ОлексiйКостянтиновичКолежукiht.univ.kiev.ua/kolezhuk/selchapphys/lectures/selchapphyslecture12.pdf ·...
TRANSCRIPT
Вибранi питаннязагальної та квантової фiзики
Олексiй Костянтинович Колежук
Iнститут Магнетизму НАН та МОН України
Iнститут високих технологiй,Київський Нацiональний Унiверситет iм. Т.Г.Шевченка
WS 2011, IВТ
Лекцiя 12: Загальнi властивостi енергетичної зонноїструктури конденсованих середовищ
1 Типи твердих тiл: метали, напiвпровiдники i дiелектрики
2 Квазичастинки. Електрони i дiрки. Ефективна маса.
3 Густина станiв. Сингулярностi Ван Хова.
4 Особливостi енергетичної структури неiдеальних кристалiв
1 Типи твердих тiл: метали, напiвпровiдники i дiелектрики
2 Квазичастинки. Електрони i дiрки. Ефективна маса.
3 Густина станiв. Сингулярностi Ван Хова.
4 Особливостi енергетичної структури неiдеальних кристалiв
О.К.Колежук – Вибранi питання фiзики – 12. Властивостi енергетичної зонної структури – 0 / 20
Метал: верхня зона частково заповнена
EF
мiн. енергiя, потрiбна для переведення системи в збуджений стан∆E ∼ 1/L→ 0 при L→∞ рiвень Фермi EF = хiм. потенцiал µ
О.К.Колежук – Вибранi питання фiзики – 12. Властивостi енергетичної зонної структури – 1 / 20
Метал: зони, що перекриваються
О.К.Колежук – Вибранi питання фiзики – 12. Властивостi енергетичної зонної структури – 2 / 20
Напiвпровiдник/Iзолятор: верхня зона заповнена
EFEg
мiн. енергiя, потрiбна для переведення системи в збуджений стан∆E = Eg ; Eg � Troom – iзолятор , Eg ∼ Troom – напiвпровiдник
О.К.Колежук – Вибранi питання фiзики – 12. Властивостi енергетичної зонної структури – 3 / 20
Реальний приклад зонної структури: арсенiд галiя
О.К.Колежук – Вибранi питання фiзики – 12. Властивостi енергетичної зонної структури – 4 / 20
1 Типи твердих тiл: метали, напiвпровiдники i дiелектрики
2 Квазичастинки. Електрони i дiрки. Ефективна маса.
3 Густина станiв. Сингулярностi Ван Хова.
4 Особливостi енергетичної структури неiдеальних кристалiв
О.К.Колежук – Вибранi питання фiзики – 12. Властивостi енергетичної зонної структури – 4 / 20
Напiвпровiдник: електрони i дiрки
Ev
Ec
EF
E
k
valence band
conduction band
малi темп-ри ⇒ хвильовi вектори поблизу min c-band
Eelectron ≈ Ec +~2k2
2m∗eEhole ≈ Ev −
~2k2
2m∗h
ефективна маса (m∗e)−1 =1~2∂2Ec(k)
∂k2
О.К.Колежук – Вибранi питання фiзики – 12. Властивостi енергетичної зонної структури – 5 / 20
Поверхня Фермi. Квазичастинки в металах.
над поверхнею Фермi – “частинки”, пiд поверхнею Фермi – дiрки
О.К.Колежук – Вибранi питання фiзики – 12. Властивостi енергетичної зонної структури – 6 / 20
Поверхня Фермi. Квазичастинки в металах.
над поверхнею Фермi – “частинки”, пiд поверхнею Фермi – дiрки
О.К.Колежук – Вибранi питання фiзики – 12. Властивостi енергетичної зонної структури – 6 / 20
Загальний випадок: тензор ефективної маси
E (~k) =∑ij
~2kikj
2m∗ij, i , j ∈ (x , y , z), ||m∗ij || 7→
m∗xx 0 00 m∗yy 00 0 m∗zz
анiзотропiя в оберненому просторi
iзоенергетична поверхня:елiпсоїд
iзоенергетичнаповерхня:гiперболоїд
О.К.Колежук – Вибранi питання фiзики – 12. Властивостi енергетичної зонної структури – 7 / 20
Рiвняння руху для квазиiмпульсу
H =~p
2
2m0+ V (~r)︸ ︷︷ ︸bH0
+Uext(~r), iмпульс ~p = −i~~∇
∂~p∂t
=1i~
[~p, H] = −~∇V (~r)− ~∇Uext(~r)
оп-р квазиiмпульсу ~P: ~Pψ~k = ~~kψ~k комутує з H0
ψ~k = e i~k~ru~k(~r) ⇒ ~P = −i~~∇+i~~∇(ln u~k(~r)
)⇒ [Pi , xj ] = −i~δij
∂~P∂t
= −~∇Uext(~r) ⇒ ∂(~~k)
∂t= ~Fext(~r)
квазиiмпульс реагує тiльки на неперiодичну частину потенцiалу
О.К.Колежук – Вибранi питання фiзики – 12. Властивостi енергетичної зонної структури – 8 / 20
Рiвняння руху: швидкiсть = ∂(енергiя)/∂(iмпульс)
ψ~k = e i~k·~ru~k(~r), Hψ~k = E~kψ~k ⇒ ~v =〈~p〉m0
=1~∂E~k∂~k
H =~p
2
2m0+ U(~r), e−i~k·~r He i~k·~r︸ ︷︷ ︸eH
u~k = E~ku~k , e−i~k·~r ~p e i~k·~r = ~p + ~~k
H =(~p + ~~k)2
2m0+ U(~r) ⇒ m0
~∂H
∂~k= ~~k + ~p = ~~k − i~
∂
∂~r
〈~p〉 =
∫d3~r u∗~k (−i~
∂
∂~r+ ~~k)u~k =
m0
~
∫d3~r u∗~k
∂H
∂~ku~k =
m0
~〈u~k |
∂H
∂~k|u~k〉
E~k =
∫d3~r u∗~k Hu~k = 〈u~k |H|u~k〉
⇒∂E~k
∂~k= 〈
∂u~k
∂~k|H|u~k〉+ 〈u~k |H|
∂u~k
∂~k〉︸ ︷︷ ︸
E~k∂
∂~k(〈u~k |u~k〉)=0
+〈u~k |∂H
∂~k|u~k〉 =
~〈~p〉m0
О.К.Колежук – Вибранi питання фiзики – 12. Властивостi енергетичної зонної структури – 9 / 20
Ефективна маса i рiвняння руху
E~k =∑ij
~2kikj
2m∗ij,
∂(~~k)
∂t= ~Fext(~r), ~v =
〈~p〉m0
=1~∂E~k∂~k
∂E~k∂ki
=/m∗ij = m∗ji
/=∑
j
~2
m∗ijkj
прискорення ai =∂vi
∂t=
1~∂
∂t
(∂E~k∂ki
)=∑
j
1mij
∂(~kj)
∂t=∑
j
(~Fext)j
m∗ij
якщо швидкiсть ~v не паралельна осi елiпсоїда ефективної маси,то прискорення ~a не паралельне силi ~Fext
О.К.Колежук – Вибранi питання фiзики – 12. Властивостi енергетичної зонної структури – 10 / 20
1 Типи твердих тiл: метали, напiвпровiдники i дiелектрики
2 Квазичастинки. Електрони i дiрки. Ефективна маса.
3 Густина станiв. Сингулярностi Ван Хова.
4 Особливостi енергетичної структури неiдеальних кристалiв
О.К.Колежук – Вибранi питання фiзики – 12. Властивостi енергетичної зонної структури – 10 / 20
. . . Густина станiв
для вiльних частинок
для ε ∼ k2:Dd=1(ε) ∼ 1√
ε
Dd=2(ε) ∼ constDd=3(ε) ∼
√ε
3d
2d
1dD( )ε
ε
особливостi там, де похiдна(∂E~k/∂
~k)
= 0
для частинок в кристалi (3d)
О.К.Колежук – Вибранi питання фiзики – 12. Властивостi енергетичної зонної структури – 11 / 20
Теорема ван Хова
(3d): принаймнi по однiй критичнiй точцi типiв S1, S2 (сiдловi точки E~k)
iлюстрацiя (2d): M – абс. максимум E~k , m – абс. мiнiмум, S – сiдло
О.К.Колежук – Вибранi питання фiзики – 12. Властивостi енергетичної зонної структури – 12 / 20
1 Типи твердих тiл: метали, напiвпровiдники i дiелектрики
2 Квазичастинки. Електрони i дiрки. Ефективна маса.
3 Густина станiв. Сингулярностi Ван Хова.
4 Особливостi енергетичної структури неiдеальних кристалiв
О.К.Колежук – Вибранi питання фiзики – 12. Властивостi енергетичної зонної структури – 12 / 20
Дефекти ґратки. Домiшковi рiвнi.
дефекти ґратки, домiшки: сильний локальний потенцiал
поява локалiзованих рiвнiв (ψ ∼ e−κr ) в забороненiй зонi
E
k
valence band
conductivity band
trap levels
з ростом безпорядку – локалiзацiя iнших рiвнiв
окремий клас – квазикристали
О.К.Колежук – Вибранi питання фiзики – 12. Властивостi енергетичної зонної структури – 13 / 20
Квазикристали: заборонена краса
Dan Shechtman, 1982(Nobel prize 2011)
iкосаедрична фаза в Al0.86Mn0.14iдеальна дифракцiйна картиназ вiссю симетрiї 5-го порядкув кристалах тiльки 1,2,3,4,6 дозволенi !
←− дифракцiйнi картинидекагональногосплаву Al− Co−Ni
О.К.Колежук – Вибранi питання фiзики – 12. Властивостi енергетичної зонної структури – 14 / 20
Квазикристали
iдеальнi дифракцiйнi картини, як в “справжнiх” кристалах+ заборонена симетрiя (iкосаедрична, додекаедрична i т.п.)
сплав Ho-Mg-Zn(I.R.Fisher et al., 1998):
О.К.Колежук – Вибранi питання фiзики – 12. Властивостi енергетичної зонної структури – 15 / 20
Квазиперiодична ґратка
ґратки квазикристалiв є квазиперiодичними
ґратка Пенроуза
квазикристалiчнi ґратки = проекцiї кристалiчних ґраток убагатовимiрному просторi !
О.К.Колежук – Вибранi питання фiзики – 12. Властивостi енергетичної зонної структури – 16 / 20
Чому iдеальна дифракцiйна картина?
Дифракцiйна картина = структурний фактор S(~q) (Фур’є-образґратки) = сума бреггiвських пiкiв
S(~q) =∑
Fn δ(~q − ~Qn)
тiльки якщо ґратка iдеально перiодична? Нi!
квазiперiод. ґратка = проекцiя багатовимiрної (d > 3) перiодичноїґратки на 3d простiрнапр. ґратка Пенроуза = проекцiя 5d кубiчної ґратки на 2dструктурний фактор квазiперiод. ґратки = теж сума бреггiвськихпiкiв!
О.К.Колежук – Вибранi питання фiзики – 12. Властивостi енергетичної зонної структури – 17 / 20
Чому iдеальна дифракцiйна картина?
Дифракцiйна картина = структурний фактор S(~q) (Фур’є-образґратки) = сума бреггiвських пiкiв
S(~q) =∑
Fn δ(~q − ~Qn)
тiльки якщо ґратка iдеально перiодична? Нi!
квазiперiод. ґратка = проекцiя багатовимiрної (d > 3) перiодичноїґратки на 3d простiрнапр. ґратка Пенроуза = проекцiя 5d кубiчної ґратки на 2dструктурний фактор квазiперiод. ґратки = теж сума бреггiвськихпiкiв!
О.К.Колежук – Вибранi питання фiзики – 12. Властивостi енергетичної зонної структури – 17 / 20
Чому iдеальна дифракцiйна картина?
Дифракцiйна картина = структурний фактор S(~q) (Фур’є-образґратки) = сума бреггiвських пiкiв
S(~q) =∑
Fn δ(~q − ~Qn)
тiльки якщо ґратка iдеально перiодична? Нi!
квазiперiод. ґратка = проекцiя багатовимiрної (d > 3) перiодичноїґратки на 3d простiрнапр. ґратка Пенроуза = проекцiя 5d кубiчної ґратки на 2d
структурний фактор квазiперiод. ґратки = теж сума бреггiвськихпiкiв!
О.К.Колежук – Вибранi питання фiзики – 12. Властивостi енергетичної зонної структури – 17 / 20
Чому iдеальна дифракцiйна картина?
Дифракцiйна картина = структурний фактор S(~q) (Фур’є-образґратки) = сума бреггiвських пiкiв
S(~q) =∑
Fn δ(~q − ~Qn)
тiльки якщо ґратка iдеально перiодична? Нi!
квазiперiод. ґратка = проекцiя багатовимiрної (d > 3) перiодичноїґратки на 3d простiрнапр. ґратка Пенроуза = проекцiя 5d кубiчної ґратки на 2dструктурний фактор квазiперiод. ґратки = теж сума бреггiвськихпiкiв!
О.К.Колежук – Вибранi питання фiзики – 12. Властивостi енергетичної зонної структури – 17 / 20
Чому iдеальна дифракцiйна картина?
О.К.Колежук – Вибранi питання фiзики – 12. Властивостi енергетичної зонної структури – 18 / 20
Хвильовi функцiї електронiв в неiдеальних кристалах
iдеальний кристал: квазиiмпульс, теорема Блоха
ψ(x) = u(x)e ikx , u(x + a) = u(x)
дефекти, домiшки: “локалiзованi” хвильовi функцiї
ψ(x) ∼ e−κ|x |
квазикристали: нi те, нi iнше
ψ(x) ∼ 1/xα
О.К.Колежук – Вибранi питання фiзики – 12. Властивостi енергетичної зонної структури – 19 / 20
Хвильовi функцiї електронiв в неiдеальних кристалах
iдеальний кристал: квазиiмпульс, теорема Блоха
ψ(x) = u(x)e ikx , u(x + a) = u(x)
дефекти, домiшки: “локалiзованi” хвильовi функцiї
ψ(x) ∼ e−κ|x |
квазикристали: нi те, нi iнше
ψ(x) ∼ 1/xα
О.К.Колежук – Вибранi питання фiзики – 12. Властивостi енергетичної зонної структури – 19 / 20
Хвильовi функцiї електронiв в неiдеальних кристалах
iдеальний кристал: квазиiмпульс, теорема Блоха
ψ(x) = u(x)e ikx , u(x + a) = u(x)
дефекти, домiшки: “локалiзованi” хвильовi функцiї
ψ(x) ∼ e−κ|x |
квазикристали: нi те, нi iнше
ψ(x) ∼ 1/xα
О.К.Колежук – Вибранi питання фiзики – 12. Властивостi енергетичної зонної структури – 19 / 20
Зонна структура квазикристалiв
“справжнi” кристали: скiнченна кiлькiсть енергетичних зон
1/L~
L
8E
Quasicrystal
квазикристали : нескiнченна кiлькiсть зон
Quasicrystal
self−similarityспектр має т.зв. фрактальну розмiрнiсть D, 0 < D < 1:щоб покрити спектр маленькими вiдрiзками довжини ∆E ,потрiбно N вiдрiзкiв, причому
N → const/(∆E )D , ∆E → 0
О.К.Колежук – Вибранi питання фiзики – 12. Властивостi енергетичної зонної структури – 20 / 20
Зонна структура квазикристалiв
“справжнi” кристали: скiнченна кiлькiсть енергетичних зон
1/L~
L
8E
Quasicrystal
квазикристали : нескiнченна кiлькiсть зон
Quasicrystal
self−similarityспектр має т.зв. фрактальну розмiрнiсть D, 0 < D < 1:щоб покрити спектр маленькими вiдрiзками довжини ∆E ,потрiбно N вiдрiзкiв, причому
N → const/(∆E )D , ∆E → 0
О.К.Колежук – Вибранi питання фiзики – 12. Властивостi енергетичної зонної структури – 20 / 20
Зонна структура квазикристалiв
“справжнi” кристали: скiнченна кiлькiсть енергетичних зон
1/L~
L
8E
Quasicrystal
квазикристали : нескiнченна кiлькiсть зон
Quasicrystal
self−similarity
спектр має т.зв. фрактальну розмiрнiсть D, 0 < D < 1:щоб покрити спектр маленькими вiдрiзками довжини ∆E ,потрiбно N вiдрiзкiв, причому
N → const/(∆E )D , ∆E → 0
О.К.Колежук – Вибранi питання фiзики – 12. Властивостi енергетичної зонної структури – 20 / 20
Зонна структура квазикристалiв
“справжнi” кристали: скiнченна кiлькiсть енергетичних зон
1/L~
L
8E
Quasicrystal
квазикристали : нескiнченна кiлькiсть зон
Quasicrystal
self−similarity
спектр має т.зв. фрактальну розмiрнiсть D, 0 < D < 1:щоб покрити спектр маленькими вiдрiзками довжини ∆E ,потрiбно N вiдрiзкiв, причому
N → const/(∆E )D , ∆E → 0
О.К.Колежук – Вибранi питання фiзики – 12. Властивостi енергетичної зонної структури – 20 / 20