5/14/2020

1

Computational Science:Introduction to Finite‐Difference Time‐Domain

Implementation ofTwo‐Dimensional FDTD

Lecture Outline

• Review• Update equations with PML• Code development sequence

• Numerical Boundary Conditions for 3D• Reduction to Two‐Dimensions• Calculating the PML Parameters• Implementation for Ez Mode• Implementation for Hz Mode• Total‐Field/Scattered‐Field Source

Slide 2

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2

Slide 3

Review

Uniaxial PML

Slide 4

Reflections can be prevented at all angles, all frequencies, and for all polarizations if the absorbing material is made to be diagonally anisotropic.

s

s

x

y

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3

Derivation of Update Equation for Hx

Slide 5

1

0

0 0 0

1 1 1y yzx z xxx

EEcj Hj j j y z

1. Start with governing equation in the frequency‐domain.

020

0

00

1 1y z Ex

x

Exx

xx

yx xx

x

z H c Cj

H c Cjj

H

2. Prepare equation for conversion to the time‐domain.  Want all terms multiplied by  𝑗𝜔 .

3. Convert each term to the time‐domain one at a time. 0

0

0

002

tExx

x

ty E

xxx

xzzx y

xx

c CH d cH tH t

tC t d

4. Approximate the equation using finite‐differences and summations for numerical implementation.

,

, , , ,,

0

, , , ,

2

, , , ,2

0

, , , , , ,2

00 2

,, ,

, , ,

2

2

2 0,

,

2

214

i j k i j ki j k i j kH H t tx xt t

t

ki j k i

i

j

t

i jHi j

k tH H ty z i j k i j k i j k

tx x x T

iy

ix

j k j kx xt t Et k

xj kx

t

t T

z

tx

H H c tH

H HH C

t

tH c

, ,

, ,00

t i j kExi j k T

Txx

C

5. Derive the update equation by solving for 𝐻 at the future time value.

, ,, , , , , , , , , , , , , , , ,1 2 3 42 2 i j ki j k i j k i j k i j k i j k i j k i j k i j kEx Hx x Hx x Hx CEx Hx Hxt t t t t ttH m H m C m I m I

1a

aa

t

g t G

ag t aG

d g t j Gdt

g d Gj

F

F

F

F

Code Development Sequence

Slide 6

Step 1 – Basic Update + Dirichlet

Step 2 – Basic Update + Periodic BC Step 3 – Add PML Step 4 – TF/SF

Step 5 – Calculate Response Step 6 – Add a Device and Benchmark

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4

Slide 7

Numerical Boundary Conditions for 3D

Boundary Conditions

Slide 8

The update equations were formulated  so that curl can be calculated separate from the update equation.  Boundary condition problems occur only in the curl calculations.

, , , , , , , ,, ,

, , , , , , , ,, ,

,

1 1

1 1

1 1, , , , , , ,, ,

i k i j k i j i j ki j k z z y yE t t t t

x t

i j i j k j k i j ki j k x x z zE t t t t

y t

j k i j k i k i j ki j k y y x xE t t t t

z t

j k

k i

i j

E E E EC

y z

E E E EC

z x

E E E EC

x y

2 2 2 2

2

2 2 2 2

2

2 2 2

2

1, , , ,, , , ,, ,

, , , , , , , ,, ,

, , , , ,,

1

1

1

,

1

t t t t

t

t t t t

t

t t t

t

i j k i ji j k i ky yi j k z zt t t tH

x t

i j k i j i j k j ki j k x x z zt t t tH

y t

i j k j k i jy yi j k xt t tH

z t

kj

k i

i

H HH HC

y z

H H H HC

z x

H H HC

x

2

, ,1,t

k i kjx t

H

y

E

H

Special boundary conditions are required at the high grid boundaries when computing the curl of 𝐸.

Special boundary conditions are required at the low grid boundaries when computing the curl of 𝐻.

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Handling the Boundary Conditions

Slide 9

A good way to handle the boundary conditions is to calculate the curl terms at the boundaries separate from the rest of the curl equation.  This should be done explicitly without using ’if‘ statements.For example, , 1, , , , , 1 , ,

,1, , , , , 1 , ,

, ,

, 1, , , , ,1

and

and y y y

z z

i j k i j k i j k i j k

z z y yt t t ty z

i k i N k i N k i N k

z z y yt t t ty z

i j kEx i j N i j N i jt

z z yt t t

E E E Ej N k N

y z

E E E Ej N k N

y zC

E E E

y

, ,

,1, , , , ,1 , ,

and

and

z

z y z y y z

i j N

y ty z

i N i N N i N i N N

z z y yt t t ty z

Ej N k N

z

E E E Ej N k N

y z

Calculating the curl terms separate from the update equations is an excellent way to isolate and modularize the boundary condition problem.

MATLAB Code Implementation (1 of 3)

Slide 10

% Compute CExfor nx = 1 : Nx

for ny = 1 : Nyfor nz = 1 : Nz

CEx(nx,ny,nz) = (Ez(nx,ny+1,nz) - Ez(nx,ny,nz))/dy ...- (Ey(nx,ny,nz+1) - Ey(nx,ny,nz))/dz;

endend

end

First, blindly try to calculate the curl.

Two problems arise at the y‐hi and z‐hi sides of the grid.

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MATLAB Code Implementation (2 of 3)

Slide 11

Next, handle the z‐hi problem explicitly outside of the nz‐loop.  Copy the code inside the nz‐loop and paste it after the nz‐loop.

% Compute CExfor nx = 1 : Nx

for ny = 1 : Nyfor nz = 1 : Nz-1

CEx(nx,ny,nz) = (Ez(nx,ny+1,nz) - Ez(nx,ny,nz))/dy ...- (Ey(nx,ny,nz+1) - Ey(nx,ny,nz))/dz;

endCEx(nx,ny,Nz) = (Ez(nx,ny+1,Nz) - Ez(nx,ny,Nz))/dy ...

- (Ey(nx,ny,1) - Ey(nx,ny,Nz))/dz;end

end

There is still a problem at the y‐hi side of the grid, but now the problem occurs in two places.

MATLAB Code Implementation (3 of 3)

Slide 12

% Compute CExfor nx = 1 : Nx

for ny = 1 : Ny-1for nz = 1 : Nz-1

CEx(nx,ny,nz) = (Ez(nx,ny+1,nz) - Ez(nx,ny,nz))/dy ...- (Ey(nx,ny,nz+1) - Ey(nx,ny,nz))/dz;

endCEx(nx,ny,Nz) = (Ez(nx,ny+1,Nz) - Ez(nx,ny,Nz))/dy ...

- (Ey(nx,ny,1) - Ey(nx,ny,Nz))/dz;endfor nz = 1 : Nz-1

CEx(nx,Ny,nz) = (Ez(nx,1,nz) - Ez(nx,Ny,nz))/dy ...- (Ey(nx,Ny,nz+1) - Ey(nx,Ny,nz))/dz;

endCEx(nx,Ny,Nz) = (Ez(nx,1,Nz) - Ez(nx,Ny,Nz))/dy ...

- (Ey(nx,Ny,1) - Ey(nx,Ny,Nz))/dz;end

Finally, the y‐hi problem is handled explicitly outside of the ny‐loop.  Copy all of the code inside the ny‐loop and paste it after the ny‐loop.

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Slide 13

Reduction to Two Dimensions

3D  2D (Exact)

Slide 14

Sometimes it is possible to describe a physical device using just two dimensions.  Doing so dramatically reduces the numerical complexity of the problem and is ALWAYS GOOD PRACTICE.

z

perio

dic B

C periodic BC

absorbing BC

absorbing BCx

y

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2D Grids are Infinite in the 3rd Dimension

Slide 15

perio

dic B

C periodic BCabsorbing BC

absorbing BC

Anything represented on a 2D grid, is actually a device that is of infinite extent along the 3rd dimension.

x

y

What is Different in Two Dimensions?

•Assume it is the z direction that is uniform.•All derivatives in the z direction are zero.

• There is no need for PML at the z axis boundaries.

Slide 16

0z

0

1z

z

z

s z

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Revisions for Update Equation for Hx

Slide 17

, , , ,

, ,0

1i j k i j kH H

y zi j kHxm t

, , , ,2

0 02 4

i j k i j kH Hy z t

, , , ,

, ,1 , ,

0

1 1

i j k i j kH Hy zi j k

Hx i j kHx

mtm

, , , ,2

0 02 4

i j k i j kH Hy z t

, ,

, , , ,, , , , , ,0 02 3 4, , , , , , , , , , 2

0 00 0 0

1 1 1 i j kH

i j k i j ki j k i j k i j kx H HHx Hx Hx y zi j k i j k i j k i j k i j k

Hx xx Hx xx Hx

c c t tm m mm m m

, ,, , , , , , , , , , , , , ,1 2 3 42, , 2 i j ki j k i j k i j k i j k i j k i j k i j kEHx x Hx x Hi j kx x CEx Hx Hxt t t ttt t m H m C m I m IH

2, ,, , , , , ,

220

ttti j ki j k i j k i j kE

tCEx x Hx xt Tt t T tT

I C I H

, 1, , , , , 1 , ,

, ,

i j k i j k i j k i j ki j k z z y yE t t t t

x t

E E E EC

y z

The update coefficients are computed before the main FDTD loop.

The integration terms are computed inside the main FDTD loop, but before the update equation.

The update equation is computed inside the main FDTD loop immediately after the integration terms are updated.

2D Update Equation for Hx

Slide 18

, ,, ,

0 1 ,0 00

,, ,0 0

2 3, , , ,00 0

1 1 1 2 2

1 1

i j i jH Hi j i jy y

Hx Hx i jHx

i jHi j i j x

Hx Hxi j i j i j i jHx xx Hx xx

m mt tm

c c tm mm m

, 2 ,, , , , ,1 2 32 i ji j i j i j i j i jEHx x Hx x Hx CExt ti jx t ttt m H mH C m I

, 1 ,, ,,

0

i j i jt

i j i j z zi j E E t tCEx x xt t t

T

E EI C C

y

The update coefficients are computed before the main FDTD loop.

The integration terms are computed inside the main FDTD loop, but before the update equation.

The update equation is computed inside the main FDTD loop immediately after the integration terms are updated.

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2D Update Equation for Hy

Slide 19

, ,, ,

0 1 ,0 00

,, ,0 0

2 3, , , ,00 0

1 1 1 2 2

1 1

i j i jH Hi j i jx x

Hy Hy i j

Hy

i jHi j i j y

Hy Hyi j i j i j i j

Hy yy Hy yy

m mt tm

c c tm mm m

,, , , , ,1 2 32 2

, i ji j i j i j i j i jEtHy y Hy y Hy CEyt tt

i jty t

m H mH C m I

1, ,, ,,

0

i j i jt

i j i ji j z zE E t tCEy y yt t t

T

E EI C C

x

The update coefficients are computed before the main FDTD loop.

The integration terms are computed inside the main FDTD loop, but before the update equation.

The update equation is computed inside the main FDTD loop immediately after the integration terms are updated.

2D Update Equation for Hz

Slide 20

, , , ,, , , ,, ,0 1 ,2 2

0 0 0 00

, 02 , ,

0

1 1 1 2 4 2 4

1

i j i j i j i ji j i j i j i jH H H HH H H Hx y x yi j i jx y x y

Hz Hz i jHz

i jHz i j i j

Hz zz

t tm m

t tm

cmm

, ,,4 , 200

1 i j i ji j H H

Hz x yi jHz

tmm

,, , , , ,2 2

,1 2 4

2

i ji j i j i j i j i jEt tHz z Hz z Hz Hzt tt t

i jz t

mH H m C m I

1, , , 1 ,2 ,, ,

22

t i j i j i j i jti j y y x xi j i j E t t t t

tHz z zT tt T t

E E E EI H C

x y

The update coefficients are computed before the main FDTD loop.

The integration terms are computed inside the main FDTD loop, but before the update equation.

The update equation is computed inside the main FDTD loop immediately after the integration terms are updated.

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2D Update Equation for Dx

Slide 21

, ,, ,

0 1 ,0 00

,, , 00

2 3, ,00 0

1 1 1 2 2

1

i j i jD Di j i jy y

Dx Dx i jDx

i jDi j i j x

Dx Dxi j i jDx Dx

m mt tm

c tcm mm m

, ,, , , ,1 2 32

,

2

i j i ji j i ji j

x t t

i j i jHt tDx x Dx x Dx CHxtt t

m mD D m C I

2 2

2

, , 12, ,,

2 2

t t

t

tt i j i ji j i j z zi j t tH H

tCHx x xT ttT t

H HI C C

y

The update coefficients are computed before the main FDTD loop.

The integration terms are computed inside the main FDTD loop, but before the update equation.

The update equation is computed inside the main FDTD loop immediately after the integration terms are updated.

2D Update Equation for Dy

Slide 22

, ,, ,

0 1 ,0 00

,, , 00

2 3, ,00 0

1 1 1 2 2

1

i j i jD Di j i jx x

Dy Dy i j

Dy

i jDi j i j y

Dy Dyi j i j

Dy Dy

m mt tm

c tcm mm m

, ,, , , ,1 2 322

, i j i ji j i ji j

y t t

i j i jHttDy y Dy y Dy CHy ttt

m D m C mD I

2 2

2

, 1,2, ,,

2 2

t t

t

tt i j i ji j i j z zi j t tH H

tCHy y yt T tT t

H HI C C

x

The update coefficients are computed before the main FDTD loop.

The integration terms are computed inside the main FDTD loop, but before the update equation.

The update equation is computed inside the main FDTD loop immediately after the integration terms are updated.

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2D Update Equation for Dz

Slide 23

, , , ,, , , ,, ,0 1 ,2 2

0 0 0 00

, 02 ,

0

1 1 1 2 4 2 4

i j i j i j i ji j i j i j i jD D D DD D D Dx y x yi j i jx y x y

Dz Dz i jDz

i jDz i j

Dz

t tm m

t tm

cm mm

, ,,4 , 200

1 i j i ji j D DDz x yi j

Dz

tm

, ,, , , ,1 2 42

, i j i ji j i j i j i jHtDz z Dz z Dz Dz t t

i j

z t t ttm D m C m ID

2 2 2 2

2

, 1, , , 1, ,,

0

t t t t

t

i j i j i j i jt y yi j i j x xi j t t t tH

Dz z zt tTT

H H H HI D C

x y

The update coefficients are computed before the main FDTD loop.

The integration terms are computed inside the main FDTD loop, but before the update equation.

The update equation is computed inside the main FDTD loop immediately after the integration terms are updated.

2D Update Equations for Ex, Ey, and Ez

Slide 24

,, ,1 1 1, , ,

1 1 1 i ji j i j

Ex Ey Ezi j i j i jxx zzyy

m m m

,,1

,,1

,

,

,

,1

,

i ji jEx x t t

i ji j

i j

Ey

x t

y t t

i ji

t

jE

i j

y t t

i j

zz z tt tt

E m D

mE

E

D

m D

The update coefficients are computed before the main FDTD loop.

The update equations are computed inside the main FDTD loop.

No changes here!

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MATLAB Code for Update Equations

Slide 25

, 2 ,, , , , ,1 2 32 i ji j i j i j i j i jEHx x Hx x Hx CExt ti jx t ttt m H mH C m I The update equation for Hx was

This could be implemented in MATLAB as followsfor ny = 1 : Ny

for nx = 1 : NxHx(nx,ny) = mHx1(nx,ny)*Hx(nx,ny) + mHx2(nx,ny)*CEx(nx,ny) + mHx3(nx,ny)*ICEx(nx,ny);

endend

However, it is much simpler and faster to implement it using “vectorized” MATLAB commands.

Hx = mHx1.*Hx + mHx2.*CEx + mHx3.*ICEx;

Slide 26

Calculating the PML Parameters

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MATLAB Code to Calculate PML Parameters

Slide 27

To calculate the PML parameters x and y we employ the 2× grid concept.First, we calculate x and y on the 2× grid.

% COMPUTE PML PARAMETERSNx2 = 2*Nx;Ny2 = 2*Ny;

sigx = zeros(Nx2,Ny2);for nx = 1 : 2*NPML(1)

nx1 = 2*NPML(1) - nx + 1;sigx(nx1,:) = (0.5*e0/dt)*(nx/2/NPML(1))^3;

endfor nx = 1 : 2*NPML(2)

nx1 = Nx2 - 2*NPML(2) + nx;sigx(nx1,:) = (0.5*e0/dt)*(nx/2/NPML(2))^3;

end

sigy = zeros(Nx2,Ny2);for ny = 1 : 2*NPML(3)

ny1 = 2*NPML(3) - ny + 1;sigy(:,ny1) = (0.5*e0/dt)*(ny/2/NPML(3))^3;

endfor ny = 1 : 2*NPML(4)

ny1 = Ny2 - 2*NPML(4) + ny;sigy(:,ny1) = (0.5*e0/dt)*(ny/2/NPML(4))^3;

end

3

0

2x xxx

t L

3

0

2y yyy

t L

This ‘2’ is here because we are calculating the fictitious conductivity terms on the 2× grid, but NPML contains the size of the PML on the 1× grid.

Visualizing the PML Parameters

Slide 28

If calculated correctly, the PML conductivity terms should look like:

x

y

x x y y

0.02650.01940.01360.00910.00570.00330.00170.00070.00020.0000

00000000000000000000

0.00000.00020.00070.00170.00330.00570.00910.01360.01940.0265

e0 = 8.8542e-12dt = 1.6678e-10

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MATLAB Code to Calculate Update Coefficients

Slide 29

Next, overlay the PML functions onto the 1× grid to calculate the update coefficients containing PML terms.

% COMPUTE UPDATE COEFFICIENTSsigHx = sigx(1:2:Nx2,2:2:Ny2);sigHy = sigy(1:2:Nx2,2:2:Ny2);mHx0 = (1/dt) + sigHy/(2*e0);mHx1 = ((1/dt) - sigHy/(2*e0))./mHx0;mHx2 = - c0./URxx./mHx0;mHx3 = - (c0*dt/e0) * sigHx./URxx ./ mHx0;

sigHx = sigx(2:2:Nx2,1:2:Ny2);sigHy = sigy(2:2:Nx2,1:2:Ny2);mHy0 = (1/dt) + sigHx/(2*e0);mHy1 = ((1/dt) - sigHx/(2*e0))./mHy0;mHy2 = - c0./URyy./mHy0;mHy3 = - (c0*dt/e0) * sigHy./URyy ./ mHy0;

sigDx = sigx(1:2:Nx2,1:2:Ny2);sigDy = sigy(1:2:Nx2,1:2:Ny2);mDz0 = (1/dt) + (sigDx + sigDy)/(2*e0) ...

+ sigDx.*sigDy*(dt/4/e0^2);mDz1 = (1/dt) - (sigDx + sigDy)/(2*e0) ...

- sigDx.*sigDy*(dt/4/e0^2);mDz1 = mDz1 ./ mDz0;mDz2 = c0./mDz0;mDz4 = - (dt/e0^2)*sigDx.*sigDy./mDz0;

, ,

, ,0 1 ,

0 00

,, ,0 0

2 3, , , ,00 0

1 1 1 2 2

1 1

i j i jH Hi j i jy y

Hx Hx i jHx

i jHi j i j x

Hx Hxi j i j i j i jHx xx Hx xx

m mt tm

c c tm mm m

, ,, ,

0 1 ,0 00

,, ,0 0

2 3, , , ,00 0

1 1 1 2 2

1 1

i j i jH Hi j i jx x

Hy Hy i j

Hy

i jHi j i j y

Hy Hyi j i j i j i j

Hy yy Hy yy

m mt tm

c c tm mm m

, ,, ,,

0 20 0

, ,, ,,

1 , 20 00

, 02 ,

0

, ,,4 , 2

00

12 4

1 12 4

1

i j i ji j i j D DD Dx yi j x y

Dz

i j i ji j i j D DD Dx yi j x y

Dz i jDz

i jDz i j

Dz

i j i ji j D DDz x yi j

Dz

tm

t

tm

tm

cmm

tmm

Slide 30

ImplementationEz Mode

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16

Block Diagram for Ez Mode (1 of 2)

Slide 31

Define Device Parameters

Define FDTD Parameters

Compute Grid Parameters

Compute Time Step

Compute Source

Compute PML Parameters

Compute Update CoefficientsmHx1, mHx2, mHx3mHy1, mHy2, mHy3mDz1, mDz2, mDz4mEz1

Initialize FieldsHx, Hy, Dz, Ez

Initialize Curl ArraysCEx, CEy, CHz

Initialize Integration ArraysICEx, ICEy, IDz

Initialization…

Build Device on Grid

Block Diagram for Ez Mode (2 of 2)

Slide 32

Compute Curl of ECEx, CEy

Update H IntegrationsICEx = ICEx + CExICEy = ICEy + CEy

Update H FieldHx = mHx1.*Hx + mHx2.*CEx + mHx3.*ICEx;Hy = mHy1.*Hy + mHy2.*CEy + mHy3.*ICEy;

Update EzEz = mEz1.*Dz;

Visualize Fields

Main loop…

Compute Curl of HCHz

Update D IntegrationsIDz = IDz + Dz

Inject SourceDz(nxs,nys) = Dz(nxs,nys) + g(T);

Finished!yes

Done?

no

Update DzDz = mDz1.*Dz + mDz2.*CHz + mDz4.*IDz;

BC’s

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17

Slide 33

ImplementationHz Mode

Block Diagram for Hz Mode (1 of 2)

Slide 34

Define Device Parameters

Define FDTD Parameters

Compute Grid Parameters

Compute Time Step

Compute Source

Compute PML Parameters

Compute Update CoefficientsmHz1, mHz2, mHz4mDx1, mDx2, mDx3mDy1, mDy2, mDy3mEx1, mEy1

Initialize FieldsHz, Dx, Dy, Ex, Ey

Initialize Curl ArraysCEx, CEy, CHz

Initialize Integration ArraysICHx, ICHy, IHz

Initialization…

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18

Update E FieldEx = mEx1.*Dx;Ey = mEy1.*Dy;

Block Diagram for Hz Mode (2 of 2)

Slide 35

Compute Curl of ECEz

Update H IntegrationsIHz = IHz + Hz

Update H FieldHz = mHz1.*Hz + mHz2.*CEz + mHz4.*IHz;

Update D FieldDx = mDx1.*Dx + mDx2.*CHx + mDx3.*ICHx;Dy = mDy1.*Dy + mDy2.*CHy + mDy3.*ICHy;

Main loop…

Compute Curl of HCHx, CHy

Update D IntegrationsICHx = ICHx + CHx;ICHy = ICHy + CHy;

Inject SourceHz(nxs,nys) = Hz(nxs,nys) + g(T);

Finished!yes

Done?

no

Visualize Fields

BC’s

Slide 36

Total‐Field/Scattered‐Field Plane Wave Source

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19

Total‐Field / Scattered‐Field

• The total‐field/scattered‐field (TF/SF) condition is a technique to inject a “one‐way” source.• Benefits• Eliminates backward propagating power• Needed for calculation of reflection• Minimizes power incident on PML

• Ensures waves at the boundaries are only travelling outward• 100% of power injected by the source is incident on the device being simulated.

Slide 37

scattered‐fieldtotal‐field

Typical 2D FDTD Grid Layout For Modeling Periodic Structures

Slide 38

20cells

20cells

TF/SF Interface2 cells

Perio

dic B

ound

ary Periodic Boundary

PML

PML

x

y

The position of the TF/SF source really can be anywhere above the device.  It cannot slice through the device.

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20

Typical 2D FDTD Grid Layout For Modeling General Scatterers

Slide 39

20cells

20 cells

20cells

20 cells

TF/SF Interface

2 cells

2 cells

2 cells

2 cells

PML

PML

PML

PMLx

y

The Total‐Field/Scattered‐Field Framework

Slide 40

Problem Points!

total‐field

scattered‐fie

ld

2D FDTD Grid

srcjsrc 1j

x

y

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21

It is necessary to subtract the source from 𝐸 to make it look like a scattered‐field quantity.

Correction to Finite‐Difference Equations at the Problem Cells (1 of 2)

Slide 41

On the scattered‐field side of the TF/SF interface, the finite‐difference equation contains a term from the total‐field side.  Due to the staggered nature of the Yee grid, this only occurs in the update equation for a magnetic field.  In fact, this only occurs in the computation of the curl of 𝐸 used in the update equations for 𝐻.

src

src

src , 1, 1

,i j i ji j zE t

x t

z tE

CE

y

This is an equation in the scattered‐field, but 𝐸 is a total‐field quantity.

srcsrc srcsrc , 1, 1 s c, ,r i jz i jzi j tEx

t

t

i j

z tEE E

Cy

src src

s crc sr,sr

1

c

, ,, 1 1

i j i ji j z zE t t i j

z tx t

E EC

y yE

standard curl equation This is a correction term that can be implemented after calculating the curl to inject a source.

Across entire row (all values of i)

Correction to Finite‐Difference Equations at the Problem Cells (2 of 2)

Slide 42

On the total‐field side of the TF/SF interface, the finite‐difference equation contains a term from the scattered‐field side.  Due to the staggered nature of the Yee grid, this only occurs in the update equation for 𝐷. In fact, this only occurs in the computation of the curl of 𝐻 used in the update equations for 𝐷.

src src src

s

src

2rc 2 2 2

2

, 1, ,,

, 1t t t t

t

i j i j i jy yi j xt t tH

i j

z

x t

t

H H HC

x

H

y

This is an equation in the scattered‐field, but 𝐻 is a total‐field quantity.

We must add the source to 𝐻 to make it look like a total‐field quantity.

src src srcsrc 22 2 src2 22

src, 1, 1, s,

,

, rc1tt

t

tt t

i j i j i jxy y t

i ji

i j t tHz t

x t x t

jHH H

x

HC

y

H

src src

src

2

src src

src 2 2 2 2

2

, 1, , ,, 1src

1, 1

t

t t t t

t

i j

i j i j i j i jy yi j x xt t t t

x t

Hz t

H H H HC

x y yH

standard update equation This is a correction term that can be implemented after calculating the curl to inject a source.

entire row

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22

The Two Source Terms

Slide 43

From the previous slides, two source functions must be calculated before the main FDTD loop.  These are:

src,src i j

z tEsrc

2

, 1srct

i j

x tH

A few observations must be accounted for before these source functions can be calculated correctly.

1. The amplitude of these functions can be different because 𝐸 and 𝐻 are related through the material impedance.

2. These functions are a half grid cell apart and have a small time delay between them.3. These functions exist at different time steps.

Across entire row (all values of i)

Calculation of the Source Functions (Ez Mode)

Slide 44

Calculate the electric field as

src,src i jz tE g t

Calculate the magnetic field as

src

2

r,src src

r,src

1r

0

,s c

2 2ti j

x t

n y tc

H g t

Half time step difference

Delay through one half of a grid cell

Amplitude due to Maxwell’s equations

5/14/2020

23

Visualize Fields

Update Ez

Inject TF/SF Source into curl of E

TF/SF Block Diagram for Ez Mode

Slide 45

Compute Curl of E

Update H Integrations

Update H FieldUpdate Dz

Main loop…

Compute Curl of H

Update D Integrations

Inject TF/SF Source into curl of H

Finished!yes

Done?

no

H Mode Curl Calculations

Slide 46

The curl calculations requiring modifications are

2

22

1, , ,,

,,

, 1

, 1t

t

t

i j

x t

i jz

i j i j i ji j y y xE t t t

z t

i ji j z t tH

x t

E E EC

x y

HC

y

E

H

After correcting for TF/SF, these are

c

srsrc src src src

src

src sr

src 2 2

s

2

2

c

rc

1, 1 , 1 , ,

,

,

,src

,, 1,

1, 1

1, srct t

t

t

i j

x t

j

i j i j i j i ji j y y x xE t t t t

z t

i i ji j z zt tH

i jz t

x t

E E E EC

x y y

H HC

y y

E

H

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24

H Mode Source Functions

Slide 47

Calculate the electric field as

src,

,src

i j

x tg tE

Calculate the magnetic field as

src

2

s, c1,

r, rc sr

r,src 0src 2 2t

i jz t

H tg t n yc

Half time step difference

Delay through one half of a grid cell

Amplitude due to Maxwell’s equations

Update E Field

Inject TF/SF Source into curl of HInject TF/SF Source into curl of E

TF/SF Block Diagram for Hz Mode

Slide 48

Compute Curl of E

Update H Integrations

Update H FieldUpdate D Field

Main loop…

Compute Curl of H

Update D Integrations

Finished!yes

Done?

no

Visualize Fields