ikg3f3 pemodelan stokastik proses poisson · ikg3f3 pemodelan stokastik proses poisson dosen: aniq...
TRANSCRIPT
Proses MenghitungProses Poisson
Waktu Antar Kedatangan (Interarrival Time)Waktu Tunggu (Waiting Time)Proses Poisson Non Homogen
IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIKProses Poisson
Dosen:Aniq A. Rohmawati, M.Si
TELKOM UNIVERSITY
JALAN TELEKOMUNIKASI 1, BANDUNG, INDONESIA
Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Proses Poisson
Proses MenghitungProses Poisson
Waktu Antar Kedatangan (Interarrival Time)Waktu Tunggu (Waiting Time)Proses Poisson Non Homogen
Proses Menghitung
Proses stokastik N(t), t ≥ 0 dikatakan proses menghitung (countingprocess) jika N(t) atau Nt menyatakan banyaknya peristiwa yangterjadi selama waktu t.
Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Proses Poisson
Proses MenghitungProses Poisson
Waktu Antar Kedatangan (Interarrival Time)Waktu Tunggu (Waiting Time)Proses Poisson Non Homogen
Contoh
MANAKAH YANG MERUPAKAN PROSES MENGHITUNG?
Banyaknya bayi yang lahir saat t.
Banyaknya orang yang datang ke ’Carepour’ dalam waktu [0, t]
Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Proses Poisson
Proses MenghitungProses Poisson
Waktu Antar Kedatangan (Interarrival Time)Waktu Tunggu (Waiting Time)Proses Poisson Non Homogen
Proses Menghitung
Proses menghitung N(t), t ≥ 0 memenuhi sifat:
N(t) ≥ 0
N(t) adalah bilangan bulat
Jika s < t, maka N(s) ≤ N(t)
Untuk s < t, N(t)− N(s) menyatakan banyaknya kejadian yangterjadi pada interval waktu (s, t]
Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Proses Poisson
Proses MenghitungProses Poisson
Waktu Antar Kedatangan (Interarrival Time)Waktu Tunggu (Waiting Time)Proses Poisson Non Homogen
Proses menghitung disebut proses dengan kenaikan bebas(independent increment) jika banyaknya kejadian yang terjadi padawaktu t (yaitu N(t))bebas dari banyaknya kejadian yang terjadi padawaktu antara t dan t + s (yaitu N(t + s)− N(t)).
Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Proses Poisson
Proses MenghitungProses Poisson
Waktu Antar Kedatangan (Interarrival Time)Waktu Tunggu (Waiting Time)Proses Poisson Non Homogen
Contoh
Bayi yang lahir sampai waktu t, ’ii’ kah? Bagaimana dengan’banyaknya gol yang diciptakan pemain sepak bola’?
Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Proses Poisson
Proses MenghitungProses Poisson
Waktu Antar Kedatangan (Interarrival Time)Waktu Tunggu (Waiting Time)Proses Poisson Non Homogen
Proses menghitung disebut kenaikan stasioner (stationaryincrement) jika banyaknya kejadian pada interval waktu(t1 + s, t2 + s] (yaitu N(t2 + s)− N(t1 + s)) mempunyai distribusiyang sama dengan banyaknya kejadian pada interval waktu (t1, t2](yaitu N(t2)− N(t1)), untuk semua t1 < t2, s > 0
Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Proses Poisson
Proses MenghitungProses Poisson
Waktu Antar Kedatangan (Interarrival Time)Waktu Tunggu (Waiting Time)Proses Poisson Non Homogen
Contoh
Banyaknya gol pemain sepak bola sampai waktu ke t, ’si’kah?
Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Proses Poisson
Proses MenghitungProses Poisson
Waktu Antar Kedatangan (Interarrival Time)Waktu Tunggu (Waiting Time)Proses Poisson Non Homogen
Little o
Fungsi f (h) dikatakan o(h) jika limh→0f (h)
h = 0CONTOH
Untuk interval waktu yang kecil (h > 0)
e−λh = Σ∞n=0(−λh)n
n!
= 1− λh +(−λh)2
2− (−λh)3
3!+ ...
e−λh = 1− λh + o(h)
(tidak ada kejadian pada interval waktu yang kecil), sehingga peluangada kejadian pada interval waktu yang kecil,
1− e−λh = λh + o(h)
Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Proses Poisson
Proses MenghitungProses Poisson
Waktu Antar Kedatangan (Interarrival Time)Waktu Tunggu (Waiting Time)Proses Poisson Non Homogen
Proses Poisson
Suatu proses menghitung N(t), t ≥ 0 dikatakan Proses Poissondengan laju (parameter) λ > 0 jika memenuhi
N(0) = 0
Proses mempunyai kenaikan bebas dan kenaikan stasioner
P(N(h) = 1) = λh + o(h), untuk h interval waktu yang pendek
P(N(h) ≥ 2) = o(h)
Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Proses Poisson
Proses MenghitungProses Poisson
Waktu Antar Kedatangan (Interarrival Time)Waktu Tunggu (Waiting Time)Proses Poisson Non Homogen
Catatan
Maka untuk t ≥ 0 berlaku
Pn(t) = P(N(t + s)− N(s) = n) =(λt)n
n!e−λt, k = 0, 1, 2, ...
adalah peluang bawa ada n kejadian yang terjadi pada interval t.
Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Proses Poisson
Proses MenghitungProses Poisson
Waktu Antar Kedatangan (Interarrival Time)Waktu Tunggu (Waiting Time)Proses Poisson Non Homogen
Catatan
N(t + s)− N(s) ∼ POI(λt)
E(N(t)) = λt dan Var(N(t)) = λt
Laju dari proses (rate) atau mean kejadian per satuan waktu t
λ =E(N(t))
t
Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Proses Poisson
Proses MenghitungProses Poisson
Waktu Antar Kedatangan (Interarrival Time)Waktu Tunggu (Waiting Time)Proses Poisson Non Homogen
Proses Poisson stasioner, maka
P (N(s + t)− N(s) = n) = P (N(t) = n|N(0) = 0) = Pt(t)
untuk sebarang s ≥ 0, t ≥ 0.
Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Proses Poisson
Proses MenghitungProses Poisson
Waktu Antar Kedatangan (Interarrival Time)Waktu Tunggu (Waiting Time)Proses Poisson Non Homogen
Latihan
Pelanggan tiba di toko ’Indomar’ mengikuti PP dengan laju 2 orangper jam. Jam kerja toko pukul 10.00− 18.00.
Tentukan peluang 2 pelanggan datang pada pukul 13.00− 15.00
Tentukan mean dan variansi kedatangan pelanggan selama jamkerja
Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Proses Poisson
Proses MenghitungProses Poisson
Waktu Antar Kedatangan (Interarrival Time)Waktu Tunggu (Waiting Time)Proses Poisson Non Homogen
Panggilan telepon suatu kedai delivery order 14045 mengikuti PPdengan laju 8/jam. Tentukan peluang terdapat 2 panggilan teleponpada setengah jam pertama, diketahui terdapat 5 panggilan teleponpada setengah jam kedua?
Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Proses Poisson
Proses MenghitungProses Poisson
Waktu Antar Kedatangan (Interarrival Time)Waktu Tunggu (Waiting Time)Proses Poisson Non Homogen
Waktu Antar Kedatangan (Interarrival Time)
Berdasarkan proses menghitung N(t), t ≥ 0.
Perhatikan bahwa kejadian - kejadian tersebut dapat terjadi kapan sajadalam interval.
Panjang interval ini disebut dengan waktu antar kedatangan.
Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Proses Poisson
Proses MenghitungProses Poisson
Waktu Antar Kedatangan (Interarrival Time)Waktu Tunggu (Waiting Time)Proses Poisson Non Homogen
Distribusi Waktu Antar Kedatangan
Waktu antar kedatangan Xn, n = 1, 2, ... dari suatu PP adalah salingbebas dan berdistribusi Eksponensial dengan parameter λ
X1,X2,X3, ...Xn ∼ EXP(λ)
dengan,
E(Xn) =1λ
; Var(Xn) =1λ2
Karakteristik: Memory less properties
Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Proses Poisson
Proses MenghitungProses Poisson
Waktu Antar Kedatangan (Interarrival Time)Waktu Tunggu (Waiting Time)Proses Poisson Non Homogen
Waktu Tunggu (Waiting Time)
Waktu menunggu sampai kejadian ke-n,
t1 + (t2 − t1) + (t3 − t2) + ...+ (tn − tn−1)
Jika Sn adalah waktu sampai kejadian ke-n, maka
Sn = X1 + X2 + ...+ Xn, n = 1, 2, ...
Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Proses Poisson
Proses MenghitungProses Poisson
Waktu Antar Kedatangan (Interarrival Time)Waktu Tunggu (Waiting Time)Proses Poisson Non Homogen
Distribusi Waktu Tunggu
PROSES POISSON
N(t) ∼ POI(λt) dan X(n) ∼ EXP(λ)
WAKTU TUNGGU
S(n) = Σnk=1Xn, S0 = 0
Untuk Xn, n = 1, 2, ... saling bebas dan X(n) ∼ EXP(λ), makaS(n) ∼ GAM(λ)
P(Sn ≤ t) =
∫ t
0
(λ(λt)n−1e−λt
(n− 1)!
)dt
Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Proses Poisson
Proses MenghitungProses Poisson
Waktu Antar Kedatangan (Interarrival Time)Waktu Tunggu (Waiting Time)Proses Poisson Non Homogen
Latihan
Segerombolan imigran datang ke suatu wilayah dengan rate λ = 1hari
mengikuti proses Poisson.
Hitung ekspektasi waktu sampai imigran ke-10 tiba?
Berapa peluang waktu tunggu antara kedatangan ke-10 danke-11 lebih dari 2 hari?
Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Proses Poisson
Proses MenghitungProses Poisson
Waktu Antar Kedatangan (Interarrival Time)Waktu Tunggu (Waiting Time)Proses Poisson Non Homogen
The time required to repair a machine is an exponentially distributedrandom variable with mean 1
2 (hours)
What is the probability that a repair time exceeds 12 hour
What is the probability that a repair takes at least 12 12 hours
given that its duration exceeds 12 hours
Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Proses Poisson
Proses MenghitungProses Poisson
Waktu Antar Kedatangan (Interarrival Time)Waktu Tunggu (Waiting Time)Proses Poisson Non Homogen
Misalkan Andi tiba di suatu ’Bank or Bang’ dengan satu ’Teler’. Diamelihat lima orang di bank, satu sedang dilayani oleh ’Teler’ dansisanya sedang antri. Andi bergabung dalam antrian. Jika waktupelayanan berdistribusi eksponensial dengan rate µ. Berapa expectedof time Andi akan menghabiskan waktu di ’Bank or Bang’?
Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Proses Poisson
Proses MenghitungProses Poisson
Waktu Antar Kedatangan (Interarrival Time)Waktu Tunggu (Waiting Time)Proses Poisson Non Homogen
Hubungan Sn dan Nt
Sn ≤ t⇔ N(t) ≥ n
Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Proses Poisson
Proses MenghitungProses Poisson
Waktu Antar Kedatangan (Interarrival Time)Waktu Tunggu (Waiting Time)Proses Poisson Non Homogen
Distribusi Bersyarat Waktu Antar Kedatangan
Distribusi bersyarat waktu antar kedatangan pertama X1, diberikanada kejadian pada waktu [0, t], untuk s ≤ t
P(X1 ≤ s|N(t) = 1) =P(X1 ≤ s,N(t) = 1)
P(N(t) = 1)
=P(N(s) = 1)P(N(t)− N(s) = 0)
P(N(t) = 1)
=P(N(s) = 1)P(N(t − s) = 0)
P(N(t) = 1)
=λse−λse−λ(t−s)
λte−λt =st
Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Proses Poisson
Proses MenghitungProses Poisson
Waktu Antar Kedatangan (Interarrival Time)Waktu Tunggu (Waiting Time)Proses Poisson Non Homogen
Superposisi Proses Poisson
Misalkan proses N1(t), t ≥ 0 juga merupakan proses Poisson denganlaju λ dan µ, maka {N1(t) + N2(t), t ≥ 0} juga merupakan ProsesPoisson dengan laju λ+ µ
Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Proses Poisson
Proses MenghitungProses Poisson
Waktu Antar Kedatangan (Interarrival Time)Waktu Tunggu (Waiting Time)Proses Poisson Non Homogen
Definisi
Proses menghitung N1(t), t ≥ 0 dikatakan PP Non Homogen atau nonstasioner dengan fungsi intensitas λ(t) jika memenuhi,
N(0) = 0
Proses mempunyai kenaikan bebas
P(N(t + h)− N(t) = 1) = λ(t)h + o(h)
P(N(t + h)− N(t) ≥ 2) = o(h)
Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Proses Poisson
Proses MenghitungProses Poisson
Waktu Antar Kedatangan (Interarrival Time)Waktu Tunggu (Waiting Time)Proses Poisson Non Homogen
Proses Poisson homogen mempunyai parameter λ. Proses Poissonnon homogen mempunyai parameter λ(t), λ(t) disebut fungsiintensitas
m(t) =
∫ t
0λ(x)dx
sehingga,
Pk(t) = P(N(t) = k|N(0) = 0)
=[m(t)]ke−m(t)
k!
Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Proses Poisson
Proses MenghitungProses Poisson
Waktu Antar Kedatangan (Interarrival Time)Waktu Tunggu (Waiting Time)Proses Poisson Non Homogen
sehingga,
E[N(t)] = m(t)
Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Proses Poisson
Proses MenghitungProses Poisson
Waktu Antar Kedatangan (Interarrival Time)Waktu Tunggu (Waiting Time)Proses Poisson Non Homogen
Latihan
’McE’ a chicken stand stand that opens at 8 AM. From 8 until 11 AMcustomers seem to arrive, on the average, at steadily increasing ratethat starts with an initial rate of 5 customers per hour 8 AM andreaches a maximum of 20 customers per hours at 11 AM. From 11AM until 1 PM the average rate seems to remain constant at 20customers per hours. However, the average arrival rate then dropssteadily from 1 PM until closing time at 5 PM at which time it has thevalue of 12 customers per hours. If we assume that the numbers ofcustomers arriving at McE’s stand during disjoint time periods areindependent, then what is a good probability model for the preceding?What is the probability that no customers arrive between 8.30 AMand 9.30 AM morning?
Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Proses Poisson
Proses MenghitungProses Poisson
Waktu Antar Kedatangan (Interarrival Time)Waktu Tunggu (Waiting Time)Proses Poisson Non Homogen
Banyaknya pelanggan yang datang ke suatu toko mengikuti PPdengan laju 3 orang perjam
Tentukan nilai harapan jumlah pelanggan yang datang antarapukul 08.00 - 10.00 di suatu pagi.
Tentukan peluang bahwa untuk menunggu datangnya 7pelanggan dibutuhkan waktu lebih dari 2 jam
Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Proses Poisson
Proses MenghitungProses Poisson
Waktu Antar Kedatangan (Interarrival Time)Waktu Tunggu (Waiting Time)Proses Poisson Non Homogen
Penjualan tiket pertunjukan ’Ini Wayang’ mengikuti tiga PP sebagaiberikut
Penjualan harga sebenarnya dengan laju 2/jam
Penjualan tiket harga diskon dengan laju 4/jam
Penjuaalan tiket VIP dengan laju 0.3/jam
Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Proses Poisson
Proses MenghitungProses Poisson
Waktu Antar Kedatangan (Interarrival Time)Waktu Tunggu (Waiting Time)Proses Poisson Non Homogen
1 Waktu harapan hingga penjualan tiket berikutnya2 Waktu harapan hingga penjualan tiket VIP berikutnya3 Peluang bahwa penjualan setelah tiket harga sebenarnya adalah
tiket harga sebenarnya yang lain4 Peluang bahwa tiket VIP akan djual pada 30 menit kedepan5 Peluang bahwa setidaknya 2 dari 3 tiket yang dijual berikutnya
adalah tiket diskon
Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Proses Poisson
Proses MenghitungProses Poisson
Waktu Antar Kedatangan (Interarrival Time)Waktu Tunggu (Waiting Time)Proses Poisson Non Homogen
λ = λTS + λTD + λTV = 6.3, E(T) = ...
E(TV) = ...λTSλ = ...
P(TV <12) = ...
Misalkan N banyaknya tiket harga diskon yang terjual, sehinggaN ∼ B(3, λTD
λ )P(N ≥ 2) = ...
Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Proses Poisson
Proses MenghitungProses Poisson
Waktu Antar Kedatangan (Interarrival Time)Waktu Tunggu (Waiting Time)Proses Poisson Non Homogen
Supermarket buka dari pukul 10.00 - 20.00 Pelanggan datangmengikuti PP non homogen dengan fungsi intensitas:
Hitung rataan kedatangan pelanggan pada waktu kerja
Hitung rataan kedatangan pelanggan pada waktu kerja padapukul 16.00 - 18.00
Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Proses Poisson
Proses MenghitungProses Poisson
Waktu Antar Kedatangan (Interarrival Time)Waktu Tunggu (Waiting Time)Proses Poisson Non Homogen
Misalkan Tk menyatakan waktu yang dibutuhkan (elapsed time) untukklaim - klaim asuransi diproses. T1 menyatakan waktu yangdibutuhkan hingga klaim pertama diproses. Diketahui T1,T2, ... salingbebas dan berdistribusi
f (t) = 0.1e−0.1t, t > 0
t dalam setengah jam. Hitung peluang bahwa setidaknya sebuah klaimakan diproses 5 jam kedepan? Berapa peluang setidaknya 3 klaimdiproses dalam 5 jam?
Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Proses Poisson
Proses MenghitungProses Poisson
Waktu Antar Kedatangan (Interarrival Time)Waktu Tunggu (Waiting Time)Proses Poisson Non Homogen
P(T ≤ 10) = ...
P(N10 ≥ 3) = ...
Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Proses Poisson