.Hugo Alvarez

Notas de Clculo

2a edicin

San Luis, Argentina, 2010

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Prlogo

Estas notas reflejan con bastante fidelidad el curso de Clculo que dic-tamos desde el Departamento de Matemtica para alumnos ingresantes acarreras de Ciencias Exactas e Ingeniera de la Universidad Nacional de SanLuis. Se trata de un curso semestral, con una modalidad de trabajo in-teractiva: Un docente desarrolla un tema y a continuacin los estudiantestrabajan, asistidos por todo el equipo docente, en la resolucin de problemasrelacionados. Propiciamos que ese trabajo sea cooperativo y bullicioso. Lasnotas estn redactadas para ser usadas en ese contexto. No se supone quesirvan para estudiar solo. El material para cursos de educacin a distanciaes, usualmente, mucho ms minucioso. Personalmente, dudo de la posibil-idad de estudiar Matemtica solo, a menos que se trate de un matemticopotencialmente dotado.

La Universidad de San Luis, a pesar de estar organizada en facultades,conserva vestigios de la estructura departamental que intent tener algunavez. Es en esta realidad que se inscribe nuestro curso. La convivencia deestudiantes de carreras diversas nos obliga a buscar un punto medio, que sercriticado por demasiado terico por los ingenieros y por demasiado prcticopor los matemticos. Nosotros creemos que es bueno para los primerosadquirir la disciplina de las deducciones y conveniente para los segundos verque la Matemtica nace de resolver problemas concretos.

Entre estos dos extremos, mi condicin de matemtico me empuj siem-pre hacia el formalismo, en contra de mis deseos. Sin embargo, he pasadomucho tiempo dictando cursos de Matemtica para estudiantes de otras ca-rreras y he podido ver a jvenes sin un gusto previo por la Matemtica (o talvez con un disgusto por ella) involucrarse ms y ms en el formalismo mejo-rando drsticamente su capacidad de atacar problemas de modelizacin.Para los usuarios, la Matemtica es un lenguaje y como tal se aprendehablando. Es, para colmo, un lenguaje para una estructura de pensamientoque no es la natural. Es como nadar. La forma natural de desplazarse delhumano es caminando, pero a veces conviene nadar y todos somos capacesde aprender.

Quizs el principal sedimento que deja el paso por un curso elementalde Matemtica es el desarrollo de lenguajes y formas de razonamiento. Elejercicio intelectual. Pero esos elementos se dan por s solos en el trabajo. Loque uno planifica son contenidos y una estructura matemtica coherente deesos contenidos, todo ello en funcin de las posibilidades de aprendizaje de

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los alumnos en la etapa de desarrollo en que se encuentran. En nuestros das,hay acuerdo sobre que las proposiciones con cuantificadores en secuencia(para todo existe tal que...) y sobre todo sus negaciones, presentanun grado de complejidad que rebasa innecesariamente las posibilidades deaprendizaje del estudiante medio. Lo mismo creo acerca de construccionesdelicadas como la necesaria para llegar a una definicin de integral. Sontemas de otro nivel. En esos casos, basta una presentacin intuitiva delconcepto y un listado de propiedades que funcionan como una axiomtica.

La completitud de la recta real es otro concepto que excede a un cursode Clculo. Su sola descripcin es demasiado ardua. Pero sus consecuenciasson tan naturales como necesarias. Una buena discusin sobre la existenciade mximos y mnimos de una funcin y sobre mtodos para encontrarlos esconocimiento til e instructivo. Hemos buscado una versin del teorema deBolzano y Weierstrass fcil de aceptar intuitivamente y que permita deducirtodos los resultados que habitualmente se usan.

Releyendo la obra puedo decir que me sali un libro ms formal de lo quequera. Pero son claros en el contexto los posibles atajos. A veces las alter-nativas son explcitas, como en la discusin de relaciones entre crecimientode la derivada y convexidad, o en la demostracin del teorema fundamen-tal del Clculo. En el curso casi siempre nos quedamos con la versin mssimple.

Cuando empec a redactar estas notas, sin saber si llegaran a libro,pensaba en un libro de Probabilidad y Estadstica de Ricardo Maronna.Cuando lo le reconoc ese estilo conciso y simple con que nos formamos enla universidad argentina de los aos 60. S que no lo logr, pero siemprebusqu ese color. Consignarlo en el prlogo rescata al menos la intencin.

Si bien el trabajo de redactar las notas y la responsabilidad por loserrores me pertenece, el curso que les da origen es una construccin conjuntacon Sergio Favier. Con l discutimos y planificamos las clases, las llevamosa cabo y volvemos a discutir los resultados. Iris Auriol, que suele dictar elcurso en el segundo semestre utilizando este material, es quien provee finascorrecciones a mis errores.

Las autoridades de la facultad y del departamento de Matemtica fo-mentan un espacio que da aliciente y marco a este tipo de actividades. Paraellos mi reconocimiento.

H. Alvarez

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Contenido:

1. Preclculo1.1 La recta real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Desigualdades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Coordenadas en el plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

Funciones.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

Operaciones con funciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.4 Grficos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Algunos movimientos del plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Modificaciones de grficos de funciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30

Curvas en forma implcita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Curvas en forma paramtrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.5 Funciones trigonomtricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Angulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Funciones.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40

1.5 Complementos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2. Diferenciacin

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2.1 Razn de cambio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.2 Lmite y continuidad.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53

Propiedades del lmite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Lmites de funciones trigonomtricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.3 Razn de cambio en un punto. Recta tangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.4 La funcin derivada.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67

Reglas de derivacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Diferenciacin de funciones trigonomtricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Diferenciacin de funciones compuestas. Regla de la cadena. . . . . . . 73

2.5 Algunas aplicaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Diferenciacin implcita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Razones de cambio relacionadas.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79

Vector tangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82

2.6 Derivadas de orden superior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

2.7 Complementos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3. El teorema del valor medio

3.1 Asntotas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93

Lmites en el infinito. Asntotas oblicuas y horizontales. . . . . . . . . . . 93

Lmites infinitos. Asntotas verticales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.2 Estudio de funciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107

Mximos y mnimos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Funciones crecientes y decrecientes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116

Comparacin de funciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

Convexidad - concavidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

3.3 El teorema de unicidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

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3.4 Las demostraciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Teorema de Bolzano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

El teorema del valor medio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

Funciones convexas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

3.5 Complementos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137

Notas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

4. Funciones inversas

4.1 Definicin de funcin inversa.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .139

4.2 Derivada de la funcin inversa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

4.3 Funcin exponencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

4.4 Funcin logartmica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

4.5 Complementos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .160

Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

Notas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

Continuidad de la inversa.

Derivabilidad de la inversa.

5. Aproximacin puntual

5.1 La regla de lHospital. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

5.2 Polinomio de Taylor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

Aproximacin de Taylor en un punto distinto de 0. . . . . . . . . . . . . . . 174

Unicidad.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

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6. Integracin

6.1 Integral indefinida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .180

Linealidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

Sustitucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

Integracin por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

Funciones racionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .187

6.2 Integral definida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .191

Area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

Area orientada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

Propiedades de la integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

Teorema fundamental del Clculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

Regla de Barrow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

Comentarios sobre el origen de la notacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

6.3 Algunas aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

Clculo de reas, trabajo, longitud de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

6.4 Complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

Notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208Demostracin del TFC.Otra definicin del logaritmo.Mtodo de los trapecios.

Bibliografa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

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