instrumentação e análise de sinais
TRANSCRIPT
EQUAÇÕES DE TRANSPORTE DE MASSA, QUANTIDADE DE MOVIMENTO E ENERGIA DE UM FLUIDO
SEM0551 Fenômenos de Transporte
Paulo Seleghim Jr.Universidade de São Paulo
Preâmbulo: mecanismos de transferência de calor por convecção...
Calor →
Condução
Convecção →
Radiaçãotransporte de
energia térmica
Acoplamento entre dois fenômenos: escoamento de um fluido e transferência de calor
Escoamento de materiais elásticos e fluidos...
Força
aplicada
Reação
material
fluido
= deformação
t=
deformação taxa de deformação
Escoamento de materiais elásticos e fluidos...
→= t )(F =
x
y
alta pressão
0yy
u
=
x
baixa pressão
0y
hyp
xy
u
=
= Fluido newtoniano
(modelo reológico)
Reômetro rotativo para medição da viscosidade...
controlador de
temperatura
controlador
de rotação
medidor
de torque
amostra
tensão de
cisalhamento
taxa de
deformação
newtonian
Bingham
shear
thinning
shear
thicknning
Newtoniano: água, óleo, glicerina e gases
submetidos a taxas de deformação
moderadas
Bingham: passam a escoar acima de uma
determinada tensão de cisalhamento (tinta
e dentifrício)
Pseudoplástico: (shear-thinning) escoam mais
facilmente sob altas tensões de cisalhamento
Dilatante: (shear thickenning) tornam-se
progressivamente mais resistentes na medida
em que o cisalhamento aumenta (fluidos de acoplamento, água e amido, etc.)
Banzé no
Oeste (1974)
]D~
[fT~=
Equações governantes do movimento de um fluido...
Abordagem euleriana (volume de controle):
1) Inventário de massa
2) Inventário de quantidade de movimento
3) Inventário de energia
campo de escoamento
fluxo líquido de
entrando...
fluxo líquido de
saindo...
taxa de variação
de no VC- =
Expressão geral dos inventários:
Inventário de massa... (incompressível e regime permanente)
x
y
u dxx
uu
+
v
dyy
vv
+
1dydx
++ dxvdyu
0dxdyy
vvdydx
x
uu =
+−
+−
Inventário de massa... (incompressível e regime permanente)
x
y
u dxx
uu
+
v
dyy
vv
+
1dydx
++ dxvdyu
0dxdyy
vvdydx
x
uu =
+−
+−
0y
v
x
u=
+
Inventário de massa... (incompressível e regime permanente)
x
y
u dxx
uu
+
v
dyy
vv
+ ++ dxvdyu
0dxdyy
vvdydx
x
uu =
+−
+−
0y
v
x
u=
+
Considerando 3D...
0z
w
y
v
x
u=
+
+
0U =
Equação da
continuidade,
independente de
coordenadas
1dydx
Inventário de massa... (incompressível e regime permanente)
x
y
u dxx
uu
+
v
dyy
vv
+ ++ dxvdyu
0dxdyy
vvdydx
x
uu =
+−
+−
0y
v
x
u=
+
Considerando 3D, compressível e transiente...
Equação da
continuidade,
independente de
coordenadas
0)U(t
=+
1dydx
Inventário de quantidade de movimento...
x
y
z
zx
zy
zz
P
yx
yy
yz
xxxz
xy
=
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxxdef
T~
Inventário de quantidade de movimento...
xx amF =
dt
dy
y
u
dt
dx
x
u
dt
duax
+
==
y
uv
x
uu
dt
duax
+
==
Inventário de quantidade de movimento...
xx amF =
dt
dy
y
u
dt
dx
x
u
dt
duax
+
==
y
uv
x
uu
dt
duax
+
==
Inventário de quantidade de movimento...
x
y
P dxx
PP
+
dyy
+
1dydx
dydxx
Pdxdy
yFx
−
=
dxdyx
P
yFx
−
=
Inventário de quantidade de movimento...
x
y
P dxx
PP
+
dyy
+
1dydx
dydxx
Pdxdy
yFx
−
=
dxdyx
P
yFx
−
=
dxdyx
P
y
u
yFx
−
=
Inventário de quantidade de movimento...
x
y
P dxx
PP
+
dyy
+
1dydx
dydxx
Pdxdy
yFx
−
=
dxdyx
P
yFx
−
=
dxdyx
P
y
u
yFx
−
=
dxdyx
P
y
uF
2
2
x
−
=
Inventário de quantidade de movimento...
x
y
P dxx
PP
+
dyy
+
1dydx
dydxx
Pdxdy
yFx
−
=
dxdyx
P
yFx
−
=
dxdyx
P
y
u
yFx
−
=
dxdyx
P
y
uF
2
2
x
−
=
xx amF =
y
uv
x
uu
dt
duax
+
==dxdy
x
P
y
uF
2
2
x
−
=
+
=
−
y
uv
x
uumdxdy
x
P
y
u2
2
→= dxdym
2
2
y
u
x
P
y
uv
x
uu
+
−=
+
xx amF =
y
uv
x
uu
dt
duax
+
==dxdy
x
P
y
uF
2
2
x
−
=
+
=
−
y
uv
x
uumdxdy
x
P
y
u2
2
→= dxdym
2
2
y
u
x
P
y
uv
x
uu
+
−=
+
aceleração volume superf.
xx amF =
y
uv
x
uu
dt
duax
+
==dxdy
x
P
y
uF
2
2
x
−
=
+
=
−
y
uv
x
uumdxdy
x
P
y
u2
2
→= dxdym
2
2
y
u
x
P
y
uv
x
uu
+
−=
+
aceleração volume superf.
...FFF x,corx,magx,grav ++++
campo
2
2
y
u
x
P
y
uv
x
uu
+
−=
+
2
2
x
v
y
P
y
vv
x
vu
+
−=
+
++−=
+
D3
2 FuPuut
u
Coord., transiente... →
2( ( ) ( . )
3
TU U U = + −
2
2
y
u
x
P
y
uv
x
uu
+
−=
+
2
2
x
v
y
P
y
vv
x
vu
+
−=
+
++−=
+
D3
2 FuPuut
u
++−=
+
D3FT
~Puu
t
u
Reologia complexa... →
2( ( ) ( . )
3
TU U U = + −
Coord., transiente... →
2
2
y
u
x
P
y
uv
x
uu
+
−=
+
2
2
x
v
y
P
y
vv
x
vu
+
−=
+
++−=
+
D3
2 FuPuut
u
aceleração
convectiva
++−=
+
D3FT
~Puu
t
u
Reologia complexa... →
aceleração
transiente
gradiente
de pressão
div . do tensor
de tensões
forças de
campo
2( ( ) ( . )
3
TU U U = + −
Coord., transiente... →
Inventário de energia...
massaque sai
massaque entra
sistema
1 → 2calor
trabalhocalortrabalho
energia térmicatrabalho de fluxo
energia térmicatrabalho de fluxo
( ) ( ) ++−++=−entra
2kkkk
sai
2kkkk 2/Vgzhm2/VgzhmWQ
Inventário de energia...
massaque sai
massaque entra
sistema
1 → 2calor
trabalhocalortrabalho
energia térmicatrabalho de fluxo
energia térmicatrabalho de fluxo
( ) ( ) ++−++=−entra
2kkkk
sai
2kkkk 2/Vgzhm2/VgzhmWQ
entrada de calor
saída de trabalhoenergia carreada pelo
fluxo de massa
dt
dEEEEEEE
massasaienttrabalhoentsaicalorsaient =−+−−−
( ) ( ) dxdyx
)uh(dxdy
x
)uh(dxdyuhdxdyuhEE
x,massasaient
−=
+−=−
dxdyx
uT
x
TuCEE Px,massasaient
+
−=−
→= TCh P
dxdyy
Tv
x
TuCEE Pmassasaient
+
−=−
dxdyy
vT
y
TvCEE Py,massasaient
+
−=−
0y
v
x
u=
+
Obs.: a equação da continuidade foi considerada...
dt
dEEEEEEE
massasaienttrabalhoentsaicalorsaient =−+−−−
dxx
Qdx
x
QQQEE xx
xxx,calorsaient
−=
+−=−
dxdyx
Tkdxdy
x
Tk
xEE
2
2
x,calorsaient
=
−
−=−
dxdyy
Tkdydx
y
Tk
yEE
2
2
y,calorsaient
=
−
−=−
dxdyy
T
x
TkEE
2
2
2
2
calorsaient
+
=−
dt
dEEEEEEE
massasaienttrabalhoentsaicalorsaient =−+−−−
trabalho de fluxo
u h
D~
:T~
trabalho das forças de campo...
trabalho das forças v iscosas (força
velocidade)...
produto escalar do tensor de
tensões pelo tensor de taxas de deformação...
+
=
+
+
2
2
2
2
Py
T
x
Tk
y
Tv
x
Tu
t
TC
D~
:T~
y
T
x
Tk
y
Tv
x
Tu
t
TC
2
2
2
2
P +
+
=
+
+
D~
:T~
)Tk(Tut
TCP +=
+
)u(D~
:T~ mod
=
Função de dissipação viscosa:
2222222
x
w
z
u
z
v
y
w
y
u
x
v
z
w
y
v
x
u
3
1
z
w
y
v
x
u2
+
+
+
+
+
+
+
+
−
+
+
=
Obs.: a dedução pode ser encontrada em...
“Força deslocamente” (energia
mecânica transformada em energia térmica dev ido à ação
da v iscosidade)
Obs.: significativo a altas velocidades...
Equações governantes:
0)U(t
=+
++−=
+
D3FT
~Puu
t
u
D~
:T~
)Tk(Tut
TCP +=
+
Continuidade (massa) →
Q. de movimento (Navier-Stokes) →
Energia (1ra lei) →
Escalas microscópicas
(Kolmogorov) a escalas sinóticas...
Furacão Andrew 1992
Por que os furacões
no hemisfério norte
giram no sentido
anti-horário e no
hemisfério sul giram
no sentido horário ?
Exemplo (Çg 6-1): o escoamento de óleo em um mancal de escorregamento pode ser aproximado cf. mostrado na figura abaixo (Couette). A distância entre as placas é de 2mm e sua velocidade relativa é de 12m/s, sendo que, em ambas, a temperatura é mantida em 20°C. Nestas condições calcule a) os campos de velocidade e temperatura e b) a máxima temperatura e o fluxo de calor do óleo para as placas.
0yy
u
=
carga
pressão de
contato
propriedades
do óleo @ 20°C
Exemplo (Çg 6-1): o escoamento de óleo em um mancal de escorregamento pode ser aproximado cf. mostrado na figura abaixo (Couette). A distância entre as placas é de 2mm e sua velocidade relativa é de 12m/s, sendo que, em ambas, a temperatura é mantida em 20°C. Nestas condições calcule a) os campos de velocidade e temperatura e b) a máxima temperatura e o fluxo de calor do óleo para as placas.
0yy
u
=
x
y
L
0
20°C
u(y) T(y)
12m/s
20°C
cargapropriedades
do óleo @ 20°C
Balanço de massa (continuidade):
→=
+
+
0
z
w
y
v
x
u
→= 0U
( ) 0w,v,uz
,y
,x
=
)y(uu0x
u=→=
Balanço de qdm (Navier-Stokes):
++−=
+
D3FT
~Puu
t
u
Balanço de massa (continuidade):
→=
+
+
0
z
w
y
v
x
u
→= 0U
( ) 0w,v,uz
,y
,x
=
)y(uu0x
u=→=
Balanço de qdm (Navier-Stokes):
++−=
+
D3FT
~Puu
t
u
Balanço de massa (continuidade):
→=
+
+
0
z
w
y
v
x
u
→= 0U
( ) 0w,v,uz
,y
,x
=
)y(uu0x
u=→=
Balanço de qdm (Navier-Stokes):
2
2
y
u
x
P
y
uv
x
uu
+
−=
+
Balanço de massa (continuidade):
→=
+
+
0
z
w
y
v
x
u
→= 0U
( ) 0w,v,uz
,y
,x
=
)y(uu0x
u=→=
Balanço de qdm (Navier-Stokes):
0dy
ud
y
u
x
P
y
uv
x
uu
2
2
2
2
=→
+
−=
+
Balanço de energia:
→== V)L(ue0)0(u yL
V)y(u =
212
2
CyC)y(u0dy
ud+=→=
x
y
L
0
20°C
u(y) T(y)
12m/s
20°C
D~
:T~
y
T
x
Tk
y
Tv
x
Tu
t
TC
2
2
2
2
P +
+
=
+
+
0y
u
y
Tk
2
2
2
=
+
Balanço de energia:
D~
:T~
y
T
x
Tk
y
Tv
x
Tu
t
TC
2
2
2
2
P +
+
=
+
+
→== V)L(ue0)0(u yL
V)y(u =
212
2
CyC)y(u0dy
ud+=→=
x
y
L
0
20°C
u(y) T(y)
12m/s
20°C
0y
u
y
Tk
2
2
2
=
+
Balanço de energia:
D~
:T~
y
T
x
Tk
y
Tv
x
Tu
t
TC
2
2
2
2
P +
+
=
+
+
→== V)L(ue0)0(u yL
V)y(u =
212
2
CyC)y(u0dy
ud+=→=
x
y
L
0
20°C
u(y) T(y)
12m/s
20°C
2
2
22
2
2
L
V
y
Tk0
y
u
y
Tk
−=
→=
+
Balanço de energia:
D~
:T~
y
T
x
Tk
y
Tv
x
Tu
t
TC
2
2
2
2
P +
+
=
+
+
→== V)L(ue0)0(u yL
V)y(u =
212
2
CyC)y(u0dy
ud+=→=
x
y
L
0
20°C
u(y) T(y)
12m/s
20°C
2
2
22
2
2
L
V
x
Tk0
y
u
x
Tk
−=
→=
+
→== 0T)L(T)0(T
−
+=
2
22
0L
y
L
y
k2
VT)y(T
→= 0dy/dT2
Ly0
L
y21
k2
V2
2
=→=
−
→ parabólico em y
2
2
22
2
2
L
V
x
Tk0
y
u
x
Tk
−=
→=
+
→== 0T)L(T)0(T
−
+=
2
22
0L
y
L
y
k2
VT)y(T
→= 0dy/dT2
Ly0
L
y21
k2
V2
2
=→=
−
→= 2/Lyk8
VT
L
)2/L(
L
2/L
k2
VTT
2
02
22
0max
+=
−
+=
→ parabólico em y
2
2
22
2
2
L
V
x
Tk0
y
u
x
Tk
−=
→=
+
→== 0T)L(T)0(T
−
+=
2
22
0L
y
L
y
k2
VT)y(T
→= 0dy/dT2
Ly0
L
y21
k2
V2
2
=→=
−
→= 2/Lyk8
VT
L
)2/L(
L
2/L
k2
VTT
2
02
22
0max
+=
−
+=
C119)C/m/W145.0(8
)s/m12)(m/Ns8.0(20T
22
max =
+=
→ parabólico em y