INTEGRALES IMPROPIAS, CORDENADAS POLARES, CENTRO DE MASA (CENTROIDE) 11 de diciembre de 2011 CALCULO INTEGRALPgina1 INGENIERIA CIVIL MATERIA:CALCULO INTEGRAL TEMA: oINTEGRALES IMPROPIAS oCORDENADAS POLARESoCENTRO DE MASA (CENTROIDE) INTEGRANTES: PROFESOR: YURY M. MALAGA TEJADA CICLO: II TACNA-PERU INTEGRALES IMPROPIAS, CORDENADAS POLARES, CENTRO DE MASA (CENTROIDE) 11 de diciembre de 2011 CALCULO INTEGRALPgina2 INTEGRALES IMPROPIAS 1)IntroduccinEnladefinicindelaintegraldeRiemannseimpusierondoscondicionesfundamentales que son: 1.Se define en el intervalo cerrado y acotado [a, b], a < b 2.Se define para funciones acotadas en [a, b] El propsito, es extender la nocin de integral al caso de intervalo no acotados, y al caso de funciones no acotadas sobre un intervalo acotado. Estas dos extensiones dan origen a las llamadas integrales impropias de primera y segunda especie respectivamente. Partamos por la definicin del primer tipo de stas: Definicin (Integral Impropia de Primera Especie (Intervalo no Acotado)). Sea ) : , f a + diremos quefes integrable en ) , a + si se cumple que:(i) ( ) , , x a f e +es integrable en | | , ax y adems (ii) Existe el lmite definido por limxa xf+} Notacin: Si una funcin es integrable en el intervalo:) , a entonces al valor del lmite se lellama integral impropia de primera especie def y se le denota limxa a xf f+=} } Observaciones 1.Siellmitelimxa xf}existe,sedicequelaintegralimpropiaesconvergenteysino existe se dice que la integral impropia es divergente. INTEGRALES IMPROPIAS, CORDENADAS POLARES, CENTRO DE MASA (CENTROIDE) 11 de diciembre de 2011 CALCULO INTEGRALPgina3 2.De una manera anloga se definen las integrales de 1especie siguiente (i)limb bx xf f =} } (ii) ccf f f = +} } }dondelaconstantec epuedesercualquiera.Enestaltima definicin es importante que las dos integrables de la derecha existan o que sean convergente.Sialgunadeestasintegralesnoconvergeentonceslaintegraldela izquierda tampoco. EjemploDado0 a > y, estudiar la convergencia de la integral adxx+} Claramente ( )1f xx= es integrable en | | , a bpara cualquierb a > . Veamos el lmite lim limlnxa a x xdx dt xx t a+ ( | |= = = - |(\ . } } Por lo tanto se trata de una integral divergente. Ejemplo Dado0 a > y 1 a = ,estudiarlaconvergenciadelaintegral adxxo} Nuevamentebastacon estudiar el lmite: ( )1 1lim lim1 1xxa a x xadx dtx t a to o o+ = = } }

( ) ( )11 1 1 1 1lim1 1 1 1xx a ao o oo o | |= = | \ . -

Si1 o >Si1 o y divergente si1 o =s}INTEGRALES IMPROPIAS, CORDENADAS POLARES, CENTRO DE MASA (CENTROIDE) 11 de diciembre de 2011 CALCULO INTEGRALPgina5 4.En forma anloga se definen las integrales impropias siguiente: (i)limb ba xx af f++=} }

(ii)( ) ,b c ba a cf f f c a b + += + e} } } Enestaultimadefinicinlaintegralentrea+ybconvergesilasdosintegralesdela derecha convergen por separado. EjemploEstudiar la convergencia de la integral impropia ( )badxb x o}para diversos valores deo e. Caso 1 o = . En este caso se tiene: ( )0 0lim lim lnb bbaa adx dxb xb x b xccc c+ + = = } } ( ) { }0limln ln b acc+= = - Por lo tanto, en este caso la integral impropia es divergente. Caso1 o = . En este caso los clculos son ( ) ( ) ( )( )10 01lim lim1b bbaa adx dxb x b x b xcco o oc co+ + = = } } ( )( )( ) ( )1 1 101 1 1 1 1lim1 1b a b ao o oco c o+ | |= =| | \ . - INTEGRALES IMPROPIAS, CORDENADAS POLARES, CENTRO DE MASA (CENTROIDE) 11 de diciembre de 2011 CALCULO INTEGRALPgina6 Juntando estos dos ejemplos podemos resumir diciendo que11 ( )baconverge sidxdiverge si b x ooo < = > } Definicin(IntegralesImpropias deTercera EspecieoMixtas).SonIntegralesImpropias las que se obtienen combinando integrales impropias de 1 y 2 especie. Por ejemplo: 0 12 2 2 2 21 1 0 1dx dx dx dx dxx x x x x++ + = = + +} } } } Estetipodeintegralserconvergentesicadaunadesuscomponentesesunaintegral convergente. Algunos criterios de convergencia para integrales impropias Nosdedicaremosprimeramenteaestableceralgunoscriteriosdeconvergenciapara integrales impropias de funciones no negativas. Observacin: 1.Sif es una funcin creciente en | ) , a + entonces, cuando ( ) , x f x + Leo bien ( ) f x + INTEGRALES IMPROPIAS, CORDENADAS POLARES, CENTRO DE MASA (CENTROIDE) 11 de diciembre de 2011 CALCULO INTEGRALPgina7 2.Sif esunafuncincrecienteen | ) , a b ,entoncescuando ( ) ; x b f x L eo bien( ) f x + Loanteriorsurgedelhechodequef puedeseracotada,ono,enlosintervalos considerados. Teorema(CriteriodeComparacin).Seanf yg funcionescontinuasen | ) , a + tales que: ( )( ) ( ) ( )( ) 0 b a x b f x g x - > > s sEntonces: a asi g converge f converge+ +} } a areciprocamente si f diverge g diverge+ +} } Demostracin.Comolasfuncionesf yg soncontinuas,entoncessonintegrablesen | | , ax para todo x a > .Adems x b xa a bf f = +} } },(lo mismoparag )porlo tantoesclaro que a b a bf converge si f converge y g converge si g vonverge } } } } Luego, para demostrar el teorema basta con estudiar las integrales impropias en | ) , b +Sean:( ) ( )x xb bf x f y Gx g = =} }entonces,comosesabeque | | ( ), t bx e setiene ( ) ( ) 0 f t gt s s entoncesintegrandodeb ax seobtieneque ( ) ( ), f x Gx s | ) , x b e + ComoademslasfuncionesFyGsoncrecientes,elresultadodelteoremaseobtiene directamentedelaobservacin7.1.Enefecto,si bg converge+}entonces ( ) Gx es INTEGRALES IMPROPIAS, CORDENADAS POLARES, CENTRO DE MASA (CENTROIDE) 11 de diciembre de 2011 CALCULO INTEGRALPgina8 acotada,yentoncestambin ( ) f x loesconlocualexiste( ) limxf x+osea,laintegral impropia bf+} es convergente Observacin: Para integrales impropias del tipo ba}el enunciado del teorema es anlogo ytienelamismademostracin.Seproponecomoejercicio,enunciardichoteoremay demostrarlo. EjemploEstudiar la 21senxdxx+} Claramente se tiene que 2 210senxx xs s1. x >Luego como la integral21dxx+} es conocidamente convergente, se concluye directamente que la integral21dxx+}es tambin convergente. Teorema(Criterio del cociente de funciones). Seanf yg funcionescontinuasen | ) , a + ynonegativasen| ) , b + ,dondeb a > y tales que: ( )( )lim 0xf xLg x+= = Entonceslasintegralesimpropias af+}y ag+}sonambasconvergentesoambas ivergentes. Observacin:elmismocriterioseocupaparalasintegralesdesegundaespecie.Muchas vecesseusaelteoremaanteriorparaestudiarlaconvergenciade unaintegralimpropia, comparndola con las integrales de la forma INTEGRALES IMPROPIAS, CORDENADAS POLARES, CENTRO DE MASA (CENTROIDE) 11 de diciembre de 2011 CALCULO INTEGRALPgina9 11dxxo} O bien ( )1badxb x o} Cuyoscomportamientossonyabienconocidosenfuncindeo .Cuandoesta comparacinesposible,elcomportamientodelaintegralimpropiaenestudiosepuede resumir en las siguientes reglas: 1.( )af x dx+} Converge si( ) lim 0xx f x Lo+= > con1 o > 2.( )bf x dx} Converge si( ) lim 0xx f x Lo+ = >con1 o >3. ( )baf xdx} Converge si( ) ( ) lim 0x bb x f x Lo = >con1 o con1 o < Convergencia absoluta Revisaremosahoralanocindeconvergenciaabsolutadeintegralesimpropias. Trataremos slo el caso de integrales de primera especie, sin embargo puede extenderse alosdemstiposdeintegralesimpropias.Esunbuenejercicioparallevaracabocon detalle esta extensin. Definicin(Convergenciaabsoluta).Sea| ) : , f a + ,diremosque af+}es absolutamente convergente si af}converge. INTEGRALES IMPROPIAS, CORDENADAS POLARES, CENTRO DE MASA (CENTROIDE) 11 de diciembre de 2011 CALCULO INTEGRAL Pgina10 Notar que en un principio la definicin no dice nada acerca de la convergencia de af+}. Sin embargo el siguiente teorema muestra la relacin entre la convergencia absoluta y la convergencia. Teorema 1.3. Sea| ) : , f a + , se tiene que af+}converge absolutamente af+}converge. Demostracin. Es claro que f f f s s / f +0 2 f f f s + sLuego,porelCriteriodeComparacin,comoporhiptesis af+}convergeentonces af f++}converge. Adems, para | ) , x a e +( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x f x f x = + ( )x x xa a af f f f = + } } } Haciendox +ygraciasaqueamboslmitesaladerechaexisten,seconcluyeel resultado. Observacin: La recproca del Teorema anterior no es necesariamente cierto. af+}converge af+ }converge absolutamente. Ejemplo 1.5. INTEGRALES IMPROPIAS, CORDENADAS POLARES, CENTRO DE MASA (CENTROIDE) 11 de diciembre de 2011 CALCULO INTEGRAL Pgina11 Consideremos ( )sin xf xx= entonces( )1f x dx} converge, pero no as( )1f x dx} CORDENADASPOLARES 2)Definicin.- Lascoordenadaspolaressonunsistemadecoordenadasparadefinirlaposicindeun punto en un espacio bidimensional consistente en un ngulo y una distancia, definido por un origen O y una lineasemi-infinita L saliendo del origen. A L se le conoce tambin como eje polar. La ecuacin de una curva en coordenadas polares es conocida como una ecuacion polar, y el trazo de una curva en coordenadas polares es conocido como un trazo polar.En muchos casos, es til utilizar las coordenadas cartesianas para definir una funcin en el planooenelespacio.Aunqueenmuchosotros,definirciertasfuncionesendichas coordenadas puede resultar muy tedioso y complicado. En dichos casos, hacer usode las coordenadas polares o esfricas puede simplificarnos mucho la vida.INTEGRALES IMPROPIAS, CORDENADAS POLARES, CENTRO DE MASA (CENTROIDE) 11 de diciembre de 2011 CALCULO INTEGRAL Pgina12 Elcentrodecoordenadasestdefinidoporunadistancianula,independientemente delosngulosqueseespecifiquen.Normalmenteseutilizanlascoordenadas arbitrarias(0, )pararepresentarelpolo,yaqueindependientementedelvalorque tomeelngulo,unpuntoconradio0seencuentrasiempreenelpolo.5 Estas circunstanciasdebentenerseencuentaparaevitarconfusionesenestesistemade coordenadas. Para obtener una nica representacin de un punto, se suele limitar r a nmerosno negativos r 0yal intervalo [0, 360)o(180, 180](enradianes, [0, 2) o (, ]).Losngulosennotacinpolarseexpresannormalmenteen grados oen radianes, dependiendodelcontexto.Porejemplo,lasaplicacionesde navegacinmartima utilizan lasmedidasengrados,mientrasquealgunasaplicaciones fsicas (especialmentela mecnicarotacional)ylamayorpartedel clculomatemtico expresanlasmedidasen radianes.CONVERSION DE COORDENADAS Diagramailustrativodelarelacinentrelascoordenadaspolaresylascoordenadas cartesianas. EnelplanodeejesxyconcentrodecoordenadasenelpuntoOsepuededefinirun sistemadecoordenadaspolaresdeunpunto M delplano,definidasporladistancia r al centro de coordenadas, y el ngulo del vector de posicin sobre el eje x. ECUACIONES POLARES.- INTEGRALES IMPROPIAS, CORDENADAS POLARES, CENTRO DE MASA (CENTROIDE) 11 de diciembre de 2011 CALCULO INTEGRAL Pgina13 Selellama ecuacinpolar alaecuacinquedefineuna curva algebraicaexpresadaen coordenadaspolares.Enmuchoscasossepuedeespecificartalecuacin definiendo r comouna funcin de.Lacurvaresultanteconsisteenunaseriedepuntos en la forma (r (), ) y se puede representar como la grfica de una funcin r. Se pueden deducir diferentes formas de simetra de la ecuacin de una funcin polar r. Si r () = r()lacurvasersimtricarespectoalejehorizontal(0/180),si r(180) = r() sersimtricarespectoalejevertical(90/270),ysi r() = r()ser simtrico rotacionalmente en sentido horario respecto al polo. Debidoalanaturalezacirculardelsistemadecoordenadaspolar,muchascurvasse puedendescribirconunasimpleecuacinpolar,mientrasqueensuformacartesiana seramuchomsintrincado.Algunasdelascurvasmsconocidassonla rosapolar, la espiral de Arqumedes, la lemniscata, el caracol de Pascal y la cardioide. Para los apartados siguientes se entiende que el crculo, la lnea y la rosa polar no tienen restricciones en el dominio y rango de la curva. CIRCUNFERENCIA Un crculo con ecuacin r () = 1. La ecuacin general para una circunferencia con centro en (r0, ) y radio a es INTEGRALES IMPROPIAS, CORDENADAS POLARES, CENTRO DE MASA (CENTROIDE) 11 de diciembre de 2011 CALCULO INTEGRAL Pgina14 Enciertoscasosespecficos,laecuacinanteriorsepuedesimplificar.Porejemplo,para una circunferencia con centro en el polo y radio a, se obtiene:8 LNEA Las lneas radiales (aquellas que atraviesan el polo) se representan mediante la ecuacin Dondeeselngulodeelevacindelalnea,estoes, = arctan m donde m es la pendiente delalneaenelsistemadecoordenadascartesianas.Lalneanoradialque cruza la lnea radial = perpendicularmente al punto (r0, ) tiene la ecuacin ROSA POLAR Una rosa polar con ecuacin r () = 2 sin 4. La rosapolar esunafamosacurvamatemticaquepareceunaflorconptalos,ypuede expresarse como una ecuacin polar simple, INTEGRALES IMPROPIAS, CORDENADAS POLARES, CENTRO DE MASA (CENTROIDE) 11 de diciembre de 2011 CALCULO INTEGRAL Pgina15 Para cualquier constante 0 (incluyendo al 0). Si k es un nmero entero, estas ecuaciones producirnunarosade k ptaloscuando k es impar,o2k ptalossi k espar.Si k es racionalperonoentero,seproducirunaformasimilaraunarosaperoconlosptalos solapados.Ntesequeestasecuacionesnuncadefinenunarosacon2,6,10,14,etc. ptalos. La variable a representa la longitud de los ptalos de la rosa. ESPIRAL DE ARQUMEDES Un brazo de la espiral de Arqumedes con ecuacin r () = para 0 < < 6. La espiraldeArqumedes esunafamosaespiraldescubiertapor Arqumedes,lacual puede expresarse tambin como una ecuacin polar simple. Se representa con la ecuacin Uncambioenelparmetro a producirungiroenlaespiral,mientrasque b controlala distanciaentrelosbrazos,lacualesconstanteparaunaespiraldada.Laespiralde Arqumedestienedosbrazos,unopara > 0yotropara < 0.Losdosbrazosestn conectadosenelpolo.La imagenespecular deunbrazosobreelejeverticalproduceel otro brazo. Esta curva es una de las primeras curvas, despus de las secciones cnicas, en serdescritasentratadosmatemticos.Ademseselprincipalejemplodecurvaque puede representarse de forma ms fcil con una ecuacin polar. Otros ejemplos de espirales son la espiral logartmica y la espiral de Fermat. INTEGRALES IMPROPIAS, CORDENADAS POLARES, CENTRO DE MASA (CENTROIDE) 11 de diciembre de 2011 CALCULO INTEGRAL Pgina16 SECCIONES CNICAS Elipse, indicndose su semilado recto. Una seccin cnica con un foco en el polo y el otro en cualquier punto del eje horizontal (de modo que el semieje mayor de la cnica descanse sobre el eje polar) es dada por: Donde e esla excentricidad y eselsemiladorecto(ladistanciaperpendicularaunfoco desde el eje mayor a la curva). Si e > 1, esta ecuacin define una hiprbola; si e = 1, define una parbola;ysi e