Math. Z. 141, 159 - 167 (1975) 0 by Springer-Verlag 1975

Homomorphismen von affinen Hjelmslev-Ebenen

Günter Törner

Eng mit der Untersuchung einer mathematischen Struktur verknüpft ist die Frage nach den Eigenschaften zugehöriger strukturverträglicher Abbildungen. Nicht immer ist deren Definition schon kanonisch.

In der vorliegenden Arbeit beschäftigen wir uns mit strukturverträglichen Abbildungen von affinen Hjelmslev-Ebenen (AH-Ebenen). Es handelt sich dabei um verallgemeinerte affine Inzidenzstrukturen, in denen zwei Punkte unter Um- ständen mit mehr als einer Geraden inzidieren. Eine dadurch erklärte Nachbar- schaftsrelation ist Äquivalenzrelation und die zugehörige Faktorstruktur affine Ebene.

Von Artmann [I], Bacon [2], Lorimer [7] u.a. wurden für AH-Ebenen verschiedene Morphismenbegriffe diskutiert, die sich irn wesentlichen hinsichtlich ihres Verhaltens bzgl. der Nachbarschaftsrelation unterscheiden. So kann das Respektieren von entfernten Punkten als auch benachbarten Punkten oder auch beides als strukturverträglich angesehen werden.

Im ersten Kapitel werden wir zeigen, daß AH-Ebenen im wesentlichen - d.h. unter einer Zusatzbedingung, die bei einer algebraischen Beschreibung des Homomorphismus unabdingbar scheint - einen Typ von Inzidenzmorphismen zulassen: ferntreue Morphismen, welche nichtbenachbarte Punkte in zueinander nichtbenachbarte Punkte abbilden. Die von Artmann bzw. Bacon betrachteten Homomorphismen stellen sich als wichtige Spezialfalle heraus. Damit wird ein wesentlicher Unterschied zum projektiven Fall deutlich, den wir in [9] abgehandelt haben.

Das zweite Kapitel dient der Untersuchung der „Kerneu bzw. der durch die ,,Kerneu induzierten Kongruenzrelationen von ferntreuen Morphismen. Kon- gruenzrelationen sind durch die Äquivalenzklasse eines Punktes festgelegt (2.5). Der Verband der Kongruenzrelationen einer AH-Ebene ist eine Kette (2.6), wes- wegen zwischen verschiedenen epimorphen Bildern einer AH-Ebene stets wieder ein Epimorphismus existiert (2.10)!

Herrn Prof. Drake danke ich für wertvolle Hinweise bei der Abfassung der Arbeit.

1. Strukturverträgliche Abbildungen von AH-Ebenen

Im ersten Kapitel werden wir zeigen, daß wir uns bei der Betrachtung von strukturverträglichen Abbildungen affiner Hjelmslev-Ebenen im wesentlichen auf einen Typ beschränken können.

Bezüglich Begriffen wie Inzidenzstruktur und Inzidenzmorphismen verweisen wir auf [4].

160 G. Törner

1.1. Definition [8] Eine affine Hjelmslev-Ebene % = (9 9, I), kurz AH-Ebene, ist eine Inzidenzstruktur mit einer Äquivalenzrelation 11, für die folgende Axiome gelten :

(A 1) Zu zwei Punkten P und Q gibt es stets eine Gerade g mit f: Q I g.

(A2) Zu P und g gibt es genau ein h mit hllg und PIh. Zwei Punkte P, Q von % heißen benachbart, in Zeichen P- Q, wenn es zwei ver- schiedene Geraden g, h von X mit P, Q I g , h gibt. Zwei Geraden g, h von % heißen benachbart, in Zeichen g - h, wenn es zu jedem P I g ein Q I h mit P- Q und zu jedem P I h ein Q I g mit P - Q gibt. Die Negation von P - Q (g - h) be- zeichnen wir mit P Q ( g * h).

(A 3) Ist P I g, h, so ist gn-. h genau dann, wenn P der einzige mit g und h inzidierende Punkt ist.

(A4) Es gibt einen surjektiven Inzidenzmorphismus n : X+?? auf eine affine Ebene 2 mit folgenden Eigenschaften :

(i) n P = n Q o P - Q , (ii) n g = n h o g - h ,

(iii) Ignhl=O*ngIInh.

Bemerkungen. 1. Da in einer AH-Ebene neben der Inzidenzrelation auch eine Parallelitätsrelation und eine Nachbarschaftsrelation erklärt sind, müßten wir eigentlich korrekterweise X =(* 9, I, 1 1 , -) schreiben.

2. Die in (A4) angesprochene affine Ebene X werden wir, da sie bis auf Iso- morphie eindeutig bestimmt ist, als das kanonisch homomorphe Bild von % ansprechen und mit n irn folgenden den zugehörigen Homomorphismus be- zeichnen.

3. Mit L(e g) bezeichnen wir die Parallele zu g durch P. 4. Nichtbenachbarte Geraden nennen wir auch kreuzend. 5. Wir setzen: P - g o 3 Q I g mit P-Q. 6. Elementare Eigenschaften von AH-Ebenen, die wir in den Beweisen meist

unerwähnt lassen, findet man z.B. in [8].

1.2. Definition [7]. Unter einem Hjelmslev-Morphismus, kurz AH-Morphismus, c p : & +X2 der AH-Ebenen X2 verstehen wir eine Abbildung der Punkt- bzw. Geradenmenge von ¿X; in die von X2, die inzidenzerhaltend

und parallelentreu ist, d.h. P I g * cpPIcpg

gllh * cpgllcph.

Ist cp auf der Punkt- und Geradenmenge surjektiv, so nennen wir cp einen AH- Epimorphismus.

Bacon fordert in [2, 2.231 zusätzlich noch die Nachbarschaftstreue von

was für unsere Zwecke zunächst weniger geeignet erscheint. Dennoch bleiben einige wesentliche Eigenschaften der in [2] definierten Morphismen auch hier gültig.

Homomorphismen von affinen Hjelmslev-Ebenen

1.3. Lemma. Ist cp: ¿X; -+ 8, ein AH-Morphismus, so gilt: cpPIcpgo3h mit P I h und cpg=cph.

1.4. Definition. Ein Tripel 6 =(P,, P,, P,) von Punkten &X einer AH-Ebene &' heißt Basisdreieck, falls (n P,, n P,, X P,) nicht-ausgeartetes Dreieck in 2 ist.

Setzt man P, = L(P, , P, P,) n L(P, , P, P,), so nennen wir A = (P,, P,, P,, P,) das vervollständigte Basisdreieck von S oder kurz Basisparallelogramm. Jede drei- elementige Teilmenge bildet als Tripel offensichtlich wieder ein Basisdreieck.

1.5. Definition. Ein AH-Morphismus cp: 8, -+ X, heißt nicht-entartet, falls es in % Basisdreiecke gibt, so daß

gilt. Sind A i die zugehörige Basisparallelogramme, so ist, falls cp nicht-entartet ist,

auch cp [Ai] = A z . Wir bemerken, daß es uns bei dem Begriff des nicht-entarteten AH-Mor-

phismus nicht um die Auszeichnung von Basisdreiecken im Sinne von Basis- punkten in der Kategoriensprache geht, sondern wir wollen lediglich durch die Existenz von Basisdreiecken mit ( I ) eine gewisse Reichhaltigkeit von cp sicherstellen. Wenn wir im folgenden von den zu cp gehörigen Basisdreiecken sprechen, meinen wir daher ein Paar von Basisdreiecken Si, das (1) genügt.

1.6. Lemma Ist cp: JEq -+ X, nicht-entarteter AH-Morphismus, so gilt: cpPIcpgo3Qmit Q I g undcpP=cpQ.

Beweis. Wir zeigen ( a ) . Es seien Al = (P,, . . . , P,) bzw. A, = (cp P,, . . . , cp P,) zu cp gehörige Basisparallelogramme. Ferner seien hi Geraden mit P, 4 I hi (i = 1, . . . ,4). Ist hi - hj, SO gilt hi, hj N 4 T . Daher gibt es k, 1, so daß cp hk -.. cp hpcpg* cph, ist. Ist h ,ng+% oder hing+%, so wählen wir Q € h k n g bzw. Q ~ h , n g und cpP=cpQ mit Q Ig. Es sei also hk n g = % = h, n g angenommen. Dann ist n, hk(Jn, g, bzw. alhlIlnlg. Wegen n 1 P I n , h , , ~ , h k ist n,h,=n,hl, also hk-h,, d.h. h„h,-Pk4. Daher existieren i, j e { 1, . . . , 4 ) \ {k, I) mit hi n g =I= % und hj n g 9 %. Kreuzt eine der Geraden cphi, cp hj die Gerade cp g, so sind wir fertig. Wegen h i n g +% und hj n g +gf bleibt sonst lediglich der Fall cp hi, cp hj - cp g, also cpg - cp 48. Dann setze Q = g n L(P, 4 8 ) . Da cp parallelentreu ist, gilt cp L(P, 4 P,) llcp &P, -9 g, d.h. cpP=cpQ-

1.7. Definition. Ein nicht-entarteter AH-Morphismus cp: 8, -+ 8, heißt regulär, wenn es zu cp gehörige Basisdreiecke 6, =(Pl, P2,P3) bzw. 6,= (cp P,, cp P,, cp P,) gibt, so daß für alle Punkte X E PI gilt : X-&und c p X - c p q a i = j ( i , j ~ { l , 2 , 3 } ) .

1.8. Lemma Ist cp regulärer AH-Morphismus bzgl. der Basisdreiecke ai (i= 1,2) und setzt man P,=L(P,,P,P,)nL(Pj,P,P,), so gilt: X - 4 und cpX-cp4* i = j (i, j~ {L 2,3,4)).

Mit Hilfe des Begriffs eines regulären AH-Morphismus können wir zeigen, daß hinreichend viele nicht benachbarte Geraden unter cp wiederum in kreuzende Geraden abgebildet werden.

162 G. Törner

1.9. Lemma. Es sei cp regulärer AH-Morphismus bzgl. der Basisparallelogramme Al =(Pl, . . . , P,) und A, = ( c p P,, . . . , cp P,). Z u jedem Punkt P gibt es Geraden hi , h j , hk mit P , e I h i , P ,P, Ih j und P , P , I h k , die

genügen. hi l-hj-c.hk+hi und cphi+qhj-uqhk-cphi

Beweis. Wie schon oben erwähnt impliziert h, - h, stets h,, h, - EP,. Daher befindet sich unter den Geraden h,, . . . , h, bzw. cp 12, , . . . , cp h, jeweils höchstens ein Paar (verschiedener) benachbarter Geraden. Sind h,, . . . , h, oder q h, , . . . , cp h , paarweise kreuzend, so ist (2) offensichtlich gewährleistet. Sei also nun 0.B.d.A. h, - h, angenommen. Also gilt h,, h , -Pl P, und somit P - P, P,. Wegen der Regularität von q ist der Fall cp h , - cp h, auszuschließen, d.h. h, 1- h, und cp h , + cp h,.

Neben h,, h, wählen wir als dritte Gerade h, ( i= 1,2) so, daß deren Bild cp h , weder zu cp h, noch zu cp h, benachbart ist.

Man erkennt ferner sogleich:

1.10. Lemma. Ist q regulärer AH-Morphismus bzgl. der Basisparallrlogrammr A,=(P,, ..., P,) bzw. A,=(cpP,, ..., cpP,), so folgt aus E I g , g-E? und c p g - q c P , stets j = k.

Im folgenden benötigen wir eine Zusatzbedingung, die irn kanonisch homo- morphen Bild der AH-Ebene das Fano-Axiom in seiner schwachen Form nach sich zieht:

(F) Die Diagonalen eines Basisparallelogramms schneiden sich.

1.11. Lemma. Es sei cp regulärer AH-Morpliismus bzgl. der Basisparallelo- gramme Ai , die der Bedingung ( F ) genügen. Für jede Gerade hi mit C I hi und jeden Punkt X I hi gibt es einen Punkt Z I h,, so da@ Z X , 4 und q Z 1- q X , q 6 gilt.

Beweis. 0.B.d.A. sei hi = h, und E =Pl . Ist P, P, 1- h,, so setze Z , = h, n L(P„ P, P,) und Z , = h, n L(P,, P, P,). Man beachte, daß wegen (F) L(P,, P, P,) -u L(P, , P, P,) gilt. Also ist Z l 1-Z2 und somit Z , , Z , -P,, q Z , , q Z , +P,. Ist 0.B.d.A. Z , - X , so kann aufgrund der Regularität von cp der Punkt cp Z , nicht zu cp X benachbart sein. Gilt dagegen P, P, - h,, so setzen wir Z , = h, n PP, P, und Z , = h, n L(P„ P, P,). Wiederum läßt sich, wie oben behauptet, ein geeignetes Z E {Z,, Z,} finden.

Mit Hilfe der Lemmas 1.9- 1.11 werden wir imstande sein, reguläre AH- Morphismen durch ihr Verhalten bzgl. benachbarter bzw. nicht benachbarter Punkte beschreiben zu können. Zuvor stellen wir noch zwei weitere Begriffe bereit:

1.12. Definition. Ein AH-Morphismus q: X, + 2, heißt nachbarschaftstreu (nahtreu), falls

V P , Q E X ~ : P - Q a c p P - q Q , ferntreu, falls

V P , Q E ~ , : P + Q + q P 1 - q Q .

Offensichtlich gilt:

1.13. Lemma. a) Jeder ferntreue AH-Morphismus ist regulär. b) Jeder nahtreue, nicht-entartete AH-Morphismus ist regulär.

Ferner erhalten wir für Epimorphismen folgende Charakterisierungen:

Homomorphismen von aflinen Hjelmslev-Ebenen 163

1.14. Lemma. Seien & AH-Ebenen mit den kanonischen Projektionen ni: z. -+ ( i = 1,2) und c p : -+ Z2 ein AH-Epimorphismus.

a) cp ist ferntreu genau dann, wenn ein Epimorphismus F : 3, der affinen Ebenen 4, 2, mit n , = ij5 0 n , 0 cp existiert.

b) iI/ ist nahtreu genau dann, wenn ein Epimorphismus $: ¿X; -+ g2 der affinen Ebenen SI, 2, mit o n , = n2 o iI/ existiert.

I"' * "3,

Beweis. a) (=) Offensichtlich vererbt sich die Eigenschaft der Ferntreue von cp bzgl. der Punkte auch auf Geraden. Somit ist @: n 2 ( p P w n 1 P bzw. @: n2 cpgwnl g wohldefiniert und surjektiv. Wegen 1.6 ist ij5 inzidenzerhaltend. Ist 7~~cpglln~cphundo.B.d.A. n,cpgnn,cph=%,soistauchcpgncph=% und damit g n h=%, also wegen A4 stets n, gJln, h.

(e) Sei cp P - cp Q, also n, cp P = n, cp Q und daher 71, P = n , Q. Mit A4 folgt P-Q, was die Ferntreue von cp belegt. Entsprechend beweist man b).

1.15. Satz. Es sei cp: ¿X; + X, regulärer AH-Morphismus der AH-Ebenen JEq , Z2 und es existiert ein Paar cp zugeordneter Basisvierecke (P,, . . . , P,) bzw. (cp P,, . . . , cp P,), die der Bedingung (F) genügen. Dann ist cp nahtreu oder ferntreu.

Beweis: Annahme. Es gibt Punkte X , - X , mit cp X , - cp X , und Punkte Y, - Y, mit cp Y,-cp Y,.

Wir zeigen nun, daß es dann auch ebensolche Punktepaare auf den Seiten der Basisparallelogramme geben muß. Sei X , - X,. Nach Lemma 1.9 gibt es wenigstens drei paarweise kreuzende Geraden g, , g,, g, durch X, , deren Bilder sich ebenfalls paarweise kreuzen. Ist cp k Icp X, , cp X,, SO gibt es sicher g, mit cp k -cp gi. 0.B.d.A. sei gi = h, und somit P, Ig,. Aufgrund von 1.1 1 gibt es Z Igi mit Z- . P,, X , und cp Z-(P P,, (P X,. Wegen 1.10 finden wir auf P, P, oder P, P, einen Punkt T als Bild von X, unter der Projektion von Z, so daß P, - T, aber cp P, - cp T gilt. Entsprechend verfahren wir mit den Punkten Y„ Y, und erhalten auf einer Basisgerade einen Punkt U mit e-. U, cpe-cp U.

Nach eventuell weiteren Projektionen können wir davon ausgehen, daß Punkte I) W I 4 , P, mit

V-P, und cp V-cpP, bzw.

W - P , und cpW-cpP, existieren. 12 Math. Z., Bd. 141

G. Törner

Fig. I

Wir setzen E = P, P, n P, P,. V- P, impliziert VE -P, E. Setze I;'= P, P, n VE und V, = P, P, n L ( e P2 P,). Also gilt V, -P4 und V, P,. Daher ist T/, V2 - P, E undsomitP,P,n I/, V2=V3-P,. WegencpV.l-cpP, istcpI:-cpP,,wegencpW-cpP2 aber cp V, V2 - cp P, = cp P, P,, also cp V, - cp P,. Somit existiert ein Punkt V, mit V3 -P,, aber cp V3 - pP2, was der Regularität von cp widerspricht. Die obige Annahme ist daher falsch und 1.15 bewiesen.

Mit einem Resultat von Bacon [2, 2.651.

1.16. Satz Jeder nicht-entartete, nahtreue AH-Morphismus ist ferntreu.

erhalten wir den angekündigten Hauptsatz: - - - - - - - - - - - -

1.17. Hauptsatz. Es Sei i 3Eq 4-', regutärer AH-Morphismus der A H - Ebenen X I , X; und es existiert ein Paar cp zugeordneter Basisparallelogramme, die der Bedingung ( F ) genügen. Dann ist cp ferntreu.

Unter den sinnvoll erscheinenden schwachen Zusatzbedingungen, die bei einer algebraischen Beschreibung der Homomorphismen unabdingbar erscheinen, erweist sich daher die Klasse der ferntreuen AH-Morphismen als die gesuchten relevanten strukturverträglichen Abbildungen von AH-Ebenen. Sie umfaßt offensichtlich die bei Bacon [2] und Artmann [I] betrachteten Abbildungen, wobei die Untersuchung von desarguesschen Ebenen die Existenz von ferntreuen AH-Morphismen, die nicht nahtreu sind, belegt. Allerdings sind solche AH- Morphismen keine Epimorphismen.

Beschränkt man sich auf Epimorphismen, so gilt:

1.18. Satz. Für einen AH-Epimorphismus cp: 2, + X2 der AH-Ebenen X, , X2 sind folgende Aussagen gleichwertig:

a) cp ist nahtreu. b) cp ist ferntreu.

Beweis. Nach einem Satz von Corbas [3], dessen Beweis von Bacon [2, 2.63 bzw. S. 2381 verbessert wurde, sind Epimorphismen affiner Ebenen schon Iso- morphismen. Wegen 1.14 sind daher a) und b) offensichtlich äquivalent.

Homomorphismen von affinen Hjelmslev-Ebenen 165

2. Ferntreue AH-Morphismen und Kongruenzrelationen Um Eigenschaften von ferntreuen AH-Morphismen aufzeigen und nach-

weisen zu können, interessieren wir uns nun für „KerneG' bzw. die zugehörigen induzierenden Äquivalenzrelationen solcher Abbildungen.

Ist cp: XI + 2, ein ferntreuer AH-Morphismus, so definiert P T, Q o cp P = cp Q in der Punktmenge von X, eine Äquivalenzrelation T, mit folgenden Eigenschaften:

(1) T,GW>

(2) P T , Q , P I g , g - h * g n h . r , L ( Q , g ) n h .

Äquivalenzrelationen mit den Eigenschaften (1) und (2) werden wir jetzt unsere Aufmerksamkeit widmen.

2.1. Definition. Ist T eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Punkte einer AH-Ebene, so heißt T eine Kongruenzrelation (K-Rel.) , wenn gelten

(K l ) T G W ,

(K2) P ~ Q , P I g , g + h * g n h z L ( Q , g ) n h .

Bemerkungen. 1. id c T c - ( P = Q o ( P , Q) E id). 2. - ist K-Rel. Mit [PIr bezeichnen wir im folgenden die Äquivalenzklasse von P bzgl. T.

2.2. Lemma. Sei X AH-Ebene und t K-Rel. Für alle Fahnen (P, g), (Q, h) gilt:

I[PIrngl=ICQlznhl.

Beweis. Man überlegt sich, daß man sich auf den Fall P = Q beschränken kann. Dann projiziere man parallel.

2.3. Lemma. Sei X AH-Ebene und t K-Rel. P I g h, Q Ig , R I h, g - h. Dann impliziert Q T R stets P T Q und P T R.

2.4. Lemma. Es seien T„ T, K-Rel. einer AH-Ebene ferner AIg und [ A l , n g c [ A l „ n g. Dann gilt:

[ A l „ [Al„.

Beweis. Ist I[A],I = I, so sind wir fertig. Wegen 2.2 können wir davon aus- gehen, daß es BXg mit @T, A gibt. Sei A, B I h, dann existiert mindestens eine Gerade k I A mit k-g, h. Setzen wir B'= L(B, k ) n g~ [ A l „ n g, so ist B' T, A. Mit (K 2) erhalten wir B T, A.

2.5. Satz In einer AH-Ebene X ist jede K-Rel. durch den Schnitt einer Äqui- i~alenzklasse eines Punktes mit einer inzidierenden Geraden festgelegt.

Beweis. Wir zeigen: Ist A ein Punkt in X und T„ T, K-Rel. mit [ A ] „ n g ~ [ A l „ n g , so ist für alle Punkte B stets [ B I r l ~ [B]„. Es genügt, die Behauptung für Punkte B - A zu verifizieren.

Ist I[B],J = 1, so sind wir fertig. Also können wir nun davon ausgehen, daß es auf jeder Geraden h I B einen Punkt YE [B]„ mit Y + B gibt. Wegen 2.4 ist [Alr l c [Al„. Sei g I A, B. Nach 2.4 genügt es, [BIrl n h c [B]„ n h insbesondere für eine Gerade h - g mit B I h nachzuweisen. Sei Y 1 h und B T , Y. Für Z = k n L( g) mit A I k -g folgt A T, Z, also A T, Z und wegen (K 2) auch B T, Y. 12'

166 G. Törner I

I I I Von grundlegender Bedeutung für die Struktur der AH-Ebenen ist nun: I

I

( 2.6. Satz. Die Menge der K-Rel. einer AH-Eberte X ist durch Inklusion linear 1

1 geordnet. I I

I I Beweis. Es genügt zu zeigen: 1

I

0.B.d.A. können wir voraussetzen, daß [ A l „ [ A l „ mehr als einen Punkt ent- 1 halten. Sei X E [ A l , und X $ [ A l „ . Es sei g I A, X . Wir wählen h -g mit A I h. Sei 1 Y E [ A ] „ ~ h. Setze k I X , Y. Ware k c g , so folgte mit 2.3 und Y i , A auch X r , Y i2 A. ~

I Widerspruch ! Also gilt g - k und somit h - k. Mit X r2 A und A = L(A, k) n h T, k n h 1 1 = Y folgt daher Y r , A, was aufgrund von 2.4 die Behauptung verifiziert. I I Dieser Satz kann, ähnlich wie im projektiven Fall in [9] ausgeführt, als Aus- gangspunkt einer Klassifizierung von AH-Ebenen dienen. Dabei benutzt man 1

1 vorteilhaft den Ordnungstyp der Menge der Kongruenzrelationen bzw. spezieller I I Kongruenzrelationen als Strukturmerkmal. Die von Drake [5] bzw. Artmann [ I ] 1 I angegebenen Klassen von Hjelmslev-Ebenen Lassen sich hier sinnvoll einordnen. ~ I Wir erwähnen als Beleg folgendes Lemma: I

1 2.7. Lemma. Jede uniforme AH-Ebene 181 besitzt genau zwei Kongruenz- ( I relationen, nämlich - und id. I

1 Beweis. Sei i d + t K-Rel. von 2 Es genügt wegen 2.4 und 2.6 zu zeigen: I [Al-nhc[A] ,nhfüre inh .Se i A-Bmit A,BIg.Nach2.2gibtesaufh-gmit ( Ai h einen Punkt X =+ A mit A T X. Sei k I X, B. Wegen der Uniformität von X I kann k nicht zu g benachbart sein. Also gilt k-g und somit aufgrund von ( K 2 ) I B i X , d.h. A i B .

Die Umkehrung von 2.7 gilt nicht. Unlängst wurde von Drake [6] eine endliche k - - - - - - - - - - - - - - - I AH-Ebene angegeben, die nicht uniform i s t und ebenfalls nur die trWialen-K-Rel. 1 besitzt. I I

Wie wir am Anfang des Kapitels bemerkt haben, gilt nun I 2.8. Lemma. Für jeden ferntreuen AH-Morphismus cp: X, S2 definiert

I

I

I eine Kongruenzrelation 7, in X'. I I

I In Anwendung von 2.5 und 2.8 erhalten wir I I

1 2.9. Lemma. Jedes ferntreue, epimorphe Bild einer AH-Ebene, das AH-Ebene1

1 ist, ist bis auf Isomorphismen eindeutig bestimmt durch das inverse Bild eines1 I Punktes.

I

( Die lineare Ordnung in der Menge der Kongruenzrelationen zieht für ferntreuel I AH-Epimorphismen folgende interessante Eigenschaft nach sich: I

( 2.10. Satz Es seien cp,: Af -t & ferntreue AH-Epimorphismen der ~ ~ - ~ b e n e n l I lf,z(i=172). I Dann existiert mindestens ein fernireuer AH-Epimorphismus $ij:

! ( i 7 j € { 1 , 21, i+j). I I

Homomorphismen von affinen Hjelmslev-Ebenen 167

Sei 0.B.d.A. wegen 2.6 und 2.8 T„ c T„. Dann ist offensichtlich *,, : cp , P-cp, P bzw. *„: c p , gwcp2g

X . , ; \

1 ' P2

'I % *U >%

wohldefiniert und surjektiv. Sei V , P I cp, g , so gibt es Q I g mit cp, P = cp, Q (1.6), also cp, Q = c p , P I c p , g.

$„ ist somit inzidenzerhaltend. Sei cp, gllcp, h; ist cp , g = cp, h, so ist sicher cp, g = cp, h, also c p , g 1 1 c p , h. Ist dagegen cp, g n c p , h = 0, so auch g ( 1 h, mit cp , h, = cp , h, also cp, gllcp, h. Nach 1.18 sind ferntreue AH-Epimorphismen überdies nahtrey d.h. c p , P -. cp, Q impliziert P * Q, also auch cp, P* cp, Q, weswegen i I /„ ferntreu (und auch nahtreu) ist.

Analog wie irn projektiven Fall [9] fuhrt man den Beweis von 2.1 1 :

2.11. Satz Sei c p : 3Eq + X2 ferntreuer Epimorphismus der AH-Ebenen X,, X,. Dann gibt es eine bijektive, isotone Abbildung f der Kongruenzrelationen z von X, mit T, c z c - auf die Kongruenzrelationen von X,.

Da der Verband der Kongruenzrelationen eine Kette ist, ergibt sich durch Induktion unter Benutzung von 2.11 und 2.7:

2.12. Satz Eine AH-Ebene der Höhe n (Artmann [I]) besitzt genau n Kon- gruenzrelationen.

Literatur 1. Artmann, B.: Hjelmslev-Ebenen mit verfeinerten Nachbarschaftsrelationen. Math. Z. 112, 163 - 180

(1969) 2. Bacon, P.Y.: Coordinatized Hjelmslev Planes. Dissertatloa University of Florida, Gainesville 1974 3. Corbas, V.: La non existenza di omorfismi propri fra piani affini. Rend. Math. 24,373 - 376 (1965) 4. Dembowski, P.: Finite geometries. Berlin-Heidelberg-New York: Springer 1968 5. Drake, D. A.: On n-uniform Hjelmslev planes. J. combinat Theory 9, 267 - 288 (1970) 6. Drake, D. A., Shult, E.: Construction of Hjelmslev planes from (t, r)-nets. Preprint 1974 7. Lorimer, J. W.: Morphisms and the Fundamental Theorem of affine Hjelmslev planes. Mathematical

Report 64, McMaster University, Hamilton, Ontario, Canada 1973 8. Lüneburg, H.: Affine Hjelmslev-Ebenen mit transitiver Translationsgruppe. Math. Z. 79, 260-288

(1 962) 9. Törner, G.: Eine Klassif~ierung von Hjelmslev-Ringen und Hjelmslev-Ebenen. Mitt. math. Sem.

Gießen 107 (1974)

Dr. Günter Törner Mathematisches Institut der Justus Liebig-Universität D-6300 Gießen Arndtstr. 2 Bundesrepublik Deutschland

(Eingegangen 7. Oktober 1974)