il teorema di pitagora generalizzato a.martini. consideriamo un triangolo scaleno
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IL TEOREMA DI PITAGORA GENERALIZZATO
A.Martini
Consideriamo un triangolo scaleno
Consideriamo un triangolo scaleno
Consideriamo un triangolo scaleno
A B
C
b a
cH
Adesso scomodiamo la matematica per fare una serie di
operazioni su questo triangolo
scaleno
Non chiedertene il motivo.
Lo so che sembrano
operazioni inutili o comunque gratuite
Ne capirai il significato solo alla
fine della dimostrazione.
Abbi pazienza: è così che si procede
di solito.
Io non ti spiegherò ogni singolo
passaggio: per esercizio cerca di capirlo da solo,
i passaggi che non comprendi
segnateli sul quaderno delle domande e poi
chiedi spiegazione al prof.
A B
C
b a
cH
A B
C
b a
cH
AB =AH + HB
A B
C
b a
cH
AB =AH + HB
AH = b cos
A B
C
b a
cH
AB =AH + HB
AH = b cos
HB = a cos
A B
C
b a
cH
AB =AH + HB
AH = b cos
HB = a cos AB = c
A B
C
b a
cH
c = b cos + a cos
AH = b cos
HB = a cos AB = c
AB =AH + HB
A B
C
b a
cH
c = b cos + a cos
A B
C
a
cH
c = b cos + a cos
bE’ possibile, come ci insegna la trigonometria, passare da questa ad altre formule corrette sostituendo ad
ogni lettera quella corrispondente successiva, seguendo una rotazione in
senso antiorario (o orario).
A B
C
a
cH
c = b cos + a cos
b
a =
A B
C
a
cH
c = b cos + a cos
b
a = c
A B
C
a
cH
c = b cos + a cos
b
a = c cos
A B
C
a
cH
c = b cos + a cos
b
a = c cos + b
A B
C
a
cH
c = b cos + a cos
b
a = c cos + b cos
A B
C
a
cH
c = b cos + a cos
b
a = c cos + b cos
b = a cos + c cos
A B
C
a
cH
c = b cos + a cos
b
a = c cos + b cos b = a cos + c cos
A B
C
a
cH
c = b cos + a cos
b
a = c cos + b cos b = a cos + c cos
moltiplichiamo ambo i membri per:
c-ab
A B
C
a
cH
c2 = bc cos + ac cos
b
a = c cos + b cos b = a cos + c cos
moltiplichiamo ambo i membri per:
c-ab
A B
C
a
cH
c2 = bc cos + ac cos
b
-a2 = -ac cos - ab cos b = a cos + c cos
moltiplichiamo ambo i membri per:
c-ab
A B
C
a
cH
c2 = bc cos + ac cos
b
-a2 = -ac cos - ab cos b2 = ab cos + bc cos
moltiplichiamo ambo i membri per:
c-ab
A B
C
a
cH
c2 = bc cos + ac cos
b
-a2 = -ac cos - ab cos b2 = ab cos + bc cos
sommiamomembro a membro:
A B
C
a
cH
c2 = bc cos + ac cos
b
-a2 = -ac cos - ab cos b2 = ab cos + bc cos
sommiamomembro a membro:
c2 -a2 + b2 = bc cos + accos -ac cos -ab cos ab cos + bc cos
A B
C
a
cH
c2 = bc cos + ac cos
b
-a2 = -ac cos - ab cos b2 = ab cos + bc cos
sommiamomembro a membro:
c2 -a2 + b2 = bc cos + accos -ac cos -ab cos ab cos + bc cos
A B
C
a
cH
c2 = bc cos + ac cos
b
-a2 = -ac cos - ab cos b2 = ab cos + bc cos
semplifichiamo:
c2 -a2 + b2 = bc cos + accos -ac cos -ab cos ab cos + bc cos
A B
C
a
cH
c2 = bc cos + ac cos
b
-a2 = -ac cos - ab cos b2 = ab cos + bc cos
semplifichiamo:
c2 -a2 + b2 = bc cos + accos -ac cos -ab cos ab cos + bc cos
c2 -a2 + b2 = bc cos + accos -ac cos -ab cos ab cos + bc cos
A B
C
a
cH
c2 = bc cos + ac cos
b
-a2 = -ac cos - ab cos b2 = ab cos + bc cos
semplifichiamo:
c2 -a2 + b2 = bc cos + accos -ac cos -ab cos ab cos + bc cos
A B
C
a
cH
c2 = bc cos + ac cos
b
-a2 = -ac cos - ab cos b2 = ab cos + bc cos
semplifichiamo:
c2 -a2 + b2 = bc cos + accos -ac cos -ab cos ab cos + bc cos
A B
C
a
cH
c2 = bc cos + ac cos
b
-a2 = -ac cos - ab cos b2 = ab cos + bc cos
semplifichiamo:
A B
C
a
cH
c2 = bc cos + ac cos
b
-a2 = -ac cos - ab cos b2 = ab cos + bc cos
semplifichiamo:
c2 -a2 + b2 = bc cos + bc cos
c2 -a2 + b2 = bc cos + bc cos = 2bc cos
A B
C
a
cH
c2 = bc cos + ac cos
b
-a2 = -ac cos - ab cos b2 = ab cos + bc cos
semplifichiamo:
c2 -a2 + b2 = 2bc cos
A B
C
a
cH
b
c2 -a2 + b2 = 2bc cos
A B
C
a
cH
b
-a2 = - b2 - c2 + 2bc cos
c2 -a2 + b2 = 2bc cos
A B
C
a
cH
b
-a2 = - b2 - c2 + 2bc cos
a2 = b2 + c2 - 2bc cos
A B
C
a
H
b
a2 = b2 + c2 - 2bc cos
c
A B
C
a
H
b
a2 = b2 + c2 - 2bc cos
c
A B
C
a
H
b
a2 = b2 + c2 - 2bc cos
c
A B
C
a
cH
b
a2 = b2 + c2 - 2bc cos
A B
C
a
cH
b
a2 = b2 + c2 - 2bc cos
A B
C
a
cH
b
a2 = b2 + c2 - 2bc cos
A B
C
a
cH
b
a2 = b2 + c2 - 2bc cos
Teorema di Pitagora generalizzato:
Il quadrato costruito su un lato di un triangolo scaleno è uguale alla somma dei quadrati costruiti su gli altri due lati, meno il doppio prodotto di questi per il coseno dell’angolo fra essi compreso.
La SOMMA DI DUE VETTORI
con il teorema di Pitagora generalizzato
Adesso applichiamo
questo teoria matematico ad un
caso particolarmente
utile:
Consideriamo due vettori qualsiasi e
sommiamoli graficamente,
come sappiamo già fare.
m
n
m
n
m
n
m
n V
m
n Vh
m
n Vh
m
n Vhh
m
n Vhhn
m
n Vhhn
Applichiamo il teorema di Pitagora generalizzato al triangolo giallo
m
n Vhhn
Applichiamo il teorema di Pitagora generalizzato al triangolo giallo
V2 = m2 + n2 - 2mn cos
m
n Vhhn
Applichiamo il teorema di Pitagora generalizzato al triangolo giallo
V2 = m2 + n2 - 2mn cos poiché è:
m
n Vhhn
Applichiamo il teorema di Pitagora generalizzato al triangolo giallo
V2 = m2 + n2 - 2mn cos poiché è:
si ha: coscos
m
n Vhhn
Applichiamo il teorema di Pitagora generalizzato al triangolo giallo
V2 = m2 + n2 + 2mn cos poiché è:
si ha: coscos
m
n V
Applichiamo il teorema di Pitagora generalizzato al triangolo giallo
V2 = m2 + n2 + 2mn cos
Come vedi, si può calcolare
l’intensità del vettore risultante
tra due vettori senza fare disegni
conoscendol’intensità dei due
vettori e l’angolo fra essi
compreso
m
n V
Applichiamo il teorema di Pitagora generalizzato al triangolo giallo
V = m2 + n2 + 2mn cos
Determiniamo la direzione di V
V2 = m2 + n2 + 2mn cos
m
n Vhhn
Determiniamo la direzione di V
V2 = m2 + n2 + 2mn cos
m
n Vhhn
h = n sen
Determiniamo la direzione di V
V2 = m2 + n2 + 2mn cos
m
n Vhhn
h = n sen h = V sen
Determiniamo la direzione di V
V2 = m2 + n2 + 2mn cos
m
n Vhhn
h = n sen h = V sen
n sen = V sen
Determiniamo la direzione di V
V2 = m2 + n2 + 2mn cos
m
n Vhhn
h = n sen h = V sen
n sen = V sen
sen = (n/V) sen
Come vedi, si può determinare la direzione del
vettore risultante, calcolando l’angolo fra la sua direzione e quella di uno dei
due vettori componenti
Come vedi, si può determinare la direzione del
vettore risultante, calcolando l’angolo fra la sua direzione e quella di uno dei
due vettori componenti
m
n V
sen = (n/V) sen
Esercizio
Esperienze
Teoria:la reazione vincolare
La 1^ condizione di equilibrio
Come pesare un carrello “senza” bilancia
ESERCIZIO
70° S1=46m
S2=30m
70° S1=46m
S2=30m
Il nostro amico sa che in uno di questi sacchi c’è un tesoro, mentre negli altri ci sono solamente serpenti. Sa anche che per raggiungere il sacco potrebbe avanzare per 46 metri nella direzione rossa e poi per 30 metri in quella blu, che forma con la rossa un angolo di 70°.
Però può raggiungere il sacco con il tesoro procedendo in una sola direzione e non fermandosi mai se non per raccogliere il sacco.
Sapresti indicargli che cosa fare?
70° S1=46m
S2=30m
Ti suggerisco solo la risposta perché
tu possa controllare se hai
fatto bene.
Procedi per 59,1 m in direzione 28,5° rispetto alla direzione rossa
fine