integrais1

Universidade Tecnológica Federal do Paraná _________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________ Cálculo Diferencial e Integral 1 Integrais Angela Olandoski Barboza

65

12 Estudo das Integrais Indefinidas

12.1 Introdução Dada uma função )x(f , vamos estudar como encontrar uma função )x(F tal que a

sua derivada seja igual a )x(f , isto é: )x(f)x('F =

12.2 Primitiva de uma Função

Definição:

Diz-se que a função )x(F é uma primitiva da função )x(f sobre o segmento ]b,a[ se, em todo o ponto deste segmento tivermos a igualdade )x(f)x('F = .

Exemplo

Determinar uma primitiva da função 2x)x(f = .

Solução

Verifica-se imediatamente, segundo a definição, que a primitiva procurada é 3

3x)x(F =

pois, 23

3

3x

x)x(F

dx

d== .

Mas, 13

3

+=x

)x(F também é uma primitiva, assim como 23

3

−=x

)x(F .

Podemos observar que Cx

)x(F +=3

3

, com ℜ∈C é a forma ideal para expressar a

primitiva de 2x)x(f = , pois 23

3xC

x

dx

d=

+ .

Teorema

Se )x(F1 e )x(F2 são duas primitivas da função )x(f sobre o segmento ]b,a[ , a sua diferença é uma constante.

Demonstração

Temos, em virtude da definição da primitiva que

)x(f)x('F

)x(f)x('F

=

=

2

1 (1)

para qualquer x do segmento ]b,a[ . Façamos

)x()x('F)x('F ϕ=− 21 (2) Usando (1), temos:



66

021 =−=− )x(f)x(f)x('F)x('F Fazendo agora, a derivada de )x(ϕ em (2), temos:

[ ]021

21

=−=

−=

)x('F)x('F)x('

')x(F)x(F)x('

ϕ

ϕ

Logo, 0=)x('ϕ Usando o formulário de derivadas e a definição de primitiva de uma função, temos que

C)x( =ϕ Para provar que )x(ϕ é uma constante, aplicamos, aplicamos o teorema de Lagrange.

Sendo )x(F)x(F)x( 21 −=ϕ , ela é contínua e derivável em ]b,a[ . Então, para todo ]b,a[x∈ , temos:

( ) )d('.ax)a()x( ϕϕϕ −=− onde xda <<

Como 0=)d('ϕ , temos:

0=− )a()x( ϕϕ e )a()x( ϕϕ = Assim, a função )x(ϕ é igual à )a(ϕ em qualquer ponto do segmento ]b,a[ . Logo,

C)a( =ϕ e temos:

C)x(F)x(F =− 21

Definição

Chama-se Integral Indefinida da função )x(f e denota-se por ∫ dx)x(f à toda

expressão da forma C)x(F + , em que )x(F é uma primitiva de )x(f . Assim, por definição temos:

∫ =+= )x(f)x('FseC)x(Fdx)x(f

Exemplo

Sejam as funções 12 += xy , 52 −= xy e ℜ∈+= C,Cxy 2 . Suas diferenciais são: xdxdy 2= , xdxdy 2= e xdxdy 2= , respectivamente. Notamos que as funções dadas

diferem apenas no termo constante e têm a mesma diferencial xdxdy 2= . Então:

∫ ∫ +== Cxxdxdy 22

12.2.1 Significado Geométrico da Constante de Integração

Exemplo

Seja x)x(f 2= . Sabemos que ( ) ( ) xdx)x(Fdoudx)x(f)x(Fd)x(Fdx

d)x(f 2==⇒= .

Integrando, temos Cxxdx +=∫ 22 .



67

12.3 Propriedades

P.1 Uma integral não se altera quando o fator constante é considerado antes ou depois do sinal de integral. Assim:

∫ ∫= dx)x(f.adx)x(f.a

Exemplo

∫ ∫ +=+== CxCx.xdx.xdx 2

2

22

444

P.2 A integral de uma soma de diferenciais é igual à soma das integrais destes diferenciais. Assim:

( )∫ ∫ ∫ ∫−+=−+ dtdvdudtdvdu

A integral da soma é igual à soma das integrais.

Exemplo:

( )∫ ∫ ∫∫∫ ∫∫ =−+=−+=−+ dxdxxdxxdxdxxdxxdxxx 643643643 323232

CxxxCxCx.C

x. +−+=+−+++= 66

44

33 43

32

4

1

3

12.4 Integrais Imediatas

12.4.1 ∫ dxxn

Seja a função Cn

xy

n

++

=+

1

1

, com 1−≠n .

dxxdydxn

x).n(dy n

n

=⇒+

+=

−+

1

1 11

22 += xy

12 += xy

2xy =

12 −= xy

22 −= xy



68

⇒=⇒=∫ ∫∫ dxxydxxdy nn

Cn

xdxx

nn +

+=

+

∫ 1

1

, com 1−≠n

Exemplos

1) ∫

−+−+− dxxxx

xxx 21

5683

23

2) ( )( )∫ +− dxx.x 2323

3) ( )∫ dxx32

12.4.2 ∫ += Cxx

dxln

Seja a função Cxy += ln

∫ ∫∫ ⇒=⇒=⇒=x

dxydx

xdydx

xdy

11

∫ += Cxx

dxln

Exemplo

∫ =dxx

6

12.4.3 Introdução sob o Sinal da Diferencial

Seja calcular a integral ∫ dxxf )( . Fazemos a mudança de variável )(tx ϕ= , onde

)(tϕ é uma função contínua, bem como a sua derivada e inversível. Então dttdx )('ϕ= e demonstra-se que é válida a expressão:

[ ]∫ ∫= dtttfdxxf )('.)()( ϕϕ



69

Exemplos

1) ( ) dxx7

13∫ +

2) ∫− 42x

xdx

3) dxxsen

xsen∫ )(

)2(2

12.4.4 ∫ += Ca

adxa

xx

ln

Seja a função Ca

ay

x

+=ln

.

∫ ∫∫ ⇒=⇒=⇒=⇒= dxaydxadydxadydxa

aady xxx

x

ln

ln

∫ += Ca

adxa

xx

ln

Exemplo

∫ dxx53

Caso Particular: Cee

edxe x

xx +==∫ ln



70

Exemplos

1) ∫ xdxesenx cos.

2) dxa

aax

xx

∫−−

12.4.5 Cxsenxdx +−=∫ cos

Seja a função Cxy +−= cos .

∫ ∫ ∫ ⇒=⇒=⇒= senxdxysenxdxdysenxdxdy

Cxsenxdx +−=∫ cos

Exemplo

dxxsenx )3(. 2∫

12.4.6 Csenxxdx +=∫ cos

Seja a função Csenxy += .

∫ ∫ ∫ ⇒=⇒=⇒= xdxyxdxdydxdy coscoscos

Csenxxdx +=∫ cos

Exemplo

dxx∫ 2cos



71

12.4.7 Cxtgxdx +−=∫ cosln

Seja xy cosln−=

⇒=⇒=⇒=⇒=⇒−

−= ∫∫∫ tgxdxytgxdxdytgxdxdydxx

senxdydx

x

senxdy

coscos

Cxtgxdx +−=∫ cosln

12.4.8 Csenxxdx +=∫ lncotg

Seja senxy ln=

⇒=⇒=⇒=⇒= ∫∫∫ xdxyxdxdyxdxdydxsenx

xdy cotgcotgcotg

cos

Csenxxdx +=∫ lncotg

12.4.9 ∫ += Ctgxxdx2sec

12.4.10 ∫ +−= Cxxdx cotgcsc2

Exemplos

1) ∫ xdxtg 2

2) ∫ xdxetgx 2sec.

12.4.11 ∫ += Cxtgxdxx sec.sec

12.4.12 Cxxdxx +−=∫ csccotg.csc

Exemplos

1) ∫ xdxsec



72

2) ∫ xdxcsc

12.4.13 Ca

xarcsen

xa

dx+=

−∫ 22

Seja a função Ca

xarcseny += , com 22 xa >

∫∫ ⇒−

=⇒−

=⇒−

=⇒

−

= dxxa

dydxxa

dydxa

a

xadydx

a

a

xdy

2222

2

22

2

2

111.

11.

1

1

Ca

xarcsen

xa

dx+=

−∫ 22

Exemplo

∫− 2416 x

dx

12.4.14 ∫ +=+

Ca

xarctg

axa

dx 122

Seja a função Ca

xarctg

ay += .

1.

∫∫ ⇒+

=⇒+

=⇒+

=⇒+

=2222

2

222

2

2

111.

1

11

xa

dxdy

xa

dxdydx

a

xaadydx

a

a

xady

Ca

xarctg

ay += .

1



73

Exemplos

1) ∫ + 25 x

dx

2) ∫ + 416

2

x

xdx

3) ∫ ++ 942 xx

dx

12.4.15 ∫ +−+

=−

Cxa

xa

axa

dxln

2

122

Seja Cxa

xa

ay +

−+

= ln2

1.

( ) ( )( )

⇒−

=⇒−

=⇒−

=⇒

−+−

−+−−

= ∫∫ dxxa

dydxxa

dyxa

a

ady

xa

xa

xa

xaxa

ady

222222

2 112.

2

1

)1.(1.

.2

1

∫ +−+

=−

Cxa

xa

axa

dxln

2

122

Exemplo

∫ − 2916 x

dx



74

12.4.16 Caxxax

dx+±+=

±∫ 22

22ln

Seja Caxxy +±+= 22ln .

⇒±

=⇒±

=

⇒±+±

+±=⇒

±+

±

+±

=⇒±+

±+

=

∫∫ 2222

2222

22

22

22

22

22

22 1.

.2

2.2.2

2.2

2

21

ax

dxdy

ax

dxdy

dxaxxax

xaxdydx

axx

ax

xax

dydxaxx

ax

x

dy

Caxxax

dx+±+=

±∫ 22

22ln

Exemplo

∫− 42x

dx

12.5 Integração por Partes Se u e v designam duas funções deriváveis de x, sabe-se que o diferencial do

produto u.v é: vduudvvud +=).(

Integrando-se, temos:

⇒+= ∫∫ vduudvvu.

∫∫ −= vduvuudv .

Exemplos

1) ∫ senxdxx.



75

2) ∫ xdxx ln.

Obs.: O método de integração por partes é empregado com muita freqüência. Pode ser utilizado para calcular integrais dos seguintes tipos:

∫ dxaxsenxk )( ; ∫ dxaxxk )cos( ; ∫ dxex axk ; ∫ dxxxk )ln(

Também é aplicado ao cálculo de integrais nos quais estejam presentes, as funções trigonométricas inversas.

Exemplo

∫ arctgxdx

Fazendo:

xvdxdv

xa

dxduarctgxu

=⇒=+

=⇒=2

Então: Cxxarctgxarctgxdxx

dxxxarctgxarctgxdx ++−=⇒

+−= ∫∫∫ 2

21ln

2

1.

1..

Às vezes, para reduzir a integral dada a uma imediata, é preciso empregar várias

vezes a fórmula de integração por partes. Em alguns casos, valendo-se da integração por partes, obtém-se uma equação na qual se determina a integral procurada.

Exemplos

1) xdxex cos∫



76

2) ∫ dxex x2

3) ( )∫ −+ dxxxx )2cos(.572

4) ∫ − dxxa 22



77

12.6 Integração usando Substituição de Variável Supondo )(tx ϕ= , onde t é uma nova variável e ϕ uma função contínua

diferenciável ( )0)(' ≠tϕ , teremos:

[ ]∫ ∫= dtttfdxxf )('.)()( ϕϕ (3)

Deve-se escolher a função ϕ de tal maneira que, o segundo membro da fórmula (3) tome uma forma mais adequada para a integração.

Exemplo

∫ − dxxx 1

12.7 Integrais Elementares que contém o Trinômio ax2+bx+c

12.7.1 Integrais do tipo ∫ ++

+dx

cbxax

nmx2

O procedimento principal de cálculo consiste em reduzir o trinômio do segundo grau à forma:

lkxacbxax ++=++ 22 )( (4) onde k e l são constantes. Para efetuar a transformação, o mais fácil é separar o quadrado exato do trinômio de segundo grau. Pode-se também empregar a substituição

tbax =+2 Vamos então analisar dois casos:

1º Caso: m = 0

Pode-se reduzir o trinômio do segundo grau à forma (4), obtendo-se uma das duas integrais imediatas a seguir.

∫ +=+

Ca

xarctg

aax

dx 122

, com 0≠a ou ∫ ++−

=−

Cax

ax

aax

dxln

2

122

, com 0≠a

Exemplo

∫ +− 752 2 xx

dx



78

2º Caso: m ≠ 0

Do denominador separa-se a derivada bax +2 do trinômio cbxax ++2 , como mostrado a seguir:

( )∫∫∫ ++

−+++=

++

−++=

+++

cbxax

dx

a

mbncbxax

a

mdx

cbxax

a

mbnbax

a

m

dxcbxax

nmx2

222 2

ln2

22

2

Desta forma, chegamos ao caso anterior.

Exemplo

∫ −−

−dx

xx

x

1

12

12.7.2 Integrais do Tipo dxcbxax

nmx∫

++

+2

Por transformações algébricas, reduzimos a uma das duas integrais a seguir:

∫ +++=+

Caxxax

dx 22

22ln ou ∫ +=

−C

a

xarcsen

xa

dx

22

Exemplos

1) ∫−+ 2232 xx

dx

2) dxxx

x∫

++

+

22

32



79

12.7.3 Integrais do Tipo ( )∫

+++ cbxax.nmx

dx

2

Fazendo-se a substituição da fração linear tnmx=

+1

, estas integrais reduzem-se às

da seção 17.7.2.

Exemplo

( )∫++ 11 2x.x

dx

12.7.4 Integrais do Tipo dxcbxax∫ ++2

Separando-se o quadrado exato no trinômio, podemos reduzir esta integral a

Ca

xarcsen

axa

xdxxa ++−=−∫ 22

22222 , com 0>a ou

Caxxlna

axx

dxax +++++=+∫ 222

2222

22



80

Exemplo

dxxx∫ −− 221

12.8 Integração de Funções Racionais(Método dos Coeficientes Indeterminados) A integração de uma função racional, depois de separar-se a parte inteira, se reduz à

integração de uma função racional própria

)x(Q

)x(P (4)

onde )x(P e )x(Q são polinômios inteiros e o grau do numerador )x(P é menor que o do

denominador )x(Q . Se ( ) ( )λαlx....ax)x(Q −−= , onde l,...,a são diferentes raízes reais

do polinômio )x(Q e λα ,..., são números naturais, a fração (4) poderá decompor-se em frações simples

( ) ( ) ( ) ( )λλ

αα

lx

L...

lx

L

lx

L...

)ax(

A...

ax

A

ax

A

)x(Q

)x(P

−++

−+

−++

−++

−+

−=

221

221 (5)

Para calcular os coeficientes indeterminados λL,...,A,A 21 , efetua-se o mínimo múltiplo

comum do segundo membro. A seguir, simplificam-se os denominadores de ambos os membros, que são iguais e, por fim, se igualam os coeficientes de cada uma das potências iguais da variável x, obtendo-se um sistema de equações lineares. Pode-se também, após simplificamos os denominadores, substituir x, por certos números devidamente escolhidos.

Exemplos:

1) ( ) ( )∫ +− 211 x.x

xdx



81

2) ∫ +− xxx

dx23 2

3) dxx

xx∫ −

−+8

83

34



82

12.9 Integração de Funções Trigonométricas

Integrais do Tipo dxxcosxsen nm∫ , com Zn,m ∈

1) Se 12 += km é um número ímpar e positivo, então:

( ) )senxdx.(xcos.xcos)dxsenx.(xcos.xsen

senxdx.xcos.xsenxdxcos.xsendxxcos.xsen

knk

nknknm

−−−=−−

===

∫∫

∫ ∫∫ +

22

212

1

2) Se 12 += kn é um número ímpar e positivo, então:

( )

( ) )dx.x.(cosxsenxsen

xdxcos.xcos.xsenxdxcos.xsendxxcos.xsen

km

kmkmnm

∫

∫ ∫∫−

=== +

2

212

1

Exemplo

∫ xdxcos.xsen 310

3) Se m e n são números pares e positivos, usamos as transformações tringonométricas

( )xcosxsen 212

12 −= , ( )xcosxcos 212

12 += e xsenxcossenx 22

1=

Exemplo:

( )∫ − dxxsenxcos 33 42



83

12.10 Substituição Trigonométrica Este método é aplicado, geralmente, às integrais, cujos integrandos contém fator do

tipo ( ) 21

22 ±± xa ou ( ) 2

122 ±

± ax que não recaem em potência ou a

xarcsen .

Exemplos

1) ∫+ 22 xa

dx

Solução

Para auxiliar a solução, vamos utilizar o triângulo retângulo a seguir:

Substituindo, temos:

Ctgseclndsecseca

dseca

xa

dx++===

+∫ ∫∫ αααα

ααα2

22

Voltando à variável x, vem:

Ca

xxalnC

a

x

a

xaln

xa

dx+

++=++

+=

+∫

2222

22

2) dxx

ax∫

−4

22

Solução

α

22 xa + x

a α

α

α

αα

αα

secacos

axa

xa

acos

dsecadx

tg.axa

xtg

==+

⇒+

=

=

=⇒=

22

22

2



84

12.11 Integrais dos Binômios Diferenciais

São integrais do tipo ( )∫ + dxbxa.xpnm onde n,m e p são números racionais.

Condições de Tchebichev

A integral ( )∫ + dxbxa.xpnm pode ser expressa por meio de uma combinação finita de

funções elementares somente nos seguintes três casos: 1) quando p é um número inteiro;

2) quando n

m 1+ é um número inteiro. Aqui, emprega-se a substituição sn zbxa =+ , onde s

é o denominador da fração p;

3) Quando pn

m+

+1 é um número inteiro. Neste caso, emprega-se a substituição

sn zbax =+− .

Exemplo

∫+

dxx

x3 41



85

12.12 Integração de Funções Racionais de Senos e Cossenos

1°°°° Caso: Usamos a substituição tx

tg =2

e temos 21

2

t

tsenx

+= ,

2

2

1

1

t

txcos

+−

= e 21

2

t

dtdx

+= .

Desta forma, transforma-se a integral de funções racionais em uma integral na nova variável t.

Exemplo:

∫ ++ xcossenx

dx

1

Solução

2°°°° Caso: Se substituindo senx por senx− e xcos por xcos− , a integral não se alterar,

fazemos a substituição ttgx = e temos 21 t

tsenx

+= ,

21

1

txcos

+= ,

arctgtx = e 21 t

dtdx

+= .

Exemplo

∫ + xsen

dx21

Solução



86

13 Integrais de Funções Hiperbólicas

Fórmulas das integrais de funções hiperbólicas diretas são:

∫∫∫∫∫∫

+−=

+−=

+−=

+=

+=

+=

Ccschuhuducschu.cotg

Csechudusechu.tghu

Ccotghuuducsch

Ctghuudusech

Csenhucoshudu

Ccoshusenhudu

2

2

Exemplos

1) =∫ .coshxdxxsenh5

2) ∫ =tghxdx

Fórmulas das integrais de funções hiperbólicas inversas

∫ +++=+=+

CuuCarcsenhuu

du1ln

1

2

2

1,1lnarccos1

2

2>+−+=+=

−∫ uCuuChu

u

du

∫ +−

+=

>+

<+=

−C

u

u

uCghuarc

uCarctghu

u

du

1

1ln

2

1

1,cot

1,

1 2

10,11

lnsec1

2

2<<+

−+−=+−=

−∫ uC

u

uCuharc

uu

du

0,11

lncsc1

2

2≠+

++−=+−=

+∫ uC

u

uCuharc

uu

du

Exemplo

Calcule ∫ >− 2

1,

14 2x

x

dx



87

14 Estudo da Integrais Definidas

14.1 Área Antigamente, o procedimento mais usado para se determinar áreas era o método da

exaustão, que consiste em aproximar a figura dada por meio de outras, cujas áreas são conhecidas.

Exemplo

Para determinar a área de um círculo, consideramos um polígono regular inscrito de n lados, que denotamos por nP .

Seja nA a área do polígono nP . Temos que:

nTn A.nA = onde nT

A é a área do triângulo de base nI e altura nh , como mostra a

figura. Quando ∞→n , nP torna-se uma aproximação do círculo. O perímetro np aproxima-se do

comprimento do círculo rπ2 e a altura nh , aproxima-se do raio r. Temos então:

2

2

2r

r.rAlim n

nπ

π==

∞→, que é a área do círculo.

Consideremos agora o problema de definir a área de uma região plana S, delimitada pelo gráfico de uma função contínua não negativa f, pelo eixo dos x e por duas retas ax = e

bx = .

Para isso, fazemos uma partição do intervalo [ ]b,a , isto é, dividimos o intervalo [ ]b,a em n subintervalos, escolhendo os pontos

bx...xx...xxa nii =<<<<<<= −110

nI

nh

nn

nnnnn

nnT

Pp

h.ph.I.nA

h.IA

n

de perímetro o sendo22

então ,2

Como

==

=

S



88

Seja 1−−=∆ iii xxx o comprimento do intervalo [ ]1−ii x,x . Em cada um destes intervalos

[ ]1−ii x,x , escolhemos um ponto qualquer ic .

Para cada n,...,,i,i 21= , construímos um retângulo de base ix∆ e altura )c(f i , conforme

mostra a figura A soma das áreas do n retângulos, que representamos por nS é dada por:

∑=

∆=∆++∆+∆=n

i

iinnn x).c(fx).c(f...x).c(fx).c(fS1

2211

Esta soma é chamada soma de Riemann da função f(x). Podemos observar que à medida que n cresce muito e cada n,...,,i,xi 21=∆ torna-se muito

pequeno, a soma das áreas retangulares aproxima-se do que intuitivamente entendemos como a área de S.

14.1.1 Definição

Seja )x(fy = uma função contínua, não negativa em [ ]b,a . A área sob a curva )x(fy = , de a até b, é definida por:

∑=

→∆∆=

n

i

iixmax

x).c(flimAi 1

0

onde para cada ic,n,...,,i 21= é um ponto arbitrário do intervalo [ ]ii x,x 1− .

É possível provar que o limite desta definição existe e é um número não negativo.

14.2 Integral Definida A integral definida está associada ao limite da definição 13.1.1. Ela nasceu com a

formalização matemática dos problemas de áreas. De acordo com a terminologia introduzida na seção anterior, temos a definição a seguir.

Definição

Seja f uma função definida no intervalo [ ]b,a e seja P uma partição qualquer de

[ ]b,a . A integral definida de f de a até b, denotada por ∫b

adx)x(f é dada por

∑∫=

→∆∆=

n

i

iixmax

b

ax).c(flimdx)x(f

i 10

22110 xcxcax =

iii xcx 1−

nnni xcx 1−

y

x 0



89

desde que o limite exista. Se ∫b

adx)x(f existe, dizemos que f é integrável em [ ]b,a .

Na notação ∫b

adx)x(f , os números a e b são chamados limites de integração (a é o limite

inferior e b é o limite superior).

Se f é integrável em [ ]b,a , então ∫ ∫∫ ==b

a

b

a

b

ads)s(fdt)t(fdx)x(f , isto é, podemos usa

qualquer símbolo para representar a variável independente. Quando a função f é contínua e não negativa em [ ]b,a , a definição da integral definida coincide com a definição da área (definição 13.1.1). Portanto, neste caso, a integral definida

∫b

adx)x(f é a área da região sob o gráfico de f de a até b.

14.2.1 Definição

(a) Se ba > , então ∫∫ −=a

b

b

adx)x(fdx)x(f ,se a integral à direita existir;

(b) Se ba = e )a(f existe, então ∫ =b

adx)x(f 0 .

14.2.2 Teorema

Se f é contínua em [ ]b,a , então f é integrável em [ ]b,a .

14.2.3 Propriedades da Integral Definida

P.1 Se f é integrável em [ ]b,a e k é um número real arbitrário, então k.f é integrável em

[ ]b,a e ∫ ∫=b

a

b

adx)x(f.kdx)x(f.k .

Demonstração

Como f é integrável em [ ]b,a , existe o limite ∑=

→∆∆

n

i

iixmax

x).c(flimi 1

0 e portanto,

podemos escrever que

∫∑∑∫ =∆=∆==

→∆=

→∆

b

a

n

i

iixmax

n

i

iixmax

b

adx)x(f.kx).c(flim.kx).c(f.klimdx)x(f.k

ii 10

10

P.2 Se f e g são funções integráveis em [ ]b,a , então f + g é integrável em [ ]b,a e

[ ] [ ] [ ]∫ ∫∫ +=+b

a

b

a

b

adx)x(gdx)x(fdx)x(g)x(f .

Demonstração

Se f é integrável em [ ]b,a , existe o limite ∑=

→∆∆

n

i

iixmax

x).c(flimi 1

0 que é ∫

b

adx)x(f .



90

Se g é integrável em [ ]b,a , existe o limite ∑=

→∆∆

n

i

iixmax

x).c(glimi 1

0 que é ∫

b

adx)x(g .

Escrevemos então:

[ ] [ ]

∫∫∑∑

∑∫

+=∆+∆

=∆+=+

=→∆

=→∆

=→∆

b

a

b

a

n

i

iixmax

n

i

iixmax

n

i

iiixmax

b

a

dx)x(gdx)x(fx).c(glimx).c(flim

x.)c(g)c(flimdx)x(g)x(f

ii

i

10

10

10

Este teorema é válido também para um número finito de funções e também para diferença de funções.

P.3 Se bca << e f é integrável em [ ]c,a e em [ ]b,c , então f é integrável em [ ]b,a e

∫ ∫∫ +=b

a

b

c

c

adx)x(fdx)x(fdx)x(f .

Demonstração

Consideremos uma partição no intervalo [ ]b,a de tal forma que o ponto c

( bca << ) seja um ponto de partição, isto é, ixc = , para algum i.

... ... b=xnx0=a x1 x2 c=xi

Podemos dizer que [ ]c,a ficou dividido em r subintervalos e [ ]b,c em n – r subintervalos. Escrevemos as respectivas somas de Riemann

∑=

∆r

i

ii x).c(f1

e ∑+=

∆n

ri

ii x).c(f1

Então:

∑∑∑+===

∆+∆=∆n

ri

ii

r

i

ii

n

i

ii x).c(fx).c(fx).c(f111

Usando a definição da integral definida, vem:

∫∫∑∑

∑∑∑∫

+=∆+∆

=

∆+∆=∆=

+=→∆

=→∆

+==→∆

=→∆

b

c

c

a

n

ri

iixmax

r

i

iixmax

n

ri

ii

r

i

iixmax

n

i

iixmax

b

a

dx)x(fdx)x(fx).c(flimx).c(flim

x).c(fx).c(flimx).c(flimdx)x(f

ii

ii

10

10

110

10



91

P.4 Se f é integrável e se 0)( ≥xf , para todo x em [ ]ba, , então ∫ ≥b

adxxf 0)( .

Demonstração

Como ( ) 0≥icf para todo ic em [ ]ii xx ,1− , segue que ( )∑=

≥∆n

i

ii xcf1

0. . Portanto,

( ) 0.lim1

0max≥∆∑

=→∆

n

i

iix

xcfi

e dessa forma ∫ ≥b

adxxf 0)( .

P.5 Se f e g são integráveis em [ ]ba, e )()( xgxf ≥ , para todo x em [ ]ba, , então:

∫∫ ≥b

a

b

adxxgdxxf )()(

Demonstração

Fazemos ∫∫ −=b

a

b

adxxgdxxfI )()( . Devemos mostrar que 0≥I . Usando P.2, temos:

[ ]∫∫∫ −=−=b

a

b

a

b

adxxgxfdxxgdxxfI )()()()( . Como )()( xgxf ≥ , para todo x em [ ]ba, ,

temos [ ]baxxgxf ,,0)()( ∈∀≥− . Usando P.4, concluímos que 0≥I .

P.6 Se f é uma função contínua em [ ]ba, , então ∫∫ ≤b

a

b

adxxfdxxf )()( .

Demonstração

Se f é contínua em [ ]ba, , então:

a) f é integrável em [ ]ba, ;

b) f é contínua em [ ]ba, ;

c) f é integrável em [ ]ba, .

Sabemos que )()()( xfxfxf ≤≤− .

Usando P.4, escrevemos:

( ) ∫∫∫ ≤≤−b

a

b

a

b

adxxfdxxfdxxf )()()( .

Usando P.1, temos:

∫∫∫ ≤≤−b

a

b

a

b

adxxfdxxfdxxf )()()( .

Por propriedade de módulo, temos que:

∫∫ ≤b

a

b

adxxfdxxf )()(

P.7 Teorema do Valor Médio

Se f é uma função contínua em [ ]ba, , existe um ponto c entre a e b tal que

)().()( cfabdxxfb

a−=∫



92

Se [ ]baxxf ,,0)( ∈≥ , podemos visualizar geometricamente esta proposição. Ela nos diz que a área abaixo da curva )(xfy = , entre a e b, é igual à área de um retângulo de base ab − e altura )(cf .

14.3 Teorema Fundamental do Cálculo O teorema fundamental do cálculo nos permite relacionar as operações de derivação

e integração. Conhecendo-se uma primitiva de uma função contínua [ ] ℜ→baf ,: , pode-se

calcular a sua integral definida ∫b

adttf )( . Com isso, obtém-se uma maneira rápida e simples

de resolver inúmeros problemas práticos que envolvem o cálculo da integral definida. Para apresentar formalmente o teorema, inicialmente será definida uma importante

função auxiliar, a seguir.

Toma-se a integral definida ∫b

adttf )( . Fixa-se o limite inferior a e faz-se variar o

limite superior. Então, o valor da integral dependerá desse limite superior variável, que será indicado por x. Fazendo-se x variar no intervalo [ ]ba, , obtém-se uma função )(xG , dada

por ∫=x

adttfxG )()( .

Intuitivamente, pode-se compreender o significado de )(xG , através de uma análise

geométrica. Se [ ]baxxf ,,0)( ∈∀≥ , a integral ∫b

adttf )( representa a área abaixo do gráfico

de f, entre a e b (Figura). Da mesma forma, ∫=x

adttfxG )()( nos dá a área abaixo do

gráfico de f, entre a e x (Figura). Pode-se observar que 0)( =aG e )(bG nos dá a área abaixo da curva de a até b.



93

Vamos agora determinar a derivada de )(xG .

14.3.1 Proposição

Seja f uma função contínua num intervalo fechado [ ]ba, . Então a função

[ ] ℜ→baG ,: , definida por ∫=x

adttfxG )()( tem derivada em todos os ponto [ ]bax ,∈ que

é dada por )()(' xfxG = , ou seja:

)()( xfdttfdx

d x

a=∫

Demonstração

Vamos determinar a derivada )(' xG , usando a definição

x

xGxxGxG

x ∆

−∆+=

→∆

)()(lim)('

0

Temos:

∫=x

adttfxG )()(

∫∆+

=∆+xx

adttfxxG )()(

∫∫ −=−∆+∆+ x

a

xx

adttfdttfxGxxG )()()()(

Usando P.3 podemos escrever:

∫∫∫∆+∆+

+=xx

x

x

a

xx

adttfdttfdttf )()()(

e então

∫∫∫∫∆+∆+

=−+=−∆+xx

x

x

a

xx

x

x

adttfdttfdttfdttfxGxxG )()()()()()(

Como f é contínua em [ ]xxx ∆+, , pelo teorema do valor médio, existe um ponto x entre x e xx ∆+ , tal que

( ) xxfxfxxxdttfxx

x∆=−∆+=∫

∆+).()(.)(

Portanto:

)(lim).(

lim)()(

lim)('000

xfx

xxf

x

xGxxGxG

xxx →∆→∆→∆=

∆

∆=

∆

−∆+=

Como x está entre x e xx ∆+ , segue que xx→ quando 0→∆x . Como f é contínua, temos:

)()(lim)(lim0

xfxfxfxxx

==→→∆

Logo: )()(' xfxG =

Pode-se observar que quando x é um dos extremos do intervalo [ ]ba, , os limites utilizados na demonstração serão limites laterais. )(' aG será uma derivada à direita e

)(' bG uma derivada à esquerda.



94

Uma importante conseqüência desta proposição é que toda função f(x) contínua num intervalo [ ]ba, possui uma primitiva que é dada por:

∫=x

adttfxG )()(

E pode-se então enunciar o Teorema Fundamental do Cálculo.

14.3.2 Teorema

Se f é contínua sobre [ ]ba, e se F é uma primitiva de f nesse intervalo, então:

∫ −=b

aaFbFdttf )()()(

Demonstração

Como f é contínua em [ ]ba, , pela proposição 14.3.1, temos que ∫=x

adttfxG )()( é

uma primitiva de f nesse intervalo. Seja )(xF uma primitiva qualquer de f em [ ]ba, . Então:

[ ]baxCxGxF ,,)()( ∈∀+= .

Como ∫ ==a

adttfaG 0)()( e ∫=

b

adttfbG )()( , calculando a diferença )()( aFbF − ,

obtemos:

[ ] ∫∫ =−=−=+−+=−b

a

b

adttfdttfaGbGCaGCbGaFbF )(0)()()()()()()(

Pode-se então escrever:

)()(|)()( aFbFxFdxxfb

a

b

a −==∫

Exemplos

Calcular as integrais definidas a seguir:

1) ∫3

1xdx

2) ∫ 20 cosπ

tdt

3) ( )∫ +−1

0

23 14 dxxx

4) ∫ +

1

0 2 1dx

x

x



95

15 Aplicações das Integrais Definidas

15.1 Cálculo de Áreas Planas Seja 0)( >= xfy , diferenciável no intevalo [ ]ba, . Então, a área da superfície

limitada pelo gráfico da curva )(xfy = , pelo eixo dos x e pelas retas ax = e bx = é obtida pela integral definida

∫=b

adxxfA )(

onde dxxf )( é a área de um retângulo elementar.

Caso 1: Cálculo da área da figura plana limitada pelo gráfico de f, pelas retas ax = e bx = e o eixo dos x, onde é contínua e [ ]baxxf ,,0)( ∈∀≥ .

Neste caso, a área é dada por ∫=b

adxxfA )(

Exemplo

Vamos encontrar a área da superfície limitada pela curva 22 += xy , pelo eixo dos x e pelas retas 1−=x e 2=x .

Solução



96

Caso 2: Cálculo da área da figura plana limitada pelo gráfico de f, pelas retas ax = e bx = e o eixo dos x, onde f é contínua e [ ]baxxf ,,0)( ∈∀≤ .

Neste caso, a área é dada por ∫=b

adxxfA )(

Exemplo

Calcule a área limitada pela curva 42 −= xy , o eixo dos x e as retas 2−=x e 2=x .

Solução

Caso 3: Cálculo da área da figura plana limitada pelos gráficos de f e g e pelas retas ax = e bx = onde f e g são funções contínuas em [ ]ba, e [ ]baxxgxf ,),()( ∈∀≥ . Neste caso,

pode ocorrer uma situação particular onde f e g assumem valores não negativos [ ]bax ,∈∀ .

Neste caso, a área é calculada por [ ]∫ ∫∫ −=−=b

a

b

a

b

adxxgxfdxxgdxxfA )()()()( .



97

Para o caso geral, obtemos o mesmo resultado. Basta imaginar o eixo dos x deslocado de tal maneira que as funções se tornem não negativas, [ ]bax ,∈∀ .

Se descermos o eixo dos x, h unidades abaixo, podemos observar que a área A da região, não se altera. Então, se calcularmos a área usando o plano cartesiano com o eixo x’, temos:

[ ] [ ] [ ] [ ]∫∫∫∫ −=−−+=+−+=b

a

b

a

b

a

b

adxxgxfdxhxghxfdxhxgdxhxfA )()()()()()('

Ainda, como 'AA = , temos:

[ ]∫ −=b

adxxgxfA )()(

Exemplos

1) Encontre a área limitada por 2xy = e 2+= xy .

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4



98

2) Encontre a área da região limitada pelas curvas 3,6 xyxy =+= e 2

xy −= .

3) Calcule a área da superfície limitada por um ciclo da ciclóide

−=

−=

θθθ

cos1y

senx.

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-8 -6 -4 -2 0 2 4

-2

-1

0

1

2

3

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8



99

4) Calcule a área do laço da curva ( )xxy += 2.42 .

-3

-2

-1

0

1

2

3

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3



100

15.2 Comprimento de Arcos de Curvas Planas

15.2.1 Na forma y = f(x) Seja C uma curva de equação y = f(x), onde f é contínua e derivável em [ ]ba, .

Queremos determinar o comprimento do arco da curva C, de A até B. Seja P uma partição de [ ]ba, , dada por: bxxxxxxa nii =<<<<<<<= − ...... 1210

Sejam nii QQQQQQ ,...,,,...,,, 1210 − os correspondentes pontos sobre a curva C.

Unindo os pontos nii QQQQQQ ,...,,,...,,, 1210 − , obtemos uma poligonal, cujo comprimento

nos dá uma aproximação do comprimento do arco da curva C, de A até B. O comprimento da poligonal, denotado por nl , é dado por:

( ) ( )∑=

−− −+−=n

i

iiiin xfxfxxl1

21

21 )()( (1)

Como f é derivável em [ ]ba, , podemos aplicar o teorema do valor médio em cada

intervalo [ ] nixx ii ,...,2,1,,1 =− e escrever

)).((')()( 11 −− −=− iiiii xxcfxfxf , onde ( )iii xxc ,1−∈

Substituindo em (1), temos:

( ) [ ]( ) [ ] ( )⇒−+=⇒−+−= −==

−− ∑∑ 11

2

1

21

21 )('1)(' ii

n

i

in

n

i

iiiiin xxcflxxcfxxl

[ ] 11

2 ,.)('1 −=

−=∆∆+=∑ iiii

n

i

in xxxxcfl (2)

A soma que aparece em (2) é uma soma de Riemann da função [ ]2)('1 icf+ .

Podemos observar que à medida que n cresce muito e cada ),...,2,1( nixi =∆ torna-se muito

pequeno, nl aproxima-se do que intuitivamente entendemos como o comprimento do arco

da curva C, de A até B.

y

x 0 a=x0 x1 x2 x3 xi-1 xi xn-1 b=xn

A=Q0

Q1

Q2 Q3

Qi-1 Qi

Qn-1

B=Qn



101

Definição

Seja C uma curva de equação )(xfy = , onde f é uma função contínua e derivável

em [ ]ba, . O comprimento do arco da curva C, do ponto ( ))(, afaA ao ponto ( ))(, bfbB ,

que denotamos por s, é dado por: [ ]∑=

→∆∆+=

n

i

iix

xcfsi 1

2

0max.)('1lim , se o limite existir.

Pode-se provar que, se )(' xf é contínua em [ ]ba, , o limite existe. Então, temos:

[ ]∫ +=b

adxxfs

2)('1

Exemplos

1) Calcular o comprimento do arco da curva dada por 423−= xy , de )3,1( −A até )4,4(B .

Solução

2) Calcule o comprimento da catenária

=

10cosh10

xy de 10−=x a 10=x .



102

15.2.2 Na forma x = g(y) Podem ocorrer situações em que a curva C é dada por )(ygx = , em vez de

)(xfy = . Neste caso, o comprimento do arco da curva C de ( )ccgA ),( até ( )ddgB ),( , é dado por:

[ ]∫ +=d

cdyygs

2)('1 .

Exemplo

Calcular o comprimento do arco dado por 16

1

2

1 3 −+=y

yx , 31 ≤≤ y .

Solução

a b

y

x 0

c

d

A

B



103

15.2.3 Na Forma Paramétrica

Vamos agora, calcular o comprimento do arco de uma curva C, dada na forma

paramétrica pelas equações [ ]10 ,)(

)(ttt

tyy

txx∈

=

= onde )(txx = e )(tyy = são contínuas

com derivadas contínuas e 0)(' ≠tx para todo [ ]10 , ttt∈ .

Estas equações definem uma função )(xfy = , cuja derivada é dada por )('

)('

tx

ty

dx

dy= .

Para calcular o comprimento do arco de C, vamos fazer uma mudança de variáveis na fórmula do comprimento. Substituindo )(txx = e dttxdx )('= , obtemos:

[ ] ∫∫

+=+=

1

0

)(')('

)('1)('1

2

2 t

t

b

adttx

tx

tydxxfs , onde atx =)( 0 e btx =)( 1 . Portanto

[ ] [ ]∫ +1

0

22 )(')('t

tdttytx

Exemplo

Calcular o comprimento da hipociclóide

=

=

ty

tsenx

3

3

cos2

2.

Solução



104

15.3 Volume de um Sólido de Revolução Consideremos agora o problema de definir o volume do sólido T, gerado pela

rotação em torno do eixo dos x, da região plana R, conforme mostra a figura. Suponhamos que y = f(x) é contínua e não negativa em [ ]ba, . Consideremos uma

partição P de [ ]ba, , dada por: bxxxxxxa nii =<<<<<<<= − ...... 1210 . Seja 1−−=∆ iii xxx

o comprimento do intervalo [ ]ii xx ,1− . Em cada intervalo [ ]ii xx ,1− , escolhemos um ponto

qualquer ic . Para cada nii ,...,2,1, = , construímos um retângulo iR , de base ix∆ e altura

)( icf . Fazendo cada retângulo iR girar em torno do eixo dos x, o sólido de revolução

obtido é um cilindro, cujo volume é dado por [ ] ii xcf ∆.)(. 2π , conforme mostra a figura.

A soma dos volumes dos n cilindros, que representamos por Vn, é dada por

[ ] [ ] [ ] [ ]∑=

∆=∆++∆+∆=n

i

iinnn xcfxcfxcfxcfV1

222

221

21 .)(.)(.....)(..)(. ππππ

e nos dá uma aproximação do volume do sólido T.

y=f(x)

a b

y

x 0

f(ci)

ci xi-1 xi



105

Podemos observar que à medida que n cresce muito e cada nixi ,...,2,1, =∆ torna-se

muito pequeno, a soma dos n cilindros aproxima-se do que intuitivamente entendemos como volume do sólido T.

Definição

Seja y = f(x) uma função contínua não negativa em [ ]ba, . Seja R a região sob o gráfico de f de a até b. O volume do sólido T, gerado pela revolução de R em torno do eixo x, é definido por

[ ]∑=

∆∆=

→

n

i

iix

xcfVi 1

2

max.)(.lim

0

π (3)

A soma que aparece em (3) é uma soma de Riemann da Função [ ]2)(xf . Como f é contínua, o limite em (3) existe e então, pela definição da integral definida, temos:

[ ]∫=b

adxxfV

2)(.π

Alguns casos devem ser analisados.

1º Caso: A função f(x) é negativa em alguns pontos de [ ]ba,

O sólido gerado pela rotação da Figura 1 em torno do eixo dos x, coincide com o

sólido gerado pela Figura 2 da função )(xf . Como [ ]22)()( xfxf = , a fórmula para

cálculo de volumes continua válida.

2º Caso: A região R está entre os gráficos de duas funções )(xf e g(x) de a até b.

Supondo [ ]baxxgxf ,),()( ∈∀≥ , o volume do sólido T, gerado pela rotação de R em torno do eixo dos x, é dado por

[ ] [ ]{ }∫ −=b

adxxgxfV

22 )()(.π



106

3º Caso: Ao invés de gerar ao redor do eixo dos x, a região R gira em torno do eixo dos y.

Neste caso, temos

[ ]∫=d

cdyygV

2)(.π

4º Caso: A rotação se efetua ao redor de uma reta paralela a um dos eixos coordenados.

Se o eixo de revolução for a reta Ly = , temos

[ ]∫ −=b

adxLxfV

2)(.π

Se o eixo de revolução for a reta Mx = , temos

[ ]∫ −=d

cdyMygV

2)(.π



107

Exemplos

1) A região R, limitada pela curva 2

4

1xy = , o eixo dos x e as retas 1=x e 4=x , gira em

torno do eixo dos x. Encontrar o volume do sólido de revolução gerado.

Solução

2) Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região

limitada pela parábola ( )234

1xy −= e pela reta ( )5

2

1+= xy .

Solução

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5



108

3) Calcular o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo dos x, da região entre

o gráfico da função senxy = e o eixo dos x, de 2

π− até

2

3π.

Solução

4) A região R, delimitada pela parábola 12

1 2 += yx e pelas retas 1−=x , 2−=y e 2=y

gira em torno da reta 1−=x . Determinar o volume do sólido de revolução obtido.

-2

-1

0

1

2

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-2

-1

0

1

2

-3 -2 -1 0 1 2 3 4



109

15.4 Área de uma Superfície de Revolução Quando uma curva plana gira em torno de uma reta no plano, obtemos uma

superfície de revolução. Vamos considerar o problema de determinar a área da superfície de revolução S,

obtida quando uma curva C, de equação [ ]baxxfy ,),( ∈= , gira em torno do eixo dos x.

Vamos supor que [ ]baxxf ,,0)( ∈∀≥ e que é uma função derivável em [ ]ba, .

Como foi feito para o cálculo do volume, dividimos o intervalo [ ]ba, em n subintervalos

bxxxxxxa nii =<<<<<<<= − ...... 1210 . Sejam nii QQQQQ ,...,.,,...,, 110 − os correspondentes

pontos sobre a curva C. Unindo os pontos nii QQQQQ ,...,.,,...,, 110 − , obtemos uma linha

poligonal que aproxima a curva C. Fazendo cada segmento de reta desta linha poligonal girar em torno do eixo dos x, a superfície de revolução obtida é um tronco de cone.

y=f(x)

a b

y

x 0

C

y

x 0 a=x0 x1 x2 x3 xi-1 xi xn-1 b=xn

A=Q0

Q1

Q2 Q3

Qi-1 Qi

Qn-1

B=Qn



110

( ) grrAT .. 21 +=π , onde:

troncodogeratrizg

maiorbasedaraior

menorbasedaraior

→

→

→

2

1

Logo, ( ) ( )[ ] iiii sxfxfA ∆−= − .. 1π . Sendo ( ) ( ) ( )2

1 iii

xfxfcf

+= − , pelo teorema do valor

médio, temos ( ) iii scfA ∆= ..2π . Como iii QQx 1−=∆ . Usando o Teorema de Pitágoras,

temos

( ) ( ) ( )( )212

1 −− −+−=∆ iiiii xfxfxxs (4)

Como f é derivável no intervalo [ ]ba, , podemos aplicar o Teorema do Valor Médio em

cada [ ] nixx ii ,...,2,1,,1 =− . Então para cada ni ,...,2,1= , existe um ponto ( )iii xxd ,1−∈ tal que

( ) ( ) ( )( )11 .' −− −=− iiiii xxdfxfxf e então ( ) ( ) ( ) iiii xdfxfxf ∆=− − .'1 .

Substituindo em (4), temos:

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] iiiiiii xdfsxdfxs ∆+=∆⇒∆+∆=∆ .'1' 222

Substituindo em iA , temos:

( ) ( )[ ] iiii xdfcfA ∆+= .'1..2 2π

Podemos observar que quanto n cresce muito e cada ix∆ torna-se muito pequeno, a

soma das áreas laterais do n troncos de cone, aproxima-se do que intuitivamente entendemos como a área da superfície S.

Definição

Seja C uma curva de equação )(xfy = , onde f e f’ são funções contínuas em [ ]ba,

e [ ]baxxf ,,0)( ∈∀≥ . A área da superfície de revolução S, gerada pela rotação da curva C ao redor do eixo dos x, é definida por

( ) ( )[ ]∑=

→∆∆+=

n

i

iiix

xdfcfAi 1

2

0max.'1..2lim π

Esta soma não é exatamente uma soma de Riemann da função [ ]2)('1).( xfxf + ,

pois aparecem dois pontos distintos ic e id . No entanto, é possível mostrar que o limite

acima é a integral desta função. Temos então

( ) ( )[ ]∫ +=b

adxxfxfA .'1..2 2π

Observamos que, se ao invés de considerarmos a curva )(xfy = girando em torno

do eixo dos x, considerarmos uma curva [ ]dcyygx ,),( ∈= , girando em torno do eixo y, a área será dada por:

( ) ( )[ ]∫ +=d

cdyygygA .'1..2 2π



111

Exemplos

1) Calcular a área da superfície de revolução obtida pela rotação, em torno do eixo dos x,

da curva dada por 44

1,4 ≤≤= xxy .

Solução

2) Calcular a área da superfície de revolução obtida pela rotação, em torno do eixo dos y,

da curva dada por 10,3 ≤≤= yyx .

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-1

0

1

2

-2 -1 0 1 2

integrais1

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