How many days would be holidays

if we respect the birthdays of all the past emperors?

Hajime Nanjo, Nobuhiro Shimizu, Taku Yamanaka

2017-12-28

Kuno and Yamanaka Groups

End-of-the Year Presentation

Introduction

• 125 emperors in Japan in the past

• Birthdays of 3 emperors are holidays

• Meiji Emperor : Nov. 3, Culture Day

• Showa Emperor : Apr. 29, Showa Day

• Current Emperor : Dec. 23, The Emperor’s Birthday

2

Question• If we make the birthdays of 


all the past 125 emperors as holidays, 
how many “Emperor’s birthday” holidays will we have?

• N = 365 (#days/year)

• M = 125 (#emperors)

• n : #holidays

3

1. Brute-force method• Split emperors into multiple days

• Example: 7 emperors

4

Day A Day A B Day A B

(7) (1+6) (2+5)

1 day 2 days 2 days

Day A B C D

(1+2+2+2)

4 days

. . .

Example: #cases for the splitting pattern

• 365C1 : pick 1 day

• × 7C1 : pick 1 emperor

• × 365-1C3 : pick 3 days

• × 7-1C2x3 : pick 2x3 emperors

• ×(2x3)! : Line up emperors

• × 1/(2!)3 : Remove double-counts5

Day A B C D

(1+2+2+2)

4 days

= 1,833,153,121,800

6

#holidays 1 2 3 4 5 6 7

partitions (7) (1+6) (1+1+5) (1+1+1+4) (1+1+1+1+3) (1+1+1+1+1+2) (1+1+1+1+1+1+1)

(2+5) (1+2+4) (1+1+2+3) (1+1+1+2+2)

(3+4) (1+3+3) (1+2+2+2)

(2+2+3)

#cases 365 837018 1.45E+10 6.11E+12 8.82E+14 4.76E+16 8.15E+17

#holidays

Prob

abili

ty

× 1 / 365 7

Partition Number (分割数) = 15

71

Problem of Partition No.

• It is LARGE!

• Took 100 min for M=90.

• Expect 80 hours for M=125

7N

Part

ition

Num

ber

100

109

0 100

2. Monte Carlo Method• Monte Carlo method can be

used to calculate the expected number of holidays

• M emperors are uniformly assigned to 365 boxes.

8

M

Jan. 1st

Dec. 31st

hol hol hol hol ß Number of holidays is
 immediately obtained.

…

…

 

N h

isto

ries

More realistic distribution

†http://www.mhlw.go.jp/toukei/saikin/hw/jinkou/tokusyu/syussyo-4/syussyo1-2.html

Japanese government provides the statistic information of fraction of birth-month.

†

1 3 5 7 9 11

fract

ion

The real distribution is NOT uniform at all!

The assignment of birth days is weighted

according to this fraction.

DecSep…Jan

Expected number of holidays decreases by only 0.03 days (43 minutes).
à Relax! Still we can take sufficient number of holidays


even in this realistic situation.

N h

isto

ries

3. Recurrence Formula• Q(M | n) : The number of cases for distributing M emperors

to n specific days

• Probability that M emperors fit in n days out of N days in a year

• Used Python (infinite #digits for integers!)12

となる。ただし、差し引く日数の最大値は n− 1とM のうち小さい方であるため、

Q(M |n) = nM −min(M,n−1)∑

i=1

nCi Q(M |i) (2)

と表せる。次に、１年N 日のうち、n日にM 人が入る確率は

P (M,N |n) = NCnQ(M |n)NM

(3)

である。したがって、漸化式の式 (2)を用いて i ≤ M についてQ(M |i)を求めておけば、祝日の日数の確率分布 P (M,N |n)が計算できる。

3.2 漸化式の計算Q(M |i)は整数であるので正確に計算できるが、NM = 365125 ≃ 10320 という大きな数を扱う。そこで、整数の桁数に制限のない Pythonを用いて計算した。P (M,N |n)の計算では実数で割り算するために、割る数と割られる数 (整数)を、Pythonで表せる実数O(10308)の範囲に収まるまで 10100(整数)で約分した。図 2に、漸化式で求めた天皇誕生日の日数の確率分布 P (125, 365|n)を示す。期待値は

106.0日であり、分布のRMSは 3.5日である。この結果は、＊＊＊＊＊の方法で計算して求めた結果と一致する。

図 2: 漸化式を用いた、天皇誕生日の日数の確率分布。

3

all in 1 day all in 2 daysQ(M |n) = nM � nC1 Q(M |1)� nC2 Q(M |2) · · ·

= nM �min(M,n�1)X

i=1

nCi Q(M |i)

Result of recurrence formula

13n (#holidays)

Prob

abili

ty

0 100 0

0.1

M = 125 emperors = 106.0 days RMS = 3.5 days

14n (#holidays)

Prob

abili

ty

0 100

10-11

10-186

Result of recurrence formula

4. Simple calculation

15

M-1

N-1i

j

Emperor ID

Day0 1 2 3012

× × ⚪ ×× × × ×× × × ×

… ×××

×× × × ×

……

…

Pholiday

= 1� (1� 1/N)MPworkday

= (1� 1/N)M

N(365) patterns/row

Result of simple calculation

• Binomial distribution : N,Pholiday → P(n)

• Mean = N x Pholiday = 365 x (1-(1-1/365)125 )=106 days

• RMS = √ NPholiday(1-Pholiday) = 8.7 days

16

Comparisons

17

formulaMC

• Recurrence formula and the simple formula agree up to 12 digits. But why

• MC is consistent with the recurrence formula

MC-formula

M

X

n

n · NCnQ(M |n)/NM = N⇥1� (1� 1/N)M

⇤?

0 1000

0.04

300

RMS Comparisons• RMS of the simple formula does not agree

18

formulaMC

+ simple

M

RM

S

0 10000

8

Conclusion• #holidays = 



 106.0 ± 3.5 days (for 125 emperors)

• Probability distribution function =

• RMS needs the recurrence formula or MC

19

N⇥1� (1� 1/N)M

⇤

0 50 100 150 200 250 300 3500

5000

10000

15000

20000

25000

Number of holidays

Mean:46.7837

RMS :1.63511

Mean:105.953

RMS :3.4784

Mean:154.141

RMS :4.70842

Mean:204.701

RMS :5.6498

Mean:272.409

RMS :6.0882

M=50

M=125

M=200

M=300

M=500

Number of holidays

図 4: 実際の誕生月の割合を考慮して，シミュレーションした祝日の数の分布。赤 (M = 50)，黒 (M = 125) ，マゼンタ (M = 200)，青 (M = 300)，緑 (M = 500)

認識できる。

4 漸化式を用いた方法4.1 漸化式の導出次に、漸化式を用いた方法を考える。Q(M |n)を、ある特定の n日にM 人を分配する

場合の数とする。M 人それぞれが n通り選ぶ選び方は nM 通りあるが、これはM 人全員が 1日に集中してしまう場合や、2日間に集中してしまう場合などを含む。したがってそれらの寄与を差し引くと、

Q(M |n) = nM − nC1 Q(M |1)− nC2 Q(M |2)− · · · (1)

となる。ただし、差し引く日数の最大値は n− 1とM のうち小さい方であるため、

Q(M |n) = nM −min(M,n−1)∑

i=1

nCi Q(M |i) (2)

と表せる。このQ(M |n)を用いると、１年N 日のうち、n日にM 人が入る確率は

P (M,N |n) = NCnQ(M |n)NM

(3)

である。したがって、漸化式の式 (2)を用いてQ(M |i)を i = 1からM まで順に求めておけば、祝日の日数の確率分布 P (M,N |n)を計算できる。

5

0 50 100 150 200 250 300 3500

5000

10000

15000

20000

25000

Number of holidays

Mean:46.7837

RMS :1.63511

Mean:105.953

RMS :3.4784

Mean:154.141

RMS :4.70842

Mean:204.701

RMS :5.6498

Mean:272.409

RMS :6.0882

M=50

M=125

M=200

M=300

M=500

Number of holidays

図 4: 実際の誕生月の割合を考慮して，シミュレーションした祝日の数の分布。赤 (M = 50)，黒 (M = 125) ，マゼンタ (M = 200)，青 (M = 300)，緑 (M = 500)

認識できる。

4 漸化式を用いた方法4.1 漸化式の導出次に、漸化式を用いた方法を考える。Q(M |n)を、ある特定の n日にM 人を分配する

場合の数とする。M 人それぞれが n通り選ぶ選び方は nM 通りあるが、これはM 人全員が 1日に集中してしまう場合や、2日間に集中してしまう場合などを含む。したがってそれらの寄与を差し引くと、

Q(M |n) = nM − nC1 Q(M |1)− nC2 Q(M |2)− · · · (1)

となる。ただし、差し引く日数の最大値は n− 1とM のうち小さい方であるため、

Q(M |n) = nM −min(M,n−1)∑

i=1

nCi Q(M |i) (2)

と表せる。このQ(M |n)を用いると、１年N 日のうち、n日にM 人が入る確率は

P (M,N |n) = NCnQ(M |n)NM

(3)

である。したがって、漸化式の式 (2)を用いてQ(M |i)を i = 1からM まで順に求めておけば、祝日の日数の確率分布 P (M,N |n)を計算できる。

5

Conclusion

• Depending on how you approach/think, the problem can be

• extremely difficult and time consuming, or

• extremely simple and quick

• Monte Carlo is easy and robust

• Writeup 「全ての天皇の誕生日を祝日にすると何日休みになるか」is available on the program page

20

Happy Holidays!

21

Backup

22

Check with data

• M = 138 members

• n = 114 different birthdays

• expected n = 115.0 ± 3.7

23

入山 杏奈Anna Iriyama

1995.12.03AKB48 Team A

大家 志津香Shizuka Oya

1991.12.28AKB48 Team A

小嶋 菜月Natsuki Kojima

1995.03.08AKB48 Team A

佐々木 優佳里Yukari Sasaki

1995.08.28AKB48 Team A

白間 美瑠Miru Shiroma

1997.10.14AKB48 Team A /NMB48 Team M

田北 香世子Kayoko Takita

1997.02.13AKB48 Team A

谷口 めぐMegu Taniguchi

1998.11.12AKB48 Team A

中西 智代梨Chiyori Nakanishi

1995.05.12AKB48 Team A

樋渡 結依Yui Hiwatashi

2000.04.30AKB48 Team A

宮崎 美穂Miho Miyazaki

1993.07.30AKB48 Team A

宮脇 咲良Sakura Miyawaki

1998.03.19AKB48 Team A /

HKT48 Team K IV

横山 由依Yui Yokoyama

1992.12.08AKB48 Team A

市川 愛美Manami Ichikawa

1999.08.26AKB48 Team K

久保 怜音Satone Kubo

2003.11.20AKB48 Team K

兒玉 遥Haruka Kodama

1996.09.19AKB48 Team K /HKT48 Team H

篠崎 彩奈Ayana Shinozaki

1996.01.08AKB48 Team K

Select LanguageChinese　Japanese

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Team 4

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研究生

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「レッツゴー研究生！」公演「レッツゴー研究生！」公演「レッツゴー研究生！」公演「レッツゴー研究生！」公演

2017年12月24日(日)

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Check with data

24

AKB48

NMB48, SKE48

Nogizaka46HKT48

HelloPro

golf players Takarazukaboat racers

jurists translatorsjockeys

tennis playersmovie directors

actors/actressesbaseball players

politicians

http://zukaholic.3album.net/student/index/S_birthday/

http://oshitan.com

https://www.tanjoubi.org/birth/

medical scholarswrestling

sumo, basketball, boxing, volleyball

M

n (d

ays)

100

400

40102 103 104

25

RMS

Differences between data and calculations

M102 103 104

n (d

ata

- exp

ecte

d)

0

5

-5

5. Discussion• Expected number of holidays

• Why exponential??

26

4 考察＊＊＊節で求めた、天皇誕生日の日数の期待値 ⟨n⟩をN ≫ 1で近似すると

⟨n⟩ = N[1−

(1− 1

N

)M](4)

= N

[1−

(1− 1

N

)N MN]

(5)

≃ N[1− exp

(−MN

)](6)

と簡単な形になる。これはどこかで見た形である。ある１日に着目した場合、その日が誕生日である天皇の数の期待値は

µ = M/N (7)

である。ポアッソン分布を仮定すると、その日が誕生日である天皇が１人以上いる確率は

1− P (µ, 0) = 1− e−µµ0

0!(8)

= 1− exp(−MN

)(9)

である。1年はN 日であるので、天皇誕生日の日数の期待値は上の確率にN をかけて

N

[1− exp

(−MN

)](10)

となり、式 (6)と一致する。図 3に、式＊＊＊＊で求めた天皇誕生日の日数の期待値と、ポアッソン分布を仮定した

場合と正確な値の比を、天皇の人数の関数として表す。このように、天皇の人数によらず、ポアッソン分布を仮定して求めた値は 0.2%以内で正確な値と一致する。

4

(if N>>1)

Actually, …• For 1 specific day, the expected number of emperors

whose birthday is that day

• Probability that some emperor’s birthday is on that day, with Poisson distribution

• Expected number of birthdays in a year with N days

27

µ = M/N(= 125/365)

1� P (µ, 0) = 1� e�µµ0

0!= 1� e�µ

N⇣1� e�M/N

⌘

How to count birthdays• Example: Download 


https://www.tanjoubi.org/birth/bunrui_076.html to 076_1.txt, 076_2,txt, …
・1902年01月22日 田畑忍 (たばた しのぶ)
・1902年08月21日 石本雅男 (いしもと まさお)

• cat 076_*.txt | tr '・' '\n' (split to lines)
1902年01月22日 田畑忍 (たばた しのぶ)

1902年08月21日 石本雅男 (いしもと まさお)

• cat 076_*.txt | tr '・' '\n' | grep 14px | sed 's/\

29

• cat 076_*.txt | tr '・' '\n' | grep 14px | sed 's/\