Guido BoffettaDipartimento di Fisica Generale

Universita’ di Torino

Il moto Browniano a cavallotra reversibilita’ ed irreversibilita’

Lo sviluppo della fisica porta ad unificare la visione del mondo:

* terra-cielo: gravitazione universale (Newton, 1687)* elettricita’-magnetismo: elettromagnetismo (Maxwell, 1873)* reversibile-irreversibile: teoria cinetica (Boltzmann, 1872)* elettromagnetismo-forza debole: modello elettrodebole

(Glashow, Weinberg, Salam, 1967)* grandi unificazioni ....

Una singola teoria e’ in grado di spiegare un maggior numero di fenomeni

Reversibile-irreversibile

A meta’ dell’800 la fisica era divisa su due fronti indipendenti:

fenomeni reversibili(meccanica, elettromagnetismo)

fenomeni irreversibili(termodinamica)

reversibile = direzione del tempo non privilegiata

Termodinamica: la fisica dell’irreversibile

II principio della termodinamica (Clausius, ~1860):

“Il calore non fluisce spontaneamenteda un corpo freddo ad uno caldo”

ovvero, esiste una variabile termodinamica, l’entropia che non diminuisce

PROBLEMA:

- come e’ possibile che un sistema macroscopico, composto daatomi che obbediscono a leggi reversibili (meccanica di Newton),si comporti in modo irreversibile?

- quale e’ l’origine dell’irreversibilita’?

Teoria cinetica: la meccanica della termodinamica

Boltzmann, Gibbs, Maxwell (1870-1900):e’ possibile costruire la termodinamica(cioe’ ritrovarne le leggi) a partire dalleleggi della meccanica Newtoniana.L’origine dell’irreversibilita’ e’ statistica,nel grande numero di atomi (o molecole)coinvolti.

Numero di AvogadroNumero di molecole in una moledi sostanza (=numero di grammi

pari al peso molecolare)NA = 6 X 1023

L’entropia e’ una misura del disordinedel sistema, che spontaneamente nonpuo’ che aumentare

L’entropia e’ una misura del disordine del sistema,che spontaneamente non puo’ che aumentare

Esempio di processo irreversibile: espansione di un gas

Inizialmente il gas si trova a sx e il contenitore a dx e’ vuoto

Aprendo il rubinetto, il gas si dispone in entrambi i contenitori(egual pressione)

Chiudendo nuovamente il rubinetto (reversibile) il gas non tornaindietro (irreversibile)

Interpretazione microscopica dell’espansione di un gas

A causa degli urti le molecole si muovono caoticamente nel recipiente.

La probabilita’ di trovare una molecola a sx (o dx) e’ 1/2

Se il moto delle molecole e’ indipendente, la probabilita’ di trovaren delle N molecole a sx vale

p(n) 12N

Nn

N !2N n!(N n)!

Per N grandi questa probabilita’ diviene piccolissima se n≠N/2

Espansione di un “gas” di 9 molecole

La probabilita’ che le palline tornino nella scatola di sx vale p=1/29≈0.002

L’”entropia” puo’ descrescere

Espansione di un “gas” di 512 molecole

La probabilita’ che le palline tornino nella scatola di sx vale p=1/2512≈10-154

Nel caso di un gas abbiamo N≈1023 molecole e quindi la probabilita’di ritorno diviene estremamente piccola

Boltzmann (1896): il ritorno di un cm3 di gas nel contenitore di sx non e’impossibile, ma il tempo medio di attesa vale circa 101019 anni

Teoria cinetica e moto Browniano

Malgrado gli innegabili successi, la teoria cinetica di Boltzmannincontra resistenze a causa del “paradosso dell’irreversibilita’”(o paradosso di Loschmidt: spiegare l’irreversibilita’ termodinamicaa partire dal moto reversibile delle molecole).

Ancora all’inizio del ‘900 la natura atomica della materianon e’ completamente accettata (“gli atomi non si vedono”, Mach).

Il moto Browniano permette di costruire un ponte tra il mondomicroscopico e quello macroscopico, tra il reversibile e l’irreversibile.

molecoleNewtoniane

termodinamicairreversibile

moto browniano

Il moto Browniano

Robert Brown (1773-1858)

Moto disordinato ed incessante di granellidi polline osservato casualmente al microscopiodal botanico scozzese R.Brown nel 1827.

Con una serie di esperimenti Brown esclude il carattere biologico del moto.

Cosa si vede al microscopio

nanoparticelle (circa 90 nm) in acqua

Cosa si vede al microscopio

particelle piu’ grandi si muovono meno

2005: anno mondiale della Fisica

Nel centenario del 1905, annus mirabilis della della fisica,che vide la formulazione da parte di Albert Einstein dellateoria della relatività ristretta, dell'ipotesi del quanto diluce e del moto browniano, l'UNESCO ha proclamato il 2005Anno Mondiale della Fisica.

Gli atomi: un’idea vecchia

Leucippo

L’idea che la materia sia composta da unita’ indivisibili nasce con Leucippo e Democrito (450 BC).

L’atomismo viene poi tramandato da Epicuro(300 BC) e poi Lucrezio (100 BC).

Atomismo ed etica: vincere la paura dellamorte e assumersi le proprie responsabilita’

Epicuro

San Girolamosu Lucrezio

Einstein ed il moto Browniano

Einstein vuole trovare una dimostrazione della realta’ degli atomi.

Un grano di polline immerso nel liquido si comportacome una grande molecola e puo’ fungere da “microscopio”per vedere il moto degli atomi previsto da Boltzmann.

La teoria del moto Browniano (1905)

Due tipi di forza agenti sul grano

* forza di attrito col fluido (Stokes) Fa=-6πaμV* forza dovuta agli urti con le molecole Fu

VFa

Fu

F = ma

La teoria del moto Browniano (1905)

Partendo da questo modello meccanico semplice e facendol’ipotesi fondamentale che il grano sia in equilibrio termicocon le molecole, Einstein riesce a trovare una previsione per cui

la distanza percorsa dal grano e’ proporzionalealla radice quadrata del tempo:

D2 kT6R

tT: temperaturaμ: viscosita’ del fluidoR: dimensioni grano

La velocita’ di diffusione e’ inversamente proporzionale alle dimensioni:i grani diffondono molto piu’ lentamente delle molecolee possono essere osservati

J.Perrin: conferma sperimentale

A partire dal 1908, Jean Perrin esegue una seriedi esperimenti quantitativi sul moto Browniano checonfermano la legge di Einstein della crescita linearedell’area (e che gli faranno ottenere il Nobel nel 1926)

Con la teoria di Einstein e gli esperimentidi Perrin la natura atomica della materia -

e la teoria cinetica - viene accettata.

Gli esperimenti di Perrin permettonoanche una misura precisa del numerodi Avogadro (numero di molecole inuna mole di gas)

tracce di particelle colloidali di raggio0.52 μm misurate da Perrin

Moto Browniano e diffusione

La legge di Einstein implica che l’area di una macchia di particelle(es. macchia di colorante) cresca linearmente nel tempo

D2 kT6R

t

La distribuzione dellaconcentrazione e’ Gaussiana

simulazione numerica del motoBrowniano di 10000 particelle

Un semplice modellodi moto Browniano

Il piu’ semplice modello di moto Browniano e’ il random walk in 1 dimensione

Ad ogni step la pallina salta a sx o dx di un passo con probabilita’ 1/2

Sia ui=±1 il salto al tempo i, la posizione dopo n salti sara’

x(n) uii1

n

0

x(n) u1 u2 ... un uii1

n

Il valor medio, essendo =0 sara’ ovviamente

mentre il quadrato dello spostamento (valore quadratico medio)

x2 (n) uii1

n

2

ui2

i1

n

n

cresce linearmente con il numero di passi (cioe’ col tempo)

Universalita’ del moto Browniano

Il comportamento diffusivo del random walk e’ una conseguenzadel teorema del limite centrale che asserisce che la somma di ungrande numero di variabili casuali indipendenti (i salti) tende aduna distribuzione Gaussiana con larghezza che cresce in mododiffusivo.

Pertanto non sorprende che il comportamento diffusivo venga osservatoin molti sistemi fisici diversi ove ci sia una qualche forma di “rumore”che genera le fluttuazioni casuali

Il moto Browniano oggi

In confronto con la relativita’ e con l’effetto fotoelettrico, il lavorodi Einstein sul moto Browniano puo’ sembrare minore (Einstein stessonegli ultimi anni dice che questo lavoro ha avuto poche implicazioni)

In realta’, con lo studio del moto Browniano nasce la teoria delruolo delle fluttuazioni casuali nei sistemi fisici che continua atrovare applicazioni in molti ambiti:

• modelli biologici

• teoria dei giochi

• fluidodinamica

• modelli finanziari

Moto Browniano e modelli finanziari

Louis Bachelier nel 1900 introduce un modello di moto Brownianoper spiegare le fluttuazioni delle stock options.E’ primo esempio di uso della matematica per l’analisi dei mercati finanziari.

L’idea alla base e’ che il prezzo (il grano) varia per effetto ditante piccole cause indipendenti (molecole).

Il modello di Bachelier viene poiripreso da Black e Scholes cheottengono il Nobel per l’economianel 1997

L’eredita’ del lavoro di Einstein

Le teorie della relativita’ e dei quanti di luce fecerofare alla fisica un grande balzo concettuale

A 100 anni di distanza, il lavoro sul moto Browniano appareuna rivoluzione piu’ sottile: non un grande salto, ma un lentodiffondere in nuovi campi sconosciuti della fisica.