Il ruolo delle serie Il ruolo delle serie nello sviluppo nello sviluppo

del calcolo infinitesimaledel calcolo infinitesimale

A cura diA cura di

•Silvia FerrariSilvia Ferrari

•Rachele LoffredoRachele Loffredo

•Enrico ManfucciEnrico Manfucci

•Micaela SarbuMicaela Sarbu

Paradosso di Achille e la tartaruga:Paradosso di Achille e la tartaruga:

“ “ Achille gareggia con una tartaruga che parte in posizione Achille gareggia con una tartaruga che parte in posizione

avvantaggiata. Per quanto Achille possa essere veloce avvantaggiata. Per quanto Achille possa essere veloce

non potrà mai superare la tartaruga , non potrà mai superare la tartaruga ,

per quanto essa possa essere lenta. per quanto essa possa essere lenta.

Quando Achille raggiungerà la posizione iniziale della Quando Achille raggiungerà la posizione iniziale della

tartaruga, questa sarà andata avanti coprendo una certa tartaruga, questa sarà andata avanti coprendo una certa

breve distanza; e quando Achille avrà attraversato breve distanza; e quando Achille avrà attraversato

questa breve distanza, la tartaruga si sarà spostata questa breve distanza, la tartaruga si sarà spostata

un po’ più in avanti; e così via il processo continua un po’ più in avanti; e così via il processo continua

indefinitamente, con il risultato che il veloce indefinitamente, con il risultato che il veloce Achille Achille

non potrà non potrà maimai superare la lenta tartaruga superare la lenta tartaruga.”.”

E’ noto che il precursore delE’ noto che il precursore del calcolo calcolo infinitesimale infinitesimale è è Zenone di EleaZenone di Elea (V sec. a.C.)(V sec. a.C.)

Sappiamo che oggi Achille raggiungerà la tartarugaSappiamo che oggi Achille raggiungerà la tartaruga

quando avrà percorso la somma degli infiniti tratti quando avrà percorso la somma degli infiniti tratti

di strada e che tale somma è un numero finito, di strada e che tale somma è un numero finito,

cioè: cioè: 100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001

+ 0,0001 + …=111,1111+ 0,0001 + …=111,1111

Nell’argomentazione di Zenone Nell’argomentazione di Zenone

c’è l’implicita presenza dellac’è l’implicita presenza della serie geometrica serie geometrica

(con q<1 e quindi(con q<1 e quindi convergente convergente).).

Zenone, tuttavia, non è in grado di calcolarne Zenone, tuttavia, non è in grado di calcolarne

la somma: il suo argomento è erroneo propriola somma: il suo argomento è erroneo proprio

perché non considera che unaperché non considera che una somma somma

di infiniti addendidi infiniti addendi può essere,può essere,

sotto alcune ipotesi,sotto alcune ipotesi, finitafinita

Problemi fondamentali Problemi fondamentali

della tradizione geometrica:della tradizione geometrica:

1.1. Calcolo di aree e volumi di figure piane e solideCalcolo di aree e volumi di figure piane e solide

2.2. Quadratura del cerchio e della parabolaQuadratura del cerchio e della parabola

Per risolvere il primo problema si utilizzava Per risolvere il primo problema si utilizzava

spessospesso il il METODO DI ESAUSTIONE,METODO DI ESAUSTIONE,

già noto adgià noto ad Eudosso Eudosso (408-053 a.C.) ed(408-053 a.C.) ed Euclide Euclide

(300-? a.C.), che raggiunse la massima fioritura(300-? a.C.), che raggiunse la massima fioritura

con con ARCHIMEDEARCHIMEDE (287-212 a.C.).(287-212 a.C.).

Archimede calcola Archimede calcola l’area del segmento parabolicol’area del segmento parabolico

dimostrando che dimostrando che è iè i 4/3 del triangolo inscritto4/3 del triangolo inscritto

avente la stessa base e la stessa altezza avente la stessa base e la stessa altezza

del segmento parabolico.del segmento parabolico.

4433

Noi sappiamo che si può costruire la serieNoi sappiamo che si può costruire la serie

0 4

1

hhTS

T3

4T

4

11

4

11

limT4

1limS

n

n

1n

0hhn

quindi quindi

ArchimedeArchimede, che aristotelicamente evita l’infinito in atto, , che aristotelicamente evita l’infinito in atto,

considera un numero finito di termini della serie, un considera un numero finito di termini della serie, un

numero però alto a piacere, così numero però alto a piacere, così

che che

possa differire da S di poco quanto si vuole. possa differire da S di poco quanto si vuole.

Archimede dice che addizionando a questa Archimede dice che addizionando a questa

il termineil termine

si ottiene si ottiene

1n32

1n

0hh 4

T...

4

T

4

T

4

TT

4

T

143

1n

T

T3

4

Ben presto il metodo di esaustione mostrò i suoi Ben presto il metodo di esaustione mostrò i suoi

LIMITILIMITI, soprattutto perchè esso è un metodo di , soprattutto perchè esso è un metodo di

dimostrazione più che di scoperta. dimostrazione più che di scoperta.

Consente di dimostrare rigorosamente Consente di dimostrare rigorosamente

ciò che è stato, in qualche modo, intuito. ciò che è stato, in qualche modo, intuito.

Ma come arrivare a prevedere tale conclusione?Ma come arrivare a prevedere tale conclusione?

Nacque così la necessità di una trovare una Nacque così la necessità di una trovare una

scorciatoia che consentisse di evitare le prolisse scorciatoia che consentisse di evitare le prolisse

dimostrazioni basate sul procedimento di esaustione. dimostrazioni basate sul procedimento di esaustione.

Sotto questa spinta cominciarono ad entrare in Sotto questa spinta cominciarono ad entrare in

geometria geometria CONSIDERAZIONI INFINITESIMALICONSIDERAZIONI INFINITESIMALI. .

Il primo ad adottare questo nuovo punto di vista fu :Il primo ad adottare questo nuovo punto di vista fu :

JOHANNES KEPLERJOHANNES KEPLER (1571- 1630).(1571- 1630).

Nell’ Nell’ Astronomia NovaAstronomia Nova del 1609, del 1609,

erano presenti le sue prime leggi planetarie:erano presenti le sue prime leggi planetarie:

1.1. i pianeti si muovono attorno al Sole in orbite i pianeti si muovono attorno al Sole in orbite

ellittiche di cui il Sole occupa uno dei fuochiellittiche di cui il Sole occupa uno dei fuochi

2.2. il raggio vettore che congiunge un pianeta con il il raggio vettore che congiunge un pianeta con il

Sole copre aree uguali in tempi ugualiSole copre aree uguali in tempi uguali

Egli trattava i problemi relativi all’ area come se essa Egli trattava i problemi relativi all’ area come se essa

fosse formata da fosse formata da triangoli infinitamente piccolitriangoli infinitamente piccoli con un con un

vertice nel Sole e gli altri due vertici in punti vertice nel Sole e gli altri due vertici in punti

infinitamente viciniinfinitamente vicini giacenti sull’orbita. giacenti sull’orbita.

Per calcolare Per calcolare l’area di un cerchiol’area di un cerchio si osserva che : si osserva che :

le altezze dei le altezze dei triangoli infinitamentetriangoli infinitamente sottili sono sottili sono

uguali al raggio e la uguali al raggio e la

somma delle infinite basi, somma delle infinite basi, infinitamente infinitamente

piccolepiccole, è uguale alla circonferenza. , è uguale alla circonferenza.

Si indicano con :Si indicano con :

r r le altezze le altezze

le basile basi,...b,...,b,b n21

Allora, si ha che Allora, si ha che l’AREA DEL CECHIOl’AREA DEL CECHIO è : è :

rC2

1...)b...bb(r

2

1...rb

2

1...rb

2

1rb

2

1n21n21

In modo analogo considerava il In modo analogo considerava il volume di una sferavolume di una sfera

come la somma dei volumi dei come la somma dei volumi dei piccoli conipiccoli coni con con

vertice nel centro della sfera e base sulla superficie. vertice nel centro della sfera e base sulla superficie.

Dimostrava, poi, che: Dimostrava, poi, che:

il volume della sfera è uguale il volume della sfera è uguale

ad un terzo del raggio per l’area della superficie.ad un terzo del raggio per l’area della superficie.

L’essenza del ragionamento di Keplero è L’essenza del ragionamento di Keplero è

l’identificazione delle aree curvilinee e dei volumi con l’identificazione delle aree curvilinee e dei volumi con la la

somma di un numero infinito di elementi infinitesimi somma di un numero infinito di elementi infinitesimi

della stessa dimensionedella stessa dimensione

Successivamente Successivamente FERMATFERMAT (1601-1665), (1601-1665),

elaborò un sistema per il elaborò un sistema per il calcolo dell’area calcolo dell’area

sottesa ad una curvasottesa ad una curva che faceva uso di una che faceva uso di una

somma infinita di aree di rettangolisomma infinita di aree di rettangoli..

• Data la curva , con n naturale, si voglia Data la curva , con n naturale, si voglia

trovare trovare l’area sottesa alla curval’area sottesa alla curva nell’intervallo fra x=0 e nell’intervallo fra x=0 e

x=a.x=a.

• Fermat suddivideva l’intervallo compreso fra x=0 e Fermat suddivideva l’intervallo compreso fra x=0 e

x=a in un numero x=a in un numero infinito di sottointervalliinfinito di sottointervalli , ,

prendendo i punti aventi le ascisse a, , , , … prendendo i punti aventi le ascisse a, , , , …

dove E era una quantità minore di uno. dove E era una quantità minore di uno.

nxy

aE 2aE 3aE

Da questi punti tracciava le ordinate alla curva e Da questi punti tracciava le ordinate alla curva e

quindi otteneva un’approssimazione dell’area quindi otteneva un’approssimazione dell’area

compresa sotto la curva per mezzo di rettangoli. compresa sotto la curva per mezzo di rettangoli.

Le aree dei successivi rettangoli circoscritti, a Le aree dei successivi rettangoli circoscritti, a

cominciare dal più grande, erano date dai termini cominciare dal più grande, erano date dai termini

della progressione geometricadella progressione geometrica

, , , , , , ……)aEa(an )aEaE(Ea 2nn )aEaE(Ea 32n2n

n2

1n

1n

1n1iiin

0i

n

E...EE1

a

E1

)E1(a)aEaE(Ea

La somma all’infinito di questi termini è:La somma all’infinito di questi termini è:

Con il tendere di E ad 1, i rettangoli diventano sempre Con il tendere di E ad 1, i rettangoli diventano sempre

più più sottilisottili, di conseguenza la somma delle aree dei , di conseguenza la somma delle aree dei

rettangoli si avvicina rettangoli si avvicina all’area sottesa dalla curvaall’area sottesa dalla curva. .

In particolare per E=1 otteniamo che la somma della In particolare per E=1 otteniamo che la somma della

serie è che è proprio l’area cercata serie è che è proprio l’area cercata 1

1

n

a n

Fermat estendeva Fermat estendeva

questo procedimento questo procedimento

anche per n frazionario e anche per n frazionario e

per n negativo per n negativo

(escluso n=-1).(escluso n=-1).

A risolvere il problema di Fermat, che non A risolvere il problema di Fermat, che non

riusciva ad estendere il suo procedimento ad riusciva ad estendere il suo procedimento ad

n=-1, ci pensò n=-1, ci pensò GREGORIO DI SAN VINCENZOGREGORIO DI SAN VINCENZO

(1584-1667) nell’opera (1584-1667) nell’opera ““Opus Geometriche Opus Geometriche

quadraturae circuli et sectionum coniquadraturae circuli et sectionum coni”” (1647). (1647).

In quest’opera pose le basi della In quest’opera pose le basi della connessioneconnessione

tra l’iperbole equilatera e tra l’iperbole equilatera e

la funzione logaritmica.la funzione logaritmica.

Con il metodo di esaustione, dimostrò che se lungo l’asse Con il metodo di esaustione, dimostrò che se lungo l’asse

delle x si segnava a partire da x=a una serie di punti in modo delle x si segnava a partire da x=a una serie di punti in modo

che gli intervalli compresi fra di essi che gli intervalli compresi fra di essi crescessero in crescessero in

proporzione geometricaproporzione geometrica, e se da questi punti si tracciavano le , e se da questi punti si tracciavano le

ordinate all’iperbole, allora le aree delimitate dalla ordinate all’iperbole, allora le aree delimitate dalla

curva e dalle ordinate successive erano uguali . l’equivalente curva e dalle ordinate successive erano uguali . l’equivalente

del nostro:del nostro:

x

1y

b

a

alnblndxx

1

BLAISE PASCALBLAISE PASCAL (1623-1662) ottenne lo stesso (1623-1662) ottenne lo stesso

risultato di Fermat relativo all’area sottesa dalla risultato di Fermat relativo all’area sottesa dalla

curva di equazione , partendo però da un curva di equazione , partendo però da un

problema differente: problema differente: “la somma delle m-esime “la somma delle m-esime

potenze dei primi n interi consecutivi”.potenze dei primi n interi consecutivi”.

nxy

)1n()1n(iC...iCiC 1mm,1m

1m2,1m

m1,1m

a nn

n

adxx

0

1

1

La formula che trovò Pascal fu quella che oggi La formula che trovò Pascal fu quella che oggi

scriveremmo:scriveremmo:

dove le somme si intendono prese per valori di i dove le somme si intendono prese per valori di i

che vanno da 1 a n.che vanno da 1 a n.

Da questa formula Pascal trovò appunto il Da questa formula Pascal trovò appunto il

risultato di Fermat: risultato di Fermat:

Il primo matematico che diede un’impostazione Il primo matematico che diede un’impostazione

generale alla generale alla teoria degli indivisibiliteoria degli indivisibili fu il frate fu il frate

BONAVENTURA CAVALIERI BONAVENTURA CAVALIERI (1598-1647), discepolo e (1598-1647), discepolo e

corrispondente di Galileo. La "Geometria" di Cavalieri corrispondente di Galileo. La "Geometria" di Cavalieri

segna un nuovo punto di partenza e dà nuovo slancio segna un nuovo punto di partenza e dà nuovo slancio

alal problema delle quadratureproblema delle quadrature..

Tra i risultati più interessanti vi è il noto Tra i risultati più interessanti vi è il noto ““principio di principio di

CavalieriCavalieri””, che afferma: , che afferma: ““se due figure solide A e B , se due figure solide A e B ,

comprese tra due piani paralleli, sono tali che ogni comprese tra due piani paralleli, sono tali che ogni

piano parallelo a questi tagli su esse sezioni che piano parallelo a questi tagli su esse sezioni che

stanno sempre in un dato rapporto, allora anche i stanno sempre in un dato rapporto, allora anche i

volumi di A e B stanno in questo rapportovolumi di A e B stanno in questo rapporto”.”.

Il metodo di Cavalieri suscita reazioni Il metodo di Cavalieri suscita reazioni

contrastanti: alcuni lo rifiutano in nome degli contrastanti: alcuni lo rifiutano in nome degli

antichi, altri lo accettano e cercano anche di antichi, altri lo accettano e cercano anche di

migliorarlo.migliorarlo.

PIETRO MENGOLIPIETRO MENGOLI (1625-1686), discepolo di (1625-1686), discepolo di

Cavalieri, nel 1672 affrontò Cavalieri, nel 1672 affrontò il “il “Problema della Problema della

quadratura del circolo”quadratura del circolo”, in cui continuava gli studi , in cui continuava gli studi

sul metodo degli indivisibili e sulle aree sottese sul metodo degli indivisibili e sulle aree sottese

dalle iperboli. In dalle iperboli. In

particolare imparò a trattare tali problemi particolare imparò a trattare tali problemi

servendosi delle servendosi delle serie infiniteserie infinite..

JOHN WALLISJOHN WALLIS (1617-1703) tentò di generalizzare la teoria (1617-1703) tentò di generalizzare la teoria

cavalieriana . cavalieriana .

Nell’ Nell’ Arithmetica infinitorumArithmetica infinitorum del 1655, affrontò del 1655, affrontò il metodo il metodo

degli indivisibili di Cavalieridegli indivisibili di Cavalieri, tipicamente geometrico, , tipicamente geometrico, da da

un un altroaltro punto di vista punto di vista totalmente totalmente aritmeticoaritmetico..

Confrontando i quadrati degli indivisibili di un triangolo Confrontando i quadrati degli indivisibili di un triangolo

con quelli di un parallelogramma, si prende la lunghezza con quelli di un parallelogramma, si prende la lunghezza

del primo indivisibile del triangolo uguale a zero, quella del primo indivisibile del triangolo uguale a zero, quella

del secondo uguale a uno, quella del terzo uguale a tre e del secondo uguale a uno, quella del terzo uguale a tre e

così via, fino ad n-1 se gli indivisibili sono n. Mentre la così via, fino ad n-1 se gli indivisibili sono n. Mentre la

lunghezza degli indivisibili del parallelogramma sono tutti lunghezza degli indivisibili del parallelogramma sono tutti

uguali ad n.uguali ad n.

Se gli indivisibili sono n+1 il rapporto dei loro Se gli indivisibili sono n+1 il rapporto dei loro

quadrati è alloraquadrati è allora

Per si ha che Per si ha che

quindiquindi

questo equivaleva a dire chequesto equivaleva a dire che

n6

1

3

1

n...nn

n...210

n)1n(

)1i(

222

2222

2

1n

1i

2

n 0n6

1

3

1

n)1n(

)1i(n

2

1n

1i

2

3

1dxx

1

0

2

Wallis fu criticato dai matematici del suo tempo, tra cui Wallis fu criticato dai matematici del suo tempo, tra cui

Fermat, per la mancanza di rigore del suo metodoFermat, per la mancanza di rigore del suo metodo

JAMES GREGORYJAMES GREGORY (1638-1675) studiò dal 1664 al (1638-1675) studiò dal 1664 al

1668 in Italia con Stefano Degli Angeli (1623-1668 in Italia con Stefano Degli Angeli (1623-

1697), qui grazie ai lavori sulle quadrature di 1697), qui grazie ai lavori sulle quadrature di

spirali, parabole e iperboli generalizzate di Degli spirali, parabole e iperboli generalizzate di Degli

Angeli e ai lavori di Mengoli, si rese conto delle Angeli e ai lavori di Mengoli, si rese conto delle

grandi potenzialità grandi potenzialità degli sviluppi in seriedegli sviluppi in serie delle delle

funzioni e di processi infiniti.funzioni e di processi infiniti.

Estese l’algoritmo archimedeo alla Estese l’algoritmo archimedeo alla quadratura quadratura

di ellissi e di iperboli. di ellissi e di iperboli.

Considerò un triangolo inscritto di area e Considerò un triangolo inscritto di area e

un quadrilatero circoscritto di area ; un quadrilatero circoscritto di area ;

raddoppiando successivamente il numero dei lati raddoppiando successivamente il numero dei lati

di queste figure formò la serie di queste figure formò la serie

, , , , , , …, , , , , , …

e mostrò che era la media geometrica dei due termini e mostrò che era la media geometrica dei due termini

immediatamente precedenti e la media armonica. immediatamente precedenti e la media armonica.

Ottenne così due serie, Ottenne così due serie,

quella delle aree inscrittequella delle aree inscritte e e quella delle aree circoscrittequella delle aree circoscritte, ,

entrambe convergenti verso l’area della conica. entrambe convergenti verso l’area della conica.

Di queste due serie fece uso per ottenere buone Di queste due serie fece uso per ottenere buone

approssimazioni di settori ellittici ed iperboliciapprossimazioni di settori ellittici ed iperbolici. .

0a

0A

0a 0A 1a 2a1A 2A

In Italia aveva appreso che: In Italia aveva appreso che: “l’area sottostante alla “l’area sottostante alla

curva delimitata da x=0 a x=x era data curva delimitata da x=0 a x=x era data

da arctan x; una semplice divisione trasformavada arctan x; una semplice divisione trasformava

in ” in ”

Era dunque immediatamente evidente dalla formula Era dunque immediatamente evidente dalla formula

di Cavalieri che di Cavalieri che

Questo risultato è noto ancor oggi come Questo risultato è noto ancor oggi come

““serie di Gregory”.serie di Gregory”.

2x1

1y

2x1

1

...xxx1 642

...7

x

5

x

3

xxxarctan

x1

dx 753x

02

La teoria degli indivisibiliLa teoria degli indivisibili servì a risolvere servì a risolvere

definitivamente il definitivamente il 1° problema1° problema della tradizione della tradizione

geometrica, quello del geometrica, quello del calcolo calcolo

delle aree e dei volumi.delle aree e dei volumi.

Ora l’attenzione si rivolse nuovamente alla Ora l’attenzione si rivolse nuovamente alla

ricerca della soluzione del ricerca della soluzione del 2° problema2° problema, quello , quello

della della quadratura del cerchio e dell’iperbolequadratura del cerchio e dell’iperbole. .

QUADRATURA DEL CERCHIOQUADRATURA DEL CERCHIO

Inizialmente si cercavano delle approssimazioni sempre Inizialmente si cercavano delle approssimazioni sempre

più esatte:più esatte:

•VAN EYCKE (Simon du Chesne)VAN EYCKE (Simon du Chesne) diede a diede a ππ prima il valore prima il valore

e poi il valore (entrambi errati).e poi il valore (entrambi errati).

• LUDOLPH VAN CEULENLUDOLPH VAN CEULEN (1540- 1610) applicò il metodo di (1540- 1610) applicò il metodo di

Archimede ad un poligono di lati ed ottenne un Archimede ad un poligono di lati ed ottenne un

valore di valore di ππ con con 35 decimali esatti35 decimali esatti..

2)22/39( 8300

622

•JOHN WALLISJOHN WALLIS ricavò il prodotto finito ricavò il prodotto finito

•CHRISTIAAN HUYGENSCHRISTIAAN HUYGENS (1629-1703)dimostrò le (1629-1703)dimostrò le

disuguaglianze disuguaglianze

dove = area del poligono di k lati dove = area del poligono di k lati

inscritto al cerchio unitario inscritto al cerchio unitario = area del poligono di k lati = area del poligono di k lati circoscritto al cerchio unitario circoscritto al cerchio unitario

...866442

...775533

4

nnnn ciii 3

1

3

1

3

42

ki

kc

•GREGORYGREGORY ottenne l’area del cerchio come limite delle ottenne l’area del cerchio come limite delle

successioni precedenti successioni precedenti {{ }} e e {{ }}, , cioè cioè

Area Cerchio = lim Area Cerchio = lim { }{ }= lim = lim { }{ }

utilizzandoutilizzando le le seguentiseguenti relazioni relazioni

•GOTTFRIED W. LEIBNIZGOTTFRIED W. LEIBNIZ (1646-1716) sviluppo in serie (1646-1716) sviluppo in serie

In quest’occasione dimostrò il In quest’occasione dimostrò il “criterio di convergenza “criterio di convergenza

della serie a segni alterni”della serie a segni alterni”

ki kc

ki kc

nnn cii 2

nnn icc

i

22

11

2

1

...7

1

5

1

3

11

4

QUADRATURA DELL’IPERBOLEQUADRATURA DELL’IPERBOLE

•NICOLAUS MERCATORNICOLAUS MERCATOR (1620- 1687) determina l'area (1620- 1687) determina l'area

della della porzione di spazio iperbolico Iporzione di spazio iperbolico I delimitata da : delimitata da :

- l'iperbole equilatera  - l'iperbole equilatera 

- l’asse delle ordinate x = 0- l’asse delle ordinate x = 0

- la retta x = A con A>0- la retta x = A con A>0

Sfruttando la serie geometrica nota fin dall’ antichitàSfruttando la serie geometrica nota fin dall’ antichità

xy

1

1

Dividiamo l'intervallo Dividiamo l'intervallo [0,A][0,A] in in innumerevoli partiinnumerevoli parti

ugualiuguali, che indichiamo con , che indichiamo con aa , e siano , e siano a, 2a, ..., Aa, 2a, ..., A i i

punti di suddivisione, ai quali corrispondono gli infiniti punti di suddivisione, ai quali corrispondono gli infiniti

segmenti, che riempiono lo spazio iperbolico I, segmenti, che riempiono lo spazio iperbolico I,

di lunghezze di lunghezze , , …,, , …,a11

a21

1

A11

...11

1 32

aaaa

Essendo nota la somma di una progressione geometrica si ha:Essendo nota la somma di una progressione geometrica si ha:

...842121

1 32

aaaa

...11

1 32

AAAA

Da cui, sommando per colonne e utilizzando il simbolo Da cui, sommando per colonne e utilizzando il simbolo

di integrale (chiaramente non utilizzato da Mercator) si di integrale (chiaramente non utilizzato da Mercator) si

può scrivere: può scrivere: ...1

1

1

0

2

000

AAAA

dxxxdxdxx

AlloraAllora ...432

)1log()(432

AAA

AAIarea

Questo risultato è stato possibile grazie alla Questo risultato è stato possibile grazie alla RELAZIONE RELAZIONE

TRA LOGARITMI E LA QUADRATURA DELL’IPERBOLETRA LOGARITMI E LA QUADRATURA DELL’IPERBOLE

ottenuta da Gregorio Da San Vincenzoottenuta da Gregorio Da San Vincenzo

A porre fine al problema della quadratura delle A porre fine al problema della quadratura delle

curve ci pensò curve ci pensò ISAAC NEWTONISAAC NEWTON (1642-1727) con (1642-1727) con

il suo il suo METODO DELLE QUADRATUREMETODO DELLE QUADRATURE

Il metodo è basato sul Il metodo è basato sul TRE REGOLETRE REGOLE::

1° regola1° regola: Se : Se (CURVA SEMPLICE),(CURVA SEMPLICE), dove dove aa è una è una

costante positiva e costante positiva e nn ed ed mm sono interi, allora sono interi, allora

2° regola2° regola: Se y = somma di un numero di curve semplici, : Se y = somma di un numero di curve semplici,

allora area (I)= somma finita delle aree di ciascuna curva.allora area (I)= somma finita delle aree di ciascuna curva.

3° regola3° regola: Generalizzazione della seconda, in essa si hanno : Generalizzazione della seconda, in essa si hanno

infiniti termini generati o da divisioni, o da estrazioni di infiniti termini generati o da divisioni, o da estrazioni di

radici, ecc … radici, ecc …

nm

axy

nnm

xnm

anIarea

)(

LEIBNIZLEIBNIZ

Nella mode dei risultati ottenuti per mezzo del calcolo Nella mode dei risultati ottenuti per mezzo del calcolo

si cominciano ad avvertire delle debolezze, in si cominciano ad avvertire delle debolezze, in

particolare per quel che concerne il particolare per quel che concerne il RAPPORTO TRA RAPPORTO TRA

SERIE DI FUNZIONI E CONTINUITA’SERIE DI FUNZIONI E CONTINUITA’

Nasce quindi la necessità di risistemare tutti i risultati Nasce quindi la necessità di risistemare tutti i risultati

ottenuti fino ad allora, basandoli sul concetto di ottenuti fino ad allora, basandoli sul concetto di LIMITE. LIMITE.

Il primo e ardente fautore di questa necessità è Il primo e ardente fautore di questa necessità è

sicuramente sicuramente JEAN BAPTISTE LEROND d’ALAMBERTJEAN BAPTISTE LEROND d’ALAMBERT

(1717-1783), ma il primo e vero tentativo in questa (1717-1783), ma il primo e vero tentativo in questa

direzione è da attribuire a direzione è da attribuire a GIUSEPPE LUIGI LAGRANGEGIUSEPPE LUIGI LAGRANGE

(1736-1813) (1736-1813)

Egli si oppone a Lagrange, sostenendo che Egli si oppone a Lagrange, sostenendo che “non è “non è

lecito, per derivare una funzione data mediante lecito, per derivare una funzione data mediante

una serie, derivare termine a termine, pensando una serie, derivare termine a termine, pensando

così di ottenere proprio la derivata della funzione così di ottenere proprio la derivata della funzione

di partenza”. di partenza”.

ABEL ABEL (1802-1829) si sofferma sulle (1802-1829) si sofferma sulle serie infiniteserie infinite, ,

considerandole uno strumento essenziale in analisi.considerandole uno strumento essenziale in analisi.

L’interprete più coerente della rigorosa teoria L’interprete più coerente della rigorosa teoria

abeliana fu abeliana fu AUGUSTIN L. CAUCHYAUGUSTIN L. CAUCHY (1789-1857). (1789-1857).

Il primo rimase, però, Il primo rimase, però, in ombrain ombra, soprattutto perché la sua , soprattutto perché la sua

opera fu pubblicata con tale ritardo da non riuscire ad opera fu pubblicata con tale ritardo da non riuscire ad

influenzare lo sviluppo successivo dell’analisi. influenzare lo sviluppo successivo dell’analisi.

La definitiva sistemazione dei fondamenti La definitiva sistemazione dei fondamenti

dell’analisi è da attribuirsi ai due dell’analisi è da attribuirsi ai due

matematici matematici BERNARDO BOLZANOBERNARDO BOLZANO (1791- (1791-

1848) e a 1848) e a CAUCHY.CAUCHY.

Al contrario la Al contrario la teoria di Cauchyteoria di Cauchy segnò un punto di svolta segnò un punto di svolta

nel calcolo infinitesimale. nel calcolo infinitesimale.

Attraverso Attraverso la teoria dei limitila teoria dei limiti egli riesce a definire la egli riesce a definire la

continuità di una funzione, la derivata, l’integrale, la continuità di una funzione, la derivata, l’integrale, la

convergenza di una serie e la sua somma. convergenza di una serie e la sua somma.

Inoltre, per dimostrare la Inoltre, per dimostrare la convergenza di una serie più convergenza di una serie più

complessacomplessa, come la serie di Fourier, passa a studiare , come la serie di Fourier, passa a studiare

una serie più facile attraverso un una serie più facile attraverso un criterio di criterio di

convergenzaconvergenza che si può enunciare così: che si può enunciare così:

““Se la serie è convergente e il termine Se la serie è convergente e il termine

generale per , generale per ,

allora la serie è convergente”.allora la serie è convergente”.

n

nn n

n

Propone infatti Propone infatti la serie che è convergentela serie che è convergente

la serie che è divergentela serie che è divergente

E mostra che, E mostra che, tuttaviatuttavia, che il rapporto dei loro termini , che il rapporto dei loro termini

generici generici èè convergenteconvergente ad 1 quando . ad 1 quando .

n

n)1(

nn

nn )1(1

)1(

n

11 n

Con un controesempio Con un controesempio GUSTAVO PIETRO LEJEUNE GUSTAVO PIETRO LEJEUNE

DIRICHLETDIRICHLET (1805-1859) smentisce il (1805-1859) smentisce il criterio di Cauchycriterio di Cauchy. .

La lacuna di Cauchy era nella differenza tra La lacuna di Cauchy era nella differenza tra

continuità ed uniforme continuità, Dirichlet la colma continuità ed uniforme continuità, Dirichlet la colma

dimostrando che dimostrando che in un intervallo chiuso e limitato le in un intervallo chiuso e limitato le

due proprietà sono equivalenti.due proprietà sono equivalenti.

Dopo che Cauchy, ha riformulato tutta l’analisi in Dopo che Cauchy, ha riformulato tutta l’analisi in

funzione dei limiti, il funzione dei limiti, il nuovo obiettivonuovo obiettivo che gli analisti si che gli analisti si

proponevano, era quello di proponevano, era quello di “determinare la più ampia “determinare la più ampia

classe di funzioni di cui si possa dare una classe di funzioni di cui si possa dare una

rappresentazione analitica”.rappresentazione analitica”.

A risolvere questo problema ci pensò A risolvere questo problema ci pensò

CARLO WEIERSTRASSCARLO WEIERSTRASS (1815-1897) (1815-1897)

Dimostrò che Dimostrò che “è possibile rappresentare le “è possibile rappresentare le

funzioni continue, mediante una serie di funzioni continue, mediante una serie di

uniformemente convergente di polinomi”uniformemente convergente di polinomi”

Un esempio sono le serie di TAYLOR e MAC LAURINUn esempio sono le serie di TAYLOR e MAC LAURIN

L’autore che conclude e riorganizza tutta la teoria L’autore che conclude e riorganizza tutta la teoria

analitica è analitica è BERNHARD RIEMANNBERNHARD RIEMANN (1826-1866). (1826-1866).

I suoi obiettivi sono:I suoi obiettivi sono:

1.1. Introdurre l’immaginario nella teoria di altre funzioni Introdurre l’immaginario nella teoria di altre funzioni

trascendenti, come era già avvenuto per le funzioni trascendenti, come era già avvenuto per le funzioni

algebriche, esponenziali, circolari, ellittiche abeliane.algebriche, esponenziali, circolari, ellittiche abeliane.

2.2. Presentare i nuovi metodi per l’integrazione di Presentare i nuovi metodi per l’integrazione di

equazioni differenziali a derivate parziali, che ha già equazioni differenziali a derivate parziali, che ha già

applicato con successo a modelli fisici. applicato con successo a modelli fisici.

3.3. Elaborare una nuova concezione delle leggi naturali Elaborare una nuova concezione delle leggi naturali

note, per mezzo della quale sia possibile utilizzare i note, per mezzo della quale sia possibile utilizzare i

dati sperimentali sull’interazione tra calore, luce, dati sperimentali sull’interazione tra calore, luce,

magnetismo, elettricità e sottolinearne le connessioni. magnetismo, elettricità e sottolinearne le connessioni.

A Riemann è dovuta la A Riemann è dovuta la rappresentazione di una rappresentazione di una

funzione mediante le serie trigonometrichefunzione mediante le serie trigonometriche . .

Egli afferma che ogni funzione periodica di periodo Egli afferma che ogni funzione periodica di periodo

22ππ che: che:

1.1. Sia in generale suscettibile d’integrazioneSia in generale suscettibile d’integrazione

2.2. Non abbia un numero infinito di massimi e di Non abbia un numero infinito di massimi e di

minimi minimi

3.3. Nel caso che il suo valore vari bruscamente, Nel caso che il suo valore vari bruscamente,

prenda il valore medio tra i valori limite prenda il valore medio tra i valori limite

assunti da una parte e dall’altra della assunti da una parte e dall’altra della

discontinuità.discontinuità.