impacto de baja velocidad en dos dimensiones: modelo

IMPACTO DE BAJA VELOCIDAD EN DOSDIMENSIONES: MODELO ELASTO-PLASTICO PARA

UNA VIGA SIMPLEMENTE APOYADA

por

Raul Camilo Rincon Sierra

Universidad de los Andes

Departamento de Ingenierıa Mecanica

Bogota, Colombia

Julio, 2009

ii

IMPACTO DE BAJA VELOCIDAD EN DOSDIMENSIONES: MODELO ELASTO-PLASTICO PARA

UNA VIGA SIMPLEMENTE APOYADA

por

Raul Camilo Rincon Sierra

Tesis para optar al tıtulo de

Magıster en Ingenierıa Mecanica

Asesor: Ph.D. Edgar Alejandro Maranon Leon

Universidad de los Andes

Departamento de Ingenierıa Mecanica

Bogota, Colombia

Julio, 2009

iii

PREFACIO

Quiero expresar mis mas sinceros agradecimientos a todas las personas que de una u otra forma

han estado a mi lado en estos anos y que sin su colaboracion y companıa no podrıa estar disfrutando

de este logro. Agradezco al profesor Alejandro Maranon por su ayuda en todos los momentos en los

que la necesite. Finalmente, muchas gracias a mis padres por su apoyo incondicional.

iv

RESUMEN

En este trabajo se analiza el impacto elastico-plastico de una partıcula con masa sobre una viga

simplemente soportada. Se solucionaron analıticamente y numericamente los modelos de Cox, Euler

y Rayleigh para las condiciones iniciales y de frontera particulares de este trabajo. Se investigaron

las ventajas, desventajas y rango de validez de cada uno de los modelos mediante la comparacion

con ABAQUS de los resultados obtenidos para la deflexion y momento flector en la viga ası como

el tiempo de oscilacion. Se estudio la influencia de algunos parametros como: velocidad de impacto,

masa de la partıcula que impacta, longitud entre apoyos y el material de la viga. Se encontro que

bajo ciertas condiciones iniciales la partıcula puede impactar la viga en mas de una ocasion, lo

que afectara la deformacion que esta sufre. Se determino la importancia de tener en cuenta las

deformaciones elasticas y no solamente las deformaciones plasticas, por lo tanto se concluyo que

para modelar el impacto de baja velocidad los modelos elastico-plasticos son mas apropiados que

los rıgido-plasticos.

Indice general

1. Introduccion 1

1.1. Impacto Elastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Impacto Plastico y Elastico-Plastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3. Impacto en Materiales Compuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4. Efectos de la Velocidad de Carga en el Impacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5. Alcance y Distribucion del Trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2. Planteamiento de los Modelos 9

2.1. Modelo de Cox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2. Modelo de Euler Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3. Modelo de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3. Procedimiento de Solucion 13

3.1. Modelo de Cox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2. Modelo de Euler Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2.1. Choque Inelastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

v

INDICE GENERAL vi

3.2.2. Choque Elastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3. Modelo de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.4. Correcciones para Materiales Compuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4. Simulacion por Elementos Finitos 21

5. Resultados 23

5.1. Deformaciones Elasticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.2. Deformaciones Elasticas y Plasticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

6. Discusion de Resultados 38

7. Revision de Metodos Experimentales en Impacto 42

7.1. Mecanismos para Impartirle Velocidad al Proyectil . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

7.2. Metodos de Medicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

7.3. Sistemas para la Medicion de Velocidad con Laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

8. Conclusiones 47

A. Calculos del Modelo de Cox 49

B. Calculos del Modelo de Euler 52

B.1. Choque Inelastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

B.2. Choque Elastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

C. Calculos del Modelo de Euler 56

C.1. Relacion Momento vs. Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

C.2. Planteamiento por Diferencias Finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

D. Codigo para hacer los Calculos del Modelo de Cox 59

INDICE GENERAL vii

E. Codigo para hacer los Calculos del Modelo de Euler 61

E.1. Choque Inelastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

E.2. Choque Elastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

F. Codigo para hacer los Calculos del Modelo de Rayleigh 66

Bibliografıa 74

Indice de figuras

1.1. Dimensiones y sistema de coordenadas de la viga impactada. . . . . . . . . . . . . . 6

2.1. Diagrama de cuerpo libre para un elemento diferencial de la viga. . . . . . . . . . . 12

3.1. Curva M/κ para un material elastico-plastico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2. Dimensiones y forma de una viga tipo sandwich. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5.1. Relacion entre la maxima deflexion de una viga y la velocidad de impacto, para la

colision de un proyectil de 1 cm de diametro sobre una viga de 60 cm de longitud,

5 mm de espesor y 4 cm de ancho. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.2. Esfuerzo maximo en una viga como funcion de la velocidad de impacto, para la

colision de un proyectil de 1 cm de diametro sobre una viga de 60 cm de longitud,

5 mm de espesor y 4 cm de ancho. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.3. Evolucion temporal de la deflexion del punto medio de una viga que es impactada a

diferentes velocidades por un proyectil de 1 cm de diametro. Las dimensiones de la

viga impactada son: longitud 60 cm, espesor 5 mm y ancho 4 cm. Curvas obtenidas

con el modelo de Euler asumiendo que el impacto es elastico. . . . . . . . . . . . . 26

viii

INDICE DE FIGURAS ix

5.4. Relacion entre la maxima deflexion de una viga y la masa del proyectil que la impacta,

se impacto una viga de 30 cm de longitud, 5 mm de espesor y 10 cm de ancho a

una velocidad de 5 m/s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5.5. Esfuerzo maximo en una viga como funcion de la masa del proyectil, para una velo-

cidad de impacto de 5 m/s sobre una viga de 30 cm de longitud, 5 mm de espesor

y 10 cm de ancho. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5.6. Evolucion temporal de la deflexion del punto medio de una viga que es impactada

por un proyectil de diferentes masas a una velocidad de 5 m/s. Las dimensiones de la

viga impactada son: longitud 30 cm, espesor 5 mm y ancho 10 cm. Curvas obtenidas

con el modelo de Euler asumiendo que el impacto es elastico. . . . . . . . . . . . . 28

5.7. Maxima deflexion de la viga como funcion de la energıa cinetica del proyectil, para

una viga de 60 cm de longitud, 5 mm de espesor y 4 cm de ancho. . . . . . . . . . 28

5.8. Evolucion temporal de la deflexion del punto medio para vigas de 5 mm de espesor,

10 cm de ancho y diferentes longitudes que son impactadas por un proyectil de 1 cm

de diametro que viaja a 5 m/s. Curvas obtenidas con el modelo de Euler asumiendo

que el impacto es elastico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.9. Evolucion temporal de la deflexion del punto medio para vigas hechas de distintos

materiales, que son impactadas por un proyectil de 1 cm de diametro que viaja a

5 m/s. Las dimensiones de la viga son: longitud 40 cm, espesor 5 mm y ancho 10 cm.

Curvas obtenidas con el modelo de Euler asumiendo que el impacto es elastico. . . . 30

5.10. Evolucion temporal de la fuerza de contacto para la colision de un proyectil de acero

de 4 cm de diametro que viaja a una velocidad de 20 m/s e impacta una viga de

aluminio de 60 cm de longitud, 5 mm de espesor y 10 cm de ancho. . . . . . . . . . 30

5.11. Evolucion temporal de la deflexion del punto medio para la colision de un proyectil

de acero de 4 cm de diametro que viaja a una velocidad de 20 m/s e impacta una

viga de aluminio de 60 cm de longitud, 5 mm de espesor y 10 cm de ancho. . . . . 31

INDICE DE FIGURAS x

5.12. Campo de deformaciones obtenido con el modelo de Cox para una viga de 30 cm de

longitud, 5 mm de espesor y 10 cm de ancho que es impactada por un proyectil de

1 cm de diametro que viaja a 20 m/s.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.13. Campo de deformaciones obtenido con el modelo de Euler asumiendo que el choque

es inelastico, para una viga de 30 cm de longitud, 5 mm de espesor y 10 cm de ancho

que es impactada por un proyectil de 1 cm de diametro que viaja a 20 m/s. . . . . . 32

5.14. Campo de deformaciones obtenido con el modelo de Euler asumiendo que el choque

es elastico, para una viga de 30 cm de longitud, 5 mm de espesor y 10 cm de ancho

que es impactada por un proyectil de 1 cm de diametro que viaja a 20 m/s. . . . . . 32

5.15. Evolucion de la deflexion a lo largo de una viga de 30 cm de longitud, 5 mm de

espesor y 10 cm de ancho que es impactada por un proyectil de 1 cm de diametro

que viaja a 20 m/s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.16. Momento flector a lo largo de una viga de longitud 70 cm, espesor 4,5 mm y ancho

2 cm cuando se presenta plastificacion debido al impacto de un proyectil de 2 cm de

diametro que viaja 130 m/s (t = 0,3 ms). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34













INDICE DE FIGURAS xi

5.21. Deformacion a lo largo de una viga de longitud 70 cm, espesor 4,5 mm y ancho


diametro que viaja 130 m/s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.22. Curva momento vs. curvatura seguida por uno de los elementos cercanos a la mitad

de la viga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

7.1. Montaje utilizado por Starratt et al. (2000) para medir la velocidad de un proyectil

que impacta una placa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

7.2. Ejemplo de una curva voltaje vs. tiempo reportada por Starratt et al. (2000). . . . . 46

Indice de Tablas

5.1. Rango de estudio de los parametros de entrada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

7.1. Rangos de velocidad segun el mecanismo para impartir la velocidad inicial del proyectil. 43

xii

Lista de Sımbolos

α(t) Penetracion de la partıcula en la viga [m]

β Modulo de endurecimiento

η(t) Parte temporal de la deflexion [m]

κ Curvatura [m−1]

κ∗ Curvatura al momento de descarga [m−1]

κe Curvatura elastica maxima [m−1]

(ρA)eq Densidad lineal equivalente para una viga tipo sandwich [kg/m]

(EI)eq Rigidez a flexion equivalente para una viga tipo sandwich[Nm2

]ρ Densidad

[kg/m3]

4τ Diferencial de tiempo [s]

4x Diferencial de posicion [m]

xiii

INDICE DE TABLAS xiv

A Area transversal de la viga [m2]

a Constante de frecuencia a = 4

√EIρA

[m/√

s]

b Ancho de la viga [m]

E Modulo de elasticidad [Pa]

f(x) Parte espacial de la deflexion

F (x, t) Fuerza de contacto [N]

g Aceleracion de la gravedad[m/s2]

h Espesor de la viga [m]

I Segundo momento de area [m4]

i, j Subındices

k Constante en el modelo de Cox k = 48EIL3 [N/m]

k2 Constante de penetracion[

N/m3/2]

L Longitud de la viga [m]

M Momento flector [Nm]

M∗ Momento flector al momento de descarga [Nm]

Me Momento flector elastico maximo [Nm]

mp Masa de la partıcula que impacta [kg]

mv Masa de la viga impactada [kg]

Q Fuerza cortante [N]

INDICE DE TABLAS xv

Sy Esfuerzo de fluencia del material [Pa]

T Energıa cinetica [J]

t Tiempo [s]

U Energıa potencial [J]

vp Velocidad de la partıcula que impacta [m/s]

w(x, t) Deflexion de la viga [m]

x Coordenada cartesiana

z Coordenada cartesiana

zp Posicion de la partıcula que impacta [m]

CAPITULO 1

Introduccion

En su forma mas simple, el impacto se entiende como el evento que se genera en la colision

entre dos o mas cuerpos. Con el fin de diferenciarlo de otros fenomenos como carga estatica o

carga rapida, cuando se habla de impacto se entiende que las fuerzas creadas durante el choque

son aplicadas y removidas en un intervalo de tiempo muy corto, tal que se producen ondas de

esfuerzo que se propagan desde el punto de contacto. Adicionalmente, si el cuerpo que impacta

tiene redondeos o partes agudas se presentara penetracion del objeto impactado. Este fenomeno es

importante estudiarlo para poder entender como sera el comportamiento de un elemento sometido

a impacto y ası determinar si podra ser empleado en una aplicacion en la que se requiera resistencia

a este tipo de carga. Por ejemplo, en las industrias aeronautica y automotriz cuando se disena el

chasis de estos vehıculos se requiere que estos sean resistentes al choque de pequenos objetos, que

viajan a baja velocidad, sin llegar a comprometer su integridad o la de sus ocupantes. Ası mismo,

entender el impacto es util a la hora de disenar elementos para la proteccion de partes del cuerpo

que pueden exponerse al impacto de algun objeto (por ejemplo cascos de seguridad).

Diversos investigadores han estudiado el impacto sobre elementos tipo viga para diferentes con-

1

CAPITULO 1. INTRODUCCION 2

diciones de frontera, tipo de carga y caracterısticas del material. Symonds (1953) estudio las de-

formaciones plasticas que se presentan en una viga sometida a una fuerza de impacto, con forma

de pulso rectangular, aplicada transversalmente. En este analisis se asumio que el material tiene

un comportamiento rıgido-perfectamente plastico. Lo mas importante del trabajo de Symonds fue

la relacion empırica encontrada entre el impulso inicial del objeto que impacta, la maxima fuerza

generada en la colision y el angulo final debido a la deformacion permanente. Sin embargo, Symonds

encontro que si se aproxima la fuerza de contacto mediante un pulso rectangular la deformacion

plastica puede ser sobreestimada. Posteriormente, Symonds & Leth (1954) generaron modelos para

predecir la curvatura y pendiente de una viga que es sometida a impacto en su punto medio, nueva-

mente el analisis se llevo a cabo para un material perfectamente plastico1. Lo mas importante de este

trabajo es el analisis adimensional que hicieron del fenomeno de impacto, ası como las expresiones

que encontraron para estimar el angulo final de la viga debido a la deformacion permanente.

Para analizar el impacto de un proyectil sobre una viga algunos autores se han concentrado en

estudiar unicamente el comportamiento elastico o unicamente el comportamiento plastico del ma-

terial de la viga; mientras que otros han tenido en cuenta ambos comportamientos. Tambien se ha

trabajado en el area de los materiales compuestos suponiendo que la viga tiene una estructura tipo

sandwich (Apetre et al., 2006; Li et al., 2006). Otros autores se han concentrado en determinar la

relevancia que tienen otras consideraciones como la influencia de la velocidad de carga (Davies &

Magee, 1976; Su et al., 1995). A continuacion se hablara de algunos de los trabajos que se han

hecho en cada una de estas formas de abordar el problema.

1.1. Impacto Elastico

En esta formulacion, dependiendo de las condiciones del choque, la energıa cinetica que es trans-

ferida del objeto que impacta al impactado puede ser disipada parcial o totalmente mediante de-

formaciones elasticas. Es por esto que algunos autores se han dedicado a investigar esta parte del

1El analisis desarrollado por Symonds & Leth es valido unicamente si las deformaciones son lo suficientemente

grandes como para que el material se plastifique significativamente.


fenomeno de impacto. Lin & Ho (1987) estudiaron el impacto elastico sobre una viga simplemente

soportada mediante un modelo masa, resorte y amortiguador; estos autores encontraron que su mo-

delo era efectivo para analizar el problema y les permitio, basandose en ensayo y error, determinar

la velocidad a la que se presentarıa plasticidad.

Con los modelos de resortes no se puede estudiar el fenomeno ondulatorio generado por el im-

pacto, por lo tanto, en trabajos mas recientes, (Yufeng et al., 2002; Schiehlen & Seifried, 2004),

se ha investigado este fenomeno con la ayuda de modelos como el de Euler-Bernoulli, Rayleigh o

Timoshenko. Por su parte Yufeng et al. plantearon un modelo analıtico para estudiar el impacto de

una partıcula sobre una viga tipo Timoshenko con condiciones de frontera en los extremos: simple-

simple, empotrado-empotrado, libre-libre y empotrado-libre. Lo mas importante de este trabajo es el

estudio que se hizo de la propagacion de ondas elasticas longitudinales y transversales; especialmen-

te, los efectos que tienen las condiciones de frontera en las caracterısticas de las ondas reflejadas.

Estos autores encontraron que el valor inicial de la fuerza de impacto no tiene relacion alguna con

las ondas longitudinales producidas ni con la masa del objeto que es impactado. Adicionalmente,

concluyeron que la fuerza de contacto entre el proyectil y la viga es afectada principalmente por

las ondas transversales que por las longitudinales. Por otro lado, Schiehlen & Seifried estudiaron

el fenomeno de impacto elastico mediante la ley de contacto de Hertz y vıa elementos finitos; con

lo cual llegaron a que una significativa parte de la energıa cinetica inicial es disipada mediante la

propagacion de ondas elasticas en la viga y que el objeto que impacta se comporta como un cuerpo

rıgido.

1.2. Impacto Plastico y Elastico-Plastico

En esta teorıa, cuando los esfuerzos debidos al impacto superan el esfuerzo de fluencia del material,

parte de la energıa del proyectil se disipara debido a deformaciones plasticas. Teniendo esto en

cuenta, Yu et al. (1996) analizaron el comportamiento dinamico, elastico-plastico de una viga libre

en ambos extremos que es sometida al impacto de un proyectil en su parte media. Implementado

un metodo numerico, estos autores hicieron una descripcion de cuatro fases por las que atraviesa


la viga: (i) propagacion de ondas de flexion elastico-plasticas, (ii) primera aparicion del movimiento

hacia adelante y hacia atras del punto de bisagra2 viajero, (iii) segunda aparicion del punto de

bisagra viajero y (iv) rotacion sobre el punto de bisagra estatico en la mitad de la viga. La principal

conclusion de estos autores es que la interaccion entre la onda de flexion plastica y la onda de flexion

elastica juega el rol principal al determinar la deformacion de la viga. Debido a esta conclusion, Yu

et al. (1997) estudiaron la interaccion de las ondas elasticas reflejadas con las zonas que se han

plastificado. Este estudio fue llevado a cabo mediante un tratamiento por diferencias finitas en el

que se utilizo un modelo elastico-perfectamente plastico para el material. Al hacer esto, los autores

encontraron que la interaccion de las ondas elasticas reflejadas con las zonas plastificadas determina

la evolucion de la plastificacion en la viga, por lo tanto se ve la necesidad de modelar el material

como elastico-plastico y no como rıgido-plastico.

Plateando una formulacion por elementos finitos, Ahmed et al. (2001b) investigaron la respuesta

elasto-plastica de una viga libre que esta siendo impactada. Al hacer esto encontraron resultados

similares a los expuestos por Yu et al. (1996). Tambien observaron que en algunos casos se puede

presentar separacion entre el proyectil y la viga, contrario a la suposicion que despues de la colision

el proyectil se adhiere a la barra. En una investigacion paralela, Ahmed et al. (2001a) trabajaron

con la misma viga libre en ambos extremos pero en este caso sometida a un pulso en lugar de a

impacto y se paso de trabajar con un modelo rıgido-perfectamente plastico a un modelo elastico-

plastico con endurecimiento por deformacion (nuevamente se hizo una formulacion vıa elementos

finitos). La contribucion de este trabajo es que debido a que la velocidad de propagacion de la onda

plastica es menor que la de la onda elastica, si se modela el material como elastico-plastico habra una

mejor concordancia con los resultados experimentales que cuando se modela el material como rıgido-

perfectamente plastico. Posteriormente, Stok & Halilovic (2009) desarrollaron un modelo analıtico

para estudiar el comportamiento elastico-plastico de una viga en flexion. Con este fueron capaces

de predecir la evolucion elasto-plastica a lo largo de la viga ası como la plastificacion a traves de la

seccion transversal.

2Un punto de bisagra corresponde a una zona en la que se ha producido plasticidad. En particular, un punto

de bisagra viajero corresponde a la propagacion de una zona que se ha plastificado.


1.3. Impacto en Materiales Compuestos

En el campo de impacto en materiales compuestos, Abrate (1991) presento una recopilacion de

los trabajos tanto analıticos como experimentales que se han hecho en el tema. En su trabajo se

observa una variedad de modelos como los de tipo masa-resorte o los que consideran la propagacion

de ondas ası como diversos montajes experimentales y relaciones empıricas para determinar la falla

de la viga. En un estudio posterior Abrate (2001) divide los modelos de impacto para materiales

compuestos en tres categorıas: (i) balance energetico, (ii) masa-resorte y (iii) modelos completos.

La principal conclusion de estos trabajos es que los modelos utilizados para vigas hechas de un

solo material pueden ser utilizados para materiales compuestos haciendoles algunas modificaciones

en las constantes de las ecuaciones constitutivas. Apetre et al. (2006) continuaron con la lınea de

impacto en materiales compuestos estudiando este fenomeno en una viga tipo sandwich. Mediante

una aproximacion cuasi estatica, los autores encontraron que las estructuras tipo sandwich pueden

ser usadas para disminuir o prevenir completamente la falla por impacto.

Li et al. (2006) desarrollaron un modelo para estudiar el comportamiento de una viga tipo sandwich

que es sometida al impacto de una masa. Con su modelo lograron identificar tres etapas en la

respuesta dinamica de la viga: (i) respuesta elastica, (ii) rompimiento del nucleo y (iii) falla final. Los

autores encontraron que su modelo concuerda razonablemente bien con los resultados experimentales

a la hora de predecir las zonas de plastificacion, sin embargo no es capas de predecir las vibraciones

de las capaz exteriores de la barra.

1.4. Efectos de la Velocidad de Carga en el Impacto

Los trabajos que se han mencionado hasta el momento no han tenido en cuenta los efectos

debidos a la velocidad de deformacion. Davies & Magee (1976) investigar la influencia que tiene la

velocidad de carga sobre el comportamiento a flexion de una viga. Los autores encontraron que los

efectos debidos a la tasa de deformacion bajo cargas a flexion pueden ser modelados por medio del

ensayo de esfuerzo ultimo a tension dependiente de la tasa de deformacion; con lo que se puede


concluir que no es necesario tener en cuenta la velocidad de carga cuando se estudia impacto a

bajas velocidades. Su et al. (1995) encontraron resultados similares y determinaron que los efectos

debidos a la velocidad de carga solo son relevantes si se trabaja con materiales que sean sensibles a

la velocidad de deformacion, tales como el acero dulce.

1.5. Alcance y Distribucion del Trabajo

En este trabajo se estudiara el impacto de una partıcula con masa sobre una viga simplemente

apoyada como se muestra en la Fig. 1.1. Se supondra que la partıcula impacta en el punto medio entre

los apoyos y que la velocidad de impacto corresponde al rango entre (∼ 0,1 m/s ≤ vp ≤∼ 100 m/s),

que en la literatura se conoce como baja velocidad (ver Zukas, 1992). Por simplicidad se ha hecho

un analisis en dos dimensiones de tal manera que en el eje x se estudia la propagacion de ondas y

en el eje z la deformacion o deflexion de la viga.

h

L2

L2

x = 0

mp

vp

x

z

w

Figura 1.1: Dimensiones y sistema de coordenadas de la viga impactada.

La mayorıa de los trabajos de investigacion sobre impacto, que se han hecho hasta el momento, se

hacen mediante la simulacion por elementos finitos con paquetes tales como ANSYS o ABAQUS.

Mientras que el estudio y desarrollo de los modelos analıticos es cada vez mas escaso. Debido a la

necesidad que tiene entender el fenomeno de impacto en el desarrollo de sistemas de proteccion (ya

sea de objetos o personas), esta investigacion ahondara en los modelos analıticos que puedan llegar

a alimentar los paquetes de elementos finitos


Gran parte de los estudios sobre impacto se han hecho para una viga libre en ambos extremos

o una viga en voladizo y en general se considera que el material es perfectamente plastico. Por lo

tanto, en este artıculo se plantearan las ecuaciones constitutivas de Cox, Euler-Bernoulli y Rayleigh

para una viga simplemente soportada y se estudiara el comportamiento bajo impacto cuando la

viga se deforma solo elasticamente o cuando algunas partes se deforman elasticamente mientras que

otras se plastifican (el comportamiento del material se puede clasificar como elastico-plastico con

endurecimiento por deformacion). Adicionalmente se hara una comparacion de ventajas y desventajas

de cada modelo ası como los rangos de aplicacion de cada uno.

Los efectos debidos a la velocidad de carga no se tuvieron en cuenta ya que la tasa de deformacion

maxima para las velocidades de impacto, masa de la partıcula que impacta, material y dimensiones de

la viga es del orden de 1 s−1 y en la literatura se encuentra que la influencia de la velocidad de carga se

hace importante para tasas de deformacion superiores a 10 s−1. En las pruebas experimentales hechas

por Davies & Magee (1976) se observa que para aceros al carbon, aceros inoxidables, aleaciones

de aluminio y fibras de vidrio, el esfuerzo de fluencia se mantiene constante hasta una tasa de

deformacion de 100 s−1 y la maxima carga varıa a partir de tasas de deformacion del orden de 10 s−1.

En (Yi et al., 2001) se muestra que para aleaciones de aluminio a compresion la curva esfuerzo vs.

deformacion varıa significativamente para una tasa de deformacion de 1000 s−1. Mientras que en

(Park & Nutt, 2002) se ve que para espumas metalicas el esfuerzo de fluencia del material comienza

a variar significativamente a partir de velocidades de deformacion del orden de 5 s−1. Por lo tanto,

se puede ver que los efectos debidos a la velocidad de deformacion se hacen importantes cuando

se trabaja con impacto balıstico en el que las tasas de deformacion son del orden de 400 s−1 a

1000 s−1.

En la primera parte de este documento se explican los modelos analıticos a consideracion ası como

la forma en la que se abordaron, mientras que en la segunda parte se ejemplifica para algunas casos

concretos. En el capıtulo 2 se explican los modelos tenidos en cuenta mientras que en el capıtulo 3 se

muestra como fue su planteamiento para el caso de una viga simplemente soportada. Para verificar

los resultados obtenidos se hicieron simulaciones por elementos finitos con el programa ABAQUS,


en el capıtulo 4 se muestra como fue hecho este modelamiento. Finalmente, en los capıtulos 5

y 6 se muestran los resultados ası como el analisis que de estos se llevo a cabo para diferentes

vigas de distintos materiales y dimensiones. Adicionalmente, en el capıtulo 7 se ha incluido un

pequeno recuento de algunos metodos experimentales con los que se podrıa comparar los resultados

aca expuestos.

CAPITULO 2

Planteamiento de los Modelos

Para estudiar el comportamiento de una viga cuando es sometida a impacto existen varias ecuacio-

nes constitutivas que pueden ser empleadas, para el rango de velocidades en el que se va a trabajar

los modelos utilizados son de tipo dinamico o de tipo vibracional. En este caso es estudiaran ambos

tipos de modelos ya que parte de la contribucion de este trabajo es determinar las ventajas y des-

ventajas ası como los rangos de validez de varios modelos. Para el caso en el que las deformaciones

de la viga sean unicamente elasticas se utilizaran el modelo de Cox, de tipo dinamico, y la ecuacion

de Euler-Bernoulli, de tipo vibracional. Mientras que para el caso en el que hayan deformaciones

elasticas y plasticas se trabajara con la ecuacion de Rayleigh, tambien de tipo vibracional1.

1Otra formas de modelar el problema de impacto es planteando un modelo masa-resorte o utilizando la

ecuacion de Timoshenko. El modelo tipo masa-resorte no se estudio ya que en otros trabajos se ha encontrado

que este tiene muchas limitaciones a la hora de calcular los esfuerzos y las deformaciones. Por otro lado, el

modelo de Timoshenko no fue estudiado ya que la diferencia entre este y el de Rayleigh es que el de Timoshenko

tiene en cuenta la fuerza cortante y su utilidad se encuentra cuando se estudian vigas cortas (distancia entre

apoyos comparable con el espesor de la viga).

9

CAPITULO 2. PLANTEAMIENTO DE LOS MODELOS 10

Como se ve en la Fig. 1.1, el objeto de estudio es una viga simplemente apoyada de largo L,

espesor h y ancho b; que es impactada por un proyectil de masa mp que viaja a velocidad constante

vp. En esta figura tambien se muestra el sistema de coordenadas donde la direccion x esta tomada

a lo largo de la barra mientras que el eje z va en la direccion vertical, positivo hacia abajo. El origen

se encuentra ubicado en el extremos izquierdo de la viga y la deformacion w se mide en la direccion

z.

2.1. Modelo de Cox

El primer modelo que sera utilizado para estudiar el comportamiento puramente elastico de la viga

fue propuesto por primera vez por Cox (1849)2, quien utilizo la ecuacion de movimiento de Lagrange

para encontrar una expresion que permitio calcular la deformacion de la viga.

Cox asumio que la deflexion podrıa ser representada por una funcion w(x, t) = f(x)η(t) que se

puede dividir en dos partes: una que depende del espacio, f(x), y otra que depende del tiempo,

η(t). Al hacer esto, las energıas cinetica T y potencial U de la viga se pueden escribir como:

T =1

2ρA [η(t)]2

∫ L

0

[f(x)]2 dx (2.1)

y

U =1

2EI [η(t)]2

∫ L

0

(∂2f(x)

∂x2

)2

dx, (2.2)

siendo A el area transversal de la viga, E el modulo de elasticidad del material e I el segundo

momento de area. Al sustituir (2.1) y (2.2) en la ecuacion de Lagrange se encuentra la ecuacion

constitutiva

F (x, t) = ρAη(t)

∫ L

0

[f(x)]2 dx+ EIη(t)

∫ L

0

(∂2f(x)

∂x2

)2

dx, (2.3)

donde F (x, t) es la fuerza generalizada del sistema debido al choque del proyectil. Si se plantean

expresiones para f(x) y η(t) se podra resolver 2.3 y ası poder obtener la deflexion de la viga.

2Citado por Goldsmith (2001, pg. 55)


Este modelo aunque sencillo y util como primera aproximacion es incapaz de predecir la propagacion

de ondas a lo largo de la viga. Debido a que el fenomeno de propagacion de ondas permite disipar

la energıa cinetica del proyectil, se hace necesario estudiar un modelo que tenga en cuenta este

fenomeno.

2.2. Modelo de Euler Bernoulli

El otro modelo para estudiar el comportamiento elastico de la viga se basa en la formulacion de

Euler-Bernoulli que es una simplificacion a una dimension de la teorıa de elasticidad; este modelo

fue el primero en tener en cuenta las vibraciones que se presentan en la viga al ser impactada.

La deduccion de la ecuacion de Euler-Bernoulli se puede ver en (Guenther & Lee, 1996, pg. 195),

donde se llega a la expresion

EI∂4w

∂x4+ ρA

∂2w

∂t2= F (x, t). (2.4)

Si se plantea una expresion para la fuerza de contacto F (x, t) entre el proyectil y la viga, se

puede resolver (2.4) para la deflexion w y ası estudiar la propagacion de ondas elasticas a traves del

material.

La ecuacion (2.4) es valida unicamente si la relacion entre el espesor de la viga y la longitud de

la onda elastica es pequena (Zukas, 1992, pg. 29); la razon de esto se debe a que para longitudes

de onda cortas no es valido decir que el movimiento es puramente traslacional en la direccion del

eje z, sino que se deben tener en cuenta los efectos debidos al movimiento rotacional de la seccion

transversal (Kolsky, 1963, pg. 52). Cuando se presentan deformaciones plasticas los efectos debido

a la inercia rotacional de la viga se hacen importantes, por lo tanto para estudiar el comportamiento

elastico-plastico de la viga se deben adicionar consideraciones rotacionales al modelo de Euler-

Bernoulli.


2.3. Modelo de Rayleigh

Para estudiar la plastificacion de la viga se utilizara la ecuacion constitutiva de Rayleigh quien fue

la primera persona que tuvo en cuenta la inercia rotacional de la viga (Rayleigh, 1945). Este autor

analizo un elemento diferencial como el que se muestra en la Fig. 2.1 y planteo las ecuaciones de

movimiento:∂Q

∂x+ F (x, t) = ρA

∂2w

∂t2(2.5)

y∂M

∂x−Q = −ρI ∂3w

∂x∂t2, (2.6)

donde Q es la fuerza cortante y M el momento flector. Si se deriva (2.6) respecto a x y se le suma

(2.5) el sistema se reduce a la ecuacion diferencial

∂2M

∂x2+ ρI

∂4w

∂x2∂t2+ F (x, t) = ρA

∂2w

∂t2, (2.7)

que al ser solucionada para la deflexion w permite estudiar el comportamiento elastico-plastico si

se define como es la fuerza de contacto F (x, t) ası como la relacion entre el momento flector M y

la deflexion (Normalmente el primer termino en (2.7) se escribe como −EI ∂4w∂x4 (ver Kolsky, 1963,

pg. 53) que es valido unicamente para estudiar las deformaciones elasticas, por lo tanto, aca se ha

dejado en terminos del momento flector M para poder tener en cuenta posibles plastificaciones del

material).

dx

Q

Q +∂Q∂x

M

M + ∂M∂x

Figura 2.1: Diagrama de cuerpo libre para un elemento diferencial de la viga.

CAPITULO 3

Procedimiento de Solucion

Una vez propuestos los modelos a utilizar, el siguiente paso sera resolverlos para una viga simple-

mente apoyada. Para hacer esto, lo primero sera determinar que suposiciones se deben hacer si se

quiere modelar el fenomeno analıticamente, en seguida se plantearan las condiciones iniciales y de

frontera que permiten solucionar las ecuaciones constitutivas, para finalmente mencionar como fue

el tratamiento que se hizo de la fuerza de interaccion entre la viga y la partıcula que la impacta.

Se empezara por determinar cuales seran las suposiciones a tener en cuenta. En este analisis

se asumira que el proyectil es lo suficientemente rıgido como para no presentar deformaciones ni

vibraciones y que la propagacion de ondas en la viga se dara a lo largo de esta (eje x). Se supondra,

tambien, que los efectos debidos a esfuerzos cortantes y velocidad de deformacion son despreciables.

Adicionalmente, se asumira que las deformaciones del material pueden ser modeladas por la teorıa

de pequenas deformaciones para un material isotropico (los modelos se plantearon para una viga de

material uniforma, en la seccion 3.4 se explica como se pueden adaptar para estudiar un material

compuesto) que en regimen elastico cumplen la ley de Hooke.

Para el caso de las condiciones iniciales se especifico que en el instante antes de la colision la viga se

13

CAPITULO 3. PROCEDIMIENTO DE SOLUCION 14

encuentra en reposo y la partıcula que la impacta viaja a una velocidad constante conocida. Mientras

que para las condiciones de frontera, debido al tipo de apoyo, se determino que el desplazamiento

vertical ası como el momento flector en los extremos es cero, tambien se sabe que como el impacto

ocurre en la mitad de la viga en este punto se presentara la maxima deflexion.

La fuerza de contacto entre el proyectil y la viga se analizara de dos formas, como primera aproxi-

macion se asumira que el choque es inelastico y que no hay penetracion en la viga; para este caso se

tiene que la aceleracion de la viga y la de el proyectil son iguales. La otra opcion es tener en cuenta

la penetracion parcial del proyectil en la viga, en este caso las aceleraciones de ambos cuerpos son

diferentes y estas se relacionaran con ayuda de la ley de contacto de Hertz.

En los anexos A, B y C se muestran en detalle los calculos que se llevaron a cabo para solucionar

los modelos de Cox, Euler y Rayleigh, respectivamente.

3.1. Modelo de Cox

Para el caso del modelo de Cox (seccion 2.1) se asumira que el impacto es inelastico, por lo tanto

las aceleraciones del proyectil y la viga son iguales. Sabiendo esto y que las fuerzas que actuan sobre

el proyectil son: el peso mpg y la fuerza de contacto con la viga F (L/2, t); del balance de fuerzas

sobre este cuerpo se obtiene que

F (L/2, t) = mpg −mpη. (3.1)

El siguiente paso para solucionar (2.3) sera plantear como se comporta la funcion f(x). Cox (1849)

propuso que esta funcion tuviera la misma forma que la curva de deformacion bajo carga estatica,

por consiguiente

f(x) =

3L2x−4x3

L3 , 0 6 x 6 L2;

4x3−12Lx2+9L2x−L3

L3 , L2

6 x 6 L.

(3.2)

Al unir (2.3), (3.1) y (3.2) y solucionar para η(t) se llega a que

η(t) =mpg

k

(1− cos

√k

mp + 1735mv

t

)+

mpvp√k(mp + 17

35mv

) sin

√k

mp + 1735mv

t, (3.3)


siendo k = 48EIL3 y mv la masa de la viga. Las ecuaciones (3.2) y (3.3) constituyen la solucion del

modelo de Cox para una viga simplemente apoyada y permiten estudiar la evolucion (deflexion) de

la viga para este primer modelo.

3.2. Modelo de Euler Bernoulli

La solucion de la ecuacion de Euler-Bernoulli se hara de dos maneras diferentes, en un primer caso

se supondra que el choque es inelastico y se planteara una solucion puramente analıtica para (2.4).

En una segunda aproximacion se considerara choque elastico y se desarrollara una solucion numerica

de (2.4) con ayuda de la ley de contacto de Hertz.

3.2.1. Choque Inelastico

Para el primer caso, en el que el choque es inelastico, la fuerza de contacto es instantanea, por

lo tanto F (x, t) = 0 (t 6= 0); para t = 0 Clebesch (1883)1 propuso que la fuerza de contacto fuera

reemplazada por la condicion de frontera

EI∂3w

∂x3=

1

2mp

∂2w

∂t2, (3.4)

que significa que la discontinuidad en la cortante de la viga para el punto de contacto debe igualar la

fuerza efectiva reversible del proyectil. Al utilizar (3.4) para solucionar (2.4) se obtiene la siguiente

expresion para la deflexion de la viga:

w(x, t) =L2vpa2

∞∑i=1

1

φ3i

sin2φix

L

cosφi− sinh

2φix

L

coshφi1

cos2 φi− 1

cosh2 φi+ 2mv

mpφ2i

sin4φ2

i a2

L2t, (3.5)

donde a4 ≡ EI/ρA y los φi cumplen la ecuacion trascendental

φi(tanφi − tanhφi) = 2mv

mp

. (3.6)

1Citado por Goldsmith (2001, pg. 58)


Las ecuaciones (3.5) y (3.6) son la solucion a la ecuacion de Euler-Bernoulli cuando no se tiene en

cuenta la indentacion del proyectil en la viga. Cabe anotar que la sumatoria en (3.5) se trunco cuando

la contribucion por tomar un termino mas fuera menor al 0, 1 %.

3.2.2. Choque Elastico

En el segundo caso se considero que el choque es elastico, lo que equivale a decir que la fuerza de

contacto es aplicada durante un intervalo de tiempo mayor a cero. Para solucionar (2.4) el problema

debe ser replanteado en terminos de la penetracion α(L/2, t) del proyectil en la viga, donde

α(L/2, t) = zp − w(L/2, t), (3.7)

siendo zp = vp − 1mp

∫ t0dt∫ t

0F (L/2, t)dt la posicion del proyectil a lo largo del eje z. De (Kolsky,

1963) se obtiene que la solucion a (2.4) para las condiciones de frontera que se estan trabajando es:

w(x, t) =L2

ρAa2π2

∞∑i=1

siniπx

L

sin iπ2

i2∫ L

0sin2 iπx

Ldx

∫ t

o

F (x, τ) sin

(i2π2a2

L2(t− τ)

)dτ. (3.8)

Por otro lado, si se utiliza la ley de contacto de Hertz (ver Johnson, 1987, cap. 2) para estudiar el

fenomeno de penetracion, se tiene que:

α(L/2, t) =

(F (L/2, t)

k2

)2/3

, (3.9)

donde k2 es una constante que depende tanto de los materiales como de las formas del proyectil y

la barra.

Para resolver el sistema de ecuaciones (3.7), (3.8) y (3.9) se discretizo el intervalo de tiempo a

analizar como t = n4τ con el fin de obtener una solucion numerica para la fuerza de contacto

F (t) (al solucionar el sistema se ha supuesto que la fuerza Fj = F (t = j4τ) permanece constante

durante el intervalo de tiempo 4τ). Una vez calculada F (t) se puede hallar la deflexion de la viga


mediante la ecuacion:

w(x, n4τ) =2

ρAL

n∑j=1

{Fj

∞∑i=1,3,5,...

(−1)i−12

i4sin

iπx

L

[cos

((iπa

L

)2

(n− j)4τ

)

− cos

((iπa

L

)2

(n− j + 1)4τ

)]}. (3.10)

La parte crıtica al solucionar este modelo es escoger un 4τ adecuado. Esto se hizo de tal manera

que se inicio por partir el intervalo de tiempo a analizar en cien partes (n = 100) y se calculo el

area bajo la curva de la fuerza de contacto, luego se incremento la particion en cien partes mas

(n = 200) y se volvio a calcular el area bajo dicha curva; este procedimiento se repitio hasta que la

diferencia de los resultados obtenidos entre una corrida y la siguiente fuera menor al 1 %.

3.3. Modelo de Rayleigh

Como se menciono en la seccion 2, el modelo de Rayleigh va a ser utilizado para tener en cuenta

los efectos tanto elasticos como plasticos del material. Por lo tanto, lo primero que se debe hacer es

obtener una relacion entre la curva esfuerzo vs. deformacion (σ/ε) del material y la deflexion de la

viga; la forma mas facil de hacer esto es convirtiendo dicha curva en una de momento vs. curvatura

(M/κ) y relacionandola con la deflexion mediante la expresion

κ = −∂2w

∂x2. (3.11)

En el apendice C se explica como se puede obtener la curva momento vs. curvatura (siguiendo el

planteamiento mostrado en (Li-ming et al., 2007)).

La ecuacion (3.12) muestran la relacion entre el momento flector M y la curvatura κ para un

material elastico-plastico.

M =

EIκ, 0 6 κ 6 κe;

Me

[β−1

2

(κeκ

)2+ β κ

κe+ 3

2(1− β)

], κe < κ;

(3.12)


donde Me = Sybh2/6 es el momento flector a partir del cual se presentan esfuerzos internos iguales

al esfuerzo de fluencia del material Sy y κe = Me/EI es la maxima curvatura en regimen elastico.

Las relaciones anteriores corresponden al proceso de carga (4κ > 0); cuando el material se descarga

(4κ < 0) lo hace siguiendo la relacion

M = M∗ − EI(κ∗ − κ), (3.13)

con M∗ y κ∗ el momento flector y la curvatura, respectivamente, en el momento en el que se inicia

la descarga. En la Fig. 3.1 se muestra como es la curva M/κ durante el proceso de carga y descarga

del material.

2κe

κe κ∗ κ

Me

M∗

M

0

!κ > 0

!κ < 0

Figura 3.1: Curva M/κ para un material elastico-plastico.

Las ecuaciones (2.7), (3.12) y (3.13) forman un sistema de ecuaciones diferenciales parciales no

lineales con condiciones de frontera variables. A la fecha no se ha podido desarrollar un metodo

para solucionar analıticamente este sistema, por lo tanto se debe solucionar numericamente. En

este caso se utilizo el metodo de diferencias finitas de segundo orden. Para discretizar el espacio se


dividio la barra en n partes, cada una de longitud 4x, mientras que el tiempo se dividio en cien o

mas intervalos, cada uno de duracion 4τ . Al hacer la discretizacion (2.7) se pude escribir como:

Mi+1,j − 2Mi,j +Mi−1,j = ρIwi+1,j − [2ρI + ρA(4x)2]wi,j + ρIwi−1,j, (3.14)

donde los subındices i indican posicion mientras que los subındices j tiempo; los terminos w∗,∗

representan las aceleraciones en la direccion z de cada uno de los nodos.

Para solucionar numericamente este modelo se debe seguir la siguiente secuencia de pasos: (i)

conocer las posiciones wi,j y los momentos flectores Mi,j para cada uno de los nodos i en el tiempo

t = tj, (ii) calcular la aceleracion de cada uno de los nodos resolviendo el sistema lineal (3.14),

(iii) con el vector de aceleraciones se obtienen las nuevas posiciones de cada uno de los nodos que

forman la viga para el tiempo t = tj+1 mediante la expresion

wi,j+1 = wi.j(4τ)2 + 2wi,j − wi.j−1, (3.15)

(iv) finalmente, se calculan los momentos flectores Mi,j+12 con ayuda de (3.11), (3.12) y (3.13) en

su version discretizada, para ası dar inicio a una nueva iteracion. El ciclo acaba cuando se ha iterado

para todos los tiempos tj.

3.4. Correcciones para Materiales Compuestos

Como se menciono anteriormente, los modelos se desarrollaron par una viga hecha de un solo

material. Sin embargo, en muchas aplicaciones es comun encontrar que la viga tiene una estructura

tipo sandwich en la que dos placas del mismo material son adheridas a las caras superior e inferior

de una placa hecha de otro material, ver Fig. 3.2. En esta figura se observa una placa de longitud L,

ancho b y espesor hm que se encuentra emparedada entre dos placas de la misma longitud y ancho

que la primera pero de espesor hex.

2Cuando se lleva a cabo la solucion numerica hay que definir una curva momento vs. curvatura (Fig. 3.1)

para cada uno de los nodos que componen la viga.


Lb

hm

hex

hex

Figura 3.2: Dimensiones y forma de una viga tipo sandwich.

Los modelos anteriores pueden ser utilizados para analizar el tipo de estructura explicado anterior-

mente si se cambian la rigidez a flexion EI y la densidad lineal ρA adecuadamente. Para el caso en

el que la placa de la mitad sea totalmente solido, la rigidez a flexion equivalente estara dada por:

(EI)eq = EmIm + 2EexIex, (3.16)

donde los subındices m y ex hacen referencia a las propiedades de la placa de en medio y las placas

ubicadas en las caras superior e inferior, respectivamente. En algunas casos se tiene que la placa de

la mitad no es totalmente solida sino que tiene una estructura tipo panal, para estos casos He &

Hu (2008) encontraron que la rigidez a flexion debera ser remplazada por:

(EI)eq = Eexb

[hex2

(hm + hex)2 +

h3ex

6

]. (3.17)

Para ambos casos la densidad lineal equivalente se puede calcular utilizando la expresion

(ρA)eq = ρmAm + 2ρexAex. (3.18)

Adicionalmente, si se utiliza el modelo de Rayleigh para estudiar una viga tipo sandwich es necesario

determinar la curva esfuerzo vs. deformacion equivalente.

Como se ha podido observar, para encontrar la deflexion de la viga es necesario llevar a cabo una

gran cantidad de calculos y procesos iterativos. Es por esto que para cada uno de los modelos se

escribio un codigo en Mathematica 6.0 que permite llevar a cabo dichos calculos y ası resolver las

ecuaciones planteadas.

http://www.wolfram.com

CAPITULO 4

Simulacion por Elementos Finitos

Los programas de elementos finitos1 han venido siendo utilizados como punto de comparacion

ya sea en trabajos experimentales (e.g., Yu et al., 2001; Seifried et al., 2006) o teoricos (e.g.,

Symonds & Fleming˜Jr, 1984) que estudian la dinamica del fenomeno de impacto. Por tal razon,

en este trabajo de investigacion se realizaron simulaciones con ABAQUS Explicit 6.7 que serviran

como metodo de verificacion de los resultados aca expuestos. Para llevar a cabo la modelacion por

elementos finitos, se siguio la secuencia de pasos: (i) construccion de las partes, (ii) definicion de las

propiedades del material, (iii) definicion de las condiciones iniciales y de frontera, (iv) especificacion

del tipo de interaccion entre las partes, (v) enmallado de las partes, (vi) procesamiento del modelo

y (vii) posprocesamiento.

En el modulo ABAQUS/CAE se construyeron la viga y el proyectil que la impacta. Ambas partes

se definieron como elementos planos en dos dimensiones; de tipo deformable para el caso de la

viga y de tipo rıgido para el caso del proyectil. Una vez creadas las piezas se definio un material

al cual se le especificaron propiedades de tipo general como la densidad y de tipo mecanicas como

1Programas tales como LS-DYNA y ABAQUS son algunos de los mas comunes.

21

http://www.simulia.com/products/abaqus_explicit.html

http://www.lstc.com/lsdyna.htm

http://www.simulia.com

CAPITULO 4. SIMULACION POR ELEMENTOS FINITOS 22

elasticidad y plasticidad. Para la parte elastica se especifico el valor del modulo de Young ası como

el valor del coeficiente de Poisson, mientras que para la parte plastica se introdujeron los valores de

la curva esfuerzo real vs. deformacion real2. El siguiente paso fue definir las condiciones iniciales y

de frontera. Para la viga se especifico la velocidad inicial como cero, en los extremos se restringio el

desplazamiento vertical y permitio rotacion en los apoyos. Para el proyectil se especifico un valor

diferente de cero para la velocidad inicial y se restringio el desplazamiento horizontal y la rotacion. A

continuacion se definio el tipo de interaccion entre ambos cuerpos de acuerdo al modelo de contacto

superficie contra superficie, se permitio la separacion despues del contacto inicial y se restringio la

penetracion del proyectil en la viga mediante el metodo de contacto penalizado. Finalmente, se

dicretizaron ambos cuerpos con un tamano de elemento diez veces menor que el diametro de el

proyectil. El tipo de elemento definido para la esfera fue: R2D2 lineal con uniones rıgidas; mientras

que para la placa fue: B21 lineal para viga plana.

La solucion del modelo se realizo con ayuda del modulo Explicit de ABAQUS. El tiempo de simu-

lacion se estipulo de tal manera que la viga alcanzara su maxima deflexion y regresara a la posicion

de inicio. Durante este intervalo de tiempo se definieron dos pasos, en el primero se especifico la

velocidad a la que se mueve el proyectil (esta permanece constante durante el paso) y en el segundo

se permitio el impacto entre ambos cuerpos. El posprocesamiento de la simulacion se llevo a cabo

con el modulo ABAQUS/Viewer, se realizaron diferentes graficas de evolucion y de contorno para

determinar las deflexiones y esfuerzos a lo largo de la viga.

2La curva de esfuerzo deformacion se obtuvo de un ensayo de tension realizado en la maquina de ensayos

universales INSTRON.

http://www.instron.us

CAPITULO 5

Resultados

Una vez implementados los codigos en Mathematica se procedio a simular la colision de una esfera

de acero que choca contra una viga simplemente apoyada en sus extremos. Los parametros de

entrada que se estudiaron fueron: velocidad del proyectil, masa del proyectil (cambiando el diametro

de este), longitud entre apoyos y material de la viga (varıa la relacion E/ρ); mientras que el ancho

y espesor de la barra se dejaron fijos. Las variables de estudio son: tiempo de oscilacion (el tiempo

que se demora la viga en alcanzar su maxima deflexion y regresar a la posicion inicial), deflexion y

momento flector (a traves de este se pueden determinar los esfuerzos).

En la Tabla 5.1 se muestran los rangos de estudio para cada uno de los parametros (se trabajo con

algunos valores dentro del rango listado). Para analizar las deformaciones elasticas del material se

trabajo con velocidades menores o iguales a 75 m/s, mientras que para estudiar el comportamiento

elastico-plastico se trabajo con velocidades mayores.

En los apendices D, E y F se muestran los codigos implementados en Mathematica para hacer los

calculos de los modelos de Cox, Euler y Rayleigh, respectivamente.

23

CAPITULO 5. RESULTADOS 24

Rango de los Parametros de Entrada

Velocidad del proyectil 0,2− 150 m/s

Diametro del proyectil* 5− 30 mm

Longitud de la viga 30− 60 cm

Espesor de la viga 5 mm

Ancho de la viga 4 o 10 cm

Material de la viga Acero, Aluminio,

Kevlar, Titanio.

*Para variar la masa del proyectil se modifico su diametro.

Tabla 5.1: Rango de estudio de los parametros de entrada.

5.1. Deformaciones Elasticas

Para el caso en el que el impacto genera unicamente deformaciones elasticas se utilizaron los

modelos de Cox, ecuaciones (3.2) y (3.3); Euler suponiendo choque inelastico, ecuacion (3.5) y

Euler suponiendo choque elastico, ecuacion (3.10). Los resultados se compararon con simulaciones

hechas en ABAQUS.

En primer lugar se estudio la influencia que tiene la velocidad de impacto en las variables de salida.

En la Fig. 5.1 se muestra la relacion que existe entre la maxima deflexion de la barra y la velocidad

de impacto, en la Fig. 5.2 se grafico el esfuerzo maximo1 en la barra como funcion de la velocidad

del proyectil y en la Fig. 5.3 se aprecia la evolucion temporal de la deflexion del punto medio para

diferentes velocidades (solo se muestran las curvas obtenidas con el modelo de Euler para choque

elastico ya que con los otros dos modelos se obtiene el mismo patron). Los parametros restantes

se especificaron de la siguiente manera: diametro del proyectil 10 mm, longitud de la viga 60 cm,

ancho 4 cm y material acero.

El segundo parametro que se estudio fue la masa del proyectil. La influencia que tiene variar este

1Los esfuerzos predichos con los modelos de Cox y Euler para choque inelastico no se muestran ya que con

estos modelos no se puede predecir esfuerzos.


àà

àà

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ã

ã

ææ

æ

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æ

æ

æ

æ

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0 20 40 60 800

1

2

3

4

vp Hm�sL

wm

axHm

mL

æ Euler HelásticoLã Euler HinelásticoLà Cox

ABAQUS

Figura 5.1: Relacion entre la maxima deflexion de una viga y la velocidad de impacto, para la

colision de un proyectil de 1 cm de diametro sobre una viga de 60 cm de longitud, 5 mm de

espesor y 4 cm de ancho.

ææ

æ

æ

æ

æ

ææ

æ

æ

æ

0 20 40 60 800

50

100

150

200

250

300

350

vp Hm�sL

Σm

axHM

PaL

æ Euler HelásticoLABAQUS

Figura 5.2: Esfuerzo maximo en una viga como funcion de la velocidad de impacto, para la

colision de un proyectil de 1 cm de diametro sobre una viga de 60 cm de longitud, 5 mm de

espesor y 4 cm de ancho.


0 5 10 150

1

2

3

4

t HmsL

wHL

�2LHm

mL

40 m�s50 m�s75 m�s

0 5 10 150

1

2

3

4

t HmsL

wHL

�2LHm

mL 10 m�s

15 m�s20 m�s25 m�s

Figura 5.3: Evolucion temporal de la deflexion del punto medio de una viga que es impactada

a diferentes velocidades por un proyectil de 1 cm de diametro. Las dimensiones de la viga

impactada son: longitud 60 cm, espesor 5 mm y ancho 4 cm. Curvas obtenidas con el modelo

de Euler asumiendo que el impacto es elastico.

parametro sobre la maxima deflexion y sobre el esfuerzo maximo esta graficada en las Fig. 5.4 y

5.5, respectivamente. Mientras que la Fig. 5.6 corresponde a la evolucion temporal de la deflexion

del punto medio para proyectiles de diferentes masas (en la figura esta indicado el diametro del

proyectil), solo se muestran las curvas obtenidas con el modelo de Euler para choque elastico ya que

los otros dos modelos arrojan resultados similares. Este analisis fue hecho para una viga de acero

de 30 cm de longitud y 10 cm de ancho, la velocidad de impacto fue de 5 m/s. Adicionalmente, en

la Fig. 5.7 se ha graficado la maxima deflexion de la viga como funcion de la energıa cinetica del

proyectil.

En tercer lugar se estudiaron los efectos debidos a modificar la longitud de la viga. En la Fig. 5.8 se

muestra la curva de evolucion temporal de la deflexion del punto medio, en este caso se analizo una

viga de acero de 10 cm de ancho que es impactada por un proyectil de 1 cm de diametro que viaja

a una velocidad de 5 m/s. Finalmente, en la Fig. 5.9 se han dejado fijas las dimensiones de la viga

ası como la velocidad y masa del proyectil y se ha estudiado la influencia en las variables de salida que

genera cambiar el material de la barra. En este caso se trabajo con una viga de 60 cm de longitud,


àà

à

à

à

à

ããã

ã

ã

ã

æ

æ

æ

æ

æ

æ

0 20 40 60 80 100 120

0.0

0.5

1.0

1.5

mp HgL

wm

axHm

mL


ABAQUS

Figura 5.4: Relacion entre la maxima deflexion de una viga y la masa del proyectil que la

impacta, se impacto una viga de 30 cm de longitud, 5 mm de espesor y 10 cm de ancho a una

velocidad de 5 m/s.

æ

æ

æ

æ

æ

æ

0 20 40 60 80 100 1200

50

100

150

200

250

300

350

mp HgL

Σm

axHM

PaL

æ Euler HelásticoLABAQUS

Figura 5.5: Esfuerzo maximo en una viga como funcion de la masa del proyectil, para una

velocidad de impacto de 5 m/s sobre una viga de 30 cm de longitud, 5 mm de espesor y 10 cm

de ancho.


0 1 2 3 40.0

0.5

1.0

1.5

t HmsL

wHL

�2LHm

mL

30 mm 25 mm 20 mm 15 mm 10 mm

Figura 5.6: Evolucion temporal de la deflexion del punto medio de una viga que es impactada

por un proyectil de diferentes masas a una velocidad de 5 m/s. Las dimensiones de la viga

impactada son: longitud 30 cm, espesor 5 mm y ancho 10 cm. Curvas obtenidas con el modelo

de Euler asumiendo que el impacto es elastico.

ààààà

à

à

à

à

à

à

ããããããã

ã

ã

ã

ã

ææ

æ

ææ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

0 2 4 6 8 10 120

1

2

3

4

T HJL

wm

axHm

mL


ABAQUS

Figura 5.7: Maxima deflexion de la viga como funcion de la energıa cinetica del proyectil, para

una viga de 60 cm de longitud, 5 mm de espesor y 4 cm de ancho.


0 5 10 150

20

40

60

80

100

120

t HmsL

wHL

�2LHΜ

mL 60 cm

50 cm40 cm30 cm

Figura 5.8: Evolucion temporal de la deflexion del punto medio para vigas de 5 mm de espesor,

10 cm de ancho y diferentes longitudes que son impactadas por un proyectil de 1 cm de diametro

que viaja a 5 m/s. Curvas obtenidas con el modelo de Euler asumiendo que el impacto es elastico.

5 mm de espesor y 10 cm de ancho que es impactada por un proyectil de 1 cm de diametro que

viaja a 5 m/s.

Como se menciono en la seccion 3.2, los modelos de Cox y el de Euler cuando el choque es

inelastico asumen que despues de la colision el proyectil y la viga viajan juntos, sin embargo esto

solo es cierto en algunos casos, bajo determinadas circunstancias (proyectil masivo y velocidad de

impacto media) se observa que despues de la colision los dos cuerpos pueden separarse y volver a

colisionar. En la Fig. 5.10 se ha graficado la fuerza de contacto que existe entre el proyectil y la viga

como funcion del tiempo para el impacto de un proyectil de 1 cm de diametro que viaja a 5 m/s

e impacta una viga de aluminio de 60 cm de longitud, 5 mm de espesor y 10 cm de ancho. Curva

obtenida con el modelo de Euler asumiendo que el impacto es elastico. Cuando la fuerza se hace

cero y despues vuelve a tomar un valor diferente de cero significa que ambos cuerpos han dejado de

viajar juntos y despues vuelven a colisionar. Los cambios producidos en la evolucion de la deflexion

al tener en cuenta la fuerza de contacto se muestran en la Fig. 5.11.

Por otro lado, tambien es interesante observar como se va deformando la viga en funcion del

tiempo hasta alcanzar su maxima deflexion; en la Fig 5.15 se ha graficado la viga deflectada para


0 2 4 6 8 10 12 140.0

0.1

0.2

0.3

0.4

t HmsL

wHL

�2LHm

mL Titanio

KevlarAluminioAcero

Figura 5.9: Evolucion temporal de la deflexion del punto medio para vigas hechas de distintos

materiales, que son impactadas por un proyectil de 1 cm de diametro que viaja a 5 m/s. Las

dimensiones de la viga son: longitud 40 cm, espesor 5 mm y ancho 10 cm. Curvas obtenidas

con el modelo de Euler asumiendo que el impacto es elastico.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.20

2

4

6

8

t HmsL

Fco

ntat

oHK

NL

Euler HelásticoLABAQUS

5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 6.00

2

4

6

8

t HmsL

Fco

ntat

oHK

NL

Euler HelásticoLABAQUS

Figura 5.10: Evolucion temporal de la fuerza de contacto para la colision de un proyectil de

acero de 4 cm de diametro que viaja a una velocidad de 20 m/s e impacta una viga de aluminio

de 60 cm de longitud, 5 mm de espesor y 10 cm de ancho.


ocho instantes de tiempo diferentes. Adicionalmente, en las Fig. 5.14, 5.13 y 5.12 se han graficado

los campos de deformacion para los modelos de Cox, Euler asumiendo choque inelastico y Euler

asumiendo choque elastico, respectivamente. Se estudio una viga de 30 cm de longitud, 5 mm de

espesor y 10 cm de ancho que es impactada por un proyectil de 1 cm de diametro que viaja a 20 m/s.

0 2 4 6 80

2

4

6

8

t HmsL

wHL

�2LHm

mL

Euler HelásticoLEuler HinelásticoLCoxABAQUS

Figura 5.11: Evolucion temporal de la deflexion del punto medio para la colision de un proyectil

de acero de 4 cm de diametro que viaja a una velocidad de 20 m/s e impacta una viga de

aluminio de 60 cm de longitud, 5 mm de espesor y 10 cm de ancho.

Figura 5.12: Campo de deformaciones obtenido con el modelo de Cox para una viga de 30 cm

de longitud, 5 mm de espesor y 10 cm de ancho que es impactada por un proyectil de 1 cm de

diametro que viaja a 20 m/s..


Figura 5.13: Campo de deformaciones obtenido con el modelo de Euler asumiendo que el choque

es inelastico, para una viga de 30 cm de longitud, 5 mm de espesor y 10 cm de ancho que es

impactada por un proyectil de 1 cm de diametro que viaja a 20 m/s.

Figura 5.14: Campo de deformaciones obtenido con el modelo de Euler asumiendo que el choque

es elastico, para una viga de 30 cm de longitud, 5 mm de espesor y 10 cm de ancho que es

impactada por un proyectil de 1 cm de diametro que viaja a 20 m/s.


0 L2

LL4

3 L4

0

50

100

150

200

250

300

wH0.

20m

sLHΜ

mL


0 L2

LL4

3 L4

0

50

100

150

200

250

300

wH0.

36m

sLHΜ

mL


0 L2

LL4

3 L4

0

50

100

150

200

250

300

wH0.

60m

sLHΜ

mL


0 L2

LL4

3 L4

0

50

100

150

200

250

300

wH0.

68m

sLHΜ

mL


0 L2

LL4

3 L4

0

50

100

150

200

250

300

wH1.

00m

sLHΜ

mL


0 L2

LL4

3 L4

0

50

100

150

200

250

300

wH1.

48m

sLHΜ

mL


0 L2

LL4

3 L4

0

50

100

150

200

250

300

wH1.

64m

sLHΜ

mL


0 L2

LL4

3 L4

0

50

100

150

200

250

300

wH1.

96m

sLHΜ

mL


Figura 5.15: Evolucion de la deflexion a lo largo de una viga de 30 cm de longitud, 5 mm de

espesor y 10 cm de ancho que es impactada por un proyectil de 1 cm de diametro que viaja a

20 m/s.


5.2. Deformaciones Elasticas y Plasticas

Para el caso en el que los esfuerzos en la viga superan el esfuerzo de fluencia del material debido

al aumento en la masa del proyectil ası como en su velocidad se empleo el modelo de Rayleigh,

ecuaciones (3.12)-(3.14).

Para la viga con apoyos simples que se ha estado estudiando se considero el impacto de un proyectil

que viaja a 130 m/s. En las Fig. 5.16 a 5.20 se muestra como es la evolucion temporal del momento

flector a lo largo de la viga (cuando este supera los 10 Nm se producira plasticidad). Mientras que

la evolucion temporal de la barra deformada se ilustra en la Fig. 5.21. Como se menciono en la

pagina 19, al implementar la solucion numerica del modelo de Rayleigh, cada elemento en los que

fue dividida la viga sigue su propia curva momento vs. curvatura como la que se muestra en la Fig.

3.1. Dependiendo del momento flector generado en cada elemento este puede oscilar en la region

lineal de dicha curva o puede acceder a la region no lineal y oscilar en esta. En la Fig. 5.22 se ilustra

la oscilacion de la curva momento vs. curvatura para un elemento ubicado en las cercanıas al punto

medio de la viga.

0 L2

LL4

3 L4

-20

-15

-10

-5

0

5

10

MH0.

3msL

HNm

L

Rayleigh

ABAQUS

Figura 5.16: Momento flector a lo largo de una viga de longitud 70 cm, espesor 4,5 mm y ancho

2 cm cuando se presenta plastificacion debido al impacto de un proyectil de 2 cm de diametro

que viaja 130 m/s (t = 0,3 ms).


0 L2

LL4

3 L4

-20

-15

-10

-5

0

5

10M

H0.7m

sLHN

mL

Rayleigh

ABAQUS




0 L2

LL4

3 L4

-20

-15

-10

-5

0

5

10

MH1.

1msL

HNm

L

Rayleigh

ABAQUS





0 L2

LL4

3 L4

-20

-15

-10

-5

0

5

10M

H1.5m

sLHN

mL Rayleigh

ABAQUS




0 L2

LL4

3 L4

-20

-15

-10

-5

0

5

10

MH2.

2msL

HNm

L Rayleigh

ABAQUS





0 L2

LL4

3 L4

-3

-2

-1

0

1

2

3w

Hmm

L 0.3 ms0.7 ms1.1 ms1.5 ms2.2 ms

Figura 5.21: Deformacion a lo largo de una viga de longitud 70 cm, espesor 4,5 mm y ancho


que viaja 130 m/s.

0.0 0.5 1.0 1.5-10

-5

0

5

10

15

20

Κ Hm-1L

MHN

mL

Figura 5.22: Curva momento vs. curvatura seguida por uno de los elementos cercanos a la mitad

de la viga.

CAPITULO 6

Discusion de Resultados

Los resultados presentados en la seccion anterior muestran que los modelos teoricos estudiados

permiten estimar diversos factores involucrados en el fenomeno de impacto tales como: la deflexion,

el momento flector (esfuerzos), tiempo de oscilacion y la fuerza de contacto entre el proyectil y la

viga. Cuando se compararon los resultados obtenidos en este trabajo con las predicciones hechas

con ABAQUS se encontro que para el regimen elastico el modelo de Euler asumiendo impacto

elastico, Eq. (3.10), es el que mas se asemeja y el modelo de Cox, Eq. (3.2) y (3.3), el que menos lo

hace. Cuando la velocidad de impacto supera los 75 m/s, aproximadamente, se presentan esfuerzos

iguales o superiores al esfuerzo de fluencia del material donde los modelos de Cox y Euler dejan de

ser validos, por lo tanto se tiene que utilizar el modelo de Rayleigh que tiene en cuenta los efectos

disipativos debidos a plastificaciones dentro del material.

Cuando se estudio la influencia que tienen la velocidad y masa del proyectil sobre las variables de

salida se encontro que existe una relacion lineal entre la deflexion maxima con la velocidad ası como

con la masa (Fig.. 5.1 y 5.4). Para el caso de los esfuerzos maximos la relacion que existe con la

velocidad de impacto tambien es lineal, pero se relaciona parabolicamente con la masa del proyectil

38


CAPITULO 6. DISCUSION DE RESULTADOS 39

(Fig. 5.2 y 5.5). En ambas figuras se puede apreciar que los resultados predichos con el modelo de

Euler asumiendo impacto elastico, aunque siguen la misma tendencia que lo predicho con ABAQUS,

tienden a sobreestimar los esfuerzos; esto puede deberse al criterio de convergencia (pg. 17) ya que

en cada iteracion se esta disminuyendo el tamano de la particion del intervalo de tiempo, lo que

en un analisis numerico puede significar sobreestimaciones de las fuerzas. El hecho que la diferencia

entre los resultados obtenidos con ayuda de los modelos analıticos estudiados se acentue a medida

que se aumenta la velocidad y masa del proyectil se debe a que bajo estas condiciones la energıa

cinetica del proyectil es lo suficientemente grande como para que las deformaciones elasticas la

pueda disipar, por lo tanto se genera plastificacion en algunas zonas (tal como lo predice el modelo

de Rayleigh).

De las Fig. 5.3 y 5.6 se puede inferir que ni la velocidad ni la masa del objeto que impacta afectan

significativamente el tiempo de oscilacion o el tiempo al que ocurre la maxima deflexion. Tambien

se puede deducir que la evolucion temporal de la deflexion sigue el mismo patron sin importar el

valor de estos parametros, lo que varıa es la amplitud de la deformacion. Al analizar la deformacion

maxima en relacion con la energıa cinetica del proyectil se encontro que tiene un comportamiento

similar al de la funcion raız cuadrada, esto puede significar que la energıa cinetica que es capaz de

disipar la viga tiene un punto de saturacion a partir del cual se presentaran deformaciones plasticas.

Cuando se estudiaron las implicaciones que tiene variar la longitud de la viga ası como el material

del que esta hecha, se noto que estos parametros afectan drasticamente el tiempo de oscilacion. A

medida que se aumenta el tamano de la barra se encuentra que el tiempo de oscilacion sera mayor

y que habra deflexiones mas grandes (Fig. 5.8). Para el caso en el que se modifica el material se

observa que para materiales que tengan una relacion E/ρ menor, el tiempo de oscilacion tambien

sera menor (Fig. 5.9). De esta misma figura se puede extraer que los valores de las deformaciones

estan relacionados con la densidad del material, se observa que entre menos denso sea el material

mayores seran las deformaciones. Al igual que cuando se varıan la velocidad y masa del objeto que

impacta, el patron vibracional de la evolucion temporal no se ve afectado si se cambian la longitud

o material de la viga.



Si se considera que al interior del material se esta presentando un fenomeno disipativo mediante la

propagacion de ondas, el hecho de tener menores tiempos de oscilacion significa que la disipacion se

esta produciendo mas rapido. Sin embargo, aunque la viga este disipando la energıa que le transfirio el

proyectil mas rapidamente el precio que hay que pagar es que los esfuerzos internas seran mayores,

lo que puede llegar a incurrir en la falla del elemento.

En la Fig. 5.11 se puede apreciar claramente la importancia que tiene estudiar la fuerza de contacto

entre el proyectil y la barra; en esta se observa como los modelos de Euler asumiendo choque inelastico

y Cox predicen erroneamente tanto el tiempo de oscilacion como la curva de deformacion, mientras

que el modelo de Euler asumiendo impacto elastico predice resultados similares a los de ABAQUS.

La Fig. 5.10 muestra como es la fuerza que produce el proyectil en la barra; en esta se aprecian varios

picos seguidos por intervalos en los que la fuerza cae a cero, cada uno de ellos corresponde a una

diferente colision entre ambos cuerpos; por lo tanto, para este caso se observa que se presentaran 5

diferentes colisiones entre el proyectil y la viga. El fenomeno mostrado en dicha figura se presenta

para casos en que la longitud de la viga es pequena, el proyectil es masivo y viaja a una velocidad

entre 10 m/s y 20 m/s. Para los otros casos, asumir que despues de la colision los dos objetos viajan

como uno solo (impacto plastico) o que el proyectil rebota y no vuelve a entrar en contacto con la

barra es totalmente valido.

Al estudiar como se va deformando la viga a medida que pasa el tiempo se encontro que el modelo

en el que se estudia la fuerza de contacto es el que mejor predice este comportamiento (Fig. 5.15).

En esta figura tambien se puede apreciar la propagacion de ondas a lo largo de la viga que produce

que la deformacion no vaya aumenta continuamente hasta alcanzar la maxima deflexion (podrıa ser

interesante estudiar la posible existencia de fatiga debida a este fenomeno disipativo).

Algunos de los inconvenientes encontrados son: el modelo de Cox es incapaz de predecir el fenomeno

de vibracion y tiende a diferir bastante de los resultados predichos por ABAQUS, con los modelos

de Cox o Euler-Bernoulli no se pueden estimar los esfuerzos en el material, mientras que el proceso

iterativo llevado a cabo para estudiar la fuerza de contacto (impacto inelastico) tiende a sobreestimar

los esfuerzos y las deformaciones.




Para los casos en los que se presenta plasticidad, el modelo de Rayleigh junto con una curva

apropiada de momento vs. curvatura permitieron estudiar como y donde se produce plastificacion

en la viga. Al estudiar el momento flector que se produce en la barra se observa que debido a que

la energıa que le transfiere el proyectil al impactarla es superior a la energıa que se puede disipar

elasticamente, la zona aledana al punto de impacto se plastificara (para que se presente plastificacion

el momento flector debe ser igual a superior a 10 Nm) y se empezara a propagar una onda plastica

(Fig. 5.16). A causa de la onda plastica se producira plasticidad en algunos puntos dentro del segundo

y septimo octavo de la barra (Fig. 5.17); el frente plastico se propagara hacia el primer y ultimo

octavo generando plasticidad en mas lugares (Fig. 5.18). Finalmente la onda plastica sera atenuada

por la elastica y sera esta ultima la que determine el momento flector (Fig. 5.19 y 5.20). Al estudiar

la curva de deformacion de la viga (Fig. 5.21) se puede ver como la zona aledana al punto de impacto

se encuentra plastificada y como el frente de onda se va propagando hacia los extremos. Tambien

se puede inferir de esta figura, que a diferencia del caso cuando las deformaciones son puramente

elasticas, en este caso la viga no vibra como un solo objeto (Fig. 5.15) sino que oscila como si fueran

dos barras apoyadas simplemente en un extremo y unidas por su otro extremo a un elemento que les

amortigua las vibraciones. Cabe anotar que estos resultados son comparables con los encontrados

por Yu et al. (1996) en su estudio del comportamiento dinamico de una barra libre sometida a un

impulso.

Cuando se estudia la Fig. 5.22 se puede ver el comportamiento elastico-plastico de la viga. Notese

que en un principio el elemento solo presenta esfuerzos menores al esfuerzo de fluencia y se mantiene

oscilando en esta parte de la curva (la oscilacion elastica corresponde a la parte lineal de la curva en

la que se presentan momentos flectores positivos y negativos). Despues de cierto tiempo, el momento

flector alcanza el lımite de fluencia y se presentan deformaciones plasticas, las lıneas rectas que bajan

de la curva principal corresponden al movimiento oscilatorio que hay en la viga. De esta figura se

puede inferir que las ondas elasticas estan interactuando en todo momento con el frente de onda

plastica y por lo tanto se ve que no es apropiado suponer que el material tiene un comportamiento

rıgido-plastico, sino que se debe trabajar con un modelo elastico-plastico.

CAPITULO 7

Revision de Metodos Experimentales en Impacto

La importancia de realizar mediciones durante el impacto se debe a la cantidad de trabajo (energıa

disipada) realizado en este evento. Para llevar a cabo el proceso experimental existen muchas tecnicas

y metodos, sin embargo, en este capıtulo solo se hara mencion de los metodos experimentales tıpicos1

con especial enfasis en los sistemas para la medicion de velocidad con laser.

El montaje experimental para estudiar el impacto de un proyectil sobre una placa o viga se puede

dividir en dos partes: la primera parte esta constituida por un mecanismo que se encarga de propulsar

el proyectil en direccion de la placa a una velocidad especıfica, mientras que la segunda parte

esta constituida por los instrumentos de medicion que permiten determinar la posicion o velocidad

del proyectil y/o viga a medida que ocurre la colision.

1La seleccion de los metodos experimentales tıpicos esta basada en la clasificacion hecha por Starratt et al.

(2000).

42

CAPITULO 7. REVISION DE METODOS EXPERIMENTALES EN IMPACTO 43

7.1. Mecanismos para Impartirle Velocidad al Proyectil

Dependiendo del rango de velocidad en el que se este trabajando, el dispositivo encargado de

impulsar el proyectil varıa. En la Tabla 7.1 se muestra el instrumento empleado para impulsar el

proyectil de acuerdo a su velocidad.

Montaje experimental para impartirle velocidad al proyectil

Alta Velocidad > 100 m/s Pistola de polvora

Baja Velocidad & 10 m/s Pistola de aire

Muy baja Velocidad ∼ 1 m/s Caıda de objeto

Cuasi Estatico ∼ 1× 10−2 m/s Maquina de ensayos estaticos

Tabla 7.1: Rangos de velocidad segun el mecanismo para impartir la velocidad inicial del pro-

yectil.

Cuando se trabaja en el rango de muy baja velocidad, el dispositivo que normalmente se utiliza es

una maquina de ensayos de impacto por la caıda de un peso. Este tipo de instrumentos deja caer

un objeto de masa conocida que se encuentra a una altura tambien conocida sobre la placa que se

va a impactar. Para variar la velocidad (energıa) de impacto se puede modificar la masa y altura del

objeto que se deja caer.

Para impacto de baja velocidad usualmente se emplea una pistola de aire como la explicada por

Delfosse et al. (1993). Este tipo de instrumento utiliza aire comprimido para propulsar un proyectil

liviano a lo largo del canon de la pistola. Si se varıa la presion del aire se puede modificar la velocidad

inicial del proyectil.

Finalmente, para impacto de alta velocidad, el dispositivo empleado para disparar el proyectil es

una pistola de polvora; este dispositivo es similar a la pistola de aire, con la diferencia que en este

caso se varıa la cantidad de polvora para modificar la velocidad de impacto.


7.2. Metodos de Medicion

La mayorıa de los metodos de medicion que se emplean hoy en dıa efectuan las mediciones de

manera discreta a medida que ocurre el impacto. Los instrumentos tıpicos para medir la evolucion

temporal de la placa impactada son: fotografıas de alta velocidad, cronografos y sensores opticos;

siendo los dos ultimos los mas comunes para medir la velocidad de impacto (Sanders, 1997). Con

estos dispositivos de medicion la velocidad se puede calcular a partir del tiempo que tarda el proyectil

en recorrer la distancia entre un sensor y otro. Los sensores que son usualmente empleados son: diodo

emisor de luz (LED por sus siglas en ingles), as de laser o franja delgada de luz laser.

Otros dos dispositivos de medicion que capturan la informacion de manera discreta son los sensores

de microvelocidad y los diodos fotovoltaicos. Los primeros son bastante similar en concepto a los

sensores opticos, con la diferencia que en estos se utilizan cables en lugar de los sensores opticos. El

sensor de microvelocidad consta de una serie de cables ubicados perpendicularmente a la direccion de

movimiento del proyectil. Este dispositivo funciona gracias a que a medida que el proyectil avanza se

va generando un flujo de corriente en cada uno de los cables debido a un magneto que se encuentra

adherido al proyectil; la gran limitacion de este metodo de medicion es que se deben ubicar tantos

cables como medidas se quieran realizar.

Un tipo de dispositivos de medicion mas conveniente es uno en el que se puedan llevar a cabo

mediciones de manera continua. Para esto se puede utilizar un interferometro, sin embargo, este

tipo de dispositivo tiende a ser costoso y la adquisicion de datos puede ser complicada. Otra forma

de realizar mediciones de manera continua es poniendo instrumentos de medicion directamente en el

proyectil tales como acelerometros; sin embargo este tipo de montaje solo permite efectuar medidas

para velocidades inferiores a 50 m/s ya que a velocidades superiores se presentan problemas con el

cableado del acelerometro (Sanders, 1997).

Para lograr un equilibrio entre practicidad y bajo costo, Starratt et al. (2000) desarrollaron un

metodo para medir la velocidad del proyectil de manera continua mediante la utilizacion de una

fuente de luz laser y un detector foto-voltaico.


7.3. Sistemas para la Medicion de Velocidad con Laser

Para medir la velocidad o posicion del proyectil con ayuda de un laser las dos opciones mas

comunes son el anemometro por efecto doppler, Wu et al. (1994); Wu & Chang (1995), o los

dispositivos foto-electronicos por interferencia, Musayev (2006; 2007). En esta seccion se explicara el

funcionamiento de un dispositivo foto-electronico por interferencia debido a su practicidad y bajo

costo (aproximadamente 1.500 USD).

En la Fig. 7.1 se muestra el montaje experimental desarrollado por Starratt et al. (2000) para medir

la velocidad del proyectil. Este montaje consta de: un diodo laser (# 1), dos lentes plano-cilındricos

(# 2 y # 5), una rendija de apertura (# 3), un filtro (# 4), un lente colector convexo (#6) y un

foto-detector (# 7).

El funcionamiento de este dispositivo experimental se basa en la transduccion de la velocidad

del proyectil a partir del voltaje generado en el foto-detector debido a la cantidad de luz que no

es bloqueada por el proyectil cuando este atraviesa la franja de luz laser. Las etapas seguidos

por el proyectil durante el proceso experimental son: (i) mientras que el proyectil se encuentre

fuera de la franja de luz laser (posicion A Fig. 7.1) un osciloscopio conectado al foto-detector

mostrara el maximo voltaje que se puede obtener, (ii) cuando el proyectil se mueve de la posicion

A a la B, este ira bloqueando el laser gradualmente y el voltaje disminuira proporcionalmente a la

intensidad de la luz bloqueada, (iii) hasta que el proyectil alcance la posicion C el voltaje medido se

mantendra constante en el valor mınimo, (iv) desde la posicion C hasta la E el proyectil volvera a

permitir el paso gradual de la franja de luz laser con lo que se producira un aumento en la intensidad

de la luz que llega al foto-detector y por lo tanto un aumento en el voltaje medido; la posicion D

corresponde al momento en el que el proyectil entra en contacto con la placa por primera vez.

Haciendo una calibracion adecuada, como la que se explica en detalle en (Starratt et al., 2000),

se puede transducir la senal de voltaje (en la Fig. 7.2 se muestra una curva de voltaje vs. tiempo

reportada por Starratt et al.) a velocidad del proyectil en funcion del tiempo y de esta manera

obtener la fuerza de contacto (derivando la funcion de velocidad medida) y la deflexion (integrando

la funcion de velocidad medida) de la placa como funcion del tiempo.


Figura 7.1: Montaje utilizado por Starratt et al. (2000) para medir la velocidad de un proyectil

que impacta una placa.

Figura 7.2: Ejemplo de una curva voltaje vs. tiempo reportada por Starratt et al. (2000).

CAPITULO 8

Conclusiones

En este trabajo se estudiaron una serie de modelos analıticos para investigar el comportamiento

de una viga con apoyos simples en sus extremos que es impactada por un objeto masivo que viaja

a velocidad baja; los resultados obtenidos se compararon con simulaciones hechas en ABAQUS. Al

hacer esto se ha podido concluir lo siguiente.

Cuando se estudio el regimen elastico se encontro que el modelo de Euler asumiendo que el

impacto es elastico es el que mas se asemeja a los resultados obtenidos con ABAQUS. Del estudio

que se hizo sobre la influencia de algunos de los parametros se encontro que ni la velocidad ni la

masa del objeto que impacta afectan significativamente el tiempo de oscilacion o el tiempo al que

ocurre la maxima deflexion; por el contrario, la longitud de la viga ası como el material del que

esta hecha si afectan ambas variables. Para ciertos casos se encontro que despues del impacto inicial

el proyectil y la viga pueden separarse y volver a colisionar en otras oportunidades, lo que afecta

significativamente la evolucion de la viga si se compara con los modelos que suponen que despues

del impacto ambos objetos viajan como uno solo. Al hacer un estudio cuando los esfuerzos internos

pueden superar el esfuerza de fluencia del material se observo que los frentes de onda elastico y

47


CAPITULO 8. CONCLUSIONES 48

plastico interactuan a medida que se deforma la viga y por lo tanto se ve la necesidad de trabajar

con modelos elastico-plasticos en lugar de con modelos rıgido-plasticos.

Al comparar los modelos se puede concluir que el de Cox puede ser utilizado para darse una idea

del orden de magnitud de las deformaciones ası como del tiempo de oscilacion, sin embargo con

este modelo no se puede estudiar la propagacion de ondas (por lo tanto la disipacion que ocurre al

propagarse la onda) y el modelo es incapaz de predecir los esfuerzos. Cuando se utiliza el modelo

de Euler para choque elastico tampoco se pueden predecir correctamente los esfuerzos ya que la

solucion para el momento flector no converge. Para velocidades superiores a 75 m/s los modelos de

Cox y Euler dejan de ser validos y se debe utilizar el modelo de Rayleigh con junto con una curva

de momento vs. curvatura.

APENDICE A

Calculos del Modelo de Cox

El modelo de Cox supone que la deflexion de la viga bajo carga dinamica tiene la misma forma que

la curva de deflexion bajo carga estatica; por lo tanto, lo primero que se debe hacer es encontrar la

curva de deflexion estatica. Para hacer esto se utilizara el metodo de las funciones de singularidad

en el que se emplean las funciones de Macaulay,

〈x− a〉n =

0, x < a;

(x− a)n, x > a.

(A.1)

Para una viga simplemente soportada a la que se le aplica una fuerza F en su parte media, la

ecuacion de momento flector, M(x), se puede escribir como:

M(x) =F

2〈x− 0〉 − F 〈x− L/2〉. (A.2)

Sabiendo que la deflexion se relaciona con el momento flector mediante:

EId2w

dx2= M(x), (A.3)

49

APENDICE A. CALCULOS DEL MODELO DE COX 50

si se integra (A.3) dos veces se puede obtener la curva de deflexion de la siguiente manera:

w(x) =

∫∫d2w

dx2dx dx

=

∫F

2EI

[∫〈x− 0〉dx− 2

∫〈x− L/2〉dx

]dx

=

∫F

2EI

[〈x− 0〉2

2− 〈x− L/2〉2 + C1

]dx

=F

6EI

[〈x− 0〉3

2− 〈x− L/2〉3 + C1x+ C2

].

Las constantes C1 y C2 se pueden obtener a partir de las condiciones de frontera de cero desplaza-

miento en los extremos; al hacer esto se llega a que:

w(x) =F

6EI

[〈x− 0〉3

2− 〈x− L/2〉3 − 3L2

8x

]. (A.4)

Como solo se necesita la forma de la curva de deflexion, (A.4) se debe normalizar dividiendo esta

ecuacion entre su maximo valor posible que es − FL3

48EI. Al hacer esto es obtiene la curva de deflexion

f(x) =8

L3

[〈x− 0〉3

2− 〈x− L/2〉3 − 3L2

8x

], (A.5)

que es equivalente a:

f(x) =

3L2x−4x3

L3 , 0 6 x 6 L2;

4x3−12Lx2+9L2x−L3

L3 , L2

6 x 6 L.

(A.6)

Si se remplaza f(x) en la ecuacion constitutiva de Cox

F (x, t) = ρAη(t)

∫ L

0

[f(x)]2 dx+ EIη(t)

∫ L

0

(∂2f(x)

∂x2

)2

dx, (A.7)

teniendo en cuenta la simetrıa de la funcion, se tiene que:

F (x, t) =2ρAη(t)

L6

∫ L/2

0

[16x6 − 24L2x4 + 9L4x2

]dx+

2EIη(t)

L6

∫ L/2

0

576x2dx

=17ρALη(t)

35+

48EIη(t)

L3. (A.8)

La funcion F (x, t) se puede obtener a partir del balance de fuerzas sobre el proyectil como:

F (x, t) = mpg −mpη, (A.9)

APENDICE A. CALCULOS DEL MODELO DE COX 51

si se unen las ecuaciones (A.8) y (A.9) se obtiene:

mpg −mpη =17

35mvη + kη, (A.10)

donde k = 48EIL3 y mv = ρAL. Para solucionar esta ecuacion diferencial se asumio que en t = 0 la

viga esta en reposo y que el choque es inelastico, por lo tanto las condiciones iniciales son:

η0 = 0, (A.11)

η0 =mpvp

mp + 1735mv

. (A.12)

Al solucionar (A.10) se obtiene que la deflexion esta dada por:

η(t) =mpg

k

(1− cos

√k

mp + 1735mv

t

)+

mpvp√k(mp + 17

35mv

) sin

√k

mp + 1735mv

t, (A.13)

APENDICE B

Calculos del Modelo de Euler

B.1. Choque Inelastico

Cuando el choque es inelastico la ecuacion de Euler-Bernoulli se puede escribir como:

EI∂4w

∂x4+ ρA

∂2w

∂t2= 0. (B.1)

Para solucionar esta ecuacion se debe aplicar separacion de variables de tal manera que la deflexion

w(x, t) pueda escribirse como la multiplicacion de dos funciones, una que solo depende de la posicion

y otra que depende unicamente del tiempo:

w(x, t) =∞∑i=1

Xi(x)ηi(t). (B.2)

Al hacer separacion de variables (B.1) se puede escribir como:

X ′′′′iXi

= ξ4i = − 1

a4

ηiηi, (B.3)

donde a4 ≡ EIρA

. En la ecuacion anterior se ha separado la parte que depende de la posicion de la

parte que depende del tiempo, con esto se ha pasado de resolver una ecuacion diferencial de cuarto

52

APENDICE B. CALCULOS DEL MODELO DE EULER 53

orden en la posicion y segundo orden en el tiempo a resolver dos ecuaciones diferenciales de una

sola variable; por lo tanto, la solucion para la deflexion sera:

w(x, t) =∞∑i=1

(Ai sin ξix+Bi cos ξix+ Ci sinh ξix+Di cosh ξix) (Ei sinωit+ Fi cosωit) . (B.4)

Las constantes Ai, Bi, Ci, Di, Ei y Fi pueden ser determinadas a partir de las condiciones de

frontera: cero desplazamiento en el origen (B.5), momento cero en el origen (B.6), deflexion maxima

en la mitad de la viga (B.7) y que la discontinuidad de la fuerza cortante sea igual a la fuerza

que experimenta el proyectil (B.8); y las condiciones iniciales: cero deflexion inicial (B.9) y que la

velocidad inicial de la viga en x = L/2 sea la misma del proyectil (B.10):

w(0, t) = 0, (B.5)

∂2w

∂x2(0, t) = 0, (B.6)

∂w

∂x(L/2, t) = 0, (B.7)

EI∂3w

∂x3=

1

2mp

∂2w

∂t2, (B.8)

w(x, 0) = 0, (B.9)∫∂w

∂t(x, 0)dQ = mpvp. (B.10)

Al remplazar (B.5-B.10) en (B.4) se obtiene que la deflexion esta dada por:

w(x, t) =L2vpa2

∞∑i=1

1

φ3i

sin2φix

L

cosφi− sinh

2φix

L

coshφi1

cos2 φi− 1

cosh2 φi+ 2mv

mpφ2i

sin4φ2

i a2

L2t, (B.11)

donde los φi = 12ξiL cumplen la ecuacion trascendental

φi(tanφi − tanhφi) = 2mv

mp

. (B.12)


B.2. Choque Elastico

Cuando el choque es elastico se debe tener en cuenta la fuerza de contacto entre el proyectil y la

viga, por lo tanto, la ecuacion de Euler-Bernoulli es:

EI∂4w

∂x4+ ρA

∂2w

∂t2= F (x, t). (B.13)

Para este caso al hacer separacion de variables la solucion de (B.13) esta dada por:

w(x, t) =∞∑i=1

Xi(x)Xi(L/2)

ρAωi∫ L

0X2i dx

∫ t

0

F (τ) sinωi(t− τ)dτ, (B.14)

donde se han tomado como condiciones iniciales de la viga velocidad y desplazamiento cero.

Para obtener una expresion para la fuerza de contacto F (x, t) se puede estudiar la penetracion del

proyectil en la viga α que esta dada por:

α(L/2, t) = zp − w(L/2, t), (B.15)

donde la posicion del proyectil zp se puede calcular mediante:

zp = vp −1

mp

∫ t

0

dt

∫ t

0

F (L/2, t)dt. (B.16)

La ecuacion (B.14) ya ha sido solucionada para diferentes condiciones de frontera. Para el caso de

una viga simplemente soportada las funciones Xi(x) y las frecuencias ωi estan dadas por:

Xi(x) = siniπx

L(B.17)

y

ωi =

(iπa

L

)2

, (B.18)

respectivamente. Suponiendo que la penetracion se puede modelar con ayuda de la ley de contacto

de Hertz, α se puede escribir como:

α(L/2, t) =

(F

k2

)2/3

, (B.19)


donde k2 es una constante que depende de los materiales y formas del proyectil y la viga. Si se

unen las ecuaciones (B.14) a (B.19) y se discretiza el tiempo como t = n4τ , se puede obtener una

expresion para determinar la fuerza de contacto de manera numerica. Para calcular el valor de la

fuerza en el enesimo intervalo de tiempo se debe solucionar la igualdad:

αn =

(Fnk2

)2/3

= vpn4τ −

((4τ)2

mp

n∑j=1

j∑i=1

Fj

)

− 2L3

EIπ4

n∑j=1

Fj

∞∑i=1,3,5...

cos i2π2a2

L2 (n− j)− cos i2π2a2

L2 (n− j + 1)

i4. (B.20)

Para obtener (B.20), las integrales en (B.14) y (B.16) se han convertido en sumatorias asumiendo

que la fuerza de contacto permanece constante durante el intervalo de tiempo 4τ . Una vez se

ha encontrado como es la fuerza de contacto se puede proceder a calcular la deflexion de la viga

mediante la expresion:

w(x, n4τ) =2

ρAL

n∑j=1

{Fj

∞∑i=1,3,5,...

(−1)i−12

i4sin

iπx

L

[cos

((iπa

L

)2

(n− j)4τ

)

− cos

((iπa

L

)2

(n− j + 1)4τ

)]}. (B.21)

APENDICE C

Calculos del Modelo de Euler

C.1. Relacion Momento vs. Curvatura

Para obtener una expresion que relacione el momento flector con la curvatura se supondra que el

material se puede modelar como un material elastico-plastico (bilineal) con un modulo de endureci-

miento por deformacion β > 0. Si se conoce la distribucion de esfuerzos, σ, en la seccion transversal

de la viga, el momento flector estara dado por:

M =

∫ h2

−h2

σz dA, (C.1)

donde dA = b dz es un elemento diferencial de area. Si se asume pequenas deformaciones, la

deformacion ε se puede relacionar con la deflexion (curvatura) mediante:

εx = −z∂2w

∂x2= zκ. (C.2)

56

APENDICE C. CALCULOS DEL MODELO DE EULER 57

Si se utiliza (C.2) en (C.1) se tiene que:

M =

∫ ε(h2 )

ε(−h2 )σε

κ

b

κdε,

=2b

κ2

∫ ε(h2 )

ε(0)

σε dε, (C.3)

donde se ha supuesto que el material tiene el mismo comportamiento a tension que a compresion.

Para el caso en el que los esfuerzos internos no superan el esfuerzo de fluencia, el material cumple

la ley de Hooke (σ = Eε), por lo tanto, (C.3) queda:

M =2bE

κ2

∫ ε(h2 )

ε(0)

ε2 dε,

=2bE

κ2

h3κ3

24,

= EIκ. (C.4)

Cuando se presenten esfuerzos superiores al esfuerzo de fluencia, la integral en (C.3) debe partirse

en dos partes, una entre 0 y he y la otra entre he y h/2 donde he es la altura a la cual se han

presentado esfuerzos superiores al de fluencia. Por lo tanto,

M =2b

κ2

∫ ε(he)

0

Eε2 dε︸︷︷︸region elastica

+

∫ ε(h2 )

ε(he)

βEε2 dε+

∫ ε(h2 )

ε(he)

Sy(1− β)ε dε︸︷︷︸region elasto-plastica

. (C.5)

Al calcular las integrales teniendo en cuenta que ε(he) = Sy/E se encuentra que el momento flector

cuando se presentan esfuerzos elasticos y plasticos esta dado por:

M =Sybh

2

6

[(β − 1)

2

(2SyκEh

)2

+ βκEh

2Sy+

3

2(1− β)

]. (C.6)

Si se definen el momento y la curvatura a las que se presenta plasticidad como: Me = Sybh2/6 y

κe = 2Sy/Eh, respectivamente, la curva momento vs. curvatura estara dada por:

M =

EIκ, 0 6 κ 6 κe;

Me

[β−1

2

(κeκ

)2+ β κ

κe+ 3

2(1− β)

], κe < κ.

(C.7)

APENDICE C. CALCULOS DEL MODELO DE EULER 58

C.2. Planteamiento por Diferencias Finitas

Para poder solucionar la ecuacion de Rayleigh (C.8), esta se replanteo haciendo diferencias finitas

y se soluciono para la aceleracion de la deflexion ∂2w∂t2

.

∂2M

∂x2+ ρI

∂2w

∂x2+ F (x, t) = ρAw. (C.8)

el primer y segundo termino en (C.8) haciendo diferencias finitas de segundo orden se pueden escribir

como:∂2M

∂x2=Mi,j+1 − 2Mi,j +Mi,j−1

(4x)2(C.9)

y∂2w

∂x2=wi,j+1 − 2wi,j + wi,j−1

(4x)2 , (C.10)

respectivamente. Por lo tanto, (C.8) al hacer diferencias finitas es:

Mi+1,j − 2Mi,j +Mi−1,j = ρIwi+1,j − [2ρI + ρA(4x)2]wi,j + ρIwi−1,j. (C.11)

APENDICE D

Codigo para hacer los Calculos del Modelo de Cox

Valores de las ConstantesLo primero que se hace es definir las constantes que van a ser utilizadas a lo largo del documento, tales como: dimensionesde la viga y el proyectil, densidad y módulo de elasticidad de ambos cuerpos, velocidad de impacto, la constante elásticaobtenida a partir de la deformación estática máxima y el tiempo en el que la función de desplazamiento es máxima.

base = 0.1;altura = 0.005;Ρ = 7850;

elas = 200 109;area = base altura;l = 0.3;g = 9.8;radio = 0.005;m1 = Ρ area l;

m2 = Ρ

4

3Π radio3;

iner =

1

12base HalturaL3;

v20 = 200;

k =

48 elas iner

l3;

tmax =

1

k m2 +

17

35m1 ArcTanB

v20

g

k

m2 +17

35 m1

F;

59

APENDICE D. CODIGO PARA HACER LOS CALCULOS DEL MODELO DE COX 60

Definición de las FuncionesEn esta parte del documento se definen las funciones de desplazamiento w(t,x) y la función de momento M(t,x), esta últimase calculó a partir de la segunda derivada de la función de desplazamiento.

Η@t_D :=

m2 g

k1 - CosB

k

m2 +17

35 m1

tF +

m2 v20

k Im2 +17

35m1M

SinBk

m2 +17

35 m1

tF

f@x_D := IfBx £

l

2,3 l2 x - 4 x3

l3,4 x3 - 12 l x2 + 9 l2 x - l3

l3F

w@t_, x_D := Η@tD f@xDmomento@t_, x_D := Evaluate@¶x,xHw@t, xDLD

APENDICE E

Codigo para hacer los Calculos del Modelo de Euler

E.1. Choque Inelastico

Valores de las ConstantesLo primero que se hace es definir las constantes que van a ser utilizadas a lo largo del documento, tales como: dimensionesde la viga y el proyectil, densidad y módulo de elasticidad de ambos cuerpos, velocidad de impacto, el numero de armónicosque se van a tener en cuenta (infinito) y el tiempo en el que la función de desplazamiento es máxima.

base = 0.1;altura = 0.005;Ρ = 7850;

elas = 200 109;area = base altura;l = 0.3;g = 9.8;radio = 0.005;m1 = Ρ area l;

m2 = Ρ

4

3Π radio3;

iner =

1

12base HalturaL3;

61

APENDICE E. CODIGO PARA HACER LOS CALCULOS DEL MODELO DE EULER 62

v20 = 200;

a =

elas iner

Ρ area4 ;

masa =

m1

m2infinito = 10;

tmax =

Π l2

8 a2 Φ12;

Cálculo de las Raices

La función de desplazamiento de depende de las raices de la función trasendetal ΦiItanΦi - tanhΦiM=2M. Esta función sale de

las condiciones de frontera (apoyos).

ForBcont = 1, cont £ infinito, cont++,

raiz = FindRootBj HTan@jD - Tanh@jDL � 2m1

m2, :j, H2 cont - 1L

Π

2- 0.1>F;

Φcont = j �. raiz;F

Definición de las FuncionesEn esta parte del documento se definen las funciones de desplazamiento w(t,x) y la función de momento M(t,x), esta últimase calculó a partir de la segunda derivada de la función de desplazamiento teniendo en cuenta solo el primer armónico (estose debe a problemas de convergencia de la función de momento).

w@t_, x_D := IfBx <=

l

2,l2 v20

a2âi=1

infinito 1

Φi3

SinB 2 Φi x

lF

Cos@ΦiD -SinhB 2 Φi x

lF

Cosh@ΦiD1

HCos@ΦiDL2 -1

HCosh@ΦiDL2 +2 masa

Φi2

SinB4 a2 Φi

2

l2 tF,

l2 v20

a2âi=1

infinito 1

Φi3

SinB 2 Φi Hl-xLl

FCos@ΦiD -

SinhB 2 Φi Hl-xLl

FCosh@ΦiD

1

HCos@ΦiDL2 -1

HCosh@ΦiDL2 +2 masa

Φi2

SinB4 a2 Φi

2

l2 tFF

momento@t_, x_D := IfBx <=

l

2,4 v20

a2

1

Φ1

-SinB 2 Φ1 x

lF

Cos@Φ1D -SinhB 2 Φ1 x

lF

Cosh@Φ1D1

HCos@Φ1DL2 -1

HCosh@Φ1DL2 +2 masa

Φ12

SinB4 a2 Φ1

2

l2 tF,

4 v20

a2

1

Φ1

-SinB 2 Φ1 Hl-xLl

FCos@Φ1D -

SinhB 2 Φ1 Hl-xLl

FCosh@Φ1D

1

HCos@Φ1DL2 -1

HCosh@Φ1DL2 +2 masa

Φ12

SinB4 a2 Φ1

2

l2 tFF


E.2. Choque Elastico

Valores de las ConstantesLo primero que se hace es definir las constantes que van a ser utilizadas a lo largo del documento, tales como: dimensionesde la viga y el proyectil, densidad y módulo de elasticidad de ambos cuerpos, velocidad de impacto y algunas constantes de lateoría de contacto de Hertz.

m = Ρ Π r2 base;

base = 0.1;altura = 0.005;l = 0.3;r = 0.01;area = base altura;relm = 0.916;Ρ = 7850;

elas1 = 200 109;

elas2 = 200 109;Μ1 = 0.29;Μ2 = 0.29;

m = Ρ

4

3Π r3;

iner =

1

12base HalturaL3;

a =

elas1 iner

Ρ base altura4 ;

∆1 =

1 - HΜ1L2

elas1 Π

;

∆2 =

1 - HΜ2L2

elas2 Π

;

v0 = 0.2;qk = 0.3180;

k2 =

4

3

qk r

H∆1 + ∆2L;

Cálculo de la Fuerza de ContactoLa función de desplazamiento de depende de la fuerza de contacto proyectil viga, por lo tanto se debe calcular la evolucióntemporal de dicha fuerza para poder encontrar las deflexiones y esfuerzos.

inf = 100;temp = 0;in = 1;error = 100;maxiter = 15;errormax = 1;f0 = 0;porcentaje = 1;intervalot = 0.005;


WhileBerror ³ errormax && in £ maxiter,

DΤ =

intervalot

100 + Hin - 1L 100;

fmax = 0;jota = 1;armax = 0;valsum = 80<;sumfuer = 0;valores = porcentaje H100 + Hin - 1L 100L;ForBcont = 1, cont £ valores, cont++,

indep = v0 cont DΤ -

HDΤL2

mISumAHcont - j + 1L fj, 8j, valsum<EM -

2 l3

elas1 iner Π4

SumB fj SumBCosB i2 Π

2 a2

l2Hcont - jL DΤF - CosB i2 Π

2 a2

l2Hcont - j + 1L DΤF

i4, 8i, 1, inf, 2<F ,

8j, valsum<F;

IfBindep > 0,

sol = SolveBfuer

k2

2�3� indep -

HDΤL2

mfuer -

2 l3

elas1 iner Π4

fuer SumB1

i4 1 - CosB

i2 Π2 a2

l2DΤF , 8i, 1, inf, 2<F , fuerF@@1DD;

fcont = fuer �. sol;sumfuer = sumfuer + fcont;enejota = cont;

valsum = Table@enei, 8i, 1, jota<D;jota++;, fcont = 0

F

F;armax = Hsumfuer DΤL;

error = AbsBarmax - temp

armax100F;

Print@errorD;temp = armax;

IfBin � 1, porcentaje =

enejota-1

100F;

PrintAenejota-1E;Print@valsumD;Print@valoresD;armax;in++;

F


Definición de las FuncionesA partir de las fuerzas fi que se encontraron anteriormente, se definen las funciones de desplazamiento w(t,x) y la función de

momento M(t,x), esta última se calculó a partir de la segunda derivada de la función de desplazamiento.

For@i = valores + 1, i £ valores�porcentaje, i++, fi = 0D;fuerza = Interpolation@Table@8n DΤ, fn<, 8n, 0, valores�porcentaje<DD;

w@n_, x_D :=

2 l3

elas1 iner Π4SumB

fj SumBH-1Li-1

2 SinBi Π

lxF

CosB i2 Π2 a2

l2Hn - jL DΤF - CosB i2 Π

2 a2

l2Hn - j + 1L DΤF

i4, 8i, 1, inf, 2<F ,

8j, Select@valsum, ð £ n &D<F

momento@n_, x_D :=

2 l

Π2SumB

fj SumBH-1Li-1

2 SinBi Π

lxF

CosB i2 Π2 a2

l2Hn - jL DΤF - CosB i2 Π

2 a2

l2Hn - j + 1L DΤF

i2, 8i, 1, inf, 2<F ,

8j, Select@valsum, ð £ n &D<F

APENDICE F

Codigo para hacer los Calculos del Modelo de Rayleigh

Valores de las ConstantesLo primero que se hace es definir las constantes que van a ser utilizadas a lo largo del documento, tales como: dimensionesde la viga y el proyectil, densidad y módulo de elasticidad de ambos cuerpos, esfuerzo de fluencia, momento flector ycurvatura a la que ocurre la fluencia, velocidad de impacto y los intervalos de distancia y tiempo en que se divide la viga y lacolisión.

base = 0.0163;altura = 0.0045;Ρplaca = 7850;

Ρproyectil = 7850;

elas = 206.9 109;

Σy = 200 106;

area = base altura;l = 2´0.3556;radio = 0.005;mplaca = Ρplaca area l;

mproyectil = 2´0.336;

iner =

1

12base HalturaL3;

vproyectil = 12.9;

masa =

mplaca

mproyectil;

66

APENDICE F. CODIGO PARA HACER LOS CALCULOS DEL MODELO DE RAYLEIGH67

inerj = iner Ρplaca;

ke =

2 Σy

elas altura;

mome =

Σy base altura2

6;

Β = 0.0017;n = 28;Dx = l� H2 nL;Dt = 0.0028 10-3;

Definición de la Matriz del Sistema LinealCuando se formula el modelo analítico de ELASTO-PLASTICIDAD se llega a una ecuación diferencial que se va a resolverpor diferencias finitas. Cuando se discretiza el sistema se llega a un sistema lineal cuya matriz está difinida como sigue. En laprimera y última línea de la matriz si deben incluir las condiciones de frontera.

diago = -I2 inerj + Ρplaca HDxL2 areaM;ap = I2 inerj - Ρplaca HDxL2 areaM;matriz = SparseArray@88n, n< ® -3, 8n, n - 1< ® 4, 8n, n - 2< ® -1,

Band@81, 1<D ® diago, Band@82, 1<D ® inerj, Band@81, 2<D ® inerj<, 8n, n<D;

Definición de las Condiciones InicialesPara cada uno de los nodos en que se dividió la viga se definie posición, velocidad y aceleración inicial igual a cero. Tambiénse que el momento flector y la curvatura inicial son cero. Para el nodo cero (punto de impacto) se define la posición en eltiempo t1, t = Dt, como la velocida con que impacta el proyectil multiplicada por el intervalo de tiempo (el resto de nodos

siguen en la posición cero). Finalmente se definen M* y Κ* (momento y curvatura cuando ocurre la descarga) como cero.

For@i = 0, i < n, i++,wi,0 = 0;

dwi,0 = 0;

ddwi,0 = 0;

momi,0 = 0;

ki,0 = 0;

wi,1 = 0;Dwn,0 = 0;ddwn,0 = 0;dwn,0 = vproyectil;

kn,0 = 0;wn,1 = vproyectil Dt + wn,0;

momn,0 = 0;For@i = 0, i £ n, i++,kestTi = 0;momestTi = 0;kestCi = 0;momestCi = 0

D


Primera IteraciónEn esta sección se calcula la curvatura de la viga basados en el desplazamiento de cada uno de los nodos. Cuando se tiene lacurvatura de la viga su puede proceder a determinar el momento flector a lo largo de l a viga. Finalmente se encuentra laexpresión a ser introducida a la hora de resolver el sistema lineal.

ForBi = 1, i < n, i++,

ki,1 = -

wi+1,1 - 2 wi,1 + wi-1,1

HDxL2

F;k0,1 = 0;

kn,1 = -

2 wn,1 - 5 wn-1,1 + 4 wn-2,1 - wn-3,1

HDxL2;

ForBi = 0, i £ n, i++,

IfBAbs@ki,1D £ ke,

momi,1 = elas iner ki,1,

momi,1 = mome Sign@ki,1D3

2 H1 - ΒL + Β

ki,1

ke- Sign@ki,1D

1

2H1 - ΒL

ke

ki,1

2

;

If@ki,1 < 0, kestCi = ki,1, kestTi = ki,1DF

F;momentos1 = Table@If@i � n, 0, -Hmomi+1,1 - 2 momi,1 + momi-1,1LD, 8i, 1, n<D;

Cálculo de las Posiciones, Curvatura y MomentoLo primero que se debe hacer es calcular la aceleración de cada uno de los nodos resolviendo el sistema lineal obtenido apartir de la ecuación diferencial que gobierna el fenómeno. Con las aceleraciones se puede determinar las nuevas posicionesde cada uno de los nodos y por lo tanto la curvatura. A partir de la curvatura se determina el momento flector en cada nodoteniendo en cuanta en que parte de la curva esfuerzo-deformación o momento-curvatura se encuentra cada nodo y si estásiendo cargado o descargado y que ha sucedido anteriormente. Finalmente, se determinan las nuevas condiciones pararesolver el sistema lineal en la siguiente iteración.

itera = 1000;

ForAj = 1, j £ itera, j++,

ddwj = LinearSolveAmatriz, momentosjE;ForAi = 1, i £ n, i++,

wi,j+1 = ddwj@@iDD HDtL2+ 2 wi,j - wi,j-1;

E;w0,j+1 = 0;


ForBi = 1, i < n, i++,

ki,j+1 = -

wi+1,j+1 - 2 wi,j+1 + wi-1,j+1

HDxL2

F;k0,j+1 = 0;

kn,j+1 = -

2 wn,j+1 - 5 wn-1,j+1 + 4 wn-2,j+1 - wn-3,j+1

HDxL2;

ForBi = 0, i £ n, i++,

IfBkestTi � 0 && kestCi � 0,

IfBAbsAki,j+1E £ ke,

momi,j+1 = elas iner ki,j+1,

momi,j+1 = mome SignAki,j+1E3

2 H1 - ΒL + Β

ki,j+1

ke- SignAki,j+1E

1

2H1 - ΒL

ke

ki,j+1

2

;

IfAki,j+1 < 0, kestCi = ki,j+1; momestCi = momi,j+1,

kestTi = ki,j+1; momestTi = momi,j+1EF

F;

IfBkestTi ¹ 0 && kestCi � 0,

IfBki,j+1 < kestTi,

IfBki,j+1 < kestTi - 2 ke,

momi,j+1 =

mome -

3

2 H1 - ΒL + Β

Iki,j+1 - kestTi + keMke

+

1

2H1 - ΒL

ke

ki,j+1 - kestTi + ke

2

+ momestTi - mome;

kestCi = ki,j+1;

momestCi = momi,j+1,

momi,j+1 = momestTi - elas iner IkestTi - ki,j+1MF,

momi,j+1 = mome3

2 H1 - ΒL + Β

ki,j+1

ke-

1

2H1 - ΒL

ke

ki,j+1

2

;

kestTi = ki,j+1;

momestTi = momi,j+1

F

F;


IfBkestTi == 0 && kestCi ¹ 0,

IfBki,j+1 > kestCi,

IfBki,j+1 > kestCi + 2 ke,

momi,j+1 = mome

3

2 H1 - ΒL + Β

Iki,j+1 - kestCi + keMke

-

1

2H1 - ΒL

ke

ki,j+1 - kestCi + ke

2

+ momestCi - mome;

kestTi = ki,j+1;

momestTi = momi,j+1,

momi,j+1 = momestCi - elas iner IkestCi - ki,j+1MF,

momi,j+1 = mome -

3

2 H1 - ΒL + Β

ki,j+1

ke+

1

2H1 - ΒL

ke

ki,j+1

2

;

kestCi = ki,j+1;

momestCi = momi,j+1

F

F;IfAkestTi ¹ 0 && kestCi ¹ 0,

j = itera;momi,j+1 = momi,j

EF;

momentosj+1 = TableAIfAi � n, 0, -Imomi+1,j+1 - 2 momi,j+1 + momi-1,j+1ME, 8i, 1, n<E;F

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