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TRANSCRIPT
Ingo Rechenberg
PowerPoint-Folien zur 6. Vorlesung „Bionik I“
Bionik auf dem mathematischen Prüfstand
Optimallösungen als Ergebnis der Evolution
Der kubisch paraboloide Baumstamm
20
15
10
5
00 5 10
Höh
e / m
R adius / cm
K ubische P arabel
2 ry
P
Theorie „Träger gleicher Festigkeit“
3)( ykyr
Form eines Kiefernstamms aus dem Tegeler Forst
Solarbetriebener CO2-Sammler
Mast
Materialminimierung:
3zul )(/4)( yPyr
Höchster Baum in Deutschland: Douglasie 63,33 m im Freiburger Stadtwald
Höchster Baum in der Welt: Mammutbaum 115,5 m im Redwood Nationalpark in Kalifornien
Wind
Nur Formvergleich möglich, da genaue Belastungsdaten fehlen.
Das Dritte-Wurzel-Gesetz der Blutgefäße
Arterienzweig Kapillare Gewebe Vene
Kleine VeneArteriole
Gefäßart Durchmesser D [mm] Anzahl
Aorta 10 1
Große Arterien 3 40
Arterienäste 1 600
Arterienzweige 0,6 1800
Arteriolen 0,02 40 000 000
Kapillaren 0,008 1 200 000 000
Vermessung des Blutgefäßsystems eines 13 kg schweren Hundes
Das Blutgefäßsystem als hydraulisches Fördernetz
Erfindung des Herz-Lungen-System in der Evolution
Aorta
Arterienäste
10 10 103 96 z
5%+-
Große Arterien
Arterienzweige
Arteriolen
Kapillaren
10
1
0.1
0.01
100
Dmm
3 /10 zDDi
Gesetz der Verzweigung von Blutgefäßen
Genauigkeit !
Gehirnzellen
Beinmuskeln
Armmuskeln
Herzantrieb
Blutneubildung
Mensch 10 000 kJ
a b
Pumpleistung Herz [kJ] groß klein
Neubildung Blut [kJ] klein groß
a b
Zwei Entwürfe für eine Rohrverzweigung
3 000 000 Blutkörperchen/s
Energiebilanz
Herzpumpe
(20 %)
Qualitätsfunktion: dungBlutneubilHerzpumpe Zeit
brauchEnergieverZeit
brauchEnergiever
F
Gesetz von Hagen-Poiseuille
4128
DQlp
n
i
n
iiii VkQpF
0 1ges
p
D Q
QpvFp
Mengenstrom / m3/s
smmNk 3: Blutbildungsarbeit
Kubikmeter · Sekunde
opfenStrömungspropfenStrömungsprHerzpumpe gkeitGeschwindiKraft F
RohrVkdungBlutneubil nRohrvolumeF
n
i
n
iiii VkQpFF
0 0ges
n
i
n
iiii VkkVQpQpF
1 1000
Minimierungsproblem:
D0 D i
MinDlkDklQD
QlQ
DQl
Fn
iii
n
i
ii
ii
1
2200
1404
0
00 128128
MinDlkDklQD
QlQ
DQl
Fn
iii
n
i
ii
ii
1
2200
1404
0
00 128128
Wir bilden nach den Regeln der Extremwertfindung einer Funktion:
00
DF 0
iD
F ni ,2,1
Die Gleichungen lassen sich elementar nach D0 und Di auflösen
2
206
01024
kQ
D
2
26 1024
kQ
D ii
ni ,2,1
300 // QQDD ii
D
0
0
D
D
D
300 // QQDD ii
Für vorgegebene Anfangswerte D0 und Q0 hängt der optimale Durchmesser
Di eines jeden Rohrzweiges nur von seiner eigenen Durchflussmenge ab!
Q z0Q03
01 /1/ zDD Q1
Beispiel:
Aorta
Arterienäste
10 10 103 96 z
5%+-
Große Arterien
Arterienzweige
Arteriolen
Kapillaren
10
1
0.1
0.01
100
Dmm
3 /10 zDDi
Es existieren z Blutgefäße gleichen Durchmessers, durch die der gesamte Blutstrom hindurchfließt.
Bedingung für die Lösung:
Optimale Blutgefäßverzweigung
Hund - Mensch - Theorie
10 10 103 96 z
30 /1 zDDi
10
1
0.1
0.01
100
Dmm
Hund arterielles System
Mensch arterielles System
Mensch venöses System
Hydraulik des Hämatokrits
v
v
a
b
BlutzellenvolumenGesamtvolumenHämatokrit H =
Ist die Lösung a besser als b oder ist b besser als a ?
Zwei Lösungen für eine hydraulische Förderung von Blutkörperchen
Hoptimal = 43,3%
HMann = 42 – 50%
HSchaf = 32%
HSchwein = 41%
(eine mathematische Lösung)
Zur Messung des Blutzellen-Volumenstroms
Zeit
Künstliche H-Werte
HFrau = 37 – 45%
Optimaler
Blutkörperchenstrom
Schwein
H = 41%Evolution
Hämatokrit H
1,5
1,0
0,5
0%0 10 3020 40 6050
Blu
t ze l
lens
trom
%
Schaf
H = 32%Evolution
Blu
t ze l
lens
tro m
1,0
0,5
00
10 3020 40 6050
Hämatokrit HDie über 35 Jahre alten Messungen wurden
noch nicht verifiziert. - Deshalb Vorsicht!
Geometrie der Bienenwaben
Dumme Gärtner Schlaue Gärtner
g
v v
b
max22 vg
120optfür
134,022
bvg
g
g
g
b
Eingesparte Strecke
Hinzugefügte Strecke
Vom Angrenzungsproblem in 2 Dimensionen zum Angrenzungsproblem in 3 Dimensionen
Am Boden der sechseckigenZellen der Bienenwabe siehtman die versetzt angeordnetenZellwände der Gegenseitedurchscheinen.
Das Angrenzungsproblem in 3 Dimensionen
Das Angrenzungsproblem
Gartenzaun
Bienenwabe
Zelle von Fejes Tóth
Bienenwabe
Gewinn = 0,035% gegenüber der Lösung der Evolution
9 Kanten !
14 Kanten !
László Fejes Tóth (1915 – 2005)
Shakespeare stellt Richard den Dritten als zu kurz geraten und von klumpiger Missgestalt hin. Hatte König Richard dadurch, dass er klein war, beim Kampf in vollerRitterrüstung Vorteile ?
Die Rüstung Richard des
Dritten
Vorteil der Kleinheit: Die an die Körperoberfläche angepasste Ritterrüstung ist leichter ?
Vorteil der Größe: Das Gewicht der an die Körperoberfläche angepassten Ritterrüstung wächst proportional zum Quadrat der Größe, die Muskelkraft aber proportional zur dritten Potenz (Volumen) der Größe des Ritters ?
Gleiche Vor- und Nachteile: Das Gewicht der an die Körper-oberfläche angepassten Ritterrüstung wächst proportional zur Oberfläche, die Muskelkraft wächst auch nur proporti-onal zu seiner Querschnittsfläche und nicht zum Volumen ?
Über Größe und Leistung
Der große Ritter stirbt an einem Hitzschlag !
Eine Science-Fiction-Geschichte
Planet der Halslinge
Gliese 581 (in Sternbild Waage)
Gliese 581g
Text
Magnesium
Osmium
Evolution auf dem Evolution auf dem extrasolaren Planetenextrasolaren Planeten
2210
Erdlinge
Riesen-Halsling
Großer Halsling
Gemeiner Halsling
Kleiner Halsling
Zwerg-Halsling
Vermessung der extraterrestrischen Halslinge
Halslänge = 60,0 m Halsgewicht = kg 4522000 Kopfgewicht = 20340000 kg
Halslänge = 12,0 m Halsgewicht = kg 16180 Kopfgewicht = 162700 kg
Halslänge = 5,0 m Halsgewicht = 755,3 kg Kopfgewicht = 11770 kg
Halslänge = 1,0 m Halsgewicht = 2,702 kg Kopfgewicht = 94,17 kg
Halslänge = 0,30 m Halsgewicht = 0,040 kg Kopfgewicht = 2,542 kg
plump
grazil
010 210 410 810
-210
010
20
40
710
kg
kg610
Zwerg-Halsling
Kleiner Halsling
Gemeiner Halsling
Großer Halsling
Riesen-Halsling
Kopfgewicht
Ha
lsg
ew
ich
t
1
1Anstieg = 7/6
Allometriegesetz der extraterrestrischen Halslinge
Es gilt ein 7/6-Potenzgesetz
!
Allometriegesetz der terrestrischen Wirbeltiere
-210 010 210 410kg
-210
010
210
410
kg
Anstieg = 7/6
Sk
ele
ttg
ewic
ht
S
Lastgewicht L
Elefant
MenschHund
Katze
Kaninchen
Ratte
Maus
Es gilt ein 7/6-Potenzgesetz
!
S L7/6
Katze Elefant
Skelett von Katze und Elefant auf die gleiche Größe gebracht
plumpgrazil
010 210 410 810
-21 0
01 0
20
40
71 0
k g
k g610Kugellast L
Trä
ge
rgew
ich
t G
1
1Anstieg = 7/6
60 m
12 m
5 m
0 ,3 m
1 m
Theorie für minimales Trägergewicht bei gleicher
relativer Durchbiegung (Steifigkeit)
G L7/6
Das technische Problem: Links eingespannter
Balken mit Kugelgewicht
rKugel lBalken
Auf dem Planeten Gliese 581g existieren auch die Hüpflinge
Riesenhüpfling Gemeiner Hüpfling Zwerghüpfling
2
43
64ulerE
l
dEP
Aus & KopfKopfKopfEuler VgPP
KopfKopf 2
43
64 gldE
V
Optimale Auslegung der Hüpflingsarten auf dem extrasolaren Planeten
3
34
Kopf rV ldV 2
4Bein lr Es kommen die Gleichungen hinzu:
6/72/1
4
3/2
KopfKopf
Bein 438
VE
gV
P
l
r
dEuler Knickung
l variabel lr
6/7KopfBein VV
Osmium
Hüpfling
Magnesium
Bemessungsoptimierung
Kritische Last
Isometrie
Allometrie
Beltistometrie
(gleich)
(anders)
(bester)
Mit gleichem Maß
Mit anderem Maß
Mit bestem Maß
Was ist Beltistometrie ?
Oder: Ein beltistometrisches Diagramm zeigt (quantitativ) die optimierte Eigenschaft eines Konstrukts, wenn dieses seine Größe ändert.
Beltistometrie (mit bestem Maß)
Definition:
Die Eigenschaft eines Objekts (Leistung, Stoffumsatz, Geschwindigkeit, Materialstärke usw.), die optimiert wurde, wird über der Größe des Objekts aufgetragen. Ist der Zusammenhang nicht trivial (z. B. isometrisch bzw. proportional), wird die sich ergebende Gesetzmäßigkeit Beltistometrie genannt.
Elen-AntilopeWasserbock
Weißschwanzgnu
SpringhaseSuniböckchen Gazelle
Löwenjunges
AntilopeGinsterkatzeZebramungo
Rattenkänguruh
Zwergmungo
Eichhörnchen
Zwergmaus
Körpergewicht10 10 10 10 10 10-3 -1-2 0 1 2 3kg10
10-1
100
101
102
103
ml/s
Sau
ers
toffv
erb
rauc
h
Anstieg = 4/5
10-2
Sulzer RD-90Cooper Bessemer V-250
NordbergDaimler-Benz 609
Allison V-1710
Chrysler 340
Continental C115
Lycoming GO-290AHonda 450
McCulloch M2-10
Enya 60-4C
Webra Speedy
Anstieg = 4/5
Motorgewicht
10
10 10 10 10 10 10-1 10 2 3 4 5kg
Lu
ftdu
rchs
atz
0
101
102
103
104
l/s
10
Von der Zwergmaus zur Elenantilope
Vom Modellflugmotor zum Schiffsdiesel
BeltistometrieAllometrie
MAN-Schiffsdiesel mit 22 000 kW Leistung
Modellflugdiesel mit 0,31 kW Leistung
Vergleich von Leistung und Gewicht:
Großdiesel für Kreuzfahrtschiff: Gewicht: 250 Tonnen
Leistung: 22 000 kW
Kleinstdiesel für Flugmodell: Gewicht: 237,5 g
Leistung: 0,99 kW
1 000 000 Modellflugdiesel wiegen so viel wie ein Schiffsdiesel.
Sie leisten zusammen 1 000 000 kW.
Das ist 45-mal mehr als der Großdiesel !
Eine Weberameise kann das 40-fache ihres Eigengewichts tragen.
Ein Mensch mit 80 kg Körpergewicht müsste dann 3,2 Tonnen schultern.
Blattschneiderameise
Weberameise
Aber: Der beltistometrische Zusammenhang sieht anders aus!
Eine 6 mm große Schaumzikade kann 70 cm hochschnellen.
Ein 1,80 m großer Mensch sollte dann 210 m hoch springen können.
Aber: Der beltistometrische Zusammenhang sieht anders aus!
Schaumzikade
Em
il R
echs
tein
er
Die Schaumzikade hält den Weltrekord im Insekten-Hochsprung. Sie beschleunigt beim Absprung mit 400 g.
Aus dem Guinness Buch der Tierrekorde: Die schnellste Spinne der Welt
Die Hausspinne (Tegenaria atrica) erreichte bei einer Reihe von Experimenten, die 1970 in Großbritannien durchgeführt wurden, über kurze Distanzen eine Geschwindigkeit von 1,9 km/h. Dies ist außerordentlich schnell, wenn man bedenkt, dass die Spinne in nur 10 Sekunden eine Strecke zurücklegte, die dem 330fachen ihrer Körperlänge entsprach.
Dann müsste ein 2 Meter großer Mensch in 10 Sekunden …
Ende
www.bionik.tu-berlin.de
Gliese 581 g ist ein Exoplanet, der den roten Zwerg Gliese 581 umkreist. Der Planet liegt im Sternbild Waage, etwa 20,4 Lichtjahre (etwa 193 Billionen Kilometer) entfernt von der Erde.
Gliese 581 g besitzt etwa einen 1,2- bis 1,4-fachen Erddurchmesser und die 3- bis 4-fache Erdmasse, seine Umlaufzeit beträgt etwa 36,6 Tage. Gliese 581 g besteht möglicherweise aus Stein und hat genug Masse, um eine Atmosphäre zu halten. Er liegt in der habitalen Zone, verfügt also potentiell über flüssiges Wasser. Die Durchschnittstemperatur wird auf etwa −30 bis −12 °C geschätzt.