v e r i f y ( 7 . 4 9 ) ? S u c ha l a n g u a g e g a m e w o u l d h a v e t o i n v o l v e s o m e r u l e l i k e t h e f o l l o w -i n g :

W h e n t h e g a m e h a s r e a c h e d a s e n t e n c e o f t h e f o r m , " S e n t e n c e( n ) i s f a l s e " , t h e v e r i f i e r h a s t o l o o k u p s e n t e n c e # n . T h eg a m e i s t h e n c o n t i n u e d w i t h r e s p e c t t o i t s n e g a t i o n . ( 7 . 5 0 )




A m i r r o r - i m a g e r u l e w o u l d b e

W h e n t h e g a m e h a s r e a c h e d a s e n t e n c e o f t h e f o r m , " S e n t e n c e

( n ) i s t r u e " , t h e f a l s i f i e r h a s t o l o o k u p s e n t e n c e # n . T h eg a m e i s t h e n c o n t i n u e d w i t h r e s p e c t t o i t . ( 7 . 5 1 )

A p p l i e d t o ( 7 . 4 9 ) , a g a m e w i t h t h e r u l e ( 7 . 5 0 ) l e a d s t o a l o o p , a n dh e n c e t o a n i n f i n i t e p l a y o f t h e g a m e . T h i s d o e s n o t b y i t s e l f p r e v e n tu s f r o m s p e a k i n g o f w i n n i n g a n d l o s i n g h e r e . W e k n o w f r o m g a m et h e o r y t h a t t h e r e c a n b e p e r f e c t l y r e a s o n a b l e w a y s o f d e f i n i n g w h ow i n s a n d w h o l o s e s i n i n f i n i t e a n d n o t o n l y f i n i t e g a m e s . H o w e v e r , i n

t h i s p a r t i c u l a r c a s e , t h e i n f i n i t e p l a y i s s y m m e t r i c a l w i t h r e s p e c t t ot h e t w o p l a y e r s . H e n c e t h e r e i s n o r e a s o n a b l e r u l e f o r w i n n i n g o rl o s i n g t h a t w o u l d d e c l a r e e i t h e r p l a y e r t h e w i n n e r . H e n c e ( 7 . 4 9 )

c a n n o t b e v e r i f i e d , a n d b y s y m m e t r y i t c a n n o t b e f a l s i f i e d , e i t h e r .T h e r e f o r e ( 7 . 4 9 ) c a n n o t n a t u r a l l y b e c o n s i d e r e d e i t h e r t r u e o r f a l s e .

A s i m i l a r l i n e o f t h o u g h t c a n b e a p p l i e d t o

T h e s e n t e n c e ( 7 . 5 2 ) i s t r u e . ( 7 . 5 2 )

I n t h i s c a s e , h o w e v e r , t h e i n f i n i t e p l a y o f t h e g a m e i s n o t s y m m e t r i c a l .O n e o f t h e p l a y e r s , n a m e l y , n a t u r e ( t h e i n i t i a l f a l s i f i e r ) c a n b e

" b l a m e d " f o r t h e p l a y ' s i n f i n i t u d e . T h i s c a n n a t u r a l l y b e u s e d a sa b a s i s f o r s t i p u l a t i n g a s e n t e n c e l i k e ( 7 . 5 2 ) t o b e t r u e . T h e i d e a i s t h a t

i f o n e p l a y e r b e a r s t h e w h o l e r e s p o n s i b i l i t y f o r t h e p l a y g o i n g o n t oi n f i n i t y , t h e n t h e b l a m e l e s s o n e w i n s ( c f . h e r e H i n t i k k a a n d R a n t a l a ,

1 9 7 6 ) .

H e n c e a n a t t e m p t t o v i n d i c a t e t h e s t r e n g t h e n e d l i a r p a r a d o x b yc o n s i d e r i n g a s e n t e n c e l i k e

T h e s e n t e n c e ( 7 . 5 3 ) i s n o t t r u e . ( 7 . 5 3 )

w h e r e " n o t t r u e " e x p r e s s e s c o n t r a d i c t o r y n e g a t i o n a l s o f a i l s , f o r( 7 . 5 3 ) i s s i m p l y f a l s e .

Y o u d o n o t h a v e t o l i k e t h e d e t a i l s o f t h i s t r e a t m e n t o f i n f o r m a ll i a r - t y p e p a r a d o x e s . F o r e v e n t h o u g h t h i s s o l u t i o n m i g h t v e r y w e l l

l o o k l i k e a n a d h o c p r o c e d u r e , i t i n a n y c a s e s e r v e s t o i l l u s t r a t e t h ee a s e w i t h w h i c h l i a r - t y p e p a r a d o x e s c a n b e d e a l t w i t h i n n a t u r a ll a n g u a g e s a s s o o n a s i t i s a d m i t t e d t h a t n e g a t i o n b e h a v e s i n n a t u r a ll a n g u a g e s b a s i c a l l y i n t h e s a m e w a y a s i n e x t e n d e d I F f i r s t - o r d e rl a n g u a g e s .

T h e k i n d s o f d e f i n i t i o n s o f w i n n i n g a n d l o s i n g a n d a f o r t i o r i o ft r u t h a n d f a l s i t y a r e i n t e r e s t i n g i n p r i n c i p l e ( a m o n g o t h e r t h i n g s )




b e c a u s e t h e y s h o w t h a t t h e r e a r e r e a s o n a b l e w a y s o f d e f i n i n g t r u t ha n d f a l s i t y a l s o f o r w h a t K r i p k e c a l l s u n g r o u n d e d s e n t e n c e s c o n t a i n -i n g t h e t r u t h p r e d i c a t e ( s e e K r i p k e i n M a r t i n 1 9 8 4 , p . 5 7 ) .

( j ) A m o n g t h e o t h e r f e a t u r e s o f t h e c o n c e p t o f n e g a t i o n t h a t h a v et o b e d e c o n s t r u c t e d i s t h e s o - c a l l e d l a w o f e x c l u d e d m i d d l e . S i n c et h e r e m u s t b e t w o d i f f e r e n t c o n c e p t s o f n e g a t i o n i n a s u f f i c i e n t l ys t r o n g l a n g u a g e , t h e q u e s t i o n o f t h e v a l i d i t y o f t h e l a w o f e x c l u d e dm i d d l e i s i n t r i n s i c a l l y a n d i n e v i t a b l y a m b i g u o u s b e t w e e n t h e t w on e g a t i o n s .

M o r e o v e r , f o r e a c h o f t h e t w o n e g a t i o n s , t h e c o r r e s p o n d i n g

q u e s t i o n c o n c e r n i n g t h e t e r t i u m n o n d a t u r a d m i t s o f a s i m p l e a n s w e r .F o r t h e c o n t r a d i c t o r y n e g a t i o n , t h e l a w o f e x c l u d e d m i d d l e h o l d sv i r t u a l l y p e r d e f i n i t i o n e m . F o r t h e d u a l ( s t r o n g ) n e g a t i o n , i t f a i l sa l m o s t e q u a l l y t r i v i a l l y . W h a t i s p a r t i c u l a r l y r e m a r k a b l e i s t h a t b o t ha n s w e r s r e p r e s e n t s t r a i g h t f o r w a r d l o g i c o - c o m b i n a t o r i a l f a c t s w h i c ha r e n o t t i e d t o a n y p a r t i c u l a r e p i s t e m o l o g i c a l o r o t h e r p h i l o s o p h i c a la s s u m p t i o n s .

O n e r e m a r k a b l e t h i n g a b o u t t h e f a i l u r e o f t e r t i u m n o n d a t u r i n I F

f i r s t - o r d e r l o g i c i s t h a t t h i s l o g i c i s i n s o m e s e n s e p e r f e c t l y c l a s s i c a l .T h e f a i l u r e i s a c o n s e q u e n c e o f c h a n g e s i n t h e o r d i n a r y f i r s t - o r d e rl o g i c w h i c h w e r e m o t i v a t e d c o m p l e t e l y i n d e p e n d e n t l y o f a l l " n o n -c l a s s i c a l " i d e a s , s u c h a s c o n s t r u c t i v i s m o r i n t u i t i o n i s m . H e n c e m y

r e s u l t s p u t t h e e n t i r e c o n t r a s t b e t w e e n c l a s s i c a l a n d n o n c l a s s i c a ll o g i c i n a n e w l i g h t . O r , r a t h e r , t h e y c o n f o u n d i t t o t a l l y b y s h o w i n gt h a t t h e r e c e i v e d l o g i c ( r e c e i v e d u l t i m a t e l y f r o m F r e g e a n d R u s s e l l )

d o e s n o t d e s e r v e t h e e p i t h e t " c l a s s i c a l " e x c e p t i n t h e s e n s e o f b e i n gt h e l o g i c t h a t i s t a u g h t i n c l a s s r o o m s t h e s e d a y s .

T h i s p o i n t i s b e s t e x p l o r e d i n c o n n e c t i o n w i t h t h e r e c o n s t r u c t i o n so f c o n s t r u c t i v i s t i c i d e a s d i s c u s s e d i n C h a p t e r s 1 0 a n d 1 1 .

( k ) I n a t r u t h - f u n c t i o n a l l y e x t e n d e d I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e , w ec a n f i n a l l y e x p r e s s n o r m a l t r u t h - f u n c t i o n a l c o n d i t i o n a l s , f o re x a m p l e ,

( i S 1 v S , ) ( 7 . 5 4 )

w h i c h c a n b e a b b r e v i a t e d

( S 1 D T S 2 ) ( 7 . 5 5 )

H e n c e a t r u t h - f u n c t i o n a l l y e x t e n d e d I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e i s a h a p -p i e r m e d i u m o f a c t u a l l y p r o v i n g p r o p o s i t i o n s l o g i c a l l y t h a n t h eu n e x t e n d e d I F f i r s t - o r d e r l o g i c . T h i s g a i n i n s y n t a c t i c a l m a n i p u l a b i l -




i t y i s n e v e r t h e l e s s i n v e r s e l y r e l a t e d t o t h e p e r s p i c u i t y o f t h e s e m a n t i -c a l s i t u a t i o n i n t h e t w o t y p e s o f l a n g u a g e s . I n t h e o r i g i n a l m o d e l - Tv a r i a n t o f I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e s w e d i d n o t h a v e t r u t h - f u n c t i o n a lc o n d i t i o n a l s , w h i c h m a k e s a p r o o f t h e o r i s t ' s l i f e d i f f i c u l t , b u t w e h a v ea l l s o r t s o f n i c e m o d e l - t h e o r e t i c a l r e s u l t s . I n c o n t r a s t , i n t r u t h -

f u n c t i o n a l l y e x t e n d e d I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e s w e d o h a v e t r u t h -f u n c t i o n a l c o n n e c t i v e s , o r d i n a r y m o d u s p o n e n s a n d s o f o r t h , m a k i n gc h a i n s o f a c t u a l l o g i c a l i n f e r e n c e s m u c h e a s i e r . B u t t h a t m e a n s b e i n gb a n i s h e d f r o m t h e m o d e l - t h e o r e t i c a l E d e n o f t h e o r i g i n a l p l a i n I Ff i r s t - o r d e r l o g i c . T h e r e i s a p r i c e t o b e p a i d h e r e , n o m a t t e r w h i c h

w a y w e g o . A m a i n r e s t r i c t i o n t h a t m u s t b e o b s e r v e d h e r e i s t h a t t h et r u t h - f u n c t i o n a l c o n d i t i o n a l D 1 c a n o n l y b e u s e d o u t s i d e q u a n t i -f i e r s , l i k e t h e t r u t h - f u n c t i o n a l n e g a t i o n . F o r t u n a t e l y , t h i s p r e s e n t s n on e w o b s t a c l e s t o t h e u s e o f c o n d i t i o n a l s i n a c t u a l l o g i c a l i n f e r e n c e s .

( 1 ) M y r e s u l t s a d m i t o f a s t r i k i n g f o r m u l a t i o n i n W i t t g e n s t e i n i a nt e r m s . W i t t g e n s t e i n s p o k e o f t h e l i m i t s o f l a n g u a g e . U s u a l l y , t h el i m i t s o f w h a t a f o r m a l l a n g u a g e c a n e x p r e s s a r e t h o u g h t o f i n t e r m so f l i m i t a t i o n s t o t h e e x p r e s s i v e p o w e r o f t h e l a n g u a g e o r p e r h a p s i n

t e r m s o f l i m i t a t i o n s o f t h e t o t a l i t y o f e n t i t i e s i t c a n d e a l w i t h . W h a tw e h a v e f o u n d s h o w s t h a t o n e o f t h e t r u e l i m i t s o f l a n g u a g e l i e s i n t h e

i n e x p r e s s i b i l i t y o f c o n t r a d i c t o r y n e g a t i o n o r , i f s u c h a n e g a t i o n i si n t r o d u c e d b y a f i a t , i n t h e c o n s e q u e n c e s o f t h a t f o r c e d e x p r e s s i b i l i t y .F o r i n s t a n c e , t h e c r u c i a l b u t i n e v i t a b l e r e s t r i c t i o n o n I F f i r s t - o r d e rl o g i c i s t h e i n e x p r e s s i b i l i t y o f c o n t r a d i c t o r y n e g a t i o n , o u t s i d e t h eo r d i n a r y f i r s t - o r d e r f r a g m e n t . A n d t h e i n t r o d u c t i o n o f c o n t r a d i c t o r yn e g a t i o n d e s t r o y s m o s t o f t h e n i c e m e t a l o g i c a l p r o p e r t i e s o f I Ff i r s t - o r d e r l o g i c , i n c l u d i n g t h e d e f i n a b i l i t y o f t r u t h i n t h e l a n g u a g ei t s e l f .



6

W h o ' s A f r a i d o f A l f r e d T a r s k i ?T r u t h D e f i n i t i o n s f o r I F F i r s t - O r d e r L a n g u a g e s

I n e a r l i e r c h a p t e r s , i t w a s s e e n h o w c r u c i a l t h e c o n c e p t o f t r u t h i si n t h e f o u n d a t i o n s o f l o g i c a n d m a t h e m a t i c s . A n e s p e c i a l l y c e n t r a lr o l e w a s s e e n t o b e p l a y e d b y t h e q u e s t i o n o f t h e d e f i n a b i l i t y o f t r u t h .T h e n e w l a n g u a g e s e x p l a i n e d i n C h a p t e r 3 , I F f i r s t - o r d e r l a n g u a -g e s , o p e n u p a w a y o f a c t u a l l y f r e e i n g t h e e x p r e s s i b i l i t y o f t h e c o n -c e p t o f t r u t h f r o m t h e s e r i o u s p r o b l e m s t h a t h a v e b e e n s e e n t o b e s e ti t .

A s w a s p o i n t e d o u t i n C h a p t e r 1 , d i s c u s s i o n s o f t r u t h a n d i t sd e f i n a b i l i t y h a v e i n t h e l a s t s i x t y y e a r s b e e n p r o f o u n d l y i n f l u e n c e db y t h e i d e a s o f A l f r e d T a r s k i ( 1 9 3 5 , 1 9 5 6 a ) . ' T h i s i n f l u e n c e h a s b e e ns t r o n g a n d w i d e s p r e a d . T h e f o l l o w i n g a s p e c t s o f T a r s k i ' s w o r k a r ee s p e c i a l l y r e l e v a n t h e r e :

( i ) I n h i s c l a s s i c m o n o g r a p h , T a r s k i s h o w e d h o w t h e c o n c e p t o ft r u t h c a n b e d e f i n e d e x p l i c i t l y a n d p r e c i s e l y f o r c e r t a i n t y p e s o ff o r m a l l a n g u a g e s .

T h e n a t u r e o f T a r s k i - t y p e t r u t h d e f i n i t i o n s w a s e x p l a i n e db r i e f l y i n C h a p t e r 1 . A m o n g o t h e r t h i n g s , t h e f o l l o w i n g f e a t u r e so f t h e s e d e f i n i t i o n s w e r e p o i n t e d o u t :

( i i ) A T a r s k i - t y p e d e f i n i t i o n o f t r u t h i s a n i n d i r e c t o n e , d e f i n i n g t h e

n o t i o n o f t r u t h i n t a n d e m w i t h t h e n o t i o n o f s a t i s f a c t i o n .

( i i i ) T a r s k i p r o v e d , g i v e n c e r t a i n a s s u m p t i o n s , t h a t a d e f i n i t i o n o ft r u t h f o r a f o r m a l l a n g u a g e c a n o n l y b e f o r m u l a t e d i n a m e t a l a n -g u a g e w h i c h i s s t r o n g e r i n c e r t a i n s p e c i f i a b l e r e s p e c t s t h a n t h eg i v e n o b j e c t l a n g u a g e . I n o u r d a y , T a r s k i - t y p e t r u t h p r e d i c a t e sf o r f i r s t - o r d e r l a n g u a g e s a r e u s u a l l y e x p r e s s e d b y s e c o n d -

o r d e r f o r m u l a s — t h a t i s t o s a y , b y f o r m u l a s w h o s e o n l y n o n — f i r s t -

1 0 5




o r d e r i n g r e d i e n t i s a f o r m u l a - i n i t i a l s t r i n g o f s e c o n d - o r d e r e x i s -t e n t i a l q u a n t i f i e r s .

( i v ) T a r s k i a r g u e d t h a t t h e c o n c e p t o f t r u t h c a n n o t b e d e f i n e d f o rw h a t h e c a l l e d t h e c o l l o q u i a l l a n g u a g e .

( v ) A l e s s d e e p b u t e m i n e n t l y p o p u l a r s u g g e s t i o n o f T a r s k i ' s w a s t ou s e a s a t o u c h s t o n e f o r t r u t h d e f i n i t i o n s t h a t t h e y h a v e a s t h e i rc o n s e q u e n c e a l l t h e r e l e v a n t i n s t a n c e s o f t h e s o - c a l l e d T - s c h e m a :

( T ) H i s t r u e

w h e r e " H " i s a p l a c e h o l d e r f o r a q u o t e o r a s t r u c t u r a l d e s c r i p t i o n

o f t h e s e n t e n c e w h i c h i s t o r e p l a c e " p . "

I t w i l l b e a r g u e d i n t h i s c h a p t e r t h a t w e h a v e t o r e v i s e o u r i d e a sa b o u t a l l t h e f i v e f e a t u r e s ( i ) — ( v ) o f T a r s k i - t y p e t r u t h d e f i n i t i o n s .I t w i l l a l s o b e s e e n t h a t t r u t h d e f i n i t i o n s c a n b e f r e e d f r o m t h ep r o b l e m s o r a t l e a s t l i m i t a t i o n s — w h i c h t h e y w e r e s e e n i nC h a p t e r 1 t o b e s u b j e c t t o .

T a r s k i ' s p r o c e d u r e i s g e n e r a l l y t a k e n t o b e n o r m a t i v e . H o w e v e r , i t

i s s e l d o m , i f e v e r , e x p l a i n e d w h a t t h e r e a s o n f o r t h i s n o r m a t i v ec h a r a c t e r o f T a r s k i ' s d e f i n i t i o n i s , o r e v e n w h a t T a r s k i ' s o w n r a t i o n -a l e w a s i n p r o c e e d i n g i n t h e w a y h e d i d . T h e r e i s n e v e r t h e l e s s as i m p l e a n s w e r a v a i l a b l e , w h i c h i s t h e s a m e f o r b o t h q u e s t i o n s . T h i sa n s w e r i s c l o s e l y r e l a t e d t o t h e p r e s u p p o s i t i o n s o f t h e a p p r o a c hu s e d h e r e .

H i s t o r i c a l l y , a n i m p o r t a n t p a r t o f T a r s k i ' s b a c k g r o u n d w a s a ne a r l y f o r m o f t h e i d e a o f c a t e g o r i a l g r a m m a r . N o w a n y a p p r o a c h l i k ec a t e g o r i a l g r a m m a r p r e s u p p o s e s c e r t a i n t h i n g s o f t h e s e m a n t i c s o ft h e l a n g u a g e w h o s e g r a m m a r i t i s s u p p o s e d t o b e . I t p r e s u p p o s e st h a t t h e l a n g u a g e i n q u e s t i o n s a t i s f i e s t h e r e q u i r e m e n t w h i c h l i n -g u i s t s u s u a l l y c a l l c o m p o s i t i o n a l i t y . ( F o r t h i s n o t i o n , s e e P a r t e e 1 9 8 4a n d P e l l e t i e r 1 9 9 4 . ) P h i l o s o p h e r s s o m e t i m e s r e f e r t o i t a s t h e F r e g ep r i n c i p l e , a n d F r e g e d i d i n d e e d p a y l i p s e r v i c e t o i t . A s u s u a l l y

f o r m u l a t e d , i t s a y s t h a t t h e m e a n i n g o f a c o m p l e x e x p r e s s i o n i s

a f u n c t i o n o f t h e m e a n i n g s o f i t s c o n s t i t u e n t e x p r e s s i o n s . I t i sn e v e r t h e l e s s a p p r o p r i a t e t o e x t e n d t h e i d e a o f c o m p o s i t i o n a l i t y t os a y t h a t a l l t h e r e l e v a n t s e m a n t i c a l a t t r i b u t e s o f a n e x p r e s s i o n ( a n d

n o t o n l y j u s t i t s m e a n i n g o r t r u t h ) a r e f u n c t i o n s o f t h e s e m a n t i c a la t t r i b u t e s o f i t s c o n s t i t u e n t e x p r e s s i o n s ( n o t j u s t o f i t s m e a n i n g ) . T h em a j o r i m p a c t o f t h e p r i n c i p l e o f c o m p o s i t i o n a l i t y o n l o g i c a l a n dl i n g u i s t i c t h e o r i z i n g i s t o a l l o w w h a t i s u s u a l l y r e f e r r e d t o a s



T R U T H - D E F I N I T I O N S F O R I F L A N G U A G E S 1 0 7

r e c u r s i v e d e f i n i t i o n s ( o r o t h e r k i n d s o f r e c u r s i v e c h a r a c t e r i z a t i o n ) o ft h e r e l e v a n t s e m a n t i c a l p r o p e r t i e s . T h a t i s t o s a y , w e c a n s p e c i f y t h ec o n d i t i o n s f o r t h e a p p l i c a b i l i t y o f t h e s e m a n t i c a l a t t r i b u t e i n q u e s -t i o n t o t h e s i m p l e s t p o s s i b l e e x p r e s s i o n s , a n d t h e n s p e c i f y , s t e p b ys t e p , f o r e a c h o p e r a t i o n o f f o r m i n g c o m p l e x e x p r e s s i o n s o u t o f t h es i m p l e r o n e s , h o w a p p l i c a b i l i t y o f t h a t s e m a n t i c a l a t t r i b u t e t o t h e

c o m p l e x e x p r e s s i o n i s d e r i v e d o n t h e s e m a n t i c a l a t t r i b u t e s o f i t sc o n s t i t u e n t e x p r e s s i o n s .

T h i s i d e a o f c o m p o s i t i o n a l i t y h a s l o o m e d l a r g e i n r e c e n t l i n g u i s t i ca n d p h i l o s o p h i c a l t h e o r i z i n g . C o n f o r m i t y w i t h t h e p r i n c i p l e o f

c o m p o s i t i o n a l i t y i s g e n e r a l l y ( t h o u g h n o t u n i v e r s a l l y ) t h o u g h t o f a sa m a j o r d e s i d e r a t u m w h i c h a s a t i s f a c t o r y l i n g u i s t i c t h e o r y s h o u l ds a t i s f y . D o n a l d D a v i d s o n a p p a r e n t l y a t o n e t i m e e v e n t h o u g h t o f

c o m p o s i t i o n a l i t y a s a p r e c o n d i t i o n f o r t h e l e a r n a b i l i t y o f l a n g u a g e( s e e D a v i d s o n 1 9 6 5 ) .

T h e r e a l i m p a c t o f t h e p r i n c i p l e o f c o m p o s i t i o n a l i t y n e v e r t h e l e s sh a s n o t b e e n e m p h a s i z e d i n r e c e n t d i s c u s s i o n . I t i s i l l u s t r a t e d b y t h er o l e o f t h e p r i n c i p l e i n f a c i l i t a t i n g r e c u r s i v e d e f i n i t i o n s o f s e m a n t i c a l

a t t r i b u t e s . S u c h r e c u r s i v e d e f i n i t i o n s p r o c e e d f r o m s i m p l e r e x p r e s -s i o n s t o m o r e c o m p l i c a t e d o n e s . T h e y a r e n o t p o s s i b l e u n l e s s t h e

a t t r i b u t e t o b e d e f i n e d i s s e m a n t i c a l l y s p e a k i n g c o n t e x t - i n d e p e n d e n t .T h e m a i n f u n c t i o n o f t h e p r i n c i p l e o f c o m p o s i t i o n a l i t y i s t o s e c u r es u c h s e m a n t i c a l c o n t e x t - i n d e p e n d e n c e .

I t s e e m s t o m e t h a t t h e p r i n c i p l e o f c o m p o s i t i o n a l i t y w a s o n e o ft h e m o s t i m p o r t a n t p r e s u p p o s i t i o n s o f T a r s k i ' s w o r k o n t h e c o n c e p t

o f t r u t h . F o r o n e t h i n g , i t w a s f a i r l y o b v i o u s t h a t i t w a s t h e p r i n c i p l eo f c o m p o s i t i o n a l i t y t h a t m o t i v a t e d T a r s k i ' s r e l i a n c e o n r e c u r s i v ed e f i n i t i o n s i n h i s a p p r o a c h t o t r u t h . F u r t h e r m o r e , i t i s t h e s a m ec o m m i t m e n t t o i n s i d e - o u t p r o c e d u r e t h a t f o r c e d T a r s k i t o d e f i n et r u t h f o r h i s f o r m a l l a n g u a g e s , n o t a l o n e , b u t i n t a n d e m w i t h t h en o t i o n o f s a t i s f a c t i o n . I n a c o m p o s i t i o n a l p r o c e d u r e , o n e d e f i n e s t h es e m a n t i c a l a t t r i b u t e s o f a n e x p r e s s i o n i n t e r m s o f t h e s e m a n t i c a la t t r i b u t e s o f i t s c o m p o n e n t e x p r e s s i o n s . B u t t r u t h c a n o n l y b e

a t t r i b u t e d t o s e n t e n c e s ( c l o s e d f o r m u l a s ) , w h o s e c o m p o n e n t e x p r e s -s i o n s a r e o f t e n n o t s e n t e n c e s b u t o p e n f o r m u l a s . F o r t h i s r e a s o n ,t r u t h c a n b e d e f i n e d c o m p o s i t i o n a l l y o n l y i n c o n j u n c t i o n w i t h s o m eo t h e r s e m a n t i c a l c o n c e p t l i k e s a t i s f a c t i o n . T h i s o b s e r v a t i o n h e l p s u st o u n d e r s t a n d T a r s k i ' s p r o c e d u r e i n h i s c l a s s i c p a p e r . I t a l s o o f f e r sa g l i m p s e o f t h e d i f f i c u l t i e s i n w h i c h a d h e r e n c e t o t h e p r i n c i p l e o fc o m p o s i t i o n a l i t y e a s i l y l e a d s a l i n g u i s t i c a l l y m i n d e d l o g i c i a n o r




l o g i c a l l y m i n d e d l i n g u i s t . F o r c l e a r l y i t w o u l d b e p r e f e r a b l e t o d e f i n et h e n o t i o n o f t r u t h d i r e c t l y w i t h o u t u s i n g t h e c o n c e p t o f s a t i s f a c t i o na s a m i d d l e m a n . F o r o n e t h i n g , w e a r e l i k e l y t o h a v e s h a r p e r p r e -t h e o r e t i c a l i d e a s a b o u t t h e n o t i o n o f t r u t h t h a n a b o u t t h e n o t i o n o fs a t i s f a c t i o n .

T a r s k i p o i n t s o u t h i m s e l f t h e r o o t s o f h i s i d e a s i n t h e n o t i o n o fs e m a n t i c a l c a t e g o r y w h i c h g o e s b a c k o f L e s n i e w s k i a n d i n d i r e c t l y t oH u s s e r l ( c f . T a r s k i 1 9 5 6 a , p . 2 1 5 ) . A s i s s p e l l e d o u t i n v a r i o u s e x p l i c i t

d e v e l o p m e n t s o f c a t e g o r i a l g r a m m a r , t h e l e a d i n g i d e a h e r e i s t om i r r o r t h e s e m a n t i c a l s t r u c t u r e o f a s e n t e n c e b y t h e w a y i n w h i c h i t i s

c o n s t r u c t e d s y n t a c t i c a l l y f r o m i t s b a s i c c o m p o n e n t s . W h e t h e r o r n o ts u c h p a r a l l e l i s m b e t w e e n s e m a n t i c s a n d s y n t a x i n e x t r i c a b l y p r e s u p -p o s e s c o m p o s i t i o n a l i t y , t h e r e i s l i t t l e d o u b t t h a t i n p r a i s i n g t h en a t u r a l n e s s o f t h e n o t i o n o f s e m a n t i c a l c a t e g o r y T a r s k i i s i n e f f e c te x t o l l i n g t h e v i r t u e s o f c o m p o s i t i o n a l i t y .

I n s h o r t , a d h e r e n c e t o t h e p r i n c i p l e o f c o m p o s i t i o n a l i t y i s t h ea n s w e r , o r a t l e a s t a l a r g e p a r t o f t h e a n s w e r , t o t h e q u e s t i o n a s t ow h y T a r s k i f o r m u l a t e d h i s t r u t h d e f i n i t i o n i n t h e w a y h e d i d .

F u r t h e r m o r e , I s u s p e c t t h a t t h e s a m e p r i n c i p l e w a s o p e r a t i v e i nT a r s k i ' s c l a i m t h a t t r u t h i s n o t d e f i n a b l e f o r o u r o r d i n a r y " c o l l o -q u i a l " l a n g u a g e . T a r s k i b l a m e d t h i s a l l e g e d i m p o s s i b i l i t y o n t h ei r r e g u l a r i t i e s o f n a t u r a l l a n g u a g e s . I s u s p e c t t h a t a f a i l u r e t o c o n f o r mt o t h e p r i n c i p l e o f c o m p o s i t i o n a l i t y w a s t h e f i r s t a n d f o r e m o s t" i r r e g u l a r i t y " t h a t T a r s k i d i s c e r n e d i n n a t u r a l l a n g u a g e s .

I t i s n o t t h a t p r i m a f a c i e c o u n t e r e x a m p l e s t o c o m p o s i t i o n a l i t yh a v e n o t b e e n n o t e d i n t h e l i t e r a t u r e . T h e n o n s y n o n y m y o f t h ef o l l o w i n g p a i r s o f s e n t e n c e s i s a c a s e i n p o i n t :

M a r y w i l l b e s u r p r i s e d i f a n y o n e c o m e s . ( 6 . 1 )

M a r y w i l l b e s u r p r i s e d i f e v e r y o n e c o m e s . ( 6 . 2 )

L i k e w i s e , t h e c o n t e x t a f f e c t s t h e m e a n i n g o f a s e n t e n c e l i k e

J i m c a n b e a t a n y o n e . ( 6 . 3 )

w h e n i t i s i m b e d d e d i n a b e l i e f s e n t e n c e :

J o h n d o e s n ' t b e l i e v e t h a t J i m c a n b e a t a n y o n e . ( 6 . 4 )

F o r w h a t J o h n i s s a i d t o d i s b e l i e v e i n ( 6 . 4 ) i s n o t ( 6 . 3 ) b u t

J i m c a n b e a t s o m e o n e . ( 6 . 5 )




I t i s e v e n p o s s i b l e t o g i v e a s y s t e m a t i c a c c o u n t o f t h e r e a s o n w h yc o m p o s i t i o n a l i t y f a i l s i n s e n t e n c e s l i k e ( 6 . 1 ) o r ( 6 . 4 ) . A n i m p o r t a n te x p l a n a t i o n f o r o n e t y p e o f c o u n t e r e x a m p l e l i e s i n w h a t I h a v e c a l l e dt h e s p e c i a l o r d e r i n g p r i n c i p l e s o f G T S . T h e y d o n o t r e s p e c t t h e o r d e ri n w h i c h a n e x p r e s s i o n i s a s s e m b l e d o u t o f i t s c o m p o n e n t e x p r e s -s i o n s ( s e e h e r e H i n t i k k a a n d K u l a s 1 9 8 3 , p p . 2 3 3 — 2 3 4 ; 1 9 8 5 , p p .

1 8 0 — 1 8 1 ) . I n s p i t e o f a l l t h i s , l i n g u i s t s h a v e n o t t a k e n p r i m a f a c i ec o u n t e r e x a m p l e s t o c o m p o s i t i o n a l i t y a s s e r i o u s l y a s t h e y o u g h t t oh a v e d o n e . M a y b e t h e y h a v e n e v e r r e a d t h o s e c h a p t e r s o f t h et r e a t i s e s i n t h e p h i l o s o p h y o f s c i e n c e t h a t d e a l w i t h t h e s i g n i f i c a n c e

o f a n o m a l i e s i n h e r a l d i n g t h e o r y c h a n g e s .O n e o f t h e m o s t i m p o r t a n t k i n d s o f i m p a c t s t h a t I F f i r s t - o r d e rl o g i c h a s o n o u r i d e a s a b o u t l o g i c a n d l a n g u a g e , i s t h a t i t s h o w s o n c ea n d f o r a l l t h e u t t e r f u t i l i t y o f t r y i n g t o a b i d e b y t h e p r i n c i p l e o fc o m p o s i t i o n a l i t y i n o u r l i n g u i s t i c a n d l o g i c a l t h e o r i z i n g . T h e r e a s o ns t a r e s y o u i n t h e f a c e f r o m t h e e x p l a n a t i o n s t h a t w e r e g i v e n i nC h a p t e r 3 o f t h e n a t u r e o f I F l o g i c . B y t h e i r v e r y n a t u r e , a l l s u c hi n s t a n c e s o f q u a n t i f i e r i n d e p e n d e n c e ( o f a n y o t h e r k i n d o f i n f o r m a -

t i o n a l i n d e p e n d e n c e i n l o g i c ) a s c a n n o t b e d e a l t w i t h i n o r d i n a r yf i r s t - o r d e r l o g i c v i o l a t e t h e p r i n c i p l e o f c o m p o s i t i o n a l i t y .

T h i s c o u l d b e d r a m a t i z e d b y c h a n g i n g t h e n o t a t i o n t h a t h a s b e e nu s e d h e r e a l o n g t h e l i n e s m e n t i o n e d i n C h a p t e r 3 . I n s t e a d o fa p p e n d i n g t o e a c h q u a n t i f i e r a n i n d i c a t i o n o f w h i c h e a r l i e r q u a n t i -f i e r s i t i s i n d e p e n d e n t o f , w e c o u l d a d d t o e a c h q u a n t i f i e r a l i s t o f l a t e rq u a n t i f i e r s t h a t a r e e x e m p t e d f r o m i t s s c o p e . F o r i n s t a n c e , i n s t e a d o f

w r i t i n g m y f a v o r i t e s a m p l e f o r m u l a i n t h e n o t a t i o n s o f a r u s e d a sy , z , u ] ( 6 . 6 )

I c o u l d w r i t e i t a s

y , z , u ] ( 6 . 7 )

w h e r e t h e d o u b l e s l a s h / / i s t h e c o n v e r s e o f t h e i n d e p e n d e n c e r e l a t i o n / .

I h a v e a r g u e d i n p r i n t t h a t c o m p o s i t i o n a l i t y i s a l o s t c a u s e i n t h e

s t u d y o f t h e s e m a n t i c s o f n a t u r a l l a n g u a g e s ( s e e H i n t i k k a a n d K u l a s1 9 8 3 , C h . 1 0 ) . T h i s i s n o t a n i m p o s s i b i l i t y c l a i m . I f y o u a r e a d i e - h a r d

b e l i e v e r i n c o m p o s i t i o n a l i t y , t h e r e i s a w a y i n w h i c h y o u c a n a l w a y se n f o r c e i t . T h e p r i m a f a c i e v i o l a t i o n s o f c o m p o s i t i o n a l i t y a r e d u e t ot h e s e m a n t i c a l i n t e r a c t i o n o f a n e x p r e s s i o n w i t h i t s c o n t e x t , a s w eh a v e s e e n . N o w i n p r i n c i p l e y o u c a n t r y t o b u i l d t h e l a w s c o v e r i n gt h a t i n t e r a c t i o n i n t o t h e s e m a n t i c a l e n t i t y y o u c o n s i d e r a s t h e v a l i




o f t h e e x p r e s s i o n i n q u e s t i o n . I n p r a c t i c e , h o w e v e r , t h i s w o u l d r e s u l ti n i n t o l e r a b l y c o m p l i c a t e d a n d c o m p l e t e l y u n n a t u r a l s e m a n t i c s .

T h i s u n n a t u r a l n e s s i s i l l u s t r a t e d b y t h e f a c t t h a t a s i m i l a r a c t o fs e m a n t i c a l d e s p e r a t i o n i s i m p o s s i b l e i n s u i t a b l e f o r m a l l a n g u a g e s .T h e r e t h e r e s u r r e c t i o n o f c o m p o s i t i o n a l i t y i s m a d e i m p o s s i b l e b y t h et a c i t c o n v e n t i o n s t h a t g o v e r n t h e i n t e r p r e t a t i o n o f l o g i c a l f o r m u l a s .N o p e r v e r s e i n g e n u i t y c a n m a k e t h e s e m a n t i c s o f s e n t e n c e s l i k e( 6 . 6 ) — ( 6 . 7 ) c o n f o r m t o c o m p o s i t i o n a l i t y .

T h e c o m m i t m e n t o f T a r s k i - t y p e t r u t h d e f i n i t i o n s t o c o m p o s i -t i o n a l i t y i s s o d e e p t h a t t h e g l o r y a n d m i s e r y o f t h e e n t i r e p r i n c i p l e o f

c o m p o s i t i o n a l i t y i s t o a l a r g e e x t e n t m e a s u r e d b y t h e s u c c e s s a n ds h o r t c o m i n g s o f T a r s k i - t y p e t r u t h d e f i n i t i o n s . S i n c e I a m i n t h i sc h a p t e r s h o w i n g t h e v e r y i m p o r t a n t l i m i t a t i o n s o f T a r s k i - t y p e d e f i n i -t i o n s , I a m i p s o f a c t o e x p o s i n g c e r t a i n s e r i o u s t h e o r e t i c a l s h o r t c o m -i n g s o f t h e p r i n c i p l e o f c o m p o s i t i o n a l i t y .

C o n v e r s e l y , t o l o o k a t t h e b r i g h t s i d e o f t h i n g s , t h e v e r y e x i s t e n c eo f I F f i r s t - o r d e r l o g i c i s a n e l o q u e n t p r o o f t h a t a r e j e c t i o n o fc o m p o s i t i o n a l i t y i s n o o b s t a c l e t o t h e f o r m u l a t i o n o f a s i m p l e a n d

p o w e r f u l l o g i c . I n d e e d , t h e b e s t a r g u m e n t a g a i n s t c o m p o s i t i o n a l i t ya s a g e n e r a l l i n g u i s t i c p r i n c i p l e i s t h e s u c c e s s o f i n d e p e n d e n c e -f r i e n d l y l o g i c i n i t s d i f f e r e n t v a r i a n t s i n t h e l o g i c a l a n a l y s i s o f v a r i o u si m p o r t a n t c o n c e p t s a n d o f t h e i r m a n i f e s t a t i o n s i n n a t u r a l l a n g u a g e s .T h i s i s n o t t h e o c c a s i o n t o t e l l t h a t s u c c e s s s t o r y , w h i c h i s i n f a c t s t i l lc o n t i n u i n g . A c u m u l a t i v e e v i d e n c e o f d i f f e r e n t a p p l i c a t i o n s i s i n a n yc a s e s u f f i c i e n t l y i m p r e s s i v e f o r m e t o r e s t m y c a s e a g a i n s t c o m p o s i -t i o n a l i t y f o r t h e p u r p o s e s o f t h i s b o o k ( s e e h e r e , e . g . , H i n t i k k a a n dK u l a s 1 9 8 3 a n d 1 9 8 5 , H i n t i k k a a n d S a n d u 1 9 9 1 a n d 1 9 9 6 ) .

T h e d e p e n d e n c e o f T a r s k i - t y p e t r u t h d e f i n i t i o n s o n t h e a s s u m p -t i o n o f c o m p o s i t i o n a l i t y m a k e s t h e m s u s p e c t e v e n w h e n t h e y d ow o r k .

B e c a u s e I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e s a r e n o t c o m p o s i t i o n a l , T a r s k i -t y p e t r u t h d e f i n i t i o n s d o n o t a p p l y t o t h e m . Y o u j u s t c a n n o t g i v es a t i s f a c t i o n - c o n d i t i o n s f o r e x p r e s s i o n s l i k e

y , z , u ] ( 6 . 8 )

w h e n y o u d o n o t k n o w w h a t k i n d s o f d e p e n d e n c e a n d i n d e p e n d e n c er e l a t i o n s o b t a i n t h e r e b e t w e e n ( R y ) , ( a u ) a n d t h e q u a n t i f i e r s f u r t h e ro u t t o w h i c h x a n d z m i g h t b e b o u n d ( c f . 6 . 7 ) .

T h i s f a i l u r e o f T a r s k i - t y p e t r u t h d e f i n i t i o n s i n I F f i r s t - o r d e r l o g i ci s n e v e r t h e l e s s p e r h a p s l e s s o b v i o u s t h a n i t m i g h t a t f i r s t s e e m . I t i s a t




i t s c l e a r e s t w h e n w e u s e t h e d o u b l e - s l a s h n o t a t i o n . F o r t h e n t h e r e i sn o d i f f e r e n c e b e t w e e n t w o c o m p o n e n t e x p r e s s i o n s w h o s e v a r i a b l e sa r e i n o n e o f t h e m i n d e p e n d e n t o f c e r t a i n q u a n t i f i e r s f u r t h e r o u t ,w h i l e i n t h e o t h e r t h e y a r e b o u n d t o s u c h q u a n t i f i e r s . F o r i n s t a n c e ,t h e u n i v e r s a l - q u a n t i f i e r - f r e e c o n s t i t u e n t e x p r e s s i o n s o f t h e f o l l o w i n gt w o e x p r e s s i o n s a r e i d e n t i c a l :

z , u ] ( 6 . 9 )

y , z , u ] ( 6 . 7 )

I f c o m p o s i t i o n a l i t y w e r e i n f o r c e , t h e s a m e s e m a n t i c a l e n t i t y s h o u l db e a s s i g n e d t o

y , z , u ] ( 6 . 8 )

i n t h e t w o c a s e s . B u t t h i s w o u l d m a k e i t i m p o s s i b l e t o d i s t i n g u i s h( 6 . 9 ) a n d ( 6 . 7 ) s e m a n t i c a l l y i f w e a b i d e c o m p o s i t i o n a l l y a n d b u i l d o u r

t r u t h - c o n d i t i o n s a n d s a t i s f a c t i o n - c o n d i t i o n s f o r ( 6 . 9 ) a n d ( 6 . 7 ) f r o mi n s i d e o u t . F o r t h e " i n s i d e s " o f ( 6 . 9 ) a n d ( 6 . 7 ) a r e i d e n t i c a l , a n d b y t h e

t i m e w e c o m e t o t h e s l a s h e d q u a n t i f i e r s i t i s t o o l a t e t o t r y t od i s t i n g u i s h t h e t w o f r o m e a c h o t h e r s e m a n t i c a l l y .W h e n t h e s i n g l e - s l a s h n o t a t i o n i s u s e d , w e c a n m a k e a d i s t i n c t i o n

e t w e e n t h e s e m a n t i c a l e n t i t i e s a s s i g n e d , f o r e x a m p l e , t o

y , z , u ] ( 6 . 1 0 )

a n d

y , z , U ] ( 6 . 1 1 )

B u t t h i s p o s s i b i l i t y w i l l n o t h e l p c o m p o s i t i o n a l i s t s d e c i s i v e l y . A sa m i n o r p o i n t , c o m p o s i t i o n a l i t y w i l l n o t b e t r u e i n t h e l i t e r a l s e n s e o ft h e w o r d , f o r ( 6 . 1 1 ) i s n o t a c o m p o n e n t e x p r e s s i o n o f a n y t h i n g a s i t i sn o t a w e l l - f o r m e d f o r m u l a . W h e t h e r o r n o t i t c a n o c c u r a s a p a r t o fa w e l l - f o r m e d s e n t e n c e d e p e n d s o n t h a t p a r t o f t h e s e n t e n c e w h i c hl i e s o u t s i d e ( 6 . 1 1 ) .

T h i s f a i l u r e o f c o m p o s i t i o n a l i t y m i g h t s e e m t o b e m e r e q u i b b l i n g .I t i s n e v e r t h e l e s s i n d i c a t i v e o f t h e s i t u a t i o n . I n a n y c a s e , t h e r e i sa n o t h e r r e a s o n f o r t h e i m p o s s i b i l i t y o f T a r s k i - t y p e t r u t h d e f i n i t i o n sf o r I F f i r s t - o r d e r s e n t e n c e s . T h e d i f f e r e n c e b e t w e e n ( 6 . 1 0 ) a n d ( 6 . 1 1 )l i e s i n t h e q u e s t i o n w h e t h e r t h e v a l u e o f u d e p e n d s o n t h e v a l u e o f x .N o m a t t e r h o w t h i s d e p e n d e n c e o r i n d e p e n d e n c e i s e x p r e s s e d i na s s i g n i n g a s e m a n t i c a l v a l u e t o ( 6 . 1 1 ) , b y t h e s a m e t o k e n t h i s




a s s i g n m e n t s h o u l d i n d i c a t e w h e t h e r t h e v a l u e o f u d e p e n d s o n t h o s eo f y a n d z . B u t t h i s q u e s t i o n d o e s n o t d e p e n d o n t h e e x p r e s s i o n ( 6 . 1 1 )a l o n e , a s c o m p o s i t i o n a l i t y r e q u i r e s . B e c a u s e o f t h e c o n v e n t i o n t h a tw a s s h o w n i n C h a p t e r 3 t o b e n e e d e d i n I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e s , a na n s w e r t o t h e q u e s t i o n d e p e n d s a l s o o n w h e t h e r y a n d z a r e b o u n d t ou n i v e r s a l o r e x i s t e n t i a l q u a n t i f i e r s . A n d t h i s c a n n o t b e s e e n f r o m t h ec o m p o n e n t e x p r e s s i o n i n q u e s t i o n a l o n e . L i k e w i s e , i t c a n n o t b e s e e nf r o m ( 6 . 1 1 ) a s t o w h i c h o f t h e v a r i a b l e s x , y , z d e p e n d o n w h i c h o n e s .Y e t t h i s i s n e e d e d i f w e w a n t t o a s s i g n a c l a s s o f v a l u a t i o n s t o ( 6 . 1 1 ) a s

t h o s e t h a t s a t i s f y i t .

A s a c o n s e q u e n c e , t h e r e i s n o r e a l i s t i c h o p e o f f o r m u l a t i n g c o m p o -s i t i o n a l t r u t h - c o n d i t i o n s f o r I F f i r s t - o r d e r s e n t e n c e s , e v e n t h o u g hI h a v e n o t g i v e n a s t r i c t i m p o s s i b i l i t y p r o o f t o t h a t e f f e c t .

T h i s f a i l u r e o f T a r s k i - t y p e t r u t h d e f i n i t i o n s i s a n e x t r e m e l y s e r i o u sb l a c k m a r k a g a i n s t t h e m . M o s t o f t h e e a r l i e r f a i l u r e s o f s u c hd e f i n i t i o n s t o o k p l a c e a t t h e o u t e r r e a c h e s o f o n g o i n g l o g i c a l r e -s e a r c h a n d i n v o l v e d c o n c e p t s t h a t a r e a t l e a s t p r i m a f a c i e u n f a m i l -

i a r — u n l e s s y o u a r e L e i b n i z a n d r e l i s h t h e k i n d o f i n f i n i t e a n a l y s i s

t h a t i n f i n i t e l y d e e p l a n g u a g e s c o d i f y . I n c o n t r a s t , I F l o g i c w a s s e e nt o b e o u r t r u e e l e m e n t a r y l o g i c i n v o l v i n g n o t h i n g m o r e t h a n q u a n t i -

f i e r s a n d p r o p o s i t i o n a l c o n n e c t i v e s . H e n c e t h e f a i l u r e o f T a r s k i -t y p e t r u t h d e f i n i t i o n s i n I F f i r s t - o r d e r l o g i c s h o w s t h a t t h e y d o n o t

h a v e a s e r i o u s c l a i m t o b e i n g t h e b a s i c n o r m a t i v e k i n d o f t r u t hd e f i n i t i o n .

I n c o n t r a s t t o T a r s k i - t y p e t r u t h d e f i n i t i o n s , g a m e - t h e o r e t i c a l

c h a r a c t e r i z a t i o n s o f t r u t h a r e e a s i l y a v a i l a b l e f o r I F f i r s t - o r d e rl a n g u a g e s . T h i s i s n o t m u c h o f a s u r p r i s e , f o r a s e m a n t i c a l g a m es t a r t s f r o m a n e n t i r e s e n t e n c e a n d n o t f r o m i t s s i m p l e s t c o n s t i t u e n t s ,

a n d g r a d u a l l y a n a t o m i z e s i t i n t o s i m p l e r a n d s i m p l e r s e n t e n c e s . I ns u c h a n o u t s i d e - i n p r o c e s s , c o n t e x t - d e p e n d e n c i e s c a n e a s i l y b e t a k e ni n t o a c c o u n t .

I n d e e d , f o r e a c h f i r s t - o r d e r s e n t e n c e S ( w h e t h e r I F o r n o t ) i t ss e c o n d - o r d e r t r a n s l a t i o n c a n s e r v e a s i t s t r u t h - c o n d i t i o n . F o r , a s w e

s a w i n C h a p t e r 3 , s u c h a " t r a n s l a t i o n " e x p r e s s e s p r e c i s e l y t h ee x i s t e n c e o f a w i n n i n g s t r a t e g y f o r t h e i n i t i a l v e r i f i e r i n t h e g a m e G ( S )c o r r e l a t e d w i t h S . T h i s i s h o w t r u t h i s c h a r a c t e r i z e d i n t h e f i r s t p l a c ei n G T S . T h e r e m a i n i n g p a r t o f t h e t a s k o f f o r m u l a t i n g a n a c t u a l t r u t hd e f i n i t i o n i s i n e f f e c t t o i n t e g r a t e a l l t h e t r u t h - c o n d i t i o n s i n t o a s i n g l ed e f i n i t i o n o f t r u t h . I t w i l l t u r n o u t , A l f r e d T a r s k i n o t w i t h s t a n d i n g ,t h a t s u c h a t r u t h d e f i n i t i o n c a n b e g i v e n f o r r e p r e s e n t a t i v e I Ff i r s t - o r d e r l a n g u a g e i n t h a t l a n g u a g e i t s e l f .




L e t u s a p p r o a c h s u c h t r u t h d e f i n i t i o n s s t e p b y s t e p . I w i l l f i r s td i s c u s s t h e d e f i n a b i l i t y o f a r i t h m e t i c a l t r u t h . T h e r e t h e m o d e l i nw h i c h t h e t r u t h o r f a l s i t y o f t h e s e n t e n c e s o f t h e u n d e r l y i n g l a n g u a g ei s e v a l u a t e d i s t h e s t r u c t u r e o f n a t u r a l n u m b e r s . F i r s t , I w i l l l i k e w i s ea s s u m e t h a t t h e l a n g u a g e t h a t i s b e i n g u s e d i s a n o r d i n a r y f i r s t - o r d e ra r i t h m e t i c a l l a n g u a g e . L a t e r , I w i l l e x p a n d m y h o r i z o n t o t a k e i ni n d e p e n d e n c e - f r i e n d l y q u a n t i f i e r s a n d c o n n e c t i v e s a l s o , p l u s t h ef r a g m e n t o f t h e c o r r e s p o n d i n g s e c o n d - o r d e r l a n g u a g e .

I a s s u m e t h a t m y r e a d e r s a r e f a m i l i a r w i t h t h e t e c h n i q u e o f G ö d e ln u m b e r i n g . T h e b a s i c i d e a i s c o m p l e t e l y s t r a i g h t f o r w a r d . W h a t i s

i n v o l v e d i s a c o d i n g o f t h e s y n t a x o f t h e g i v e n f o r m a l o b j e c t l a n g u a g ei n q u e s t i o n i n t h e l a n g u a g e o f e l e m e n t a r y a r i t h m e t i c . F o r t h e p u r p o s eo f t h i s d i s c u s s i o n , i t w i l l b e a s s u m e d t h a t t h e o b j e c t l a n g u a g e i t s e l f

c o n t a i n s s o m e s u i t a b l e f o r m a l i z a t i o n o f e l e m e n t a r y ( f i r s t - o r d e r ) a r i t h -m e t i c . T h e r e a s o n i s t o s h o w t h a t f o r c e r t a i n o b j e c t l a n g u a g e s t h e t r u t h

p r e d i c a t e c a n b e d e f i n e d i n t h e o b j e c t l a n g u a g e i t s e l f .T h e c o d i n g o f t h e s y n t a x o f t h e o b j e c t l a n g u a g e b y m e a n s o f t h e

a r i t h m e t i c a l p a r t o f i t s e l f c a n b e d o n e i n d i f f e r e n t w a y s . A l l t h a t

c o u n t s h e r e i s t h a t c e r t a i n f o r m a l r e l a t i o n s b e t w e e n f o r m u l a s c a n b ee x p r e s s e d i n t h e l a n g u a g e i t s e l f . I n m y m e t a l o g i c a l d i s c u s s i o n , I w i l lr e f e r t o t h e G ö d e l n u m b e r o f a f o r m u l a S b y m e a n s o f c o r n e r q u o t e s .I n o t h e r w o r d s , i s t h e G ö d e l n u m b e r o f S . T h e n u m e r a l w h i c hr e p r e s e n t s a n a t u r a l n u m b e r n w i l l b e r e f e r r e d t o a s n .

T h e n t h e p r o p e r t i e s o f , a n d r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n , d i f f e r e n t e x -p r e s s i o n s w h o s e r e p r e s e n t a b i l i t y p l a y s a r o l e i n m y l i n e o f t h o u g h ta r e r e l a t i o n s b e t w e e n e x p r e s s i o n s o f t h e f o l l o w i n g f o r m s :

( i ) n a n d n ( 6 . 1 2 )

( i i ) ( S 1 & S 2 ) , S 1 a n d S 2

( i i i ) ( S 1 v S 2 ) , S 1 a n d S 2

( i v ) ( V x ) S [ x ] , n a n d S [ n ]

( v ) , n a n d S [ n ]

I f R ( x , y ) i s a p r i m i t i v e t w o - p l a c e r e l a t i o n ,( v i ) R ( n , m ) , n , m

L i k e w i s e f o r o t h e r p r i m i t i v e p r e d i c a t e s a n d p r i m i t i v e f u n c t i o n s .

( v i i ) L i k e w i s e f o r n e g a t e d p r i m i t i v e p r e d i c a t e s a n d f u n c t i o n s .

( v i i i ) , w h e n S 2 i s t h e n e g a t i o n n o r m a l f o r m o f S 1

T h i s r e l a t i o n w i l l b e c a l l e d R ( x , y ) .




L a t e r , t h e G ö d e l n u m b e r i n g t e c h n i q u e w i l l b e a l s o a p p l i e d t o t h ep a r t o f t h e c o r r e s p o n d i n g s e c o n d - o r d e r l a n g u a g e w i t h i n d e p e n -

d e n c e - f r i e n d l y q u a n t i f i e r s a l l o w e d . ( I t w i l l b e a s s u m e d f o r s i m p l i c i t yt h a t a l l t h e i n i t i a l s e c o n d - o r d e r e x i s t e n t i a l q u a n t i f i e r s a r e f u n c t i o nq u a n t i f i e r s . ) T h e n w e w i l l c o n s i d e r r e l a t i o n s b e t w e e n t h e f o l l o w i n g :

( i x ) 1 ( V y ) ( V u ) ( 3 z / V u ) ( 3 t / V y ) S [ y , z , u , t ) ] 1 , k , 1 , m , n a n d r S [ k , I , m , n ] l

H o w d o I k n o w t h a t a l l t h e s e r e l a t i o n s a r e r e p r e s e n t a b l e i ne l e m e n t a r y n u m b e r t h e o r y a n d h e n c e i n t h e g i v e n I F f i r s t - o r d e rl a n g u a g e ? A b l o w - b y - b l o w a c c o u n t o f a n a r g u m e n t t o t h i s e f f e c t

w o u l d b e t o o c u m b e r s o m e t o b e g i v e n h e r e . F o r t u n a t e l y , t h e r e i s a na r g u m e n t w h i c h i s n o t o n l y p e r s u a s i v e b u t r e s o r t e d t o b y l o g i c i a n s

e v e r y d a y . I t i s a n a p p e a l t o C h u r c h ' s t h e s i s . I t i s k n o w n t h a t a l lr e c u r s i v e r e l a t i o n s a r e r e p r e s e n t a b l e i n e l e m e n t a r y n u m b e r t h e o r y

( c f . e . g . , M e n d e l s o n 1 9 8 7 , P . 1 4 3 , P r o p o s i t i o n 3 . 2 3 ) . C h u r c h ' s t h e s i ss a y s t h a t e v e r y e f f e c t i v e l y ( m e c h a n i c a l l y ) d e c i d a b l e r e l a t i o n i s r e c u r -s i v e . S i n c e a l l t h e r e l a t i o n s d i s c u s s e d h e r e a r e f a i r l y o b v i o u s l ym e c h a n i c a l l y d e c i d a b l e , t h e y a r e r e p r e s e n t a b l e i n t h e g i v e n I F f i r s t -

o r d e r l a n g u a g e , f o r i t w a s a s s u m e d t o c o n t a i n e l e m e n t a r y a r i t h m e t i c .I n s o m e c a s e s , t h e r e p r e s e n t a b i l i t y o f t h e s e r e l a t i o n s i n a s u i t a b l el a n g u a g e o f a r i t h m e t i c i s k n o w n f r o m t h e l i t e r a t u r e .

F o r t h e p u r p o s e s o f a p e r s p i c u o u s e x p o s i t i o n , I w i l l n o t i n t r o d u c ea n y s p e c i a l n o t a t i o n f o r t h e r e l a t i o n s ( i ) — ( i x ) b u t u s e t h e c o r n e r q u o t en o t a t i o n i n s t e a d .

O n c e w e h a v e a l l t h e r e l a t i o n s ( i ) — ( i x ) e x p r e s s i b l e i n t h e l a n g u a g e ,

i t i s e a s y t o s e e h o w a t r u t h p r e d i c a t e c a n b e f o r m u l a t e d f o r d i f f e r e n tl a n g u a g e s . I w i l l f i r s t s h o w h o w a t r u t h p r e d i c a t e f o r a n o r d i n a r yf i r s t - o r d e r l a n g u a g e L c a n b e f o r m u l a t e d i n t h e c o r r e s p o n d i n g I Ff i r s t - o r d e r l a n g u a g e . I w i l l f i r s t f o r m u l a t e t h i s p r e d i c a t e i n t h ef r a g m e n t o f t h e c o r r e s p o n d i n g s e c o n d - o r d e r l a n g u a g e s . O n c e t h i s i sd o n e , o n e c a n s i m p l y t r a n s l a t e t h a t p r e d i c a t e b a c k t o t h e c o r r e -s p o n d i n g I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e . B y a c o r r e s p o n d i n g l a n g u a g e , Im e a n o f c o u r s e a l a n g u a g e w i t h t h e s a m e n o n l o g i c a l p r i m i t i v e s .

T h e s e c o n d - o r d e r t r u t h p r e d i c a t e h a s a n o b v i o u s i n t u i t i v e m e a n -i n g . I t s a y s , w h e n a p p l i e d t o t h e G ö d e l n u m b e r y o f a s e n t e n c e , t h a tt h e r e e x i s t s a o n e - p l a c e p r e d i c a t e X w h i c h b e h a v e s i n t h e w a y a t r u t hp r e d i c a t e s h o u l d , a n d t h a t y h a s t h i s p r e d i c a t e . I n o t h e r w o r d s , t h et r u t h p r e d i c a t e h a s t h e f o r m

& X ( y ) ) ( 6 . 1 3 )




H e r e T R [ X ] s e r v e s t o g u a r a n t e e t h a t t h e r e i s a w i n n i n g s t r a t e g y f o rt h e i n i t i a l v e r i f i e r i n a s e m a n t i c a l g a m e . I n f a c t , i t i s a c o n j u n c t i o n o ft h e f o l l o w i n g f o r m u l a s :

( a ) ( V x ) ( V y ) ( V z ) ( ( x = r ( S 1 & S 2 ) 1 & y = r s 1 1 & z = ( X ( x ) D

( X ( y ) & X ( z ) ) ) )

( b ) l i k e w i s e f o r d i s j u n c t i o n( c ) ( V y ) ( V z ) ( V u ) ( ( y = r ( V x ) S [ x ] 1 & u = 1 S [ z ] 1 & X ( y ) ) X ( u ) )

( d ) ( V y ) ( V z ) ( V u ) ( ( y = r ( R 4 s [ x ] l & u = r S [ z ] 1 & X ( y ) ) D X ( u ) )

( e ) I f R i s a t w o - p l a c e p r i m i t i v e r e l a t i o n , ( V x ) ( V y ) ( X ( R ( x , y )

R ( x , y ) ) ; l i k e w i s e f o r o t h e r p r i m i t i v e p r e d i c a t e s a n d n e g a t e dp r i m i t i v e p r e d i c a t e s .

( f ) ( V x ) ( V y ) ( ( x = 1 S 1 1 & y = & N ( x , y ) ) ( X ( x ) t - ÷ X ( y ) ) )

w h e r e N ( x , y ) i s t h e r e l a t i o n o f t h e G ö d e l n u m b e r o f a s e n t e n c et o t h e G ö d e l n u m b e r o f i t s n e g a t i o n n o r m a l f o r m

O n c e y o u u n d e r s t a n d t h i s d e f i n i t i o n o f t h e t r u t h p r e d i c a t e ( 6 . 1 3 ) ,

y o u w i l l r e a l i z e t h a t i t d o e s i t s j o b . F o r t h e p r o p e r t y o f b e i n g t r u e ( a sa t t r i b u t e d t o t h e G ö d e l n u m b e r s o f s e n t e n c e s o f a g i v e n o r d i n a r yf i r s t - o r d e r l a n g u a g e w i t h f i n i t e n u m b e r o f p r i m i t i v e p r e d i c a t e s a n df u n c t i o n s ) s a t i s f i e s T R [ X ] . H e n c e i f t h e s e n t e n c e w i t h t h e G ö d e ln u m b e r y i s t r u e , i t s a t i s f i e s ( 6 . 1 3 ) .

C o n v e r s e l y , i f i t s a t i s f i e s ( 6 . 1 3 ) , f r o m T R [ X ] y o u c a n s e e t h a t t h e r ei s a w i n n i n g s t r a t e g y f o r t h e i n i t i a l v e r i f i e r . T h a t p l a y e r c a n a l w a y s

m a k e h i s o r h e r c h o i c e s i n s u c h a w a y t h a t t h e G ö d e l n u m b e r o f t h e

r e s u l t i n g s e n t e n c e h a s t h e p r o p e r t y X . I n d e e d , t h e t r u t h p r e d i c a t e( 6 . 1 3 ) i s l i t t l e m o r e t h a n a w a y o f s p e l l i n g o u t m o r e f u l l y t h e g a m e -t h e o r e t i c a l t r u t h d e f i n i t i o n e x p l a i n e d i n C h a p t e r 2 .

T h i s o b s e r v a t i o n c a n b e f o r m u l a t e d i n a s o m e w h a t d i f f e r e n t w a y .C o n s i d e r , f o r t h e p u r p o s e , t h e s t a t e m e n t

& ( 6 . 1 4 )

i n w h i c h t h e t r u t h p r e d i c a t e i s a p p l i e d t o t h e G ö d e l n u m b e r o f t h es e n t e n c e S . I t i s e a s i l y s e e n t h a t ( 6 . 1 4 ) i s l o g i c a l l y e q u i v a l e n t t o t h eg a m e - t h e o r e t i c a l ( s e c o n d - o r d e r ) t r u t h - c o n d i t i o n o f 5 , a s e x p l a i n e d i nC h a p t e r 2 . T h i s h e l p s t o e x p l a i n t h e s e n s e i n w h i c h t h e t r u t h p r e d i c a t e( 6 . 1 3 ) m e r e l y s e r v e s t o i n t e g r a t e t h e g a m e - t h e o r e t i c a l t r u t h - c o n d i t i o n sf o r d i f f e r e n t s e n t e n c e s .




T h e m o s t r e m a r k a b l e t h i n g a b o u t t h e t r u t h p r e d i c a t e ( 6 . 1 3 ) i s t h a ti t i s o f t h e f o r m . ( T h e o n l y h i g h e r - o r d e r q u a n t i f i e r i n ( 6 . 1 3 ) i s t h ei n i t i a l s e c o n d - o r d e r e x i s t e n t i a l q u a n t i f i e r ( 3 X ) . ) F r o m t h i s i t f o l l o w s

t h a t i t c a n b e t r a n s l a t e d i n t o t h e c o r r e s p o n d i n g I F f i r s t - o r d e rl a n g u a g e 2 . T h u s a t r u t h p r e d i c a t e f o r a g i v e n o r d i n a r y f i r s t - o r d e rl a n g u a g e c a n b e d e f i n e d i n t h e c o r r e s p o n d i n g I F f i r s t - o r d e r l a n -g u a g e ; i n o t h e r w o r d s w i t h o u t a n y h i g h e r - o r d e r q u a n t i f i e r s . O r , i no t h e r w o r d s , w i t h o u t h a v i n g t o r a i s e a n y q u e s t i o n s a b o u t t h ee x i s t e n c e o f h i g h e r - o r d e r e n t i t i e s .

H o w c a n w e g e n e r a l i z e t h e t r u t h p r e d i c a t e ( 6 . 1 3 ) t o o t h e r f i r s t -

o r d e r l a n g u a g e s b e s i d e s p u r e l y a r i t h m e t i c a l o n e s ? I t t u r n s o u t t h a tt h e n a t u r a l w a y o f d o i n g s o i n v o l v e s g o i n g b a c k t o t h e f a m i l i a rT a r s k i - t y p e p r o c e d u r e o f f i r s t d e f i n i n g s a t i s f a c t i o n f o r t h e l a n g u a g ei n q u e s t i o n . T h e d e f i n i t i o n c a n b e f o r m u l a t e d i n t h e c o r r e s p o n d i n gs e c o n d - o r d e r l a n g u a g e . T h e s a t i s f a c t i o n r e l a t i o n S a t ( x , f ) h o l d sb e t w e e n t h e G ö d e l n u m b e r x = I S 1 o f a f o r m u l a S a n d a v a l u a t i o n

f u n c t i o n f i f a n d o n l y i f f s a t i s f i e s S i n t h e s e n s e e x p l a i n e d i n C h a p t e r1 . A s w a s a l s o p o i n t e d o u t i n C h a p t e r 1 t h e v a l u a t i o n f u n c t i o n f i s

a m a p p i n g f r o m n a t u r a l n u m b e r s t o t h e i n d i v i d u a l s o f t h e m o d e l i nq u e s t i o n . I a s s u m e h e r e a n d i n t h e f o l l o w i n g t h a t t h e g i v e n f i r s t - o r d e r

l a n g u a g e c o n t a i n s e l e m e n t a r y a r i t h m e t i c . T h e n t h e v a l u a t i o n f u n c -t i o n f i s j u s t a n o r d i n a r y s e c o n d - o r d e r o b j e c t , a n d t h e e x i s t e n t i a l l yq u a n t i f i e d f o r m u l a

1 S 1 , f ) ( 6 . 1 5 )

i s s i m p l y a f o r m u l a o f t h e c o r r e s p o n d i n g s e c o n d - o r d e r l a n g u a g e .W h e n S i s a c l o s e d f o r m u l a ( i . e . , a s e n t e n c e ) , ( 6 . 1 5 ) a s s e r t s t h a t S i st r u e .

S o w h y d i d I o f f e r a d i f f e r e n t t r u t h p r e d i c a t e ( 6 . 1 3 ) f o r a r i t h m e t i c a ll a n g u a g e s ? M y r e a s o n s w e r e p e d a g o g i c a l . F i r s t , t h e d i r e c t t r u t hp r e d i c a t e s h o w s v i v i d l y h o w e x t r e m e l y c l o s e t h e n o t i o n o f t r u t h i s t ob o t h o u r o r d i n a r y i d e a s a b o u t t r u t h a n d t o t h e b a s i c i d e a s o f t h eg a m e - t h e o r e t i c a l a p p r o a c h r e p r e s e n t e d i n t h i s b o o k .

S e c o n d , I w a n t e d t o b r i n g o u t t h e f a c t t h a t t h e d i f f i c u l t y o fe x t e n d i n g t h e t r u t h p r e d i c a t e ( 6 . 1 3 ) t o o t h e r f i r s t - o r d e r l a n g u a g e sb e s i d e s a r i t h m e t i c a l o n e s i s i n a s e n s e m e r e l y t e c h n i c a l , a n d h a sn o t h i n g t o d o w i t h t h e d e e p p r o b l e m s o f c o m p o s i t i o n a l i t y o r o f t h ea l l e g e d l y u n a v o i d a b l e s e c o n d - o r d e r c h a r a c t e r o f t r u t h d e f i n i t i o n s f o rf i r s t - o r d e r l a n g u a g e s . T h e f e a t u r e o f ( 6 . 1 3 ) t h a t m a k e s a g e n e r a l i z -a t i o n d i f f i c u l t i s t h e q u a n t i f i c a t i o n o v e r n u m e r a l s ( n a m e s o f n u m -




b e r s ) i n c l a u s e s ( c ) a n d ( d ) o f t h e t r u t h p r e d i c a t e . I n o r d e r t o e x t e n ds u c h a t r u t h p r e d i c a t e t o n o n a r i t h m e t i c a l l a n g u a g e s , o n e n e e d s t oh a v e a n a m e i n t h e l a n g u a g e f o r e a c h i n d i v i d u a l i n t h e m o d e l s o f t h et h e o r y i n q u e s t i o n , a n d o n e n e e d s e v e n t o b e a b l e t o q u a n t i f y o v e r t h ec l a s s o f a l l s u c h n a m e s , j u s t a s i n e l e m e n t a r y a r i t h m e t i c w e h a v ea n u m e r a l r e p r e s e n t i n g e a c h n u m b e r a n d c a n q u a n t i f y o v e r t h e s e t o fa l l s u c h n u m e r a l s .

N o m a t t e r w h e t h e r w e u s e t h e t r u t h p r e d i c a t e ( 6 . 1 3 ) o r ( 6 . 1 5 ) , i t i so f f o r m , a n d h e n c e c a n b e t r a n s l a t e d t o t h e c o r r e s p o n d i n g I F

f i r s t - o r d e r l a n g u a g e . I n o t h e r w o r d s , e i t h e r t r u t h p r e d i c a t e i s e x -

p r e s s e d w i t h o u t a n y q u a n t i f i c a t i o n o v e r h i g h e r - o r d e r e n t i t i e s . T h e ya r e p u r e l y n o m i n a l i s t i c ( c o m b i n a t o r i a l ) , a n d f r e e f r o m a n y s e t -t h e o r e t i c a l c o m m i t m e n t s . T h i s i s t h e f i r s t s t e p i n m y e x o r c i s m o fT a r s k i ' s c u r s e . O t h e r a d v a n t a g e s e n s u e f r o m m y d e f i n i t i o n n o tp r e s u p p o s i n g c o m p o s i t i o n a l i t y . T h e y w i l l b e d i s c u s s e d l a t e r i n t h i sc h a p t e r .

T h e t r u t h p r e d i c a t e ( 6 . 1 3 ) d o e s n o t w o r k i n I F f i r s t - o r d e r l a n -g u a g e s . H o w e v e r , i t i s e a s i l y m o d i f i e d s o a s t o d o s o . C o n s i d e r f o r t h e

p u r p o s e a n a r i t h m e t i c a l I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e . I n s u c h a l a n g u a g e ,w e c a n d e f i n e a p a i r p r e d i c a t e i n t h e u s u a l w a y . N o w i t h a s b e e ns h o w n b y K r y n i c k i ( 1 9 9 3 ) t h a t i n a n I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e w i t ha p a i r p r e d i c a t e a l l i n d e p e n d e n t q u a n t i f i e r s c a n b e e x p r e s s e d i n t e r m so f t h e f a m i l i a r q u a n t i f i e r c o m b i n a t i o n

( 6 . 1 6 )

k n o w n a s t h e H e n k i n q u a n t i f i e r . M o r e o v e r , t h e e l i m i n a t i o n o f o t h e ri n d e p e n d e n t q u a n t i f i e r s i n f a v o r o f H e n k i n q u a n t i f i e r s c a n b e t a k e nt o b e e f f e c t i v e . H e n c e w e c a n s t r e n g t h e n t h e n o r m a l f o r m p r e d i c a t eN ( x , y ) a s f o l l o w s : I t w i l l n o w s a y t h a t y i s t h e G ö d e l n u m b e ro f a n o r m a l f o r m o f t h e s e n t e n c e w i t h t h e G ö d e l n u m b e r xw h e r e S 2 s a t i s f i e s t h e f o l l o w i n g r e q u i r e m e n t s :

( i ) S 2 i s l o g i c a l l y e q u i v a l e n t w i t h S 1 .

( i i ) i s o b t a i n e d f r o m S 1 b y a r e c u r s i v e p r o c e d u r e .

( i i i ) S 2 i s i n t h e n e g a t i o n n o r m a l f o r m .( i v ) I n S 2 . e a c h s l a s h e d q u a n t i f i e r o c c u r s i n a H e n k i n q u a n t i f i e r

( 6 . 1 6 ) .

( v ) A l l s l a s h e d d i s j u n c t i o n s a r e e l i m i n a t e d f r o m

A f t e r t h i s r e d e f i n i t i o n o f N ( x , y ) , c l a u s e ( f ) i n t h e d e f i n i t i o n o fT R ( X ) c a n r e a d a s i t d i d b e f o r e . T h e m a i n n o v e l t y t h a t i s n e e d e d i s a n




a d d i t i o n a l c l a u s e f o r H e n k i n q u a n t i f i e r f o r m u l a s . I t c a n b e f o r -m u l a t e d a s f o l l o w s :

= r ( Y y ) ( V u ) ( 3 z / V u ) ( J t / \ / y ) S [ y , z , u , t ] 1 & X ( x ) )

= 1 S [ y , f ( y ) , u , g ( u ) ] 1 & X ( x ) ) ( * )

A m o m e n t ' s t h o u g h t s h o w s t h a t ( * ) d o e s i n d e e d y i e l d t h e r i g h tt r u t h - c o n d i t i o n f o r H e n k i n q u a n t i f i e r s e n t e n c e s . W i t h t h e c h a n g e si n d i c a t e d , ( 6 . 1 3 ) s e r v e s a s a t r u t h p r e d i c a t e f o r t h e a r i t h m e t i c a l I Ff i r s t - o r d e r l a n g u a g e i n q u e s t i o n .

T h e m a i n d i f f e r e n c e i s t h a t ( 6 . 1 3 ) d o e s n o t a n y l o n g e r c o n t a i n o n l yo n e i n i t i a l s e c o n d - o r d e r q u a n t i f i e r S e c o n d - o r d e r q u a n t i f i e r sc a n a l s o b e i n t r o d u c e d b y ( g ) , a s s h o w n b y t h e q u a n t i f i e r s a n d( a g ) t h e r e . B u t w h e n t h e s e q u a n t i f i e r s a r e m o v e d t o a n i n i t i a l ( p r e n e x )p o s i t i o n i n ( 6 . 1 3 ) , t h e y s t i l l r e m a i n e x i s t e n t i a l . H e n c e ( 6 . 1 3 ) a s a w h o l ei s o f a f o r m . H e n c e ( 6 . 1 3 ) c a n b e t r a n s l a t e d b a c k i n t o t h e o r i g i n a lI F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e . A l l t o l d , i t f o l l o w s t h a t t h e t r u t h p r e d i c a t e f o rt h e g i v e n m o d e l o f a n I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e i s e x p r e s s i b l e i n t h e v e r y

s a m e I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e .T h i s t r u t h p r e d i c a t e ( ( 6 . 1 3 ) m o d i f i e d ) d o e s t h e j o b i t w a s s u p p o s e d

t o d o . I t p r o v i d e s a t r u t h d e f i n i t i o n f o r a s u i t a b l e I F f i r s t - o r d e rl a n g u a g e i n t h a t l a n g u a g e i t s e l f . O f c o u r s e , t h e t e r m " d e f i n i t i o n " h a st o b e d e a l t w i t h g i n g e r l y h e r e . W h a t h a s b e e n s h o w n i s t h a t t h e r e i sa c o m p l e x p r e d i c a t e ( o f t h e G ö d e l n u m b e r s o f t h e s e n t e n c e s o f t h eg i v e n I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e ) w h i c h a p p l i e s t o a n u m b e r i f a n d o n l yi f i t i s t h e G ö d e l n u m b e r o f a t r u e s e n t e n c e . N o t h i n g i s s a i d o f f a l s i t yh e r e , a n d n o e x p l i c i t f o r m a l d e f i n i t i o n s a r e s e t u p .

L i k e t h e e a r l i e r t r u t h d e f i n i t i o n f o r o r d i n a r y f i r s t - o r d e r l a n g u a g e s ,t h e n e w o n e c a n b e g e n e r a l i z e d f r o m a r i t h m e t i c a l l a n g u a g e s t o al a r g e c l a s s o f o t h e r I F f i r s t - o r d e r t h e o r i e s . T h i s c l a s s i n c l u d e s a l lf i r s t - o r d e r t h e o r i e s w h i c h c o n t a i n e l e m e n t a r y a r i t h m e t i c a n d a l s oc o n t a i n a p a i r p r e d i c a t e f o r a l l t h e i r i n d i v i d u a l s . I n v i e w o f K r y n i c k i ' s( 1 9 9 3 ) r e s u l t , t h e l a t t e r a s s u m p t i o n a g a i n i m p l i e s t h a t a l l s l a s h e d

e x p r e s s i o n s o c c u r i n H e n k i n q u a n t i f i e r s .H e n c e t h e o n l y n o v e l t y n e e d e d h e r e ( a s c o m p a r e d t o a c o r r e -s p o n d i n g d e f i n i t i o n f o r o r d i n a r y f i r s t - o r d e r t h e o r i e s ) i s a c l a u s e i nt h e c h a r a c t e r i z a t i o n o f s a t i s f a c t i o n w h i c h t a k e s c a r e o f H e n k i nq u a n t i f i e r f o r m u l a s , i n r o u g h a n a l o g y t o t h e c l a u s e ( * ) g i v e n a b o v e .T h i s i s a s t r a i g h t f o r w a r d m a t t e r . A l l w e n e e d t o d o i s t o s a y t h a ta v a l u a t i o n v s a t i s f i e s ( 6 . 6 ) i f a n d o n l y i f t h e r e a r e f u n c t i o n s f ( x ) a n d




g ( z ) s u c h t h a t f o r e v e r y x a n d z , S [ x , y , z , u ] i s s a t i s f i e d b y t h ev a l u a t i o n w h i c h i s l i k e v e x c e p t t h a t t h e v a l u e o f y i s f ( x ) a n d t h ev a l u e o f u i s g ( z ) . T h i s t u r n s m y s a t i s f a c t i o n p r e d i c a t e S a t ( x , v ) i t s e l f

i n t o f o r m . B u t t h i s f a c t d o e s n o t m e a n t h a t t h e t r u t h p r e d i c a t e( 6 . 1 5 ) i s n o t a l s o i n f o r m .

T h e r e l i a n c e o f m y t r u t h p r e d i c a t e ( 6 . 1 3 ) o n e x i s t e n t i a l f u n c t i o nq u a n t i f i e r s b r i n g s t h e t r u t h d e f i n i t i o n p r e s e n t e d h e r e e v e n c l o s e r t ot h e e x p l a n a t i o n s g i v e n i n C h a p t e r 2 a s t o w h a t t r u t h m e a n s i n G T S .I n f a c t , t h e m o s t r e m a r k a b l e t h i n g a b o u t t h e t r u t h p r e d i c a t e ( 6 . 1 3 ) i si t s c l o s e r e l a t i o n s h i p t o s e m a n t i c a l g a m e s , e s p e c i a l l y t o t h e i n i t i a l

v e r i f i e r ' s s t r a t e g i e s i n t h e s e g a m e s . I n d e e d t h e e n t i r e d e f i n i t i o n i s l i t t l em o r e t h a n a n e x p l i c i t f o r m u l a t i o n o f t h e i d e a t h a t t h e t r u t h o fa s e n t e n c e S m e a n s t h e e x i s t e n c e o f a w i n n i n g s t r a t e g y f o r t h e i n i t i a lv e r i f i e r i n t h e c o r r e s p o n d i n g s e m a n t i c a l g a m e . T h e c l a u s e s f o rp r o p o s i t i o n a l c o n n e c t i v e s s a y i n e f f e c t t h a t t h e v e r i f i e r m u s t a l w a y sb e a b l e t o m a k e a m o v e c o n n e c t e d w i t h t h e m i n a c c o r d a n c e w i t ha w i n n i n g s t r a t e g y , i n o r d e r f o r t h e p r o p o s i t i o n a l c o m p o u n d t o b et r u e . A n d t h e c l a u s e f o r q u a n t i f i e r s l i k e w i s e s a y s t h a t t h e v e r i f i e r o f

a t r u e s e n t e n c e m u s t b e a b l e t o c h o o s e i n q u a n t i f i e r m o v e s i na c c o r d a n c e w i t h a w i n n i n g s t r a t e g y i f t h e q u a n t i f i e d s e n t e n c e i s t o b et r u e . B e c a u s e o f t h e f a i l u r e o f c o m p o s i t i o n a l i t y i n I F l a n g u a g e s , t h i sr e q u i r e m e n t m u s t s o m e t i m e s b e m a d e f o r s e v e r a l q u a n t i f i e r s a t t h es a m e t i m e ( a s i n t h e H e n k i n q u a n t i f i e r ) , a n d n o t f o r e a c h q u a n t i f i e ro n e b y o n e .

I t c a n i n f a c t b e s h o w n t h a t t h e s e n t e n c e i n w h i c h t h e t r u t hp r e d i c a t e ( 6 . 1 3 ) i s a p p l i e d t o t h e G ö d e l n u m b e r o f s o m e p a r t i c u l a rs e n t e n c e S i s e q u i v a l e n t t o t h e s e c o n d - o r d e r s e n t e n c e w h i c h s t a t e st h e g a m e - t h e o r e t i c a l t r u t h c o n d i t i o n o f S .

S i m i l a r t h i n g s c a n b e s a i d o f t h e m o r e g e n e r a l t r u t h p r e d i c a t e( 6 . 1 5 ) , e v e n t h o u g h t h e d e t o u r v i a t h e n o t i o n o f s a t i s f a c t i o n t e n d s t oo b s c u r e t h e m s o m e w h a t . I t i s f o r t h e p u r p o s e o f a v o i d i n g t h i s u n -n e c e s s a r y p a r t i a l o b f u s c a t i o n t h a t I o n c e a g a i n f o r m u l a t e m y t r u t hp r e d i c a t e f i r s t f o r I F f i r s t - o r d e r a r i t h m e t i c a l l a n g u a g e s , w h e r e t h e

n a t u r e o f m y t r u t h p r e d i c a t e c a n b e a p p r e c i a t e d m o s t e a s i l y .S i n c e s e m a n t i c a l g a m e s a r e e s s e n t i a l l y a c t i v i t i e s o f v e r i f i c a t i o na n d f a l s i f i c a t i o n , w h a t a l l t h i s m e a n s i s t h a t m y t r u t h p r e d i c a t e t i e st h e c o n c e p t o f t r u t h e s s e n t i a l l y t o t h e a c t i v i t i e s b y m e a n s o f w h i c h t h es e n t e n c e s o f t h e r e l e v a n t l a n g u a g e a r e v e r i f i e d a n d f a l s i f i e d . T h e f a c tt h a t t h e s e a c t i v i t i e s a r e n o t w h a t i n e v e r y d a y l i f e ( a n d i n e v e r y d a ys c i e n c e ) i s m o s t f r e q u e n t l y m e a n t b y t h e v e r i f i c a t i o n , f a l s i f i c a t i o n ,




c o n f i r m a t i o n , o r d i s c o n f i r m a t i o n o f p r o p o s i t i o n s d o e s n o t i n -v a l i d a t e m y p o i n t . T h e r e a s o n s f o r t h e b a s i c p o s i t i o n o f s e m a n t i c a lg a m e s i n t h e c o n s t i t u t i o n ( t o u s e t h e H u s s e r l i a n t e r m ) o f t h e c o n c e p to f t r u t h w e r e e x p l a i n e d i n C h a p t e r 2 . W i t h t h e q u a l i f i c a t i o n s e x -p r e s s e d t h e r e , m y t r u t h d e f i n i t i o n c a n l i t e r a l l y b e t a k e n t o s a y t h a ta s e n t e n c e i s t r u e i f a n d o n l y i f i t c a n i n p r i n c i p l e b e v e r i f i e d , t h a t i s , i fa n d o n l y i f t h e r e e x i s t s a w i n n i n g s t r a t e g y f o r t h e i n i t i a l v e r i f i e r .A d m i t t e d l y , t h e r e m a r k s j u s t m a d e r e l a t e d i r e c t l y t o t h e s e c o n d -o r d e r ( s f ) f o r m u l a t i o n o f m y t r u t h p r e d i c a t e . B u t t h e I F f i r s t - o r d e rt r u t h d e f i n i t i o n i s s i m p l y a t r a n s l a t i o n o f t h i s p r e d i c a t e i n t o t h e

c o r r e s p o n d i n g I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e .I t f o l l o w s t h a t m y t r u t h p r e d i c a t e r e f u t e s a n i m p o r t a n t ( a n df a s h i o n a b l e ) o b j e c t i o n t o e x p l i c i t f o r m a l t r u t h d e f i n i t i o n s . T h i so b j e c t i o n i s t h e m a i n r e a s o n w h y T a r s k i - t y p e t r u t h d e f i n i t i o n s a r et h e s e d a y s r o u t i n e l y c l a i m e d t o b e p h i l o s o p h i c a l l y i r r e l e v a n t . I t i ss o m e t i m e s p u t b y s a y i n g t h a t T a r s k i - t y p e t r u t h d e f i n i t i o n s m e r e l yc h a r a c t e r i z e a c e r t a i n a b s t r a c t r e l a t i o n s h i p b e t w e e n s e n t e n c e s a n dr e a l i t y , b u t t h a t t h e y d o n o t p r o v i d e a n y r e a s o n s w h y t h i s r e l a t i o n -

s h i p s h o u l d b e t a k e n t o b e t h e n o t i o n o f t r u t h . I n a n o t h e r f o r m u l a -t i o n , i t h a s b e e n a l l e g e d t h a t w h a t i s w r o n g w i t h T a r s k i - t y p e t r u t hd e f i n i t i o n s i s t h a t t h e y a r e c o m p l e t e l y u n r e l a t e d t o t h e a c t i v i t e s b ym e a n s o f w h i c h w e a c t u a l l y e s t a b l i s h t h e t r u t h ( o r f a l s i t y ) o f d i f f e r e n ts e n t e n c e s . A W i t t g e n s t e i n i a n m i g h t c o n t i n u e t h i s l i n e o f t h o u g h t a n da v e r t h a t w i t h o u t s u c h a l i n k b e t w e e n t r u t h d e f i n i t i o n s a n d t h ea c t i v i t i e s o f v e r i f i c a t i o n a n d f a l s i f i c a t i o n , i t d o e s n o t m a k e s e n s e t o

s p e a k o f t e a c h i n g , l e a r n i n g , u n d e r s t a n d i n g o r m a s t e r i n g t h e c o n c e p to f t r u t h s o d e f i n e d . A s o n e r e c e n t w r i t e r h a s p u t i t , T a r s k i - t y p e t r u t hd e f i n i t i o n s d o n o t s h o w " w h a t i t i s i n v i r t u e o f w h i c h a s e n t e n c e h a sa n y t r u t h - c o n d i t i o n a t a l l o r i n v i r t u e o f w h i c h i t h a s t h e p a r t i c u l a r

t r u t h - c o n d i t i o n i t h a p p e n s t o h a v e " ( C u m m i n s 1 9 8 9 , p . 1 1 ) .W h e t h e r o r n o t t h e s e c r i t i c i s m s a r e i n f a c t a p p l i c a b l e t o T a r s k i -

t y p e t r u t h d e f i n i t i o n s n e e d n o t b e d i s c u s s e d h e r e . T h e c r u c i a l t h i n g i st h a t t h e t r u t h d e f i n i t i o n a n d t h e t r u t h - c o n d i t i o n s e x p l a i n e d i n t h i s

w o r k a n s w e r p r e c i s e l y t h o s e q u e s t i o n s w h i c h T a r s k i - t y p e d e f i n i t i o n sh a v e b e e n c l a i m i n g t o b e i n c a p a b l e o f a n s w e r i n g . F o r i n s t a n c e , w h yd o e s a q u a n t i f i c a t i o n a l s e n t e n c e S h a v e t h e t r u t h - c o n d i t i o n i t i n f a c th a s ? N o w w h a t d o e s t h e t r u t h - c o n d i t i o n s a y ? I t s a y s t h a t t h e r e e x i s t sa w i n n i n g s t r a t e g y f o r t h e i n i t i a l v e r i f i e r i n t h e c o r r e s p o n d i n g g a m eG ( S ) . B u t h o w i s t h e g a m e G ( S ) d e t e r m i n e d , b e s i d e s o f c o u r s e t h em o d e l ( w o r l d ) M w i t h r e s p e c t t o w h i c h i t i s p l a y e d ? I t s s e v e r a l m o v e s




a n d t h e i r o r d e r a r e d e t e r m i n e d b y t h e s y n t a c t i c a l s t r u c t u r e o f S . I nt h i s w a y , S h a s t h e t r u t h - c o n d i t i o n i t h a s i n v i r t u e o f i t s s y n t a c t i c a ls t r u c t u r e , b u t o n l y i n d i r e c t l y , b e c a u s e o f t h e w a y t h i s s t r u c t u r ed e t e r m i n e s t h e s t r u c t u r e o f t h e v e r i f i c a t i o n " g a m e " G ( S ) .

I n C h a p t e r 1 0 I w i l l s h o w h o w t h e g a m e - t h e o r e t i c a l t r u t h d e f i n i -t i o n a n d g a m e - t h e o r e t i c a l t r u t h - c o n d i t i o n s o p e n t h e d o o r f o r f u r t h e rp e r t i n e n t q u e s t i o n s c o n c e r n i n g t h e s t r a t e g i e s t h a t a r e t h e i r p i v o t a le l e m e n t ; t o w i t , w h e t h e r t h o s e s t r a t e g i e s m a y p e r h a p s b e s u b j e c t t os o m e s p e c i f i a b l e l i m i t a t i o n s .

M o r e g e n e r a l l y s p e a k i n g , m y t r u t h d e f i n i t i o n d o e s p r e c i s e l y w h a t

T a r s k i - t y p e t r u t h d e f i n i t i o n s w e r e a c c u s e d o f n o t d o i n g . T h e y r e l a t et h e n o t i o n o f t r u t h d i r e c t l y t o t h e a c t i v i t i e s ( s e m a n t i c a l g a m e s ) b ym e a n s o f w h i c h w e i n a s e n s e v e r i f y a n d f a l s i f y s e n t e n c e s . E v e n t h eq u a l i f i c a t i o n s w h i c h a r e i m p l i c i t i n t h e p h r a s e " i n a s e n s e " a n d w h i c hw e r e e x p l a i n e d i n C h a p t e r 2 , d o n o t i n v a l i d a t e m y p o i n t .

I n d e e d , w e h a v e a n e a r - p a r a d o x o n o u r h a n d s . E m p h a s i s o n a ni n s e p a r a b l e c o n n e c t i o n b e t w e e n t r u t h a n d t h e a c t i v i t i e s o f d e m o n -s t r a t i n g t r u t h i s a c h a r a c t e r i s t i c o f t h e c o n s t r u c t i v i s t i c a p p r o a c h t o

t h e f o u n d a t i o n s o f l o g i c a n d m a t h e m a t i c s . H e n c e w e s e e m t o h a v et a k e n s i d e s w i t h t h e c o n s t r u c t i v i s t s . Y e t t h e o u t c o m e i s a n e x t e n s i o no f c l a s s i c a l l o g i c c a p a b l e o f s e r v i n g c l a s s i c a l m a t h e m a t i c s . T h i sn e a r - p a r a d o x o c c a s i o n s a f r e s h l o o k a t c o n s t r u c t i v i s t i c i d e a s w h i c h

w i l l b e u n d e r t a k e n i n C h a p t e r 1 0 .T h e i n d e p e n d e n c e o f m y t r u t h d e f i n i t i o n , a n d i n d e e d o f t h e e n t i r e

G T S , o f t h e a s s u m p t i o n o f c o m p o s i t i o n a l i t y i s n o t m e r e l y a p h i l o -s o p h i c a l o r a r c h i t e c t o n i c v i r t u e . I t e x t e n d s t h e r a n g e o f a p p l i c a b i l i t yo f t r u t h d e f i n i t i o n s . I t w a s e x p l a i n e d e a r l i e r w h y t h e i r c o m m i t m e n tt o c o m p o s i t i o n a l i t y p r e v e n t s T a r s k i - t y p e t r u t h d e f i n i t i o n s f r o mb e i n g a p p l i c a b l e t o I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e s . T h i s f a c t h a s b e e nt a c i t l y a c k n o w l e d g e d b y l o g i c i a n s i n t h a t s p e c i a l c a s e o f I F f i r s t -o r d e r l a n g u a g e s , t h a t i s , l a n g u a g e s w i t h p a r t i a l l y o r d e r e d q u a n t i f i e rp r e f i x e s , w h i c h t h e y h a v e s t u d i e d s i n c e 1 9 6 0 o r s o . I n f a c t , a l l t r u t h -c o n d i t i o n s t h a t h a v e b e e n o f f e r e d f o r t h e m a r e i n e x p l i c i t l y g a m e -

t h e o r e t i c a l t e r m s , a l b e i t f o r m u l a t e d i n d e p e n d e n t l y o f m y G T S ( s e eH e n k i n 1 9 6 1 a n d c f . e . g . , B a r w i s e 1 9 7 9 , E n d e r t o n 1 9 7 0 a n d W a l k o e

1 9 7 0 ) .

B u t t h i s i s n o t t h e o n l y a d v a n t a g e o f f e r e d b y G T S a n d b y m y t r u t hp r e d i c a t e . S i n c e T a r s k i - t y p e t r u t h d e f i n i t i o n s t o e t h e l i n e o f c o m p o s i -t i o n a l i t y , t h e y m u s t o p e r a t e f r o m i n s i d e o u t i n a g i v e n s e n t e n c e .H e n c e t h e y n e e d s t a r t i n g - p o i n t s f o r t h e d e f i n i t i o n i n t h e f o r m o f




u n a n a l y z a b l e a t o m i c s e n t e n c e s . I n c o n t r a s t , g a m e - t h e o r e t i c a l t r u t hd e f i n i t i o n s o f t h e k i n d c o n s i d e r e d i n t h i s w o r k o p e r a t e f r o m o u t s i d ei n . T h e g a m e s t a r t s f r o m t h e g i v e n s e n t e n c e , a n d i n e a c h m o v e i t i sr e p l a c e d b y a s i m p l e r s e n t e n c e a s a n i n p u t f o r t h e n e x t m o v e . N o w , a se v e r y g a m e t h e o r i s t k n o w s , t h e r e i s i n p r i n c i p l e n o o b s t a c l e t od e f i n i n g w i n n i n g a n d l o s i n g s t r a t e g i e s , a n d s o f o r t h , a l s o f o r i n f i n i t e l yd e e p l a n g u a g e s . H e n c e G T S a n d m y t r u t h d e f i n i t i o n c a n i n p r i n c i p l eb e a p p l i e d t o s u c h L e i b n i t i a n l a n g u a g e s a s a l l o w f o r i n f i n i t e l y d e e pf o r m a l e x p r e s s i o n s . T h i s p o s s i b i l i t y h a s b e e n p u t i n t o p r a c t i c e b y t h eg r o u p o f l o g i c i a n s i n H e l s i n k i l e d b y J o u k o V ä ä n ä n e n a n d J u h a

O i k k o n e n w h o h a v e s y s t e m a t i c a l l y s t u d i e d s u c h i n f i n i t e l y d e e pl a n g u a g e s . N e e d l e s s t o s a y , a l l t h e i r t r u t h - c o n d i t i o n s h a v e b e e n g a m e -t h e o r e t i c a l , a s a r e t h e t r u t h d e f i n i t i o n s u s e d i n t h e s p e c i a l c a s e o f

i n f i n i t e l y d e e p l a n g u a g e s k n o w n a s g a m e q u a n t i f i e r l a n g u a g e s ,w h o s e s t u d y a n t e d a t e s t h e m o r e g e n e r a l s t u d y o f i n f i n i t e l y d e e pl a n g u a g e s .

T h u s w o r k i n g l o g i c i a n s h a v e r e p e a t e d l y f o u n d T a r s k i - t y p e a p -p r o a c h e s i n a p p l i c a b l e i n d i f f e r e n t c i r c u m s t a n c e s , a n d i n v a r i a b l y

t h e y h a v e s p o n t a n e o u s l y r e s o r t e d i n s t e a d t o g a m e - t h e o r e t i c a l c o n -c e p t u a l i z a t i o n s .

T h e g a m e - t h e o r e t i c a l a p p r o a c h t o t r u t h a n d t r u t h p r e d i c a t e s h a sa l s o d i s t i n c t a d v a n t a g e s o v e r t h e a p p r o a c h e s w h i c h o p e r a t e w i t hs e q u e n c e s o f p a r t i a l t r u t h p r e d i c a t e s a n d w h i c h w e r e i n i t i a t e d b yK r i p k e ( 1 9 7 5 ) . I n a n a p p e n d i x t o t h i s b o o k , G a b r i e l S a n d u p r e s e n t sa d e t a i l e d a n a l y s i s o f s o m e o f t h e s e a d v a n t a g e s .

F u r t h e r m o r e , a q u e s t i o n t h a t m a y h a v e b o t h e r e d m y r e a d e r sr e c e i v e s a s i m p l e a n s w e r t h r o u g h a r e c o g n i t i o n o f t h e b a s i c r o l e o ft h e s t r a t e g i c v i e w p o i n t . T h e t r u t h d e f i n i t i o n p r e s e n t e d h e r e i s a s c l e a ra s y o u c a n e v e r h o p e t o g e t w h e n p r e s e n t e d i n i t s s e c o n d - o r d e r f o r m .Y e t i t s t r a n s l a t i o n i n t o I F f i r s t - o r d e r l o g i c r e s u l t s i n a c o m p l e x a n dc l u m s y s e n t e n c e w h i c h I h a v e n o t e v e n d a r e d t o t r y t o w r i t e d o w ne x p l i c i t l y . S i m i l a r t h i n g s c a n b e s a i d o f t h e t r u t h - c o n d i t i o n s o fp a r t i c u l a r f i r s t - o r d e r s e n t e n c e s . W h y t h i s i n t u i t i v e p r e f e r e n c e f o r t h e

s e c o n d - o r d e r f o r m u l a t i o n ?A n a n s w e r i s i m p l i c i t i n t h e o r i g i n a l p r e f o r m a l g a m e - t h e o r e t i c a l

c h a r a c t e r i z a t i o n o f t r u t h . T h i s c h a r a c t e r i z a t i o n i s i n t e r m s o f t h ee x i s t e n c e o f w i n n i n g s t r a t e g i e s f o r t h e i n i t i a l v e r i f i e r . T h e s e s t r a t e g i e sa r e e x p r e s s e d b y ( f i n i t e s e t s o f ) f u n c t i o n s . H e n c e t h e m o s t d i r e c t( " i n t u i t i v e " ) f o r m u l a t i o n o f g a m e - t h e o r e t i c a l t r u t h - c o n d i t i o n s i s i ns e c o n d - o r d e r ( E i ) t e r m s , a n d o n e ' s r e a s o n i n g a b o u t f i r s t - o r d e r t r u t h




i s c l e a r a n d i i b e r s i c h t l i c h o n l y a s l o n g a s i t i s l i k e w i s e c o n d u c t e d o nt h e s e c o n d - o r d e r l e v e l .

H o w e v e r , t h i s d o e s n o t m a k e a n y s u b s t a n t i a l d i f f e r e n c e t o t h es y s t e m a t i c s i t u a t i o n . A l a n g u a g e c a n i n p r i n c i p l e b e t h o u g h t o f a sa n o t a t i o n a l s h o r t h a n d a l t e r n a t i v e f o r t h e c o r r e s p o n d i n g I F f i r s t -o r d e r l a n g u a g e . A t w o r s t I c a n d e f e n d m y s e l f b y a p p e a l i n g t os o m e t h i n g l i k e A r i s t o t l e ' s d i s t i n c t i o n b e t w e e n w h a t i s p r i m a r y f o r u sh u m a n s a n d w h a t i s p r i m a r y i n t h e o r d e r o f n a t u r e o r i n a n y c a s e ,

i n t h e o r d e r o f l o g i c .A t t h e s a m e t i m e , w e c a n s e e t h a t t h e r e i s a s o l i d s y s t e m a t i c r e a s o n

f o r d e v e l o p i n g t r u t h - t h e o r y i n p r a c t i c e o n t h e s e c o n d - o r d e r l e v e l .F o r i t i s o n t h a t l e v e l t h a t w e h a v e m o s t i m m e d i a t e a c c e s s t os t r a t e g i e s f o r t h e p l a y e r s i n s e m a n t i c a l g a m e s .

T o r e t u r n t o t h e s t a r t i n g p o i n t o f t h i s c h a p t e r , T a r s k i ' s a p p r o a c ht o t r u t h d e f i n i t i o n s , w e h a v e s e e n t h a t T a r s k i - t y p e t r u t h d e f i n i t i o n sc a n , a n d m u s t , b e r e p l a c e d b y m u c h m o r e f l e x i b l e d e f i n i t i o n s a s d on o t p r e s u p p o s e c o m p o s i t i o n a l i t y ( c f . i t e m ( i ) i n t h e i n i t i a l l i s t ) .

A s t o ( i i ) , t h e u s u a l d e t o u r v i a t h e n o t i o n o f s a t i s f a c t i o n i n

f o r m u l a t i n g t h e t r u t h p r e d i c a t e i s n e e d e d o n l y b e c a u s e i n m o s tn o n a r i t h m e t i c a l l a n g u a g e s t h e r e i s n o n a m e f o r e a c h m e m b e r o f t h e

d o m a i n o f i n d i v i d u a l s o f t h e m o d e l i n w h i c h t r u t h i s b e i n g d e f i n e d .A s t o t h e c r u c i a l c l a i m ( i i i ) , i t h a s b e e n s e e n t h a t t h e a s s u m p t i o n s

o f T a r s k i ' s i m p o s s i b i l i t y t h e o r e m a r e n o t s a t i s f i e d b y I F f i r s t - o r d e rl a n g u a g e s a n d t h a t i t i s i n f a c t p o s s i b l e t o d e f i n e a t r u t h p r e d i c a t e f o ra s u i t a b l e I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e i n t h a t l a n g u a g e i t s e l f .

I n C h a p t e r 7 i t w i l l b e s e e n t h a t t h e T - s c h e m a i s n o t a p p r o p r i a t ea s a n a d e q u a c y c r i t e r i o n f o r t r u t h d e f i n i t i o n s i n g e n e r a l .

T h i s l e a v e s o p e n o n l y q u e s t i o n ( i v ) , t h a t i s , t h e d e f i n a b i l i t y o f t r u t hi n o r d i n a r y ( " c o l l o q u i a l " ) l a n g u a g e . A t f i r s t s i g h t , I s e e m t o b ev u l n e r a b l e t o t h e s a m e o b j e c t i o n a s h a s b e e n r e p e a t e d l y l e v e l e d a tT a r s k i . F r o m t h e f a c t t h a t t r u t h i s d e f i n a b l e f o r c e r t a i n f o r m a l i z e d( b u t i n t e r p r e t e d ) l a n g u a g e s i n t h e l a n g u a g e i t s e l f i t d o e s n o t f o l l o wt h a t t r u t h i s l i k e w i s e d e f i n a b l e f o r o u r a c t u a l w o r k i n g l a n g u a g e .

H o w e v e r , i t i s i n t e r e s t i n g t o s e e t h a t t h e e v i d e n t i a l s i t u a t i o n c o n c e r n -i n g t h e d e f i n a b i l i t y o f t r u t h f o r n a t u r a l l a n g u a g e s i s r a d i c a l l y d i f f e r -e n t v i s - â - v i s m y t r u t h d e f i n i t i o n s f r o m w h a t i t w a s f o r T a r s k i - t y p eo n e s . A s w a s p o i n t e d o u t , T a r s k i ' s d o u b t s c o n c e r n i n g t h e d e f i n a b i l i t yo f t r u t h f o r o u r " c o l l o q u i a l l a n g u a g e " w e r e p r o b a b l y p r o m p t e d b yt h e f a i l u r e o f c o m p o s i t i o n a l i t y i n n a t u r a l l a n g u a g e s . I n m y t r e a t -m e n t , s u c h a f a i l u r e b e c o m e s a r e a s o n f o r , i n s t e a d o f a r e a s o n a g a i n s t ,




e x p e c t i n g t h a t t r u t h i s d e f i n a b l e f o r n a t u r a l l a n g u a g e s . F o r d i s p e n s i n gw i t h c o m p o s i t i o n a l i t y w a s p r e c i s e l y w h a t e n a b l e d u s t o e x t e n d t h es c o p e o f o u r t r u t h d e f i n i t i o n s b e y o n d t h e p u r v i e w o f T a r s k i - t y p e o n e s .

A g a i n , I a r g u e d a g e s a g o ( H i n t i k k a 1 9 7 4 ) t h a t i n f o r m a t i o n a l l yi n d e p e n d e n t q u a n t i f i e r s o c c u r i n n a t u r a l l a n g u a g e s . S o m e o f m y

e x a m p l e s r a i s e d e y e b r o w s i n i t i a l l y , b u t t h e g e n e r a l u p s h o t o f m ya r g u m e n t s i s b y n o w g e n e r a l l y a c c e p t e d . W h a t h a s n o t b e e n e q u a l l y

g e n e r a l l y a c k n o w l e d g e d y e t i s t h a t d i f f e r e n t v a r i a t i o n s o f i n f o r m a -t i o n a l i n d e p e n d e n c e p l a y a u b i q u i t o u s r o l e i n t h e s e m a n t i c s o f

n a t u r a l l a n g u a g e s . T h e y t u r n o u t t o b e a t t h e b o t t o m o f s u c h d i v e r s e

s e m a n t i c a l p h e n o m e n a a s t h e S p r a c h i o g i k o f o u r e p i s t e m i c v o c a b u -l a r y , o f t h e d e d i c t o v e r s u s d e r e d i s t i n c t i o n , a n d o f t h e s o - c a l l e dn o n s t a n d a r d q u a n t i f i e r s . I n t h e n e x t c h a p t e r , i t w i l l b e a r g u e d t h a tn e g a t i o n b e h a v e s i n n a t u r a l l a n g u a g e s v e r y m u c h i n t h e s a m e w a y a si t d o e s i n I F f i r s t - o r d e r l o g i c .

T h u s t h e p r i m a f a c i e e v i d e n c e f o r o r a g a i n s t t h e a p p l i c a b i l i t y o fm y t y p e o f t r u t h d e f i n i t i o n t o n a t u r a l l a n g u a g e s i s t h e r e v e r s e o f w h a ti t i s f o r T a r s k i - t y p e t r u t h d e f i n i t i o n s . I t s u g g e s t s s t r o n g l y a p o s i t i v e

a n s w e r f o r m y d e f i n i t i o n a n d a n e g a t i v e o n e f o r T a r s k i ' s d e f i n i t i o n .O n e c a n s a y m o r e t h a n t h i s , h o w e v e r . I n a s e n s e , m y t r u t h

d e f i n i t i o n f o r I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e s p r o v i d e s a p a r a d i g m a t i ce x a m p l e o f a t r u t h d e f i n i t i o n f o r a l a n g u a g e w i t h a r e l a t i v e l y p o o rs y n t a x , w h i c h t h r o u g h i t s v e r y f o r m s h o w s h o w i t c a n b e e x t e n d e d t os y n t a c t i c a l l y r i c h e r l a n g u a g e s o r l a n g u a g e f r a g m e n t s . I n o r d e r t o s e et h i s , l e t u s h a v e a l o o k a t t h e t r u t h p r e d i c a t e i t s e l f i n i t s s e c o n d - o r d e r

f o r m . I t s i n i t i a l c l a u s e s t e l l e s s e n t i a l l y t h a t f o r a t o m i c s e n t e n c e s w ea r e a d o p t i n g a r e d u n d a n c y ( d i s q u o t a t i o n a l ) t r e a t m e n t o f t r u t h . T h eo t h e r c l a u s e s s p e c i f y t h e c o n d i t i o n s o f t h e e x i s t e n c e o f a w i n n i n gs t r a t e g y f o r t h e i n i t i a l v e r i f i e r f o r s e n t e n c e s c o n t a i n i n g q u a n t i f i e r sa n d p r o p o s i t i o n a l c o n n e c t i v e s . H e n c e t h e u p s h o t o f t h e t r u t h p r e d i -c a t e s e e m s t o b e m e r e l y t o s p e l l o u t h o w t h e t r u t h o f a n I F f i r s t - o r d e rs e n t e n c e d e p e n d s o n t h e q u a n t i f i e r s a n d p r o p o s i t i o n a l c o n n e c t i v e s i tc o n t a i n s . H e n c e i t m i g h t s e e m t h a t m y t r u t h p r e d i c a t e c a n b e d e f i n e d

o n l y f o r q u a n t i f i c a t i o n a l l a n g u a g e s , I F o r n o t , a n d i t a p p a r e n t l y h a sl i t t l e r e l e v a n c e t o o t h e r k i n d s o f l a n g u a g e s . T h e t r e a t m e n t o f q u a n t i -f i e r s c a n b e e x t e n d e d t o n a t u r a l l a n g u a g e s w i t h o u t a n y p r o b l e m s i np r i n c i p l e , e v e n t h o u g h t h e a c t u a l l o g i c a l b e h a v i o r o f o r d i n a r y l a n -g u a g e q u a n t i f i e r s i s q u i t e d i f f e r e n t f r o m t h a t o f t h e f o r m a l i z e dq u a n t i f i e r s o f f i r s t - o r d e r l a n g u a g e s . B u t a t f i r s t s i g h t i t i s h a r d t o s e eh o w m y t r e a t m e n t c o u l d b e e x t e n d e d t o r i c h e r l a n g u a g e s .




T h i s o b j e c t i o n i s i n c o n c l u s i v e , h o w e v e r . A s s u m e , f o r t h e s a k e o ft h e a r g u m e n t , t h a t w e e n r i c h a f i r s t - o r d e r l a n g u a g e f u r t h e r b yi n t r o d u c i n g f r e s h l o g i c a l c o n s t a n t s . A s s u m e , l i k e w i s e f o r t h e s a k e o ft h e a r g u m e n t , t h a t t h e s e n e w c o n s t a n t s a d m i t o f a g a m e - t h e o r e t i c a lt r e a t m e n t a l o n g t h e s a m e l i n e s a s q u a n t i f i e r s a n d p r o p o s i t i o n a l

c o n n e c t i v e s ; t h a t i s t o s a y , b y m e a n s o f a n a f f e c t i v e g a m e r u l e w h i c hs y n t a c t i c a l l y s p e a k i n g s i m p l i f i e s t h e s e n t e n c e s t h a t t h e p l a y e r s a r e

c o n s i d e r i n g . A s s u m i n g t h a t a n a p p l i c a t i o n o f a g a m e r u l e b y t h ev e r i f i e r c a n b e t h o u g h t o f a s a n a t t e m p t e d s t e p t o w a r d v e r i f i c a t i o n ,t h e n t h e d e f i n i t i o n s i m p l y s p e l l s o u t t h e c o n t r i b u t i o n o f d i f f e r e n t

l o g i c a l a n d n o n l o g i c a l c o n s t a n t s t o t h e t r u t h - c o n d i t i o n s o f t h el a n g u a g e i n q u e s t i o n . H e n c e i t s h o u l d n o t b e a n y s u r p r i s e , a n d m u c hl e s s a n o b j e c t i o n , t h a t f o r l a n g u a g e s w h i c h h a v e b e e n d e v e l o p e d f o rt h e e x p l i c i t p u r p o s e o f s t u d y i n g t h e s e m a n t i c s o f q u a n t i f i e r s a n dc o n n e c t i v e s , t h e f i r s t - o r d e r l a n g u a g e s , o n l y t h e c o n t r i b u t i o n o fq u a n t i f i e r s a n d p r o p o s i t i o n a l c o n n e c t i v e s i s s p e l l e d o u t i n s o m a n yw o r d s . W h a t m y t r u t h d e f i n i t i o n p r o v i d e s i s t h e r e f o r e a p a r a d i g mc a s e o f t r u t h d e f i n i t i o n s , a n e x a m p l e w h o s e p u r v i e w i s a u t o m a t i c a l l y

e x t e n d e d w h e n o t h e r l o g i c a l a n d n o n l o g i c a l c o n s t a n t s a r e b r o u g h tw i t h i n t h e s c o p e o f s e m a n t i c a l a n a l y s i s . T h e c r u c i a l i d e a o f t r u t h a st h e e x i s t e n c e o f a w i n n i n g s t r a t e g y r e m a i n s c o m p l e t e l y u n m o d i f i e d .W h a t s u c h e x t e n s i o n s r e q u i r e i s t h e p o s s i b i l i t y o f e x t e n d i n g t h eg a m e - t h e o r e t i c a l t r e a t m e n t t o l o g i c a l a n d n o n l o g i c a l c o n s t a n t so t h e r t h a n q u a n t i f i e r s a n d p r o p o s i t i o n a l c o n n e c t i v e s . T h e r e a r ee n o u g h e x a m p l e s o f f e r e d b y g a m e - t h e o r e t i c a l a n a l y s e s o f d i f f e r e n t

n a t u r a l - l a n g u a g e e x p r e s s i o n s t o s u g g e s t s t r o n g l y t h a t s u c h a t r e a t -m e n t i s p o s s i b l e o v e r a w i d e f r o n t o f s e m a n t i c a l p h e n o m e n a . S u c ha n a l y s e s a s c a n a l r e a d y b e f o u n d i n l i t e r a t u r e i n c l u d e a n a p h o r a ,g e n i t i v e s , p r e p o s i t i o n a l p h r a s e s , q u e s t i o n s a n d a n s w e r s , e p i s t e m i cv e r b s , a n d s o f o r t h ( c f . h e r e H i n t i k k a a n d K u l a s 1 9 8 3 a n d 1 9 8 5 ) .

T h e r e i s a n o t h e r , i n d e p e n d e n t l i n e o f a r g u m e n t f o r t h e g e n e r a ls i g n i f i c a n c e o f t h e t r u t h d e f i n i t i o n s e x p l a i n e d i n t h i s c h a p t e r . A p a r -t i a l a n s w e r c a n b e f o r m u l a t e d i n t e r m s o f t h e p o w e r a n d c e n t r a l r o l e

o f I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e s . I n t w e n t i e t h - c e n t u r y p h i l o s o p h y a n dl o g i c , o r d i n a r y f i r s t - o r d e r l o g i c h a s o f t e n b e e n t a k e n t o b e t h e b a s i c

l o g i c . S o m e t i m e s i t h a s e v e n b e e n c l a i m e d t h a t i t i s t h e l o g i c o fo r d i n a r y l a n g u a g e . F r e g e t h o u g h t t h a t h i s i s a u n i v e r -s a l " c o n c e p t u a l n o t a t i o n " o r m a t h e s i s u n i v e r s a l i s i n L e i b n i z ' s s e n s e .

F r e g e , a n d m o s t o f h i s f o l l o w e r s , h a v e p r e s e n t e d f i r s t - o r d e r l a n -g u a g e s a s r e s u l t i n g f r o m a m i n o r r e g i m e n t a t i o n o f o r d i n a r y l a n -




g u a g e , i n v o l v i n g m o s t l y t h e e l i m i n a t i o n o f t h e u n f o r t u n a t e a m b i -g u i t i e s a n d o t h e r i m p e r f e c t i o n s w h i c h b e s e t t h e u n p u r i f i e d l a n g u a g eo f o u r t r i b e . A d m i t t e d l y , F r e g e ' s l o g i c i s n o t a p u r e f i r s t - o r d e r l o g i c ,b u t i t c o n t a i n s h i g h e r - o r d e r i n g r e d i e n t s . B u t s i n c e h e c a n b e s h o w nt o h a v e a s s u m e d a n o n s t a n d a r d i n t e r p r e t a t i o n o f t h e h i g h e r - o r d e rp a r t o f h i s l o g i c , h e m i g h t a s w e l l h a v e c o n s t r u e d h i s m a t h e s i su n i v e r s a l i s a s a m a n y - s o r t e d f i r s t - o r d e r l a n g u a g e ( s e e H i n t i k k a a n dS a n d u 1 9 9 1 ) . M o r e o v e r , i t w i l l i n a n y c a s e b e s e e n i n C h a p t e r 9 t h a to n e c a n i n e f f e c t d o e v e r y t h i n g i n t h e I F f i r s t - o r d e r l o g i c t h a t c a n b ed o n e i n a h i g h e r - o r d e r l o g i c .

A m o n g o t h e r t h i n g s , i t i s i n a s e n s e a s s u m e d w i d e l y t h e s e d a y s t h a ta l l o f m a t h e m a t i c s c a n b e d o n e b y m e a n s o f o r d i n a r y f i r s t - o r d e r l o g i cf o r i t i s w i d e l y b e l i e v e d t h a t a l l m a t h e m a t i c s c a n b e d o n e i n t e r m s o fa n a x i o m a t i c s e t t h e o r y . M o r e o v e r , t h i s a x i o m a t i z a t i o n i s t y p i c a l l yt a k e n t o b e a f i r s t - o r d e r o n e . T h i s m e a n s t h a t t h e o n l y l o g i c i ti n v o l v e s i s t h e u s u a l f i r s t - o r d e r l o g i c . T h e o t h e r e l e m e n t s , i n c l u d i n gt h e a x i o m s , a r e a c c o r d i n g t o t h i s v i e w s p e c i f i c a l l y m a t h e m a t i c a lr a t h e r t h a n l o g i c a l , t h u s l e a v i n g f i r s t - o r d e r l o g i c a s t h e o n l y l o g i c o f

m a t h e m a t i c s .M o r e o v e r , F r e g e ' s ( a n d h i s f o l l o w e r s ' ) c l a i m t h a t o r d i n a r y f i r s t -

o r d e r l o g i c i s o u r t r u e S p r a c h i o g i k s e e m s t o b e s u p p o r t e d b yC h o m s k i a n l i n g u i s t i c s . C h o m s k y ' s r e c e n t v e r s i o n o f t h e o l d i d e a o fl o g i c a l f o r m , t e a s i n g l y c a l l e d j u s t L F , i s e s s e n t i a l l y l i k e a f o r m u l a o ff i r s t - o r d e r l o g i c ( s e e h e r e , e . g . , C h o m s k y 1 9 8 6 a n d c f . H i n t i k k a 1 9 8 9 ) .T h e f e w s t e p s b e y o n d o r d i n a r y f i r s t - o r d e r l o g i c t h a t C h o m s k y o r h i s

f o l l o w e r s h a v e t a k e n g o u n s u r p r i s i n g l y i n t h e d i r e c t i o n o f I F f i r s t -o r d e r l o g i c .E v e n i f t h e s e a r g u m e n t s h a v e a n a u r a o f a d h o m i n e m a r o u n d t h e m ,

o t h e r s a r e r e a d i l y f o r t h c o m i n g . I n C h a p t e r 9 i t w i l l b e s e e n t h a t i na p e r f e c t l y g o o d s e n s e m o s t o f o r d i n a r y m a t h e m a t i c s c a n b e d o n e i nI F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e s . I h a v e s h o w n e a r l i e r t h a t i n f o r m a t i o n a l l yi n d e p e n d e n t q u a n t i f i e r s o c c u r i n n a t u r a l l a n g u a g e s . I n t h e n e x t

c h a p t e r , i t w i l l b e s e e n t h a t n e g a t i o n b e h a v e s i n n a t u r a l l a n g u a g e s

v e r y m u c h l i k e t h e n e g a t i o n ( o r n e g a t i o n s ) o f I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e .E v e n t h o u g h s u c h a r g u m e n t s a r e s u g g e s t i v e r a t h e r t h a n b i n d i n g ,

t h e y d o s h o w a t t h e v e r y l e a s t t h e v e r y g e n e r a l i n t e r e s t o f m y t r u t hp r e d i c a t e .

P h i l o s o p h i c a l l y t h e m o s t i m p o r t a n t u p s h o t o f t h e r e s u l t s o f t h i sc h a p t e r i s u n d o u b t e d l y t h a t t h e y d i s p r o v e , o n c e a n d f o r a l l , t h e m y t ht h a t t h e n o t i o n o f t r u t h i n a s u f f i c i e n t l y s t r o n g l a n g u a g e i s i n e x p r e s -




s i b l e i n t h a t l a n g u a g e i t s e l f . A p p l i e d t o o u r a c t u a l w o r k i n g l a n g u a g e ,t h i s m y t h e n t a i l s t h e c o m p a n i o n m y t h o f t h e i n e f f a b i l i t y o f t r u t h i nt h e o r d i n a r y s e n s e o f t h e w o r d . T h e s e m y t h s a r e r e a d y t o b ed i s c a r d e d . N o t o n l y h a s i t b e e n s h o w n i n t h i s w o r k t h a t s u c ha s e l f - a p p l i c a b l e n o t i o n o f t r u t h i s p o s s i b l e i n s o m e r e c o n d i t e f o r m a ll a n g u a g e s t h e c o n s t r u c t i o n p r e s e n t e d a b o v e c a n s e r v e a s a p a r a -d i g m c a s e f o r t h e d e f i n i t i o n o f a t r u t h p r e d i c a t e f o r a n y l a n g u a g ew h o s e l o g i c c o n t a i n s I F f i r s t - o r d e r l o g i c . A n d t h i s l o g i c i s , a s I h a v ea r g u e d , n o t h i n g b u t o u r m o s t b a s i c g r o u n d - f l o o r e l e m e n t a r y l o g i c .H e n c e t h e s t r o n g s u g g e s t i o n o f w h a t h a s b e e n s e e n h e r e i s v i r t u a l l y

t h e c o n t r a r y o f t h e i n e f f a b i l i t y m y t h . A s s o o n a s y o u u n d e r s t a n d y o u ro w n l a n g u a g e a n d i t s l o g i c , y o u h a v e a l l t h a t i t t a k e s t o u n d e r -s t a n d a n d e v e n t o d e f i n e t h e c o n c e p t o f t r u t h , o r s o t h e s u g g e s t i o ng o e s .

T h i s g e n e r a l p o i n t c a n b e i l l u s t r a t e d w i t h r e f e r e n c e t o a m o r es p e c i f i c p h i l o s o p h i c a l p r o b l e m . I t m a y b e c a l l e d t h e t w o h a t s p r o b -l e m . T h e s e t w o h a t s a r e a p p a r e n t l y w o r n a t t h e s a m e t i m e b y m ys e m a n t i c a l g a m e s f o r f i r s t - o r d e r l o g i c . T h e l a n g u a g e g a m e s o f s e e k -

i n g a n d f i n d i n g a r e i n t h e f i r s t p l a c e g a m e s f o r q u a n t i f i e r s a n dp r o p o s i t i o n a l c o n n e c t i v e s . T h e p l a y e r ' s m o v e s i n t h e m a r e g o v e r n e db y t h e r u l e s t h a t c h a r a c t e r i z e t h e m e a n i n g o f q u a n t i f i e r s a n d c o n -n e c t i v e s . S e m a n t i c a l g a m e s o f t h e k i n d I h a v e d e s c r i b e d a r e t h el o g i c a l h o m e o f q u a n t i f i e r s a n d c o n n e c t i v e s .

B u t i f s o , h o w c a n t h e s e v e r y s a m e g a m e s a l s o s e r v e t o g i v e a na l t o g e t h e r d i f f e r e n t k i n d o f c o n c e p t i t s m e a n i n g , n a m e l y , t h e c o n c e p to f t r u t h — a t l e a s t t h e n o t i o n o f t r u t h a s a p p l i e d t o f i r s t - o r d e rl a n g u a g e s . H o w c a n o n e a n d t h e s a m e l a n g u a g e g a m e s e r v e t o l e n da m e a n i n g t o t w o d i f f e r e n t k i n d s o f c o n c e p t s , o n e o f w h i c h ( t h ec o n c e p t o f t r u t h ) s e e m s t o b e a m e t a l o g i c a l o n e ? T h i s t w o h a t s p r o -b l e m m i g h t a l s o b e c a l l e d W i t t g e n s t e i n ' s p r o b l e m ( c f . h e r e H i n t i k k aa n d H i n t i k k a 1 9 8 6 , C h . 1 ) . F o r W i t t g e n s t e i n i n s i s t e d t h a t y o u c a n n o t

s p e a k m e a n i n g f u l l y a n d n o n t r i v i a l l y o f t h e t r u t h o f t h e s e n t e n c e s o fa l a n g u a g e i n t h a t l a n g u a g e i t s e l f . O r , s i n c e f o r W i t t g e n s t e i n t h e r e i s

u l t i m a t e l y o n l y o n e l a n g u a g e ( " t h e o n l y l a n g u a g e t h a t I u n d e r -s t a n d " ) , w e c a n n o t s p e a k o f t r u t h n o n t r i v i a l l y , p e r i o d . W h a t l o o k sl i k e a m e t a l o g i c a l d i s c o u r s e p e r t a i n i n g t o t h e t r u t h a n d f a l s i t y o fa f r a g m e n t o f l a n g u a g e i s f o r W i t t g e n s t e i n m e r e l y a d i f f e r e n t " c a l c u -l u s , " a d i f f e r e n t l a n g u a g e b a s e d o n a d i f f e r e n t l a n g u a g e g a m e . H o w ,t h e n , c a n t h e m e a n i n g o f f i r s t - o r d e r l o g i c a l c o n s t a n t a n d t h e n o t i o no f t r u t h a s a p p l i e d t o f i r s t - o r d e r l a n g u a g e s b e c o n s t i t u t e d b y t h e




s a m e l a n g u a g e g a m e s ? D o e s n ' t s p e a k i n g o f t r u t h t a k e u s i p s o f a c t o t oa m e t a t h e o r e t i c a l l e v e l ?

A c l u e t o a n a n s w e r t o t h i s q u e s t i o n i s t h e c l o s e c o n n e c t i o n t h e r e i sb e t w e e n t h e n o t i o n s o f t r u t h a n d m e a n i n g . W h a t a s e n t e n c e s a y s i st h a t i t s t r u t h - c o n d i t i o n s a r e s a t i s f i e d . H e n c e i t i s i m p o s s i b l e t o t r y t od e t a c h t h e n o t i o n o f t r u t h a s a p p l i e d t o a q u a n t i f i c a t i o n a l s e n t e n c e t ot h e l a n g u a g e g a m e s t h a t l e n d q u a n t i f i e r s t h e i r m e a n i n g .

T h i s a n s w e r c a n b e e l a b o r a t e d f u r t h e r . F o r t h e p u r p o s e , i t i sh a n d y t o r e c a l l t h e d i s t i n c t i o n b e t w e e n d e f i n i t o r y r u l e s o f a g a m e

f r o m t h e s t r a t e g i c r u l e s o r p r i n c i p l e s g o v e r n i n g i t . T h e f o r m e r s p e c i f y

w h i c h m o v e s a r e p e r m i t t e d a n d w h i c h o n e s a r e n o t . T h e l a t t e r , t h es t r a t e g i c r u l e s , s p e c i f y w h i c h s t r a t e g i e s ( a n d a f o r t i o r i w h i c h r u l e s )a r e b e t t e r o r w o r s e t h a n o t h e r s . T h e s e v e r a l d e f i n i t o r y r u l e s o fs e m a n t i c a l g a m e s c h a r a c t e r i z e t h e m e a n i n g o f t h e d i f f e r e n t q u a n t i -f i e r s a n d p r o p o s i t i o n a l c o n n e c t i v e s . I n c o n t r a s t , w e h a v e s e e n t h a tt h e n o t i o n o f t r u t h f o r q u a n t i f i c a t i o n a l s e n t e n c e s i s t o b e c h a r a c t e r -i z e d i n t e r m s o f t h e s e t s o f s t r a t e g i e s t h a t a r e o p e n t o t h e i n i t i a lv e r i f i e r t o u s e . T h u s t h e s t e p f r o m t h e m e a n i n g s o f q u a n t i f i e r s t o t h e

t r u t h o f q u a n t i f i c a t i o n a l s e n t e n c e s i s n o t a s t e p t o a m e t a l o g i c a ll e v e l . I t i s , r a t h e r , a s t e p f r o m c o n s i d e r a t i o n s p e r t a i n i n g t o t h ep a r t i c u l a r m o v e s i n a s e m a n t i c a l g a m e t o c o n c e p t s p e r t a i n i n g t ot h e s t r a t e g i e s o f t h e i n i t i a l v e r i f i e r i n t h o s e g a m e s .

T h e r e a s o n w h y i t i s i m p o s s i b l e t o d e t a c h t h e m e a n i n g o f q u a n t i -f i e r s f r o m t h e n o t i o n o f t r u t h i s t h a t s o m e d e g r e e o f t h e m a s t e r y o f t h e

s t r a t e g i e s o f a g a m e i s u n a v o i d a b l e f o r t h e u n d e r s t a n d i n g o f a g a m e .

I f y o u o n l y k n o w h o w c h e s s m e n a r e m o v e d o n t h e b o a r d y o u c a n n o ta s m u c h a s s a y t h a t y o u k n o w h o w t o p l a y c h e s s , u n l e s s y o u h a v es o m e i d e a o f t h e b e t t e r a n d t h e w o r s e m o v e s a n d s e q u e n c e s o f m o v e s .N o o n e w o u l d d e i g n t o p l a y c h e s s w i t h y o u . T h i s i l l u s t r a t e s t h e f a c tt h a t s o m e d e g r e e o f u n d e r s t a n d i n g o f t h e s t r a t e g i e s o f a g a m e i s a ni n t e g r a l p a r t o f t h e c o n c e p t u a l m a s t e r y o f t h a t g a m e .

B u t i f s o , w e t h e n h a v e h e r e a n e x a m p l e o f t h e g e n e r a l i n s i g h tm e n t i o n e d a b o v e . U n d e r s t a n d i n g a q u a n t i f i c a t i o n a l l a n g u a g e

m e a n s m a s t e r i n g t h e l a n g u a g e g a m e s t h a t g i v e q u a n t i f i e r s t h e i rm e a n i n g . N o w , s u c h m a s t e r y w a s j u s t s e e n t o i n v o l v e a g r a s p o f t h es t r a t e g i e s a v a i l a b l e t o t h e p l a y e r s o f a s e m a n t i c a l g a m e . B u t t h o s es t r a t e g i e s a r e j u s t w h a t i s n e e d e d t o u n d e r s t a n d t h e c o n c e p t o f t r u t ha s a p p l i e d t o q u a n t i f i c a t i o n a l l a n g u a g e s .

O n e o f t h e m a i n f e a t u r e s o f t h e t r u t h p r e d i c a t e p r e s e n t e d h e r e i st h a t i t i s i n f i r s t - o r d e r t e r m s . A s w a s p o i n t e d o u t p r e v i o u s l y , T a r s k i -




t y p e t r u t h d e f i n i t i o n s a r e o f a s e c o n d - o r d e r f o r m . T h e r e a s o n w h yt h i s m a k e s a c r u c i a l d i f f e r e n c e t o t h e f o u n d a t i o n s o f l o g i c a n d m a t h e -

m a t i c s w a s e x p l a i n e d i n C h a p t e r 1 . I t w a s e x p l a i n e d t h e r e i n w h a ts e n s e a l l m o d e l t h e o r y d e p e n d s o n t r u t h d e f i n i t i o n s . A s l o n g a s t h e s ed e f i n i t i o n s c a n o n l y b e g i v e n o n s e c o n d - o r d e r l e v e l , t h e n m o d e l t h e o r yd e p e n d s o n s e c o n d - o r d e r l o g i c . A n d e v e n i f s e c o n d - o r d e r l o g i c i s n o tm e r e l y " s e t t h e o r y i n s h e e p ' s c l o t h i n g " , i t s t i l l a d m i t t e d l y i n v o l v e sm a n y o f t h e s a m e p r o b l e m s o f s e t e x i s t e n c e t h a t m a k e s s e t t h e o r y n o to n l y a d i f f i c u l t b u t p o s i t i v e l y f r u s t r a t i n g e x e r c i s e .

A g a i n s t t h i s b a c k d r o p , o n e c a n s e e t h e s i g n i f i c a n c e o f m y t r u t h

p r e d i c a t e . I t i s n o t h i n g m o r e a n d n o t h i n g l e s s t h a n t h e d e c l a r a t i o n o fi n d e p e n d e n c e o f m o d e l t h e o r y . I t s h o w s t h a t o n e c a n d e v e l o p a m o d e l

t h e o r y f o r t h e p o w e r f u l I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e s o n t h e f i r s t - o r d e r l e v e l ,e r g o i n d e p e n d e n t l y o f a l l q u e s t i o n s o f s e t s a n d s e t e x i s t e n c e . A l l t h eq u a n t i f i e r s i n t h e I F f i r s t - o r d e r v e r s i o n o f m y t r u t h p r e d i c a t e r a n g eo v e r i n d i v i d u a l s . I f Q u i n e i s r i g h t ( a s I t h i n k h e i s , i f r i g h t l yu n d e r s t o o d ) a n d t o b e i s t o b e a v a l u e o f a q u a n t i f i e d v a r i a b l e , t h e no u r t r u t h d e f i n i t i o n ( a n d i n d e e d t h e e n t i r e I F f i r s t - o r d e r l o g i c ) d o e s

n o t t a k e u p t h e q u e s t i o n o f t h e e x i s t e n c e o f h i g h e r - o r d e r e n t i t i e s l i k es e t s a t a l l . C o n s e q u e n t l y , a l l a p p r e h e n s i o n s c o n c e r n i n g t h e p u r e l yl o g i c a l s t a t u s o f m o d e l t h e o r y a r e g r o u n d l e s s . M o d e l t h e o r y o ff i r s t - o r d e r l o g i c i s p a r t o f l o g i c , a n d n o t a p r o p e r p a r t o f m a t h e m a -t i c s . T h e p r o b l e m s w h i c h a r e c a u s e d b y t h e a p p a r e n t d e p e n d e n c e o ft h e m o d e l t h e o r y o f f i r s t - o r d e r l o g i c o n s e t t h e o r y ( o r o n h i g h e r -o r d e r l o g i c ) c a n t h u s b e s o l v e d , a n d T a r s k i ' s c u r s e b e e x o r c i s e d . T h i s

m a k e s a s u b s t a n t i a l d i f f e r e n c e t o t h e f o u n d a t i o n s o f m a t h e m a t i c s . I fy o u r e t u r n t o C h a p t e r 5 a n d r e v i e w w h a t w a s f o u n d t h e r e , y o u c a ns e e i n h o w m a n y d i f f e r e n t w a y s f r e e d o m f r o m T a r s k i ' s c u r s e e n h a n -c e s t h e s e l f - s u f f i c i e n c y o f f i r s t - o r d e r l o g i c a s c o n t r a s t e d t o s e t t h e o r y .

O f c o u r s e , m y s a y i n g t h i s d o e s n o t m e a n t h a t I a d v o c a t e d o i n gm o d e l t h e o r y i n e v e r y d a y p r a c t i c e i n I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e s . T h a tw o u l d b e i m p r a c t i c a b l e . W h a t i s a t i s s u e i s t h e c o n c e p t u a l n a t u r e o fm o d e l t h e o r y a n d n o t t h e h e u r i s t i c f r a m e w o r k b e s t s u i t e d f o r t h e

a c t u a l n i t t y - g r i t t y w o r k i n m o d e l t h e o r y .T h e c o n c e p t u a l i n d e p e n d e n c e o f m o d e l t h e o r y f r o m s e t t h e o r y i s

o n l y o n e a s p e c t o f a m o r e c o m p r e h e n s i v e r e e v a l u a t i o n t h a t i s n e e d e di n o u r i d e a s a b o u t t h e f o u n d a t i o n s o f l o g i c a n d m a t h e m a t i c s . T h i sr e e v a l u a t i o n w i l l b e c o n t i n u e : 1 i n C h a p t e r 8 .

T h e p h i l o s o p h i c a l a n d s u g g e s t i o n s o f t h e d e f i n a b i l -i t y o f a t r u t h p r e d i c a t e i n s u i t a b l e I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e s a r e t o o




s w e e p i n g t o b e e x h a u s t e d h e r e . L e t m e m e n t i o n o n l y a c o u p l e o f n e wt a c i t p e r s p e c t i v e s . S u p p o s e t h a t i t c o u l d b e s h o w n t h a t o u r o r d i n a r yl a n g u a g e ( o r s o m e s i g n i f i c a n t f r a g m e n t t h e r e o f ) i s i n e v i t a b l y l i k e I Ff i r s t - o r d e r l a n g u a g e s a s f a r a s t h e n o t i o n o f t r u t h i s c o n c e r n e d . T h i s i ss u g g e s t e d b y w h a t h a s b e e n f o u n d i n t h i s c h a p t e r , a n d i t w i l l b er e i n f o r c e d b y w h a t i s f o u n d i n C h a p t e r 7 . T h e n t h e d e f i n a b i l i t y o ft r u t h w o u l d b e e q u a l l y i n e v i t a b l e , a n d h e n c e i t c o u l d b e a r g u e d t h a tm e r e l y b y u s i n g o u r o w n l a n g u a g e w e a r e i n e x t r i c a b l y c o m m i t t e d t oa r e a l i s t i c c o n c e p t o f t r u t h , n a m e l y , t h e o n e d e f i n a b l e a l o n g t h e l i n e sI h a v e f o l l o w e d . T h i s w o u l d b e a n i m p o r t a n t c o n c l u s i o n i n d e e d .

E v e n t h o u g h i t i s b e s i d e t h e m a i n p u r p o s e o f t h i s b o o k t o e x a m i n es u c h i s s u e s h e r e a t a n y g r e a t e r l e n g t h , I c a n p o i n t o u t t h a t t h i s l i n e o ft h o u g h t p r o m i s e s t o s u p p o r t v e r y s t r o n g l y w h a t w a s s a i d a t t h e e n do f C h a p t e r 2 o f t h e i n d e p e n d e n c e o f o u r n o r m a l n o t i o n o f t r u t h f r o mt h e e p i s t e m i c i n s t i t u t i o n s o f v e r i f y i n g a n d f a l s i f y i n g p r o p o s i t i o n s .T r u t h i s i n a d e e p s e n s e a l o g i c a l r a t h e r t h a n a n e p i s t e m o l o g i c a ln o t i o n .

T o p u t t h e s a m e p o i n t i n o t h e r t e r m s , a n y o n e w h o i s u s i n g

a l a n g u a g e w i t h a m i n i m a l l y r i c h e x p r e s s i v e p o w e r ( l o g i c a l l y s p e a k -i n g ) i s c o m m i t t e d t o a c o n c e p t o f t r u t h w h i c h i n t h e c u r r e n t c r u d ec l a s s i f i c a t i o n w o u l d b e c a l l e d a c o r r e s p o n d e n c e v i e w o f t r u t h . T h i sw o u l d b e t h e c a s e e v e n i f t h a t l a n g u a g e w e r e o n l y u s e d f o r t h ep u r p o s e o f R o r t i a n d i a l o g u e s f o r d i a l o g u e ' s s a k e . A n y s u f f i c i e n t l ys t r o n g l a n g u a g e w o u l d b e a m i r r o r o f t h e w o r l d , R o r t y n o t w i t h -s t a n d i n g .

N o t e s

T h e o n l y b o o k - l e n g t h d i s c u s s i o n o f T a r s k i ' s t r u t h - d e f i n i t i o n s e e m s t o b e M o r e n o( 1 9 9 2 ) . I t s u p p l i e s f u r t h e r r e f e r e n c e s t o t h e l i t e r a t u r e .

2 S e e W a l k o e ( 1 9 7 0 ) .

F o r i n f i n i t e l y d e e p l a n g u a g e s , s e e t h e b i b l i o g r a p h y i n t h e i n t r o d u c t i o n t o T u u r i( 1 9 9 0 ) . F o r g a m e q u a n t i f i e r l a n g u a g e s , s e e P h . G . K o l a i t i s , " G a m e Q u a n t i f i c a -t i o n " , C h a p t e r 1 0 i n B a r w i s e a n d F e f e r m a n ( 1 9 8 5 ) .



8

A x i o m a t i c S e t T h e o r y :F r a e n k e l s t e i n ' s M o n s t e r ?

T h e b a c k b o n e o f t h e a p p r o a c h t o t h e f o u n d a t i o n s o f m a t h e m a t i c sd e v e l o p e d i n t h i s b o o k i s g a m e - t h e o r e t i c a l s e m a n t i c s a n d t h e n e wl o g i c i t h a s i n s p i r e d , t h e i n d e p e n d e n c e - f r i e n d l y l o g i c . I n t h e p r e c e d -i n g c h a p t e r s , G T S h a s o p e n e d n e w p e r s p e c t i v e s i n s e v e r a l d i r e c t i o n s .I F l o g i c w a s s e e n t o p u t t h e w h o l e a r r a y o f q u e s t i o n s c o n c e r n i n g

c o m p l e t e n e s s a n d i n c o m p l e t e n e s s i n l o g i c a s w e l l a s i n m a t h e m a t i c si n a n e w l i g h t . I t f r e e s t h e m o d e l t h e o r y o f t h e f e t t e r s o f s e t t h e o r y b y

f a c i l i t a t i n g t h e f o r m u l a t i o n o f a t r u t h p r e d i c a t e f o r a s u i t a b l e I Ff i r s t - o r d e r l a n g u a g e i n t h e l a n g u a g e i t s e l f . F u r t h e r m o r e , i n I F f i r s t -o r d e r l a n g u a g e s t h e i m p o r t a n t i d e a o f n e g a t i o n t u r n s o u t t o b e h a v ei n a n u n e x p e c t e d w a y , t h e r e b y s u g g e s t i n g t h a t t h e s a m e m i g h t b et r u e o f n a t u r a l l a n g u a g e s . B u t e v e n a f t e r a l l t h e s e r e s u l t s m a n yi m p o r t a n t q u e s t i o n s s t i l l r e m a i n u n a n s w e r e d , i n c l u d i n g c o m p a r a -

t i v e o n e s . I F l o g i c m a y h a v e s o m e a d v a n t a g e s a s a f r a m e w o r k o fm a t h e m a t i c a l t h e o r i z i n g , b u t w h a t h a s b e e n s e e n s c a r c e l y s e e m s t o

a f f e c t t h e v i r t u a l m o n o p o l y o f s e t t h e o r y i n t h a t d e p a r t m e n t . A d m i t -t e d l y , t h e r e i s n o l o n g e r a n y n e e d t o r e s o r t t o s e t t h e o r y o r e v e nt o h i g h e r - o r d e r l o g i c f o r t h e p u r p o s e o f d o i n g m o d e l t h e o r y o ff i r s t - o r d e r l o g i c . B u t t h i s r e l a t i v e s e l f - s u f f i c i e n c y o f I F f i r s t - o r d e r

l a n g u a g e s d o e s n o t p r o v e t h e i r s u p e r i o r i t y o v e r s e t - t h e o r e t i c a l l a n -

g u a g e s . O n t h e c o n t r a r y , s e t t h e o r y i s s t i l l t h e m e d i u m o f c h o i c e f o rm a n y m a t h e m a t i c i a n s , p h i l o s o p h e r s a n d l o g i c i a n s f o r m o d e l -t h e o r e t i c a l t h e o r i z i n g . I n t h i s c h a p t e r , i t w i l l b e a r g u e d t h a t t h i sp r i v i l e g e d r o l e o f a x i o m a t i c f i r s t - o r d e r s e t t h e o r y b e c o m e s e x t r e m e l yd u b i o u s i n t h e l i g h t o f t h e i n s i g h t s t h a t t h e g a m e - t h e o r e t i c a la p p r o a c h h a s y i e l d e d , a n d w i l l y i e l d .

1 6 3




I t s e e m s t o m e t h a t h i s t o r y i s v e r y m u c h o n m y s i d e . T h i s r o l e o f s e tt h e o r y a s u n i v e r s a l m a t h e m a t i c s g o e s b a c k t o t h e f o u n d i n g f a t h e r s o fs e t t h e o r y . C a n t o r t h o u g h t t h a t a n y s t r u c t u r e c o u l d i n p r i n c i p l e b ed e a l t w i t h i n s e t t h e o r y ( s e e D a u b e n 1 9 7 9 , p p . 2 2 9 — 2 3 0 ) . T h i s w a s n o th i s p r i v a t e t h e o r y , e i t h e r . S e t t h e o r y w a s t h o u g h t o f a s p r o v i d i n gm o d e l s f o r a l l p o s s i b l e m a t h e m a t i c a l t h e o r i e s . O n e c o n t e x t i n w h i c ht h e r e i s a n e e d f o r d i f f e r e n t k i n d s o f m o d e l s i s c r e a t e d b y v a r i o u s

c o n s i s t e n c y p r o o f s . B e l t r a m i a n d F e l i x K l e i n h a d i m p r e s s e d t h em a t h e m a t i c a l w o r l d b y p r e s e n t i n g a c o n s i s t e n c y p r o o f f o r a n a x i o m -a t i c n o n - E u c l i d e a n p l a n e g e o m e t r y r e l a t i v e t o t h e E u c l i d e a n o n e .

T h e y h a d c o n s t r u c t e d a m o d e l f o r a n o n E u c l i d e a n g e o m e t r y w i t h i na m o d e l o f t h e E u c l i d e a n o n e ( c f . T o r r e t t i 1 9 7 8 , p p . 1 1 5 — 1 4 2 ) . B u to t h e r v a r i e t i e s o f n o n - E u c i d e a n g e o m e t r y d i d n o t a d m i t s u c h m o d e l s .W h e r e , t h e n , c a n w e f i n d t h e m o d e l s t h a t s e r v e t o s h o w t h e c o n s i s t e n c y

o f s u c h g e o m e t r y ? I n s e t t h e o r y , i t w a s t h o u g h t . T h i s i s t h e r e a s o n w h yC a n t o r i a n s e t t h e o r y s e e m e d a v e r i t a b l e p a r a d i s e t o D a v i d H u b e r t( 1 9 2 5 , p . 1 7 0 ) w h o w a s l o o k i n g f o r c o n s i s t e n c y p r o o f s f o r a l l a n ds u n d r y m a t h e m a t i c a l t h e o r i e s . F o r A r i s t o t l e , t h e h a n d w a s t h e t o o l o f

a l l t o o l s a n d t h e s o u l t h e f o r m o f a l l f o r m s . I n a s i m i l a r m a n n e r , f o r t h ec r e a t o r s o f s e t t h e o r y t h i s t h e o r y w a s c a l c u l a t e d t o g i v e u s t h e m o d e l o f

a l l m o d e l s . I n d e e d , i n H u b e r t ' s t h i n k i n g , b e s i d e s t h e u n i v e r s e o f d i s -c o u r s e o f s o m e o n e m a t h e m a t i c a l t h e o r y w h i c h w e m i g h t b e c o n s i d e r -i n g , w e a l s o h a v e t o k e e p a n e y e o n a m o r e e x t e n s i v e d o m a i n , n a m e l y ,t h e u n i v e r s e o f a l l p o s s i b l e s t r u c t u r e s . W h e n H u b e r t s o m e t i m e s s e e m e d

t o i n f e r e x i s t e n c e f r o m c o n s i s t e n c y , i n c i d e n t a l l y u p s e t t i n g p o o r F r e g e n o

e n d , h e m e a n t e x i s t e n c e i n t h e s u p e r - u n i v e r s e o f a l l s t r u c t u r e s . 1I n t h e c o u r s e o f t h e s u b s e q u e n t d e v e l o p m e n t o f a x i o m a t i c s e t

t h e o r y , t h i s i d e a o f t h e u n i v e r s a l i t y o f t h e u n i v e r s e o f s e t t h e o r y w a sn e v e r t h e l e s s l o s t . T h e g e n e s i s o f a x i o m a t i c s e t t h e o r y w a s i n e f f e c t a na t t e m p t t o m a k e s u r e , n o t t h a t t h e u n i v e r s e o f s e t t h e o r y c o n t a i n s a l lp o s s i b l e s t r u c t u r e s b u t o n l y t h a t i t c o n t a i n s a l l s t r u c t u r e s r e p r e s e n t -a b l e i n t h e l a n g u a g e o f s e t t h e o r y . I n t h e s i m p l e s t c a s e , t h i s m e a n st r y i n g t o c a p t u r e i n t h e u n i v e r s e o f o n e ' s s e t t h e o r y a l l s e t s ( t h a t i s , a l l

s u b s e t s o f t h e d o m a i n o f i n d i v i d u a l s ) d e f i n a b l e i n t h e s e t t h e o r y i nq u e s t i o n r a t h e r t h a n a l l s e t s , p e r i o d . T h i s i s i l l u s t r a t e d b y t h e r o l e o ft h e c o m p r e h e n s i o n a x i o m o r c o m p r e h e n s i o n s c h e m a i n t h e a x i o m -a t i c v e r s i o n o f s e t t h e o r y . T h i s a x i o m s c h e m a c a n b e e x p r e s s e d i n i t su n r e s t r i c t e d f o r m a s

( 8 . 1 )



A X I O M A T I C S E T T H E O R Y 1 6 5

w h e r e S [ x ] i s a n y w e l l - f o r m e d f o r m u l a i n t h e l a n g u a g e o f s e t t h e o r yw i t h x a s i t s o n l y f r e e v a r i a b l e . T h e p a r a d o x e s f o r c e d s e t t h e o r i s t s t og i v e u p t h e u n r e s t r i c t e d f o r m o f ( 8 . 1 ) . I t c a n n e v e r t h e l e s s b e s a i d t h a ts e t t h e o r i s t s h a v e t r i e d t o c a p t u r e a s m a n y s e t s a s p o s s i b l e b y m e a n s

o f . ( s u i t a b l y r e s t r i c t e d f o r m s o f ) t h e c o m p r e h e n s i o n s c h e m a ( 8 . 1 ) .T h e y h a v e t r i e d t o i m p o s e a s f e w r e s t r i c t i o n s o n i t a s i s d e e m e d s a f e .T h e s c h e m e ( 8 . 1 ) h a s t h u s b e e n t h e i r m a i n t o o l i n i n v e s t i g a t i n g t h ed i f f i c u l t p r o b l e m s o f s e t e x i s t e n c e . I n t y p i c a l a x i o m s y s t e m s o f s e tt h e o r y , a l l a x i o m s o f s e t e x i s t e n c e a r e s p e c i a l c a s e s o f ( 8 . 1 ) , w i t h o n ee x c e p t i o n . T h i s e x c e p t i o n i s t h e a x i o m o f c h o i c e , w h i c h h a s b e e n

a r g u e d ( a n d w i l l b e a r g u e d ) i n t h i s b o o k t o b e u n p r o b l e m a t i c . Y e t ,e v e n i f w e c o u l d l o o k a w a y f r o m t h e r e s t r i c t i o n s t h a t a r e n e e d e d i n( 8 . 1 ) , w e c a n n o t c a p t u r e b y i t s m e a n s a l l t h e s e t s w e a r e c o n s i d e r i n g —

t h a t i s , a l l s u b s e t s o f t h e d o m a i n o f i n d i v i d u a l s o f t h e i n t e n d e d m o d e lo f a x i o m a t i c s e t t h e o r y . T h u s t h e p a r a d o x e s o f s e t t h e o r y w h i c h h a v en e c e s s i t a t e d r e s t r i c t i o n s i n t h e c o m p r e h e n s i o n a x i o m a r e o n l ya p a r t a n d t h e e a s i e r p a r t — o f t h e p r o b l e m o f c o n s t r u c t i n g a na d e q u a t e s e t t h e o r y . T h e m o r e d i f f i c u l t p a r t i s t o c a p t u r e t h e s e t s

n o t r e p r e s e n t a b l e b y e x p l i c i t f o r m u l a s o f o n e ' s s e t - t h e o r e t i c a l l a n -g u a g e .

T h e r e i s a s e n s e i n w h i c h t h e u s e o f t h e c o m p r e h e n s i o n a x i o m ( 8 . 1 )i s b a s e d o n a f a l l a c y , o r a t l e a s t o n d a t e d a s s u m p t i o n s . T h e r i c h n e s st h a t t h e u n i v e r s e o f s e t t h e o r y w a s o r i g i n a l l y t h o u g h t o f a s h a v i n gw a s m o d e l - t h e o r e t i c a l i n n a t u r e , a s w a s s e e n e a r l i e r . I n c o n t r a s t , t h ec o m p r e h e n s i o n a x i o m ( 8 . 1 ) i s a n a x i o m a t i c a n d s y n t a c t i c d e v i c e t o

e n f o r c e a s m u c h r i c h n e s s i n t h e u n i v e r s e o f o n e ' s s e t t h e o r y a sp o s s i b l e . I t i s p e r h a p s u n d e r s t a n d a b l e t h a t Z e r m e l o s h o u l d h a v et h o u g h t i n 1 9 0 8 t h a t h e c o u l d e n f o r c e m o d e l - t h e o r e t i c a l p l e n i t u d e b ya x i o m a t i c m e a n s . B u t n o o n e w h o h a s i n t e r n a l i z e d G ö d e l ' s i n c o m -p l e t e n e s s r e s u l t s c a n r e a s o n a b l y h o p e t o d o s o a n y l o n g e r .

T h i s m a t t e r c a n b e l o o k e d a t f r o m a n o t h e r p o i n t o f v i e w . T h ec o n t r a s t w e h a v e f o u n d b e t w e e n t h e o r i g i n a l C a n t o r i a n " n a i v e " s e tt h e o r y a n d a x i o m a t i c s e t t h e o r y i s c l e a r l y r e l a t e d t o t h e d i s t i n c t i o n

b e t w e e n t h e s t a n d a r d a n d n o n s t a n d a r d i n t e r p r e t a t i o n o f h i g h e r -o r d e r l o g i c . T h i s d i s t i n c t i o n w a s f i r s t g i v e n t h e s e l a b e l s b y H e n k i n( 1 9 5 0 ) e v e n t h o u g h s o m e e a r l i e r t h i n k e r s , e s p e c i a l l y F r a n k R a m s e y( 1 9 2 5 ) , h a d b e e n a w a r e o f i t a n d t h o u g h i t h a d p l a y e d a n i m p o r t a n tr o l e i n e a r l i e r f o u n d a t i o n a l d i s c u s s i o n s ( s e e H i n t i k k a 1 9 9 5 a ) . I ta f f e c t s a l l h i g h e r - o r d e r q u a n t i f i e r s , b u t i t c a n b e e x p l a i n e d b yr e f e r e n c e t o a s i n g l e s e c o n d - o r d e r o n e - p l a c e p r e d i c a t e v a r i a b l e ( s e t




v a r i a b l e ) , s a y X . W h a t a r e t h e ( e x t e n s i o n s o f t h e ) v a l u e s o f s u c ha v a r i a b l e ? T h e s t a n d a r d i n t e r p r e t a t i o n s a y s t h a t t h e y a r e a l l t h es u b s e t s o f t h e d o m a i n o f i n d i v i d u a l s d o ( M ) o f t h e m o d e l M i nq u e s t i o n — t h a t i s , t h a t t h e r a n g e o f X i s t h e p o w e r s e t o f d o ( M ) . I f ,i n s t e a d o f t h i s i n t e r p r e t a t i o n , w e r e s t r i c t t h e v a l u e s o f X t o s o m ed e s i g n a t e d s u b s e t o f t h e p o w e r s e t o f d o ( M ) , w e o b t a i n a n o n s t a n -d a r d i n t e r p r e t a t i o n o f t h e v a r i a b l e X . T h e m o s t c o m m o n r e s t r i c t i o ni s t o t h e s e t s d e f i n a b l e t o t h e t h e o r y i n q u e s t i o n .

A s i m i l a r d i s t i n c t i o n c a n b e a p p l i e d t o a n y h i g h e r - o r d e r v a r i a b l e .I t i s u s u a l l y r e q u i r e d t h a t t h e s e t o f d e s i g n a t e d s e t s ( o f a n y l o g i c a l

t y p e ) i s c l o s e d w i t h r e s p e c t t o B o o l e a n o p e r a t i o n s a n d p r o j e c t i v e( q u a n t i f i c a t i o n a l ) o n e s . W h e n I s p e a k o f t h e d e s c r i p t i v e c o m p l e t e -n e s s o f a x i o m a t i c s e t t h e o r y , i t i s o f c o u r s e b y r e f e r e n c e t o s o m e k i n do f s t a n d a r d i n t e r p r e t a t i o n . H o w e v e r , t h e a n a l o g y b e t w e e n t h e d i f f e r -e n t i n t e r p r e t a t i o n s o f s e t t h e o r y a n d t h e d i f f e r e n t i n t e r p r e t a t i o n s ( i . e . ,t h e s t a n d a r d v s . n o n s t a n d a r d c o n t r a s t ) o f h i g h e r - o r d e r l o g i c i s n o tp e r f e c t . T h e s t a n d a r d v e r s u s n o n s t a n d a r d d i s t i n c t i o n c a n b e o n l yl o c a l l y a p p l i e d t o m o d e l s o f a x i o m a t i c s e t t h e o r y . W e c a n s p e a k o f

s t a n d a r d n e s s l o c a l l y , f o r i n s t a n c e , i n c o n n e c t i o n w i t h a g i v e n s e t , b yr e f e r e n c e t o t h e q u e s t i o n a s t o w h e t h e r a l l i t s ( e x t e n s i o n a l l y p o s s i b l e )s u b s e t s a r e r e p r e s e n t e d i n s o m e g i v e n m o d e l o f o n e ' s a x i o m s y s t e mf o r s e t t h e o r y , o r t o t h e q u e s t i o n w h e t h e r t h e s e t o f n a t u r a l n u m b e r sa s r e c o n s t r u c t e d i n a x i o m a t i c s e t t h e o r y c o n t a i n s o n l y " s t a n d a r d "n a t u r a l n u m b e r s . I n c o n t r a s t , t h e e n t i r e s e t - t h e o r e t i c a l u n i v e r s e i si n e v i t a b l y n o n s t a n d a r d . E i t h e r t h e s e t o f a l l s e t s o r i t s p o w e r s e t f a i l s

t o e x i s t , t h o u g h b o t h a r e e x t e n s i o n a l l y p o s s i b l e a n d h e n c e o u g h t t oe x i s t i n a s t a n d a r d m o d e l .W h a t w a s p o i n t e d o u t i s t h a t a n o r d i n a r y f i r s t - o r d e r a x i o m a t i c s e t

t h e o r y c a n n o t g u a r a n t e e f u l l s t a n d a r d n e s s . I n t h i s s e n s e , a x i o m a t i cs e t t h e o r y f a i l s i n i t s a t t e m p t t o r e c o v e r t h e C a n t o r i a n p a r a d i s e .D i f f e r e n t v e r s i o n s o f t h e a x i o m o f c o m p r e h e n s i o n i n e v i t a b l y f a i l t od o t h e i r i n t e n d e d j o b o f c a p t u r i n g a l l t h e s e t s t h a t w e w o u l d l i k e t oi n c l u d e i n t h e u n i v e r s e o f s e t t h e o r y , n o t b e c a u s e t h e y a r e n o t t h e

r i g h t f o r m u l a t i o n s o f t h e a x i o m , b u t b e c a u s e t h e y a r e f i r s t - o r d e ra x i o m s . A s a c o n s e q u e n c e , a x i o m a t i c s e t t h e o r y i s i n e v i t a b l y i n c o m -p l e t e d e s c r i p t i v e l y . A n d s i n c e i t u s e s f i r s t - o r d e r l o g i c , w h i c h i ss e m a n t i c a l l y c o m p l e t e , s e t t h e o r y i s a l s o d e d u c t i v e l y i n c o m p l e t e . ( I fy o u h a v e n o t t h o u g h t o f t h i s i n c o m p l e t e n e s s b e f o r e , r e c a l l t h a t y o u

c a n d o e l e m e n t a r y n u m b e r t h e o r y b y m e a n s o f a x i o m a t i c s e t t h e o r y ,a n d t h e n a p p l y G ö d e l ' s i n c o m p l e t e n e s s t h e o r e m . ) T h e c r u c i a l q u e s -




t i o n i s : H o w s e r i o u s i s t h i s f a i l u r e ? A r e l a t e d q u e s t i o n t h a t a r i s e s h e r ei s : W h y b o t h e r w i t h a n u n a v o i d a b l y i n c o m p l e t e t h e o r y ? T h e m o s tr e s p e c t a b l e p r i m a f a c i e r e a s o n t h a t I c a n s e e t o c u l t i v a t e i n c o m p l e t ea x i o m a t i c s e t t h e o r y i s t o t h i n k o f i t a s a n a p p r o x i m a t i o n t o t h e r e a lt h i n g , a n a p p r o x i m a t i o n w h i c h c a n b e m a d e c l o s e r a n d c l o s e r b y t h ea d d i t i o n o f n e w a x i o m s . T h i s w a y o f t h i n k i n g n e v e r t h e l e s s i n v o l v e sa s e r i o u s m i s t a k e . T o s p e a k o f a p p r o x i m a t i o n s p r e s u p p o s e s t h a tt h e r e i s s o m e t h i n g t o a p p r o x i m a t e . A n d t h e l a c k o f a s t a n d a r d m o d e lo f a x i o m a t i c s e t t h e o r y m e a n s t h a t t h e r e i s a p p a r e n t l y n o t h i n g t oa p p r o x i m a t e . W e h a v e n o u n p r o b l e m a t i c a l l y c l e a r i d e a o f w h a t t h e

i n t e n d e d m o d e l s o f s e t t h e o r y a r e . H e n c e i t m a k e s n o s e n s e t o s p e a ko f a d d i t i o n a l a x i o m s t h a t c a p t u r e t h e s t r u c t u r e o f t h e i n t e n d e dm o d e l o f s e t t h e o r y m o r e a n d m o r e c l o s e l y .

T h i s p o i n t i s w o r t h s p e l l i n g o u t m o r e f u l l y . A c o m p a r i s o n b e t w e e ns e t t h e o r y a n d n o r m a l m a t h e m a t i c a l t h e o r i e s m a y b e i n s t r u c t i v e .W h e n i t c o m e s t o m a n y o t h e r t h e o r i e s w e o f t e n h a v e a g o o d i d e a o fw h a t t h e r e l e v a n t m o d e l s a r e — f o r i n s t a n c e , w h a t t h e s t r u c t u r e s a r et h a t a r e e x h i b i t e d b y n a t u r a l n u m b e r s , b y r e a l n u m b e r s , b y t h e

s e c o n d n u m b e r c l a s s , a n d s o f o r t h . W e k n o w w h a t t h e d i f f e r e n ts t r u c t u r e s a r e t h a t w e w a n t t o s t u d y i n g r o u p t h e o r y , l a t t i c e t h e o r y o rt o p o l o g y . I n c o n t r a s t , w e d o n o t h a v e a s h a r p i d e a o f w h a t t h e m o d e lo f s e t t h e o r y i n t e n d e d b y C a n t o r a n d h i s c o n t e m p o r a r i e s i s l i k e . T h i su n c e r t a i n t y i s p a r t l y a c o n s e q u e n c e o f t h e p a r a d o x e s t h a t a r o s e i ne a r l y s e t t h e o r i e s . I t i s u s u a l l y f o r m u l a t e d b y s p e a k i n g o f t h ed i f f i c u l t y o f d e c i d i n g w h i c h a x i o m s w e s h o u l d a d o p t i n a n a x i o m a t i cs e t t h e o r y . T h i s d i a g n o s i s n e v e r t h e l e s s d e a l s w i t h t h e s y m p t o m s o ft h e p r o b l e m r a t h e r t h a n w i t h t h e i r c a u s e . T h e r e c a n n o t e x i s t a c o m -p l e t e f i r s t - o r d e r a x i o m s y s t e m f o r s e t t h e o r y , a n y w a y . H e n c e t h ef o c u s o f a t t e n t i o n s h o u l d b e o n t h e p r i n c i p l e s o f l o o k i n g f o r n e wa x i o m s r a t h e r t h a n t h e j u s t i f i c a t i o n o f a n y p a r t i c u l a r c a n d i d a t e s . F o ri n s t a n c e , t h e i d e a t h a t s e t - t h e o r e t i c a l a x i o m s c a n b e c o m p a r e d w i t he a c h o t h e r i n t e r m s o f t h e " n a t u r a l n e s s " o f t h e i r c o n s e q u e n c e s i st h e o r e t i c a l l y v e r y s h a l l o w . H o w d o t h e p e o p l e w h o a d v o c a t e t h i s

i d e a k n o w t h a t n a t u r a l n e s s i s n o t i n t h e e y e o f t h e s e t t h e o r i s t , a n di n s e n s i t i v e t o t h e m o d e l - t h e o r e t i c a l r e a l i t i e s o f t h e s i t u a t i o n ? I n s t e a d

o f r e l y i n g o n s u c h i n t u i t i o n s , w e m u s t r e a l i z e t h a t t o h a v e s o m e i d e ao f w h a t a x i o m s a r e s u p p o s e d t o h o l d i n s e t t h e o r y i s i n e f f e c t t o k n o w

s o m e t h i n g a b o u t w h a t t h e i n t e n d e d m o d e l s o f s e t t h e o r y a r e l i k e .A n d s u c h k n o w l e d g e i s p r e c i s e l y w h a t p h i l o s o p h e r s d o n o t h a v e , a tl e a s t n o t w i t h s u f f i c i e n t c l a r i t y .




O n e r e p l y t h a t I w i l l i n e v i t a b l y r e c e i v e i s t h a t t h e c u m u l a t i v eh i e r a r c h y o f s e t s p r o v i d e s t h e i n t e n d e d m o d e l I c l a i m t o b e m i s s i n gf r o m t h e f o u n d a t i o n s o f s e t t h e o r y ( f o r a b l e e x p o s i t i o n s o f t h i sc o n c e p t i o n o f s e t , s e e B o o l o s 1 9 7 1 a n d P a r s o n s 1 9 7 7 ) . A c c o r d i n g t ot h i s i d e a , t h e u n i v e r s e o f s e t t h e o r y i s b u i l t u p b y a s t e p - b y - s t e p ( b u ti n f i n i t e ) p r o c e s s . A t e a c h s t a g e , t h e n e w s e t s t h a t a r e i n t r o d u c e d a r ea l l p o s s i b l e c o l l e c t i o n s o f s e t s a l r e a d y r e a c h e d .

T h e r e j o i n d e r t o t h i s o b j e c t i o n i s t h a t t h e c u m u l a t i v e h i e r a r c h y i sn o t b y a n y s t r e t c h o f t h e i m a g i n a t i o n w h a t t h e a r c h i t e c t s o f s e tt h e o r y h a d i n m i n d . T h e i r i d e a o f t h e s e t - t h e o r e t i c a l u n i v e r s e i s t h a t i t

i s t h e r i c h e s t p o s s i b l e o n e . W h a t e v e r c a n e x i s t d o e s e x i s t i n t h e r i c ha n d p l e n t i f u l w o r l d o f s e t t h e o r y . L i k e t h e L o v e j o y f u l g o d w h o i s s og e n e r o u s t h a t h e g r a n t s t h e g i f t o f e x i s t e n c e t o e v e r y t h i n g t h a t c a np o s s i b l y e x i s t , a C a n t o r i a n s e t t h e o r i s t i s e x p e c t e d t o a s s u m e t h a t a l lp o s s i b l e s e t s a r e p r e s e n t i n h i s u n i v e r s e o f a l l s e t s ( c f . D a u b e n 1 9 7 9 ,p p . 2 2 5 — 2 3 6 ; L o v e j o y 1 9 3 6 ) .

Y e t t h e c u m u l a t i v e h i e r a r c h y i s o n t o l o g i c a l l y s t i n g y . I t m a y b ec o m p a r e d t o G ö d e l ' s c o n s t r u c t i v e m o d e l o f s e t t h e o r y ( G ö d e l 1 9 4 0 )

e v e n t h o u g h i t i s n o t i d e n t i c a l w i t h G ö d e l ' s . A n d t h e m a i n v i r t u e o fG ö d e l ' s m o d e l i s o n t o l o g i c a l e c o n o m y . A l l s e t s e x i s t i n g i n t h a t m o d e l

a r e o b t a i n e d b y a n a r r o w l y d e f i n e d c o n s t r u c t i o n p r o c e s s , w h i c h c a nb e d e s c r i b e d i n s e t t h e o r y i t s e l f . T h e f a m o u s a x i o m o f c o n s t r u c t i b i l i t ys a y s t h a t t h i s p r o c e s s e x h a u s t s t h e e n t i r e u n i v e r s e o f s e t s . T h ep r o c e d u r e f o r b u i l d i n g u p t h e c o n s t r u c t i v e h i e r a r c h y i s a m o r eg e n e r o u s o n e , b u t i t , t o o , r u l e s o u t a t r e m e n d o u s v a r i e t y o f p o t e n t i a ls e t s ( a n d t h e i r s t r u c t u r e s ) . A s H a l l e t t ( 1 9 8 4 , C h . 6 , e s p . p . 2 2 3 ) p o i n t so u t v e r y c l e a r l y , e v e n t h o u g h t h e d e f e n d e r s o f t h e c u m u l a t i v eh i e r a r c h y u s e e x p r e s s i o n s l i k e " a l l p o s s i b l e s e t s " , t h e i r f o r c e i s n o t t h es a m e a s i n o n t o l o g i c a l l y m o r e g e n e r o u s a n d m o r e r e a l i s t i c a p -p r o a c h e s t o s e t e x i s t e n c e .

B o o l o s u s e s t h e s a m e t e r m " a l l p o s s i b l e c o l l e c t i o n s " [ a s W a n g a n dS h o e n f i e l d ] i n h i s a c c o u n t o f t h e i n t u i t i v e h i e r a r c h y . I f w e a r e r e a l l y f o r m i n gs e t s i n s t a g e s , t h e n i t m a y b e t h a t a t s t a g e s w e d o f o r m a l l p o s s i b l e s e t s o fo b j e c t s f o r m e d a t p r e v i o u s s t a g e s . B u t h e r e " a l l p o s s i b l e " w i l l n o t b e v e r ym a n y , c e r t a i n l y n o t m a n y c o m p a r e d w i t h t h e " a l l p o s s i b l e " o f t h e l a t e r" f o r m a l " ( i m p r e d i c a t i v e ) s t a g e o f t h e t h e o r y ( H a l l e t t 1 9 8 4 ) .

I n g e n e r a l , i t i s h a r d t o r e c o n c i l e a n e m p h a s i s o n p r e d i c a t i v i t y o re v e n o n a n y s t a g e - b y - s t a g e g e n e r a t i o n o f s e t s w i t h t h e C a n t o r i a ni d e a o f s e t t h e o r y a s t h e s t u d y o f a l l p o s s i b l e s t r u c t u r e s . A m o n g t h o s e




p o s s i b l e s t r u c t u r e s t h e r e a r e v e r y l a r g e s e t s . T h e i t e r a t i v e ( c u m u l a t -i v e ) c o n c e p t i o n o f s e t s d o e s n o t c a p t u r e t h e m a u t o m a t i c a l l y . T h e y c a n

o n l y b e c a p t u r e d b y s p e c i a l a x i o m s o f l a r g e c a r d i n a l s ( c f . K a n a m o r ia n d M a g i d o r 1 9 7 8 ) . A s G ö d e l e m p h a s i z e s ( 1 9 4 7 , r e p r i n t p . 4 7 6 ) ,b e y o n d a c e r t a i n p o i n t t h e f u r t h e r i t e r a t i o n o f t h e " s e t o f " o p e r a t i o n

d e p e n d s o n a s s u m p t i o n s o f l a r g e c a r d i n a l s . T h e n e e d o f s u c h a x i o m ss h o w s t h a t t h e i t e r a t i v e c o n c e p t i o n o f s e t i s n o t s e l f - e x p l a n a t o r y a n d

c e r t a i n l y d o e s n o t a l o n e c a p t u r e t h e n o t i o n o f s e t t h a t C a n t o r w a st r y i n g t o i m p l e m e n t . E v e n i f y o u d o n o t a c t u a l l y n e e d i m p r e d i c a t i v es e t s f o r c e r t a i n s p e c i f i c p u r p o s e s i n s e t t h e o r y o r e l s e w h e r e i n

m a t h e m a t i c s , i t i s s t i l l h a r d t o d e n y t h a t t h e r e a r e p o s s i b l e s t r u c t u r e st h a t c a n o n l y b e c h a r a c t e r i z e d i m p r e d i c a t i v e l y .E v e n w i t h o u t m u c h d e t a i l e d a r g u m e n t , i t i s t h u s c l e a r t h a t t h e

i t e r a t i v e m o d e l i s n o t w h a t t h e f o u n d i n g f a t h e r s o f s e t t h e o r y h a d i nm i n d o r t h a t s u c h a m o d e l o f s e t t h e o r y i s e s p e c i a l l y w e l l - s u i t e d f o rt h e p u r p o s e o f s e r v i n g a s a f r a m e w o r k o f m a t h e m a t i c s , i n c l u d i n g t h es e a r c h f o r n e w a x i o m s . S u c h a s e a r c h i s b e s t g i v e n a f i r m d i r e c t i o n b ys o m e s u f f i c i e n t l y e x p l i c i t c h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e i n t e n d e d m o d e l ,

w h i c h i s j u s t w h a t h a s n o t b e e n p r o v i d e d b y s e t t h e o r i s t s .O t h e r c a n d i d a t e s f o r t h e r o l e o f t h e i n t e n d e d m o d e l o f s e t t h e o r y

w i l l b e e x a m i n e d l a t e r a n d f o u n d w a n t i n g .I n d i s c u s s i n g t h e f o u n d a t i o n s o f s e t t h e o r y , p h i l o s o p h e r s a n d

m a t h e m a t i c i a n s o f t e n t a l k a b o u t t h e s e a r c h f o r n e w a x i o m s . B u t s u c ht a l k i s m i s g u i d e d , f o r n o b o d y k n o w s w h a t o n e i s s u p p o s e d t o l o o kf o r . I n o r d e r t o i l l u s t r a t e t h e a x i o m a t i c a n d h y p o t h e t i c a l a p p r o a c h t om a t h e m a t i c a l t h e o r i z i n g , B e r t r a n d R u s s e l l o n c e c a l l e d a m a t h e m a -t i c i a n a c h a p w h o n e v e r k n o w s w h a t h e i s t a l k i n g a b o u t . I n t h e s a m es p i r i t o f f r i e n d l y t e a s i n g , a s e t t h e o r i s t w o u l d h a v e t o b e c a l l e d a g u y( o r a g a l ) w h o n e v e r k n o w s w h a t h e o r s h e i s l o o k i n g f o r .

I n b r i e f , a x i o m a t i c s e t t h e o r y d o e s n o t h a v e a m o d e l t h e o r y w h i c hw o u l d e n a b l e u s t o c h a r a c t e r i z e i t s i n t e n d e d m o d e l s . T h e d e e p e rr e a s o n f o r t h i s n e e d o f a s o l i d m o d e l - t h e o r e t i c a l f o u n d a t i o n o fw h a t e v e r l o g i c o r t h e o r y t h a t w e a r e e n v i s a g i n g a s t h e u l t i m a t e

f r a m e w o r k o f m a t h e m a t i c a l t h e o r i e s , i s s e e n f r o m t h e c o n c l u s i o n sr e a c h e d i n C h a p t e r 5 . T h e r e i t w a s s e e n t h a t t h e f i r s t a n d f o r e m o s t

g o a l o f m a t h e m a t i c a l t h e o r i z i n g i s a d e s c r i p t i v e l y c o m p l e t e t h e o r y ,a n d n o t a d e d u c t i v e l y c o m p l e t e o n e , a s m a n y p h i l o s o p h e r s w o u l dl i k e t o h a v e i t . N o w , t h e n o t i o n o f d e s c r i p t i v e c o m p l e t e n e s s i s am o d e l - t h e o r e t i c a l o n e , p r e s u p p o s i n g b o t h a t r u t h d e f i n i t i o n a n d an o t i o n o f i n t e n d e d m o d e l .




B u t t h e d i f f i c u l t i e s w i t h a x i o m a t i c s e t t h e o r y c u t d e e p e r t h a n o u ri g n o r a n c e ( o r i n d e c i s i o n ) o f w h a t i t s i n t e n d e d m o d e l s a r e l i k e . W ek n o w t h a t w h a t e v e r t h e d e t a i l s o f t h e s t a n d a r d m o d e l s o f s e t t h e o r ya r e o r m a y b e , t h e s e m o d e l s c a n n o t b e f u l l y c a p t u r e d b y a n a x i o m a t i cs e t t h e o r y f o r m u l a t e d o n t h e f i r s t - o r d e r l e v e l . F i r s t - o r d e r a x i o m a t i cs e t t h e o r i e s a r e n o t o n l y d e d u c t i v e l y i n c o m p l e t e a s t h e y s t a n d ; t h e ya r e i n e v i t a b l y i n c o m p l e t e d e s c r i p t i v e l y , n o m a t t e r w h a t n e w a x i o m sa r e a d d e d t o t h e m . O n e w a y o f s e e i n g t h i s i s t o g o b a c k t o t h e b a s i cq u e s t i o n : W h y s h o u l d w e c u l t i v a t e s e t t h e o r y ? T h e r e a s o n w h y w ew e r e f i r s t l e d t o c o n s i d e r s e t t h e o r y i n t h e l i n e o f t h o u g h t p r e s e n t e d i n

t h i s b o o k w a s t h a t s e t t h e o r y ( o r i t s e q u i v a l e n t ) w a s a p p a r e n t l yn e e d e d f o r t h e m o d e l t h e o r y o f o u r b a s i c l o g i c , t h a t i s , o r d i n a r yf i r s t - o r d e r l o g i c . T h i s m o t i v a t i o n f o r t a k i n g u p s e t t h e o r y h a s b e e nw i d e s p r e a d a m o n g p h i l o s o p h i c a l l y o r i e n t e d l o g i c i a n s , a n d p r o b a b l ys t i l l i s . O f t e n i t t a k e s a m o r e g e n e r a l f o r m . O n e o f t h e m a i n j o b s t h a ts e t t h e o r y i s d r a f t e d t o d o i s t o e n a b l e u s t o d e a l w i t h m o d e l -t h e o r e t i c a l q u e s t i o n s i n d i f f e r e n t p a r t s o f l o g i c . A n d t h i s c o n c e p t i o no f t h e j o b t h a t s e t t h e o r y c a n d o i s n o t r e s t r i c t e d t o l o g i c . T h e s o -

c a l l e d s t r u c t u r a l i s t p h i l o s o p h y o f s c i e n c e i s l i t t l e m o r e t h a n a na p p l i c a t i o n o f t h i s i d e a ( o r p r e s u m p t i o n ) t o t h e e p i s t e m o l o g y o fs c i e n t i f i c k n o w l e d g e .

T h i s a l l e g e d r a t i o n a l e o f s e t t h e o r y i s n o t a g e n u i n e o n e . T h e r e i s i nt h e l i t e r a t u r e a w i d e s p r e a d t e n d e n c y t o g i v e s e t t h e o r y t h e c r e d i t f o rt h e o r i e s w h i c h h a v e b e e n d e v e l o p e d b y u s i n g s e t t h e o r y a s t h e i r

m e t a t h e o r y . F o r i n s t a n c e , i n M o o r e ( 1 9 9 4 , p . 6 3 5 ) w e r e a d :

S e t t h e o r y i n f l u e n c e d l o g i c , b o t h t h r o u g h i t s s e m a n t i c s , b y e x p a n d i n g t h ep o s s i b l e m o d e l s o f v a r i o u s t h e o r i e s a n d b y t h e f o r m a l d e f i n i t i o n o f a m o d e l ;

a n d t h r o u g h i t s s y n t a x , b y a l l o w i n g f o r l o g i c a l l a n g u a g e s i n w h i c h f o r m u l a sc a n b e i n f i n i t e i n l e n g t h o r i n w h i c h t h e n u m b e r o f s y m b o l s i s u n c o u n t a b l e .

T h e t a c i t s y l l o g i s m o n w h i c h s u c h c l a i m s r e s t i s s o m e t h i n g l i k e t h i s :l o g i c a l l a n g u a g e s w h i c h c a n n o t b e d e a l t w i t h s y n t a c t i c a l l y m u s t b ed e a l t w i t h m o d e l - t h e o r e t i c a l l y . N o w s e t t h e o r y i s t h e n a t u r a l m e -

d i u m o f m o d e l - t h e o r e t i c a l c o n c e p t u a l i z a t i o n s . H e n c e i t i s b y m e a n so f s e t t h e o r y t h a t t h e o r i e s l i k e i n f i n i t a r y l o g i c s h a v e b e e n d e v e l o p e da n d a r e b e i n g c u l t i v a t e d . T h e f a l l a c y h e r e i s t h a t n o t h i n g i s s a i d o rd o n e t o e x c l u d e o t h e r p o s s i b l e m e t a l a n g u a g e s a n d m e t a t h e o r i e s .A n d w h a t h a s b e e n s e e n i n t h i s b o o k m a k e s t h i s q u e s t i o n a m o s tp e r t i n e n t o n e . B y s h o w i n g i n C h a p t e r 6 h o w a t r u t h p r e d i c a t e c a n b ed e f i n e d f o r a s u i t a b l e I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e I r e m o v e d t h e m a i n




o b s t a c l e f r o m t h e p a t h o f a m o d e l t h e o r y o f I F f i r s t - o r d e r l o g i c d o n ei n I F f i r s t - o r d e r l o g i c i t s e l f .

T h e t a b l e c a n i n f a c t b e t u r n e d o n s e t t h e o r y h e r e . M u c h m o r e c a nb e s a i d t h a n m e r e l y t o r e m o v e o n e o f t h e m a n y p o s s i b l e r e a s o n s f o rc u l t i v a t i n g s e t t h e o r y a x i o m a t i c a l l y , o r i n s o m e o t h e r r i g o r o u sf a s h i o n n e e d e d i n a g e n u i n e m o d e l t h e o r y . F i r s t - o r d e r l o g i c w a so r i g i n a l l y s u s p e c t b e c a u s e o n a p p a r e n t l y c o u l d d o i t s m o d e l t h e o r yi n f i r s t - o r d e r l o g i c i t s e l f . I f t h i s w a s a l e g i t i m a t e p r i m a f a c i e c o m -p l a i n t , t h e n i t i s a l s o f a i r g a m e t o a s k w h e t h e r t h e m o d e l t h e o r y o f

a x i o m a t i c s e t t h e o r y c a n b e d o n e i n a x i o m a t i c s e t t h e o r y i t s e l f . T h i s

q u e s t i o n l e a d s u s t o c o n s i d e r t h e p o s s i b i l i t y o f d e f i n i n g a t r u t hp r e d i c a t e f o r a x i o m a t i c s e t t h e o r y i n t h a t v e r y s a m e t h e o r y . F o rw i t h o u t a t r u t h p r e d i c a t e , t h e r e i s l i t t l e h o p e o f d e v e l o p i n g a n y t h i n gl i k e a v i a b l e m o d e l t h e o r y . F u r t h e r m o r e , t h i s q u e s t i o n i s m a d ee s p e c i a l l y p e r t i n e n t b y t h e r e p u t e d r o l e o f s e t t h e o r y a s t h e m e d i u m( o r a t l e a s t a s a s u r r o g a t e ) o f m o d e l t h e o r y .

I t i s i n f a c t p o s s i b l e t o b r i n g t h e r e s u l t s r e a c h e d i n C h a p t e r 6 t ob e a r o n t h i s t a s k o f d o i n g m o d e l t h e o r y o f a x i o m a t i c s e t t h e o r y i n t h e

s a m e t h e o r y . I n d e e d , a x i o m a t i c s e t t h e o r y i s a n o r d i n a r y f i r s t - o r d e rt h e o r y w i t h a s i n g l e n o n l o g i c a l p r e d i c a t e c o n t a i n i n g e l e m e n t a r ya r i t h m e t i c . H e n c e a t r u t h p r e d i c a t e c a n b e f o r m u l a t e d f o r i t i n t h ef r a g m e n t o f t h e c o r r e s p o n d i n g s e c o n d - o r d e r l a n g u a g e , t h a t i s , i n t h ef o r m

( 3 f ) S a t [ x , f ] ( 8 . 2 )

B u t w h a t ( 8 . 2 ) e x p r e s s e s i n a s e n s e s h o u l d b e e x p r e s s i b l e a l s o i n t h ef i r s t - o r d e r s e t t h e o r y i t s e l f . I n d e e d ( 8 . 2 ) i s e q u i v a l e n t t o a s t a t e m e n t o ft h e f o r m

( 3 X ) S [ X ] ( 8 . 3 )

w h e r e X i s a o n e - p l a c e s e c o n d - o r d e r p r e d i c a t e v a r i a b l e . F r o m ( 8 . 3 ) w ec a n o b t a i n a r e l a t e d b u t n o t a l w a y s l o g i c a l l y e q u i v a l e n t ( f i r s t - o r d e r ) s e t -

t h e o r e t i c a l s t a t e m e n t b y r e p l a c i n g e v e r y s u b f o r m u l a o f ( 8 . 3 ) o f t h e f o r m

X ( y ) ( o r X ( a ) ) b y ( o r a e x ) a n d b y r e p l a c i n g ( J X ) s i m p l y b y ( 3 x ) . I nt h i s s e n s e , w e c a n i n f a c t f o r m u l a t e a t r u t h p r e d i c a t e f o r f i r s t - o r d e ra x i o m a t i c s e t t h e o r y i n t h e s a m e s e t t h e o r y i t s e l f .

B u t t h i s o b s e r v a t i o n n e e d s t o b e p u t i n p e r s p e c t i v e . A t f i r s t s i g h t ,i t s e e m s t o v i o l a t e T a r s k i ' s i m p o s s i b i l i t y r e s u l t a c c o r d i n g t o w h i c ht h e c o n c e p t o f t r u t h i n a f i r s t - o r d e r t h e o r y c a n n o t b e d e f i n e d i n t h a tt h e o r y i t s e l f .




A b e g i n n i n g o f a s o l u t i o n t o t h i s p u z z l e l i e s i n t h e f a c t t h a t n o t r u t hd e f i n i t i o n h a s b e e n g i v e n f o r a x i o m a t i c s e t t h e o r y i n t h a t t h e o r yi t s e l f — o n l y a t r u t h p r e d i c a t e . A n d f r o m t h e m e r e f o r m u l a t i o n o f ac o m p l e x p r e d i c a t e n o c o n t r a d i c t i o n c a n f o l l o w .

B u t i n w h a t s e n s e , i f a n y , d o e s T a r s k i ' s r e s u l t t h e n r u l e o u t t h ep o s s i b i l i t y o f s e l f - a p p l i c a b l e t r u t h p r e d i c a t e s ? I n o r d e r t o s e e w h a tt h i s s e n s e i s , t h e r e a d e r i s i n v i t e d t o g o b a c k t o t h e a r g u m e n t a t t h eb e g i n n i n g o f C h a p t e r 7 w h i c h s e r v e d t o s h o w t h a t t h e t r u t h p r e d -i c a t e ( 8 . 1 ) c o n s i d e r e d t h e r e l e a d s t o a c o n t r a d i c t i o n . W e i m p l i c i t l yu s e d t h e r e t h e a s s u m p t i o n t h a t t h e s e n t e n c e T [ n ] c o n s t r u c t e d

b y m e a n s o f t h e d i a g o n a l l e m m a i s l o g i c a l l y e q u i v a l e n t t o ( o r a tl e a s t h a s t h e s a m e t r u t h - v a l u e i n t h e i n t e n d e d m o d e l a s ) t h e a r i t h -m e t i c a l s e n t e n c e t h a t s a y s t h a t t h e s e n t e n c e w i t h i t s v e r y o w n G ö d e ln u m b e r g ( T [ n ] ) = n i s t r u e . B u t T [ n ] s a y s t h a t t h e s a m es e n t e n c e i s f a l s e ; h e n c e a c o n t r a d i c t i o n w h i c h c a n b e t a k e n t o h a v et h e f o r m

T [ n J + - ' T [ g ( - - T E n ] ) ] ( 8 . 4 )

w h e r e t h e r i g h t s i d e i s o f c o u r s e e q u i v a l e n t t o T [ n ] .T h e e q u a t i o n o f t h e t r u t h - v a l u e s o f t h e t w o s e n t e n c e s T [ n ] a n d

T [ n ] ) ] i s a c o n s e q u e n c e o f t h e a d e q u a c y c o n d i t i o n s o n a n yc a n d i d a t e f o r t h e r o l e o f a t r u t h p r e d i c a t e . T h e o p e r a t i v e a d e q u a c yc o n d i t i o n i s , t o a l l p r a c t i c a l p u r p o s e s , T a r s k i ' s f a m i l i a r T - s c h e m a( s e e C h a p t e r 6 ) a p p l i e d t o t h e g a m e - t h e o r e t i c a l t r u t h p r e d i c a t e .

B o t h a r e i n c o m p l e t e , b u t n e i t h e r l e a d s t o a c o n t r a d i c t i o n .

T h i s p o i n t c a n b e g e n e r a l i z e d . A t r u t h p r e d i c a t e h a s c o n s e q u e n c e so n l y i n c o n j u n c t i o n w i t h a n a d e q u a c y c o n d i t i o n w h i c h i s e s s e n t i a l l yt a n t a m o u n t t o T a r s k i ' s T - s c h e m a . T h i s c o n d i t i o n r e q u i r e s t h a t a n y

s e n t e n c e S i s t r u e i f a n d o n l y i f t h e s e n t e n c e T ( g ( S ) ) i s t r u e . T h e l a t t e rs e n t e n c e s a y s o f c o u r s e t h a t t h e t r u t h p r e d i c a t e a p p l i e s t o t h e G ö d e l

n u m b e r g ( S ) o f S .T h e t r u t h p r e d i c a t e d e f i n e d i n C h a p t e r 6 f o r s u i t a b l e I F f i r s t - o r d e r

l a n g u a g e s t h u s a c c o m p l i s h e d s o m e t h i n g t h a t T a r s k i ' s i m p o s s i b i l i t y

r e s u l t a t f i r s t s i g h t d i s c o u r a g e s u s f r o m e x p e c t i n g . T h i s s o m e t h i n g i sa t r u t h p r e d i c a t e T [ x ] w h i c h a p p l i e s t o g ( S ) i f a n d o n l y i f S i s t r u ea c c o r d i n g t o t h e g a m e - t h e o r e t i c a l c o n c e p t i o n o f t r u t h — w h i c h

I h a v e a r g u e d i s o u r n a t u r a l c o n c e p t i o n o f t r u t h . T h e r e a s o n w h y w ec a n n o t e x p r e s s t h i s a s a f o r m a l e q u i v a l e n c e

S i — * T { g ( S ) ] ( 8 . 5 )




i s t h a t ( 8 . 5 ) s a y s t o o m u c h . I t a s s e r t s a l s o t h a t S a n d T [ g ( S ) ] a r e f a l s es i m u l t a n e o u s l y . T h i s u n w a n t e d i m p l i c a t i o n c a n n o t b e a v o i d e d i n( u n e x t e n d e d ) I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e s . I n s u c h l a n g u a g e s t h e b i t e o fa t r u t h p r e d i c a t e t h u s l i e s i n i t s s a t i s f y i n g t h e a d e q u a c y r e q u i r e m e n tt h a t m o t i v a t e s T a r s k i ' s T - s c h e m a . H o w e v e r , t h i s r e q u i r e m e n t c a n -n o t b e f o r m u l a t e d i n u n e x t e n d e d I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e s a s a f o r m a le q u i v a l e n c e s c h e m a . I n t h i s w a y , n e w l i g h t i s t h r o w n b o t h o nT a r s k i ' s i n t e n t i o n s a n d o n t h e i r i m p l e m e n t a t i o n .

W h a t d o e s f o l l o w f r o m a l l t h i s w h e n a p p l i e d t o a x i o m a t i c s e tt h e o r y ? T h e f i r s t a n d f o r e m o s t p o i n t h e r e i s t h a t , c o n t r a r y v i e w s

n o t w i t h s t a n d i n g ( c f . M c G e e 1 9 9 1 , p p . 7 5 — 7 6 ) , t h e r e i s n o t h i n g w r o n ga s s u c h w i t h t h e t r u t h p r e d i c a t e f o r a x i o m a t i c s e t t h e o r y w h i c h w a se x p l a i n e d e a r l i e r i n t h i s c h a p t e r , a n d w h i c h i s f o r m u l a t e d i n a x i o -m a t i c s e t t h e o r y i t s e l f . I n f a c t , b y m e a n s o f t h i s t r u t h p r e d i c a t e o n ec a n d o a f a i r a m o u n t o f m o d e l t h e o r y o f s e t t h e o r y i n s e t t h e o r y i t s e l f .W e c a n f o r i n s t a n c e d e f i n e w h a t i t m e a n s f o r a n e l e m e n t o f t h e s e t -t h e o r e t i c a l u n i v e r s e t o s a t i s f y a g i v e n f o r m u l a w i t h o n e f r e e v a r i a b l e .W e c a n t h e n c o n s i d e r t h e t o t a l i t y o f e l e m e n t s s a t i s f y i n g t h e f o r -

m u l a , a n d s o o n . T h i s i s t h e o b j e c t i v e b a s i s f o r t h e s u r p r i s i n g l yp o p u l a r c a s t i n g o f s e t t h e o r y i n t h e r o l e o f a d o - i t - y o u r s e l f m o d e lt h e o r y . T h e i m p l i c i t i d e a u n d o u b t e d l y i s i n a s e n s e o n e o f e c o n o m y .W h o n e e d s f a n c y m o d e l t h e o r y w h e n t h e r e a l r e a d y e x i s t s a s e t t h e o r ys e r v i n g a s t h e u n i v e r s a l f r a m e w o r k o f m a t h e m a t i c a l , a n d e v e ns c i e n t i f i c , t h e o r i z i n g a n d a l l o w i n g u s t o d o i t s m o d e l t h e o r y i n t h e s e tt h e o r y i t s e l f ? I n f a c t , m u c h o f t h e a c t u a l w o r k i n b a s i c m o d e l t h e o r yo f a x i o m a t i c s e t t h e o r y c a n , i n t h i s s p i r i t , b e t h o u g h t o f a s b e i n g d o n eb y m e a n s o f s e t t h e o r y i t s e l f . E v e n t h o u g h s u c h m o d e l t h e o r y o f s e tt h e o r y i s o r d i n a r i l y d o n e i n f o r m a l l y , i t i s n o t h a r d t o b e l i e v e t h a tm u c h o f i t c a n a l s o b e d o n e i n t e r m s o f a s u i t a b l e a x i o m a t i c s e tt h e o r y .

W h a t s u c h a s e l f - a p p l i e d t h e o r y f o r a x i o m a t i c s e t t h e o r y c a n n o ta s s u m e a r e a l l t h e i n s t a n c e s o f T a r s k i ' s T - s c h e m a , a p p l i e d t o t h eg a m e - t h e o r e t i c a l t r u t h p r e d i c a t e . T h i s f o l l o w s f r o m T a r s k i ' s v e r y

o w n i m p o s s i b i l i t y r e s u l t . A l t e r n a t i v e l y , a n d m o r e d i r e c t l y , w e c a n u s et h e s a m e k i n d o f c o n s t r u c t i v e a r g u m e n t a s i s u s u a l l y e m p l o y e d i np r o v i n g G ö d e l ' s f i r s t i n c o m p l e t e n e s s t h e o r e m b y m e a n s o f t h ed i a g o n a l l e m m a . W h a t w e n e e d t o d o i s t o a p p l y t h i s l e m m a t o t h e

n e g a t i o n o f t h e q u a s i - p r e d i c a t e o f t r u t h t h a t I s h o w e d a b o v e h o w t of o r m u l a t e f o r a x i o m a t i c s e t t h e o r y i n s e t t h e o r y i t s e l f . L e t t h i sp r e d i c a t e b e T [ x ] a n d l e t g ( S ) b e t h e G ö d e l n u m b e r o f S . T h e n b y t i




d i a g o n a l l e m m a t h e r e i s a n u m b e r n s u c h t h a t

= T [ n ] ( 8 . 6 )

w h e r e n i s t h e n u m e r a l r e p r e s e n t i n g n . A l o n g t h e l i n e s i n d i c a t e da b o v e o n e c a n s e e t h a t T [ n ] i s t r u e b u t t h a t t h e s e n t e n c e

T [ n ] ) ) = T [ n J ( 8 . 7 )

w h i c h a t t r i b u t e s t h e t r u t h p r e d i c a t e t o i t s G ö d e l n u m b e r i s f a l s e .T h u s t h e g a m e - t h e o r e t i c a l t r u t h p r e d i c a t e I a m c o n s i d e r i n g c a n -

n o t d o i t s j o b f o r a l l s e t - t h e o r e t i c a l s e n t e n c e s . I t w i l l f a i l t o y i e l d t h e

r i g h t t r u t h - c o n d i t i o n f o r t h e l i a r - t y p e s e n t e n c e w h o s e G ö d e ln u m b e r i s t h e n u m b e r n y i e l d e d b y t h e d i a g o n a l l e m m a . I n t h i s s e n s e ,t h e m o d e l t h e o r y i n q u e s t i o n i s i n e v i t a b l y i n c o m p l e t e . T h i s d e s t r o y st h e m a i n r a t i o n a l e o f s e t t h e o r y , n a m e l y , i t s r o l e a s t h e a l l e g e d l yc a n o n i c a l f r a m e w o r k f o r m o d e l t h e o r y . T h e f a i l u r e o f a n y s e l f -a p p l i e d s e t - t h e o r e t i c a l t r u t h p r e d i c a t e m e a n s t h a t s e t t h e o r y c a n n o ta d e q u a t e l y s e r v e a s i t s o w n m o d e l t h e o r y , a n y m o r e t h a n o r d i n a r yf i r s t - o r d e r l o g i c c a n .

B u t i n c o m p l e t e n e s s i s t h e l e a s t o f t h e w o e s o f a x i o m a t i c s e t t h e o r y .T h e f a i l u r e o f T a r s k i ' s T - s c h e m a f o r t h e s e n t e n c e S ( c o n s t r u c t e d b ym e a n s o f t h e d i a g o n a l l e m m a ) m e a n s t h a t t h e r e i n e v i t a b l y e x i s t s i na n y m o d e l o f s e t t h e o r y a s e t - t h e o r e t i c a l s e n t e n c e w h i c h i s t r u e i n t h eo r d i n a r y s e n s e o f t h e w o r d b u t w h o s e t r u t h - c o n d i t i o n , w h e n e x -p r e s s e d s e t - t h e o r e t i c a l l y , i s f a l s e . N o w t h e t r u t h - c o n d i t i o n o f o n l yf i r s t - o r d e r s e n t e n c e a s s e r t s t h e e x i s t e n c e o f t h e S k o l e m f u n c t i o n s t h a t

c o d i f y a w i n n i n g s t r a t e g y f o r t h e i n i t i a l v e r i f i e r i n t h e s e m a n t i c a lg a m e c o n n e c t e d w i t h i t . C o n s i d e r e d a s a s e t - t h e o r e t i c a l s t a t e m e n t ,S c a n f a i l t o b e t r u e o n l y i f t h e t r u t h - m a k i n g s t r a t e g y f u n c t i o n s( S k o l e m f u n c t i o n s ) d o n o t e x i s t i n a m o d e l o f t h e s e t t h e o r y i nq u e s t i o n , e v e n t h o u g h t h e y a r e e x t e n s i o n a l l y p o s s i b l e " f u n c t i o n s i ne x t e n s i o n " , a s R u s s e l l w o u l d h a v e e x p r e s s e d t h e p o i n t . A n d s u c ha f a i l u r e m e a n s t h a t i n a x i o m a t i c s e t t h e o r y , a s e n t e n c e i s n o t a l w a y se q u i v a l e n t t o t h e s e t - t h e o r e t i c a l c o u n t e r p a r t o f i t s s e c o n d - o r d e r

t r a n s l a t i o n .T h i s o b s e r v a t i o n h a s s e v e r a l d i f f e r e n t c o n s e q u e n c e s i l l u s t r a t i n g

t h e i n a d e q u a c y o f a x i o m a t i c s e t t h e o r y . W h a t j u s t h a s b e e n s e e nm e a n s t h a t i n t u i t i v e l y s p e a k i n g m y n e o - G ö d e l i a n s e n t e n c e S ns h o u l d b e t r u e , i n t h a t t h e S k o l e m f u n c t i o n s w h i c h i t a s s e r t s t oe x i s t i n s e t t h e o r y a c t u a l l y d o e x i s t i n a p u r e l y e x t e n s i o n a l s e n s e . A n da x i o m a t i c s e t t h e o r y w a s o r i g i n a l l y c a l c u l a t e d t o c a p t u r e p r e c i s e l y




a l l e x t e n s i o n a l l y p o s s i b l e s e t s — o r a t l e a s t a s m a n y o f t h e ma s w e c a n .

T h i s m i g h t n o t y e t s e e m t o s e t t h e S k o l e m f u n c t i o n s a s s e r t e d t oe x i s t i n S , a p a r t f r o m t h e n o n e x i s t i n g s e t s a n d f u n c t i o n s w h i c h a r er u l e d o u t b y t h e w e l l - k n o w n p a r a d o x e s . B u t t h e p r e s e n t f a i l u r e i s f a rm o r e p o i g n a n t t h a n t h e t r a d i t i o n a l o n e s . W h a t i s s o s p e c i a l a b o u tt h e f a i l u r e o f t h e e q u i v a l e n c e o f S n a n d i t s t r u t h - c o n d i t i o n T [ n ] ? O n et h i n g t h a t i s s p e c i a l a b o u t t h e m i s t h a t e q u i v a l e n c e s b e t w e e n a f i r s t -o r d e r s e n t e n c e a n d i t s s e c o n d - o r d e r t r u t h - c o n d i t i o n w e r e s e e n e a r -l i e r i n C h a p t e r 2 t o b e n o t h i n g b u t i n s t a n c e s o f t h e a x i o m o f c h o i c e o r

o f i t s g e n e r a l i z a t i o n s . T h e s e g e n e r a l i z a t i o n s c a n b e j u s t i f i e d i n t e r m so f m y g a m e - t h e o r e t i c a l a p p r o a c h i n t h e s a m e w a y a s t h e a x i o m o fc h o i c e i t s e l f . I n o t h e r w o r d s , i n e q u i v a l e n c e s o f s e n t e n c e s l i k e m yw i t h t h e i r t r u t h - c o n d i t i o n s w e a r e m e r e l y d e a l i n g w i t h i n s t a n c e s o ft h e t r a n s l a t i o n s o f g e n e r a l i z a t i o n s o f t h e a x i o m o f c h o i c e i n t o a s e t -t h e o r e t i c a l l a n g u a g e . A n d y e t s o m e o f t h e m w e r e s e e n t o f a i l i n e v i -t a b l y . H e n c e t h e f a i l u r e o f t h e s e g e n e r a l i z a t i o n s i n a x i o m a t i è s e tt h e o r y s h o w s t h a t t h e a x i o m o f c h o i c e s h o u l d b e r e a l l y r e j e c t e d b y

a x i o m a t i c s e t t h e o r i s t s , f o r i t s m o t i v a t i o n i s , i n e f f e c t , r e j e c t e d b yt h e m . T o p u t t h e s a m e p o i n t i n o t h e r t e r m s , t h e f a c t t h a t t h e a x i o m o fc h o i c e i s c o m p a t i b l e w i t h t h e u s u a l a x i o m s o f s e t t h e o r y ( s e e G ö d e l

1 9 4 0 ) i s m e r e l y a l u c k y a c c i d e n t h a v i n g n o t h i n g t o d o w i t h t h et h e o r e t i c a l m o t i v a t i o n o f t h e a x i o m o f c h o i c e . O n e c a n i n f a c t s a yt h a t t h e s p i r i t o f a x i o m a t i c s e t t h e o r y i s d e e p l y a n t i t h e t i c a l t o t h ea x i o m o f c h o i c e . S i n c e t h i s a x i o m w a s s e e n t o h a v e a n i m p e c c a b l et h e o r e t i c a l m o t i v a t i o n , w e h a v e h e r e a s t r o n g r e a s o n t o b e w a r y o fa x i o m a t i c s e t t h e o r y i n g e n e r a l .

A s a b y - p r o d u c t o f t h i s l i n e o f t h o u g h t , w e h a v e a r r i v e d a t a na r g u m e n t t o s h o w t h a t m y g e n e r a l i z a t i o n o f t h e a x i o m o f c h o i c e i sa c t u a l l y s t r o n g e r t h a n t h e a x i o m i t s e l f . T h i s v e r i f i e s t h e s u r m i s em e n t i o n e d i n C h a p t e r 2 . F o r t h e a x i o m o f c h o i c e , e v e n i n i t s g l o b a l

f o r m , h o l d s a t l e a s t s o m e o f t h e m o d e l s o f a x i o m a t i c s e t t h e o r y ,w h e r e a s s o m e i n s t a n c e o r o t h e r o f i t s g e n e r a l i z a t i o n h a s b e e n s e e n t o

f a i l i n e a c h m o d e l .T h i s p o i n t c a n b e p u t i n a d i f f e r e n t w a y . G ö d e l a d v o c a t e d t h e

c u l t i v a t i o n o f o u r " m a t h e m a t i c a l i n t u i t i o n " i n s u c h a m a n n e r t h a t i tw i l l h o p e f u l l y s h o w u s t h e v a l i d i t y o f n e w a x i o m s o f s e t t h e o r y . O n eo f t h e m o s t f i r m l y e n t r e n c h e d s e t s o f i n t u i t i o n s w e s e e m t o h a v e i n s e tt h e o r y a r e t h e o n e s t h a t l e a d t o t h e a x i o m o f c h o i c e . I h a v e s h o w na b o v e i n a G ö d e l i a n s p i r i t t h a t t h e s e s a m e i n t u i t i o n s j u s t i f y s t r o n g e r




s e t - t h e o r e t i c a l a s s u m p t i o n s a s w e l l , n a m e l y , t h e s e t - t h e o r e t i c a l c o u n t e r -p a r t s t o e q u i v a l e n c e s b e t w e e n a f i r s t - o r d e r s e t - t h e o r e t i c a l s e n t e n c ea n d i t s s e c o n d - o r d e r t r u t h - c o n d i t i o n . H o w e v e r , t h e s e s t r o n g e r s e t -t h e o r e t i c a l a s s u m p t i o n s t u r n o u t t o c o n t r a d i c t t h e r e c e i v e d a x i o m s

o f s e t t h e o r y . T h i s m e a n s t h a t a m o s t n a t u r a l i m p l e m e n t a t i o n o fG ö d e l ' s i d e a d o e s n o t l e a d t o a n i m p r o v e d s e t t h e o r y , b u t t o t h e

r e j e c t i o n o f f i r s t - o r d e r a x i o m a t i c s e t t h e o r y .H e r e t h e r e a d e r c a n p e r h a p s b e g i n t o s e e t h e g e n e r a l r e a s o n s f o r

m y s u s p i c i o n s o f a x i o m a t i c s e t t h e o r y . I t w a s o r i g i n a l l y c o n s t r u c t e dt o e m b o d y p r e c i s e l y t h e w a y o f t h i n k i n g r e p r e s e n t e d a m o n g o t h e r

t h i n g s b y t h e a x i o m o f c h o i c e . A s i t f l e x e s i t s d e d u c t i v e m u s c l e , i tc l e a r l y b e g i n s t o t u r n m e n a c i n g l y a g a i n s t t h e i n t e n t i o n s o f i t s o r i g i -n a t o r s . I t i s t u r n i n g i n t o a v e r i t a b l e F r a n k e n s t e i n ' s ( F r a e n k e l s t e i n ' s )m o n s t e r w h i c h t h r e a t e n s t o d e s t r o y w h a t i t w a s c o n s t r u c t e d t o s e r v ea n d t o d e f e n d .

T h u s w e h a v e a r r i v e d a t a s e r i o u s i n d i c t m e n t a g a i n s t a x i o m a t i c s e tt h e o r y . F o r e a c h m o d e l o f a x i o m a t i c s e t t h e o r y , o n e c a n f i n d as e n t e n c e S i n t h e l a n g u a g e o f a s e t t h e o r y w h i c h i s t r u e i n t e r p r e t a -

t i o n a l l y b u t f a l s e i n t h a t m o d e l . I n b r i e f , a x i o m a t i c s e t t h e o r y c a n n o tb e t r u e o n i t s o w n i n t e n d e d i n t e r p r e t a t i o n . W h e n w e t r y t o c o n s t r u c tt h e l i a r p a r a d o x f o r a x i o m a t i c s e t t h e o r y , t h e l i a r t u r n s o u t t o b ea x i o m a t i c s e t t h e o r y i t s e l f .

A p o s s i b l e r e j o i n d e r t o t h i s i n d i c t m e n t i s t o s a y : W h a t e l s e i sn e w ? T h e o l d p a r a d o x e s a l r e a d y s h o w t h a t t h e r e a r e s e t - t h e o r e t i c a lp r o p o s i t i o n s w h i c h w e a r e i n t u i t i v e l y t e m p t e d t o a c c e p t b u t w h i c h

c a n n o t b e a s s u m e d t o b e t r u e i n t h e m o d e l s o f s e t t h e o r y . T h i sr e j o i n d e r d o e s n o t c u t m u c h i c e , h o w e v e r . I n t h e o l d p a r a d o x e s , w ea r e t y p i c a l l y d e a l i n g w i t h t h e f a i l u r e o f a n i n s t a n c e o f t h e u n r e s t r i c t e da x i o m o f c o m p r e h e n s i o n t o b e t r u e . I n o t h e r w o r d s , w e a r e d e a l i n gw i t h a n a p p a r e n t l y w e l l - f o r m e d c o n c e p t w h o s e e x t e n s i o n i s n o tw e l l - d e f i n e d . F o r i n s t a n c e , t h e r e i s n o w e l l - d e f i n e d c l a s s w h i c h i s a ne x t e n s i o n o f ( x E x ) . I n c o n t r a s t t h e e x t e n s i o n s o f t h e f u n c t i o n sw h o s e e x i s t e n c e i s a s s e r t e d b y t h e s e n t e n c e S c o n d u c t e d a b o v e a r e

u n p r o b l e m a t i c . T h e o n l y p r o b l e m i s t h a t t h e s e c l a s s e s c a n n o t b er e i f i e d i n t o s e t s w h i c h c o u l d e x i s t i n t h e m o d e l s o f t h e s e t t h e o r y i nq u e s t i o n .

M o r e g e n e r a l l y s p e a k i n g , t h e e a r l i e r p a r a d o x e s o f s e t t h e o r y a r ea l l c a u s e d b y t h e r e b e i n g , s o t o s p e a k , t o o m a n y s e t s r e q u i r e d t o e x i s tb y s o m e s e t - t h e o r e t i c a l a s s u m p t i o n o r t h e o t h e r . T h e c h a r g e I a mm a k i n g a g a i n s t t h e u s u a l f o r m u l a t i o n s o f s e t t h e o r y i s t h a t i t d o e s n o t




a l l o w t h e e x i s t e n c e o f f u n c t i o n s ( s e t s ) w h i c h o u g h t t o e x i s t , a n d i n t h i s

s e n s e a s s u m e s t o o f e w s e t s t o e x i s t .I n d e e d , w h a t l e a d s o n e t o s a y t h a t t h e S k o l e m f u n c t i o n s t h a t a r e

a s s e r t e d t o e x i s t i n S a c t u a l l y d o s o a r e n o t a G ö d e l i a n s e t t h e o r i s t ' sm y s t e r i o u s i n t u i t i o n s . T h e y e x i s t b y t h e s a m e c r i t e r i a a s a r e a p p l i e de v e r y d a y b y m a t h e m a t i c i a n s w h e n e v e r t h e y s p e a k o f t h e e x i s t e n c e o fs e t s a n d f u n c t i o n s . ( A t l e a s t , a l l c l a s s i c a l m a t h e m a t i c i a n s u s e s u c hc r i t e r i a ; a n d I w i l l t a k e c a r e o f t h e c o n s t r u c t i v i s t s a n d t h e i n t u i t i o n -i s t s i n t h e l a s t t w o c h a p t e r s o f t h i s b o o k . ) A n d t h e c r i t e r i a t h e ye x p l i c i t l y o r ( m o r e l i k e l y ) i m p l i c i t l y u s e d o n o t i n t h e p r e s e n t c a s e

d e p e n d o n a n y a s s u m p t i o n s c o n c e r n i n g t h e e x i s t e n c e o f s e t s o r o f a n yo t h e r h i g h e r - o r d e r e n t i t i e s . T h i s c a n b e s e e n b y o b s e r v i n g t h a t t h es e c o n d - o r d e r s e n t e n c e w h i c h a s s e r t s t h e e x i s t e n c e o f t h e r e l e v a n tS k o l e m f u n c t i o n s f o r T [ n ] i s n a t u r a l l y o f t h e E f o r m . H e n c e i t i sl o g i c a l l y e q u i v a l e n t t o a n I F f i r s t - o r d e r s e n t e n c e F . S i n c e F i sf i r s t - o r d e r , i t s t r u t h i s a p u r e l y c o m b i n a t o r i a l m a t t e r , i n d e p e n d e n t o fw h a t o n e t h i n k s o f t h e e x i s t e n c e o r n o n e x i s t e n c e o f s e t s a n d f u n c -t i o n s .

T h u s t h e n e w d i f f i c u l t i e s I h a v e p o i n t e d o u t i n a x i o m a t i c s e tt h e o r y a r e n o t m e r e l y a n e x t e n s i o n o f t h e w e l l - k n o w n t r a d i t i o n a lo n e s . T h e o n l y r e a s o n w h y t h e y d o n o t m a k e a x i o m a t i c s e t t h e o r yt o t a l l y u s e l e s s f o r a l l m a t h e m a t i c a l p u r p o s e s i n o n e f e l l s w o o p i s t h a tt h e y c o n c e r n t h e e n t i r e s e t - t h e o r e t i c a l u n i v e r s e . T h i s i s b e c a u s ea s e l f - s u f f i c i e n t t r u t h d e f i n i t i o n m u s t i n v o l v e a n e n t i r e m o d e l . B u tw h a t i f y o u t r y t o f o r m u l a t e a t r u t h p r e d i c a t e f o r t h o s e p a r t s o f t h es e t - t h e o r e t i c a l u n i v e r s e t h a t a r e s u p p o s e d t o b e u s e d d i r e c t l y i nm a t h e m a t i c s , s u c h a s t h e t h e o r i e s o f n a t u r a l n u m b e r s , r e a l n u m b e r s ,r e a l f u n c t i o n s a n d s o f o r t h ? T h e a n s w e r i s t h a t s u c h a t r u t h p r e d i c a t em u s t r e f e r t o o t h e r p a r t s o f t h e g i v e n m o d e l o f s e t t h e o r y . F o ri n s t a n c e , f o r e l e m e n t a r y n u m b e r t h e o r y , t h e S k o l e m f u n c t i o n s o v e rw h i c h y o u a r e q u a n t i f y i n g i n y o u r t r u t h p r e d i c a t e a r e s e c o n d - o r d e re n t i t i e s , n o t n a t u r a l n u m b e r s . H e n c e a x i o m a t i c s e t t h e o r y e s c a p e st h e u l t i m a t e i g n o m i n y o f i m p l y i n g f a l s e p r o p o s i t i o n s a b o u t o r d i n a r y

m a t h e m a t i c a l e n t i t i e s o n l y b y a t a c i t s t r a t i f i c a t i o n o f o n e ' s m a t h -e m a t i c a l u n i v e r s e i n t o w h a t , i n e f f e c t , c o r r e s p o n d s t o a l o g i c i a n ' st y p e s . B u t s u c h a s t r a t i f i c a t i o n i t s e l f m i l i t a t e s a g a i n s t t h e a l l e g e d l yt y p e - f r e e s p i r i t o f s e t t h e o r y , w h i c h w a s s u p p o s e d t o b e t y p e - f r e e .

T h e r e a c t i o n o f a c o n f i r m e d s e t t h e o r i s t t o s u c h c r i t i c i s m s o f h i s o rh e r m é t i e r m i g h t p e r h a p s b e a n i n s t a n c e o f t h e o l d r u l e : I f y o u c a n n o tb e a t t h e m , j o i n t h e m . I n t h e n e x t c h a p t e r i t w i l l b e s h o w n t h a t I F




f i r s t - o r d e r l o g i c g r e a t l y e x t e n d s t h e s p h e r e o f w h a t l o g i c c a n d o i n t h ef o u n d a t i o n s o f m a t h e m a t i c s . W h y n o t j o i n f o r c e s a n d s i m p l y h a r n e s sI F l o g i c t o t h e s e r v i c e o f a x i o m a t i c s e t t h e o r y ? A l a s , t h i s s t r a t e g y f a i l s

u n l e s s t h e f o u n d a t i o n s o f a x i o m a t i c s e t t h e o r y i t s e l f a r e r a d i c a l l yr e v i s e d . T h e r e s t o f t h i s c h a p t e r i s d e v o t e d t o e x p o s i n g t h e d i f f i c u l t i e so f a n y s t r a i g h t f o r w a r d m e r g e r o f I F l o g i c a n d s e t t h e o r y .

T h e r e i s i n f a c t a n i m p o r t a n t r e a s o n w h y a x i o m a t i c s e t t h e o r y i ni t s p r e s e n t f o r m i s i n c a p a b l e o f u s i n g t h e h e l p o f f e r e d b y I F l o g i c .T h i s h a n d i c a p i s d u e t o c e r t a i n b a s i c f e a t u r e s o f a x i o m a t i c s e t t h e o r y .A s w a s p o i n t e d o u t e a r l i e r i n t h i s c h a p t e r , t h e m a i n s t r a t e g y o f s e t

t h e o r i s t s i s t o c a p t u r e s e t s a s f u l l y a s p o s s i b l e a s e x t e n s i o n s o ff o r m u l a s o f t h e l a n g u a g e o f s e t t h e o r y . T h e u s e o f t h e a x i o m o fc o m p r e h e n s i o n n o t e d e a r l i e r i s b u t o n e m a n i f e s t a t i o n o f t h i s s t r a t -e g y . T h e f u n d a m e n t a l f a c t n e v e r t h e l e s s i s t h a t t h i s t e c h n i q u e b e -c o m e s l a r g e l y i n a p p l i c a b l e w h e n I F f i r s t - o r d e r l o g i c i s b e i n g u s e d . I fb r i e f , t h e u s u a l t e c h n i q u e s o f a x i o m a t i c s e t t h e o r y a r e i n a s e n s ei n c o m p a t i b l e w i t h I F f i r s t - o r d e r l o g i c .

W h a t I m e a n b y t h i s i s t h e f o l l o w i n g : W h e n a s e t i s c a p t u r e d b y

m e a n s o f a n o r d i n a r y f i r s t - o r d e r f o r m u l a F [ x ] , t h i s c a n b e e x p r e s s e db y t h e g e n e r a l e q u i v a l e n c e

( V x ) ( x e c * - + F { x J ) ( 8 . 8 )

T h i s e q u i v a l e n c e c a n b e u s e d a s a p r e m i s e i n s e t - t h e o r e t i c a l r e a s o n i n g .B u t i f F [ x ] i s a n i r r e d u c i b l e i n d e p e n d e n c e - f r i e n d l y f o r m u l a , t h e n ( 8 . 8 )f a i l s t o b e t r u e . T h e r e a s o n i s t h a t i t i m p l i e s t h a t F [ x ] o b e y s t h e l a w o fe x c l u d e d m i d d l e f o r a l l v a l u e s o f x , w h i c h a n i r r e d u c i b l y i n d e p e n d e n c e -

f r i e n d l y f o r m u l a d o e s n o t d o , a s w a s e x p l a i n e d i n C h a p t e r 7 .T h e u n d e r l y i n g r e a s o n f o r t h i s s i t u a t i o n i s t h a t i n t h e u s u a l

a x i o m a t i c s e t t h e o r i e s , t h e m e m b e r s h i p r e l a t i o n e i s c o n s t r u e d a sa p r i m i t i v e p r e d i c a t e . E v e r y a s s e r t i o n o f s e t m e m b e r s h i p i s t h e r e f o r ea n a t o m i c f o r m u l a . A n d t h e l a w o f e x c l u d e d m i d d l e a p p l i e s t o a t o m i cf o r m u l a s . H e n c e w e c a n n e v e r t r u l y s a y i n a s e t - t h e o r e t i c a l l a n g u a g et h a t a s e t c a p t u r e s t h e e x t e n s i o n o f a n i r r e d u c i b l y i n d e p e n d e n c e -

f r i e n d l y f o r m u l a . H e n c e t h e e n t i r e s t r a t e g y o f t r y i n g t o c a p t u r e s e t s a se x t e n s i o n s o f f o r m u l a s f a i l s t o d o i t s j o b w h e n t h e l o g i c i t i s b a s e d o ni n c l u d e s i n d e p e n d e n t q u a n t i f i e r s .

T h i s f a c t i s b u t a p a r t i c u l a r m a n i f e s t a t i o n o f a m o r e g e n e r a lp h e n o m e n o n . O n e o f t h e m o s t c r u c i a l q u e s t i o n s i n t h e f o u n d a t i o n so f a x i o m a t i c s e t t h e o r y i s h o w s e t s a r e t o b e c a p t u r e d . A s w a si n d i c a t e d i n t h e b e g i n n i n g o f t h i s c h a p t e r , t h e m o s t c o m m o n t y p e o f




a n s w e r w e f i n d i n t h e l i t e r a t u r e i s : A s e x t e n s i o n s o f p r e d i c a t e sw e l l - d e f i n e d i n t h e l a n g u a g e o f s e t t h e o r y , o r a t l e a s t a s e x t e n s i o n s o fs o m e s u i t a b l y r e s t r i c t e d w e l l - d e f i n e d p r e d i c a t e s . P e r h a p s t h e c l e a r e s te x p r e s s i o n i s S k o l e m ' s a n d W e y l ' s e x p l i c a t i o n o f Z e r m e l o ' s ( 1 9 0 8 )n o t i o n o f a d e f i n i t p r e d i c a t e . Z e r m e l o h a d i n t r o d u c e d t h i s n o t i o n t oc a p t u r e t h e s e t s w h o s e e x i s t e n c e i s a s s e r t e d b y h i s A u s s o n d e r u n -g s a x i o m . S k o l e m ( 1 9 2 2 ) a n d W e y l ( 1 9 1 7 ) i n e f f e c t i d e n t i f i e d d e f i n i tp r e d i c a t e s w i t h t h o s e r e p r e s e n t a b l e i n t h e l a n g u a g e o f t h e i r f i r s t -o r d e r s e t t h e o r y .

M o r e g e n e r a l l y , t h e r e i s a n i n f l u e n t i a l t r a d i t i o n w h i c h e q u a t e s t h e

e x i s t e n c e o f h i g h e r - o r d e r e n t i t i e s w i t h t h e i r r e p r e s e n t a b i l i t y i n a s u i t -a b l e l a n g u a g e . T h i s t r a d i t i o n h a s i n f l u e n c e d i n v a r i o u s w a y s t h ed e v e l o p m e n t o f a x i o m a t i c s e t t h e o r y . I t i s n e v e r t h e l e s s h a r d t o f i n d

t h e o r e t i c a l l y m o t i v a t e d r e a s o n s f o r t h e t h e s e s o f t h i s t r a d i t i o n .N o w w e a r e b e g i n n i n g t o s e e w h y . W h e n w e m o v e f r o m o r d i n a r y

f i r s t - o r d e r l o g i c t o I F f i r s t - o r d e r l o g i c , e v e r y r e a s o n d i s a p p e a r s f o rt h i n k i n g o f w e l l - f o r m e d n e s s o f c o m p l e x p r e d i c a t e s a s t h e b e n c h m a r k

o f t h e i r c a p a b i l i t y t o c a p t u r e a s e t . A s s u m e t h a t S E x ] i s a c o m p l e x

p r e d i c a t e o f a n I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e , w i t h x a s i t s o n l y f r e ei n d i v i d u a l v a r i a b l e . T h e n t h e c o r r e s p o n d i n g s e t s p r e s u m a b l y w o u l db e c h a r a c t e r i z e d b y t h e s e n t e n c e

( 8 . 9 )

B u t t h i s s e n t e n c e c a n b e t r u e o n l y i f S [ x ] s a t i s f i e s t h e l a w o f e x c l u d e dm i d d l e , w h i c h i s o f t e n n o t t h e c a s e i n I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e s . H e n c e

t h e e x t e n s i o n o f S [ x ] i s a s e t o n l y i f S [ x ] o b e y s t e r t i u m n o n d a t u r .E v e n i f S [ x ] i s p e r f e c t l y w e l l - f o r m e d , i t d o e s n o t c a p t u r e a s e t u n l e s si t i s a f o r m u l a o f a n o r d i n a r y f i r s t - o r d e r l a n g u a g e . T h u s i n a n I Ff i r s t - o r d e r l a n g u a g e o f s e t t h e o r y , t h e w e l l - f o r m e d n e s s o f a f o r m u l ad o e s n o t g u a r a n t e e t h e e x i s t e n c e o f t h e c o r r e s p o n d i n g s e t .

T h i s f a i l u r e o f t h e p u r p o r t e d l i n k b e t w e e n w e l l - f o r m e d n e s s a n d s e te x i s t e n c e d o e s n o t h a v e a n y t h i n g t o d o w i t h t h e r e i f i c a t i o n i n v o l v e di n t h e i d e a o f s e t s a s i n d i v i d u a l s o v e r w h i c h o n e c a n q u a n t i f y . S u p -

p o s e t h a t w e m o d i f y ( 8 . 9 ) s o t h a t , i n s t e a d o f c h a r a c t e r i z i n g t h e s e t s , i tn o w d e f i n e s a n e w o n e - p l a c e p r e d i c a t e P . f o r i n s t a n c e a s f o l l o w s :

( 8 . 1 0 )

T h e n w e a r e n o t d o i n g a n y b e t t e r t h a n w i t h ( 8 . 9 ) . F o r , l i k e ( 8 . 9 ) , t h ee x p l i c i t d e f i n i t i o n ( 8 . 1 0 ) p r e s u p p o s e s t h a t S [ x ] c o n f o r m s t o t h e l a wo f e x c l u d e d m i d d l e .




T h e t r o u b l e h e r e c a n n o t b e b l a m e d o n t h e a b s e n c e o f a p u r e l yt r u t h - f u n c t i o n a l e q u i v a l e n c e , e i t h e r . I n o r d e r t o s e e t h i s , w e m a yi n t r o d u c e a n e w c o n n e c t i v e d e f i n e d s e m a n t i c a l l y a s f o l l o w s :

i s t r u e i f a n d o n l y i f ( 8 . 1 1 )

( a ) b o t h S 1 a n d S 2 a r e t r u e

o r

( b ) b o t h S 1 a n d S 2 a r e n o t t r u e ( i . e . , e i t h e r f a l s e o r n e i t h e r t r u e -n o r - f a l s e )W h a t w i l l h a p p e n ? i f w e n o w u s e i n s t e a d o f i n t h e e x p l i c i td e f i n i t i o n o f a n e w p r e d i c a t e ? C o n s i d e r t h e r e s u l t o f t h i s c h a n g e i n( 8 . 1 0 ) , t h a t i s

( 8 . 1 2 )

I n t u i t i v e l y s p e a k i n g , f o r e a c h v a l u e b P ( b ) i s t r u e i f a n d o n l y i f S [ b ] i st r u e ; o t h e r w i s e i t i s f a l s e . L e t u s n o w a p p l y t h e d e f i n i t i o n s c h e m a ( 8 . 1 2 )t o t h e t r u t h p r e d i c a t e T r [ x ] . T h e n t h e r e i s i n t h e e x t e n d e d l a n g u a g e

a p r e d i c a t e c o n s t a n t P ( x ) s u c h t h a t

( 8 . 1 3 )

B y t h e d i a g o n a l l e m m a , t h e r e i s a n u m b e r n s u c h t h a t n i s t h e G ö d e ln u m b e r o f — ' p ( n ) , w h e r e n i s t h e n u m e r a l r e p r e s e n t i n g n . I f P ( n ) w e r e

t r u e , i t w o u l d f o l l o w f r o m ( 8 . 1 3 ) t h a t i t i s f a l s e . B u t i f i — ' P ( n ) w e r e n o tt r u e , i t w o u l d l i k e w i s e f o l l o w f r o m ( 8 . 1 3 ) t h a t i t w o u l d b e t r u e . H e n c e

d e f i n i t i o n s o f t h e f o r m ( 8 . 1 2 ) a r e n o t a l w a y s a d m i s s i b l e .T h e e x i s t e n c e ( a d m i s s i b i l i t y ) o f d e f i n i t i o n s l i k e ( 8 . 1 2 ) i s w h a tR u s s e l l ' s A x i o m o f R e d u c i b i l i t y ( R u s s e l l a n d W h i t e h e a d 1 9 1 0 — 1 3 ,V o l . 1 , p p . 5 5 — 5 9 ) i s s u p p o s e d t o g u a r a n t e e . W h a t h a s b e e n f o u n d i st h a t i n I F f i r s t - o r d e r l o g i c n o p r i n c i p l e r e m o t e l y l i k e R u s s e l l ' sr e d u c i b i l i t y a x i o m h o l d s .

I n d i f f e r e n t t e r m i n o l o g y , w e c a n s a y t h a t t h e f a i l u r e o f w e l l -f o r m e d n e s s t o g u a r a n t e e s e t o r p r e d i c a t e e x i s t e n c e i s n o a b j e c t t h a t

e v e n t h e s a f e s t v e h i c l e o f w e l l - d e f i n e d n e s s , a n e x p l i c i t d e f i n i t i o n , d o e sn o t g u a r a n t e e s e t e x i s t e n c e o r e v e n t h e e x i s t e n c e o f a q u a n t i f i e r - f r e ep r e d i c a t e .

T h e s e o b s e r v a t i o n s a r e m o s t s u g g e s t i v e . T h e y s h o w t h a t s o m e o ft h e f a v o r i t e m e t h o d s u s e d b y l o g i c i a n s a n d m a t h e m a t i c i a n s c a n n o tb e e x t e n d e d b e y o n d o r d i n a r y f i r s t - o r d e r t h e o r i e s . E x p l i c i t d e f i n i -t i o n s c a n n o t b e u s e d w i t h o u t s t r i c t p r e c a u t i o n s o u t s i d e o r d i n a r y




f i r s t - o r d e r l o g i c . A n d t h e t a c t i c o f s e t t h e o r i s t s i n t r y i n g t o a c c e s s s e t sv i a t h e p r e d i c a t e s w h o s e e x t e n s i o n s t h e y a r e s u p p o s e d t o b e d o e s n o t

a l w a y s w o r k a f t e r t h e p o s s i b i l i t y o f i n f o r m a t i o n a l i n d e p e n d e n c e i sr e c o g n i z e d . T h i s i n t u r n s h o w s t h a t F r e g e ' s e n t i r e a p p r o a c h t o t h e

f o u n d a t i o n s o f l o g i c a n d m a t h e m a t i c s i s s u b j e c t t o s e v e r e l i m i t a t i o n s ,f o r t h e o n l y r o l e t h a t s e t s p l a y i n h i s a p p r o a c h i s a s c o u r s e - o f - v a l u e s

o f p r e d i c a t e s ( " f u n c t i o n s " ) .A n o t h e r w a y o f p u t t i n g e s s e n t i a l l y t h e s a m e p o i n t i s t o s a y t h a t t h e

u s u a l t h e o r y o f d e f i n i t i o n i s o n e o f t h e m a n y f e a t u r e s o f o r d i n a r yf i r s t - o r d e r l o g i c t h a t c a n n o t b e e x t e n d e d b e y o n d i t s i d i o s y n c r a t i c

b o u n d a r i e s .T h e r e i s a m o r e u p b e a t w a y o f l o o k i n g a t t h e s e r e s u l t s . W h a t h a sb e e n f o u n d i s t h a t t h e p o w e r o f I F f i r s t - o r d e r l o g i c i n d e a l i n g w i t hc o m p l e x p r e d i c a t e s e x t e n d s w a y b e y o n d p r e d i c a t e s t h a t a r e w e l l -d e f i n e d f o r t h e p u r p o s e s o f s e t t h e o r i s t s . H e n c e o n c e a g a i n I F f i r s t -o r d e r l o g i c h a s b e e n f o u n d t o b e a b e t t e r c o n c e p t u a l t o o l i n t h ef o u n d a t i o n s o f m a t h e m a t i c s t h a n r e c e i v e d s e t t h e o r y .

T h i s s u g g e s t s a m a j o r n e w w a y o f i m p r o v i n g t h e e x i s t i n g t e c h -

n i q u e s o f s e t t h e o r e t i c a l c o n c e p t u a l i z a t i o n a n d a r g u m e n t a t i o n . T h i sw a y c o n s i s t s i n d e p a r t i n g r a d i c a l l y f r o m C a n t o r ' s r e q u i r e m e n t t h a ts e t m e m b e r s h i p m u s t b e w e l l - d e f i n e d , a n d i n a l l o w i n g f o r s e t s w h i c h

a r e o n l y p a r t i a l l y d e f i n e d i n t h e s e n s e t h a t t h e l a w o f e x c l u d e d m i d d l ed o e s n o t a p p l y t o m e m b e r s h i p i n s u c h a s e t : b e s i d e s d e f i n i t e m e m b e r sa n d n o n m e m b e r s t h e r e a r e a l s o p o t e n t i a l e l e m e n t s w h i c h a r e n e i t h e r .

S u c h a s e t t h e o r y w o u l d b e i n t h e s p i r i t o f t h e r e c e n t l y k i n d l e d

i n t e r e s t a m o n g l o g i c i a n s , m a t h e m a t i c i a n s a n d f o r m a l l i n g u i s t s i np a r t i a l i t y , e v i n c e d a n d s u r v e y e d b y F e n s t a d ( 1 9 9 6 ) . I n d e e d , s u c h a nI F s e t t h e o r y w o u l d p r o v i d e a c o n v i n c i n g e x a m p l e o f t h e w a y s i nw h i c h a l l o w i n g p a r t i a l i t y c a n a c t u a l l y s t r e n g t h e n s i g n i f i c a n t l y o n e ' sc o n c e p t u a l r e s o u r c e s .

A f e w f u r t h e r c o m m e n t s m a y b e i n o r d e r . S e t t h e o r y i s s o m e t i m e sa c c u s e d o f r e i f y i n g s e t s i n t o o b j e c t s . I t i s n o t c l e a r p r e c i s e l y w h a t s u c ha c c u s a t i o n s c a n m e a n . T h e t r e a t m e n t o f m e m b e r s h i p r e l a t i o n a s

a p r i m i t i v e r e l a t i o n o n a p a r w i t h o t h e r s o f f e r s a p o s s i b l e p r e c i s a t i o no f s u c h a c c u s a t i o n s . F o r w h a t i t a m o u n t s t o i s a t r e a t m e n t o f t h er e l a t i o n o f a s e t t o e a c h o n e o f i t s m e m b e r s i n t h e s a m e w a y a s a n yr e l a t i o n b e t w e e n t w o i n d i v i d u a l s ( o b j e c t s ) i s t r e a t e d . A n d i f t h i s i sw h a t t h e r e i f i c a t i o n o f s e t s m e a n s , i t i s i n d e e d a m i s t a k e n o r a t l e a s ti l l - a d v i s e d p r o c e d u r e , f o r i t c u t s a x i o m a t i c s e t t h e o r y o f f f r o m s o m eo f i t s m o s t i m p o r t a n t p o t e n t i a l r e s o u r c e s .




A x i o m a t i c s e t t h e o r y i s t h u s s u b j e c t t o v a r i o u s t h e o r e t i c a l p r o b -l e m s a s a f r a m e w o r k f o r d o i n g m a t h e m a t i c s , a n d m a y e v e n t u r n o u tt o b e t o t a l l y u n a c c e p t a b l e i n i t s p r e s e n t f o r m . F u r t h e r m o r e , I h a v en o t a s m u c h a s t o u c h e d o n t h e d i f f i c u l t i e s o f a c t u a l l y c h o o s i n g t h ea x i o m s o f s e t t h e o r y . W h a t a s s u m p t i o n s a b o u t s e t e x i s t e n c e s h o u l dw e m a k e ? H o w c a n w e d e c i d e ? E n o u g h h a s b e e n s a i d i n a n y c a s e t o

j u s t i f y a s e a r c h f o r a b e t t e r f r a m e w o r k f o r m a t h e m a t i c a l t h e o r i z i n g .

N o t e

T h i s c o n c e p t i o n o f m a t h e m a t i c a l e x i s t e n c e a s p e r t a i n i n g t o s o m e k i n d o f s u p e r -u n i v e r s e o f a l l p o s s i b l e s t r u c t u r e s p l a y e d a n i m p o r t a n t r o l e i n t h e f o u n d a t i o n s o f

m a t h e m a t i c s a r o u n d t h e t u r n o f t h e c e n t u r y . I t w a s s e l d o m , i f e v e r , d i s c u s s e de x p l i c i t l y , a n d l a t e r p h i l o s o p h e r s a n d h i s t o r i a n s h a v e n e g l e c t e d i t v i r t u a l l yc o m p l e t e l y . Y e t i t r e a r s i t s h e a d i n t h e w r i t i n g s o f t h e f o r e m o s t m a t h e m a t i c i a n sa n d l o g i c i a n s d i s c u s s i n g t h e f o u n d a t i o n s o f m a t h e m a t i c s o f t h a t p e r i o d . T h ef o l l o w i n g i s a b r i e f l i s t o f s o m e o f t h e m o r e c o n s p i c u o u s a p p e a r a n c e s o f t h i s i d e a :D a u b e n ( 1 9 7 9 , p p . 1 4 5 — 1 4 6 , o n C a n t o r ) ; F r e g e a n d H i l b e r t ( F r e g e 1 9 8 0 , p p . 4 3 —

4 4 ) ; P o i n c a r é ( 1 9 0 5 — 6 , p . 8 1 9 ; 1 9 5 2 , p p . 1 5 1 — 1 5 2 ) ; T a r s k i ( 1 9 3 5 , p . 3 1 8 ; 1 9 5 6 ,

p . 1 9 9 ) .



9

I F L o g i c a s a F r a m e w o r k f o rM a t h e m a t i c a l T h e o r i z i n g

I n e a r l i e r c h a p t e r s , e s p e c i a l l y i n C h a p t e r s 3 , 4 , a n d 7 , I F f i r s t - o r d e rl o g i c w a s i n t r o d u c e d a n d i t s m a t h e m a t i c a l p r o p e r t i e s w e r e b r i e f l ys t u d i e d . T h e c r u c i a l l y i m p o r t a n t q u e s t i o n h e r e i s , n e v e r t h e l e s s , n o tw h a t m a t h e m a t i c s c a n d o f o r y o u r l o g i c , b u t w h a t y o u r l o g i c c a n d o

f o r m a t h e m a t i c s . W h a t c a n l o g i c a n y l o g i c i n p r i n c i p l e d o i n a n d

f o r m a t h e m a t i c s ?H e r e w e a r e i n t h e p r o x i m i t y o f s o m e o f t h e m a i n t r a d i t i o n a l , n o t

t o s a y n o s t a l g i c , i s s u e s i n t h e f o u n d a t i o n s o f m a t h e m a t i c s . F o r o n et h i n g , t h e l o g i c i s t p h i l o s o p h e r s u s e d t o h a v e a s i m p l e a n s w e r t o t h eq u e s t i o n j u s t p o s e d . T h e i r a n s w e r w a s : E v e r y t h i n g . O r , a s i t a l s o u s e dt o b e p u t : M a t h e m a t i c s c a n b e r e d u c e d t o l o g i c . U n f o r t u n a t e l y , t h en o s t a l g i a o f t h i s a n s w e r i s n o t w h a t i t w a s i n t h e g o o d o l d d a y s . I t w a st h e n t h o u g h t t h a t " t h e l o g i c " c o u l d b e f o r m u l a t e d a s a n a x i o ms y s t e m o n t h e s a m e l e v e l a s d i f f e r e n t m a t h e m a t i c a l a x i o m s y s t e m s , s ot h a t t h e p u r p o r t e d r e d u c t i o n c o u l d b e d i s c u s s e d a s a r e d u c t i o n o fo n e a x i o m a t i c s y s t e m t o a n o t h e r .

W h a t h a s b e e n f o u n d i n t h i s b o o k s h o w s t h e h o p e l e s s n e s s o f s u c ht h i n k i n g . N o t o n l y i s a c o m p l e t e a x i o m a t i z a t i o n i m p o s s i b l e f o r t h eb a s i c p a r t o f l o g i c , I F f i r s t - o r d e r l o g i c b u t e v e n w h e n t h e r e e x i s t s a na x i o m a t i z a t i o n o f s o m e p a r t o f l o g i c , i t i s a n a x i o m a t i z a t i o n i n

a r a d i c a l l y d i f f e r e n t s e n s e f r o m a x i o m s y s t e m s f o r n o n l o g i c a l t h e -o r i e s . T h i s d i s p a r i t y m a k e s i t n o n s e n s i c a l t o s p e a k o f a r e d u c t i o n o fa n o n l o g i c a l a x i o m s y s t e m t o a l o g i c a l o n e .

Y e t t h e i s s u e s r a i s e d b y t h e l o g i c i s t s a r e r e l e v a n t a n d i m p o r t a n t .H o w e v e r , i n s t e a d o f t r y i n g t o f o r m u l a t e t h e m a s q u e s t i o n s o f t h er e d u c i b i l i t y o f o n e a x i o m s y s t e m t o a n o t h e r , w e s h o u l d f o r m u l a t e

1 8 3




t h e m a s q u e s t i o n s a b o u t t h e s t a t u s o f m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s a n dm a t h e m a t i c a l m o d e s o f r e a s o n i n g v i s - â - v i s l o g i c . T h u s w e m a y — a n d

m u s t — a s k t w o d i f f e r e n t q u e s t i o n s :

( a ) C a n o n e d e f i n e t h e c r u c i a l m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s i n l o g i c a lt e r m s ?

( b ) C a n o n e e x p r e s s t h e m o d e s o f i n f e r e n c e u s e d i n m a t h e m a t i c s i nl o g i c a l t e r m s ?

I t i s i m p o r t a n t t o r e a l i z e t h a t w h a t h a s b e e n f o u n d i n t h i s b o o kc h a n g e s t h e r e c e i v e d f o r c e o f t h e q u e s t i o n s ( a ) — ( b ) . I n p a r t i c u l a r :

( i ) I n r e a l i t y , ( a ) i n v o l v e s t w o d i f f e r e n t q u e s t i o n s . T h e y a r e : ( a l ) C a no n e d e f i n e i n p u r e l y l o g i c a l t e r m s s u c h c o n c e p t s a s n a t u r a ln u m b e r a n d r e a l n u m b e r ? ( a 2 ) C a n o n e f o r m u l a t e a d e s c r i p t i v e l yc o m p l e t e a x i o m s y s t e m f o r d i f f e r e n t m a t h e m a t i c a l t h e o r i e s ?

( i i ) S i n c e l o g i c i t s e l f i s i n c o m p l e t e , t h e f o r c e o f ( b ) i s n o t t o a s kw h e t h e r m a t h e m a t i c a l m o d e s o f i n f e r e n c e c a n b e c a p t u r e d b yd e d u c t i v e r u l e s o f l o g i c , b u t r a t h e r w h e t h e r t h e y c a n b e c a p t u r e d

a s s e m a n t i c a l l y v a l i d l o g i c a l i n f e r e n c e s .

H e r e w e e n c o u n t e r a p r o b l e m s i t u a t i o n t h a t h a s p r e v a i l e d i nt w e n t i e t h - c e n t u r y p h i l o s o p h i c a l t h i n k i n g s i n c e t h e d e m i s e o f t h eo l d e r l o g i c i s t p r o g r a m . A p h i l o s o p h e r ' s t y p i c a l i d e a o f l o g i c i s t h eo r d i n a r y f i r s t - o r d e r l o g i c . T h e r e i s i n f a c t m u c h t o b e s a i d f o r i t a sa f r a m e w o r k f o r m a t h e m a t i c a l t h e o r i z i n g . B e c a u s e t h i s l o g i c i ss e m a n t i c a l l y c o m p l e t e , a d e s c r i p t i v e l y c o m p l e t e a x i o m a t i z a t i o n o fa n y g i v e n m a t h e m a t i c a l t h e o r y b y m e a n s o f o r d i n a r y f i r s t - o r d e rl o g i c a u t o m a t i c a l l y y i e l d s a d e d u c t i v e l y c o m p l e t e a x i o m a t i z a t i o n .M o s t p h i l o s o p h e r s w o u l d i n f a c t a g r e e t h a t i t w o u l d b e s p l e n d i d i f w ec o u l d d o a l l o f m a t h e m a t i c s w i t h i n t h e f r a m e w o r k o f f i r s t - o r d e rl o g i c — w e n n d a s W e n n i m W e g e n i c h t w a r e . B u t t h e s a d t r u t h i s t h a ta l l o f m a t h e m a t i c s j u s t c a n n o t b e d o n e i n t e r m s o f o r d i n a r y f i r s t -o r d e r l o g i c , o r a p p a r e n t l y o n t h e f i r s t - o r d e r l e v e l i n g e n e r a l . T h e r ea r e c r u c i a l l y i m p o r t a n t c o n c e p t s a n d m o d e s o f i n f e r e n c e i n m a t h e -

m a t i c s t h a t c a n n o t b e c a p t u r e d b y m e a n s o f o r d i n a r y f i r s t - o r d e rl o g i c . T h e y i n c l u d e t h e p r i n c i p l e o f m a t h e m a t i c a l i n d u c t i o n a n d t h en o t i o n s o f f i n i t e n e s s , i n f i n i t y , w e l l - o r d e r i n g , c a r d i n a l i t y , p o w e r s e t ,a n d s o f o r t h . A n d t h e w a y t h e s e n o t i o n s a r e n o t c a p t u r e d b y o r d i n a r y

f i r s t - o r d e r l o g i c i s m u c h d e e p e r t h a n m e r e l y n o t b e i n g a b l e t o s e t u pc o m p l e t e a x i o m s y s t e m s i n c o r p o r a t i n g t h e s e n o t i o n s . T h e i m p o s s i -b i l i t y i s m o d e l - t h e o r e t i c a l . B y m e a n s o f o r d i n a r y f i r s t - o r d e r s e n -



M A T H E M A T I C A L T H E O R I Z I N G 1 8 5

t e n c e s o n e j u s t c a n n o t c a p t u r e t h e r i g h t c l a s s o f s t r u c t u r e s a s t h e i rm o d e l s . F o r o n e u n c h a r a c t e r i s t i c a l l y s i m p l e e x a m p l e , t h e r e i s n of o r m u l a o f o r d i n a r y f i r s t - o r d e r l o g i c w i t h i d e n t i t y = a s i t s o n l yp r e d i c a t e w h i c h i s t r u e i f a n d o n l y i f t h e u n i v e r s e o f d i s c o u r s e i si n f i n i t e .

J o n B a r w i s e h a s e x p r e s s e d t h i s s h o r t c o m i n g o f o r d i n a r y f i r s t -o r d e r l o g i c a s f o l l o w s :

P a g i n g t h r o u g h a n y m o d e r n m a t h e m a t i c a l b o o k , o n e c o m e s a c r o s s c o n c e p ta f t e r c o n c e p t t h a t c a n n o t b e e x p r e s s e d i n [ o r d i n a r y ] f i r s t - o r d e r l o g i c ,c o n c e p t s f r o m s e t - t h e o r y ( l i k e i n f i n i t e s e t , c o u n t a b l e s e t ) , f r o m a n a l y s i s ( l i k e

s e t o f m e a s u r e 0 o r h a v i n g t h e B a i r e p r o p e r t y ) , a n d f r o m p r o b a b i l i t y t h e o r y( l i k e r a n d o m v a r i a b l e a n d h a v i n g p r o b a b i l i t y g r e a t e r t h a n s o m e r e a l n u m b e r r )

a r e c e n t r a l n o t i o n s i n m a t h e m a t i c s w h i c h , o n t h e m a t h e m a t i c i a n - i n - t h e -s t r e e t v i e w , h a v e t h e i r o w n l o g i c . ( B a r w i s e i n B a r w i s e a n d F e f e r m a n 1 9 8 5 ,

p p . 5 — 6 )

I w i l l r e t u r n t o B a r w i s e ' s s t a t e m e n t l a t e r .T h e n e e d t o c o p e w i t h a l l t h e s e d i f f e r e n t k i n d s o f m a t h e m a t i c a l

c o n c e p t s a n d m a t h e m a t i c a l m o d e s o f r e a s o n i n g i m p o s e s r e q u i r e -m e n t s o n l o g i c t h a t o r d i n a r y f i r s t - o r d e r l o g i c c a n n o t s a t i s f y . B u t i t i sn o t c l e a r w h a t k i n d o f l o g i c , i f a n y , o r w h a t k i n d o f u s e o f l o g i c c a n d os o . T h i s i s w h a t I m e a n t b y t h e c u r r e n t t e n s i o n b e t w e e n m a t h e m a t i c sa n d l o g i c i n t h e f o u n d a t i o n s o f m a t h e m a t i c s .

B e c a u s e o f t h i s f a i l u r e o f o r d i n a r y f i r s t - o r d e r l o g i c t o s e r v e t h en e e d s o f m a t h e m a t i c s , i t i s u s u a l l y t h o u g h t t h a t m a t h e m a t i c a lr e a s o n i n g i s i r r e d u c i b l y s e t - t h e o r e t i c a l o r t h a t i t i n v o l v e s o t h e r w i s eh i g h e r - o r d e r n o t i o n s l i k e c o n c e p t s , f u n c t i o n s o r p r e d i c a t e s . T h i s

l e n d s a t r e m e n d o u s p r i m a f a c i e i m p o r t a n c e t o t h e t h i r d u s e o f l o g i c i nm a t h e m a t i c s m e n t i o n e d a t t h e e n d o f C h a p t e r 1 , n a m e l y , t o t h e u s e o fl o g i c ( u s u a l l y o r d i n a r y f i r s t - o r d e r l o g i c ) a s a f r a m e w o r k f o r d o i n ga x i o m a t i c s e t t h e o r y . I n d e e d , w e h a v e h e r e a n e x p l a n a t i o n f o r t h ea l l e g e d l y c e n t r a l r o l e o f s e t t h e o r y i n t h e f o u n d a t i o n s o f m a t h e m a t -i c s . E v e n t h o u g h t h e r e i s l i t t l e a g r e e m e n t a m o n g t h e p h i l o s o p h i c a l

t h e o r i e s , i n p r a c t i c e t h e r e i s a g r e a t d e a l o f u n i f o r m i t y a s t o h o wm a t h e m a t i c s s h o u l d i n p r i n c i p l e b e d o n e . I t i s p r e c i s e l y a x i o m a t i c s e tt h e o r y w h i c h i s g e n e r a l l y ( b u t n o t u n i v e r s a l l y ) t h o u g h t o f a s t h ef r a m e w o r k i n w h i c h a l l s e r i o u s m a t h e m a t i c a l t h e o r i z i n g s h o u l d — o ra t l e a s t c o u l d t a k e p l a c e . U n f o r t u n a t e l y , i t w a s f o u n d i n t h ep r e c e d i n g c h a p t e r t h a t a x i o m a t i c s e t t h e o r y i n i t s p r e s e n t f o r m i s n o tc a p a b l e o f d o i n g w h a t i t m u s t b e c a p a b l e o f d o i n g t o q u a l i f y a s a




f r a m e w o r k f o r m a t h e m a t i c a l t h e o r i z i n g . H e n c e w e h a v e t o l o o k f o rs o m e o t h e r s o u r c e s o f g r e a t e r l o g i c a l h o r s e p o w e r t h a n w h a t i sp r o v i d e d f o r b y o r d i n a r y f i r s t - o r d e r l o g i c .

H o w s o o n t h e n e e d f o r a s t a n d a r d h i g h e r - o r d e r l o g i c a r i s e s c a n b es e e n b y c o n s i d e r i n g a F r e g e - t y p e d e f i n i t i o n o f n u m b e r a s t h e c l a s s o fa l l e q u i c a r d i n a l s e t s . E q u i c a r d i n a l i t y c a n n o t b e d e f i n e d i n o r d i n a r yf i r s t - o r d e r t e r m s . W e n o t o n l y u s e h i g h e r - o r d e r l o g i c i n t h e c u s t o m -a r y d e f i n i t i o n o f e q u i c a r d i n a l i t y w h i c h s a y s t h a t t w o c l a s s e s a r ee q u i c a r d i n a l i f a n d o n l y i f t h e r e e x i s t s a o n e - t o - o n e r e l a t i o n m a p p i n gt h e m o n t o e a c h o t h e r . T h e n o t i o n o f h i g h e r - o r d e r e x i s t e n c e m u s t b e

t a k e n i n t h e s t a n d a r d s e n s e . F o r o t h e r w i s e t h e r e m i g h t v e r y w e l l e x i s tt w o c l a s s e s w h i c h a r e e q u i c a r d i n a l i n t h e i n t e n d e d p r e t h e o r e t i c a ls e n s e b u t w h i c h d o n o t h a v e a n y n o n s t a n d a r d l y e x i s t i n g r e l a t i o n t om a p t h e m o n e a c h o t h e r o n e - t o - o n e . ( I n t h e m o s t c o m m o n v a r i a n t o fn o n s t a n d a r d h i g h e r - o r d e r l o g i c , t h e h i g h e r - o r d e r v a r i a b l e s r a n g eo v e r t h o s e h i g h e r - o r d e r e n t i t i e s t h a t c a n b e d e f i n e d i n t h e t h e o r y i nq u e s t i o n . ) I f b r i e f , e q u i c a r d i n a l i t y i s a p p a r e n t l y a n e s s e n t i a l l y ( t h a t i s ,s t a n d a r d l y ) h i g h e r - o r d e r o r p e r h a p s s e t - t h e o r e t i c a l n o t i o n . A n d i f s o ,

F r e g e ' s a n d R u s s e l l ' s f a m o u s r e d u c t i o n c o u l d n o t r e d u c e m a t h e m a t -i c s a l l t h e w a y t o l o g i c ( e v e n i f i t w e r e o t h e r w i s e s u c c e s s f u l ) , o n l y t ot h e b r a n c h o f m a t h e m a t i c s c a l l e d s e t t h e o r y — o r m i s l e a d i n g l yl a b e l e d " h i g h e r o r d e r l o g i c " . T h u s n o r e d u c t i o n o f m a t h e m a t i c s t oa n y t h i n g e l s e i s a c c o m p l i s h e d — o r s o i t s e e m s .

H e r e I F f i r s t - o r d e r l o g i c p u t s t h i n g s i n a r a d i c a l l y n e w l i g h t . T ot a k e b u t o n e e x a m p l e , e v e n t h o u g h i t m a y b e a s h o r t s t e p f o r o n el o g i c , i t i s a p o t e n t i a l l y l o n g s t e p f o r m a t h k i n d t o d i s c o v e r t h a te q u i c a r d i n a l i t y c a n b e d e f i n e d i n I F f i r s t - o r d e r l o g i c f o r t h e e x t e n -s i o n s o f t w o o r d i n a r y f i r s t - o r d e r p r e d i c a t e s , s i m p l e o r c o m p l e x ,s a y F 1 [ x ] a n d F 2 [ x ] . T h e f o l l o w i n g f o r m u l a w i l l s e r v e t h e p u r -p o s e :

D F 2 [ y ] ) &

( F 2 [ z ] F 1 [ u J ) & ( ( y = z ) * — * ( u = x ) ) ) ( 9 . 1 )

A m o m e n t ' s t h o u g h t w i l l c o n v i n c e y o u t h a t ( 9 . 1 ) d o e s t h e j o b i t w a ss u p p o s e d t o d o . T h i s t h o u g h t m i g h t b e f a c i l i t a t e d b y t h e s e c o n d -o r d e r t r a n s l a t i o n o f ( 9 . 1 ) :

( J f ) ( R g ) ( V x ) ( z ) ( F 1 [ x ] z F 2 [ f ( x ] ) &

( F 2 [ z ] F 1 [ g ( z ) J ) & ( ( f ( x ) = z ) 4 - + ( g ( z ) = x ) ) ) ( 9 . 2 )




A s a s p e c i a l c a s e w e o b t a i n a n e x p r e s s i o n f o r t h e e q u i c a r d i n a l i t y o ft w o s e t s c c a n d / 3 .

D y e / i ) &

( z e f i D u G a c ) & ( ( y = z ) 4 - . ( u = x ) ) ) ( 9 . 3 )

I f w e t r y t o r e m o v e t h e r e s t r i c t i o n o f F 1 [ x ] a n d F 2 [ x ] t o o r d i n a r yf i r s t - o r d e r p r e d i c a t e s , t h e n w e w i l l f i n d o u t t h a t o u r d e f i n i t i o n w o r k s

o n l y i f F 1 [ x ] a n d F 2 [ x ] a r e o r d i n a r y f i r s t - o r d e r f o r m u l a s .O n e i n t e r e s t i n g f a c t h e r e i s t h a t t h e e q u i c a r d i n a l i t y o f t w o s e t s

c c a n d / 3 c a n n o t b e e x p r e s s e d b y a n o r d i n a r y f i r s t - o r d e r f o r m u l a e v e n

f o r t h e c a s e s w h e r e c c a n d / 3 a r e f i n i t e . H e n c e w e h a v e h e r e a n e x a m p l eo f t h e w a y s i n w h i c h I F f i r s t - o r d e r l o g i c g i v e s u s a d d i t i o n a l p o w e re v e n f o r t h e s t u d y o f f i n i t e s t r u c t u r e s .

S i m i l a r t h i n g s c a n b e s a i d o f t h e n o t i o n o f i n f i n i t y . I n m a t h e m a t i c s ,w e a r e d e a l i n g w i t h a n i n f i n i t e u n i v e r s e . B u t e v e n b e f o r e w e c a n f a c et h e q u e s t i o n a s t o w h e t h e r o r n o t t h e i n f i n i t y o f t h e u n i v e r s e o fm a t h e m a t i c s h a s t o b e a s s u m e d o r t h e q u e s t i o n w h e t h e r t h i s i s

a l o g i c a l o r a m a t h e m a t i c a l a s s u m p t i o n , w e h a v e t o s e e w h e t h e r o rn o t t h e a s s u m p t i o n i t s e l f c a n b e e x p r e s s e d i n p u r e l y l o g i c a l t e r m s , o rw h e t h e r t h e m e r e f o r m u l a t i o n o f t h e c o n c e p t o f i n f i n i t y r e q u i r e s t h eh e l p o f s e t t h e o r y . I n o r d i n a r y f i r s t - o r d e r l o g i c , t h e i n f i n i t y o f t h eu n i v e r s e c a n n o t b e e x p r e s s e d w i t h o u t t h e h e l p o f n o n l o g i c a l c o n -s t a n t s . H o w e v e r , i n I F f i r s t - o r d e r l o g i c t h e i n f i n i t y o f t h e u n i v e r s e o fd i s c o u r s e c a n b e e x p r e s s e d b y u s i n g = a s t h e o n l y p r e d i c a t e . T h ef o l l o w i n g i s a c a s e i n p o i n t :

y ) & ( z y ) & ( ( x = z ) 4 - * ( y = u ) ) )

( 9 . 4 )

T h i s i s e a s i l y s e e n t o b e e q u i v a l e n t t o

& ( ( f ( x ) = f ( z ) ) + - * ( x = z ) ) ) ( 9 . 5 )

I f ( 9 . 4 ) o r ( 9 . 5 ) i s t r u e , t h e n t h e u n i v e r s e m u s t b e e i t h e r e m p t y o r

i n f i n i t e .B y r e l a t i v i z i n g t h e q u a n t i f i e r s i n ( 9 . 4 ) t o t h e e x t e n s i o n o f a g i v e no r d i n a r y f i r s t - o r d e r p r e d i c a t e F [ x ] ( s i m p l e o r c o m p l e x ) w e c a n

l i k e w i s e d e f i n e t h e i n f i n i t y o f t h i s e x t e n s i o n i n f i r s t - o r d e r t e r m s . I f t h er e s t r i c t i o n t o o r d i n a r y f i r s t - o r d e r f o r m u l a s i s r e m o v e d , w e o b t a i na c h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e i n f i n i t y o f t h e c l a s s o f i n d i v i d u a l s w h i c h

d o e s n o t m a k e F [ x ] f a l s e .




I t i s o f s o m e p h i l o s o p h i c a l i n t e r e s t t o t a k e a c l o s e r l o o k a ts e n t e n c e s l i k e ( 9 . 4 ) . T h i s s e n t e n c e c o n t a i n s n o p r e d i c a t e s o t h e r t h a nt h e i d e n t i t y r e l a t i o n . Y e t i t h a s a h i g h l y n o n t r i v i a l m e a n i n g . W h e r ed o e s t h i s n o n t r i v i a l m e a n i n g c o m e f r o m ? T h e o n l y c a n d i d a t e s a r e t h en o t i o n o f i d e n t i t y a n d q u a n t i f i e r s ( p l u s p r o p o s i t i o n a l c o n n e c t i v e s ) .T h e i r m e a n i n g t h u s h a s t o b e u n d e r s t o o d i n d e p e n d e n t l y o f a n yc o n s t a n t p r e d i c a t e s . T h i s s u g g e s t s a n i n t e r e s t i n g c o n c l u s i o n c o n -c e r n i n g t h e n o t i o n o f i d e n t i t y w h i c h i s c o d i f i e d i n f i r s t - o r d e r l o g i c .

T h i s n o t i o n i s n o t b a s e d o n , o r o t h e r w i s e d e r i v a t i v e f r o m , a n yp a r t i c u l a r c o n s t a n t p r e d i c a t e s , s u c h a s s o - c a l l e d s o r t a l p r e d i c a t e s .

T h e n o t i o n o f i d e n t i t y i n a g i v e n d o m a i n c a n b e u n d e r s t o o d i n d e p e n -d e n t l y o f o n e ' s u n d e r s t a n d i n g o f a n y p a r t i c u l a r p r e d i c a t e s o f t h em e m b e r s o f t h a t d o m a i n — i n d e e d , i n d e p e n d e n t l y o f o n e ' s u n d e r -

s t a n d i n g o f a n y n o n l o g i c a l p r e d i c a t e s a t a l l .M o r e o v e r , a w e a l t h o f o t h e r m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s c a n b e d e -

f i n e d i n I F f i r s t - o r d e r l o g i c o r i n i t s e x t e n d e d v e r s i o n . T h e y i n c l u d et h e f o l l o w i n g :

( i ) T h e n o t i o n o f w e l l - o r d e r i n g . C o n s i d e r a d i s c r e t e o r d e r i n g d e -f i n e d b y a ( p o s s i b l y c o m p l e x ) r e l a t i o n R [ x , y ] e x p r e s s i b l e i no r d i n a r y f i r s t - o r d e r l a n g u a g e . W e c a n t h e n e x p r e s s i n a n I Ff i r s t - o r d e r l a n g u a g e t h e f a c t t h a t R [ x , y ] i s n o t a w e l l - o r d e r i n g .F o r t h e p u r p o s e , w h a t w e h a v e t o e x p r e s s i s t h a t t h e r e e x i s t s a ni n f i n i t e d e s c e n d i n g s e q u e n c e o f i n d i v i d u a l s . T h i s c a n b e e x -p r e s s e d a s f o l l o w s :

y & z u & R [ y , x ] &

R { u , z J ( 9 . 6 )

A m o m e n t ' s r e f l e c t i o n e a s i l y s h o w s t h a t ( 9 . 6 ) c a n b e u s e d t oe x p r e s s t h e f a i l u r e o f R t o b e a w e l l - o r d e r i n g , i n t h a t i t s a y s t h a t

t h e r e i s a n i n f i n i t e d e s c e n d i n g s e q u e n c e o f i n d i v i d u a l s i n t h eo r d e r R . H e n c e t h e c o n c e p t o f w e l l - o r d e r i n g c a n b e e x p r e s s e d i n

e x t e n d e d I F f i r s t - o r d e r l o g i c .

( i i ) L i k e w i s e , t h e p r i n c i p l e o f m a t h e m a t i c a l i n d u c t i o n c a n b e f o r -m u l a t e d i n e x t e n d e d I F f i r s t - o r d e r l o g i c , w h i l e i t s c o n t r a d i c t o r yn e g a t i o n i s e x p r e s s i b l e i n ( u n e x t e n d e d ) I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e .

( i i i ) T h e n o t i o n o f p o w e r s e t c a n b e c h a r a c t e r i z e d i n e x t e n d e d I Ff i r s t - o r d e r l o g i c i n a s e n s e ( s e e h e r e K r y n i c k i a n d V ä ä n ä n e n ,

1 9 8 9 ) . T h e s e n s e i n q u e s t i o n i s t h a t f o r t w o s i m p l e p r e d i c a t e sA ( x ) , B ( x ) w e c a n e x p r e s s b y m e a n s o f e x t e n d e d I F f i r s t - o r d e r




l o g i c t h a t t h e c a r d i n a l i t y o f 8 ( x ) i s w h e r e i s t h e c a r d i n a l i t y o f

A ( x ) .

T h i s r e s u l t s h o w s i n c i d e n t a l l y t h a t t h e L ö w e n h e i m — S k o l e m

t h e o r e m d o e s n o t h o l d i n e x t e n d e d I F l o g i c .( i v ) T h e B o l z a n o — W e i e r s t r a s s T h e o r e m i s e x p r e s s i b l e i n e x t e n d e d

I F f i r s t - o r d e r l o g i c . T h i s t h e o r e m s a y s t h a t e v e r y b o u n d e di n f i n i t e s e t o f r e a l n u m b e r s h a s a n a c c u m u l a t i o n p o i n t . I t h a s

a c c o r d i n g l y t h e f o r m

( V X ) ( ( I n f ( X ) & B o u n d ( X ) )

D ( a y ) ( y i s a n a c c u m u l a t i o n p o i n t f o r X ) ) ( 9 . 7 )

H e r e t h e n o t i o n o f b o u n d e d n e s s ( B o u n d ) a n d a c c u m u l a t i o np o i n t c a n b e d e f i n e d i n o r d i n a r y f i r s t - o r d e r l o g i c . I n ( i ) a b o v e , i tw a s s e e n t h a t i n f i n i t y c a n b e d e f i n e d i n ( u n e x t e n d e d ) I F f i r s t - o r d e r

l o g i c , e r g o b y a f o r m u l a . H e n c e t h e B o l z a n o — W e i e r s t r a s s

T h e o r e m c a n b e f o r m u l a t e d a s a H I f o r m u l a . T h i s s u f f i c e s t os h o w t h a t t h e t h e o r e m c a n b e f o r m u l a t e d i n e x t e n d e d I F f i r s t -o r d e r l o g i c .

( v ) I n t o p o l o g y , t h e n o t i o n o f o p e n s e t c a n b e c h a r a c t e r i z e d b ym e a n s o f I F f i r s t - o r d e r l o g i c . F o r i n s t a n c e , w e c a n s a y t h a t X i s

o p e n i f t h e r e i s a f u n c t i o n t h a t m a p s e a c h e l e m e n t o f X o na n e i g h b o r h o o d w h i c h i t i s a m e m b e r o f a n d w h i c h i s a s u b s e to f X . T h i s c a n b e e x p r e s s e d b y a s e c o n d - o r d e r f o r m u l a ,

e r g o b y a n I F f i r s t - o r d e r f o r m u l a .( v i ) I n t h e s a m e d i r e c t i o n , t h e t o p o l o g i c a l n o t i o n o f c o n t i n u i t y c a n

b e c h a r a c t e r i z e d i n e x t e n d e d I F f i r s t - o r d e r l o g i c . I n o r d e r t o s e e

h o w t h i s c a n b e d o n e , i t s u f f i c e s t o r e c a l l t h a t a f u n c t i o n f i sc o n t i n u o u s i n t h e t o p o l o g i c a l s e n s e i f a n d o n l y i f t h e i n v e r s e o fe a c h o p e n s e t i s o p e n . B y w h a t w a s f o u n d i n ( v ) , t h i s i s e x p r e s -s i b l e i n t r u t h - f u n c t i o n a l l y e x t e n d e d I F f i r s t - o r d e r l o g i c .

( v i i ) A n u m b e r o f a p p a r e n t l y m a t h e m a t i c a l ( s e t - t h e o r e t i c a l ) t r u t h sa l s o t u r n o u t t o b e t r u t h s o f I F f i r s t - o r d e r l o g i c . A c a s e i n p o i n t i s

t h e p r i n c i p l e o f t r a n s f i n i t e i n d u c t i o n . I t c a n b e t a k e n t o b e a n

i n f e r e n c e f r o m= z 4 - ÷ y = u ) & ( A ( x ) A ( y ) ) &

( A ( z ) n A ( u ) ) & y c x & u < z ] ( 9 . 8 )

t o= z i - * y = u ) & y . c x & u < z ]

( 9 . 9 )




I n ( 9 . 8 ) — ( 9 . 9 ) t h e o r d e r i n g r e l a t i o n i s t a k e n t o b e < . A n e x p l a n a -

t i o n m i g h t r u n a s f o l l o w s : T h e c o n t r a d i c t o r y n e g a t i o n o f ( 9 . 9 )s a y s t h a t t h e r e i s n o i n f i n i t e d e s c e n d i n g c h a i n . T h e c o n t r a d i c t o r y

n e g a t i o n o f ( 9 . 8 ) s a y s t h a t t h e r e i s n o i n f i n i t e d e s c e n d i n g c h a i n o fA s — i n o t h e r w o r d s , t h a t t h e r e i s a s m a l l e s t A .

T h e s e e x a m p l e s s h o w t h a t m u c h m o r e m a t h e m a t i c s c a n b e f o r -m u l a t e d b y m e a n s o f e x t e n d e d ( a n d i n s o m e c a s e s e v e n u n e x t e n d e d )I F l o g i c t h a n c a n b e f o r m u l a t e d i n o r d i n a r y f i r s t - o r d e r l o g i c . I t i s

a m u s i n g t o c o m p a r e t h e a b o v e s a m p l e o f e x a m p l e s ( i ) — ( v i i ) w i t h

J o n B a r w i s e ' s l i s t ( q u o t e d e a r l i e r i n t h i s c h a p t e r ) o f n o t i o n s t h a tt r a n s c e n d t h e p o w e r s o f l o g i c i n i t s a c c u s t o m e d s e n s e . S e v e r a l o f h i sp r i z e s p e c i m e n s o f c h a r a c t e r i s t i c a l l y m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s h a v eb e e n s h o w n t o b e e x p r e s s i b l e i n e x t e n d e d o r u n e x t e n d e d I F f i r s t -o r d e r l o g i c . I n C h a p t e r s 3 a n d 4 , i t w a s s h o w n t h a t t h e s e l o g i c s a r es o - c a l l e d w i t h a n a s g o o d o r b e t t e r r i g h t t h a n o r d i n a r y f i r s t - o r d e rl o g i c .

I n c o n v e n t i o n a l p h i l o s o p h i c a l t e r m s , t h e t r e m e n d o u s i n c r e a s e

i n c o n c e p t u a l i z i n g p o w e r w h i c h I F f i r s t - o r d e r l o g i c g i v e s c o u l dp e r h a p s b e s a i d t o a i d a n d a b e t a l o g i c i s t p h i l o s o p h y o f m a t h e -m a t i c s . S u c h s t a t e m e n t s h a v e t o b e t a k e n w i t h a p i n c h o f s a l t ,i n t h a t t h e h i s t o r i c a l m o v e m e n t k n o w n a s l o g i c i s m w a s u s i n g h i g h e r -o r d e r l o g i c ( a n d c a l l i n g i t " l o g i c , " i n s t e a d o f r e s t r i c t i n g t h e t e r mt o f i r s t - o r d e r c o n c e p t u a l i z a t i o n s ) a n d w a s a l s o c o m m i t t e d d e e p l yt o a n o n s t a n d a r d i n t e r p r e t a t i o n o f t h e i r h i g h e r - o r d e r l o g i c . H o w -e v e r , i n t h e r e c o n s t r u c t e d s e n s e o f l o g i c i s m e x p l a i n e d e a r l i e r i nt h i s c h a p t e r , t h e i n c r e a s e d p o w e r o f I F f i r s t - o r d e r l o g i c a s c o m -p a r e d t o o r d i n a r y f i r s t - o r d e r l o g i c s h o w s t h a t t h e n e w l o g i c i n d e e dh e l p s g r e a t l y t h e l o g i c i s t c a u s e . B o t h c o n c e p t u a l i z a t i o n s a n dm o d e s o f i n f e r e n c e w h i c h w e r e e a r l i e r i m p o s s i b l e t o c a p t u r e o nt h e f i r s t - o r d e r l e v e l c a n n o w b e c a p t u r e d b y m e a n s o f I F f i r s t - o r d e rl o g i c .

W h a t h a s b e e n f o u n d i n a n y c a s e f o r c e s u s t o r a d i c a l l y r e v i s e o u r

i d e a s o f t h e b o r d e r l i n e b e t w e e n l o g i c a n d m a t h e m a t i c s . S e v e r a l o f t h em o s t c r u c i a l c o n c e p t s a n d m o d e s o f i n f e r e n c e o f m a t h e m a t i c s t h a th a v e b e e n b e l i e v e d t o b e b e y o n d t h e p o w e r s o f l o g i c t o c a p t u r e h a v et u r n e d o u t t o b e e x p r e s s i b l e i n I F f i r s t - o r d e r l o g i c .

F o r i n s t a n c e , t h e m a i n o b s t a c l e t o a p u r e l y l o g i c a l d e f i n i t i o n o fn u m b e r h a s b e e n t h e i m p o s s i b i l i t y o f c h a r a c t e r i z i n g e q u i c a r d i n a l i t yi n t e r m s o f o r d i n a r y f i r s t - o r d e r l o g i c . I t i s g e n e r a l l y t h o u g h t t h a t s u c h




a c h a r a c t e r i z a t i o n i n e v i t a b l y i n v o l v e s q u a n t i f i c a t i o n o v e r h i g h e r -o r d e r e n t i t i e s . I F f i r s t - o r d e r l o g i c p r o v i d e s a w a y o f d e f i n i n g e q u i c a r -d i n a l i t y i n e n t i r e l y l o g i c a l t e r m s a n d h e n c e r e m o v e s t h i s p a r t i c u l a ro b s t a c l e t o a p u r e l y l o g i c a l d e f i n i t i o n o f n u m b e r .

S i m i l a r l y , t h e o b s e r v a t i o n s m a d e a b o v e c o n c e r n i n g t h e p r i n c i p l eo f m a t h e m a t i c a l i n d u c t i o n h a v e s o m e t i m e s b e e n c l a i m e d t o b ea s p e c i f i c a l l y m a t h e m a t i c a l p r i n c i p l e o f r e a s o n i n g . N o w i t c a n b es e e n t h a t t h i s p r i n c i p l e c a n b e f o r m u l a t e d o n a f i r s t - o r d e r a n dt h e r e f o r e u n c o n t r o v e r s i a l l y l o g i c a l l e v e l .

L i k e w i s e t h e n o t i o n o f p o w e r s e t i s o n e o f t h e m o s t c r u c i a l i n s e t

t h e o r y . T h e p o s s i b i l i t y o f c h a r a c t e r i z i n g i t a n d t h e o t h e r n o t i o n sd e a l t w i t h a b o v e , m a y t h u s b e s e e n a s a p a r t i a l a n d q u a l i f i e d v i n d i c -a t i o n o f t h e b e l i e f o f e a r l y s e t t h e o r i s t s t h a t t h e y w e r e d e a l i n g w i t hp u r e l y l o g i c a l c o n c e p t u a l i z a t i o n s .

H e n c e e x a m p l e s l i k e ( i i ) — ( v i ) a r e n o t j u s t i s o l a t e d i n s t a n c e s o f w h a tc a n b e d o n e b y m e a n s o f I F f i r s t - o r d e r l o g i c . T h e y g o a l o n g w a yt o w a r d s h o w i n g t h a t t h e i n e v i t a b l e s h o r t c o m i n g s o f a x i o m a t i cf i r s t - o r d e r s e t t h e o r y c a n b e o v e r c o m e b y m e a n s o f I F f i r s t - o r d e r

l o g i c . F o r i n s t a n c e , t h e e x i s t e n c e o f u n c o u n t a b l e s e t s c a n b e g u a r a n -t e e d b y m e a n s o f s u i t a b l e a x i o m s t h a t c a n b e f o r m u l a t e d i n t e r m so f e x t e n d e d I F f i r s t - o r d e r l o g i c . T h i s f o l l o w s f r o m w h a t w a s s a i de a r l i e r a b o u t t h e p o w e r s e t ( s e e ( v i ) ) . M y p o i n t i s n o t s p o i l e d b y t h ef a c t t h a t t h e e x i s t e n c e o f n o n d e n u m e r a b l e s e t s c a n n o t b e e x p r e s s e di n a n u n e x t e n d e d I F f i r s t - o r d e r l o g i c , s i n c e s u c h a l o g i c a d m i t s o f t h eL ö w e n h e i m — S k o l e m t h e o r e m . N o t w i t h s t a n d i n g t h i s r e s t r i c t i o n , t h ee x t e n d e d I F f i r s t - o r d e r l o g i c w a s s e e n t o p r o v i d e t h e r e q u i s i t e m e a n so f c a p t u r i n g s u c h n o t i o n s a s w e l l - o r d e r i n g .

T h u s I F f i r s t - o r d e r l o g i c a p p a r e n t l y c a n h e l p s e t t h e o r y p r e c i s e l yw h e r e i t n e e d s h e l p m o s t b a d l y , n a m e l y , i n p r o v i d i n g s t a n d a r df o r m u l a t i o n s o f c e n t r a l m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s . T h i s s u g g e s t s t h a tt h e n e x t s t e p f o r w a r d i n t h e f o u n d a t i o n s o f m a t h e m a t i c s m i g h t v e r yw e l l b e t o s i m p l y c o m b i n e a x i o m a t i c s e t t h e o r y a n d I F l o g i c o r ,r a t h e r , t o u s e I F f i r s t - o r d e r l o g i c a s t h e b a s i c l o g i c o f o u r f a m i l i a r

a x i o m a t i c s e t t h e o r y . T h i s s t e p l o o k s t e m p t i n g b u t i t i s n o t f e a s i b l e ,a s w a s s h o w n i n t h e p r e c e d i n g c h a p t e r .

I n o t h e r r e s p e c t s , t o o , i t m i g h t v e r y w e l l l o o k a s i f t h e e u p h o r i at h a t w a s g e n e r a t e d b y t h e f i r s t v i c t o r i e s o f I F f i r s t - o r d e r l o g i c i s s o o nd i s s i p a t e d . N o t o n l y i s i t i m p o s s i b l e t o c o m b i n e o r d i n a r y a x i o m a t i cs e t t h e o r y w i t h t h i s n e w l o g i c . W h a t i s m o r e , I F f i r s t - o r d e r l o g i c i se q u i v a l e n t o n l y t o a s m a l l f r a g m e n t o f s e c o n d - o r d e r l o g i c , n a m e l y ,




t h e f r a g m e n t . E v e n b y m e a n s o f e x t e n d e d I F f i r s t - o r d e r l o g i c , o u rl o g i c c a n o n l y c a p t u r e t h e u f r a g m e n t o f s e c o n d - o r d e r l o g i c .

I n d e e d , s e c o n d - o r d e r l o g i c ( a n d , m o r e g e n e r a l l y s p e a k i n g , h i g h e r -

o r d e r l o g i c ) s e e m s t o b e e m e r g i n g a s t h e s u p e r i o r r i v a l t o I Ff i r s t - o r d e r l o g i c . I n t h e p r e c e d i n g c h a p t e r , a x i o m a t i c s e t t h e o r y i n i t sp r e s e n t f o r m w a s f o u n d t o b e s e r i o u s l y w a n t i n g a s a f r a m e w o r kf o r w o r k i n g m a t h e m a t i c s . B u t t h e c r i t i c i s m s o f f e r e d t h e r e d o n o ta p p l y a g a i n s t s e c o n d - o r d e r o r h i g h e r - o r d e r l o g i c . O n t h e c o n t r a r y ,w h a t h a s b e e n f o u n d i n t h i s b o o k m i g h t f i r s t s e e m t o e n h a n c e t h es t a t u s o f s e c o n d - o r d e r l o g i c i n t h e f o u n d a t i o n s o f m a t h e m a t i c s . F o r

i n s t a n c e , i n C h a p t e r 5 I e m p h a s i z e d t h e i m p o r t a n c e o f p u t t i n gf o r w a r d d e s c r i p t i v e l y c o m p l e t e ( a l b e i t d e d u c t i v e l y i n c o m p l e t e )t h e o r i e s t o g u i d e u s i n e x t e n d i n g t h e s c o p e o f a c t u a l d e d u c t i v e l yd e v e l o p e d m a t h e m a t i c s . I n t h e p r e c e d i n g c h a p t e r , i t w a s s h o w n t h a ta x i o m a t i c s e t t h e o r y c a n n o t p e r f o r m t h i s s e r v i c e i n i t s p r e s e n t f o r m .A m u c h m o r e p r o m i s i n g c a n d i d a t e f o r t h i s j o b i s o f f e r e d b y s e c o n d -o r d e r l o g i c , o f c o u r s e w i t h w h a t H e n k i n ( 1 9 5 0 ) c a l l e d t h e s t a n d a r di n t e r p r e t a t i o n . ( T h i s i n t e r p r e t a t i o n w a s e x p l a i n e d b r i e f l y i n t h e

p r e c e d i n g c h a p t e r . ) S t e w a r t S h a p i r o h a s r e c e n t l y ( 1 9 9 1 ) a r g u e da b l y f o r s e c o n d - o r d e r l o g i c a s t h e a p p r o p r i a t e " f o u n d a t i o n s w i t h -o u t f o u n d a t i o n a l i s m " f o r m a t h e m a t i c s . I n d e e d , a g r e a t d e a l o fm a t h e m a t i c s c a n b e f o r m u l a t e d i n s e c o n d - o r d e r t e r m s i n a m u c hs t r o n g e r s e n s e t h a n s e t t h e o r y a l l o w s u s t o d o . N o t o n l y d o e ss e c o n d - o r d e r l o g i c p r o v i d e y o u w i t h l a n g u a g e s i n w h i c h p r a c t i c a l l ya n y m a t h e m a t i c a l t h e o r y c a n b e e x p r e s s e d — w h a t i s m u c h m o r e , t h i s

s e c o n d - o r d e r f o r m u l a t i o n , u n l i k e t h e s e t - t h e o r e t i c a l o n e , i s m o d e l -t h e o r e t i c a l l y f a i t h f u l t o t h e o r i g i n a l . I n o t h e r w o r d s , w h e n a m a t h -e m a t i c a l s t a t e m e n t S c a n b e f o r m u l a t e d i n s e c o n d - o r d e r l o g i c i tn o r m a l l y h a s p r e c i s e l y t h e m o d e l s i t i s n o r m a l l y t h o u g h t o f a sh a v i n g . H e n c e , f o r a m a t h e m a t i c a l s t a t e m e n t S t o b e a t h e o r e m o fa t h e o r y c h a r a c t e r i z a b l e b y a c o n j u n c t i o n o f a x i o m s T a l l o f w h i c ha r e e x p r e s s i b l e i n s e c o n d - o r d e r l a n g u a g e , i t i s n e c e s s a r y a n d s u f f i -c i e n t t h a t t h e c o n d i t i o n a l ( T D S ) b e l o g i c a l l y t r u e . A l l q u e s t i o n s

c o n c e r n i n g s u c h a m a t h e m a t i c a l t h e o r y c a n t h u s i n p r i n c i p l e b er e d u c e d t o q u e s t i o n s c o n c e r n i n g t h e l o g i c a l t r u t h s o f s e c o n d - o r d e r

l o g i c .

A s w a s m e n t i o n e d e a r l i e r , t h i s r e m a r k s e e m s t o a p p l y t o p r a c t i -c a l l y a l l m a t h e m a t i c a l t h e o r i e s a n d h e n c e t o m a t h e m a t i c a l p r o p o s i -t i o n s t h a t c a n b e f o r m u l a t e d i n t h e m . C a s e s i n p o i n t i n c l u d e , f o ri n s t a n c e , m a n y f a m o u s u n s o l v e d m a t h e m a t i c a l p r o p o s i t i o n s f r o m




G o l d b a c h ' s C o n j e c t u r e t o t h e S p e c i a l C o n t i n u u m H y p o t h e s i s . I np r i n c i p l e , t h o u g h n o t n e c e s s a r i l y i n p r a c t i c e , t h e s e c o n d - o r d e r l o g i -c a l f o r m u l a t i o n p r o v i d e s a c l e a r - c u t g o a l f o r a s e a r c h f o r a p r o o f o fs u c h c o n j e c t u r e s . N e e d l e s s t o s a y , t h e g u i d e l i n e s w e c a n h o p e t oo b t a i n a r e i n d i r e c t o n e s . T h e y a r e c r i t e r i a f o r t h e a c c e p t a b i l i t y( v a l i d i t y ) o f n e w r u l e s o f i n f e r e n c e t h a t c a n f a c i l i t a t e a c t u a l d e d u c t i v ep r o o f s , r a t h e r t h a n t a c t i c a l p r i n c i p l e s f o r c a r r y i n g o u t p r o o f s b ym e a n s o f a l r e a d y k n o w n a n d a c c e p t e d r u l e s .

J u s t h o w m u c h m a t h e m a t i c s c a n t h u s b e h a n d l e d i n s e c o n d - o r d e rl o g i c r e q u i r e s c a r e f u l e x a m i n a t i o n . I t i s n o t d i f f i c u l t t o a r g u e , a s i s f o r

i n s t a n c e s h o w n i n S h a p i r o ( 1 9 9 1 , C h . 5 ; c f . a l s o S h a p i r o 1 9 8 5 ) t h a t a l lt h e m o s t c o m m o n s e t - t h e o r e t i c a l c o n c e p t u a l i z a t i o n s , i n c l u d i n gm i n i m a l c l o s u r e , c a r d i n a l i t y , c o n t i n u u m h y p o t h e s i s , w e l l - o r d e r i n g ,a x i o m o f c h o i c e , a n d w e l l - f o u n d e d n e s s , c a n a l l b e c a p t u r e d b y m e a n so f s e c o n d - o r d e r l o g i c . B y t h e i r m e a n s , o b v i o u s l y a g r e a t d e a l o fa c t u a l m a t h e m a t i c s c a n b e f o r m u l a t e d . I t l o o k s p r e t t y m u c h a s i f t h ee n t i r e c l a s s i c a l a n a l y s i s c a n b e f o r m u l a t e d i n s e c o n d - o r d e r t e r m s . I ti s a l s o e a s y t o s e e t h a t g e n e r a l t o p o l o g y c a n b e d o n e i n t h i s f r a m e -

w o r k . I w i l l r e t u r n t o t h e l i m i t a t i o n s o f s u c h f o r m u l a t i o n s a t t h e e n do f t h i s c h a p t e r .

B u t m a n y h a r d - n o s e d l o g i c i a n s w i l l n o t b e h a p p y w i t h t h e p r o p o -s a l o f u s i n g a s e c o n d - o r d e r l a n g u a g e a s a m e d i u m f o r t h e i r m a t h -

e m a t i c a l t h e o r i z i n g , a n d f o r a g o o d r e a s o n . I n o r d e r f o r s u c h al a n g u a g e t o s e r v e i t s p u r p o s e , i t s s e c o n d - o r d e r v a r i a b l e s m u s t b e

t a k e n i n t h e i r s t a n d a r d s e n s e . T h e y m u s t b e t a k e n t o r a n g e o v e r a l le x t e n s i o n a l l y p o s s i b l e e n t i t i e s o f t h e a p p r o p r i a t e t y p e ( s e t s , f u n c -

t i o n s , e t c . ) . F o r i n s t a n c e , o n e ' s f u n c t i o n v a r i a b l e s h a v e t o b e t a k e n t or a n g e o v e r a l l a r b i t r a r y f u n c t i o n s , h o w e v e r n o n c o m p u t a b l e ( c f . h e r e

H i n t i k k a 1 9 9 5 a ) . B u t i f s o , w e f a c e a l l t h e p r o b l e m s c o n n e c t e d w i t ht h e i d e a s o f a r b i t r a r y s e t a n d a r b i t r a r y f u n c t i o n ( s t r i c t l y s p e a k i n g a l la r b i t r a r y s u b s e t s o f a g i v e n i n f i n i t e s e t a n d a l l a r b i t r a r y f u n c t i o n sf r o m a g i v e n i n f i n i t e s e t t o a n o t h e r g i v e n s e t ) . I c a n i n d i c a t e t h i s k i n do f c o m m i t m e n t t o a r b i t r a r y h i g h e r - o r d e r e n t i t i e s b y s a y i n g t h a t i t

i n v o l v e s t h e i d e a o f " a l l s e t s " . A n o t h e r w a y o f e x p r e s s i n g m y s e l fm i g h t b e t o s p e a k o f t h e s t a n d a r d i n t e r p r e t a t i o n i n H e n k i n ' s s e n s e .B u t w h a t e v e r t h e n a m e t h a t t h i s i d e a p a s s e s u n d e r , i t s s m e l l i s e q u a l l y

f o u l t o m a n y l o g i c i a n s . A n d t h e r e i s a g r e a t d e a l t o b e s a i d f o r t h e i rp e r c e p t i o n s . T h e i d e a o f t h e t o t a l i t y o f a l l ( s u b ) s e t s i s i n d e e d a h a r do n e t o m a s t e r . T h e r e f o r e , e v e n t h o u g h a s e c o n d - o r d e r f o r m u l a t i o n o fm a t h e m a t i c a l p r o p o s i t i o n s a n d c o n j e c t u r e s m a y b e s u p e r i o r t o




t r e a t i n g t h e m i n a n a x i o m a t i c s e t t h e o r y , i t i n v o l v e s f u r t h e r s e r i o u sp r o b l e m s .

H i g h e r - o r d e r l o g i c , l i k e a x i o m a t i c s e t t h e o r y , c a n o f c o u r s e b eg i v e n a n o n s t a n d a r d i n t e r p r e t a t i o n . I n d e e d , t h e b e s t k n o w n i n -c a r n a t i o n o f h i g h e r - o r d e r l o g i c , t h e t h e o r y o f t y p e s o f R u s s e l l a n dW h i t e h e a d ( 1 9 1 0 — 1 3 ) , w a s i n t e n d e d t o h a v e a n o n s t a n d a r d i n t e r p r e -t a t i o n ( c f . R a m s e y 1 9 2 5 ) . 1 B u t a s F r a n k R a m s e y w a s n o t s l o w t op o i n t o u t , t h i s i n t e r p r e t a t i o n i s j u s t n o t i n a g r e e m e n t w i t h t h em a t h e m a t i c i a n s ' p r e v a l e n t w a y o f t h i n k i n g . F o r t h i s r e a s o n , t h en o n s t a n d a r d i n t e r p r e t a t i o n o f h i g h e r - o r d e r l o g i c l o s e s a l l t h e a d v a n -

t a g e s i t l o t s h a d o n t h e s t a n d a r d i n t e r p r e t a t i o n i n g u i d i n g m a t h e m a -t i c i a n s i n t h e i r s e a r c h f o r s t r o n g e r a x i o m s o f s e t e x i s t e n c e , a n d f o ro t h e r m a t h e m a t i c a l a n d l o g i c a l t r u t h s t h a t c o u l d p r o v i d e s t r o n g e r

d e d u c t i v e p r i n c i p l e s .S i n c e n o n s t a n d a r d i n t e r p r e t a t i o n s d o n o t h e l p u s t o d e a l w i t h t h e

p r o b l e m s o f s e t e x i s t e n c e , w h a t c a n ? H e r e I F l o g i c s e e m s t o o f f e r i t ss e r v i c e s t o u s . A s l o n g a s w e c a n s t a y o n t h e l e v e l o f f i r s t - o r d e r l o g i c ,i n d e p e n d e n c e - f r i e n d l y o r n o t , t h e n p r o b l e m s o f s e t e x i s t e n c e d o n o t

a r i s e . W e d o n o t h a v e t o o p e n t h e G o r d i a n k n o t o f s e t e x i s t e n c e s i n c ei t w a s n o t t i e d i n t h e f i r s t p l a c e .

W h a t c a n b e d o n e b y m e a n s o f I F f i r s t - o r d e r l o g i c ? R e l a t i v e l yl i t t l e , i t m i g h t s e e m . S e c o n d - o r d e r l o g i c c a n n o t b e r e d u c e d i n a n yd i r e c t s e n s e t o I F f i r s t - o r d e r l o g i c . A s w a s p o i n t e d o u t , o n l y t h e

f r a g m e n t o f s e c o n d - o r d e r l o g i c c a n b e t r a n s l a t e d i n t o I F f i r s t -o r d e r l o g i c . T h e f a c t t h a t c o n t r a d i c t o r y n e g a t i o n s o f I F f i r s t - o r d e r

l o g i c a r e t r a n s l a t a b l e t o f r a g m e n t s o f s e c o n d - o r d e r l o g i c , a n dv i c e v e r s a , d o e s n o t c h a n g e t h e p i c t u r e e s s e n t i a l l y . 2H o w e v e r , t h e r e i s a n i n d i r e c t s e n s e i n w h i c h m a t h e m a t i c a l

t h e o r i e s a n d m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s c a n b e r e d u c e d b y m e a n s o fI F f i r s t - o r d e r l o g i c . W h a t w e c a n d o i s t o t r y t o r e c o n s t r u c t a g i v e nh i g h e r - o r d e r t h e o r y T b y m e a n s o f o r d i n a r y f i r s t - o r d e r l o g i c a sa m a n y - s o r t e d f i r s t - o r d e r t h e o r y . I n t h i s r e c o n s t r u c t i o n , e a c h o f t h et y p e s n e e d e d i n T w i l l b e c o m e a s o r t o f i t s o w n . T h e d i f f e r e n t t y p e s

c a n b e t h o u g h t o f a s f o r m i n g a s p e c i a l s y n c a t e g o r e m a t i c s o r t ( s e t ) t .T h e s t r u c t u r e o f t h i s s e t c a n b e e x p r e s s e d b y m e a n s o f e x p l i c i tf i r s t - o r d e r a x i o m s . F u r t h e r m o r e , w e c a n i n t r o d u c e a f u n c t i o nt w h i c h m a p s e a c h e n t i t y ( o t h e r t h a n a t y p e ) o n i t s t y p e . E a c h s o r tc o r r e s p o n d s t o t h e s e t o f a l l e n t i t i e s m a p p e d b y t o n t h e s a m e t y p e .A m o n g o t h e r t h i n g s , t h e r e w i l l t h e n b e a d e f i n e d r e l a t i o n c ( x , y )w h i c h h o l d s i f a n d o n l y i f t h e t y p e o f y i s t h e t y p e o f s e t s o f e n t i t i e s o f




t h e s a m e t y p e a s x . A l l r e l a t i o n s b e t w e e n e n t i t i e s b e l o n g i n g t od i f f e r e n t s o r t s c a n b e h a n d l e d b y a s u i t a b l e n e w p r e d i c a t e E ( x , y )( a l s o w r i t t e n x e y ) r e p r e s e n t i n g m e m b e r s h i p . O b v i o u s l y , w e c a n t h e n

r e w r i t e T a s a t h e o r y T * a b o u t o u r n e w m a n y - s o r t e d f i r s t - o r d e rm o d e l s . T h e r e s u l t w i l l t h e n b e s o m e w h a t l i k e a s t r a t i f i e d s e t t h e o r y ,w i t h t h e d i f f e r e n t t y p e s o f s e t s s e p a r a t e d f r o m e a c h o t h e r b y h a v i n gd i f f e r e n t s o r t a l p r e d i c a t e s , t h a t i s , b e i n g m a p p e d b y t . o n d i f f e r e n t

t y p e s .T h i s w a y o f d e a l i n g w i t h h i g h e r - o r d e r l o g i c a s i f i t w e r e a m a n y -

s o r t e d f i r s t - o r d e r l o g i c i s i n m a n y w a y s a m o s t n a t u r a l o n e . T h e e a s e

w i t h w h i c h w e c a n d o i t m a y v e r y w e l l h a v e b e e n o n e o f t h e r e a s o n sw h y t h e d i s t i n c t i o n b e t w e e n f i r s t - o r d e r l o g i c a n d h i g h e r - o r d e r l o g i cc r y s t a l l i z e d s o s l o w l y i n t h e c o n s c i o u s n e s s o f m o s t l o g i c i a n s a n dp h i l o s o p h e r s , a s e m p h a s i z e d b y M o o r e ( 1 9 8 8 ) . I t i s n o t o f f e r e d h e r ea s a n y g r e a t n o v e l t y . I t m a y e v e n b e a r g u e d t h a t t h i s i s n o t u n l i k eh o w e a r l y c o n t e m p o r a r y l o g i c i a n s l i k e F r e g e a n d R u s s e l l v i e w e dt h e i r h i g h e r - o r d e r l o g i c s .

I n a n y c a s e , t h e c r u c i a l q u e s t i o n i s : W h y d o e s n o t t h e m a n y - s o r t e d

f i r s t - o r d e r t h e o r y T * c a p t u r e e v e r y t h i n g t h e r e i s t o b e c a p t u r e d b ym e a n s o f t h e s e c o n d - o r d e r t h e o r y T ? T h e a n s w e r i s t h a t t h e m a n y -s o r t e d f i r s t - o r d e r f o r m u l a t i o n d o e s n o t i m p l e m e n t t h e s t a n d a r di n t e r p r e t a t i o n w h i c h i s n e e d e d t o m a k e T a g e n u i n e l y s e c o n d - o r d e rt h e o r y . F o r t h e r e i s i n T * n o w a y o f g u a r a n t e e i n g t h a t f o r e a c he x t e n s i o n a l l y p o s s i b l e c l a s s o f f i r s t - o r d e r e n t i t i e s ( i n d i v i d u a l s o rt u p l e s o f i n d i v i d u a l s ) t h e r e i s a s e c o n d - o r d e r e n t i t y h a v i n g t h e m ( a n do n l y t h e m ) a s i t s e l e m e n t s , a n d l i k e w i s e f o r a l l h i g h e r - o r d e r e n t i t i e s .

B u t n o w c o m e s t h e p l e a s a n t s u r p r i s e . T o i m p l e m e n t t h e s t a n d a r di n t e r p r e t a t i o n , i t s u f f i c e s t o i n t r o d u c e a f i n i t e n u m b e r o f a d d i t i o n a ls e c o n d - o r d e r a x i o m s , a l l o f w h i c h h a v e t h e f o r m

( V X ) ( V w ) ( R z ) ( 3 y ) ( V x ) ( ( X ( z ) ( t ( z ) = w ) ) D ( a ( w , y ) &

( x e y + - * X ( x ) ) ) ) ( 9 . 1 0 )

w h e r e c ( x , y ) i s t h e p r e d i c a t e e x p l a i n e d a b o v e . I f d e s i r e d , t h e y c a n

e v e n b e c o m b i n e d i n a s i n g l e a x i o m w i t h t h e s a m e l o n e i n i t i a ls e c o n d - o r d e r q u a n t i f i e r ( Y X ) . B u t a n y f i n i t e c o n j u n c t i o n J o f s e n -t e n c e s o f t h e f o r m ( 9 . 1 0 ) i s o f t h e 1 1 1 f o r m , a n d h e n c e a v e r y s p e c i a lk i n d o f s e c o n d - o r d e r s e n t e n c e .

H e r e t h e a x i o m s o f t h e f o r m ( 9 . 1 0 ) a r e c l e a r l y c l o s e l y r e l a t e d t o t h ec o m p r e h e n s i o n a x i o m o f a x i o m a t i c s e t t h e o r y . H o w e v e r , t h e c o m -p r e h e n s i o n a x i o m o f a n y f i r s t - o r d e r a x i o m a t i z a t i o n o f s e t t h e o r y ( o r




a n y s u b s t i t u t i o n - i n s t a n c e o f i t , i f t h e c o m p r e h e n s i o n p r i n c i p l e i sf o r m u l a t e d a s a n a x i o m s c h e m a ) i s a n o r d i n a r y f i r s t - o r d e r s e n t e n c e .H e n c e i t c a n n o t d o t h e s a m e j o b a s ( 9 . 1 0 ) , f o r t h e w h o l e p o i n t o f ( 9 . 1 0 )i s t h a t t h e q u a n t i f i e r ( V X ) i s a s e c o n d - o r d e r o n e a n d i t h a s t o b e t a k e ni n t h e s t a n d a r d s e n s e .

B y c o n j o i n i n g T * a n d J w e o b t a i n a t h e o r y ( J & T * ) w h i c h d o e st h e s a m e j o b a s t h e o r i g i n a l t h e o r y T . I t i s n o t o n l y e x p r e s s i b l e i na s e c o n d - o r d e r l a n g u a g e ; i t i s e x p r e s s i b l e i n t h e H f f r a g m e n t o f t h a tl a n g u a g e .

I n t h e w a y — a n d i n t h e s e n s e — j u s t s k e t c h e d , t h e e n t i r e h i g h e r -

o r d e r l o g i c c a n b e r e d u c e d t o t h e H f f r a g m e n t o f s e c o n d - o r d e r l o g i c .T h e p o s s i b i l i t y o f t h i s " t r a n s c e n d e n t a l r e d u c t i o n " ( a s H u s s e r l m i g h th a v e s a i d h e r e ) h a s n o t a t t r a c t e d m u c h a t t e n t i o n . I t n e v e r t h e l e s s

p r o m i s e s s o m e v e r y r e a l a d v a n t a g e s .T h e a p p e a r a n c e o f I F l o g i c s o n t h e s c e n e t h r o w s n e w l i g h t o n t h e

s i t u a t i o n . T h e H f c h a r a c t e r o f t h e r e d u c t s m e a n s t h a t t h e n e w t h e o r yi s t r a n s l a t a b l e i n t o t h e l a n g u a g e o f e x t e n d e d I F f i r s t - o r d e r l o g i c . I nt h e s e n s e w h i c h a p p e a r s f r o m t h e s e o b s e r v a t i o n s , e v e r y m a t h e m a t -

i c a l t h e o r y w h i c h c a n b e f o r m u l a t e d i n a h i g h e r - o r d e r l a n g u a g e c a na l s o b e f o r m u l a t e d i n e x t e n d e d I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e . T h i s r e s u l tc a n b e e x t e n d e d t o a l l t h e o r i e s e x p r e s s i b l e i n t e r m s o f f i n i t e t y p e s . A sw a s i n d i c a t e d a b o v e , t h i s c o v e r s m o s t o f t h e a c t u a l m a t h e m a t i c a l

t h e o r i e s . I n t h i s q u a l i f i e d s e n s e , v i r t u a l l y a l l o f c l a s s i c a l m a t h e m a t i c sc a n i n p r i n c i p l e b e d o n e i n e x t e n d e d I F f i r s t - o r d e r l o g i c .

F u r t h e r m o r e , t h e q u e s t i o n w h e t h e r a g i v e n p r o p o s i t i o n C f o l l o w sl o g i c a l l y f r o m T i s e q u i v a l e n t t o t h e q u e s t i o n w h e t h e r t h e f o l l o w i n gs e n t e n c e i s l o g i c a l l y t r u e ( v a l i d ) :

( J & T * ) D C ( 9 . 1 1 )

w h e r e J i s t h e c o n j u n c t i o n o f a l l s e n t e n c e s o f t h e f o r m ( 9 . 1 0 ) f o r a l l t h ed i f f e r e n t t y p e s ( s o r t s ) n e e d e d i n T * . S i n c e w e a r e d e a l i n g h e r e w i t hn o r m a l s e c o n d - o r d e r l o g i c , t h e c o n d i t i o n a l c a n b e t a k e n t o b e t h e u s u a lt r u t h - f u n c t i o n a l o n e , e q u i v a l e n t t o

— i ( J & T * ) v C ( 9 . 1 2 )

w h e r e i i s t h e c o n t r a d i c t o r y n e g a t i o n . M o r e o v e r , T * a n d C a r e( m a n y - s o r t e d ) f i r s t - o r d e r s e n t e n c e s . T h e r e f o r e ( 9 . 1 2 ) i s l o g i c a l l ye q u i v a l e n t t o a s e n t e n c e . B u t t h i s m e a n s t h a t i t h a s a t r a n s l a t i o ni n t o a n ( u n e x t e n d e d ) i n d e p e n d e n c e - f r i e n d l y f i r s t - o r d e r l a n g u a g e .




C o m b i n e d w i t h o u r e a r l i e r r e m a r k s o n t h e w a y m a t h e m a t i c a lt h e o r i e s a n d p r o b l e m s c a n b e r e p r e s e n t e d i n s e c o n d - o r d e r l a n -g u a g e s , w e t h u s o b t a i n a r e m a r k a b l e r e s u l t . I n a n i n t e r e s t i n g s e n s e ,

a g r e a t m a n y m a t h e m a t i c a l t h e o r i e s c a n b e f o r m u l a t e d i n a n e x -t e n d e d I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e . S u c h a t h e o r y c a n b e r e p r e s e n t e d i nt h e f o r m T , w h e r e T i s a s e n t e n c e o f a n ( u n e x t e n d e d ) I F f i r s t - o r d e rl a n g u a g e a n d - i t h e c o n t r a d i c t o r y n e g a t i o n . T h i s i n c l u d e s a l l t h em a t h e m a t i c s t h a t c a n b e d o n e i n t e r m s o f a t h e o r y o f f i n i t e t y p e s . 3L i k e w i s e , a g r e a t m a n y m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s c a n b e t a k e n t o r e l a t et o t h e l o g i c a l s t a t u s o f a s e n t e n c e o f a n u n e x t e n d e d I F f i r s t - o r d e r

l a n g u a g e . F o r i n s t a n c e , i f t h e p r o b l e m i s t o p r o v e t h a t a c o n j e c t u r eC f o l l o w s f r o m s e c o n d - o r d e r a x i o m s T , t h e n t h e r e i s a n I F f i r s t - o r d e rs e n t e n c e , S s u c h t h a t S i s l o g i c a l l y t r u e ( v a l i d ) i f a n d o n l y i f C i s

a l o g i c a l c o n s e q u e n c e o f T .T h e s a m e a r g u m e n t c a n e a s i l y b e a p p l i e d t o t h e e n t i r e t h e o r y o f

f i n i t e t y p e s i n s t e a d o f t o s e c o n d - o r d e r l o g i c .I n t h e s p e c i a l c a s e i n w h i c h t h e o r i g i n a l m a t h e m a t i c a l t h e o r y T ,

e x p r e s s e d i n t h e t h e o r y o f f i n i t e t y p e s , i s c a t e g o r i c a l , t h e p r o p o s i t i o n

C i s t r u e i n t h e s o l e m o d e l o f T ( m o d u l o i s o m o r p h i s m ) i f T I — C . B u tt h i s w a s s e e n t o h o l d i f a n d o n l y i f a c e r t a i n I F f i r s t - o r d e r s e n t e n c e i s

l o g i c a l l y t r u e . T h u s f o r c a t e g o r i c a l t h e o r i e s m a t h e m a t i c a l t r u t h c a ni n a s e n s e b e e q u a t e d w i t h l o g i c a l t r u t h i n I F f i r s t - o r d e r l o g i c . I np a r t i c u l a r , t h e t r u t h o f a n y p r o p o s i t i o n o f e l e m e n t a r y a r i t h m e t i c i se q u i v a l e n t t o t h e l o g i c a l t r u t h o f a n I F f i r s t - o r d e r s e n t e n c e . I ng e n e r a l , i t i s a n i n t e r e s t i n g h i s t o r i c a l q u e s t i o n w h e t h e r t h i s s u b t l em o d e l - t h e o r e t i c a l c o n n e c t i o n b e t w e e n m a t h e m a t i c a l t r u t h a n dm a t e r i a l t r u t h h a s t a c i t l y b e e n i n s t r u m e n t a l i n c o n f u s i n g p e o p l ea b o u t t h e r e l a t i o n s h i p o f o r d i n a r y t r u t h t o l o g i c a l t r u t h , e s p e c i a l l ya s m a n y o f t h e b e s t k n o w n m a t h e m a t i c a l t h e o r i e s a r e , w h e nf o r m u l a t e d i n h i g h e r - o r d e r t e r m s , c a t e g o r i c a l . C a s e s i n p o i n t a r ee l e m e n t a r y a r i t h m e t i c , t h e t h e o r y o f r e a l s , e l e m e n t a r y g e o m e t r y ,a n d s o f o r t h .

F o r i n s t a n c e , P e a n o a r i t h m e t i c b e c o m e s c a t e g o r i c a l w h e n c o m -

p l e m e n t e d b y a s e c o n d - o r d e r i n d u c t i o n a x i o m . T h i s a x i o m s y s t e mc a n b e s e e n t o b e e q u i v a l e n t t o a s e n t e n c e , s a y N 0 . H e n c e t h et r u t h o f a n y u n p r o v e d a r i t h m e t i c a l c o n j e c t u r e F , s a y G o l d b a c h ' sC o n j e c t u r e , i s e q u i v a l e n t t o t h e v a l i d i t y o f ( N 0 F ) . B u t t h i s i se q u i v a l e n t t o a s e n t e n c e a n d a f o r t i o r i e q u i v a l e n t t o a s e n t e n c e F 0o f I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e . T h e t r u t h o f G o l d b a c h ' s C o n j e c t u r e i st h u s e q u i v a l e n t t o t h e v a l i d i t y o f a n I F f i r s t - o r d e r f o r m u l a .




T h e u p s h o t o f t h i s l i n e o f t h o u g h t i s t h u s a k i n d o f r e d u c t i o n o f t h ee n t i r e f i n i t e t h e o r y o f t y p e s , w i t h s t a n d a r d i n t e r p r e t a t i o n , t o I F f i r s t -o r d e r l o g i c . S i n c e m o s t o f m a t h e m a t i c s c a n i n p r i n c i p l e b e e x p r e s s e d

i n a s t a n d a r d l y i n t e r p r e t e d f i n i t e t h e o r y o f t y p e s , t h i s r e d u c t i o nt h r o w s s o m e i n t e r e s t i n g l i g h t o n m a t h e m a t i c s i n g e n e r a l . F o r w h a tc a n w e s a y o f t h e o u t p u t s e n t e n c e s o f t h i s r e d u c t i o n ? T h e y a r e I F

f i r s t - o r d e r s e n t e n c e s . A l l t h e i r b o u n d v a r i a b l e s r a n g e o v e r i n d i v i d -u a l s . T h i s s h o u l d w a r m t h e h e a r t o f e v e r y p h i l o s o p h i c a l n o m i n a l i s t .M o r e i m p o r t a n t l y , t h e i r i n t e r p r e t a t i o n i s c o m p l e t e l y f r e e o f t h el o g i c a l p r o b l e m s t h a t b e s e t t h e n o t i o n o f a l l s u b s e t s o f a g i v e n i n f i n i t e

s e t . A n I F f i r s t - o r d e r s e n t e n c e i s v a l i d i f a n d o n l y i f a c e r t a i nr e l a t i o n a l s t r u c t u r e c a n n o t h e l p b e i n g i n s t a n t i a t e d i n e v e r y m o d e l .T h e p r o b l e m w h e t h e r a g i v e n I F f i r s t - o r d e r s e n t e n c e i s v a l i d o r n o t i st h e r e f o r e a c o m b i n a t o r i a l p r o b l e m i n a s u f f i c i e n t l y w i d e s e n s e o f t h et e r m . T h i s s e n s e i s i n f a c t n o t a s l o o s e a s i t m i g h t a t f i r s t b e s u s p e c t e d

t o b e . H o w n a t u r a l i t i s t o t h i n k o f w h a t i s g o i n g o n i n o r d i n a r yf i r s t - o r d e r l o g i c a s b e i n g f u n d a m e n t a l l y c o m b i n a t o r i a l i s s h o w nv i v i d l y b y H a o W a n g ' s ( 1 9 9 0 , e s s a y s 1 0 — 1 1 ) r e d u c t i o n o f t h e d e c i s i o n

p r o b l e m f o r o r d i n a r y f i r s t - o r d e r l o g i c t o d o m i n o p r o b l e m s . A n d i nt h i s r e s p e c t I F f i r s t - o r d e r l o g i c d o e s n o t d i f f e r i n p r i n c i p l e f r o m t h e

o r d i n a r y o n e . I n d e e d , i t c a n b e s h o w n t h a t t h e d e c i s i o n p r o b l e m f o rI F f i r s t - o r d e r l o g i c c a n b e r e d u c e d t o d o m i n o p r o b l e m s t h a t i n c o r -p o r a t e t h e c h a r a c t e r i s t i c f a i l u r e o f p e r f e c t i n f o r m a t i o n : s o m e s p e c i -f i e d d o m i n o t i l e s m u s t b e f i t t e d i n w i t h o u t k n o w i n g w h a t h a sh a p p e n e d e l s e w h e r e i n t h e c o n s t r u c t i o n ( t i l i n g ) .

T h u s , i t i s n o t h a r d t o c o n v i n c e o n e s e l f t h a t t h e a d d i t i o n a l e x p r e s -s i v e p o w e r o f I F f i r s t - o r d e r l o g i c , o v e r a n d a b o v e t h a t o f t h e o r d i n a r yo n e , i s c o m b i n a t o r i a l i n n a t u r e , r a t h e r t h a n s e t - t h e o r e t i c a l . T h e o v e r tn o v e l t y o f I F l o g i c s i s a g r e a t e r f r e e d o m o f t h e v a r i o u s d e p e n d e n c er e l a t i o n s b e t w e e n q u a n t i f i e r s a n d c o n n e c t i v e s . T h i s i s a c o m b i n a -t o r i a l m a t t e r , a n d n o t a q u e s t i o n o f t h e e x i s t e n c e o f i n f i n i t e s e t s o fd i f f e r e n t k i n d s . I F f i r s t - o r d e r l o g i c i s i n f a c t o n e o f t h e f e w e x t e n s i o n s

o f f i r s t - o r d e r l o g i c w h i c h a d d s t o i t s p o w e r i n d e a l i n g w i t h f i n i t e

s t r u c t u r e s ( m o d e l s ) . T h i s a d d i t i o n a l p o w e r i s e x p l o i t e d b y , a m o n go t h e r s , B l a s s a n d G u r e v i c h ( 1 9 8 6 ) . A f e e l i n g f o r t h i s e x t r a f o r c eo f I F l o g i c c a n p e r h a p s b e g a r n e r e d a l s o f r o m e x a m p l e s l i k e ( D ) i nC h a p t e r 2 .

C o n v e r s e l y , t h e q u e s t i o n w h e t h e r a s e n t e n c e o f I F f i r s t - o r d e r l o g i cr e d u c e s t o a n o r d i n a r y s e n t e n c e i s a p u r e l y c o m b i n a t o r i a l o n e . I no r d e r t o s e e t h i s , a s s u m e t h a t a n I F f i r s t - o r d e r s e n t e n c e i s g i v e n i n i t s




S k o l e m n o r m a l f o r m

( V x 1 ) ( V x 2 ) . ,

( 9 . 1 3 )

H e r e e a c h s e t X 1 =. . } i s a s u b s e t o f { x 1 , x 2 A

s u f f i c i e n t c o n d i t i o n f o r ( 9 . 1 3 ) t o b e e q u i v a l e n t t o a n o r d i n a r y f i r s t -o r d e r s e n t e n c e i s t h a t t h e f i n i t e s e t s c a n b e l i n e a r l y o r d e r e d b yc l a s s - i n c l u s i o n . I t c a n b e s h o w n t h a t t h i s c o m e s c l o s e t o b e i n g t h em o s t g e n e r a l s u f f i c i e n t c o n d i t i o n . I n f a c t , i t i s t h e w i d e s t s u f f i c i e n tc o n d i t i o n t h a t c a n b e f o r m u l a t e d b y t h e s o l e m e a n s o f t h e s e q u e n c e

o f p r e n e x q u a n t i f i e r s .O u r r e d u c t i o n i s t h u s i n e f f e c t a r e d u c t i o n o f p r a c t i c a l l y a l lf a m i l i a r m a t h e m a t i c s t o c o m b i n a t o r i a l t h e o r y , i n a s u f f i c i e n t l y w i d es e n s e o f t h e t e r m . T h i s r e s u l t t h r o w s i n t e r e s t i n g l i g h t o n t h e n a t u r e o fm a t h e m a t i c s i n g e n e r a l a n d o n i t s r e l a t i o n t o l o g i c . A m o n g o t h e rt h i n g s , i t s h o w s t h a t a l l m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g c a n i n p r i n c i p l e b ec o n s i d e r e d a s b e i n g l o g i c a l i n n a t u r e . I t a l s o s h o w s t h a t t h e c o n c e p -t u a l p r o b l e m s c o n n e c t e d w i t h t h e i d e a o f a l l s u b s e t s o f a g i v e n i n f i n i t e

s e t c a n b e c o m p l e t e l y d i s p e n s e d w i t h i n m o s t o f t h e f o u n d a t i o n s o fm a t h e m a t i c s . A d m i t t e d l y , m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s a r e n o t a u t o m a t i -c a l l y s o l v e d b y r e d u c i n g t h e m t o p r o b l e m s c o n c e r n i n g I F f i r s t - o r d e rl o g i c . H o w e v e r , s u c h a r e d u c t i o n o p e n s v a r i o u s p o s s i b i l i t i e s o fc o n c e p t u a l i z a t i o n . F o r i n s t a n c e , t h e s t r u c t u r e o f t h e r e d u c t ( i . e . , o ft h e I F f i r s t - o r d e r s e n t e n c e w h i c h i s t h e o u t p u t o f t h e r e d u c t i o np r o c e s s ) w i l l r e f l e c t t h e ( c o m b i n a t o r i a l ) d i f f i c u l t y o f t h e p r o b l e mc o d i f i e d i n t h e o r i g i n a l s e n t e n c e .

M y a p p r o a c h h a s a f f i n i t i e s w i t h H i l b e r t ' s a p p r o a c h t o t h e f o u n d a -t i o n o f m a t h e m a t i c s , w h i c h I h a v e d i s c u s s e d e l s e w h e r e ( s e e H i n t i k k a1 9 9 6 ) . R i g h t l y u n d e r s t o o d , H i l b e r t ' s e m p h a s i s w a s n o t o n f o r m a l i s mb u t o n t h e c o m b i n a t o r i a l ( i n c o n t r a s t t o s e t - t h e o r e t i c a l ) t h i n k i n g a s

t h e t r u e b a s i s o f m a t h e m a t i c s . 4 T h i s a g r e e s w i t h m y t h e s i s t h a tm a t h e m a t i c s i s a t b o t t o m c o m b i n a t o r i a l r a t h e r t h a n s e t - t h e o r e t i c a li n c h a r a c t e r . F o r i n s t a n c e , o u r t r u t h d e f i n i t i o n w a s f o r m u l a t e d b y

r e f e r e n c e t o t h e c o m b i n a t o r i a l p r o p e r t i e s o f a t r u t h p r e d i c a t e a sa p p l i e d t o t h e G ö d e l n u m b e r s o f s e n t e n c e s . T h i s i s r e m i n i s c e n t o fH i l b e r t ' s i d e a o f u s i n g t h e c o m b i n a t o r i a l p r o p e r t i e s o f a c o m p l e t e l yf o r m a l l a n g u a g e a s t h e b a s i s o f h i s f o u n d a t i o n a l a p p r o a c h . T h i s i d e ai s n o t , p h i l o s o p h i c a l l y s p e a k i n g , f o r m a l i s t i c a t a l l . O n t h e c o n t r a r y ,w e h a v e s e e n t h a t i t s u p p o r t s a r e a l i s t i c c o n c e p t i o n o f t r u t h . T h em a i n d i f f e r e n c e b e t w e e n u s a n d H u b e r t i s t h a t H i l b e r t t h o u g h t t h a t




f i n i t e c o m b i n a t o r i c s i s a l l w e n e e d . I t i s n o t , a n d t h e m o s t i n t e r e s t i n ga s p e c t s o f I F f i r s t - o r d e r l o g i c e m b o d y p r o b l e m s o f i n f i n i t a r y c o m b i -n a t o r i c s . I n s o f a r a s w e c a n l o o k a w a y f r o m t h i s d i f f e r e n c e , o u r a p -

p r o a c h c a n n e v e r t h e l e s s p e r h a p s e v e n b e t h o u g h t o f a s a v i n d i c a t i o no f H i l b e r t ' s a p p r o a c h .

H i l b e r t ' s i n t e n t i o n s a r e m o r e c l e a r l y s e e n f r o m h i s c r i t i c i s m s o f h i sp r e d e c e s s o r s t h a n f r o m h i s c o n s t r u c t i v e s u g g e s t i o n s . I n H i l b e r t( 1 9 2 2 , p . 1 6 2 ) h e c r i t i c i z e s D e d e k i n d a n d F r e g e b e c a u s e t h e y h a v eo p e r a t e d w i t h g e n e r a l c o n c e p t s .

F r e g e h a s t r i e d t o f i n d a f o u n d a t i o n f o r t h e t h e o r y o f n u m b e r s i n p u r e l o g i c ,

D e d e k i n d i n s e t t h e o r y a s a b r a n c h o f p u r e l o g i c , n e i t h e r h a s r e a c h e d h i sg o a l .

T h e r e a s o n i s t h a t t h e y h a v e o p e r a t e d i n a b s t r a c t t e r m s w i t he x t e n s i o n s a n d i n t e n s i o n s o f c o n c e p t s , w h i c h a c c o r d i n g t o H i l b e r t i si n s u f f i c i e n t a n d d a n g e r o u s . I n t h e p l a c e o f s u c h g e n e r a l c o n c e p t s a s

t h e p r i n c i p a l o b j e c t s o f a m a t h e m a t i c i a n ' s a t t e n t i o n H i l b e r t w a n t s t op u t

c e r t a i n d i s c r e t e e x t r a l o g i c a l o b j e c t s w h i c h a r e p r e s e n t e d i n t u i t i v e l y a si m m e d i a t e e x p e r i e n c e s b e f o r e a l l t h o u g h t .

T h e s e a r e o b v i o u s l y i n d i v i d u a l s i n c o n t r a d i s t i n c t i o n t o g e n e r a lc o n c e p t s . H u b e r t i s t h e r e f o r e a d v o c a t i n g a s a b a s i s o f m a t h e m a t i c sa n d l o g i c a s t u d y o f c o n c r e t e o b j e c t s t h a t w e c a n g r a s p d i r e c t l y a n do p e r a t e w i t h . I t d o e s n o t s e e m t o m e f a r - f e t c h e d t o c a l l s u c h a v i s i o n

o f t h e f o u n d a t i o n s o f m a t h e m a t i c s c o m b i n a t o r i a l .A d m i t t e d l y t h e s e n s e o f " c o m b i n a t o r i a l " i n w h i c h I a m u s i n g t h et e r m h e r e i s s o m e w h a t v a g u e . I b e l i e v e n e v e r t h e l e s s t h a t t h e r e a r ee n o u g h c o n n e c t i o n s b e t w e e n w h a t I h a v e i n m i n d a n d c o m b i n a t o r i c si n t h e g e n e r a l l y a c k n o w l e d g e d s e n s e , n o t o n l y t o m a k e m y u s a g ed e f e n s i b l e b u t t o m a k e i t i n t e r e s t i n g . C o m b i n a t o r i a l t h e o r y , e s p e c i a l -l y R a m s e y t h e o r y , h a s t u r n e d o u t t o h a v e u s e s i n m a n y d i f f e r e n tb r a n c h e s o f m a t h e m a t i c s , p e r h a p s e s p e c i a l l y s t r i k i n g i n l o g i c a l

n u m b e r t h e o r y ( s e e h e r e G r a h a m , R o t s c h i l d , a n d S p e n c e r 1 9 9 0 , C h .6 ) . I n a d i f f e r e n t d i r e c t i o n , i n f i n i t a r y c o m b i n a t o r i c s , e s p e c i a l l y p a r t i -t i o n t h e o r y , i s p l a y i n g a n i n c r e a s i n g l y i m p o r t a n t r o l e i n s e t t h e o r y , a sw i t n e s s e d b y t i t l e s l i k e C o m b i n a t o r i a l S e t T h e o r y ( E r d ö s e t a l . 1 9 8 4 ;c f . K l e i n b e r g 1 9 7 7 ; c f . W i l l i a m s 1 9 7 7 ) . I t i s p e r h a p s s y m b o l i c t h a tR a m s e y t h e o r y s t a r t e d w i t h h i s 1 9 3 0 p a p e r w h i c h w a s d e v o t e d t o t h eE n t s c h e i d u n g s p r o b l e m o f l o g i c .




T h e s e n s e o f " c o m b i n a t o r i a l " p r e s u p p o s e d h e r e c o m e s c l o s e i nm e a n i n g t o " f i r s t - o r d e r " , i n t h a t f i r s t - o r d e r r e a s o n i n g i n v o l v e s o n l y

s t r u c t u r e s o f i n d i v i d u a l s ( p a r t i c u l a r s ) , i n d e p e n d e n t l y o f t h e e x i s t e n c eo r n o n e x i s t e n c e o f a n y p r o p e r t i e s o r r e l a t i o n s o r s e t s o r c l a s s e s , o ra n y o t h e r h i g h e r - t y p e e n t i t i e s . U n f o r t u n a t e l y , t h e t e r m " f i r s t - o r d e r "

i s t o o c l o s e l y a s s o c i a t e d w i t h t h e r e c e i v e d a t t e m p t s t o s y s t e m a t i z et h i s b a s i c p a r t o f l o g i c . A s h a s b e e n s h o w n i n t h i s b o o k , t h e s e

a t t e m p t s d o n o t e x h a u s t a l l g e n u i n e l y f i r s t - o r d e r r e a s o n i n g . I n d e e d ,I F f i r s t - o r d e r l o g i c i s n e g l e c t e d i n t h e u s u a l t r e a t m e n t s o f " f i r s t -o r d e r " l o g i c .

T h e s a m e p o i n t c a n b e i l l u s t r a t e d b y m e a n s o f h i s t o r i c a l e x a m p l e .I h a v e s u g g e s t e d t h a t o n e o f t h e l e a d i n g i d e a s o f D a v i d H i l b e r t ' st h i n k i n g w a s t o b a s e a l l m a t h e m a t i c s o n c o m b i n a t o r i a l r e a l i t i e s . I t i s

t h e r e f o r e i n k e e p i n g w i t h t h e l i n k b e t w e e n w h a t I h e r e c a l l c o m b i n a -t o r i a l r e a s o n i n g a n d f i r s t - o r d e r l o g i c t h a t o n e o f t h e c r u c i a l s t e p s i nt h e c r y s t a l l i z a t i o n o f f i r s t - o r d e r l o g i c w a s t a k e n i n H i l b e r t a n dA c k e r m a n n ( 1 9 2 8 ; c f . M o o r e 1 9 8 8 ) . B u t H i l b e r t w a s n o t s a t i s f i e dw i t h t h a t s y s t e m a t i z a t i o n . H e t r i e d t o m a k e m o r e e x p l i c i t t h e n a t u r e

o f q u a n t i f i e r s a s e m b o d i m e n t s o f c e r t a i n c h o i c e f u n c t i o n s b y m e a n so f h i s e p s i l o n - c a l c u l u s . A s n o t e d a b o v e , H u b e r t h o p e d i n t h i s w a y t o

j u s t i f y t h e a p p a r e n t l y s e t - t h e o r e t i c a l a x i o m o f c h o i c e . T h i s a t t e m p tc a n b e t h o u g h t o f a s a n o t h e r w a y o f t r y i n g t o i m p l e m e n t t h e s a m ei d e a s a s a r e s y s t e m a t i z e d i n g a m e - t h e o r e t i c a l s e m a n t i c s . M o r e o v e r ,H i l b e r t w a s n o t c o m p l e t e l y h a p p y , e i t h e r , w i t h t h e t r e a t m e n t o fn e g a t i o n t h a t i s c o d i f i e d i n t h e u s u a l s y s t e m s o f f i r s t - o r d e r l o g i c . F o rs u c h r e a s o n s , i t m i g h t b e m i s l e a d i n g t o r e f e r t o h i s l o g i c a l p r e f e r e n c e sa s f i r s t - o r d e r o n e s . I c a n o n l y h o p e t h a t t h e t e r m " c o m b i n a t o r i a l "d o e s n o t p r o m p t o t h e r m i s u n d e r s t a n d i n g s .

I t m u s t b e e m p h a s i z e d t h a t m y r e d u c t i o n o f m a t h e m a t i c s t o I Ff i r s t - o r d e r l o g i c i s n o t a t r a n s l a t i o n . O n e w a y o f d e s c r i b i n g w h a t i sh a p p e n i n g i s t o c o n s i d e r a g i v e n h i g h e r - o r d e r a x i o m s y s t e m T I ts p e c i f i e s a c l a s s o f ( h i g h e r - o r d e r ) s t r u c t u r e s a s i t s m o d e l s . T h e r e d u c -t i o n I h a v e d e s c r i b e d m e a n s t h a t t h e s e s t r u c t u r e s c a n b e c a p t u r e d b y

m e a n s o f e x t e n d e d I F f i r s t - o r d e r f o r m u l a s . H o w e v e r , t h e y d o n o ta p p e a r a s c l a s s e s o f m o d e l s o f g i v e n f o r m u l a s , b u t a s s t r u c t u r e s

e m b e d d e d i n s u c h m o d e l s .I n b r i e f , f o r e a c h m a t h e m a t i c a l a x i o m s y s t e m A 1 e x p r e s s i b l e i n

t e r m s o f s t a n d a r d l y i n t e r p r e t e d h i g h e r - o r d e r l o g i c , I h a v e s h o w nh o w t o s p e c i f y a n a x i o m s y s t e m A 2 f o r m u l a t e d i n t e r m s o f e x t e n d e dI F f i r s t - o r d e r l o g i c i n w h i c h A 1 a d m i t s o f a r e l a t i v e i n t e r p r e t a t i o n . I n




t h i s s e n s e , t h e r e d u c t i o n I h a v e s k e t c h e d i s a r e d u c t i o n b y r e l a t i v ei n t e r p r e t a t i o n . S u c h r e d u c t i o n s a r e s o m e t i m e s c a l l e d c o n c e p t u a l

r e d u c t i o n s ( s e e , e . g . , F e f e r m a n 1 9 9 3 , P . 1 4 8 ) . A s w a s i n d i c a t e d i n t h e

p r e c e d i n g c h a p t e r , s u c h r e d u c t i o n s a r e n o t v e r y p o p u l a r t h e s e d a y s .T h e r e a s o n i s t h a t s u c h r e d u c t i o n s a l l t o o o f t e n a r e n o t w h a t

F e f e r m a n c a l l s f o u n d a t i o n a l r e d u c t i o n s . S p e a k i n g o f r e l a t i v e i n t e r -p r e t a t i o n s , h e w r i t e s ( F e f e r m a n 1 9 9 3 , p . 1 4 8 ) :

a f a m i l i a r e x a m p l e i s t h a t [ i n t e r p r e t a t i o n ] o f P e a n o A r i t h m e t i c P A . . . i n

Z e r m e l o — F r a e n k e l s e t t h e o r y Z F . . . , w h e r e t h e n a t u r a l n u m b e r s a r e i n t e r -p r e t e d a s f i n i t e o r d i n a l s . T h i s i s a c o n c e p t u a l r e d u c t i o n o f n u m b e r t h e o r y t o

s e t t h e o r y , b u t n o t a f o u n d a t i o n a l r e d u c t i o n , b e c a u s e t h e l a t t e r s y s t e m i sj u s t i f i e d o n l y b y a n u n c o u n t a b l e i n f i n i t a r y f r a m e w o r k w h e r e a s t h e f o r m e r i sj u s t i f i e d s i m p l y b y a c o u n t a b l e i n f i n i t a r y f r a m e w o r k .

I a m h e r e c o n c e r n e d w i t h j u s t i f i c a t i o n i n a s e n s e t h a t i s s o m e w h a td i f f e r e n t f r o m t h a t o f F e f e r m a n ' s . M y f o c u s i s n o t t h e c o n t r a s tb e t w e e n c o u n t a b l e a n d u n c o u n t a b l e i n f i n i t y , b u t t h e p r o b l e m o f t h ee x i s t e n c e o f h i g h e r - o r d e r e n t i t i e s . I f t h i s i s o n e ' s f o c u s , t h e n t h e

r e d u c t i o n I h a v e s h o w n h o w t o c a r r y o u t i s i n d e e d a f o u n d a t i o n a lr e d u c t i o n w i t h a v e n g e a n c e . T h e r e d u c t i s m o r e f u n d a m e n t a l i n a ni m p o r t a n t r e s p e c t t h a n t h e t h e o r y t o b e r e d u c e d . I n d e e d , i n t h er e d u c t i o n a l l q u e s t i o n s c o n c e r n i n g t h e e x i s t e n c e o f h i g h e r - o r d e re n t i t i e s a r e r e p l a c e d b y q u e s t i o n s c o n c e r n i n g t h e t r u t h o f e x t e n d e dI F f i r s t - o r d e r s e n t e n c e s ( i n c a s e w e w a n t t o k n o w i f t h e a x i o m s a r et r u e ) a n d b y q u e s t i o n s c o n c e r n i n g t h e v a l i d i t y o f u n e x t e n d e d I Ff i r s t - o r d e r s e n t e n c e s ( i f w e a r e i n t e r e s t e d i n m a t t e r s o f t h e o r e m h o o d ) .I f t h i s i s n o t a f o u n d a t i o n a l r e d u c t i o n , i t i s h a r d f o r m e t o t h i n k w h a tc a n b e .

T h e s e o b s e r v a t i o n s c a n b e i l l u s t r a t e d a n d p u t i n t o p e r s p e c t i v e b yr e l a t i n g t h e m t o t h e s o - c a l l e d S k o l e m p a r a d o x o n t h e o n e h a n d a n dt h e d i s t i n c t i o n b e t w e e n t h e t w o f u n c t i o n s o f l o g i c i n m a t h e m a t i c s ( c f .C h a p t e r 1 ) o n t h e o t h e r .

T h e S k o l e m p a r a d o x i s l e s s a p a r a d o x t h a n a n i n s i g h t i n t o t h e

l i m i t a t i o n s o f o r d i n a r y f i r s t - o r d e r l o g i c . I t i s p r o m p t e d b y t h eL ö w e n h e i m - S k o l e m t h e o r e m w h i c h s a y s t h a t i f a f i r s t - o r d e r s e n t e n c ei s s a t i s f i a b l e i n a n i n f i n i t e m o d e l i t i s s a t i s f i e d ( t r u e ) i n a c o u n t a b l em o d e l . W h a t f o l l o w s f r o m t h i s m e t a t h e o r e m i s t h a t f i r s t - o r d e r

l a n g u a g e s a r e n o t a s a t i s f a c t o r y v e h i c l e f o r d i s c u s s i n g n o n c o u n t a b l es e t s , f o r n o f i r s t - o r d e r f o r m u l a o r a x i o m s y s t e m c a n d i s t i n g u i s h

a n o n c o u n t a b l e s e t f r o m c o u n t a b l e o n e s . I n t h e p r e c e d i n g c h a p t e r , i t




w a s i n d i c a t e d h o w t h e s e l i m i t a t i o n s a p p a r e n t l y a r e m a n i f e s t e d i n( f i r s t - o r d e r ) a x i o m a t i c s e t t h e o r y . S u c h a p p l i c a t i o n s h a v e p r o b a b l yc o n t r i b u t e d t o t h e a i r o f p a r a d o x a b o u t t h e L ö w e n h e i m — S k o l e m

t h e o r e m . T h i s r e p u t a t i o n i s i n r e a l i t y t h o r o u g h l y u n d e s e r v e d .A s w a s p o i n t e d o u t i n C h a p t e r 3 , t h e L d w e n h e i m — S k o l e m t h e -

o r e m h o l d s i n I F f i r s t - o r d e r l o g i c . H o w , t h e n , c a n i t s e r v e a s t h eu n i v e r s a l m e d i u m o f m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s , a s w a s s u g g e s t e d ?W h a t I h a v e s h o w n i s t h a t a n y m a t h e m a t i c a l t h e o r y f i n i t e l y a x i o -m a t i z a b l e b y m e a n s o f h i g h e r - o r d e r l o g i c c a n b e f o r m u l a t e d ( i n t h es e n s e e x p l a i n e d a b o v e ) a s a c o n t r a d i c t o r y n e g a t i o n o f a n I F f i r s t -

o r d e r s e n t e n c e , i n s u c h a w a y t h a t a n y p u t a t i v e t h e o r e m c a n b e t a k e nt o b e a n o r d i n a r y f i r s t - o r d e r s e n t e n c e ( o r a n u n e x t e n d e d I F f i r s t -o r d e r s e n t e n c e ) . T h e n t h e c l a i m t h a t i t r e a l l y i s a t h e o r e m i s t a n t a -m o u n t t o c l a i m i n g t h a t a n u n e x t e n d e d I F f i r s t - o r d e r s e n t e n c e i s v a l i d( l o g i c a l l y t r u e ) .

A m a t h e m a t i c a l t h e o r y f o r m u l a t e d i n t h i s w a y b y m e a n s o fe x t e n d e d I F f i r s t - o r d e r l o g i c c a n v e r y w e l l h a v e o n l y u n c o u n t a b l em o d e l s , f o r t h e L ö w e n h e i m — S k o l e m t h e o r e m d o e s n o t a p p l y t o

e x t e n d e d I F l o g i c . A t t h e s a m e t i m e , a s w a s s e e n , q u e s t i o n s o ft h e o r e m h o o d c a n b e r e f o r m u l a t e d s o a s t o p e r t a i n t o t h e v a l i d i t y o fu n e x t e n d e d I F f o r m u l a s o n l y .

T h i s a n a l y s i s o f t h e s i t u a t i o n c a n b e t h o u g h t o f a s a r e s o l u t i o n o ft h e S k o l e m " p a r a d o x " . I t s h o w s t h a t ( a n d i n w h a t s e n s e ) m a t h e m a t -i c a l t h e o r i e s c a n d e a l w i t h u n c o u n t a b l e s t r u c t u r e s e v e n t h o u g h t h e i rl o g i c a t l e a s t t h e l o g i c o f t h e o r e m h o o d c a n b e h a n d l e d i n a l o g i ct h a t a d m i t s o f t h e L ö w e n h e i m — S k o l e m t h e o r e m . I n o t h e r w o r d s , w ec a n n o w s e e h o w m a t h e m a t i c a l t h e o r i e s c a n d e a l n o t o n l y w i t h s e t sb u t e v e n w i t h u n c o u n t a b l e s e t s , a n d y e t m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g i se s s e n t i a l l y c o m b i n a t o r i a l .

T h e r e i s a l s o s o m e t h i n g o f a c o r r e l a t i o n h e r e w i t h t h e f i r s t t w of u n c t i o n s o f l o g i c i n m a t h e m a t i c s a s o u t l i n e d i n C h a p t e r 1 . T h ed e s c r i p t i v e f u n c t i o n r e q u i r e s e x t e n d e d I F f i r s t - o r d e r l o g i c w h e r e a s

t h e c o n s e q u e n c e r e l a t i o n s ( q u e s t i o n s o f t h e o r e m h o o d ) t u r n o n t h e

v a l i d i t y o f u n e x t e n d e d I F f i r s t - o r d e r f o r m u l a s . T h e s e o b s e r v a t i o n sw i l l n e v e r t h e l e s s b e p l a c e d i n a s o m e w h a t d i f f e r e n t l i g h t i n t h e l a s ts e c t i o n o f t h e n e x t c h a p t e r .

O n e i m p o r t a n t f a c e t o f t h e p o s s i b i l i t y o f u s i n g I F f i r s t - o r d e r l o g i ca s t h e f r a m e w o r k o f m a t h e m a t i c s i s t h a t t h e n t h e m e t a t h e o r y o fm a t h e m a t i c a l t h e o r i e s c a n b e d e v e l o p e d b y m e a n s o f t h e s a m el o g i c a l t o o l s a s w e r e u s e d t o d e v e l o p t h e s e t h e o r i e s i n t h e f i r s t p l a c e .




I n b r i e f , t h e l o g i c o f m a t h e m a t i c a l t h e o r i e s c a n b e s e l f - a p p l i e d . T h em a t h e m a t i c s o f m e t a m a t h e m a t i c s ( c f . R a s i o w a a n d S i k o r s k i 1 9 6 3 )c a n i n p r i n c i p l e b e t a k e n t o b e t h e s a m e m a t h e m a t i c s a s i t s e r v e s u s t o

m e t a t h e o r i z e a b o u t .T h i s c a n b e i l l u s t r a t e d b y c o n s i d e r i n g t h e m o s t i m p o r t a n t s p e c i f i c

r e s u l t s o f s e l f - a p p l i e d l o g i c a n d m a t h e m a t i c s . F o r i n s t a n c e , m yq u a l i f i e d r e d u c t i o n o f a l a r g e p a r t o f m a t h e m a t i c s t o I F f i r s t - o r d e rl o g i c c a n b e c a s t i n t o s h a r p e r r e l i e f b y o u r o t h e r r e s u l t s , e s p e c i a l l y b yo u r t r u t h d e f i n i t i o n f o r I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e s . T h e p o s s i b i l i t y o fs u c h a t r u t h d e f i n i t i o n m e a n s t h a t i m p o r t a n t a s p e c t s o f a n I F

f i r s t - o r d e r l a n g u a g e c a n b e s t u d i e d b y m e a n s o f t h a t v e r y l a n g u a g e .E v e n t h o u g h t h i s p o s s i b i l i t y d o e s n o t c o v e r e v e r y t h i n g i n t h e m e t a -t h e o r y o f t h e m a t h e m a t i c a l t h e o r i e s i n q u e s t i o n , i t i s i n p r i n c i p l eh i g h l y i n t e r e s t i n g b e c a u s e i t h a s o f t e n b e e n t h o u g h t t h a t s u c h s e l f -s t u d y i s i m p o s s i b l e . M o r e s p e c i f i c a l l y , t h i s i m p o s s i b i l i t y i s t h o u g h t o fa s b e i n g i m p l i e d b y G ö d e l ' s r e s u l t s . F o r i n s t a n c e , v a n d e r W a e r d c n( 1 9 8 5 , p . 1 5 7 ) w r i t e s :

F r o m t h i s H o l d e r c o n c l u d e s t h a t i t i s i m p o s s i b l e t o c o m p r e h e n d t h e w h o l eo f m a t h e m a t i c s b y m e a n s o f a l o g i c a l f o r m a l i s m , b e c a u s e l o g i c a l c o n s i d e r -a t i o n s c o n c e r n i n g t h e s c o p e a n d l i m i t s o f t h e f o r m a l i s m n e c e s s a r i l y t r a n -s c e n d t h e f o r m a l i s m a n d y e t b e l o n g t o m a t h e m a t i c s . T h i s c o n c l u s i o n i s f u l l y

c o n f i r m e d b y l a t e r i n v e s t i g a t i o n s o f K u r t G O d e l .

S u c h c l a i m s a r e a t b e s t s e r i o u s l y m i s l e a d i n g . G O d e l d i d n o t p r o v et h e d e s c r i p t i v e i n c o m p l e t e n e s s o f a n y m a t h e m a t i c a l t h e o r y a n s i c h ,

w i t h o u t r e f e r e n c e t o s o m e u n d e r l y i n g l o g i c o r t h e o t h e r . O n t h ec o n t r a r y , w e c a n s e e t h a t s o m e o f t h e m o s t i m p o r t a n t f a c t s a b o u ta s u i t a b l e l o g i c a l l a n g u a g e , n a m e l y , t h e t r u t h - c o n d i t i o n s o f i t ss e n t e n c e s , c a n a f t e r a l l b e f o r m u l a t e d i n t h e l a n g u a g e i t s e l f .

B u t s u p p o s e I a m a s k e d t o r e s p o n d t o T a r s k i ' s l e t t e r t o N e u r a t h o fS e p t e m b e r 7 , 1 9 3 6 , q u o t e d i n C h a p t e r 1 , a n d t o s a y w h e t h e r t h e

p r o b l e m o f a u n i v e r s a l l a n g u a g e h a d b e e n d e f i n i t i v e l y d i s p o s e d o f .W h a t d o m y r e s u l t s i m p l y c o n c e r n i n g t h e p o s s i b i l i t y o f a u n i v e r s a l

l a n g u a g e ? I s s u c h a l a n g u a g e p o s s i b l e ? I a m t e m p t e d t o a n s w e r , y e sa n d n o . H o w e v e r , i n t h i s c a s e y e s i s c l o s e r t o t h e t r u t h t h a n n o . W h a tw e c a n n o t h a v e i s a s i n g l e u n i v e r s a l l a n g u a g e t h a t n e e d n o t b ee x t e n d e d f u r t h e r . T h e f i r s t t r u t h d e f i n i t i o n t h a t I e x p l a i n e d i nC h a p t e r 6 p r e s u p p o s e s t h a t a n y a c t u a l f i n i t e l a n g u a g e s y s t e m m u s tb e c a p a b l e o f b e i n g e x t e n d e d b y a d d i n g n e w i n d i v i d u a l c o n s t a n t s .M o r e o v e r , a n d e v e n m o r e i m p o r t a n t l y , t h e r e i s n o h o p e o f f o r m u l a -




t i n g a s i n g l e l a n g u a g e i n w h i c h a l l m a t h e m a t i c a l t h e o r i e s c o u l d b ed i s c u s s e d , a l a n g u a g e i n w h i c h t h e k i n d o f " m o d e l o f a l l m o d e l s "c o u l d b e d e s c r i b e d t h a t s e t t h e o r y w a s o r i g i n a l l y t h o u g h t o f a s b e i n g .

B u t e v e n t h o u g h w e c a n n o t h a v e a u n i v e r s a l l a n g u a g e o f m a t h e -m a t i c s , w e c a n h a v e a u n i v e r s a l l o g i c . A s s u c h a l o g i c , e x t e n d e d I Ff i r s t - o r d e r l o g i c , h a s b e e n s e e n t o f i l l t h e b i l l . A s h a s b e e n s h o w n , a n yn o r m a l m a t h e m a t i c a l t h e o r y c a n i n p r i n c i p l e b e f o r m u l a t e d i na l a n g u a g e w h o s e l o g i c i s e x t e n d e d I F f i r s t - o r d e r l o g i c . I f w e w a n t t of o r m u l a t e , s t u d y a n d a p p l y a n o t h e r m a t h e m a t i c a l t h e o r y , w e c a nf o r m u l a t e i t i n a s i m i l a r b u t d i f f e r e n t l a n g u a g e . M o r e o v e r , w e c a n

p o o l a n y f i n i t e n u m b e r o f s u c h l a n g u a g e s t o g e t h e r b y t h e s i m p l ed e v i c e o f r e l a t i v i z a t i o n . ( I t i s w o r t h p o i n t i n g o u t t h a t t h e p a i n l e s s n e s so f s u c h a u n i f i c a t i o n i s d u e t o t h e f a c t t h a t t h e t h e o r i e s i n q u e s t i o n

a r e f i r s t - o r d e r t h e o r i e s . ) A f t e r t h e m e r g e r w e c a n s t u d y t h e r e l a t i o n -s h i p o f t h e d i f f e r e n t t h e o r i e s i n q u e s t i o n i n t h e r e s u l t i n g r i c h e rl a n g u a g e .

I n s o f a r a s s u c h a s o p e n a n d p o t e n t i a l l y f o r e v e r g r o w i n g s e q u e n c eo f b i g g e r a n d b e t t e r l a n g u a g e s c o u n t s a s o n e l a n g u a g e , i t q u a l i f i e s a s

t h e u n i v e r s a l l a n g u a g e o f m a t h e m a t i c s . A d m i t t e d l y , i t i s n o t o n el a n g u a g e b y t h e l e t t e r o f m o s t c u r r e n t d e f i n i t i o n s , a n d a d m i t t e d l yd i f f e r e n t m a t h e m a t i c a l t h e o r i e s o c c u p y t h e m s e l v e s w i t h d i f f e r e n tp a r t s o f i t . S i n c e t h i s l a n g u a g e i s o p e n o n e c a n n o t d i s c u s s i t a s ac o m p l e t e d w h o l e , e v e n t h o u g h a t a n y s t a g e o f i t s e v o l u t i o n t h es y n t a x a n d s e m a n t i c s o f t h e l a n g u a g e f r a g m e n t s o f a r r e a c h e d c a n b ed i s c u s s e d i n t h e f r a g m e n t i t s e l f .

I n o t h e r w o r d s , I a m n o t a d v o c a t i n g a u n i v e r s a l l a n g u a g e o fm a t h e m a t i c s i n t h e s t r i c t s e n s e o f t h e w o r d . D i f f e r e n t b r a n c h e s o fm a t h e m a t i c s h a v e d i f f e r e n t p r i m i t i v e n o t i o n s . E v e n i f s o m e o f t h e m ,f o r i n s t a n c e t h e n o t i o n o f c a r d i n a l i t y , c o u l d b e d e f i n e d i n p u r e l yl o g i c a l t e r m s , I s t i l l d o n o t s e e a n y t h e o r e t i c a l o r p r a c t i c a l p a y o f f i nd o i n g s o . T h e r e d o e s n o t s e e m t o b e a n y p o i n t i n t r y i n g t o c o m b i n ed i f f e r e n t m a t h e m a t i c a l t h e o r i e s s o m e h o w s o a s t o b e c o m e p a r t s o fs o m e h u g e s u p e r - t h e o r y .

W h a t I h a v e a r g u e d i s t h a t m o s t ( a n d p e r h a p s a l l ) o f m a t h e m a t i c sc a n i n p r i n c i p l e b e d o n e b y m e a n s o f o n e a n d t h e s a m e l o g i c , I Ff i r s t - o r d e r l o g i c . M o r e o v e r , t h a t l o g i c i s a g e n u i n e a r t i c l e a n d n o ta d i s g u i s e d v e r s i o n o f s e t t h e o r y b e c a u s e i t i s f i r s t - o r d e r l o g i c a n dt h e r e f o r e f r e e o f t h e p h i l o s o p h i c a l p r o b l e m s t h a t h a v e b e s e t s e tt h e o r y o r t y p e t h e o r y . I t h a s t h e s a m e — a n d a b e t t e r — c l a i m t o t h et i t l e o f l o g i c a s o r d i n a r y f i r s t - o r d e r l o g i c .




N e e d l e s s t o s a y , I a m a d v o c a t i n g t h i s p u r e l y l o g i c a l n a t u r e o fm a t h e m a t i c a l t h e o r i z i n g a s a r a t i o n a l r e c o n s t r u c t i o n c a l c u l a t e d t os o l v e p h i l o s o p h i c a l a n d o t h e r t h e o r e t i c a l p r o b l e m s . A s t o p r a c t i c a l -i t i e s , p r e s u m a b l y t h e m o s t i n t u i t i v e w a y o f m a t h e m a t i c a l t h e o r i z i n gw o u l d b e t o c a r r y i t o u t o n a s e c o n d - o r d e r l e v e l , o r m a y b e w i t ha s i m p l e t y p e t h e o r y a s i t s l o g i c ; i n o t h e r w o r d s , n o t u n l i k e w h a t i sd o n e i n g e n e r a l t o p o l o g y . O n l y w h e n t h e o r e t i c a l p r o b l e m s t h a t h a v et o d o w i t h t h e s t a t u s o f h i g h e r - o r d e r e n t i t i e s t h a t h a v e t o d o a r i s e w i l lt h e r e b e a r e a s o n t o r e s o r t t o t h e k i n d o f r e d u c t i o n t o I F f i r s t - o r d e rl o g i c d e s c r i b e d i n t h i s c h a p t e r .

T h e o v e r a l l c o n c e p t i o n o f m a t h e m a t i c a l t h e o r i z i n g t h a t e v o l v e sf r o m t h e s e o b s e r v a t i o n s i s n o t e n t i r e l y u n l i k e H u b e r t ' s i d e a o f t h ea x i o m a t i c m e t h o d a s u s e d f o r m a t h e m a t i c a l p u r p o s e s . T h i s c o r n p a n -s o n w i l l h a v e t o b e a m u t a t i s m u t a n d i s o n e , h o w e v e r , f o r m a n y o f t h e

f e a t u r e s o f H u b e r t ' s v i e w s h a v e b e e n d r o p p e d o r m o d i f i e d h e r e . T h e yi n c l u d e f o r - r e a c h i n g c h a n g e s i n t h e n a t u r e o f t h e b a s i c l o g i c , a n d t h e

a b a n d o n m e n t o f s e t t h e o r y a s a f r a m e w o r k f o r m a t h e m a t i c a l t h e o -r i z i n g , a n d s o f o r t h .

M y r e d u c t i o n o f a l l m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s t o q u e s t i o n s c o n c e r n -i n g t h e v a l i d i t y o f s e n t e n c e s o f a n I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e h a s b o t hm a t h e m a t i c a l a n d p h i l o s o p h i c a l s i g n i f i c a n c e . O n e k i n d o f m a t h -e m a t i c a l s i g n i f i c a n c e i s t h a t i t s h o w s t h a t p r a c t i c a l l y a l l m a t h e m a t -i c a l p r o b l e m s a r e a t b o t t o m c o m b i n a t o r i a l r a t h e r t h a n s e t - t h e o r e t i c a l .T h i s i m p l i e s t h a t t h e n o t i o n o f t r u t h a p p l i e s i n m a t h e m a t i c a l t h e o r i e s .I f y o u l o o k a t s e t t h e o r y , e s p e c i a l l y i n i t s f a m i l i a r a x i o m a t i c d r e s s ,

y o u h a v e a t h e o r y w h o s e i n t e n d e d m o d e l s a r e n o t c l e a r l y u n d e r -s t o o d , s o t h a t t h e c h o i c e o f s t r o n g e r a s s u m p t i o n s s e e m s n o t t o b eg u i d e d b y q u e s t i o n s o f t r u t h a n d f a l s i t y b u t b y s o m e v a g u e " i n t u -i t i o n s " , o r e l s e b y c o n s i d e r a t i o n s o f m a t h e m a t i c a l t a s t e a n d e x p e d i -e n c y . I n c o n t r a s t , c o m b i n a t o r i a l p r o b l e m s a r e c l e a r - c u t . E i t h e r t h e r ee x i s t s a s t r u c t u r e o f a c e r t a i n k i n d o r e l s e t h e r e d o e s n o t e x i s t o n e .E i t h e r y o u r j i g s a w p u z z l e o r t i l i n g t a s k c a n b e c o m p l e t e d o r e l s e i tc a n n o t b e . W e h a v e i n s u c h c a s e s a r a z o r - s h a r p c h a r a c t e r i z a t i o n o f

t h e s t r u c t u r e s w h o s e e x i s t e n c e w e a r e s p e a k i n g o f . T h i s p r o v i d e s n or e a s o n w h a t s o e v e r f o r d i s p e n s i n g w i t h t h e n o t i o n o f t r u t h . T h e s e a r c hf o r s t r o n g e r d e d u c t i v e p r e m i s e s w i l l b e g u i d e d b y o n e ' s c o m b i n a t o r i a le x p e r i e n c e .

T h i s c a n b e i l l u s t r a t e d b y m e a n s o f e x a m p l e s . F o r i n s t a n c e , t h es t r o n g h o l d o f t h e d e f e n d e r s o f t h e n o t i o n o f t r u t h i n m a t h e m a t i c a lc o n t e x t s h a s a l w a y s b e e n t h e s t r u c t u r e o f n a t u r a l n u m b e r s . W e h a v e




s u c h a m a r v e l o u s f a m i l i a r i t y w i t h i t t h a t e l e m e n t a r y a r i t h m e t i c i ss p o n t a n e o u s l y t h o u g h t o f a s d e a l i n g w i t h t r u t h a n d f a l s i t y i n t h i sg i v e n s t r u c t u r e ( i n t e n d e d m o d e l ) . C a l c u l a t o r y p r a c t i c e d o e s n o td e f i n e t h i s s t r u c t u r e — i t m e r e l y h e l p s t o p r o v i d e i n s i g h t s i n t o t h ec o m b i n a t o r i a l s t r u c t u r e o f t h i s m o d e l .

N o w w e c a n s e e t h a t p r a c t i c a l l y a l l o f m a t h e m a t i c s c a n b e t a k e n t od e a l w i t h s i m i l a r p r o b l e m s . T h e s t r u c t u r e s i n v o l v e d a r e l i k e l y t o b el e s s f a m i l i a r t h a n t h a t o f n a t u r a l n u m b e r s , b u t t h e c h a r a c t e r o f t h ep r o b l e m s i s i n p r i n c i p l e s i m i l a r . I n a t y p i c a l m a t h e m a t i c a l p r o b l e m ,w e a r e d e a l i n g w i t h a n a x i o m s y s t e m a n d a p u t a t i v e t h e o r e m . T h e

c o m b i n a t o r i a l i n s i g h t s n e e d e d t o d e c i d e t h e s t a t u s o f t h a t a l l e g e dt h e o r e m c o n c e r n t h e m o d e l s o f t h e a x i o m s y s t e m . T h e y a r e p a r a l l e lt o o u r i n s i g h t s i n t o t h e s t r u c t u r e o f n a t u r a l n u m b e r s . T h e y a r es u p p l e m e n t e d a d h o c b y i n s i g h t s i n t o t h e c o m b i n a t o r i a l c l a i m s m a d eb y t h e p a r t i c u l a r p u t a t i v e t h e o r e m i n q u e s t i o n .

I n a m o r e p h i l o s o p h i c a l d i r e c t i o n , t h e r e d u c t i o n I h a v e e x a m i n e dm e a n s t h a t a b s t r a c t e n t i t i e s a r e n o t i n d i s p e n s a b l e i n m a t h e m a t i c s i nt h e l a s t a n a l y s i s ( p a r d o n t h e p u n ) . F r e g e w a s w r o n g ; m a t h e m a t i c s i s

n o t a s t u d y o f g e n e r a l c o n c e p t s , b u t o f s t r u c t u r e s c o n s i s t i n g o fp a r t i c u l a r s ( i n d i v i d u a l s ) .

T h e r e s u l t s s o f a r r e a c h e d s u g g e s t a v i e w o f m a t h e m a t i c s w h i c h i sm o r e p l u r a l i s t i c t h a n t h e t r a d i t i o n a l i d e a o f m a t h e m a t i c s a s b e i n gd o n e , n o t o n l y b y m e a n s o f , b u t w i t h i n t h e s c o p e o f l o g i c , s e t t h e o r yo r t y p e t h e o r y . T h i s t r a d i t i o n a l p i c t u r e i s i n a p p r o p r i a t e i n s e v e r a ld i f f e r e n t w a y s . F o r o n e t h i n g , t h e r e i s n o r e a s o n t o t h i n k t h a t a l lm a t h e m a t i c a l c o n c e p t s c a n b e d e f i n e d w i t h i n o n e a n d t h e s a m el a n g u a g e , b e i t l o g i c a l o r s e t - t h e o r e t i c a l . D i f f e r e n t m a t h e m a t i c a lt h e o r i e s s t u d y s t r u c t u r e s o f d i f f e r e n t k i n d s . T h e r e i s n o r e a s o n a b l eh o p e t o b e a b l e s o m e h o w t o i n t e g r a t e t h e m o d e l s o f a l l t h e d i f f e r e n tm a t h e m a t i c a l t h e o r i e s i n t o a s i n g l e s e t - t h e o r e t i c a l s u p e r - u n i v e r s e , a st h e e a r l y s e t - t h e o r i s t s t h o u g h t t h e y c o u l d d o .

F u r t h e r m o r e , t h e r e s u l t s r e a c h e d i n t h e p r e c e d i n g c h a p t e r a n dm o r e g e n e r a l l y i n t h i s b o o k d o n o t o n l y s h o w t h a t a x i o m a t i c s e t

t h e o r y i s a n i l l - c o n c e i v e d a n d d i s p e n s a b l e b a s i s f o r m a t h e m a t i c s .T h e y a l s o s h o w t h a t o n e o f t h e m a i n r i v a l s o f s e t t h e o r y , t o w i t ,h i g h e r - o r d e r l o g i c s , i s l i k e w i s e d i s p e n s a b l e . B o t h s e t t h e o r y a n d t y p et h e o r y a r e t h e o r e t i c a l l y u n s a t i s f a c t o r y i n t h a t t h e y c o n s t r u e m a t h -e m a t i c a l r e a s o n i n g a n d m a t h e m a t i c a l c o n c e p t f o r m a t i o n a s i n v o l v i n ge s s e n t i a l l y h i g h e r - o r d e r e n t i t i e s . I n r e a l i t y , a s h a s b e e n s e e n , p r a c t i -c a l l y a l l m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s c a n b e c o n s t r u e d a s p r o b l e m s i n I F




f i r s t - o r d e r l o g i c , a n d a l l m a t h e m a t i c a l a x i o m a t i z a t i o n s c a n i n p r i n c i p l e

b e c a r r i e d o u t b y m e a n s o f e x t e n d e d I F f i r s t - o r d e r l o g i c . T h i s m a k e st y p e t h e o r y a s f u l l y u n e m p l o y e d p h i l o s o p h i c a l l y a s s e t t h e o r y i s .

D o a l l m a t h e m a t i c a l t h e o r i e s a n d c o n c e p t u a l i z a t i o n s f a l l w i t h i nt h e s c o p e o f o u r r e s u l t s ? C a n t h e y a l l b e c a p t u r e d , i n t h e s e n s ei n d i c a t e d , i n e x t e n d e d I F f i r s t - o r d e r l o g i c ? I t i s n o t c l e a r w h a t t h ea n s w e r i s , p a r t l y b e c a u s e i t i s n o t c l e a r w h a t i s s u p p o s e d t o c o u n t a sm a t h e m a t i c s . T h e s u c c e s s o f e x t e n d e d I F f i r s t - o r d e r l o g i c i n c a p t u r -i n g s e t - t h e o r e t i c a l a n d s e c o n d - o r d e r c o n c e p t u a l i z a t i o n s s u g g e s t sa p o s i t i v e a n s w e r . T h e r e n e v e r t h e l e s s s e e m t o b e i d e a s e v e n i n

p e r f e c t l y f a m i l i a r m a t h e m a t i c a l t h e o r i e s t h a t t r a n s c e n d t h e p u r v i e wo f t h e r e s u l t s d i s c u s s e d h e r e . H e n c e a m o r e a p p r o p r i a t e q u e s t i o nm i g h t b e : H o w f a r d o t h e r e s u l t s o b t a i n e d i n t h i s c h a p t e r e x t e n d ? T h er e a l m o f m a t h e m a t i c s i s a f r e e c o u n t r y . T h e r e i s n o w a y o f a n t i c i p a -t i n g w h a t k i n d s o f c o n c e p t u a l i z a t i o n s m a t h e m a t i c i a n s m i g h t d e c i d et o u s e . I n t h e n e x t c h a p t e r , I w i l l i n f a c t e x p l o r e a d i f f e r e n t a n d n o v e l

p e r s p e c t i v e o n t h e f o u n d a t i o n s o f l o g i c a n d m a t h e m a t i c s . H e n c e i t i si m p o s s i b l e t o s a y a n y t h i n g a b s o l u t e h e r e . B y a n d l a r g e , i t n e v e r t h e -

l e s s s e e m s t h a t t h e o b s e r v a t i o n s m a d e i n t h i s c h a p t e r c a n b e e x -t e n d e d f u r t h e r i n s e v e r a l i m p o r t a n t d i r e c t i o n s . I n t h e n e x t c h a p t e r ,

i t t u r n s o u t t h a t t h e r e i s a n e m i n e n t l y n a t u r a l c o n s t r u c t i v i s t i ca p p r o a c h t o l o g i c t h a t f a c i l i t a t e s a l i n e o f t h o u g h t s i m i l a r t o t h e o n ec a r r i e d o u t h e r e .

F u r t h e r m o r e , w h a t i s p r o b a b l y t h e m o s t s t r i k i n g p r i m a f a c i ee x c e p t i o n t o w h a t I h a v e s a i d i n t h i s c h a p t e r c a n a l s o b e s h o w n t o b ea m e n a b l e t o t r e a t m e n t o n m y t e r m s . E v e n t h o u g h a n e x p l i c i tt r e a t m e n t w o u l d t a k e u s t o o f a r a f i e l d , t h i s c a s e i s i m p o r t a n t e n o u g ht o b e m e n t i o n e d h e r e .

P r o b a b l y t h e b e s t k n o w n a n d m o s t i m p o r t a n t t y p e s o f m a t h e -m a t i c a l a s s u m p t i o n t h a t d o n o t s e e m t o a d m i t o f a f o r m u l a t i o ni n t e r m s o f h i g h e r - o r d e r l o g i c a r e m a x i m a l i t y a n d m i n i m a l i t ya s s u m p t i o n s . A n d p r o b a b l y t h e b e s t k n o w n e x a m p l e o f s u c h a s -s u m p t i o n s i s i n t u r n t h e s o - c a l l e d a x i o m o f c o m p l e t e n e s s w h i c h

w a s u s e d b y H u b e r t ( 1 8 9 9 ) ( s e e C h a p t e r 5 ) . ( S t r i c t l y s p e a k i n g , t h er e f e r e n c e s h o u l d b e t o t h e s e c o n d t h r o u g h t h e s i x t h e d i t i o n s o fH i l b e r t ' s c l a s s i c , f o r t h e a x i o m o f c o m p l e t e n e s s m a d e i t s a p p e a r -a n c e o n l y i n t h e s e c o n d ( 1 9 0 2 ) e d i t i o n , a n d m a d e i t s e x i t i n f a v o ro f a n a p p a r e n t l y m o r e f r u g a l a s s u m p t i o n i n t h e s e v e n t h e d i t i o n i n

1 9 3 0 . ) T h i s a s s u m p t i o n s a y s i n e f f e c t t h a t t h e i n t e n d e d m o d e l s o fH i l b e r t ' s a x i o m s y s t e m a r e m a x i m a l i n t h e s e n s e t h a t m a t h e m a t i c a l




o b j e c t s c a n n o t b e a d d e d t o t h e m w i t h o u t v i o l a t i n g t h e o t h e r a s s u m p -t i o n s .

N e e d l e s s t o s a y , m a x i m a l i t y a s s u m p t i o n s h a v e e l s e w h e r e p l a y e da n i m p o r t a n t r o l e i n m a t h e m a t i c s , t o o , o f t e n i n c o m b i n a t i o n w i t hm i n i m a l i t y a s s u m p t i o n s . T h e y o p e n i n f a c t a n i n t e r e s t i n g p e r s p e c t i v eo n t o t h e f o u n d a t i o n s o f m a t h e m a t i c s . T h i s p e r s p e c t i v e i s d i s c u s s e di n H i n t i k k a ( 1 9 9 3 a ) .

T h e r e a s o n w h y s u c h m a x i m a l i t y a s s u m p t i o n s c a n n o t b e d i r e c t l yf o r m u l a t e d i n a h i g h e r - o r d e r l o g i c i s o b v i o u s . S a y i n g t h a t a m o d e l

M i s m a x i m a l a p p a r e n t l y i n v o l v e s q u a n t i f i c a t i o n o v e r i n d i v i d u a l s

a n d / o r s e t s o u t s i d e t h e d o m a i n d o ( M ) o f M , w h i l e a n a x i o m a t i cs p e c i f i c a t i o n o f M c a n o n l y b e m a d e b y m e a n s o f q u a n t i f i e r s r a n g i n go v e r e n t i t i e s i n M .

I t c a n n e v e r t h e l e s s b e s h o w n t h a t s u c h m a x i m a l i t y a s s u m p t i o n sc a n a l s o b e b r o u g h t w i t h i n t h e s c o p e o f t h e t r e a t m e n t o u t l i n e d i n t h i sc h a p t e r , a t l e a s t i n t h e c a s e s w h e r e t h e y t y p i c a l l y s e e m t o h a v e b e e n

u s e d . I f m a x i m a l i t y a n d m i n i m a l i t y a s s u m p t i o n s a r e a d d e d t o o r d i -n a r y f i r s t - o r d e r t h e o r i e s , t h e y c a n e a s i l y b e h a n d l e d a l o n g t h e l i n e s

i n d i c a t e d i n t h i s c h a p t e r , t h u s e x t e n d i n g s i g n i f i c a n t l y t h e s c o p e o f t h et r e a t m e n t p r o p o s e d h e r e .

W i t h t h e s e q u a l i f i c a t i o n s , I v e n t u r e t o s a y t h a t m o s t o f t h e u s u a lm a t h e m a t i c s c a n b e d o n e w i t h i n t h e f r a m e w o r k o f I F l o g i c . M o r es p e c i f i c a l l y , t y p i c a l m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s c a n a l l b e r e d u c e d t oq u e s t i o n s c o n c e r n i n g t h e l o g i c a l t r u t h o f d i f f e r e n t f o r m u l a s o f ( u n -e x t e n d e d ) I F f i r s t - o r d e r l o g i c . I n t h i s s e n s e , m a t h e m a t i c s c a n i np r i n c i p l e b e d o n e o n t h e f i r s t - o r d e r l e v e l , a n d i n t h i s s e n s e , m a t h e -m a t i c s c a n b e t h o u g h t o f a s a c o m b i n a t o r i a l r a t h e r t h a t a s e t -

t h e o r e t i c a l e x e r c i s e .M y r e d u c t i o n o f a l l m a t h e m a t i c a l t h e o r i z i n g t o I F f i r s t - o r d e r

l o g i c n e e d s t o b e v i e w e d i n a w i d e r p e r s p e c t i v e . T h i s p e r s p e c t i v e i sp r o v i d e d b y t h e d i s t i n c t i o n t h a t I m a d e i n C h a p t e r 1 b e t w e e n t h ed e s c r i p t i v e a n d t h e d e d u c t i v e f u n c t i o n s o f l o g i c a n d m a t h e m a t i c s . I fy o u r e v i e w t h e r e d u c t i o n c a r r i e d o u t i n t h i s c h a p t e r , y o u w i l l s e e

i m m e d i a t e l y t h a t i t c o n c e r n s o n l y t h e d e s c r i p t i v e f u n c t i o n o f l o g i c i nm a t h e m a t i c s . I t c o n c e r n s t h e q u e s t i o n o f w h a t k i n d o f l o g i c i s n e e d e dt o c a p t u r e a n d t o m a s t e r i n t e l l e c t u a l l y t h e s t r u c t u r e s ( o r c l a s s e s o fs t r u c t u r e s ) m a t h e m a t i c i a n s m i g h t b e i n t e r e s t e d i n .

I n c o n t r a s t , m y r e d u c t i o n d o e s n o t m e a n t h a t w e c a n r e s t r i c t t o t h ef i r s t - o r d e r l e v e l t h e t o o l s n e e d e d f o r t h e p u r p o s e o f d e a l i n g w i t hm a t h e m a t i c a l t h e o r i e s d e d u c t i v e l y . I n d e e d , I h a v e a p p a r e n t l y




s t r a y e d u n r e a l i s t i c a l l y f a r f r o m a l l q u e s t i o n s c o n c e r n i n g a c t u a ll o g i c a l i n f e r e n c e s a n d h e n c e f a r f r o m t h e d e d u c t i v e f u n c t i o n o f l o g i c .F o r i n s t a n c e , i n o r d i n a r y f i r s t - o r d e r l o g i c , t h e t r u t h o f t h e c o n d i -t i o n a l ( S 1 S 2 ) i s p r e c i s e l y w h a t i s n e e d e d t o m o v e f r o m t h e t r u t h o fS 1 t o t h e t r u t h o f S 2 . I n c o n t r a s t , t h e t r u t h o f ( S 1 D S 2 ) ( i . e . , o f

v S 2 ) i n I F f i r s t - o r d e r l o g i c i s m u c h m o r e t h a n w h a t i s n e e d e dt o m a k e t h i s m o v e i n I F f i r s t - o r d e r l o g i c .

H e n c e s o m e t h i n g m o r e h a s t o b e s a i d a b o u t t h e d e d u c t i v e f u n c -t i o n o f l o g i c f r o m t h e v i e w p o i n t o f t h e g a m e - t h e o r e t i c a l a p p r o a c h t o

l o g i c a n d m a t h e m a t i c s . T h i s t a s k w i l l n o t b e a t t e m p t e d i n t h i s b o o k ,

a l t h o u g h s o m e l i g h t o n t h e m a t t e r w i l l b e s h e d b y m y l a s t t w o c h a p t e r s .T h e r e , a n e w a s p e c t o f t h e f o u n d a t i o n s o f l o g i c a n d m a t h e m a t i c s w i l lb e e x a m i n e d , n a m e l y , t h e i n t e r p r e t a t i o n a n d i m p l e m e n t a t i o n o f t h ec l a i m s o f t h e c o n s t r u c t i v i s t s .

N o t e s

1 W a r r e n G o l d f a r b ( 1 9 8 9 ) m a y b e r i g h t i n d e f e n d i n g R u s s e l l a g a i n s t R a m s e y i f w e a s s u m eR u s s e l l ' s n o n s t a n d a r d i n t e r p r e t a t i o n i n t h e f i r s t p l a c e . B u t i n a d e e p e r s e n s e , i t w a s p r e c i s e l y

t h e n o n s t a n d a r d i n t e r p r e t a t i o n t h a t R a m s e y w a s c r i t i c i z i n g .2 F o r f u r t h e r i n f o r m a t i o n a b o u t t h e s c o p e o f a n d l o g i c s , s e e M o s c h o v a k i s ( 1 9 7 4 ) ,

e s p e c i a l l y C h a p t e r 7 .

B y t h e t h e o r y o f t y p e 1 m e a n t h e o r y o f s i m p l e t y p e s i n c o n t r a d i s t i n c t i o n t o R u s s e l ' s r a m i f i e d

t h e o r y o f t y p e s .

T h e t e r m " c o m b i n a t o r i a l " h a s t o b e h a n d l e d w i t h c a r e . W h a t I w a n t t o e m p h a s i z e b y t h e u s eo f t h e t e r m i s t h e c o m b i n a t o r i c s o f t h e o b j e c t s o f m a t h e m a t i c a l t h e o r i e s , a n d n o t t h ec o m b i n a t o r i c s o f t h e f o r m u l a s d e a l i n g w i t h t h o s e o b j e c t s . T h i s e m p h a s i s i s t h e r e f o r er a d i c a l l y d i f f e r e n t f r o m t h e m o t i v a t i o n o f t h e u s e o f t h e s a m e t e r m b y B e n a c e r r a f ( 1 9 7 3 ) .



1 0

C o n s t r u c t i v i s m R e c o n s t r u c t e d

T h e a p p r o a c h r e p r e s e n t e d i n t h i s b o o k h a s a s t r o n g s p i r i t u a l k i n s h i pw i t h c o n s t r u c t i v i s t i c i d e a s . T h i s k i n s h i p c a n b e i l l u s t r a t e d i n a v a -

r i e t y o f w a y s . O n e o f t h e b a s i c i d e a s o f c o n s t r u c t i v i s t s l i k e M i c h a e lD u m m e t t ( 1 9 7 8 , 1 9 9 3 ) i s t h a t m e a n i n g h a s t o b e m e d i a t e d b y t e a c h -a b l e , l e a r n a b l e , a n d p r a c t i c a b l e h u m a n a c t i v i t i e s . T h i s i s p r e c i s e l y t h e

j o b w h i c h s e m a n t i c a l g a m e s d o i n g a m e - t h e o r e t i c a l s e m a n t i c s . T h e s eg a m e s c a n b e t h o u g h t o f a s b e i n g a v a r i e t y o f W i t t g e n s t e i n i a nl a n g u a g e g a m e s . N o w t h e s e v e r y s a m e W i t t g e n s t e i n i a n i d e a s h a v eb e e n o n e o f t h e m a i n s o u r c e s o f i n s p i r a t i o n t o c o n t e m p o r a r y c o n -s t r u c t i v i s t s . I n v i e w o f t h i s c l o s e r e l a t i o n s h i p o f m y i d e a s t o t h o s e o ft h e c o n s t r u c t i v i s t s , i t i s i n o r d e r t o a s k w h a t r e l e v a n c e t h e c o n c e p t sa n d r e s u l t s r e a c h e d h e r e m i g h t h a v e t o t h e p r o s p e c t s o f a c o n s t r u c -t i v i s t i c t h e o r y o f t h e f o u n d a t i o n s o f m a t h e m a t i c s .

T h e a n s w e r t o t h i s q u e s t i o n i s n o t i m m e d i a t e l y o b v i o u s . I t m i g h ts e e m t h a t t h e r e s u l t s r e a c h e d i n t h e e a r l i e r c h a p t e r s o f t h i s b o o ke n t a i l a v i r t u a l A u f l i e b u n g o f a l l c o n s t r u c t i v i s t i c a p p r o a c h e s t o t h ef o u n d a t i o n s o f m a t h e m a t i c s . T h i s l o a d e d H e g e l i a n t e r m i s a p p r o p r i -a t e b e c a u s e i t a l m o s t l o o k s a s i f I h a d p e r h a p s v i n d i c a t e d t h ec o n s t r u c t i v i s t i c a p p r o a c h t o l o g i c a n d m a t h e m a t i c s b y r e f u t i n g i t . A sw a s m e n t i o n e d , t h e b a s i c i d e a s o f m y a p p r o a c h a r e v e r y m u c h i n t h e

s p i r i t o f c o n s t r u c t i v i s t i c w a y s o f t h i n k i n g . Y e t I h a v e e n d e d u pa p p a r e n t l y r e j e c t i n g m a n y o f t h e c h a r a c t e r i s t i c t e n e t s o f c o n s t r u c -t i v i s m . A d m i t t e d l y , I h a v e n o t a i m e d a t r e f u t i n g a c o n s t r u c t i v i s t i cs t a n c e t o u t c o u r t , a n d I d o n o t c l a i m t o h a v e d o n e s o . H o w e v e r ,I h a v e a p p a r e n t l y r e a l i z e d s o m e o f t h e m a i n e n d s o f t h e c o n s t r u c -t i v i s t s w i t h o u t c o m m i t t i n g m y s e l f t o t h e c o n s e q u e n c e s w h i c h

2 1 1




c o n s t r u c t i v i s t s t h e m s e l v e s e m b r a c e . O n t h e o n e h a n d , a p e r c e p t i v er e a d e r h a s u n d o u b t e d l y n o t e d t h a t I h a v e s a t i s f i e d s o m e o f t h e m o s tc h a r a c t e r i s t i c d e s i d e r a t a o f c o n s t r u c t i v i s t s l i k e D u m m e t t . I n p a r -t i c u l a r , i n m y a p p r o a c h t o m e a n i n g , t r u t h i s g r o u n d e d o n c e r t a i nh u m a n l y p l a y a b l e l a n g u a g e g a m e s , j u s t a s D r . D u m m e t t o r d e r e d .O n t h e o t h e r h a n d , I h a v e e n d e d u p r e j e c t i n g v i r t u a l l y a l l t h ec o n s e q u e n c e s w h i c h c o n s t r u c t i v i s t s h o l d d e a r . I h a v e a b i d e d b yc l a s s i c a l m a t h e m a t i c s . A d m i t t e d l y , I s u s p e n d e d , s o t o s p e a k , t e m -p o r a r i l y t h e l a w o f e x c l u d e d m i d d l e . B u t i t w a s s h o w n t h a t t h i sr e j e c t i o n o f t e r t i u m n o n d a t u r f o r t h e s t r o n g n e g a t i o n i s a n i n e v i t a b l e

f e a t u r e o f e v e r y n a t u r a l b a s i c l o g i c a n d t h a t i t t h e r e f o r e h a s n o t h i n gw h a t s o e v e r t o d o w i t h c o n s t r u c t i v i s m . I n d e e d , i n t h e p r e c e d i n gc h a p t e r i t w a s i n e f f e c t s h o w n t h a t y o u c a n d o a l l o f c l a s s i c a lm a t h e m a t i c s i n a l a n g u a g e i n w h i c h t e r t i u m n o n d a t u r f a i l s . A n d t oa d d l o g i c a l i n j u r y t o p h i l o s o p h i c a l i n s u l t , I s h o w e d h o w t o r e i n -t r o d u c e u n r e c o n s t r u c t e d c o n t r a d i c t o r y n e g a t i o n w i t h i t s u n d i l u t e dl a w o f e x c l u d e d m i d d l e .

M o r e o v e r , I h a v e r e p e a t e d l y c r i t i c i z e d t h e c o r n e r s t o n e o f t h e

u s u a l s t r a t e g y o f t h e c o n s t r u c t i v i s t s . T h i s s t r a t e g y a m o u n t s t oc h a r a c t e r i z i n g a c o n s t r u c t i v i s t i c i n t e r p r e t a t i o n o f l o g i c a n d / o rm a t h e m a t i c s b y p r e s e n t i n g a n o n c l a s s i c a l s e t o f r u l e s o f l o g i c a l p r o o f .

T h i s m e t h o d o l o g y h a s b e e n u s e d b y H e y t i n g ( 1 9 5 6 ) i n p r e s e n t i n ga f o r m a l s y s t e m o f i n t u i t i o n i s t i c l o g i c a s w e l l a s b y s u c h l a t e rc o n s t r u c t i v i s t s a s D u m m e t t a n d P r a w i t z . I t w a s s h o w n e a r l i e r t h a ts u c h c h a n g e s i n t h e r u l e s o f l o g i c a l p r o o f c a n n o t b e w h a t t h ec o n s t r u c t i v i s t s a r e r e a l l y t r y i n g t o d o .

M o r e o v e r , t h e r u l e s o f s e m a n t i c a l g a m e s s h o u l d l i k e w i s e b ea c c e p t a b l e t o a c o n s t r u c t i v i s t . I n o r d e r t o v e r i f y a n e x i s t e n t i a ls e n t e n c e ( d x ) S [ x ] I h a v e t o f i n d a n i n d i v i d u a l b s u c h t h a t I c a n v e r i f y

( w i n i n t h e g a m e p l a y e d w i t h ) S [ b ] . W h a t c o u l d b e a m o r e c o n s t r u c -t i v i s t i c r e q u i r e m e n t t h a n t h a t ? L i k e w i s e , i n t h e v e r i f i c a t i o n g a m e

v c o n n e c t e d w i t h a d i s j u n c t i o n ( S 1 v t h e v e r i f i e r m u s t

c h o o s e o r S 2 s u c h t h a t t h e g a m e c o n n e c t e d w i t h i t ( i . e . , G ( S 1 ) o r

G ( S 2 ) ) c a n b e w o n b y t h e v e r i f i e r . A g a i n , t h e r e d o e s n o t s e e m t o b ea n y t h i n g h e r e t o a l i e n a t e a c o n s t r u c t i v i s t .

A l s o , t h e r u l e s o f m y s e m a n t i c a l g a m e s c a n b e t a u g h t a n d l e a r n e d .T w o h u m a n b e i n g s c a n p l a y t h e s e g a m e s a g a i n s t e a c h o t h e r . I n d e e d ,

t h i s i s h o w P e i r c e t h o u g h t o f h i s s e m a n t i c a l g a m e s ( c o n n e c t e d w i t hq u a n t i f i e r s ) a s b e i n g p l a y e d ( s e e H i l p i n e n 1 9 8 3 ) . S e m a n t i c a l g a m e sa r e a l s o f i n i t e i n t h a t e a c h o n e c o m e s t o a n e n d a f t e r a f i n i t e , p r e -



C O N S T R U C T ! V I S M R E C O N S T R U C T E D 2 1 3

d i c t a b l e n u m b e r o f m o v e s . T h e r e i s n o o p e n i n g h e r e f o r a c o n s t r u c -t i v i s t i c c r i t i c i s m o f g a m e - t h e o r e t i c a l s e m a n t i c s .

A t f i r s t s i g h t , t h e a p p r o a c h r e p r e s e n t e d h e r e m i g h t s e e m t o b ec o m m i t t e d t o n o n c o n s t r u c t i v e a s s u m p t i o n s i n o t h e r w a y s . F o ri n s t a n c e , t h e m a i n v e h i c l e o f m y f r e q u e n t t r i p s b e t w e e n f i r s t - o r d e ra n d s e c o n d - o r d e r l o g i c h a s b e e n t h e p r i n c i p l e o f c h o i c e , w h i c h i so f t e n c o n s i d e r e d a p a r a d i g m e x a m p l e o f a n o n c o n s t r u c t i v e a s s u m p -t i o n . F o r I h a v e u s e d a s a s e c o n d - o r d e r t r a n s l a t i o n o f a n y f i r s t - o r d e rs e n t e n c e S o f I F ( o r o r d i n a r y ) f i r s t - o r d e r l a n g u a g e t h e s e n t e n c e t h a ta s s e r t s t h e e x i s t e n c e o f t h e S k o l e m f u n c t i o n s f o r S . ( P l u s , o f c o u r s e ,

t h e f u n c t i o n s w h i c h a r e n e e d e d t o t a k e c a r e o f d e p e n d e n t d i s j u n c -t i o n s . ) N o w e v e n i n t h e c a s e o f a s i m p l e s e n t e n c e o f t h e f o r m

y ] ( 1 0 . 1 )

i t s s e c o n d - o r d e r c o u n t e r p a r t i s

f ( x ) ] ( 1 0 . 2 )

B u t t h e e q u i v a l e n c e o f s e n t e n c e s l i k e ( 1 0 . 1 ) a n d ( 1 0 . 2 ) i s a f o r m o f t h e

p r i n c i p l e o f t h e c h o i c e a n d h e n c e s e e m s t o i n v o l v e a h e a v y d o s e o f s e tt h e o r y . I n C h a p t e r 2 i t w a s n e v e r t h e l e s s s h o w n t h a t t h i s a p p a r e n t u s eo f t h e a x i o m o f c h o i c e i s h a r m l e s s , b e i n g m e r e l y a n i m p l e m e n t a t i o no f t h e g e n e r a l i d e a o f g a m e - t h e o r e t i c a l s e m a n t i c s . W h a t i s m o r e ,I w i l l s h o w l a t e r i n t h i s c h a p t e r t h a t s u c h u s e s o f t h e p r i n c i p l e o fc h o i c e c a n b e v i n d i c a t e d e v e n f r o m a c o n s t r u c t i v i s t i c v i e w p o i n t .

A l l t h i s a m o u n t s t o a s e r i o u s i n d i c t m e n t o f t h e u s u a l w a y s o fi m p l e m e n t i n g c o n s t r u c t i v i s t i c i d e a s . H o w e v e r , t h i s d o e s n o t i m p l yt h a t c o n s t r u c t i v i s m a s s u c h i s w r o n g . I n d e e d , m y g a m e - t h e o r e t i c a la p p r o a c h h e l p s u s t o s e e w h a t t h e t r u e n a t u r e a n d t h e t r u e p r o s p e c t so f c o n s t r u c t i v i s m a r e . T h i s i n c l u d e s c h a n g e s i n t h e l o g i c a n d s e m a n -t i c s w h i c h I h a v e e x p o u n d e d a n d u s e d i n e a r l i e r c h a p t e r s . W h a t i s

m o r e , w e o b t a i n a n e w k i n d o f p u t a t i v e a r g u m e n t f o r a c o n s t r u c t i v i s -t i c a p p r o a c h t o l o g i c a n d t h e f o u n d a t i o n s o f m a t h e m a t i c s . T h e s e n e wo p p o r t u n i t i e s f o r a c o n s t r u c t i v i s t a r e b a s e d s q u a r e l y o n t h e b a s i c

i d e a s o f g a m e - t h e o r e t i c a l s e m a n t i c s . I n t h e l i g h t o f t h e s e i d e a s , i t c a nb e s e e n t h a t a n o n s t a n d a r d i n t e r p r e t a t i o n o f l o g i c a n d m a t h e m a t i c sc a n n o t b e i m p l e m e n t e d m e r e l y b y m o d i f y i n g t h e d e f i n i t o r y r u l e s o ft h e g a m e o f l o g i c a l p r o o f , o r m u c h l e s s b y m o d i f y i n g t h e r u l e s o f m ys e m a n t i c a l g a m e s o f v e r i f i c a t i o n a n d f a l s i f i c a t i o n . S o w h a t e l s e c a na c o n s t r u c t i v i s t d o ? H e r e t h e n o t i o n o f s t r a t e g y , w h i c h i s a t t h e h e a r to f a l l n o n t r i v i a l u s e s o f g a m e - t h e o r e t i c a l i d e a s , o n c e a g a i n b e c o m e s




c r u c i a l . E v e n i f w e c a n n o t c h a n g e t h e m o v e - b y - m o v e r u l e s , w e c a na l t e r t h e s t r a t e g y s e t s w h i c h a r e a v a i l a b l e t o t h e p l a y e r s . N o w i n G T St h e t r u t h o f a s e n t e n c e S i s d e f i n e d a s t h e e x i s t e n c e o f a w i n n i n gs t r a t e g y f o r t h e i n i t i a l v e r i f i e r i n t h e c o r r e s p o n d i n g s e m a n t i c a l g a m eG ( S ) . T h i s w i n n i n g s t r a t e g y c a n b e r e p r e s e n t e d b y a f u n c t i o n ( o rf i n i t e n u m b e r o f f u n c t i o n s ) . I n t h e s i m p l e s t — y e t f u l l y r e p r e s e n t a -t i v e — c a s e t h e y a r e f u n c t i o n s f r o m p o s i t i v e i n t e g e r s t o p o s i t i v ei n t e g e r s . B u t w h a t k i n d s o f f u n c t i o n s ? H e r e m y g a m e - t h e o r e t i c a lv i e w p o i n t f a c i l i t a t e s a " t r a n s c e n d e n t a l d e d u c t i o n " o f t h e w a y i nw h i c h c o n s t r u c t i v i s t i c i d e a s i n t h e f o u n d a t i o n s o f l o g i c s h o u l d b e

i m p l e m e n t e d . O r , m o r e e x p l i c i t l y s p e a k i n g , i t s h o w s t w o d i f f e r e n tw a y s w h i c h c o n s t r u c t i v i s t s c a n t a k e , a n a r r o w e r a n d a b r o a d e ro n e .

T h e k e y t o t h i s " t r a n s c e n d e n t a l d e d u c t i o n " i s u n s u r p r i s i n g l y t h eg a m e - t h e o r e t i c a l d e f i n i t i o n o f t r u t h a s t h e e x i s t e n c e o f a w i n n i n g

s t r a t e g y f o r t h e i n i t i a l v e r i f i e r . H e r e t h e w o r d " e x i s t e n c e " h a s t o b et a k e n l i t e r a l l y . I t m i g h t b e t e m p t i n g t o f o r m u l a t e t h e t r u t h - c o n d i t i o n

b y s a y i n g t h a t a s e n t e n c e S i s t r u e i f a n d o n l y i f t h e i n i t i a l v e r i f i e r

" h a s " a w i n n i n g s t r a t e g y i n t h e g a m e G ( S ) . T h i s f o r m u l a t i o n w o u l db e a t l e a s t s e r i o u s l y m i s l e a d i n g . F o r , i n o r d e r t o r e a c h t h e c l a s s i c a lc o n c e p t i o n o f t r u t h w e m u s t s t i c k t o t h e l e t t e r o f t h e d e f i n i t i o n . T h e r em a y e x i s t a w i n n i n g s t r a t e g y f o r t h e i n i t i a l v e r i f i e r i n t h e a b s t r a c ts e n s e o f t h e e x i s t e n c e o f t h e r e l e v a n t s t r a t e g y f u n c t i o n w i t h o u t a n ya c t u a l p l a y e r b e i n g c o g n i z a n t o f i t , o r p e r h a p s e v e n w i t h o u t a n yp l a y e r b e i n g a b l e t o k n o w t h e w i n n i n g s t r a t e g y . T h i s p r o v i d e s a n

o p e n i n g t o a c o n s t r u c t i v i s t . H e o r s h e c a n r e q u i r e t h a t t h e v e r i f y i n gs t r a t e g y f u n c t i o n s b e k n o w a b l e f u n c t i o n s i n t h e s e n s e t h a t a n a c t u a lh u m a n p l a y e r c a n p l a y t h e s e m a n t i c a l g a m e i n q u e s t i o n i n a c c o r d -a n c e w i t h t h e m .

T h i s i d e a c a n b e i n t e r p r e t e d i n a t l e a s t t w o d i f f e r e n t w a y s . E i t h e ro f t h e m l e a d s t o a n i n t e r e s t i n g i m p l e m e n t a t i o n o f c o n s t r u c t i v i s t i ci d e a s . I n t h i s c h a p t e r I w i l l c o n s i d e r f i r s t o n e p a r t i c u l a r i n t e r p r e t a -t i o n o f t h e r e q u i r e m e n t o f p l a y a b i l i t y a n d l e a v e t h e o t h e r s f o r t h e

n e x t c h a p t e r . T h e d e m a n d o f p l a y a b i l i t y m i g h t s e e m t o i m p l y t h a tt h e s e t o f t h e i n i t i a l v e r i f i e r ' s s t r a t e g i e s m u s t b e r e s t r i c t e d . F o r i t d o e sn o t s e e m t o m a k e a n y s e n s e t o t h i n k o f a n y a c t u a l p l a y e r a s f o l l o w i n ga n o n c o n s t r u c t i v e ( n o n r e c u r s i v e ) s t r a t e g y . H o w c a n I p o s s i b l y f o l l o wi n p r a c t i c e s u c h a s t r a t e g y w h e n t h e r e i s n o e f f e c t i v e w a y f o r m e t of i n d o u t ( o r p e r h a p s e v e n k n o w ) i n g e n e r a l w h a t m y n e x t m o v e w i l lb e ? H e n c e t h e b a s i c i d e a s o f t h e e n t i r e g a m e - t h e o r e t i c a l a p p r o a c h



C O N S T R U C T I V I S M R E C O N S T R U C T E D 2 1 5

a p p a r e n t l y m o t i v a t e a n i m p o r t a n t c h a n g e i n t h e s e m a n t i c s o f o u rf i r s t - o r d e r l a n g u a g e s ( i n d e p e n d e n c e - f r i e n d l y o r n o t ) a n d i n t h e i rl o g i c . T h e r e s u l t i n g s e m a n t i c s i s j u s t l i k e m y e a r l i e r g a m e - t h e o r e t i c a ls e m a n t i c s , e x c e p t t h a t t h e i n i t i a l v e r i f i e r ' s ( " m y s e l f ' s " ) s t r a t e g i e s a r er e s t r i c t e d t o r e c u r s i v e o n e s . T h i s i s a p e r f e c t l y w e l l - d e f i n e d c h a n g e . I tl e a v e s t h e n o t a t i o n u s e d h e r e c o m p l e t e l y u n c h a n g e d ( i n d e p e n d e n t l yo f w h e t h e r t h e s l a s h s y m b o l i s p r e s e n t o r n o t ) . I t a l s o l e a v e s a l l t h eg a m e r u l e s ( r u l e s f o r m a k i n g m o v e s i n a s e m a n t i c a l g a m e ) u n -t o u c h e d . H e n c e i t r e p r e s e n t s a n u n u s u a l a n d s u b t l e k i n d o f c h a n g e i no u r s e m a n t i c s a n d o u r l o g i c . I t s r e s u l t w i l l b e c a l l e d a c o n s t r u c t i v i s t i c

g a m e - t h e o r e t i c a l s e m a n t i c s .T h e c h a n g e i n v o l v e d i n t h e t r a n s i t i o n t o t h e n e w v e r s i o n o f G T S i sm o t i v a t e d b y p r e c i s e l y t h e k i n d o f a r g u m e n t w h i c h a p p e a l s t o

c o n s t r u c t i v i s t s , a n d w h i c h a c c o r d i n g t o t h e m o u g h t t o a p p e a l t oe v e r y b o d y . F o r t h e b a s i s o f m y a r g u m e n t w a s t h e r e q u i r e m e n t t h a t

t h e s e m a n t i c a l g a m e s t h a t a r e t h e f o u n d a t i o n s o f o u r s e m a n t i c sa n d l o g i c m u s t b e p l a y a b l e b y a c t u a l h u m a n b e i n g s , a t l e a s t i np r i n c i p l e . T h i s p l a y a b i l i t y o f o u r " l a n g u a g e g a m e s " i s o n e o f t h e m o s t

c h a r a c t e r i s t i c f e a t u r e s o f t h e t h o u g h t o f b o t h W i t t g e n s t e i n a n dD u m m e t t .

I w i l l p o s t p o n e t o a l a t e r p a r t o f t h i s c h a p t e r a d i s c u s s i o n w h e t h e rt h e c o n s t r u c t i v i s t i c G T S c a n r e a l l y b e a d e q u a t e l y m o t i v a t e d b y t h e

l i n e o f t h o u g h t j u s t o u t l i n e d . M e a n w h i l e , I w i l l t a k e t h e c o n s t r u c t i v -i s t i c G T S a s a n i m p l e m e n t a t i o n o f t h e c o n s t r u c t i v i s t i c a p p r o a c h t ol o g i c a n d f o u n d a t i o n s o f m a t h e m a t i c s a n d s t u d y i t s p r o p e r t i e s .N a t u r a l l y l a m e s p e c i a l l y i n t e r e s t e d i n t h e q u e s t i o n a s t o w h i c h o f t h er e s u l t s c o n c e r n i n g t h e f o u n d a t i o n s o f m a t h e m a t i c s r e a c h e d i n t h ep r e c e d i n g c h a p t e r r e m a i n v a l i d . T h e f o l l o w i n g a r e a m o n g t h e m o s ts a l i e n t p o i n t s t h a t c a n b e m a d e h e r e :

( i ) T h e m o t i v a t i o n f o r a c o n s t r u c t i v i s t i c G T S s k e t c h e d a b o v em i g h t a t f i r s t s e e m t o b e f a r r e m o v e d f r o m t h e i n t u i t i o n s o f t h e

i n t u i t i o n i s t s a n d o t h e r c o n s t r u c t i v i s t s . I t i s n e v e r t h e l e s s e a s y t o

s e e t h a t o u r m o t i v a t i o n i s i n r e a l i t y v e r y c l o s e t o t h a t o f t h ec o n s t r u c t i v i s t s . T h i s c a n b e s e e n b y e x a m i n i n g w h a t t h e r e s t r i c -

t i o n t o r e c u r s i v e s t r a t e g i e s a m o u n t s t o i n p a r t i c u l a r c a s e s . F o ri n s t a n c e , i n ( 1 0 . 1 ) i t m e a n s t h a t ( 1 0 . 1 ) i s t r u e o n l y i f t h e t r u t h -m a k i n g v a l u e o f y c a n b e c a l c u l a t e d f r o m a n y g i v e n v a l u e o fx b y s o m e T u r i n g m a c h i n e . B u t t h i s i s v e r y m u c h l i k e w h a tt h e c o n s t r u c t i v i s t i c s r e q u i r e i n s t i p u l a t i n g t h a t a l l e x i s t e n t i a l




s t a t e m e n t s m u s t b e e f f e c t i v e o n e s . L i k e w i s e , a d e p e n d e n t d i s -j u n c t i o n l i k e

( V x ) ( S 1 [ x ] v S 2 [ x ] ) ( 1 0 . 3 )

w i l l n o w b e e q u i v a l e n t t o

( a f ) ( v x ) ( ( S 1 [ x ] & f ( x ) = 0 ) v ( S 2 [ x ] & f ( x ) ( 1 0 . 4 )

w h e r e f i s a r e c u r s i v e f u n c t i o n . B u t t h i s m e a n s t h a t t h e c h o i c eo f t h e t r u t h - m a k i n g d i s j u n c t c a n b e m a d e e f f e c t i v e l y , b y c a l c u -

l a t i n g t h e v a l u e o f f ( x ) f o r t h e g i v e n a r g u m e n t x . A n d w h a t t h i s

m e a n s i s t h a t t h e c h o i c e b e t w e e n d i s j u n c t s i n ( 1 0 . 3 ) a d m i t s o fa c o n s t r u c t i v e d e c i s i o n p r i n c i p l e .I f t h e r e i s a n a p p a r e n t d i f f e r e n c e b e t w e e n c o n s t r u c t i v i s t i c

G T S a n d t h e i d e a s o f s o i - d i s a n t c o n s t r u c t i v i s t s , i t i s d u e t o am i s t a k e o f t h e i r s c o n c e r n i n g t h e w a y i n w h i c h c o n s t r u c t i v i s t i ci d e a s s h o u l d b e i m p l e m e n t e d . T h e y a p p a r e n t l y t h i n k t h a t s u c ha n i m p l e m e n t a t i o n m u s t t a k e t h e f o r m o f c h a n g i n g t h e c l a s s i c a ld e f i n i t o r y r u l e s o f t h e " g a m e " o f l o g i c a l a n d m a t h e m a t i c a l

p r o o f . W h a t s u c h p r o o f s e s t a b l i s h i s l o g i c a l t r u t h o r l o g i c a lc o n s e q u e n c e , a n d n o t i t s m a t e r i a l t r u t h w h i c h i s t h e r e a l i s s u eh e r e . A d m i t t e d l y , t h e r u l e s o f l o g i c a l p r o o f h a v e t o b e c h a n g e d

w h e n w e m o v e f r o m c l a s s i c a l f i r s t - o r d e r l o g i c t o c o n s t r u c t i v i s -

t i c l o g i c o f t h e k i n d e x p l a i n e d h e r e . H o w e v e r , t h e r e q u i s i t ec h a n g e s a r e g o v e r n e d b y p r i n c i p l e s q u i t e d i f f e r e n t f r o m t h eo n e s c o n s t r u c t i v i s t s s u p p o s e . L a t e r , i t w i l l b e s e e n t h a t t h ec h a n g e s i n t u i t i o n i s t s m a k e i n t h e r u l e s o f l o g i c a l p r o o f a r e n o t

t h e r i g h t o n e s a n y w a y . I n d e e d , i n p r o o f s s e r v i n g t o e s t a b l i s hl o g i c a l t r u t h , i t s c a r c e l y e v e n m a k e s s e n s e t o r e q u i r e t h a t a ne x i s t e n t i a l s t a t e m e n t l i k e b e c o n s t r u c t i v e i n t h e s e n s eo f a l w a y s g i v i n g m e a r e c i p e f o r b u t t o n h o l i n g a c a s e i n p o i n t .I n s u c h a p r o o f , w e a r e n o t a r g u i n g a b o u t t h e t r u t h , f o r

e x a m p l e , o f a n e x i s t e n t i a l s t a t e m e n t b u t a b o u t i t sp o s s i b l e t r u t h . F o r s u c h a p u r p o s e , w h a t c a n p o s s i b l y b e w r o n g

w i t h m y s a y i n g t h a t I c h o o s e t o a r g u e a b o u t a n a r b i t r a r ys p e c i m e n o f t h e x s s a t i s f y i n g S [ x ] ? I n c o n s t r a s t , w h e n i tc o m e s t o t h e o r d i n a r y m a t e r i a l t r u t h o f e x i s t e n t i a l l y q u a n t i f i e df o r m u l a s , e s p e c i a l l y d e p e n d e n t o n e s , t h e c o n s t r u c t i v i s t i cr e q u i r e m e n t s s u d d e n l y b e g i n t o m a k e s e n s e . H e n c e t h e c o n -s t r u c t i v i s t s ' c o n c e r n s a b o u t t h e r u l e o f e x i s t e n t i a l i n s t a n t i a t i o ni n p r o o f s o f l o g i c a l t r u t h a r e m i s p l a c e d .




( i i ) T h e s t e p f r o m t h e o r d i n a r y G T S t o t h e c o n s t r u c t i v i s t i c o n em a k e s a d i f f e r e n c e a l r e a d y t o o r d i n a r y f i r s t - o r d e r l o g i c . I t w a ss h o w n a l o n g t i m e a g o t h a t t h e r e a r e a r i t h m e t i c a l s e n t e n c e st h a t a r e s a t i s f i a b l e i n t h e d o m a i n o f n a t u r a l n u m b e r s b u t w h i c hd o n o t h a v e a n y r e c u r s i v e S k o l e m f u n c t i o n s t o s a t i s f y t h e m ( s e e

K r e i s e l 1 9 5 3 , M o s t o w s k i 1 9 5 5 ) . T h i s m e a n s t h a t w h e n w e m o v e

t o c o n s t r u c t i v i s t i c G T S t h e r e w i l l b e f e w e r a r i t h m e t i c a l s e n -t e n c e s t r u e i n t h e d o m a i n o f n a t u r a l n u m b e r s t h a n b e f o r e .

T h e s a m e r e s t r i c t i o n a l s o l e n d s a n e w i n t e r p r e t a t i o n t o I Ff i r s t - o r d e r l o g i c , n o t j u s t t o o r d i n a r y f i r s t - o r d e r l o g i c . I n b o t h

c a s e s , t h e c o n s e q u e n c e s o f t h e n e w i n t e r p r e t a t i o n h a v e t o b es t u d i e d s e p a r a t e l y .( i i i ) I t i s n a t u r a l t o d e f i n e t h e f a l s i t y o f a s e n t e n c e i n c o n s t r u c t i v i s t i c

G T S a s t h e e x i s t e n c e o f a r e c u r s i v e w i n n i n g s t r a t e g y f o r t h ei n i t i a l f a l s i f i e r , t h a t i s , a r e c u r s i v e s t r a t e g y w h i c h w i n s a g a i n s ta n y s t r a t e g y ( r e c u r s i v e o r n o t ) o f t h e i n i t i a l v e r i f i e r . I f s o , t h e r e

w i l l b e s e n t e n c e s o f o r d i n a r y f i r s t - o r d e r l o g i c w h i c h a r e n e i t h e r

t r u e n o r f a l s e i n c e r t a i n m o d e l s . T h u s , c o n s t r u c t i v i s t s a r e n o t

e n t i r e l y w r o n g i n f o c u s i n g o n t h e f a i l u r e o f t e r t i u m n o n d a t u r a sa p o s s i b l e s y m p t o m o f a c o n s t r u c t i v i s t i c a p p r o a c h . U n f o r t u -n a t e l y f o r t h e m , t h e l a w o f e x c l u d e d m i d d l e f a i l s i n p e r f e c t l yc l a s s i c a l n o n c o n s t r u c t i v i s t i c l o g i c a s s o o n a s i n f o r m a t i o n a li n d e p e n d e n c e i s a l l o w e d . H e n c e t h e f a i l u r e o f t h e l a w o fe x c l u d e d m i d d l e i s n o t a s u f f i c i e n t c o n d i t i o n o f a c o n s t r u c t i v i s -

t i c l o g i c , i n o u r s e n s e o f c o n s t r u c t i v i s m . T h e f a i l u r e o f t e r t i u mn o n d a t u r i s a f e t i s h , a n d n o t a t o u c h s t o n e , o f c o n s t r u c t i v i s m .

( i v ) N o w w e c a n s e e a n o t h e r a s p e c t i n w h i c h t r a d i t i o n a l c o n s t r u c -t i v i s t s a r e b a r k i n g u p t h e w r o n g r u l e s . I t i s n o t t h e d e f i n i t o r yr u l e s o f s e m a n t i c a l g a m e s t h a t n e e d t o b e c h a n g e d , e v e n i f w e

a d o p t a c o n s t r u c t i v i s t s t a n c e . I t w a s s e e n e a r l i e r t h a t t h e r u l e so f l o g i c a l p r o o f f o r a c o n s t r u c t i v i s t i c l o g i c w i l l h a v e t o b ed i f f e r e n t f r o m w h a t t h e y a r e i n c l a s s i c a l l o g i c . W i t h r e s p e c t t ot h e d e f i n i t o r y ( m o v e - b y - m o v e ) r u l e s o f s e m a n t i c a l g a m e s , t h e

s i t u a t i o n i s d i f f e r e n t . W h e n w e s t e p f r o m t h e c l a s s i c a l f i r s t -o r d e r l o g i c t o c o n s t r u c t i v i s t i c l o g i c , n o c h a n g e s w h a t s o e v e r a r e

n e e d e d i n t h e r u l e s t h a t g o v e r n t h e w a y t h e t w o p l a y e r s m a k et h e i r m o v e s . T h u s t h e s t e p f r o m c l a s s i c a l t o c o n s t r u c t i v i s t i cl o g i c i s a s i f w e c o u l d c h a n g e c h e s s i n t o a d i f f e r e n t g a m ew i t h o u t m o d i f y i n g i t s u s u a l r u l e s f o r m a k i n g m o v e s , f o r m a t i n g

a n d s o f o r t h , m e r e l y b y p u t t i n g r e s t r i c t i o n s o n t h e s t r a t e g i e s




c h e s s p l a y e r s m a y u s e . T h i s i n v a r i a n c e o f t h e c o n c r e t e r u l e s f o r

p l a y i n g a s e m a n t i c a l g a m e s h o w s t h a t c l a s s i c i a l a n d c o n s t r u e -t i v i s t i c l o g i c s a r e o n a p a r w h e n i t c o m e s t o t e a c h a b i l i t y ,

l e a r n a b i l i t y a n d t h e r e s t o f a c t u a l p l a y a b i l i t y , a p a r t f r o mq u e s t i o n s o f s t r a t e g y . I f i t i s p o s s i b l e f o r h u m a n b e i n g s t o l e a r nt h e r u l e s o f c o n s t r u c t i v i s t i c l o g i c , t h e n i t i s e q u a l l y p o s s i b l e f o rt h e m t o l e a r n t h e r u l e s o f c l a s s i c a l s e m a n t i c a l g a m e s . I t i sp e r f e c t l y p o s s i b l e f o r a c t u a l h u m a n b e i n g s t o l e a r n a n d m a s t e rt h e d e f i n i t o r y r u l e s ( s t e p - b y - s t e p r u l e s ) o f s e m a n t i c a l g a m e sw h i c h g i v e r i s e t o c l a s s i c a l l o g i c . T h e s a m e h o l d s f o r m y

c o n s t r u c t i v i s t i c l o g i c . I t i s t h e r e f o r e b e s i d e t h e p o i n t f o r t h ec o n s t r u c t i v i s t s t o t r y t o a l t e r a n y m o v e - b y - m o v e r u l e s o fs e m a n t i c a l g a m e s . W h a t i s a t i s s u e h e r e , a n d w h a t i s m u c h m o r e

i m p o r t a n t c o n c e p t u a l l y , i s t h e q u e s t i o n a s t o w h a t s t r a t e g i e s w e

a c t u a l h u m a n b e i n g s c a n u s e i n s e m a n t i c a l g a m e s . I f c o n s t r u e -t i v i s m i s t o b e j u s t i f i e d , i t i s h e r e t h a t i t s j u s t i f i c a t i o n m u s t l i e .

T h i s p o i n t c a n b e g e n e r a l i z e d . I t i s i n p r i n c i p l e p o s s i b l e t ot h i n k o f s o m e a u t o m a t o n o r o t h e r a s f o l l o w i n g a n y c o n s i s t e n t

s e t o f d e f i n i t o r y r u l e s o f a g a m e , o r a t l e a s t s t r u c t u r a l l y s i m i l a rr u l e s a s l o n g a s t h e a p p l i c a b i l i t y o f t h o s e r u l e s i s m e c h a n i c a l l y

d e c i d a b l e , a s t h e y a r e i n s e m a n t i c a l g a m e s a n d i n l o g i c a l p r o o f s .

H e n c e i t i s v e r y h a r d t o t h i n k o f a n y r e a s o n w h y a n y g a m e w i t h

d e c i d a b l e d e f i n i t o r y r u l e s c o u l d n o t b e p l a y a b l e i n p r i n c i p l e .Y e t s o m e c o n s t r u c t i v i s t s a r e i n e f f e c t t r y i n g t o a r g u e t h a t t h ec l a s s i c a l g a m e s o f t h e o r e m - p r o v i n g a n d / o r v e r i f i c a t i o n , e v e nt h o u g h t h e y h a v e p e r f e c t l y w e l l - d e f i n e d d e c i d a b l e d e f m n i t o r y

r u l e s , a r e n o t p l a y a b l e b y h u m a n b e i n g s . T h e y a r e a c c o r d i n g l yt r y i n g t o p r o v e t h e i m p o s s i b l e . I n s t e a d , t h e y o u g h t t o h a v ec o n c e n t r a t e d o n t h e s t r a t e g i c r u l e s o f t h e r e l e v a n t g a m e s r i g h t

f r o m t h e b e g i n n i n g .( v ) I n a n y c a s e , c o n s t r u c t i v i s m i n m y s e n s e i s n o t a i d i n g o r a b e t t i n g

a n t i r e a l i s m i n a n y s i z e , s h a p e o r f o r m . M a n y o f t h e d e s i d e r a t at h a t a n t i r e a l i s t s h a v e a i m e d a t w e r e b u i l t r i g h t i n t o g a m e -

t h e o r e t i c a l s e m a n t i c s , b u t t h e y d i d n o t i n t h e e n d h a v e t h ea n t i r e a l i s t i c c o n c l u s i o n s t h a t p h i l o s o p h e r s l i k e D u m m e t t h a v ee x p e c t e d t h e m t o h a v e . T h e c o n s t r u c t i v i s t i c i n t e r p r e t a t i o no u t l i n e d a b o v e d o e s n o t c h a n g e t h e s i t u a t i o n v e r y m u c h . F o ri n s t a n c e , c o n s t r u c t i v i s t i c t r u t h - c o n d i t i o n s a r e c o m p l e t e l y o na p a r w i t h c l a s s i c a l ( g a m e - t h e o r e t i c a l ) o n e s . O n e c a n p e r h a p s

t r y t o a r g u e t h a t a n y g a m e - t h e o r e t i c a l t r u t h - c o n d i t i o n i s a n




a n t i r e a l i s t o n e i n t h a t i t i n v o l v e s g a m e s p l a y a b l e b y h u m a nb e i n g s . B u t w h a t m a t t e r s a r e t h e r u l e s o f s e m a n t i c a l g a m e s , a n d

n o t t h e p s y c h e , t h e e p i s t e m i c s t a t e o r t h e c o g n i t i v e c a p a c i t y o f

t h e p l a y e r s . T h e t r u t h o f a f i r s t - o r d e r s e n t e n c e i n a g i v e n m o d e li s a c o m b i n a t o r i a l f a c t a b o u t t h i s m o d e l . W h e t h e r t h i s f a c to b t a i n s o r n o t i s i n d e p e n d e n t o f w h e t h e r a n y h u m a n b e i n g ( o ra n y r o b o t , f o r t h a t m a t t e r ) e v e r p l a y s t h e r e l e v a n t s e m a n t i c a lg a m e s .

( v i ) T h e i d e a s w h i c h I h a v e c o d i f i e d i n m y c o n s t r u c t i v i s t i c l o g i c a n d

s e m a n t i c s a r e s o n a t u r a l t h a t i t i s n o b i g s u r p r i s e t h a t t h e y a r e

n o t c o m p l e t e l y n e w s t o m a t h e m a t i c i a n s . W h a t i s n e w i s t h eg e n e r a l f o r m u l a t i o n o f t h e i d e a s i n v o l v e d , O n e p a r t i c u l a ri l l u s t r a t i o n i s w o r t h m e n t i o n i n g h e r e . S e m a n t i c a l g a m e s h a v eb e e n u s e d i n t h e f o r m o f w h a t a r e k n o w n a s D i o p h a n t i n e g a m e s

i n n u m b e r t h e o r y . T h e y w e r e i n t r o d u c e d b y J a m e s P . J o n e s( 1 9 7 4 ) . A h a n d y e x p o s i t i o n o f t h e i r m a i n f e a t u r e s i s f o u n d i nM a t i y a s e v i c h ( 1 9 9 3 ) . T h e y a r e s t r a i g h t f o r w a r d i n s t a n c e s o f t h e

s e m a n t i c a l g a m e s r e l i e d o n a n d d i s c u s s e d i n t h i s b o o k , p l a y e d

w i t h n u m b e r - t h e o r e t i c a l f o r m u l a s o n t h e d o m a i n o f n a t u r a ln u m b e r s . T h e r e a s o n w h y t h e y a r e r e l e v a n t t o t h e p r e s e n tc h a p t e r i s t h a t t h e D i o p h a n t i n e g a m e s d e f i n e d b y r e l a t i v e l ys i m p l e n u m b e r - t h e o r e t i c a l e q u a t i o n s e x e m p l i f y t h e d i f f e r e n c eb e t w e e n c o n s t r u c t i v i s t i c a n d c l a s s i c a l g a m e s d i s c u s s e d h e r e , i nt h a t i n r e l a t i v e l y s i m p l e g a m e s t h e r e e x i s t w i n n i n g s t r a t e g i e s f o r

o n e o f t h e p l a y e r s , b u t n o r e c u r s i v e o n e s . I n d e e d , t h i s i s a r e a s o n

w h y D i o p h a n t i n e g a m e s a r e u s e d i n s t u d y i n g q u e s t i o n s p e r -t a i n i n g t o t h e e f f e c t i v e s o l v a b i l i t y o f D i o p h a n t i n e a n d o t h e r

e q u a t i o n s . O t h e r g a m e s w h e r e s i m i l a r n o n r e c u r s i v i t y p h e n o m -e n a a r e e n c o u n t e r e d a r e s t u d i e d b y , a m o n g o t h e r a u t h o r s ,

R a b i n ( 1 9 5 7 ) .

S p e a k i n g m o r e g e n e r a l l y , m o s t o f t h e e n t i r e s t u d y o f t h ee f f e c t i v e s o l v a b i l i t y o f m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s , s u c h a s t h es t u d y o f H i l b e r t ' s t e n t h p r o b l e m , c a n b e c a s t i n t h e f o r m o f

a s t u d y o f t h e c o n s t r u c t i v i s t i c t r u t h o f m a t h e m a t i c a l s t a t e -m e n t s i n t h e s e n s e i n v o l v e d h e r e .

I n c i d e n t a l l y , s u c h i l l u s t r a t i o n s a l s o s e r v e t o d r i v e h o m e t h eo b j e c t i v i t y o f t h e b a s i c n o t i o n s o f c o n s t r u c t i v i s t i c G T S . B y a n d

l a r g e , t h e s e s t u d i e s s h o w t h a t t h e l a w o f e x c l u d e d m i d d l e w i l lf a i l f o r s u r p r i s i n g l y s i m p l e a r i t h m e t i c a l s t a t e m e n t s i n t h e s e n s et h a t t h e s e s t a t e m e n t s f a i l t o b e t r u e o r f a l s e o n t h e c o n s t r u c t i v i s -




t i c i n t e r p r e t a t i o n . W h i l e t h i s f a c t d o e s n o t b y i t s e l f p r o v e a n y -t h i n g , i t c e r t a i n l y s u g g e s t s t h a t t h i s c o n s t r u c t i v i s t i c i n t e r p r e t a -

t i o n i s o u t o f s t e p w i t h o u r n a t u r a l i d e a s a b o u t t r u t h a s a p p l i e d

t o n u m b e r - t h e o r e t i c a l s t a t e m e n t s . I n d e e d , t h e s o l v a b i l i t y o f a ne q u a t i o n m e a n s t h e c o n s t r u c t i v i s t i c e x i s t e n c e o f a s o l u t i o n . T h e

v e r y q u e s t i o n o f e f f e c t i v e s o l v a b i l i t y w o u l d b e c o m e e m p t y .( v i i ) O n t h e p h i l o s o p h i c a l l e v e l , i t m i g h t n e v e r t h e l e s s s e e m a s i f t h i s

i r r e l e v a n c e o f G T S a n d o f c o n s t r u c t i v i s m t o t h e p r o b l e m o fr e a l i s m c o u l d b e m o o t e d . F o r o u r g a m e - t h e o r e t i c a l t r u t h -c o n d i t i o n s a r e f o r m u l a t e d i n t e r m s o f s t r a t e g i e s o f v e r i f i c a t i o n .

S t r a t e g i e s a r e e s s e n t i a l l y f u n c t i o n s o f a s u i t a b l e k i n d . I f a na n t i r e a l i s t i s a l s o a n o m i n a l i s t , t h e n h e o r s h e c a n n o t a c c e p ts u c h e n t i t i e s a s f u n c t i o n s a n d c a n n o t q u a n t i f y o v e r t h e m .H e n c e f o r s u c h a t h i n k e r t h e r e a p p a r e n t l y i s n o w a y o f d e f i n i n gr e a l i s m i n t h e w a y w e h a v e i n d i c a t e d . T h i s l o o p h o l e i s c l o s e d ,h o w e v e r , b y t h e t r u t h d e f i n i t i o n w h i c h w a s e x p l a i n e d e a r l i e r f o rI F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e s . I t i s o n t h e f i r s t - o r d e r l e v e l , a n d h e n c ei t d o e s n o t p r e s u p p o s e a n y h i g h e r - o r d e r e n t i t i e s l i k e f u n c t i o n s .

H e n c e a l l r e l i a n c e o n t h e e x i s t e n c e o f h i g h e r - o r d e r e n t i t i e s c a nb e a v o i d e d , a n d a f o r t i o r i t h e a s s u m p t i o n o f n o m i n a l i s m d o e sn o t s t r e n g t h e n t h e h a n d o f a n a n t i r e a l i s t .

( v i i i ) A d m i t t e d l y , I h a v e u s e d s e c o n d - o r d e r l o g i c l i b e r a l l y t o m o t i -v a t e t h e a p p r o a c h I h a v e p r o p o s e d a n d t h e d e f i n i t i o n s a n do t h e r a n a l y s e s i t g i v e s r i s e t o . T h i s a s c e n t t o s e c o n d - o r d e r l o g i c

c a n n o t b e f a u l t e d f o r i t s a p p a r e n t u s e o f h i g h e r - o r d e r e n t i t i e s ,f o r i t w a s s e e n t h a t t h e s e h i g h e r - o r d e r e n t i t i e s c a n c e l o u t f r o m

o u r m o s t i m p o r t a n t e n d - p r o d u c t s , s u c h a s t r u t h d e f i n i t i o n s .B u t i t m i g h t s t i l l s e e m d u b i o u s f o r p r o c e d u r a l r e a s o n s . T h es e c o n d - o r d e r t r a n s l a t i o n s o f f i r s t - o r d e r s e n t e n c e s a r e a c c e p t -a b l e , s o i t m a y a p p e a r , o n l y i f w e p r e s u p p o s e t h e a x i o m o fc h o i c e , w h i c h i s o f t e n t a k e n t o b e a n a r c h e t y p i c a l l y n o n -

c o n s t r u c t i v e a s s u m p t i o n .W e a r e i n t h i s q u a n d a r y , i t s e e m s , e v e n i n d e a l i n g w i t h t h e

v e r y s i m p l e s t s e n t e n c e s w i t h d e p e n d e n t q u a n t i f i e r s . C o n s i d e r ,f o r i n s t a n c e , a s e n t e n c e o f t h e f o r m

y ] ( 1 0 . 1 )

w h e r e S [ x , y ] i s q u a n t i f i e r - f r e e . I t s t r a n s l a t i o n ( l o o k i n g a w a yf r o m d e p e n d e n t d i s j u n c t i o n s ) i s

f ( x ) ] ( 1 0 . 2 )




B u t t h e v a l i d i t y o f t h e t r a n s l a t i o n p r e s u p p o s e s t h a t ( 1 0 . 1 ) a n d( 1 0 . 2 ) a r e l o g i c a l l y e q u i v a l e n t . A n d t h i s e q u i v a l e n c e n o t o n l yp r e s u p p o s e s t h e a x i o m o f c h o i c e ; i t i s ( a f o r m o f ) t h e a x i o m o f

c h o i c e . H e n c e m y e n t i r e p r o c e d u r e , i n v o l v i n g a s i t d o e s c o n -s t a n t c o m m u t i n g b e t w e e n f i r s t - o r d e r a n d s e c o n d - o r d e r l e v e l so f t h e k i n d i l l u s t r a t e d b y ( 1 0 . 1 ) — ( 1 0 . 2 ) , s e e m s t o r e l y o n a b r i d g e

w h i c h c a n n o t b e a r a n y c o n s t r u c t i v i s t i c t r a f f i c .A t t h i s v e r y p o i n t , t h e g a m e - t h e o r e t i c a l a p p r o a c h p u t s t h e

a x i o m o f c h o i c e i n a n i n t e r e s t i n g l i g h t . F o r w h a t i s t h e r e l a t i o n

o f ( 1 0 . 1 ) t o ( 1 0 . 2 ) i n m y c o n s t r u c t i v i s t i c G T S ? I n ( 1 0 . 2 ) , t h e

f u n c t i o n v a r i a b l e f m u s t o f c o u r s e b e n o w r e s t r i c t e d t o r e c u r -s i v e v a l u e s ( r e c u r s i v e S k o l e m f u n c t i o n s ) . F u r t h e r m o r e , ( 1 0 . 1 ) i s

n o w t r u e i f a n d o n l y i f t h e r e i s a r e c u r s i v e w i n n i n g s t r a t e g y f o r

i t s i n i t i a l v e r i f i e r . S u c h a w i n n i n g s t r a t e g y i s p a r t i a l l y c o d i f i e di n a S k o l e m f u n c t i o n f s a t i s f y i n g

( V x ) S [ x , f ( x ) ] ( 1 0 . 5 )

B u t t o s a y t h a t t h e r e i s a r e c u r s i v e f u n c t i o n o f t h i s k i n d i s p r e

c i s e l y t o a s s e r t ( 1 0 . 2 ) , c o n s t r u c t i v i s t i c a l l y i n t e r p r e t e d . H e n c e( 1 0 . 1 ) a n d ( 1 0 . 2 ) , a s t h e y s t a n d , a r e e q u i v a l e n t a l s o a c c o r d i n g t o

c o n s t r u c t i v i s t i c G T S .

I n b r i e f , i f t h e p r i n c i p l e o f c h o i c e i s f o r m u l a t e d a s a n e x p l i c i ta x i o m , i t r e m a i n s v a l i d o n m y c o n s t r u c t i v i s t i c i n t e r p r e t a t i o n .T h e i d e a t h a t t h e p r i n c i p l e f a i l s w h e n c o n s t r u c t i v i s t i c a l l y i n t e r -p r e t e d i s d u e t o a n o p t i c a l i l l u s i o n o r p e r h a p s r a t h e r , t o m i xm e t a p h o r s , t o a v i c i o u s d o u b l e s t a n d a r d . W h e n ( 1 0 . 2 ) i s r e j e c -

t e d a s n o t b e i n g e q u i v a l e n t t o ( 1 0 . 1 ) , t h e f u n c t i o n q u a n t i f i e ri s i n e f f e c t i n t e r p r e t e d c o n s t r u c t i v i s t i c a l l y b u t t h e f i r s t -

o r d e r q u a n t i f i e r ( d y ) c l a s s i c a l l y . S u c h a n i n c o h e r e n t p r o c e d u r e

c a n o n l y c r e a t e c o n f u s i o n , h o w e v e r . W h e n a l l q u a n t i f i e r s a r ei n t e r p r e t e d c o n s t r u c t i v i s t i c a l l y , n o m a t t e r w h a t t h e i r l e v e l , t h e

p r i n c i p l e o f c h o i c e c h a n g e s f r o m a d a r i n g h y p o t h e s i s t o a m e r ed e f i n i t i o n o f a c o n s t r u c t i v i s t i c i n t e r p r e t a t i o n o f f i r s t - o r d e r

q u a n t i f i e r s . T h i s i s t h e v i n d i c a t i o n o f t h e a x i o m o f c h o i c ea n t i c i p a t e d a b o v e . I t s h o w s t h a t I d i d n o t m a k e a n y n o n c o n -s t r u c t i v i s t i c c o m m i t m e n t s w h e n I u s e d e q u i v a l e n c e s l i k e t h a tb e t w e e n ( 1 0 . 1 ) a n d ( 1 0 . 2 ) i n m y a r g u m e n t a t i o n .

A r e v i e w o f m y v i n d i c a t i o n o f t h e a x i o m o f c h o i c e s h o w s t h a t

i t s n e r v e i s s i m p l y t h e g a m e - t h e o r e t i c a l d e f i n i t i o n o f t r u t h a st h e e x i s t e n c e o f a w i n n i n g s t r a t e g y f o r t h e i n i t i a l v e r i f i e r . T h i s




i l l u s t r a t e s w h a t w a s s a i d i n C h a p t e r 3 o f h o w t h e a x i o m o fc h o i c e i s l i t t l e m o r e t h a n o n e p a r t i c u l a r f a c e t o f t h e g a m e -t h e o r e t i c a l a p p r o a c h t o l o g i c i n g e n e r a l . I r o n i c a l l y , t h i s a p -p r o a c h w a s o r i g i n a l l y i n s p i r e d b y c o n s t r u c t i v i s t i c i d e a s i n t h eg u i s e o f W i t t g e n s t e i n ' s n o t i o n o f l a n g u a g e - g a m e s .

T h e s e o b s e r v a t i o n s c o n f u t e t h o s e p h i l o s o p h e r s a n d m a t h -e m a t i c i a n s w h o h a v e e x p r e s s e d d o u b t s a b o u t e x p l i c i t l y f o r -m u l a t e d v e r s i o n s o f t h e p r i n c i p l e ( a x i o m ) o f c h o i c e . T h e ys h o u l d e n c o u r a g e t h o s e l a t t e r - d a y i n t u i t i o n i s t s w h o h a v eq u i e t l y s o u g h t t o r e i n s t a t e t h e p r i n c i p l e o f c h o i c e . A n e x a m p l e

o f s u c h r e c a n t a t i o n s o f t h e i n t u i t i o n i s t s ' i n i t i a l c r i t i c i s m o ft h e a x i o m o f c h o i c e i s f o u n d i n D u m m e t t ( 1 9 7 7 , p p . 5 2 — 5 4 ) .D u m m e t t m o t i v a t e s h i s a c c e p t a n c e o f t h e a x i o m o f c h o i c e b yb o r r o w i n g i n e f f e c t a p a g e o f m y b o o k , s a y i n g t h a t t h e a x i o m o f

c h o i c e " i s o n l y d u b i o u s u n d e r a h a l f - h e a r t e d p l a t o n i s t i c i n t e r -p r e t a t i o n o f t h e q u a n t i f i e r s . " T h e t h r u s t o f m y r e m a r k s w o u l da l s o h a v e d e l i g h t e d H i l b e r t , w h o o n c e e x p r e s s e d ( a s w e s a w ) t h e

h o p e t h a t t h e p r i n c i p l e o f c h o i c e c o u l d b e s h o w n t o b e a s

o b v i o u s a s 2 + 2 = 4 . I n c o n s t r u c t i v i s t i c G T S i t v i r t u a l l y i s j u s tt h a t , q u i t e a s m u c h a s i t i s i n c l a s s i c a l G T S . T h u s w e a r e r e a d y

t o p u t t o r e s t f o r g o o d a l l t h e d o u b t s c o n c e r n i n g t h e a x i o m o fc h o i c e i n t h e f o u n d a t i o n s o f m a t h e m a t i c s , e x c e p t f o r a n e p i t a p h

t o b e p r e s e n t e d i n C h a p t e r 1 1 .( i x ) A l m o s t b y t h e s a m e t o k e n , i t c a n n o w b e s e e n t h a t m y

c o n s t r u c t i v i s t i c l o g i c d o e s n o t o f f e r a n y a i d a n d c o m f o r t t oa x i o m a t i c s e t t h e o r y . T h e h o p e s t h a t w e r e t e n t a t i v e l y r a i s e d i n

C h a p t e r 8 t u r n o u t t o b e f a l s e . T h e s u g g e s t i o n w a s t h a t b yi n t e r p r e t i n g q u a n t i f i e r s c o n s t r u c t i v i s t i c a l l y w e c o u l d v i n d i c a t et h e i n t u i t i v e l y a c c u r a t e t r u t h p r e d i c a t e f o r a x i o m a t i c s e tt h e o r y w h i c h t u r n e d o u t t o b e c l a s s i c a l l y u n a c c e p t a b l e i nC h a p t e r 8 .

( x ) M y c o n s t r u c t i v i s t i c i n t e r p r e t a t i o n o f l o g i c m i g h t a t f i r s t s i g h ta p p e a r n o t o n l y n e w - f a n g l e d b u t s o m e w h a t s t r a n g e . I t i s

t h e r e f o r e i n o r d e r t o p o i n t o u t t h a t i t h a s a r e s p e c t a b l e , a l b e i to n l y p a r t i a l , p r e c e d e n t . I t i s G ö d e l ' s i n t e r p r e t a t i o n ( 1 9 5 8 ) o ff i r s t - o r d e r l o g i c a n d a r i t h m e t i c , k n o w n v a r i o u s l y a s h i s f u n c -t i o n a l i n t e r p r e t a t i o n o r t h e D i a l e c t i c a i n t e r p r e t a t i o n , i n h o n o ro f t h e f o r u m o f i t s i n i t i a l a p p e a r a n c e .

G ö d e l ' s i n t e r p r e t a t i o n b e g i n s j u s t l i k e m i n e . E a c h f i r s t -o r d e r s e n t e n c e S i s r e p l a c e d ( i n t e r p r e t e d ) b y a s e c o n d - o r d e r




s e n t e n c e S * w h i c h a s s e r t s t h e e x i s t e n c e o f t h e S k o l e m f u n c t i o n

o f S ( p l u s , o f c o u r s e , t h e s i m i l a r " S k o l e m f u n c t i o n s " o f t h ed i s j u n c t i o n s o f S ) . T h e n t h e r a n g e o f t h e f u n c t i o n q u a n t i f i e rw h i c h a s s e r t s t h i s e x i s t e n c e i s r e s t r i c t e d t o r e c u r s i v e f u n c t i o n s .T h i s i s i n e f f e c t t h e s a m e a s w e h a v e d o n e .

I n G ö d e l ' s D i a l e c t i c a i n t e r p r e t a t i o n , h o w e v e r , s o m e t h i n ge l s e i s a l s o d o n e . I n e f f e c t , n e g a t i o n s a n d c o n d i t i o n a l s a r et r a n s l a t e d i n t o t h e s e c o n d - o r d e r f o r m s b y m e a n s o f n o n s t a n -d a r d r u l e s . T h e s e r u l e s a r e c h o s e n i n s u c h a w a y t h a t t h e t r a n s -

l a t i o n p r o c e s s c a n l e a d u s b e y o n d s e c o n d - o r d e r f o r m u l a s

t o e v e n h i g h e r - o r d e r o n e s . B a s i c a l l y , t h e r u l e f o r n e g a t i o ni n t e r p r e t s i t a s t h e c o n t r a d i c t o r y n e g a t i o n , a n d t h e r u l e f o rc o n d i t i o n a l i s c h o s e n s o t h a t F a n d ( F 1 = 0 ) a r e e q u i v a -l e n t .

T h e s e t w o r u l e s c a n n e v e r t h e l e s s b e c h o s e n i n a d i f f e r e n t w a y

w h i c h i s a r g u a b l y m u c h m o r e n a t u r a l . I f G ö d e l ' s f u n c t i o n a li n t e r p r e t a t i o n i s m o d i f i e d i n t h i s w a y , i t c o m e s c l o s e r t o o u r s( s e e H i n t i k k a ( 1 9 9 3 c ) .

( x i ) G ö d e l ' s f u n c t i o n a l i n t e r p r e t a t i o n i l l u s t r a t e s h o w o u r c o n s t r u c -t i v i s t i c i n t e r p r e t a t i o n c a n b e e x t e n d e d t o h i g h e r - o r d e r l o g i c s .

W h a t w e n e e d t o d o i s t o t r a n s l a t e e a c h s t a t e m e n t o f o r d e r n t oa s t a t e m e n t o f o r d e r n + 1 a l l o f w h o s e e x i s t e n t i a l q u a n t i f i e r sa r e i n i t i a l q u a n t i f i e r s o f o r d e r n + 1 ( a t m o s t ) . T h i s t r a n s l a t i o nc a n b e c a r r i e d o u t i n j u s t t h e s a m e w a y a s i n t r a n s f o r m i n g

f i r s t - o r d e r s e n t e n c e s i n t o e q u i v a l e n t s e c o n d - o r d e r s e n -t e n c e s . T h e n a l l f u n c t i o n s a n d f u n c t i o n a l s a r e r e s t r i c t e d t or e c u r s i v e o n e s , j u s t a s i n G ö d e l ' s i n t e r p r e t a t i o n . S i n c e t h e

a x i o m o f c h o i c e i s a v a i l a b l e , m u c h o f t r a d i t i o n a l m a t h e m a t i c sr e m a i n s i n f o r c e o n t h i s i n t e r p r e t a t i o n .

( x i i ) T h e c o n s t r u c t i v i s t i c l o g i c e n v i s a g e d h e r e h a s c e r t a i n m a j o ra d v a n t a g e s o v e r o r d i n a r y f i r s t - o r d e r l o g i c . O n e o f t h e m i sa c o r o l l a r y t o T e n n e n b a u m ' s o l d r e s u l t ( 1 9 5 9 ) t o t h e e f f e c t t h a tt h e o n l y r e c u r s i v e m o d e l o f P e a n o a r i t h m e t i c i s t h e s t a n d a r d

( i n t e n d e d ) o n e . B y a r e c u r s i v e m o d e l o n e m e a n s h e r e a m o d e l i nw h i c h t h e b a s i c r e l a t i o n s o f e l e m e n t a r y a r i t h m e t i c ( s u m o f ,p r o d u c t o f ) a r e r e c u r s i v e . B u t t h e y a r e r e c u r s i v e i f a n d o n l y i ft h e c o r r e s p o n d i n g S k o l e m f u n c t i o n s c a n b e r e c u r s i v e . A n d t or e q u i r e t h e e x i s t e n c e o f r e c u r s i v e S k o l e m f u n c t i o n s i s p r e c i s e l y

w h a t c h a r a c t e r i z e s t h e c o n s t r u c t i v i s t i c i n t e r p r e t a t i o n o f l o g i ce x a m i n e d h e r e .




I n b r i e f , b y m e a n s o f m y c o n s t r u c t i v i s t i c l o g i c , o n e c a nf o r m u l a t e a d e s c r i p t i v e l y c o m p l e t e ( c a t e g o r i c a l ) a x i o m s y s t e m

f o r e l e m e n t a r y a r i t h m e t i c .

F r o m t h i s r e s u l t i t f o l l o w s o f c o u r s e t h a t o n e c a n n o t f i n da s e m a n t i c a l l y c o m p l e t e a x i o m a t i z a t i o n o f t h e c o n s t r u c t i v i s t i cl o g i c t e n t a t i v e l y p r o p o s e d h e r e . F o r i f i t w e r e p o s s i b l e t o f i n ds u c h a n a x i o m a t i z a t i o n , e l e m e n t a r y a r i t h m e t i c w o u l d a d m i t o f

a d e d u c t i v e l y c o m p l e t e a x i o m a t i z a t i o n a n d h e n c e o f a d e c i s i o n

p r o c e d u r e . T h i s i s i n f a c t a n e x a m p l e o f t h e k i n d o f t r a d e o f fb e t w e e n d e s c r i p t i v e a n d s e m a n t i c a l c o m p l e t e n e s s t h a t w a s

d i s c u s s e d i n C h a p t e r 5 . I t f u l f i l l s , a t l e a s t b y w a y o f a n e x a m p l e ,t h e p r o m i s s o r y n o t e i s s u e d i n t h e s a m e c h a p t e r t o t h e e f f e c t t h a t

t h e r e a r e d e s c r i p t i v e l y c o m p l e t e t h e o r i e s o f e l e m e n t a r y a r i t h -m e t i c ( b a s e d o f c o u r s e o n a s e m a n t i c a l l y i n c o m p l e t e l o g i c )a l r e a d y a t t h e f i r s t - o r d e r l e v e l .

( x i i i ) O n e o f t h e a d v a n t a g e s o f m y c o n s t r u c t i v i s t i c i n t e r p r e t a t i o n o fI F f i r s t - o r d e r l o g i c i s t h a t i t t i g h t e n s u p t h e c o r r e l a t i o n b e t w e e n

( o r d i n a r y a n d I F ) f i r s t - o r d e r f o r m u l a s a n d c o m p u t e r a r c h i t e c -

t u r e s e x p l a i n e d i n C h a p t e r 4 . I t w a s p o i n t e d o u t t h e r e t h a t t h i sc o r r e l a t i o n l e a v e s s o m e f i r s t - o r d e r f o r m u l a s h i g h a n d d r y i nt h a t t h e i r S k o l e m f u n c t i o n s a r e n o t c o m p u t a b l e , i n w h i c h c a s e

n o c o m p u t e r a r c h i t e c t u r e c a n b e a s s o c i a t e d w i t h t h e m . W h a tt h e c o n s t r u c t i v i s t i c f i r s t - o r d e r l o g i c e n v i s a g e d h e r e a c c o m -p l i s h e s i s t o r e q u i r e c o m p u t a b i l i t y o f t h e S k o l e m f u n c t i o n s o f

a s e n t e n c e a s a n e c e s s a r y c o n d i t i o n o f i t s s a t i s f i a b i l i t y . T h i sr e m o v e s t h e u n a s s o c i a t e d f o r m u l a s f r o m t h e c o r r e l a t i o n a n dt h u s a c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n a l l s a t i s f i a b l e f i r s t - o r d e r f o r -

m u l a s a n d c e r t a i n c o m p u t e r a r c h i t e c t u r e s . T h i s g o e s f o r b o t ho r d i n a r y a n d I F f i r s t - o r d e r f o r m u l a s . T h e d e t a i l s a r e e x p l a i n e d

i n s o m e w h a t g r e a t e r d e t a i l i n H i n t i k k a a n d S a n d u ( 1 9 9 5 ) .M o r e g e n e r a l l y , t h e c o n s t r u c t i v i s t i c i n t e r p r e t a t i o n o f l o g i c

c o n s i d e r e d h e r e i s v e r y m u c h i n t h e s p i r i t o f t h e t i m e s , i n t h es e n s e t h a t i t p u t s a p r e m i u m o n t h e c o m p u t a b i l i t y o f t h e

m a t h e m a t i c a l e n t i t i e s w e a r e d e a l i n g w i t h . T h i s i s c o m p a t i b l ew i t h , i f n o t j u s t i f i e d b y , t h e p r a c t i c a l i m p o r t a n c e o f c o m p u t e r s

a n d c o m p u t a t i o n i n c o n t e m p o r a r y l i f e .

A f t e r a l l t h e s e s p e c i f i c c o m m e n t s o n t h e r e c o n s t r u c t i o n o f c o n -s t r u c t i v i s t i c l o g i c a n d m a t h e m a t i c s c o n s i d e r e d h e r e , i t i s t i m e t or e t u r n t o t h e g e n e r a l m o r a l o f m y s t o r y . O n e l a r g e - s c a l e q u e s t i o n




t h a t a r i s e s h e r e i s : W h a t i s c h a n g e d a n d w h a t r e m a i n s u n c h a n g e dw h e n a c o n s t r u c t i v i s t i c i n t e r p r e t a t i o n i s a d o p t e d ? T h i s q u e s t i o n h a st o b e a n s w e r e d c a s e b y c a s e .

P e r h a p s t h e m o s t i n t r i g u i n g f a c t a b o u t I F f i r s t - o r d e r l o g i c i s t h a tt h e e n t i r e f r a g m e n t o f s e c o n d - o r d e r l o g i c c a n b e t r a n s l a t e d i n t o i t .B y r e v i e w i n g t h e t r a n s l a t i o n p r o c e s s i t c a n b e s e e n t h a t t h i s t r a n s -l a t a b i l i t y r e m a i n s v a l i d a l s o w h e n a c o n s t r u c t i v i s t i c i n t e r p r e t a t i o n( i n t h e s e n s e o f c o n s t r u c t i v i s t i c G T S ) i s p r e s u p p o s e d .

T h i s o b s e r v a t i o n i m p l i e s t h a t w h a t w a s s a i d i n t h e p r e c e d i n gc h a p t e r a b o u t t h e r e d u c i b i l i t y o f m o s t o f c l a s s i c a l m a t h e m a t i c s t o I F

f i r s t - o r d e r l o g i c ( a n d w h a t w a s s a i d a b o u t t h e s e n s e i n w h i c h t h i sr e d u c i b i l i t y h o l d s ) r e m a i n s v a l i d i n m y c o n s t r u c t i v i s t i c r e i n t e r p r e t a -t i o n o f l o g i c a n d m a t h e m a t i c s .

F o r i n s t a n c e , t h e s a m e l i n e o f t h o u g h t a s b e f o r e s h o w s t h a t f o re a c h h i g h e r - o r d e r s t a t e m e n t S 0 w e c a n c o r r e l a t e a s t a t e m e n t . T h e

q u e s t i o n w h e t h e r a c e r t a i n o t h e r h i g h e r - o r d e r s t a t e m e n t S 1 l o g i c a l l yf o l l o w s f r o m S 0 i s t h e n e q u i v a l e n t t o a q u e s t i o n c o n c e r n i n g t h el o g i c a l t r u t h o f a s t a t e m e n t . A n d a s w a s s e e n i n t h e p r e c e d i n g

s e c t i o n , t h i s q u e s t i o n i s t a n t a m o u n t t o t h e q u e s t i o n w h e t h e r a c e r -t a i n I F f i r s t - o r d e r s t a t e m e n t i s l o g i c a l l y t r u e . A l l o f t h i s r e m a i n s v a l i d

e v e n i f a l l t h e h i g h e r - o r d e r v a r i a b l e s a r e r e s t r i c t e d t o r e c u r s i v ev a l u e s .

T h u s o n t h e c o n s t r u c t i v i s t i c i n t e r p r e t a t i o n , t o o , m o s t o f o r d i n a r ym a t h e m a t i c s c a n b e s e e n t o b e c o m b i n a t o r i a l i n t h e s e n s e e x p l a i n e di n t h e p r e c e d i n g c h a p t e r .

W h a t i s n o t p r e s e r v e d i n t h e t r a n s i t i o n t o t h e c o n s t r u c t i v i s t i ci n t e r p r e t a t i o n i s t h e t r u t h p r e d i c a t e d i s c u s s e d i n C h a p t e r 6 . W h e no n e t r i e s t o r e c o n s t r u c t t h i s p r e d i c a t e , m u c h o f t h e c o n s t r u c t i o n g o e st h r o u g h w i t h o u t a n y p r o b l e m s . F o r i n s t a n c e , w e c a n g i v e a c h a r a c -t e r i z a t i o n o f w h a t i s r e q u i r e d o f a o n e - p l a c e p r e d i c a t e X ( o f t h eG ö d e l n u m b e r s o f f o r m u l a s ) t o b e a t r u t h p r e d i c a t e i n t h e s a m e w a ya s b e f o r e . B u t i n o r d e r f o r t h i s t r u t h d e f i n i t i o n t o w o r k , t h e t r u t hp r e d i c a t e m u s t b e r e c u r s i v e , f o r o t h e r w i s e i t w o u l d n o t b e a v a l u e o f

t h e e x i s t e n t i a l q u a n t i f i e r ( 3 X ) . E v e n t h o u g h t h e m a t t e r n e e d s f u r t h e rs t u d y , t h e r e d o e s n o t s e e m t o b e a n y r e a s o n t o e x p e c t t h a t a c o n s t r u c -t i v i s t i c t r u t h p r e d i c a t e i s r e c u r s i v e a n y m o r e t h a n a c l a s s i c a l t r u t hp r e d i c a t e .

I f s o , i n t e r e s t i n g s u g g e s t i o n s o f f e r t h e m s e l v e s h e r e . M a y b e t h e i d e ao f t h e i n e f f a b i l i t y o f t r u t h h a s a n o t h e r s o u r c e b e s i d e s a b e l i e f i n t h eu n i v e r s a l i t y o f l a n g u a g e , n a m e l y , a b e l i e f i n c o n s t r u c t i v i s m . T h i s




w o u l d f o r i n s t a n c e p r o v i d e t h e l a t e r W i t t g e n s t e i n a s p e c i f i c r e a s o n t ob e l i e v e i n t h e i n e f f a b i l i t y o f s e m a n t i c s .

T h e s e r e m a r k s b a r e l y s c r a t c h t h e s u r f a c e o f t h e c o m p l e x o fq u e s t i o n s c o n c e r n i n g t h e n a t u r e o f t h e n e w l y r e c o n s t r u c t e d c o n -s t r u c t i v i s t i c m a t h e m a t i c s — t h a t i s , a m a t h e m a t i c s u s i n g m y c o n -s t r u c t i v i s t i c l o g i c a s i t s b a s i s . F u r t h e r w o r k i s n e e d e d i n t h i sd i r e c t i o n . M e a n w h i l e , w e h a v e t o f a c e s q u a r e l y t h e b a s i c q u e s t i o n : I sc o n s t r u c t i v i s m c o r r e c t , a t l e a s t i n i t s r e c o n s t r u c t e d f o r m ? W h a t

m a k e s t h i s q u e s t i o n p o i g n a n t h e r e i s t h a t a t t h e b e g i n n i n g o f t h i sc h a p t e r ! g a v e a n a r g u m e n t i n f a v o r o f c o n s t r u c t i v i s m . M o r e o v e r , i t

i s o b v i o u s l y a t e l l i n g a r g u m e n t . I t c a n b e s u m m e d u p i n t h e r h e t o r i -c a l q u e s t i o n : C a n i t p o s s i b l y m a k e s e n s e t o p l a y a g a m e w i t ha n o n r e c u r s i v e s t r a t e g y ? T h e o n l y r e a s o n a b l e a n s w e r t h a t a n y m a n

( a n d a s D r . J o h n s o n m i g h t h a v e a d d e d h e r e , a n y w o m a n o r a n yc h i l d ) c a n g i v e s e e m s t o b e t h a t i t d o e s n o t m a k e a n y s e n s e w h a t s o -e v e r . H o w c a n I p o s s i b l y s a y t h a t I a m p l a y i n g a g a m e w i t h a f i x e d

s t r a t e g y w h e n I d o n o t h a v e ( e v e n i n p r i n c i p l e ) a n y w a y o f a c t u a l l yc a l c u l a t i n g w h a t m y n e x t m o v e w i l l b e ?

I n s p i t e o f t h e a p p a r e n t f o r c e o f t h e s e p e r s u a s i v e q u e s t i o n s , t h e yd o n o t c l o s e t h e i s s u e . W e a r e h e r e o b v i o u s l y d e a l i n g w i t h p r o b l e m sc o n c e r n i n g t h e b a s i c c o n c e p t s o f g a m e t h e o r y . A n d o f t h o s e b a s i cc o n c e p t s t h e m o s t b a s i c o n e i s t h e n o t i o n o f s t r a t e g y . I t w o u l d n o t b em u c h o f a n e x a g g e r a t i o n t o s a y t h a t t h e m a t h e m a t i c a l t h e o r y o fg a m e s w a s b o r n t h e m o m e n t J o h n v o n N e u m a n n ( 1 9 2 8 ) — o r w a s i tB o r e l ? — c o n c e i v e d o f t h e c u r r e n t a b s t r a c t n o t i o n o f s t r a t e g y a n db e g a n t o u s e i t t o r e d u c e g a m e s t o t h e i r n o r m a l f o r m .

B u t t h e s e e d s o f d i s s e n s i o n l i e i n t h i s v e r y n o t i o n o f s t r a t e g y . O na c l o s e r l o o k , i t i s s e e n t o i n v o l v e a s w e e p i n g a n d p o s s i b l y u n r e a l i s t i ca b s t r a c t i o n . T h i s a b s t r a c t i o n i s c o d i f i e d i n t h e n o t i o n o f s t r a t e g ye m p l o y e d r o u t i n e l y b y g a m e t h e o r i s t s . T h i s c o n c e p t i s u s e d b y t h e mt o r e d u c e a n e n t i r e p l a y o f a g a m e t o a c h o i c e o f s t r a t e g y b y e a c h o ft h e p l a y e r s . A n d t h a t c e r t a i n l y l o o k s l i k e a n o v e r a b s t r a c t i o n i f e v e rt h e r e w a s o n e . I n c h e s s , a g r a n d m a s t e r m a y p e r h a p s c h o o s e h i s o r h e r

s t r a t e g y ( s e l e c t i o n o f m o v e s ) f o r t h e f i r s t s i x , e i g h t , t e n o r t w e l v em o v e s , a s w i t n e s s e d b y t h e c h e s s c l o c k . I n a W o r l d C h a m p i o n s h i pm a t c h , t h e f i r s t s e v e r a l m o v e s o f a g a m e a r e s o m e t i m e s m a d ev i r t u a l l y i n s t a n t a n e o u s l y , t h u s r e v e a l i n g a n a n t e c e d e n t p a r t i a l s t r a t -

e g y c h o i c e . B u t a f t e r t h a t , e v e n g r a n d m a s t e r s h a v e t o s t a r t c r e a t i n gt h e i r s t r a t e g i e s " a c r o s s t h e b o a r d " , a s t h e s a y i n g g o e s . I n d o i n g s o ,t h e p l a y e r i n q u e s t i o n u s e s h i s o r h e r p a r t i a l k n o w l e d g e o f t h e




o p p o n e n t ' s s t r a t e g y , a s i t i s r e v e a l e d i n t h e p l a y s o f a r . T h i s c a n ( a n ds h o u l d ) b e g e n e r a l i z e d t o a l l g a m e s o f s t r a t e g y . I n a l l b u t t h e v e r ys i m p l e s t o n e s , p l a y e r s d o n o t c h o o s e t h e i r s t r a t e g i e s o n c e a n d f o r a l l ,

b u t c r e a t e t h e i r s t r a t e g i e s i n t h e c o u r s e o f a p l a y o f t h e g a m e i nq u e s t i o n . T h i s s t r a t e g y i s p r o p e r l y s o - c a l l e d i n a v e r y r e a l s e n s e , f o r i tt y p i c a l l y i n v o l v e s c o n s i d e r a t i o n s c o n c e r n i n g w h a t m y o p p o n e n tw o u l d d o i f ! m a d e a c e r t a i n m o v e , w h a t I c o u l d d o i n r e s p o n s e , a n ds o o n . ( O f c o u r s e , t h e s t r a t e g y i n q u e s t i o n i s a c c o r d i n g t o t h e s t r i c tg a m e - t h e o r e t i c a l d e f i n i t i o n a t b e s t o n l y a p a r t i a l o n e . ) B u t i f ap l a y e r ' s s t r a t e g y i s c r e a t e d i n t h i s w a y , t h e r e i s n o g o o d r e a s o n t o

a s s u m e t h a t t h e r e s u l t i n g e v e n t u a l s t r a t e g y i s r e c u r s i v e . T h e r e e v e ne x i s t p r o b a b i l i s t i c c r i t e r i a w h i c h t e l l y o u , g i v e n a n i n i t i a l s e g m e n t o ft h e v a l u e s o f a n i n t e g r a l - v a l u e d f u n c t i o n , h o w l i k e l y i t i s t o b ea n o n r e c u r s i v e o n e . A p p l i e d t o t h e s t r a t e g y f u n c t i o n o f a p l a y e r o fa s e m a n t i c a l g a m e , s u c h c r i t e r i a m i g h t e v e n j u s t i f y a n e m p i r i c a lf i n d i n g ( a l b e i t o n l y a p r o b a b i l i s t i c o n e ) t o t h e e f f e c t t h a t a p l a y e r i se m p l o y i n g a n o n r e c u r s i v e s t r a t e g y i n a p l a y o f a s e m a n t i c a l g a m e .

I r o n i c a l l y , t h e l i n e o f t h o u g h t p r o p o s e d i n t h i s c h a p t e r o n b e h a l f o f

c o n s t r u c t i v i s t s c a n b e t u r n e d i n t o a n a r g u m e n t a g a i n s t t h e m . I t w a sj u s t s e e n t h a t t h e r e i s n o t h i n g i n c o h e r e n t a b o u t a h u m a n b e i n g

p l a y i n g a g a m e w i t h o u t a n a n t e c e d e n t l y d e c i d e d s t r a t e g y , r e c u r s i v eo r n o t . T h i s i s j u s t l i k e a c h e s s p l a y e r c r e a t i n g h i s o r h e r s t r a t e g ya c r o s s t h e b o a r d . W h a t o n e c a n n o t d o i s t o p r o g r a m a n a u t o m a t o nt o p l a y a g a m e w i t h o u t a r e c u r s i v e s t r a t e g y . E v e n t h o u g h m a n y

c o n s t r u c t i v i s t s e m p h a s i z e t h e r o l e o f h u m a n t h i n k i n g a n d h u m a nc o n s t r u c t i o n s i n t h e " g a m e " o f m a t h e m a t i c s , t h e m a i n a r g u m e n t o n

t h e i r b e h a l f v i r t u a l l y a m o u n t s t o a r g u i n g t h a t s i n c e r o b o t s h a v e t o b ec o n s t r u c t i v i s t s , w e h u m a n s , t o o , h a v e t o b e c o n s t r u c t i v i s t s . F o r t h e

o n l y s t r a t e g i e s t h a t a d i g i t a l a u t o m a t o n c a n b e p r o g r a m m e d t o p l a yi n a c c o r d a n c e w i t h a r e t h e r e c u r s i v e o n e s . T h i s i s p r e c i s e l y w h a t t h ep r o c o n s t r u c t i v i s t a r g u m e n t s k e t c h e d a b o v e h a s a l l e g e d t o b e t h ei n e v i t a b l e h u m a n p r e d i c a m e n t . T h e c o n s t r u c t i v i s t s a r e i n e f f e c ti m p u t i n g t o h u m a n b e i n g s t h o s e v e r y l i m i t a t i o n s t h a t c h a r a c t e r i z e

d i g i t a l c o m p u t e r s . I t i s t h u s t h e c l a s s i c a l m a t h e m a t i c i a n s w h o h a v em o r e f a i t h i n h u m a n c r e a t i v i t y t h a n c o n s t r u c t i v i s t s , c o n t r a r y t o t h eo c c a s i o n a l c l a i m s o f t h e l a t t e r .

I t i s t h u s d i f f i c u l t t o d e c i d e w h e t h e r o r n o t t h e c o n s t r u c t i v i s t i cl i m i t a t i o n o f v e r i f i c a t o r y s t r a t e g i e s t o r e c u r s i v e o n e s i s s o u n d o r n o t .W h a t h a s b e e n s e e n n e v e r t h e l e s s s h o w s t h a t t h e c o n s t r u c t i v i s t i ca n s w e r c a n n o t b e a c c e p t e d s i m p l y o n t h e b a s i s o f i t s g r e a t e r r e a l i s m ,




a s f a r a s t h e a c t u a l p l a y i n g o f a s e m a n t i c a l g a m e i s c o n c e r n e d . O n t h ec o n t r a r y , t h e r e s t r i c t i o n t o r e c u r s i v e s t r a t e g i e s a r g u a b l y o v e r l o o k st h e e n t i r e r e a l i s t i c p o s s i b i l i t y o f a n a c r o s s - t h e - b o a r d c o n s t r u c t i o n o fs t r a t e g i e s i n s e m a n t i c a l g a m e s . H o w e v e r , f u r t h e r t h o u g h t i s p e r h a p sn e e d e d h e r e .

M y r e c o n s t r u c t i o n o f c o n s t r u c t i v i s m b r i n g s t o t h e o p e n a n o t h e rs u b t l e p r o b l e m . T h e r e q u i r e m e n t t h a t c o n s t r u c t i v i s t i c l a n g u a g eg a m e s m u s t i n p r i n c i p l e b e a c t u a l l y i m p l e m e n t a b l e c a n b e t u r n e da g a i n s t t h e c o n s t r u c t i v i s t s . F o r t h i s p u r p o s e I o n l y n e e d t o l o o k a ts e m a n t i c a l g a m e s f r o m t h e v a n t a g e p o i n t o f a r e f e r e e o r p e r h a p s

a Q u i n e a n j u n g l e l i n g u i s t , r a t h e r t h a n t h a t o f a p l a y e r . H o w c a n ar e f e r e e d e c i d e o n t h e o n l y b a s i s t h a t h e o r s h e h a s , t o w i t , o n t h e b a s i so f a p l a y e r ' s b e h a v i o r , w h e t h e r t h e p l a y e r i n q u e s t i o n i s b r e a k i n g t h er u l e s o f t h e g a m e b y u s i n g a n o n r e c u r s i v e s t r a t e g y ? I n a c o n c r e t ei m p l e m e n t a t i o n o f a s e m a n t i c a l g a m e , s u c h a d e t e r m i n a t i o n m u s t b em a d e o n t h e b a s i s o f a f i n i t e n u m b e r o f m o v e s . B u t a n y f i n i t es e q u e n c e o f m o v e s i s c o m p a t i b l e w i t h a r e c u r s i v e s t r a t e g y . H e n c ea r e s t r i c t i o n o f t h e u s e o f r e c u r s i v e s t r a t e g i e s s e e m s u n e n f o r c e a b l e .

T h i s p r o b l e m m i g h t a t f i r s t s e e m l i k e m e r e q u i b b l i n g . I n p r a c t i c e ,a s w a s n o t e d e a r l i e r , i t i s b y n o m e a n s i m p o s s i b l e t o d r a w a t l e a s t -p r o b a b i l i s t i c i n f e r e n c e s f r o m a p l a y e r ' s m o v e s t o t h e s t r a t e g y t h a t h eo r s h e i s u s i n g . I n L a s V e g a s c a s i n o s , p i t b o s s e s c a n s p o t a " c o u n t e r " ,t h a t i s , a p l a y e r w h o u s e s a s y s t e m a t b l a c k j a c k t a b l e s . A t h e o r e t i c a lb a s i s f o r s u c h i n f e r e n c e s i s p r o v i d e d b y t h e s t u d i e s o f M a r t i n — L ö f( 1 9 6 6 , 1 9 7 0 ) a n d o t h e r s o f t h e s t a t i s t i c a l p r o p e r t i e s o f r e c u r s i v es e q u e n c e s o f n u m b e r s . S u c h s t a t i s t i c a l p r o p e r t i e s n a t u r a l l y m a n i f e s tt h e m s e l v e s i n f i n i t e s e q u e n c e s o f e v e n t s ( s e e h e r e F i n e 1 9 7 3 , C h . 5 a n d

S c h n o r r 1 9 7 1 ) .B u t t h e c o m p a r a b l e i m p l e m e n t a t i o n o f t h e r e c u r s i v i t y r e s t r i c t i o n

i n s e m a n t i c a l g a m e s c a n o n l y b e p r o b a b i l i s t i c , a n d n o t s t r i c t . T h i si n t r o d u c e s a n e w a n d u n f a m i l i a r c o m p l i c a t i o n i n t h a t t h e o u t c o m e o fa p l a y o f t h e g a m e w i l l d e p e n d o n h o w t h e r u l e s o f t h e g a m e a r ee n f o r c e d . S u c h g a m e s m a y o r m a y n o t b e a t e r r i t o r y o n w h i c h g a m e

t h e o r i s t s f e a r t o t r e a d , b u t s o f a r t h e y d o n o t s e e m t o h a v e d o n e s o i na w a y t h a t w o u l d h e l p u s h e r e w i t h o u r p r e s e n t p r o b l e m s . H e n c e t h ec o n c e p t u a l p r o b l e m s i n v o l v e d i n t h e i m p l e m e n t a t i o n o f a r e c u r s i v i t yr e s t r i c t i o n d o c a s t a s h a d o w o n c o n s t r u c t i v i s t i c p h i l o s o p h i e s o f l o g i ca n d m a t h e m a t i c s .

T h e r e i s a n o t h e r k i n d o f r e a s o n a g a i n s t r e s t r i c t i n g S k o l e m f u n c -t i o n s t o r e c u r s i v e o n e s . S u c h a r e s t r i c t i o n w o u l d m a k e i t e x t r e m e l y




h a r d t o d e v e l o p a m a t h e m a t i c s t h a t c o u l d s e r v e t h e p u r p o s e s o fp h y s i c a l t h e o r y . I t h a s b e e n s h o w n t h a t c e r t a i n p e r f e c t l y d e t e r m i n i s -t i c s y s t e m s i n c l a s s i c a l m e c h a n i c s e x h i b i t n o n r e c u r s i v e b e h a v i o r ( s e eE k e l a n d 1 9 8 8 , p p . 5 9 — 6 1 ) . S u c h a b e h a v i o r w o u l d b e i m p o s s i b l e o r a tt h e v e r y l e a s t e x t r e m e l y a w k w a r d t o h a n d l e i n m a t h e m a t i c s w h e r e

f u n c t i o n s a r e r e s t r i c t e d t o c o m p u t a b l e o n e s .I t i s i n a n y c a s e i m p o r t a n t t o r e a l i z e w h a t p r e c i s e l y i s i n v o l v e d i n

t h e t r a n s i t i o n f r o m a c l a s s i c a l f i r s t - o r d e r l o g i c ( I F o r n o t ) t o t h ec o r r e s p o n d i n g c o n s t r u c t i v i s t i c l o g i c . I n a s e n s e , b o t h l o g i c s a r e

a r g u a b l y c o n s t r u c t i v i s t i c . B o t h k i n d s o f l o g i c a r e g r o u n d e d o n

c e r t a i n " l a n g u a g e g a m e s " . M o r e o v e r , t h e s e l a n g u a g e g a m e s a r e t h es a m e o n t h e c l a s s i c a l a n d o n t h e c o n s t r u c t i v i s t i c s i d e o f t h e f e n c e , i nt h e s e n s e t h a t p r e c i s e l y t h e s a m e m o v e s a r e a d m i s s i b l e i n t h e t w oc a s e s a n d t h a t w i n n i n g a n d l o s i n g a r e d e f i n e d i n t h e s a m e w a y .

H e n c e , p a c e m a n y c o n s t r u c t i v i s t s , i f c o n s t r u c t i v i s t i c l o g i c i s t e a c h -a b l e , l e a r n a b l e , r e c o g n i z a b l e f r o m p e o p l e s ' b e h a v i o r , a n d a c t u a l l yp r a c t i c a b l e b y h u m a n b e i n g s , t h e n s o i s t h e c o r r e s p o n d i n g c l a s s i c a ll o g i c . W h a t m a k e s t h e d i f f e r e n c e i s t h e u s e w e m a k e o f t h e l a n g u a g e

g a m e s i n q u e s t i o n f o r t h e p u r p o s e o f d e f i n i n g a n o t i o n l i k e t r u t h .E v e n t h o u g h t h e c o n s t r u c t i v i s t i c l o g i c d e v e l o p e d h e r e i s a n e m i -

n e n t l y n a t u r a l a n d i n t e r e s t i n g w a y o f i m p l e m e n t i n g c o n s t r u c t i v i s t i ci d e a s , i t d o e s n o t m a t c h e v e r y t h i n g t h a t i n t u i t i o n i s t s a n d o t h e rc o n s t r u c t i v i s t s s a y a b o u t t h e i r l o g i c . H o w e v e r , i t i s n o t o b v i o u s w h a ts u c h d i s c r e p a n c i e s p r o v e . I n s o m e c a s e s a t l e a s t , t h e y s e r v e t oi l l u s t r a t e t h e c o n f u s i o n s o f t h e c o n s t r u c t i v i s t s . F o r i n s t a n c e , i t i sc l e a r l y i n a c c o r d a n c e w i t h t h e i n t e n t i o n s o f t h e c o n s t r u c t i v i s t s t h a tm o r e i s r e q u i r e d o f t h e c o n s t r u c t i v i s t i c t r u t h o f a m a t h e m a t i c a lt h e o r e m t h a n o f i t s c l a s s i c a l t r u t h . T h i s i d e a i s i m p l e m e n t e d b y t h ec o n s t r u c t i v i s t s d i s c u s s e d h e r e . Y e t t h e n o t i o n o f c o n s t r u c t i v e t r u t h s oi m p l e m e n t e d i s n o t i n a g r e e m e n t w i t h t h e f i n e p r i n t o f a l l o f t h es o - c a l l e d c o n s t r u c t i v i s t i c t h e o r i e s o f l o g i c a n d m a t h e m a t i c s .

F o r i n s t a n c e , w h e n t h e c o n s t r u c t i v i s t s ' a i m s a r e r e a l i z e d a l o n g t h el i n e s p r o p o s e d h e r e , w e c a n n o t e l i m i n a t e t h e u n d e c i d a b i l i t y o f

m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s i n t h e w a y t h a t s o m e c o n s t r u c t i v i s t s w a n t e dt o d o . H o w e v e r , t o m y m i n d t h i s r e s u l t o n l y g o e s t o s h o w t h a t t h ec o n s t r u c t i v i s t s ' a i m s w e r e i n c o m p l e t e l y a n a l y z e d . D e c i d a b i l i t y i sc l o s e l y r e l a t e d t o d e d u c t i v e c o m p l e t e n e s s , a n d s u c h c o m p l e t e n e s si s s h o w n b y G ö d e l ' s r e s u l t s ( a n d b y t h e r o l e o f I F f i r s t - o r d e r l o g i ca s t h e b a s i c l o g i c o f m a t h e m a t i c s ) t o b e a p i e i n t h e s k y . W h a tr e m a i n s o f t h e c o n s t r u c t i v i s t s ' m o t i v a t i o n i s t h e r e f o r e a n e m p h a s i s




o n t h e e p i s t e m i c e l e m e n t i n m a t h e m a t i c a l t h e o r i e s . B u t t h i s i d e a c a n ,a n d s h o u l d , b e i m p l e m e n t e d i n a n e n t i r e l y d i f f e r e n t w a y . F o r o n et h i n g , t h e e p i s t e m i c e l e m e n t s h o u l d b e d e a l t w i t h a b o v e t h e b o a r da n d n o t m e r e l y t a c i t l y . I n t h e n e x t c h a p t e r , I w i l l s h o w h o w t h i s c a n

b e d o n e i n a s i m p l e a n d e l e g a n t w a y .I n s u m , t h e c l a i m s o f t h e c o n s t r u c t i v i s t s t o b e a b l e t o g i v e u s

a s a t i s f a c t o r y g e n e r a l p e r s p e c t i v e o n l o g i c a n d m a t h e m a t i c s s e e m t om e s e r i o u s l y f l a w e d . H o w e v e r , i f w e l o w e r o u r s i g h t s s o m e w h a t , t h es i t u a t i o n c a n b e s e e n t o c h a n g e . I f w e r e s t r i c t o u r a t t e n t i o n t o t h ed e d u c t i v e f u n c t i o n o f l o g i c i n m a t h e m a t i c s , t h e n c o n s t r u c t i v i s t i c

i d e a s w i l l s u d d e n l y b e s e e n t o f i l l a g e n u i n e n e e d .I t w a s n o t e d a t t h e e n d o f C h a p t e r 9 t h a t t h e g a m e - t h e o r e t i c a la p p r o a c h a p p a r e n t l y h a s l i t t l e t o c o n t r i b u t e t o , o r e v e n t o s a y a b o u t ,

t h e d e d u c t i v e f u n c t i o n o f l o g i c . T h i s a d m i s s i o n m i g h t h a v e s t r u c k t h er e a d e r a s b e i n g p r e m a t u r e . I n d e e d , t h e g a m e - t h e o r e t i c a l c o n c e p t i o no f t r u t h m i g h t p r i m a f a c i e s e e m t o s h o w p r e c i s e l y w h a t t h e r e i st o b e d o n e f o r t h e p u r p o s e o f f a c i l i t a t i n g t h e d e d u c t i v e t a s k o f l o g i c .W h a t i s n e e d e d i s a n a n a l y s i s o f w h a t i t t a k e s t o i n f e r t h e t r u t h o f

a s e n t e n c e , s a y o f

u ] ( 1 0 . 6 )

f r o m t h e t r u t h o f a n o t h e r o n e , s a y o f

( k l x ) ( B y ) S 1 [ x , y ] ( 1 0 . 7 )

F o r s i m p l i c i t y , I w i l l i n t h i s e x a m p l e d i s r e g a r d t h e r o l e o f a l lq u a n t i f i e r s a n d c o n n e c t i v e s i n S 1 a n d

T h e t r u t h o f ( 1 0 . 7 ) m e a n s t h a t t h e r e i s a w i n n i n g s t r a t e g y f o r t h ei n i t i a l v e r i f i e r i n t h e c o r r e l a t e d g a m e . I f t h e s i m p l i f y i n g a s s u m p t i o n s

j u s t i n d i c a t e d a r e m a d e , t h i s m e a n s t h e e x i s t e n c e o f a f u n c t i o n f s u c ht h a t

( V x ) S 1 [ x , f ( x ) ] ( 1 0 . 8 )

S i m i l a r l y , t h e t r u t h o f ( 1 0 . 6 ) m e a n s t h a t t h e r e e x i s t s a f u n c t i o n g s u c h

t h a t( V z ) S 2 [ z , g ( z ) ] ( 1 0 . 9 )

W e c a n t h e r e f o r e g e t f r o m t h e t r u t h o f ( 1 0 . 6 ) t o t h e t r u t h o f ( 1 0 . 7 ) b ym e a n s o f a f u n c t i o n w h i c h t a k e s u s f r o m a w i n n i n g s t r a t e g y i n t h eg a m e c o r r e l a t e d w i t h ( 1 0 . 7 ) , t h a t i s , f r o m t h e f u n c t i o n f , t o a w i n n i n gs t r a t e g y i n t h e g a m e c o r r e l a t e d w i t h ( 1 0 . 6 ) , t h a t i s , t o t h e f u n c t i o n g .




T h i s m e a n s o b v i o u s l y t h e e x i s t e n c e o f a f u n c t i o n a l t h a t y i e l d s g a sa f u n c t i o n o f f . T h i s c a n b e e x p r e s s e d b y t h e t h i r d - o r d e r s e n t e n c e

[ ( V x ) S 1 [ x , f ( x ) ] z J ( 1 0 . 1 0 )

M o r e g e n e r a l l y , w e c a n i n o u r m e t a l o g i c a l n o t a t i o n a s s o c i a t e w i t he a c h f o r m u l a t w o m e t a l o g i c a l v a r i a b l e s — o n e f o r t h e s t r a t e g y f u n c -t i o n o f e a c h o f t h e t w o p l a y e r s . I f t h e s t r a t e g y f u n c t i o n s o f t h e i n i t i a lv e r i f i e r a n d t h e i n i t i a l f a l s i f i e r a s s o c i a t e d w i t h t h e p r e m i s e ( s a y A ) a r e

a n d a n d t h o s e a s s o c i a t e d w i t h t h e c o n c l u s i o n ( s a y B ) a r e 4 ) a n d

w e c a n t h e n s a y i n g e n e r a l t h a t t h e i n f e r e n c e - t i c k e t c o n d i t i o n a l t h a t

m e d i a t e s t h e p a s s a g e f r o m t h e p r e m i s e t o t h e c o n c l u s i o n i si / i ) ] ( 1 0 . 1 1 )

I n o r d i n a r y h i g h e r - o r d e r l o g i c t h i s w o u l d b e e q u i v a l e n t t o

' i ) v i ) ] ( 1 0 . 1 2 )

a n d h e n c e t o

i / i ) ) v i ) ] ( 1 0 . 1 3 )

T h i s , t h e n , m i g h t s e e m t o b e t h e k i n d o f c o n d i t i o n a l t h a t c o u l d s e r v ea s a n i n f e r e n c e - t i c k e t f o r t h e p u r p o s e s o f l o g i c a l d e d u c t i o n . I n d e e d ,( 1 0 . 1 3 ) i s f o r m a l l y i d e n t i c a l w i t h G ö d e l ' s i n t e r p r e t a t i o n o f c o n d i -t i o n a l s .

U n f o r t u n a t e l y , i n o r d i n a r y h i g h e r - o r d e r l o g i c , ( 1 0 . 1 3 ) c a n b e s e e nt o r e d u c e b a c k t o o r d i n a r y t r u t h - f u n c t i o n a l c o n d i t i o n a l , a n d h e n c en o t t o g i v e u s a n y t h i n g n e w .

T h e r e a s o n s f o r t h i s f a i l u r e o f t h e a n a l y s i s ( 1 0 . 1 3 ) t o y i e l d a n y t h i n gu s e f u l f o r t h e d e d u c t i v e f u n c t i o n o f l o g i c g o b a c k t o t h e v e r yd e f i n i t i o n o f t r u t h a s t h e e x i s t e n c e o f a w i n n i n g s t r a t e g y f o r t h e i n i t i a lv e r i f i e r i n a s e m a n t i c a l g a m e . A s l o n g a s e x i s t e n c e i s t a k e n i n as t a n d a r d s e n s e , i t d o e s n o t f o l l o w t h a t t h e v e r i f i e r " h a s " a w i n n i n gs t r a t e g y i n t h e s e n s e o f k n o w i n g w h a t s u c h a s t r a t e g y i s — o r e v e n

b e i n g i n a p o s i t i o n t o k n o w w h a t i t i s . I n d e d u c t i o n , w e a r e m o v i n g

f r o m t h e k n o w n t r u t h o f t h e p r e m i s e o r p r e m i s e s t o t h e k n o w n t r u t ho f t h e c o n c l u s i o n . I n o r d e r t o h a n d l e s u c h m a t t e r s , i t i s m a n d a t o r y a tl e a s t t o r e s t r i c t t h e i n i t i a l v e r i f i e r ' s w i n n i n g s t r a t e g i e s t o t h o s e t h a t h eo r s h e c a n k n o w . A n d t h i s a p p a r e n t l y e n t a i l s t h a t t h e s e s t r a t e g i e s c a nb e r e p r e s e n t e d b y r e c u r s i v e ( c o m p u t a b l e ) f u n c t i o n s .

T h i s m e a n s u s i n g t h e c o n s t r u c t i v i s t i c l o g i c o u t l i n e d e a r l i e r i n t h i sc h a p t e r . I n g e n e r a l , w h i l e i t w a s n o t p o s s i b l e t o f i n d c o n v i n c i n g




r e a s o n s f o r a d o p t i n g a c o n s t r u c t i v i s t i c s t a n d p o i n t i n g e n e r a l i n t h ef o u n d a t i o n s o f l o g i c a n d m a t h e m a t i c s , t h e r e s e e m s t o b e a g r e a t d e a lt o b e s a i d f o r a d o p t i n g i t f o r t h e p u r p o s e s o f t h e d e d u c t i v e f u n c t i o n o f

l o g i c i n m a t h e m a t i c s .I n t h e p a r t i c u l a r m a t t e r j u s t d i s c u s s e d , w e c a n u s e o u r c o n s t r u c t i v -

i s t i c l o g i c t o g e t a n o n t r i v i a l a n a l y s i s o f t h e c o n d i t i o n a l s w h i c h c a no p e r a t e a s a b r i d g e f r o m t h e k n o w n t r u t h o f a s e n t e n c e ( i n t h e s e n s et h a t a w i n n i n g s t r a t e g y i n t h e c o r r e s p o n d i n g g a m e i s k n o w n ) t o t h e

k n o w n t r u t h o f a n o t h e r s e n t e n c e . I n t h e c a s e o f a s p e c i f i c s e n t e n c el i k e ( 1 0 . 1 3 ) e x p r e s s i n g t h e c o n d i t i o n a l w h i c h c a n b r i d g e s u c h i n f e r e n -

c e s , t h i s c o n s t r u c t i v i s t i c l o g i c a m o u n t s t o r e s t r i c t i n g t h e f u n c t i o n sa n d f u n c t i o n a l s i n i t t o r e c u r s i v e o n e s .I w i l l n o t p u r s u e t h e t e c h n i c a l p o s s i b i l i t i e s t h a t a r e o p e n e d u p

h e r e . H o w e v e r , i t i s o f g r e a t i n t e r e s t t o e x a m i n e t h e g e n e r a l t h e o r e t i -c a l p e r s p e c t i v e s t h a t a r e r e v e a l e d b y m y o b s e r v a t i o n s .

F i r s t , i n t h i s w a y c o n s t r u c t i v i s t i c i d e a s c a n b e s e e n t o p l a y a m a j o rl e g i t i m a t e r o l e i n a m a t h e m a t i c i a n ' s w o r k i n a n y c a s e . T h e y a r en e e d e d t o u n d e r s t a n d a n d t o m a s t e r t h e d e d u c t i v e t a s k o f l o g i c i n

m a t h e m a t i c s . A t t h e s a m e t i m e , t h i s r o l e i s d i f f e r e n t f r o m w h a tc o n s t r u c t i v i s t i c p h i l o s o p h e r s l i k e t o t h i n k . F o r o n e t h i n g , t h e r o l e o fc o n s t r u c t i v i s t i c n o t i o n s h a s n o t h i n g t o d o w i t h i n t h e m e a n i n g o fm a t h e m a t i c a l s t a t e m e n t s . M e a n i n g i s a m a t t e r o f t h e d e s c r i p t i v ef u n c t i o n o f l o g i c i n m a t h e m a t i c s . I t i s a m a t t e r o f s e n t e n c e — m o d e lr e l a t i o n s h i p s , u l t i m a t e l y a m a t t e r o f t r u t h d e f i n i t i o n s . I t i s n o t am a t t e r o f d e d u c t i v e r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n p r o p o s i t i o n s .

S e c o n d , t h e a n a l y s i s o f c o n d i t i o n a l s ( 1 0 . 1 0 ) , c o m b i n e d w i t h t h ec o n s t r u c t i v i s t i c l o g i c o u t l i n e d a b o v e , c a n b e t h o u g h t o f a s y i e l d i n gG ö d e l ' s s o - c a l l e d f u n c t i o n a l i n t e r p r e t a t i o n o f f i r s t - o r d e r l o g i c . T h el i n e o f t h o u g h t j u s t i n d i c a t e d p r o v i d e s a n e w t h e o r e t i c a l j u s t i f i c a t i o nf o r G ö d e l ' s i n t e r p r e t a t i o n a n d a t t h e s a m e t i m e s h o w s i t s r o o t s i n t h eg a m e - t h e o r e t i c a l a p p r o a c h t o l o g i c .

I t m a y b e n o t e d t h a t t h e G ö d e l i a n c o n d i t i o n a l ( 1 0 . 1 0 ) i s e q u i v a -l e n t t o t h e m e t a t h e o r e t i c a l s e n t e n c e

B ( 4 , i / i ) ] ( 1 0 . 1 4 )

w h i c h p r i m a f a d e i n v o l v e s n o s t e p t o a h i g h e r t y p e i n t h e t y p eh i e r a r c h y . B u t i f ( 1 0 . 1 0 ) i s i t s e l f t o o c c u r i n a c o n d i t i o n a l , i t h a s t o b eb r o u g h t t o a f o r m w h e r e e x i s t e n t i a l q u a n t i f i e r s p r e c e d e u n i v e r s a lo n e s . T h i s f o r m i s ( 1 0 . 1 3 ) , w h i c h s h o w s t h a t t h i s c o n s t r u a l o f i t e r a t e dc o n d i t i o n a l s l e a d s t o h i g h e r a n d h i g h e r t y p e s . S u c h i t e r a t e d c o n d i -




t i o n a l s a r e a r g u a b l y i n d i s p e n s a b l e i n a n y r e a s o n a b l e t r e a t m e n t o ft h e d e d u c t i v e f u n c t i o n o f l o g i c , a n d t h e a s c e n t i n t y p e h i e r a r c h ya p p e a r s t o b e u n a v o i d a b l e .

T h i s r e s u l t c o n f i r m s t h e s u s p i c i o n s v o i c e d a t t h e e n d o f C h a p t e r 9 .T h e r e d u c t i o n o f m a t h e m a t i c a l t h e o r i e s t o t h e f i r s t - o r d e r l e v e l w h i c hw a s o u t l i n e d i n C h a p t e r 9 a p p l i e s o n l y t o t h e d e s c r i p t i v e f u n c t i o n o fl o g i c i n m a t h e m a t i c s . I n c o n t r a s t , a n a t t e m p t t o s e r v e i n c r e a s i n g l yb e t t e r t h e d e d u c t i v e t a s k o f l o g i c w i l l l e a d u s i n t h e o p p o s i t e d i r e c -t i o n , t h a t i s , t o h i g h e r a n d h i g h e r t y p e s , j u s t a s i n G ö d e l ' s f u n c t i o n a li n t e r p r e t a t i o n .

W e c a n t h u s s e e t h a t t h e d i s t i n c t i o n m a d e i n C h a p t e r 1 b e t w e e nt h e t w o m a i n f u n c t i o n s o f l o g i c i n m a t h e m a t i c s d o e s i n f a c t m a t t e r .T h e d e s c r i p t i v e a n d t h e d e d u c t i v e f u n c t i o n s a r e m o s t n a t u r a l l ys e r v e d b y d i f f e r e n t c o n c e p t u a l i z a t i o n s . I t m i g h t i n d e e d b e s a l u t a r yf o r p h i l o s o p h e r s o f m a t h e m a t i c s t o k e e p t h i s d i s t i n c t i o n m o r e f i r m l yi n m i n d t h a n w h a t i s c u s t o m a r y t h e s e d a y s .

T h e s c h i z o p h r e n i c r e l a t i o n o f l o g i c t o t h e t y p e h i e r a r c h yw h i c h h a s b e e n f o u n d i s h i g h l y i n t e r e s t i n g p h i l o s o p h i c a l l y a n d

h i s t o r i c a l l y . I t i s p e r h a p s n o t t o o f a r - f e t c h e d t o s e e i n G ö d e l ' s p r o o fo f t h e d e d u c t i v e i n c o m p l e t e n e s s o f e l e m e n t a r y a r i t h m e t i c a n i n d i c a -t i o n o f t h e n e e d o f h a v i n g t o c l i m b h i g h e r a n d h i g h e r i n t h e t y p eh i e r a r c h y f o r d e d u c t i v e p u r p o s e s . T h i s p o i n t c a n b e g e n e r a l i z e di n a n i n t e r e s t i n g w a y . M a t h e m a t i c s i s o f t e n t h o u g h t o f a s a s c i e n c eo f a b s t r a c t o b j e c t s a n d a b s t r a c t s t r u c t u r e s . T h i s a b s t r a c t n e s s

i s p r e s u m a b l y g r e a t e r t h e h i g h e r w e c l i m b i n t h e t y p e ( o r d e r )h i e r a r c h y . G o d e l f o r o n e e n t e r t a i n e d a c o n c e p t o f a b s t r a c t i o nt o w h i c h t h i s r e l a t i o n s h i p t o t y p e h i e r a r c h y c a n b e a t t r i b u t e d .I n c o n t r a s t , l o g i c t e n d s t o b e t h o u g h t o f , a t l e a s t i d e a l l y , a s a m a -n i p u l a t i o n o f c o n c r e t e s y m b o l s . S u c h a n i d e a l o f l o g i c w a s r e p r e s e n t -

e d b y t h e V i e n n a p o s i t i v i s t s ' i d e a o f t h e l o g i c a l s y n t a x , a n d b yH u b e r t .

W h a t w e h a v e f o u n d t u r n s t h i s r e l a t i o n s h i p b e t w e e n m a t h e m a t i c sa n d l o g i c u p s i d e d o w n . F o r t h e p r i m a r y d e s c r i p t i v e f u n c t i o n o f l o g i c

i n m a t h e m a t i c s , a l l t h a t w e n e e d c o n c e p t u a l l y a r e c o m b i n a t o r i a ls t r u c t u r e s c o n s i s t i n g o f p a r t i c u l a r s b e l o n g i n g t o t h e r o c k b o t t o m o ft h e t y p e ( o r d e r ) h i e r a r c h y . I n c o n t r a s t , t h e d e d u c t i v e t r e a t m e n t o fs u c h m a t h e m a t i c a l s t r u c t u r e s f o r c e s u s t o c o n s i d e r i n c r e a s i n g l y m o r ea n d m o r e a b s t r a c t ( h i g h e r - t y p e ) e n t i t i e s . I t m a y t h u s b e s a i d t h a t t h eo n t o l o g y o f m a t h e m a t i c s c a n b e r e s t r i c t e d t o t h e w o r l d o f c o m b i n a -t o r i c s a n d o f p a r t i c u l a r n o m i n a l i s t i c e n t i t i e s , w h e r e a s t h e d e d u c t i v e




t e c h n o l o g y o f m a t h e m a t i c s f o r c e s u s t o h i g h e r a n d h i g h e r l e v e l s o fa b s t r a c t i o n .

E v e n t h o u g h t h e s e r e s u l t s h a v e t o b e h a n d l e d w i t h c o n s i d e r a b l ec a u t i o n , t h e y s u f f i c e t o s h o w h o w t h o r o u g h l y m i s l e a d i n g , n o t t o s a ym i s t a k e n , o u r r e c e i v e d i d e a s a b o u t l o g i c , m a t h e m a t i c s a n d t h e i ri n t e r r e l a t i o n s a r e .

S o m e o f t h e s e c o m m e n t s c a n b e g i v e n a m o r e p e r s o n a l a d d r e s s .F o r i n s t a n c e , G ö d e l n o t o n l y m a i n t a i n e d a P l a t o n i s t i c o n t o l o g y o fm a t h e m a t i c s b u t t h o u g h t t h a t a n a s c e n t t o h i g h e r a n d h i g h e r a b -s t r a c t i o n w a s a w a y o f s o l v i n g f o u n d a t i o n a l p r o b l e m s . I f ! a m r i g h t ,

t h e n e e d o f a b s t r a c t i v e a s c e n t i s d u e o n l y t o t h e n e e d s o f a c t u a ld e d u c t i v e i n f e r e n c e s ; P l a t o n i s t i c t h e o r i z i n g , w h i c h G ö d e l a d v o c a t e di n s o m e o f h i s p r o n o u n c e m e n t s , d o e s n o t r e q u i r e s u c h a n a s c e n t .

A l s o , i t i s i r o n i c i n a h i s t o r i c a l p e r s p e c t i v e t o s e e t h a t H i l b e r t ' s f i r s ta n d f o r e m o s t i n t e r e s t w a s i n t h e d e s c r i p t i v e f u n c t i o n o f l o g i c . T h i s i si n e v i d e n c e n o t o n l y i n h i s w o r k i n t h e f o u n d a t i o n s o f g e o m e t r y b u tp e r h a p s e v e n m o r e c l e a r l y i n h i s g e n e r a l r e m a r k s o n t h e a x i o m a t i cm e t h o d . T h e f u n c t i o n o f a m a t h e m a t i c a l t h e o r y i s t o c a p t u r e a s t r u c -

t u r e o r c l a s s o f s t r u c t u r e s b y c o m p l e t e l y l o g i c a l m e a n s . T h e d e v e l o p -m e n t o f m e t a m a t h e m a t i c s a n d p r o o f t h e o r y w h i c h w a s p r o m p t e d b yH u b e r t ' s f o u n d a t i o n a l p r o j e c t w a s a m e r e b y - p r o d u c t o f h i s o v e r a l le n t e r p r i s e . I n a s e n s e t h a t a p p e a r s f r o m w h a t h a s b e e n s a i d , p r o o ft h e o r y i s a n e n t e r p r i s e i n a d i r e c t i o n q u i t e d i f f e r e n t f r o m f i l b e r t ' sc e n t r a l i n t e r e s t s .



1 1

T h e E p i s t e m o l o g y o f M a t h e m a t i c a l O b j e c t s

A t t h i s p o i n t , i t b e h o o v e s m e t o r e f l e c t o n w h a t I a m d o i n g a n d t og e n e r a l i z e t h e q u e s t i o n s t h a t I h a v e r a i s e d . I t w a s i n d i c a t e d a b o v e

t h a t t h e c o n s t r u c t i v i s t i c i n t e r p r e t a t i o n o f l o g i c a n d m a t h e m a t i c so u t l i n e d i n t h e p r e c e d i n g c h a p t e r i s n o t w i t h o u t p r e c e d e n t s . T h ep h i l o s o p h i c a l m o t i v a t i o n o f t h e c o n s t r u c t i v i s t i c i n t e r p r e t a t i o n d i s -

c u s s e d t h e r e i s n e w , o r a t l e a s t m u c h m o r e f u l l y a r t i c u l a t e d t h a n t h ee x p r e s s e d e a r l i e r m o t i v a t i o n s o f s i m i l a r v i e w s . B u t t h e t e c h n i c a li m p l e m e n t a t i o n o f m y i n t e r p r e t a t i o n d o e s n o t s t r a y v e r y f a r f r o mG ö d e l ' s D i a l e c t i c a i n t e r p r e t a t i o n ( 1 9 5 8 ) o f f i r s t - o r d e r e l e m e n t a r ya r i t h m e t i c o r f r o m K l e e n e ' s r e a l i z a b i l i t y i n t e r p r e t a t i o n ( s e e K l e e n e1 9 5 2 , s e c . 8 2 ) .

H o w e v e r , i t i s p o s s i b l e t o g e n e r a l i z e t h e e n t i r e c o n s t r u c t i v i s t i ci n t e r p r e t a t i o n c o n s i d e r e d h e r e i n a w a y w h i c h i s m o r e r a d i c a l l y n e w

a n d w h i c h o p e n s t h e d o o r t o a d e e p e r m o t i v a t i o n o f c o n s t r u c t i v i s m .T h i s m o t i v a t i o n c a n b e s e e n b y c r i t i c i z i n g t h e w a y I h a v e t r i e de x p e r i m e n t a l l y t o p r e s e n t a r a i s o n d ' ê t r e f o r t h e o n e p a r t i c u l a r

v e r s i o n o f c o n s t r u c t i v i s m i n t h e p r e c e d i n g c h a p t e r . T h i s r a t i o n a l et u r n e d o n t h e a l l e g e d i m p o s s i b i l i t y o f p l a y i n g a s e m a n t i c a l g a m e i na c c o r d a n c e w i t h a n o n r e c u r s i v e s t r a t e g y . I t w a s f o u n d u n c o n v i n c i n g .A w o r k i n g m a t h e m a t i c i a n m i g h t v e r y w e l l r e s e n t t h e t a c i t l i m i t a -t i o n s t h a t m y t e n t a t i v e a r g u m e n t i m p o s e s o n a m a t h e m a t i c i a n ' sa b i l i t y t o p l a y a s e m a n t i c a l g a m e . S u r e l y a c o m p e t e n t m a t h e m a -t i c i a n i s n o t r e s t r i c t e d i n h i s o r h e r m a s t e r y o f s t r a t e g i e s t o s u c h s i m p l eo n e s a s t o b e c o d i f i a b l e b y r e c u r s i v e f u n c t i o n s — t h a t i s , t o f u n c t i o n st h a t e v e n a s t u p i d m a c h i n e c a n h a n d l e . E v e n i f a m a t h e m a t i c i a nc a n n o t p r o g r a m a c o m p u t e r t o c a l c u l a t e a f u n c t i o n f o r a l l a r g u m e n t

2 3 5




v a l u e s , h e o r s h e c a n d o a l l s o r t s o f o t h e r t h i n g s w i t h i t . T h e v a l u e o ft h i s s t r a t e g y f u n c t i o n c a n p e r h a p s b e c a l c u l a t e d f o r m o s t ( o r p e r h a p sa l m o s t a l l ) o f t h e a r g u m e n t v a l u e s . T h e q u a l i t a t i v e b e h a v i o r o f t h es t r a t e g y f u n c t i o n c a n b e m a s t e r e d e v e n i f i t i s n o t c o m p u t a b l e b ya d i g i t a l a u t o m a t o n . I t c a n e v e n i n p r i n c i p l e b e c a l c u l a b l e b y a na n a l o g i c a l c o m p u t i n g d e v i c e i n c o n t r a d i s t i n c t i o n t o a d i g i t a l o n e . I n

b r i e f , a n o n r e c u r s i v e f u n c t i o n c a n b e m a s t e r e d i n t e l l e c t u a l l y i n a w a yt h a t w o u l d a u t h o r i z e u s t o s a y t h a t a s e m a n t i c a l g a m e i s p l a y e d i na c c o r d a n c e w i t h a s t r a t e g y c o d i f i e d b y t h i s f u n c t i o n .

T h i s l i n e o f t h o u g h t i s c l e a r l y r e l a t e d t o w h a t w a s s a i d i n C h a p -

t e r 1 0 a b o u t t h e p o s s i b i l i t y o f c r e a t i n g a s t r a t e g y " a c r o s s t h e b o a r d " .I t c a n b e u s e d t o e v a d e t h e c r i t i c i s m s t h a t w e r e r e h e a r s e d t h e r ea g a i n s t s u c h " c l a s s i c a l " G T S a s d i s p e n s e s w i t h t h e r e c u r s i v i t y r e -q u i r e m e n t .

B u t a l t h o u g h t h i s l i n e o f a r g u m e n t t e l l s a g a i n s t a r e s t r i c t i o n o fs t r a t e g y f u n c t i o n s t o r e c u r s i v e o n e s , i t i s p r i m a f a c i e c o m p a t i b l e w i t hs o m e r e s t r i c t i o n s o n t h o s e f u n c t i o n s . I n f a c t , i t i s e a s i l y t u r n e d i n t oa c r i t i c i s m o f t h e c l a s s i c a l i n t e r p r e t a t i o n o f l o g i c a n d m a t h e m a t i c s

a l o n g t h e s a m e l i n e s a s w e r e f o l l o w e d a b o v e , b u t i m p o s i n g a w e a k e rr e s t r i c t i o n o n t h e s t r a t e g y ( S k o l e m ) f u n c t i o n s r e l i e d o n i n a g a m e -t h e o r e t i c a l a p p r o a c h t o t h e f o u n d a t i o n s o f m a t h e m a t i c s . T h e a r g u -m e n t w o u l d t h e n b e t h a t t h e v e r i f i e r c a n m e a n i n g f u l l y b e s a i d t o p l a ya s e m a n t i c a l g a m e i n a c c o r d a n c e w i t h a s t r a t e g y o n l y i f t h i s s t r a t e g yi s c o d i f i a b l e i n a f u n c t i o n w h i c h c a n i n p r i n c i p l e b e m a s t e r e dm a t h e m a t i c a l l y . S u r e l y t h e v e r y i d e a o f s t r a t e g y a s b e i n g u s e d b ya h u m a n b e i n g i m p l i e s a c o n c e p t u a l c o n t r o l o f t h e s u c c e s s i v e m o v e sm a d e i n a c c o r d a n c e w i t h t h a t s t r a t e g y .

B u t t h i s a r g u m e n t , e v e n t h o u g h e m i n e n t l y p l a u s i b l e , n o w s e e m s t ob e s o v a g u e a s t o b e u s e l e s s . I t i s n o t t h a t o n e c a n n o t t h i n k o f w h a tm i g h t b e i n v o l v e d i n m a s t e r i n g a f u n c t i o n m a t h e m a t i c a l l y . T h et r o u b l e i s t h a t o n e c a n t h i n k o f a l a r g e n u m b e r o f d i f f e r e n t w a y s o fu n d e r s t a n d i n g t h i s i d e a o f m a s t e r y . W h a t I w i l l d o h e r e i s t o f o c u s o nw h a t s e e m s t o b e t h e g r e a t e s t c o m m o n d e n o m i n a t o r o f t h e s e d i f f e r -

e n t w a y s a n d t o i n t e r p r e t o n e ' s m a s t e r y o f a f u n c t i o n t o m e a n t h a tt h i s f u n c t i o n i s a k n o w n o n e m o r e a c c u r a t e l y s p e a k i n g , t o m e a nt h a t o n e k n o w s w h i c h f u n c t i o n i t i s . A t f i r s t s i g h t , t h i s m i g h t o n l y s e e m

t o i n t r o d u c e a f a ç o n d e p a r l e r ; f o r w h e r e i s t h e r e a l l i n k b e t w e e n t h i sl o c a t i o n a n d o u r a c t u a l n o t i o n o f k n o w l e d g e ? E v e n t h o u g h p h i l o s -o p h e r s h a v e a n a l y z e d t h e n o t i o n o f k n o w l e d g e i n t e n s i v e l y ( o r a t l e a s t

e x t e n s i v e l y ) , i t s t i l l d o e s n o t s e e m t o b e s h a r p e n o u g h t o b e u s e f u l h e r e .



E P I S T E M O L O G Y O F M A T H E M A T I C A L O B J E C T S 2 3 7

A l o o k a t t h e h i s t o r i c a l s i t u a t i o n m a y p r o v i d e s o m e c l u e s h e r e . S of a r , I h a v e n o t s o u g h t t o m a k e a n y d i s t i n c t i o n b e t w e e n c o n s t r u e -t i v i s m a n d i n t u i t i o n i s m . T h i s m i g h t s e e m c o m m e i l f a u t i n v i e w o f t h ec u r r e n t u s a g e i n w h i c h a l l a n d s u n d r y c o n s t r u c t i v i s t i c t e n d e n c i e s a r ec a l l e d " i n t u i t i o n i s t i c " . T h i s u s a g e n e v e r t h e l e s s f a i l s t o d o j u s t i c e t ot h e s p e c i f i c v i e w s o f t h e r e a l i n t u i t i o n i s t s w h o a r e f o l l o w i n g o r , a tl e a s t , a r e i n s p i r e d b y B r o u w e r . H i s v i e w s a r e n o t n e c e s s a r i l y d o n e

j u s t i c e t o b y c a l l i n g t h e m c o n s t r u c t i v i s t i c . T y p i c a l c o n s t r u c t i v i s t i c sp a y a t t e n t i o n i n t h e f i r s t p l a c e t o l o g i c a l a n d m a t h e m a t i c a l b e h a v -i o r — t h a t i s , t o w h a t c a n b e d o n e i n l o g i c a n d m a t h e m a t i c s . T h e

q u e s t i o n o f t h e p o s s i b i l i t y o f a c t u a l l y p l a y i n g s e m a n t i c a l g a m e s w i t ha r b i t r a r y s t r a t e g i e s a n d t h e q u e s t i o n o f h o w d i f f e r e n t s t r a t e g i e s a r eb e t r a y e d b y a p l a y e r ' s b e h a v i o r a r e t y p i c a l c o n s t r u c t i v i s t i c q u e s -t i o n s . I n c o n t r a s t , B r o u w e r i s i n q u i r i n g i n t o a m a t h e m a t i c i a n ' st h o u g h t r a t h e r t h a n i n t o h i s o r h e r b e h a v i o r , a n d h e i s r a i s i n gq u e s t i o n s a b o u t w h a t w e k n o w a n d c a n k n o w r a t h e r t h a n q u e s t i o n sa s t o w h a t w e c a n d o . T h i s i s c o n n e c t e d w i t h t h e f a c t t h a t t h e t r u ei n t u i t i o n i s t s h a v e n o t b e e n h a p p y w i t h t h e d e v e l o p m e n t o f t h e

n o t i o n o f r e c u r s i v i t y ( T u r i n g m a c h i n e c o m p u t a b i l i t y o r e q u i v a l e n t )a s a n e x p l a n a t i o n o f t h e k i n d o f k n o w a b i l i t y t h e y h a v e i n m i n d . T h e i rr e a s o n i n g i s r e v e a l i n g . I t i s n o t e n o u g h t h a t a s e t o f e q u a t i o n s i n f a c te n a b l e s u s t o c a r r y o u t t h e c a l c u l a t i o n n e e d e d t o d e t e r m i n e t h e v a l u eo f a f u n c t i o n f o r e a c h a r g u m e n t v a l u e . W e m u s t b e a b l e t o k n o w t h a ti t d o e s s o .

M o r e g e n e r a l l y , n o r e a d e r o f B r o u w e r ' s w r i t i n g s ( 1 9 7 5 ) c a n f a i l t ob e i m p r e s s e d b y t h e r o l e o f e p i s t e m i c i d e a s i n h i s a r g u m e n t a t i o n . A ne s p e c i a l l y t e l l i n g c a s e i n p o i n t i s B r o u w e r ' s c h a r a c t e r i s t i c a n d c r u -c i a l l y i m p o r t a n t t e c h n i q u e o f " w e a k c o u n t e r e x a m p l e s " ( s e e B r o u w e r

1 9 0 8 c i n B r o u w e r 1 9 7 5 ; T r o e l s t r a a n d v a n D a l e n 1 9 8 8 , p p . 8 — 1 6 ; v a nS t i g t 1 9 9 0 , p p . 2 5 2 — 2 5 5 ) . S u c h a c o u n t e r e x a m p l e t o a l o g i c a l o rm a t h e m a t i c a l p r i n c i p l e d o e s n o t s h o w t h a t t h e p r i n c i p l e i s f a l s e i na n y u s u a l s e n s e . I t s h o w s t h e u n a c c e p t a b i l i t y o f t h e p r i n c i p l e b ys h o w i n g t h a t i t s a c c e p t a n c e i m p l i e s t h a t " w e o u g h t t o h a v e c e r t a i n

k n o w l e d g e . . . w h i c h i n f a c t w e d o n o t p o s s e s s " ( T r o e l s t r a a n d v a nD a l e n 1 9 8 8 , p . 1 1 ) . T h i s , t h e n , s e e m s t o b e t h e d i v i d i n g l i n e b e t w e e nc o n s t r u c t i v i s t s a n d t r u e i n t u i t i o n i s t s : i n t u i t i o n i s t s e m p h a s i z e t h e r o l eo f k n o w l e d g e i n m a t h e m a t i c s w h i l e c o n s t r u c t i v i s t s p u t a p r e m i u mo n t h e e f f e c t i v e n e s s o f c o n s t r u c t i o n s a n d o t h e r o p e r a t i o n s . C o n s t r u e -t i v i s t s a r e d o - i t - y o u r s e l f m a t h e m a t i c i a n s , i n t u i t i o n i s t s a r e k n o w - i t -y o u r s e l f o n e s . I n v i e w o f t h i s c o n t r a s t , i t i s n o t s u r p r i s i n g t h a t i t h a s




b e e n p o s s i b l e t o i n t e r p r e t i n t u i t i o n i s t i c l o g i c i n e p i s t e m i c l o g i c . T h i sr e s u l t h a s t o b e h a n d l e d w i t h g r e a t c a r e , h o w e v e r , f o r i t w i l l b e s h o w nl a t e r i n t h i s c h a p t e r t h a t n e i t h e r o n e o f t h e s e t w o l o g i c s i s a d e q u a t e i n

i t s p r e s e n t ( a x i o m a t i c ) s h a p e .I n m y c o n s i d e r e d v i e w , i n t u i t i o n i s t s h a v e d o n e f o u n d a t i o n a l

d i s c u s s i o n a m o n u m e n t a l d i s s e r v i c e i n n o t b r i n g i n g o u t i n t o t h eo p e n t h e e p i s t e m i c e l e m e n t , w h i c h a c c o r d i n g t o t h e i r o w n v i e w st h e r e i s i n m a t h e m a t i c a l t h e o r e m s . I a l s o b e l i e v e t h a t t h e y h a v e d o n et h e i r o w n i d e a s a d i s s e r v i c e b y n o t s o d o i n g . T h e y a p p a r e n t l yt h o u g h t t h a t t h e r e i n e v i t a b l y i s s u c h a n e p i s t e m i c e l e m e n t , i n e f f e c t

a n i m p l i e d c l a i m t o k n o w l e d g e , i n a l l m a t h e m a t i c a l s t a t e m e n t s . I f s o ,t h e i r t a c i t e p i s t e m i c c l a i m s w o u l d b e c o m m e n s u r a b l e w i t h t h ep r o p o s i t i o n s o f c l a s s i c a l m a t h e m a t i c i a n s o n l y i f t h e y , t o o , h a v e b e e nm a k i n g t a c i t e p i s t e m i c c l a i m s . H o w e v e r , I f a i l t o f i n d a n y s t r o n ga r g u m e n t s f o r s u c h c o m m e n s u r a b i l i t y i n t h e w r i t i n g s o f t h e g e n u i n ei n t u i t i o n i s t s . I t i s p e r h a p s p o s s i b l e t o t r y t o v i e w s o m e o f B r o u w e r ' sp r o n o u n c e m e n t s a s s t e p s i n t h i s d i r e c t i o n . I f s o , t h e y a r e s c a r c e l ye x p l i c i t e n o u g h t o b e d i s c u s s e d a n d e v a l u a t e d h e r e .

I t i s n o t t o o f a r - f e t c h e d t o s e e i n t h e i n t u i t i o n i s t s ' f a i l u r e t oa c k n o w l e d g e t h e e p i s t e m i c d i m e n s i o n o f t h e i r t h i n k i n g a c o n f u s i o nb e t w e e n t h e d i f f e r e n t l a n g u a g e g a m e s d i s t i n g u i s h e d f r o m e a c h o t h e ri n C h a p t e r 2 . W h a t g i v e s m a t h e m a t i c a l s t a t e m e n t s t h e i r m e a n i n g a r et h e s e m a n t i c a l g a m e s o n w h i c h t h e t r u t h d e f i n i t i o n u s e d h e r e i sb a s e d . H o w e v e r , i t i s o b v i o u s t h a t i n t u i t i o n i s t s l i k e B r o u w e r h a v et h o u g h t o f m a t h e m a t i c a l a c t i v i t y a s a p r o c e s s o f a c t u a l l y c o m i n g t ok n o w m a t h e m a t i c a l t r u t h s a n d m a t h e m a t i c a l o b j e c t s . I n C h a p t e r 2

i t w a s s e e n t h a t t h e s e t w o k i n d s o f a c t i v i t i e s ( " l a n g u a g e g a m e s " )h a v e t o b e s h a r p l y d i s t i n g u i s h e d f r o m e a c h o t h e r i n t h e i n t e r e s t o f

c o n c e p t u a l c l a r i t y .T h i s c r i t i c i s m p u t s a n o n u s o n m e t o s p e l l o u t p r e c i s e l y w h a t t h i s

e p i s t e m i c d i m e n s i o n o f m a t h e m a t i c s a l l e g e d b y t h e i n t u i t i o n i s t s i s ,a n d h o w i t c a n b e i m p l e m e n t e d . A t f i r s t s i g h t , t h i s m i g h t s e e ma p o i n t l e s s u n d e r t a k i n g . A s a n e x a m p l e , w e m i g h t a s k h o w t h e

e p i s t e m i c e l e m e n t m i g h t b e e x p r e s s e d b y m e a n s o f r e c e i v e d e p i s t e m i cl o g i c . T h e r e y o u f i n d o n l y o n e e p i s t e m i c i n g r e d i e n t . I t i s t h e " k n o w st h a t " o r " i t i s k n o w n t h a t " o p e r a t o r K . I f t h e k n o w e r i s t o b ei n d i c a t e d , a s u b s c r i p t c a n s e r v e t h e p u r p o s e , s o t h a t K a S i s t o b e r e a da p p r o x i m a t e l y

a k n o w s t h a t S




B u t s u c h a n e p i s t e m i c i n g r e d i e n t d o e s n o t s e e m t o h e l p u s a t a l l . F o ri n t h e u s u a l t r e a t m e n t s o f e p i s t e m i c l o g i c K a S i s l o g i c a l l y t r u e ( v a l i d )i f a n d o n l y i f t h e n o n e p i s t e m i c s e n t e n c e S i s l o g i c a l l y t r u e . H e n c e t h e

i n t r o d u c t i o n o f t h e e p i s t e m i c e l e m e n t d o e s n o t s e e m t o s e r v e a n yp u r p o s e .

T h i s m i l d l y p a r a d o x i c a l - l o o k i n g r e s u l t i s n o t m e r e l y a m a t t e r o ft h e d e d u c t i v e o r i n f e r e n t i a l r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n d i f f e r e n t s t a t e -m e n t s . I t i s f i r m l y r o o t e d i n t h e m o d e l t h e o r y o f e p i s t e m i c l o g i c . T h eo n e s a f e c o n c e p t u a l a n c h o r o n e h a s t h e r e i s t h e i d e a t h a t k n o w i n gs o m e t h i n g , s a y , k n o w i n g t h a t S , m e a n s b e i n g a b l e t o r u l e o u t

l e g i t i m a t e l y a l l t h e s t a t e s o f a f f a i r s , c o u r s e s o f e v e n t s a n d o t h e rs c e n a r i o s i n w h i c h S f a i l s t o b e t r u e . N o m a t t e r w h a t q u e s t i o n s c a n b er a i s e d a b o u t t h e l e g i t i m a c y o f s u c h e x c l u s i o n o f s c e n a r i o s ( t h ep h i l o s o p h e r s ' i l l - n a m e d " p o s s i b l e w o r l d s " ) , t h e r e s u l t i n g e p i s t e m i cl o g i c r e m a i n s u n a f f e c t e d .

A t t h i s p o i n t t h e a f i c i o n a d o s o f e p i s t e m i c l o g i c w i l l u n d o u b t e d l ye x p e c t m e t o e v o k e t h e n o t o r i o u s p a r a d o x o f l o g i c a l o m n i s c i e n c e .T h i s s o - c a l l e d p a r a d o x i s a s i m p l e c o r o l l a r y t o t h e m o d e l - t h e o r e t i c a l -

c o n c e p t i o n o f k n o w l e d g e j u s t o u t l i n e d . A s a m o m e n t ' s r e f l e c t i o ns h o w s , t h i s c o n c e p t i o n i m p l i e s , s o i t s e e m s , t h a t w h o e v e r k n o w ss o m e t h i n g k n o w s a l l t h e l o g i c a l c o n s e q u e n c e s o f w h a t h e o r s h ek n o w s .

T h i s d i a g n o s i s o f t h e s o - c a l l e d p a r a d o x i m m e d i a t e l y r e v e a l s ac u r e . T h i s c u r e l i e s i n t h e s t u d y o f t h e p r o c e s s e s t h r o u g h w h i c h o n e i nf a c t c o m e s t o k n o w t h e l o g i c a l c o n s e q u e n c e s o f o n e ' s p r e m i s e s . T h i sp r e s c r i p t i o n i s n o t h a r d t o u s e . I t c a n e v e n b e h a n d l e d m o d e l -t h e o r e t i c a l l y , a s h a s b e e n s h o w n b y t h e w o r k r e p r e s e n t e d i n R a n t a l a( 1 9 7 5 ) a n d H i n t i k k a ( 1 9 7 5 ) .

T h i s i s n e v e r t h e l e s s n o t a n o c c a s i o n t o f o l l o w u p s u c h a l i n e o ft h o u g h t . T h e m a i n r e a s o n i s t h a t i t i s n o t w h a t i n t u i t i o n i s t s h a v eh a d i n m i n d . I n t h e p a r a d o x o f l o g i c a l o m n i s c i e n c e , i n t h e s i m p l e s tc a s e s a t l e a s t , w e a r e d e a l i n g w i t h t h e f a c t t h a t t h e a p p l i c a t i o n o fl o g i c a l r u l e s o f i n f e r e n c e d o e s n o t h a p p e n i n o n e f e l l s w o o p , b u t i s

a m a t t e r o f s t e p - b y - s t e p a p p l i c a t i o n s . H o w e v e r , w h a t t h e i n t u i t i o n -i s t s a r e d o i n g i s n o t a s t u d y o f s u c h s t e p w i s e p r o c e d u r e s . R a t h e r , t h e yp r o p o s e t o c h a n g e t h e v e r y r u l e s o f l o g i c a l i n f e r e n c e . T h i s i s a na p p r o a c h t h a t i s e n t i r e l y d i f f e r e n t f r o m t h e i d e a s o f R a n t a l a a n dH i n t i k k a w h o f o c u s o n t h e f i n e s t r u c t u r e o f i n f e r e n c e r u l e a p p l i c a -t i o n s . I t h a s t o b e c o n c e p t u a l i z e d a n d o t h e r w i s e d e a l t w i t h i n s o m eo t h e r m a n n e r .




B u t h o w ? I f t h e i n t u i t i o n i s t s w e r e n o t d e a l i n g w i t h k n o w i n g t h a t ,t h e n w h a t w a s t h e e p i s t e m i c e l e m e n t t h e y w e r e i m p l i c i t l y i m p o r t i n gi n t o m a t h e m a t i c s ?

H e r e t h e d e v e l o p m e n t s w h i c h a r e m a d e p o s s i b l e b y t h e n o t i o n o fi n f o r m a t i o n a l i n d e p e n d e n c e a n d w h i c h w e r e o u t l i n e d a t t h e e n d o fC h a p t e r 4 p l a y a c r u c i a l r o l e . W h a t w a s s e e n t h e r e i s h o w t o i m p l e -m e n t a n i d e a w h i c h t h e r e c e i v e d e p i s t e m i c l o g i c d o e s n o t c a p t u r e .T h i s i s t h e i d e a o f k n o w l e d g e o f e n t i t i e s ( o b j e c t s , t h i n g s ) a s d i s t i n -g u i s h e d f r o m k n o w l e d g e o f f a c t s ( p r o p o s i t i o n s , t r u t h o f s e n t e n c e s ) .

T h e l a t t e r k i n d o f k n o w l e d g e i s r e l a t i v e t o a s p a c e o f s c e n a r i o s

( " p o s s i b l e w o r l d " ) o n w h i c h a n a l t e r n a t i v e n e s s ( " a c c e s s i b i l i t y " ) r e l a -t i o n i s d e f i n e d . T h e f o r m e r k i n d o f k n o w l e d g e i s r e l a t i v e t o a s e t o f" w o r l d l i n e s " o f c r o s s - i d e n t i f i c a t i o n w h i c h d e f i n e w h i c h d e n i z e n s o ft h e d i f f e r e n t p o s s i b l e w o r l d s c o u n t a s i d e n t i c a l ( m a n i f e s t a t i o n s o f t h es a m e e n t i t y ) . A s w a s e m p h a s i z e d i n C h a p t e r 4 , t h e w a y t h e s e " w o r l dl i n e s " a r e d r a w n i s l a r g e l y i n d e p e n d e n t o f t h e t r u t h - c o n d i t i o n s o f

k n o w i n g t h a t s t a t e m e n t s .T h i s e n a b l e s m e t o p u t f o r w a r d a n i n t e r p r e t a t i o n o r r a t h e r a

r a t i o n a l r e c o n s t r u c t i o n — o f t h e m a i n t h r u s t o f t h e i n t u i t i o n i s t s 't h i n k i n g . T h e y w e r e i n d e e d t a c i t l y i n t r o d u c i n g a n e p i s t e m i c e l e m e n ti n t o m a t h e m a t i c s . B u t t h i s e p i s t e m i c e l e m e n t i s n o t a k n o w l e d g e o f

t r u t h s , b u t a k n o w l e d g e o f e n t i t i e s . I t s h o u l d n o t b e l e f t i m p l i c i t ,e i t h e r , a s i n t u i t i o n i s t s w e r e d o i n g . I t c a n a n d s h o u l d b e i m p l e -m e n t e d a l o n g t h e l i n e s o f t h e e p i s t e m i c l o g i c s k e t c h e d i n C h a p t e r 4 .T h i s n e w l o g i c i s m a d e p o s s i b l e b y t h e m a i n n e w c o n c e p t u a l t o o li n t r o d u c e d i n t h i s b o o k , n a m e l y , t h e n o t i o n o f i n f o r m a t i o n a l i n d e -p e n d e n c e .

B e f o r e d e v e l o p i n g t h i s a p p r o a c h s y s t e m a t i c a l l y , i t i s i n o r d e r t or e c a l l h o w i t h a n g s t o g e t h e r w i t h t h e l i n e o f t h o u g h t i n i t i a t e d i n t h ep r e c e d i n g c h a p t e r . T h e r e t h e i d e a w a s e n t e r t a i n e d o f r e s t r i c t i n gs t r a t e g y f u n c t i o n s t o r e c u r s i v e f u n c t i o n s . I t w a s a r g u e d t h a t t h i s i s f a rt o o r e s t r i c t i v e a l i m i t a t i o n . I n s t e a d , i t w a s s u g g e s t e d t h a t t h e s t r a t e g yf u n c t i o n s s h o u l d b e r e s t r i c t e d t o k n o w n f u n c t i o n s . T h i s i s t h e r e s t r i c -

t i o n w h i c h h a s m e a n w h i l e b e e n f o u n d t o b e i n a g r e e m e n t w i t h t h e i n -t u i t i o n s o f i n t u i t i o n i s t s . I t i s t h e i d e a t h a t i s b e i n g i m p l e m e n t e d h e r e .

U s i n g t h e n o t a t i o n a n d t h e o b s e r v a t i o n s e x p l a i n e d i n C h a p t e r 4 ,w e c a n e x p r e s s w h a t i t m e a n s f o r a f u n c t i o n f t o b e k n o w n . T h ef o l l o w i n g a r e t h e e q u i v a l e n t f o r m u l a t i o n s o f t h i s i d e a :

K ( V x ) ( J y / K ) ( f ( x ) = y ) ( 1 1 . 1 )




K ( R g / K ) ( V x ) ( f ( x ) = g ( x ) ) ( 1 1 . 2 )

= g ( x ) ) ( 1 1 . 3 )

( 1 1 . 5 )

H e r e K i s i n t e r p r e t e d i n a g a m e - t h e o r e t i c a l c o n t e x t a s a u n i v e r s a lq u a n t i f i e r r a n g i n g o v e r e p i s t e m i c a l t e r n a t i v e s t o t h e w o r l d w h i c h t h ep l a y e r s a r e c o n s i d e r i n g a t t h e t i m e : t h e f a l s i f i e r c h o o s e s s u c h a na l t e r n a t i v e , b y r e f e r e n c e t o w h i c h t h e g a m e i s c o n t i n u e d .

T h i s s u g g e s t i o n d o e s n o t y i e l d a u n i q u e i n t e r p r e t a t i o n o f w h a t i t

m e a n s t o m a s t e r a f u n c t i o n i n t e l l e c t u a l l y , t h a t i s , t o " k n o w w h i c hf u n c t i o n i t i s " . O n t h e c o n t r a r y , t h e c r i t e r i a f o r k n o w i n g a f u n c t i o na r e l e f t a l m o s t c o m p l e t e l y o p e n . I n d e e d , i t i s o n e o f t h e f u n d a m e n t a l

i n s i g h t s p r o m p t e d b y t h e s e m a n t i c s o f e p i s t e m i c l o g i c t h a t t h et r u t h - c r i t e r i a o f k n o w i n g + w h - c o n s t r u c t i o n s a r e l a r g e l y i n d e p e n d e n to f t h o s e o f k n o w i n g t h a t s t a t e m e n t s . I n t h e i n d e p e n d e n c e - f r i e n d l yn o t a t i o n , t h i s m e a n s t h a t t h e t r u t h - c o n d i t i o n s o f K - s t a t e m e n t s

c o n t a i n i n g s l a s h e d e x i s t e n t i a l q u a n t i f i e r s ( a x / K ) a r e l e f t

u n d e r d e t e r m i n e d b y t h e t r u t h - c o n d i t i o n s o f u n s l a s h e d K - s t a t e m e n t s .T h e u n d e r l y i n g s e m a n t i c a l r e a s o n i s t h a t t h e y d e p e n d o n c r i t e r i a o fi d e n t i f i c a t i o n a c r o s s m o d e l s ( w o r l d s ) . I n c o n t r a s t , s l a s h e d d i s j u n c -t i o n s ( v / K ) d e p e n d o n i d e n t i f i c a t i o n c o n d i t i o n s o f f u n c t i o n s o n l yi n d i r e c t l y b y b e i n g u n d e r t h e s c o p e o f u n i v e r s a l q u a n t i f i e r s .

T h i s i n e v i t a b l e u n d e r d e t e r m i n a t i o n o p e n s t h e d o o r t o s e v e r a li n t e r e s t i n g l i n e s o f t h o u g h t . I t s h o w s t h a t t h e b a s i c i d e a s o f i n t u i t i o n -i s t s a r e o p e n t o d i f f e r e n t s p e c i f i c i n t e r p r e t a t i o n s , d e p e n d i n g o n w h i c hc r i t e r i a a r e a p p l i e d t o o u r k n o w l e d g e o f m a t h e m a t i c a l o b j e c t s . I tl o o k s h o p e l e s s t o t r y t o f i n d a c o n s e n s u s a s t o w h i c h i n t e r p r e t a t i o n i st h e r i g h t o n e . H o w e v e r , t h i s d o e s n o t s p o i l t h e u s e f u l n e s s o f t h ee p i s t e m i c i n t e r p r e t a t i o n s c h e m a f o r t h e p u r p o s e o f c o n c e p t u a lc l a r i f i c a t i o n . I t h a s a l r e a d y b e e n s e e n t h a t o n e c a n u s e t h i s e p i s t e m i ci n t e r p r e t a t i o n s c h e m a t o d i s c u s s a n u m b e r o f d i f f e r e n t i n t u i t i o n i s t i ca n d c o n s t r u c t i v i s t i c i d e a s . W h a t i s m o r e , o n e c a n e v e n e s t a b l i s h

g e n e r a l l o g i c a l r e s u l t s w h i c h a r e i n d e p e n d e n t o f w h a t c o u n t s a sa f u n c t i o n b e i n g k n o w n .I n o r d e r t o r e a c h s u c h r e s u l t s , I h a v e t o b e a l i t t l e m o r e e x p l i c i t

t h a n I h a v e b e e n s o f a r . I w i l l g e n e r a l i z e t h e i n t u i t i o n i s t s ' w a y o fl o o k i n g a t m a t h e m a t i c a l t h e o r i e s a n d t h e o r e m s i n t o s o m e t h i n g t h a tm i g h t b e c a l l e d a n e p i s t e m i c ( o r i n t u i t i o n i s t i c ) i n t e r p r e t a t i o n o fm a t h e m a t i c s a n d l o g i c . S t a r t i n g f r o m t h e s i m p l e s t c a s e , w h a t i s t h e




e p i s t e m i c i n t e r p r e t a t i o n o f a f i r s t - o r d e r m a t h e m a t i c a l s t a t e m e n t S ?F o r s i m p l i c i t y , I w i l l a s s u m e t h a t S i s i n a n e g a t i o n n o r m a l f o r m .T h e n w e c a n r e i n t e r p r e t S a s " r e a l l y " m e a n i n g

K S * ( 1 1 . 6 )

w h e r e S * i s f o r m e d f r o m S b y r e p l a c i n g e v e r y e x i s t e n t i a l q u a n t i f i e r( a x ) b y ( 2 x / K ) ( a n d l i k e w i s e f o r h i g h e r - o r d e r q u a n t i f i e r s i f t h e y a r eu s e d ) a n d e v e r y d i s j u n c t i o n v b y ( v / K ) . T h i s a m o u n t s t o r e q u i r i n gt h a t a l l t h e f u n c t i o n s w h i c h o p e r a t i o n a l i z e e x i s t e n t i a l s t a t e m e n t s

( S k o l e m f u n c t i o n s ) a r e k n o w n f u n c t i o n s .

T h i s n e w i n t e r p r e t a t i o n c a n n a t u r a l l y b e e x t e n d e d t o I F f i r s t -o r d e r l o g i c a n d t o m a t h e m a t i c a l t h e o r i e s a n d s t a t e m e n t s t h a t c a n b ee x p r e s s e d b y i t s m e a n s . I w i l l c a l l i t t h e e p i s t e m i c i n t e r p r e t a t i o n o f

l o g i c a n d o f m a t h e m a t i c a l t h e o r i e s . I t i s i m p o r t a n t t o r e a l i z e w h a t i sn e w i n i t . I n t h e e a r l i e r l i t e r a t u r e o n t h e s u b j e c t , w h e n e p i s t e m i cc o n s i d e r a t i o n s w e r e b r o u g h t t o b e a r o n t h e f o u n d a t i o n s , t h e q u e s -t i o n e x p l i c i t l y o r i m p l i c i t l y r a i s e d w a s : W h a t d o e s i t m e a n t o k n o wa m a t h e m a t i c a l t r u t h ? M o r e o v e r , t h i s q u e s t i o n w a s d i s c u s s e d a s i f i t

m e r e l y i n v o l v e d k n o w i n g t h a t a c e r t a i n m a t h e m a t i c a l p r o p o s i t i o nh o l d s . W h a t h a s c o m e u p h e r e i s a n a l t o g e t h e r d i f f e r e n t d i m e n s i o n o f

t h e e p i s t e m o l o g y o f m a t h e m a t i c s . W e a r e n o w d e a l i n g w i t h t h eq u e s t i o n o f o u r k n o w l e d g e o f m a t h e m a t i c a l o b j e c t s s u c h a s f u n c t i o n s .

O n e r e m a r k a b l e b u t l a r g e l y o v e r l o o k e d f a c t h e r e i s t h a t t h e s e t w oe p i s t e m i c d i m e n s i o n s a r e l a r g e l y i n d e p e n d e n t o f e a c h o t h e r . Y e t ,

t h e r e i s p l e n t y o f e v i d e n c e t h a t i n t h e e a r l i e r l i t e r a t u r e t h e t w o k i n d so f e p i s t e m i c i s s u e s w e r e c o n f u s e d w i t h e a c h o t h e r . A c a s e i n p o i n t i so f f e r e d b y t h e u s u a l c r i t i c i s m s o f t h e a x i o m o f c h o i c e d i s c u s s e db e l o w .

T h e e p i s t e m i c i n t e r p r e t a t i o n o f m a t h e m a t i c s o f f e r e d h e r e i s c a l -c u l a t e d t o i n c o r p o r a t e b o t h q u e s t i o n s o f o u r k n o w l e d g e o f m a t h -e m a t i c a l t r u t h s a n d q u e s t i o n s o f o u r k n o w l e d g e o f m a t h e m a t i c a lo b j e c t s . H o w e v e r , t h e p r e c i s e c r i t e r i a o f t h e l a t t e r k i n d o f k n o w l e d g ea r e l e f t o p e n b y t h e e p i s t e m i c i n t e r p r e t a t i o n , w h i c h t h e r e f o r e i s a n

i n t e r p r e t a t i o n a l s c h e m a r a t h e r t h a n a u n i q u e i n t e r p r e t a t i o n .T h u s a r o u g h - a n d - r e a d y d i s t i n c t i o n c a n b e m a d e b e t w e e n c o n -s t r u c t i v i s t i c a n d i n t u i t i o n i s t i c a p p r o a c h e s t o t h e f o u n d a t i o n s o fm a t h e m a t i c s . T h e f o r m e r e m p h a s i z e t h e r o l e o f w h a t a m a t h e m a -t i c i a n c a n i n f a c t d o , w h i l e t h e l a t t e r e m p h a s i z e w h a t a m a t h e m a -t i c i a n c a n k n o w . T h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e t w o i s a d e l i c a t em a t t e r , s o m u c h s o t h a t i t i s n o t e v e n c l e a r a s t o w h i c h i s t h e m o r e




g e n e r a l v i e w . O n t h e o n e h a n d , t h e c o n s t r u c t i v i s t i c g a m e - t h e o r e t i c a ls e m a n t i c s f o r m a t h e m a t i c s c h a r a c t e r i z e d i n t h e p r e c e d i n g c h a p t e rc a n b e t h o u g h t o f a s a s p e c i a l k i n d o f t h e e p i s t e m i c i n t e r p r e t a t i o n . I ti s o b t a i n e d b y s t i p u l a t i n g t h a t a l l a n d o n l y r e c u r s i v e f u n c t i o n s a r e" r e a l l y k n o w n " . A p a r t o f t h e i n t e r e s t o f t h e c o n s t r u c t i v i s t i c i n t e r p r e -t a t i o n i s t h u s d u e t o t h e f a c t t h a t i t e x e m p l i f i e s t h e e p i s t e m i ci n t e r p r e t a t i o n o f m a t h e m a t i c s .

I n t h i s p e r s p e c t i v e , t h e e p i s t e m i c i n t e r p r e t a t i o n o f l o g i c a n dm a t h e m a t i c s i s m u c h b r o a d e r t h a n t h e c o n s t r u c t i v i s t i c o n e d e f i n e di n t h e p r e c e d i n g c h a p t e r . F o r i n s t a n c e , i t i s q u i t e c l e a r t h a t t h e h a r d -

c o r e i n t u i t i o n i s t s r e j e c t e d t h e i d e a t h a t r e c u r s i v i t y c o u l d s e r v e a s t h ee x p l i c a t i o n o f c o n s t r u c t i v i t y . T h e i r v i e w s t h e r e f o r e f a l l w i t h i n t h ep u r v i e w o f t h e e p i s t e m i c i n t e r p r e t a t i o n , b u t n o t o f t h e c o n s t r u c t i v i s -t i c o n e . M o r e g e n e r a l l y s p e a k i n g , o n e i m p o r t a n t d i f f e r e n c e b e t w e e nc l a s s i c a l a n d i n t u i t i o n i s t i c m a t h e m a t i c i a n s i s t h a t t h e f o r m e r a r es a t i s f i e d w i t h k n o w i n g m a t h e m a t i c a l t r u t h s w h i l e t h e l a t t e r a l s o w a n tt o k n o w m a t h e m a t i c a l o b j e c t s .

O n t h e o t h e r h a n d , t h e e m p h a s i s o f B r o u w e r i a n i n t u i t i o n i s t s o n

t h e e p i s t e m i c e l e m e n t i n m a t h e m a t i c s i s s e e n t o l e a d i n e v i t a b l y t o a ne m p h a s i s o n o u r k n o w l e d g e o f m a t h e m a t i c a l o b j e c t s . T h i s e m p h a s i si s q u i t e d i f f e r e n t f r o m a n e m p h a s i s o n o u r a c t u a l w a y s o f c o m i n g t ok n o w m a t h e m a t i c a l t r u t h s , a n d i n a s e n s e i s m u c h m o r e s p e c i f i c .

T h e e p i s t e m i c i n t e r p r e t a t i o n o f m a t h e m a t i c s o f f e r s a n e w a n dp o w e r f u l t o o l f o r f u t u r e s t u d i e s o f t h e e p i s t e m o l o g y o f m a t h e m a t i c s .

A f e w e x a m p l e s m a y i l l u s t r a t e i t s r e l e v a n c e . B y m e a n s o f e p i s t e m i cl o g i c , t h e e p i s t e m i c i n t e r p r e t a t i o n c a n b e i l l u m i n a t e d b y t h e s a m em e a n s a s o r d i n a r y l o g i c , n a m e l y , t h r o u g h s e c o n d - o r d e r t r a n s l a t i o n s .

F o r i n s t a n c e , o n t h e e p i s t e m i c i n t e r p r e t a t i o n

y ] ( 1 1 . 7 )

b e c o m e s ( i f w e l o o k a w a y f r o m d e p e n d e n t d i s j u n c t i o n s ) a s h o r t h a n df o r

y ] ( 1 1 . 8 )

w h i c h i s e q u i v a l e n t t o

f ( x ) ] ( 1 1 . 9 )

a n d t o

f ( x ) ] ( 1 1 . 1 0 )




B u t ( 1 1 . 1 0 ) i s t h e " t r a n s l a t i o n " ( i n t e r p r e t a t i o n ) o f

( 3 f ) ( V x ) S [ x , f ( x ) ] ( 1 1 . 1 1 )

S i m p l e t h o u g h t h e s e o b s e r v a t i o n s a r e , t h e y h a v e i n t e r e s t i n gc o n s e q u e n c e s . W h a t t h e e q u i v a l e n c e o f ( 1 1 . 8 ) a n d ( 1 1 . 1 0 ) s h o w s i st h a t t h e e p i s t e m i c i n t e r p r e t a t i o n v a l i d a t e s t h e a x i o m o f c h o i c e , n om a t t e r h o w a f u n c t i o n b e i n g k n o w n i s u n d e r s t o o d , a s l o n g a s t h e

e p i s t e m i c i n t e r p r e t a t i o n i s a p p l i e d c o n s i s t e n t l y t o a l l q u a n t i f i e r s .W h a t t h e c r i t i c s o f t h e a x i o m o f c h o i c e h a v e i n e f f e c t d o n e , l o o k e d a t

f r o m t h e v a n t a g e p o i n t o f t h e e p i s t e m i c i n t e r p r e t a t i o n , i s t o c o n f u s e

w i t h e a c h o t h e r( 1 1 . 1 2 )

a n dK ( V x ) ( 3 y / K ) S [ x , y ] ( 1 1 . 8 )


f ( x ) ] ( 1 1 . 1 0 )

I n o t h e r w o r d s , t h e c r i t i c s o f t h e a x i o m o f c h o i c e h a v e t a c i t l y t a k e nt h e p r o b l e m o f w h e t h e r o n e k n o w s t h e m a t h e m a t i c a l s t a t e m e n t

y ] t o i n v o l v e a l s o t h e q u e s t i o n a s t o w h e t h e r t h e c h o i c ef u n c t i o n f ( i . e . , a c e r t a i n m a t h e m a t i c a l o b j e c t ) i s k n o w n o r n o t . T h i se x e m p l i f i e s t h e g e n e r a l c o n f u s i o n m e n t i o n e d e a r l i e r .

T h e s e o b s e r v a t i o n s t h r o w a g r e a t d e a l o f l i g h t o n t h e p h i l o s o p h i -c a l s t a n c e o f d i f f e r e n t m a t h e m a t i c i a n s a n d p h i l o s o p h e r s . W e c a n f o ri n s t a n c e s e e t h a t i t i s n o t c o n s t r u c t i v i s m b u t i n t u i t i o n i s m , w i t h i t se m p h a s i s o n o u r k n o w l e d g e o f m a t h e m a t i c a l o b j e c t s , t h a t c a n l e a dt o a r e j e c t i o n o f t h e a x i o m o f c h o i c e . F u r t h e r m o r e , f r o m m y e p i -s t e m i c v a n t a g e p o i n t i t i s h i g h l y i n s t r u c t i v e t o s e e h o w a p r o m i n e n td e f e n d e r o f t h e a x i o m o f c h o i c e r e s t s h i s c a s e o n t h e i d e a t h a t t h ee x i s t e n c e o f a m a t h e m a t i c a l o b j e c t " i s a f a c t l i k e a n y o t h e r "( H a d a m a r d , q u o t e d i n M o o r e 1 9 8 2 , p . 3 1 7 ; e m p h a s i s a d d e d ) . T h ew h o l e c l a i m o f t h e i n t u i t i o n i s t s i s t h a t w e a r e , i n a s s u m p t i o n s l i k e t h e

a x i o m o f c h o i c e , n o t d e a l i n g w i t h k n o w l e d g e o f f a c t s b u t w i t hk n o w l e d g e o f m a t h e m a t i c a l o b j e c t s .F o r a n o t h e r i n s t a n c e , D u m m e t t ' s p h i l o s o p h i c a l p o s i t i o n c a n , i n

t h e l i g h t o f w h a t h a s b e e n f o u n d , s e e m t o b e c o n s t r u c t i v i s t i c r a t h e rt h a n i n t u i t i o n i s t i c a c c o r d i n g t o t h e d i s t i n c t i o n a d u m b r a t e d i n t h i s

c h a p t e r . T h i s i s s h o w n n o t o n l y b y D u m m e t t ' s a c c e p t a n c e o f t h ea x i o m o f c h o i c e ( s e e t h e p r e c e d i n g c h a p t e r ) b u t a l s o b y h i s i n s i s t e n c e




t h a t t h e r e i s n o t h i n g s p e c i a l a b o u t t h e s e m a n t i c s o f d e p e n d e n tq u a n t i f i e r s l i k e ( ] y ) i n

( V x ) ( J y ) S [ x , y ] ( 1 1 . 7 )b e y o n d t h e g e n e r a l r e q u i r e m e n t o f c o n s t r u c t i v i s t i c j u s t i f i a b i l i t y o r i nD u m m e t t ' s t e r m , a s s e r t a b i l i t y ( D u m m e t t 1 9 7 7 , p . 4 5 1 ; c f . T r o e l s t r a

1 9 7 7 , p p . 1 5 4 — 1 5 6 ) .

T h u s t h e e p i s t e m i c i n t e r p r e t a t i o n o f m a t h e m a t i c s e n a b l e s u s t ot e l l p r e c i s e l y w h a t i s v a l i d a n d w h a t i s i n v a l i d i n t h e a x i o m o f c h o i c e .

L i k e w i s e , w e c a n s e e b y m e a n s o f t h e e p i s t e m i c i n t e r p r e t a t i o n w h a t i sa c c e p t a b l e a n d w h a t i s n o t i n a n o t h e r b u g b e a r o f t h e i n t u i t i o n i s t s ,n a m e l y , t h e m e t h o d o f i n d i r e c t p r o o f s . A t f i r s t s i g h t , t h e c r i t i c s o fi n d i r e c t p r o o f s h a v e o n c e a g a i n g o t h o l d o f t h e w r o n g e n d o f a s t i c k yc o n c e p t . F o r s u p p o s e t h a t a l o g i c i a n h a s t a k e n t h e n e g a t i o n S o fa s t a t e m e n t a n d s h o w e d t h a t i t l e a d s t o a c o n t r a d i c t i o n , i n o t h e rw o r d s , s h o w n t h e f o l l o w i n g :

( 1 1 . 1 3 )

B u t ( 1 1 . 1 3 ) i s e q u i v a l e n t t o 5 , s o t h a t t h e i n d i r e c t p r o v e r n e e d s o n l y t oa d d " q . e . d . " A n d i t d o e s n o t m a t t e r w h e t h e r o r n o t w e p r e f i x K t o( 1 1 . 1 3 ) .

H o w e v e r , i f i n K S t h e r e a r e s l a s h e d e x p r e s s i o n s ( J x / K ) o r ( v / K ) ,t h e n e g a t i o n o f S t h a t f i g u r e s i n a n i n d i r e c t p r o o f c a n n o t s i m p l y b et a k e n t o b e S o r 5 , f o r n e i t h e r o f t h e s e m a k e s a n y s e n s e s t a n d i n ga l o n e . T h e o n l y n e g a t i o n t h a t c a n b e r e l e v a n t h e r e i s ( S I ) w h e r e ( S I )i s o b t a i n e d f r o m S b y o m i t t i n g a l l i n d e p e n d e n c e i n d i c a t i o n s ( i . e . , a l l

s l a s h e s w i t h t h e i r r i g h t - h a n d a c c o m p a n i m e n t s ) . T h e n a n i n d i r e c tp r o o f i n v o l v e s a n i n f e r e n c e f r o m ( S I ) t o S . S u c h i n f e r e n c e s a r en o t a l w a y s v a l i d .

F o r i n s t a n c e , t a k e t h e e p i s t e m i c s t a t e m e n t

y ] ( 1 1 . 8 )

T h e o n l y n e g a t i o n t h a t c a n b e d r a f t e d i n t o t h e s e r v i c e o f a n i n d i r e c tp r o o f i s h e r e

( B x ) ( Y y ) ' — ' S [ x , y ] ( 1 1 . 1 4 )

I f t h i s i s r e d u c e d t o i m p o s s i b i l i t y , t h e n w h a t h a s b e e n r e a c h e d i s

K S [ x , y ] ( 1 1 . 1 5 )


K ( V x ) ( l y ) S [ x , y ] ( 1 1 . 1 2 )




B u t ( 1 1 . 1 2 ) i s w e a k e r t h a n ( 1 1 . 8 ) . W h a t i s k n o w n a c c o r d i n g t o t h ef o r m e r i s t h a t e v e r y t h i n g , s a y x , i s r e l a t e d t o s o m e t h i n g , s a y y , s u c ht h a t S [ x , y ] . W h a t i s k n o w n a c c o r d i n g t o t h e l a t t e r i s w h i c h i n d i v i -d u a l y i t i s t h a t e a c h g i v e n x b e a r s t h i s r e l a t i o n t o .

O n e c a n p e r h a p s s a y t h a t i n d i r e c t p r o o f s c a n i n t h i s w a y o fl o o k i n g a t t h e m y i e l d k n o w l e d g e t h a t c e r t a i n m a t h e m a t i c a l p r o p o s i -t i o n s a r e t r u e , b u t w i t h o u t k n o w l e d g e a s t o w h y t h e y a r e t r u e , i n t h es e n s e t h a t t h e p r o o f d o e s n o t s h o w w h a t t h e S k o l e m f u n c t i o n s a r et h a t p r o v i d e t h e t r u e - m a k i n g s u b s t i t u t i o n - v a l u e s o f t h e q u a n t i f i e dp r o p o s i t i o n s i n q u e s t i o n . T h e n a t u r a l n e s s o f t h e e p i s t e m i c i n t e r p r e -

t a t i o n o f m a t h e m a t i c s i s i l l u s t r a t e d b y t h e f a c t t h a t f o r m u l a t i o n s o ft h e k i n d j u s t u s e d h a v e t i m e - h o n o r e d p r e c e d e n t s i n t h e f o u n d a t i o n a ld i s c u s s i o n . F o r i n s t a n c e , o n e c l a s s i c a l f o r m u l a t i o n o f w h a t p r o o f s b yc o n t r a d i c t i o n d o r u n s a s f o l l o w s : " E v e n i f t h e y d o n o t g i v e u s t h ec a u s e o f w h y a c e r t a i n a f f e c t i o n i s t o b e p r e d i c a t e d o f a s u b j e c t , t h e yn o n e t h e l e s s g i v e u s a r e a s o n b y w h i c h w e k n o w t h a t a c e r t a i n s t a t e o fa f f a i r s h o l d s " ( M a n c o s u 1 9 9 1 , p . 3 4 ) .

O n c e a g a i n , i n t u i t i o n i s t s h a v e s e e n s o m e t h i n g i n t e r e s t i n g a b o u t

m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g . O n c e a g a i n , t h e i r i n s i g h t t u r n s o u t t o b ee p i s t e m i c i n n a t u r e . A n d o n c e a g a i n t h e w a y i n t u i t i o n i s t s h a v e t r i e dt o s p e l l o u t t h e i r i n s i g h t i s w o e f u l l y i n a d e q u a t e .

A n o t h e r a p p l i c a t i o n o f t h e e p i s t e m i c i n t e r p r e t a t i o n o f l o g i c e n -a b l e s u s t o i n t e r p r e t c e r t a i n n o n s t a n d a r d r e a d i n g s o f h i g h e r - o r d e rq u a n t i f i e r s . T h i s i n t e r p r e t a t i o n r e s u l t s f r o m t a k i n g a s e c o n d - o r d e rs e n t e n c e S , w h i c h w e c a n a s s u m e t o b e i n t h e n e g a t i o n n o r m a l f o r m ,p r e f i x i n g i t b y K , a n d r e p l a c i n g a l l s e c o n d - o r d e r q u n a t i f i e r s l i k e ( I X )a n d ( V Y ) b y ( R X / K ) a n d ( V Y / K ) , r e s p e c t i v e l y . T h i s i d e a i s r e a d i l y

e x t e n d e d t o a l l h i g h e r - o r d e r l o g i c . I b e l i e v e t h a t t h e r e s u l t i n g i n t e r p r e -t a t i o n i s w h a t s o m e a p p a r e n t a d h e r e n t s o f a n o n s t a n d a r d i n t e r p r e -t a t i o n o f l o g i c a l a n d m a t h e m a t i c a l p r o p o s i t i o n s h a v e h a d i n m i n d .

O t h e r a p p l i c a t i o n s t h r o w l i g h t o n t h e i d e a o f i n t u i t i o n i s t i c l o g i c .I n f a c t , f r o m t h e v a n t a g e p o i n t o f t h e e p i s t e m i c a ; n r o a c h t o i n t u -i t i o n i s m w e c a n n o w s e e c e r t a i n s e r i o u s d e f e c t s i n t h e a t t e m p t s t h a t

h a v e b e e n m a d e t o f o r m u l a t e e x p l i c i t l y a n i n t u i t i o n i s t i c l o g i c , s u c h a sH e y t i n g ' s ( 1 9 5 6 ) . B y a n d l a r g e , w h a t h a s h a p p e n e d i s t h e s a m em i s t a k e a s w a s d i a g n o s e d a b o v e . A t b e s t , s o m e u n a r t i c u l a t e d n o n -

s t a n d a r d s e n s e o f k n o w i n g t h a t i s c a p t u r e d b y i n t u i t i o n i s t i c l o g i c , b u tn o t a c o n s t r u c t i v i s t i c s e n s e o f k n o w i n g w h a t , f o r e x a m p l e , k n o w i n gw h i c h f u n c t i o n c a p t u r e s a c e r t a i n r e g u l a r i t y . Y e t i t i s t h e l a t t e r i s s u et h a t i s r e a l l y i n t e r e s t i n g i n t h e e p i s t e m o l o g y o f m a t h e m a t i c s .




F o r i n s t a n c e , i f a f o r m u l a l i k e

( 1 1 . 7 )

i s s u p p o s e d t o c a p t u r e t h e f o r c e o f

( 1 1 . 8 )

t h e n u n i v e r s a l i n s t a n t i a t i o n w i l l n o t b e a v a l i d r u l e o f l o g i c a li n f e r e n c e . F o r ( 1 1 . 8 ) d o e s n o t l o g i c a l l y i m p l y

( 1 1 . 1 6 )

f o r a g i v e n b , a s a s e m a n t i c a l a n a l y s i s o f t h e s i t u a t i o n w i l l s h o w .

I n d e e d , i f w e p u t S [ x , y ] = ( x = y ) , t h e n ( 1 1 . 8 ) w i l l s a y ( r o u g h l ys p e a k i n g ) t h a t t h e i d e n t i t y o f a l l i n d i v i d u a l s i s k n o w n u n d e r s o m e

g u i s e o r o t h e r . F r o m t h a t i t d o e s n o t f o l l o w t h a t t h e i d e n t i t y o f t h er e f e r e n c e o f a n y o l d n o n e m p t y n a m e i s k n o w n , w h i c h i s w h a t ( 1 1 . 7 )

s a y s .

B u t i f ( 1 1 . 8 ) d o e s n o t i m p l y ( 1 1 . 1 6 ) , t h e n ( 1 1 . 7 ) s h o u l d n o t i m p l y

( 1 1 . 1 7 )

e i t h e r , o n t h e i n t u i t i o n i s t i c i n t e r p r e t a t i o n . Y e t i n i n t u i t i o n i s t i c l o g i ci t d o e s , f o r u n i v e r s a l i n s t a n t i a t i o n i s v a l i d i n H e y t i n g ' s l o g i c . H e n c ei n t u i t i o n i s t i c l o g i c i s s e r i o u s l y i n a d e q u a t e a s a t r u e e p i s t e m i c l o g i c o fm a t h e m a t i c s . I t d o e s n o t c a p t u r e t h e k i n d o f r e a s o n i n g w h i c h i s f o ri n s t a n c e p r e s u p p o s e d i n i n t u i t i o n i s t i c a n d c o n s t r u c t i v i s t i c c r i t i c i s mo f t h e p r i n c i p l e o f c h o i c e .

T h i s i m p o r t a n t r e s u l t c a l l s f o r a f e w c o m m e n t s . F i r s t , i t i s i n d e p e n -

d e n t o f t h e u s e o f e x p l i c i t e p i s t e m i c o p e r a t o r s . T h e s a m e c h a n g e i nt h e r u l e s o f q u a n t i f i e r i n s t a n t i a t i o n i s n e e d e d a l s o i n I F f i r s t - o r d e rl o g i c , a s w a s p o i n t e d o u t i n C h a p t e r 3 . H e n c e , i t i s o c c a s i o n e d b yt h e u s e o f i n f o r m a t i o n a l i n d e p e n d e n c e r a t h e r t h a n b y t h e u s e o fe p i s t e m i c n o t i o n s . O f c o u r s e , w e d o n o t h a v e a c o m p l e t e s e t o f r u l e sf o r e s t a b l i s h i n g v a l i d i t y i n I F f i r s t - o r d e r l o g i c , o n l y o f r u l e s f o r

e s t a b l i s h i n g i n c o n s i s t e n c y .T h e f a i l u r e o f H e y t i n g ' s i n t u i t i o n i s t i c l o g i c a d m i t s o f a n e x p l a n a -

t i o n , i f n o t a n e x c u s e . T h e c r u c i a l i n f e r e n c e f r o m ( 1 1 . 8 ) t o ( 1 1 . 1 6 ) c a nb e r e s t o r e d b y a n a d d i t i o n a l p r e m i s e

( 1 1 . 1 8 )

w h i c h s a y s t h a t i t i s k n o w n w h a t ( w h i c h i n d i v i d u a l ) b i s . A n d o fc o u r s e a n y o l d i n t u i t i o n i s t w o u l d a d m i t t h a t e v e n i f h e h a d a ne f f e c t i v e w a y o f f i n d i n g a n u m b e r y , g i v e n a n u m b e r x , s u c h t h a t




S [ x , y ] i s t h e c a s e , i t d o e s n o t f o l l o w t h a t h e c a n d o t h a t f o r b u n l e s sh e k n o w s w h i c h n u m b e r b i s . H e n c e t h e f a i l u r e o f H e y t i n g ' s l o g i c

m a k e s p e r f e c t s e n s e t o a n i n t u i t i o n i s t .

T h i s i n t u i t i o n i s t i c m e a n i n g o f m y c r i t i c i s m e n a b l e s a n i n t u i t i o n i s tt o o f f e r a p r i m a f a c i e r e p l y t o m y c r i t i c i s m . H e c a n r e p l y t h a t t h e w a yh i s l o g i c i s s u p p o s e d t o b e a p p l i e d i s d i f f e r e n t f r o m w h a t I h a v e b e e na s s u m i n g . H e i s w i l l i n g t o s u b s t i t u t e f o r i n d i v i d u a l c o n s t a n t s l i k e t h eb i n ( 1 1 . 1 7 ) o n l y s u c h t e r m s w h o s e r e f e r e n c e i s k n o w n t o h i m . T h i sr e j o i n d e r n e v e r t h e l e s s d o e s n o t s a v e i n t u i t i o n i s t i c l o g i c . F o r o n et h i n g , i t m a k e s i n t u i t i o n i s t i c l o g i c i n c o m m e n s u r a b l e w i t h o r d i n a r y

f i r s t - o r d e r l o g i c . T h e t w o a r e t h e n a p p l i e d i n d i f f e r e n t w a y s , f o rc l a s s i c a l l o g i c a d m i t s a l s o s i n g u l a r t e r m s w h o s e r e f e r e n c e i s n o tk n o w n t o t h e l o g i c i a n . I n d e e d , t h e u s e o f " a r b i t r a r y i n d i v i d u a l s " i sa t i m e - h o n o r e d p l o y i n l o g i c . H e n c e i n t u i t i o n i s t i c l o g i c i s n o t , o n t h ec o n s t r u a l w h i c h t h e i n t u i t i o n i s t i c r e s p o n s e r e l i e s o n , a n y l o n g e ra r i v a l t o c l a s s i c a l l o g i c . I t i s a s p e c i a l i z e d l o g i c r e l y i n g o n u n s p o k e ne p i s t e m i c a s s u m p t i o n s f o r i t s a p p l i c a b i l i t y .

F o r a n o t h e r t h i n g , s i m i l a r f a i l u r e s c a n b e p o i n t e d o u t i n i n t u i t i o n -

i s t i c l o g i c w h i c h a r e i n d e p e n d e n t o f t h e u s e o f i n d i v i d u a l c o n s t a n t s a ss u b s t i t u t i o n - v a l u e s . H e n c e , i n b r i e f , H e y t i n g ' s i n t u i t i o n i s t i c l o g i c f a i l si t s s e l f - i m p o s e d t a s k b y c r i t e r i a t h a t i n t u i t i o n i s t s s h o u l d a c c e p t t h e m -s e l v e s .

A s w a s i n d i c a t e d i n C h a p t e r 3 , t h i s d e f e c t i n t h e u s u a l i n s t a n t i -a t i o n r u l e s i s e a s i l y c o r r e c t e d b y m o d i f y i n g t h e i n s t a n t i a t i o n r u l e sw h i c h t h e c l a s s i c i s t s a n d t h e i n t u i t i o n i s t s h a v e b o t h u s e d . W h a t i sn e e d e d i s a l o g i c i n w h i c h e x i s t e n t i a l i n s t a n t i a t i o n i s e f f e c t e d b ym e a n s o f S k o l e m f u n c t i o n s a n d i n w h i c h u n i v e r s a l i n s t a n t i a t i o nc a n n o t p r e c e d e e x i s t e n t i a l i n s t a n t i a t i o n . T h e r e q u i s i t e c h a n g e s i ni n s t a n t i a t i o n r u l e s a r e i n d i c a t e d i n C h a p t e r s 3 a n d 4 . T h e y w i l l d ot h e j o b h e r e . F o r i n s t a n c e , ( 1 1 . 7 ) w i l l n o w i m p l y

( V x ) S [ x , f ( x ) ] ( 1 1 . 1 9 )

w h i c h i s a p r o x y f o r

K ( V x ) S { x , f ( x ) ] ( 1 1 . 2 0 )U n i v e r s a l i n s t a n t i a t i o n n o w y i e l d s

S [ b , f ( b ) ] ( 1 1 . 2 1 )

w h i c h r e p r e s e n t s

K S [ b , f ( b ) ] ( 1 1 . 2 2 )




A s l o n g a s t h e f u n c t i o n f i s a s s u m e d t o b e k n o w n , t h i s y i e l d s t h e r i g h ti n f e r e n t i a l r e l a t i o n s h i p s .

T h e r e a l d e f e c t o f H e y t i n g ' s l o g i c d o e s n o t l i e i n i t s c h o i c e o f i n -a p p r o p r i a t e r u l e s o f i n f e r e n c e a s m u c h a s i n i t s f a i l u r e t o i n c o r p o r a t et h e c o r r e c t i n s t a n t i a t i o n r u l e s . T h i s f a i l u r e c a n n o t b e c o r r e c t e d b yc h a n g i n g i t s m o d e o f a p p l i c a t i o n .

S u c h m o d i f i c a t i o n s i n t h e i n s t a n t i a t i o n r u l e s f o r q u a n t i f i e r s s u f f i c et o r e s t o r e o u r d i s p r o o f r u l e s t o a s t a t e o f s e m a n t i c a l c o m p l e t e n e s s .H o w e v e r , i t i s n o t o b v i o u s t h a t t h e r e c a n e x i s t a s e m a n t i c a l l y c o m p l e t ea x i o m a t i z a t i o n f o r e p i s t e m i c l o g i c w h e n i t c o m e s t o t h e a x i o m a t i z -

a t i o n o f l o g i c a l t r u t h s . T h i s i s a p r o b l e m e v e n i f e x i s t e n t i a l q u a n t i f i e r sa n d d i s j u n c t i o n s a r e o n l y a l l o w e d t o b e i n d e p e n d e n t o f s e n t e n c e -i n i t i a l e p i s t e m i c K - o p e r a t o r s b u t n o t i n d e p e n d e n t o f o t h e r q u a n t i f i e r s .A n i n f o r m a l e x p l a n a t i o n o f t h i s p r o b l e m c a n b e g i v e n b y p o i n t i n g o u tt h a t a s e n t e n c e - i n i t i a l K i s t o a l l e f f e c t s a n d m o d e l - t h e o r e t i c a l p u r -p o s e s a u n i v e r s a l q u a n t i f i e r . H e n c e a s e n t e n c e o f t h e f o r m

[ x , y , z ] ( 1 1 . 2 3 )

s e e m s t o h a v e t h e s a m e s t r u c t u r e a s t h e H e n k i n p r e f i x ,

( 1 1 . 2 4 )

A n d i t i s k n o w n t h a t t h e l o g i c o f H e n k i n q u a n t i f i e r s e n t e n c e s i s n o ta x i o m a t i z a b l e .

T h u s H e y t i n g ' s i d e a o f i m p l e m e n t i n g i n t u i t i o n i s t i c l o g i c i n t h ec u s t o m a r y w a y , t h a t i s , b y a x i o m a t i z i n g t h e l o g i c a l t r u t h s o f s u c ha l o g i c , n e e d s a m u c h b e t t e r j u s t i f i c a t i o n t h a n i t h a s b e e n g i v e n b yi n t u i t i o n i s t s t h e m s e l v e s . I n t u i t i o n i s t i c l o g i c a n d m a t h e m a t i c s a r eb e t t e r v i e w e d m o d e l - t h e o r e t i c a l l y t h a n a x i o m a t i c a l l y .

T h e s e o b s e r v a t i o n s p r o v i d e e x a m p l e s o f i n t e r e s t i n g r e s u l t s t h a t h o l di n d e p e n d e n t l y o f h o w f u n c t i o n s a r e t h o u g h t o f a s b e i n g i d e n t i f i e d .

O n e o f t h e v i r t u e s o f t h e e p i s t e m i c i n t e r p r e t a t i o n i s i t s g e n e r a l i t y .T h e e p i s t e m i c i n t e r p r e t a t i o n a l l o w s u s t o r e s t r i c t t h e f u n c t i o n s

( S k o l e m f u n c t i o n s ) w h i c h f i g u r e i n s e c o n d - o r d e r t r a n s l a t i o n s o ff i r s t - o r d e r s e n t e n c e s t o a n y c l a s s o f f u n c t i o n t h a t c a n b e c o n s i d e r e da s " b e i n g k n o w n " . T h i s c l a s s c o u l d b e a c l a s s o f f u n c t i o n w i d e r t h a nt h e c l a s s o f r e c u r s i v e o n e s , I n s t e a d o f r e q u i r i n g c o m p u t a b i l i t y , w ec o u l d m e r e l y r e q u i r e o f " k n o w n " f u n c t i o n s t h a t t h e y c a n b e m a s t e r e dt h e o r e t i c a l l y i n s o m e s u i t a b l e s e n s e . A l l s u c h v a r i a n t s o f t h e e p i s t e m i ci n t e r p r e t a t i o n c a n b e d e a l t w i t h b y m e a n s o f a s u i t a b l e e p i s t e m i c l o g i c .




H o w e v e r , s o m e p o s s i b l e r e s t r i c t i o n s c o u l d o n t h e c o n t r a r y b e m o r es e v e r e t h a n a r e s t r i c t i o n t o r e c u r s i v e f u n c t i o n s . F o r i n s t a n c e , s o m e -

o n e m i g h t w a n t t o r e q u i r e s o m e k i n d o f r e a l - t i m e c o m p u t a b i l i t y .T h e o b s e r v a t i o n s m a d e i n C h a p t e r 4 t h r o w f u r t h e r i n t e r e s t i n g

l i g h t o n t h e t h e o r e t i c a l s i t u a t i o n c o n c e r n i n g t h e s e d i f f e r e n t e p i s t e m i ci n t e r p r e t a t i o n s . I t w a s s e e n i n C h a p t e r 4 t h a t t h e c r i t e r i a o f k n o w i n g

t h a t ( k n o w l e d g e o f p r o p o s i t i o n s ) d o n o t d e t e r m i n e t h e c r i t e r i a o fk n o w i n g w h a t o r w h i c h ( k n o w l e d g e o f o b j e c t s ) . T h i s i m p l i e s t h a te p i s t e m i c i n t e r p r e t a t i o n s o f m a t h e m a t i c s a r e i n a s e n s e i n e v i t a b l y

u n d e r d e t e r m i n e d . O n e m a t h e m a t i c i a n m a y i m p o s e m o r e o r l e s s

s t r i c t r e q u i r e m e n t s o n w h a t c o u n t s a s k n o w i n g w h a t g i v e n m a t h -e m a t i c a l f u n c t i o n s a r e , t h a n a c o l l e a g u e o f h i s o r h e r s . A n d t h ec o n s i d e r a t i o n s t h e y c a n u s e i n o r d e r t o r e s o l v e t h e i r d i s a g r e e m e n tw i l l h a v e t o b e q u i t e d i f f e r e n t f r o m t h e o n e s u s e d t o d e c i d e w h e t h e ra g i v e n m a t h e m a t i c a l p r o p o s i t i o n i s t r u e o r n o t .

F r o m a m o r e g e n e r a l v a n t a g e p o i n t , t h e e p i s t e m i c i n t e r p r e t a t i o no f m a t h e m a t i c s a l s o o f f e r s a n i n t e r e s t i n g g e n e r a l p e r s p e c t i v e o n t h ee p i s t e m o l o g y o f m a t h e m a t i c s . O n e t h i n g t h a t w e m i g h t w a n t t od o — o r a t l e a s t t r y o u t — i s t o u s e t h e e p i s t e m i c i n t e r p r e t a t i o n o fm a t h e m a t i c s , n o t a s a c h a r a c t e r i z a t i o n o f w h a t i t m e a n s f o r m a t h -e m a t i c a l p r o p o s i t i o n s t o b e t r u e , b u t w h a t i t m e a n s f o r t h e m t o b ek n o w n . T h i s p o s s i b i l i t y i s a m o s t n a t u r a l o n e , i n d e p e n d e n t l y o f o n e ' ss t a n c e , i n t h e f o u n d a t i o n s o f m a t h e m a t i c s . E v e n t h e m o s t P l a t o n i s t i cm a t h e m a t i c i a n m i g h t , i f o n l y i n h i s o r h e r o f f - d u t y h o u r s , r a i s e t h eq u e s t i o n a s t o i n w h a t s e n s e i t c a n b e c l a i m e d t h a t w e k n o w t h e

m a t h e m a t i c a l p r o p o s i t i o n s w e a r e f a m i l i a r w i t h . I s i t r e a l l y e n o u g ht o k n o w t h a t i n s o m e P l a t o n i c h e a v e n t h e r e e x i s t s v e r i f y i n g s t r a t e g i e sf o r s u c h p r o p o s i t i o n s ? S h o u l d w e a l s o k n o w w h a t t h o s e s t r a t e g i e sa r e ? V e r y p l a u s i b l y , i t c a n b e s u g g e s t e d t h a t f o r t h e p u r p o s e o f " r e a l l yk n o w i n g " , f o r i n s t a n c e , t h e s t a t e m e n t

y ] ( 1 1 . 7 )

i t i s n o t e n o u g h t h a t t h e r e e x i s t s a c h o i c e f u n c t i o n f w h i c h m a k e s

t r u e t h e f o r m u l a

( V x ) S [ x , f ( x ) ] ( 1 1 . 1 9 )

W e a l s o h a v e t o k n o w a n a c t u a l i n s t a n c e o f a f u n c t i o n f w h i c hd o e s t h i s .

T h u s m y e p i s t e m i c i n t e r p r e t a t i o n o f m a t h e m a t i c s h a s a g r e a t d e a lo f i n t e r e s t f o r a n y e p i s t e m o l o g i s t o f m a t h e m a t i c s , P l a t o n i s t , c o n -




s t r u c t i v i s t o r w h a t n o t . A n d i f s o , e p i s t e m i c l o g i c i s a l r e a d y i na p o s i t i o n t o p r o v i d e a m a j o r i n s i g h t i n t o t h e e p i s t e m o l o g y o fm a t h e m a t i c s . W i t h o u t t r y i n g t o e x p l a i n t h e d e t a i l s h e r e , i t s h o w st h a t a l l q u e s t i o n s a b o u t w h e t h e r a c e r t a i n m a t h e m a t i c a l p r o p o s i t i o nS i s k n o w n , r e d u c e t o t w o s i m p l e r o n e s . T h e y a r e ( i ) t h e q u e s t i o n o ft h e t r u t h o f S ( a n d / o r o f t h e t r u t h o f c e r t a i n r e l a t e d p r o p o s i t i o n s ) a n d( i i ) t h e q u e s t i o n a s t o w h e t h e r t h e S k o l e m f u n c t i o n s i n v o l v e d i n S a r ek n o w n o n e s o r n o t .

T h i s p r o v i d e s a n e x t r e m e l y i n t e r e s t i n g p e r s p e c t i v e o n t h e e n t i r ee p i s t e m o l o g y o f m a t h e m a t i c s . I t s h o w s t h a t t h e q u e s t i o n a s t o w h a t

f u n c t i o n s a r e " k n o w n " ( i n t h e s e n s e e x p l a i n e d a b o v e ) i s n o t o n l yc e n t r a l i n s o m e a r c a n e r e i n t e r p r e t a t i o n o f l o g i c a n d m a t h e m a t i c s — i ti s t h e c e n t r a l q u e s t i o n i n a l l e p i s t e m o l o g y o f m a t h e m a t i c s .

T h i s o b s e r v a t i o n i n t u r n t h r o w s s o m e l i g h t o n t h e m a i n l i n e s o f t h eh i s t o r y o f m a t h e m a t i c s . I t s h o w s t h a t a c r u c i a l r o l e i n t h e d e v e l o p -m e n t o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e h a s b e e n p l a y e d b y t h e g r a d u a le x p a n s i o n o f t h e n o t i o n o f f u n c t i o n ( s e e h e r e Y o u s c h k e v i t c h 1 9 7 6 ,

H i n t i k k a 1 9 9 5 a ) . A n d b y e x p a n s i o n I d o n o t m e a n i n t h e f i r s t p l a c e

t h e w i d e n i n g o f t h e e x p l i c i t o r i m p l i c i t d e f i n i t i o n o f a n a r b i t r a r yf u n c t i o n . R a t h e r , w h a t h a s h a p p e n e d i s a b r o a d e n i n g o f t h e r a n g e o ff u n c t i o n s t h a t c a n b e s a i d t o b e k n o w n b y m a t h e m a t i c i a n s . I n o t h e rw o r d s , w h a t i s c r u c i a l i s t h e g r o w t h o f t h e c l a s s o f f u n c t i o n s t h a t c a nb e m a s t e r e d i n t e l l e c t u a l l y b y m e a n s o f t h e a v a i l a b l e m a t h e m a t i c a lc o n c e p t s a n d t h e o r i e s . B y c h o o s i n g t h e c l a s s o f k n o w n f u n c t i o n s i nd i f f e r e n t w a y s w e c a n t h u s m o d e l t h e d i f f e r e n t s t a g e s o f t h e h i s t o r i c a ld e v e l o p m e n t o f m a t h e m a t i c s w i t h t h e h e l p o f m y e p i s t e m i c i n t e r p r e -t a t i o n o f m a t h e m a t i c s .

F r o m t h e v a n t a g e p o i n t o f t h e e p i s t e m i c i n t e r p r e t a t i o n , a l o g i c a la x i o m a t i z a t i o n o f a m a t h e m a t i c a l t h e o r y ( o r e v e n o f m a t h e m a t i c s a tl a r g e ) i n i t s e p i s t e m i c d r e s s b e c o m e s l e s s o f a c o d i f i c a t i o n o f e t e r n a lt r u t h s i n a p e r m a n e n t f i x e d l a n g u a g e t h a n a r e p o r t o f t h e c u r r e n ts t a t e o f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e . F o r t h e e p i s t e m i c i m p a c t o f t h ea x i o m s y s t e m d o e s n o t d e p e n d o n l y o n t h e t r u t h o f t h e a x i o m s , b u t

a l s o o n t h e c l a s s o f f u n c t i o n s t h a t a r e k n o w n t o t h e u s e r s o f t h e a x i o ms y s t e m . A n d t h i s c l a s s i s n o t s p e c i f i e d b y t h e a x i o m s y s t e m i t s e l f b u to n l y p r e s u p p o s e d t h e r e . M o r e o v e r , i t h a s b e e n s e e n t h a t s u c hq u e s t i o n s o f o u r k n o w l e d g e o f m a t h e m a t i c a l o b j e c t s c a n a r i s e a l s ow h e n t h e r e a r e n o e x p l i c i t f u n c t i o n q u a n t i f i e r s i n t h e a x i o m s y s t e m i nq u e s t i o n . A l l t h a t i s n e e d e d f o r t h e p u r p o s e i s t h e p r e s e n c e o fd e p e n d e n t e x i s t e n t i a l q u a n t i f i e r s .




A s f a r a s t h e o n t o l o g y o f m a t h e m a t i c s i s c o n c e r n e d , a n e p i s t e m i ci n t e r p r e t a t i o n o f m a t h e m a t i c s i s i n a n y c a s e , i n o n e i m p o r t a n t r e s p e c t ,o n a d i f f e r e n t f o o t i n g f r o m t h e c o n s t r u c t i v i s t i c o n e . I n t h e c o n s t r u c t i v -

i s t i c o n e , t h e r a n g e o f f u n c t i o n v a r i a b l e s w a s r e s t r i c t e d t o r e c u r s i v eo n e s . I f " t o b e i s t o b e a v a l u e o f a b o u n d v a r i a b l e " , t h e c o n s t r u c t i v i s -t i c i n t e r p r e t a t i o n i n e f f e c t d e n i e s t h e e x i s t e n c e o f n o n r e c u r s i v ef u n c t i o n s , a t l e a s t i n s o f a r a s s t r a t e g y f u n c t i o n s a r e c o n c e r n e d .

I n c o n t r a s t , t h e c r u c i a l q u e s t i o n i n t h e e p i s t e m i c i n t e r p r e t a t i o n i sw h i c h f u n c t i o n s a r e k n o w n a n d w h i c h o n e s a r e n o t k n o w n . U n l e s so n e a s s u m e s a n u n r e a l i s t i c a l l y s t r i c t p o s i t i v i s t i c p o s i t i o n , t h i s d o e s

n o t p r e s u p p o s e a d e n i a l o f t h e e x i s t e n c e o f f u n c t i o n s o f o t h e r k i n d s .O n t h e c o n t r a r y , t h e w a y k n o w n f u n c t i o n s w e r e d e l i n e a t e d w a s b ym e a n s o f f u n c t i o n q u a n t i f i e r s r a n g i n g o v e r a w i d e r c l a s s o f a r b i t r a r yf u n c t i o n s . T h u s o n e c a n e v e n t h i n k o f t h e t a s k o f m a t h e m a t i c a lr e s e a r c h a s i n v o l v i n g a n a t t e m p t t o b r i n g a s m a n y o f t h e s e s t r a n g e" a r b i t r a r y f u n c t i o n s " t o t h e f o l d o f i n t e l l e c t u a l l y m a s t e r e d a n d , i nt h a t s e n s e , " k n o w n " m a t h e m a t i c a l o b j e c t s . T h i s t a s k p r e s u p p o s e s ,o n t o l o g i c a l l y s p e a k i n g , e x i s t e n c e r a t h e r t h a n t h e i n e x i s t e n c e o f a l l

a n d s u n d r y a r b i t r a r y f u n c t i o n s . I n g e n e r a l , i t m a k e s s e n s e t o s p e a k o fm a t h e m a t i c a l o b j e c t s a s b e i n g k n o w n o r n o t k n o w n a n d o f o u rc o m i n g t o k n o w n e w m a t h e m a t i c a l o b j e c t s o n l y i f o n e a s s u m e s t h a tt h e y a c t u a l l y e x i s t e v e n w h e n t h e y a r e n o t k n o w n . A d e f e n d e r o f t h e

c a t e g o r y o f a r b i t r a r y f u n c t i o n s m i g h t t h u s a c c u s e h i s o r h e r c o n -s t r u c t i v i s t i c c r i t i c s o f a c o n f u s i o n b e t w e e n e p i s t e m o l o g i c a l a n do n t o l o g i c a l i d e a s . I n t h e l a s t a n a l y s i s , l o g i c a l r a t h e r t h a n F r e u d i a n ,t h e e p i s t e m i c i n t e r p r e t a t i o n o n m a t h e m a t i c s t h u s a i d s a n d a b e t s t h e

c l a s s i c a l v i e w o f m a t h e m a t i c a l e x i s t e n c e , a s l o n g a s w e r e a l i z e t h a tt h i s v i e w h a s t o b e c o m p l e m e n t e d b y e p i s t e m i c c o n s i d e r a t i o n s .

T h e s a m e p o i n t c a n b e p u t i n d i f f e r e n t t e r m s . O n c e t h e e p i s t e m i ce l e m e n t i n m a t h e m a t i c s i s m a d e e x p l i c i t , t h e i n t u i t i o n i s t i c c r i t i c i s m s

o f t h e c l a s s i c a l s e n s e o f k n o w i n g t h a t a n d h e n c e o f c l a s s i c a l m a t h e -m a t i c s l o s e t h e i r s t i n g . T h i s a p p l i e s a l s o t o t h e q u e s t i o n s w h e t h e rc e r t a i n k i n d s o f m a t h e m a t i c a l o b j e c t s i n f a c t e x i s t o r n o t . I n d e e d , a n

a p p r o a c h t o t h e e p i s t e m o l o g y o f m a t h e m a t i c a l o b j e c t s ( s u c h a s w ef o u n d t h e g e n u i n e B r o u w e r i a n i n t u i t i o n i s t u n d e r t a k i n g t o b e )s c a r c e l y m a k e s s e n s e u n l e s s t h e u n q u a l i f i e d e x i s t e n c e o f m a t h e m a t -i c a l o b j e c t s i s t a k e n i n t h e c l a s s i c a l s e n s e . T h u s t h e u l t i m a t e t h r u s t o f

t h e i n t u i t i o n i s t s ' p h i l o s o p h y , r i g h t l y u n d e r s t o o d , s u p p o r t s r a t h e rt h a n u n d e r m i n e s t h e k i n d o f c l a s s i c a l v i e w o f t h e o n t o l o g y o fm a t h e m a t i c s t h a t g o e s t o g e t h e r w i t h t h e s t a n d a r d i n t e r p r e t a t i o n o f




t h e e x i s t e n c e o f h i g h e r - o r d e r e n t i t i e s . I n t u i t i o n i s t s a r e i n t h e l a s ta n a l y s i s c l o s e t r e a l i s t s .

T h i s p o i n t i s o b s c u r e d i n t h e l i t e r a t u r e o n t h e f o u n d a t i o n s o fm a t h e m a t i c s b y a f a i l u r e t o d i s t i n g u i s h f r o m e a c h o t h e r t h e q u e s t i o na s t o w h i c h m a t h e m a t i c a l o b j e c t s e x i s t a n d t h e q u e s t i o n a s t o w h i c ho n e s a r e k n o w n . T h i s c o n f u s i o n i s n o t a r e c e n t p h e n o m e n o n . O n t h ec o n t r a r y , r e a l i z i n g t h a t s u c h a c o n f u s i o n h a s a c t u a l l y a f f e c t e d m a t h -e m a t i c i a n s h e l p s u s t o u n d e r s t a n d w h a t o t h e r w i s e m i g h t a p p e a r t ob e c o n t r a d i c t o r y s t a t e m e n t s b y o n e a n d t h e s a m e m a t h e m a t i c i a n .A r e p r e s e n t a t i v e e x a m p l e i s o f f e r e d b y n o l e s s e r a f i g u r e t h a n

L e o n h a r d E u l e r . O n t h e o n e h a n d , h e h a s b e e n h a i l e d n o t m e r e l y a sa p r e c u r s o r b u t e v e n a s a f u l l - f l e d g e d b e l i e v e r i n a r b i t r a r y f u n c t i o n s .A n d w e d o i n f a c t f i n d s t a t e m e n t s l i k e t h e f o l l o w i n g :

I f s o m e q u a n t i t i e s s o d e p e n d o n o t h e r q u a n t i t i e s t h a t a s t h e l a t t e r a r ec h a n g e d t h e f o r m e r u n d e r g o c h a n g e , t h e n t h e f o r m e r q u a n t i t i e s a r e c a l l e d

f u n c t i o n s o f t h e l a t t e r . T h i s d e n o m i n a t i o n i s o f t h e b r o a d e s t n a t u r e a n dc o m p r i s e s e v e r y m e t h o d b y m e a n s o f w h i c h o n e q u a n t i t y c o u l d b e d e t e r -

m i n e d b y o t h e r s . I f , t h e r e f o r e , x d e n o t e s a v a r i a b l e q u a n t i t y , t h e n a l l

q u a n t i f i e r s w h i c h d e p e n d u p o n x i n a n y w a y o r a r e d e t e r m i n e d b y i t a r ec a l l e d f u n c t i o n s o f i t .

( I n s t i t u t i o n e s c a l c u l i q u o t e d a f t e r B o t t a z z i n i 1 9 8 6 , p . 3 3 . )

T h i s s o u n d s c o n c l u s i v e ( t h a t i s , g e n e r a l ) e n o u g h . B u t i n E u l e r ( 1 9 8 8 )w e r e a d :

A f u n c t i o n o f a v a r i a b l e q u a n t i t y i s a n a n a l y t i c e x p r e s s i o n c o m p o s e d i n a n yw a y w h a t s o e v e r o f t h e v a r i a b l e q u a n t i t y a n d n u m b e r s o r c o n s t a n t q u a n t i t i e s .

T h e o b v i o u s e x p l a n a t i o n i s t h a t E u l e r t h o u g h t o n l y o f f u n c t i o n sr e p r e s e n t e d b y a n a l y t i c e x p r e s s i o n s a s b e i n g k n o w n t o h i m . S o w h yd i d h e b o t h e r t o p r e s e r v e t h e p o s s i b i l i t y o f a w i d e r c o n c e p t i o n o fa f u n c t i o n ? O n c e a g a i n t h e a c t u a l f a c t s o f t h e h i s t o r y o f m a t h e m a t i c sy i e l d a n i n t e r e s t i n g c l u e . H i s w o r k o n t h e p r o b l e m o f t h e v i b r a t i n gs t r i n g h a d l e d h i m t o t h e c o n c l u s i o n t h a t t h e r e m a y i n f a c t b e m o d e so f d e p e n d e n c e i n p h y s i c a l n a t u r e t h a t a r e d i s c o n t i n u o u s a n d h e n c e

c a n n o t b e c a p t u r e d b y a n a l y t i c e x p r e s s i o n s ( s e e B o t t a z z i n i 1 9 8 6 , p p .2 1 — 3 3 ) . I n o t h e r w o r d s , p r o b l e m s o f a p p l i e d m a t h e m a t i c s m a d e h i m

a w a r e t h a t t h e r e m a y v e r y w e l l e x i s t f u n c t i o n s t h a t a r e n o t y e tk n o w n , e v e n t h o u g h E u l e r d i d n o t e x p r e s s h i m s e l f i n t h i s w a y .

T h i s e x a m p l e i l l u s t r a t e s t h e f a c t t h a t t h e e p i s t e m i c a p p r o a c h t ot h e f o u n d a t i o n s o f m a t h e m a t i c s i s v e r y c l o s e l y r e l a t e d t o t h e r e a l i t i e so f t h e a c t u a l h i s t o r i c a l d e v e l o p m e n t o f m a t h e m a t i c s .



A P P E N D I X

I F F i r s t - O r d e r L o g i c , K r i p k e ,a n d 3 - V a l u e d L o g i c

G A B R I E L S A N D U

I n t h i s a p p e n d i x w e s h o w h o w t h e r e s u l t o f t h e d e f i n a b i l i t y o f t r u t h i nI F f i r s t - o r d e r l o g i c i n t h e s e n s e d i s c u s s e d i n C h a p t e r 6 r e l a t e s t oK r i p k e ' s r e s u l t o f t h e d e f i n a b i l i t y o f t r u t h i n p a r t i a l m o d e l s . F o r t h i s

p u r p o s e , w e w i l l g i v e a s h o r t d e s c r i p t i o n o f p a r t i a l m o d e l s t o g e t h e rw i t h K r i p k e ' s r e s u l t . B e f o r e d o i n g t h a t , w e s h a l l h a v e t o r e c a s t t h ed e s c r i p t i o n o f I F f i r s t - o r d e r l o g i c i n a f o r m w h i c h m a k e s c o m p a r i s o nw i t h p a r t i a l m o d e l s p o s s i b l e . ( T h e n o t a t i o n u s e d h e r e s h o u l d b es e l f - e x p l a n a t o r y e v e n t h o u g h i t d i f f e r s s l i g h t l y f r o m t h e o n e u s e d i nt h e b u l k o f t h i s b o o k . )

1 . I F f i r s t - o r d e r l o g i c

L e t u s f i x a n I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e L i n a n a r b i t r a r y s i g n a t u r e . A sw e h a v e s e e n , t h i s l a n g u a g e i s n o t h i n g e l s e b u t a n o r d i n a r y f i r s t - o r d e rl a n g u a g e e n r i c h e d w i t h a s l a s h " / " . I n t h i s n e w l a n g u a g e w e s h a l lh a v e f o r m u l a s l i k e

V x 2 y V z ( 3 w / V x ) Ø ( A . l . 1 )

o r

V x 3 y V z ( 4 ( v / V x ) i / i ) ( A . 1 . 2 )

W e s h a l l d e n o t e f o r m u l a s l i k e ( A . ! . ! ) b y a n d f o r m u l a sl i k e ( A . ! . 2 ) b y v i ) . M o r e g e n e r a l l y , w e s h a l l a d o p t t h e

2 5 4



A P P E N D I X 2 5 5

f o l l o w i n g c o n v e n t i o n s :

. X j 1 . . Y m Z 1 . . . ; W 1 . . . d e n o t e s

Y x 1 . . . .. . . z k ( ] w l I V x 1 . . . . . ( ] w 1 / V x 1 . . .

. . . . Y m Z 1 . . . i f r ) d e n o t e s

.. . . w 1 ç b d e n o t e s

• X , , V ) Y 1 . .. . Z k ( V W 1 / ] X 1 . . . x e ) . . . ( V w , / V x 1 . . .

. . X , j / 1 . . Y m Z i . . . d e n o t e s

] X l . . . X f l V Y 1 . . . Y m J Z I . . . Z k ( 4 ( A / ] X l . . . X f l ) I 1 I )

W e l e t t h e f o r m u l a s o f L b e t h e s m a l l e s t c l a s s o f f o r m u l a sc o n t a i n i n g t h e u s u a l a t o m i c f o r m u l a s a n d c l o s e d u n d e r V , A , ] ,V , G r 7 m , a n d m , k , 1 1 ) . N o t i c e t h a t =

= V x ç b , , / , ) = ( 4 ' A = A i / i ) .

W i t h e v e r y f o r m u l a = x 1 , . . . , o f L a n d m o d e l M o f L ,

a g a m e M , g ) i s a s s o c i a t e d , w h e r e g i s a n a s s i g n m e n tr e s t r i c t e d t o t h e f r e e v a r i a b l e s o f 4 w i t h v a l u e s i n d o m ( M ) . I f

g ( x 1 ) = a 1 , . . . , = w e p r e f e r t o u s e t h e n o t a t i o n ( M ,a 1 , . . . i n s t e a d o f M , g ) . T h e g a m e i s p l a y e d b y t w o

p l a y e r s : M y s e l f ( t h e i n i t i a l v e r i f i e r ) a n d N a t u r e ( t h e i n i t i a l f a l s i f i e r ) .T h e d e f i n i t i o n o f M , a 1 , . . . , i s b y i n d u c t i o n o n t h ec o m p l e x i t y o f 4 i :

D e f i n i t i o n 1 .

( i ) M , g ) , f o r a t o m i c , c o n t a i n s n o m o v e s . I f ( M , g )t h e n t h e p l a y e r w h o i s t h e v e r i f i e r w i n s M , g ) ;

o t h e r w i s e , t h e p l a y e r w h o i s t h e f a l s i f i e r w i n s .

( i i ) G ( i 4 , M , g ) i s i d e n t i c a l w i t h M , g ) , e x c e p t t h a t t h e p l a y e r s

e x c h a n g e r o l e s .

( i i i ) v ) , M , g ) s t a r t s b y t h e v e r i f i e r c h o o s i n g i e { O , 1 } . T h e

g a m e g o e s o n a s G ( 4 1 , M , g ) .( i v ) G ( ( 4 0 A M , g ) s t a r t s b y t h e f a l s i f i e r c h o o s i n g i e { O , 1 ) . T h e

g a m e g o e s o n a s M , q ) .

( v ) G ( 3 x 4 , M , g ) s t a r t s w i t h t h e v e r i f i e r c h o o s i n g a n e l e m e n ta e d o m ( M ) . T h e g a m e g o e s o n a s i n M , g u { ( x , a ) } ) .

( v i ) M , g ) s t a r t s w i t h t h e f a l s i f i e r c h o o s i n g a n e l e m e n ta d o m ( M ) . T h e g a m e g o e s o n a s i n G ( 4 , M , g u { ( x , a ) } ) .



2 5 6 A P P E N D I X

( v i i ) . . X p j ) 1 . . . Z k W 1 . . . w 1 ç b , M , g ) i s p l a y e d i n t h ef o l l o w i n g w a y : t h e f a l s i f i e r c h o o s e s a s e q u e n c e a o f l e n g t h n ,t h e n t h e v e r i f i e r c h o o s e s a s e q u e n c e b o f l e n g t h m , a f t e r w h i c h

t h e v e r i f i e r c h o o s e s a s e q u e n c e ë o f l e n g t h k , a n d t h e n f i n a l l y t h ev e r i f i e r c h o o s e s d = ( d 1 , . . . , d 1 ) . T h e g a m e g o e s o n a s i n G ( 4 , M ,

( v i i i ) . . . Y m Z p . . . M , g ) i s p l a y e d e x a c t l y

a s . . . . . w 1 4 , M , g ) , e x c e p t t h a t t h em o v e s m a d e b y t h e v e r i f i e r i n t h e f o r m e r a r e m a d e b y t h ef a l s i f i e r i n t h e l a t t e r .

( i x ).

. . M , g ) i s p l a y e dl y t o . . . . . . . w , 4 , M , g ) , e x c e p t t h a t i n

t h e l a s t m o v e t h e v e r i f i e r c h o o s e s i e { O , 1 } , a n d t h e g a m e g o e s o n

a s i n( x ) T h e d e s c r i p t i o n o f t h e g a m e . . . . Y m Z I . . .

M , g ) s h o u l d b e o b v i o u s b y n o w .

T h e n o t i o n o f s t r a t e g y i s c r u c i a l h e r e . A s t r a t e g y f o r a p l a y e r p ( p i s

e i t h e r M y s e l f o r N a t u r e ) i n t h e g a m e G ( 4 , M , g ) i s a s e tM , g ) ) = o f f u n c t i o n s f 1 , . . . , e a c h c o r r e s p o n d i n g t o

a m o v e M 1 o f t h e p l a y e r p i n t h e g a m e . U s u a l l y , e a c h f 1 i s d e f i n e d o n t h e

s e t o f a l l t h e p o s s i b l e m o v e s o f t h e o p p o n e n t o f p b e f o r e t h e m o v e

w i t h t h e f o l l o w i n g e x c e p t i o n s : i n t h e g a m e . . x , y 1 . . .

. . Z k W 1 . . . w , 4 , M , g ) , t h e a s s o c i a t e d w i t h t h e m o v e o f t h e

v e r i f i e r p r o m p t e d b y w . i s n o t d e f i n e d o n b u t o n( d o m ( M ) ) k . I n o t h e r w o r d s t h i s g a m e i s o n e o f i m p e r f e c t i n f o r m a t i o n .

S i m i l a r l y f o r t h e g a m e . . x , , y 1 . . . Y m Z I . . . M , g ) . O fc o u r s e t h e s a m e a p p l i e s t o t h e m o v e s o f t h e f a l s i f i e r i n

. . Y m Z p . . ; w 1 . . . w 1 4 0 , M , g ) , a n d i n . . x , , y 1 . . .

Y m Z 1 . . . ) , M , g ) .

A s t r a t e g y f o r a p l a y e r i n t h e g a m e G ( 4 , M , g ) i s a w i n n i n g o n e i ft h e p l a y e r w i n s G ( 4 , M , g ) n o m a t t e r w h a t t h e m o v e s o f t h e o p p o n e n t

a r e .

T h e f o l l o w i n g p r o p o s i t i o n i s s t r a i g h t f o r w a r d f r o m t h e d e f i n i t i o n s :

P r o p o s i t i o n 1 . F o r a n y f o r m u l a 4 , m o d e l M o f L , a n d a s s i g n m e n t g i n

M ( r e s t r i c t e d t o t h e f r e e v a r i a b l e s o f i t i s n o t p o s s i b l e t h a t b o t h

M y s e l f a n d N a t u r e h a v e a w i n n i n g s t r a t e g y i n G ( 4 , M , g ) .

I n C h a p t e r 2 t h e t r u t h o f a s e n t e n c e 4 i n t h e m o d e l M w a s d e f i n e d

a s t h e e x i s t e n c e o f a w i n n i n g s t r a t e g y f o r M y s e l f i n t h e g a m e G ( 4 , M ) .



A P P E N D I X 2 5 7

I t i s c o n v e n i e n t , f o r l a t e r c o m p a r i s o n s , t o h a v e a n o t a t i o n f o r b o t ht r u t h a n d f a l s i t y i n M . F o r t h i s p u r p o s e , w h e n e v e r 4 ' i s a f o r m u l a , w eu s e M t o m e a n i s t r u e i n M ' , a n d M t o m e a n ' 4 i i s

f a l s e i n M ' .

D e f i n i t i o n 2 . L e t 4 b e a f o r m u l a o f L , M a m o d e l o f L , a n d g a na s s i g n m e n t i n M r e s t r i c t e d t o t h e f r e e v a r i a b l e s o f 0 . T h e n

( i ) ( M , g ) + i f M y s e l f h a s a w i n n i n g s t r a t e g y i n G ( 4 , M , g ) .

( i i ) ( M , g ) - i f N a t u r e h a s a w i n n i n g s t r a t e g y i n G ( 0 , M , g ) .

W e s h a l l n o w d e f i n e b y d o u b l e i n d u c t i o n t w o m a p p i n g s * a n d # ,t h e t r u t h - p r e s e r v i n g a n d t h e f a l s i t y - p r e s e r v i n g m a p p i n g , r e s p e c t i v e -l y , w h i c h m a p f o r m u l a s o f L i n t o f o r m u l a s o f L :

D e f i n i t i o n 3 . T h e m a p p i n g s * a n d # a r e d e f i n e d a s f o l l o w s :

( i ) = 0 ; q 5 # = i 4 , f o r a t o m i c .

( i i ) ( i 0 ) * = ( 4 # ; ( — i 4 ' ) #=

( i i i ) ( 4 v = ( 4 * v v = ( 4 # A

( i v ) ( 4 A = A A , 1 i ) # ( 4 # v( v ) = = V x O # .

( v i ) ( V x O ) * =( V x 4 ) # =

( v i i ) . . x , y 1 . . . . Z k W 1 .

= . . Z k W 1 . . .

Z k W 1 . . . w 1 ) #= . X j 1 . . Y m Z 1 . . W , ç b # .

( v i i i ) . . Z k W 1 . .— G * n , mk , 1 X n Y i .

Y m Z j

X , y 1 . . Y m Z 1 . . .

( i x ) . . y , , , z 1 . ..

— V n , m— k , 2 X 1 . . X , j ' 1 ..

— v * n . m A #— k , 2 . x , , y 1 . . Y m Z 1 .

k k 2 Y m Z 1 .

— v * N , m— k , 2 X 1 . X , j ' 1 . .

. X n Y l . . . Y m Z l . . . Z k ( O O , O l ) ) #= U



2 5 8 A P P E N D I X

A s t r a i g h t f o r w a r d i n d u c t i o n o n t h e c o m p l e x i t y o f 4 ) s h o w s

t h a t

P r o p o s i t i o n 4 . F o r a n y f o r m u l a 4 ) , m o d e l M o f L , a n d a s s i g n m e n t g :

( I ) M y s e l f h s a w i n n i n g s t r a t e g y i n G ( 4 ) , M , g ) i f M y s e l f h a s a w i n -f l i n g s t r a t e g y i n G ( 4 ) * , M , g ) .

( i i ) N a u r e h a s a w i n n i n g s t r a t e g y i n G ( 4 ) , M , g ) i f M y s e l f h a s a w i n -

n i n g s t r a t e g y i n G ( 4 ) # , M , g ) .

C o r o l l a r y . F o r a n y f o r m u l a 4 ) :

( i ) ( M , g ) + i f ( M , g ) +

( i i ) ( M , g ) G T S 4 > — i f ( M , g )

P r o o f : f r o m P r o p o s i t i o n 4 a n d D e f i n i t i o n 1 .

P r o p o s i t i o n 5 . L e t 4 > b e a n a r b i t r a r y I F f i r s t - o r d e r s e n t e n c e . T h e n t h ef o l l o w i n g h o l d s f o r a n y m o d e l M :

( i ) i f M I G T S 4 )

( i i ) M I ' G T S ( i 4 ) )( i i i ) M I G T S ( 4 ) v i f f M I = G T S 4 ) + o r M I r G T S I / , +

( i v ) v a n d( v ) A a n d

( v i ) A ' I ' ) j f f M t r G T S 4 ) o r

P r o o f : ( i ) F r o m t h e C o r o l l a r y a n d D e f i n i t i o n 3 w e h a v eM I ' G T S ( l i f 4 ) ) * ) + i f M t r G T S ( 4 ) # ) + i f

A l l t h e o t h e r c a s e s a r e s i m i l a r .W e k n o w t h a t t h e l a w o f e x c l u d e d m i d d l e f a i l s i n I F f i r s t - o r d e r

l o g i c . T h i s r a i s e s t h e q u e s t i o n — w h a t i s t h e v a l u a t i o n s c h e m a t h a t i ss a t i s f i e d b y t h e B o o l e a n c o n n e c t i v e s i n t h i s l o g i c .

I n o r d e r t o g i v e a n a n s w e r t o t h i s q u e s t i o n , l e tI I 4 ) 1

M d e n o t e t h et r u t h - v a l u e o f t h e L - s e n t e n c e 4 ) i n t h e m o d e l M . P u t t i n g

1 4 > 1 1 M 1 , i f ( H e n c e , b y P r o p o s i t i o n 1 : n o t M I Z G T S 4 ) )

1 4 > 1 1 M 0 , i f M I Z G T S 4 > ( H e n c e , b y P r o p o s i t i o n 1 : n o t M I r G T S 4 > + )

a n d n o t M I G T S 4 )

i t i s e a s y t o c h e c k , u s i n g P r o p o s i t i o n 5 , t h a t t h e B o o l e a n c o n n e c t i v e ss a t i s f y t h e S t r o n g K l e e n e v a l u a t i o n s c h e m a ( c o n j u n c t i o n , a n di m p l i c a t i o n a r e d e f i n e d v i a n e g a t i o n a n d d i s j u n c t i o n i n t h e u s u a l



A P P E N D I X 2 5 9

w a y ) :

4 ) i / i i 4 — i 4 i ( 4 ) A 4 1 ) ( 4 ) — 3 4 , )

1 1 00 1 1 1 1

1 0 0 1 1 0 0 0

1 ? 0 ? 1 ? ?

0 1 1 0 1 0 1 0

0 0 1 1 0 0 1 1

0 ? 1 ? ? 0 1 ?

? 1 ? 0 1 ? 1 ?

? 0? 1 ? 0 ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? R

I t w i l l b e s e e n b e l o w t h a t t h e p a r t i a l l o g i c u s e d b y K r i p k e i n h i s r e s u l ta b o u t t h e d e f i n a b i l i t y o f t r u t h s a t i s f i e s t h e S t r o n g K l e e n e v a l u a t i o ns c h e m a t o o .

2 . I F f i r s t - o r d e r l o g i c a n d t h e d e f i n a b i l i t y o f t r u t h a n d f a l s i t y

I n t h i s s e c t i o n w e s h a l l r e s u m e t h e a r g u m e n t o f C h a p t e r 6 s h o w i n gt h a t a n I F f i r s t - o r d e r l a n g u a g e ( i n t h e s i g n a t u r e o f P e a n o A r i t h m e t i c )a d m i t s o f a t r u t h - p r e d i c a t e i n t h i s l a n g u a g e i t s e l f .

S o l e t t h e s i g n a t u r e S o f t h e l a n g u a g e L b e t h a t o f P e a n oA r i t h m e t i c ( i . e . , S = { 0 , 1 , a n d < } ) .

A c o u p l e o f r e m a r k s a r e i n o r d e r h e r e .A n y f o r m u l a o f t h e f o r m . . . Y m Z 1 . . . Z k ( 4 ) o , 4 ) 1 ) i s d e -

f i n a b l e f r o m . . . . . Z k W 1 . . . w , 4 ) a n d t h e s t a n d a r dq u a n t i f i e r s :

. . . . .

. X n Y i . . . Y m Z 1 . . . Z k W j ( ( W 1 = 0 A v ( w 1 = I A

( A . 2 . 1 )

S o i n t h e s e q u e l w e s h a l l d i s r e g a r d f o r m u l a s . .

Z k ( 4 ) O ,A l s o , w e s h a l l a s s u m e t h a t t h e f o r m u l a s o f L a r e c l o s e d o n l y

w i t h r e s p e c t t o i n s t e a d o f b e i n g c l o s e d w i t hr e s p e c t t o e v e r y . . x , , y 1 . . . Y m Z 1 . . . Z k W I . . . w 1 4 ) . ( c f . o u r r e m a r k sb e l o w ) .

L e t u s f i x a G ö d e l n u m b e r i n g o f L . W e l e t t e 1 b e t h e G ö d e l n u m b e ro f t h e e x p r e s s i o n e . W e s h a l l u s e t h e f o l l o w i n g r e c u r s i v e f u n c t i o n s



2 6 0 A P P E N D I X

a n d r e l a t i o n s ( i n a d d i t i o n t o * , a n d # ) :

c t ( n ) : n i s a c l o s e d t e r m o f L

v ( n ) : t h e v a l u e o f n , i f n i s a c l o s e d t e r m o f Lf m l ( n ) : i i i s a n I F f i r s t - o r d e r f o r m u l a o f Ls t ( n ) : n i s a n I F f i r s t - o r d e r s e n t e n c e o f L

S u b ( m , n , p ) : t h e s u b s t i t u t i o n f u n c t i o n w h o s e v a l u e i s 1 4 ( p ) 1 , i f m i s t h e

G o d e l n u m b e r o f t h e f o r m u l a 4 ( x ) , a n d n i s t h e G ö d e l n u m b e r o f t h e

f r e e v a r i a b l e x ; a n d m o t h e r w i s e ( p i s t h e n u m e r a l c o r r e s p o n d i n g t o p ) ..A

E l - f o r m u l a o v e r L i s a f o r m u l a h a v i n g t h e f o r mw h e r e i 4 ' i s a f i r s t - o r d e r f o r m u l a ( i n t h e v o c a b u l a r y o f L p l u s. 1

t J 1 ' " ' ' i nL e t L ( X ) ( X i s a s e c o n d - o r d e r v a r i a b l e ) b e t h e c o n j u n c t i o n o f t h e

s e n t e n c e s

V x ( s t ( x ) — . ( X ( x ) . - * X ( x * ) ) ) ( A . 2 . 2 )

V x , y ( ( c t ( x ) A c t ( y ) ) — * ( X ( L ( x = y ) 1 ) — * v ( x )

= v ( y ) ) A ( X ( 1 ( x c v ( y ) ) A ( X ( H ( x < y ) 1 ) t - r l v ( x )

< v ( y ) ) A ( X ( ' i ( x = y ) 1 ) ÷ - c i v ( x ) = v ( y ) ) ) ( A . 2 . 3 )

V x , y ( ( s t ( x ) A s t ( y ) ) - . ( X ( t ( x A y ) 1 ) — * X ( x ) A X ( y ) ) ) ( A . 2 . 4 )

V x , y ( ( s t ( x ) A s t ( y ) ) — ÷ ( X Q ( x v y ) 1 ) X ( x ) v X ( y ) ) ) ( A . 2 . 5 )

V y ( ( f 1 ( y ) A — * ( X ( 1 ( V x 1 y 1 ) - + V x X ( S u b ( y , x ) ) ) ) ( A . 2 . 6 )

V y ( ( f 1 ( y ) A — * ( X ( 1 ( 1 x 1 y 1 ) - + 3 x X ( S u b ( y , 1 x 1 1 , x ) ) ) ) ( A . 2 . 7 )

' c l y ( ( f l ( y ) A

J f g V x 1 z 1 X ( S u b ( S u b ( S u b ( S u b ( y , E y 1 ] , f ( x 1 ) ) , g ( z 1 ) ) ,

1 x 1 1 , t ) , 1 z 1 1 , z 1 ) ) ) ) ( A . 2 . 8 )

V y ( ( f I ( y ) A— ÷

— *

J f x 1 V y 1 w 1 X ( S u b ( S u b ( S u b ( S u b ( y , 1 z 1 1 ,

1 y 1 1 , y 1 ) , 1 w 1 1 , w i ) ) ) ( A . 2 . 9 ).R e m a r k . T h e e x p r e s s i o n s ' i ' , ' A ' , ' v ' , ' V ' , ' ] ' , ' G I ' I ' , a n d ' G t ' 1 "o c c u r r i n g w i t h i n t h e c o r n e r s u d o n o t h a v e t h e i r u s u a l m e a n i n g b u ta r e f u n c t i o n s y m b o l s w h i c h n a m e p r i m i t i v e r e c u r s i v e f u n c t i o n s . T h u s



A P P E N D I X 2 6 1

' — i ' d e n o t e s a f u n c t i o n f d e f i n e d b y : f ( n ) = H 4 ) ' , i f n i s t h e G d d e ln u m b e r o f t h e f o r m u l a 4 ) ; a n d n o t h e r w i s e . ' V ' d e n o t e s a b i n a r y

f u n c t i o n , g d e f i n e d b y : g ( n , m ) = t V x 4 ) ' , i f n i s t h e G ö d e l n u m b e r o f t h e

f o r m u l a 4 ) a n d m i s t h e G ö d e l n u m b e r o f t h e v a r i a b l e x ; a n dn o t h e r w i s e . S i m i l a r l y , ' G d ' d e n o t e s a f u n c t i o n h d e f i n e d b y :

i f n i s t h e G ö d e l n u m b e r o f t h ef o r m u l a 4 ) , m i s t h e G d d e l n u m b e r o f t h e v a r i a b l e x 1 , p i s t h e G ö d e l

n u m b e r o f t h e v a r i a b l e y 1 , q i s t h e G ö d e l n u m b e r o f t h e v a r i a b l e z 1 ,a n d m i s t h e G ö d e l n u m b e r o f t h e v a r i a b l e w 1 ; a n d n o t h e r w i s e . T h e

o t h e r c a s e s s h o u l d b e o b v i o u s b y n o w .

P r o p o s i t i o n 1 . L e t 0 ( x ) b e t h e A X ( x ) ) , a n dN t h e s t a n d a r d m o d e l o f L . T h e n f o r e v e r y I F f i r s t - o r d e r f o r m u l a 4 )

( A . 2 . 1 O )

( I n o t h e r w o r d s , 0 ( x ) d e f i n e s e x p l i c i t l y ' t r u t h i n N ' f o r t h e l a n g u a g e L . )

P r o o f o f ( A . 2 . 1 0 ) : A s s u m e a n d , i n o r d e r t o p r o v eA l e t A = 4 ) i s a s e n t e n c e o f L a n d

A n i n d u c t i o n o n t h e c o m p l e x i t y o f 4 ) s h o w s t h a t( N , A ) L ( X ) A X ( 1 4 ) ' ) . I n t h e i n d u c t i o n , i t i s e n o u g h t o c o n s i d e ro n l y t h e c a s e s f o r 4 ) b e i n g i n n e g a t i o n n o r m a l f o r m , s i n c e 4 ) i s i nX o n l y i f 4 ) * i s i n X , a n d 4 ) * i s i n n e g a t i o n n o r m a l f o r m . L e t u sp r o v e t w o c a s e s .

A s s u m e 4 ) i s V x i / i a n d N ) r G T S ( V X 4 , ) + . T h e i n d u c t i v e h y p o t h e s i s i s

I f N I r G T S X + t h e n ( N , A ) I r L ( X ) A ( + )f o r e v e r y s e n t e n c e x o f c o m p l e x i t y l e s s t h a n t h a t o f V x 4 i .

F r o m N I r G T S ( V X 4 , ) + , i t f o l l o w s t h a t A l s o , s i n c e M y s e l fh a s a w i n n i n g s t r a t e g y i n N ) , M y s e l f h a s t o w i n a g a i n s t e v e r ym o v e o f N a t u r e , t h a t i s , M y s e l f h a s a w i n n i n g s t r a t e g y i n e v e r y g a m e

N , n ) , f o r e v e r y n e N . H e n c e ( N , n ) f o r e v e r y n , o re q u i v a l e n t l y , f o r e v e r y n . H e n c e , b y ( + ) , f o r

e v e r y n E N , t h a t i s , ( N ,A s s u m e n o w 4 ) i s a n d

( x 1 y 1 z 1 w 1 ) ) t T h e n f o r e v e r y m p i c k e d u p b y N a t u r e , M y s e l f f i n d sp = f ( m ) , a n d f o r e v e r y n p i c k e d u p b y N a t u r e , M y s e l f f i n d s s( f , a n d g a r e p a r t o f t h e w i n n i n g s t r a t e g y o f M y s e l f i n t h e g a m e ) s u c h

t h a t M y s e l f w i n s t h e g a m e G ( 4 , ( x 1 , y 1 , z 1 , w 1 ) , N , m , p , n , s ) , t h a t i s , ( N ,

r n , p . n , z 1 w 1 ) ) + . E q u i v a l e n t l y , N p , n ,



2 6 2 A P P E N D I X

B y t h e i n d u c t i v e h y p o t h e s i s , A ( ' * ( m , p . n , s ) ' ) , f o r e v e r y q u a d -r u p l e m , p , n , S E N , s u c h t h a t p = f ( m ) , a n d s = g ( n ) . H e n c e

( N , A ) 1 y ' , f ( x i ) ) , 1 w 1 1 , g ( z 1 ) ) ,

x 1 ) , 1 z 1 1 , z 1 ) ) ) ) .

T h e o t h e r c a s e s a r e s i m i l a r .I n t h e o t h e r d i r e c t i o n , a s s u m e N f r ( ] X ) ( L ( X ) A W e p r o v e

b y i n d u c t i o n o n t h e c o m p l e x i t y o f 4 ) t h a t N I Z G T S 4 ) T h e o n l yc o m p l i c a t e d c a s e s a r e f o r 4 ) b e i n g a n d

S u p p o s e 4 ) i s V x t f r . B y o u r a s s u m p t i o n , t h e r e i s a s e t A s u c h t h a t

( N , A ) f r L ( X ) A X ( ' V x * 1 ) ( A . 2 . 1 l )

w h i c h i m p l i e s

( N , A ) b L ( X ) A ( A . 2 . 1 2 )

f o r a l l n e N . H e n c e

A ( A . 2 . 1 3 )

f o r a l l n e N . B y t h e i n d u c t i v e h y p o t h e s i s

( A . 2 . 1 4 )

f o r a l l n e N , t h a t i s , f o r a l l n e N . T h u s M y s e l f h a sa w i n n i n g s t r a t e g y i n e v e r y g a m e G Ø / 4 x ) , N , n ) , f o r a r b i t r a r y n . T h e ni t i s t r i v i a l t o s e e t h a t M y s e l f h a s a w i n n i n g s t r a t e g y i n G ( V x i f r , N ) . F o rl e t N a t u r e c h o o s e a n i n d i v i d u a l n e N a n d t h e g a m e g o o n w i t h

N , n ) . T h e n M y s e l f d o e s n o t n e e d t o d o a n y t h i n g e l s e t h a nf o l l o w h i s w i n n i n g s t r a t e g y i n G Ø f r ( x ) , N , n ) .S u p p o s e n o w t h a t 4 ) i s a n d t h a t

N f r ( R X ) ( L ( X ) A ( A . 2 . 1 5 )

I n a s i m i l a r w a y t o t h e p r e v i o u s c a s e , w e g e t t h a t

( N , A ) f r L ( X ) A E y 1 1 , f ( x 1 ) ) ,

1 w 1 1 , g ( z 1 ) ) , x 1 ) , z 1 ) ) ) ) ( A . 2 . 1 6 )

H e n c e

A X ( 1 i f r ( m , p , i t , s ' ) ( A . 2 . 1 7 )

f o r e v e r y q u a d r u p l e ( m , p , i t , s ) w h i c h i s s u c h t h a t p = f ( m ) , a n ds = g ( n ) , f o r s o m e f u n c t i o n s f a n d g . A s a b o v e , b y t h e i n d u c t i v e



A P P E N D I X 2 6 3

h y p o t h e s i s w e h a v e

p , n , ( e q u i v a l e n t l y ( N , r n , p , n , s )

( A . 2 . 1 8 )

f o r e v e r y q u a d r u p l e ( i n , p , n , s ) s u c h t h a t p = f ( m ) , a n d s = g ( n ) . A g a i n ,

i t i s e a s y t o s e e t h a t M y s e l f h a s a w i n n i n g s t r a t e g y i n

z 1 z 1 N ) . F o r l e t N a t u r e c h o o s e a r b i t r a r y m ; t h e n M y s e l fc h o o s e s p s u c h t h a t p = f ( m ) . T h e n l e t N a t u r e c h o o s e a g a i n , n ;M y s e l f c h o o s e s s s u c h t h a t s = g ( n ) , a n d t h e g a m e g o e s o n w i t h

m , p , n , s ) . I n t h i s g a m e , l e t M y s e l f f o l l o w h i sw i n n i n g s t r a t e g y w h i c h e x i s t s b y ( A . 2 . 1 7 ) .

T h e f o r m u l a 0 ( x ) w h i c h d e f i n e s ' t r u t h i n N ' f o r t h e I F f i r s t - o r d e rl a n g u a g e L ( s t r i c t l y s p e a k i n g , f o r t h e s u b f r a g m e n t o f L c l o s e d w i t hr e s p e c t t o t h e s t a n d a r d q u a n t i f i e r s , t h e B o o l e a n c o n n e c t i v e s a n d

i s a E i - f o r m u l a . H o w e v e r , i t w a s p o i n t e d o u t i nC h a p t e r 6 t h a t e a c h s u c h f o r m u l a i s e q u i v a l e n t t o a n I F f i r s t - o r d e rf o r m u l a . T o s h o w t h a t 0 ( x ) i s e q u i v a l e n t t o a f o r m u l a o f t h e r e l e v a n t

I F f i r s t - o r d e r s u b f r a g m e n t ( i . e . , t h e s u b f r a g m e n t c l o s e d w i t h r e s p e c tt o t h e s t a n d a r d q u a n t i f i e r s , t h e B o o l e a n c o n n e c t i v e s a n dG N x 1 y 1 z 1 w 1 ) o n e n e e d s t h e f o l l o w i n g f u r t h e r o b s e r v a t i o n s .

I n W a l k o e ( 1 9 7 0 ) a n e f f e c t i v e p r o c e d u r e i s g i v e n w h i c h t r a n s l a t e se v e r y E i - f o r m u l a 4 o f a n a r b i t r a r y l a n g u a g e L i n t o a f o r m u l aw h i c h i s l o g i c a l l y e q u i v a l e n t t o s u c h t h a t b e l o n g s t o a l a n g u a g eL * w h i c h e x t e n d s o r d i n a r y f i r s t - o r d e r l o g i c w i t h a l l H e n k i n q u a n t i -

f i e r s ( m o r e e x a c t l y , t h e r e i s a n a d d i t i o n a l c l a u s e s a y i n g t h a t , i f i sa f i r s t - o r d e r f o r m u l a , t h e n Q 4 i s a f o r m u l a o f L * , w h e r e Q i s d e f i n e d

b e l o w ) .

A H e n k i n q u a n t i f i e r Q i s u s u a l l y d e f i n e d a s a t r i p l e Q =( A Q , E Q , D Q ) , w h e r e A Q a n d E Q a r e d i s j o i n t s e t s o f v a r i a b l e s ( u n i v e r s a la n d e x i s t e n t i a l v a r i a b l e s , r e s p e c t i v e l y ) a n d D Q ( t h e d e p e n d e n c yr e l a t i o n ) i s a p a r t i a l o r d e r i n g o n A Q x E Q . I n t u i t i v e l y , i f ( x , y ) E D Qt h e n t h e e x i s t e n t i a l l y q u a n t i f i e d v a r i a b l e y i s i n t h e s c o p e o f t h e

u n i v e r s a l l y q u a n t i f i e d v a r i a b l e x . F o r i n s t a n c e , t h e H e n k i n q u a n t i -f i e r Q = ( { x , z } , { y , w } , { ( x , y ) , ( z , w ) } ) s a y s t h a t t h e q u a n t i f i e r i s i n

t h e s c o p e o f V x , a n d t h a t i s i n t h e s c o p e o f \ f z . T h e i n t e r p r e t a t i o no f a H e n k i n q u a n t i f i e r i s g i v e n t h r o u g h a s e c o n d - o r d e r t r a n s l a t i o n .F o r i n s t a n c e , t h e i n t e r p r e t a t i o n o f Q i s g i v e n b y

Q x y z w ç b ( x , y , z , f ( x ) , z , g ( z ) ) ( A . 2 . 1 9 )



2 6 4 A P P E N D I X

I n K r y n i c k i ( 1 9 9 3 ) i t i s s h o w n t h a t i n m o d e l s w i t h d e f i n a b l e p a i r i n gf u n c t i o n s e v e r y f o r m u l a o f L * i s m a t e r i a l l y e q u i v a l e n t t o a f o r m u l a o ft h e s u b f r a g m e n t o f L * i n w h i c h t h e o n l y H e n k i n q u a n t i f i e r i s Q( f r o m A . 2 . 1 9 ) . O n t h e o t h e r s i d e , Q i s d e f i n a b l e i n I F f i r s t - o r d e rl a n g u a g e , t h a t i s

Q x y z w 4 . ( x , y , z , w ) ( A . 2 . 2 0 )

T h u s , s i n c e N h a s d e f i n a b l e p a i r i n g f u n c t i o n s , w e h a v e s h o w n t h a tt h e f o r m u l a 0 ( x ) i s e q u i v a l e n t i n N w i t h a f o r m u l a o f t h e I F f i r s t -o r d e r l a n g u a g e L . U

3 . P a r t i a l m o d e l s

T h e e a s i e s t w a y t o i n t r o d u c e p a r t i a l m o d e l s i s a s m o d e l s o f a p r o p -o s i t i o n a l l a n g u a g e L c o n s i s t i n g o f a s e t P o f p r i m i t i v e p r o p o s i t i o n a ls y m b o l s T h e s e n t e n c e s o f L a r e b u i l t u p f r o m P u s i n gn e g a t i o n a n d d i s j u n c t i o n i n t h e u s u a l w a y . A p a r t i a l m o d e l M o f L i sa t r i p l e M = ( A , V ) , w h e r e A i s a s u b s e t o f P a n d a n d

d i s j o i n t s u b s e t s o f M . T h e i d e a i s t h a t r e p r e s e n t s t h e t r u es e n t e n c e s o f L , a n d V t h e f a l s e o n e s . F o r S a s e n t e n c e o f L w e u s e

t o m e a n ' S i s t r u e i n A ' , a n d A I Z P M S t o m e a n ' S i s f a l s e i nA ' . T r u t h a n d f a l s i t y o f a s e n t e n c e S i n A a r e d e f i n e d b y i n d u c t i o n i nt h e f o l l o w i n g w a y :

p r i m i t i v e

i f S e V , S p r i m i t i v eM t Z P M ( 1 R ) +

i f

i f M I Z P M R a n d

C o n j u n c t i o n , i m p l i c a t i o n a n d d o u b l e i m p l i c a t i o n a r e d e f i n e d f r o mn e g a t i o n a n d d i s j u n c t i o n i n t h e u s u a l w a y . I t i s e a s y t o b u i l d u pp a r t i a l m o d e l s A o r L i n w h i c h t h e l a w o f e x c l u d e d m i d d l e f a i l s , t h a ti s , w e h a v e n e i t h e r n o r M I P M S e v e n a t t h e l e v e l o f a t o m i cp r o p o s i t i o n a l s y m b o l s .

I n c a s e L i s a f i r s t - o r d e r l a n g u a g e ( c o n t a i n i n g o n l y r e l a t i o n a ls y m b o l s ) , a p a r t i a l m o d e l f o r i t i s d e f i n e d a n a l o g o u s l y . T h a t i s , e a c h



A P P E N D I X 2 6 5

r e l a t i o n a l s y m b o l R i s a s s i g n e d b o t h a n e x t e n s i o n R M + a n da c o u n t e r e x t e n s i o n R M - . T h e i n d u c t i v e d e f i n i t i o n o f s a t i s f a c t i o n ( w i t hr e s p e c t t o a n a s s i g n m e n t ) i s t h e n d e f i n e d a n a l o g o u s l y w i t h t h ep r o p o s i t i o n a l c a s e . T h e n e w c l a u s e s a r e

i f t h e r e i s a n a e d o m ( M ) s u c h t h a t

( M , ( M ,

a f i r s t - o r d e r l a n g u a g e i n a n a r b i t r a r y s i g n a t u r e , a n dN a p a r t i a l m o d e l f o r i t . A g a m e - t h e o r e t i c a l i n t e r p r e t a t i o n f o r L i sa n a l o g o u s t o t h e g a m e - t h e o r e t i c a l i n t e r p r e t a t i o n o n c l a s s i c a l m o d e l s

f o r L . T h e o n l y d i f f e r e n c e i s w i t h a t o m i c f o r m u l a s . T h a t i s , c l a u s e ( i )o f D e f i n i t i o n 1 i n s e c t i o n 1 i s n o w r e p l a c e d b y

( 1 ) c o n t a i n s n o m o v e s . I f t h e nt h e p l a y e r w h o i s t h e v e r i f i e r w i n s G ( R ( t 1 , . . . , t a ) , M , g ) ; I I '

.. t h e n t h e p l a y e r w h o i s t h e f a l s i f i e r w i n s

G ( R ( t 1 , . . . , t a ) , J % 4 , g ) .

T h e c l a u s e f o r i d e n t i t y i s t h e s a m e a s i n t h e c a s e o f c l a s s i c a l m o d e l s .T h e p r o o f o f t h e n e x t p r o p o s i t i o n i s s t r a i g h t f o r w a r d .

P r o p o s i t i o n 1 . F o r a n y f i r s t - o r d e r f o r m u l a o f L , p a r t i a l m o d e l M o fL a n d a s s i g n m e n t g i n M :

i f f ( M , ( * )

i f f ( M ,( * * )

P a r t i a l i t y i n t h e m o d e l s c a n b e c o m b i n e d w i t h p a r t i a l i t y o f i n f o r m a -t i o n , t h a t i s , w e c a n g i v e a g a m e - t h e o r e t i c a l i n t e r p r e t a t i o n f o r a n I Ff i r s t - o r d e r l a n g u a g e L a n d a p a r t i a l m o d e l M o f L . A l l t h e r e l e v a n td e f i n i t i o n s r e m a i n t h e s a m e .

4 . K r i p k e ' s r e s u l t

L e t L b e a f i r s t - o r d e r l a n g u a g e i n t h e s i g n a t u r e o f P e a n o A r i t h m e t i c .W e e n r i c h L w i t h a t r u t h - p r e d i c a t e T r a n d d e n o t e t h e r e s u l t i n gl a n g u a g e b y L t W e e x p a n d t h e c l a s s s i c a l m o d e l N o f L t o a c l a s s i c a lm o d e l ( N , E ) o f ( E i s t h e i n t e r p r e t a t i o n o f T r ) . W e g e t a p a r t i a lm o d e l ( N , ( E , D ) ) o f b y a d d i n g a s e t D d i s j o i n t f r o m E t o b e t h ec o u n t e r e x t e n s i o n o f T r . I n t u i t i v e l y , E i s i n t e n d e d t o c o n s i s t o f t h e



2 6 6 A P P E N D I X

n a m e s ( G ö d e l n u m b e r s ) o f t h e s e n t e n c e s o f w h i c h a r e t r u e i n ( N ,( E , D ) ) , a n d D o f t h o s e s e n t e n c e s ( a n d p o s s i b l y o t h e r i n d i v i d u a l s i n N )

t o w h i c h T r d o e s n o t a p p l y . N o t i c e t h a t i n t h i s p a r t i a l m o d e l , t h ec o u n t e r e x t e n s i o n s o f a l l t h e p r e d i c a t e s y m b o l s , e x c e p t T r , a r e t h e

c o m p l e m e n t s o f t h e r e s p e c t i v e e x t e n s i o n s .T a r s k i ' s c l a s s i c a l r e s u l t i s t h a t w e c a n n o t f i n d a c l a s s i c a l m o d e l

( N , E ) o f s u c h t h a t E i s t h e s e t o f t h e G ö d e l n u m b e r s o f t h es e n t e n c e s o f t r u e i n ( N , E ) .

K r i p k e ' s w e l l - k n o w n r e s u l t i s t h a t w e c a n f i n d a p a r t i a l m o d e lw h i c h h a s t h e a n a l o g o u s p r o p e r t y , t h a t i s , w e c a n f i n d ( E , D ) s u c h

t h a t( N , ( E , D ) ) + i f ( N , ( E , D ) ) + ( A . 4 . 1 )

( N , ( E , D ) ) — i f ( N , ( E , D ) ) I r — ( A . 4 . 2 )

S u c h a n ( E , D ) i s c a l l e d a f i x e d p o i n t f o r T h e e x i s t e n c e o f am i n i m a l f i x e d p o i n t c a n b e p r o v e d b y a s t r a i g h t f o r w a r d t r a n s f i n i t ec o n s t r u c t i o n : W e l e t

= ( N ,

= { n G N : i s t ( n ) } u ( N ,— }

W e t h e n s e t = a n d = B y c a r d i n a l i t y c o n -s i d e r a t i o n s , t h e r e a r e E A a n d D A s u c h t h a t f o r a l l K > = a n d

= D K . T h e p a i r ( E 2 , D 2 ) i s t h e m i n i m a l f i x e d p o i n t .T h e f i x e d p o i n t ( E , D ) f o r K r i p k e ' s f i r s t - o r d e r l a n g u a g e h a s

b e e n a x i o m a t i c a l l y c h a r a c t e r i z e d b y F e f e r m a n ( 1 9 8 4 ) :L e t K F ( T r ) ( K r i p k e — F e f e r m a n a x i o m s ) b e t h e c o n j u n c t i o n o f t h ef o l l o w i n g s e n t e n c e s i n t h e l a n g u a g e

V x ( T r ( x ) ( A . 4 . 3 )

( 4 i s a n a t o m i c s e n t e n c e o f L o r t h e n e g a t i o n o f a n a t o m i c s e n t e n c e

o f L - + 4 ) ) ( A . 4 . 4 )

V x ( c t ( x ) — * 4 — * T r ( x ) ) ) ( A . 4 . 5 )

V x ( c t ( x ) — + T r ( x ) 1 ) 4 - + T r ( H x 1 ) ) ) ( A . 4 . 6 )

V x ' c / y ( ( s t ( x ) A s t ( y ) ) — * ( T r ( t ( x v v T r ( y ) ) ) ) ( A . 4 . 7 )

V x ' c / y ( ( s t ( x ) A v A

( A . 4 . 8 )



A P P E N D I X 2 6 7

V x ( s t ( x ) — + ( T r ( H H ( A . 4 . 9 )

V y ( f l ( y ) A i x ' , x ) ) ) ( A . 4 . 1 O )

V y ( f i ( y ) A s t ( H ( T r ( H y 1 , 1 x 1 , x ) ) )

( A . 4 . 1 1 )

— i A T r ( H x 1 ) ) ( A . 4 . 1 2 )

F e f e r m a n ( 1 9 8 4 ) p r o v e d t h e f o l l o w i n g :

T h e o r e m 1 . L e t E b e a s u b s e t o f N . T h e n t h e c l a s s i c a l m o d e l ( N , E ) i s

a m o d e l o f K F ( T r ) i f f ( N , E , { n o n s e n t e n c e s o f u { ' 4 ' : H 4 ' e E } ) i s

a f i x e d p o i n t f o r L t

5 . G T S a n d p a r t i a l m o d e l s

I t i s t i m e t o r e l a t e o u r r e s u l t o n t h e d e f i n a b i l i t y o f t r u t h t o K r i p k e ' sr e s u l t . B u t f i r s t , i t m i g h t b e i n t e r e s t i n g t o p o i n t o u t t h e s i m i -

l a r i t i e s a n d t h e d i s s i m i l a r i t i e s b e t w e e n t h e t w o k i n d s o f p a r -t i a l i t y .

I n t h e c a s e o f p a r t i a l p r e d i c a t e s ( K r i p k e ) , w e s t a r t w i t h a n e wp r i m i t i v e p r e d i c a t e T r . T h e n w e c a n f i n d a p a r t i a l i n t e r p r e t a t i o n( E , D ) f o r i t s u c h t h a t " t r u t h - i n - ( N , ( E , D ) ) " ( i n t h e s e n s e o f p a r t i a lm o d e l s ) i s d e f i n e d b y T r . I n t h e c a s e o f p a r t i a l i t y o f i n f o r m a t i o n( G T S ) , w e a r e a b l e t o f i n d a f o r m u l a 0 ( x ) w h i c h d e f i n e s " t r u t h - i n - N "( i n t h e s e n s e o f G T S ) .

T h e t r u t h - d e f i n i n g f o r m u l a 0 ( x ) c a n n o t b e r e p l a c e d b y a p r e d i c a t es y m b o l b y t h e s t a n d a r d t e c h n i q u e , t h a t i s , b y m e a n s o f a n e x p l i c i td e f i n i t i o n

( A . 5 . 1 )

b e c a u s e , g i v e n t h e f a c t t h a t 0 ( x ) d o e s n o t s a t i s f y t h e l a w o f e x c l u d e dm i d d l e , t h e p r e d i c a t e S w o u l d h a v e t o b e p a r t i a l l y i n t e r p r e t e d . I f w e

w a n t t o r e d u c e 0 ( x ) t o a p r e d i c a t e , w e t h e n h a v e t o c o m b i n e t h e t w ok i n d s o f p a r t i a l i t y , t h a t i s , t o h a v e a n I F l a n g u a g e w h i c h i s g a m e -t h e o r e t i c a l l y i n t e r p r e t e d , a n d i n a d d i t i o n t o a l l o w f o r t h e p r e d i c a t es y m b o l s o f L t o b e p a r t i a l l y i n t e r p r e t e d . W e i n d i c a t e d a t t h e e n d o fs e c t i o n 3 h o w t h i s c a n b e d o n e .

S o l e t L b e a n I F l a n g u a g e ( i n t h e s i g n a t u r e o f P e a n o A r i t h m e t i c )a n d l e t u s a d d t o i t a p r e d i c a t e s y m b o l T r . W e d e n o t e t h e r e s u l t i n g



2 6 8 A P P E N D I X

l a n g u a g e b y T h e n , b y a t r a n s f i n i t e c o n s t r u c t i o n s i m i l a r t o t h a tf o r p a r t i a l m o d e l s i n t h e p r e c e d i n g s e c t i o n , i t c a n b e s h o w n t h a t t h e r ei s a f i x e d p o i n t ( E , D ) f o r

( N , ( E , D ) ) + i f ( N , ( E , D ) ) + ( A . 5 . 2 )

( N , ( E , D ) ) i f ( N , ( E , D ) ) — ( A . 5 . 3 )

A s y n t a c t i c a l c h a r a c t e r i z a t i o n o f a f i x p o i n t , i n t h e s t y l e o fF e f e r m a n c a n b e o b t a i n e d b y a d d i n g t o t h e K r i p k e — F e f e r m a na x i o m s f r o m t h e p r e c e d i n g s e c t i o n t h e s e n t e n c e s

V y ( ( f l ( y ) A

T r ( S u b ( S u b ( S u b ( S u b ( y , 1 y 1 1 , f ( x 1 , g ( z

x 1 ) , z 1 ) ) ) ) ( A . 5 . 4 )

V y ( ( f l ( y ) A s t ( ' i — + ( T r ( 1 — i

1 T r ( S u b ( S u b ( S u b ( S u b ( H y 1 , t x x j ) ' t z f ( y 1 ) ) ,

Y i ) ' t t i 1 , t 1 ) ) ) ) . ( A . 5 . 5 ).W e d e n o t e t h e r e s u l t b y K F * ( T r ) . W e t h e n h a v e

T h e o r e m 1 . L e t L b e a n I F l a n g u a g e ( i n t h e s i g n a t u r e o f P e a n oA r i t h m e t i c ) , N t h e s t a n d a r d m o d e l o f L , a n d T r a n e w p r e d i c a t es y m b o l . T h e n f o r a n y A d o m ( N ) w e h a v e

( * ) ( N , A ) I K F * ( T r ) i f ( N , A , { n o n s e n t e n c e s } u i s

a f i x e d p o i n t f o r L u { T r } .

P r o o f :L e t K = { n o n s e n t e n c e s o f L u { T r } } u I — i W e a s s u m e

( N , A ) I r K F * ( T r ) , a n d t h e n s h o w b y i n d u c t i o n o n t h e c o m p l e x i t y o f

t h a t ( A , K ) i s a f i x e d p o i n t , t h a t i s

( N , ( A , K ) ) I r G T S 4 + i f ( A . 5 . 6 )

( A . 5 . 7 )

F o r a l l t h e f i r s t - o r d e r c l a u s e s , t h e p r o o f i s i d e n t i c a l w i t h t h a t g i v e nf o r F e f e r m a n f o r p a r t i a l m o d e l s i n t h e f i r s t - o r d e r c a s e . S o i t i s e n o u g ht o c o n s i d e r t h e t w o a d d i t i o n a l c l a u s e s r e l a t e d t o I F l a n g u a g e s .H o w e v e r , i n o r d e r t o m a k e t h e c o n n e c t i o n w i t h t h e p r o o f g i v e n b y



A P P E N D I X 2 6 9

F e f e r m a n m o r e t r a n s p a r e n t , w e s h a l l a l s o r e v i e w t h e c l a u s e f o rn e g a t i o n .

S u p p o s e 4 ) i s — i i / i , a n d ( N , ( A , K ) ) T h e n , b y t h e d e f i n i -t i o n o f a f i x e d p o i n t , H 4 i 1 e A . C o n v e r s e l y , a s s u m e H T h e n b yt h e d e f i n i t i o n o f K , ' i J i 1 e K , a n d b y t h e i n d u c t i v e h y p o t h e s i s ,

H e n c e , b y D e f i n i t i o n 2 ( i ) o f s e c t i o n 1 ,( N , ( A ,

I n o r d e r t o p r o v e ( 7 ) , a s s u m e H e n c e , b yD e f i n i t i o n 2 ( i i ) , ( N , ( A , K ) ) B y t h e i n d u c t i v e h y p o t h e s i s ,

h e n c e ( N , A ) T r ( 1 i / i 1 ) . B y ( 8 ) o f K F ( T r ) , ( N , A ) ( T r ( H H

H e n c e H H i f r " e A , a n d t h u s H T h e c o n v e r s e i s s i m i l a r .S u p p o s e t h a t 4 ) i s G 1 : 1 x 1 y 1 z 1 t 1 4 , a n d a s s u m eT h e n t h e r e a r e f u n c t i o n s f a n d g s u c h t h a t f o r

a l l n a t u r a l n u m b e r s n a n d m : ( N , ( A , K ) ) f ( n ) , m , g ( m ) )

B y t h e i n d u c t i v e h y p o t h e s i s , f ( n ) , m , g ( m ) ) ' € A . W e t h u s s h o w e dt h a t t h e r e a r e f u n c t i o n s f a n d g s u c h t h a t f o r a l l n a n d! n 1 y 1 1 , f ( n ) ) , g ( m ) ) , E x 1 ] , n ) , m ) e A . B u t( N , A ) K F * ( T r ) , h e n c e b y ( A . 5 . 4 ) w e g e t ( N , A ) x 1 y 1 z 1 t 1 4 ) ' ) ,

t h a t i s ,C o n v e r s e l y , a s s u m e E G N x i y i z i t i 4 J I e A . T h e n ( s i n c e A i s t h e

i n t e r p r e t a t i o n o f T r ) ( N , A ) i x 1 y 1 z 1 t 1 i f r ' ) . B u t ( N , A ) s a t i s f i e s

K F * ( T r ) , t h e r e f o r e t h e r e a r e f u n c t i o n s f a n d g s u c h t h a t( N , A ) I r p , n , s ) 1 ) , f o r a l l q u a d r u p l e s ( m , p , n , s ) s u c h t h a t p =

f ( m ) , a n d s = g ( n ) . H e n c e p , n , s ) ' e A . B y t h e i n d u c t i v e h y p o t h -e s i s ( N , ( A , p , n , s ) s u c ht h a t p = f ( m ) , a n d s = g ( n ) . B u t t h e n i t i s e a s y t o s e e t h a t M y s e l f h a sa w i n n i n g s t r a t e g y i n G ( G 1 : ( N , ( A , K ) ) . T h e r e f o r e( N , ( A , T h i s p r o v e s ( A . 5 . 6 ) .

I n o r d e r t o p r o v e ( A . 5 . 7 ) , a s s u m e ( N , ( A , x 1 y 1 z 1 t 1 4 )

T h e n , b y t h e d e f i n i t i o n o f t h e f i x e d p o i n t ,C o n v e r s e l y , a s s u m e T h e n , b y t h e d e f i n i t i o n o f

K , H e n c e ( N , B y

( A . 5 . 5 ) , t h e r e i s a n m a n d a f u n c t i o n f s u c h t h a t f o r a l l p a n d s w e h a v e

( N , A ) T r ( H , j i ( i n , p . f ( p ) , s ) ' ) . H e n c e L - _ i i / i ( m , p . f ( p ) , s ) 1 e A . B y t h ei n d u c t i v e h y p o t h e s i s , ( * ) ( N , ( A , n , s ) . B u t t h e n i t i se a s y t o s e e t h a t N a t u r e h a s a w i n n i n g s t r a t e g y i n G ( G H x 1 y 1 z i t 1 4 i ,( N , ( A , K ) ) ) . I n h i s f i r s t m o v e , l e t N a t u r e c h o o s e a n m a s a b o v e . T h e nf o r a n y a r b i t r a r y c h o i c e p m a d e b y M y s e l f , l e t N a t u r e c h o o s e

W e t h e n k n o w b y ( * ) a b o v e , t h a t f o r w h a t e v e r s c h o s e n b y M y s e l f ,N a t u r e h a s a w i n n i n g s t r a t e g y i n G ( 4 ) , ( N , ( A , K ) , t n , p , n , s ) ) . N



2 7 0 A P P E N D I X

I t i s s t r a i g h t f o r w a r d t o s h o w t h a t , i f ( A , K ) i s a f i x e d p o i n t , t h e n t h ea x i o m s K F * ( T r ) a r e t r u e i n ( N , A ) .

T h e r e s u l t w e r e a c h e d h e r e i s s t r o n g e r t h a n K r i p k e ' s g i v e n t h e f a c t

t h a t t h e p a r t i a l l y i n t e r p r e t e d I F l a n g u a g e s a r e m u c h s t r o n g e r t h a np a r t i a l l y i n t e r p r e t e d f i r s t - o r d e r l a n g u a g e s .

* I a m g r a t e f u l t o J o u k o V ä ä n ä n e n , T a n e l i H u u s k o n e n , a n d K e r k k o L u o s t of o r u s e f u l s u g g e s t i o n s c o n c e r n i n g t h e m a t e r i a l o f t h i s a p p e n d i x .



R e f e r e n c e s

B a l d u s , R i c h a r d , 1 9 2 8 . " Z u r A x i o m a t i k d e r G e o m e t r i e 1 : U b e r H i l b e r t sV o l l s t ä n d i g k e i t s a x i o m , " M a t h e m a t i s c h e A n n a l e n 1 0 0 , 3 2 1 — 3 3 3 .

B a r w i s e , J o n , 1 9 7 9 . " O n B r a n c h i n g Q u a n t i f i e r s i n E n g l i s h , " J o u r n a l o f P h i l o s o p h i c a l

L o g i c 8 , 4 7 — 8 0 .

B a r w i s e , J o n , 1 9 8 5 . " M o d e l - T h e o r e t i c L o g i c s : B a c k g r o u n d a n d A i m s , " i n B a r w i s e

a n d F e f e r m a n 1 9 8 5 , 3 — 2 3 .

B a r w i s e , J o n , a n d S o l o m o n F e f e r m a n ( e d s . ) , 1 9 8 5 . M o d e l - T h e o r e t i c L o g i c s ,S p r i n g e r , N e w Y o r k .

B e n a c e r r a f , P a u l , 1 9 7 3 . " M a t h e m a t i c a l T r u t h , " J o u r n a l o f P h i l o s o p h y 7 0 , 6 6 1 — 6 8 0 ;r e p r i n t e d i n B e n a c e r r a f a n d P u t n a m ( 1 9 8 3 ) , 4 0 3 — 4 2 0 .

B e n a c e r r a f , P a u l , a n d H i l a r y P u t n a m ( e d s . ) , 1 9 6 4 . P h i l o s o p h y o f M a t h e m a t i c s ,P r e n t i c e - H a l l , E n g l e w o o d C l i f f s , N J . S e c o n d e d . 1 9 8 3 , C a m b r i d g e U n i v e r s i t yP r e s s , C a m b r i d g e .

v a n B e n t h e m , J o h a n , a n d A l i c e t e r M e u l e n ( e d s . ) , 1 9 9 6 . H a n d b o o k o f L o g i c a n dL a n g u a g e , E l s e v i e r , A m s t e r d a m .

B l a s s , A n d r e a s , a n d Y u r i G u r e v i c h , 1 9 8 6 . " H e n k i n Q u a n t i f i e r s a n d C o m p l e t eP r o b l e m s , " A n n a l s o f P u r e a n d A p p l i e d L o g i c 3 2 , 1 — 1 6 .

B l u m e n t h a l , O t t o , 1 9 3 5 . " L e b e n s g e s c h i c h t e [ H i l b e r t s ] , " i n H i l b e r t ( 1 9 3 5 ) 3 8 8 — 4 2 9 .

B o l t z m a n n , L u d w i g , 1 9 0 5 . P o p u l d r e S c h r i f t e n , V e r l a g v o n J o h a n n A m b r o s i u sB a e r t h , L e i p z i g .

B o o l o s , G e o r g e , 1 9 7 1 . " T h e I t e r a t i v e C o n c e p t i o n o f S e t , " J o u r n a l o f P h i l o s o p h y 6 8 ,2 1 5 — 2 3 2 . R e p r i n t e d i n B e n a c e r r a f a n d P u t n a m ( 1 9 8 3 ) , 4 8 6 — 5 0 2 .

B o t t a z z i n i , U m b e r t o , 1 9 8 6 . T h e " H i g h e r C a l c u l u s " : A H i s t o r y o f R e a l a n d C o m p l e xA n a l y s i s f r o m E u l e r t o W e i e r s t r a s s , S p r i n g e r , B e r l i n .

B r o u w e r , L . E . J . , 1 9 7 5 . C o l l e c t e d W o r k s I , e d . b y A . H e y t i n g , N o r t h - H o l l a n d ,A m s t e r d a m .

C a r n a p , R u d o l f , 1 9 3 4 . L o g i s c h e S y n t a x d e r S p r a c h e , S p r i n g e r , W i e n .C h o m s k y , N o a m , 1 9 7 7 . E s s a y s o n F o r m a n d I n t e r p r e t a t i o n , N o r t h - H o l l a n d ,

A m s t e r d a m .C h o m s k y , N o a m , 1 9 8 1 . L e c t u r e s o n G o v e r n m e n t a n d B i n d i n g , F o r i s , D o r d r e c h t .

2 7 1



2 7 2 R E F E R E N C E S

C h o m s k y , N o a m , 1 9 8 6 . K n o w l e d g e o f L a n g u a g e , P r a e g e r , N e w Y o r k .C o h e n , P a u l , 1 9 6 6 . S e t T h e o r y a n d t h e C o n t i n u u m H y p o t h e s i s , B e n j a m i n ,

N e w Y o r k .

C u m m i n s , R o b e r t , 1 9 8 9 . M e a n i n g a n d M e n t a l R e p r e s e n t a t i o n , M I T P r e s s ,C a m b r i d g e , M A .D a u b e n , J . W . , 1 9 7 9 . G e o r y C a n t o r : H i s M a t h e m a t i c s a n d P h i l o s o p h y o f t h e I n f i n i t e ,

H a r v a r d U n i v e r s i t y P r e s s , C a m b r i d g e , M A .D a v i d s o n , D o n a l d , 1 9 6 5 . " T h e o r i e s o f M e a n i n g a n d L e a r n a b l e L a n g u a g e s , "

i n Y e h o s h u a B a r - H i l l e l ( e d . ) , L o g i c , M e t h o d o l o g y a n d P h i l o s o p h y o f S c i e n c e ,P r o c e e d i n g s o f t h e 1 9 6 4 I n t e r n a t i o n a l C o n g r e s s , N o r t h - H o l l a n d , A m s t e r d a m ,3 8 3 — 3 9 4 .

D a w a r , A n u j , a n d L a u r i H e l l a , f o r t h c o m i n g . " T h e E x p r e s s i v e P o w e r o f F i n i t e l y

M a n y G e n e r a l i z e d Q u a n t i f i e r s . "D e v l i n , K e i t h , 1 9 8 4 . C o n s t r u c t i b i l i t y , S p r i n g e r , N e w Y o r k .

D u m m e t t , M i c h a e l , 1 9 7 7 . E l e m e n t s o f I n t u i t i o n i s m , C l a r e n d o n P r e s s , O x f o r d .D u m m e t t , M i c h a e l , 1 9 7 8 . T r u t h a n d O t h e r E n i g m a s , D u c k w o r t h , L o n d o n .D u m m e t t , M i c h a e l , 1 9 9 1 . T h e L o g i c a l B a s i s o f M e t a p h y s i c s , H a r v a r d U n i v e r s i t y

P r e s s , C a m b r i d g e , M A .D u m m e t t , M i c h a e l , 1 9 9 3 . T h e S e a s o f L a n g u a g e , C l a r e n d o n P r e s s , O x f o r d .E a s t o n , W . B . , 1 9 6 4 . P o w e r s o f R e g u l a r C a r d i n a l s , P h . D . D i s s e r t a t i o n , P r i n c e t o n

U n i v e r s i t y .

E b b i n g h a u s , H . D . , J . F l u m a n d W . T h o m a s , 1 9 8 4 . M a t h e m a t i c a l L o g i c , S p r i n g e r ,N e w Y o r k .

E k e l a n d , I v a r , 1 9 8 8 . M a t h e m a t i c s a n d t h e U n e x p e c t e d , U n i v e r s i t y o f C h i c a g o P r e s s ,

C h i c a g o .E n d e r t o n , H . B . , 1 9 7 0 . " F i n i t e P a r t i a l l y O r d e r e d Q u a n t i f i e r s , "

M a t h e m a t i s c h e L o g i k u n d G r u n d l a g e n d e r M a t h e m a t i k 1 6 , 3 9 3 — 3 9 7 .E n g d a h l , E l i s a b e t h , 1 9 8 6 . C o n s t i t u e n t Q u e s t i o n s , D . R e i d e i , D o r d r e c h t .E r d ö s , P . , A . H a j n a l , A . M a t e , a n d R . R a d o , 1 9 8 4 . C o m b i n a t o r i a l S e t T h e o r y : P a r t i a l

R e l a t i o n s f o r C a r d i n a l s , N o r t h - H o l l a n d , A m s t e r d a m .

E u l e r , L e o n h a r d , 1 9 8 8 . I n t r o d u c t i o n t o A n a l y s i s o f t h e I n f i n i t e I , t r a n s l a t e d b y J o h nD . B l a n t o n , S p r i n g e r , B e r l i n . ( O r i g i n a l 1 7 4 8 . )

F e f e r m a n , S o l o m o n , 1 9 8 4 . " T o w a r d s u s e f u l T y p e - F r e e T h e o r i e s , I , " J o u r n a l o fS y m b o l i c L o g i c 4 9 , 7 5 — 1 1 1 .

F e f e r m a n , S o l o m o n , 1 9 9 3 . " W h a t R e s t s o n W h a t ? T h e P r o o f - T h e o r e t i c A n a l y s i s o fM a t h e m a t i c s , " i n J . C z e r m a k ( e d . ) , P h i l o s o p h y o f M a t h e m a t i c s : P r o c e e d i n g s o f t h e

1 5 t h I n t e r n a t i o n a l W i t t g e n s t e i n S y m p o s i u m . H ö l d e r — P i c h l e r - - - T e m p s k y , V i e n n a ,

p p . 1 4 7 — 1 7 1 .F e i g n e r , U l r i c h , 1 9 7 1 . " C o m p a r i s o n o f t h e A x i o m s o f L o g i c a l a n d U n i v e r s a l

C h o i c e , " F u n d a m e n t a M a t h e m a t i c a e 7 1 , 4 3 — 6 2 .F e n s t a d , J e n s — E r i k , 1 9 7 1 . " T h e A x i o m o f D e t e r m i n a t e n e s s , " i n J . - E . F e n s t a d ( e d . ) ,

P r o c e e d i n g s o f t h e S e c o n d S c a n d i n a v i a n L o g i c S y m p o s i u m , N o r t h - H o l l a n d ,A m s t e r d a m .

F e n s t a d , J e n s - E r i k , 1 9 9 6 . " P a r t i a l i t y , " i n v a n B e n t h e m a n d t e r M e u l e n , 1 9 9 6 .F e r n á n d e z M o r e n o , L u i s , 1 9 9 2 . W a h r h e i t u n d K o r r e s p o n d e n z b e i T a r s k i ,

K o n i g s h a u s e n & N e u m a n n , W ü r z b u r g .F i n e , T e r r e n c e L . , 1 9 7 3 . T h e o r i e s o f P r o b a b i l i t y , A c a d e m i c P r e s s , N e w Y o r k .



R E F E R E N C E S 2 7 3

F r e g e , G o t t l o b , 1 8 7 9 . e i n e d e r a r i t m e t i s c h e n n a c h g e b i l d e t e F o r m e l -s p r a c h e d e s r e i n e n D e n k e n s , N e b e r t , H a l l e .

F r e g e , G o t t l o b , 1 9 8 0 . P h i l o s o p h i c a l a n d M a t h e m a t i c a l C o r r e s p o n d e n c e , B a s i l

B l a c k w e l l , O x f o r d .F r e u d e n t h a l , H a n s , 1 9 5 7 . " Z u r G e s c h i c h t e d e r G r u n d l a g e n d e r G e o m e t r i e , " N i e u w

A r c h i e f v o o r W i s k u n d e 5 , 1 0 5 — 1 4 2 .G a i f m a n , H a i m , 1 9 7 5 . " G l o b a l a n d L o c a l C h o i c e F u n c t i o n s , " I s r a e l J o u r n a l o f

M a t h e m a t i c s 2 2 , 2 5 7 — 2 6 5 .

G ö d e l , K u r t , 1 9 3 0 . " D i e V o l l s t ä n d i g k e i t d e r A x i o m e d e s l o g i s c h e n F u n k t i o n e n -k a l k ü l s , " M o n a t s h e f t e f ü r M a t h e m a t i k u n d P h y s i k 3 7 , 3 4 0 — 3 6 0 ; r e p r i n t e d i nE n g l i s h t r a n s l a t i o n i n G ö d e l 1 9 8 6 , 1 0 2 — 1 2 3 ( s e e a l s o 4 4 — 1 0 1 ) .

G ö d e l , K u r t , 1 9 3 1 . " U b e r f o r m a l u n e n t s c h e i d b a r e S ä t z e d e r P r i n c i p i a M a t h e m a t i c a

u n d v e r w a n d t e r S y s t e m e 1 , " M o n a t s h e f t e f ü r M a t h e m a t i k u n d P h y s i k 3 8 , 1 7 3 —1 9 8 ; r e p r i n t e d i n E n g l i s h t r a n s l a t i o n i n G ö d e l 1 9 8 6 , 1 4 4 — 1 9 5 .

G ö d e l , K u r t , 1 9 4 0 . T h e C o n s i s t e n c y o f t h e A x i o m o f C h o i c e a n d o f t h e G e n e r a l i z e dC o n t i n u u m H y p o t h e s i s ( A n n a l s o f M a t h e m a t i c a l S t u d i e s 3 ) , P r i n c e t o n U n i v e r s i t yP r e s s , P r i n c e t o n .

G ö d e l , K u r t , 1 9 4 7 . " W h a t I s C a n t o r ' s C o n t i n u u m P r o b l e m ? " A m e r i c a n M a t h e m a t -

i c a l M o n t h l y 5 4 , 5 1 5 — 5 2 5 . R e p r i n t e d i n a n e x p a n d e d f o r m i n B e n a c e r r a f a n dP u t n a m ( 1 9 8 3 ) , 4 7 0 — 4 8 5 .

G ö d e l , K u r t , 1 9 5 8 . " U b e r e i n e b i s h e r n o c h n i c h t b e n ü t z t e E r w e i t e r u n g d e s f i n i t e n

S t a n d p u n k t e s , " D i a l e c t i c a 1 2 , 2 8 0 — 2 8 7 ; r e p r i n t e d i n E n g l i s h t r a n s l a t i o n i n G o d e l1 9 9 0 , 2 4 1 — 2 5 1 .

G o d e l , K u r t , 1 9 8 6 . C o l l e c t e d W o r k s , v o l . 1 , O x f o r d U n i v e r s i t y P r e s s , N e w Y o r k .

G ö d e l , K u r t , 1 9 9 0 . C o l l e c t e d W o r k s , v o l . 2 , O x f o r d U n i v e r s i t y P r e s s , N e w Y o r k .

G o l d f a r b , W a r r e n , 1 9 7 9 . " L o g i c i n t h e T w e n t i e s : T h e N a t u r e o f t h e Q u a n t i f i e r , " T h e

J o u r n a l o f S y m b o l i c L o g i c 4 4 , 3 5 1 — 3 6 8 .

G o l d f a r b , W a r r e n , 1 9 8 9 . " R u s s e l l ' s R e a s o n s f o r R a m i f i c a t i o n , " i n C . W a d e S a v a g ea n d C . A n t h o n y A n d e r s o n ( e d s . ) , R e r e a d i n g R u s s e l l ( M i n n e s o t a S t u d i e s i n

P h i l o s o p h y o f S c i e n c e 1 2 ) , U n i v e r s i t y o f M i n n e s o t a P r e s s , M i n n e a p o l i s , 2 4 — 4 0 .

G r a b i n e r , J u d i t h V . , 1 9 8 1 . T h e O r i g i n s o f C a u c h y ' s R i g o r o u s C a l c u l u s , M I T P r e s s ,C a m b r i d g e .

G r a h a m , R o n a l d L . , B r u c e L . R o t s c h i l d , a n d J o e l H . S p e n c e r , 1 9 9 0 . R a m s e y T h e o r y ,2 n d e d . , J o h n W i l e y & S o n s , N e w Y o r k .

G r a h a m , R o n a l d L . , a n d J o e l H . S p e n c e r , 1 9 9 0 . " R a m s e y T h e o r y , " S c i e n t i f i cA m e r i c a n 2 6 2 , n o . 1 ( J u l y 1 9 9 0 ) , 1 1 2 — 1 1 7 .

H a l l e t t , M i c h a e l , 1 9 8 4 . C a n t o r i a n S e t T h e o r y a n d L i m i t a t i o n o f S i z e , C l a r e n d o nP r e s s , O x f o r d .

H e i m , I r e n e R . , 1 9 8 2 . T h e S e m a n t i c s o f D e f i n i t e a n d I n d e f i n i t e N o u n P h r a s e s ,

D i s s e r t a t i o n a t t h e U n i v e r s i t y o f M a s s a c h u s e t t s , A m h e r s t , M A .H e n k i n , L e o n , 1 9 5 0 . " C o m p l e t e n e s s i n t h e T h e o r y o f T y p e s , " J o u r n a l o f S y m b o l i cL o g i c 1 5 , 8 1 — 9 1 .

H e n k i n , L e o n , 1 9 6 1 . " S o m e R e m a r k s o n I n f i n i t e l y L o n g F o r m u l a s ; ' i n ( n o e d i t o rg i v e n ) I n j i n i t i s t i c M e t h o d s , P e r g a m o n P r e s s , O x f o r d , 1 6 7 — 1 8 3 .

H e y t i n g , A r e n d , 1 9 3 1 . " D i e i n t u i t i o n i s t i s c h e G r u n d l e g u n g d e r M a t h e m a t i k , " E r k e n -n t n i s 2 , 1 0 6 — 1 1 5 ; E n g l i s h t r a n s l a t i o n i n B e n a c e r r a f a n d P u t n a m , 1 9 8 3 , 5 2 — 6 1 .

H e y t i n g , A r e n d , 1 9 5 6 . I n t u i t i o n i s m : A n I n t r o d u c t i o n , N o r t h - H o l l a n d , A m s t e r d a m .




H u b e r t , D a v i d , 1 8 9 9 . " G r u n d l a g e n d e r G e o m e t r i e , " i n B . G . T e u b n e r ( e d . ) , F e s -z u r F r e i e r d e r E n t h ü l l u n g d e s G a u s s - W e b e r D e n k m a l s i n G o t t i n g e n ,

L e i p z i g , p p . 3 — 9 2 .

H u b e r t , D a v i d , 1 9 0 0 . " U b e r d e n Z a h i b e g r i f f , " J a h r e s b e r i c h t d e s D e u t s c h e nM a t h e m a t i k e r V e r e i n i g u n g 8 , 1 8 0 — 1 8 4 .

H u b e r t , D a v i d , 1 9 1 8 . " A x i o m a t i s c h e s D e n k e n , " M a t h e m a t i s c h e A n n a l e n 7 8 , 4 0 5 —4 1 5 .

H u b e r t , D a v i d , 1 9 2 2 . " N e u b e g r u n d u n g d e r M a t h e m a t i k . E r s t e M i t t e i l u n g , " A b h a n -

d l u n g e n a u s d e m M a t h e m a t i s c h e n S e m i n a r d e r H a m b u r g U n i v e r s i t ä t 1 , 1 5 7 — 1 7 7 .

H u b e r t , D a v i d , 1 9 2 5 . " U b e r d a s U n e n d l i c h e , " M a t h e m a t i s c h e A n n a l e n 9 5 , 1 6 1 — 1 9 0 .

E n g l i s h t r a n s l a t i o n i n B e n a c e r r a f a n d P u t n a m 1 9 8 3 , 1 8 3 — 2 0 1 .H i l b e r t , D a v i d , 1 9 3 5 . G e s a m m e l t e A b h a n d l u n g e n 3 , S p r i n g e r , B e r l i n .

H i l b e r t , D a v i d , a n d W . A c k e r m a n n , 1 9 2 8 . G r u n d z ü g e d e r t h e o r e t i s c h e n L o g i k ,S p r i n g e r , B e r l i n .

H i l p i n e n , R i s t o , 1 9 8 3 . " O n C . S . P e i r c e ' s T h e o r y o f t h e P r o p o s i t i o n : P e i r c e a sa P r e c u r s o r o f G a m e - T h e o r e t i c a l S e m a n t i c s , " i n E u g e n e F r e e m a n , ( e d . ) , T h eR e l e v a n c e o f C h a r l e s P e i r c e , T h e H e g e l e r I n s t i t u t e , L a S a l l e , I l l i n o i s , 2 6 4 — 2 7 0 .

H i n t i k k a , J a a k k o , 1 9 7 3 . L o g i c , L a n g u a g e - G a m e s a n d I n f o r m a t i o n : K a n t i a n T h e m e si n t h e P h i l o s o p h y o f L o g i c , C l a r e n d o n P r e s s , O x f o r d .

H i n t i k k a , J a a k k o , 1 9 7 4 . " Q u a n t i f i e r s v s . Q u a n t i f i c a t i o n T h e o r y , " L i n g u i s t i c I n q u i r y5 , 1 5 3 — 1 7 7 ,

H i n t i k k a , J a a k k o , 1 9 7 5 . " I m p o s s i b l e P o s s i b l e W o r l d s V i n d i c a t e d , " J o u r n a l o fP h i l o s o p h i c a l L o g i c 4 , 4 7 5 — 4 8 4 .

H i n t i k k a , J a a k k o , 1 9 7 6 a . " Q u a n t i f i e r s i n L o g i c a n d Q u a n t i f i e r s i n N a t u r a lL a n g u a g e s , " i n S t e p h a n K ö r n e r ( e d . ) , P h i l o s o p h y o f L o g i c , B a s i l B l a c k w e l l ,O x f o r d .

H i n t i k k a , J a a k k o , 1 9 7 6 b . " T h e P r o s p e c t s o f C o n v e n t i o n T , " D i a l e c t i c a 3 0 , 6 1 — 6 3 .H i n t i k k a , J a a k k o , 1 9 7 9 . " Q u a n t i f i e r s i n N a t u r a l L a n g u a g e s . " I n S a a r i n e n ( 1 9 7 9 ) ,

8 1 — 1 1 7 .

H i n t i k k a , J a a k k o , 1 9 8 5 , " A S p e c t r u m o f L o g i c s f o r Q u e s t i o n i n g , " P h i l o s o p h i c a 3 5 ,

1 3 5 — 1 5 0 .H i n t i k k a , J a a k k o , 1 9 8 7 . " G a m e - T h e o r e t i c a l S e m a n t i c s a s a S y n t h e s i s o f T r u t h -

C o n d i t i o n a l a n d V e r i f i c a t i o n i s t T h e o r i e s o f M e a n i n g , " i n E r n e s t L e P o r e ( e d . ) ,N e w D i r e c t i o n s i n S e m a n t i c s , A c a d e m i c P r e s s , L o n d o n .

H i n t i k k a , J a a k k o , 1 9 8 8 a . " W h a t I s t h e L o g i c o f E x p e r i m e n t a l I n q u i r y ? " S y n t h e s e7 4 , 1 7 3 — 1 9 0 .

H i n t i k k a , J a a k k o , 1 9 8 8 b . " O n t h e D e v e l o p m e n t o f t h e M o d e l - T h e o r e t i c a l V i e w -p o i n t i n L o g i c a l T h e o r y , " S y n t h e s e 7 7 , 1 — 3 6 .

H i n t i k k a , J a a k k o , 1 9 8 8 c . " M o d e l M i n i m i z a t i o n — A n A l t e r n a t i v e t o C i r c u m s c r i p -

t i o n , " J o u r n a l o f A u t o m a t e d R e a s o n i n g 4 , 1 — 1 3 .H i n t i k k a , J a a k k o , 1 9 8 9 . " L o g i c a l F o r m a n d L i n g u i s t i c T h e o r y , " i n A l e x G e o r g e

( e d . ) , R e f l e c t i o n s o n C h o m s k y , B a s i l B l a c k w e l l , O x f o r d , 4 1 — 5 7 .

H i n t i k k a , J a a k k o , 1 9 9 0 . " P a r a d i g m s f o r L a n g u a g e T h e o r y , " A c t a P h i l o s o p h i c aF e n n i c a 4 9 , 1 8 1 — 2 0 9 .

H i n t i k k a , J a a k k o , 1 9 9 2 . " D i f f e r e n t C o n s t r u c t i o n s i n T e r m s o f ' K n o w s ' " , i n

J o n a t h a n D a n c y a n d E r n e s t S o s a , e d s . , A C o m p a n i o n t o E p i s t e m o l o g y , B a s i lB l a c k w e l l , O x f o r d , 9 9 — 1 0 4 .




H i n t i k k a , J a a k k o , 1 9 9 3 a . " N e w F o u n d a t i o n s f o r M a t h e m a t i c a l T h e o r i e s , " i nJ . O i k k o n e n a n d J . V ä ä n ä n e n , e d s . , L o g i c C o l l o q u i u m ' 9 0 ( L e c t u r e N o t e s i nL o g i c 2 ) , S p r i n g e r , B e r l i n , 1 2 2 — 1 4 4 .

H i n t i k k a , J a a k k o , 1 9 9 3 b . " T h e O r i g i n a l S i n n o f W i t t g e n s t e i n ' s P h i l o s o p h y o fM a t h e m a t i c s , " i n K l a u s P u h i ( e d . ) , W i t t g e n s t e i n ' s P h i l o s o p h y o f M a t h e m a t i c s ,H o l d e r — P i c h l e r - - T e m p s k y , V i e n n a , 2 4 — 5 1 .

H i n t i k k a , J a a k k o , 1 9 9 3 c . " G ö d e l ' s F u n c t i o n a l I n t e r p r e t a t i o n i n a W i d e r P e r s p e c -t i v e , " i n H . - D . S c h w a b l ( e d . ) , Y e a r b o o k 1 9 9 1 o f t h e K u r t G ö d e l S o c i e t y , V i e n n a ,

5 — 3 9 .

H i n t i k k a , J a a k k o , 1 9 9 5 a . " T h e S t a n d a r d v s . N o n s t a n d a r d D i s t i n c t i o n : A W a t e r -s h e d i n t h e F o u n d a t i o n s o f M a t h e m a t i c s . " i n J a a k k o H i n t i k k a ( e d . ) , F r o mD e d e k i n d t o G ö d e l , K l u w e r A c a d e m i c , D o r d r e c h t , 2 1 — 4 4 .

H i n t i k k a , J a a k k o , 1 9 9 5 b . " W h a t I s E l e m e n t a r y L o g i c ? I n d e p e n d e n c e - F r i e n d l yL o g i c a s t h e T r u e C o r e A r c o f L o g i c , " i n K o s t a s G a v r o g t u e t a t . ( e d s . ) , P h y s i c s ,P h i l o s o p h y , a n d t h e C o m m u n i t y , K l u w e r A c a d e m i c , D o r d r e c h t ,3 0 1 — 3 2 6 .

H i n t i k k a , J a a k k o , 1 9 9 6 . " H i l b e r t V i n d i c a t e d ? " S y n t h e s e ( f o r t h c o m i n g ) .H i n t i k k a , J a a k k o , a n d J a c k K u l a s , 1 9 8 3 . T h e G a m e o f L a n g u a g e , D . R e i d e l ,

D o r d r e c h t .H i n t i k k a , J a a k k o , a n d J a c k K u l a s , 1 9 8 5 . A n a p h o r a a n d D e f i n i t e D e s c r i p t i o n s : T w o

A p p l i c a t i o n s o f G a m e - T h e o r e t i c a l S e m a n t i c s , D . R e i d e l , D o r d r e c h t .

H i n t i k k a , J a a k k o , a n d V e i k k o R á n t a l a , 1 9 7 6 . " A N e w A p p r o a c h t o I n f i n i t a r yL a n g u a g e s , " A n n a l s o f M a t h e m a t i c a l L o g i c , 1 0 , 9 5 — 1 1 5 .

H i n t i k k a , J a a k k o , a n d U n t o R e m e s , 1 9 7 4 . T h e M e t h o d o f A n a l y s i s , D . R e i d e l ,D o r d r e c h t .

H i n t i k k a , J a a k k o , a n d G a b r i e l S a n d u , 1 9 9 1 . O n t h e M e t h o d o l o g y o f L i n g u i s t i c s :A C a s e S t u d y , B a s i l B l a c k w e l l , O x f o r d .

H i n t i k k a , J a a k k o , a n d G a b r i e l S a n d u , 1 9 9 4 . " W h a t I s a Q u a n t i f i e r ? , " S y n t h e s e 9 8 ,1 1 3 — 1 2 9 .

H i n t i k k a , J a a k k o , a n d G a b r i e l S a n d u , 1 9 9 5 . " W h a t I s t h e L o g i c o f P a r a l l e l

P r o c e s s i n g ? " I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f F o u n d a t i o n s o f C o m p u t e r S c i e n c e , 6 ,2 7 — 4 9 .

H i n t i k k a , J a a k k o , a n d G a b r i e l S a n d u , 1 9 9 6 . " G a m e - t h e o r e t i c a l S e m a n t i c s , " i n v a nB e n t h e m a n d t e r M e u l e n , 1 9 9 6 .

H i n t i k k a , M e r r i l l B . , a n d J a a k k o H i n t i k k a , 1 9 8 6 , I n v e s t i g a t i n g H 4 t t g e n s t e i n , B a s i lB l a c k w e l l , O x f o r d .

H o r n , L a u r e n c e R . , 1 9 8 9 . A N a t u r a l H i s t o r y o f N e g a t i o n , U n i v e r s i t y o f C h i c a g oP r e s s .

H u g h e s , R . I . G . , 1 9 8 9 . T h e S t r u c t u r e a n d I n t e r p r e t a t i o n o f Q u a n t u m M e c h a n i c s ,

H a r v a r d U n i v e r s i t y P r e s s , C a m b r i d g e , M A .J a c k e n d o f f , R a y S . , 1 9 7 2 . S e m a n t i c I n t e r p r e t a t i o n i n G e n e r a t i v e G r a m m a r , M I TP r e s s , C a m b r i d g e , M A .

J e r o s l o w , R . G . , 1 9 7 3 . " R e d u n d a n c i e s i n t h e H i l b e r t - B e r n a y s D e r i v a b i l i t y C o n d i -t i o n s f o r G ö d e l ' s S e c o n d I n c o m p l e t e n e s s T h e o r e m , " T h e J o u r n a l o f S y m b o l i cL o g i c 3 8 , 3 5 9 — 3 6 7 .

J o n e s , J a m e s P . , 1 9 7 4 . " R e c u r s i v e U n d e c i d a b i l i t y — A n E x p o s i t i o n , " T h e A m e r i c a n

M a t h e m a t i c a l M o n t h l y 8 1 , 7 2 4 — 7 3 8 .




K a n a m o r i , A k i h i r o , 1 9 9 4 . T h e H i g h e r I n f i n i t e , S p r i n g e r - V e r l a g , B e r l i n .K a n a m o r i , A k i h i r o , a n d M . M a g i d o r , 1 9 7 8 . " T h e E v o l u t i o n o f L a r g e C a r d i n a l

A x i o m s i n S e t T h e o r y , " i n G . H . M u l l e r a n d D a n a S c o t t ( e d s . ) , H i g h e r S e t T h e o r y

( L e c t u r e N o t e s i n M a t h e m a t i c s 6 9 9 ) , S p r i n g e r , N e w Y o r k , 9 9 — 2 7 5 .K e e n a n , E d w a r d , a n d D a g W e s t e r s t a h l , 1 9 9 6 . " G e n e r a l i z e d Q u a n t i f i e r s , " i n v a n

B e n t h e m a n d t e r M e u l e n , 1 9 9 6 .K l e e n e , S t e p h e n C . , 1 9 5 2 . I n t r o d u c t i o n t o M e t a m a t h e m a t i c s , V a n N o s t r a n d , N e w

Y o r k .K l e i n b e r g , E u g e n e M . , 1 9 7 7 . I n f i n i t a r y C o m b i n a t o r i c s a n d t h e A x i o m o f D e t e r m i n a t e -

n e s s ( L e c t u r e N o t e s i n M a t h e m a t i c s 6 1 2 ) , S p r i n g e r , B e r l i n .K r e i s e l , G e o r g , 1 9 5 3 . " A N o t e o n A r i t h m e t i c M o d e l s f o r C o n s i s t e n t F o r m u l a e o f t h e

P r e d i c a t e C a l c u l u s I I , " i n t h e P r o c e e d i n g s o f t h e X I I n t e r n a t i o n a l C o n g r e s s o f

P h i l o s o p h y 1 4 , A m s t e r d a m & L o u v a i n , 3 7 — 4 7 .K r i p k e , S a u l , 1 9 7 5 . " O u t l i n e o f a T h e o r y o f T r u t h , " J o u r n a l o f P h i l o s o p h y 7 2 ,

6 9 0 — 7 1 6 ; r e p r i n t e d i n M a r t i n 1 9 8 4 , 5 3 — 8 1 .

K r y n i c k i , M i c h a e l , 1 9 9 3 . " H i e r a r c h i e s o f P a r t i a l l y O r d e r e d C o n n e c t i v e s a n d Q u a n -t i f i e r s , " M a t h e m a t i c a l L o g i c Q u a r t e r l y 3 9 , 2 8 7 — 2 9 4 .

K r y n i c k i , M i c h a e l , a n d J o u k o V ä ä n ä n e n , 1 9 8 9 . " H e n k i n a n d F u n c t i o n Q u a n t i -f i e r s , " A n n a l s o f P u r e a n d A p p l i e d L o g i c 4 3 , 2 7 3 — 2 9 2 .

K u n e n , K e n n e t h , 1 9 8 0 . S e t T h e o r y : A n I n t r o d u c t i o n t o I n d e p e n d e n c e P r o o f s ,N o r t h - H o l l a n d , A m s t e r d a m .

K u s c h , M a r t i n , 1 9 8 9 . L a n g u a g e a s t h e U n i v e r s a l M e d i u m v s . L o g i c a s C a l c u l u s :A S t u d y o f H u s s e r l , H e i d e g g e r a n d G a d a m e r , K i u w e r , D o r d r e c h t .

L i n d s t r ö m , P e r , 1 9 6 9 . " O n E x t e n s i o n s o f E l e m e n t a r y L o g i c , " T h e o r i a 3 5 , 1 — i l .L o v e j o y , A . 0 . , 1 9 3 6 . T h e G r e a t C h a i n o f B e i n g , H a r v a r d U n i v e r s i t y P r e s s ,

C a m b r i d g e , M A .M a n c o s u , P a o l o , 1 9 9 1 . " O n t h e S t a t u s o f P r o o f s b y C o n t r a d i c t i o n i n t h e S e v e n -

t e e n t h C e n t u r y , " S y n t h e s e 8 8 , 1 5 — 4 1 .

M a r t i n , R o b e r t L . ( e d . ) , 1 9 7 8 . T h e P a r a d o x o f t h e L i a r , R i d g e v i e w , A t a s c a d e r o , C A .

M a r t i n , R o b e r t L . ( e d . ) , 1 9 8 4 . R e c e n t E s s a y s o n T r u t h a n d t h e L i a r P a r a d o x ,

C l a r e n d o n P r e s s , O x f o r d .M a r t i n — L ö f , P e r , 1 9 6 6 . " T h e D e f i n i t i o n o f R a n d o m S e q u e n c e s , " I n f o r m a t i o n a n d

C o n t r o l 6 , 6 0 2 — 6 1 9 .

M a r t i n — L ö f , P e r , 1 9 7 0 . " O n t h e N o t i o n o f R a n d o m n e s s s , " i n A . K i n o , J . M y h i l l , a n d

R . E . V e s l e y ( e d s . ) , I n t u i t i o n i s m a n d P r o o f T h e o r y , N o r t h - H o l l a n d , A m s t e r d a m ,7 3 — 7 8 ,

M a r t i n — L ö f , P e r , 1 9 8 4 . I n t u i t i o n i s t i c T y p e T h e o r y , B i b l i o p o l i s , N a p o l i .M a t i y a s e v i c h , Y u r i V . , 1 9 9 3 . H u b e r t ' s T e n t h P r o b l e m , M I T P r e s s , C a m b r i d g e ,

M A .

M c G e e , V a n n , 1 9 9 1 . T r u t h , V a g u e n e s s a n d P a r a d o x , H a c k e t t , I n d i a n a p o l i s .M e n d e l s o n , E l l i o t t , 1 9 8 7 . I n t r o d u c t i o n t o M a t h e m a t i c a l L o g i c , 3 r d e d . , W a d s w o r t h

& B r o o k s / C o l e , M o n t e r e y , C A .M o o r e , G r e g o r y H . , 1 9 8 2 . Z e r m e l o ' s A x i o m o f C h o i c e , S p r i n g e r , B e r l i n .M o o r e , G r e g o r y H . , 1 9 8 8 . " T h e E m e r g e n c e o f F i r s t - O r d e r L o g i c , " i n W i l l i a m

A s p r a y a n d P h i l i p K i t c h e r ( e d s . ) , H i s t o r y a n d P h i l o s o p h y o f M o d e r n M a t h e m a t i c s

( M i n n e s o t a S t u d i e s i n t h e P h i l o s o p h y o f S c i e n c e X I ) , U n i v e r s i t y o f M i n n e s o t aP r e s s , M i n n e a p o l i s , 9 5 — 1 3 5 .




M o o r e , G r e g o r y H . , 1 9 9 4 . " L o g i c a n d S e t T h e o r y , " i n I . G r a t t a n - G u i n n e s s ( e d . ) ,C o m p a n i o n E n c y c l o p e d i a o f t h e H i s t o r y a n d P h i l o s o p h y o f t h e M a t h e m a t i c a lS c i e n c e s , v o l . 1 , R o u t l e d g e , L o n d o n , 6 3 5 — 6 4 3 .

M o r e n o , s e e F e r n á n d e z M o r e n o .M o r r i s , C h a r l e s , 1 9 3 8 . F o u n d a t i o n s o f t h e T h e o r y o f S i g n s ( I n t e r n a t i o n a l E n c y c l o -

p e d i a o f U n i f i e d S c i e n c e 1 , n o . 2 ) , U n i v e r s i t y o f C h i c a g o P r e s s , C h i c a g o .

M o s c h o v a k i s , Y . N . , 1 9 7 4 . E l e m e n t a r y I n d u c t i o n o n A b s t r a c t S t r u c t u r e s , N o r t h -H o l l a n d , A m s t e r d a m .

M o s t o w s k i , A n d r z e j , 1 9 5 5 . " A F o r m u l a w i t h n o R e c u r s i v e l y E n u m e r a b l e M o d e l , "F u n d a m e n t a M a t h e m a t i c a e 4 2 , 1 2 5 — 1 4 0 .

M o s t o w s k i , A n d r z e j , 1 9 6 5 . T h i r t y Y e a r s o f F o u n d a t i o n a l S t u d i e s ( A c t a P h i l o s o p h i c a

F e n n i c a 1 7 ) , H e l s i n k i .

v o n N e u m a n n , J o h n , 1 9 2 8 . " Z u r T h e o r i e d e r G e s e l l s c h a f t s s p i e l e , " M a t h e m a t i s c h eA n n a l e n 1 0 0 , 2 9 5 — 3 2 0 .

v o n N e u m a n n , J o h n , a n d O s k a r M o r g e n s t e r n , 1 9 4 4 . T h e o r y o f G a m e s a n d E c o n o m i c

B e h a v i o r , P r i n c e t o n U n i v e r s i t y P r e s s , P r i n c e t o n .P a r s o n s , C h a r l e s , 1 9 7 7 . " W h a t I s t h e I t e r a t i v e C o n c e p t i o n o f S e t ? " i n R o b e r t B u t t s

a n d J a a k k o H i n t i k k a ( e d s . ) , L o g i c , F o u n d a t i o n s o f M a t h e m a t i c s a n d C o m p u t a b i l -

i t y T h e o r y ( P r o c e e d i n g s o f t h e 5 t h I n t e r n a t i o n a l C o n g r e s s o f L o g i c , M e t h o d o l o g ya n d P h i l o s o p h y o f S c i e n c e 1 9 7 5 1 ) , D o r d r e c h t R e i d e l , D o r d r e c h t , 3 3 5 — 3 6 7 .R e p r i n t e d i n B e n a c e r r a f a n d P u t n a m ( 1 9 8 3 ) , 5 0 3 — 5 2 9 .

P a r t e e , B a r b a r a , 1 9 8 4 . " C o m p o s i t i o n a l i t y , " i n F . L a n d m a n a n d F . V e l t m a n ( e d s . ) ,V a r i e t i e s o f F o r m a l S e m a n t i c s , F o r i s , D o r d r e c h t , 2 8 1 — 3 1 2 .

P e l l e t i e r , F r a n c i s J e i f r y , 1 9 9 4 . " T h e P r i n c i p l e o f S e m a n t i c C o m p o s i t i o n a l i t y , " T o p o i

1 3 , 1 1 — 2 4 .

P o i n c a r é , H e n r i , 1 9 0 5 — 0 6 . " L e s m a t h e m a t i q u e s e t I a l o g i q u e , " R e v u e d e m é t a p h y s -

i q u e e t d e m o r a l e 1 3 , 8 1 5 — 8 3 5 a n d 1 4 , 1 7 — 3 4 . E n g l i s h t r a n s l a t i o n i n S c i e n c e a n d

M e t h o d , D o v e r , N e w Y o r k , 1 9 5 2 , 1 4 3 — 1 5 9 .P r a w i t z , D a g , 1 9 6 5 , N a t u r a l D e d u c t i o n . A P r o o f - T h e o r e t i c a l S t u d y , A c t a U n i v e r -

s i t a t i s S t o c k h o l m i e n s i s , S t o c k h o l m .

P u t n a m , H i l a r y , 1 9 7 1 . P h i l o s o p h y o f L o g i c , H a r p e r & R o w , N e w Y o r k .R a b i n , M i c h a e l , 1 9 5 7 . " E f f e c t i v e C o m p u t a b i l i t y o f W i n n i n g S t r a t e g i e s , " i n M .

D r e s h e r , A . W . T u c k e r , a n d P . W o l f f ( e d s . ) , C o n t r i b u t i o n s t o t h e T h e o r y o f G a m e s

I I I ( A n n a l s o f M a t h e m a t i c s S t u d i e s 3 9 ) , P r i n c e t o n U n i v r s i t y P r e s s , 1 4 7 — 1 5 7 .R a m s e y , F r a n k . P . , 1 9 2 5 . " T h e F o u n d a t i o n s o f M a t h e m a t i c s , " P r o c e e d i n g s o f t h e

L o n d o n M a t h e m a t i c a l S o c i e t y , S e r . I I , v o l . 2 5 , 3 3 8 — 3 8 4 .

R a m s e y , F r a n k P . , 1 9 3 0 . " O n a P r o b l e m o f F o r m a l L o g i c , " P r o c e e d i n g s o f t h eL o n d o n M a t h e m a t i c a l S o c i e t y , S e r . 2 , v o l . 3 0 , P a r t 4 , 3 3 8 — 3 8 4 .

R a n t a l a , V e i k k o , 1 9 7 5 . " U r n M o d e l s : A N e w K i n d o f N o n - S t a n d a r d M o d e l f o r

F i r s t - O r d e r L o g i c , " J o u r n a l o f P h i l o s o p h i c a l L o g i c 4 , 4 5 5 — 4 7 4 .R a s i o w a , H e l e n a , a n d R o m a n S i k o r s k i , 1 9 6 3 . T h e M a t h e m a t i c s o f M e t a m a t h e m a t i c s ,

P o l s k a A k a d e m i a N a u k , W a r s a w .R u s s e l l , B e r t r a n d , 1 9 0 3 . T h e P r i n c i p l e s o f M a t h e m a t i c s , A l l e n & U n w i n , L o n d o n .R u s s e l l , B e r t r a n d , 1 9 0 5 . " O n D e n o t i n g , " M i n d 1 4 , 4 7 9 — 4 9 3 .

R u s s e l l , B e r t r a n d , a n d A . N . W h i t e h e a d , 1 9 1 0 — 1 3 . P r i n c i p i a M a t h e m a t i c a I — I l l ,C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s , C a m b r i d g e .

S a a r i n e n , E s a ( e d . ) , 1 9 7 9 . G a m e - T h e o r e t i c a l S e m a n t i c s , D . R e i d e l , D o r d r e c h t .




S a n d u , G a b r i e l , 1 9 9 3 . " O n t h e L o g i c o f I n f o r m a t i o n a l I n d e p e n d e n c e a n d I t sA p p l i c a t i o n s , " J o u r n a l o f P h i l o s o p h i c a l L o g i c 2 2 , 2 9 — 6 0 .

S a n d u , G a b r i e l , 1 9 9 6 . " I F F i r s t - O r d e r L o g i c a n d T r u t h - D e f i n i t i o n s , " J o u r n a l o f

P h i l o s o p h i c a l L o g i c .S a n d u , G a b r i e l , a n d J o u k o V ä ä n ä n e n , 1 9 9 2 . " P a r t i a l l y O r d e r e d C o n n e c t i v e s , "f ü r M a t h e m a t i s c h e L o g i k u n d G r u n d l a g e n d e r M a t h e m a t i k 3 8 , 3 6 1 —

3 7 2 .

S c h n o r r , C l a u s P e t e r , 1 9 7 1 . Z u f d l l i g k e i t u n d W a h r s c h e i n l i c h k e i t , ( L e c t u r e N o t e s i nM a t h e m a t i c s 2 1 8 ) S p r i n g e r , B e r l i n .

S h a p i r o , S t e w a r t , 1 9 8 5 . " S e c o n d - O r d e r L a n g u a g e s a n d M a t h e m a t i c a l P r a c t i c e , "T h e J o u r n a l o f S y m b o l i c L o g i c 5 0 , 7 1 4 — 7 4 2 .

S h a p i r o , S t e w a r t , 1 9 9 1 , F o u n d a t i o n s w i t h o u t F o u n d a t i o n a l i s m , C l a r e n d o n P r e s s ,

O x f o r d .S i m m o n s , K e i t h , 1 9 9 0 . " T h e D i a g o n a l A r g u m e n t a n d t h e L i a r , " J o u r n a l o f P h i l o -

s o p h i c a l L o g i c 1 9 , 2 7 7 — 3 0 3 .

S i m o n s , P e t e r , 1 9 9 2 . P h i l o s o p h y a n d L o g i c i n C e n t r a l E u r o p e f r o m B o l z a n o t o T a r s k i ,

K l u w e r A c a d e m i c , D o r d r e c h t .S k o l e m , T h o r a l f , 1 9 2 2 . " E i n i g e B e m e r k u n g e n z u r a x i o m a t i s c h e n B e g r u n d u n g d e r

M e n g e n l e h r e , " P r o c e e d i n g s o f t h e S c a n d i n a v i a n M a t h e m a t i c s C o n g r e s s ,H e l s i n k i , 1 9 2 2 , 2 1 7 — 2 3 2 .

S m u l l y a n , R a y m o n d , 1 9 6 8 . F i r s t - O r d e r L o g i c , S p r i n g e r , B e r l i n .

S t e w a r t , I a n , 1 9 9 2 . T h e P r o b l e m s o f M a t h e m a t i c s , n e w e d i t i o n , O x f o r d U n i v e r s i t yP r e s s , N e w Y o r k .

v a n S t i g t , W a l t e r P . , 1 9 9 0 . B r o u w e r ' s I n t u i t i o n i s m , N o r t h - H o l l a n d , A m s t e r d a m .S z a b o , M . E . ( e d . ) , 1 9 6 9 . T h e C o l l e c t e d P a p e r s o f G e r h a r d G e n t z e n , N o r t h - H o l l a n d ,

A m s t e r d a m .T a r s k i , A l f r e d , 1 9 3 3 . " P r o j c i e p r a w d y w j e z y k a c h n a u k d e d u c y j n y c h , " P r a c e

T o w a r z y s t a w N a u k o w e g o W a r s z a w s i e g o , w y d i z i a l I I I , n o . 3 4 ; E n g l i s h t r a n s l a t i o ni n T a r s k i 1 9 5 6 a ; G e r m a n t r a n s l a t i o n a s T a r s k i 1 9 3 5 .

T a r s k i , A l f r e d , 1 9 3 5 . " D e r W a h r h e i t s b e g r i f f i n d e n f o r m a l i s i e r t e n S p r a c h e n , " S t u d i a

p h i l o s o p h i c a 1 , 2 6 1 — 4 0 5 .T a r s k i , A l f r e d , 1 9 5 1 . A D e c i s i o n M e t h o d f o r E l e m e n t a r y A l g e b r a a n d G e o m e t r y , 2 n d

e d . U n i v e r s i t y o f C a l i f o r n i a P r e s s , B e r k e l e y a n d L o s A n g e l e s .T a r s k i , A l f r e d , 1 9 5 6 a . " T h e C o n c e p t o f T r u t h i n F o r m a l i z e d L a n g u a g e s , " i n T a r s k i

1 9 5 6 b , 1 5 2 — 2 7 8 .

T a r s k i , A l f r e d , 1 9 5 6 b . L o g i c , S e m a n t i c s , M e t a m a t h e m a t i c s : P a p e r s f r o m 1 9 2 3 t o1 9 3 8 , C l a r e n d o n P r e s s , O x f o r d .

T a r s k i , A l f r e d , 1 9 5 9 . " W h a t I s E l e m e n t a r y G e o m e t r y ? " i n L . H e n k i n , P . S u p p e s ,a n d A . T a r s k i ( e d s . ) , T h e A x i o m a t i c M e t h o d , N o r t h - H o l l a n d , A m s t e r d a m , 1 6 — 2 9 .

T a r s k i , A l f r e d , 1 9 9 2 . " D r e i B r i e f e a n O t t o N e u r a t h , " G r a z e r P h i l o s o p h i s c h e S t u d i e n4 3 , 1 — 3 2 .

T e n n e n b a u m , S t a n l e y , 1 9 5 9 . " N o n - A r c h i m e d e a n M o d e l s f o r A r i t h m e t i c , " N o t i c e so f t h e A m e r i c a n M a t h e m a t i c a l S o c i e t y 6 , 2 7 0 .

T o e p e l l , M . - M . , U b e r d i e E n t s t e h u n g v o n D a v i d H i l b e r t s " G r u n d l a g e n d e r G e o m e t -n e , " V a n d e n h o e k & R u p r e c h t , G ö t t i n g e n , 1 9 8 6 .

T o r r e t t i , R o b e r t o , 1 9 7 8 . P h i l o s o p h y o f G e o m e t r y f r o m R i e t n a n n t o P o i n c a r é , D .R e i d e l , D o r d r e c h t ,




T r o e l s t r a , A . S . , 1 9 7 7 . C h o i c e S e q u e n c e s : A C h a p t e r o f I n t u i t i o n i s t i c M a t h e m a t i c s ,

C l a r e n d o n P r e s s , O x f o r d .T r o e l s t r a , A . S . , a n d D i r k v a n D a l e n , 1 9 8 8 . C o n s t r u c t i v i s m i n M a t h e m a t i c s : A n

I n t r o d u c t i o n , N o r t h - H o l l a n d , A m s t e r d a m .T u u r i , H e i k k i , 1 9 9 0 . I n f i n i t a r y L a n g u a g e s a n d E h r e n f e u c h t - F r a i s s e G a m e s , D i s s e r t a -

t i o n , U n i v e r s i t y o f H e l s i n k i .

v a n d e r W a e r d e n , B . L . , 1 9 8 5 . A H i s t o r y o f A l g e b r a , S p r i n g e r , B e r l i n .W a l k o e , W . J r . , 1 9 7 0 . " F i n i t e P a r t i a l l y O r d e r e d Q u a n t i f i c a t i o n , " J o u r n a l o f S y m -

b o l i c L o g i c 3 5 , 5 3 5 — 5 5 5 .

W a n g , H a o , 1 9 9 0 . C o m p u t a t i o n , L o g i c , P h i l o s o p h y : A C o l l e c t i o n o f E s s a y s , K i u w e r

A c a d e m i c , D o r d r e c h t .

W e s t e r s t a h i , D a g , 1 9 8 9 , " Q u a n t i f i e r s i n F o r m a l a n d N a t u r a l L a n g u a g e s , " i n

D . G a b b a y a n d F . G u e n t h e r ( e d s . ) , H a n d b o o k o f P h i l o s o p h i c a l L o g i c I V , R e i d e l ,D . , D o r d r e c h t , 1 — 1 3 1 .

W e y l , H e r m a n n , 1 9 1 7 . D a s K o n t i n u u m , V e i t , L e i p z i g .W i l l i a m s , N e i l H . , 1 9 7 7 . C o m b i n a t o r i a l S e t T h e o r y , N o r t h - H o l l a n d , A m s t e r d a m .W i t t g e n s t e i n , L u d w i g , 1 9 2 2 . T r a c t a t u s L o g i c o - P h i l o s o p h i c u s . T h e G e r m a n t e x t o f

L u d w i g W i t t g e n s t e i n ' s L o g i s c h - p h i l o s o p h i s c h e A b h a n d l u n g w i t h E n g l i s h t r a n s l a -

t i o n b y C . K . O g d e n , R o u t l e d g e & K e g a n P a u l , L o n d o n .Y o u s c h k e v i t c h , A . P . , 1 9 7 6 . " T h e C o n c e p t o f F u n c t i o n u p t o t h e m i d d l e o f t h e 1 9 t h

c e n t u r y , " A r c h i v e f o r t h e H i s t o r y o f E x a c t S c i e n c e s 1 6 , 3 7 — 8 5 .

Z e r m e l o , E r n s t , 1 9 0 8 . " U n t e r s u c h u n g e n ü b e r d i e G r u n d l a g e n d e r M e n g e n l e h r e I , "M a t h e m a t i s c h e A n n a l e n 6 5 , 2 6 1 — 2 8 1 .



I n d e x o f N a m e s

A c k e r m a n n , W i l h e l m , 5 , 6 , 4 6 , 2 0 1 , 2 7 4A n d e r s o n , C . A n t h o n y , 2 7 3A r c h i m e d e s , 8A r i s t o t l e , 3 , 2 1 , 1 2 3 , 1 6 4A s p r a y , W i l l i a m , 2 7 6

B a i r e , R e n é , 1 8 5B a l d u s , R i c h a r d , 9 2 , 2 7 1B a r - H i l l e l , Y e h o s h u a , 4 2B a r w i s e , J o n , 1 2 , 5 6 , 7 1 , 1 2 1 , 1 8 5 , 1 9 0 ,

2 7 1

B e l t r a m i , E u g e n i o , 1 6 4B e n a c e r r a f , P a u l , 2 1 , 2 1 0 , 2 7 1 , 2 7 3 ,

2 7 4 , 2 7 7v a n B e n t h e m , J o h a n , 2 7 1 , 2 7 5B e t h , E v e r t W . 6 , 6 1B l a s s , A n d r e a s , 1 9 8 , 2 7 1B l u m e n t h a l , O t t o , 2 1 , 2 7 1B o l t z m a n n , L u d w i g , 2 1 , 2 7 1B o l z a n o , B e r n h a r d , 1 8 9B o o l e , G e o r g e , 2 , 1 6 6 , 2 5 8 , 2 6 3B o o l o s , G e o r g e , 1 6 8 , 2 7 1B o r e l , E m i l e , 2 2 6B o t t a z z i n i , U m b e r t o , 2 5 3 , 2 7 1B r o u w e r , L u i t z e n E . J . , 2 3 7 , 2 3 8 , 2 5 2B u t t s , R o b e r t , 2 7 7

C a n t o r , G e o r g , 2 , 1 6 4 — 1 6 9 , 1 8 1 , 1 8 2 , 2 7 3C a r n a p , R u d o l f , x , x i , 1 2 , 1 6 , 1 7 , 1 5 2C a u c h y , A u g u s t i n - L o u i s , 9 , 2 7 3C h o m s k y , N o a m , 6 , 4 6 , 5 4 , 1 2 6

I n d e x p r e p a r e d b y R i s t o V i l k k o

C h u r c h , A l o n z o , 1 2 , 1 8 , 1 1 4C o h e n , P a u l , 2 7 2C u m m i n s , R o b e r t , 1 2 0 , 2 7 2

v a n D a l e n , D i r k , 2 3 7 , 2 7 9D a n c y , J o n a t h a n , 2 7 4D a u b e n , J o s e p h W . , 1 6 4 , 1 6 8 , 1 8 2 , 2 7 2D a v i d s o n , D o n a l d , 6 6 , 1 0 6 , 2 7 2D a w a r , A n u j , 9 3 , 2 7 2D e v l i n , K e i t h , 2 7 2D e d e k i n d , R i c h a r d , 2 0 0D e M o r g a n , A u g u s t u s , 7 3 , 1 3 3 , 1 4 7D e s a r g u e s , G i r a r d , 2 1D e s c a r t e s , R e n é , 2 4 , 8 9D r e b e n , B u r t o n , x iD r e s h e r , M . , 2 7 7D u m m e t t , M i c h a e l , 2 2 , 2 6 , 2 7 , 3 6 , 3 8 , 3 9 ,

2 1 1 , 2 1 2 , 2 1 5 , 2 1 8 , 2 2 2 , 2 4 4 , 2 4 5 ,2 7 2

E a s t o n , W i l l i a m B . , 2 7 2E b b i n g h a u s , H e i n z - D i e t e r , 1 5 , 1 4 1 ,

2 7 2E k e l a n d , i v a r , 2 2 9 , 2 7 2E n d e r t o n , H . B . , 5 6 , 7 1 , 1 2 1 , 2 7 2E r d ö s , P a u l , 7 7 , 7 8 , 2 0 0 , 2 7 2

E u c l i d , 1 , 2 , 9 1 , 1 6 4E u l e r , L e o n h a r d , 2 5 3 , 2 7 1 , 2 7 2

F e f e r m a n , S o l o m o n , 1 2 , 1 8 5 , 2 0 1 , 2 0 2 ,2 6 6 — 2 6 8 , 2 7 1 , 2 7 2

2 8 1



2 8 2 I N D E X O F N A M E S

F e i g n e r U l r i c h , 2 7 2F e n s t a d , J e n s - E r i k , 3 3 , 1 4 7 , 1 8 1F e r n á n d e z M o r e n o , L u i s , 1 3 0 , 2 7 2

F i n e , T e r r e n c e , 2 2 8 , 2 7 2F l u m , J ö r g , 1 5 , 1 4 1F r a e n k e l , A d o l f , 1 6 3 , 1 7 6 , 2 0 2F r e e m a n , E u g e n e , 2 7 4F r e g e , G o t t i o b , v i i , 2 , 5 , 1 1 , 1 2 , 1 8 , 4 6 —

5 1 , 5 4 — 5 6 , 6 6 , 6 7 , 6 9 , 7 1 , 9 0 , 9 4 ,1 0 6 , 1 2 5 , 1 2 6 , 1 6 1 , 1 6 4 , 1 8 1 , 1 8 2 ,1 8 6 , 1 9 5 , 2 0 0 , 2 0 7 ,

F r e u d , S i g m u n d , 2 5 2F r e u d e n t h a l , H a n s , 9 2 , 2 7 3

G a b b a y , D o v M . , 2 7 9G a i f m a n , H a i m , 2 7 3

G a v r o g l u , K o s t i s , 2 7 5G e o r g , A l e x , 2 7 4G ö d e l , K u r t , x i , 6 , 1 4 — 1 8 , 3 0 , 3 1 , 4 1 ,

8 8 — 9 1 , 9 3 — 9 9 , 1 0 2 , 1 1 3 — 1 1 9 , 1 3 1 ,1 3 2 , 1 4 1 — 1 4 5 , 1 5 0 — 1 5 2 , 1 6 5 , 1 6 6 ,

1 6 8 , 1 6 9 , 1 7 2 — 1 7 7 , 1 9 9 , 2 0 4 , 2 2 2 ,2 2 3 , 2 2 5 , 2 2 9 , 2 3 1 — 2 3 5 , 2 5 9 — 2 6 1 ,

2 6 5 , 2 6 6 , 2 7 3G o l d b a c h , C . , 1 9 2 , 1 9 7G o l d f a r b , W a r r e n , 2 1 0 , 2 7 3G r a b i n e r , J u d i t h V . , 7 4 , 2 7 3G r a h a m , R o n a l d , L . , 7 8 , 2 0 0 , 2 7 3G r a t t a n - G u i n n e s s , I v o r , 2 7 7G u e n t h e r , F r a n z , 2 7 9G u r e v i c h , Y u r i , 1 9 8 , 2 7 1

H a d a m a r d , J a c q u e s , 2 4 4

H a l e s , A . W . , 7 8 , 7 9H a l l e t t , M i c h a e l , 1 6 8 , 2 7 3H e g e l , G e o r g W . F r i e d r i c h , 2 1 1

H e i m , I r e n e , 1 5 7 , 2 7 3H e l l a , L a u r i , 9 3H e n k i n , L e o n , 5 1 , 5 6 , 7 9 , 9 8 , 1 0 2 , 1 1 7 —

1 1 9 , 1 2 1 , 1 6 5 , 1 9 2 , 1 9 3 , 2 4 9 , 2 6 3 ,2 7 1 , 2 7 3 , 2 7 8

H e y t i n g , A r e n d , v i i i , 2 1 2 , 2 4 6 — 2 4 9 , 2 7 1 ,2 7 3

H i i p a k k a , J a n n e , x iH u b e r t , D a v i d , x i , 1 — 6 , 8 — 1 1 , 1 6 , 1 9 , 2 1 ,

4 0 , 4 6 , 6 9 , 8 9 — 9 2 , 9 8 , 1 6 4 , 1 8 2 ,1 9 9 — 2 0 1 , 2 0 6 , 2 0 8 , 2 1 9 , 2 2 2 , 2 3 3 ,

2 3 4 , 2 7 1 , 2 7 4H i l p i n e n , R i s t o , 2 8 , 2 1 2 , 2 7 4H i n t i k k a , J a a k k o , 1 2 , 1 3 , 1 7 , 2 0 — 2 3 , 2 7 ,

2 9 , 3 6 , 4 4 , 5 2 , 6 6 , 6 8 , 7 3 , 7 9 , 8 2 ,

8 3 , 1 0 3 , 1 0 4 , 1 0 9 , 1 1 0 , 1 2 4 — 1 2 7 ,1 3 9 , 1 5 7 , 1 6 0 , 1 6 5 , 1 9 3 , 1 9 9 , 2 0 8 ,

2 2 3 , 2 2 4 , 2 3 9 , 2 5 1 , 2 7 4 , 2 7 5 , 2 7 7

H i n t i k k a , M e r r i l l B . , 1 7 , 2 3 , 1 2 7 , 2 7 5H o l d e r , ( L u d w i g ) O t t o , 2 0 4H o r n , L a u r e n c e R . , 2 7 5H u s s e r l , E d m u n d , 1 0 8 , 1 2 0 , 1 9 6H u g h e s , R . I . G . , 7 7 , 2 7 5H u u s k o n e n , T a n e l i , 2 7 0

J a c k e n d o r i f , R a y S , 2 7 5J e f f e r s o n , T h o m a s , v i iJ e r o s l o w , R . G . , 2 7 5

J e w e t t , R . I . , 7 8 , 7 9J o n e s , J a m e s , P . , 2 8 , 2 1 9 , 2 7 5

K a n a m o r i , A k i h i r o , 1 6 9 , 2 7 6K a n t , I m m a n u e l , 3 , 8 9 , 1 0 4K e e n a n , E d w a r d , 5 7 , 7 9 , 2 7 6K i n o , A . , 2 7 6K i t c h e r , P h i l i p , 2 7 6K l e e n e , S t e p h e n , C . , 2 3 5 , 2 5 8 , 2 5 9 , 2 7 6K l e i n , F e l i x , 1 6 4

K l e i n , E s t h e r , 7 8K l e i n b e r g , E u g e n e M . , 2 0 0 , 2 7 6K o l a i t i s , P h o k i o n G . , 1 3 0K O r n e r , S t e p h a n , 2 7 4K r e i s e l , G e o r g e , 4 0 , 2 1 7 , 2 7 6K r i p k e , S a u l , x i , 1 2 2 , 1 6 1 , 2 5 4 , 2 5 9 ,

2 6 6 — 2 6 8 , 2 7 0 , 2 7 6K r y n i c k i , M i c h a e l , 1 1 7 , 1 1 8 , 1 8 8 , 2 7 6

K u h n , T h o m a s , v i iK u n e n , K e n n e t h , 2 7 6

K u l a s , J a c k , 2 7 , 4 4 , 1 0 9 , 1 1 0 , 1 2 5 , 1 5 7 ,2 7 5

K u s c h , M a r t i n , 2 7 6

L a n d m a n , F r e d , 2 7 7L e i b n i z , G o t t f r i e d W . , 1 1 2 , 1 2 2 , 1 2 5

L e n i n , V l a d i m i r I . , v i iL e P o r e , E r n e s t , 2 7 4L e s n i e w s k i , S t a n i s l a w , 1 7 , 1 0 8L i n d s t r O m P e r , 1 8 , 1 4 1 , 2 7 6

L o v e j o y , A r t h u r 0 . , 1 6 8 , 2 7 6L O w e n h e i m , L e o p o l d , 6 , 1 8 , 5 9 , 1 4 1 , 1 8 9 ,

1 9 1 , 2 0 2 , 2 0 3L u o s t o , K e r k k o , 2 7 0

M a c h , E r n s t , 2 1M a g i d o r , M e n a c h e m , 1 6 9 , 2 7 6M a n c o s u , P a o l o , 2 4 6 , 2 7 6



I N D E X O F N A M E S 2 8 3

M a r t i n , R o b e r t L . , 1 3 1 , 1 6 1 , 2 7 6M a r t i n - L ö f , P e r , 2 2 8 , 2 7 6M a t i y a s e v i c h , Y u r i V . , 2 1 9 , 2 7 6

M a x w e l l , J a m e s C l e r k , 2M c G e e , V a n n , 1 7 3 , 2 7 6M e n d e l s o n , E l l i o t t , 1 1 4 , 1 4 3 , 2 7 6t e r M e u l e n , A l i c e , 2 7 1 , 2 7 5 , 2 7 6M o o r e , G r e g o r y , 1 7 0 , 1 9 5 , 2 0 1 , 2 4 4 ,

2 7 6 , 2 7 7M o r g e n s t e r n , O s k a r , 2 7 7M o r r i s , C h a r l e s , 4 2 , 2 7 7M o s c h o v a k i s , Y a n n i s N . , 2 1 0 , 2 7 7M o s t o w s k i , A n d r z e j , 1 5 , 4 0 , 2 1 7 , 2 7 7

M u l l e r , G e r t H . , 2 7 6M y h i l l , J o h n , 2 7 6

v o n N e u m a n n , J o h n , 2 4 , 7 9 , 2 2 6 , 2 7 7N e u r a t h , O t t o , 1 7 , 2 0 4

O g d e n , C . K . , 2 7 9O i k k o n e n , J u h a , 1 2 2 , 2 7 5

P a r s o n s , C h a r e l s , 1 6 8 , 2 7 7P a r t e e , B a r b a r a , 1 0 6 , 2 7 7

P a s c a l , B l a i s e , 2 1P e a n o , G i u s e p p e , v i i , 9 8 , 1 5 3 , 1 9 7 , 2 0 2 ,

2 2 3 , 2 5 9 , 2 6 5 , 2 6 7 , 2 6 8P e i r c e , C h a r l e s S . , 2 8 , 4 6 , 2 1 2 , 2 7 4P e l l e t i e r , F r a n c i s J . , 1 0 6P o i n c a r é , H e n r i , 1 8 2 , 2 7 7P r a w i t z , D a g , 2 1 2 , 2 7 7P u h i , K l a u s , 2 7 5P u t n a m , H i l a r y , 1 6 , 2 1 , 2 7 1 , 2 7 4 , 2 7 7

Q u i n e , W . V . , 7 , 1 2 , 1 8 , 6 7 , 1 2 9 , 2 2 8R a b i n , M i c h a e l , 2 1 9 , 2 7 7R a m s e y , F r a n k , 7 7 — 7 9 , 1 3 7 , 1 6 5 , 1 9 4 ,

2 0 0 , 2 1 0 , 2 7 3 , 2 7 7R a n t a l a , V e i k k o , 1 2 , 2 9 , 1 0 3 , 1 6 0 , 2 3 9 ,

2 7 5 , 2 7 7

R a s i o w a , H e l e n a , 2 0 3 , 2 7 7R e m e s , U n t o , 1 0 4 , 2 7 5R o r t y , R i c h a r d , 1 3 0R o t s c h i l d , B r u c e L . , 7 8 , 2 0 0 , 2 7 3R u s s e l l , B e r t r a n d , v i i , i x , x , x i i , 5 , 1 2 , 4 3 ,

4 6 , 4 7 , 4 9 — 5 1 , 5 5 , 6 6 , 6 7 , 9 4 , 1 6 1 ,1 6 9 , 1 7 4 , 1 8 0 , 1 8 6 , 1 9 4 , 1 9 5 , 2 1 0 ,2 7 3 , 2 7 7

S a a r i n e n , E s a , 2 7 4 , 2 7 8S a n d u , G a b r i e l , x i , 2 7 , 5 2 , 5 6 , 7 9 , 8 2 , 1 1 0 ,

1 2 2 , 1 2 6 , 2 2 4 , 2 5 4 , 2 7 5 , 2 7 8

S a v a g e , C . W a d e , 2 7 3S c h n o r r , C l a u s P e t e r , 2 2 8 , 2 7 8S c h r ö d i n g e r , E r w i n , 2

S c h w a b l , H . - D , 2 7 5S c o t t , D a n a , 2 7 6S h a p i r o , S t e w a r t , 1 9 2 , 1 9 3 , 2 7 8S h o e n f i e l d , J o s e p h , 1 6 8S i k o r s k i , R o m a n , 2 0 3 , 2 7 7S i m m o n s , K e i t h , 1 4 3 , 2 7 8S i m o n s , P e t e r , 2 7 8

S k o l e m , T h o r a l f , 6 , 1 8 , 3 0 , 3 4 , 3 9 , 4 8 , 4 9 ,5 1 , 5 9 , 6 0 , 7 9 , 8 0 , 1 4 1 , 1 7 4 , 1 7 5 ,1 7 7 , 1 7 9 , 1 8 9 , 1 9 1 , 1 9 8 , 2 0 2 , 2 0 3 ,

2 1 3 , 2 1 7 , 2 2 1 , 2 2 3 , 2 2 4 , 2 2 8 , 2 3 6 ,2 4 2 , 2 4 6 , 2 4 8 , 2 4 9 , 2 5 1 , 2 7 8S m u l l y a n , R a y m o n d , 6 8 , 2 7 8S o s a , E r n s t , 2 7 4S p e n c e r , J o e l H . , 7 8 , 2 0 0 , 2 7 3S t e w a r t , I a n , 2 9 , 3 0 , 4 4 , 2 7 8v a n S t i g t , W a l t e r P . , 2 7 8S z a b o , M . E . , 2 7 8S u p p e s , P a t r i c k , 2 7 8S z e k e r e s , G e o r g e , 7 7 , 7 8

T a r s k i , A l f r e d , x i , 1 3 — 1 9 , 2 2 , 2 8 , 2 9 , 3 2 ,4 1 , 9 6 — 9 9 , 1 0 1 , 1 0 5 — 1 0 8 , 1 1 0 —

1 1 2 , 1 1 6 , 1 1 7 , 1 2 0 — 4 2 4 , 1 2 8 — 1 3 1 ,

1 3 3 , 1 3 8 — 1 4 1 , 1 4 4 , 1 7 1 — 1 7 4 , 1 8 2 ,

2 0 4 , 2 6 6 , 2 7 8

T e n n e n b a u m , S t a n l e y , 2 2 3 , 2 7 8T e u b n e r , B . G . , 2 7 4T h o m a s , W o l f g a n g , 1 5 , 1 4 1T o e p e l l , M i c h a e l - M a r k u s , 2 1 , 2 7 8

T o r r e t t i , R o b e r t o , 1 6 4 , 2 7 9T r o e l s t r a , A n n e S . , 2 3 7 , 2 4 5 , 2 7 9T u r i n g , A l a n , 9 5 , 2 1 5 , 2 3 7T u c k e r , A . W . , 2 7 7T u u r i , H e i k k i , 1 3 0 , 2 7 9

V ä ä n ä n e n , J o u k o , 5 6 , 1 2 2 , 1 8 8 , 2 7 0 , 2 7 5 ,2 7 6 , 2 7 8

V e l t m a n , F r a n k , 2 7 7V e r s l e y , R i c h a r d E . , 2 7 6

v a n d e r W a e r d e n , B . L . , 2 0 4 , 2 7 9W a l k o e , W i l b u r J o h n J r . , 5 6 , 7 1 , 1 2 1 ,

2 7 9W a n g , H a o , 1 6 8 , 1 9 8 , 2 7 9W e i e r s t r a s s , K a r l , 2 9 , 4 4 , 1 8 9 , 2 7 1W e s t e r s t a h l , D a g , 5 7 , 7 9 , 2 7 6 , 2 7 9W e y l , H e r m a n n , 1 7 9 , 2 7 9



2 8 4 I N D E X O F N A M E S

W i l l i a m s , N e i l H . , 2 0 0 , 2 7 9 W o l f f , P . , 2 7 7W i t t g e n s t e i n , L u d w i g , 1 2 , 1 8 , 2 2 , 2 3 , 3 2 ,

4 2 , 4 4 , 1 2 7 , 1 6 2 , 2 1 1 , 2 1 5 , 2 2 2 , Y o u s c h k e v i t c h , A . P . , 2 5 1 , 2 7 9

2 2 6 , 2 7 9W h i t e h e a d , A l f r e d N . , v i i , x i i , 4 6 , 1 8 0 , Z e r m e l o , E r n s t , 2 5 1 , 2 7 91 9 4 , 2 7 7



I n d e x o f S u b j e c t s a n d T i t l e s

a n a l y s i s , c o n c e p t u a l , 9a r i t h m e t i c , 7 9

e l e m e n t a r y , v i i i , 1 4 , 3 0 , 8 9 , 9 0 ,9 3 — 9 8 , 1 0 1 , 1 1 3 , 1 1 6 , 1 1 8 , 1 4 3 ,

1 4 5 , 1 7 1 , 1 9 7 , 2 0 6 , 2 2 3 , 2 2 4 ,2 3 3 , 2 3 5

f i r s t - o r d e r ( I F ) , 1 3 2

P e a n o , 9 8 , 1 9 7 , 2 0 2 , 2 2 3 , 2 5 9 , 2 6 5 , 2 6 7 ,2 6 9

u n d e f i n a b i l i t y o f 1 5a x i o m

A r c h i m e d e a n , 8A u s s o n d e r u n g ( Z e r m e l o ' s ) , 1 7 9o f c h o i c e , i x , 7 , 1 9 , 3 2 , 4 0 — 4 2 , 8 0 , 8 2 ,

8 3 , 1 6 5 , 1 7 5 , 1 7 6 , 1 9 3 , 2 0 1 , 2 1 3 ,2 2 0 — 2 2 3 , 2 4 4

d e d u c t i v e , v i i i

o f d e t e r m i n a c y , 3 3o f g e o m e t r y , 8o f i n d u c t i o n , 1 5 3K r i p k e - F e f e r m a n , 2 6 8o f l a r g e c a r d i n a l s , 1 6 9o f c h o i c e , i x , 7 , 1 9 , 3 2 , 4 0 — 4 2 , 8 0 , 8 2 ,

8 3 , 1 6 5 , 1 7 5 , 1 7 6 , 1 9 3 , 2 0 1 , 2 1 3 ,2 2 0 — 2 2 3 , 2 4 4

o f c o m p l e t e n e s s , 8 , 9 2 , 2 0 8o f c o m p r e h e n s i o n , 1 6 5 , 1 7 6 , 1 7 8 ,

1 9 5

o f c o n s t r u c t i b i l i t y , 1 6 8o f c o n t i n u i t y , 3P e a n o , 1 5 3

I n d e x p r e p a r e d b y R i s t o V i l k k o

o f r e d u c i b i l i t y ( R u s s e l l ' s ) , 1 8 0o f s e t e x i s t e n c e , 1 9 4

a x i o m a t i z a t i o n , 1 , 9 , 6 5 — 6 8 , 8 8 — 1 0 4 ,1 2 6 , 1 4 5 , 1 4 6 , 1 8 3 , 2 5 1 , 2 6 6

o f a r i t h m e t i c , 9 4c o m p l e t e , v i i i , 6 , 6 5 — 6 7 , 1 5 3 , 1 8 4 , 2 2 4 ,

2 4 9

o f g e o m e t r y ( E u c l i d e a n ) , 2o f g e o m e t r y ( H u b e r t ' s ) , 2 , 3 , 8 , 1 0 ,

1 1

o f l o g i c , 4 , 5n o n l o g i c a l , 1 , 3 , 4 ,

B e g r i f f s s c h r ( f t , 1 1 , 1 2 5

C h u r c h ' s T h e s i s , 1 1 4c o m p l e t e n e s s , x , 1 , 1 9 , 6 7 , 8 8 — 1 0 4 ,

1 4 5 , 1 6 3 , 1 6 6 , 1 6 9 , 1 7 0 , 1 9 2 ,2 3 3

d e d u c t i v e , 9 1 , 9 2d e s c r i p t i v e , 9 1H i l b e r t i a n , 9 2s e m a n t i c a l , 9 1

c o m p o s i t i o n a l i t y , 1 3 , 1 0 6 — 1 1 2 , 1 1 6 , 1 1 8 ,1 2 1 , 1 3 9 , 1 4 0 , 1 4 9

p r i n c i p l e o f , i xc o n j e c t u r e s , 1 9 3

G o l d b a c h ' s , 1 9 2 , 1 9 7c o n s t r u c t i v i s m , i x , x , 7 , 3 8 , 3 9 , 1 2 1 ,

1 3 7 , 1 4 2 , 1 6 1 , 1 7 7 , 2 1 0 — 2 3 7 ,

2 4 1 , 2 4 3 — 2 4 5 , 2 5 0

2 8 5



2 8 6 I N D E X O F S U B J E C T S A N D T I T L E S

c o n t i n u i t y , 9 , 1 0c o n t i n u u m , 1 9 3c o u r s e - o f - v a l u e s ( F r e g e ' s W e r t h v e r l d u f e ) ,

1 8 1c l a s s e s , v i i i , 1 2

D e f i n i t i o n e — ö , 9 , 2 9

d e p e n d e n c e v s . i n d e p e n d e n c e , x , 7 2 — 8 7 ,o f q u a n t i f i e r s , 4 7 — 5 3 , 5 6 — 5 8 , 7 0

d i f f e r e n t i a t i o n , 9d i s t i n c t i o n

d e d i c t o v s . d e r e , 7 2 , 1 2 4d e f i n i t o r y v s . s t r a t e g i c r u l e s , 1 2 8

l o g i c a l v s . m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g ,9 0 ,

s e m a n t i c s v s . p r a g m a t i c s , 4 2

e q u a t i o n s , 2 , 1 8 5e q u i c a r d i n a l i t y , v i i i , 1 8 6 , 1 8 7 , 1 9 0 , 1 9 1

f i n i t e n e s s , 7f u n c t i o n s , 4 0 , 1 9 3 , 2 5 3

i n e x t e n s i o n ( R u s s e l l ) , 1 7 4

S k o l e m , 3 0 , 3 1 , 3 4 , 3 5 , 3 9 , 4 8 , 4 9 , 5 1 ,6 0 , 7 9 , 8 0 , 1 7 4 , 1 7 5 , 1 7 7 , 2 1 3 , 2 1 7 ,

2 2 1 , 2 2 3 , 2 2 4 , 2 2 8 , 2 3 6 , 2 4 2 , 2 4 6 ,2 4 8 , 2 4 9 , 2 5 1

g e o m e t r y , 9 , 1 0 , 7 8 , 8 9 , 9 7 , 2 3 4a p p l i e d , 3e l e m e n t a r y , 1 9 7E u c l i d e a n , 1 , 2 , 1 6 4n o n E u c l i d e a n , 9 7 , 1 6 4

G r u n d l a g e n d e r G e o m e t r i e , 1 , 4 , 1 0 , 9 2

I m p o s s i b i l i t y r e s u l t ( T a r s k i ' s ) , 1 5 , 2 2 ,1 2 3 , 1 7 1 , 1 7 2

i n d u c t i o nm a t h e m a t i c a l , v i i i , 7 , 1 8 4 , 1 8 8 , 1 9 1t r a n s f i n i t e , 1 8 9

i n f e r e n c e , 4 , 5 , 2 0 , 2 1 , 3 3 , 3 7 , 7 1 , 8 8H i l b e r t ' s , 8m o d e s o f , v i i i , 1 8 4 , 1 9 0

i n f i n i t y , v i i i , 1 8 4 , 1 8 7i n t e r p r e t a t i o n , 3 , 4

c o n s t r u c t i v i s t i c , i x , 2 2 4 , 2 2 5 , 2 3 5 ,2 5 1

e p i s t e m i c , 2 4 2 — 2 4 6 , 2 5 0 — 2 5 3

G ö d e l ' s f u n c t i o n a l ( D i a l e c t i c a ) , 2 2 2 ,2 2 3 , 2 3 2 , 2 3 3 , 2 3 5

s t a n d a r d v s . n o n s t a n d a r d , 1 6 5 , 1 6 6 ,

1 9 2 — 1 9 6 , 2 0 1 , 2 1 0 , 2 1 3 , 2 4 6i n t u i t i o n i s m , 1 3 4 , 1 6 1 , 1 7 7 , 2 2 9 ,

2 3 7 — 2 4 7 , 2 5 2k n o w l e d g e o f o b j e c t s v s . k n o w l e d g e o f

f a c t s , x , 8 6 , 2 5 2

l a n g u a g e g a m e s , 3 2 — 3 9 , 1 5 9 , 2 1 2 , 2 2 9 ,2 3 8

W i t t g e n s t e i n i a n , 2 2 , 2 3 , 4 2 , 2 1 1 , 2 2 2l a w

d e M o r g a n ' s , 7 3 , 1 3 3 , 1 4 7o f d o u b l e n e g a t i o n , 7 3 , 1 3 3 , 1 4 7

o f t h e e x c l u d e d m i d d l e , s e e t e r t i u mn o n d a t u r

l e m m a , d i a g o n a l , 1 3 1 , 1 4 2 — 1 4 5 , 1 5 0 ,

1 5 2 , 1 7 2 — 1 7 4 , 1 8 0

l o g i ce p i s t e m i c , 8 3 — 8 7 , 2 3 8 — 2 5 3

f u n c t i o n s o f , 1 — 2 1d e d u c t i v e / d e s c r i p t i v e , 4 , 9 , 1 0 , 1 9 , 2 0 ,

4 6 , 9 2 , 1 4 9 , 2 0 9 , 2 1 0 , 2 3 0 — 2 3 4h i g h e r - o r d e r , 6 , 7 , 1 6 , 9 7 , 1 0 4 , 1 2 6 ,

1 6 3 , 1 6 5 , 1 8 6 , 1 9 0 , 1 9 2 , 1 9 4 , 1 9 5 ,2 0 1 , 2 0 3 , 2 0 7 — 2 0 9 , 2 2 3 , 2 3 1

i n d e p e n d e n c e - f r i e n d l y ( I F ) , 4 6 — 1 6 3 ,1 7 8 — 2 1 0 , 2 1 7 , 2 2 9 , 2 4 1 , 2 4 7 , 2 5 4 —2 7 0

i n t u i t i o n i s t i c , v i i i , 1 3 4 , 2 1 2 , 2 3 8 , 2 4 6 —2 4 9

m o d a l , 5m o d e l - t h e o r e t i c a l , 1 2 , 1 3o r d i n a r y f i r s t - o r d e r , v i i i , i x , 6 , 7 , 9 ,

1 1 , 1 6 , 1 8 , 3 3 , 3 4 , 3 6 , 4 3 , 4 6 — 5 1 ,5 4 — 6 1 , 6 5 — 7 0 , 7 3 , 7 4 , 7 7 , 8 2 , 8 9 ,

9 0 , 9 3 , 9 4 , 9 6 , 1 0 9 , 1 2 5 — 1 2 9 , 1 3 2 ,1 3 5 , 1 3 8 , 1 4 1 , 1 4 3 , 1 5 2 , 1 6 3 , 1 7 0 ,1 7 1 , 1 7 4 , 1 8 4 — 1 9 0 , 1 9 4 , 1 9 5 , 1 9 8 ,

2 0 1 — 2 0 5 , 2 0 9 , 2 1 3 , 2 1 6 , 2 1 7 , 2 2 3 ,

2 2 9

s e c o n d - o r d e r , 7 , 6 5 , 8 9 , 9 8 , 1 2 9 , 1 5 0 ,1 9 1 — 1 9 7 , 2 1 3 , 2 2 0 , 2 2 5

s y l l o g i s t i c , 8 9

l o g i c i s m , 1 8 3 , 1 9 0

m e t h o da n a l y t i c , 8 9a x i o m a t i c , 2 , 1 0 , 9 4 , 2 0 6 , 2 3 4d e d u c t i v e , 1 0 0m a t h e m a t i c a l , 8 9

i n t u i t i o n i s t i c , 2 4 7 s e m a n t i c a l v s . s y n t a c t i c a l , 9 0



I N D E X O F S U B J E C T S A N D T I T L E S 2 8 7

m o d e lc o n c e p t o f , 1 2i n t e r r o g a t i v e , 3 6 , 3 9

u r n , 1 2 , 1 0 3m o d e l t h e o r y , v i i i , 1 1 — 1 3 , 1 6 , 1 9 — 2 1 , 8 5 ,9 0 , 1 0 2 , 1 0 4 , 1 2 9 , 1 4 1 , 1 5 2 , 1 6 2 ,

1 6 3 , 1 6 5 , 1 7 0 — 1 7 4 , 1 8 4 , 1 9 2 , 1 9 7 ,

2 3 9 , 2 4 9

n o m i n a l i s m , 7 , 1 1 7 , 1 9 8 , 2 2 0 , 2 3 4 , 2 5 0n u m b e r s

n a t u r a l , 8 , 1 0 2 , 1 0 4 , 1 1 6 , 1 6 6 , 1 7 7 , 1 8 4 ,2 0 6 , 2 0 7 , 2 1 7 , 2 1 9

r e a l , 1 0 , 1 0 2 , 1 7 7 , 1 8 4 , 1 8 5 , 1 8 9G ö d e l , 1 4 , 3 0 , 1 1 3 — 1 1 9 , 1 3 1 , 1 3 2 , 1 4 2 ,

1 4 3 , 1 4 5 , 1 5 1 , 1 5 2 , 1 7 2 — 1 7 4 , 1 8 0 ,

2 2 5 , 2 5 9 — 2 6 1 , 2 6 5 , 2 6 6

p a r a d o x , 7 , 9 7 , 1 0 1 , 1 2 1 , 1 4 5 , 1 6 5 , 1 6 7 ,1 7 5 , 2 3 9

l i a r , 1 3 1 , 1 3 2 , 1 4 2 — 1 4 4 , 1 5 0 , 1 5 2 , 1 5 9 ,

1 6 0 , 1 7 6

o f l o g i c a l o m n i s c i e n c e , 2 3 9

M e n o ' s , 3 4 , 3 5 , 3 8 , 3 9S k o l e m , 2 0 2 , 2 0 3

p o s s i b l e w o r l d s , 1 2 , 3 4 , 6 6 , 2 3 9 , 2 4 0

p r e d i c a t e s , v i i i , 6 , 1 8 5 — 1 8 8

P r i n c i p i a M a t h e m a t i c a , v i i , x

P r i n c i p l e s o f M a t h e m a t i c s , v i i , i x , xp r o o f , 5 , 1 0 , 3 8

r e l a t i o n , v i i i , 4 , 6 , 8 , 1 1 3 — 1 1 5 , 1 3 5 , 1 8 8 ,

1 9 4

e p s i l o n , 1 1 5 , 1 3 5 , 1 8 8 , 1 9 4 , 1 7 8

s e m a n t i c a l g a m e s , 2 5 — 2 7 , 3 1 — 4 5 , 5 7 , 5 8 ,

6 3 , 7 0 , 1 1 5 , 1 1 9 — 1 2 3 , 1 2 8 , 1 3 2 ,1 3 4 , 1 3 7 , 1 3 8 , 1 4 7 , 1 4 8 , 1 5 4 , 1 5 7 ,

1 5 8 , 1 7 4 , 2 1 1 — 2 1 9 , 2 2 7 , 2 2 8 , 2 3 1 ,

2 3 5 — 2 3 8

s e m a n t i c sg a m e - t h e o r e t i c a l ( G T S ) , 2 5 — 5 0 , 5 4 ,

5 7 , 5 8 , 7 2 , 7 7 , 9 0 , 1 0 3 , 1 0 9 , 1 1 2 ,

1 1 5 , 1 1 9 — 1 2 2 , 1 2 5 , 1 3 2 — 1 3 4 , 1 4 8 ,1 5 7 , 1 6 0 , 1 6 3 , 2 0 1 , 2 1 0 , 2 1 1 ,

2 1 3 — 2 2 2 , 2 2 5 — 2 2 7 , 2 3 0 , 2 3 2 , 2 3 6 ,

2 4 1 , 2 4 3 , 2 5 4 — 2 7 0

i n e f f a b i l i t y o f , 1 7 , 1 8

l o g i c a l , 1 1

t r u t h - c o n d i t i o n a l , 2 3

v e r i f i c a t i o n i s t , 2 3

s e tp o w e r , v i i i , 7 , 1 8 4 , 1 8 8 , 1 9 1H i n t i k a , 6 8

s e t t h e o r y , v i i i , 3 , 8 , 1 6 , 3 3 , 8 9 , 9 7 , 9 9 ,1 2 9 , 1 3 2 , 1 5 2 , 1 8 5 , 1 8 6 , 1 8 9 , 1 9 1 ,1 9 8 — 2 0 7 , 2 1 3

a x i o m a t i c , i x , 7 , 1 8 , 1 9 , 7 4 , 1 0 0 , 1 0 2 ,1 0 4 , 1 2 6 , 1 6 3 — 1 8 2 , 1 8 5 , 1 9 1 — 1 9 5 ,

2 0 2 , 2 0 7 , 2 2 2

s l a s h - n o t a t i o n ( / ) , 5 1 — 5 3 , 2 5 4S p r a c h l o g i k , 4 6 , 5 5 , 1 2 4 , 1 2 6

t e r t i u m n o n d a t u r , i x , 3 2 , 3 3 , 6 5 , 6 8 ,

7 3 , 1 3 1 - 1 4 6 , 1 6 1 , 1 7 8 , 1 7 9 ,1 8 1 , 2 1 2 , 2 1 7 , 2 1 9 , 2 5 8 ,2 6 7

t h e o r e mB e t h ' s , 7 , 6 1B o l z a n o — W e i e r s t r a s s , 1 8 9d e d u c t i o n , 1 4 9D e s a r g u e s ' , 2 1G o d e l ' s i n c o m p l e t e n e s s , 1 8 , 9 3 , 9 5 ,

9 6 , 1 3 2 , 1 6 5 , 1 6 6 , 1 7 3

G ö d e l ' s i m p o s s i b i l i t y , 1 4 2H a l e s — J e w e t t , 7 8 , 7 9i n t e r p o l a t i o n , 6L i n d s t r ö m , 1 8 , 1 4 1L ö w e n h e i m — S k o l e m , 6 , 1 8 , 5 9 , 1 4 1 ,

1 9 1 , 2 0 2 , 2 0 3P a s c a l ' s , 2 1R a m s e y - t y p e , 1 3 7s e p a r a t i o n , 6 , 6 1 , 1 3 3T a r s k i ' s , 1 6

t h e o r ye l e m e n t a r y n u m b e r , 1 5 3g a m e , s e e s e m a n t i c s , G T Sg r o u p , 9 , 1 0 , 1 6 7l a t t i c e , 3 , 9 , 1 0 , 1 6 7m o d e l , s e e m o d e l t h e o r y

o f a n a p h o r a ( G T S ) , 1 5 7 , 1 5 8o f f i e l d s , 9o f f i n i t e t y p e s , 1 9 7o f r e a l s , 1 9 7

o f t y p e s ( R u s s e l l ' s ) , 1 9 4p r o o f , 1 1 , 1 4 1 , 1 6 2 , 2 3 4

q u a n t u m , 7 6 , 7 7R a m s e y , 7 7 — 7 9 , 2 0 0

s e t , s e e s e t t h e o r yt y p e , 2 0 5 , 2 0 7

T r a c t a t u s L o g i c o - P h i l o s o p h i c u s ,1 5 3

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