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Inferência BásicaInferência Estatística: decidindo na presença de incerteza
Universidade Federal de Minas Gerais
Instituto de Ciências Exatas
Departamento de Estatística
Aula 10:
Testes de Hipóteses para Duas Médias em
Amostras Emparelhadas e Independentes
Introdução à Bioestatística – Turma Nutrição
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Comparação de Dois Grupos
Comparação de duas drogas, dietas, terapias, etc...
• Dois Novos Tratamentos
• Tratamento Novo com um Tratamento Padrão
• Tratamento com a Ausência de Tratamento
• Antes e Depois do Tratamento.
O melhor dentre dois tratamentos é aquele que:
• produz melhores resultados para a maioria da população,
ou seja, fornece os melhores resultados na média.
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Tipos de Planejamento
Amostras Independentes:
Temos duas amostras separadas, uma de cada população:
• Tratamento 1 é aos n1 indivíduos da primeira amostra;
• Tratamento 2 é aos n2 indivíduos da segunda amostra.
Amostras Dependentes (ou Emparelhadas ou Pareadas):
A amostra é constituída de n pares de indivíduos:
• Tratamento 1 é aplicado a um elemento do par;
• Tratamento 2 é aplicado ao outro elemento do par.
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Exemplo 1: amostras independentes
Um clínico suspeita que o fato de a mãe ter menos de 20 anos
de idade está associado com o nascimento de bebês com
baixo peso ao nascer (< 2500 gramas).
Ele selecionou aleatoriamente alguns registros de uma grande
maternidade e os dividiu em dois grupos:
Grupo 1: bebês de mães com menos de 20 anos e
Grupo 2: bebês de mães com mais de 20 anos.
Para cada bebê em cada grupo, observou a variável:
X: peso ao nascer (em gramas).
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Exemplo 2: amostra emparelhadas
Para comparar dois tipos de colírio (A e B) quanto à variável
“tempo para dilatar a pupila para o exame oftalmológico”,20 pacientes receberam um colírio em cada olho
n = 20 pares cada paciente é um par: (Olho D ; Olho E).
Par Colirio A
Tempo
Colírio B
Tempo
Diferenças
d = x - y
1 x1 y1 d1 = x1 - y12 x2 y2 d2 = x2 - y2M M M M
20 xn yn dn = xn - yn
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Exemplo 3: amostradas emparelhadas
Um pesquisador deseja verificar se o Captopril reduz a pressão sanguínea.
A PS X foi aferida antes e depois da aplicação da droga em 12 pacientes.
Tratamento 1: Ausência da droga (“Antes”)
Tratamento 2: Presença da droga (“Depois”)
n = 12 pares cada paciente um par: (Xantes, Xdepois).
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Consumo de chocolate amargo e redução na pressão arterial
Taubert, D. et al. (2007) Effects of Low Habitual Cocoa Intake on Blood Pressure and Bioactive Nitric
Oxide: A Randomized Controlled Trial, JAMA, July 4, 2007—Vol 298, No. 1
44 adultos com
hipertensão
arterial leve
Antes
Depois
18 semanas
Antes
Depois
18 semanas
22 - Chocolate
amargo
22 - Chocolate
branco
Exemplo 5: Múltiplos Planejamentos
Amostras
Pareadas
Amostras
Pareadas
Amostras
independentes
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Comparação de Duas Médias em Amostras Emparelhadas
Amostra com n pares de indivíduos:
• Tratamento 1 é aplicado a um elemento do par (medida x)
• Tratamento 2 é aplicado ao outro elemento do par (medida y)
Par Tratamento 1
x
Tratamento 2
Y
Diferenças
d = x - y
1 x1 y1 d1 = x1 - y12 x2 y2 d2 = x2 - y2M M M M
n xn yn dn = xn - yn
Médias populacionais (desconhecidas): μ1 e μ2 , μd = μ1 - μ2
Hipótese nula:
H0: μ1 = μ2
H0: μd = 0
sd = desvio-padrão das diferenças d = média das diferenças
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Hipótese Alternativa Valor-p
H1: μ1 < μ2 H1: md < 0 P(T(gl) < Tobs )
H1: μ1 > μ2 H1: md > 0 P(T(gl) > Tobs )
H1: μ1 μ2 H1: md 0 2xP(T(gl) >|Tobs|)
Comparação de Duas Médias em Amostras Emparelhadas
Estatística de Teste:
gl = n-1
Hipótese nula: H0: μ1 = μ2 H0: μ1 - μ2 = 0 H0: μd = 0
Rejeita-se a hipótese nula se valor-p < .
ns
dTd
obs
sd = desvio-padrão das diferenças
d = média das diferenças
n: número de pares na amostra
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Pressão sistólica (mmHg) em 12 pacientes antes e depois do Captopril.
O Captopril reduz a PS?
H0: μAntes = μDepoisH1: μAntes > μDepois
Valor-p = P(t11 > 6.4) < 0.0005.
Rejeita H0 ao n.s de 1%.
Conclui-se que o
Captopril reduz a PS.
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Exemplo: Capacidade Vital Forçada (litros) nas posições sentada e deitada.
A medição da CVF se
altera com a posição?
H0: μSenta = μDeitaH1: μSenta μDeita
Valor-p = 2P(t9 > 1,17) está entre 0.20 e 0.30.
Não se rejeita H0 ao n.s de 5%.
Conclui-se que não há diferença
na medição da CVF entre as
posições sentado e deitado.
Valor-p > 0.05.
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Consumo de chocolate amargo e
redução na pressão arterial*
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2.9 0-8.50
1.6 22obsT
Grupo “chocolate amargo”
Valor-p = 2.P(t21 > |-8.50|) < 2.(0.0005) ou seja, valor-p< 0.001.
A pressão sistólica média antes e 18 semanas depois do consumo
de chocolate amargo são diferentes.
μ: média da pressão sistólica
H0: μDepois – μAntes = 0
H1: μDepois – μAntes ≠ 0
= 0.05
Rejeita H0 ao nível de significância de 5% (valor-p < 0.05).
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0.1 0 0.29
1.6 22obsT
Valor-p = 2.P(t21 > |0.29|) > 2.(0.30) ou seja, valor-p > 0.60.
Grupo “chocolate “branco”
μ: média da pressão sistólica
H0: μDepois – μAntes = 0
H1: μDepois – μAntes ≠ 0
= 0.05
A pressão sistólica média antes e 18 semanas depois do consumo
de chocolate branco são iguais.
Não se rejeita H0 ao nível de significância de 5% (valor-p > 0.05).
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μ1 ≠ μ2
σ1=σ2=σ
Comparação de duas Médias
Amostras Independentes
Médias Populacionais (desconhecidas): μ1 e μ2 , μd = μ1 - μ2
Hipótese nula: H0: μ1 = μ2 H0: μ1 - μ2 = 0 H0: μd = 0
Suposição: as amostras dos
grupos 1 e 2 vêm de populações
com distribuição Normal com
desvios-padrão iguais.
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Amostras Grupo 1 Grupo 2
Tamanho n1 n2
Média
Desvio-Padrão s1 s2
s1 e s2 são combinados para estimar o desvio-padrão comum σ:
x y
snsns
nncomb2112222
12
11
2
()()
Hipótese nula: H0: μ1 = μ2 H0: μ1 - μ2 = 0 H0: μd = 0
Hipótese alternativa: H1: μ1 ≠ μ2 H1: μ1 - μ2 ≠ 0 H1: μd ≠ 0
ou H1: μ1 < μ2 H1: μ1 - μ2 < 0 H1: μd < 0
ou H1: μ1 > μ2 H1: μ1 - μ2 > 0 H1: μd > 0
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Hipótese Alternativa Valor-p
H1: μ1 < μ2 H1: md < 0 P(T(gl) < Tobs )
H1: μ1 > μ2 H1: md > 0 P(T(gl) > Tobs )
H1: μ1 μ2 H1: md 0 2xP(T(gl) >|Tobs|)
Comparação de Duas Médias em Amostras Independentes
Estatística de Teste:
,11
21
2
nns
yxT
comb
obs
2
)1()1(
21
2
22
2
112
nn
snsnscomb
com
gl = n1 + n2 - 2
Hipótese nula: H0: μ1 = μ2 H0: μ1 - μ2 = 0 H0: μd = 0
Rejeita-se a hipótese nula se valor-p < .
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Tabela 2 do artigo
(Taubert et al, 2007)
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H0: μB = μA
H1: μB ≠ μA
= 0.05
Não se rejeita H0 ao nível de significância de 5% (valor-p > 0.05).
As taxas médias de colesterol total no início do estudo são iguais
nos dois grupos (chocolante amargo e branco).
Valor-p = 2 x P(t42 > |Tobs|) = 2 x P(t42 > 0.23) [Vide próximo slide]
P(t42 > 0.23) P(t40 > 0.23) > 0.40
Valor-p > 2(0.40) = 0.80.
As médias de colesterol total
são iguais nos dois grupos?
μB: média de colesterol total na população do grupo chocolate branco
μA: média de colesterol total na população do grupo chocolate amargo
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P(t42 > 0.23) P(t40 > 0.23) > 0.40