Il Pendolo semplice

Galileo Galilei intuì la caratteristica essenziale dei moti pendolari nel 1583, probabilmente osservando l'oscillazione di un lampadario nel duomo di Pisa: la durata di quelle lente oscillazioni, che misurò con il battito del polso, rimaneva immutata, nonostante la loro ampiezza diminuisse sempre di più. Gli esperimenti al riguardo lo condussero a formulare il principio dell'isocronismo delle piccole oscillazioni del pendolo: se il pendolo viene spostato (al massimo) di qualche grado dalla verticale, l'oscillazione è indipendente dall'ampiezza.

Si definisce pendolo semplice (o pendolo matematico), un sottile filo inestensibile e di massa trascurabile, vincolato all’estremità superiore ad un supporto fisso e recante a quella inferiore una massa puntiforme. Se il corpo che realizza la "massa puntiforme" ha dimensioni estese, il baricentro del sistema coincide col baricentro del corpo. Spostando il corpo dalla posizione di equilibrio e poi abbandonandolo, il suo baricentro oscillerà lungo una traiettoria che è un arco di circonferenza di raggio l, detta lunghezza del pendolo. Se l’angolo descritto dal filo nello spostamento iniziale è molto piccolo, non superiore ai 3 gradi, le oscillazioni sono armoniche. Il loro periodo T dipende soltanto dalla lunghezza l, e dalla accelerazione di gravità g, secondo la relazione:

Modello di un pendolo semplice

La forza che genera il moto e' :

Fl

xmgmgmgsen

ponendo: 

kxFkl

mg

Si evince così che il moto di un pendolo e' un moto armonico  con periodo

g

l

l

mgm

k

mT 222

La nostra esperienzaLa nostra esperienza

La nostra esperienza si prefigge lo scopo di convalidare la legge del pendolo descritta nelle diapositive precedenti. L’apparato realizzato è visibile nella foto a lato. Come si può notare sono stati usati materiali presenti nel laboratorio per realizzare il pendolo, in modo che oscillasse su un piano fisso, e uno smart timer per la misura del periodo. Sono state effettuate 120 rilevazioni del periodo.L’analisi delle misure è riportata nel foglio excel periodo.xls, dove è riportata anche la misura del periodo in funzione della lunghezza. Come si nota è stata anche rilevata la Gaussiana relativa a questa prima esperienza, confermando così la natura casuale degli errori e la validità della misura effettuata. Diamo ora una breve descrizione della curva di Gauss.

La curva Gaussiana corrisponde a una funzione matematica di tipo esponenziale, nota come funzione di Gauss, la cui forma è

Dove σ è la deviazione standard

Curva di Gauss

La curva di Gauss ottenuta nella nostra esperienza.

La Gaussiana rilevata nella nostra La Gaussiana rilevata nella nostra esperienzaesperienza

Gaussiana

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1,291 1,2915 1,292 1,2925 1,293

Gaussiana

La misura di gLa misura di g

Dai dati ottenuti abbiamo quindi calcolato l’accelerazione di gravità g, ottenendo un valore di g = 9,8133 m/s2. Valore più che accettabile, con un errore di g=0,029 m/s2 circa.

Periodo in funzione della lunghezzaPeriodo in funzione della lunghezza

L’ultima esperienza ha riguardato la verifica della variazione del periodo del pendolo con la lunghezza. I risultati ottenuti sono visibili nel foglio pendolo.xls, dove è riportato il grafico e la retta di regressione lineare per validare l’esperienza. Anche stavolta i risultati ottenuti sono più che soddisfacenti. Di seguito alcuni cenni sul metodo dei mini quadrati.

Supponiamo di avere rilevato una serie di misure che mettano in corrispondenza una variabile dipendente (y) con una variabile

indipendente (x) e supponiamo inoltre che le tra le due variabili esista una relazione di dipendenza lineare:

y = m x + q

Poniamo:

Si può dimostrare allora che i valori di m e q che rendono minima la somma dei quadrati degli scarti sono dati rispettivamente da:

i i ii xxN 22 )(:

i i iiii i

yxyxNm

i i i iii ii i

yxxyxq

2

Le incertezze dei parametri:

2

2

N

sy i i

Nym

i i

xyq

2

Progetto di fisica laboratoriale a cura del professore Marcello Falciglia