Impressum

Der Computeralgebra-Rundbrief wird herausgegeben von der Fachgruppe Computeralgebra der GI in Kooperation mit der DMV und der GAMM(verantwortlicher Redakteur: Prof. Dr. Michael Cuntz, car@mathematik.de)

Der Computeralgebra-Rundbrief erscheint halbjahrlich, Redaktionsschluss 15.02. und 15.09. ISSN 0933-5994. Mitglieder der Fachgruppe Computeralgebraerhalten je ein Exemplar dieses Rundbriefs im Rahmen ihrer Mitgliedschaft. Fachgruppe Computeralgebra im Internet:http://www.fachgruppe-computeralgebra.de.

Konferenzankundigungen, Mitteilungen, einzurichtende Links, Manuskripte und Anzeigenwunsche bitte an den verantwortlichen Redakteur.

GI (Gesellschaft furInformatik e.V.)WissenschaftszentrumAhrstr. 4553175 BonnTelefon 0228-302-145Telefax 0228-302-167gs@gi-ev.dehttp://www.gi-ev.de

DMV (Deutsche Mathematiker-Vereinigung e.V.)Mohrenstraße 3910117 BerlinTelefon 030-20377-306Telefax 030-20377-307dmv@wias-berlin.dehttp://www.dmv.mathematik.de

GAMM (Gesellschaft fur AngewandteMathematik und Mechanik e.V.)Technische Universitat DresdenInstitut fur Statik und Dynamik derTragwerke01062 DresdenTelefon 0351-463-33448Telefax 0351-463-37086GAMM@mailbox.tu-dresden.dehttp://www.gamm-ev.de

Computeralgebra-Rundbrief

Nr. 57 Oktober 2015

Inhaltsverzeichnis

Impressum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Inhalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Mitteilungen der Sprecher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Themen und Anwendungen der Computeralgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Lernen durch Matrixvervollstandigung (F. Kiraly) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Tropical Geometry in SINGULAR (Y. Ren) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Neues uber Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17OpenDreamKit (The OpenDreamKit Consortium) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Computeralgebra in der Schule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19CAS funktional im Mathematikunterricht (H. Korner) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Promotionen in der Computeralgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Habilitationen in der Computeralgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Berufungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Besprechungen zu Buchern der Computeralgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Henn, Filler: Didaktik der Analytischen Geometrie und Linearen Algebra (J.H.Muller) . . . . . . . . . . . 28

Berichte von Konferenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Hinweise auf Konferenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Fachgruppenleitung Computeralgebra 2014-2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

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Mitteilungen der Sprecher

Liebe Mitglieder der Fachgruppe Computeralgebra,

am 28. September 2015 traf sich die Fachgruppenleitung an der Universitat Kassel zu ihrer Herbst-sitzung. Auf dieser hat Herr Heß, der bisherige Sprecher, den Stab an Herrn Kemper weitergegeben.Dies war auf der Sitzung im Fruhjar 2014 bereits so vereinbart worden. Wir danken Herrn Heß fur al-les, was er in den letzten drei Jahren fur die Fachgruppe getan hat. Beipielsweise hat er sicher durchdie Verhandlungen uber eine neue Ordnung der Fachgruppe navigiert, die die Kooperationen mit denbeteiligten Gesellschaften (DMV, GI und GAMM) auf (steuer-)rechtlich solide Fuße stellt. Herr Heßubernimmt nun das Amt des stellvertretenden Sprechers, er wird also auch in Zukunft sehr aktiv bleiben.

Herr Heß wird außerdem weiter Mitglied im Steering Committee der ISSAC bleiben, eine der wich-tigsten Konferenzen uber symbolisches und algebraisches Rechnen. Bei der diesjahrigen ISSAC hat dieFachgruppe Preise fur das beste Poster und die beste Software-Vorstellung gesponsert. Mehr hierzuin den Konferenzberichten des vorliegenden Hefts. Dies enthalt wie immer auch Informationen uberzukunftige Konferenzen, wobei an dieser Stelle schon auf das Minisymposium ”Computeralgebra“ dergemeinsamen Tagung der DMV und GAMM im Marz 2016 in Braunschweig hingewiesen sei, das unterstarker Beteiligung der Fachgruppe organisiert wird.

Die nachste Computeralgebra-Tagung der Fachgruppe wird im Fruhjahr 2017 in Kassel stattfinden.Wer die Tagung schon im Jahr 2016 erwartet hat, findet die Erklarung fur die Jahreswahl in der Tatsa-che, dass 2016 der DFG-Schwerpunkt ”Algorithmic and Experimental Methods in Algebra, Geometryand Number Theory “ auslauft, weshalb wir im kommenden Jahr eine Menge an Aktivitaten und Veran-staltungen im Bereich Computeralgebra erwarten.

Neben den ublichen Rubriken wie Buchbesprechungen, Konferenzen und Promotionen enthalt dieseAusgabe des Rundbriefs vier Artikel, die ganz verschiedene Zielgruppen ansprechen, so dass wir dieHoffnung haben, dass fur jeden Leser etwas dabei ist.

An dieser Stelle sei dem Redakteur des Rundbriefes, Herrn Michael Cuntz, ganz herzlicher Dankausgesprochen. Bei ihm laufen die Faden (sowie die Dateien) zusammen, und es erfordert jedes Maleiniges Geschick, in Technik und im Management, um diese zu einem fertigen Heft zu verknupfen.

Zum Schluß bitten wir Sie wie immer, die Rundbrief-Redaktion mit weiteren Informationen, The-menvorschlagen, Beitragen, Berichten uber Promotionen und Habilitationen, Hinweisen auf Bucher, aufProgrammpakete und auf Tagungen etc. zu unterstutzen.

Wir wunschen Ihnen eine angenehme und anregende Lekture dieses Hefts.

Gregor Kemper Florian Heß

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Themen und Anwendungen der Computeralgebra

Lernen durch MatrixvervollstandigungF. Kiraly(University College London)

f.kiraly@ucl.ac.uk

Ein Sudoku-ExkursVermutlich werden Sie, geneigter Leser, und die meis-ten Menschen in Ihrem Bekanntenkreis, von Sudokugehort haben - den ursprunglich aus den USA stammen-den Zahlenratseln, bei denen man in eine mit Zahlen un-vollstandig ausgefullte Tabelle weitere Zahlen einfullenmuss, nach einem fest vorgegebenen Muster. Zum Bei-spiel dieses hier:

2 3 1 7

8 4 6 1

9 5 4 8

5 4 3 2

9 8 7 1

1 4 9 5

7 6 8 2

8 1 7 2

6 3 1

Tabelle 1. Das erste veroffentlichte Sudoku (bzw. ei-nes der zwei ersten), im Jahre 1979 erschienen unterdem Namen “Number Place” in einer amerikanischenRatselzeitschrift [3, 8]. Ziel ist es, die ganzen Zahlen zwi-schen (einschließlich) 1 und 9 so einzufullen, dass in jedem3x3-Block, jeder Zeile, und jeder Spalte jede dieser Zahlengenau einmal auftritt. Zusatzliche Hilfestellung: in der kor-rekten Losung enthalten die Kreise die Zahlen 4,5,7,8.

Sudokus (oder Sudokui? Sudokuta? Sudoker?), wiezum Beispiel das in Tabelle 1, entsprechen somit dank-barerweise dem gemeinhin verbreiteten und akzeptier-ten Klischee der Mathematik: uberall Zahlen, kompli-ziert, schwer verstandlich, und vollstandig unnutz. Dies

harmoniert passgenau mit dem Bild des Klischeemathe-matikers, der den ganzen Tag uber geistesabwesend imKopf oder an der Kreidetafel Sudokus lost, wahrend ersich ab und zu den von Essensresten angegilbten, knie-langen Bart krault, dabei manchmal Dinge raunt wie“ja, das ist es” oder “elementar, Watson” (in Abwesen-heit eines Watson). Eines Tages springt er aus seinemseltenen Bade, lauft “Heureka” schreiend, wild gestiku-lierend, nur vom Barte bedeckt, durch die Gassen, undwird von einer Pferdekutsche uberfahren. Am Rande nursei angemerkt, dass alle Klischeemathematiker selbst-verstandlich mannlich sind, auch die weiblichen (sie-he: Bart). Klischees und Stereotype zu hinterfragen istnaturlich immer unangebracht.

Wie dem auch sei, in der real existierenden Weltverhalten sich die meisten Mathematiker doch rela-tiv unauffallig, genauso die glucklicherweise in immergroßerer Anzahl real existierenden Mathematikerinnen.Die uberwaltigende Mehrheit beider ist im Allgemeinenmehr als nur einen Sicherheitsabstand entfernt von derstationaren Einweisung.

Und anstelle von abgehobener Gehirnakrobatik gehtes in der Mathematik vor allem um folgerichtigesSchlussfolgern, das heißt, moglichst irrtumsfrei Aus-sagen zu treffen. Man kann das nun, wie Kunst, zumSelbstzweck betreiben, und daran ist auch nichts grund-legend falsch. Zweifelsohne von weitaus großerer ge-sellschaftlicher Relevanz sind aber die mathematischenund statistischen Modelle, die auf reale Vorgange an-wendbar sind, und somit folgerichtige Schlussfolgerun-gen uber die Realitat erlauben. Beispielsweise Maschi-nen, Autos oder Computer zu bauen; das Wetter vorher-zusagen; oder die beste Therapie fur eine Krankheit zufinden.

Am Ende dieses Artikels werden wir ein Modellsehen, Sudokus nicht ganz unahnlich, welches Sport-ergebnisse vorhersagen kann, mit relativ elementaremWissen uber Algebra und Statistik. Was aber viel vielwichtiger ist: wir werden auch sehen, wie man folge-richtig uberprufen kann, ob ein solches Modell und des-sen Vorhersagen grober Unfug sind oder nicht. Schließ-

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lich ist etwas ja nicht allein dadurch richtig, dass esirgendwo steht, oder in komplizierten Formeln auf-geschrieben wurde - sondern es muss irrtumsfrei be-grundet werden. Das ist Mathematik.

Uber das Vervollstandigen der MatrixDas am Ende vorgestellte Modell (welches wie ge-sagt unter anderem Sportergebnisse vorhersagen kann)beruht auf einem Prinzip, das dem des Sudoku nichtunahnlich ist: in eine Tabelle nach einem bestimmtenPrinzip Zahlen einzutragen. Das Prinzip ist naturlich einbisschen anders als beim Sudoku, im Folgenden wirddie notige Theorie dazu eingefuhrt.

Was ist eine Matrix?Die bessere Frage zu Beginn ist vielleicht: wieso kannman uberhaupt etwas vorhersagen, indem man Zahlenin eine Tabelle einfullt. Die einfache Antwort lautet: da-durch, dass die eingefullte Zahl selbst die Vorhersageist. Und dadurch, dass die Tabelle eine Tabelle von Da-ten bzw. Messwerten ist. Ein Beispiel:

Tabelle 2. Schematisch vereinfachte Darstellung des“Netflix Prize” Problems, fur dessen Losung die Firma Net-flix im Jahr 2006 eine Million Dollar ausschrieb [11]. Zeilenentsprechen Filmen, Spalten entsprechen Benutzern, Eintrageentsprechen Bewertungen. Ziel ist es, eine gute Vorhersagefur fehlende Bewertungen einzufullen.

Tabelle 2 enthalt Benutzerbewertungen von Filmen,wie sie zum Beispiel bei Netflix vorgenommen wer-den. Die verschiedenen Zeilen entsprechen verschiede-nen Benutzern, die Spalten entsprechen verschiedenenFilmen. Ein Eintrag ist die Bewertung, die der Benutzerin derselben Zeile dem Film in derselben Spalte gegebenhat. Nicht jeder Benutzer bewertet jeden Film, und nichtjeder Film wird von jedem Benutzer bewertet, daher istdie Tabelle nicht komplett ausgefullt.

Mochte man nun vorhersagen, wie dem Benutzer Xder Film Y gefallen wurde, entspricht das der Aufga-be, einen plausiblen Wert fur den Eintrag in der X-tenSpalte und der Y-ten Zeile zu finden. Macht man dasfur alle Filme, die X noch nicht gesehen hat, kann mandaraus eine Filmempfehlung ableiten, indem man Filme

mit hoher vorhergesagter Bewertung empfiehlt. Ahnlicherhalt man eine Produktempfehlung, wenn man “Film”durch “Produkt des Onlinegroßhandlers O” ersetzt. Undso weiter.

Und nun zum Sport:

Athlet 200m 400m 800m 1500mBolt 19.19 45.28

Farah 1:48.69 3:28.81Johnson 19.32 43.18Kipketer 46.85 1:41.11Rudisha 45.45 1:40.91

Yego 1:42.67 3:33.68

Tabelle 3. Personliche Bestzeiten einiger Weltspit-zenlaufer. Ziel ist es, diese in einem Modell zu verstehen. In-teressante Fragen in dieser Tabelle waren z. B. die nach Ru-dishas Potenzial auf 1500m, oder Johnsons 800m-Zeit.

Tabelle 3 enthalt Bestleistungen von Weltspit-zenlaufern. Zeilen entsprechen den Athleten, Spaltenverschieden langen Laufstrecken, und die Eintrage denBestzeiten. Vorhersagen sind hier interessant in Vor-bereitung auf eines der langeren Rennen, fur die ofteine mehrmonatige Trainingszeit erforderlich ist, wiezum Beispiel dem Marathon; oder, um eine Leis-tung außerhalb der “typischen” Lauflangen eines Ath-leten zu schatzen. Zusatzlich und insbesondere ist hierauch wichtig, diese Vorhersagen im Rahmen eines wis-senschaftlich sparlichen Modelles zu sehen, welchesim Optimalfall Ruckschlusse auf die zugrundeliegendePhysiologie erlaubt.

Dem aufmerksamen Leser wird aufgefallen sein,dass die obigen Ausfuhrungen zwar erklaren, wieso mandurch gutes Einfullen der Eintrage eine gute Vorher-sage treffen kann, aber nichts daruber gesagt ist, wieman denn die Eintrage nun praktisch einfullt. Schließ-lich ist eine Vorhersage nicht allein deswegen gut,weil man irgendetwas eingefullt hat. Der nachste Ab-schnitt wird das mathematische Prinzip hinter einer gu-ten Einfullstrategie beschreiben.

Dazu sei noch kurz die anfangliche Frage beant-wortet. Eine Matrix (im mathematischen Sinne) ist dieformelle Abstraktion einer Tabelle von Zahlen (ohneZeilen- und Spaltenbeschriftung). Praziser:

Definition. Eine (reelle) Matrix von Große (m×n),ist ein tabellarisch geordnetes Tupel A von reellen Zah-len Aij ∈ R, mit Indizes i ∈ {1, 2, . . . ,m} und j ∈{1, 2 . . . , n}. Man schreibt kurz A ∈ Rm×n und inter-pretiert Aij als den Eintrag in der i-ten Zeile und j-tenSpalte. Die i-te Zeile ist eine (1 × n)-Matrix und wirdmit Ai∗ notiert; die j-te Spalte ist eine (m × 1)-Matrixund wird mit A∗j notiert.

Dem Leser sind Matrizen vermutlich aus den Ab-iturklassen oder aus dem Studium vertraut, inklusiveder ublichen Konventionen im Bezug auf Addition undMultiplikation, die als bekannt vorausgesetzt werden.Auch einem Leser mit abgeschlossenen Mathematik-studium sei die Lekture der folgenden Abschnitte na-hegelegt, da die Interpretation einer Matrix als Modell,

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und nicht als abstraktes Konzept, moglicherweise unge-wohnt vorkommen kann.Low-Rank Matrix CompletionEin Einfullprinzip, mit dem man gute Vorhersagen furBewertungen und die sportlichen Leistungen bekommt,beruht auf der Annahme, dass die vollstandige Matrixeinen niedrigen Rang besitzt. Eine mogliche (wenn auchweniger gebrauchliche) Definition fur den Rang einerMatrix lautet wie folgt:

Definition. Sei A ∈ Rm×n eine Matrix. Der Rangvon A ist die kleinste Anzahl r an Zeilenprototypenu1, . . . , ur, sodass jede Zeile von A als Linearkombi-nation der uj dargestellt werden kann, d.h. fur alle Zei-lennummern i existieren λij ∈ R, sodass

Ai∗ = λ1u1 + λ2u2 + . . . λrur.

Die Zeilenprototypen haben eine unmittelbare Inter-pretation in den Beispielszenarien. Wenn man zum Bei-spiel animmt, dass die Matrix mit den FilmbewertungenRang r hat, entpricht das der Annahme, dass es r pro-totypische Filme oder “Grundgenres” wie Action, Dra-ma, Komodie, etc gibt, aus denen jeder Film (zumindestim Hinblick auf die Bewertungen) zusammengesetzt ist.Die λij beschreiben den Anteil des j-ten Genres an i-ten Film. Die Bewertungen der einzelnen Filme werdenerklart als lineare Mischung der Bewertung, die die Pro-totypen erhalten wurden. Ahnlich verhalt es sich mit denSportlern - hier hat man prototypische Athleten, so wieden Sprinter oder den Langstreckenlaufer.

Die “Prototypen” mussen hierbei nicht als reale Fil-me oder Athleten existieren, damit das Modell die Ma-trizen gut beschreibt. Es sei hier erwahnt, dass obwohldas Modell vielleicht plausibel erscheint, es im Prinzipweder zutreffend noch hilfreich sein muss. Ob die Mo-dellannahme sinnvoll war, muss bei einer praktischenAnwendung immer erst uberpruft werden.

Ein grundlegendes Resultat der Matrixalgebra be-sagt, dass man in der Definition oben fur den Rangstatt Zeilenprototypen auch Spaltenprototypen nehmenkonnte, die Anzahl ist die gleiche. Am einfachsten istdas vielleicht zu sehen, indem man die Definition inMatrix-Multiplikations-Notation umschreibt:

Definition1. Sei M ∈ Rm×n eine Matrix. Der Rangvon M ist die kleinste Zahl r, sodass Matrizen U ∈Rm×r und V ∈ Rr×n existieren mit M = UV .

Die Zeilen von U sind ui, und die Eintrage von Vsind die λij in der ursprunglichen Definition. Die Spal-ten von V sind Spaltenprototypen, und durch Transpo-nieren von A sieht man, dass die kleinstmogliche An-zahl Zeilenprototypen gleich der kleinsten Anzahl Spal-tenprototypen ist.

In den Beispielen bedeutet das, dass im Low-Rank-Modell zu den Filmgenres auch Benutzertypen gehoren:Action-Fan, Drama-Fan, Komodien-Fan, usw. Und zuden Musterathleten auch prototypische Aufgaben: z. B.Sprinten, und Langstreckenlauf.

Low-Rank Matrix Completion, also das Einfullenvon Eintragen unter der Annahme niedrigen Ranges(wir wollen den gebrauchlicheren, englischen Ausdruckbenutzen), bekommt so die Form eines Rang-udokus.Zum Beispiel diese unvollstandige (10 × 10)-Matrix inTabelle 4.

Die (von praktischem Nutzen komplett befreite,aber illustrative) Aufgabe ist es, samtliche Eintrage ex-akt oder mit einer numerischen Prazision von 1e-3 der-art einzufullen, dass die vollstandige Matrix einen Rangvon 2 besitzt. Es ist durchaus erlaubt, dass eine Zahlpro Zeile oder Spalte mehrmals auftritt, und es durfenauch irrationale oder komplexe Zahlen eingefullt wer-den, wenn es denn hilft.

-4 2 5 3

4 4 -2 -4

4 -4 -3 6

-1 5 0 3

-2 2 -4 6

0 2 6 -2

0 4 1 -4

6 -3 -9 -5

6 -6 9 -6

6 -3 -3 -6

Tabelle 4. Rang-Ratsel. Ziel ist es, komplexe Zahlen der-art einzufullen, dass die vollstandige Matrix Rang 2 hat. DieLosung ist mit drei Nachkommastellen Prazision gesucht.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 1 4 3 6 5 8 7 10 9

1 1

2 1

1 2

1 4

3 1

4 2

3 5

0 1

Tabelle 5. Rang-Ratsel. Ziel ist es, komplexe Zahlen der-art einzufullen, dass die vollstandige Matrix Rang 2 hat. Dieexakte Losung gesucht.

1Diese Definition des Ranges wird auch der “Zerlegungsrang” genannt. Wer andere Definitionen kennt wie den Zeilen- oder Spal-tenrang, die im Abiturunterricht und in Universitatsvorlesungen wesentlich haufiger zu finden sind, sollte die Aquivalenz relativ schnellbeweisen konnen.

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Wie man einfulltFalls Sie sich am Ratsel versucht haben - falls nicht,wurde ich an dieser Stelle darum bitten, dass Sie sichkurz Gedanken machen, wie Sie anfangen wurden -wird Ihnen vermutlich aufgefallen sein, dass die De-finition des Ranges (Zerlegungsrang, auch der Ihnenmoglicherweise bekannte Zeilen-/Spaltenrang) nichtsehr hilfreich ist, um die Eintrage einzufullen. NaivesProbieren hilft im Allgemeinen auch nicht, das im Ge-gensatz zum Sudoku im Prinzip unendlich viele Zahlenin Frage kommen.

Wie so oft besteht auch hier ein gewisser Unter-schied zwischen der theoretischen Charakterisierung derLosung und deren praktischer Konstruktion - den meis-ten angewandten Wissenschaftlern, sowie den Leserndes Rundbriefs durfte dieser Unterschied wohl vertrautsein; dieser besteht in der Angabe einer konstruktivenRechenvorschrift, eines sogenannten Algorithmus. Die-sem auf die Spur kommt man vielleicht am besten ineiner einfacheren Version des Ratsels, in Tabelle 5.

Die Aufgabe ist wieder die gleiche: alle fehlen-den Eintrage einzufullen, sodass die Matrix Rang 2 be-sitzt, d.h., jede Zeile ist die Summe zweier “Prototy-penzeilen”. Im Beispiel kann man sich relativ schnelluberlegen, dass man ohne Beschrankung der Allgemein-heit die ersten zwei (vollstandigen) Zeilen als die Pro-totypen wahlen kann. Da zwei Eintrage in jeder ande-ren Zeile vorhanden sind, kann man die Losung auf eineUbungsaufgabe in Gauss-Elimination zuruckfuhren.

Die Losung lasst sich explizit angeben (Kenntnis derMatrixinversen und Determinante vorausgesetzt): ist Ddie fehlende (8 × 8)-Matrix, so lassen sich die fehlen-den Eintrage bestimmen als D = BA−1C, wo A die(2 × 2)-Matrix der ersten zwei Spalten und Zeilen, Bdie (8 × 2)-Matrix der ersten zwei Zeilen und letztenacht Spalten, und C die (2 × 8)-Matrix der letzten achtZeilen und ersten zwei Spalten. Das heißt, fur jeden feh-lenden Eintrag Dij gilt die Gleichung Dij = BiA

−1Cj ,woBi die i-te Zeile vonB, undCj die j-te Spalte vonCist. Letzteres ist aquivalent (nach Umstellung und Mul-tiplikation mit det(A)) zur Formel detM (i,j) = 0, woM (i,j) die Untermatrix mit den drei Zeilen 1, 2, i unddrei Spalten 1, 2, j ist.

Mit anderen Worten, sobald man drei Zeilen unddrei Spalten gefunden hat, in deren Schnittmenge ins-gesamt 8 (= 3 × 3 − 1) Eintrage bekannt sind, kannman diese benutzen, um den neunten durch Auflosungnach der (3×3)-Determinante einzufullen2. Tatsachlichberuht hierauf bereits die Hauptidee des praktischen Al-gorithmus fur Low-Rank Matrix Completion, der sichin [6] findet - mittels weniger beobachteter Eintrage dieunbekannten einzeln einzufullen.

Leider ist die Determinanten-Strategie in der obi-gen Form weder theoretisch noch praktisch zureichend.Zum einen erlaubt sie nicht, alle Eintrage einzufullen,die theoretisch einfullbar waren. In der Praxis ist sie sonicht verwendbar, da eine Datenmatrix normalerweisemit Messungenauigkeiten behaftet ist und einer Matrix

von niedrigem Rang nur nahe kommt.Die Praxis wird im ubernachsten Abschnitt behan-

delt (schließlich wollen wir ja Sportergebnisse vorhersa-gen). Der nachste Abschnitt (“Circuits”) gibt einen kur-zer Ausblick auf interessante theoretische Phanomeneund Losungshinweise zum Ratsel in Tabelle 4, kann je-doch vom Leser auch ubersprungen werden; fur eine ge-nauere Abhandlung der Theorie sei auf die entsprechen-de Publikation [6] verwiesen.

CircuitsEin naturlicher Ausgangspunkt der theoretischen Be-trachtungen ist eine weitere Alternativdefinition desRanges, der sogenannte Determinanten-Rang:

Definition. Sei M ∈ Rm×n eine Matrix. Der Rangvon M ist die kleinste Zahl r, sodass die Determinantenaller (r+1×r+1)-Untermatrizen vonM verschwinden.

Die Aquivalenz zur den vorigen Definitionen desRanges ist nicht trivial, aber klassisch; man kann die-se Aquivalenz verstehen als Begrundung einer all-gemeineren (fur Algebraiker relativ offensichtlichen)Determinanten-Strategie. Leider zeigt zum Beispiel daserste Rang-udoku, dass man im Allgemeinen mit derDeterminanten-Strategie alleine nicht weit kommt (dasRatsel ist mit genau dieser bosartigen Absicht konstru-iert). Es stellt sich heraus, dass man zu einer Verall-gemeinerung der Determinante ubergehen muss, soge-nannten “Circuits”:

Definition. Sei C ⊆ [m]× [n] eine Menge von Indi-zes. C heißt ein Circuit (von Rang r), falls:

(i) Fur beliebige e ∈ C lassen sich an den IndizesC \ {e} beobachtete Eintragen zu einer (nichtnotwendigerweise eindeutigen) Matrix von Rangr vervollstandigen.

(ii) Im Allgemeinen lassen sich an den Indizes C beob-achtete Eintrage nicht zu einer Matrix von Rangr vervollstandigen.

Zum Beispiel ist jede (r+1×r+1)-Untermatrix einCircuit; denn fehlt ein Eintrag, lasst sich dieser mit derDeterminanten-Strategie zu einer Rang-r-Matrix ver-vollstandigen (ebenso potenziell fehlende Eintrage inanderen Zeilen und Spalten), somit ist Bedingung (i)erfullt. Kennt man jedoch bereits alle Eintrage, hat manim Allgemeinen keine Vervollstandigung zu einer Ma-trix von Rang r - namlich genau dann wenn die Matrixbereits Rang r+ 1 hat, da eine solche Matrix auch nichtUntermatrix einer Rang-r-Matrix sein kann.

Allerdings ist nicht jeder Circuit von der Form ei-ner Untermatrix. Beispielsweise kann man zeigen: dasIndexmuster

2da mit det(A) multipliziert wurde, ist es notwendig, dass die bekannte (2× 3)-Untermatrix vollen Rang besitzt; fur eine “allgemeine”oder zufallige Matrix ist das der Fall, im Allgemeinen aber nicht.

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ist ein (fur das Ratsel in Tabelle 4 ubrigens hilfrei-cher) Circuit von Rang 2. Interessanterweise hat die-ser Circuit fur allgemeine Matrizen genau zwei Ver-vollstandigungen zu einer (4× 4)-Matrix.

Ahnlich wie im Fall von Untermatrizen, kann manvon einem Circuit eine Rekonstruktionsvorschrift ablei-ten:

Theorem. Sei C ⊆ [m]× [n] ein Circuit (von Rangr). Dann existiert ein (bis auf Skalarmultiplikation) ein-deutig bestimmtes Polynom PC in den Eintragen einerMatrix Mc, c ∈ C, sodass folgendes gilt: Die Ein-trage Mc, c ∈ C konnen zu einer Rang-r-Matrix ver-vollstandigt werden genau dann, wenn gilt, dass PCausgewertet auf den Mc, c ∈ C verschwindet, i.e.,PC(Mc, c ∈ C) = 0.

Nach der Definition von Circuits muss jede VariableMc, c ∈ C im Circuit nichttrivial auftreten, somit kannman einen einzelnen fehlenden Eintrag e in C durchAuflosen von PC nach der Variablen Me bis auf end-lich viele Alternativen genau bestimmen. Das Polynomfur den (r + 1× r + 1)-Untermatrix-Circuit ist die De-terminante (als Polynom in den Eintragen betrachtet).

Man sieht leicht, dass Zeilen- und Spaltennumme-rierung an der Tatsache, dass man einen Circuit vor sichhat, nichts wesentlich andert; man kann zeigen, dass esselbst mit dieser Aquivalenz unendliche viele Circuitsvon festem Rang r gibt. Alle Circuits von Rang 1 sindbekannt, fur hoheren Rang ist das offen.

Es wird vermutet, dass eine vollstandige Charak-terisierung schwierig ist, da Verbindungen zu anderen,bereits langere Zeit offenen Problemen in der Kombi-natorik gibt; aber bitte lassen Sie sich davon auf kei-nen Fall entmutigen. Beweise und weitere Details findensich in [6].

Wie man nachpruft, dass die obigenIdeen praktisch funktionieren und die

Vorhersagen gut sindIm vorhergehenden Abschnitt haben wir gesehen, wiesich mittels Determinanten (oder allgemeiner: Circuits)Eintrage in eine unvollstandige Matrix einfullen lassen.Selbst schone theoretische Resultate sind aber keine Ga-rantie, dass die Strategie in der Praxis auch funktioniert,z. B. fur die Filmbewertungen oder die Sportergebnisse.Zum einen mussen etwaige Annahmen nicht in den Da-ten erfullt sein; und selbst wenn, in der modernen Wis-senschaft ist nur systematische Beobachtung von (rea-

len, tatsachlichen) guten Vorhersagen ein ausreichenderNachweis fur die Fahigkeit der Methode, gute Vorhersa-gen zu treffen.

Empirische ValidierungWie ein solcher Nachweis nach dem Stand der statisti-chen Wissenschaft erfolgen kann, wird im Folgenden er-klart. Daran lasst sich dann ablesen, ob die naive Strate-gie “finde eine (r+1×r+1)-Untermatrix mit einem feh-lenden Eintrag, fulle diesen mit der Determinante ein”gut funktioniert oder nicht.

Fur eine Vorhersagemethode ist, nach dem statisti-chen Induktionsschluss, eine gute Vorhersagefahigkeitempirisch bestatigt, wenn unter ahnlichen Bedingun-gen systematisch gute Vorhersagen beobachtet wurden.Um eine solche Vohersage zu simulieren, geht man bei-spielsweise folgendermaßen vor: ein Eintrag aus der un-vollstandigen Datenmatrix wird entfernt, und mittels derMethode aus den anderen Eintragen vorhergesagt. Daswird mehrmals wiederholt, und man erhalt mehrere vor-hergesagte Eintrage. Die Vorhersagen werden dann mitden jeweils echten Eintragen verglichen, eine gute Vor-hersagemethode besitzt im Durchschnitt einen niedrigenFehler. Niedrig ist hier immer im Vergleich zu naivenMethoden zu sehen, wie den Eintrag uninformiert zu ra-ten, oder den Mittelwert der Zeile/Spalte einzufullen.

Wir beschreiben etwas formaler eine Moglichkeitfur ein solches sogenanntes Kreuzvalidierungsschema3:Seien x1, . . . , xN ∈ [m] × [n] Indizes, an denen Ein-trage beobachtet wurden. Seien y1, . . . , yN ∈ R die da-zugehorigen Eintrage. Fixiere eine (abstrakte) Vorhersa-gemethode V .

Schritt 1: Ziehe zufallig k Indizes xi1 , . . . , xik (ohneZurucklegen).Schritt 2: Benutze die Methode V , um Vorhersagenfi1 , . . . , fik fur die Indizes zu machen. Zur Vorhersagevon fij werden alle Index/Eintrags-Paare benutzt außer(xij , yij ), damit es sich auch tatsachlich um ein Vorher-sage handelt.Schritt 3: Berechne eine Vorhersagefehlerstatistik, zumBeispiel denn mittleren Absolutfehler (mean absoluteerror, MAE), der definiert ist als

MAE von V =1

k

k∑

j=1

|fij − yij |.

Standardfehler oder Konfidenzintervalle erhalt manaus der Stichprobe der Absolutfehler |fij − yij |.Zwei Vorhersagemethoden V1, V2 (z. B. Determinanten-Strategie, Mittelwert einfullen) lassen sich uber gepaareStichprobentests auf den Absolutfehlern vergleichen.

Falls der MAE der Determinanten-Strategie signifi-kant unter dem MAE einer naiven Strategie (z. B. Mit-telwert einfullen) liegt, kann dann der Schluss getroffenwerden, dass die Determinanten-Strategie eine Vorher-sage erlaubt, auf dem betrachteten Datensatz.

3Das vorgestellte Validierungsschema ist eine Variante der “leave-one-out cross-validation”. Der Subsampling-Schritt Nummer 1 isteine Moglichkeit, um bei großen N Zeit zu sparen; wann immer moglich, wahlt man bei der leave-one-out cross-validation k = N . EineUbersicht uber andere ebenfalls sinnvolle Vaidierungsschemata und quantitative Schatzgarantien findet sich in [4], Kapitel 7.

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Normalerweise werden Methoden auf mindestenszwei Arten von Datensatzen verglichen: einem synthe-tischen Datensatz, der maschinell mit korrekten Model-leigenschaften (z. B. Rang 2) erzeugt wurde, und einemrealen Datensatz.

Wenn die Methode auf dem synthetischen DatensatzVorhersagen treffen kann, beweist das, dass sie unter deneingebauten Modellannahmen funktioniert. Wenn dieMethode auf dem realen Datensatz vorhersagen kann,beweist dies - lediglich genau das. Es zeigt namlichstrenggenommen nicht, dass der reale Datensatz eben-falls den Modellannahmen folgt, obwohl es das plausi-bel macht, wenn andere Grunde unplausiblen scheinen.Umgekehrt, wenn die Methode auf dem synthetischenDatensatz vorhersagen kann, aber nicht auf dem realen,liefert das einen starker Hinweis dafur, dass die Modell-annahmen fur den realen Datensatz nicht zutreffen.

Tabelle 6 zeigt MAE der Determinanten-Strategie“finde eine (3 × 3)-Untermatrix mit einem fehlendenEintrag, fulle diesen mit der Determinante ein” und derStrategien “Median der Spalte”, und “Mittelwert derSpalte”, geschatzt wie oben mit k = 100, auf zwei Da-tensatzen. Bei Datensatz 1 handelt es sich um die kom-plette (10 × 10)-Matrix aus dem zweiten Ratsel, mitRang 2. Bei Datensatz 2 handelt es sich um die Da-tenmatrix der offiziellen Sportergebnisse von 101.775mannlichen britischen Laufern seit 1954, wie sie in [1]verwendet wurde.

Die Aufgabe in Datensatz 1 ist die Vorhersage einesgleichverteilt zufalligen Eintrages, die Aufgabe in Da-tensatz 2 ist die Vorhersage einer gleichterteilt zufalliggewahlten Marathonzeit.

Methode Tabelle 5 AthletenSpalten-Median 1.1± 0.2 32± 3min

Spalten-MW 1.5± 0.2 34± 3minDeterminanten 0± 0 27± 4min

Tabelle 6. Empirische Vorhersageguten verschiedenerVorhersagestrategien (Zeilen) auf zwei Datensatzen (Spal-ten). Tabelle 5 ist eine (10×10)-Matrix von Rang exakt 2; derAthleten-Datensatz ist in [1] beschrieben. Die mittleren Ab-solutfehler sind nach dem beschriebenen Kreuzvalidierungs-verfahren, mit k = 100 geschatzt. Der berichtete Standard-fehler ist die empirische Standardabweichung des Mittelwer-tes der einzelnen Vorhersagefehler (Absolutresiduale).

Die Ergebnisse zeigen empirisch, dass dieDeterminanten-Strategie auf der (zweiten) Ratselmatrixperfekt funktioniert, wie erwartet. Leider ist sie auf denAthleten nicht wesentlich besser (im Rahmen des sta-tistischen Unsicherheit) als die naiven Strategien, dieuberhaupt keine Information uber die einzelnen Ath-leten benutzen - und selbst wenn sie ein kleines biss-chen besser ware, ist die Vorhersage einer Marathonzeitmit einem mittleren (nicht maximalen) Fehler in derGroßenordnung von 30 Minuten Abweichung in derPraxis kaum zu gebrauchen. Wie oben ausgefuhrt, istsind das alles starke Hinweise darauf, dass ein Rang-2-Modell fur die Matrix der Athleten nicht zutrifft, oder

praziser, dass mindestens eine der impliziten Annahmender Determinanten-Vorhersagestrategie nicht, oder nichtgut genug erfullt ist.

Es rauschtNun fragen Sie sich sicher, geneigter Leser, washier denn falsch gelaufen ist. Immerhin wurde gera-de der Nachweis erbracht, dass das oben beschriebeneEinfullen mit Determinanten fur die Sportdaten ganzund gar nicht gut funktioniert. Beziehungsweise, ge-nau genommen wurde lediglich beschrieben, wie mandie Gute der vorgeschlagenen Methode uberpruft. Dennachprufbaren Nachweis in der Form eines der Tabel-le 1 vergleichbaren Ergebnisses erhalten Sie, sobald Sieden entsprechenden Code auf den erwahnten Daten aus-gefuhrt haben ([5]). Es sei angemerkt, dass das durchGlauben der Tabelle 6 nicht ersetzt werden kann, dahersind Sie eingeladen, das auch tatsachlich praktisch in derRealitat mit einem Computer zu tun ([5]), und erst dar-aus korrekt zu schließen, dass die Methode schlecht ist.

Was schief gelaufen ist, ist allerdings nicht nur dieMethode. Tatsachlich wurde hier die Erbsunde der mo-dernen Wissenschaft begangen: es wurde von einemModell ausgegangen, bevor die Daten uberhaupt be-trachtet wurden; es wurde eine Erklarung fur die Rea-litat angeboten, bevor diese uberhaupt beobachtet und ineinem Experiment gepruft wurde. Das low-rank-Modellwurde Ihnen prasentiert mit Verweis auf die Sport-Anwendung, ohne dass genau erklart wurde, warum ge-rade das ein gutes Modell sein soll, oder besser als an-dere Modelle. Dieser Versuchung zu erliegen ist umsoeinfacher, je mathematisch schoner und intuitiv plausi-bler das Modell oder die Erklarung ist, aber Schonheitund Plausibilitat einer Annahme machen sie leider nichtwahr.

Naturlich ist das auch ein bisschen derErzahlreihenfolge in diesem Artikel geschuldet, derexistierende Resultate wiedergibt; wenn aber erstmalsbehauptet wird “Modell X ist gut fur die Daten Y”, dannsind zuerst die Daten Y gut zu untersuchen. Wenn mandas im fur den Fall der Sportergebnisse macht (siehe[5]), dann sieht man (qualitativ) folgendes ein:

Großere Blocke in der Matrix haben fast Rang 1, wennman sie logarithmiert, und

(3 × 3)-Untermatrizen (nach Logarithmieren) habenfast Rang 2, aber eben nicht ganz.

Beides lasst sich z. B. mit geeigneter Anwendungder Singularwertzerlegung feststellen.

Aus den obigen Beobachtungen kann man die Hy-pothese ableiten, dass der Logarithmus der Datenmatrixeine mit Messungenauigkeiten behaftete Rang-2-Matrixist. Der Logarithmus macht im Rahmen bekannter Po-tenzgesetze fur sportliche Leistungen Sinn, und Mes-sungenauigkeiten sind ein Standardphanomen auf realenDaten.

Nur den Logarithmus zu nehmen hilft etwas bei derVorhersage, aber nicht allzu viel. Der genauen Struktur

11

der Messungenauigkeiten kommt man auf die Spur, in-dem man einen Eintrag fixiert, und viele Vorhersagendurch die Determinanten-Strategie (an Hand verschie-den positionierter Untermatrizen) betrachtet.

Schaubild. Typisches Histogramm von Vorhersagendurch zufallige Determinanten auf der logarithmiertenMatrix der Athleten. Die x-Achse zeigt den vorhergesag-ten Wert, die y-Achse die Absoluthaufigkeit im jeweili-gen Intervall. Zu beoachten ist eine Streuung um dentatsachlichen Wert (hier 5.5), mit einigen Outliern. Ty-pisch ist auch das vereinzelte Auftreten absurd großerVorhersagen (hier nicht gezeigt).

Das Schaubild zeigt ein typisches Histogramm derVorhersagen. Man sieht, dass die Vorhersagen um dentatsachlich beobachteten Wert streuen, an den Endenmitunter extrem, aber um den tatsachlichen Wert kon-zentrieren. Das legt eine leicht verbesserte Strategie4 na-he: zuerst Logarithmus ziehen; viele Vorhersagen mitder Determinanten-Strategie machen, dann den Mediannehmen (robust gegenuber extremen Werten); schließ-lich exponentieren.

Und siehe da, das funktioniert auch: der MAE einersolchen Strategie auf dem Datensatz betragt 3.4(±0.5)Prozent, das entspricht der gegenwartig besten bekann-ten Vorhersagegute, und einem mittleren Fehler von3 bis 4 Minuten beim Marathon. Fur eine technischprazisere Beschreibung eines Algorithmus, empirischeErgebnisse, sowie eine ausfuhrliche Behandlung desThemas siehe [1].

Wie oben wird zum Uberprufen dieser Behauptungnachdrucklich eingeladen ([5]). Das Wichtigste ist dazudie empirische Bestimmung des Vorhersagefehlers perKreuzvalidierung; als zweiten Schritt wurde man die-selbe Strategie auf einem oder mehreren synthetischenDatensatzen validieren, der dem reellen nachempfunden

ist, und prufen, ob die Modellannahmen ausschlagge-bend waren fur die gute Vorhersage.

Des Weiteren wurde man immer, auch hier, gerneexakt nachprufen, warum denn funktioniert, was funk-tioniert - liegt es am Rang (hier: 2); daran, dass ein Low-Rank-Modell angenommen wurde; und/oder an der spe-ziellen Methode, mit der man die Eintrage einfullt?Vielleicht werden ja nicht alle Komponenten benotigt.Tatsachlich stellt sich heraus, dass andere Methoden, in-klusive bekannterer Strategien, die auf der Low-Rank-Annahme beruhen, auch solche mit Rang 2, nicht ver-gleichbar gut sind; und dass ein Rang von 3 sogar (un-ter Umstanden) noch besser funktioniert. Das genau her-auszuarbeiten bedarf aber entsprechend praziser empiri-scher Vergleiche, daher sei dafur abschließend ein letz-tes Mal auf das Athletik-Paper [1] verwiesen, und zumeigenen Experimentieren eingeladen.

AusklangUnd so kann man tatsachlich schlussfolgern, dass Sport-ergebnisse mit einer Sudoku-ahnlichen Strategie vor-hergesagt werden konnen. Wobei eine solche Schluss-folgerung notwendigerweise auf einer irrtumsfrei fol-gerichtigen (= mathematisch korrekten) Argumentationund einer prazisen empirisch-experimentellen Validie-rung beruhen muss - was insbesondere bedeutet, dassirgendwo tatsachlich Sportergebnisse vorhergesagt wer-den mussen, und dass in Zahlen prazisiert werden muss,wie gut das gelungen ist.

Die besondere Schonheit einer solchen Validierung(wie im vorigen Abschnitt vorgestellt und z. B. in [4],Kapitel 7, ausfuhrlicher erklart) besteht darin, dass die-se unabhangig von der Methode moglich ist, mit derdie Vorhersagen erzielt werden; somit konnen beliebi-ge Methoden auf ihre Vorhersagefahigkeit hin gepruftwerden, sei es Raten, Determinanten, oder Krakenora-keln [12].

Um auf die anfangliche Diskussion zuruckzu-kommen, genau darin beruht auch der wichtigste undgroßte 5 Unterschied zwischen Mathematiker und Kli-scheemathematiker: in der sorgfaltigen Uberprufungvon mathematischen und wissenschaftlichen Schluss-folgerungen. Wenn man sich fur die reale Welt in-teressiert, bedeutet das insbesondere eine quantitativeund empirisch-experimentelle Bewertung der Hypothe-sen (z. B. Methode X kann Y gut vorhersagen), diesich dann als falsch oder richtig herausstellen - und da-durch potentiell als praktisch nutzlich. Ein bisschen Ge-hirnakrobatik mag ja dazugehoren, aber das ist nicht sowichtig.

4Im Fachsprech wird diese Strategie, d.h., viele Vorhersagen auf verschiedenen Teildatensatzen machen und dann den Median nehmen,“bragging” genannt; ein Kofferwortsynonym fur “robust bootstrap aggregation”. Bragging ist verwandt mit der bekannteren und alteren,jedoch mathematisch ein bisschen komplizierteren “bagging”-Strategie nach Breiman, welche fur die Determinanten-Vorhersagen in [1]verwendet wird. Auf dem Athleten-Datensatz sind bagging und bragging von Determinanten ungefahr gleich gut. Eine Ubersicht uberBragging und andere Varianten des Bagging findet man in [2].

5wenn auch nicht der einzige. Es stimmt zwar, dass ich (a) an der Kreidetafel und im Kopf schon ofters Rang-Ratsel wie in den Tabellen5 un 6 gelost habe, (b) einen Bart trage, (c) beinahe schon uberfahren wurde, und (d) mich als Mann fuhle. Aber: (a) wie im Artikel erklartwurde, sind diese tatsachlich praktisch nutzlich, (b) es ist ein Schnurrbart, der ohnehin wieder in Mode kommt, (c) das geht den meistenLondonern genauso, und (d) ungefahr die Halfte unserer Studenten sowie meiner Doktoranden sind weiblich. Mit diesen vier Dingen habeich ubrigens nicht nur kein Problem, sondern bin auch ganz glucklich daruber. Mit Ausnahme von (c) vielleicht.

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Ich wurde Sie, geneigter Leser, nach diesen Wor-ten herzlich dazu einladen, Tabellen, Daten, oder ein-fach Fakten, die Sie interessieren, aus einem solchenempirischen Blickwinkel zu betrachten, und in ihnenmoglicherweise bisher ungesehene mathematische Ge-setzmaßigkeiten - unter Umstanden abseits Ihrer Lieb-lingsmethoden oder Lieblingssichtweisen - zu entde-cken.

Falls Sie dafur gerne Anregungen hatten: wie warees denn mit den Filmbewertungen, die am Anfang nurrelativ kurz besprochen wurden. Den 1-Million-Dollar-Netflix-Preis konnen Sie zwar leider nicht mehr ge-winnen (dieser wurde im Jahre 2009 verliehen), undder Netflix-Preis-Datensatz ist aus Datenschutzgrundenebenfalls nicht mehr verfugbar [7]. Ein gerne genomme-ner Ersatz ist aber z. B. der frei verfugbare MovieLens-Datensatz [10]; oder der Jester-Datensatz, benannt nacheinem sich an den Benutzer anpassenden Witzempfeh-lungsalgorithmus [9].

Oder, falls Sie ein bisschen enttauscht waren, dasses sich bei dem “Sport” in “Sportergebnisse” um Leicht-athletik handelte: wie ware es mit einem Ratsel wie inTabelle 7, das einem Sudoku ebenfalls relativ ahnlichist, und wo in der Regel6 ebenfalls ganze Zahlen klei-ner als 10 eingefullt werden. So elementar die Fragestel-lung auch klingt, mit einer guten (d.h. wie beschriebenwissenschaftlich stringenten und statistisch validierten,und nicht einfach irgendeiner Unfugs-)Losung warenSie ganz vorne mit dabei im gerade aufkeimenden For-schungsgebiet der quantitativen Sportwissenschaften.

2 1 0 3

4 1 4 2 2

1 3 1 3

2 1 0 1

0 1 0 3

3 0 2 2 2

0 2 3 1

1 2 2 3

0 0 2 3

Tabelle 7. Eine Anregung zur Matrixvervollstandigung.Ziel ist es, eine Methode zu finden, die die fehlenden Zahlengut vorhersagt, und im Optimalfall auch modelliert. Hilfestel-lung: die (fehlende) Beschriftung der ersten Zeile ist “BayernMunchen”. Außerdem wurde die alberne Bezeichnung “Fuß-boku” absichtlich vermieden.

Ein Ratselhinweis zum Schluss: Low-Rank MatrixCompletion ist moglicherweise nicht die beste Metho-de fur die genannten Probleme, und auch nicht die ein-fachste Methode, die man probieren konnte. Aber viel-leicht fallt Ihnen bei der kritischen Betrachtung der Da-ten ohnehin etwas Besseres ein, genau das ist ja dasSpannende an der Wissenschaft.

Literatur

[1] Duncan AJ Blythe, Franz J Kiraly. Quantificationand prediction of individual athletic performance.arXiv, 1505:01147, 2015.

[2] Peter Buhlmann. Bagging, subagging and braggingfor improving some prediction algorithms. In: Re-cent Advances and Trends in Nonparametric Stati-stics, Elsevier, 2003.

[3] Howard Garns. Number Place. Dell Pencil Puzzles& Word Games, 16:6, 1979.

[4] Trevor Hastie, Robert Tibshirani, Jerome Friedman.The Elements of Statistical Learning: Data Mining,Inference and Prediction. Second Edition. SpringerSeries in Statistics, Springer, 2009.

[5] Franz J Kiraly.http://mloss.org/software/view/524

[6] Franz J Kiraly, Louis Theran, Ryota Tomioka. TheAlgebraic Combinatorial Approach for Low-RankMatrix Completion. Journal of Machine LearningResearch, 16(Aug):1391–1436, 2015.

[7] Arvind Narayanan, Vitaly Shmatikov. Robust De-anonymization of Large Sparse Datasets IEEE Sym-posium on Security and Privacy, 111–125, 2008.

[8] Ed Pegg Jr. Sudoku Variations. mathpuzzle.com,Sep 6, 2005.

[9] Jester 5.0 - Jokes for your sense of humourhttp://eigentaste.berkeley.edu/

Abgerufen Oktober 16, 2015.

[10] The MovieLens datahttp://grouplens.org/datasets/movielens/

Abgerufen Oktober 16, 2015.

[11] The Netflix Prize Ruleshttp://www.netflixprize.com/rules

Abgerufen Oktober 16, 2015.

[12] Wikipedia: Paul (Krake)https://de.wikipedia.org/wiki/Paul_(Krake)

Abgerufen Oktober 16, 2015.

6aber nicht immer, wie z. B. am 16. Spieltag der Saison 71/72

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Tropical Geometry in SINGULAR

Y. Ren(TU Kaiserslautern)

ren@mathematik.uni-kl.de

Introduction

Tropical geometry studies balanced polyhedral com-plexes which arise in numerous areas of mathematicsand beyond. In SINGULAR [4] we are naturally inter-ested in its application in algebraic geometry.

Given a polynomial ideal IEK[x] = K[x1, . . . , xn]over a field K with possibly trivial valuation ν : K →R, we would like to determine its tropical variety

Tropν(I) := {w ∈ Rn | inν,w(I) monomial free},

as it inherently carries information about the affine alge-braic variety X := V (I) ⊆ kn cut out by I (see [11] fordetails). Tropical geometers sometimes refer to them ascombinatorial shadows of their algebraic counterparts.

For example, enumerative geometers have beenstudying tropical varieties to count algebraic curves withcarefully chosen characteristics (see Figure 1). Whilecounting, it is important to recognize if multiple objectsare casted to the same shadow and, if needs be, deter-mine that number of objects. The theorem that provedthis to be possible is referred to as Mikhalkin’s Corre-spondence Theorem.

While studying tropical varieties, sometimes it ishelpful to compute concrete examples. Up until now,the only software that has been able to do so was GFAN[6] by A. N. Jensen, whose algorithms were developedin a collaboration with Bogart, Speyer, Sturmfels andThomas [1]. However GFAN is restricted to the rationalnumbers K = Q and the valuation ν = 0 being trivial,i.e. p-adic valuations νp are excluded. Nonetheless, it isalso possible to compute over the field of rational Lau-rent series K = Q((t)) with its natural valuation thanksto the trick of homogenization and dehomogenization.

The difficulty of non-trivial valuations comes fromthe fact that the classical Grobner basis theory does nottake any valuations on its ground field into account, asit relies solely on a chosen ordering on the monomials.This makes it unsuited for the problem at hand.

mult(Γ) = 4

2

Figure 1: tropical curves of degree 3 and genus 0through 8 points in general position

Progress to dateEver since version 3-1-6, SINGULAR has been support-ing convex geometry thanks to two interfaces [7, 9] toGFANLIB [6] and POLYMAKE [5] respectively. And, inversion 4-0-2, we have successfully implemented algo-rithms for computing tropical varieties over Q with re-spect to both trivial and p-adic valuations.

The algorithms for the trivial valuation were takenfrom the existing work [1], while for p-adic valuationswe have developed new techniques that allow us to fallback to the trivial valuation [10]. We are effectively trac-ing any tropical variety over Q under a p-adic valuationto a tropical variety over Z under the trivial valuation.However, the new ideals over Z are of more generalform than the old ideals over Q for which all existing al-

14

gorithms were designed, so that new computational ap-proaches had to be developed. During this, we are heav-ily relying on SINGULAR’s native standard basis enginefor coefficient rings in arbitrary orderings.

In a way, this new technique can be seen as a gener-alization of the homogenization and dehomogenizationstrategy to compute over Q((t)):

{−1} × Rn

0

Trop(π−1I)

Tropνp(I)

Figure 2: tropical varieties with p-adic valuation overQ and trivial valuation over Z respectively

During implementation, we paid special attention tounify our new algorithms for tropical varieties over Zand the existing algorithms for tropical varieties over Qin a common framework. All algorithms were imple-mented as part of the GFANLIB interface and are pub-licly available as part of the official SINGULAR distribu-tion.

To compute tropical varieties, load gfanlib.soand use the command tropicalVariety. The com-mand takes an ideal as first argument and has an op-tional second argument depending on which valuationyou want to compute with:

SINGULAR / VersionA CAS for Polynomial Computations / 4.0.2

0<Decker, Greuel, Pfister, Schoenemann \ MarchFB Mathematik der TU Kaiserslautern \ 2015

> LIB "gfanlib.so";> ring r = 0,(x,y,z,w),dp;> ideal I = x+2y-3z, 3y-4z+5w;> tropicalVariety(I,number(2)); // 2-adic val.RAYS-2 -1 1 -1 1 # 0-1 1 -1 1 -1 # 10 -3 1 1 1 # 20 1 -3 1 1 # 30 1 1 -3 1 # 40 1 1 1 -3 # 5LINEALITY_SPACE0 -1 -1 -1 -1 # 0MAXIMAL_CONES{0 1} # Dimension 3{0 2}{0 4}{1 3}{1 5}> tropicalVariety(I,number(3)); // 3-adic val.> tropicalVariety(I,number(5)); // 5-adic val.> tropicalVariety(I,number(7)); // 7-adic val.> tropicalVariety(I,number(11)); // 11-adic val.> tropicalVariety(I); // trivial valuation

Figure 3: computing tropical varieties of the sameideal with respect to multiple valuations on Q

As sketched in Figure 2, for p-adic valuations theoutput is a polyhedral fan whose intersection with theaffine hyperplane on which the first coordinate is −1yields the wanted tropical variety. This is akin to howPOLYMAKE represents polyhedra and polyhedral com-plexes. The tropical varieties are combinatorially of theform:

<

<

>

>

(1,−1, 1,−1)

12(−1, 1,−1, 1)

(−3, 1, 1, 1)

(1, 1,−3, 1)

(1,−3, 1, 1)

(1, 1, 1,−3)

Tropν2(I)

<

<

>

>

12(−1,−1, 1, 1)

12(1, 1,−1,−1)

(−3, 1, 1, 1)

(1,−3, 1, 1)

(1, 1,−3, 1)

(1, 1, 1,−3)

Tropν3(I)

14(−1,−1,−1, 3)

<

<

>

>

(−3, 1, 1, 1)

(1,−3, 1, 1)

(1, 1,−3, 1)

(1, 1, 1,−3)

Tropν5(I)

(0, 0, 0, 0)

<

<

>

>

(−3, 1, 1, 1)

(1,−3, 1, 1)

(1, 1,−3, 1)

(1, 1, 1,−3)

Tropνp(I) = Trop(I) for p = 7, 11

Figure 4: tropical varieties of the same ideal withrespect to multiple valuations on Q

The intersection of the affine hyperplane with thetwo highlighted rays in Figure 3 yield two distinct ver-tices in Tropν2(I) of Figure 4, whereas the intersectionwith the highlighted maximal cone yields the boundededge connecting them. The remaining rays representpoints at infinity, which is why the remaining maximalcones represent unbounded edges. The tropical vari-ety has a lineality space generated by the weight vector(1, 1, 1, 1), which is due to the homogeneity of our inputideal.

Note how the tropical varieties dance around for the2-, 3- and 5-adic valuation before settling to what is ob-tained with respect to the trivial valuation. This suggeststhat 2, 3 and 5 are so called bad primes for the modulartechniques involving our ideal [2], which is no surpriseas they appear as coefficients of our generators.

15

Current and Future workOne major bottleneck in our computation are stan-dard bases computations over Z in arbitrary orderings.Thanks to the theory of Grobner walks, it is only nec-essary once at the very beginning. There is currently agroup of SINGULAR developers actively working on it,including Christian Eder, Anne Frubis-Kruger, GerhardPfister and Adrian Popescu, and any improvement willgreatly benefit our performance for p-adic valuations.However, it may also be worthwhile to consider algo-rithms tailored to our ideals which exploit some of thecommon structure that they share [8].

Moreover, starting with the next version SINGULARwill support modified standard bases algorithms. Onepromising candidate for tropical computations is the socalled saturating standard bases algorithm, in whicheach new basis element is checked for divisibility by thevariables. Because we assume our ideal to be saturatedwith respect to all variables to begin with, we may useit indiscriminately without altering our ideal. This tech-nique was originally applied in the monomial tests dur-ing the study of GIT-fans to great success [3], and wehope that it will do equally well in the massive amountof monomial tests in our tropical algorithms.

Feature-wise, the biggest priorities are the computa-tion of multiplicities and the ability to exploit symme-tries in our computations.

References

[1] Tristam Bogart, Anders N. Jensen, David Speyer,Bernd Sturmfels and Rekha R. Thomas. Computingtropical varieties. J. Symbolic Comput., 42(1-2):54–73, 2007.

[2] Janko Bohm, Wolfram Decker, Claus Fieker andGerhard Pfister. The use of bad primes in ratio-

nal reconstruction. Mathematics of Computation,84:3013-3027, 2015.

[3] Janko Bohm, Simon Keicher and Yue Ren.gitfan.lib: A SINGULAR library for comput-ing GIT-fans, 2012.

[4] Wolfram Decker, Gert-Martin Greuel, Gerhard Pfis-ter and Hans Schonemann. SINGULAR 4-0-2 —A computer algebra system for polynomial com-putations, 2015. https://www.singular.uni-kl.de.

[5] Ewgenij Gawrilow and Michael Joswig. poly-make: a framework for analyzing convex poly-topes. In Polytopes — combinatorics and compu-tation (Oberwolfach, 1997), DMV Sem. 29:43-74,2000

[6] Anders N. Jensen. GFAN 0.5, a softwaresystem for Grobner fans and tropical varieties,2011. http://home.math.au.dk/jensen/software/gfan/gfan.html.

[7] Anders N. Jensen, Yue Ren and Frank Seelisch.gfanlib.so: A SINGULAR interface to GFAN-LIB, 2012.

[8] Thomas Markwig, Yue Ren and Oliver Wienand.Standard Bases in mixed Power Series and Polyno-mial Rings over Rings. arXiv:1509.07528, 2015.

[9] Yue Ren. polymake.so: A SINGULAR interfaceto POLYMAKE, 2012.

[10] Yue Ren. Tropical geometry in SINGULAR.PhD thesis, Technische Universitat Kaiserslautern,2015, https://kluedo.ub.uni-kl.de/frontdoor/index/index/docId/4169.

[11] Diane Maclagan and Bernd Sturmfels. Introduc-tion to tropical geometry. volume 161 of Gradu-ate Studies in Mathematics, American Mathemati-cal Society, 2015.

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Neues uber Systeme

OpenDreamKit: Open Digital Research EnvironmentToolkit for the Advancement of Mathematics1

OpenDreamKit Consortium

contact@opendreamkit.org

AboutOpenDreamKit is a Horizon 2020 European ResearchInfrastructure project (#676541) that will run for fouryears, starting from September 2015. It will pro-vide substantial funding to the open source computa-tional mathematics ecosystem, and in particular populartools such as LinBox, MPIR, SageMath, GAP, Pari/GP,LMFDB, Singular, MathHub, and the IPython/Jupyterinteractive computing environment.

From this ecosystem, OpenDreamKit will deliver aflexible toolkit enabling research groups to set up Vir-tual Research Environments, customised to meet thevaried needs of research projects in pure mathematicsand applications, and supporting the full research life-cycle from exploration, through proof and publication,to archival and sharing of data and code.

The project involves about 50 people spread over 15sites in Europe, with a total budget of about 7.6 mil-lion euros. The largest portion of that will be devotedto employing an average of 11 researchers and develop-ers working full time on the project. Additionally, theparticipants will contribute the equivalent of six otherpeople working full time.

AbstractOpenDreamKit will deliver a flexible toolkit enablingresearch groups to set up Virtual Research Environ-ments, customised to meet the varied needs of researchprojects in pure mathematics and applications, and sup-porting the full research life-cycle from exploration,through proof and publication, to archival and sharingof data and code.

OpenDreamKit will be built out of a sustain-able ecosystem of community-developed open software,databases, and services, including popular tools suchas LinBox, MPIR, Sage(sagemath.org), GAP, PariGP,LMFDB, and Singular. We will extend the JupyterNotebook environment to provide a flexible UI. By im-proving and unifying existing building blocks, Open-DreamKit will maximise both sustainability and im-pact, with beneficiaries extending to scientific comput-ing, physics, chemistry, biology and more, and includ-ing researchers, teachers, and industrial practitioners.

We will define a novel component-based VRE ar-chitecture and adapt existing mathematical software,databases, and UI components to work well within it onvaried platforms. Interfaces to standard HPC and gridservices will be built in. Our architecture will be in-formed by recent research into the sociology of math-ematical collaboration, so as to properly support ac-tual research practice. The ease of set up, adaptabilityand global impact will be demonstrated in a variety ofdemonstrator VREs.

We will ourselves study the social challenges associ-ated with large-scale open source code development andpublications based on executable documents, to ensuresustainability.

OpenDreamKit will be conducted by a Europe-widesteered by demand collaboration, including leadingmathematicians, computational researchers, and soft-ware developers with a long track record of deliveringinnovative open source software solutions for their re-spective communities. All produced code and tools willbe open source.

MotivationThis proposal grew out of a reflection on the needs ofthe (pure) mathematics community in terms of compu-tational software and databases. The highly successfuldevelopment in the last decades of systems such as GAP,LinBox, LMFDB, PARI, Sage, or Singular, has proventhe viability and power of collaborative open source de-velopment models, by users and for users, even for de-livering general purpose systems targeting a large public(researchers, teachers, engineers, amateurs, . . . ).

Yet some critical long term investments, in particu-lar on the technical side, are in order to boost the pro-ductivity and lower the entry barrier:

• Streamline access, distribution, portability on awide range of platforms, including High Perfor-mance Computers or cloud services.• Improve user interfaces, in particular in the

promising area of collaborative workspaces asthose provided by SageMathCloud.• Lower barriers between research communities

and promote dissemination. For example make iteasy for a specialist of scientific computing to usetools from pure mathematics, and reciprocally.

1 Dieser Artikel ist der Seite http://opendreamkit.org entnommen; Abdruck mit freundlicher Genehmigung.

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• Bring together the developers communities topromote tighter collaboration and symbiosis, ac-celerate joint development, and share best prac-tices.• Outsource as much of the development as possi-

ble to larger communities to focus the work forceson their core specialty: the implementation ofmathematical algorithms and databases.

Many people in the community have been working re-ally hard on the above items but lack crucially man-power or funding; the purpose is to supply them withsuch.

The European H2020 call EINFRA-9: e-Infrastructure for Virtual Research Environment wasa natural fit: putting the emphasis on Virtual ResearchEnvironments nicely wraps up all the above needs in asingle aim.

A great opportunity is the rapid emergence of keytechnologies, and in particular the Jupyter (previouslyIPython) platform for interactive and exploratory com-puting which targets all areas of science.

We built the consortium by gathering core Euro-pean developers of the aforementioned systems for puremathematics, and reaching toward the numerical com-munity, and in particular the Jupyter community, towork together on joint needs.

By definition this project will be mostly funding ac-tions in Europe; however those actions will be carriedout, as usual, in close collaborations with the worldwidecommunity.

Partner

• Jacobs University Bremen

– Michael Kohlhase– Florian Rabe– Christian Maeder– Mihnea Iancu

• Logilab

– Florent Cayre– Olivier Cayrol– David Douard– Julien Cristau– Serge Guelton

• Simula Research Laboratory

– Hans Petter Langtangen– Min Ragan-Kelley– Martin Sandve Alnæs

• University of Kaiserslautern

– Wolfram Decker

• University of Oxford

– Dmitrii Pasechnik– Ursula Martin– Edith Elkind

• University of Sheffield

– Neil Lawrence– Michael Croucher

• University of Silesia

– Marcin Kostur– Jerzy Łuczka– Jan Aksamit

• University of Southampton

– Hans Fangohr– Ian Hawke

• University of St Andrews

– Steve Linton– Alexander Konovalov– Markus Pfeiffer

• University of Warwick

– John E. Cremona

• Universitat Zurich

– Paul-Olivier Dehaye

• Universite Joseph Fourier

– Clement Pernet @ClementPernet : siteleader

– Jean-Guillaume Dumas @jgdumas

• Universite Paris-Sud

– Nicolas M. Thiery– Benoıt Pilorget– Viviane Pons– Florent Hivert– Samuel Lelievre– Loıc Gouarin

• Universite de Bordeaux

– Vincent Delecroix– Karim Belabas– Bill Allombert– Adrien Boussicault

• Universite de Versailles – Saint-Quentin-en-Yvelines

– Luca De Feo– Nicolas Gama

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Computeralgebra in der Schule

CAS funktional im MathematikunterrichtH. Korner(Studienseminar Oldenburg fur das Lehramt an Gymnasien)

hen.koerner@t-online.de

Zusammenfassung

Mathematikunterricht mit CAS. Wasbleibt? Was andert sich? In diesem Artikel wirdanhand von Beispielen der Einfluss eines somachtigen Werkzeuges auf Inhalte, Schwer-punkte und Methoden des Mathematikunter-richts diskutiert.

Es sind drei Aspekte, die die grundlegenden Erwei-terungen des CAS ausmachen:

(A) Parallele Verfugbarkeit von Termen, Graphen undTabellen

(B) Algebraisch – syntaktische Fertigkeiten des CAS.

(C) Freie Definition von – auch mehrstelligen – Funk-tionen.

Die durch (A) bedingten Modifikationen erfolgen schondurch GTR und TK, mussen aber naturlich beim Arbei-ten mit einem CAS immer auch integrativ mitgedachtwerden. Schon diese Trias ”Graph-Tabelle-Term“ nivel-liert stark die traditionelle Uberbetonung der syntaktischorientierten Algebra im traditionellen Mathematikunter-richt. In diesem Beitrag wird das Augenmerk auf dieMoglichkeiten von CAS gelegt, die uber GTR und TKhinausgehen. Dies erfolgt anhand unterrichtserprobterBeispiele, die die folgenden zentralen Thesen zur Arbeitmit einem CAS konkretisieren (ausfuhrlicher in [1]).

(1) Die Arbeit mit einem CAS fordert weniger syntak-tische Termumformungskompetenz, fordert aberKompetenz im Erfassen algebraischer Strukturenund Zusammenhange.

(2) Es wird ein tragfahiges, flexibles Variablenkon-zept benotigt. Statisches Termdenken und dynami-sches Funktionsdenken mussen in Beziehung ge-setzt werden. Die Arbeit mit einem CAS erfordertdann mehr funktionales Denken.

(3) Die Moglichkeit der freien Definition mehr-stelliger Funktionen schafft schulerbezogeneGestaltungs- und Untersuchungsmoglichkeiten.Die Arbeit mit einem CAS erfordert dann mehralgorithmisches Denken.

Zu (1): Die pq-FormelQuadratische Zusammenhange und damit einhergehen-de Losungen von zugehorigen Gleichungen treten inso vielen Verwendungszusammenhangen auf, dass ei-ne Kenntnis und Fertigkeit im Losen notwendig ein-zufordern ist. Im technikfreien Unterricht ist dann dieAnwendung der pq-Formel oder auch das sukzessiveLosen mit quadratischer Erganzung das zweckmaßigsteVerfahren und als sichere Basiskompetenz einzufordern.Die Verfugbarkeit grafischer Werkzeuge relativiert hierein erstes Mal: Wer in Anwendungskontexten an kon-kreten Losungen interessiert ist, wird mit schnell er-zeugbaren grafischen Losungen (Nullstellen von Para-beln) hinreichend zufrieden sein, Anwendungskontex-te erzwingen sowieso Naherungslosungen. Mit einemCAS kommt es zu einer zweiten Relativierung: Wer ei-ne exakte Losung braucht, erhalt sie auf Knopfdruck,auch die pq-Formel selbst. Der Nutzer muss allerdingsden Ausdruck und die Termstruktur erfassen, denn zueinem ’aufklarenden’ Mathematikunterricht gehort auchder verstandige Nachvollzug der Genesis der Formel.Dies fuhrt zu einer massiven Verschiebung der Zielefur die Behandlung der pq-Formel: An die Stelle der si-cheren Erzeugung von Losungen zu Fuß (”Generieren“)tritt der verstandige, Einsicht schaffende Einblick undUmgang mit der Formel (”Prozessieren“), Algebra dientder Einsicht, weniger der Erzeugung von Losungen.Erst wenn erfasst ist, wie sich z. B. die Symmetrieder Parabeln in der Losungsformel widerspiegelt, wie

−p2±

√(p2)2 − q mit dem Scheitelpunkt (−p

2 |−p2

4 −q)zusammenhangt, entsteht verstandiges Wissen um qua-dratische Zusammenhange und dies ist das entscheiden-

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de Motiv fur die Behandlung der pq-Formel und quadra-tischer Erganzung. Da die Losungen mit einem CAS aufKnopfdruck erscheinen, wird ein moglichst vorgangigesErfassen der Gleichungsstruktur wichtiger, Schuler soll-ten erfassen, dass 1

x = 2x−8 auf eine quadratische Glei-chung fuhrt, 1

x2= 2x−8 aber nicht. Gibt ein CAS keine

exakte Losung der zweiten Gleichung an, sollte dies imUnterricht angesprochen werden. Das Reden uber Ter-me gewinnt, das Manipulieren von Termen verliert anBedeutung.

Abbildung 1: Gleichungen losen mit CAS.

Das Losen quadratischer Gleichungen mit einemCAS zeigt, wie Technologie traditionelle inhaltlicheSchwerpunktsetzungen verandern kann (und dann auchsollte) und welchen Stellenwert handische Verfahrendann noch haben. Verallgemeinernd gilt: Die algebrai-schen Fertigkeiten eines CAS fuhren zu einem qua-litativen und quantitativen Wandel in der Bedeutungund Funktion handischer Verfahren. Sie dienen weni-ger dazu, eine Losung zu finden, sondern sollen viel-mehr Einsicht in prinzipielle Losungsmoglichkeiten ge-ben und Transparenz schaffen. Das CAS bietet dieMoglichkeit, Kompetenzen im Wechselspiel aus ’Tech-nikeinsatz’ und ’Losung von Hand’ zu erzeugen, eineundialektische Gegenuberstellung von ’handisch’ und

’mit Technik’ greift jedoch zu kurz und verspielt pro-duktive Moglichkeiten.

Zu (2): Mehrstellige Funktionen stattam Beispiel mehrstelliger Funktionen

Ein grundlegendes Merkmal von CAS ist dieMoglichkeit, Formeln als Funktionen zu definieren unddiese dann als Makros in Problembearbeitungen einzu-setzen.

2.1 Formeln der Geometrie als FunktionenWenn schon fruh Formeln auch explizit als Funktioneneingefuhrt werden, z. B. die Flachenformel eines Drei-ecks als A(g, h) = 1

2 · g · h, dann findet die wichtigeVernetzung von Formeln und Funktionen entsprechendfruhzeitig und explizit statt. Wenn man F (r) = π · r2statt F = π · r2 lernt, ist der kovariante Zusammen-hang augenscheinlich und heuristisch produktiv. DasAnwenden von Formeln fur Flacheninhalte sollte also

durch funktionale Betrachtungen und entsprechende Im-plementierung im CAS erganzt werden, das CAS wirdso zur dynamischen Formelsammlung. Neben die klas-sische Darstellung der Formel in ihrem syntaktischenAufbau tritt die Darstellung als Funktion (12 · g · h ↔A(g, h)). Letztere ermoglicht dann Untersuchungen mitentsprechenden grafisch-tabellarischen Verfahren indemein Parameter zum Argument der Funktion wird.

2.2 Ein Klassiker: Die Zinsformel K(t, p, A) = A ·(1 + p

100)t

Typische Fragen im Kontext dieser Formel konnen fol-gende sein:

• Wie entwickelt sich ein Kapital von 5000e, dasmit 3% jahrlich verzinst wird? Wann sind es8000e?

• Was passiert mit unterschiedlichem Anfangska-pital A, wenn es uber 5 Jahre mit 3% verzinstwird? Naturlich kann man hier tabellarisch Bei-spiele durchrechnen und dann entdecken, dass dasKapital um ca. ein Drittel angewachsen ist. Mitfunktionaler Brille sieht man aber sofort die Pro-portionalitat:

K(A) = (1 +3

100)10

·A ≈ 1, 3439 ·A.

• Wie entwickelt sich ein Kapital von 5000e in10 Jahren in Abhangigkeit des Zinssatzes? Fureine Ausbildung und Scharfung solcher Zusam-menhange helfen grafische Darstellungen (vgl.Abb. 2). Die produktive Heuristik ”Variiere einenParameter, lasse die ubrigen fest“, liefert Einsichtin Kovarianzen und Anderungen bei Variationenvon Parametern.

Geraden, Parabeln, Potenz- und Exponentialfunk-tionen haben ihren Auftritt und scharfen den Blick.Denn bei b) konnte man nach der Grafik auch Ex-ponentialfunktionen vermuten. Genaueres Hinschauen(”Zoomen“) oder Termkompetenz klaren aber auf. Wie-der wird syntaktische Umformungskompetenz durchgrafisch-tabellarisches Prozessieren mit Formeln er-setzt. An die Stelle von Termumformungskompetenztritt ’Funktionskompetenz’.

2.3 BinomialverteilungDie Formel fur die Binomialverteilung kann wie in denvorangestellten Beispielen von Schulern als dreistelli-ge Funktion erzeugt und zur Beantwortung von dies-bezuglichen Fragen benutzt werden. Das zweite unddritte Ergebnis machen allerdings stutzig. 5000 ist derErwartungswert und hat die hochste Wahrscheinlichkeit,die zwar kleiner als die vorher bestimmte ist, aber sichernicht 0 und auch nicht undefiniert. Was ist passiert? Derim CAS implementierte Befehl (Binompdf) leistet da-gegen das Erwartete.

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a) = ×( ,3,5000) 5000 1,03tK tb)

= × + 10(10, ,5000) 5000 (1 )100p

K p c) = × 10(10,3, ) 1,03K A A

= × +,5000( ) 5000 (1 )

100t

pp

K t = × +,5000( ) 5000 (1 )100

tt

pK p = × +,3

3( ) (1 )

100t

tK A A

= × +3,3

( ) (1 )100

tAK t A = × + 10

10, ( ) (1 )100Ap

K p A = × + 1010, ( ) (1 )

100pp

K A A

Abbildung 2: Grafische Darstellungsmoglichkeiten der Zinsformel

Abbildung 3: Experimente mit Binomialverteilungen.

Dies kann ein Beispiel dafur sein, wie das Arbeitenmit einem CAS nicht Mathematik verhindert sondernanregt. Das falsche Ergebnis von ”bino“ regt zur Refle-xion auf die Struktur der Formel an und man erfasst:Hier werden sehr kleine Zahlen mit sehr großen Zah-len multipliziert. Dies kann zu numerischen Katastro-phen bzw. Stellenausloschung fuhren. 0,5 und 1/2 sindfur das CAS auch nicht dasselbe. In diesem Zusammen-hang entsteht die Einsicht, dass es bessere Verfahren (z.B. rekursive) gibt.

Zu (3): Algorithmisches Arbeiten mitmehrstelligen Funktionen

Erarbeitete Formeln konnen von Schulerinnen undSchulern selbsttatig implementiert werden und dann furkomplexere Probleme als Werkzeug benutzt werden.Damit werden die Fertigkeiten des CAS enorm erwei-tert. Es ist gerade diese Offenheit des CAS, die einenwesentlichen didaktischen Gehalt ausmacht und ein sol-ches Werkzeug so wirkmachtig macht, denn erst in derspezifischen ’Einrichtung’ des Gerats durch den Nutzerkann sich die Produktivitat voll entfalten.

3.1 Anderungsraten/AbleitungDefiniert man die durchschnittliche Anderungsrate alszweistellige Funktion msek(a, h) = f(a+h)−f(a)

h , stehtein Werkzeug fur die Beschreibung von Anderungen zurVerfugung, das durchgehend in dynamischer Art undWeise grafisch-tabellarisch mit einem CAS genutzt wer-den kann. Wenn man hier a festhalt und h variiert, kannnaherungsweise die lokale Anderung an einer Stelle be-

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rechnet werden (lokaler Aspekt), halt man h fest undvariiert a, kann das lokale Anderungsverhalten fur va-riable Argumente naherungsweise grafisch-tabellarischuntersucht werden (globaler Aspekt).

Zu beachten ist: Die fur h = 0 entstehende Se-kantenfolge ist hier jetzt eine Schar paralleler Gera-den und nicht, wie im klassischen Vorgehen, ein Gera-denbuschel durch den zu untersuchenden Punkt P . Eswird allein mit dem Konzept ”mittlere Anderungsrate“so flexibel gearbeitet, dass damit alle Fragen zumAnderungsverhalten mit hinreichender Genauigkeit be-antwortet werden konnen. Man erhalt vom Nutzer ge-setzte Genauigkeiten fur gesuchte Werte in Anwen-dungskontexten, kann aber auch das fur Grenzprozes-se hier konstitutive Dilemma erleben, dass das, wasman eigentlich mochte nicht geht (h = 0) und das,was geht, eigentlich das ist, was man nicht mochte.Die Dynamisierung des Differenzenquotienten mit demCAS fordert und festigt adaquate Grundvorstellungenzum Anderungsverhalten, ist gleichzeitig ein heuristi-sches Werkzeug zum Entdecken von Zusammenhangenund bereitet neuartige Begriffsbildung (Grenzwert) vor,indem der infinitesimale Prozess durch sukzessivesDurchlaufen mit unterschiedlichen Parameterwerten er-lebbar wird. Es wird anderseits aber auch deutlich, dassdie begriffliche Weitung zum Grenzwert nicht notwen-dig ist, wenn es allein um das Berechnen hinreichend

’akzeptabler’ Werte geht, dass ”Grenzwertbildung“ einkognitiver Prozess ist, seine Motivierung also eine in-nermathematische! Also hilft die Sekantensteigungs-funktion nicht mehr weiter. Terme mussen untersuchtwerden, Algebra kommt ins Spiel, es mussen Differen-zenquotienten fur konkrete Funktionen aufgestellt undberechnet werden.

Damit ist ein umittelbares Motiv fur eine genaue-re Untersuchung gegeben, die h-Methode entsteht, ausmsek(x, h) wird durch einen gedanklichen Ubergangf ′(x). Die Ausgabe des CAS kann Motiv fur eigene Su-che und Aufklarung sein. Will man nun mit den CAS-Ausdrucken den Grenzubergang mit der h-Methodevollziehen, gelingt es unmittelbar nur bei den ersten bei-den Beispielen in Abb. 5, bei den ubrigen nicht (eineEinbettung in ein durchgehendes Konzept zum Analy-sisunterricht gibt [2]).

3.2 Mehrschrittige Algorithmen als FormelnNeben Formeln konnen auch Algorithmen als mehrstel-lige Funktionen im CAS definiert werden. Das sukzes-sive Abarbeiten eines Kalkuls wird dann durch eine ge-zielte Belegung von Argumenten ersetzt (Abb. 6).

a) Gerade durch zwei Punkte (xp—yp) und(xq—yq)

b) Abstand eines Punktes von einer Ebene:

”PKEB(vp,vn,d)“

c) Tangente von y1(x) an der Stelle t

d) Trapezsumme fur y1(x) von x = a bis x = b mitn Intervallen: ”TRAPEZ(a,b,n)“

Die Beispiele zeigen, dass im Verlauf des Unter-richts Schulerinnen und Schuler im CAS eine For-melsammlung erzeugen konnen, die einen dynamisch,situativen Gebrauch der Formeln gestattet und sie da-mit zu einem produktiven Werkzeug macht. Die eige-ne ’Programmierung’ solcher Formeln setzt aber im-mer die algebraische Herleitung mit Variablen voraus,so dass die Lernenden unmittelbar die Produktivitatund den Mehrwert des Arbeitens mit Variablen undzugehoriger Algebraisierungen erleben konnen. Grund-legende Fahigkeit beim Arbeiten mit solchen selbstdefinierten Makros ist die Substitution, die im Grun-de schon beim Arbeiten mit den eingebauten Befeh-len erforderlich ist. Diese sind eben auch mehrstelli-ge Funktionen, bei deren Anwendung vorgegebene Ar-gumente zielgerecht substituiert werden mussen (sol-ve(Gleichung, Variable)). Unabhangig von allen inhalts-bezogenen Argumenten fur das Arbeiten mit selbstdefi-nierten, mehrstelligen Funktionen, liegt ein weiteres Ar-gument fur die Thematisierung dieser Aspekte in derAufklarung uber die Arbeitsweise benutzter Technik.Im CAS gibt es vielfaltige, entsprechend vordefinierteFunktionen, deren Erzeugung auf diese Weise durch-sichtig gemacht wird. DOTP(Vektor1,Vektor2) (Skalar-produkt) kann ein Schuler auf einfache Weise dannselbst erzeugen. Die Beispiele zeigen weiterhin, dasses zentral um die Entwicklung einer instrumentellenWechselbeziehung zwischen digitalem Werkzeug undSchuler geht. ”Technologische Kompetenz“ heißt dann,dass inhalts- bzw. prozessorientierte Kompetenzen imDialog mit diesen Werkzeugen erworben werden. Nichtzuletzt zeigen langjahrige Unterrichtserfahrungen aberauch: So wie einerseits CAS eine gewisse handischeUbungsvielfalt und –tiefe obsolet macht, so erzwingt esandererseits auch umgekehrt gewisse handische Fertig-keiten und Fahigkeiten (Kopfrechnen, Schatzen, Erfas-sen von Termstrukturen), die ohne CAS vielleicht vongeringerer Bedeutung waren. Die durch ein CAS be-dingte Beschleunigung bei der Ausfuhrung der Kalkuleerzwingt dann, fast dialektisch, eine entsprechende Ent-schleunigung im handischen Erstzugang. Dies sei ab-schließend als erstes Axiom technologiegestutzten Un-terrichts formuliert: Je mehr Technologien in inner- undaußermathematischen Anwendungssituationen im Un-terricht mit verfahrensbeschleunigenden Effekten einge-setzt werden, desto notwendiger ist eine entschleunigen-de, verstehensorientierte vorgangige, meist rechnerfreie,Einfuhrung.

Literatur

[1] H. Korner CAS im Mathematikunterricht – Wasbleibt? Was andert sich?. MU (60) 1/2014, S.16-29.

[2] H. Korner Vom Bestand zur Anderung und zuruck– Ein Konzept fur die Analysis. in: Heintz, G., Pin-kernell, G., Schacht, F. (Hrsg.): Digitale Werkzeugefur den Mathematikunterricht, Festschrift fur Hans-Jurgen Elschenbroich, Neuss 2015.

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Abbildung 4: Lokale Änderung an der Stelle x=1: msek(1,x) und die Änderungsratenfunktion (Ableitung): msek(x,0.01)

Abbildung 5: y2(x) als die Sekantensteigungsfunktionen zu y1(x)

a) Gerade durch zwei Punkte (xp|yp) und (xq|yq) b) Abstand eines Punktes von einer Ebene: „PKEB(vp,vn,d)“

c) Tangente von y1(x) an der Stelle t d) Trapezsumme für y1(x) von x=a bis x=b mit n Intervallen: „TRAPEZ(a,b,n)“

Abbildung 6: Mehrschrittige Algorithmen

Promotionen in der Computeralgebra

Felix Grelak:Affineness of Deligne-Lusztig VarietiesBetreuer: Ulrich Gortz (Essen)Zweitgutachter: Sascha Orlik (Wuppertal)Juni 2014

Zusammenfassung: Deligne-Lusztig varieties are va-rieties over finite fields which were introduced about40 years ago by Deligne and Lusztig and whcih playa fundamental role in the representation theory of finitegroups of Lie type (via their l-adic cohomology). While“most” Deligne-Lusztig varieties are known to be affinevarieties, it is still an open question whether this is truein general.

In this thesis, a new combinatorial criterion for affi-neness of Deligne-Lusztig varieties (refining a criterionby Harashita) is presented. Several combinatorial crite-ria are evaluated and compared, and new candidates forpossibly non-affine Deligne-Lusztig varieties are given.

Furthermore, an algorithm to compute whether agiven Deligne-Lusztig variety (for the general lineargroup) is affine is developed. Because of the large com-putational complexity of the problem, it was not pos-sible to carry through the computation for new cases,however.

Yue Ren:Tropische Geometrie in SINGULARBetreuer: Thomas Markwig (Kaiserslautern)Zweitgutachter: Anders N. Jensen (Aarhus)Februar 2015https://kluedo.ub.uni-kl.de/frontdoor/index/index/docId/4169

Zusammenfassung: Das Ziel dieser Dissertation istdie Entwicklung und Implementation eines Algorith-mus zur Berechnung von tropischen Varietaten uber all-gemeine bewertete Korper. Die Berechnung von tropi-schen Varietaten uber Korper mit trivialer Bewertungist ein hinreichend gelostest Problem. Hierfur kombinie-ren die Autoren Bogart, Jensen, Speyer, Sturmfels undThomas eindrucksvoll klassische Techniken der Com-puteralgebra mit konstruktiven Methoden der konvexerGeometrie.

Haben wir allerdings einen Grundkorper mit nicht-trivialer Bewertung, wie zum Beispiel den Korper derp-adischen Zahlen Qp, dann stoßt die konventionelleGrobnerbasentheorie scheinbar an ihre Grenzen. Diezugrundeliegenden Monomordnungen sind nicht ge-eignet um Problemstellungen zu untersuchen, die voneiner nicht-trivialen Bewertung auf den Koeffizientenabhangig sind. Dies fuhrte zu einer Reihe von Arbei-ten, welche die gangige Grobnerbasentheorie modifizie-ren um die Bewertung des Grundkorpers einzubeziehen.

In dieser Arbeit prasentieren wir einen alternativenAnsatz und zeigen, wie sich die Bewertung mittels einerspeziell eingefuhrten Variable emulieren lasst, so dasseine Modifikation der klassischen Werkzeuge nicht not-wendig ist.

Im Rahmen dessen wird Theorie der Standardbasenauf Potenzreihen uber einen Koeffizientenring verall-gemeinert. Hierbei wird besonders Wert darauf gelegt,dass alle Algorithmen bei polynomialen Eingabedatenmit ihren klassischen Pendants ubereinstimmen, sodassfur praktische Zwecke auf bereits etablierte Software-systeme zuruckgegriffen werden kann. Daruber hinauswird die Konstruktion des Grobnerfachers sowie dieTechnik des Grobnerwalks fur leicht inhomogene Idea-le eingefuhrt. Dies ist notwendig, da bei der Einfuhrungder neuen Variable die Homogenitat des Ausgangsidealgebrochen wird.

Alle Algorithmen wurden in SINGULAR imple-mentiert und sind als Teil der offiziellen Distributionerhaltlich. Es ist die erste Implementation, welche in derLage ist tropische Varietaten mit p-adischer Bewertungauszurechnen. Im Rahmen der Arbeit entstand ebenfallsein SINGULAR Paket fur konvexe Geometrie, sowie eineSchnittstelle zu POLYMAKE.

Konstantin Ziegler:Counting classes of special polynomialsBetreuer: Joachim von zur Gathen (Bonn)Zweitgutachter: Jens Franke (Bonn)April 2015http://hss.ulb.uni-bonn.de/2015/3981/3981.htm

Zusammenfassung: Die meisten naturlichen Zahlensind zusammengesetzt und die meisten univariaten Po-lynome uber einem endlichen Korper sind reduzibel.Der Primzahlsatz und ein klassischer Satz von Gaußzahlen naherungsweise und exakt die verbleibendenElemente.

Bei Polynomen in zwei oder mehr Variablen wan-delt sich das Bild. Die meisten multivariaten Polynomesind irreduzibel. Wir zeigen Zahlergebnisse fur Klassenmultivariater Polynome uber einem endlichen Korper,namlich die reduziblen, die s-potenzvollen (teilbar duchdie s-te Potenz eines nichtkonstanten Polynoms) unddie relativ irreduziblen (irreduzibel, aber reduzibel in ei-ner Korpererweiterung). Hierzu prasentieren wir exakteFormeln und Naherungen mit einem relativen Fehler derim Wesentlichen exponentiell in der Eingabegroße ab-nimmt.

Desweiteren ist ein univariates Polynom f uber ei-nem Korper F zerlegbar, wenn f = g ◦ h mit nichtli-nearen Polynomen g und h. Es liegt intuitiv nahe, dass

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die zerlegbaren nur eine kleine Minderheit unter allenPolynomen darstellen. Der zahme Fall, wenn die Cha-rakteristik p von F kein Teiler von n = deg f ist, ist guterschlossen und untere und obere Schranke an die Zahlder zerlegbaren Polynome sind asymptotisch gleich. Imwilden Fall, wenn p ein Teiler von n ist, sind die Schran-ken grober, insbesondere wenn p der kleinste Primteilervon n ist und n genau zweimal teilt.

Das Zahlen mittels Inklusion-Exklusion liegt na-he, erfordert aber das Bestimmen von Kollisionen,dass heißt, unter geeigneter Normierung, verschiedenerKomponenten (g, h) die das gleiche f ergeben. Im zah-men Fall klassifiziert der Zweite Satz von Ritt alle Kol-lisionen zweier solcher Paare. Wir zeigen eine Normal-form fur Kollisionen beliebig vieler Zusammensetzun-gen mit beliebig vielen Komponenten. Diese Verallge-meinerung liefert eine exakte Formel fur die Anzahl derzerlegbaren Polynome vom Grad n, wenn n teilerfremdzu p ist. Im wilden Fall klassifizieren wir alle Kollisio-nen vom Grad n = p2 und erhalten die genaue Anzahlder zerlegbaren Polynome vom Grad p2.

Leo Margolis:Torsionseinheiten in ganzzahligen Gruppenringennicht auflosbarer GruppenBetreuer: Wolfgang Kimmerle (Stuttgart)Zweitgutachter: Angel del Rio (Murcia), MeinolfGeck (Stuttgart)Juni 2015

Zusammenfassung: The object of the thesis are torsionsubgroups and torsion units of the normalized unit groupof integral group rings of finite groups. Two algorithmicmethods are the basis for the results. The first one is theHeLP - method which is in the mean time available asGAP - package (developed by A.Bachle and L.Margolis,cf. arxiv.org/abs/1507.08174). The second method is alattice method for units involving the interplay betweenordinary and modular character theory. This new me-thod has been created during the work on the thesis.

Various results on torsion subgroups of the integralgroup ring of PSL(2, pf ) are presented. In the casewhen p = 2 or f = 1 a Sylowlike theorem is esta-blished. For some groups even the first Zassenhaus con-jecture could be proved. The prime graph question isproved for every PGL(2, p) as well as for M10 andPGL(2, 9). The latter completes the proof of Kimmer-le and Konovalov on the prime graph question for anygroup whose orders of almost simple images have atmost three pairwise different prime divisors. Moreoverthe prime graph question for almost simple groups who-se order has four different prime divisors is considered.Except for the, maybe infinite, series of such groupsisomorphic to PGL(2, 3f ) and five other exceptionalgroups a positive answer is given.

Marta Pieropan:Torsors and generalized Cox rings for Manin’s con-jectureBetreuer: Ulrich Derenthal (Hannover)Zweitgutachter: Timothy D. Browning (Bristol),Jurgen Hausen (Tubingen)Juni 2015

Abstract:The distribution of rational points on Fano va-rieties over number fields is predicted by Manin’s con-jecture. For some varieties this can be verified via latticepoint counting after a parameterization of the set of ra-tional points via integral points on affine spaces. Whenthe parameterization uses the connection between Coxrings and universal torsors, this approach is known asuniversal torsor method.

In this thesis the parameterization step is made pre-cise by giving a construction of integral models of tor-sors via finitely generated Cox rings and by describingexplicitely their sets of integral points. These results arethen applied to parameterize the rational points on splitsmooth quartic del Pezzo surfaces and on a split singularquartic del Pezzo surface. They are also used to deduceManin’s conjecture for split smooth proper toric varie-ties over imaginary quadratic fields.

To adapt the universal torsor method to non-split va-rieties we introduce the notion of generalized Cox ringsand Cox sheaves, and we study their properties and therelation to torsors under quasitori. To illustrate the app-lication to Manin’s conjecture, we compute certain ge-neralized Cox rings of Chatelet surfaces.

Yamidt Bermudez Tobon:An efficient algorithm to compute an elliptic cur-ve from a corresponding function field automorphicformBetreuer: Gebhard Bockle (Heidelberg)Zweitgutachter: Ernst-Ulrich Gekeler (Saar-brucken)Juli 2015

Abstract:Elliptic modular forms of weight 2 and ellipticmodular curves are strongly related. In the rank-2 Drin-feld module situation, we have still modular curves thatcan be described analytically through Drinfeld modularforms. Gekeler and Reversat prove how the results ofDrinfeld can be used to construct the analytic uniformi-zation of the elliptic curve attached to a given automor-phic form. Longhi, building on ideas of Darmon, definesa multiplicative integral that theoretically allows to findthe corresponding Tate parameter. In this thesis we de-velop and present a polynomial time algorithm to com-pute the integral proposed by Longhi. Also we devised amethod to find a rational equation of the correspondingrepresentative for the isogeny class.

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Melanie Gerling: Eigenschaften chromatischer Po-lynomeBetreuer: Wolfram Koepf (Kassel)Zweitgutachter: Peter Tittmann (Mittweida)Oktober 2015

Zusammenfassung: Die Berechnung des 1912 vonBirkhoff eingefuhrten chromatischen Polynoms einesGraphen stellt bekanntlich ein NP-vollstandiges Pro-blem dar. Dieses gilt somit erst recht fur die Verallge-meinerung des chromatischen Polynoms zum bivariatenchromatischen Polynom nach Dohmen, Ponitz und Titt-mann aus dem Jahre 2003. Eine von Averbouch, God-lin und Makowsky 2008 vorgestellte Rekursionsformelverursacht durch wiederholte Anwendung im Allgemei-nen einen exponentiellen Rechenaufwand. Daher wardas Ziel der vorliegenden Dissertation, Vereinfachungenzur Berechnung des bivariaten chromatischen Polynomsspezieller Graphentypen zu finden. Hierbei wurden fol-gende Resultate erzielt:

Fur Vereinigungen von Sternen, fur vollstandigeGraphen, aus welchen die Kanten von Sternen mit paar-weise voneinander verschiedenen Ecken geloscht wur-den, fur spezielle Splitgraphen und fur vollstandig par-tite Graphen konnten rekursionsfreie Gleichungen zurBerechnung des bivariaten chromatischen Polynoms mitjeweils linear beschrankter Rechenzeit gefunden wer-den.

Weiterhin werden Moglichkeiten der Reduktion all-gemeiner Splitgraphen, bestimmter bipartiter Graphensowie vollstandig partiter Graphen vorgestellt. Bei letz-teren erweist sich eine hierbei gefundene Rekursions-formel durch eine polynomiell beschrankte Laufzeit alseffektive Methode.

Ferner konnte in einem Abschnitt zu Trennern inGraphen gezeigt werden, dass der Spezialfall der tren-nenden Cliquen, welcher im univariaten Fall sehr ein-fach ist, im bivariaten Fall sehr komplexe Methoden er-fordert.

Ein Zusammenhang zwischen dem bivariaten chro-matischen Polynom und dem Matchingpolynom wurdefur vollstandige Graphen, welchen die Kanten von Ster-nen mit paarweise voneinander verschiedenen Eckenentnommen wurden, sowie fur Bicliquen hergestellt.

Die vorliegende Dissertation liefert daruber hinausauch einige Untersuchungen zum trivariaten chromati-schen Polynom, welches auf White (2011) zuruckgehtund eine weitere Verallgemeinerung des bivariaten chro-matischen Polynoms darstellt. Hierbei konnte gezeigtwerden, dass dessen Berechnung selbst fur einfacheGraphentypen schon recht kompliziert ist. Dieses trifftsogar dann noch zu, wenn man die einzelnen Koeffizi-enten als bivariate Polynome abspaltet und einzeln be-rechnet.

Abschließend stellt die Arbeit zu vielen ResultatenImplementierungen mit dem ComputeralgebrasystemMathematica bereit, welche zahlreiche Moglichkeitenzu eigenstandigen Versuchen bieten.

Habilitationen in der Computeralgebra

Christian Stump:Coxeter-Catalan structuresApril 2015

Abstract: This habilitation thesis at the Freie Univer-sitat Berlin is about Coxeter–Catalan structures. Theseare structures appearing in contexts for which there existclassification theorems according to Shephard-Todd orCartan-Killing types (and as such can be associated toreflection groups), and which are counted by the asso-ciated Catalan numbers for reflection groups. The stu-dy of these Coxeter–Catalan structures is a highly activearea of research within algebraic and geometric combi-natorics, with connections to other fields such as invari-ant theory, algebraic geometry, and representation theo-ry. The key motivation is to uniformly describe similarcombinatorial phenomena that can be found in the va-rious fields, and thereby exhibiting relations between apriori unrelated concepts.

Since the earliest appearances in the 1980’s inthe context of quiver representation theory, Coxeter–Catalan structures were exhibited, mainly within thepast 15 years, in the following avenues of research: (1)root systems for semisimple Lie algebras, (2) real and

complex reflection groups and the noncrossing partiti-on lattice, (3) cluster algebras and cluster categories,and (4) subword complexes arising in Schubert calcu-lus. Their Coxeter–Catalan structures were establishedby multiple authors, and as well in this cumulative ha-bilitation thesis. We provide the first uniform approachto connect the Coxeter–Catalan structures in the firsttwo contexts in collaboration with D. Armstrong andH. Thomas. The other parts of this habilitation, parti-ally in collaborations with C. Ceballos, J.-P. Labbe, andV. Pilaud, exhibit the connections of the first three con-texts with the forth, thereby showing that subword com-plexes play a central role in the theory, and using thisnew context to re-establish previously known results, toobtain new and unexpected results, and to prove pre-viously conjectured results.

An important role in my study of Coxeter–Catalanstructures is the usage of computer algebra implementa-tions to provide a framework for computer experiments.That framework allowed me to develop the discussedstructures by exploring examples and by gathering da-ta. It moreover greatly helped to formulate and to testconjectures.

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Michael Wibmer:Affine difference algebraic groupsJuni 2015

Abstract: Determining all algebraic relations amongspecial functions and their transforms under variousoperations like differentiating, shifting, or scaling is aclassical and important problem. For example, Holder’stheorem states that the gamma function does not satisfyan algebraic differential equation over C(x). The relati-on

xJα+2(x)− 2(α+ 1)Jα+1(x) + xJα(x) = 0

satisfied by the Bessel function Jα(x) is an example ofan algebraic relation with respect to the operation ofshifting.

Picard-Vessiot theory provides a formal algebraicapproach to studying the algebraic relations among thesolutions of a linear differential equation. Indeed, theserelations are encoded in a certain algebraic group, calledthe Galois group of the differential equation and the-re exist algorithms for computing these groups. Thesealgorithms heavily rely on the structure theory of alge-braic groups.

In the last decade there emerged Galois theories forlinear differential (or difference) equations that are ab-le to handle not only the algebraic relations among thesolutions but also the algebraic relations among the so-lutions and their transforms under operations like dif-ferentiating or shifting. These Galois theories are al-so known as parameterized Picard-Vessiot theories andseveral researchers, including Michael Singer, PhyllisCassidy, Charlotte Hardouin, Lucia Di Vizio, AlexeyOvchinnikov and the author have contributed to their de-velopment. In the parameterized Picard-Vessiot theorythe Galois groups are not simply defined by algebraicequation as in the standard Picard-Vessiot theory, butthe equations defining the Galois groups involve opera-tions like differentiating and shifting. For the operationof differentiating the resulting groups are called diffe-

rential algebraic groups and there exists a comprehen-sive theory for these groups initiated by Ellis Kolchinand his school. If the equations defining the group in-volve operations like shifting or scaling, one speaks ofa difference algebraic group. These groups have so farbeen studied only very little. However, for constructingalgorithms to compute the Galois groups in this case athorough understanding of difference algebraic groupsis indispensable.

This is the starting point of the thesis which lays thefoundations for a comprehensive theory of difference al-gebraic groups. The setting is purely algebraic and in-spired by difference algebra. The operations of shiftingor scaling are replaced by the action of an arbitrary ringendomorphism denoted by σ. The equations defining adifference algebraic group then involve the formal sym-bol σ, for example the equations

Y σ(Y )T = σ(Y )TY = In,

where Y is an n × n matrix of indeterminates, define adifference algebraic subgroup of GLn. So over the finitefield with q elements, if we define σ(a) = aq, then thecorresponding group is the unitary group U(n, q).

Similarly, any linear difference equation σn(y) +λn−1σ

n−1(y) + . . . + λ0y = 0 defines a difference al-gebraic subgroup of the additive group Ga.

In this thesis many fundamental results about dif-ference algebraic groups are established, e.g., finiten-ess theorems, existence and good properties of quoti-ents, a dimension theorem, a Jordan-Holder type theo-rem. Several numerical invariants for difference alge-braic groups are introduced and studied. Many construc-tions are inspired by well-known constructions from al-gebraic groups. The employed tools range from alge-braic geometry and the theory of group schemes to com-mutative algebra and difference algebra. An importantspecial class of difference algebraic groups analogousto etale algebraic groups is studied in great detail and astructure theorem is provided for these groups.

Berufungen

Prof. Dr. Alice Niemeyer hat zum 1. September 2015 eine Professur fur Algebra an der RWTH Aachen angetreten.Ihr Arbeitsgebiet ist die algorithmische Gruppentheorie.

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Besprechungen zu Buchern der Computeralgebra

Hans-Wolfgang Henn; Andreas FillerDidaktik der Analytischen Geometrie und Linearen Algebra

Springer Spektrum 2015, 391 Seiten, ISBN 978-3-662-43434-5, e24,99 (als e-book: e19,99)

Der erste Eindruck: Dieses Buch ist von zwei erfahrenenDidaktikern sowohl fur die tagliche Unterrichtspraxisals auch fur die Lehrerausbildung geschrieben worden.Zahlreiche motivierende realitatsnahe und problemori-entierte Aufgabenbeispiele werden erganzt durch di-daktische Analysen und weiterfuhrende Gedanken derbeiden Autoren. Es ist zudem eine lohnende Fundgrubefur jeden erfahrenen Mathematiklehrer, die weit mehrBeispiele enthalt, als man in einem Unterrichtsgang zudieser Thematik mit einem Oberstufenkurs je behandelnkann. Auf den zweiten Blick bietet dieses Buch jedochweit mehr!Die Kapitel des Buches orientieren sich an der typischenUnterrichtsgenese in den Themen Lineare Algebra undAnalytische Geometrie: Einer allgemeinen Einfuhrungin die didaktischen Leitgedanken und Ausfuhrungender Autoren zum Fachanspruch des Buches schließensich sechs Kapitel uber Lineare Gleichungssysteme,dem Vektorbegriff, der Analytischen Geometrie, demKontext Matrizen und ein besonders lesenswerter Aus-blick an. Durchgangig werden Moglichkeiten fur einensinnvollen Computereinsatz anhand verschiedener Pro-gramme aufgezeigt, die kostenlos fur alle ublichen Be-triebssysteme im Internet erhaltlich sind.Das Kapitel Lineare Gleichungssysteme greift typi-sche Beispiele der Sekundarstufe I auf, erlautert de-ren Fortfuhrung in die Sekundarstufe II, liefert dies-bezuglich viele weitere Kontexte die insbesonde-re eine Verallgemeinerung auf hohere Dimensionenermoglichen. Bereits hier verdeutlicht und konkretisiertsich der Anspruch der Autoren, wie Beziehungen zwi-schen der algebraischen und geometrischen Darstellungvon Gleichungen (mit Hilfe von Technologie) aufge-zeigt werden konnen und welche Grundvorstellungennotwendig sind, damit Lernende diesem Anspruch ge-recht werden konnen.Im Kapitel Vektoren werden verschiedene Auffas-sungsmoglichkeiten des Vektorbegriffs (z.B. Pfeilklasseoder n-Tupel) analysiert und die Berechtigungen die-ser Auffassungen anhand von Beispielen konkretisiert.Erganzt wird dieses Kapitel durch den Nutzen von Vek-toren fur Beweise geometrischer Satze und eine sehr

lesenswerte kritische Auseinandersetzung mit dem Be-griff ”Ortsvektor“.In den Kapiteln Analytische Geometrie und Vertiefun-gen und Anwendungen der analytischen Geometrie wer-den ausgehend von einem historischen Ruckblick ver-schiedene Darstellungs- bzw. Herleitungsmoglichkeitenund Lagebeziehungen von Objekten des dreidimensio-nalen Raumes diskutiert. Dem Leser sei hier besondersder kritische Blick der Autoren auf Abituraufgaben unddie von den Autoren vorgestellten Kontexte unter Ein-beziehung von 3D-Computergrafik empfohlen.Wurden Matrizen bislang nur als Schreibfigur fur linea-re Gleichungssysteme behandelt, so zeigt das KapitelMatrizen und affine Abbildungen Kontexte fur arith-metische und geometrische Zugange auf, die das Rech-nen mit ihnen motivieren und sie als eigenstandige ma-thematische Objekte rechtfertigen. Besonders gelungensind hier die reichhaltigen computergestutzten Beispielezu affinen Abbildungen – umso bedauernswerter, dassdiese bundesweit in Lehrplanen immer seltener vorkom-men.Im letzten Kapitel Ausblick erhalt der Leser Anre-gungen zum selbstandigen Weiterarbeiten und - mitkritisch-historischem Blick auf die nicht aufhorendeDiskussion um mathematische Bildung - Anspruch derAutoren an ein den zukunftigen Anspruchen gerechtwerdendes Lehramtsstudium.

In jedem Kapitel zeigen die Autoren mit diesemBuch sehr gelungen auf, wie mit weniger Kalkul undmehr inhaltlich orientierter Analyse des uns umgeben-den Raumes die Bereiche Lineare Algebra und Analyti-sche Geometrie in Schule und Hochschule anhand inter-essante Problemstellungen oder ansprechender geome-trischer Objekte vermittelt werden konnen. Insbesonde-re das Spiralprinzip und die Herausarbeitung von Bezie-hungen der Analytischen Geometrie unter Ausnutzungvon Methoden der Linearen Algebra sind Leitgedanken,die in diesem Buch gut nachvollziehbar sind und jedenLehrer sicher zur Nachahmung motivieren.

Jan Hendrik Muller (Plettenberg)

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Berichte von Konferenzen

1. CAPP - Computer Algebra and Particle Phy-sicsDESY, Hamburg, 23.03.2015 – 27.03.2015

indico.desy.de/conferenceDisplay.py?

confId=10282

In March 2015 the ‘Computer Algebra and Particle Physics’(CAPP) school took place for one week at the DESY rese-arch centre in Hamburg, Germany. About 40 graduate andPhD students participated in this school about calculationaltools related to elementary particle physics. A repetition oftheoretical basics as well as a short introduction to state-of-the-art trends in this special area of research was given.Computer algebra programs and algorithms were presentedas standard tools to deal with the complicated mathemati-cal expressions arising in perturbative calculations within theStandard Model of particle physics and beyond. The lecturesgiven by Sven Moch, Jos Vermaseren, Thomas Hahn, andPeter Marquard introduced different computer algebra pro-grams in an excellent way and demonstrated how these pro-grams can be used to solve the complex tasks which arise indaily particle physics calculations. In addition, the studentshad the possibility to apply their new knowledge in well-matched exercises.

Cyril Pietsch (Munchen)

2. Experimental Methods in Computational Al-gebraLeibniz Universitat Hannover,26.05.2015 – 29.05.2015

www.icm.tu-bs.de/ag algebra/

Workshop-NTH-II

In der Pfingstwoche 2015 fand an der Leibniz UniversitatHannover die Tagung ’Experimental Methods in Computa-tional Algebra’ statt. Organisiert mit dem Ziel, die Kom-munikation zwischen verschiedenen Feldern der algorithmi-schen und experimentellen Algebra und angrenzender Ge-biete zu intensivieren, umfaßte der Workshop 15 Vortragezu aktuellen Forschungsthemen von Gruppentheorie uberAlgebraische Geometrie bis hin zu Kryptographie und al-gebraischer Systemtheorie. Dabei legten alle Vortragendengroßen Wert darauf, sich auch an die Nicht-Fachleute imPublikum zu wenden gleichzeitig aktuelle Ergebnisse zuprasentieren. Dank der finanziellen Unterstutzung durch denDFG-Schwerpunkt 1489 war es den Organisatoren BettinaEick, Claus Fieker und Anne Fruhbis-Kruger dabei moglich,auch internationale Experten nach Hannover einzuladen, wo-durch dieser Workshop im Vergleich zum Vorjahr deutlichmehr Resonanz fand.

Anne Fruhbis-Kruger (Hannover)

3. ISSAC 2015 – International Symposium onSymbolic and Algebraic ComputationUniversity of Bath, 06. – 09.07.2010

http://www.issac-conference.org/2015

Die ISSAC-Konferenz 2015 fand vom 6. bis zum 9. Juli 2015im Chancellor’s Building auf dem Campus der University ofBath in England statt. Die Leitung lag in den Handen vonJames Davenport (Local Arragements) und Steve Linton(General Chair). Der Vorsitzende des Programmkomiteeswar Kazuhiro Yokoyama.

Konferenzort Chancellor’s Buiding auf dem Bath Campus

Die Konferenz hatte ca. 120 Teilnehmer. Von 74 eingereich-ten Papers wurden 43 auf der Tagung vorgestellt, fernergab es 12 Poster und 6 Software Demos. Die Titel allerPrasentationen finden sich auf der Webseite der Konferenz.

Die Proceedings gab es diesmal nur als USB-Stick, der Er-werb der gedruckten Ausgabe musste trotz der hohen Ta-gungsgebuhren gesondert bezahlt werden; dies wurde dannauch nur von 19 Teilnehmern in Anspruch genommen.Die Artikel stehen auch in der ACM Digital Library zurVerfugung.

Eingeladene Vortrage wurden von Erika Abraham, EricSchost und Lihong Zhi prasentiert:

Erika Abraham (RWTH Aachen University): BuildingBridges between Symbolic Computation and SatisfiabilityChecking

Eric Schost (University of Western Ontario, Canada): Algo-rithms for Finite Fields Arithmetic

Lihong Zhi (MMRC, Chinese Academy of Sciences, Chi-na): Optimization Problems over Noncompact Semialge-braic Sets

Ferner gab es folgende Tutorials:

Ankur Moitra (MIT, USA): Nonnegative Matrix Factorizati-on: Algorithms, Complexity and Applications

Clement Pernet (Grenoble, France): Exact Linear AlgebraAlgorithmic: Theory and Practice

Veronika Pillwein (RISC-Linz, Austria): An Introduction toFinite Element Methods

Die SIGSAM und die Fachgruppe Computeralgebrapramierten die besten Tagungsbeitrage. Die Gewinner desISSAC 2015 Distinguished Paper Award der SIGSAM wa-ren Jean-Guillaume Dumas, Clement Pernet und Ziad Sultanfur ihr Paper Computing the Rank Profile Matrix, der Gewin-ner des ISSAC 2015 Distinguished Student Author Award

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der SIGSAM war Sebastien Maulat fur Formulas for Conti-nued Fractions: An Automated Guess and Prove Approach,einer gemeinsamen Arbeit mit Bruno Salvy.

Distinguished Student Author Award fur Sebastien Maulat

Auch die Fachgruppe stellte diesmal wieder einige Preise zurVerfugung. Fur die Beste Software-Demonstration wurdeBruno Grenet mit Lacunaryx: Computing Bounded-degreeFactors of Lacunary Polynomials ausgezeichnet. Die Aus-wahl wurde getroffen von einem Komitee bestehend ausErnst Mayr und Bill Hart (Fachgruppe Computeralgebra)sowie Bernard Mourrain (Software Presentation CommitteeChair) und Steve Linton (General Chair).

Bruno Grenet erhalt den Fachgruppenpreis von Ernst Mayr

Als Beste Poster Presentation wurde das Poster von Luca De

Feo, Christophe Petit und Michael Quisquater zum ThemaDeterministic Root Finding in Finite Fields ausgewahlt. DenPreis nahm Luca de Feo in Empfang. Die Auswahl wurdegetroffen von einem Komitee bestehend aus Wolfram Koepfund Ernst Mayr (Fachgruppe Computeralgebra) sowie YangZhang (Mitglied des Poster Presentation Committees) undSteve Linton (General Chair).

Luca de Feo mit dem Fachgruppenpreis sowie WolframKoepf und Jurgen Gerhard (Maplesoft)

Die beiden Software- und Postersieger erhielten von derFachgruppe Computeralgebra ein Preisgeld in Hohe von je-weils 250e und außerdem eine Maple-Lizenz von der FirmaMaplesoft. Wir haben das preisgekronte Poster auf S. 34 ab-gedruckt.

Das Conference Banquet fand in der Guild Hall im City Cen-tre von Bath statt. Wie immer wurden auf dem Bankett infestlichem Rahmen die Preise vergeben.

Bankett in The Pump Rooms der Guild Hall

Außerdem berichtete James Davenport uber die lange Ge-schichte von Bath. Die City of Bath, die zum Weltkulturer-be http://whc.unesco.org/en/list/428 gehort,war um 50 v. Chr. von den romischen Eroberern gegrundetworden, die die heißen Naturquellen als Thermalbader nutz-ten.

Bei jeder ISSAC-Tagung wird ein ISSAC Business Meetingabgehalten, zu welchem alle Teilnehmer herzlich eingeladenund Beschlusse zur Tagungsreihe getroffen werden.

Manuel Kauers leitete als letzte Amtshandlung die Sitzungdes ISSAC Business Meetings. Seine Amtszeit als Chair desISSAC Steering Committees endete mit der Tagung.

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Nach dem Dinner gab es Kaffee in The Roman Baths

Als neues Mitglied des ISSAC Steering Committees wurdein einer sehr knappen Wahl von den Anwesenden Daniel S.Roche (University of Waterloo) gewahlt, gegen den FredericChyzak (INRIA) angetreten war.

Das Plenum diskutierte die Vergabe von Preisen fur bes-te Software- und Poster-Prasentationen durch die Fachgrup-pe Computeralgebra. Das Engagement und Angebot derFachgruppe wurde begrußt, und es wurde beschlossen, dasISSAC Steering Committee damit zu beauftragen, sich einenModus zu uberlegen, wie dies im Detail gehandhabt werdensoll.

Fur die Durchfuhrung der Konferenz ISSAC 2017 hattensich Kaiserslautern sowie die Jilin University Changchun ausChina beworben. Die Wahl durch die Anwesenden liefer-te ein sehr deutliches Votum fur Kaiserslautern. HerzlichenGluckwunsch! Damit wird also 2017 die ISSAC wieder inDeutschland stattfinden.

Als Veranstaltungsort fur die ISSAC 2016 war bereits imletzten Jahr die Wilfrid Laurier University Waterloo, Kana-da, ausgewahlt worden. Diese Tagung wird vom 20.–22. Juli2016 stattfinden.

Wolfram Koepf (Kassel)

4. Hyperplane arrangements and reflectiongroups

Leibniz Universitat Hannover, 10.08.2015 –12.08.2015

www.iazd.uni-hannover.de/∼hoge/arr2015

Vom 10.-12. August fand in Hannover ein Workshop zumThema ’Hyperplane arrangements and reflection groups’statt. Organisiert wurde die Tagung von Michael Cuntz(Hannover), Torsten Hoge (Hannover) und Gerhard Rohrle(Bochum).

Die Teilnehmer kamen aus Schweiz, USA, Japan, Frankreichund Deutschland. Die Vortrage konzentrierten sich auf geo-metrische, kombinatorische und rechentechnische Aspektevon Hyperebenenarrangements und Spiegelungsgruppen.

Die Vortrage waren sehr stark miteinader verzahnt. Ein Bei-spiel dafur waren die aufeinanderfolgenden Vortrage vonPaul Mucksch und Takuro Abe. Paul Mucksch berichtetevon der Klassifikation der rekursiv freien komplexen Spiege-lungsarrangements, welche eine Vermutung von Takuro Abebewies.

Torsten Hoge (Hannover)

5. The 17th International Workshop on Compu-ter Algebra and Scientific Computing (CASC2015)Aachen, September 14–18, 2015

http://www.casc.cs.uni-bonn.de/

(Conference photo CASC 2015 inthe main building of RWTH Aachen hosting the conference;Photo: Christian Schilli)

The ongoing progress both in theoretical computer algebraand in its expanding applications has caused a need in fo-rums bringing together both the scientists working in thearea of computer algebra methods and systems and the re-searchers who apply the tools of computer algebra for thesolution of problems in scientific computing in order to fos-ter new and closer interactions. This need has led to the se-ries of CASC (Computer Algebra in Scientific Computing)Workshops, which started in 1998 and since then has beenheld annually.

This year the seventeenth CASC conference took place inAachen (Germany) from September 14–18, and was ve-ry well organized by the CASC 2015 local organizingcommittee at RWTH Aachen University, headed by EvaZerz and Viktor Levandovskyy. Computer algebra in Aa-chen has a long and a fruitful history. A brief overviewof this history is given in the preface to the proceedings,see http://link.springer.com/content/pdf/bfm%3A978-3-319-24021-3%2F1.pdf.

In the conference thirty-three full papers submitted to theworkshop by the participants, accepted by the program com-mittee after a thorough reviewing process, and printed inthe proceedings were presented. Additionally, two invitedtalks were given. Moreover, four talks related to (commer-cial) systems were given—giving news on established sys-tems MAPLE, MATHEMATICA, or introducing novel deve-lopments CLOUDMATH, and SWMATH.

Polynomial algebra, which is at the core of computer alge-bra, was represented by contributions devoted to the compu-tation of resolutions and Betti numbers with the aid of a com-bination of Janet bases and algebraic discrete Morse theory,automatic reasoning in reduction rings using the THEORE-MA software system, estimation of the complexity of a newalgorithm for recognizing a tropical linear variety, conversi-on of a zero-dimensional standard basis into a standard ba-sis with respect to any other local ordering, simplificationof cylindrical algebraic decomposition formulas with the aidof a new multi-level heuristic algorithm, solving polynomi-al systems with polynomial homotopy continuation, imple-mentation of solvable polynomial rings in the object orientedcomputer algebra system JAS (Java Algebra System), expli-cit construction of the tangent cone of a variety using thetheory of regular chains, computation of the limit points ofthe regular chain quasi-component by using linear changes

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of coordinates, obtaining new bounds for the largest posi-tive root of a univariate polynomial with real coefficients,real root isolation by means of root radii approximation, ap-plication of the algebra of resultants for distance evaluationbetween an ellipse and an ellipsoid.

Among the many existing algorithms for solving polynomi-al systems, perhaps the most successful numerical ones arethe homotopy methods. The number of operations that thesealgorithms perform depends on the condition number of theroots of the polynomial system. Roughly speaking the con-dition number expresses the sensitivity of the roots with re-spect to small perturbation of the input coefficients. The invi-ted talk by E. Tsigaridas dealt with the problem of obtainingeffective bounds for the condition number of polynomial sys-tems with integer coefficients. The provided bounds dependon the number of variables, the degree and the maximum co-efficient bitsize of the input polynomials. Such bounds allowone to estimate the bit complexity of algorithms like the ho-motopy algorithms that depend on the condition number forsolving polynomial systems.

Two talks dealt with the solution of difference systems: hy-pergeometric solutions of first-order linear difference sys-tems with rational-function coefficients; computation of re-gular solutions of linear difference systems with the aid offactorial series.

The topics of two further talks were related to problems inlinear algebra and the theory of matrices: in one of them,it was proposed to perform a randomized preprocessing ofGaussian elimination with no pivoting with the aid of circu-lants; the other talk a new form of triangular decompositionof a matrix, which was termed the LDU-decomposition, hasbeen proposed.

Several talks were devoted to using computer algebra forthe investigation of various mathematical and applied topicsrelated to ordinary differential equations (ODEs): obtainingthe algebraic general solutions of first order algebraic ODEs,obtaining the analytic-form solutions of two-point bounda-ry problems with one mild singularity with the aid of theGreen’s function and the THEOREMA software system, in-vestigation of quasi-steady state phenomena arising in thesolutions of parameter-dependent ODE systems, in particu-lar, for reaction networks, symbolic computation of polyno-mial first integrals of systems of ODEs, homotopy analysisof stochastic differential equations with maxima.

Two talks dealt with applications of symbolic and symbolic-numeric computations for investigating and solving partialdifferential equations (PDEs) in mathematical physics: par-tial analytical solution of a PDE system from Kirchhoff’s rodtheory, symbolic-numeric solution of boundary-value pro-blems for the Schrodinger equation.

Among the numerical methods to approximately solve parti-al differential equations on complicated domains, finite ele-ment methods are often the preferred tool. The invited talk byV. Pillwein showed how symbolic computations can be usedin the construction of higher-order finite element methods.The analysis and construction methods range from Grobnerbasis computations and cylindrical algebraic decompositionto algorithms for symbolic summation and integration.

(Scenic Monschau; Photo: Ernst-W. Mayr)

Applications of symbolic and symbolic-numeric algorithmsin mechanics and physics were represented by the followi-ng themes: investigation of the stability of relative equili-bria of oblate axisymmetric gyrostat by means of symbolic-numerical modeling, investigation of the influence of con-stant torque on stationary motions of satellite, investigationof invariant manifolds and their stability in the problem ofmotion of a rigid body under the influence of two force fields,development of a symbolic algorithm for generating irredu-cible bases of point groups in the space of SO(3) group forits application in molecular and nuclear physics, analysis ofreaction network systems using tropical geometry, approxi-mate quantum Fourier transform and quantum algorithm forphase estimation.

The remaining topics included the use of resultants and cy-lindrical algebraic decomposition for the symbolic determi-nation of the topology of a plane algebraic curve, the soluti-on of the problem of interpolating the reduced data in caseswhen the interpolation knots are unknown, safety verificati-on of hybrid systems using certified multiple Lyapunov-likefunctions.

The CASC 2015 workshop was supported financially bya generous grant from Deutsche Forschungsgemeinschaft(DFG). Further financial support was obtained from thesponsors Additive, Dr. Hornecker Software-Entwicklungand IT-Dienstleistungen, and Maplesoft.

The program of the CASC 2015 may be found at the website http://www.casc.cs.uni-bonn.de/index.php/schedule

The scientific program of the CASC 2015 workshop wascombined by the local organizers in an excellent way withthe cultural program including an exciting excursion to Mon-schau.

The online version of the Proceedings (LNCS 9301)is available at http://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-319-24021-3

Wolfram Koepf (Kassel)Werner M. Seiler (Kassel)

Andreas Weber (Bonn)

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6. Jahrestagung der DMVHamburg, 21.09.2015 – 25.09.2015

www.math.uni-hamburg.de/DMV2015

Under the umbrella of the DMV Jahrestagung in Hamburg,several Minisymposia were also held, in particular sympo-sia about Algebraic Aspect of Cryptography (organised byBenjamine Fine (Fairfield, USA), Anja Moldenhauer (Ham-burg) and Gerhard Rosenberger (Hamburg)) and ComputerAlgebra and Applications (organised by Mohamed Barakat,Janko Bohm and Claus Fieker, all Kaiserslautern).

The symposium on cryptography with a total of 10 talks co-vered mainly non-standard cryptography, such as ideas basedin group theory, meta-analysis and even hardware based.

The symposium on computer algebra showed the full band-width of flavours of current computer algebra from numbertheory to group theory and (tropical) geometry to name a fewtopics.

Claus Fieker (Kaiserslautern)

7. Jahrestagung DFG SPP 1489Osnabruck, 28. September - 02. Oktober 2015

https://www.spptagung.uni-osnabrueck.de/

Die diesjahrige Jahrestagung des Schwerpunktprogramms

”Algorithmic and experimental methods in Algebra, Geo-metry and Number Theory“ fand dieses Jahr an der Univer-sitat Osnabruck statt. Die Tagung wurde hervorragend vonW. Bruns und R. Sieg inclusive Rahmenprogramm organi-siert. So fand ein gemeinschaftlicher Ausflug nach Kalkrie-se, dem Ort der beruhmten Varus-Schlacht, statt.

Das Schwerpunktprogramm lauft noch bis 2016 und wirdmit der Abschlusstagung in der zweiten Halfte 2016 been-det. Ein Konferenzband ist in Planung.

In mehreren Vortragen wurde die Weiterentwicklung vonComputeralgebra–Systemen und deren Vernetzung themati-siert. Im Folgenden liste ich die Vortrage in der Reihenfol-ge auf, in der sie gehalten wurden. Die Folien der meistenVortrage sind erhaltlich unter: https://www.spptagung.uni-osnabrueck.de/program/schedule/

Derenthal: Strong approximation and descent. Margolis:Torsion Units in Integral Group Rings. Hampe: Realizinggraphs of genus 4 as skeleta of tropical space curves. Gut-sche/Posur: Cap — Categories, algorithms, and program-ming. Netzer: Proving Kazhdan’s Property (T) with Semi-

definite Programming. Varbaro: Dual graphs of projecti-ve schemes. Toman: The Complexity of the Radical WordProblem for Binomial Ideals. T. Markwig: How to com-pute tropical varieties over the p-adic numbers? Stoll: Cha-bauty without the Mordell-Weil group. Spreckels: On theorder of abelian varieties over finite prime fields. Thiel:Computational aspects of rational Cherednik algebras. Kei-cher: Computing automorphisms of graded algebras andMori dream spaces. Fieker: Software Development Withinthe SPP1489: Number Theory. Kemeny: Syzygies of cur-ves via K3 surfaces. Pieropan: Generalized Cox rings overnonclosed fields. Rossmann: Computing representation zetafunctions of unipotent groups. Borner:.The functional equa-tion for L-functions of hyperelliptic curves. Decker: Softwa-re Development Within the SPP1489. Centeleghe: Compu-ting integral Frobenius for Modular Abelian Surfaces. Eick:Nilpotent associative algebras and coclass theory. King: Al-gorithmic isomorphism classification of modular cohomolo-gy rings of finite groups. Boehm: Modular Techniques inComputational Algebraic Geometry. Soger: Better triangu-lations in Normaliz 3.0. Eder: Improved Parallel Gaussi-an Elimination for Groebner Bases Computations in Fini-te Fields. Steenpaß: Grobner Bases over Algebraic Num-ber Fields. Gutsche: Dockerimage fur Schwerpunktssoftwa-re. S. Muller: Quadratic Chabauty. Naskrecki: GeneralizedFermat equations x2+y3 = zp — a progress report. Tsakni-as: Generalizations of Maeda’s Conjecture. Rahm: Noveltechniques for group homology calculation, and applicationsto Bianchi modular forms.

Jurgen Kluners (Paderborn)

Jahrestagung DFG SPP 1489

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Deterministic root finding in finite fields

Luca De Feo1, Christophe Petit2 and Michael Quisquater1

1Universite de Versailles – Saint-Quentin-en-Yvelines, 2University College London

Deterministic root finding in finite fields

Luca De Feo1, Christophe Petit2 and Michael Quisquater1

1Universite de Versailles – Saint-Quentin-en-Yvelines, 2University College London

Root finding problem

• Let q be a prime power, n ≥ 1 and Fqn a field with qn elements,

• f a polynomial in Fqn[X ] of degree d.

Problem: find (one/all) the roots of f in Fqn.

Complexity: We count the number of (+, ×, ÷) operations in Fqn.

Best algorithms (average case complexities)

We suppose that f is squarefree and splits completely in Fqn (easy determin-

istic reduction by taking the gcd with Xqn −X).Non-deterministic

• Cantor-Zassenhaus [2]. O(nM(d) log d log(dq))

Deterministic (worst case still polynomial)

• Berlekamp’s Trace Algorithm [1] (BTA), O(nM(d) log q log d + qM(d) log2 d)

• Affine Refinement Method [4, 7] (ARM), O(n2 log q + nM(d) log q + qM(d) log2 d)

• Successive Resultants Algorithm [6] (SRA), O(n2 log q + (n− log d)qM(d) log d)

Conditionally deterministic

• Subgroup Refinement Method [5, 4] (SRM), O(S(qn − 1)M(d) log2 d)

• Subgroup+Affine Refinement Method, O(n2 log q + nM(d) log q + S(q − 1)M(d) log2 d)

where S(x) = largest prime divisor of x. Our contributions in red.

Subgroup Refinement Method

Suppose f (X) | (XD − 1). For example, D = qn − 1.Let ω be an element of

(Fqn)∗

of order D, let t|D.

XD − 1 =∏

XD/t − ωD/t...

XD/t − ω(t−1)D/t

XD/t − 1

gcd←→∏

= f (X)

g1(X)

...

gt−1(X)

gt(X)

• Roots of gt are D/t-th roots of unity → apply recursively.

• Roots of gi are in ωiµD/t → shift by ω−i and apply recursively.

Complexity

• Requires a primitive generator of Fqn (non-deterministic in general),

• then uses only gcd’s and (t-points) polynomial evaluation (deterministic).

• Dominated by S(qn − 1), largest factor of qn − 1.

Affine Refinement Method

• Let v1, . . . , vn be an Fq-basis of Fqn and Vi = span(v1, . . . , vi),

• Li(X) the (linearized) polynomial vanishing on Vi (e.g. Ln = Xqn−X).

Li+1(X) =∏

Li(X)

Li(X − c1vi+1)

...

Li(X − cq−1vi+1)

gcd←→∏

= f (X)

g0(X)

g1(X)

...

gq−1(X)

ci running through the elements of Fq.• The Li’s are independent of f , and computed by a recursion formula.

• Roots of g0 are in the subspace Vi → apply recursively.

• Roots of gj are in Vi + cjvi+1 → shift by −cjvi+1 and apply recursively.

Subgroup+Affine Refinement Method

Unifies SRM and ARM:

• Let ω be a generator of (Fq)∗, let D = q − 1 and t|D,

• let v1, . . . , vn be an Fq basis of Fqn.

Li+1(X)Li(X)

= Li(X)D − Li(vi+1)D =∏

Li(X)D/t −(ωLi(vi+1)

)D/t

...

Li(X)D/t −(ωt−1Li(vi+1)

)D/t

Li(X)D/t − Li(vi+1)D/t

Apply recursively on Li(X)D/t − Li(vi+1)D/t.

• Dominated by S(q − 1) rather than S(qn − 1).

• Requires primitive generator of Fq rather than Fqn (e.g., deterministicunder GRH if q is prime).

Successive Resultants Algorithm

ARM finds the roots of f by intersecting with progressively smaller affinespaces.

Vi+1

Vi . . . Vi + vi+1

Vi−1 . . . Vi−1 + vi . . . . . .

⋂Roots(f)

Define the dual space V ∗i as the image space of Li. SRA is formally the dualof ARM: it projects the roots of f onto progressively smaller subspaces.

Vi−1

V ∗i . . . V ∗i + Li−1(vi)

V ∗i+1. . . V ∗i+1 + Li(vi+1) . . . . . .

yRoots(f)

• Projections computed (recursively) by ResX(Li(X)− Yi, f (X)

),

• Descent stopped when space is small enough for exhaustive search.

More about root finding

Find more on https://github.com/defeo/root_finding

• Optimizations for: worst case, composite n,

• NTL/Python implementation and comparison with state of the art.

Open questions:

• Make the complexity of ARM and SRA linear in n.

• Is it possible to combine SRA with SRM? With [3]?

References

[1] E. R. Berlekamp. Factoring Polynomials over Large Finite Fields. Math. Comp., 24:713–735, 1970.

[2] David G Cantor and Hans Zassenhaus. A New Algorithm for Factoring Polynomials over Finite Fields.

Mathematics of Computation, pages 587–592, 1981.

[3] Bruno Grenet, Joris van der Hoeven, and Gregoire Lecerf. Deterministic root finding over finite fields using

graeffe transforms. In ISSAC’15. ACM, 2015.

[4] Alfred Menezes, Paul C. van Oorschot, and Scott A. Vanstone. Some Computational Aspects of Root Finding

in GF(qm). In ISSAC, volume 358 of Lecture Notes in Computer Science, pages 259–270. Springer, 1988.

[5] Robert T. Moenck. On the Efficiency of Algorithms for Polynomial factoring. 31(137):235–250, 1977.

[6] Christophe Petit. Finding Roots in GF(pn) with the Successive Resultant Algorithm. LMS Journal of

Computation and Mathematics, 8 2014. (to appear).

[7] Paul C. van Oorschot and Scott A. Vanstone. A Geometric Approach to Root Finding in GF(qm). IEEE

Transactions on Information Theory, 35(2):444–453, 1989.

Das auf der ISSAC-Konferenz preisgekronte Poster.

Hinweise auf Konferenzen

1. III EACA International School on ComputerAlgebra and its Applications

Seville, Spain , 18.01.2016 – 21.01.2016

The Third EACA International School on Computer Alge-bra and its Applications will take place at the Faculty ofMathematics and IMUS (University Institute of Mathema-tics Research) of the University of Seville (Spain) on Janu-ary 18th-21th, 2016. It is an activity of the Spanish networkRed-EACA, Red Tematica de Calculo Simbolico, AlgebraComputacional y Aplicaciones, partially supported by theMinistry of Economy and Competitiveness, under the Ac-ciones de Dinamizacion ”Redes de Excelencia”MTM2014-56142-REDT. This School intends to provide an opportuni-ty for young researchers (namely, Master and PhD studentsand Postdocs) in Computer Algebra and Symbolic Compu-tation or in its Applications from all over the world, to learnfrom three internationally recognized lecturers, about recentdevelopments on the area. The School also welcomes ex-perienced researchers interested in these topics. The Schoolwill consist on three courses (lectures and tutorials) by ex-perts plus short contributed talks and poster presentations byyoung researchers. Submissions will be supervised by theSchool’s Scientific Committee. There will be grants partial-ly covering local expenses for young researchers. Candidateswill be selected under the supervision of the School’s Scien-tific Committee.

2. Advanced Computing and Analysis Techni-ques in physics research (ACAT)

Valparaiso, Chile, 18.01.2016 – 22.01.2016

The 17th edition of ACAT aims to once again bring togethercomputer science researchers and practitioners, and rese-archers from particle and nuclear physics, astronomy andastrophysics and accelerator science to explore and confrontthe boundaries of computing, of automated data analysis aswell as theoretical calculation technologies. It will create aforum for exchanging ideas among the fields and will explo-re and promote cutting-edge computing, data analysis andtheoretical calculation technologies in fundamental physicsresearch.

3. COCOA 2016 - International School on Com-puter Algebra

IIT Gandhinagar (Indien), 22.02.2016 –26.02.2016

www.iitgn.ac.in/COCOA-2016

Die CoCoA-Schule richtet sich an Diplomanden und Dokto-randen aus der ganzen Welt, die an Themen aus der kommu-tativen Algebra oder algebraischen Geometrie arbeiten unddas ComputeralgebrasystemCoCoA einsetzen wollen. Es wird zwei Kurse mit zu-gehorigen Tutorien geben:

(1) Lorenzo Robbiano, Computational Linear and Com-mutative Algebra (Tutorien: Anna Bigatti)

(2) Dilip Patil und Martin Kreuzer, ComputationalAspects of Burnside Algebras (Tutorien: MartinKreuzer)

Die CoCoA Schule findet bereits zum neunten Mal statt, je-doch erstmals in Indien. Neben den Kursen und Tutorienwird auch eine Poster-Session angeboten, in der die Teilneh-mer ihre eigenen Arbeiten prasentieren konnen. Ferner wirddie Schule durch Abendvortrage angesehener Mathematikererganzt. Details zur Anmeldung und Durchfuhrung sind aufder angegebenen Webseite abrufbar. Anmeldeschluss ist der25.11.2015.

4. Gemeinsame Jahrestagung von DMV undGAMMBraunschweig, 7.03.2016 – 11.03.2016

www.dmv-gamm-2016.de

Nachstes Jahr veranstalten die Deutsche Mathematiker-Vereinigung (DMV) und die Gesellschaft fur AngewandteMathematik und Mechanik (GAMM) eine gemeinsame Jah-restagung vom 7. - 11. Marz an der TU Braunschweig.

Zu dieser Konferenz werden mehr als 1.000 nationale undinternationale Teilnehmer erwartet. Das wissenschaftlicheProgramm enthalt zehn Hauptvortrage, sieben Minisympo-sia und 29 Sektionen. Dort wird in mehreren hundert Vor-tragen uber die neuesten wissenschaftlichen Ergebnisse ineinem breiten Spektrum von Disziplinen, das von Mathema-tik uber Numerik und wissenschaftlichem Rechnen bis zurStromungsmechanik und Mechanik reicht.

Eines der Minisymposien ist dem Thema Computeralgebragewidmet, das sich aufgrund seiner Lage im Spannungs-feld zwischen Reiner und Angewandter Mathematik her-vorragend fur die gemeinsame Jahrestagung von DMV undGAMM eignet. Das Minisymposium wird von Bettina Eick(Braunschweig), Anne Fruhbis-Kruger (Hannover), SandraKlinge (Dortmund) und Eva Zerz (Aachen) organisiert undsoll am Dienstag, dem 8. Marz, stattfinden. Mehrere hoch-karatige Vortragende haben ihre Teilnahme bereits zugesagt.

5. The 7th International Symposium on SymbolicComputation in Software ScienceTokyo, Japan , 28.03.2016 – 31.03.2016

The purpose of SCSS 2016 is to promote research on theore-tical and practical aspects of symbolic computation in soft-ware science. The symposium provides a forum for activedialog between researchers from several fields of compu-ter algebra, algebraic geometry, algorithmic combinatorics,computational logic, and software analysis and verification.

6. 5th European Seminar on Computing - SmartApplications of Scientific Computing Mini-symposiumPilsen, Czech Republic , 05.06.2016 –10.06.2016

Nowadays there is a wide variety of mathematical softwa-re available: computer algebra systems, technical computinglanguages, automated deduction systems,... This minisym-posium is devoted to practical real-world applications of thissoftware in fields like: transportation engineering, electri-cal engineering, medicine, knowledge based systems,... (thisis not an exhaustive list). The focus will be on advancedand smart applications with a nontrivial mathematical back-ground.

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7. EACA-2016: Meeting on Computer Algebraand ApplicationsLogrono, Spain, 22.06.2016 – 24.06.2016

The “Encuentros de Algebra Computacional y Aplicacio-nes, EACA“ (Meetings on Computer Algebra and Applicati-ons) are organized by the Spanish “Red Tematica de CalculoSimbolico, Algebra Computacional y Aplicaciones“ to pro-vide a meeting frame for researchers in the fields of Compu-ter Algebra and Symbolic Computation, and for those whouse these techniques in their research.

8. ISSAC 2016Waterloo, Ontario, Canada, 20.07.2016 –22.07.2016www.issac-symposium.org/2016

The International Symposium on Symbolic and AlgebraicComputation (ISSAC) is the premier conference for researchin symbolic computation and computer algebra. ISSAC 2016will be the 41st meeting in the series, which started in 1966and has been held annually since 1981. The conference pres-ents a range of invited speakers, tutorials, poster sessions,software demonstrations and vendor exhibits with a center-piece of contributed research papers.

9. INFORMATIK 2016 — 46. Jahrestagung derGesellschaft fur InformatikKlagenfurt, Osterreich, 26.09.2016 – 30.09.2016

www.informatik2016.de

Mit dem Motto ”Informatik: von Menschen fur Menschen“ist die Jahrestagung 2016 dieser auf den Menschen zentrier-ten Sicht gewidmet: das beschleunigte Privat und Arbeits-leben, die Komplexitat der Aufgaben und Ablaufe sollen imnahtlosen Zusammenwirken zwischen Mensch und Informa-tiksystemen zu bewaltigen sein. Dabei mussen die Systemebeherrschbar, unaufdringlich und verstehbar bleiben, Tech-nik hat sich dem Menschen anzupassen und nicht umgekehrt.

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Fachgruppenleitung Computeralgebra 2014-2017

Sprecher:Prof. Dr. Gregor KemperZentrum Mathematik – M11Technische Universitat MunchenBoltzmannstr. 3, 85748 Garching089-289-17454, -17457 (Fax)kemper@ma.tum.dehttp://www-m11.ma.tum.de/˜kemper

Stellvertretender Sprecher:Prof. Dr. Florian HeßCarl-von Ossietzky Universitat OldenburgInstitut fur Mathematik, 26111 Oldenburg0441-798-2906, -3004 (Fax)florian.hess@uni-oldenburg.dehttp://www.staff.uni-oldenburg.de/florian.hess

Fachexperte Redaktion Rundbrief:Prof. Dr. Michael CuntzInstitut fur Algebra, Zahlentheorie und Diskrete Math.Leibniz Universitat HannoverWelfengarten 1, 30167 Hannover0511-762-4252cuntz@math.uni-hannover.dehttp://www.iazd.uni-hannover.de/˜cuntz

Fachreferentin Themen und Anwendungen:Prof. Dr. Bettina EickInstitut Computational MathematicsFachbereich Mathematik und InformatikTechnische Universitat BraunschweigBraunschweig0531-391-7525, -7414 (Fax)beick@tu-bs.dehttp://www.icm.tu-bs.de/˜beick/

Fachreferent CA-Systeme und -Bibliotheken:Prof. Dr. Claus FiekerFachbereich MathematikTechnische Universitat KaiserslauternGottlieb-Daimler-Straße, 67663 Kaiserslautern0631-205-2392, -4427 (Fax)fieker@mathematik.uni-kl.dehttp://www.mathematik.uni-kl.de/˜fieker

Fachreferentin Publikationen und Promotionen:Prof. Dr. Anne Fruhbis-KrugerInstitut fur Algebraische GeometrieWelfengarten 1, 30167 Hannover0511-762-3592fruehbis-krueger@math.uni-hannover.dehttp://www.iag.uni-hannover.de/˜anne

Fachexperte Physik:Dr. Thomas HahnMax-Planck-Institut fur PhysikFohringer Ring 6, 80805 Munchen089-32354-300, -304 (Fax)hahn@feynarts.dehttp://wwwth.mppmu.mpg.de/members/hahn

Fachreferentin Computational Engineering,Vertreterin der GAMM:Prof. Dr.-Ing. Sandra KlingeInstitute of MechanicsTU DortmundLeonhard-Euler-Str. 5, D-44227 Dortmund0231-755-5790sandra.klinge@tu-dortmund.dehttp://www.im.mb.tu-dortmund.de/typo3/en/institute

Fachreferent Schwerpunktprogramm 1489:Prof. Dr. Jurgen KlunersMathematisches Institut der Universitat PaderbornWarburger Str. 100, 33098 Paderborn05251-60-2646, -3516 (Fax)klueners@math.uni-paderborn.dehttp://www2.math.uni-paderborn.de/people/

juergen-klueners.html

Vertreter der DMV:Prof. Dr. Wolfram KoepfInstitut fur MathematikUniversitat KasselHeinrich-Plett-Str. 40, 34132 Kassel0561-804-4207, -4646 (Fax)koepf@mathematik.uni-kassel.dehttp://www.mathematik.uni-kassel.de/˜koepf

Fachreferent Themen und Anwendungen:Prof. Dr. Martin KreuzerFakultat fur Informatik und MathematikUniversitat PassauInnstr. 33, 94030 Passau0851-509-3120, -3122 (Fax)martin.kreuzer@uni-passau.dehttp://www.fim.uni-passau.de/˜kreuzer

Vertreter der GI:Prof. Dr. Ernst W. MayrLehrstuhl fur Effiziente AlgorithmenFakultat fur InformatikTechnische Universitat MunchenBoltzmannstraße 3, 85748 Garching089-289-17706, -17707 (Fax)mayr@in.tum.dehttp://www.in.tum.de/˜mayr/

Fachreferent Schule und Didaktik:OStR Jan Hendrik MullerRivius-Gymnasium der Stadt AttendornWestwall 48, 57439 Attendorn02722-5953 (Sekretariat)jan.mueller@math.uni-dortmund.dewww.mathebeimueller.de

Fachreferentin CA an der Hochschule:Prof. Dr. Eva ZerzLehrstuhl D fur MathematikRWTH AachenPontdriesch 14/16, 52062 Aachen0241-80-94544, -92108 (Fax)eva.zerz@math.rwth-aachen.dehttp://www.math.rwth-aachen.de/˜Eva.Zerz/

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