I SISTEMI I SISTEMI DI PRIMO GRADODI PRIMO GRADO

I SISTEMI I SISTEMI DI PRIMO GRADODI PRIMO GRADO

ANALIZZIAMO LA SEGUENTE ANALIZZIAMO LA SEGUENTE SITUAZIONE PROBLEMATICASITUAZIONE PROBLEMATICA

Sei di loro hanno preso la pizza margherita gli altri la pizza al prosciutto.

Quanto costano le diverse pizze?

Un gruppo di 15 amici al ristorante pagano per le pizze che hanno ordinato 78 €

IMPOSTAZIONE PROBLEMAIMPOSTAZIONE PROBLEMA

Per risolvere il problema posso scrivere l’equazione in due incognite (x e y)

6x+9y=78

è una proposizione aperta verificata da molte coppie: S={(13,0),(10,2),…}

Ad esempio al tavolo vicino sei amici hanno ordinato le stesse pizze 5 margherite e una al prosciutto pagando 26€.

Si può impostare l’equazione in due incognite (x e y)

5x+y=26

Proposizione aperta verificata da diverse coppie: S={(1,21),(3,11),…}

Posso ricercare se esiste una coppia soluzione della prima e della seconda equazione collegando tra loro le equazioni

265 7896

yxyx Ottenendo un sistema di primo

grado

Costituito da due equazioni in due incognite

Occorre un’altra informazione.

I SISTEMI DI PRIMO GRADOI SISTEMI DI PRIMO GRADOI SISTEMI DI PRIMO GRADOI SISTEMI DI PRIMO GRADO

TEORIATEORIA

METODI DI RISOLUZIONEMETODI DI RISOLUZIONE

MAPPAMAPPA

I SISTEMI

TEORIA

METODI DI RISOLUZIONE

RISOLUZIONE DEI PROBLEMI

EQUAZIONI COMEFUNZIONI

EQUAZIONI IN GEOMETRIA ANALITICA

INSIEME DELLE SOLUZIONI

Sistema determinato

Sistema indeterminato

Sistema impossibile

Confronto

Sostituzione

Riduzione Cramer

Schema

MAPPAMAPPA

EQUAZIONI COME EQUAZIONI COME FUNZIONIFUNZIONI

-13-13

-3-3

-1-1

33

55

77

……

-5-5

00

11

33

44

55

……

y = 2x-3y = 2x-3 xx

2x-3

-13

-3

-1

3

x

-5

0

1

3

4

…

f(x)=2x-3

geogebra

EQUAZIONI IN GEOMETRIA EQUAZIONI IN GEOMETRIA ANALITICAANALITICA

punto retta

coppia di reali equazione

la coppia (a,b) verifica l’equazione 2x-3=y

il punto P(a,b) alla retta di equazione 2x-3=y

INSIEME DELLE INSIEME DELLE SOLUZIONISOLUZIONI

Un sistema è un insieme di equazioni, tutte nelle stesse incognite, che devono essere verificate contemporaneamente.

Risolvere un sistema significa trovare le soluzioni comuni a tutte le equazioni che lo compongono.

L’insieme delle soluzioni di un sistema è quindi costituito dall’intersezione degli insiemi soluzione di ciascuna equazione.

A seconda del suo insieme soluzione un sistema può

essere:

''' cybxa

cbyax

S is te m a im p o s s ib i le S =

''' c

c

b

b

a

a

Sistema determinato'' b

b

a

a

Sistema indeterminato

x

baxc

xS ,

''' c

c

b

b

a

a

METODI DI RISOLUZIONEMETODI DI RISOLUZIONEElenco dei metodi di risoluzione:

•Metodo del confronto

•Metodo di sostituzione

•Metodo di riduzione

•Metodo di Cramer

Sistema.ggb•Metodo grafico•Metodo grafico

Con un esempio vediamo il metodo del confronto, analizzando il sistema:

0142

02

yx

yx

Esplicitiamo ora le due equazioni rispetto a una delle due variabili, x ad esempio:

142

2

yx

yx

L’incognita x anche se espressa in modi diversi ha lo stesso valore e potremo quindi scrivere: 1422 yy

e risolverla come un’equazione in una incognita. Il valore di y trovato verrà sostituito in una delle due equazioni. Basterà una semplice operazione per trovare poi il valore di x.

Metodo del confrontoMetodo del confronto

Metodo di sostituzioneMetodo di sostituzioneCon un esempio spieghiamo il metodo di sostituzione analizzando il sistema:

Esplicitiamo ora una delle due equazioni rispetto a una delle due variabili, x ad esempio:

265y

07896

x

yx

0265 07896

yxyx

Scrivendo nell’altra equazione al posto di y l’espressione prima calcolata, svolgeremo l’equazione in x.

07826596 xx

Una volta calcolato il valore di x sostituiremo di nuovo il suddetto valore nell’equazione esplicitata in y.

Metodo di riduzioneMetodo di riduzioneSpiegheremo il metodo di riduzione con un esempio. Analizziamo il seguente sistema:

0742

0652

yx

yx

In questo sistema l’incognita x presenta coefficienti opposti nelle due equazioni, per cui sommandole membro a membro si riducono ad un’equazione in y.

Moltiplicando per -5 l’equazione in y (per ottenere il monomio +5y, opposto a quello dell’altra equazione) applicheremo lo stesso metodo e avremo un’equazione in x.

01

0742

0652

y

yx

yx

Risolvendo le due semplici equazioni ottenute avremo i valori delle incognite in questo sistema.

0112

055

0652

x

y

yx

Metodo di CramerMetodo di CramerQuesto non è un modo di risoluzione ma un modo schematico di rappresentare le soluzioni. Questo metodo utilizza il principio di riduzione, ma per capirlo analizziamo l’esempio:

''' cybxa

cbyax

Applichiamo quindi il metodo di riduzione; se vogliamo eliminare x moltiplichiamo la prima equazione per a’ e la seconda per a. Otterremo il sistema:

'''

'''

acyabxaa

cabyaaxa

Utilizzando il metodo di riduzione avremo l’equazione:

'''' caacybaab continua…

continua…

Ripetiamo l’operazione per eliminare y trovando la seconda equazione:

'''' caacxbaab

Potremo quindi riscrivere il sistema nel seguente modo:

''''

''''

caacybaab

bccbxbaab e quindi

''

''''

''

baab

caacy

baab

bccbx

Scriviamo ora i coefficienti di x e y in una schema detto matrice:

''b

b

a

aE con questo ricaviamo il :

'a

a ''

'baab

b

b

(La linea indica la moltiplicazione)

Poi cerchiamo il sostituendo nella matrice i coefficienti di x (quelli della prima colonna) con i termini noti dell’equazione:

x

'c

cx ''

'bccb

b

b

Ora per faremo la stessa cosa sostituendo però ai coefficienti di y (seconda colonna) con i termini noti e lasciando quelli di x nella prima colonna:

y

'a

ay ''

'caac

c

c

Avremo quindi:

y

x

y

x

Bisognerà poi discutere sul valore del per poter dar la soluzione.

SchemaSchema

'' b

b

a

a

0 000 yx

DETERMINATO INDETERMINATO

Rette incidenti Rette corrispondenti

''' c

c

b

b

a

a

IMPOSSIBILE

Rette parallele

000 yx

''' c

c

b

b

a

a

(Cliccando su una delle tre possibilità la si può visualizzare graficamente)

Sistemi lavoro.ESEMPIO NUMERICO - Foglio1!A1

FINE!