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Psicometria (8 CFU)
Corso di Laurea triennnale
INDICI DI POSIZIONE - I QUANTILI
• Per conoscere la posizione che un valore occupa all‟interno di una distribuzione di frequenza si utilizzano
–Quartili
–Decili
–Percentili
che vengono detti QUANTILI
INDICI DI POSIZIONE
Questi indici richiedono che la variabile sia misurata almeno
su una scala ordinale
poiché richiedono una distribuzione ordinata di frequenza
INDICI DI POSIZIONE
QUARTILI
Valori in corrispondenza dei quali ladistribuzione viene suddivisa in quattroparti uguali. I quartili sono tre:
1° quartile Q1 (o inferiore): valore al di
sotto del quale ricade il 25% dei casi
2° quartile Q2 (o mediano): valore al di
sotto del quale ricade il 50% dei casi
3° quartile Q3 (o superiore): valore al di
sotto del quale ricade il 75% dei casi
Come si calcolano:
1. Si ordinano in senso crescente lemodalità o i valori della variabile
2. Si calcolano le frequenze cumulate
3. Si calcola la posizione del quartilecon le apposite formule
4. Si cerca nella distribuzione il valorecorrispondente alla posizione trovata
QUARTILI
Formule per il calcolo della posizione:
QUARTILI
Per il 1° quartile:
Per il 2° quartile:
Per il 3° quartile:
14
1NposQ1
24
1NposQ2
34
1NposQ3
NOTA BENE
Il secondo quartile Q2
corrisponde alla Mediana
La Mediana è un indice di tendenza centrale e di
posizione
QUARTILI
ESEMPIO
15 soggetti hanno espresso il loro grado di adesione (punteggio da 1 a 7) alla seguente affermazione:
“Meglio cento anni da pecora che un giorno da leone”
I risultati sono:
1 5 4 6 7 2 5 6 3 1 2 4 4 7 7
Trovare il 1°, 2° e 3° quartile
QUARTILI
Punteggi f fcum
1 2 2
2 2 4
3 1 5
4 3 8
5 2 10
6 2 12
7 3 15
QUARTILI
414
115posQ1
824
115posQ2
1234
115posQ3
QUARTILI
Punteggi f fcum
1 2 2
2 2 4
3 1 5
4 3 8
5 2 10
6 2 12
7 3 15
2 2 4
4 3 8
6 2 12
Pos Q1
Pos Q2
Pos Q3
Q1
Q2
Q3
• Il primo quartile è 2
(occupa la 4° posizione nella distribuzione)
• Il secondo quartile è 4
(occupa la 8° posizione nella distribuzione)
• Il terzo quartile è 6
(occupa la 12° posizione nella distribuzione)
QUARTILI
DECILI
• Valori in corrispondenza dei quali ladistribuzione viene suddivisa in dieci partiuguali. I decili sono nove:
1° decile: valore sotto il quale ricade il
10% dei casi
2° decile: valore sotto il quale ricade il
20% dei casi
9° decile: valore sotto il quale ricade il
90% dei casi
SI PROCEDE COME PER I QUARTILI
Formule per il calcolo della posizione:
DECILI
Per il 1° decile:
Per il 2° decile:
Per il 9° decile:
110
1NposD1
210
1NposD2
910
1NposD9
……
DECILI
ESEMPIO
11 bambini di 36 mesi hanno ottenuto ad un test sul linguaggio la seguente serie di punteggi:
25 43 34 58 25 48 38 38 54 48 58
Trovare il 3° e l‟ 8° decile
DECILI
Punteggi f fcum
25 2 2
34 1 3
38 2 5
43 1 6
48 2 8
54 1 9
58 2 11
6.3310
111posD3
6.9810
111posD8
• Il terzo decile sta tra la 3° e la 4°posizione (posD3= 3.6) quindi è un valorecompreso tra 34 e 38
• Si procede così:
• Si moltiplica la differenza tra i due valori34 e 38 per la quantità che eccede dalla3° posizione: 3.6 cioè 0.6
(38-34) x 0.6 = 2.4
• Si somma questa quantità al valorecorrispondente alla terza posizione:
34 + 2.4 = 36.4 terzo decile
DECILI
• L‟ottavo decile sta tra la 9° e la 10° posizione (posD8= 9.6) quindi è un valore compreso tra
54 e 58
• Moltiplico la differenza tra i due valori per la quantità che eccede dalla 9° posizione: 9.6 cioè 0.6
(58-54) x 0.6 = 2.4
• Sommo questa quantità al valore corrispondente alla nona posizione:
54 + 2.4 = 56.4 ottavo decile
DECILI
CENTILI
• Valori in corrispondenza dei quali ladistribuzione viene suddivisa in centoparti uguali.
• I centili sono novantanove:
15° centile: valore sotto il quale ricade il15% dei casi
45° centile: valore sotto il quale ricade il45% dei casi
99° centile: valore sotto il quale ricade il99% dei casi
COME PER I QUARTILI E I DECILI
Formule per il calcolo della posizione:
Per il 14° centile:
Per il 79° centile:
14100
1NposC14
97100
1NposC79
CENTILI
ESEMPIO
11 bambini di 36 mesi hanno ottenuto ad un test sul linguaggio la seguente serie di punteggi:
25 43 34 58 25 48 38 38 54 48 58
Trovare il 28° e l‟ 82° centile
CENTILI
Punteggi f fcum
25 2 2
34 1 3
38 2 5
43 1 6
48 2 8
54 1 9
58 2 11
4.336.328100
111posC28
9.982100
111posC82
CENTILI
• Il ventottesimo centile (C28) si trova tra la3° e la 4° posizione (posC28 = 3.4) quindiè compreso tra 34 e 38
• Si procede come al solito:
• Si moltiplica la differenza tra i due valori34 e 38 per la quantità che eccede dalla3° posizione: cioè 0.4
(38-34) x 0.4 = 1.6
• Si somma questa quantità al valorecorrispondente alla terza posizione:
34 + 1.6 = 35.6 ventottesimo centile
CENTILI
• L‟ottentaduesimo centile sta tra la 9° e la10° posizione (posC82 =9.9) quindi è unvalore compreso tra 54 e 58
• Si moltiplica la differenza tra i due valori 54 e 58 per la quantità che eccede dalla 9° posizione: cioè 0.9
(58-54) x 0.9 = 3.6
• Si somma questa quantità al valorecorrispondente alla nona posizione:
54 + 3.6 = 57.6 ottentaduesimo centile
CENTILI
FORMULA GENERALE DEI QUANTILI
flicum è la frequenza cumulata della classe
precedente a quella che contiene il Quantile
ai è l„ampiezza della classe che contiene il
Quantile
fi è la frequenza della classe che contiene il
Quantile
Xli è il limite reale inferiore della classe che
contiene il Quantile
FORMULA GENERALE DEI QUANTILI
Classi
18-20
21-22
23-24
25-26
27-30
f
15
18
20
16
13
82
I voti di 82 studenti all‟esame di“Psicometria” sono distribuiti così:
ESEMPIO
FORMULA GENERALE DEI QUANTILI
ESEMPIO
Vogliamo conoscere il valore mediano della distribuzione
Dobbiamo perciò calcolare
il valore del secondo quartile
Q2
FORMULA GENERALE DEI QUANTILI
ESEMPIO
Calcoliamo innanzitutto la posizione della mediana
412x4
82PosQ2
FORMULA GENERALE DEI QUANTILI
Classi
18-20
21-22
23-24
25-26
27-30
f
15
18
20
16
13
82
ESEMPIO
fcum
15
33
53
69
82
41
FORMULA GENERALE DEI QUANTILI
Classi
18-20
21-22
23-24
25-26
27-30
f
15
18
20
16
13
82
ESEMPIO
fcum
15
33
53
69
82
a
3
2
2
2
4
22.5-24.5
Limiti reali
Spiegazione tramite istogramma
Costruiamo l‟istogramma
della distribuzione
FORMULA GENERALE DEI QUANTILI
FORMULA GENERALE DEI QUANTILI
Classi
18-20
21-22
23-24
25-26
27-30
f
15
18
20
16
13
82
ESEMPIO
fcum
15
33
53
69
82
a
3
2
2
2
4
22.5-24.5
Limiti realih
5
9
10
8
3.25
17.5-20.5
20.5-22.5
24.5-26.5
26.5-30.5
Calcolare le frequenze cumulate
equivale a sommare le aree
degli istogrammi
FORMULA GENERALE DEI QUANTILI
La posizione che abbiamo
trovato (41) equivale perciò
ad un‟area
Per trovare il valore del secondo
Quartile dobbiamo calcolare
a che valore corrisponde
in ascissa l‟area = 41
FORMULA GENERALE DEI QUANTILI
Sommiamo le aree dei primi due
istogrammi: 15 + 18 = 33
FORMULA GENERALE DEI QUANTILI
Per ottenere 41 manca un
“pezzo” dell‟area del terzo
istogramma:
41 – 33 = 8
FORMULA GENERALE DEI QUANTILI
Quest‟area si trova utilizzando la formula
di calcolo dell‟area del rettangolo:
base x altezza
Nel nostro caso conosciamo l‟area (8)
conosciamo l‟altezza (10)
Troviamo facilmente la base
8/10 =0.8