hydrodynamika prawo darcy'ego równanie eulera i ...lenda/wt5c.pdf · płynów w zasadzie...

Hydrodynamika – Prawo Darcy’egorównanie Eulera i BernoulliegoLaminarna warstwa graniczna

3 listopada 2013

Hydrodynamika – Prawo Darcy’ego równanie Eulera i BernoulliegoLaminarna warstwa graniczna

Prawo Darcy’ego – przepływ przez ośrodki porowate

Henri Darcy, francuski inżynier-hydrolog. W połowie 19. wiekunadzorował prace związane z zaopatrzeniem w wodę miasta Dijon,stolicy francuskiej Burgundii.Prawo wywodzi się z bardzo prostych założeń, dotyczącychmechanizmu przepływu płynu przez ośrodek porowaty – transportpłynu odbywa się poprzez cały układ nieregularnych i powykręcanychw różne strony kanalików.1 Prędkość przepływu jest bardzo mała. Zwykle są to prędkości

rzędu kilku centymetrów/dzień – chyba, że znajdujemy się wbezpośrednim sąsiedztwie źródła (lub upustu), kiedy takaprędkość może być rzędu 1m/dzień. Ten fakt uprawnia nas dopołożenia pochodnej śledczej prędkości („lewa” strona równ. N-S)równej zeru.

2 Całkowita siła działająca na element objętości płynu składa się z:grawitacji, sił ciśnienia (zwykle bez ciśnienia zewnętrznego, np.atmosferycznego) i sił tarcia lepkiego i jest równa zeru:

(1) ρg −∇P + f tarcie lepkie = 0.


Prawo Darcy’ego, c.d.

Założenie Darcy’ego polega na przyjęciu, że te ostatnie siły (tarcielepkie – cały czas odniesione do jednostki objętości) są proporcjonalnedo właściwego wydatku przepływu u – objętości cieczy, któraprzepływa w 1s przez powierzchnię 1m2, prostopadłą do kierunku u(zauważmy, że jest to wielkość wektorowa; jest to po prostu prędkośćtransportu płynu w ośrodku).Jeżeli wprowadzić pojęcie prędkości średniej płynu w ośrodku v, to tedwie wielkości są powiązane z sobą poprzez porowatość ośrodka ε

(2) u = εv.

Założenie Darcy’ego to

(3) f tarcie lepkie = −µku

(µ – lepkość płynu; k – przepuszczalność (permeability) ośrodka,wielkość której definicja wynika właśnie z powyższego równania).Tak więc – uwzględniając siły tarcia lepkiego według pomysłuDarcy’ego w (1)



(4) ρg −∇P − µ

ku = 0, albo

(5) u =k

µ[ρg −∇P ] .

Dla pola sił ciężkości g(0, 0,−g) trzy składowe skalarne to

ux = −kµ

∂P

∂x,

uy = −kµ

∂P

∂y,

uz = −kρgµ

(∂

∂z

[z +

P

ρg

])Te trzy równania to równania pojawiające się w książce Clarka; –

pamiętajmy P to całkowite ciśnienie (modyfikowane +hydrostatyczne).


Hydrolodzy wprowadzają jeszcze jedną stałą, zapisując trzy równaniaw notacji wektorowej

(6) u = −κ grad Φ gdzie

κ =kρg

µ

to tzw. przewodność hydrauliczna, a

(7) Φ = z +P

ρg

to tzw. wysokość słupa wody gruntowej – wysokość na jakiej ustalasię poziom wody, w otwartej pionowej rurze, liczony względem(dowolnie wybranego – wszystko jest pod znakiem gradientu!)poziomu odniesienia.W powyższych rozważaniach „zapomnieliśmy” o ciśnieniuzewnętrznym (atmosferycznym). Oczywiście, jeżeli ono występuje towysokość słupa wody gruntowej będzie odpowiednio (o ca. 10 m)mniejsza. Ale b.często ciśnienie zewnętrzne jest pomijane – transportwód podziemnych odbywa się „w izolacji” od wpływów zewnętrznegociśnienia atmosferycznego.



Przepływ przez porowatą kolumnę.

(8) u = −kµ

dP

dx.



Ze względu na duże podobieństwo tego wzoru ze wzoremHagena-Poiseuille’a można było to empiryczne prawo Darcy’egopoddać dalszej analizie. Równ.

uz = − 18µ

dp

dza2.

można uogólnić do postaci

(9) v =m2

k0µ

∆PLr

,

gdzie k0 to pewna stała, Lr – długość rury, a m – to tzw. promieńhydrauliczny

(10) m =przekrój rury

(zwilżany) obwód rury.

Dla „zwykłej” rury o promieniu a wielkość m = πa2/2πa = a/2 irówn. (9) staje się identyczne z równ. H-P dla k0 = 2.


W „prawdziwym” ośrodku porowatym(11)

m =objętość porów

(zwilżana) powierzchnia ośrodka porowatego=

εV

V (1− ε)S0,

gdzie V to całkowita objętość ośrodka, ε – jej ułamek zajęty przezpory – porowatość; S0 to powierzchnia właściwa: jest to powierzchniaośrodka porowatego przypadająca na jednostkową objętość frakcjistałej ośrodka

(12) S0 =powierzchnia ośrodka porowatego

jednostkowa objętość frakcji stałej ośrodka.

Wielkość v występująca po lewej stronie równ. (9) to średniaprędkość w porach, która jest związana z prędkością u z prawaDarcy’ego (równ. (8)) związkiem v = u/ε.


Po odpowiednich podstawieniach równ. (9) przybiera postać

(13) u =1k0µ

ε3

S20(1− ε)2∆PLr

.

W przypadku ośrodka porowatego Lr to długość „typowej” rurkiośrodka, która może być powiązana z rzeczywistym wymiaremliniowym L ośrodka poprzez stałą Kożennnego K:

(14) K =LrLk0;

po tym podstawieniu równ. (13) ma postać

(15) u =1Kµ

ε3

S20(1− ε)2∆PL.

Wartość stałej K bywa różnie przyjmowana, w zależności od typuośrodka porowatego (np. K = 5). Zauważmy też, że z (15) i prawaDarcy’ego otrzymujemy wzór na współczynnik przepuszczalności:

(16) k =ε3

KS20(1− ε)2.


Płyny nielepkie i równanie Eulera

Płyn nielepki („sucha woda”) opisuje równanie N-S, w którymkładziemy µ = 0.

(17) ρ∂u

∂t+ ρ(u · ∇)u = −∇P + ρg.

Jest to tzw. równanie Eulera (już pierwszego rzędu, ale w dalszymciągu nieliniowe). Z tego też powodu, w równaniu tym pojawia siędodatkowy problem: nie ma w nim miejsca na warunek braku poślizgu(zerowanie się prędkości na nieruchomych ściankach) – konturygraniczne obszaru przepływu są także liniami prądu.Przepływ potencjalny albo bezwirowy to taki, w którym wirowość(rotacja wektora prędkości) jest równa zeru:

(18) ω =∇× u = 0.Bezwirowe przepływy to takie, w których cząsteczki płynu

poruszające się wzdłuż linii prądu nie doznają obrotów. TwierdzenieKelvina o zachowaniu (bez)wirowości w przypadku płynu nielepkiego:przepływ (np. opływ sfery), który zaczął się jako bezwirowy (gdzieśdaleko ) pozostaje bezwirowym także i jej bezpośrednim sąsiedztwie.


Wektor, którego rotacja jest równa zeru można zawsze przedstawićjako gradient pewnej funkcji skalarnej – potencjału prędkości φ. Zrówn. (18) wynika więc

(19) u =∇φ.

Dla cieczy nieściśliwej i przepływu potencjalnego mamy raz jeszcze

(20) ∇2φ = 0,

do którego muszą być dołączone odpowiednie warunki brzegowe.Z powyższego wynika, że opis przepływu potencjalnego cieczynielepkiej sprowadza się w zasadzie do rozwiązywania równaniaLaplace’a. Dla przepływów dwuwymiarowych (o dwóch stopniachswobody – jak np. opływ sfery) istnieje jeszcze bardzo skuteczna,elegancka i „fizyczna” metoda odwzorowań konforemnych , albopotencjału zespolonego. Podstawy tej metody, także w zastosowaniu doprzepływów można znaleźć we wspomnianym już pierwszym rozdzialewykładu MMF. Metoda odwzorowań konforemnych to naprawdę

piękny przykład zastosowań matematycznego narzędzia – rachunkufunkcji zmiennej zespolonej, do rozwiązywania problemów fizycznych.


http://www.ftj.agh.edu.pl/%7Elenda/mmf/skrypt.pdf

Równanie Bernoulliego

Na wykładzie fizyki równanie to pojawia się zazwyczaj jako bilansenergii w przepływie ustalonym (a więc taki, dla którego możnaokreślić linie i rurki prądu). Jest to równanie ruchu; dla ustalonegoprzepływu cieczy nielepkiej równanie Eulera (17) można zapisać

(21) (u · ∇)u = −1ρ∇P +∇G,

gdzie ∇G ≡ g; a więc G to potencjał siły ciężkości (objętościowej).Lewą stronę (21) można przekształcić wykorzystując tożsamośćalgebry wektorów (podwójny iloczyn wektorowy!)

(u · ∇u) =∇(

12u · u

)− u×(∇× u)

i wprowadzając wirowość (równ. (18)). Po podstawieniu mamy

(22) ∇(1

2u · u

)− u× ω = −1

ρ∇P +∇G.


Po podstawieniu mamy

(23) ∇(1

2u · u

)− u× ω = −1

ρ∇P +∇G.

Pierwszy wyraz po prawej stronie to

(24) −1ρ∇P = −1

ρ∇p ≡∇

(∫ dp

ρ

),

gdzie całkowanie odbywa się wzdłuż linii prądu. Tak więc

(25) ∇(∫ dp

ρ+

12u · u−G

)= u× ω.

Mnożąc obie strony (25) skalarnie przez u dostajemy

(26) u · ∇(∫ dp

ρ+

12u · u−G

)= 0,

albo

(27)∫ dp

ρ+

12u · u−G = stała wzdłuż linii prądu.


Dla ρ = constans i G = −gz (oś 0z skierowana pionowo w górę)

(28)p

ρ+

12u2 + gz = stała wzdłuż linii prądu

– powszechnie znana postać „prawa zachowania trzech energii: energiisił ciśnienia, kinetycznej i potencjalnej sił ciężkości” w przepływieustalonym.Warto jeszcze na zakończenie dodać, że dla przepływu potencjalnegorówn. (29) jest też słuszne, ale w sposób „mocniejszy” – stała poprawej stronie jest stała globalną (taką samą w całej objętości cieczy).


Laminarna warstwa graniczna

Można powiedzieć, że nauka o mechanice płynów to także nauka osztuce kompromisu.W wielu przypadkach opisujemy realne sytuacje jako przepływypłynów w zasadzie nielepkich i okazuje się, że takie podejście wzasadzie nieźle działa.Ale nie działa ono do końca poprawnie w warstwach płynówbezpośrednio przylegających do pewnych stałych powierzchni,opływanych przez płyn.Innymi słowy: nawet jeżeli „prawie wszędzie” przepływ jest nielepki,to musimy pogodzić się z faktem, że istnieje coś co nazywamy warstwągraniczną, w której rzeczywisty płyn zachowuje się jak płyn lepki. Wszczególności, w warstwie tej spełniony jest warunek zerowania sięprędkości płynu na (nieruchomych) powierzchniach ograniczającychprzepływ.Takie tworzenie się warstwy granicznej obserwowaliśmy już narysunku, w którym dolna ściana naczynia zaczyna, w chwili t = 0 ruchz prędkością U .


Przepływ cieczy z (niezaburzoną) prędkością U naddługą i płaską płytą


W tym przypadku uznajemy (znowu umownie) warstwę graniczną, zaobszar w którym prędkość cieczy u ¬ 0.99U .Warstwa graniczna z rysunku jest już w pełni ukształtowana, a więcupłynął już dostatecznie długi czas aby przepływ osiągnął stanustalony.W odróżnieniu od poprzedniej sytuacji, w której płyta byłanieskończenie długa i poruszając się względem płynu powodowałastopniowe narastanie warstwy granicznej w kierunku pionowym – awięc nie było tam sytuacji, którą kojarzymy z przepływem ustalonym,– tutaj mamy warstwę graniczną, w której nieruchoma płytaprzekazuje znajdującemu się nad nią płynowi „ujemny pęd” (hamujego).Warstwa graniczna narasta w dodatnim kierunku osi 0x, a jejnachylenie powoduje, że wytwarza się pewna, różna od zera, składowaprędkości w kierunku pionowym (osi 0y).Składowa x-owa równań N-S (jak zwykle ignorujemy skutki siłyciężkości) (ux ≡ u; uy ≡ v) ma postać

(29) u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= −1

ρ

∂p

∂x+ ν

(∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2

).


Aby rozwiązać to równanie należy go . . . maksymalnie uprościć,odrzucając te wyrazy które są wyraźnie mniejsze od pozostałych.Grubość warstwy granicznej δ = δ(x) jest zwykle bardzo mała wporównaniu w wartościami x i y dla których szukamy rozwiązania(30); małe są także różnice w grubości warstwy dla różnych x-ów.Możemy ( (30)) uprościć do postaci

(30) u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= ν

∂2u

∂y2.

Mamy też równanie ciągłości

(31)∂u

∂x+

∂v

∂y= 0

i warunki brzegowe:

(32)u = v = 0 dla y = 0u = U dla y =∞

Rozwiązanie układu równań (31) i (32) jest trudne (Blasius, 1908)Hydrodynamika – Prawo Darcy’ego równanie Eulera i BernoulliegoLaminarna warstwa graniczna

Można wprowadzić (tak, jak robimy to metodzie potencjałuzespolonego) funkcję prądu Ψ:z faktu, że spełnione jest (32) wynika, że istnieje Ψ = Ψ(x, y), takieże

(33) u =∂Ψ∂y

, v = − ∂Ψ∂x

.

Przy takich podstawieniach równ. (31) przyjmuje postać

(34)∂Ψ∂y

∂2Ψ∂x∂y

− ∂Ψ∂x

∂2Ψ∂y2

= ν∂3Ψ∂y3

.

Następnie dokonujemy podstawienia (ma ono m.in. związek zoperacją pozbawiania wymiarów wielkości w równaniu):

Ψ(x, y) =√νUxf(η); η =

y

2√νx/U

po nietrudnych, ale żmudnych rachunkach dochodzimy do na pozórprostego równania

(35) f ′′′ + ff ′′ = 0,z warunkami: f = f ′ = 0 dla η = 0; f ′(∞) = 2.


Rozwiązanie (36) można uzyskać numerycznie i wykorzystaćobliczoną funkcję f i jej pochodne – obliczone dla konkretnej wartościbezwymiarowej zmiennej η – do wyliczenia u i v.Na przykład, można wyliczyć że przy kryterium dla „brzegu” warstwygranicznej: u = 0.99U , jej grubość δ ma postać

(36) δ = δ(x) = 5x√

ν

Ux≡ 5x

1√Rex

.

Wielkość Rex = Ux/ν to liczba Reynoldsa warstwy granicznej.Powyższe wzory są intuicyjnie dość oczywiste.

Wynika z nich np., że gdy U rośnie to rośnie także Rex, a więcgrubość warstwy granicznej maleje.Im większe U tym większa bezwładność warstw płynu w sąsiedztwiepłyty i tym trudniej „poddają się” one wpływom lepkości.


Dalsze rachunki pozwalają np. wyliczyć składową tensora naprężeń napowierzchni płyty:

(37) τxy|y=0 = µ∂u

∂y

∣∣∣∣∣y=0

= . . . =U

4

(U

νx

)1/2f ′′(0).

Po skorzystaniu z danych numerycznych otrzymujemy

(38) τxy|y=0 = 0.332µU(U

νx

)1/2.

Ta składowa tensora naprężeń, to strumień x-tej składowej pędu wkierunku osi 0y,tzw. opór naskórkowy opływanej przeszkody (płyty).


Nawiązując do prawa Newtona (rozdz. 2) możemy wprowadzićwspółczynnik oporu naskórkowego płyty:

(39) Cfx =τxy|y=0ρU2/2

= . . . = 0.664Re−1/2x

i jego wartość średnią, dla płyty o długości L

(40) CfL =1L

∫ L0Cfxdx = . . . = 1.32Re−1/2L .


hydrodynamika prawo darcy'ego równanie eulera i ...lenda/wt5c.pdf · płynów w zasadzie...

Documents