Integración de funciones racionales

Si bien algunas funciones racionales se pueden resolver mediante las funciones anteriores, existen

otros modos de resolver esas integrales con el uso de la descomposición en fracciones simples. La

forma general de la integral es , en donde P(x) y Q(x) son polinomios.

Sea entonces

Se tienen, a partir de la expresión anterior, los siguientes casos: a) Por el tipo de fracción,

fracciones propia e impropias; b) Por el número de raíces, raíces simples y raíces múltiples.

Fracciones propias. Si el grado de P(x) es mayor que el grado de Q(x), se debe dividir P(x) entre

Q(x), [recordando la división de polinomios explicada en octavo grado de educación básica], para

obtener un cociente de integración inmediata y un resto que será una función racional de numerador

con grado menor que el denominador, para así reducirla a una fracción impropia.

Fracciones impropias con raíces simples. Si el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x), se

tiene el caso de una fracción impropia y se procede así:

1. Se descompone el denominador en un producto de factores así: Q(x) = (x – a)(x – b)...(x – l)

2. Se escribe entonces y se obtendrá entonces la siguiente

expresión:

P(x) = A(x – b)(x – c)...(x – l) + B(x –a)(x – c)...(x – l) + … + L(x – a)(x – b)….

3. Los coeficientes A, B,…,L, se determinan haciendo sucesivamente x = a, x = b, etc. Por

ejemplo A. P(a) = (a – b)(a – c)...(a – l). Entonces, por despeje simple, se tiene que

.

4. Obtenidos los coeficientes, se integra la expresión.

Fracciones impropias con raíces múltiples. Si el polinomio Q(x) tiene raíces múltiples, el

procedimiento difiere ligeramente. El polinomio genérico es Q(x) = (x – a)(x – b)...(x – l). Ejemplo:

Q(x) = (x – a)3(x – b)(x – c).

1. Se escribe la fracción así:

2. Se expresa el polinomio P(x) de la siguiente manera:

P(x) = A0(x – b)(x – c) + A1(x – a)(x – b)(x – c) + A2(x – a)2(x – b)(x – c)

+ B(x – a)3(x – c) + C(x – a)3(x – b)

3. Para hallar los coeficientes se le dan valores a x así:

x = a P(a) = A0(a – b)(a – c) y se despeja A0

x = b P(b) = B(b– a)3(b – c) y se despeja B

x = c P© = C(c – a)3(c – b) y se despeja C

Para hallar A1 y A2 se le dan a x valores arbitrarios, por ejemplo x = 0 y x = 1, siempre y cuando no

sean raíces.

Teorema

Toda expresión racional es integrable mediante funciones elementales algebraicas

(polinomios y racionales fraccionarios) y trascendentes (logaritmos y arco tangentes).

Ejercicios

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