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I SOLIDI

Copyright © 2011 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio


I SOLIDI

1. I POLIEDRI

DEFINIZIONE

PoliedroUn poliedro è una figura solida limitata da un numero finito di poligoni appartenenti a piani diversi e tali che il piano di ogni poligono non attraversi il solido.

Prisma

Piramide

La distanza fra il vertice (o la base superiore) e il piano della base (inferiore) si chiama altezza.

L’altezza delle facce laterali di una piramide retta è detta apotema.


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2. POLIEDRI REGOLARI E SOLIDI DI ROTAZIONE

DEFINIZIONE

Poliedro regolareUn poliedro si dice regolare quando le sue facce sono poligoni regolari congruenti e anche i suoi angoloidi e i suoi diedri sono congruenti

DEFINIZIONE

Solido di rotazioneSi chiama solido di rotazione un solido generato dalla rotazione di una figura piana intorno a una retta r


Animazione di un solido di rotazione


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3. LA SFERA

La sfera è un solido generato dalla rotazione completa di un semicerchio attorno al suo diametro…

… ma, aumentando il numero di lati delle facce di un poliedro regolare, si approssima sempre meglio una sfera…

Quindi, la sfera è un solido di rotazione o un poliedro?


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4. CALCOLO DELLE AREE

DEFINIZIONE

Superficie di un poliedroLa superficie di un poliedro è la somma delle superfici di tutte le sue facce.

Al = 2p . h Al = π . r . a

Ricordiamo che alla superficie laterale va aggiunta la superficie delle basi.

Scomponendo un solido (anche non poliedrico) è possibile calcolarne la superficie laterale:


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Area della sfera.La misura dell’area della superficie sferica è uguale a quattro volte quella del suo cerchio massimo:

Ssfera = 4 π r2

Riscrivendo l’espressione della superficie sferica come Ssfera=2πr . 2r, troviamo che la superficie di una sfera è equivalente alla superficie laterale del suo cilindro circoscritto.


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5. CALCOLO DEI VOLUMI

TEOREMA

Volume del cuboLa misura del volume del cubo è uguale alla misura del suo spigolo elevato alla terza potenza:V = a3

TEOREMA

Volume del prismaLa misura del volume del prisma è uguale al prodotto della misura dell’area di base per la misura dell’altezza:V = S . h

TEOREMA

Volume del cilindroLa misura del volume del cilindro è uguale ap prodotto dell’area del cerchio di base per la misura dell’altezza:V =π .r2 . h

Vediamo che, in generale, il volume delle tre figure può essere espresso come prodotto tra l’area della superficie di base e l’altezza.


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TEOREMA

Volume della piramideLa misura del volume di una piramide è uguale alla terza parte del prodotto della misura dell’area di base per la misura dell’altezza: V =⅓.S . h

TEOREMA

Volume del conoLa misura del volume di un cono è uguale alla terza parte del prodotto della misura dell’area del cerchio per la misura dell’altezza.V =⅓.S . h

Volume della piramide e volume del cono.La piramide e il cono sono equivalenti, rispettivamente, alla terza parte di un prisma o di un cilindro di base equivalente. Quindi:


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TEOREMA

Volume della sferaLa misura del volume di una sfera è uguale al prodotto di (4/3 π) per la misura del raggio della sfera elevaro al cubo: V =4/3 . π. r3


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