integrale impropre

ENSAM-Casablanca Analyse 2Universite Hassan II 2012-2013Mohammedia-Casablanca A. Rachid & Y. Benslimane

Fiche - Integrales impropres

Exercice 1. Calculer les integrales generalisees suivantes :

a)0

dx(1+ex)(1+ex)dx

b)0

e

x

xdx

c) 10

ln(x)dx

d)0

ln(x)x2 dx

e)0

dx1+x3 dx

f) 10

ln(x)(1+x)2 dx

g)0

arctan(x)1+x2 dx

h) /20

cos(2x)sin(2x)

dx

i) /20

dxtan(x)

dx

Exercice 2. Etudier la convergence des integrales suivantes :

1)0

e1/x1x dx 2)

/2/2 ln(1 + sinx)dx 3)

0

1+sin(x)

1+x3dx

Exercice 3. Etudier pour quelles valeurs de n N lintegrale I(n) = 1

ln(x)

xndx converge et calculer I(n)

dans ce cas.

Exercice 4. Soit I =

0

ex e2x

xdx.

1. Montrer que I est convergente

2. Pour > 0, etablir

ex e2x

xdx =

2

ex

xdx.

3. En deduire la valeur I.

Exercice 5. Soit f une fonction de classe C1 de R dans R telle que, f (x) = O( 1x ).1. Montrer que les limites lim

xf(x) et lim

x+f(x) existent.

2. On suppose en outre que, pour tout x R, on a |f (x)| 6 1x2+1 . Montrer

| limx+

f(x) limx

f(x)| 6

Exercice 6. 1. Etudier pour quelles valeurs de n N lintegrale Jn = 0

dx

(x3 + 1)ndx Converge.

2. Calculer J1 puis montrer que si n > 2, on a Jn+1 = 3n13n Jn.

3. Deduire Jn si n > 1.

Exercice 7. (Devoir)1. Montrer que x > 1, ln(1 + x) 6 x.

2. Soit n N. Montrer que x [0, n], (1 xn )n 6 ex 6 (1 + xn )

n.

3. En deduire que n0

(1 +x2

n)ndx 6

n0

ex2

dx 6 n0

1

(1 + x2

n )ndx.

On rappelle les integrales de Wallis :In =

/20

(cos(t))ndt

2n.

4. Montrer que

0

1

(1 + t2)ndt existe et vaut I2n2.

5. Montrer que

0

ex2

dx existe et vaut2 .

1



1



Correction 1

Correction 2

Correction 3

Correction 4

Correction 5

Correction 6

Correction 7

1

integrale impropre

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