i. funkcia npremenných ii. diferenciálne rovnice 21 iii...

OBSAH

I. Funkcia n-premenných . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5II. Diferenciálne rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21III. Systémy diferenciálnych rovníc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37IV. Číselné rady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42V. Funkcionálne rady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Literatúra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3

Euklidovsky priestor

n–rozmerný euklidovský priestor En je množina všetkých usporiadaných n–tícX = (x1, x2, . . . , xn) reálnych čísel, pričom je definovaná vzdialenosť ρ ľubovoľnýchdvoch n–tíc X = (x1, x2, . . . , xn), Y = (y1, y2, . . . , yn) vzťahom

ρ(X,Y ) =√(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + . . .+ (xn − yn)2.

N–ticu X = (x1, x2, . . . , xn) reálnych čísel nazývame bodom priestoru En a číslax1, x2, . . . , xn súradnice tohto bodu.Okolie bodu A, presnejšie ǫ–ové okolie Oǫ(A) bodu A ∈ En, je množina všetkýchbodov X ∈ En, ktorých vzdialenosť od bodu A je menšia ako ǫ. Teda

Oǫ(A) = X ∈ En : ρ(A,X) < ǫ.

Body v En

NechM je množina bodov v euklidovskom priestore En.Bod A ∈ M nazývame vnútorným bodom množinyM, ak existuje také okolie boduA, ktoré celé patrí do množinyM.Bod A nazývame hraničným bodom množinyM, ak v každom okolí bodu A existujenejaký bod, ktorý patrí do množinyM, ako aj taký bod, ktorý nepatrí do množinyM.Hraničný bod množinyM môže, ale aj nemusí byť prvkom množinyM.Bod A ∈ M nazývame izolovaným bodom množiny M, ak existuje okolie bodu A,ktoré obsahuje iba jediný bod množinyM, a to A. Je zrejmé, že izolovaný bod množinyM je zároveň aj jej hraničným bodom.Bod A nazývame hromadným bodom množiny M, ak v každom okolí bodu Aexistuje aspoň jeden bod množiny M rôzny od bodu A. Dá sa dokázať, že v každomokolí hromadného bodu množinyM je nekonečne veľa bodov množinyM. Hromadnýbod množinyM nemusí patriť do množinyM.

Množiny v En

NechM je množina bodov v euklidovskom priestore En.Množinu všetkých vnútorných bodov množinyM nazývame vnútrom množiny M.MnožinaM sa nazýva otvorená množina, ak každý jej bod je jej vnútorným bodom.Vnútro množiny je otvorená množina.

Množina všetkých hraničných bodov množinyM sa nazýva hranica množiny M.Množina M sa nazýva uzavretá množina, ak množina En − M je otvorená. Preuzavreté množiny sa dajú dokázať nasledujúce tvrdenia:

MnožinaM je uzavretá práve vtedy, keď obsahuje všetky svoje hromadné body.MnožinaM je uzavretá práve vtedy, keď obsahuje všetky svoje hraničné body.

MnožinaM sa nazýva ohraničená, ak existuje také číslo k a bod X0, že ρ(X,X0) ≤ kpre každý bod X z množinyM.

5

MnožinaM sa nazýva súvislá, ak jej ľubovoľné dva rôzne body môžeme spojiť jednodu-chou krivkou, ktorej všetky body patria doM.MnožinaM, ktorá je otvorená a súvislá, sa nazýva oblasť.Dôležitými príkladmi uzavretých, resp. otvorených množín, sú intervaly.Otvorený interval v priestore En je množina všetkých bodovX = (x1, x2, . . . , xn) ∈ En, ktorých súradnice spĺňajú nerovnosti:

a1 < x1 < b1,

a2 < x2 < b2,

...

an < xn < bn,

(1)

kde ai, bi sú reálne čísla, ai < bi pre i = 1, 2, . . . , n. Tento interval označujemeJ = (a1, b1)× (a2, b2)× . . . × (an, bn).

Uzavretý interval v priestore En je množina všetkých bodovX = (x1, x2, . . . , xn) ∈ En, ktorých súradnice spĺňajú nerovnosti:

a1 ≤ x1 ≤ b1,

a2 ≤ x2 ≤ b2,

...

an ≤ xn ≤ bn,

(2)

kde ai, bi sú reálne čísla, ai ≤ bi pre i = 1, 2, . . . , n. Tento interval označujemeJ =< a1, b1 > × < a2, b2 > × . . .× < an, bn >.

Postupnosť bodov v En a jej limita

Funkciu f , ktorej definičný obor je množina prirodzených čísel a obor hodnôt je množinaH ⊆ En voláme postupnosťou bodov vEn a označujeme Xk∞k=1 = X1, X2, . . . , Xk, . . ..Definícia 1. Postupnosť bodov Xk∞k=1 v En konverguje k bodu A ∈ En ( A jelimitou postupnosti Xk∞k=1 ), ak k ľubovoľnému ε > 0 existuje prirodzené číslo N , žepre všetky prirodzené čísla k > N platí ρ(A,Xk) < ε, t.j. v každom Oε(A) ležia všetkybody postupnosti Xk∞k=1 s výnimkou konečného počtu bodov X1, X2, . . . , XN .

Veta1. Postupnosť bodov Xk∞k=1, kde Xk = (xk1 , x

k2 , . . . , x

kn) konverguje k bodu

A = (a1, a2, . . . an) vtedy a len vtedy, ak postupnosť xki ∞k=1 konverguje k ai, i =

1, 2, . . . n.

Funkcia n - premenných

Nech M je množina bodov priestoru En. Predpis, ktorý každému bodu X ∈ M priradípráve jedno reálne číslo y ∈ E1 nazývame reálnou funkciou n - premenných.

Označenie: y = f(X), y = f(x1, x2, . . . , xn).

6

Množina M je definičný obor funkcie f(X) a označuje sa Df .Obor hodnôt funkcie f(X) je množina Hf ⊆ E1 všetkých y ∈ E1 pre ktoré existujeX ∈ En, že platí y = f(X).

Pojmy: ohraničenosť, suprémum, infímum, maximum, minimum sú tie isté ako prifunkcii jednej premennej. Rovnako aj operácie s funkciami +, −, . , : sa definujú akopre funkcie jednej premennej.

Zložená funkcia

Nech y = f(X) = f(x1, x2, . . . , xn) je funkcia definovaná na Df ⊆ En a nech

x1 = ϕ1(T ) = ϕ1(t1, t2, . . . , tm)

x2 = ϕ2(T ) = ϕ2(t1, t2, . . . , tm)

...

xn = ϕn(T ) = ϕn(t1, t2, . . . , tm),

kde T ∈ Em a Di ⊆ Em, (i = 1, 2, . . . n) sú príslušné definičné obory funkcií ϕi.

Nech D =n⋂

i=1

Di. Ak T ∈ D, potom nech (φ1(T ), φ2(T ), . . . , φn(T )) ∈ Df .

Potom funkcia F (T ) = f(φ1(T ), φ2(T ), . . . , φn(T )) s oborom definície D sa nazývazloženou funkciou. Funkciu F (X) nazývame hlavnou (vonkajšou) zložkou a funkcieϕi(T ) vedľajšími (vnútornými) zložkami.

Graf funkcie n - premenných

Grafom funkcie y = f(X) = f(x1, x2, . . . , xn) definovanej na množine Df ⊆ En súvšetky usporiadané (n+ 1)-tice(X, y) = (x1, x2, . . . , xn, y) ∈ En+1

pre ktoré X = (x1, x2, . . . , xn) a y = f(X).

Znázorniť môžme grafy funkcie jednej a dvoch premenných.

Používame označenie:

y = f(x) namiesto y = f(x1)z = f(x, y) namiesto y = f(x1, x2)u = f(x, y, z) namiesto y = f(x1, x2, x3)

Limita funkcie n - premenných

Definícia 2. Nech funkcia y = f(X) = f(x1, x2, . . . , xn) je definovaná v istom okolíbodu A = (a1, a2, . . . an), prípadne s výnimkou boduA. Hovoríme, že funkcia y = f(X)má v bode A limitu rovnú číslu l ∈ E1, ak pre každú postupnosť bodov Xk∞k=1,Xk 6= A, z definičného oboru funkcie f(X), ktorá konverguje k bodu A, má postupnosťfunkčných hodnôt f(Xk)∞k=1 limitu rovnú číslu l.

7

Definícia 3. Nech funkcia y = f(X) = f(x1, x2, . . . , xn) je definovaná v istom okolíbodu A = (a1, a2, . . . an), prípadne s výnimkou boduA. Hovoríme, že funkcia y = f(X)má v bode A nevlastnú limitu ∞, (−∞), ak pre každú postupnosť bodov Xk∞k=1,Xk 6= A, z definičného oboru funkcie f(X), ktorá konverguje k bodu A, má postupnosťfunkčných hodnôt f(Xk)∞k=1 nevlastnú limitu ∞, (−∞).

Veta 2. Nech funkcie f(X), g(X) majú v bode A limitu. Potom má v bode A limitu

|f(X)|, f(X)+g(X), f(X)−g(X), f(X).g(X) a aj f(X)g(X) , ak limX→A

g(X) 6= 0 a platí

limX→A

|f(X)| = | limX→A

f(X)|

limX→A

f(X)± g(X) = limX→A

f(X)± limX→A

g(X)

limX→A

f(X)g(X) = limX→A

f(X) limX→A

g(X)

limX→A

f(X)g(X)

=lim

X→Af(X)

limX→A

g(X)

Spojitosť funkcie n - premenných

Definícia 4. Funkcia y = f(X) = f(x1, x2, . . . , xn) je v bode A = (a1, a2, . . . an)spojitá, ak

limX→A

f(X) = f(A)

Ak je funkcia y = f(X) spojitá v každom bode množiny M hovoríme, že je spojitá namnožine M .Ak je funkcia y = f(X) spojitá v každom bode svojho definičného oboru hovoríme, žeje spojitá.

Veta 3. Nech funkcie f(X), g(X) sú spojité v bode A . Potom v bode A je spojitá

|f(X)|, f(X) + g(X), f(X)− g(X), f(X).g(X) a aj f(X)g(X) , ak g(X) 6= 0.

Parciálna derivácia

Nech f(X) = f(x1, x2, . . . , xn)je definovaná v okolí bodu A = (a1, a2, . . . , an). Potom zároveň sú definované funkcie:

g1(x1) = f(x1, a2, a3, . . . , an)

g2(x2) = f(a1, x2, a3, . . . , an)

...

gn(xn) = f(a1, a2, a3, . . . , xn)

Deriváciu funkciegi(xi) = f(a1, . . . ai−1, xi, ai+1, . . . , an), (i = 1, 2, . . . n) v čísle ai , t.j. limitu

8

limxi→ai

gi(xi)− gi(ai)xi − ai

= limxi→ai

f(a1, . . . ai−1, xi, ai+1, . . . , an)− f(a1, . . . ai−1, ai, ai+1, . . . , an)xi − ai

nazývame parciálnou deriváciou funkcie f(X) podľa premennej xi v bode A aoznačujeme

[∂f

∂xi

]

A

∂f(A)∂xi

f ′

xi(A)

Diferencovateľnosť funkcie

Definícia 5. Nech funkcia y = f(X) = f(x1, x2, . . . , xn) je definovaná v istom okolíbodu A = (a1, a2, . . . an). Hovoríme, že funkcia f(X) je diferencovateľná v bodeA, ak existujú čísla ki, (i = 1, 2, . . . , n) a funkcia ω(X) v bode A spojitá, ω(A) = 0, žeplatí

f(X)− f(A) =n∑

i=1

ki(xi − ai) + ω(X) ρ(X,A)

Funkciun∑

i=1

ki(xi − ai)

nazývame totálny diferenciál funkcie f(X) v bode A a označujeme df(A,X).

Veta 4. Ak funkcia f(X) je v bode A diferencovateľná, potom1. je v bode A spojitá,

2. existujú parciálne derivácie ∂f(A)∂xi

, i = 1, 2, . . . n,3. pre čísla ki platí

ki =∂f(A)∂xi

, i = 1, 2, . . . n

V dôsledku vety 4 má diferenciál funkcie f(X) v bode A tvar:

df(A,X) =n∑

i=1

∂f(A)∂xi

(xi − ai)

Nech f(X) je diferencovateľná v každom bode X ∈ D. Potom výraz

df =∂f(X)∂x1

dx1 +∂f(X)∂x2

dx2 + . . . +∂f(X)∂xn

dxn

nazývame totálny diferenciál funkcie f(X) na množine D.

9

Veta 5. Ak funkcia f(X) má v istom okolí bodu A parciálne derivácie podľa každejpremennej a tieto parciálne derivácie sú spojité v bode A, potom je funkcia f(X) vbode A diferencovateľná.

Geometrický význam totálneho diferenciálu funkcie dvoch premenných

Dotyková rovina grafu diferencovateľnej funkcie z = f(x, y) v bode T = (x0, y0, z0) márovnicu

z − z0 = df(A,X), A = (x0, y0), z0 = f(x0, y0)

Parciálne derivácie vyšších rádov

Nech f(X) = f(x1, x2, . . . , xn) má v bode A = (a1, a2, . . . , an) parciálne derivácie podľakaždej premennej. Potom parciálnu deriváciu

∂f

∂xk

(∂f(A)∂xi

)

nazývame druhou parciálnou deriváciou funkcie f(X) podľa xi, xk v bode A aoznačujeme

ak k 6= i∂2f(A)∂xi∂xk

ak k = i∂2f(A)

∂x2i

Analogicky definujeme parciálne derivácie tretieho, štvrtého, . . . , k-teho rádu.

Zameniteľnosť poradia derivovania

Veta 6. Ak f(X) je diferencovateľná a má diferencovateľné všetky prvé parciálne de-rivácie na množine D, potom je dvakrát diferencovteľná na D a jej druhé parciálnederivácie, ktoré sa líšia len poradím derivovania sa sebe rovnajú.

Veta 7. Ak f(X) má spojité všetky druhé parciálne derivácie na množine D, potomje dvakrát diferencovteľná na D a jej druhé parciálne derivácie, ktoré sa líšia lenporadím derivovania sa sebe rovnajú.

Analogické vety o zameniteľnosti poradia derivovania platia aj pre parciálne derivácievyšších rádov.

10

Diferenciál druhého rádu

Ak funkcia f(X) = f(x1, x2, . . . , xn) je v bode A = (a1, a2, . . . , an) dvakrát diferenco-vateľná, potom výraz

d2f(A,X) =[∂f(A)∂x1

(x1 − a1) + . . .+∂f(A)∂xn

(xn − an)]2

nazývame druhým diferenciálom funkcie f(X) v bode A.

Ak funkcia f(X) = f(x1, x2, . . . , xn) je dvakrát diferencovateľná na množine D, potomvýraz

d2f =[

∂f

∂x1dx1 + . . .+

∂f

∂xn

dxn

]2

nazývame druhým diferenciálom funkcie f(X) na množine D.

Diferenciál k - teho rádu

Ak funkcia f(X) = f(x1, x2, . . . , xn) je v bode A = (a1, a2, . . . , an) k - krát diferenco-vateľná, potom výraz

dkf(A,X) =[∂f(A)∂x1

(x1 − a1) + . . .+∂f(A)∂xn

(xn − an)]k

nazývame k - tym diferenciálom funkcie f(X) v bode A.

Ak funkcia je k - krát diferencovateľná na množine D, potom výraz

dkf =[

∂f

∂x1dx1 + . . .+

∂f

∂xn

dxn

]k

nazývame k - tym diferenciálom funkcie f(X) na množine D.

Lokálne extrémy funkcie n - premenných

Definícia 6. Hovoríme, že funkcia f(X) má v bode A lokálne maximum (minimum),ak existuje také okolie bodu A, že pre každý bod X z tohto okolia platí: f(X) ≤ f(A)(f(X) ≥ f(A)). Ak pre každý bod X z okolia bodu A, X 6= A platí: f(X) < f(A)(f(X) > f(A)) hovoríme, že f(X) má v bode A ostré lokálne maximum (minimum).

Veta 8. Nech funkcia f(X) má v bode A lokálny extrém a nech má v tomto bodeparciálne derivácie prvého rádu. Potom

∂f(A)∂xi

= 0, i = 1, 2, . . . , n

Bod, v ktorom má funkcia f(X) všetky prvé parciálne derivácie rovné nule sa volástacionárny bod.

11

Veta 9. Nech funkcia f(X) je v bode A dvakrát diferencovateľná a nech A je sta-cionárny bod. Potom platí:1. f(X) má v bode A ostré lokálne maximum, ak druhý diferenciál d2f(A,X) jezáporný pre každý bod X 6= A z definičného oboru f(X),

2. f(X) má v bode A ostré lokálne minimum, ak druhý diferenciál d2f(A,X) jekladný pre každý bod X 6= A z definičného oboru f(X),

3. f(X) nemá v bode A lokálny extrém, ak existujú body X1, X2, žed2f(A,X1) d2f(A,X2) < 0.

Matica, ktorej prvky sú druhé parciálne derivácie funkcie f(X) sa nazýva Hessovamatica:

H(X) =

∂2f(X)∂2x1

∂2f(X)∂x1∂x2

. . .∂2f(X)∂x1∂xn

∂2f(X)∂x2∂x1

∂2f(X)∂2x2

. . .∂2f(X)∂x2∂xn

......

......

∂2f(X)∂xn∂x1

∂2f(X)∂xn∂x2

. . .∂2f(X)∂2xn

Označme jej rohové minory:

D1 =∂2f(X)∂2x1

, D2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂2f(X)∂2x1

∂2f(X)∂x1∂x2

∂2f(X)∂x2∂x1

∂2f(X)∂2x2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

, . . .

Dn =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂2f(X)∂2x1

∂2f(X)∂x1∂x2

. . .∂2f(X)∂x1∂xn

∂2f(X)∂x2∂x1

∂2f(X)∂2x2

. . .∂2f(X)∂x2∂xn

......

......

∂2f(X)∂xn∂x1

∂2f(X)∂xn∂x2

. . .∂2f(X)∂2xn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Veta 10. Nech A = (a1, a2) je stacionárny bod funkcie z = f(x, y) a nech funkciaf(x, y) je v bode A dvakrát diferencovateľná. Potom platí:1. f(x, y) má v bode A ostré lokálne maximum, ak D1 < 0 a D2 > 0,2. f(x, y) má v bode A ostré lokálne minimum, ak D1 > 0 a D2 > 0,3. f(x, y) nemá v bode A lokálny extrém, ak D2 < 0.

12

Veta 11. NechA = (a1, a2, . . . , an) je stacionárny bod funkcie f(X) = f(x1, x2, . . . , xn)a nech funkcia f(X) je v bode A dvakrát diferencovateľná. Potom platí:1. f(X) má v bode A ostré lokálne maximum, ak

D1 < 0, D2 > 0, D3 < 0, . . . , Dn> 0 n = 2k< 0 n = 2k + 1

k ∈ N

2. f(X) má v bode A ostré lokálne minimum, ak

D1 > 0, D2 > 0, D3 > 0, . . . , Dn > 0

3. Ak

D1 ≤ 0, D2 ≥ 0, D3 ≤ 0, . . . , Dn≥ 0 n = 2k≤ 0 n = 2k + 1

k ∈ N

aleboD1 ≥ 0, D2 ≥ 0, D3 ≥ 0, . . . , Dn ≥ 0,

potom o extréme nevieme rozhodnúť (týmto spôsobom).4. V ostatných prípadoch funkcia f(X) nemá v bode A lokálny extrém.

Viazané extrémy funkcie dvoch premenných

Nech funkcia z = f(x, y) je definovaná na množine Df . Nech M ⊂ Df , je množinavšetkých bodov z Df , ktoré vyhovujú podmienke ϕ(x, y) = 0.Lokálne extrémy funkcie f(x, y) na množine M nazývameviazané lokálne extrémy funkcie f(x, y) pri podmienke ϕ(x, y) = 0.Podmienku ϕ(x, y) = 0 voláme väzba.Pri hľadaní viazaných extrémov rozlišujeme dva prípady:

1. Väzba ϕ(x, y) = 0 určuje jedinú funkciu y = g(x), resp. x = h(y). V tomto prípadeviazaný extrém hľadáme ako extrém funkcie jednej premennej z = f(x, g(x)), resp.z = f(h(y), y).

2. Väzba ϕ(x, y) = 0 neurčuje jednoznačne funkciu y = g(x), ani x = h(y).Vytvorime funkciu

L(x, y) = f(x, y) + λ ϕ(x, y),

ktorú voláme Lagrangeova funkcia a λ je Lagrangeov činiteľ.

Veta 11. Ak Lagrangeova funkcia L má v bode A ∈ M lokálny extrém, potom máfunkcia f v bode A viazaný lokálny extrém pri väzbe ϕ = 0.

13

Viazané extrémy funkcie n-premenných

Pri hľadaní viazaných lokálnych extrémov funkcie f(X) = f(x1, x2, . . . , xn) definovanejna množine Df ak sú splnené podmienky

ϕ1(x1, x2, . . . , xn) = 0

ϕ2(x1, x2, . . . , xn) = 0

. . .

ϕk(x1, x2, . . . , xn) = 0

postupujeme nasledovne:Vytvorime Lagrangeovu funkciu

L(X) = f(X) + λ1 ϕ1(X) + λ2 ϕ2(X) + . . .+ λk ϕk(X)

a potom použijeme vetu 11.

14

Príklad 1.

Nájdite viazané extrémy danej funkcief(x, y) = x2 + y2 − 2y + 8pri väzbeg(x, y) = y2 + x2 − 9

V bode A = (0, 3) má funkcia f ostré viazané lokálne minimum f(0, 3) = 11.V bode B = (0,−3) má funkcia f ostreé viazané lokálne maximum f(0,−3) = 23.

-4-2

02

4

-4 -2 0 2 4 6

10

15

20

25

10

15

20

-20 2-20

2

0

10

20

-202

-5-2.5

0

2.5

5

-2.50

2.55

10

15

20

25

10

15

15

Príklad 2.

Nájdite viazané extrémy danej funkcief(x, y) = xy − x+ y − 1pri väzbeg(x, y) = x+ y − 1

V bode A = (−0.5, 1, 5) má funkcia f ostré viazané lokálne maximumf(−05, 1, 5) = 0, 25.

-4-2

02

4

-4

-2

0

2

4

-2

0

2

16

Implicitná funkcia

Nech F (x, y) je spojitá funkcia dvoch premenných. Ak existuje funkcia y = f(x) taká,že pre všetky x z definičného oboru funkcie y = f(x) platí

F (x, f(x)) = 0,

potom funkciu y = f(x) nazývame funkciou určenou implicitne rovnicou F (x, y) = 0.Rovnicou F (x, y) = 0 nemusí byť určená žiadna funkcia alebo môže byť implicitneurčených viac funkcií. Nasledovná veta hovorí, kedy je rovnicou a bodom určená jedináimplicitná funkcia.

Veta 12. Nech funkcia F (x, y) je spojitá a má spojité všetky parciálne derivácie až do

n-tého rádu v okolí bodu A = (x0, y0). Nech F (x0, y0) = 0 a∂F (x0, y0)

∂y6= 0.

Potom existujú kladné čísla ξ, η tak, že1. rovnicou F (x, y) = 0 je na intervale (x0 − ξ, x0 + ξ) určená jediná spojitá funkcia

y = f(x) taká, že pre každé x ∈ (x0 − ξ, x0 + ξ) je F (x, f(x)) = 0, f(x0) = y0a f(x) ∈ (y0 − η, y0 + η).

2. funkcia f(x) má na intervale (x0 − ξ, x0 + ξ) spojité derivácie až do n-tého rádu.Pre prvú deriváciu platí

f ′(x) = −F ′

x

F ′

y

,

pričom y = f(x), y′ = f ′(x).

Zjednodušená veta 12.

Veta 12. Nech funkcia F (x, y) je spojitá a má spojité všetky parciálne derivácie až do

n-tého rádu v okolí bodu A = (x0, y0). Nech F (x0, y0) = 0 a∂F (x0, y0)

∂y6= 0.

Potom1. rovnicou F (x, y) = 0 a bodom A = (x0, y0) je v istom okolí O(x0) bodu x0určená implicitne jediná spojitá funkcia y = f(x),

2. funkcia f(x) má v okolí O(x0) spojité derivácie až do n-tého rádu. Pre prvúderiváciu platí

f ′(x) = −F ′

x

F ′

y

,

pričom y = f(x), y′ = f ′(x).

17

m - rozmerná vektorová funkcia jednej premennej

NechM je množina bodov priestoru E1. Predpis, ktorý každému x ∈ M priradí práve je-den bod Y = (y1, y2, . . . , ym) ∈ Em nazývame m - rozmernou vektorovou funkcioujednej premennej.

Označenie: f(x) = (f1(x), f2(x), . . . , fm(x)).f1, f2, . . . , fm sú zložky vektorovej funkcie f .Ak f je dvojrozmerná resp. trojrozmerná vektorová funkcia jednej premennej, môžmeju vyjadriť v tvare

f(x) = f1(x)i+ f2(x)j resp.

f(x) = f1(x)i+ f2(x)j+ f3(x)k

Ak zložky f1, f2, . . . , fm funkcie f(x) = (f1(x), f2(x), . . . , fm(x)) majú derivácie f ′

1, f′

2, . . . , f′

m,potom funkcia

f ′(x) = (f ′

1(x), f′

2(x), . . . , f′

m(x))

je derivácia funkcie f(x).

m - rozmerná vektorová funkcia n - premenných

NechM je množina bodov priestoru En. Predpis, ktorý každémuX = (x1, x2, . . . , xn) ∈M priradí práve jeden bod Y = (y1, y2, . . . , ym) ∈ Em nazývame m - rozmernouvektorovou funkciou n - premenných.

Označenie: f(X) = (f1(x1, x2, . . . , xn), f2(x1, x2, . . . , xn), . . . , fm(x1, x2, . . . , xn)).f1, f2, . . . , fm sú zložky vektorovej funkcie f .Ak f je dvojrozmerná vektorová funkcia dvoch premenných, resp. trojrozmerná vek-torová funkcia troch premenných, môžme ju vyjadriť v tvare

f(x, y) = f1(x, y)i+ f2(x, y)j resp.

f(x, y, z) = f1(x, y, z)i+ f2(x, y, z)j+ f3(x, y, z)k

Gradient

Nech funkcia f(X) = f(x1, x2, . . . , xn) je diferencovateľná v bode A = (a1, a2, . . . , an).Gradientom funkcie f(X) v bode A nazývame vektor grad f(A), pre ktorý platí

grad f(A) =(

∂f(A)∂x1

,∂f(A)∂x2

, . . . ,∂f(A)∂xn

)

Nech funkcia f(X) = f(x1, x2, . . . , xn) je diferencovateľná na množine M . Gradien-tom funkcie f(X) alebo gradientom skalárneho poľa f(X) nazývame vektorovú funkciudefinovanú na množine M , pre ktorú platí

grad f =(

∂f

∂x1,

∂f

∂x2, . . . ,

∂f

∂xn

).

18

Divergencia

Nech je daná vektorová funkcia f(X) = (f1(X), f2(X), . . . , fn(X)), X = (x1, x2, . . . , xn),pričom funkcie f1(X), f2(X), . . . , fn(X) majú na množine M spojité parciálne derivá-cie. Divergenciou vektorovej funkcie f(X) alebo divergenciou vektorového poľa f(X)nazývame funkciu

div f =∂f1∂x1+

∂f2∂x2+ . . .+

∂fn

∂xn

.

Rotácia

Nech je daná vektorová funkcia

f(X) = (f1(X), f2(X), f3(X)) = f1(X)i + f2(X)j + f3(X)k, X = (x, y, x), pričomfunkcie f1(X), f2(X), f3(X) majú na množine M spojité parciálne derivácie. Rotá-ciou vektorovej funkcie f(X) alebo rotáciou vektorového poľa f(X) nazývame vektorovúfunkciu

rot f =(

∂f3∂y

− ∂f2∂z

)i+

(∂f1∂z

− ∂f3∂x

)j+

(∂f2∂x

− ∂f1∂y

)k,

čo môžeme napísať v tvare determinantu

rot f =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

i j k

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

f1 f2 f3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Nabla operátor (Hamiltonov operátor)

∇ =(

∂

∂x1,

∂

∂x2, . . . ,

∂

∂xn

)

Ak nabla operátor považujeme za vektor, potom gradient, divergenciu a rotáciu môžemevyjadriť takto:

19

grad f =(

∂f

∂x1,

∂f

∂x2, . . . ,

∂f

∂xn

)= ∇ f

div f =∂f1∂x1+

∂f2∂x2+ . . .+

∂fn

∂xn

= ∇ · f

rot f =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

i j k

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

f1 f2 f3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= ∇× f

Skalárny súčin

∇ · ∇ =(

∂2

∂x21,

∂2

∂x22, . . . ,

∂2

∂x2n

)= ∆

sa nazýva delta alebo Laplaceov operátor.

20

Obyčajné diferenciálne rovnice

Rovnica

F (x, y, y′, y′′, . . . , y(n)) = 0

je obyčajná diferenciálna rovnica n-tého rádu v implicitnom tvare. F je funkcia (n+2)premenných, y je funkcia x a y′, y′′, . . . , y(n) sú jej derivácie.Ak sa z tejto rovnice dá vyjadriť y(n), môžeme ju napísať v explicitnom tvare

y(n) = f(x, y, y′, y′′, . . . , y(n−1))

Riešením diferenciálnej rovnice F (x, y, y′, y′′, . . . , y(n)) = 0 na neprázdnej množineM je každá funkcia y = f(x), ktorá má na množine M n derivácií a pre ktorú platí

F (x, f(x), f ′(x), f ′′(x), . . . , f (n)(x)) = 0 pre všetky x ∈ M.

Hľadané riešenie diferenciálnej rovnice získame obvykle integrovaním.Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice F (x, y, y′, y′′, . . . , y(n)) = 0 je riešenie, ktorémôžeme zapísať v tvare

y = f(x, c1, c2, . . . , cn),

kde c1, c2, . . . , cn sú ľubovoľné konštanty. Ak konštanty c1, c2, . . . , cn konkrétne zvolíme,dostaneme partikulárne riešenie.Cauchyho začiatočná úloha - nájsť riešenie y = f(x) rovniceF (x, y, y′, y′′, . . . , y(n)) = 0, ktoré spĺňa dané začiatočné podmienky:

f(x0) = b0, f ′(x0) = b1, . . . , f (n−1)(x0) = bn−1, x0 ∈ Df .

1. Diferenciálne rovnice prvého rádu

Všeobecný tvar diferenciálnej rovnice 1. rádu je

(1) F (x, y, y′) = 0.

Ak sa dá z tejto rovnice vyjadriť y′, nazývame ju explicitnou rovnicou:

(2) y′ = f(x, y).

Cauchyho začiatočná úloha pre diferenciálnu rovnicu 1. rádu:

(3) y′ = f(x, y)

(4) y(x0) = y0

Veta. (O existencii a jednoznačnosti riešenia diferenciálnej rovnice (3), (4).)

21

Nech pre funkciu f(x, y) na oblasti O = (x0 − a, x0 + a)× (y0 − b, y0 + b) platí :

1. f(x, y) je spojitá,

2. f(x, y) je ohraničená,

3.∂f(x, y)

∂yje ohraničená.

Potom má dif. rov. (3), (4) jediné riešenie definované na nejakom okolí bodu x0.

Úprava diferenciálnej rovnice

Pri hľadaní riešenia rovnice často postupujeme tak, že rovnicu upravujeme. Ak pôvodnáa upravená rovnica sú vo vzťahu, že každé riešenie jednej rovnice je aj riešením druhej natej istej množine a naopak, hovoríme, že diferenciálne rovnice sú ekvivalentné a použitáúprava je ekvivalentná.Pri úprave diferenciálnej rovnice musíme dávať pozor, či úprava je ekviva-lentná.

Diferenciálna rovnica so separovanými premennými.

(5) P (x) +Q(y). y′ = 0

Riešime integrovaním.

Diferenciálna rovnica so separovateľnými premennými.

(6) P1(x). P2(y) = Q1(x). Q2(y). y′

Riešime separovaním a integrovaním.

Homogénna diferenciálna rovnica.

Diferenciálna rovnicay′ = f(x, y) sa nazýva homogénna, ak sa dá zapísať v tvare

(7) y′ = F(y

x

)

Riešenie: po substitúcii y(x) = u(x). x → y

x= u a y′ = u′ x+ u

dostaneme separovateľnú diferenciálnu rovnicu.

Lineárna diferenciálna rovnica.

(8) y′ + p(x). y = q(x)

pričom funkcie p(x), q(x) sú spojité na intervale (a, b).

Riešenie:1. Riešime najprv príslušnú lineárnu diferenciálnu rovnicu bez pravej strany

(9) y′ + p(x). y = 0,

je to separovateľná diferenciálna rovnica.

2. Diferenciálnu rovnicu s pravou stranou

22

(10) y′ + p(x). y = q(x), q(x) 6= 0 ∀x ∈ (a, b)

riešime metódou variácie konštanty.

Bernoulliho diferenciálna rovnica.

(11) y′ + p(x). y = q(x). yα

pričom funkcie p(x), q(x) sú spojité na intervale (a, b) a α 6= 0, α 6= 1.Riešenie:

y′ + p(x) y = q(x) yα /.y−α

y−α y′ + y1−α p(x) = q(x)

po substitúcii z(x) = y(x)(1−α) → z′ = (1− α)y−αy′

dostaneme lineárnu diferenciálnu rovnicu.

23

2. Lineárna diferenciálna rovnica n-tého rádu

(1) y(n) + a1(x). y(n−1) + . . .+ an−1(x). y′ + an(x). y = f(x),

kde f(x), ai(x), i = 1, 2, . . . n sú spojité funkcie na intervale J.

Ak f(x) = 0 hovoríme, že rovnica

y(n) + a1(x). y(n−1) + . . .+ an−1(x). y′ + an(x). y = 0

je bez pravej strany alebo homogénna.Ak f(x) 6= 0 hovoríme, že rovnica (1) je s pravou stranou alebo nehomogénna.

Lineárna homogénna diferenciálna rovnica n-tého rádu

(2) y(n) + a1(x). y(n−1) + . . .+ an−1(x). y′ + an(x). y = 0

Pri riešení tejto rovnice budeme potrebovať nasledovné pojmy:

Definícia. Hovoríme, že funkcie ϕ1(x), ϕ2(x), . . . , ϕk(x) sú lineárne závislé na in-tervale J, ak existuje nenulová k-tica (c1, c2, . . . , ck) reálnych čísel taká, že

(3) c1. ϕ1(x) + c2. ϕ2(x) + . . .+ ck. ϕk(x) = 0, ∀x ∈ J.

Ak (3) platí len pre nulovú k-ticu, hovoríme, že funkcie ψ1(x), ψ2(x), . . . , ψk(x) súlineárne nezávislé na intervale J.

Predpokladajme, že funkcie ϕi(x), i = 1, 2, . . . , n majú derivácie až do rádu (k − 1)na intervale J. Potom determinant

(4) W (ϕ1, ϕ2, . . . , ϕk)(x) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

ϕ1(x) ϕ2(x) . . . ϕk(x)

ϕ′

1(x) ϕ′

2(x) . . . ϕ′

k(x). . .. . .. . .

ϕ(k−1)1 (x) ϕ

(k−1)2 (x) . . . ϕ

(k−1)k (x)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

nazývameWronského determinant alebo wronskián.

Veta. Ak sú funkcie ϕ1, ϕ2, . . . , ϕk lineárne závislé na intervale J,potom W (ϕ1, ϕ2, . . . , ϕk)(x) = 0 ∀ x ∈ J.Ak W (ϕ1, ϕ2, . . . , ϕk)(x) 6= 0 aspoň v jednom čísle z intervalu J,potom sú funkcie ϕ1, ϕ2, . . . , ϕk lineárne nezávislé na intervale J.

Poznámka. Wronskián n ľubovoľných riešení rovnice (2) sa buď rovná nule pre každéx z intervalu J (riešenia sú lineárne závislé) alebo je rôzny od nuly pre každé x zintervalu J (riešenia sú lineárne nezávislé).

Pre riešenia homogénnej lineárnej diferenciálnej rovnice platia tieto tvrdenia:1. Ak y1, y2 sú riešenia homogénnej rovnice (2) potom aj y1 + y2 je riešenie rovnice(2).

24

2. Ak y1 je riešenie homogénnej rovnice (2) potom aj cy1 je riešenie rovnice (2), kdec je ľubovoľná konštanta.

3. Všetky riešenie homogénnej rovnice (2) n-tého rádu tvoria vektorový priestor di-menzie n. Bázu tohoto priestoru tvorí n - lineárne nezávislých riešeníy1, y2, . . . yn, tzv. fundamentálny systém riešení.Všeobecné riešenie homogénnej rovnice (2) je

y = c1y1 + c2y2 + . . .+ cnyn, kde c1, c2, . . . , cn ∈ R.

Lineárna nehomogénna diferenciálna rovnica n-tého rádu

(LP ) y(n) + a1(x). y(n−1) + . . .+ an−1(x). y′ + an(x). y = f(x),

odpovedajúca rovnica bez pravej strany

(L) y(n) + a1(x). y(n−1) + . . .+ an−1(x). y′ + an(x). y = 0.

Všeobecné riešenie y diferenciálnej rovnice (LP ) je súčtom všeobecného riešenia ydiferenciálnej rovnice (L) a partikulárneho riešenia y∗ diferenciálnej rovnice (LP ).

y = y + y∗

Lagrangeova metóda variácie konštánt

Touto metódou môžeme nájsť partikulárne riešenie y∗ diferenciálnej rovnice (LP ).

Nech y1(x), y2(x), . . . , yn(x) je fundamentálny systém riešení diferenciálnej rovnice (L) .Všeobecné riešenie y diferenciálnej rovnice (L) je

y =n∑

i=1

ci. yi(x), ci ∈ R.

Potom partikulárne riešenie y∗ diferenciálnej rovnice (LP ) je

y∗ =n∑

i=1

ci(x). yi(x), kde ci(x) =∫

Wi(x)W (x)

dx , i = 1, 2, . . . , n;

pričom W (x) =W(y1,y2,...,yn)(x) je wronskián fundamentálneho systému riešeníy1(x), y2(x), . . . , yn(x) a Wi(x) dostaneme z W (x) keď zameníme i-ty stľpec stľpcom(0, 0, . . . , f(x))T .

3. Lineárne diferenciálne rovnice s konštantnými koeficientami

Lineárna diferenciálna rovnica n-tého rádu s konštantnými koeficientami je rovnica

y(n) + a1y(n−1) + a2y

(n−2) + . . .+ an−1y′ + any = f(x), (1)

25

kde a1, a2, . . . an sú reálne konštanty a f(x) je reálna funkcia definovaná na intervale J .Ak f(x) = 0 hovoríme, že rovnica

y(n) + a1y(n−1) + a2y

(n−2) + . . .+ an−1y′ + any = 0 (2)

je bez pravej strany alebo homogénna.Ak f(x) 6= 0 hovoríme, že rovnica (1) je s pravou stranou alebo alebo nehomogénna.

Lineárne homogénne diferenciálne rovnice s konštantnými koeficientami

1. rádu

Pre n = 1 dostaneme z rovnice (2) rovnicu 1. rádu:

y′ + a1y = 0. (3)

Jej riešenie hľadáme v tvare

y = e λx,

kde λ je neznáma konštanta.Ak do rovnice (3) dosadíme

y = e λx, y′ = λ e λx

dostaneme

λ e λx + a1 e λx = 0

λ+ a1 = 0 (4)

Rovnica (4) sa nazýva charakteristická rovnica diferenciálnej rovnice (3).Jej riešením je

λ = −a1.

Riešením rovnice (3) je

y1 = e−a1x

a všeobecným riešením rovnice (3) je

y = c e−a1x, c ∈ R.

2. rádu

Pre n = 2 dostaneme z rovnice (2) rovnicu 2. rádu:

y′′ + a1y′ + a2y = 0. (5)

Jej riešenie hľadáme v tvare

26

y = e λx,

kde λ je neznáma komplexná konštanta.Ak do rovnice (5) dosadíme

y = e λx, y′ = λ e λx, y′′ = λ2 e λx

dostaneme

λ2 e λx + a1λ e λx + a2 e λx = 0

λ2 + a1λ+ a2 = 0 (6)

Rovnica (6) sa nazýva charakteristická rovnica diferenciálnej rovnice (5). Rovnica(6) je kvadratická rovnica.

Rozlišujeme tri prípady:

1. Rovnica (6) má navzájom rôzne reálne korene λ1, λ2.Potom rovnica (5) má riešenia

y1 = e λ1x, y2 = e λ2x.

Tieto riešenia sú lineárne nezávislé. Všeobecné riešenie rovnice (5) je

y = c1 e λ1x + c2 e λ2x, c1, c2 ∈ R.

2. Rovnica (6) má dvojnásobný reálny koreň λ1.Potom rovnica (5) má riešenia

y1 = e λ1x, y2 = x e λ1x.


y = c1 e λ1x + c2x e λ1x, c1, c2 ∈ R.

3. Rovnica (6) má dva komplexne združené korene λ1 = α+ iβ, λ2 = α − iβ,α, β ∈ R, β 6= 0.Vyberieme jeden z týchto koreňov, napríklad

λ1 = α+ iβ.

Potom rovnica (5) má komplexné riešenie

y = e (α+iβ)x = e αx e iβx = e αx(cosβx+ i sinβx).

Z vlastností riešení lineárnej diferenciálnej rovnice vyplýva, že reálne riešenia rovnice(5) sú

y1 = Re y = e αx cosβx, y2 = Im y = e αx sinβx.

27


y = c1 e αx cosβx+ c2 e αx sinβx, c1, c2 ∈ R.

n-tý rád

Uvedené výsledky môžme zovšeobecniť pre diferenciálnu rovnicu (2) n-tého rádu.Rovnica (2):

y(n) + a1y(n−1) + a2y

(n−2) + . . .+ an−1y′ + any = 0

má riešenia v tvare

y = e λx,

kde λ je koreň charakteristickej rovnice

λn + a1λn−1 + a2λ

n−2 + . . .+ an−1λ+ an = 0. (7)

Všeobecné riešenie rovnice (2) je

y = c1y1 + c2y2 + . . .+ cnyn, c1, c2, . . . , cn ∈ R,

kde y1, y2, . . . , yn sú lineárne nezávislé riešenia odpovedajúce koreňom charakteristickejrovnice (7).

Veta. Ak charakteristická rovnica (7) má n rôznych reálnych koreňov λ1, λ2, . . . , λn,potom funkcie

eλ1x, eλ2x, . . . , eλnx tvoria fundamentálny systém riešení diferenciálnej rovnice (2).

Veta. Nech λ0 je k- násobný reálny koreň charakteristickej rovnice (7), k ≥ 2. Potomfunkcie

y1 = eλ0x, y2 = xeλ0x, . . . , yk = xk−1eλ0x sú lineárne nezávislé riešenia rovnice (2).

Veta. Nech charakteristická rovnica (7) má jednoduchý komplexný koreňλ0 = α+ iβ, α 6= 0, β 6= 0 (potom má aj koreň λ0 = α − iβ ). Potom funkcie

eαx cosβx, eαx sinβx sú odpovedajúce dve lineárne nezávislé riešenia rovnice (2).

Veta. Ak charakteristická rovnica (7) má k- násobný komplexný koreňλ0 = α+ iβ, α 6= 0, β 6= 0. Potom funkcie

eαx cosβx, xeαx cosβx, . . . , xk−1eαx cosβx,

eαx sinβx, xeαx sinβx, . . . , xk−1eαx sinβx,

sú odpovedajúce lineárne nezávislé riešenia rovnice (2). ( je ich 2k)

28

Lineárna nehomogénna diferenciálna rovnica n-tého rádu s konštantnýmikoeficientami

y(n) + a1. y(n−1) + . . .+ an−1. y

′ + an. y = f(x), (L1P )

odpovedajúca rovnica bez pravej strany

y(n) + a1. y(n−1) + . . .+ an−1. y

′ + an. y = 0. (L1)

Všeobecné riešenie y diferenciálnej rovnice (L1P ) je súčtom všeobecného riešenia ydiferenciálnej rovnice (L1) a partikulárneho riešenia y∗ diferenciálnej rovnice (L1P ).

y = y + y∗

Partikulárne riešenie y∗ diferenciálnej rovnice (L1P ) môžeme nájsť1. Lagrangeovou metódou variácie konštánt.2. Metódou neurčitých koeficientov, ak pravá strana rovnice má špeciálny tvar.

Metóda neurčitých koeficientov

Nech diferenciálna rovnica má tvar:

y(n) + a1y(n−1) + a2y

(n−2) + . . .+ an−1y′ + any = Pm(x) e ax, (8)

kde a1, a2, . . . an sú reálne čísla, Pm(x) je polynóm stupňa m, a je komplexné číslo(môže byť aj reálne, aj rovné nule).

Ak a nie je koreňom charakteristickej rovnice príslušnej diferenciálnej rovnice bez pravejstrany, potom rovnica (8) má partikulárne riešenie

y∗ = Qm(x) e ax. (9)

Ak a je k-násobným koreňom charakteristickej rovnice príslušnej diferenciálnej rovnicebez pravej strany, potom rovnica (8) má partikulárne riešenie

y∗ = xk Qm(x) e ax. (10)

Qm(x) je neznámy polynóm stupňa m.

V tabuľke 1 sú uvedené partikulárne riešenia y∗ rovnice (8), ak pravá strana rovnice mášpeciálny tvar a číslo a nie je koreňom charakteristickej rovnice príslušnej diferenciálnejrovnice bez pravej strany.

29

pravá strana rovnice (8) Pm(x) a y∗

U = konštanta U 0 K = konštanta

2x+ 3 2x+ 3 0 Ax+B

e 2x 1 2 K e 2x

e (3+5i)x 1 3 + 5i K e (3+5i)x

x e i2x x 2i (Ax+B) e i2x

Tabuľka 1

V tabuľke 2 sú uvedené partikulárne riešenia y∗ rovnice (8), ak pravá strana rovnicemá špeciálny tvar a číslo a je jednoduchým koreňom charakteristickej rovnice príslušnejdiferenciálnej rovnice bez pravej strany.

pravá strana rovnice (8) Pm(x) a y∗

U = konštanta U 0 Kx

2x+ 3 2x+ 3 0 x(Ax+B)

e 2x 1 2 K x e 2x

e (3+5i)x 1 3 + 5i K x e (3+5i)x

x e i2x x 2i x(Ax+B) e i2x

Tabuľka 2

Ak diferenciálna rovnica má tvar:

y(n) + a1y(n−1) + a2y

(n−2) + . . .+ an−1y′ + any = Pm(x) e αx cosβx, (11)

alebo

y(n) + a1y(n−1) + a2y

(n−2) + . . .+ an−1y′ + any = Pm(x) e αx sinβx, (12)

postupujeme pri hľadaní riešenia takto:Nájdeme riešenie diferenciálnej rovnice

y(n) + a1y(n−1) + a2y

(n−2) + . . .+ an−1y′ + any = Pm(x) e (α+iβ)x.

Riešením bude nejaká komplexná funkcia y(x) reálnej premennej x.Potom riešením rovnice (11) je reálna funkcia

Re y

a riešením rovnice (12) je reálna funkcia

Im y.

30

Príklady

Príklad 1. Nájdime všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice

y′′ + y′ − 2y = 0.Riešenie.Charakteristická rovnica:

λ2 + λ − 2 = 0Jej korene sú

λ1 = 1 λ2 = −2Lineárne nezávislé riešenia sú

y1 = e x y2 = e−2x

Všeobecné riešenie je

y = c1 e x + c2 e−2x, c1, c2 ∈ R

-1 -0.5 0.5 1

1

2

3

4

5

6

7

Nájdime teraz riešenie, ktoré spĺňa začiatočné podmienky

y(0) = 1, y′(0) = −5Podmienky dosadíme do

y = c1 e x + c2 e−2x y′ = c1 e x − 2c2 e−2x

Dostaneme

c1 + c2 = 1

c1 − 2c − 2 = −5

a odtiaľc1 = −1 c2 = 2

Potom riešenie, ktoré spĺňa dané začiatočné podmienky je

y = − e x + 2 e−2x

31

-1 -0.5 0.5 1 1.5 2

-5

5

10


y′′ + 6y′ + 9y = 0

Riešenie.Charakteristická rovnica:

λ2 + 6λ+ 9 = 0

Jej korene sú

λ1 = −3 λ2 = −3

Lineárne nezávislé riešenia sú

y1 = e−3x y2 = x e−3x

Všeobecné riešenie je

y = c1 e−3x + c2x e−3x, c1, c2 ∈ R

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

32


y′′ + 2y′ + 5y = 0

Riešenie.Charakteristická rovnica:

λ2 + 2λ+ 5 = 0

Jej korene sú

λ1 = −1 + 2i λ2 = −1− 2iVyberieme jeden koreň, napríklad λ1 = −1 + 2iKomplexné riešenie je

y = e (−1+2i)x = e−x(cos 2x+ i sin 2x).

Reálne riešenia sú

y1 = Re y = e−x cos 2x, y2 = Im y = e−x sin 2x.

Všeobecné riešenie rovnice je

y = c1 e−x cos 2x+ c2 e−x sin 2x, c1, c2 ∈ R.

-2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

Príklad 4.Nájdime riešenie diferenciálnej rovnice

Ldi

dt+Ri = Um sin(ωt+ ψu)

pre ωt ∈ (0, π − α), ak i(0) = 0.

Riešenie.Najskôr nájdeme všeobecné riešenie rovnice bez pravej strany (prechodovú zložku).Teda riešime rovnicu

Ldi

dt+Ri = 0 (1)

33

Riešenie rovnice je

i = e λt

kde λ je koreň charakteristickej rovnice

Lλ+R = 0

λ = −R

L

Potom riešenie rovnice je

i = e−R

Lt

a všeobecné riešenie bez pravej strany - prechodová zložka je

ip = B e−R

Lt, B je reálna konštanta.

Teraz nájdeme partikulárne riešenie diferenciálnej rovnice s pravou stranou (ustálenúzložku). Teda riešime rovnicu

Ldi

dt+Ri = Um sin(ωt+ ψu) (2)

Pravá strana rovnice je

Um sin(ωt+ ψu) = Im[Um e j(ωt+ψu)]

Najskôr vyriešime rovnicu

Ldi

dt+Ri = Um e jψu e jωt (3)

Um e jψu je konštanta, pravá strana rovnice je špeciálna a číslo jωt nie je koreň charak-teristickej rovnice.Partikulárne riešenie rovnice (3) je (i je komplexné riešenie)

i = K e jωt, K je neznáma komplexná konštanta

Vypočítame deriváciu

di

dt= Kjω e jωt

a dosadíme ju aj spolu s i do rovnice (3):

LKjω e jωt +RK e jωt = Um e jψu e jωt

K(R+ jωL) = Um e jψu

K =Um e jψu

R+ jωL

Potom

34

i =Um e jψu

R+ jωLe jωt =

Um e j(ωt+ψu)

R+ jωL

Partikulárne riešenie rovnice (2) - ustálená zložka je reálna funkcia

iu = Im i

Imaginárnu zložku i najrýchlejšie vypočítame, ak i upravíme do exponenciálneho tvaru.Na to stačí upraviť do exponenciálneho tvaru R+ jLω.

R+ jLω =√

R2 + L2ω2 e jϕ tgϕ =ωL

R

Potom

i =Um e j(ωt+ψu)

√R2 + L2ω2 e jϕ

=Um√

R2 + L2ω2e j(ωt+ψu−ϕ)

a

iu = Im i =Um√

R2 + L2ω2sin(ωt+ ψu − ϕ)

Teda

iu = Im sin(ωt+ ψu − ϕ) Im =Um√

R2 + L2ω2tgϕ =

ωL

R

Všeobecné riešenie rovnice (2) je

i = ip + iu = B e−R

Lt + Im sin(ωt+ ψu − ϕ)

Konštantu B určíme zo začiatočnej podmienky

i(0) = 0

Dostaneme

0 = B + Im sin(ψu − ϕ)

B = −Im sin(ψu − ϕ)

Potomi = −Im sin(ψu − ϕ) e−

R

Lt + Im sin(ωt+ ψu − ϕ)

Teraz vypočítame i ak,

u(t) = 100 sin(ωt+ ψu), ψu =π

3, α =

π

3, f = 50Hz, R = 10Ω, L = 0, 1H

Potom

ω = 2πf = 100π, ϕ = arctgωL

R= arctg

100π 0, 110

= 1, 26263

35

i = 0, 648387e−100t + 3, 03314 sin(100πt − 0, 21543)

0.01 0.02 0.03 0.04

-3

-2

-1

1

2

3

36

SYSTÉMY DIFERENCIÁLNYCH ROVNÍC

1. Normálny systém diferenciálnych rovníc rádu n

x′

1 = f1(t, x1, x2, ..., xn)

x′

2 = f2(t, x1, x2, ..., xn)

. . .

. . .

. . .

x′

n = fn(t, x1, x2, ..., xn)

(1)

xi(t), i = 1, 2, ..., n sú neznáme funkcie, x′

i(t) sú derivácie podľa t.

(1) nazývame normálny systém diferenciálnych rovníc rádu n.

Riešením systému (1) na intervale J je každá n-tica funkcií (x1(t), x2(t), . . . xn(t)),ktoré sú definované na intervale J , majú tam derivácie a sú také, že dosadením týchtofunkcií a ich derivácií do systému (1) dostaneme z každej rovnice tohoto systému rovnosťpre každé t ∈ J .Ak označíme:

ξ = (x1, x2, ..., xn)T =

x1x2...

xn

, F = (f1, f2, ..., fn)T =

f1f2...

fn

,

dostaneme vektorový tvar systému (1)

ξ′ = F(t, ξ) (2)

Poznámka. Diferenciálnu rovnicu n-tého rádu tvaru

x(n) = f(t, x, x′, ..., x(n−1)), x = x(t) (3)

po použití substitúcie: x = x1, x′ = x2, x′′ = x3, . . . , x(n−1) = xn,môžeme zapísať ako systém (1) nasledovne:

x′

1 =x2

x′

2 =x3

. . .

. . .

. . .

x′

n = f(t, x1, x2, ..., xn).

37

Cauchyho začiatočná úloha pre systém (1), resp. (2) sa nazýva úloha nájsť takériešenie systému, pre ktoré v nejakom bode t0 ∈ J platí:

x1(t0) = x1,0, x2(t0) = x2,0, . . . , xn(t0) = xn,0, (4)

kde x1,0, x2,0, . . . , xn,0 sú dané reálne čísla. Podmienky (4) sa volajú začiatočné pod-mienky.

Ďalej pod oblasťou O budeme rozumieť množinu všetkých bodov (t, x1, x2, . . . , xn)pre ktoré t ∈ J = (t0 − a, t0 + a), xi ∈ (xi,0 − b, xi,0 + b) i = 1, 2, . . . , n, a > 0, b > 0.

Veta. (O existencii a jednoznačnosti riešenia Cauchyho úlohy )

Nech na oblasti O sú funkcie fi(t, x1, x2, ..., xn), i = 1, 2, . . . , n spojité, ohraničené

a parciálne derivácie∂fi

∂xj

(i, j = 1, 2, ..., n) ohraničené. Potom Cauchyho úloha pre

systém (1) a začiatočné podmienky (4) má jediné riešenie na intervale J1 ⊂ J (t0 ∈ J1).

2. Systémy lineárnych diferenciálnych rovníc

x′

1 = a11(t)x1 + a12(t)x2 + ...+ a1n(t)xn + b1(t)

x′

2 = a21(t)x1 + a22(t)x2 + ...+ a2n(t)xn + b2(t)

. . .

. . .

. . .

x′

n = an1(t)x1 + an2(t)x2 + ...+ ann(t)xn + bn(t)

(5)

Urobme označenie:

ξ =

x1x2...

xn

A =

a11(t) a12(t) . . . a1n(t)a21(t) a22(t) . . . a2n(t). . .. . .. . .

an1(t) an2(t) . . . ann(t)

β =

b1(t)b2(t)...

bn(t)

ξ je matica (vektor) neznámych, A je matica systému (5).Systém (5) prepíšeme do maticového tvaru:

ξ(t)′ = A(t). ξ(t) + β(t), t ∈ J. (6)

Hovoríme, že systém (6) je homogénny, ak β(t) = (0, 0, ..., 0)T ∀ t ∈ J.Ak β(t) 6= (0, 0, ..., 0)T pre nejaké t ∈ J, systém (6) je nehomogénny.

Veta. Nech matice A(t), β(t) sú spojité na otvorenom intervale J. Potom Cauchyhoúloha pre systém (6) (resp. (5)) a začiatočné podmienky (4) má práve jedno riešeniedefinované na celom intervale J.

38

Eliminačná metóda riešenia systémov lineárnych diferenciálnych rovníc

Spočíva v tom, že istými úpravami získame taký systém (alebo len jednu rovnicu), žekaždá rovnica systému obsahuje len jednu neznámu funkciu a jej derivácie. K tomupoužívame okrem ekvivalentných úprav aj derivovanie, čo nie je ekvivalentná úprava.Preto musíme urobiť skúšku. (Môžeme dostať viac riešení ako má náš systém.)

3. Homogénne systémy lineárnych diferenciálnych rovníc

ξ(t)′ = A(t). ξ(t), t ∈ J. (S)

Veta 1. Množina všetkých riešení systému (S) tvorí vektorový priestor dimenzie n.

To znamená, že1. Ak ξ1, ξ2 sú riešenia systému (S) a c1, c2 ∈ R, potom aj c1ξ1 + c2ξ2 je riešeniesystému (S).

2. Ak ξ1, ξ2, ..., ξn sú nezávislé riešenia systému (S), potom tvoria bázu vektorovéhopriestoru všetkých riešení systému (S).

Každú n-ticu ξ1, ξ2, ..., ξn lineárne nezávislých riešení systému (S) volámefundamentálny systém riešení systému (S).Všeobecné riešenie systému (S) je

ξ(t) = c1ξ1(t) + c2ξ2(t) + ...+ cnξn(t), ci ∈ R, t ∈ J.

Veta 2.

Nech ξ1 =(x11, x21, ..., xn1)T

ξ2 =(x12, x22, ..., xn2)T

. . .

. . .

. . .

ξn =(x1n, x2n, ..., xnn)T

sú riešenia systému (S). Potom sú lineárne nezávislé na intervale J vtedy a len vtedy,ak determinant

D(ξ1, ξ2, ..., ξn) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x11(t) x12(t) . . . x1n(t)x21(t) x22(t) . . . x2n(t). . .. . .. . .

xn1(t) xn2(t) . . . xnn(t)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

6= 0 aspoň v jednom čísle t ∈ J.

(Potom je rôzny od nuly pre každé t ∈ R.)

39

Maticu

Φ(t) =

x11(t) x12(t) . . . x1n(t)x21(t) x22(t) . . . x2n(t). . .. . .. . .

xn1(t) xn2(t) . . . xnn(t) ,

ktorej stĺpce sú lineárne nezávislé riešenia ξ1, ξ2, ..., ξn systému (S), nazývamefundamentálnou maticou systému (S).

Veta 3. Nech Φ(t) je fundamentálna matica systému (S)

ξ(t)′ = A(t). ξ(t), t ∈ J. (S)

Potom platí:

1. Φ′(t) = A(t).Φ(t), t ∈ J.

2. det Φ(t) 6= 0, t ∈ J.

3. Ak K je regulárna konštantná matica typu (n, n), potom matica Φ(t) K je tiežfundamentálna matica systému (S).

Všeobecné riešenie systému (S) môžeme zapísať aj v tvare

ξ(t) = Φ(t) C, C = (c1, c2, . . . , cn)T , c1, c2, . . . , cn ∈ R.

4. Systémy lineárnych diferenciálnych rovníc s konštantnými koeficientami

ξ(t)′ = A. ξ(t), (S1)

prvky matice A sú čísla.

Riešenie systému (S1) hľadáme v tvare

ξ = κeλt,

kde λ je vlastné číslo matice A (koreň charakteristickej rovnice det(A− λE) = 0)a κ odpovedajúci vlastný vektor.

Veta 3. Nech λ1, λ2, . . . , λn sú navzájom rôzne vlastné čísla matice A a nechκ1, κ2, . . . , κn sú odpovedajúce vlastné vektory matice A. Potom funkcie

ξi = κieλit, i = 1, 2, . . . , n

tvoria fundamentálny systém riešení systému ξ(t)′ = A. ξ(t).

Reálne riešenia v prípade komplexných vlastných čísel matice A

40

Ak matica A systému ξ(t)′ = A. ξ(t) má jednoduché komplexne združené vlastné číslaλ1 = α + iβ, λ2 = α − iβ, potom 2 lineárne nezávislé reálne riešenia nájdemetakto:Vyberieme jeden z týchto koreňov, napríklad

λ1 = α+ iβ.

Nájdeme odpovedajúci komplexný vlastný vektor κ1 a komplexné riešenie

ξ = κ1eλ1t

Z vlastností riešení homogenného lineárneho diferenciálneho systému vyplýva, že reálneriešenia sú

ξ1 = Re ξ, ξ2 = Im ξ.

Tieto riešenia sú lineárne nezávislé.

5. Metóda variácie konštát pre riešenie nehomogénneho lineárneho diferen-ciálneho systému

ξ(t)′ = A(t). ξ(t) + β(t), (nehomogénny systém) (SP )

ξ(t)′ = A(t). ξ(t). ( príslušný homogénny systém) (S)

Nech ξ1(t), ξ2(t), ..., ξn(t) je fundamentálny systém riešení systému (S)

a Φ(t) príslušná fundamentálna matica. Označme:

ξ =n∑

i=1

ci. ξi, ci ∈ R - všeobecné riešenie systému(S),

ξ - všeobecné riešenie systému(SP ),

ξ∗ - partikulárne riešenie systému(SP ).

Potom platí ξ = ξ + ξ∗.

ξ∗ hľadáme metódou variácie konštánt:

ξ∗ =n∑

i=1

ci(t). ξi , pričom

ci(t) =∫

Di(t)D(t)

dt , i = 1, 2, ..., n;

D(t) = det Φ(t) a Di(t) dostaneme z D(t) keď zameníme i−ty stĺpec stĺpcom β(t).

41

ČÍSELNÉ RADY

Budeme sa zaoberať výrazmi, ktoré obsahujú nekonečne veľa sčítancov. Takéto výrazybudeme nazývať nekonečné rady. V nasledujúcom príklade je ilustrované, ako môžetakýto výraz vzniknúť.

Príklad 1. Vyjadrime racionálne číslo 3/7 dekadickým zápisom

13/7 = 1, 857142857 . . . = 1 + 8/10 + 5/102 + 7/103 ++1/104 + . . .

Nech je daná číselná postupnosť an∞n=1 = a1, a2, . . . , an, . . .. Formálne vytvorenývýraz

a1 + a2 + . . .+ an + . . .

nazývame nekonečný číselný rad, stručne rad, vytvorený z členov danej postupnosti.Čísla a1, a2, . . . , an, . . . nazývame členmi radu. Rad označujeme tiež symbolom

∞∑

n=1

an (1)

(číta sa: suma an, n ide od 1 do ∞ ).Z elementárnej aritmetiky poznáme presný význam súčtu konečného počtu sčítancov.Našim cieľom je rozšíriť pojem súčtu pre nekonečný počet sčítancov.

Nech je daný rad∞∑

n=1

an = a1 + a2 + . . .+ an + . . .

Utvorme súčet jeho prvých dvoch, troch, atď. členov. Označme

s1 = a1

s2 = a1 + a2

s3 = a1 + a2 + a3

...

sn = a1 + a2 + ...+ an

...

Číslo sn nazývame n-tým čiastočným súčtom daného radu.Postupnosť s1, s2, . . . sn, . . . nazývame postupnosťou čiastočných súčtov danéhoradu.

Ak postupnosť sn∞n=1 čiastočných súčtov radu∞∑

n=1an konverguje, t.j. ak existuje

vlastná limita

limn→∞

sn = s

42

hovoríme, že rad∞∑

n=1an je konvergentný a má súčet s. Píšeme

∞∑

n=1

an = s

Ak postupnosť sn∞n=1 je divergentná, hovoríme,že rad∞∑

n=1an je divergentný a nemá

súčet.

Dôležitým príkladom radu je geometrický rad.

Geometrická postupnosť

Postupnosť an∞n=1 sa nazýva geometrická, ak existuje také číslo q, že pre každéprirodzené číslo n platí :

an+1 = anq

Číslo q sa nazýva kvocient.Pre geometrickú postupnosť platia tieto tvrdenia:(1) n-tý člen geometrickej postupnosti je daný vzťahom

an = a1q(n−1)

(2) Pre ľubovoľné dva členy ar , as geometrickej postupnosti platí

ar = as.q(r−s)

(3) Pre súčet sn prvých n členov geometrickej postupnosti platí

sn = a1qn − 1q − 1 , ak q 6= 1 ,

sn = na1 , ak q = 1

Geometrický rad

Ak je daná geometrická postupnosť an∞n=1 s prvým členom a1 6= 0 a kvocientom q,tak príslušný rad

a1 + a2 + . . .+ an + . . . = a1 + a1q + . . .+ a1qn−1 + . . . =

∞∑

n=1

a1qn−1

sa nazýva geometrický rad. Pre n-tý čiastočný súčet sn platí:

sn = a1 + a1q + . . .+ a1qn−1 = a1

qn − 1q − 1 , ak q 6= 1 ,

sn = na1 , ak q = 1.

Dá sa dokázať, že

43

pre |q| ≥ 1 postupnosť sn∞n=1 diverguje.pre |q| < 1 postupnosť sn∞n=1 konverguje a platí

limn→∞

sn = limn→∞

a1qn − 1q − 1 =

a1q − 1 limn→∞

(qn − 1) = a1q − 1(0− 1) =

a11− q

Preto

geometrický rad∞∑

n=1a1q

n−1 je pre |q| < 1 konvergentný a jeho súčet je s = a11− q

Príklad 2. Rad∞∑

n=1

12n−1

= 1 +12+14+ . . .+

12n−1

+ . . .

je geometrický rad, lebo12n:12n−1

=12= q

je konštanta (nezávisí od n). Jeho kvocient q = 1/2 < 1 , preto je daný rad konvergentnýa pre jeho súčet s platí :

s =∞∑

n=1

12n−1

=11− 1

2

= 2

Divergentné rady sú len formálne výrazy, takže ich ďalšie vyšetrovanie nemá význam.Teraz si uvedieme vetu, ktorá umožňuje vylúčiť z našich úvah istú podmnožinu diver-gentných radov.

Nutná podmienka konvergencie radu.

Ak rad∞∑

n=1an je konvergentný, potom lim

n→∞

an = 0 .


n=12n je divergentný, lebo lim

n→∞

2n =∞ 6= 0.

Rad∞∑

n=1

5nn+ 1

je divergentný, lebo limn→∞

5nn+ 1

= 5 6= 0.

Podmienka limn→∞

an = 0 je len nutná, ale nie postačujúca pre konvergenciu radu.

Ukážeme si to na príklade.


n=1

1n= 1 +

12+13+ . . .+

1n+ . . .

sa nazýva harmonický rad. Jeho n-tý člen je an = 1n. Platí:

limn→∞

an = limn→∞

1n= 0

Napriek tomu sa dá dokázať, že tento rad diverguje.

44

Pre rad∞∑

n=1

1n2 + 1

je

limn→∞

an = limn→∞

1n2 + 1

= 0

a dá sa dokázať, že tento rad konverguje.

Vidíme teda, že ak limn→∞

an = 0, rad∞∑

n=1an môže ale aj nemusí byť konvergentný.

Na vyšetrovanie konvergencie číselných radov používame vety, ktoré sa nazývajú kritériákonvergencie.

Rady s nezápornými členmi

Rad∞∑

n=1

an , an ≥ 0 (2)

sa nazýva rad s nezápornými členmi.

Porovnávacie kritérium.

Nech ∃n0 ∈ N také, že ∀n ≥ n0 je 0 ≤ an ≤ bn. Potom platí

1. Ak konverguje rad∞∑

n=1bn , potom konverguje aj rad

∞∑n=1

an .

2. Ak diverguje rad∞∑

n=1an , potom diverguje aj rad

∞∑n=1

bn .

Hovoríme, že

rad∞∑

n=1bn je majorantný rad k radu

∞∑n=1

an,

rad∞∑

n=1an je minorantný rad k radu

∞∑n=1

bn.

d’Alembertovo kritérium. Nech pre členy radu∞∑

n=1an kde an ≥ 0 platí:

limn→∞

an+1

an

= l (l môže byť aj ∞).

Potom1. Ak l > 1 , rad diverguje.2. Ak l < 1 , rad konverguje.3. Ak l = 1 , podľa tohoto kritéria nemožno o konvegencii radu rozhodnúť.

Cauchyho kritérium. Nech pre členy radu∞∑

n=1an kde an ≥ 0 platí:

limn→∞

n√

an = l (l môže byť aj ∞).

45

Potom1. Ak l > 1 , rad diverguje.2. Ak l < 1 , rad konverguje.3. Ak l = 1 , podľa tohoto kritéria nemožno o konvegencii radu rozhodnúť.

Príklad 5. Pomocou d’Alembertovho kritéria vyšetrime konvergenciu radu∞∑

n=1

n2n .

limn→∞

an+1

an

= limn→∞

n+ 12n+1

:n

2n= lim

n→∞

12

n+ 1n=12lim

n→∞

n+ 1n=12

< 1.

Daný rad je konvergentný.

Cauchyho integrálne kritérium

Nech k radu (2) existuje funkcia f(x), ktorá je spojitá, nezáporná a nerastúca nanejakom intervale 〈a,∞) a ∀n ∈ N, n ≥ n0 platí an = f(n).

Potom ak∞∫a

f(x)dx konverguje, aj rad (2) konverguje. Ak∞∫a

f(x)dx diverguje, aj

rad (2) diverguje.

Rady so striedavými znamienkami

Radom so striedavými znamienkami nazývame rad

a1 − a2 + a3 − a4 + . . .+ (−1)n−1an + . . . =∞∑

n=1

(−1)n−1an, (3)

kde an > 0 pre n = 1, 2, . . . , n.

Leibnizovo kritérium

Nech postupnosť an∞n=1 vytvorená z členov radu (3) je nerastúca. Potom rad (3)konverguje vtedy a len vtedy ak lim

n→∞

an = 0.

Rady s ľubovoľnými členmi

Označme∞∑

n=1

an , an ∈ R (4)

∞∑

n=1

|an| . (5)

Veta. Ak rad (5) konverguje, potom konverguje aj rad (4).

46

Definícia. Hovoríme, že rad (4) absolútne konverguje, ak konverguje aj rad (5).Rad, ktorý konverguje, ale nekonverguje absolútne nazývame relatívne konvergent-ným.

Ak daný rad je rad s nezápornými členmi, potom absolútna konvergencia je to isté akokonvergencia. Teda rad s nezápornými členmi ak konverguje, tak konverguje absolútne.Kritériá konvergencie , ktoré sme uviedli pre rady s nezápornými členmi môžme použiťna vyšetrenie absolútnej konvergencie ľubovoľnych radov. Tieto kritéria však nedávajúodpoveď na to, či daný rad je relatívne konvergentný. Jedine Leibnizovo kritériummôžeme použiť na vyšetrenie relatívnej konvergencie radov so striedavými znamienkami.Preto v prípade, že rad nekonverguje absolútne, je užitočné vedieť, či konverguje re-latívne. Na to máme niekoľko kritérií. Uvedieme jedno z nich.

Abelovo kritérium

Uvažujme rad

a1b1 + a2b2 + . . . anbn + . . . =∞∑

n=1

anbn.

Ak rad∞∑

n=1an konverguje a ak postupnosť bn∞n=1 je monotónna a ohraničená,

potom rad∞∑

n=1anbn konverguje.

Súčet radov

Nech sú dané rady

∞∑

n=1

an = a1 + a2 + . . .+ an + . . . (6)

∞∑

n=1

bn = b1 + b2 + . . .+ bn + . . . (7)

Súčtom radov (6) a (7) nazývame rad

∞∑

n=1

(an + bn) = (a1 + b1) + (a2 + b2) + . . .+ (an + bn) + . . . (8)

Vzhľadom na definíciu súčtu radov môžeme formálne písať

∞∑

n=1

an +∞∑

n=1

bn =∞∑

n=1

(an + bn)

Ak oba rady (6), (7) konvergujú, potom aj rad (8) konverguje.Ak jeden z radov (6), (7) konverguje a druhý diverguje, potom rad (8) diverguje.Ak oba rady (6), (7) divergujú, potom rad (8) môže byť konvergentný aj divergentný.

47

FUNKCIONÁLNE POSTUPNOSTI

Funkcionálnou postupnosťou nazývame postupnosť, ktorej členy sú funkcie

f1(x), f2(x), . . . , fn(x), . . . = fn(x)∞n=1 (1)

Definícia 1. Nech členy funkcionálnej postupnosti (1) sú definované na množine D.Hovoríme, že funkcionálna postupnosť (1) konverguje v čísle x0 ∈ D, ak číselná postup-nosť fn(x0)∞n=1 konverguje.Ak postupnosť (1) konverguje v každom čísle x ∈ I ⊆ D, potom hovoríme, že postupnosť(1) bodove konverguje na I.Limitnou funkciou, alebo limitou konvergentnej postupnosti (1) nazývame funkciu f(x)definovanú na I vzťahom

f(x) = limn→∞

fn(x).

Množinu I všetkých x, v ktorých postupnosť (1) konverguje nazývame obor konver-gencie postupnosti (1).Hovoríme, že postupnosť (1) diverguje v čísle x0 ∈ D, ak číselná postupnosť fn(x0)∞n=1diverguje.

Definíciu bodovej konvergencie postupnosti môžeme zapísať aj takto:

Definícia 2. Hovoríme, že postupnosť (1) bodove konverguje na množine I k funkciif(x), ak ku každému ε > 0 a ku každému x0 ∈ I existuje prirodzené číslo n0 ( závisí odε aj x0 ) také, že pre každé n > n0 platí

|fn(x0)− f(x0)| < ε.

Často je dôležité vedieť, ktoré vlastnosti členov postupnosti (1) sa prenášajú na limitnúfunkciu f(x). Ukazuje sa, že bodová konvergencia týchto vlastností zachováva veľmimálo. Preto sa zavádza ďalší typ konvergencie tzv. rovnomerná konvergencia.

Definícia 3. Hovoríme, že postupnosť (1) rovnomerne konverguje na množine I kfunkcii f(x), ak ku každému ε > 0 existuje prirodzené číslo n0 ( závisí len od ε ) také,že pre každé n > n0 a každé x ∈ I platí

|fn(x)− f(x)| < ε.

48

FUNKCIONÁLNE RADY

Nech fn(x)∞n=1 je funkcionálna postupnosť definovaná na množine D ⊆ (−∞,∞).Potom výraz

f1(x) + f2(x) + . . .+ fn(x) + . . . =∞∑

n=1

fn(x) , x ∈ D ⊆ (−∞,∞). (2)

nazývame nekonečným funkcionálnym radom. Funkcie fn(x) nazývame členmiradu. Funkcia

sn(x) = f1(x) + f2(x) + . . .+ fn(x), x ∈ D,

ktorá je súčtom prvých n - členov radu (2) sa nazýva n-tý čiastočný súčet radu.Postupnosť sn(x)∞n=1 nazývame postupnosťou čiastočných súčtov radu.

Definícia 3. Hovoríme, že funkcionálny rad (2) bodove konverguje na množine I ⊆ D,ak na I bodove konverguje postupnosť sn(x)∞n=1 jeho čiastočných súčtov. Funkciu

s(x) = limn→∞

sn(x), x ∈ I

nazývame súčtom radu, čo zapisujeme

s(x) =∞∑

n=1

fn(x), x ∈ I.

Množinu I nazývame obor konvergencie radu (2).

Obor konvergencie môžme určiť pomocou nasledujúceho kritéria.

Veta. Nech pre rad (2) a každé x ∈ D existuje limita (vlastná alebo nevlastná)

limn→∞

∣∣∣∣fn+1(x)fn(x)

∣∣∣∣ = L(x)

alebolim

n→∞

n

√|fn(x)| = L(x) .

Potom1. Vo všetkých číslach x ∈ D, pre ktoré L(x) < 1, rad (2) absolútne konverguje.2. Vo všetkých číslach x ∈ D, pre ktoré L(x) > 1, rad (2) diverguje.

(Ak L(x0) = 1, číselný rad∞∑

n=1fn(x0) musíme vyšetriť osobitne.)

49

Rovnomerná konvergencia funkcionálnych radov

Definícia. Hovoríme, že funkcionálny rad (2) rovnomerne konverguje na množineI, ak na množine I rovnomerne konverguje postupnosť jeho čiastočných súčtov sn(x)∞n=1 .

Weierstrassova veta. Nech existuje taký číselný, nezáporný, konvergentný rad∞∑

n=1an,

že ∀ x ∈ I platí |fn(x)| ≤ an , n = 1, 2, . . . . Potom rad (2) rovnomerne aj absolútnekonverguje na množine I.

Základné vlastnosti rovnomerne konvergentných radov

Veta 1. Nech rad (2)∞∑

n=1fn(x) rovnomerne konverguje na intervale I k súčtu s(x).

Ak každý člen fn(x), n = 1, 2, . . . radu (2) je spojitá funkcia na I, potom aj súčets(x) je spojitá funkcia na I.


n=1fn(x) rovnomerne konverguje na intervale I k súčtu s(x).

Ak každý člen fn(x), n = 1, 2, . . . radu (2) je integrovateľná funkcia na I, potom ajs(x) je integrovateľná funkcia na I a ∀ a, b ∈ I platí

b∫

a

s(x) dx =

b∫

a

∞∑

n=1

fn(x) dx =∞∑

n=1

b∫

a

fn(x) dx .


n=1fn(x) konverguje aspoň v jednom čísle z intervalu I = (a, b).

Nech fn(x), n = 1, 2, . . . majú spojitú deriváciu f ′

n(x) na intervale I. Nech rad∞∑

n=1f ′

n(x) rovnomerne konverguje na intervale I k súčtu g(x). Potom aj∞∑

n=1fn(x)

rovnomerne konverguje na intervale I k funkcii s(x), ktorá má na I deriváciu s′(x)a platí

s′(x) =

(∞∑

n=1

fn(x)

)′

= g(x) =∞∑

n=1

f ′

n(x), x ∈ I.

50

Mocninové rady

Rad

∞∑

n=0

an(x − a)n = a0 + a1(x − a) + a2(x − a)2 + . . . (3)

nazývame mocninový (potenčný) rad so stredom a.an(x − a)n je n-tý člen radu.an ∈ R je koeficient radu.

∞∑

n=0

anxn = a0 + a1x+ a2x2 + . . .

nazývame mocninový (potenčný) rad so stredom 0.

Abelova veta. Ak mocninový rad (3) konverguje v nejakom čísle x0 6= a, potom tentorad absolútne konverguje v každom čísle x ∈ (−∞,∞), pre ktoré platí |x−a| < |x0−a|.

Dôsledok Abelovej vety. Ak mocninový rad (3) diverguje v nejakom čísle x0 6= a,potom tento rad diverguje v každom čísle x ∈ (−∞,∞), pre ktoré platí |x−a| > |x0−a|.

Veta. Pre každý mocninový rad (3) existuje taký otvorený interval (a − R, a + R),0 ≤ R ≤ ∞, že na tomto intervale rad (3) absolútne konverguje.

(a − R, a+R) je interval konvergencie radu (3).

R je polomer konvergencie radu (3).

Obor konvergencie radu (3) je niektorý z intervalov: (a−R, a+R), < a−R, a+R),< a − R, a+R >, (a − R, a+R >.

Na určenie polomeru konvergencie mocninového radu môžme použiť kritéria:

Veta. Nech pre rad (3) existuje limita (vlastná alebo nevlastná)

limn→∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ = L

alebolim

n→∞

n

√|an| = L .

Potom pre polomer konvergencie R platí:

R =1L

, ak 0 < L < ∞

R = 0, ak L =∞R =∞, ak L = 0.

51

Rovnomerná konvergencia mocninových radov

Veta Mocninový rad∞∑

n=0an(x − a)n, ktorého polomer konvergencie je R rovnomerne

konverguje na každom intervale

< b, c > ⊂ (a − R, a+R)

52

Taylorov polynóm

Definícia: Nech f(x) je definovaná v O(a) a nech existujú f ′(a), f ′′(a), . . . , f (n)(a).Polynóm, ktorého hodnota v čísle a sa zhoduje s f(a), jeho prvá derivácia v čísle a sazhoduje s f ′(a), . . . až n−tá derivácia v čísle a sa zhoduje s f (n)(a), sa nazýva n−týTaylorov polynóm funkcie f v čísle a.

Tn(f, a, x) = f(a)+f ′(a)(x−a)+f ′′(a)2!(x−a)2+. . .+

f (n)(a)n!

(x−a)n =n∑

k=0

f (k)(a)k!

(x−a)k .

Príklad: Taylorov polynóm funkcie f(x) = sinx v bode a = 0.

f@x_D := Sin@xD

T@x_, n_D := SumB D@f@xD, 8x, k<D . x ® 0

k!xk , 8k, 0, n< F

T@x, 1Dx

T@x, 5D

x -x3

6+

x5

120

T@x, 15D

x -x3

6+

x5

120-

x7

5040+

x9

362 880-

x11

39 916 800+

x13

6 227 020 800-

x15

1 307 674 368 000

-10 -5 5 10

-2

-1

1

2

53

Taylorova veta. Nech f(x) má v O(a) derivácie až do rádu (n+1) vrátane. Potom∀ x ∈ O(a) existuje číslo ϑ, 0 < ϑ < 1, také, že platí Taylorov vzorec

f(x) = Tn(f, a, x) +Rn+1(x), kde

Rn+1(x) =f (n+1)(ξ)(x − a)n+1

(n+ 1)!, ξ = a+ ϑ(x − a).

Rn+1 je Lagrangeov tvar zvyšku.

Taylorov rad

Funkcionálny rad

T (f, a, x) = f(a) + f ′(a)(x − a) +f ′′(a)2!(x − a)2 + . . . +

f (n)(a)n!

(x − a)n + . . . =

=∞∑

n=0

f (n)(a)n!

(x − a)n

nazývame Taylorov rad funkcie f(x) v čísle a.

Taylorov rad funkcie f(x) v čísle a = 0 nazývame Mac Laurinov rad:

T (f, 0, x) =∞∑

n=0

f (n)(0)n!

xn

Veta. Funkcia f(x) je súčtom svojho Taylorovho radu v nejakom okolí O(a) čísla avtedy a len vtedy ak ∀ x ∈ O(a) : lim

n→∞

Rn+1(x) = 0.

Veta. Funkcia f(x) je súčtom svojho Taylorovho radu v nejakom okolí O(a) čísla aak existuje konštanta K > 0 taká, že ∀ n ∈ N, ∀ x ∈ O(a) : |f (n)(x)| ≤ K.

54

Literatúra

[1] Ivan: Matematika I. a II. (učebnice)[2] Feťková, Olach, Špániková, Wisztová: Integrálny počet a jeho aplikácie, ŽU-2011.[3] Eliaš, Horváth, Kajan, Šulka: Zbierka úloh z vyššej matematiky 2,3,4.[4] Futák, Marušiak: Matematika III., Nekonečné rady (skriptá).[5] Kluvánek, Mišík, Švec: Matematika I. a II. (učebnice).[6] Moravčík: Matematika - Vybrané časti I. (Systémy diferenciálnych rovníc, základyteórie stability - skriptá).

[7] Marušiak,Moravčík: Matematika II. Systémy dif.rovníc (skriptá) ŽU 1997.

55

i. funkcia npremenných ii. diferenciálne rovnice 21 iii...

Documents