instituto tecnológico de saltillo Álgebra lineal m.c. ignacio dávila ríos

Instituto Tecnológico de Saltillo

Álgebra Lineal

M.C. Ignacio Dávila Ríos

Periodo Enero - Junio 2013

Temario:

Unidad I. Los Números Complejos.

Unidad II. Matrices y Determinantes.

Unidad III. Sistemas de Ecuaciones Lineales.

Unidad IV. Espacios Vectoriales.

Unidad V. Transformaciones Lineales.

Ing. Ignacio Dávila Ríos

Unidad I. Números Complejos.

Competencias a desarrollar:

Manejar los números complejos y las diferentes formas de representarlos, así como las operaciones entre ellos para tener una base de conocimiento a utilizar en ecuaciones diferenciales y en diferentes aplicaciones de ingeniería.


Unidad I. Números Complejos.

1.1 ¿Cuáles son los números complejos?

En Cálculo Diferencial e integral se hizo uso de una gama de números, llamados Números Reales, que son:

Los Números Racionales y los Irracionales y los Racionales a su vez se dividen en Naturales y Enteros.


Los Números Complejos.

Para Álgebra Lineal se hará uso además de estos números los también llamados Números Complejos, o también conocidos como Números Imaginarios.

¿Cuáles son los Números Complejos o de donde provienen?


Considere el problema de encontrar las raíces de los polinomios

𝑎𝑥 2+𝑏𝑥+𝑐=0

Para encontrar las raíces, se utiliza la fórmula cuadrática y se obtiene

𝑥1,2=−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎


En esta ecuación se puede dar uno de tres posibles casos

Caso 1. Si existen dos raíces reales.

𝑥1,2=−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎




Caso 1. Si existen dos raíces reales.

𝑥1,2=−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎𝑏2−4𝑎𝑐



Ejemplo 1: Encuentre la o las raíces del siguiente polinomio, si es que las hay.

𝑥2+5 𝑥+6=0

𝑎=𝑏=𝑐=¿



𝑥2+5 𝑥+6=0

𝑎=𝑏=𝑐=¿

𝑥1,2=−5±√¿¿ ¿𝑥1,2=

−5±√25−242

𝑥1,2=−5±√12



𝑥2+5 𝑥+6=0

𝑎=𝑏=𝑐=¿

𝑥1,2=−5±12

𝑥1=−5+12

𝑥2=−5−12

𝑥1=−52

+12𝑥2=

−52−12

𝑥1=−2 3



Caso 2. Si se obtiene una sola raíz (de multiplicidad 2a)

𝑥1,2=−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎




Caso 2. Si se obtiene una sola raíz (de multiplicidad 2a)

𝑥1,2=−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐





Caso 3. Para manejar el caso que se introduce la unidad imaginaria. Esto porque no existen las raíces negativas.

𝑥1,2=−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎




Caso 3. Para manejar el caso que se introduce la unidad imaginaria. Esto porque no existen las raíces negativas.

𝑥1,2=−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐





𝑥2+2𝑥+5=0

𝑎=𝑏=𝑐=¿



𝑥1,2=−2±√−16

2

𝑥2+2𝑥+5=0

𝑎=𝑏=𝑐=¿

5


El problema se presenta cuando el radicando se hace negativo o su valor es menor que cero.

Unidad imaginaria. Que esta dada por la siguiente expresión:

𝑥1,2=−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐


𝒊=√−𝟏Y proviene del hecho de que:

𝒊𝟐=−𝟏


Entonces si y para valores de se tiene que:

√𝑏2−4𝑎𝑐=¿

Y las dos raíces de la fórmula cuadrática para valores de serían:

𝑥1=−𝑏2

+ √4 𝑎𝑐−𝑏22

𝑖 𝑥2=−𝑏2− √4𝑎𝑐−𝑏2

2𝑖

√(4 𝑎𝑐−𝑏2)(−1)=¿√ (4𝑎𝑐−𝑏2 ) ∙ 𝑖2=¿√(4 𝑎𝑐−𝑏2)∙ 𝑖


Regresando al ejemplo 2 donde y que en este caso el resultado es podemos expresarlo como sigue:

𝑥1=−2+4 𝑖2

√−16=√(16)(−1)=√16√−1=4 𝑖

𝑥2=−2−4 𝑖2

𝑥1=−1+2 𝑖 𝑥2=−1−2 𝑖


Un número complejo es una expresión de la forma:

𝑧=𝛼+ 𝑖 𝛽

Donde son números reales.

A se le denomina la parte real de z, (Re z).

A se le denomina parte imaginaria de z, (Im z).

En ocasiones a esta representación se le denomina forma cartesiana o rectangular del número complejo.


Regresando al ejemplo 2 tenemos dos raíces complejas, que son:

𝑥1=¿ 𝑥2=¿−1+2𝑖 −1−2 𝑖

Números Complejos


𝑧=𝛼+ 𝑖 𝛽

Si el valor de entonces es decir un número real.

Por tanto podemos decir que el conjunto de los números reales es un subconjunto de los números complejos


Ejemplo 3. Sean y

Calcular:

a) , b) c)

Los números complejos se pueden sumar y multiplicar usando las reglas normales del álgebra.


Ejemplo 3(a). Sean y

Calcular:

a)

𝑧+𝑤=¿(2+3 𝑖 )+ (5−4 𝑖 )=¿(2+5 )+(3 𝑖−4 𝑖 )=¿7−𝑖


Ejemplo 3(b). Sean y

Calcular:

b)

3𝑤−5 𝑧=¿(15−12 𝑖 )− (10+15 𝑖 )

(15−10 )+(−12 𝑖−15 𝑖 )=¿5−27 𝑖

3𝑤=3 (5−4 𝑖 )=15−12 𝑖5 𝑧=5 (2+3 𝑖 )=10+15 𝑖


Ejemplo 3(c). Sean y

Calcular:

c)

10−8 𝑖+15 𝑖−12 𝑖2=¿

𝑧 ·𝑤= (2+3 𝑖 ) ·(5−4 𝑖)=¿(2 ) (5 )+(2 ) (−4 𝑖 )+ (3 𝑖 ) (5 )+(3 𝑖 ) (−4 𝑖 )=¿

10+7 𝑖+(−12) (−1 )=¿22+7 𝑖


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Realizado por: M.C. Ignacio Dávila Ríos

Enero 2013

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