INTEGRALES IMPROPIAS

• Hasta ahora hemos estudiado la integral de Riemann de una función f acotada y definida en un intervalo cerrado y acotado [a, b], con ,a b∈ . Ahora generalizamos este concepto.

1. Integral de una función acotada, definida en un intervalo no acotado (Integral impropia de 1ª especie). Ejemplo:

1( ) en [1, )f xx

= ∞

2. Integral de una función no acotada, definida en un

intervalo acotado (Integral impropia de 2ª especie). Ejemplo:

1( ) en (0,1]f xx

=

3. Integral de una función no acotada, definida en un

intervalo no acotado (Integral impropia de 1ª y 2ª especie). Ejemplo:

1

0 0 1

1ª especie 2ª especie

1 1 1 1( ) en (0, )f x dx dx dxx x x x

∞ ∞= ∞ ⇒ = +∫ ∫ ∫

• Definición: Sea f una función acotada definida en el intervalo [ , ),a a∞ ∈ . Si para todo b>a la función es integrable en [a, b] y además es finito el límite lim ( )

b

abf x dx

→∞< ∞∫ , se dice que existe la integral

impropia de f en [ , )a ∞ y es convergente. Ejemplo:

[ )2

12 2 11 1

1( ) en 1, ;

1 1 1lim lim lim 1 1b b

b b b

f xx

dx dx xx x b

∞ −

→∞ →∞ →∞

= ∞

= = − = − + = ∫ ∫

• Definición: Sea f una función acotada definida en el intervalo ( , ],b b−∞ ∈ . Si para todo a<b la función es integrable en [a, b] y además es finito el límite lim ( )

b

aaf x dx

→−∞< ∞∫ , se dice que existe la integral

impropia de f en ( , ]b−∞ y es convergente. • Definición: Sea f una función acotada definida en el

intervalo ( , )−∞ ∞ . Si para todo a<b la función es integrable en [a, b] y además son finitos los límites lim ( )

b

aaf x dx

→−∞< ∞∫ y lim ( )

b

abf x dx

→∞< ∞∫ , se dice que

existe la integral impropia de f en ( , )−∞ ∞ y es convergente, es decir,

( ) lim ( ) lim ( )c b

a ca bf x dx f x dx f x dx

∞

−∞ →−∞ →∞= + < ∞∫ ∫ ∫

• Observación:

Valor Principal en sentido de Cauchy

Si existe ( ) ( ) lim ( )b

bbf x dx f x dx f x dx

∞ ∞

−∞ −∞ −→∞⇒ =∫ ∫ ∫

La implicación contraria no se da.

Condiciones para la existencia de la integral impropia de 1ª especie:

a) Condición necesaria: Si existe (converge)

0( )f x dx

∞

∫ , entonces lim ( ) 0x

f x→∞

= . b) Condición necesaria y suficiente: si f es una

función acotada definida en [ , ),a a∞ ∈ e integrable en [a, b] b a∀ ≥ , con función primitiva F tal que lim ( )

bF b k

→∞= < ∞ , entonces

( )a

f x dx∞

∫ es convergente y

( ) ( )a

f x dx k F a∞

= −∫ • Criterios de Comparación: Si f es integrable en el

intervalo [a, b] b a∀ ≥ , g en una función tal que 0 ( ) ( ) [ , )f x g x x a≤ ≤ ∀ ∈ ∞ , y la integral de g en [ , )a ∞ es convergente, entonces la integral f en [ , )a ∞

es convergente y ( ) ( )a a

f x dx g x dx∞ ∞

≤∫ ∫ . Además si la integral f en [ , )a ∞ es no convergente, entonces la integral de g en [ , )a ∞ no es convergente.

Ejemplo:

22

12 2 2 2 22 2

1 es convergente para todo 2 ya que(1 )

1 1 1 1 10 y lim lim .(1 ) 2

x

b b

x b b

dx xx e

dx dx xx e x x x

∞

∞ −

→∞ →∞

≥+

≤ ≤ = = − = +

∫

∫ ∫ Ejemplo:

5 / 31

2 / 3 2 / 3 1/ 35 / 3 5 / 3 11

2 es divergente para todo 1 ya que22 1 1 1 y lim 3 .

2 2 2 2 2b

b

x dx xx

x x x x dx xx x

∞

∞− −

→∞

+≥

+ > = = = ∞

∫

∫

Ejercicio: Estudie para qué valores de α ∈ es

convergente la integral de la función 1( )f xxα

= en el

intervalo [ , ), con 0.a a∞ >

• Integrales impropias de 2ª especie Definición: Sea f una función definida en (a, b] y supóngase que f es integrable en [ , ] 0a bε ε+ ∀ > . Si

existe y es finito el límite 0

lim ( )b

af x dx

εε + +→< ∞∫ , se dice

que existe la integral impropia de f en (a, b] y es convergente. Análogamente:

- La integral de una función f no acotada en el intervalo [a, b) se define como el límite (cuando existe y es finito):

0lim ( )

b

af x dx

ε

ε +

−

→ ∫ .

- Si la función f no está acotada en c∈ [a, b], entonces

se define

0 0( ) ( ) ( ) lim ( ) lim ( )

b c b c b

a a c a cf x dx f x dx f x dx f x dx f x dx

ε

εε ε+ +

−

+→ →= + = +∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Teorema: Sea f una función definida en (a, b] que tiene función primitiva F. Entonces si

0lim ( )F a kε

ε+→

+ = se

verifica que ( )b

af x dx∫ es convergente y además

( ) ( )b

af x dx F b k= −∫

Ejercicio: Estudie la convergencia de:

y de:2

( ) ln( ), (0,1]1( ) , [ 2,3]

f x x x

g x xx

= ∈

= ∈ −

• Criterios de comparación: Si la función f es integrable en [ , ] 0,a b a bε ε ε+ ∀ > + < y g es una función tal que 0 ( ) ( ) ( , ],f x g x x a b≤ ≤ ∀ ∈ se tiene que:

a) Si la integral de g es convergente entonces la integral de f es convergente y

( ) ( )

b b

a af x dx g x dx≤∫ ∫

b) Si la integral de f es no convergente entonces la

integral de g es no convergente.

INTEGRALES EULERIANAS

• Definición: Se define la función Gamma de parámetro

p como la integral: 1

0( ) p xp x e dx

∞ − −Γ = ∫ • Proposición: Existencia⇒Si p>0, la integral ( )pΓ es

convergente. Demostración:

( )1

1 1

1

Sea el intervalo 0, (0,1) [1, ).

1) Sea ( ) , definida en (0,1); 1 1entonces como 0 , basta con demostrar

1que es convergente la integral en (0,1) de la función

para 0, para co

x p

x p p

p

f x e x

e x x

xp

− −

− −

−

∞ = ∪ ∞

=

≤ ≤

>

[ ]

1

1

1 0 010

1

0 0

ncluir que también será convergente 1la integral en (0,1) de la función para 0 :

1 , si 01 1 1lim lim1, si 0

lim ln lim ln , si 0

x p

p p

p

pe x

ppx

p p pdx pxx p

ε εε

εε ε

ε

ε

+ +

+ +

−

→ →−

→ →

>

> = − = = −∞ < = − = ∞ =

∫

Por tanto, para p>0 será convergente 1 1

0

x pe x dx− −∫ .

11

2 2

12 2 11 1

1

1

1

0

1 12) Sabemos que [1, ) : 0

1 1 Como lim lim 1,

entonces 0< 1, .

En definitiva, de 1) y de 2) se tiene que es

convergen

pp x

x

b b

b b

p x

p x

xx x e pe x x

dx dx xx x

x e dx p

x e dx

+− −

∞ −

→∞ →∞

∞ − −

∞ − −

∀ ∈ ∞ ≤ = ≤ ∀

= = − =

< ∀

∫ ∫

∫∫

te para 0.p >

• Propiedades:

1) (1) 12) ( ) ( 1) ( 1), 13) Si y 2 ( ) ( 1)!

4) (1/ 2)

p p p pp p p p

π

Γ =Γ = − Γ − >

∈ ≥ ⇒Γ = −

Γ =

• Definición: Se define la función beta de parámetros p

y q como:

1 1 1

0( , ) (1 )p qp q x x dxβ − −= −∫ ,

y es convergente para 0, 0p q> >

• Propiedades:

[ ] [ ]

1 1 1

0

/ 2 2 1 2 1

0

1) ( , ) ( , )2) (1, ) 1/

-13) ( , ) (1 ) = ( 1, 1), 0, 1

( ) ( )4) ( , )( )

5) ( , ) 2 sin( ) cos( ) , , 0

p q

p q

p q q pq q

qp q x x dx p q p qq

p qp qp q

p q d p qπ

β ββ

β β

β

β θ θ θ

− −

− −

==

= − + − ∀ > >

Γ Γ=Γ +

= ∀ >

∫

∫

INTEGRALES DOBLES (apuntes extraídos de Moisés Villena)

Definición

De aquí surge la definición de integral doble:

Aquí pudimos haber integrado con respecto a x , y luego con respecto a y igualmente. Hágalo como ejercicio.

Integrales dobles sobre regiones generales:

1) Haciendo un barrido vertical:

2) Haciendo un barrido horizontal:

Ejemplo 4