houle
DESCRIPTION
Fonctionnement d un houleTRANSCRIPT
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MAMADOU DIARRA
ESSAIS EN CANAL A HOULE DES FORCES EXERCES SUR UN MUR DFLECTEUR ET DU FRANCHISSEMENT DES VAGUES PAR-DESSUS
LE MUR
Mmoire prsent la Facult des tudes suprieures de l'Universit Laval
dans le cadre du programme de matrise en GNIE CIVIL pour l'obtention du grade de matre es sciences (M.Se.)
DEPARTEMENT DE GENIE CIVIL FACULT DES SCIENCES ET DE GNIE
UNIVERSIT LAVAL QUBEC
OCTOBRE 2007
Mamadou Diarra, 2007
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RSUM
Une tude en modle rduit a t entreprise en vue de dterminer les forces, les moments et le franchissement des vagues sur des murs munis de dflecteurs ou chasse-mer. Ces ouvrages sont placs en bordure des routes longeant la mer, particulirement sur la pninsule gaspsienne.
Les essais ont t effectus dans le canal houle du laboratoire d'hydraulique de l'Universit Laval, sous les conditions de vagues, rgulires, de profondeurs d'eau et pour une pente du fond de 1 : 10 devant le mur. Les essais en laboratoire ont galement t raliss sur deux murs de hauteur diffrente, soit une chelle de Fraude de 1 : 15.
Quatre dflecteurs, ayant des rayons de courbure de 40 et 80 mm l'chelle de 1 : 15 et de 30 et 60 mm l'chelle de 1 : 15, ont t tests en laboratoire, de faon comparer leur effet sur les forces et le franchissement des vagues.
Les donnes des hauteurs de vagues, des forces et des moments ont t enregistres l'aide du logiciel DaisyLab, puis calcules l'aide du logiciel Matlab et enfin analyses dans Lxccl pour en obtenir les statistiques de leur variabilit.
Le montage exprimental est dcrit dans le chapitre 2. Le chapitre 3 prsente les diffrentes conditions des essais effectus en laboratoire. Les rsultats et leurs interprtations sont prsents dans le chapitre 4. Le chapitre 5 prsente les analyses statistiques. La conclusion et les recommandations dcoulant de cette tude se retrouvent au dernier chapitre.
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AVANT-PROPOS
Mes gratitudes reconnaissances vont mes parents dfunts qui m'ont fait sortir du flau de l'analphabtisme.
Le professeur Y von Oucllct a t un directeur patient attentif qui m'a soutenu durant tout mon mmoire par ses eonseils judicieux. Le soutien continu qu'il m'a apport, que ce soit d'ordre scientifique ou moral, m'a t trs prcieux et m'a permis de mener ce travail terme. Il a su m'inculque d'une manire heuristique les principes de l'hydraulique maritime et galement l'merveillant continuel. Qu'il trouve ici ma gratitude reconnaissance.
Je suis profondment reconnaissant au professeur Franois Anctil pour ses prcieux conseils.
Je remercie le ministre des Transports du Qubec qui est le promoteur du projet.
Mes remerciements vont messieurs Danny Crpault et Martin Lapointe, les techniciens du laboratoire, pour leur aide perptuelle tant moral et technique pendant mes mesures de donnes.
tous les professeurs du Dpartement de gnie civil et tout le personnel, je leur dis merci pour leur aide technique et administrative.
Je ne pourrais terminer sans ma reconnaissance la famille Diabat qui m'a soutenu moralement durant toutes mes ludes de matrise.
mon fils Filip
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TABLE DES MATIRES RSUM Il
AVANT-PROPOS III
TABLE DES MATIRES IV
LISTE DES FIGURES VI
LISTE DES TABLEAUX VII
LISTE DES SYMBOLES VIII
CHAPITRE I I
INTRODUCTION I
1.1 BIBLIOGRAPHIE 3
1.2 OBJECTIFS DE LA MATRISE 10
CHAPITRE 2 11
2:0 DISPOSITIF EXPRIM ENTAL 11
2.1 QUIPEMENTS I I 2.2 SIMILITUDE DE FROUDE 22
C H A P I T R E 3 2 5
3.0 LES ESSAIS DE H O U L E RGULIRE 2 5
C H A P I T R E 4 4 0
4.0 R S U L T A T S ET LEUR I N T E R P R T A T I O N 4 0
4.2 F R A N C H I S S E M E N T DES V A G U E S 4 5
4.4 I N F L U E N C E DU D F L E C T E U R 4 6
C H A P I T R E S 4 8
5.0 ANALYSE STATISTIQUE DES RSULTATS 48
5.1 INDICATEUR DE DISPERSION ET DE TENDANCE CENTRALE 48
5.2 CARTE DE CONTRLE POUR LES HAUTEURS DE VAGUES 51
5.2.1 Limite de contrle statistique 51
5.3 M THODE ANOM POUR 52
5.4 ANOM MULTIFACTORIELLE 54
5.4.1 ANOM pour les hauteurs d'eau 54 5.4.2 Analyse le la variance 55
CHAPITRE 6 63
6.0 CONCLUSION ET RECOMMANDATIONS 63
RFRENCES 65
ANNEXE 2 71
RSULTAT DES ESSAIS 71
ANNEXE 3 78
FORCES MAXIMALES DES VAGUES DFERLANTES SUR DES MURS VERTICAUX 78
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ANNEXE 4 91
PROGRAMMES MATLAB 91
ANNEXE 5 98
GRAPHIQUES DES MAXIMUMS DE LA FORCE 98
HORIZONTALE, DE LA FORCE VERTICALE ET DU MOMENT 98
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LISTE DES FIGURES
Fig. 2.1 - Schma du montage exprimental dans le canal houle du laboratoire d'hydraulique.. 12
Fig. 2.2-Vue agrandie du mur dflecteur en canal houle 13
Fig.2.3-Schma de la plate-forme de mesure 15
Figure 2.4: Exemple enregistrement d'un fichier de forces 19
Figure 2.5: Exemple enregistrement d'un Fichier de hauteur 19
Figure 3.1 : Exemple d'enregistrement de houle incidente 24
Figure 3.2a: Variation des hauteurs de vagues incidentel de l'essai 49 1 32
Figure 3.2-b: Variation des hauteurs de vagues incidente2 de l'essai 49 1 33
Figure 3.2-c: Variation des hauteurs de vagues incidente et rflchi de l'essai 49 I 33
Figure 3.3-a: Variation des maximums des forces horizontales de l'essai 49 1 34
Figure 3.3-b: Variation des maximums des forces verticales de l'essai 49_1 34
Figure 3.3c: Variation des maximums du moment de l'essai 49_1 35
Figure 4.1a : Variation de l'\mm en fonction de H 37
Figure 4.1b: Variation de Fwim en fonction de //,,. 38
Figure 4.1c : Variation de F , en fonction de //,,, 38
Figure 4.2a : Variation de /''... en fonction de //,,. 39
figure 4.2 b : Variation de F.mn. en fonction de H mm, 39
Figure 4.2 c : Variation de F en fonction de //,,. 40
Fig.5.1 : Limite de contrle statistique des hauteurs moyennes 46
Fig.5.2: Carte de contrle statistique de R 47
Fig. 5.3: ANOM des hauteurs moyennes avec limite de dcision 90% 48
Fig.5.4: Limite de dcision ANOM pour les hauteurs d'eau 49
Fig.5.5: Limite de dcision ANOM pour les dflecteurs 49
Fig. 5.6: Limite de contrle statistique des forces horizontales moyennes 54
Fig. 5.7: carte de contrle des forces horizontales moyennes 55
Fig.5.8: Limite de dcision ANOM des dflecteurs 55
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LISTE DES TABLEAUX
Tableau 2.1 : Sensibilits des capteurs pi/.o-lectriques fournies par le fabricant 16
l'ableau 3. 1 - Srie d'essais l'chelle I: 15 avec le delleeteur bleu de rayon 40 mm 25
l'ableau 3. 2 - Srie d'essais l'chelle 1:15 avec le dfleclcur jaune de rayon 60 mm 26
l'ableau 3. 3 - Srie d'essais l'chelle 1:15 avec le dflecteur vert de rayon 80 mm 28
l'ableau 3. 4 - Srie d'essais l'chelle 1:15 avec le dflecteur rouge coup de rayon 30 mm ....29
l'ableau 3. 5 - Srie d'essais l'chelle 1:15 avec le dflecteur rouge non coup de rayon 30 mm
31
l'ableau 5.1 : Formules de l'estimation de " partir de la mthode intra-groupe 44
l'ableau 5.2: Donnes groupes de la moyenne des essais de hauteur pour diffrents dflecteur. 45
l'ableau 5.3: partition de la variance 52
Tableau 5.4: Donnes de groupe des forces horizontales 54
Tableau 5.5: Analyse de la variance des hauteurs moyennes de vague 56
l'ableau 5.6 : Inlluence du rayon de courbure du dflecteur (Sries d'essais avec diffrents
dflecteurs) 56
'Tableau 5.7: Inlluence de la profondeur d'eau (lis) devant le mur (Sries d'essais avec diffrents
dflecteurs) 57
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LISTE DES SYMBOLES
Alh Matrice thorique de transfert
Cl Constante de Philips
en Fonction cosinus elliptique
EL nergie totale transporte par une vague de hauteur II et longueur d'onde L par
unit de largeur [J/m]
Fr Nombre de Froude [sans dimensions]
F.v, F/ : Composantes des forces suivant OX et OZ [N]
// I lauteur de vague, diffrence entre crtes et creux [m]
Hx I lauteur de vague en eau profonde, diffrence entre crtes et creux [m]
K Sensibilit des capteurs pizo-clcctriques [N/V]
kl k2 Fonctions
k] k2 Fonctions
L Longueur d'onde[m]
/./ chelle gomtrique entre le modle et le prototype [sans dimensions]
My : Moment transversal par rapport l'axe OY [N.m]
M Masse [kg]
OXYZ Rfrentiel cartsien, systme d'axes orthonorms
pin Pression moyenne
Q Dbit volumique d'eau [m3/s]
I V Surface [m2]
T Priode de la houle incidente [s]
V Vitesse du fluide [m/s]
g Acclration de gravit [m/s2]
h Profondeur d'eau dans le canal [m]
//s Profondeur d'eau juste en face de la structure [m]
y Poids volumique de l'eau [N/m3]
/; Masse volumique de l'eau [kg/m3]
Ai: Erreur de mesure absolue
S Ecart-type chantillon
S Moyenne des cart-types
0 art-type de la population
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VI11
Estimateur de l'cart-type de la population
Moyenne de la population
Moyenne chantillon
Moyenne des moyennes
Distance d'application des forces, [m]
Signal lectrique mis par le capteur
constante de calibration
Distance d'application des forces, [m]
Indice pour le modle
Indice pour le prototype
Expression de la surface libre
Potentiel des vitesses
Coefficient de masse
Coefficient dynamique.
Les drives des fonctions de Bessel
Un pic de frquence
Vitesse du vent une hauteur de 10 mtres
Niveau d'eau
Section de hauteur
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CHAPITRE 1
INTRODUCTION
Une tude en modle rduit a t entreprise en vue de dterminer les forces, les moments et le
franchissement des vagues sur des murs munis de dflecteurs ou chasse-mer. Ces ouvrages sont
placs en bordure des routes longeant la mer, particulirement sur la pninsule gaspsienne. Le
modle est sens reprsenter certaines caractristiques retrouves dans la partie nord de la
pninsule gaspsienne situe dans la province de Qubec, Canada. Il s'agit d'un mur littoral qui
s'tend environ sur 25 kilomtres, construit en terre arme dans les annes 80 (AI-2). L'tude
mene cherche valuer les principaux paramtres de conception pour des conditions de vagues
que l'on peut retrouver tout le long de la cte gaspsienne. Normalement, ces conditions de
vagues ont t calcules thoriquement et calibres partir de mesures in situ ralises partir de
boues places au large.
Ces essais ont t effectus dans le canal houle du laboratoire d'hydraulique de l'Universit
Laval. Les essais ont t raliss sous diffrentes conditions de vagues, rgulires, de profondeurs
d'eau et pour une pente du fond de 1:10 de talus simulant la plage place devant un mur littoral
de hauteur l'chelle de fronde de 1:15, de faon pouvoir dterminer l'influence de ces
facteurs sur les rsultats. Quatre dllecteurs, ayant des rayons de courbure de 30 ,40, 60, et 80
mm, donnant l'chelle de 1:15 450 mm, 600 mm, 900 mm, et 1200 mm, ont t tests en
laboratoire, de faon comparer leur effet sur les forces et le franchissement des vagues.
Les donnes des hauteurs de vagues, des forces et des moments ont t enregistres l'aide du
logiciel DaisyLab, puis calcules l'aide du logiciel Mallab et enfin une analys statistique
dans Lxcel pour en obtenir les statistiques de leur variabilit partir de la rgression linaire et de
vrifier la stabilit du processus d'exprimentation en planification statistique d'exprience.
Une condition essentielle pour avoir des mesures de qualit est de s'assurer que les
caractiisticiues du produit considr restent constantes au cours du temps. La Matrise Statistique
des Procds est largement utilise pour dterminer si un procd est stable et pour le piloter dans
le temps. Lorsque les caractristiques intressantes sont mesures (plutt que uniquement
observes), il est courant d'afficher graphiquement les chantillons collects des mesures et de
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2
visualiser des statistiques telles que la moyenne et l'tendue. Une carte de contrle typique affiche
les statistiques des chantillons avec des limites de contrle suprieur et infrieur:
Le principe statistique pour y arriver est la rplication (ou rptition) des essais. Les mthodes
d'analyses de donnes proposes sont:
if Analyse des moyennes (Anom);
K Analyse de la variance (Anova);
ir Tests de signification
Le montage exprimental est dcrit dans le chapitre 2. Le chapitre 3 prsente les diffrentes
conditions des essais effectus en laboratoire. Les rsultats et leurs interprtations sont prsents
dans le chapitre 4. Les analyses statistiques sont prsentes dans le chapitre 5. La conclusion et
les recommandations dcoulant de celte tude se retrouvent au dernier chapitre.
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3
1.1 BIBLIOGRAPHIE
Nous prsentons ici une synthse de quelques travaux effectus sur la houle et quelques ouvrages
de protection.
r Boiras, Margnoux, 1999 ont ralis une tude sur la houle et les ouvrages de protection
adapts. Leurs travaux portent sur trois types de digues classiques:
La digue verticale: Ralise suivant les conditions moyennes de houle et des profondeurs
importantes. Ces ouvrages ncessitent un terrain de qualit, compte tenue d'une grande possibilit
d'affouillement des lames d'eau au pied du mur,
Les digues talus: Ces catgories de digue prsentent un grand avantage sur le plan
conomique, par contre un grand risque de glissement et de destruction de la carapace est trs
prsente,
Les digues mixtes : comportent une muraille sur un massif de fondation.
> R. Bonnefille, 1976: un ouvrage qui vise rsoudre la prvision des effets hydrauliques
sur la mare et les bancs de sdiments dus aux grands ouvrages comme les usines marmotrices et
les grands amnagements portuaires, jusqu'aux problmes lis la conception des petits ports, en
particulier les ports de plaisance en passant par les calculs des efforts de la mer sur les structures.
Le manuel est expurg des grands dveloppements mathmatiques qui dfinissent avec rigueur
les domaines de validit de l'emploi des outils mathmatiques pour modliscr les mouvements de
la mer
^ Les premires observations systmatiques ainsi que les expriences sur des vagues
solitaires peuvent probablement tre attribues Russell (IX3X, 1X44), qui a d'abord reconnu
l'existence d'une vague solitaire.
r- Kortcweg et de Vries (1X95) ont dvelopp une thorie de vague nomm la thorie
cnodale. La thorie cnoidale est applicable aux vagues d'eau peu profonde d'amplitude finie et
inclut tant des effets de dispersion que nonlinarit. Cette thorie est limite aux vagues
progressant dans seulement une direction.
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4
> Wiegel (1964) a de loin simplifi les travaux prcdents pour des applications techniques.
Des amliorations complmentaires rcentes la thorie ont t faites par Milles (1981); et
Fenton(1972, 1979).
V Yvon Ouellct, dans sa recherche au Dpartement de gnie civil de l'Universit Laval, a
mis en vidence diffrents types d'interactions des vagues avec une structure verticale et ce afin
d'valuer le comportement pulsatif des forces de pressions engendres par des houles non
dferlantes et dferlantes.
> Airy (1X45) proposa une solution approche au systme dcrivant le mouvement de la
houle (tude des ondes), en linarisant l'quation de quantit de mouvement. Celte solution est 2 2
valide dans l'hypothse de linarit, c'est dire quand le terme (w + w ) est ngligeable devant
les autres. La solution de Airy est valable pour les ondes de petite amplitude, autrement dit
l'amplitude est beaucoup moins importante par rapport au ratio de la longueur d'onde sur la
profondeur d'eau.
'> I ,e modle de houle de Gestner a t introduit en 1802. Il suppose que la longueur d'onde
est ngligeable devant la profondeur et que l'coulement est irrotationnel, ce qui implique qu'il
drive d'un potentiel.
'r Parlant des mmes hypothses, Stokes introduit un modle prenant en compte la laible
profondeur. Ce modle est bas sur l'intgration par dveloppement limit des quations
diffrentielles dtermines avec l'hypothse selon laciuelle les vitesses drivent de potentiels
(irrotationalit).
La thorie gnrale des ondes qui se propagent vitesse constante sans altration de forme a t
tablie par Stokes sur le plan cinmatique en 1847.
Pour utiliser le modle de Stokes au premier ordre, certaines hypothses doivent tre prises en
compte. La cambrure doit tre faible, c'est dire que l'amplitude doit tre faible devant la
longueur d'onde ainsi que la profondeur. L'quation au premier ordre:
11 cos (la - wl )
glIT eosh(/c(z + /7))
An
2K tanh
sinh(A7?) sin (kx-wt)
-
s
est l'expression de la surface libre et
-
6
y Korteweg et De Vries (1895), Wiegel (1960) ont ralis une tude mathmatique sur les
houles cnodales, et qui doivent leur nom ce que leur tude fait appel la fonction cosinus
elliptique reprsente traditionnellement par le symbolec/.
> L'tude mathmatique des ondes solitaires a t ralise par Russel (1844), Boussinesq
(1871), Rayleigh (1876), MacCowan (1891), Weinstein (1926) et qui correspondent au cas limite
de houles cnodales de priodes et de longueurs d'onde infinies.
Ces types d'ondes priodiques simples ne correspondent toutefois qu' des modes diffrents
d'approche mathmatique d'une seule et mme ralit physique puisqu'on peut voir des lames
venant du large passer progressivement du stade de la houle sinusodale celui de la houle tic
Miche, puis de la houle cnodale et de l'onde solitaire avant de se briser et de dferler lorsqu'elles
arrivent sur des plages en pente douce (Lama).
> Druet a tabli d'une faon plus prcise sur une figure dans quel domaine chacun des
quatre modes d'approche mathmatique prcdents s'accorde le mieux avec la ralit des faits.
> Kass et Miller ont utilis des particules de type colonne d'eau pour modliser un
phnomne d'ondes gravitationnelles o les interactions horizontales sont ngligeables. La
particule fluide fournit donc l'informatique une base solide pour des modles numriques
relativement proches tic la thorie physique.
r L'approche de Biesel consiste tenir compte des modifications d'amplitude impliques
par la variation de la longueur d'onde selon la loi suivante.
V H- J
I
tanh (/
-
/
Cette mthode permet de s'approcher du point de dferlement mais elle reste paramtrique donc
ne va en aucun cas au del.
> Les acadmiciens A. I. Nekrassof et N.-E. Kotchine on t les premiers laborer des
solutions exactes l'aide de la thorie des vagues et de l'observation de vagues de hauteur finie.
On peut galement signaler les travaux du professeur N. N. Zoubof et de L. N. Sretenski. dans ce
domaine.
> Morison a dvelopp une thorie qui s'applique une houle non dferlante attaquant un
obstacle de section circulaire dont le diamtre est infrieure 20% de la longueur d'onde.
L'effort F horizontal sur une section de hauteur & au niveau Z est :
mP Ou 1 2 F-- C..p~ Cnpdu
"f 4 a 2 " ' &
tant la vitesse horizontale; l'acclration correspondante; C, un coefficient de masse et a ' A /
Cn un coefficient dynamique.
*^ lin remplaant u et par leurs valeurs dans la thorie de Stockes, le moment de flexion au pied
a de l'obstacle est :
Mr=PfT-n h 2M 2 2m t.,A. sin C A . , cos 4 M u ' j " l j
C\, est de 1.7 et CD de 2; A", et K2 sont des fonctions donnes par les courbes.
r Mac Camy a tudi une mthode consistant calculer la pression exerce sur l'obstacle
par le fluide suppos parfait : le calcul est relativement simple pour un obstacle de section
circulaire, la condition d'admettre que la houle puisse tre reprsente comme drivant d'un
potentiel de vitesses en thorie linaire.
r M. R. Bonnefille a complt ce calcul cn tenant compte de l'influence de la cambrure sur
la valeur des efforts, les rsultats de ses calculs concordent bien avec ceux d'essais sur modles
rduits.
-
H
Pour une faible valeur de la cambrure, la force totale exerce par la houle sur l'obstacle est:
F = h.D.pm, et la pression moyenne pin est donne par :
pm thlK
I) L
.2 ( Ttd^ I J, : +x v L j
^xd\ 2K I v L j L
J, et K, tant les drives des fonctions de Bessel d'ordre un de premire et de deuxime espce
(les valeurs de ces fonctions et de leurs drives sont donnes par des tables numriques).
L'effet de la cambrure est donn par des courbes donnant la valeur du rapport - en fonction F
de la cambrure ni^ \Lj
chaque courbe tant trace pour une valeur de .
Le moment de renversement de l'obstacle est M =z.Fmax,
> Pierson et Moskowitz ont propos en 1964, partir de mesures exprimentales, un filtre
dcrivant le spectre des ondes de surface gnrs par le vent. Ce filtre est dfini par :
/;,, ( / ) "g S lin
(2* ) 4 / !
0.13g o est la constante de Philips, g l'acclration de la pesanteur et fm= '- reprsente un
pic de frquence dpendant de UU), vitesse du vent une hauteur de 10 mtres.
Ce filtre a t tendu en deux dimensions par Hasselmann, Dunckel et Ewing
r- Fournier et Reevcs ont propos un modle bas sur les modles de houle de Gestner et
Bicscl. L'approche consiste modifier les quations de Gestner par la mthode de sommation sur
le vecteur d'onde utilise par Bicscl.
r- Kass et Miller ont introduit un modle dynamique, bas sur certaines approximations,
intgrant un systme simple et stable d'quations diffrentielles en eau peu profonde. Nanmoins,
ce modle recouvre des cas trs limits et cela ne justifie pas sa complexit pour une utilisation
dans un cadre plus gnral.
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9
y Les travaux effectus par Peachey D.R. et Barsky B.A. sont bas sur la modlisation des vagues partir des sinusodes pures. Lorsque l'amplitude est faible, la trochode ressemble une
sinusode. Cette approche permet de modliser des surfaces peu agites (piscines, lacs).
1.2 OBJECTIFS DE LA MATRISE
L'objectif est d'tudier le comportement d'un mur littoral de protection en modle rduit avec
'chasse-mer' face diffrentes conditions de vagues l'chelle 1 :15. 11 s'agit donc de
dterminer les forces horizontales Fx et verticales /'. ainsi que le moment transversal
M associ, sous diffrentes conditions de houles rgulires sous diffrentes profondeurs d'eau
dans le canal pour dilTrents dllecteurs. L'tude vise aussi dterminer le volume d'eau
franchissant le mur dflecteur.
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CHAPITRE 2
2.0 DISPOSITIF EXPRIMENTAL r
2.1 Equipements
L'tude exprimentale a t ralise dans le canal houle du laboratoire d'hydraulique de
l'Universit Laval, Le canal est en bton parois verticale dont les caractristiques gomtriques
sont les suivantes: une longueur totale de 34 mtres, une largeur gale 1.8 mtre et une
profondeur de 1.2 mtre (ligure 2.1 ).
Le canal est compos de trois sections spares par des cloisons de verre d'paisseur 6 mm. Les
deux sections latrales, qui font chacune 0,45 m de large, jouent un double rle. Lllcs servent
dissiper la houle rflchie dans la zone du batteur en mme temps elles permettent de comparer la
houle non perturbe qui y circule provenant du large celle de la section centrale qui est
perturbe par les ouvrages (A 1.3).
La section centrale de largeur 0.9 m comprend le modle du mur de protection avec dflecteur
(fig. 2.2) afin d'tudier le comportement du mur littoral avec dflecteur face aux sollicitations des
vagues et un plancher en bois avec une pente de 1:10 au pied du mur qui permet de reproduire les
conditions de la plage proximit du mur. fille permet de reproduire les conditions de la houle
perturbe par le mur littoral avec dflecteur.
Le mur vertical muni d'un dllectcur ou chasse-mer, est fabriqu en bois et plac dans la partie
centrale du canal. Le mur n'est pas en contact direct avec la plage ni avec les parois vitres du
canal, un espace de quelques millimtres tant laiss libre entre ceux-ci pour mesurer les efforts
transmis au mur sans prendre en compte ceux transmis au talus ni aux parois (A 1.4).
Pour le montage ralis dans celte tude, un rservoir gradu servant quantifier les ventuels
franchissements des vagues au moment de l'impact avec le mur a t rajout. Ce rservoir a une
section de 33,7 cm par 8,3 cm.
-
I !
Afin de minimiser au maximum le dplacement latral des sections causant ainsi des effets
indsirables, des supports de bois ont t ajouts, au-dessus du niveau d'eau, travers le canal
houle (fig. 2.2).
A l'une des extrmits du canal est install un batteur houle de type piston fabriqu par la
socit allemande Kempf et Remmers. Le piston est actionn par un compresseur VICKERS. La
conception du batteur houle permet de rgler sa frquence et son amplitude de battement. Le
mouvement du piston du batteur houle est rgl par une unit de contrle vingt composantes
permettant de reproduire aussi bien une houle monochromatique qu'un spectre de houle (A 1.5).
A environ deux mtres en aval du batteur houle, est install un jeu de filtre Neyrpic sur toute la
largeur du canal. Le filtre permet d'attnuer les ondes rflchies par le mur avec dflecteur, qui
pourraient perturber le gnrateur de houle, en mme temps il permet de rgulariser la direction et
la vitesse des vagues, afin de mieux satisfaire les conditions aux limites. Ils favorisent aussi
l'attnuation des balancements transversaux qui peuvent rsulter d'une dissymtrie dans la
propagation de la houle (A 1.6).
A l'autre extrmit du canal, un amortisseur houle plan inclin multiple a t dispos dans le
but d'viter les rflexions multiples des ondes qui viennent perturber la zone d'essais (A 1.10). La
figure 2.1 reprsente de manire schmatique le montage du dispositif exprimental.
La gnration des vagues produites par le batteur houle est contrle partir d'un poste PC
munie du logiciel DASYLab"", qui permet de transformer les signaux numriques en signaux
analogiques transmis au batteur houle l'aide d'une fonction de transfert associe au batteur
(A 1.1 1 ). Le dplacement du batteur est galement enregistr l'aide d'une sonde LVDT(A 1.11).
!
OH
_z: Amortisseur houle
Vue en |>l.in
B _ y
JL *
Mm dflecteui
A T A - jgoc^yTi
Ellti e e
-
1 '
l'H. 2.1- Schma du montage exprimental dans le canal houle du laboratoire d'hydraulique
Le batteur houle permet de gnrer des vagues rgulires d'une hauteur jusqu' 30 cm selon la
frquence des battements entre 0,3 et 3 Hz . Les vagues rgulires gnres dans le canal houle
se propagent vers l'aval et sont enregistres au moyen de sondes capacitives munies d'lectrodes.
Les sondes sont montes chacune sur une tige verticale gradue place dans chaque section du
canal. Trois sondes ont t places respectivement dans chaque section du canal. Les sondes dans
les sections latrales enregistrent la houle incidente (houle non perturbe), la sonde dans la
section centrale enregistre l'agitation dans la partie centrale en face du mur littoral (houle
perturbe par les ouvrages) (A 1.12).
Le fonctionnement d'une sonde capacitive repose sur le principe de la variation linaire de sa
capacit (tension lue) en fonction de sa longueur immerge. La variation linaire de tension est
donc reprsentative de la variation de hauteur d'eau. En talonnant les sondes on peut expliciter la
relation entre ces deux grandeurs.
Les mesures effectues par les sondes capacitives sont transmises sur un poste PC et les donnes
ainsi obtenues gres dans le logiciel DASYLab. La houle incidente (rgulire) peut alors tre
dfinie par une priode7'qui correspond la priode des signaux, une hauteur II se propageant
dans le canal et une profondeur d'eau /? dans le canal. La profondeur d'eau dans le canal
influence elle aussi le comportement hydrodynamique de la houle incidente.
Une plate-forme de mesure, comprenant une plaque de chargement, est insre entre le mur et un
support rigide (fig. 2.3).
-
1 i
Fis. 2.2-Vuc agrandie du mur dflecteur en canal houle
Les lments permettant de mesurer l'intensit de ces efforts sont constitus de capteurs pizo
lectriques (A 1.9).
Les capteurs pizo-lcctriques constituent les lments sensibles de la plate-forme de chargement
(Ilg2.3). La rponse dynamique de la plate-forme de mesure sert dterminer les forces
horizontales Fx et verticales F , ainsi que le moment transversal M associ.
Six capteurs pizo-lcctriques permettent de mesurer les forces et les moments engendrs par les
vagues sur le mur de protection. Les quatre premiers capteurs pizo-lectriques ont t placs
dans le sens horizontal afin de dterminer les efforts horizontaux, et les deux derniers capteurs
-
M
pizolectriques cinq et six, sont placs dans le sens vertical, afin de mesurer les efforts verticaux
engendrs sur le mur par les vagues.
Les efforts engendrs par les vagues ne doivent pas dpasser 300 N en intensit et la priode de
la houle doit tre suprieur I seconde. D'autre part, il faut veiller ce que l'impact du front de
vagues (A 1.16) soit purement frontal de manire avoir des efforts essentiellement symtriques
par rapport au plan de symtrie XZ du bassin car il n'existe pas d'lments de mesure dans la
direction transversale Y .
Les capteurs pizolectriques possdent une grande rigidit dynamique ^1,7x10 N/m), une
grande sensibilit aux efforts appliqus et une bonne rsistance aux svres conditions
d'environnement (immersion dans l'eau notamment). Le systme de mesure est conu de manire
ce que leur frquence propre soit plus leve que la frquence des sollicitations par la houle.
Leur frquence propre est trs leve, (de l'ordre de 70 kl/z ), ce qui assure qu'ils sont capables
de suivre et mesurer des phnomnes rapides comme ceux observs pendent le dferlement des
vagues contre le mur. Ces dernires caractristiques empchent une interaction dynamique entre
le mur et la houle tout en permettant d'effectuer les mesures des efforts engendrs par les vagues
sur le mur sans considrer une ventuelle rponse du mur face ces sollicitations.
Les capteurs mettent des signaux lectriques qui sont directement proportionnels aux efforts
engendrs sur le mur. Ces signaux lectriques mis sont transmis un systme d'acquisition de
donnes reli un micro-ordinateur. Leur traitement numrique (sensibilit des capteurs) ainsi
que la gomtrie de la plate-forme de mesure permet de calculer les efforts engendrs sur la plate
forme. Ces efforts sont reprsents par leurs lments de rduction au point O, centre de la plaque
de chargement et origine du systme d'axes OXYZ considr.
-
15
Dflecteur
Fond du canal
Capteurs
Support rigide
l >,..>. T - > ^ . ,..-,;.. .. ..> ^ / . y.-. .- ; .- s,,.-?,..-,.-. ->-..;. . .y; . - ...;.-> ..;. > - . / . v ; . , ^ - . . ; . > . - : - > . . - v l . ^ . - . / > > ^ > - . - . / ^ . - . / / / ; . / . - . / y / : y . ^ ; . - ; - , - . . - ^ J
Mur littoral Y f
Section centrale du canal
Rservoir
[cm]
Fig.2.3-Schma de la plate-forme de mesure
partir de ces signaux, il est possible de calculer, partir d'une matrice tablie lors de
l'talonnage de la plate-forme, les composantes horizontale et verticale de la force sur le mur
ainsi que le moment par rapport l'axe central (Derenne et Ba/.ergui, 1987).
Des constantes de calibration fournis par le fabriquant permettent de transformer ces signaux en
forces mesures en Newtons (tableau 2.1). Une matrice de transfert thorique relie finalement les
mesures individuelles des capteurs (signaux) afin d'obtenir les efforts horizontaux, verticaux et
moments au point de rduction
-
16
Tableau 2.1: Sensibilits des capteurs piczo-leclriqiies fournies par le fabricant
Position Capteur No. Sensibilit \IK
[mV/lb]
Sensibilit A"
[N/V|
1 4299 10.64 417.7
2 4298 10.65 418.3
3 4294 10.69 417.1
4 4297 10.72 415.1
5 4292 10.50 423.3
6 4296 10.51 422.9
Une analyse bidimensionnelle de l'quilibre statique de la plaque de chargement permet d'obtenir
les relations suivantes qui servent de base au principe d'opration du capteur:
F=C5I5+CJh (2.1)
My=- c/C, /, + clC\ I, + cl C\ / , - cK\ f4 + hxC \ /5 + hx Cb Ih
Le coefficient C\ est la constante de calibration associe au capteur pizo-lcctrique / (N/V),
/( est le signal lectrique mis par le capteur i (V), cl et hx les distances d'application des forces
horizontales et verticales par rapport l'axe de rotation passant par le point () et de sens
transversal Y (m). Les distances d'application des forces sont :
cl = 0 A 65 m (2.2)
hx =0 .01778/ (2.3)
Les relations d'quilibre de l'quation (2.1) peuvent tre exprimes sous la forme matricielle :
tel que :
{/
-
1 /
k, ] ' l / - h A, 0 0 0 0
dlx d l2 d /3 - d /4
0
///< hh (2.4)
La matrice [/^ /( | est appele matrice thorique de transfert. Elle permet de calculer les lments
de rduction au point O du chargement extrieur appliqu sur la plate-forme partir des
constantes de calibration / fournies par le fabricant pour chaque capteur (Derenne et Bazergui,
1987).
La matrice \Alh\ est tablie suivant certaines hypothses:
on suppose que la plate-forme est parfaitement rigide,
la sensibilit transversale des capteurs pizo-lectriques est ngligeable,
les points d'ancrages des tiges de fixation des capteurs sont des rotules parfaites.
En ralit, il existe des composantes transversales dans la matrice de transfert qui tiennent compte
des effets interfrence des cellules pizo-lectriques dans la direction orthogonale.
Dans la pratique, les lments de la matrice de transfert devraient alors tre valus
exprimentalement partir d'une srie d'essais de test de chargement afin de corriger certaines
imprcisions et vrifier la linarit des capteurs pizo-lectriques et de dterminer les dix huit
inconnus. D'un autre ct, l'installation des capteurs sur la plate-forme de mesure peut entraner
l'apparition de phnomnes d'interfrence pour l'estimation des efforts dus (i) une
sensibilit transversale des capteurs, (ii) une liaison capteur plaque de chargement imparfaite, et
(iii) un alignement incorrect du chargement avec le rfrentiel OXYZ choisi. Cependant, aucune
procdure de calibration n'a t ralise pour cette tude.
La matrice thorique de transfert utilise pour la dtermination des efforts sur le mur avec
l'ancien pizo-lectrique est:
417.7 418.3 417.1 415.1 0 0 0 0 0 0 423.3 422.9
- 68.92 69.02 68.82 - 68.49 7.53 7.52 u. les constantes de sensibilit des capteurs, fournis par la compagnie RCB pour la dtermination des
forces horizontales des forces verticales ainsi que le moment rsultant sont :
-
18
Fx = 457,04F, + 441,89K2 + 437,06K3 + 430,29K4 F: = 429,00K5 + 448,63K6 (2.5) M v = -75,41K, +72,91F2+72,11K3 -71,00K4 +7,63K5 + 7,98F6
dans lesquelles les constantes de sensibilit des capteurs, fournis par la compagnie PCB, sont en
NIV et les voltages mesurs en V . Les constantes de sensibilit des capteurs horizontaux ont
t multiplies par la distance verticale 0,165 m (quation 2.2) entre le centre de la plaque de
chargement et la position des capteurs et celles des capteurs verticaux par l'paisseur de la plaque
de chargement 0,01778 m (quation 2.3).
Les distances d'application des forces horizontales et verticales par rapport l'axe de rotation
passant par le point () et de sens transversal Y (m), les quations (2.2) et (2.3) ont t multiplies
par les constantes de sensibilit des capteurs horizontaux et verticaux. Les moments ont t
mesurs partir du centre de la plaque de chargement et en considrant le sens des aiguilles d'une
montre et ceux pour les six sondes de mesures.
Ainsi le moment devient :
M, = -M r +0,217/-; -0,019/*; (2.6)
dans laquelle les constantes de Fx reprsente la distance verticales entre le centre de la plaque et
le pied du mur et les constantes de F. reprsentent l'paisseur du mur.
L'acquisition de donnes se fait 50 Hz (20 ms) pour les mesures relatives la houle incidente,
et 1000 Hz (1 ms) pour les enregistrements des efforts sur le mur. Le choix d'une frquence
d'acquisition leve pour la dtermination des efforts transmis sur le mur vertical rpond aux
besoins de capter les phnomnes de gifle, qui se produisent lorsque les vagues dferlent sur le
mur en provoquant des variations rapides des efforts de forces de dure de quelques centimes de
seconde (Saucet et Boivin, 1987). chaque essai, on enregistre simultanment les conditions de
vague et les efforts engendrs sur le mur. Ainsi lors de l'analyse des rsultats, on limine la partie
instable des enregistrements. Les essais en laboratoire ont t raliss sur un mur de hauteur
47,5 cm l'chelle de Froude de 1 :15
Cinq formes de dflecteurs, reprsentes principalement par leur rayon de courbure, ont t
galement testes en laboratoire, afin de comparer leur effet sur les forces et le franchissement
des vagues (photo 11, annexe 1). Les dflecteurs utiliss suivant leurs rayons de courbure sont:
-
19
dflecteur rouge non coup (30 mm), dflecteur bleu (40 mm), dfleetcur jaune (60 mm) et
dllecteur vert (80 mm) dflecteur rouge coup (30 mm).
Les essais ont t raliss sous diffrentes conditions de vagues rgulires, de profondeurs d'eau
au large et devant le mur plac devant une pente du fond de 1 : 10. Les donnes des hauteurs de
vagues, des forces et des moments ont t calcules partir des enregistrements des niveaux
d'eau et des forces sur le mur l'aide du logiciel Matlab, puis les rsultats ont t analyses dans
Excel pour en obtenir les statistiques de leur variabilit.
W o r d P a d EB3ZEEE E i c h i o r d i t i o n a f f i c h a g e i n s e r t i o n F o r m a t JE
JaJ^sJ
Dlc^ l t a l
-
20
2.2 Similitude de I ronde
La technique des modles rduits physiques est base sur les rgles de similitude et de l'analyse
dimensionnelle. L'application de l'analyse dimcnsionnelle et de la similitude permet d'organiser
et de simplifier les expriences et d'en analyser le rsultat. Ces rgles permettent d'une part de
concevoir et d'exploiter le modle, mais aussi de transposer les rsultats obtenus la ralit.
L'analyse dimensionnelle est constitue par le calcul des dimensions des grandeurs. Dans une
quation exprimant une relation physique entre grandeurs, l'galit absolue des nombres et des
dimensions doit avoir lieu. En gnral, toute relation physique de ce genre peut tre rduite aux
grandeurs fondamentales que sont la force (/*') ou la masse ( M ) , la longueur (/.) et le
temps ('/'). Les applications de cette technique comprennent:
Le passage d'un systme d'unit un autre,
L'tablissement des quations,
La rduction du nombre des variables ncessaires un programme exprimentale,
L'tablissement des principes de la conception d'un modle.
Pour tout systme, les rsultats des mesures exprimentales sur le modle ne sont transposables
au prototype que si les donnes dfinissant les problmes poss satisfont un certain nombre de
relations. Ce sont les conditions de similitude.
Les lois de similitude de Froude ont t utilises pour assurer un comportement dynamiquement
homologue entre le modle rduit et le prototype. Le choix du nombre de Froude comme
paramtre caractristique pour la ralisation du modle rduit du mur avec chasse-mer s'est avr
adquat en raison de l'importance des forces de gravit et d'inertie dans le fonctionnement
hydraulique de ce type de structure. Le nombre de Froude s'exprime par :
F'mTZ avec V la vitesse [m/s], L une longueur caractristique [m] et g l'acclration de gravit [m/s2].
La similitude de Froude s'obtient en galisant le nombre de Froude du modle, Frm , au nombre
de Froude du prototype F :
-
'I
F VIS L - = 1s- p- . = i (2.8)
rp p V '" "'
o l'indice /; correspond au prototype et l'indice m au modle.
L'acclration de la gravit est une constante qui ne dpend pas du modle ou du prototype, ce
paramtre reste donc inchang. La masse volumique de l'eau {p)ne varie pas non plus entre le
modle et le prototype. On a:
gmlgp=PmlpP=\ (2-9)
Soit Lr - Lm IL l'chelle gomtrique entre le prototype et le modle, partir de la relation de
Froude (2.2) on en dduit les relations de similitude suivantes :
chelle de vitesses :
(2.10) v, Ym um / l ' 2 " V ' L ~~ '
/ p
chelle de temps:
T _ 'm _ P ' Jm _ ' y _ j \ 2 " T, Vm Lp ' L, ' ' "
chelle de dbits:
Q, 2^m m m ji ni i ' Q ~ V S ~V '' L2
(2.11)
5/2 (2,12)
chelle de forces:
F y V p e , P m , / m m r mo in m j i tO \'X\ ' ~^"V~V" p e L} ~ ' v IP p r P6 p i>
chelle de moments:
M r = s- = ^SL!JS- = L. L] = L* (2.14)
Les relations de similitude dduites permettent la ralisation d'une srie d'essais sur modle
rduit et retrouver aprs les valeurs des efforts et dbits sur le prototype. Le prototype tudi dans
noire cas est le mur de protection littoral avec 'chasse-mer', ses dimensions sont prsentes
schmatiquement dans la ligure 2.2.
-
CHAPITRE 3
3.0 LES ESSAIS DE HOULE RGULIRE
3.1 Mthodologie exprimentale
Les sries d'essais ont t ralises pour diffrentes conditions de vagues rgulires, profondeurs
d'eau, dflecteurs l'chelle 1:15 Les tableaux 3.1 3.5 prsentent les conditions d'essais en
laboratoire avec les cinq dflecteurs diffrents suivant leur rayon de courbure, soit le dflecteur
bleu de rayon 40 mm (essais 13 24), le dflecteur jaune de rayon 60 mm (essais 25 36), le
dflecteur vert de rayon 80 mm (essais 37 48) le dflecteur rouge de rayon 30 mm (essais 49
60) et le dflecteur rouge non coup de rayon 30 mm (essais 1 12). Le dflecteur non coup
avait un rayon de courbure plus prononc formant un quart de cercle.
Pour chaque essai, les donnes d'entre (le voltage et la frquence) sont fournies au batteur
houle partir du PC. La hauteur de vague / / et le dplacement du batteur Dep sont dtermins
l'aide d'un programme Matlab (voir annexe 4) partir des signaux enregistrs durant le temps
indiqu. chaque srie d'essais, trois profondeurs d'eau au pied du mur littoral ont t utilises
savoir: hs = 16.7 cm, hs = 10.0 cm, /JS. = 3.3 cm. Ces valeurs reprsentent dans la nature (pour
le prototype) des profondeurs d'eau de // = 2.5 m, /; = 1.5 m, /; = 0. 5 m au pied de la
structure l'chelle 1:15. Considrant qu'il y a environ 48 essais par dflecteur, cela reprsente
240 essais
Le batteur houle permet de gnrer des vagues d'une hauteur qui varie entre 2 cm et 30 cm
selon la frquence des battements. On peut alors atteindre des vagues de 4,5 m pour l'chelle 1:15
(hauteur des vagues pour le prototype). Il s'agit chaque fois d'tudier l'influence des diffrents
paramtres qui dfinissent les caractristiques hydrodynamiques de la houle rgulire sur les
sollicitations dynamiques engendres sur le mur littoral.
Le dferlement des vagues constitue un phnomne extrmement instable, mme lorsque il a lieu
de faon contrle comme c'est le cas des essais effectus en laboratoire. Par ailleurs, les
phnomnes de rflexion observs lorsque la houle incidente rencontre le mur provoquent une
agitation parfois trs irrgulire qui peut perturber les vagues en provenance du large.
-
23
Les fores d'impact sur le mur peuvent donc varier significativemcnt entre deux tests rpts sous
les mmes conditions. Afin de minimiser ces perturbations, chaque essai commence lorsque la
surface libre du niveau d'eau dans le canal est plane et horizontale (au repos) Knsuite on dbute
l'enregistrement environ 50 60 secondes aprs le dbut de l'essai afin d'obtenir un rgime
stabilis. Par rgime stabilis, on comprend une situation dans laquelle les caractristiques
de la houle incidente non perturbe varient peu (figure 3.1). Cependant malgr cela, les variations
subsistent.
Ce phnomne est caus par la prsence d'un bruit de frquence de l'ordre de 60 Hz dans la
lecture des signaux lectriques mis par les capteurs pizo-lectriques. Ce bruit ne peut pas tre
limin l'aide d'un filtre car sa frquence est comparable aux phnomnes que l'on veut
mesurer. L'origine du bruit qui accompagne le signal est vraisemblablement associe
l'alimentation lectrique du systme (cbles lectriques mal isols), car sa frquence correspond
la frquence du courant gnr par I Iydro-Qubec (50-60 Hz ) .
Afin de dtecter et minimiser les variations qui subsistent, un programme en Matlab (A4 ). est
tabli partir des enregistrements des niveaux d'eau et des efforts sur le mur. La figures 3.2
montrent des exemples de ces calculs pour l'essai 49 1 pour respectivement les hauteurs des
vagues et les forces ainsi que les moments maximaux rsultant de chaque vague sur le mur par
unit de largeur. On y indique les valeurs maximales, minimales et moyennes ainsi que l'cart
type pour le nombre de vagues enregistres dans chaque section du canal houle. Ces valeurs
sont ensuite compares en fonction des diffrents essais raliss.
A chaque essai, on enregistre simultanment les conditions de vague et les efforts engendrs sur
le mur. Ainsi lors de l'analyse des rsultats, on limine la partie instable des enregistrements.
Les diffrentes proprits et les paramtres mesurs chaque essai (hauteur de vague //, le
dplacement du batteur, etc.) sont calculs en moyennant leurs valeurs sur plusieurs priodes. La
hauteur de vague / / et le dplacement du batteur Dcp sont dtermins l'aide d'un programme
Matlab (A 4), partir des signaux enregistrs durant le temps indiqu. Cette procdure permet de
travailler avec des proprits moyennes sur plusieurs priodes et d'estimer en mme temps l'cart
type de chacune d'elles.
-
M
Houle incidente
I
Ou
Figure 3.1: Exemple d'enregistrement de houle incidente
Comme on s'intresse aux efforts dynamiques engendrs par la houle sur le mur, le zro ou
offset pour la mesure des forces verticales et horizontales se fait chaque fois pour le niveau
d'eau au repos dans le canal. Les forces alors enregistres ne tiennent pas compte de la
composante hydrostatique.
Les ventuels franchissements des vagues par-dessus le mur de protection sont mesurs l'aide
du rservoir gradu. Pour avoir plus de prcision dans la lecture du niveau d'eau qui franchit le
mur, on utilise un bcher pour mesurer la quantit d'eau retenue dans le rservoir pendant un
certain temps (colonne 9 du tableau 3.1 3.5). Le rservoir a une section de 33,7 cm par 8,3 cm.
Un chronomtre est utilis pour mesurer la dure de chaque essai ce qui permet de calculer aprs
le dbit d'eau qui franchit le mur
Pour chaque essai, une figure en un format jpg est produite pour les hauteurs de vagues, les forces
et les moments, comme celles montres sur les figures 3.2 et 3.3 pour l'essai 49_1. Les rsultats
obtenus sont ensuite ports dans Excel pour en obtenir les statistiques et leur variabilit et aussi
de dterminer l'influence de divers paramtres, tels que la profondeur d'eau au pied du mur, la
courbure du dfiecteur.
-
.'S
Tableau 3. I - Srie d'essais l'chelle I: 15 avec le dflecteur bleu de rayon 40 mm
Srie 1 : lis :^ 16.7 cm et h = 73.0 cm
orii Essai ampl. frqu. s H Dep tps enr. niv. Eau Qfm qfm qfp qfp No No volt Hz priode cm cm s cm crrVs cmJ/s/cm litre/s/m mJ/s/m
13 1 M 0,91 1,099 11,6 8,0 60 0,0 0,00 0,000 0,00 0,0000 2 2,1 0,91 1,099 12,9 12,0 60 0,7 2,18 0,065 0,38 0,0004 3 2,7 0,91 1,099 16,8 15,5 60 1,5 4,66 0,138 0,80 0,0008
14 1 1,1 0,68 1,471 8,9 7,1 80 0,0 0,00 0,000 0,00 0,0000 2 1,7 0,68 1,471 14,7 11,0 80 0,0 0,00 0,000 0,00 0,0000 3 2,1 0,68 1,471 18,8 14,0 80 0,5 1,27 0,038 0,22 0,0002 4 2,6 0,68 1,471 21,4 17,9 80 3,8 9,66 0,287 l,(J7 0,0017
15 1 1,2 0,56 1,786 8,1 8,7 90 0,0 0,00 0,000 0,00 0,0000 2 1,9 0,56 1,786 13,6 14,1 90 0,1 0,23 0,007 0,04 0,0000 3 2,5 0,56 1,786 17,3 19,0 90 1,4 3,26 0,097 0,56 0,0006 4 3,0 0,56 1,786 20,2 23,0 90 2,0 4,66 0,138 0,80 0,0008
16 I 1,3 0,40 2,174 7,9 10,6 110 0,0 0,00 0,000 0,00 0,0000 2 2,2 0,46 2,174 15,9 18,7 110 4,0 7,99 0,237 1,38 0,0014 3 2,7 0,46 2,174 20,2 23,3 110 2,8 5,59 0,166 0,96 0,0010 4 3,2 0,46 2,174 24,3 27,5 110 2,1 4,20 0,125 0,72 0,0007
Srie 2 : hs 10,0 cm et h - 66,3 cm Srie Essai ampl. frqu. priode H l)(!|) tps.enr niv. Eau Qfm qfm qfp qfp
No No j volt Hz s cm cm s cm cm '/.; cm J /s /cm litre/s/m m'Vr./m
17 1 1,4 0,91 1,099 10,1 7,8 60 0,0 0,00 0,000 0,00 0,0000 2 2,2 0,91 1,099 14,7 12,4 60 0,1 0,31 0,009 0,05 0,0001 3 2,7 0,01 1,090 15,2 15,5 60 0,8 2,49 0,074 0,43 0,0004
18 1 1,5 0,68 1,471 10,1 10,3 80 0,0 0,00 0,000 0,00 0,0000 2 2,2 0,68 1,471 14,1 15,2 80 0,8 2,03 0,060 0,35 0,0004 3 2,7 0,68 1,471 19,7 19,2 80 0,8 2,03 0,060 0,35 0,0004 4 3,0 0,68 1,4 / 1 22,8 21,3 80 0,2 0,51 0,015 0,09 0,0001
19 1 1,5 0,56 1,786 9,3 11,2 90 0,0 0,00 0,000 0,00 0,0000 2 2,2 (>,!>
-
26
Srie 3 : hs = 3.3 cm et h = 59.6 cm
Srie Essai ampl. frqu. priode H Dep tps enr. niv. Eai Qfm qfm qfp qfp No No volt Hz s cm cm s cm crrVs cmJ/s/cm litre/s/m m'/s/m
21 1 1,4 0,91 1,099 8,4 7,4 60 0,0 0,00 0,000 0,00 0,000 2 2,2 0,91 1,099 12,5 12,3 60 0,0 0,00 0,000 0,00 0,000 3 2,7 0,91 1,099 14,0 15,5 60 0,0 0,00 0,000 0,00 0,000
22 1 1,5 0,68 1,471 9,0 10,1 80 0,0 0,00 0,000 0,00 0,000 2 2,2 0,68 1,471 9,4 19,3 80 0,0 0,00 0,000 0,00 0,000 3 2,7 0,(18 1,471 16,1 21,8 80 0,0 0,00 0,000 0,00 0,000 4 3,0 0,(18 1,471 18,1 - 80 0,0 0,00 0,000 0,00 0,000
23 1 1,5 0,56 1,786 8,1 11,1 90 0,0 0,00 0,000 0,00 0,000 2 2,2 0,56 1,786 13,4 16,5 90 0,0 0,00 0,000 0,00 0,000 3 2,7 0,56 1,786 15,7 20,9 90 0,0 0,00 0,000 0,00 0,000 4 3,3 0,56 1,786 19,5 25,6 90 0,0 0,00 0,000 0,00 0,000
24 1 2,5 0,46 2,174 16,3 PI,3 110 0,0 0,00 0,000 0,00 0,000 2 2,7 0,46 2,174 17,5 23,2 110 0,0 0,00 0,000 0,00 0,000 3 3,0 0,46 2,174 19,4 25,8 110 0,0 0,00 0,000 0,00 0,000 4 3,5 0,46 2,174 19,1 25,8 110 0,0 0,00 0,000 0,00 0,000
Tableau 3. 2 - Srie d'essais l'chelle I: 15 avec le dlleetcur jaune de rayon 60 mm
S r i e l : hs = 16,7cm et h = 73,0cm essai Essai amplitude frquence priode Hs Dep temps enr. niv. d'eau
No No volt Hz s cm cm s cm 25 1 1,4 0,91 1,099 10,4 7,6 60 -
2 2,1 0,91 1,099 13,5 12,0 60 -3 2,7 0,91 1,099 15,2 13,6 60 -
26 I 1,1 0,68 1,471 8,2 7,0 80 -2 1,7 0,68 1,471 13,4 11,1 80 -3 2,4 0,68 1,471 14,1 14,1 80 -4 3,0 0,68 1,471 17,6 18,2 80 -
27 I 1,2 0,56 1,786 7,8 8,7 90 -2 1,9 0,56 1,786 12,1 14,2 90 -3 2,5 0,56 1,786 16,1 19,0 90 -4 3,0 0,56 1,786 19,5 23,0 90
28 1 1,3 0,46 2,174 6,8 10,8 110 -? 2,2 0,46 2,174 14,5 18,/ 110 -3 2,7 0,46 2,174 I8,h 23,3 110 -4 3,2 0,46 2,174 20,8 27,5 110 -
-
27
Srie 2 : hs = 10,0 cm et h = 66,3 cm essai Essai amplitude frquence priode Hs Dep temps enr. niv. d'eau
No No volt Hz s cm cm s cm 29 1 1,4 0,91 1,099 10 7,5 60 -
2 2,2 0,91 1,099 13 12,4 60 -3 2,7 0,91 1,099 16 15,5 60 -
30 I 1,5 0,68 1,471 10 10,0 80 -? 2,2 0,68 1,471 15 15,4 80 -3 2,7 0,68 1,471 19 21,3 HO -4 3,0 0,68 1,471 20 19,4 80 -
31 1 1,5 0,56 1,786 13 15,3 90 -2 2,2 0,56 1,786 17 21,2 90 -3 2,7 0,56 1,786 21 26,7 90 -
32 1 2,5 0,46 2,174 13 21,5 110 -2 2,7 0,46 2,174 15 25,9 110 -3 3,0 0,46 2,174 16 31,7 110 -4 3,5 0,46 2,174 19 23,2 no -
Srie 3 : hs=3 ,3cm et h = 59,6 cm os s ai Essai amplitude frquence priode Hs Dep temps enr. niv. d'eau
No No VOlt Hz s cm cm s cm 33 1 1,4 0,91 1,099 10,2 9,0 60 -
2 2,2 0,91 1,099 12,7 13,3 60 -3 2,7 0,91 1,099 13,3 13,2 60 -
34 1 1,1) 0,68 1,471 6,1 6,3 80 -2 2,2 0,68 1,471 I I ,8 12,9 80 -3 2,7 0,68 1,471 17,6 19,3 80 -4 3,0 0,68 1,471 27,7 22,8 80 -
35 I 1,5 0,56 1,786 7,1 10,3 90 -2 2,2 0,56 1,786 11,5 l!>,8 90 -3 2,7 0,56 1,786 15,3 21,0 90 -4 3,3 0,56 1,786 18,2 25,8 90 -
36 1 :v> 0,46 2,174 7,8 11,6 110 -2 2,7 0,46 2,174 11,3 15,9 110 -3 3,0 0,46 2,174 16,7 22,4 110 -4 3,5 0,46 2,174 18,3 25,9 110 -
-
28
Tableau 3. 3 - Srie d'essais l'chelle 1:15 avec le dflecteur vert de rayon 80 mm
Srie 1 : hs = 16,7 cm et h = 63,0 cm Srie Essai amplitude frquence priode Hs temps est. temps enr. niv. d'eau
No No volt Hz s cm s s cm .37 1 1,0 0,90 1,111 6,9 !)b,(i 60 -
2 2,0 0,90 1,111 10,4 55,6 60 -3 2,6 0,90 1,111 12,1 55,6 60 -
38 1 0,7 0,68 1,471 6,8 73,5 80 -2 1,1 0,68 1,471 10,1 73,5 80 -3 1,6 0,68 1,471 13,3 73,5 80 -4 4,0 0,68 1,471 18,1 73,5 80 -
39 1 0,8 0,56 1,786 6,8 89,3 90 -2 1,4 0,56 1,786 10,5 89,3 90 -3 1,7 0,56 1,786 13,0 89,3 90 -4 3,2 0,56 1,786 17,2 89,3 90 -
40 1 0,7 0,46 2,174 6,6 108,7 1 10 -2 0,9 0,46 2,174 10,1 108,7 110 -3 1,3 0,46 2,174 13,5 108,7 110 -4 2,1 0,46 2,174 17,3 108,7 110 -
Srie 2 : hs= 10,0 cm et h = 56,3 cm Srie I ssai amplitude frquence priode Hs temps est. temps enr. niv. d'eau
No No volt Hz s cm s s cm 41 1 0,7 0,90 1,111 6,5 55,6 60 -
2 1,4 0,90 1,111 9,7 55,6 60 -3 2,5 0,90 1,111 11,5 55,6 60 -
42 1 1,0 0,68 1,471 6,5 73,5 80 -2 ;j,o 0,68 1,471 !),9 73,5 80 -3 3,4 0,68 1,471 12,6 73,5 80 -4 4,4 0,68 1,471 13,6 73,5 80 -
43 1 1,1 0,56 1,786 6,5 H!),3 90 -? I.8 0,56 1,786 10,2 39,3 90 -3 3,0 0,56 1,786 12,9 89,3 90 -4 3,6 0,56 1,786 14,1 89,3 90 -
44 1 l,() 0,46 2,174 6,7 108,7 110 -2 1.5 0,46 2,174 9,9 108,7 110 -3 2,3 0,46 2,174 13,2 108,7 110 -4 3,8 0,46 2,174 16,3 108,7 110 -
-
29
Srie 3 : hs = 3,3 cm et h = 49,6 cm Srie Essai amplitude frquence priode Hs temps est. temps enr. niv. d'eau
No No volt Hz s cm s s cm 45 1 0,4 0,90 1,111 2,8 55,6 60 -
2 1,1 0,90 1,111 6,8 55,6 60 -3 2,3 0,90 1,111 9,8 55,6 60 -4 3,4 0,90 1,111 l 1,0 55,6 60 -
46 1 0,4 0,68 1,471 3,1 73,5 80 -2 0,9 0,68 1,471 6,6 73,5 80 -3 1.5 0,68 1,471 10,0 73,5 80 -4 2,6 0,68 1,471 12,9 73,5 80 -
47 1 0,4 0,56 1,786 3,0 89,3 90 -2 1,0 0,56 1,786 6,6 89,3 90 -3 1,4 0,56 1,786 10,0 89,3 90 -4 2,2 0,56 1,786 13,2 89,3 90 -5 3,4 0,56 1,786 16,0 89,3 91 -
48 1 0,4 0,46 2,174 3,2 108,7 110 -2 0,9 0,46 2,174 6,7 108,7 110 -3 1,5 0,46 2,174 10,0 108,7 110 -4 2,4 0,46 2,174 13,4 108,7 110 -5 2,6 0,46 2,174 14,5 108,7 110 -
Tableau 3. 4 - Srie d'essais l'chelle 1:15 avec le dflecteur rouge coup de rayon 30 mm
S r i e l : h s = 1 6 , 7 c m et h = 63,0 cm Srie Essai amplitude frquence priode Hs temps est. temps enr. niv. d'eau
No No volt Hz s cm s s cm 1 1 1,3 0,90 1,111 6,9 55,6 (iO -
2 2,7 0,90 1,111 10,4 55,6 60 -3 3,3 0,90 1,111 12,1 55,6 60 -
2 1 0,8 0,68 1,471 6,8 73,5 80 -2 1,1 0,68 1,471 10,1 73,5 80 -3 1,7 0,68 1,471 13,3 73,5 80 -4 4,9 0,68 1,471 18,1 73,5 80 -
3 1 0,8 0,56 1,786 6,8 89,3 90 -2 1,3 0,56 1,786 10,5 89,3 90 -3 1,9 0,56 1,786 13,0 89,3 90 -4 4,0 0,56 1,786 17,2 89,3 90 -
4 1 0,6 0,46 2,174 6,6 108,7 110 -2 1,0 0,46 2,174 10,1 108,7 110 -3 1,4 0,46 2,174 13,5 108,7 110 -4 2,0 0,46 2,174 17,3 108,7 110 -
-
i()
Srie 2 : hs = 10,0 cm et h = 56,3 cm Essai amplitude frquence priode Hs temps est. temps enr. niv. d'eau
No volt Hz s cm :; s cm 1 0,8 0,90 1,111 6,5 55,6 60 -2 1,7 0,90 1,111 9,7 55,6 60 -3 2,5 0,90 1,111 11,5 55,6 60 -1 1,3 0,60 1,471 6,5 73,5 80 -2 2,1 0,68 1,471 9,9 73,5 80 -3 3,6 0,68 1,471 12,6 73,5 80 -4 1,2 0,68 1,471 13,6 73,5 80 -1 1,0 0,56 1,786 6,5 89,3 90 -2 2,0 0,56 1,786 10,2 89,3 90 -3 3,0 0,56 1,786 12,9 89,3 90 -4 3,3 0,56 1,786 14,1 89,3 90 -1 1,1 0,46 2,174 6,7 108,7 110 -2 l,6 0,46 2,174 9,9 108,7 110 -3 2,4 0,46 2,174 13,2 108,7 110 -4 3,9 0,46 2,174 16,3 108,7 110 -
Srie 3 : hs = 3,3 cm et h = 49,6 cm Srie Essai amplitude frquence priode Ils temps est. temps enr. niv. d'eau
No No volt I I / s cm s s cm 9 1 0,4 0,90 1,111 2,8 55,6 60 -
2 1,2 0,90 1,111 6,8 55,6 60 -3 2,3 0,90 1,111 9,8 55,6 60 -4 3,2 0,90 1,111 11,0 55,6 60 -
10 1 0,4 0,68 1,471 3,1 73,5 80 -2 0,8 0,68 1,471 6,6 73,5 80 -3 1,6 0,68 1,471 10,0 73,5 80 -4 2,5 0,68 1,471 12,9 73,5 80 -
11 1 0,5 0,56 1,786 3,0 89,3 90 -2 0,9 0,56 1,786 6,6 89,3 90 -3 1,4 0,56 1,786 10,0 89,3 90 -4 2,2 0,56 1,786 13,2 89,3 90 -5 3,7 0,56 1,786 16,0 89,3 91 -
12 1 0,4 0,46 2,174 3,2 108,7 110 -2 0,8 0,46 2,174 6,7 108,7 110 -3 1,5 0,46 2,174 10,0 108,7 110 -4 2,4 0,46 2,174 13,4 108,7 110 -5 2,7 0,46 2,174 14,5 108,7 110 -
-
il
Tableau 3. 5 - Srie d'essais l'chelle 1:15 avec le dflecteur rouge non coup de rayon 30 mm
S r i e l : hs = 16,7cm et h = 73,0cm Srie Essai ampl. frqu. priode H Dep tps enr. niv. Eau Qfm qfm qfp qfp No No volt Hz s cm cm s cm cm3/s cm3/s/cm litre/s/m m3/s/m 49 1 1,4 0,91 1,099 9,8 7,2 60 0,0 0,00 0,0000 0,00 0,0000
2 2,1 0,91 1,099 12,6 12,0 60 0,2 0,62 0,0184 0,11 0,0001 3 2,7 0,91 1,099 15,1 15,6 60 0,8 2,49 0,0738 0,43 0,0004
50 1 1,1 0,68 1,471 8,7 6,8 80 0,0 0,00 0,0000 0,00 0,0000 2 1,7 0,68 1,471 14,4 11,4 80 0,0 0,00 0,0000 0,00 0,0000 3 2,1 0,68 1,471 16,2 14,3 80 0,5 1,27 0,0377 0,2? 0,0002 4 2,6 0,68 1,471 19,0 18,8 80 1,7 4,32 0,1283 0,75 0,0007
51 1 1,2 0,56 1,786 8,2 8,7 90 0,0 0,00 0,0000 0,00 0,0000 2 1,9 0,56 1,786 13,7 14,1 90 0,1 0,23 0,0069 0,04 0,0000 3 2,5 0,56 1,786 16,9 19,0 90 0,7 1,63 0,0484 0,28 0,0003 4 3,0 0,56 1,786 21,2 - 90 2,3 5,36 0,1591 0,92 0,0009
52 1 1,3 0,46 2,174 7,7 10,7 110 0,0 0,00 0,0000 0,00 0,0000 2 2,2 0,46 2,174 24,2 18,7 110 2,0 4,00 0,1186 0,69 0,0007 3 2,7 0,46 2,174 21,4 23,2 110 3,1 6,19 0,1838 1,07 0,0011 4 3,2 0,46 2,174 21,4 27,4 110 1,6 3,20 0,0949 0,55 0,00055
Srie 2 : hs=10,0cm et h = 66,3 cm Srie Essai ampl. frqu. ariode H Dep tps enr. l iv. Eau Qfm qfm qfp qfp
No No voit Hz s cm cm s cm cm3/s cm3/s/cm litre/s/m m3/s/m 53 1 1,4 0,91 1,099 9,7 7,1 60 0,0 0,00 0,0000 0,00 0,00000
2 2,2 0,91 1,099 I4.5 12,4 60 0,5 1,55 0,0461 0,27 0,00027 3 2,7 0,91 1,099 17,0 15,5 60 0,7 2,18 0,0646 0,38 0,00038
54 1 1,5 0,68 1,471 10,0 10,4 80 0,0 0,00 0,0000 0,00 0,00000 2 2,2 0,68 1,471 14,3 15,6 80 0,8 2,03 0,0604 0,35 0,00035 3 2,7 0,68 1,471 20,0 19,4 80 2,0 5,09 0,1509 0,88 0,00088 4 3,0 0,68 1,471 21,1 21,9 80 1,0 2,54 0,0755 0,44 0,00044
55 1 1,5 0,56 1,786 10,0 11,2 90 0,0 0,00 0,0000 0,00 0,00000 2 2,2 0,56 1,786 14,5 16,8 90 0,0 0,00 0,0000 0,00 0,00000 3 2,7 0,56 1,786 17,5 21,1 90 0,2 0,47 0,0138 0,08 0,00008
56 1 2,5 0,46 2,174 13,0 21,6 110 0,2 0,40 0,0119 0,07 0,00007 2 2,7 0,46 2,174 15,0 23,3 110 0,1 0,20 0,0059 0,03 0,00003 3 3,0 0,46 2,174 16,1 25,9 110 0,1 0,20 0,0059 0,03 0,00003 A 3,5 0,46 2,174 19,4 30,2 110 0,2 0,40 0,0119 0,07 0,00007
-
32
Srie 3 : hs = 3,3 cm et h = 59,6 cm Serin Essai ampl. frqu. priode H Dep tps enr. niv. Eau Qfm qfm qfp qfp No No volt Hz s cm cm s cm cm3/s r,mJ/s/em litre/s/m m3/s/m 57 1 1,4 0,91 1,099 8,3 7,5 60 0,0 0,00 0,0000 0,00 0,00000
2 2,2 0,91 1,099 12,8 12,5 60 0,0 0,00 0,0000 0,00 0,00000 3 2,7 0,91 1,099 15,0 15,7 (50 0,0 0,00 0,0000 0,00 0,00000
58 1 1,5 0,68 1,471 9,5 9,9 80 0,0 0,00 0,0000 0,00 0,00000 2 2,2 0,68 1,471 12,0 15,5 80 0,0 0,00 0,0000 0,00 0,00000 3 2,7 0,68 1,471 lf>,!> 19,4 80 0,0 0,00 0,0000 0,00 0,00000 4 3,0 0,68 1,4/1 18,0 21,8 80 0,0 0,00 0,0000 0,00 0,00000
59 1 1,5 0,56 1./8B 8,1 11,2 90 0,0 0,00 0,0000 0,00 0,00000 2 2,2 0,56 1,786 12,8 16,8 90 0,0 0,00 0,0000 0,00 0,00000 3 2,7 0,56 1,786 16,0 20,9 90 0,0 0,00 0,0000 0,00 0,00000 4 3,3 0,56 1,786 19,5 25,9 90 0,0 0,00 0,0000 0,00 0,00000
60 1 2,5 0,46 2,174 15,5 21,3 110 0,0 0,00 0,0000 0,00 0,00000 2 2,7 0,46 2,174 17,5 23,1 110 0,0 0,00 0,0000 0,00 0,00000 3 3,0 0,46 2,174 19,0 25,8 110 0,3 0,50 0,0148 0,09 0,00009 4 3,5 0,46 2,174 21,0 29,9 110 0,3 0,50 0,0148 0,09 0,00009
9.7
9.6
9.5
Jj 9.4 ni I
9.3
'.)//
Variation des hauteurs des vagues incidentes 1 de l'essai 49_1
il
, A / \ \
V V \
hauteur min = 9.28 cm hauteur moy 9.^1 cm cart 'type 0.0836 cm M
A ': ! \ A \ 1 / '
v- w
hauteur max = 9.67 cm $1 cm \ S
\ VA
i
V . ... .. 1 J V\.' r v K /
I 10 20 30 40
Indice de la vague bO G0
Figure 3.2a: Var ia t ion des hauteurs de vagues incidentel de l'essai 4 9 1
-
!3
10.8
10.7 u)
O)
S 10.6 (U
u
S 10.5 M I
Variation des hauteurs des vagues incidentes 2 de l'essai 49_1
10.4
10.3
I H A , \ / \ ) ! ../ I.
i\
hauteur max = 10.8 cm hauteur min 10.3 cm hauteur moy - 10.5 cm cart t ype- 0.0963 cm
i ! rv A \ , i iv i \\ y \A
A
\y
VA- ; \A
\
10 20 30 Indice de la vague
40 !>0 GO
Figure 3.2-b: Variation des hauteurs de vagues iucidcn(e2 de l'essai 49_1
12
I I
5 10 >
O g ri ni
I 0
Variation des hauteurs des vagues incidentes et rflchies de l'essai 49_1
l. \.J
10
hauteur max 11.7 cm hauteur min = 6.16fcm hauteur moy 8.58 cm cart type .2 m
A' f\" " VrVM
n i / \ ; / : i A
' l ' #\w
1 .........
/ \l \ A !
i iA/\-/-
20 30 Indice de la vague
40 !)() (.0
Figure 3.2-c: Variation des hauteurs de vagues incidente et rflchi de l'essai 4_l
-
34
Variation des maximums de la force horizontale de l'essai 49 1
Fx min = 83.3 N/m h /ecartjtype - 6.6} N/m , /|\ / \ A ...\.,..A
M) 10 20 30 40
Indice de la vague ;.o 60
Figure 3.3-a: Variation des maximums des forces horizontales de l'essai 49_1
45
'10
t 35 o
-
-.S
Variation des maximums du moment de l'essai 49 1 22
/! 20 8 E o 19
"o 18
17 -
16
1!>
(
Mmax = 21.6N.m/m M min - 15.9 l^.m/m
M moy - 10.4 N:.m/m cart type iHs N.m/m
A "
A M-A-/
/VA / Il
, V A
... i t. \ IA /l / :\ /U P I - / ' V
_L 10 20 30 40
Indice de la vague 50 60
Figure 3.3c: Variation des maximums du moment de l'essai 49_1
I/erreur absolue commise sur la mesure de forces en kilo newton est d'environ AF = 2 N
(erreurs relatives comprises entre 0.5 et 10 % pour les forces horizontales et entre 1 et 65 % pour
les efforts verticaux selon les essais). Dans certains cas, les incertitudes de lectures associes aux
efforts verticaux sont assez importantes; il faudra tenir compte de cela dans l'interprtation des
rsultats. D'autre part, des erreurs de mesure de l'ordre du millimtre ( Af H = 0.001 m) ont t
constates pour les sondes capacitives qui servent dterminer les caractristiques de la houle
incidente (erreurs relatives entre 0.5 et 4 %).
Finalement, les erreurs absolues commises dans la dtermination du volume d'eau qui franchit le
mur sont d'environ Av = 5 ml (erreurs relatives comprises entre 0.5 et 3 % selon les
conditions exprimentales).
-
CHAPITRE 4
4.0 RSULTATS ET LEUR INTERPRTATION 4.1 Forces et moment exerces sur le mur
Les rsultats des essais de houle rgulire ont t traits dans Excel. Les valeurs en laboratoire
ont t portes en graphique sous forme adimensionnclle par rapport la profondeur d'eau au
pied du mur (/?v) \H/hs, F/pghs etM/pghs ) puis rapportes en nature en fonction de
Pchellc 1:15. Les valeurs en nature ont t portes en graphique sous forme dimensionnelle. Les
trois profondeurs d'eau au pied de la structure correspondent des valeurs en nature de 2,5, 1,5 et
0,5 m. Pour les valeurs rapportes l'chelle nature, on a galement mis en graphique les forces
verticales en fonction des forces horizontales, o l'on peut observer une forme de relation linaire
entre les deux forces.
Les figures 4.1 et 4.2 montrent l'volution des forces dynamiques horizontales et verticales en
fonction de la hauteur moyenne de la houle incidente non perturbe. Dans la zone pour laquelle
Ilmoy est infrieur 1, on constate que les efforts horizontaux sont quasiment dpendants tic la
priode de la houle non perturbe (Fig 4.1a, 4.2a). Les 11g 4.1b et 4.2b, elles varient uniquement
en fonction de la hauteur relative de vague. Selon la thorie linaire, cette force hydrodynamique
est la rsultante de deux composantes principales : la premire correspond l'augmentation de
pression duc la surlvation de la surface libre et rpond essentiellement des considrations
hydrostatiques.
Sur la ligure 4.2c, on observe que les efforts verticaux moyens varient peu en fonction de la
profondeur relative de la houle. Dans ces conditions, les forces verticales engendres sur le mur
par la houle ne seraient pas trop importantes.
Les rsultats montrent des grandes variations en fonction de la profondeur d'eau et de la priode
des vagues, lesquelles influencent directement les conditions de dferlement et les efforts sur le
mur. Cette dispersion rsulte entre autres du protocole d'essais lui-mme, c'est--dire du fait de
faire varier la hauteur de vague pour une priode ou une frquence donne. Les figures 4.1a, 4.1b
et 4.1c montrent un exemple des forces obtenues pour le dflecteur bleu de rayon R = 40 mm
-
s/
(essais 13 16 pour hs = 2,5 m, essais 17 20 pour hs =1,5 m et essais 21 24 pour hs = 0,5
m.
Les forces passent par un maximum correspondant au dferlement des vagues directement sur le
mur pour diminuer par la suite. Des calculs effectus l'aide des mthodes d'Ivcrsen, et Weggel
(Shore Protection Manual, 1984) montrent que les conditions de dferlement concident bien aux
valeurs maximales des forces obtenues sur le mur. Cela correspond aux trois principales
interactions des vagues avec le mur (Archctti et al, 2000; Chan et Melville, 1988 ; Chu, 1989 ;
Wood et al, 2000) soit respectivement aux houles non dferlantes (forces pulsatives ou clapotis),
dferlantes (forces impulsives ou effet de gifle) et dferles (forces pulsatives).
Les conditions les plus dfavorables concident aux conditions de vagues dferlantes, d la
prsence de poches d'air emprisonnes entre le front de la vague cl le mur vertical au moment de
l'impact (Hattori et al, 1994 ; Allsop et Calabrese, 1998). Ces efforts agissent pendant une courte
dure, mais peuvent causer des dgls importants (Allsop et Calabrese, 1998). La physique des
impacts esl trs influence par la formation des bulles d'air (Topliss et al, 1992 ; Hattori et Arami,
1992). Ceci rend difficile l'extrapolation des rsultats laboratoire l'chelle nature (Chan, 1994).
Profondeur d'eau au pied du mur hs= 2,5 m
250
T = 4,3s A." T = 5,7s
A T = 7,1 S
T = 8,5 s
. i
1,0 2,0 3,0
Hmoy (m)
u.
2 0 0
150
100
!,()
0 , 0
Figure 4.1a : Variation de /%,,. en fonction de H
-
18
Profondeur d'eau au pied du mur hs = 1,5 m
300,0
250,0
200,0
150,0-
100,0
50 ,0 -
0,0
A A
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0
Hmoy (m)
T = 4,3s
T = 5,7s'
A T = 7,1 S
T = 8 , 5 s
2,5 3,0
Figure 4.1b : Variation de F en fonction de H
Profondeur d'eau au pied du mur hs = 0,5 m
40 ,0
35,0
30,0 m ..;.
25,0 A
m
20 ,0
15.0
10,0
e A
m 5.0 :
i
T = 4 ,3s
* T = 5,7 s
A T = 7,1 s
T = 8,5 s
Hmoy (cm)
Figure 4.1c : Variation de F en fonction de Hn
-
w
Profondeur d'eau au pied du mur hs= 2,5 m
50- j
45
4 0 -
3 5 -
| 30 4
2 5 o 20 N IL
15
10 5 0
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 Hmoy( m)
T = 4,3 s T = 5 , 7 s
A T = 7 , 1 S
T = 8 , 5 s
'.','>
i
3,0
l'igure 4.2a : Variation de F. en fonction de H
Profondeur d'eau au pieds du mur hs= 1,5 m
80,0 -,
70,0-
60,0-
A m A
f 50,0-
A m V 40,0- S o E N
U
30,0- S o E N
U 20,0-
10,0-
0,0-
10,0-
0,0- 1
--\o,oc-0 1,0 2,0 3; --\o,oc-llmoy(m)
T = 4,3s T = 5,7s AT = 7,1 S T = 8,5s
l'igure 4.2 l> : Variation de F en fonction de H
-
40
Profondeur d'eau au pied du mur hs = 0,5 m
1,0 -,
0 0
-i,oQ 0 50,0 100,0 150,0 200,0 250,0
-2,0-
| -3,0-je - - 4 ,0 -o E - 5 , 0 -N "- - 6 , 0 -
T = 4,3s
A * ' T = 5,7s
A T = 7,1s
mm A a T = 8,5s a
-7 ,0 -
-8 ,0 -
A a
A
-9,0 J
Hmoy(m)
Figure 4.2 c : Variation de F.m en fonction de H
4.2 FRANCHISSEMENT DES VAGUES
En ee qui concerne le franchissement des vagues par-dessus le mur chasse-mer, le phnomne est
rendu difficile mesurer cause des jections verticales et du refoulement horizontal des
particules fluides qui atteignent souvent des valeurs spectaculaires. En nature, le vent pousse ces
jections verticales vers la cte causant des embruns sur les routes, phnomnes qui ne peuvent
tre reproduits en laboratoire. Pour ces mesures, on reste plus dans le domaine qualitatif que
quantitatif. Les vagues dferlantes ne produisent pas ncessairement des franchissements les plus
importants. Les franchissements les plus importants ont lieu pour les niveaux les plus levs et
pour des conditions de vagues appropris.
Les mesures de franchissement ont t portes dans un fichier Excel tableau 3.1 colonne 9 3.5
pour leur analyse. La majorit des rsultats obtenus ont des valeurs de franchissement en nature
infrieures 0,003 m3/s/m. Pour les essais raliss avec les dflecteurs de rayons R = 450, 600
et 1200 mm l'chelle 1:15, la valeur maximale du franchissement obtenue fut de l'ordre de
0,001 ml si m pour une profondeur d'eau au pied du mur de hs= 2,5 m. La profondeur d'eau
-
Il
dans le canal correspondant clans ces conditions h = 11 m et la hauteur du mur hmil. = 7,2 m,
ceci donne des rapports respectifs de hj h = 0,23 et hjhmm. = 0,35. Ces conditions se sont
produites pour des vagues de hauteur / / = 2,5 m et de priode T = 8,5 s. Pour des vagues plus
petites ou plus fortes, les franchissements sont plus faibles. Le niveau d'eau en cm indiqu dans la
dernire colonne (tableau 3) est celui mesur l'aide du rservoir gradu servant quantifier le
franchissement. Par ailleurs la valeur du franchissement du dflecteurs rouge non coup cl coup
est invariable comme l'indique la colonne 9 des tableaux 3.4 et 3.5
4.3 INFLUENCE DE LA PROFONDEUR D'EAU
Les essais ont t faits pour trois profondeurs d'eau au pied du mur correspondant des valeurs
en nature de 2,5, 1,5 et 0,5 m On constate une augmentation moyenne des forces de l'ordre de
100 % entre les niveaux de 1,5 m et 2,5 m et environ le double (200 %) entre les niveaux de 0,5 m
et 1,5 m., ces augmentations sont rduites de moiti sur la base des valeurs significatives (tableau
5.7). Par ailleurs une analyse de la varianec nous montre qu'il n'y a aucune influence ngative
des profondeurs d'eau au pied du mur sur le rsultat des moyennes des donnes enregistres lors
des essais (tableau 5.5).
4.4 INFLUENCE DU DFLECTEUR
Les essais ont t effectus pour quatre dflecteurs diffrents, correspondant des valeurs en
nature des dllecteurs ayant des rayons de courbure de 450, 600, 900 et 1200 mm. Une
comparaison de l'ensemble des essais effectus sous des conditions de houle rgulire, rapport
dans le tableau 5.6 partir des comparaisons galement effectues dans les fichiers Hxccl de
rsultats des essais, montre que la forme du dneetcur a une influence sur la force verticale, mais
peu sur la force horizontale et le moment. En moyenne, le fait de doubler le rayon de courbure
entrane une augmentation de la force verticale de l'ordre de 50%.
4.5 Comparaison avec la thorie
Les efforts sur les murs dllecteurs obtenus partir des essais en laboratoire ont t compars aux
forces maximales des vagues dferlantes sur des murs verticaux dtermines l'aide de la
mthode de Minikin (Shore Protection Manual, 1984, p. 7-180 et suiv.).
Les calculs ont t effectus l'aide du logiciel MathCad pour les quatre priodes (4,3, 6,3, 6,9 et
8,4 s) pour lesquelles les essais ont t effectus (AI 2). Pour la profondeur d'eau de hs = 2,5 m
-
42
au pied du mur, les forces horizontales maximales sont de 419, 493, 486 et 459 kN/m et les
moments de 1111, 1133, 1114 1043 kN m/m respectivement pour les quatre priodes 4,3, 6,3, 6,9
et 8,4 s.
Les forces et moments maximaux obtenus des essais en laboratoire se comparent favorablement
avec ces valeurs thoriques, en particulier pour les priodes les plus fortes de 6,9 et 8,4 s, o elles
sont souvent au-dessus de ces valeurs. Ces valeurs plus fortes peuvent s'expliquer par la prsence
du dflecteur qui fait rejaillir les vagues vers le large, ce qui n'est pas le cas d'un mur vertical o
la force verticale est peu prs inexistante.
Pour les priodes plus petites de 4,3 et 6,3s, les efforts mesurs n'ont pas atteint ces rsultats
thoriques, ce qui est en partie d au fait que les conditions maximales n'ont pu ou n'ont pas t
reproduit en laboratoire.
-
CHAPITRE 5
5.0 ANALYSE STATISTIQUE DES RSULTATS
La stratgie de l'exprimentation propose par les plans d'expriences conus statistiquement
permet de reproduire de faon non quivoque aux questions relies aux objectifs de
l'exprimentation. Elle permet l'exprimentateur:
D'examiner un grand nombre de variables de contrle qui agissent sur un processus et de
dterminer lesquelles ont un effet important sur la variable de rponse; les plans de tamisage sont
employs pour cette tape,
De comprendre les effets d'interaction entre les variables; les plans d'interaction sont
employs pour lucider les effets coupls (ou conjoints) de deux facteurs,
De reprsenter la variable de rponse par une fonction mathmatique des variables
critiques l'intrieur de leurs domaines de variation et cela, avec un nombre restreint d'essais; les
plans de surface de rponse ou d'optimisation sont alors utiliss.
5.1 INDICATEUR DE DISPERSION ET DE TENDANCE CENTRALE
Les paramtres//, et O sont toujours inconnus. Si les paramtres ne changent pas dans le
temps, on dit que la population est stable, ce qui est l'objectif que l'on recherche. Ainsi, pour
l'estimation on applique une galit entre la moyenne de la population (distribution)// et
l'indicateur de la tendance centrale ( x ): jU = x .
Estimation de l'cart type de la population (d):
Pour une estimation robuste de l'cart type de la population, on fait une stratification des
donnes en k groupes rationnels de mme taille n.
On procde au calcul de la variabilit de chaque groupe (s, ); ensuite on fait l'estimation de
G avec la variation intra-groupc('/A/7W/, ) ainsi a sera estime par ("/A///M )
-
44
- 1 * G mm A = ^ = T L ^ k ,=i
(5.1)
La variante avec la mthode intra-groupe: estimation de a
Tableau 5.1: Formules de l'estimation de & partir de la mthode intra-groupe
Estimation
Calcul bases sur degrs de libert biaise non-biaisc
Etendue (R) v (*.) R d2
~R d2
Kcart-type [S) Va 2 = S 5 a, = c4
Variance [S J k(n-\) d3 = VF ....
Les valeurs de VBn ) et d2 sont tabules (Facteur de correction de d'2 et degr de libert de
R), CA (tableau A des facteurs de correction pour corriger le biais dans l'estimation de l'cart
type de X et de R voir Bernard Clment PhD Design et analyse statistique d'expriences
industrielles 1999).
K(*.) Pur = 2,3 " [k(n~\)-0.23{k-l)pourn>4
(5.2)
-
45
Tableau 5.2: Donnes groupes de la moyenne des essais de hauteur pour diffrents dflecteur.
Donnes du modle G i 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1.3 14 15
D D m D30 1)30 )30coup 30cou| I30cou| 1340 1)40 1)40 D60 1)60 1)60 1)80 D80 1)80 Hm 16,7 10 3,3 16,7 10 3,3 16,7 10 1,1 16,7 10 3,3 16,7 10 3,3
Ess
ais
7,0 5.9 6,6 7,7 5,6 6,8 6,5 6,9 6,5 6,6 6,6 6,5 8,6 6,2 2,5
Ess
ais
10,5 10,2 10,5 12,3 11,5 11,1 11,4 11,1 9,6 10,6 10,7 10,6 10,9 1 1 / ' 7,3
Ess
ais
6,5 6,4 6,6 9,2 10,1 6,4 9,9 6,8 6,9 9,3 6,8 6,1 10,5 6,8 10,1
Ess
ais
11,1) 11,5 12,8 12,2 13,7 9,7 13,2 12,6 12,4 12,3 10,3 9,5 12,9 12,7 13,5
Ess
ais
1 i,7 I2,X 6,7 16,8 6,7 12,4 6,2 14,1 6,6 6,3 12,5 10,9 6,5 13,8 15,6
Ess
ais
6,4 10,6 10,4 6,6 10,5 6,8 12,3 10,7 12,3 10,1 10,8 (>,6 10,(1 10,7 3,1 Ess
ais
10,6 13,9 1.3,5 11,6 10,5 12,6 16,2 14,5 15,4 12,0 13,4 12,6 1.3,3 1.3,3 6,4
Ess
ais
13,4 7,3 15,7 15.9 7,6 15,4 9,9 6,5 7,3 9,8 6,9 6,1 6,2 6,8 10,5
Ess
ais
6,7 10,3 7,0 8,9 10,3 9,6 13,6 13,8 13,0 12,3 10,4 1 2,5 13,0 13,4 13,6
Ess
ais
13,5 15,7 14,5 16,6 16,6 13,6 17,0 16,8 15,0 16,6 13,6 13,7 15,4 16,4 14,8
X 9,9 10,5 10,4 11,8 10,3 10,4 11,6 11,4 10,5 10,6 10,2 9,8 10,7 11,2 9,7
R i 7,4 9,8 7,8 9,1 11,0 9,1 10,8 10,3 8,9 10,3 7,0 7,6 9,2 10,2 13,2
s2 9,4 , 10,4 12,6 13,8 10,6 9,7 13,2 13,2 I2,S 9,0 7,0 7,9 9,1 1 2,1 22,7
S| 3,1 3,2 3,6 3,7 3,3 3,1 3,6 3,6 3,5 3,0 2,7 2,8 3,0 3,5 4,8
:i-xbarbar 1069 1187 1201 1513 1158 1177 1467 1415 I21S 1 201 1103 1031 1232 1355 1151
x= 10.6, R = 9A4, 5 = 3.36, S2 = ll.56 = (3.4)2
Estimateurs:
\= 3.11 ; 2 = 3.36, graphique de R vs groupe : carte de contrle des tendues
Les cartes x - R font intervenir le concept de limite suprieure (infrieure) statistique pour le
contrle de la validit de x et R . Bref, pour vrifier la stabilit et l'homognit de O
-
46
5.2 CARTE DE CONTRLE POUR EES HAUTEURS DE VAGUES
La carte de contrle est l'un des outils de base utilis pour la matrise statistique des procds.
C'est une reprsentation graphique constitue d'une suite d'images de la production. Elle permet
de visualiser la variabilit du procd en distinguant les causes alatoires des causes assignables.
C'est un graphique reprsentant des images successives de la production, prises une certaine
frquence de prlvement , partir d'chantillons prlevs sur la production. On reporte sur le
ou les graphiques de la carte les diffrents calculs effectus sur les chantillons (moyenne, cart-
type, tendue, nombre, pourcentage ).
5.2.1 Limite de contrle statistique
UCL- = x + A2*R 13,51 UCLR = DA*~R 16.77
CL = x X
10.6 CLR=~R 9.44
LCL- = x-A2*~R 7.7 LCLR = D3*R~ 8.10
O A2, D^, D4 sont des constantes tabules (Tableau C : Bernard Clment PhD, Design et analyse
statistique d'expriences industrielles I999).
Carte de con t r le Xbar
16,0
14,0 . 2 12,0 S) jj 10,0
I
x 8,0
6,0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
Numro de groupe
Fig.5.1: Limite de contrle statistique des hauteurs moyennes
-
M
17,0
3 O) 9,0 % ce
5,0
I.O
Carte de contle Rbar
16
I I I I I I I I I I I I I I
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13 1415 - i
16
Numro de groupe
Fif>.5.2: Carte de contrle statistique de R
Les limites de contrle statistique des hauteurs moyennes et des tendus moyens sont sous
contrle statistique comme l'indiquent les figures 5.1 et 5.2 ; on peut donc conclure que le
processus (les moyennes des mesures) est statistiquement stable.
On applique la mthode ANOM pour comparer des moyennes de l'effet des facteurs
contrls et des donnes d'exprimentation.
5.3 MTHODE ANOM POUR k MOYENNES DE HAUTEURS DE VAGUE.
Cette procdure permet de dterminer les chantillons qui sont significativement diffrents de la
moyenne gnrale.
Les limites de dcision ANOM sont dfinies partir de la formule 5.3
x-"k,v.a r cr (5.3)
O : seuil e.g.0.10, v : nombre degrs de libert pour l'estimation de dviation standard
//
nombre de moyennes de groupes compars
/
-
'IN
jr (5.4)
Limite de dc is ion A N O M : Xbar 14,0
12,0
H 10,0 X
8,0
6,0 iiriii i i i ii 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 1213141516
N u m r o de groupe
Fig. 5.3: ANOM des hauteurs moyennes avec limite de dcision 90%
Il n'y a pas de diffrence significative entre les moyennes de hauteur de vague.
L'analyse de stabilit de la mthode ANOM vrifier l'galit ou non des moyennes des diffrents
chantillons de hauteurs moyennes de vagues suivant les diffrents diamtres des dllecteurs des
hauteurs d'eau au pied du mur montre qu'elles n'excdent pas les limites de dcision suprieure
et infrieure. Ce qui signifie que les mesures des hauteurs moyennes de vague sont sous contrle
statistique. Comme la probabilit est suprieure ou gale 0.10, il n'y a pas de diffrence
statistiquement significatives entre les chantillons au niveau de confiance de 90% ou plus.
13,5
10,6
/,!
-
49
5.4 ANOM MULTIFACTOR1ELLE
5.4.1 ANOM pour les hauteurs d'eau
Graphique ANOM pour hauteur d'eau
12,0 ,
11,0
10,0
!l,0
11,4
10,6
9,8
0 1 2 3 4
Hauteur d'eau dans le canal (cm)
Kig.5.4: Limite de dcision ANOM pour les hauteurs d'eau
Les hauteurs moyennes d'eau sont sous contrle statistique.
ANOM pour les dflecteurs
14,0
12,0 m xi X
10,0
8,0
11,4
10,1
8,9
2 4 Dflecteur
Fig.5.5: Limite de dcision ANOM pour les dflecteurs
Les hauteurs moyennes d'eau sont sous contrle statistique entre les dflecteurs.
Le test statistique de l'influence des diffrents dcllectcurs est trs stable aucun dllecteur
n'excde les limites suprieures et infrieures.
-
so
5.4.2 Analyse de la variance
L'analyse de variance (analysis of variance, ANOVA) est une mthode statistique de comparaison
simultane de plusieurs chantillons.
La mthode la plus couramment employe pour tester l'homognit des moyennes est l'analyse
de Variance un facteur.
Llle est base sur la comparaison de la variabilit au sein de chacun des chantillons (variancc
intra) avec la variabilit entre chantillons (variance inter). La somme de la variancc intcr et de la
variance intra forment la variance totale. L'analyse de la variance correspond donc la
dcomposition ou partition de la variancc totale obtenue partir de l'ensemble des mesures. Les
effectifs des chantillons peuvent tre identiques ou bien diffrents.
Il est alors possible de calculer la somme des carrs des carts (S.CL.) de chacun des chantillons
et la S.C.E. totale.
On part de l'identit vidente suivante :
On somme sur i et j les deux termes de l'galit :
^/i.=XX(x,-.v,+.?,-.?)2
soit en utilisant la formule (a + b)- a2 +b2 +2ab :
SCElolale = X Z ( . v , -x,f + > , ( * , -xf +*%(? - * , ) (* , -x) ;=l H i=l i=l >=l
On peut montrer que le terme en 2ab est nul par dfinition de ' ' :
2 l Z ( x , -x , ) (x , -x)=(x, -x)(Xij -x,) = t f e - 4 0 ; I /= l r=l j I 1=1
Il reste donc :
SCE , = t l ( x , v - * ^ + ( * , - * ) 2
On remarque alors que :
t(,-y=^-xY=sci^tr i=\ 7=1 i=l
Et Lgalit devient :
-
51
SCElolale = X X (* " */ )2 + X "/ (*> " -?)2
./',, /; , ,
Le premier terme est appel S.CE. intra-groupe ou rsiduelle on parle galement d'erreur (cart
des valeurs de chaque chantillon la moyenne de l'chantillon). Le second terme est appel
S.CL. inter-groupe (cart de la moyenne de chaque chantillon la moyenne gnrale).
En divisant chaque SS par le degr de libert respectif, on obtient des variances. La thorie
statistique nous indique que si l'hypothse nulle est vraie alors la variance entre les groupes
comme la variance intra-groupe sont des estimateurs de la variance commune au k populations.
Mais si les moyennes ne sont pas gales alors la variance entre les groupes sera plus grande que la
variance intra-groupe (d'o le nom d'analyse de variance). Donc le test d'galit des moyennes
revient une comparaison des variances entre les groupes et intra-groupe.
Le rapport des variances permet de dfinir une variable F qui suit une loi de Fisher-Snedecor.
F= SS , / * - ' "
La valeur observe est comparer avec la valeur thorique lue dans la table du F 'c ~ ' et
y ,=* *-"-< degrs de libert. L'acceptation ou le rejet du test de la variance entranera l'acceptation ou le rejet de l'galit des moyennes.
La partition de la variance s'crit encore :
-
52
Tableau 5.3: partition de la variance
Source
de
Variation
SS DDL M S F
Inter
groupe Z*"/f-*)2 k-\ Xj.,u,(*,-*)2
Ar 1
SS^Jk-i Intergroupe Z*"/f-*)2 k-\ Xj.,u,(*,-*)
2
Ar 1 ss /"'-*
Intra-
groupe
Z h - O 2 z ;.,!-* iik--,)!
Intra-
groupe
Z h - O 2 z ;.,!-* Totale Li-
Le ratio ! ~ - est distribu selon une loi de Fisher-Snedecor avec V, = /( 1 degrs
^ ./i>,-* de libert au numrateur et V2 = k(n l)degrs de libert au dnominateur.
La S.CL. intra-groupe permet d'estimer la variance intra-groupe que l'on nomme galement
variance rsiduelle car elle ne rsulte pas du facteur ayant conduit la constitution des groupes.
La S.C.E. inter-groupe permet d'estimer la variance inter groupe, donc le degr de variation
attribu la diffrence entre les groupes. Le test est bas sur l'hypothse nulle qui stipule que les
diffrents groupes sont issus d'une mme population statistique. Si les chantillons proviennent de
la mme population statistique, la variance intra-groupe est du mme ordre que la variance inter
groupe.
I-'intervalle de confiance bilatral (l a)% pour la moyenne d'un chantillon est :
a S, a S, , _ , i . _ _ _ s / , i , X / + / , _ _ _ _
Chaque variation observe dans k