integrales dobles 01_01
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Material sobre integrales doblesTRANSCRIPT
Notas de Clase
2007
Cálculo Vectorial
Integrales Dobles
M. M. Añino Cálculo Vectorial 2007
1.- La integral definida y el cálculo de áreas. 2.- La integral doble y el cálculo de volúmenes. 3.- La integral doble sobre un rectángulo. 4.- Integrales Iteradas. 5.- El teorema de Fubini. 6.- Principio de Cavalieri. 7.- La integral doble sobre regiones más generales. 8.- La integral doble sobre regiones tipo I. 9.- La integral doble sobre regiones tipo II. 10.- Propiedades de la integral doble. Bibliografía:
1. STEWART, J.: “Cálculo. Trascendentes tempranas”
(Cuarta Edición). Thomson-Learning. 2001
2. MARSDEN, J. E. y TROMBA, A. J. : “Cálculo
Vectorial” (Cuarta Edición), Addison-Wesley
Iberoamericana, 1998.
Integral Definida
función continua definida en:
subintervalos
Si f(x) ≥ 0
A
Área bajo la curva
1
Volúmenes e Integrales dobles
2
Objetivo:
Calcular el volumen encerrado por :
El plano z = 0
Los planos x = a, x = b
Los planos y = c, y = dY la superficie definida por z = f (x, y)
3
DEFINIMOS UNA PARTICIÓN EN R
Se subdivide en partes
Se subdivide en partes
Esta partición genera m.n subrectángulos Rij
4
5
Vij =
6
7
Integrales dobles sobre rectángulos
Sea R = [a, b]x[c, d] un rectángulo en R2
f(x,y) definida en el rectángulo R
En R se efectúa una Partición (según lo visto anteriormente)
Se define la doble suma de Riemann:
Si existe el límite:
8
Se dice entonces que f(x,y) es integrable en el rectángulo R y a dicho límite se lo indica:
Significado del límite
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Notas
El límite si existe es independiente del punto de evaluación elegido
Una interpretación geométrica
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Un Teorema
Si f(x,y) es continua en R entonces el límite existe y se dice que f es integrable en R.
Integrales Iteradas
f(x,y) definida y continua en R
R = [a,b]x[c,d]
Mantenemos la variable x fija e integramos con respecto a la variable y
Mantenemos la variable y fija e integramos con respecto a la variable x
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Cálculo de la integral doble sobre un rectángulo:
Teorema de FubiniSi f(x,y) es continua en un rectángulo R,
entonces:
Nota:
Una demostración formal puede encontrarse en
Textos de Cálculo (Ver Cálculo vectorial de Marsden )
Es posible dar una justificación del teorema de Fubini para un caso particular:
f(x,y) ≥ 0
usando el Método de Cavalieri
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Bonaventura Cavalieri
(1598-1647)
Discípulo de Galileo y profesor en Bolonia
¿En qué consiste el Método de Cavalieri para determinar volúmenes?
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Principio de Cavalieri
,-, ....., , ..... , .....0 - 1
* ,-
*
x x
a bb aa x x x x b xi i n n
x x xi i i
bx x dxi
a
≈
= =
∑ ∫→ ∞
∆V A( )∆ (Volumendeunasección cilíndrica)
efectuandouna particiónen[ ]
,con ∆ =
cualquier punto en[ ]1
Resulta:
nlimV= A( )∆x= A( )
n i=1
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Apliquemos Cavalieri para calcular el volumen del cuerpo acotado por los planos x = a, x = b, y = c, y = d, z = 0 y debajo de z = f(x, y)
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Teorema de Fubini
Justificación para el caso: f(x,y) 0
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Plano de
Referencia
Y=0
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Integrales dobles sobre regiones más generales
D es una región acotadaf(x,y)es continua en D
Si (x,y) está en D
Si (x,y) está en R pero no en D
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Si (x,y) está en D
Si (x,y) está en R pero no en D
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Regiones D en el plano del tipo I
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Integrales dobles para funciones definidas en regiones tipo II
Región Tipo II:
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Propiedades de las Integrales Dobles
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