inferência 2014

Pesquisa Tecnológica – Suzana Russo

0


1

Distribuições de Probabilidade

Distribuição Normal - Um dos mais importantes exemplos de distribuição contínua de probabilidade é a distribuição normal, às vezes chamada de distribuição gaussiana. A função de densidade para esta distribuição é dada por:

xexf x ,2

1)(

22 2/)(

onde e são respectivamente, a média e o desvio padrão. Diz-se então que a variável aleatória x é distribuída normalmente com média

e variância 2

. Se Z é a variável padronizada correspondente a x, isto é, se

XZ então a média ou valor esperado de Z é zero e a variância é 1. Em tal

caso, a função de densidade de Z pode ser obtida de (1) fazendo-se =0 e =1,

f Z e

x

( ) 1

2

2

2

Esta função é comumente designada função ou distribuição de densidade

normal padronizada. Suas principais características são:

Média:

XEZE )( )(

1

XE )()(

1

EXE 0

1

Variância:

XVarZVar )(

XVar

2

1 )(

12

XVar

12

2

GRÁFICO DA FUNÇÃO

Também chamada de Curva Normal padronizada. Neste gráfico indicamos áreas 1, 2 e 3 desvios padrões a contar da média (isto é, entre Z= -1 e 1, Z= -2 e 2, e Z = -3 e 3), iguais respectivamente a 68,27%, 95,45% e 99,73% da área total que é um significa que: P(-1 Z 1)= 0,6827 P(-2 Z 2)=0,9545 P(-3 Z 3)=0,9973


2

] x ,x[ contém aproximadamente 68% dos valores da série.

] x ,x[ 22 contém aproximadamente 95% dos valores da série.

] x ,x[ 33 contém aproximadamente 99% dos valores da série.

EXEMPLOS:

1) Em um exame final de estatística a média foi de 62 e = 15. Determine a probabilidade de um aluno estar entre 60 e 90. 2) O peso médio de 500 estudantes do sexo masculino é de 75,5 Kg e o = 7,5Kg. Os pesos estão distribuídos normalmente. Determine quantos estudantes pesarão: a) entre 60 e 77,5 Kg; b) mais de 92,5 Kg.

3) Calcule as seguintes probabilidades:

a) P(- 2 < Z < +2) = b) P(- 1,8 < Z < 0) = c) P(0 < Z < +1,8) = d) P(- 2,3 < Z < -1,5) = e) P( 1,50 < Z < 2,32) = f) P( Z > 1,46)= g) P( Z< -1,18) = h) P( Z < 1,25) = i) P( Z > -2,05)=


3

4)A duração de um certo componente eletrônico tem em média 850 dias e desvio-padrão 45 dias. Calcular a probabilidade desse componente durar mais que 800 dias.

EXERCÍCIOS:

1) Determinada empresa metalúrgica produz, entre outros, parafusos cujos comprimentos médios são de 500 mm e desvio-padrão de 10 mm. Qual a porcentagem de peças que se situam: a) entre 490 e 510 mm; R. (68,26%) b) abaixo de 495 mm; R. (30,85%) c) acima de 480mm. R. (97,73%)

2) Determinado veículo movido a álcool apresenta um consumo médio por Km rodado de 142ml, com um desvio-padrão de 12ml. Calcular as seguintes probabilidades:

a) um carro gastar de 120 a 130ml; R. (12,51%) b) um carro gastar mais de 145ml; R. (40,13%) c) um carro gastar menos de 140ml. R. (43,25%)

3) Determinada empresa metalúrgica produz, entre outros, parafusos cujos comprimentos médios são de 500 mm e desvio-padrão de 10 mm. Qual a porcentagem de peças que se situam:

a) entre 490 e 510 mm; b) abaixo de 495 mm; c) acima de 480mm.


4

Amostragem AMOSTRAGEM E DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS

Quando precisamos tirar conclusões válidas sobre um grande número de indivíduos ou objetos, ao invés de examinar todo o grupo, pode-se estudar apenas uma pequena parte.

População - é o conjunto de indivíduos (ou objetos) tendo pelo menos uma variável em comum observável.

Amostra - é qualquer subconjunto da população. Em uma amostra observamos somente uma fração representativa do todo, a partir da qual calculamos ou inferimos alguma coisa sobre as características do todo.

Definição de Amostragem - processo de obtenção ou extração da amostra.

Preferimos uma amostra a uma contagem completa pelos seguintes razões. Praticabilidade; Rapidez; Precisão; Custo. Utilizamos amostras por ser muito dispendioso entrevistar cada pessoa de toda uma população. A escolha aleatória é o melhor método de escolha de uma amostra, pois qualquer amostra tem a mesma chance de ser escolhida Seleção de uma amostra 1) Se uma amostra é selecionada de tal forma que cada elemento da

população tenha igual possibilidade de ser selecionada, a amostra é dita aleatória. Ex.: Sorteio.

2) Amostra sistemática é quando os elementos da população se apresentam

ordenados e a retirada é feita periodicamente. Exemplo:

População = 2000 S 2000

20010

Amostra = 200 3) Amostra dos números aleatórios: pela tabela.

LEMBRETE


5

Amostragem de uma população finita

Se a população é finita e o tamanho da amostragem é muito pequeno, quando comparado á dimensão da população, a cobertura relativa da população pela amostra pode ter alguma influência na grandeza do erro de amostragem.

Exemplo: uma amostra de 1000, de uma população de 5.000 deve ter maior exatidão do que uma amostra, do mesmo tamanho, tirada de uma população de 5.000.000.

TIPOS DE AMOSTRAGEM

Amostragem probabilística. Todos os elementos da população tiverem probabilidade conhecida e não

nula de pertencerem a amostra. 1) Amostragem casual simples - é equivalente a um sorteio aleatório. Sendo “N” o número de elementos da população e “n” o número de

elementos da amostra, cada elemento da população tem probabilidade n

N de

pertencerem a amostra. Se a amostra for feita com reposição - N

n

Se a amostra for feita sem reposição - CN

n

Processo: numerar todos os elementos da população, efetuar sorteios até completar o tamanho da amostra.

2) Amostragem sistemática - quando os elementos da população

apresentam ordenados e a retirada é feita periodicamente = n

N.

Processo: sorteia-se o primeiro e os demais seriam retirados numa P.A. com razão igual a o período.

3) Amostragem gradativa - feita por etapas, sob a forma de degraus

decrescentes escolhidos ao acaso. Processo: primeiro, escolhe-se uma parte do todo;

segundo, escolhe-se uma parte do primeiro estágio e assim sucessivamente.

4) Amostragem estratificada - quando a população é constituída de

extratos, no qual o comportamento da variável em estudo é razoavelmente homogêneo dentro de cada extrato, mas diferente de extrato por extrato.

a) Uniforme - de cada extrato extrai-se uma mesma quantidade ni de elementos.

b) Proporcional - de cada extrato extrai-se uma quantidade ni de elementos proporcionais ao tamanho Ni do respectivo extrato.


6

n

N

n

N

n

N

n

N

i

i

z

z

k

k

i

i

k

i

i

k

1

1

c) Ótima - de cada extrato retira-se uma quantidade ni de elementos proporcionais ao tamanho Ni do respectivo extrato e também proporcional à variação em estudo.

n

N

n

N

n

N

n

N

i

i i

z

z i

k

k i

i

i

k

i i

i

k

1

1

5) Amostragem múltipla - retirada em diversas etapas sucessivas em

função dos resultados obtidos em cada etapa. Amostragem não - probabilística Processo subjetivo, muitas vezes, empregados em trabalhos estatísticos,

por simplicidade ou por impossibilidade de se obterem amostras probabilísticas. 1) Inacessibilidade a toda a população - a amostra é coletada no ponto

onde a população nos é acessível. Exemplo: Todos os portadores de cólera. 2) Amostragem a esmo - sem sorteio. Exemplo: Uma amostragem de 100 parafusos de uma caixa. 3) Amostragem onde a população é formada por material contínuo - se

a população for líquida ou gasosa, o que se costuma fazer é homogeneizá-la e retirar a amostra a esmo.

4) Amostragem intencionais - quando o amostrador escolhe

deliberadamente certos elementos para formar a amostra, baseando num pré-julgamento.

Exercícios: 1) Sugerir como formar uma amostra de 100 estudantes de uma

universidade.

2) Escolha uma página qualquer da lista telefônica e retire uma amostra sistemática de cinqüenta nomes.


7

DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS

Distribuição de médias amostrais Seja x uma população de média e variância

2 então:

E xx

np x

i

i i

Var x xn

x x

n

i

2

22

com reposição

Var x xn

N n

N

2

2

1 sem reposição

Onde N é o número de elementos da população, e n o número de

elementos da amostra.

Distribuição amostral de x - populacional não normal e amostra suficientemente grande

Distribuição amostral de x - populacional normal

x, x

x, x


8

A variável padronizada associada a x é:

Zx

n

/ com reposição

Zx

n

N n

N

2

1

sem reposição

Exemplos:

1) Uma população consiste dos números 2, 4, 6, 7, 9. Consideremos todas as amostras possíveis de tamanho 2, que podem ser extraídas dessa população com reposição. Determine:

a) a média da população; b) o desvio-padrão da população; c) a média da distribuição amostral de médias; d) o desvio-padrão da distribuição amostral das médias. 2) Suponhamos que x representa a nota média de um aluno selecionado ao acaso,

de certa universidade. Sabe-se que a distribuição de x tem uma média de 2,5 e um desvio padrão de 0,4. Se tomarmos uma amostra de 36 estudantes e calcularmos o valor de x . Qual a probabilidade de que x

a) seja menor que 2,4 b) esteja entre (2,4 e 2,7) 3) Suponhamos que os pontos, x, num teste sejam normalmente distribuídos com

média 160 e desvio padrão 20. Se tirarmos uma amostra de tamanho 16 e calcularmos o valor de x , qual é a probabilidade de que:

a) x exceda 165 ? b) x seja menor que 159 ?


9

Teoria da Estimação

Conceitos básicos

Quando estamos interessados em determinado parâmetro (, ,...) de uma população, lançamos mão de uma amostra extraída dessa população, estudamos seus elementos e procuramos através dessa amostra estimar o parâmetro populacional.

Exemplo:

Suponha que a distribuição das alturas de todos os habitantes de um país possa ser representada por uma distribuição normal. Mas não conhecemos de antemão a média () da distribuição. Devemos, pois, estimá-la.

1) Parâmetros - números fixos, embora muitas vezes desconhecidos, que determinam a forma especifica de uma distribuição de probabilidade.

Exemplos: média, desvio-padrão, etc...

2) Estatísticas - qualquer valor calculado com base nos elementos de uma amostra.

Exemplos: média amostral, mediana amostral, etc...

Estimação pontual

Estimação da Média e da Variância de uma População Normal

Para cada distribuição, devemos estimar seus parâmetros. O melhor estimador da média populacional é a média amostral:

)...(1

21 nxxxn

x

Como, em uma amostra aleatória, as variáveis x1 , x2 , xn são independentes, cada uma delas tem a mesma distribuição da população. Então, designando por a média populacional e por

2 a variância populacional:

E(xi) = Var(xi)= 2 i=1, 2, ..., n,

onde n, tamanho da amostra, é uma constante.

Como X é uma variável aleatória, cabe calcular sua média e sua variância:


10

O primeiro resultado mostra que x é um estimador não-tendencioso da

média populacional . O segundo resultado mostra que a variância da média amostral é o quociente da divisão da variância populacional

2 pelo tamanho n da

amostra, ou seja, quanto maior o valor de n, menor a variabilidade de x .

O parâmetro 2 , a variância populacional, é estimado por:

1

2

2

n

xxs

i

O denominador deve ser n-1 para que s2 seja um estimador não-tendencioso

de 2. Se tivéssemos n no denominador, embora com um estimador razoável,

perderíamos a característica de não-tendenciosidade.

Os estimadores x e s2, vistos acima, são as melhores opções para estimar

os parâmetros e 2 de uma distribuição qualquer, embora nem sempre sejam as

opções ótimas.

1) Um estimador consistente é um estimador cujo valor converge para o

verdadeiro valor à medida que o tamanho da amostra se torna muito grande.

2) Um estimador não-tendencioso é um estimador cujo valor esperado é igual ao verdadeiro valor.

Exemplos:

1) Se, de uma população normal, se extrai uma amostra cujos valores são 1,1 0,9 0,3 -0,2 -3,1 1,5 -2,7 0,5 -1,5 2,1, obtenha estimativas para ,

2 , mediana e

)5,2( XP .

2) Ao se planejar o fluxo de carros que entram em um estacionamento durante 10 intervalos de 15 minutos na hora mais movimentada do dia, observam-se os seguintes números de carros: 6, 9, 10, 4, 7, 6, 7, 6, 8, 9. Um modelo razoável para a V.A. “números de carros que entram no estacionamento” é a distribuição de Poisson, que depende apenas de um parâmetro . Pelo que se viu acima, e considerando que é a média da distribuição de Poisson, uma estimativa razoável de , no caso do exemplo é:

LEMBRETE


11

Estimação por intervalo

Uma estimativa de um parâmetro populacional dado por dois números entre os quais o parâmetro deve estar situado á chamado estimativa por intervalo do parâmetro.

Intervalo de Confiança para a Média Populacional

1º Caso: Quando é Conhecido

Chamaremos Z2

o valor de Z tal que P Z Z

2

1

Antes, vamos ver como encontramos o valor de Z na tabela. Se =0,05

então usando a tabela, encontramos ___________________________.

Se = 0,01 então________________.

Para a população normal e conhecido temos que construir uma intervalo

em torno de x de tal forma que esse intervalo contenha o valor do parâmetro com confiança 1 .

Como: x

n

~ N(0;1) o intervalo que desejamos construir será:

P Zx

n

Z

2 2

1

P x Zn

x Zn

2 2

1

2º Caso: Quando é Desconhecido

Devemos adotar como estimativa o desvio padrão da amostra

1

2

1

n

xxs i

n

i

Somente substituímos “s” por , em amostras grandes (n>30) e usamos a

expressão . Para amostras pequenas devemos utilizar uma nova estatística

Tx

S n

/ que tem distribuição conhecida como t de Student com n-1 graus de


12

liberdade. Esta distribuição é parecida com a normal só apresenta caudas mais

“grossas”, ou seja, maior variância do que a normal. Aumentando-se n, a distribuição “t” tende para a normal.

O intervalo que desejamos construir será:

1,1,1

n

stx

n

stxP nn

Intervalo de Confiança para a Variância da População

Usaremos a estatística

2

22 1

sn que tem a distribuição chamada

“qui-quadrado”. O intervalo que desejamos construir será:

111

2

21,1

22

2

2,1

2

nn

snsnP

Intervalo de Confiança para Desvio Padrão da População

Como o desvio padrão é igual a raiz quadrada de 2

teremos:

111

2

21,1

2

2

2,1

2

nn

snsnP


13

Exemplos:

1) Considerando que uma amostra de 100 elementos extraída de uma população aproximadamente normal cujo desvio-padrão é igual a 2,0; forneceu média x 35 6, .Construir um intervalo de 95% de confiança para a média dessa

população.

2) Considerando uma amostra de 4 elementos extraídos de uma população com distribuição normal forneceu média x 8 2, e desvio padrão S=0,4. Construir um

intervalo de 99% de confiança para a média dessa população.

3) Um pesquisador deseja estimar, com 99% de confiança a média da força máxima de um certo músculo de um grupo de indivíduos. Ele considera que os valores da força muscular estão distribuídos normalmente com variância de 144. Com esta finalidade selecionou-se uma amostra aleatória de 15 indivíduos da mesma faixa etária e do mesmo peso e obteve-se que 3,84x . Qual é o

intervalo? R.( 76,3372; 92,2672)

4) Uma amostra de 11 elementos extraída de uma população com distribuição normal, forneceu variância S

2=7,08. Construir um intervalo de 90% de confiança

para a variância dessa população e para o desvio-padrão. Intervalo de Confiança para a Proporção da População Seja X o número de elementos de uma amostra de tamanho n que

apresentam a característica de interesse. Queremos estabelecer um intervalo de confiança para a proporção populacional p. Temos:

Média: n

Xp ˆ Desvio-padrão:

n

qpp

ˆˆˆ

O intervalo de confiança para p̂ será:

1

ˆˆˆ

ˆˆˆ

25,0

25,0 n

qpZpp

n

qpZpP


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Exemplos:

1) Examinam-se 98 animais, encontrando-se 53 infectados com determinado vírus. Construir um intervalo de 95% de confiança para a proporção populacional p de

animais infectados. 2) Entrevistam-se em uma cidade 1500 pessoas em idades de trabalho e constata-

se que 145 estão desempregadas. a) Estimar a taxa de desemprego com base nos dados.(0,097) b) Estabelecer um intervalo de 95% de confiança para a taxa populacional.

(0,082;0,112) 3) Em uma fábrica de tijolos, foi observado uma amostra de 1000 tijolos que acusou

290 com 6 furos. Construa um intervalo de confiança de 95% para a percentagem de tijolos 6 furos.


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Teste de Hipóteses Existe uma variável x em uma dada população. Tem-se uma hipótese sobre

dado parâmetro dessa população. Por exemplo, afirmamos que esse valor é um número 0 . Colhe-se uma amostra aleatória de elementos dessa população, e através dela deseja-se comprovar ou rejeitar tal hipótese.

Iniciamos explicitando claramente qual a hipótese que estamos colocando a prova e a chamamos de hipótese nula. No nosso caso:

H0 : = 0

Devemos também explicitar a hipótese que será considerada como aceitável, caso H0 seja rejeitada. A essa hipótese chamamos de hipótese alternativa, e a sua caracterização irá depender do grau de conhecimento que se tem do problema estudado. A alternativa mais geral seria:

H1 : 0 ou H1 : < 0 ou H1 : > 0

Qualquer que seja a decisão tomada, estamos sujeitos a cometer erros.

Tipos de Erros

1) Erro do tipo I - rejeitar a hipótese nula quando esta é verdadeira chamamos de a probabilidade de cometer este erro.

= P (erro do tipo I) = P (rejeitar H0 | H0 é V)

A probabilidade de cometer um erro da 1ª espécie é um valor arbitrário e recebe o nome de nível de significância do teste.

2) Erro do tipo II - não rejeitar H0 quando H0 é falsa. A probabilidade de cometer este erro é indicado por .

= P (erro do tipo II) = P (não rejeitar H0 | H0 é F)

O resultado da amostra é cada vez mais significante para rejeitar H0 quanto menor for esse nível .

Usualmente esses valores são fixados em 5%, 1%, ou 0,1%

O objetivo do teste de hipótese é dizer através de uma estatística obtida de uma amostra, se a hipótese H0 é ou não aceitável, isto é conseguido através de uma região RC. Caso o valor observado da estatística pertença a essa região, rejeitamos H0, caso contrário não rejeitamos H0.

Testes Unilaterais e Bilaterais

Normalmente estamos interessados apenas em valores extremos de um a de outro lado da média, isto é, em apenas uma “cauda” da distribuição, como por exemplo quando testamos a hipótese de que um processo é melhor que o outro.


16

Tais testes chamam-se testes UNILATERAIS.

Em tais casos a RC situa-se apenas em um lado da distribuição, com área igual ao nível de significância.

Testes de significância

O procedimento para realização dos testes de significância é resumido nos seguintes passos:

Enunciar as hipóteses H0 e H1;

Fixar o limite do erro , e identificar a variável do teste;

Com o auxílio das tabelas estatísticas, considerando e a variável do teste, determinar as RC (região crítica) e RA (região de aceitação) para H0;

Com os elementos amostrais, calcular o valor da variável do teste;

Concluir pela aceitação ou rejeição de H0 pela comparação do valor obtido no 4º passo com RA e RC.

1) Teste de significância para médias

H0: = 0

H1: uma das alternativas

0 (a)

> 0 (b)

< 0 (c)

Fixar . Admintindo-se 2 é desconhecida, a variável do teste será “t” de

Student, com parâmetro (n - 1)

Com auxílio da tabela “t” determinam-se RA e RC.

a b c

Cálculo do valor da variável

Mo = Md = Mo = Md = Mo = Md =


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tcal

n

s

x

onde: x = média amostral

0 = valor da hipótese nula

s = desvio-padrão amostral

n = tamanho da amostra

Conclusões

a) Se t t tcal

2 2 , não se pode rejeitar H0. Se t tcal

2 ou ,

t tcal

2 , rejeita-se H0

b) Se tcal < t, não se pode rejeitar H0. Se tcal > t, rejeita-se H0

c) Se tcal > t, não se pode rejeitar H0. Se tcal < t, rejeita-se H0

Em cada um dos casos anteriores, se for conhecido use a aproximação de S por , substituindo t por z:

Zcal = x

n

Exemplos:

1) Os registros dos últimos anos de um colégio, atestam para os calouros admitidos uma nota média 115 (teste vocacional). Para testar a hipótese de que a média de uma nova turma é a mesma, tirou-se, ao acaso, uma amostra de 20 notas, obtendo-se média 118 e desvio-padrão 20. Admitir que = 0,05, para efetuar o teste. Então...

2) Um teste de resistência à ruptura feito em seis cordas acusou resistência média de 3530Kg com desvio-padrão de 66Kg. O fabricante afirma que seu produto tem resistência média de 3650Kg. Pode-se justificar a alegação do fabricante, ao nível de significância de 5%. R.(Rejeita-se a hipótese)


18

2) Teste de significância para variâncias

H0: 2 = 0

2

H1: uma das alternativas

2 0

2 (a)

2 > 0

2 (b)

2 < 0

2 (c)

Fixar . Escolher a variável qui-quadrado com = (n - 1)

Com auxílio da tabela 2 determinam-se RA e RC.

a b c

Cálculo do valor da variável.

cal

n S2

2

0

2

1

( )

onde: n = tamanho da amostra

s2 = variância amostral

2 = variância populacional

Conclusões:

a) Se inf sup

2 2 2 cal , não se pode rejeitar H0. Se cal

2 2 sup ou cal

2 2 inf ,

rejeita-se H0.

b) Se cal

2 2 sup , não se pode rejeitar H0. Se cal

2 2 sup , rejeita-se H0.

c) Se cal

2 2 inf , não se pode rejeitar H0. Se cal

2 2 sup , rejeita-se H0.


19

Exemplos:

1) Para testar a hipótese de que a variância de uma população é 25, tirou-se uma amostra aleatória de 25 elementos obtendo-se S

2 = 18,3. Admitindo-se =

0,10, efetuar o teste de significância unicaudal à esquerda.

2) Um laboratório fez 8 determinações da quantidade de impurezas em porções de certo composto. Os valores eram: 12,4; 12,6; 12,0; 12,0; 12,1; 12,3; 12,5 e 12,7 mg.

a) Estimar a variância de impurezas entre porções.

b) Testar a hipótese de que a variância é 1, ao nível de 5% e 10%, contra H1:

2 < 1.

EXERCÍCIOS:

1) Um transportador entrega a uma adega 30 caixas, cada uma contendo três dúzias de garrafas de vinho. Sabendo-se que o volume médio do lote é 750ml por garrafa, com um desvio-padrão de 20ml, determine: a) o volume médio das garrafas de cada caixa; b) a probabilidade de uma caixa ter volume médio inferior a 740ml.

2). As estaturas de 24 recém-nascidos foram tomadas no Depto. de Pediatria da PUC, cujos resultados são em cm:

52 49 49 54 50 47 52 49 47 50 48 51

50 47 49 51 46 50 49 50 52 49 50 48 Resolva: a) Estimar a média e a variância; b) Construir um IC para a média sendo = 5%. c) Construir um IC para a variância da população sendo = 10%.

3) Sabemos que o peso das pessoas flutua naturalmente de um dia para outro. Determinar se a perda média de 370gr de peso representa um resultado significativo ao nível de 95%, ou seja se a perda média de peso é significativamente maior do que zero.(use o desvio-padrão de 980gr para um grupo de 33 pessoas).


20

4) Um pequeno produtor de queijo utiliza processos rudimentares em sua produção.

Um particular cliente deseja encomendar 200 peças do produto padronizadas em 1kg. Após a produção, para verificar se o lote produzido atende ao padrão desejado, selecionou ao acaso uma amostra de 15 peças que apresentou peso médio de 1,03Kg, desvio - padrão de 0,06Kg. Construa um IC de 95% para o peso médio das peças produzidas neste lote.

5) Para estimar o tempo médio de atendimento em um fast-food, um pesquisador

anotou o tempo gasto por 40 garçonetes para completar um pedido-padrão (dois hambúrguer, dois pacotes de fritas e duas bebidas). As garçonetes levaram, em média, 78, 4 segundos, com desvio-padrão de 13,2 segundos, para completar os pedidos. Tomando x =78,4, construir um intervalo de 95% de confiança para o verdadeiro tempo médio necessário para completar um pedido-padrão?

6) A confeitaria Hudson Valley fabrica sonhos que são embalados em pacotes com

a indicação de que há 12 sonhos pesando um total de 420 gramas. Se a variação entre os sonhos é muito grande, algumas caixas terão peso a menos (prejudicando o consumidor) e outras terão peso a mais (diminuindo o lucro). É claro que o consumidor não ficaria satisfeito com um sonho tão pequeno que só pudesse ser visto a microscópio, nem com um sonho tão grande que se assemelhasse a um pneu de trator. O supervisor de controle de qualidade constatou que esses problemas podem ser evitados se os sonhos tiverem um peso médio de 35,0 gramas e um desvio padrão de 0,6 ou menos. Selecionando-se aleatoriamente, na linha de produção, doze sonhos, que são pesados, dando os resultados em gramas:

35,8 35,0 36,8 36,1 34,2 35,2 36,6 35,0 33,6 34,2 36,2 34,9 Construa um intervalo de confiança de 95% para o desvio-padrão, e determine se o supervisor de controle está com problemas.

7) Para avaliar o peso médio de uma nova safra de limões, o administrador de uma fazenda obteve os pesos de 50 limões novos – presumivelmente uma amostra aleatória – encontrando uma média de 115,2 gramas, com desvio-padrão de 20,4 gramas. Construa um intervalo de confiança de 96% para a média populacional, tomando x =115,2. Construa um intervalo de confiança de 96% para a variância populacional.

8) O Departamento de R.H. de uma grande empresa verificou que os salários dos funcionários da área de produção são normalmente distribuídos. Uma amostra de 40 funcionários apresentou S

2 = 1600. Determine um intervalo de confiança de

95% para a variância populacional.

9) Quinze animais foram alimentados com uma certa dieta durante 3 semanas e verificou-se os seguintes aumentos de pesos:

25 30 32 24 40 34 37 33 34 28 30 32 38 29 31

Testar a hipótese de que a média é 30, sendo =10%.


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10) Para avaliar certas características de segurança de um remédio, um farmacêutico precisa saber se o tempo de reação do remédio a uma determinada situação de emergência tem desvio-padrão de 0,01 segundo, ou se é superior a 0,01 segundo. Se o farmacêutico obtém s=0,014 para uma amostra de tamanho n=15, qual é a sua conclusão ao nível de 0,05 de significância?.

11) Verificando o peso de certos comprimentos, encontramos 50 pesos com média de 5,622g e desvio-padrão de 0,068g. O Ministério da Saúde alega que o processo usado para fazer comprimidos dá um peso médio de 5,67g. Ao nível de 5% de significância, teste a afirmação de que o peso médio dos comprimidos em circulação é de 5,67g.

12) Maria, uma química, deve determinar, com base em uma amostra aleatória de tamanho 35n leituras, se o peso de certo produto é realmente 724gramas,

conforme registrado. O teste é feito ao nível de 0,05 de significância e, segundo uma pesquisa anterior, sabe-se que o desvio-padrão é 21 gramas. Qual será

sua decisão, se ela obtém o resultado 732x gramas? R. Rejeita-se Ho.

13) A fim de acelerar o tempo que um analgésico leva para penetrar na corrente sanguínea, um químico analista acrescentou certo ingrediente à fórmula original, que acusava um tempo médio de 43 minutos. Em 36 observações com a nova fórmula, obteve-se um tempo médio de 42 minutos, com desvio-padrão de 6 minutos. Suponha-se que a distribuição de tempos seja aproximadamente normal. O que se pode concluir, ao nível de significância de 5%, sobre a eficiência do novo ingrediente? (use 43 ). R. Aceita Ho.

14) Uma prova foi aplicada a duas turmas diferentes de farmácia. Na primeira,

composta por 45 alunos, obteve-se uma média de 7,5; com desvio-padrão de 7,9; na Segunda, constituída por 55 alunos, obteve-se uma média de 7,8; com desvio-padrão de 7,1. A um nível de significância de 5% pode-se afirmar que o aproveitamento das duas turmas é igual?

15) A rotina de encerramento do expediente diário de uma grande fábrica compreende

o resfriamento do maquinário, verificação dos interruptores elétricos e fechamento das grades de segurança. A gerência quer saber se o verdadeiro tempo médio para a execução dessas tarefas é de 40mim. Em uma amostra de 34 dias, os tempos de execução das tarefas acusam média de 42mim, com desvio-padrão de 2,1mim. Teste ao nível de 0,05 de significância, a hipótese.


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Referências

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Tabelas

Distribuição Normal Reduzida


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Distribuição t de Student


25

Distribuição Qui-quadrado

inferência 2014

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