Junio 2014

Investigación de operaciones 2

Grupo #3

Índice

1 PRESENTACIÓN

1 INTRODUCCION…………………………………………………………………………………………………………………………..1

2 OBJETIVOS…………………………………………………………………………………………………………………………………..2

2 CONTENIDO

2 MODELO CON REVISIÓN CONTINUA.......................................................................................3

2.1 Modelo EOQ “Probabilizado”......................................................................................................3

2.2 Modelo EOQ “Probabilístico”......................................................................................................6

3 Modelos de un solo periodo..............................................................................................................10

3.1 Modelo sin preparación.............................................................................................................10

3.1.1 Supuestos del Modelo.......................................................................................................10

3 APENDICE1 APENDICE A……………………………………………………………………………………………………………………………..14

2 APENDICE B……………………………………………………………………………………………………………………………..14

3 APENDICE C……………………………………………………………………………………………………………………………..14

4 CONCLUSIONES Y BIBLIOGRAFÍA

1 CONCLUSIONES…………………………………………………………………………………………………………………………15

2 BIBLIOGRAFÍA…………………………………………………………………………………………………………………………..16

IntroducciónSon muchos los casos en los cuales se encuentran negocios que no hacen un buen trabajo al administrar sus inventarios; por “inventario” nos referimos a bienes almacenados para uso o venta a futuro, ya que no se colocan los pedidos de reabastecimiento con suficiente anticipación para evitar faltantes.

Mantener un inventario en buen nivel es necesario para todo negocio o compañía que operan con productos físicos, como fabricantes, distribuidores, etc. Por ejemplo, los fabricantes necesitan contar con inventarios de materiales que se requieren para manufacturar sus productos. También deben almacenar productos terminados en espera de ser enviados. De manera similar, tanto los distribuidores como las tiendas deben mantener los bienes disponibles para cuando los consumidores los soliciten.

Entonces, ¿Cómo es que las compañías utilizan la investigación de operaciones para mejorar las políticas de inventarios respecto a cuándo y cuánto reabastecer su inventario?

Esta administración científica de inventarios comprende los siguientes pasos:

1. Formular un modelo matemático que describa el comportamiento del sistema de inventarios.

2. Elaborar una política óptima de inventarios a partir de ese modelo.3. Utilizar un sistema de procesamiento de información computarizado para mantener

registros de los niveles de inventarios.4. A partir de estos registros, utilizar la política óptima de inventarios para señalar cuándo y

cuánto conviene reabastecer.

Existen 2 modelos básicos para inventarios, el modelos determinístico, y el modelo probabilístico. Este documento se enfoca en el modelo probabilístico, aquel en el que existe gran incertidumbre entre los datos de un sistema así como las demandas futuras.

ObjetivosEn el presente trabajo se siguen los siguientes objetivos:

Revisar las bases teóricas de los modelos probabilísticos.

Construir modelos de inventarios probabilísticos con funciones de distribución.

Revisar la teoría de modelos de inventarios estocásticos.

Desarrollar una metodología para la aplicación de los modelos de inventarios probabilísticos.

Inventarios Probabilísticos

5 MODELO CON REVISIÓN CONTINUAEsta sección presenta dos modelos: una versión probabilizada de un modelo determinístico que utiliza existencias de reserva para satisfacer las demandas probabilísticas,y un modelo probabilístico más exacto que incluye la demanda aleatoria directamente en la formulación.

5.1 MODELO EOQ “PROBABILIZADO”.El periodo crítico durante el ciclo de inventario ocurre entre la colocación y la recepción de pedidos. Este es el lapso de tiempo en que se podrían presentar los faltantes. La idea entonces es mantener existencias de seguridad constantes que eviten la probabilidad de faltantes. Por intuición, una probabilidad de pocos faltantes implica mayores existencias de reserva, y viceversa.

La figura 1.1 ilustra la relación entre las existencias de reserva, B, y los parámetros del modelo EOQ determinístico que incluyen el tiempo de espera, L; la demanda promedio durante el tiempo de espera, μL, y la cantidad económica de pedido (EOQ), y*.Observe que L es el tiempo de espera efectivo.

Figura 1.1

La suposición principal del modelo es que la demanda por unidad de tiempo es normal con media D y desviación estándar σ ; es decir, N (D, σ ). Con arreglo a esta suposición, la demanda durante el tiempo de espera L también debe ser normal con media μL=DL y desviación estándar σ L=√Lσ 2 .La fórmula

para σL supone que L es un valor entero.

El tamaño de las existencias de reserva B se determina de modo que la probabilidad de faltantes durante L sea a lo sumo α . Si xL es la demanda durante el tiempo de espera L, entonces:

P {xL≥ B+μL}≤α

Con lo cual obtenemos:

P {z ≥ Bσ L

}≤α

Definiendo el parámetro Kα para la distribución normal estándar, de modo que:

P {z≥ Kα }≤α Implica que B≥σLK α según la figura 1.2

Figura 1.2

Simbología de Modelo EOQ “probabilizado” detallado en Apéndice A

Ejemplo:

Las luces de neón en el campus de la Universidad de Arkansas se reemplazan a razón de 100 unidades por día. La planta física pide las luces de neón de forma periódica. Iniciar un pedido de compra cuesta $100. Se estima que el costo de una luz de neón almacenada es de aproximada mente $.02 por día. El tiempo de espera entre la colocación y la recepción de un pedido es de 12 días. Determine la política de inventario óptima para pedir las luces de neón.

Para un modelo probabilizado suponga que N (100,10), determine el tamaño de las existencias de reserva utilizando α=0.05

DATOS DE PROBLEMAD=100unidades por diaK=$100 por pedidoh=$ 0.02 por unidad por diaL=12diasσ=10unidadesα=0.05

Por tanto,

y¿=√ 2KDh =√ 2∗100∗1000.02=1000 lucesde neón

La duración de entre cada pedido asociado es

t 0=y¿

D=1000100

=10dias

Como el tiempo de espera L es mayor que el tiempo de ciclo t 0, debemos calcular LeLe=L−n t 0=12−1∗10=2dias

Por tanto, el punto de volver a pedir ocurre cuando el nivel del inventario se reduce a:LeD=2∗100=200 lucesdeneón

La política empleando un modelo determinista es: Pedir 1000 unidades siempre que el nivel de inventario se reduzca a 100 unidades

Ya que el tiempo efectivo Le=2dias entoncesμL=DL=100∗2=200unidades

σ L=√σ2 L=√102∗2=14.14unidades

Si K0.05=1.645, las existencias de reserva se calculan como:

B≥14.14∗1.645≈23 lucesdeneon

La política empleando el modelo probabilizado es:Pedir 1000 unidades siempre que el nivel de inventario se reduzca a 223 unidades

5.2 MODELO EOQ “PROBABILÍSTICO”

La figura 1.3 ilustra un cambio típico del nivel de inventario con el tiempo. Pueden o no ocurrir faltantes durante los tiempos de espera (posiblemente aleatorios), como se ilustra por los ciclos 1 y 2, respectivamente. La política exige pedir la cantidad y , siempre que la cantidad del inventario disponible se reduzca a un nivel R.

Como en el caso determinístico, el nivel de volver a pedir R es una función del tiempo de espera entre la colocación y la recepción de un pedido.Los valores óptimos de y y R se determinan minimizando la suma esperada de los costos de retención y los costos de faltantes por unidad de tiempo.

Figura 1.3

Para desarrollar la función de costo total por unidad de tiempo, sean:

1) f (x) = fdp de la demanda, x, durante el tiempo de espera 2) D = Demanda esperada por unidad de tiempo 3) h = Costo de retención por unidad de inventario por unidad de tiempo 4) p = Costo por faltantes por unidad de inventario 5) K = Costo de preparación por pedido

Ahora se determinan los elementos de la función de costos.

1. Costo de preparación. La cantidad aproximada de pedidos por unidad de tiempo es Dy

, de

modo que el costo de preparación por unidad de tiempo es aproximadamente KDy

.

2. Costo de retención esperado. Si I es el nivel de inventario promedio, el costo de retención esperado por unidad de tiempo es hI . El nivel de inventario promedio se calcula como

La fórmula promedia los inventarios inicial y final esperados en un ciclo, el cual es y+E {R−x } y E {R+x }, respectivamente. Como una aproximación, la expresión ignora el caso en R−E {x } pueda ser negativo.

3. Costo por faltantes esperado. Los faltantes ocurren cuando x>R. Su valor esperado por ciclo se calcula como:

Con lo cual:

Los valores óptimos de y* y R* no pueden determinarse en formas cerradas. Se aplica un algoritmo iterativo.

Simbología de Modelo EOQ “probabilístico” detallado en Apéndice B

Ejemplo:

Electro utiliza resina en su proceso de fabricación a razón de 1000 galones por mes. Colocar un pedido le cuesta $100 a Electro. El costo de retención por galón por mes es de $2, y el costo por faltante por galón es de $10.Los datos históricos muestran que la demanda durante el tiempo de espera es uniforme en el rango (0,100) galones. Determine la política de colocación de pedidos óptima para Electro.

DATOS DE PROBLEMAD=100 galones pormesK=$100 por pedidoh=$ 2 por galon pormesp=$10 por galonL=12dias

f ( x )= 1100,0

≤ x ≤100

E(x )=50 galones

Primero tenemos que verificar si el problema tiene una solución única. Con las ecuaciones de y y y obtenemos:

Debido a que ~y≥ y¿, existe una solución única para y¿ y R¿. La expresión para S se calcula como

Aplicando S en las ecuaciones:

Lo que produce

Ahora iteramos para obtener la solución óptima:

Iteración 1

Iteración 2

Iteración 3

Como se puede observar y2≈ y3 y R2≈R3, por tanto la solución óptima es R¿≈93.611 galones y¿≈319.44 galones.

La política de inventario es:Pedir 320 galones siempre que el nivel de inventario se reduzca a 94 galones

6 MODELOS DE UN SOLO PERIODOEste tipo de modelos se basa en artículos de inventario que están en existencia durante un solo periodo de tiempo. Al final del periodo se desechan las unidades sobrantes, si las hay, como en el caso de artículos de moda. El modelo determina el valor óptimo de y que minimiza la suma de los costos de retención y por faltantes. Si y ¿ es óptima, la política de inventario exige pedir y¿−x si x< y; de lo contrario,no se coloca pedido alguno.

6.1 MODELO SIN PREPARACIÓNEste modelo se conoce en la literatura como modelo newsvendor (el nombre original clásico es modelo del periodiquero).Tiene que ver con el almacenamiento y venta de periódicos.

6.1.1 Supuestos del Modelo1. La demanda ocurre al instante en el inicio del periodo inmediatamente después de que se recibe

el pedido. 2. No se incurre en ningún costo de preparación.

La figura 2.1 muestra la posición del inventario después de que se satisface la demanda, D. Si D< y , la cantidad y−D se mantiene durante el periodo. Si D> y , habrá una cantidad faltante si D− y.

El costo esperado durante el periodo, E {C ( y )}, se expresa como

Lo cual desarrollando una demostración de convergencia obtendríamos:

Si la demanda D es discreta, entonces la función de costo asociada es:

Las condiciones necesarias de optimidad son

Y por tanto

Ejemplo:

El propietario de un puesto de periódicos desea determinar la cantidad de ejemplares de USA Now que debe tener en existencia al inicio de cada día. El propietario paga 30 centavos por un ejemplar y lo vende a 75 centavos. La venta del periódico suele ocurrir entre 7:00 y 8:00 A.M. (la demanda es prácticamente instantánea).Los periódicos que sobran al final del día se reciclan y se obtiene un ingreso de 5 centavos por ejemplar. ¿Cuántos ejemplares debe tener en existencia cada mañana?, suponiendo que la demanda del día puede describirse como

1) Una distribución normal con media de 300 ejemplares y desviación estándar de 20.

2) Una fdp discreta, f(D),definida como

D200

220

300

320

340

f (D)0.1 0.2 0.4 0.2 0.1

Los costos de retención y penalización no se definen de forma directa en esta situación.Los datos del problema indican que cada ejemplar no vendido le costará al dueño 30−5=25centavos, y que el costo de penalización por agotamiento de las existencias es de 75−30=45centavos por ejemplar.Por lo tanto,en función de los parámetros del problema de inventario,tenemosh=25centavos por ejemplar por día y p=45centavos por ejemplar por día. Primero determinamos la relación crítica como

Caso A

Con lo cual tenemos para N(300,20)

Con lo cual se puede decir que y¿=307.7

El pedido óptimo es de 308 periódicos.

Caso B

La demanda D sigue una fdp discreta,f(D).Pero antes determinamos la FDA P {D≤ y } como

y200

220

300

320

340

P {D≤ y }0.1 0.3 0.7 0.9 1.0

Para la relación crítica calculada de 0.643,tenemos

P {D≤220 }≤0.643≤P {D≤300 }

Con lo cual se puede decir que y¿=300

El pedido óptimo es de 300 periódicos.

Apendice ASimbología:

y¿=Cantidad de pedido(número deunidades)D=Tasa de demanda(unidades por unidad de tiempo)t 0=Duracióndel ciclo de pedido(unidades de tiempo)K=Costo de preparación por pedidoh=Costode retenciónomantenimientoL=tiempo de espera(entre la colocación y elrecibo deun pedido)Le=tiempo deespera efectivon=constante (enteromasgrande ≤L/ t 0)

Apendice BSimbología:

y¿=Cantidad de pedido(número deunidades)D=Tasa de demanda(unidades por unidad de tiempo)t 0=Duracióndel ciclo de pedido(unidades de tiempo)K=Costo de preparación por pedidoh=Costode retenciónomantenimientoL=tiempo de espera(entre la colocación y elrecibo deun pedido)Le=tiempo deespera efectivo

n=constante (enteromasgrande ≤L/ t 0)

Apendice CSimbología:

K=Costo de preparación por pedidoh=Costode retención por unidad retenidadurante el periodop=Costo de penalización por unidad faltante durante el periodof (D)=pdf de lademanda , D ,durante el periodoy=Cantidad de pedidox=Inventario disponible antes deque se coloque un pedido

ConclusionesDespués de realizar el trabajo, se obtiene como punto final que la aplicación de la teoría básica o clásica de inventarios para estimación del lote económico sin herramientas estadísticas tiene una alta probabilidad de hacer malas estimaciones del lote económico, esto es, debido a que se tiene el elemento aleatorio en la demanda de los artículos mismo que está en función de las necesidades de los clientes.

Los modelos desarrollados son aplicables a inventarios que maneja una tienda de conveniencia o empresa con características similares en donde se trabaja todos los días y se tiene demanda constantes y poco espacio de almacenamiento.

Bibliografía[1] Hamdy A. Taha(2012),Investigación de Operaciones,Novena Edición PEARSON EDUCATION.

[2] Frederick S. Hillier y Gerald J. Lieberman, Introducción a la Investigación de Operaciones, Novena Edición, McGrawHill