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Instrumentação
5ª. aula
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Características Dinâmicas
Modelo Matemático generalizado de um sistema de medida
O modelo matemático mais usado é a “Equação diferencial linear ordinária com coeficientes constantes”
Assume-se que a relação entre qq entrada qi e a saída q0 pode, sob adequadas hipóteses simplificadoras, ser colocado na forma:
iiim
m
mim
m
mn
n
nn
n
n qbqdt
dbq
dt
dbq
dt
dbqaq
dt
daq
dt
daq
dt
da 011
1
1000101
1
10
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Modelo Matemático O modelo proposto é amplo pois uma eq. diferencial
permite descrever qq. função. No entanto podemos usar uma simplificação mantendo a funcionalidade:
)(000101
1
10 tfqaqdt
daq
dt
daq
dt
da
n
n
nn
n
n
Em que: q0 é a variável para a qual se quer a solução
qi é a variável independente, usualmente o tempo t (s)
an são os coeficientes e representam parâmetros do
sistema ou relações entre eles. f(t) é a função que faz o sistema reagir e é
denominada função perturbadora
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Método clássico de solução da Equação diferencial
Solução:
q0 = qp + qh
Em que: qp = Solução particular ou regime permanente,
depende da função perturbadora. qh = Solução homogênea ou transiente, não
depende da função perturbadora e sempre pode ser encontrada.
Estas soluções são encontradas de forma independente .
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Solução transiente
É a solução da equação:
0000101
1
10
qaqdt
daq
dt
daq
dt
da
n
n
nn
n
n
Fisicamente corresponde à reação livre do sistema quando recebe algum estímulo externo.
A solução terá n constantes a determinar, e inicia-se pela solução da equação característica:
0011
1 aDaDaDa nn
nn
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Solução transiente
Polinômio de ordem n terá n raízes (ri , i=1,n) que podem ser reais ou complexas. Cada raiz real não repetida colabora com uma parcela
da solução homogênea:
trihi
ieCq .. Cada raiz real repetida p vezes, colabora com p
parcelas da solução homogênea:
trppiiiihi
ietCtCtCCq .1)1(
2210 .
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Solução transiente Cada par de raízes complexas, rci = a ± b.i, não
repetidas, colabora com uma parcela da solução homogênea:
)(. . btseneCq taicih
Em que Ci e Φ são constantes a determinar, e b sempre positivo
Cada par de raízes complexas repetidas p vezes, colabora com p parcelas da solução homogênea:
)()(..)(. 1.1
)1(1.
10.
0
ptap
pita
ita
ihi btsenetCbtsenetCbtseneCq
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Solução transiente A solução transiente será a soma de todas as soluções parciais
devidas a cada raiz obtida.
trppiiii
ietCtCtCC .1)1(
2210 .
)(.. .. btseneCeCq tai
trih
i
)()(..)(. 1.1
)1(1.
10.
0
ptap
pita
ita
i btsenetCbtsenetCbtseneC
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Solução de Regime Permanente Quando a função perturbadora tiver número
finito de derivadas, por ex.: f(t) = 3x2 + 5x + 4 D f(t) = 6x + 5 D2 f(t) = 6 D3 f(t) = 0 portanto 2 derivadas (finito) Ou f(t) = 3.sen(5 x) D f(t) = 15.cos(5 x) D2 f(t) = -75.sen(5 x) portanto 1 derivada(finito)
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Solução de Regime Permanente
A solução particular será uma combinação linear da função perturbadora e suas derivadas. Do 1º exemplo: qp = A.x2 + Bx + C
Do 2º exemplo: qp = A.sen(5x) + B.cos(5x)
Em que A, B , C etc. são constantes a determinar.
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Exemplo
Encontrar uma solução completa para um sistema sujeito às condições de contorno:
t = 0 y = 0 t = 2 y = 10
32
2
365 tydt
dy
dt
yd
Solução transiente:
Raízes da equação característica: r1 = 2 e r2 = 3tt
h eCeCy .32
.21 ..
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Solução de regime permanente: f(t) = 3.t 3 ┐ Df(t) = 9.t 2 │ yp = At 3 + Bt 2 + Ct + D D2f(t) = 18.t │ D3f(t) = 18 ┘ Substituindo na equação completa:
32323
2
232
3)(6)(
5)(
tDCtBtAtdt
DCtBtAtd
dt
DCtBtAtd
323 3)652().6106().615(6 tDCBtCBAtBAAt
3232 3)(6)23(5)26( tDCtBtAtCBtAtBAt
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Da igualdade de polinômios 6.A = 3 -15.A + 6.B = 0 6.A -10.B + 6.C = 0 2.B – 5.C + 6D = 0
e então: A = ½, B = 5/4, C = 19/12 e D = 65/72 então:
7265
12192
453
21 ttty p
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Solução Geral
7265
12192
453
21.3
2.2
1 .. ttteCeCy tt
É a soma das duas soluções parciais obtidas:
Os valores de C1 e C2 são obtidos pelas condições de contorno:t = 0 y = 0C1 + C2 = -0,902778t = 2 y = 1054,598 C1 + 403,429 C2 = -3,06944
C1 = -1,03526
C2 = 0,1325
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Solução
7265
12192
453
21.3.2 .1325,0.03526,1 tttee tt
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Sistema mecânico de medida de nível
Verificar as características dinâmica de um sistema de medida de nível com bóia cilíndrica de área Ab.
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Hipóteses simplificadoras
Amortecedor Fam = - B. V
Boia Força na bóia é a força de empuxo Fb = .Ab.(h - x)
Transdutor não oferece resistência
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Equacionamento
2ª Lei de Newton Femp + Fam = Mb.a
ou .Ab.(h - x) - B. V = Mb.a
hAxAdt
dxB
dt
xdM bbb ......
2
2
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Análise
Como nosso sistema responde à variação do nível da água?
Teste com entradas padrões Função degrau Função rampa Resposta de frequência (função senoidal)
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Função degrau
t < 0 h = h0
t ≥ 0 h = hs
x,h
t
hs
h0
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Função
t < 0 h = h0
t ≥ 0 hs = h0 + m.t
x,h
t
hs = h0 + m.t
h0