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Integrating quarterly data into a dynamic factor model of US
monthly GDP
Firmin VLAVONOU et Stephen GORDON.
Laval University, Department of Economics
Automne 2011
Version preliminaire
Abstract
This paper develops and estimates a dynamic factor model in whichestimates for unobserved monthly US GDP are consistent with observedquarterly data. In contrast with existing approaches, the quarterly ave-rages of our monthly estimates are exactly equal to the BEA quarterlyestimates.The paper makes use of Bayesian Markov Chain Monte Carlo (MCMC)and data augmentation techniques to simulate values for the logarithmson monthly US GDP. The imposition of the exact linear quarterlyconstraint produces a non-standard distribution, necessitating the im-plementation of a Metropolis simulation step in the estimation.Since our estimates are by construction consistent with the quarterlydata, they have the advantage of being both more timely and being easyto interpret.
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1 Introduction
L’analyse du cycle economique, l’evaluation et la prevision de laconjoncture sont des questions centrales qui animent les debats en ma-croeconomie.Les etudes sur le cycle economique relatives a la conjoncture ont etestimulees ces dernieres decennies par une disponibilite croissante d’ungrand ensemble de donnees. La disponibilite de ces donnees en frequencesvariees constituent un probleme crucial pour les conjoncturistes.De plus, la plupart des theories montrent que les fluctuationseconomiques trouvent leur cause dans les donnees distribuees a desfrequences mixtes qui, a leur tour sont la manifestation des decisionsde depenses et de consommation, d’investissement et de placement desagents economiques.Plusieurs de ces etudes conduisent a des conclusions mitigees, parexemple la prevision des recessions du cycle economique. Cet etat defait contreverse et embarasse les economistes et les chercheurs .Les fluctuations economiques et le cycle economique meritent alors d’etreclarifies et compris en temps reel pour faciliter des prises de meilleuresdecisions politiques, economiques et financieres.Par exemple, si les banques centrales, les organisations gouvernemen-tales et non gourvernementales sont interessees par l’impact des even-tualites telles que l’effet des changements politiques a tres court terme,ils sont limites par l’usage des donnees trimestrielles ou annuelles qui necaptent pas totalement les mouvements et comouvements des variablesmacroeconomiques. Il apparaıt alors necessaire de disposer des donneesa tres court terme c’est-a-dire a grande frequence qui sont coherenteset reliees aux donnees a petite frequence, pour comprendre les impactseconomiques des changements importants.Ce papier se concentre sur l’analyse du cycle economique a grandefrequence utilisant les Modeles Factoriels Dynamiques faisant usage del’information trimestrielle.
• Il s’occupe d’abord des Modeles Factoriels Dynamiques trai-tant le PIB reel mensuel comme une composante inobserveereliee aux indicateurs.
En effet, la plupart des travaux utilisant les Modeles Factoriels Dyna-miques et analysant le cycle economique traitent les facteurs inobser-vables comme des conditions d’affaires ou PIB reels. Dans les recents
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trauvaux de Mariano et Murassawa (2003) et Mariano et Murassawa(2009) [29], le PIB mensuel reel est traite comme inobservable. De meme,Liu et Hall (2001) [28] ; Angelini et al.(2008) [2] dans leur model factorieldynamique ont utilise les PIB reels mensuels comme inobservables.Ainsi, le caractere latent du PIB reel a grande frequence est conherentavec la theorie economique simplement parce le PIB reel n’est observeque trimestriellement ou annuellement.
• Deuxiemement, il est incorpore explicitement le PIB reel tri-mestriel avec des donnees a frequences variees.
En effet, l’usage des donnees a plusieurs frequences date de 1988 ouZadrozny Peter [34] compute la fonction de vraissemblence Gaussiennequand les donnees sont des variables de stocks ou de flux observees ades frequences variees. Plus tard, Mariano and Murassawa (2003) sesont inspires des travaux de Stocks and Watson(1989) et Stocks andWatson(1991) [20] pour estimer un nouveau indice coincident du cycleeconomique en se basant sur les series mensuelles et trimestrielles.Seong and al.(2007) [32] ont aussi applique des methodes aux donneesa frequences variees dont le PIB reel trimestriel et l’indice de prix a laconsommation en utilisant un modele de cointegration.Sur la meme lancee, Angelini and al.(2008) ont propose une methodepour clarifier l’implication des previsons trimestrielles pour la dynamiqueinter-trimestres et vice versa.Ainsi, la question de donnees a frequences variees, speciallement les PIBtrimestriels et mensuels n’est pas nouvelle en economie.
• Troisiemement, il formalise les dynamiques intra-trimestres.
Tout comme Angelini and al.(2008), il est implicitement analyse quelquesfaits stylises relatifs a la dynamique a court terme du cycle economique.
• Enfin, il incorpore une contrainte trimestrielle exacte enconjonction avec des indicateurs mensuels.
Le nouveau aspect utilise ici concerne l’usage d’une contrainte trimes-trielle exacte.La plupart des travaux precedents ont base leurs estimations des facteursinobservables sur l’hypothese que le taux de croissance du PIB reel tri-mestriel est une moyenne geometrique des taux de croissance des PIBreels mensuels latents correspondants. Faisant cette hypothese, le loga-rithme du PIB trimestriel conduit a une forme lineaire approximative
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qu’ils estiment avec les autres equations du model par maximun de vrai-semblance et filtre de Kalman. Or le calcul meme du PIB reel trimestrielne conforte pas une relation geometrique entre les procesus mensuelset trimestriels et les modeles lineaires ne captent que partiellement lesphenomenes du cycle economique.Ce papier fait une hypothese de contrainte exacte entre les PIB reels men-suels et trimestriels. Cette contrainte est utilisee hors equations espace-etat et constitue une information supplementaire pouvant ameliorer lesestimations.Pour atteindre les objectifs de ce papier, il est utilise l’approcheBayesienne avec les techniques de Gibbs. La contrainte exacte introduiterend les distributions des variables inobservables non standards et impli-quant ainsi l’usage de la technique de Metropolis-Hastings.En effet, pour des raisons suivantes, il contribuera a la litterature enutilisant des techniques specifiques pour clarifier la dynamique inter etintra-trimestres et les fluctuations a court terme, coherentes avec le cycleeconomique. Au nom de ces raisons figurent :
• Necessite d’estimer le PIB reel mensuel ;• Les indices existants obtiennent des resultats mitiges dans leurrole de prevoir les recessions et les expansions ;
• Les travaux existants n’estiment pas specifiquement le PIB reelmensuel sous contrainte exacte ;
• La plupart des travaux utilisent des modeles factoriels dyna-miques pour estimer les leading, lagging et coıncidents indicesmais aucun ne se penchent particulierement sur le PIB reelmensuel ;
• L’usage qui se fait de l’information contenue dans les donneestrimestrielles ne fait pas sortir clairement les phenomenes in-trinseques du cycle economique ;
• Tres peu de travaux utilisent l’approche Bayesienne pour ana-lyser le cycle economique a tres court terme.
Le plan de ce papier est le suivant : la section suivante s’occupe dela litterature sur les Modeles Factoriels Dynamiques ; la section 3 seconcentre sur les specifications, les techniques d’estimation ; la quatriemesection renvoie aux donnees et les premiers resultats empiriques et laderniere section conclut.
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2 Litterature sur les Modeles Factoriels Dynamiques
Les mesures du cycle economique et la caracterisation de sesphenomenes intrinseques continuent d’etre au coeur des debats entre leseconomistes, les chercheurs et les analystes .La litterature n’est pas unanime sur les resultats a ce jour. Les mesuresdu cycle economique et l’identification des points de retournements sontdes questions importantes pour les analystes.Pour ce faire, les chercheurs utilisent de nombreux modeles qui etablissentdirectement ou indirectement les liens entre les variables qui evoluent en-semble en meme temps dans plusieurs secteurs.En effet, l’analyse du cycle economique a commence en determinant larelation entre la tendance a long terme et le cycle de la production na-tionale brute des Etats-Unis.Les premiers auteurs comme Nelson and Plosser(1982) [9], Campbell andMankiw (1987) [23], Stock and Watson(1987) [19] ayant travaille dans cesens ont tente de caracteriser cette relation en utilisant des processus Au-toregressives Integres ou simplement des processus Autoregressives au-tour d’une tendance deterministe ou encore a partir des modeles a compo-santes inobservables utilisant des modeles de cointegrations. Ces premiersmodeles ont echoue dans leur mission de caracteriser les phenomenes cy-cliques du cycle economique pour plusieurs raisons.Parmi ces raisons, figurent l’hypothese principale de la linearite et de lastationarite en difference de ces processus. La grande difference entre lesprevisions et les realisations constituent d’autres raisons d’echecs de cesmodeles.Apres ces echecs et sous la description des aspects cycliques etudies parBurns et Mitchell(1946) [8], d’autres extensions des processus autore-gressives sont developpes. Les modeles tels que les Modeles FactorielsDynamiques sont proposes pour prendre en compte les co-mouvementsentre les variables et l’asymetrie du cycle economique.Comme le soulignent Stock et Watson (2005) [22], la premiere idee sous-jacente des Modeles Factoriels Dynamiques est qu’un petit nombre defacteurs communs non observes produisent des mouvements observes deseries economiques. De plus, les chocs structurels communs qui sont deschocs pertinents pour conduire les analyses de politiques sont dus auxfacteurs dynamiques communs.Cette nouvelle structure de modeles, qui, initialement est proposee parGeweke (1977) [16] constitue une extension des modeles factoriels
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developpes anterieurement pour les donnees en coupe transversale.La litterature regroupe ces modeles en deux versions dont celle utiliseepar Doz et al.(2005) [13] et celle alternative utilisee par Stock et Wat-son(2002) [21]. La litterature par rapport aux modeles utilise ces deuxversions selon les mouvements lineaires ou non des facteurs. Dans le pre-mier cas, des auteurs utilisent des modeles Factoriels simples et dansle second cas, des modeles Factoriels Dynamiques (avec changementsde regimes ) pour expliquer les fluctuations ; voir par exemple MarcelleChauvet(1998) [10] ; Chan-Jin Kim (1992) [25] ; Kim et Nelson(1999) [9].Ces derniers ont eu dans les recentes annees une attention particulieredu fait de leur habilete a modeliser simultanement un grand ensemblede donnees et d’expliquer les dynamiques dans les panels de series parune source commune de variations. Clairement, la raison evoquee en fa-veur de ces modeles est qu’un petit nombre de facteurs pourrait resumerou expliquer une grande fraction de la variance de plusieurs series ma-croeconomiques. Comme suggere par Marcelle Chauvet (1998), “La dy-namique des facteurs est une variable inobservable qui resume les mouve-ments communs cycliques des variables macroeconomiques coincidents.”En effet, nombres d’etudes et travaux ont confirme ces faits tels que lestravaux de Sargent et Sims (1977) [31] ; Watson (2004) [33] et Stock etWatson (2005) ; Giannone, Reichlin, et Sala (2004) Giannone et al. [17].L’habilete des Modeles Factoriels Dynamiques a capter les phenomenesnon observes du cycle economique est reconnue mais il reste a les estimeret les rendre interpretables.La theorie sur les estimations “time-domain” des Modeles Factoriels Dy-namiques reconnaıt trois methodes d’estimation.
• Pour estimer les facteurs, les premieres methodes combinent le maxi-mum de vraisemblance et le filtre de Kalman ou l’extension du filtrede Kalman sous des hypotheses restrictives.
• La deuxieme generation d’approches utilise l’estimation non parame-trique pour estimer les facteurs a partir des methodes appelees“cross-sectional averaging methods”, des methodes de composantesprincipales et des methodes reliees.
• La derniere generation de methodes utilise les estimateurs non pa-rametriques des facteurs de la deuxieme generation et estime lesparametres du modele espace-etat de la premiere generation.De ce fait, le probleme d’identification rencontree dans l’estimationpar les premieres methodes serait resolu.
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Une autre approche extensive, tres peu utilisee pour les estimations acourt terme, est la methode Bayesienne. Cette methode apporte une so-lution au probleme de parametres inconnus du modele espace-etat sansfaire recours a l’approche non parametrique.Neanmoins, des auteurs pensent que l’estimation directe par maximumde vraissemblance des coefficients est encombrant et historiquement etaitprohibitif pour un grand systeme.A contrario, l’approche non parametrique est confrontee au problemed’estimation d’une matrice de poids dont la matrice de valeurs propresqui n’a pas une forme generale et est difficile a estimer.Forni, Hallin, Lippi et Reichlin(2005) [15] ; Boivin et Ng(2006) [6] ; Stocket Watson(2005) ont propose differentes methodes pour estimer cette ma-trice de poids. Leur approche est basee sur trois versions d’estimation desmethodes de composantes principales generalisees.Une fois que les modeles ont ete estimes, ils sont destines a quatres usagesa savoir les utiliser comme des variables intrumentales, les utiliser pourles previsions, les utiliser dans les modeles DSGEs ou encore dans lesmodeles “Factor-Augmented Vectors Autoregressions (FAVAR)” .
Les dilemmes des modeles factoriels dynamiques sont le nombre de fac-teurs a retenir quand on estime les modeles. Pendant que certains auteursretiennent un facteur ou deux au plus, d’autres au contraire, gardent septfacteurs selon la taille des series(Stock et Watson (2005)).Selon que le modele est statique ou dynamique, les techniques pour esti-mer le nombre de facteurs ne sont pas les memes.Dans la determination du nombre de facteurs, il est souvent utilise troisapproches a savoir la combinaison d’une connaissance a priori, d’une ins-pection visuelle du “scree plot” et de l’usage du critere d’information deBai et Ng(2002) [3].En effet, l’approche du “scree plot” est basee sur la contribution mar-ginale de la ith composante principale a la trace de la regression desvariables observees sur les i premiers composantes principales. Alors quel’estimation par le critere d’information de Bai et Ng(2002) consiste aminimiser une vraisemblance penalisee ou la log somme des carres oule facteur de penalite est une fonction lineaire croıssante du nombre defacteurs 1. A propos de l’estimation du nombre de facteurs dynamiques,trois methodes ont ete proposees par des auteurs differents dont Hallinet Liska (2007) [18] ; Bai et Ng(2007) [3] ; Amengual et Watson(2007) [1].
1. Stock et Watson (2010) ; Bai et Ng (2002) ont fourni assez de details sur cette fonction
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En effet, Hallin et Liska (2007) suggerent le rang de l’ensemble desdonnees observees alors que Bai et Ng(2007) [4] basent leur methodesur les observations dont la matrice de variance des innovations dans lapopulation du modele VAR a un rang note q.Pour Amenguel et Watson (2007), les residus de la regression des va-riables observees sur la valeur passee des facteurs servent a determinerle nombre de facteurs. Ces residus ont une structure factorielle ayant unrang.Plutard, les difficultes rencontrees ont conduit a l’extension des modelesfactoriels dynamiques.La litterature retient en gros, trois formes extensives non exhaustives desModeles Factoriels Dynamiques.Primo, des auteurs comme Stock et Watson (2002a ; 2009a) ; Banerjee,Marcellino et Masten (2007) [5] pensent que les structures des “loadingfactors” ne sont pas stables dans le temps. Les idees principales de cesauteurs sont que, sous les conditions relativement faibles sur les matricesde poids, l’estimateur obtenu par la methode “cross-sectional averaging”est coherent avec les espaces couverts par les facteurs ; si c’est le cas, les“loading factors” peuvent varier et l’estimateur des composantes princi-pales restera coherent. Ces idees donnent naissance aux modeles “ Breakand time-varying parameters DFM” a tel point que Breitung et Eick-meier (2009) [7] ont propose un test de la rupture structurelle dans les“loading factors”.Secundo, les modeles de cointegration et a correction d’erreurs ont eteintroduites dans les Modeles Dynamiques Factoriels selon que les fac-teurs soient non stationnaires et la stationarite ou non des termes idio-syncratiques. L’idee principale est qu’il existe une grande echelle decointegration dans les variables a niveaux.Banerjee, Marcellino et Masten (2009), a partir d’une evidence empiriquesuggerent que les modeles factoriels a correction d’erreur se comportentbien quand on fait les previsions.Enfin, les modeles factoriels dynamiques structures apparaıssent quandon exploite la structure bayesienne pour s’occuper des distributions apriori et a posteriori. Kose, A., C. Otrok, C., et C. Whiteman (2003) [27]ont bien utilise cette approche dans leur article sur la determination desfacteurs local, regional et global quand ils analysent les cycles economiqued’un ensemble de pays.Quelques auteurs ont utilise les Modeles Factoriels Dynamiques et ex-
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plique les liens entre les fluctuations de court et de long termes. Ainsi,l’habilete des MFD est bien connue dans les etudes du cycle economiquedont la variable d’etat est traitee generallement comme une compo-sante inobservable. Les progres connus dans l’estimation des MDF per-mettent d’expliquer un grand pourcentage de la variance des donneesmacroeconomiques. Ces avantages favorisent les etudes sur les fluctua-tions economiques et le cycle des affaires.
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3 Specification du Modele
Sans perte de generalites, il est suppose dans notre approche que lePIB reel est une serie de reference. Il evolue a une frequence mensuellecomme un processus AR(ph) caracterisant la dynamique intra-trimestres.En effet,
• soit y∗t le log du PIB reel mensuel inobservable a la periodet pour q trimestres et supposons que sa moyenne est α0 telleque :
y∗t,q − y∗t−1,q − α0 =∑ph−1
h=1 ρh(y∗t−h,q − y∗t−h−1,q − α0) + ǫt
ǫt ∼ iid N(0, σ2)
(3.1)
• Le taux de croissance de y∗t est suppose stationnaire,aperiodique, irreductible et ergodique.
• Supposons qu’il existe des variables et indicateurs qui contri-buent a la formation de la composante inobservable du PIB reelmensuel. Soit la lth variable macroeconomique et/ou financierequi contribue a la formation du PIB reel mensuel telle que :
xlt,q = φ0l + φl(L)(y∗t,q − y∗t−1,q) + ǫlt
φl(L) =∑p−1
h=1 φhlLh
ǫlt ∼ iid N(0, σ2l )
(3.2)
Xlt,q est observee a une frequence mensuelle et xlt,q est le taux de crois-sance de Xlt,q, y
∗t,q = lnY ∗
t,q ou Y ∗t,q est une composante inobservable du
PIB reel mensuel au temps t pour q trimestres.L’une des etapes importantes de notre modele est l’usage de l’infor-
mation trimestrielle, en particulier le PIB reel trimestriel pour estimer lePIB reel mensuel. Il est suppose ici que le PIB reel mensuel est inobserveependant que le PIB trimestriel est observe tous les trois mois.La litterature utilise les modeles prenant en compte les liens entre lesPIB reels trimestriels et mensuels mais il n’y a pas de modeles qui for-malisent specifiquement le PIB reel mensuel et traitant le PIB reel men-suel comme facteur. L’importance reconnue a l’information trimestrielle
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est tres cruciale pour les resultats finaux. De plus, les travaux a nosjours n’analysent pas particulierement les dynamiques intra-trimestresdes fluctuations economiques conditionnlement aux informations trimes-trielles et vice versa.Ainsi, soit Yt,q le PIB reel trimestriel. Il est suppose que le PIB reeltrimestriel est une moyenne arithmetique des logarithmes des compo-santes mensuelles inobservables du PIB reel. Contrairement aux travauxprecedents, cette hypothese de moyenne arithmetique semble un peu pluscredible en ce sens que beaucoup de PIB reels trimestriels sont calculesavec un taux de croissance trimestriel annualise.Ainsi, pour prendre en compte cette particularite dans les donnees, ilsemble utile de faire cette hypothese, donc :
3Yt,q = exp(y∗t,q) + exp(y∗t−1,q) + exp(y∗t−2,q) (3.3)
Contrairement aux etudes anterieures, ce papier estime un modele dy-namique a facteurs avec une contrainte trimestrielle appelee “correctiontrimestrielle”.
3.1 Specification du modele sous contrainte trimestrielle
Reprenant les equations Eq.(3.1) et eq.(3.2) pour l ∈ {1, 2, 3} et ph = 3,il ressort :
x1t,q − φ01x2t,q − φ02x3t,q − φ03
︸ ︷︷ ︸xt
=
φ11 φ12 − φ11 φ13φ21 φ22 − φ21 φ23φ31 φ32 − φ31 φ33
︸ ︷︷ ︸
H
y∗t,qy∗t−1,q
y∗t−2,q
︸ ︷︷ ︸
y∗t
+
ǫ1,tǫ2,tǫ3,t
︸ ︷︷ ︸et
(3.4)
Ou φ13 = −φ12 ; φ23 = −φ22 ; φ33 = −φ32.Vu que les variables observables xt sont fonctions de celles latentes y∗t,qretardees de deux periodes, les variables observables futures xt+1 et xt+2
pourraient contribuer a ameliorer la formation des y∗t,q.De ce fait, le systeme des equations de mesure reliant les variables obser-
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vables futures et les composantes inobservables courantes est le suivant :
x1t+1,q − τ01x1t+2,q − τ02x2t+1,q − τ03x2t+2,q − τ04x3t+1,q − τ05x3t+2,q − τ06
︸ ︷︷ ︸xt+1,t+2
=
τ11 τ12 τ13τ21 τ22 τ23τ31 τ32 τ33τ41 τ42 τ43τ51 τ52 τ53τ61 τ62 τ63
︸ ︷︷ ︸
N
y∗t,qy∗t−1,q
y∗t−2,q
︸ ︷︷ ︸
y∗t
+
φ11 0 1 0 0 0 0 0ρ1φ11 + φ12 φ11 0 1 0 0 0 0
φ21 0 0 0 1 0 0 0ρ1φ21 + φ22 φ21 0 0 0 1 0 0
φ31 0 0 0 0 0 1 0ρ1φ31 + φ32 φ31 0 0 0 0 0 1
︸ ︷︷ ︸
L
ǫt+1
ǫt+2
ǫ1t+1
ǫ1t+2
ǫ2t+1
ǫ2t+2
ǫ3t+1
ǫ3t+2
︸ ︷︷ ︸et+1,t+2
(3.5)
Tout comme le systeme des valeurs futures des xt, celui des valeurspassees se presente comme suivant :
x1t−1,q − φ01x1t−2,q − φ01x2t−1,q − φ02x2t−2,q − φ02x3t−1,q − φ03x3t−2,q − φ03
︸ ︷︷ ︸xt−1,t−2
=
0 φ11 φ12 − φ110 0 φ110 φ21 φ22 − φ210 0 φ210 φ31 φ32 − φ310 0 φ31
︸ ︷︷ ︸
H
y∗t,qy∗t−1,q
y∗t−2,q
︸ ︷︷ ︸
y∗t
+
−φ12 0 0φ12 − φ11 −φ12 0−φ22 0 0
φ22 − φ21 −φ22 0−φ32 0 0
φ32 − φ31 −φ32 0
︸ ︷︷ ︸
F
y∗t−3,q
y∗t−4,q
y∗t−5,q
︸ ︷︷ ︸
y∗t−3
+
ǫ1t−1
ǫ1t−2
ǫ2t−1
ǫ2t−2
ǫ3t−1
ǫ3t−2
︸ ︷︷ ︸et−1,t−2
(3.6)
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Pour ph = 3, les equations d’etats prennent la forme suivante :
y∗t,qy∗t−1,q
y∗t−2,q
︸ ︷︷ ︸
y∗t
=
γ11 γ12 γ13γ21 γ22 γ23γ31 γ32 −ρ2
︸ ︷︷ ︸
F
y∗t−3,q
y∗t−4,q
y∗t−5,q
︸ ︷︷ ︸
y∗t−3
+
1 0 0 −γ11 −γ12 −γ130 1 0 −γ21 −γ22 −γ230 0 1 −γ31 −γ32 ρ2
︸ ︷︷ ︸
A
α0 + α0γ10α0 + α0γ20α0 + α0γ30
α0
α0
α0
︸ ︷︷ ︸um
+
1 γ31 γ231 + γ320 1 γ310 0 1
︸ ︷︷ ︸
D
ǫtǫt−1
ǫt−2
︸ ︷︷ ︸vt
(3.7)
A partir des equations 3.4, 3.5, 3.6 et 3.7 la forme du modele devient :
y∗t = Fy∗t−3 + Aum +Dvt
y∗t+3 = F 2y∗t−3 + FAum + Aum + FDvt +Dvt+3
xt = Hy∗t + et
xt+1,t+2 = Ny∗t + Let+1,t+2
xt−1,t−2 = Hy∗t + F y∗t−3 + et−1,t−2
(3.8)
telle que :
3Yt,q = exp(y∗t,q) + exp(y∗t−1,q) + exp(y∗t−2,q) (3.9)
Mais avant de proceder a l’estimation du cas simple du modele, ilest utile de presenter la forme generale du modele pour quiconque veututiliser un nombre maximal de variables et indicateurs.
3.1.1 Forme generale du modele
Supposons maintenant qu’il y ait k variables et indicateurs avec pretards de composantes mensuelles inobservables telles que :
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x1t,q − φ01x2t,q − φ02x3t,q − φ03
...xkt,q − φ0k
︸ ︷︷ ︸
xkt
=
φ11 φ12 − φ11 φ13 − φ12 . . . −φ1pφ21 φ22 − φ21 φ23 − φ22 . . . −φ2pφ31 φ32 − φ31 φ33 − φ32 . . . −φ3p...
......
...φk1 φk2 − φk1 φk3 − φk2 . . . −φkp
︸ ︷︷ ︸
Φ
y∗t,qy∗t−1,q
y∗t−2,q...
y∗t−p,q
︸ ︷︷ ︸
Yqtp
+
ǫ1tǫ2tǫ3t...ǫkt
︸ ︷︷ ︸ηt
(3.10)
Comme precedemment, le systeme des equations de mesure des compo-santes futures observables est comme suit :
x1t+1,q − τ01x1t+2,q − τ02x2t+1,q − τ03x2t+2,q − τ04x3t+1,q − τ05x3t+2,q − τ06
...xk−1t+1,q − τ0k−3
xk−1t+1,q − τ0k−2
xkt+1,q − τ0k−1
xkt+2,q − τ0k
︸ ︷︷ ︸
xkt+1,t+2
=
τ11 τ12 τ13 . . . τ1p τ1p+1
τ21 τ22 τ23 . . . τ2p τ2p+1
τ31 τ32 τ33 . . . τ3p τ3p+1
τ41 τ42 τ43 . . . τ4p τ4p+1
τ51 τ52 τ53 . . . τ5p τ5p+1
τ61 τ62 τ63 . . . τ6p τ6p+1...
...... . . .
......
τk−31 τk−32 τk−33 . . . τk−3p τk−3p+1
τk−21 τk−22 τk−23 . . . τk−2p τk−2p+1
τk−11 τk−12 τk−13 . . . τk−1p τk−1p+1
τk1 τk2 τk3 . . . τkp τkp+1
︸ ︷︷ ︸
Ng
y∗t,qy∗t−1,q
y∗t−2,q...
y∗t−p+1,q
y∗t−p,q
︸ ︷︷ ︸
Yqtp
+
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φ11 0 1 0 0 0 0 0 . . . 0 0 0 0ρ1φ11 + φ12 φ11 0 1 0 0 0 0 . . . 0 0 0 0
φ21 0 0 0 1 0 0 0 . . . 0 0 0 0ρ1φ21 + φ22 φ21 0 0 0 1 0 0 . . . 0 0 0 0
φ31 0 0 0 0 0 1 0 . . . 0 0 0 0
ρ1φ31 + φ32 φ31 0 0 0 0 0 1 0... 0 0 0
......
......
......
... 0 . . . 0...
......
φk−11 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0ρ1φk−11 + φk−12 φk−11 0 0 0 0 0 0 . . . 0 1 0 0
φk1 0 0 0 0 0 0 0 . . . 0 0 1 0ρ1φk1 + φk2 φk1 0 0 0 0 0 0 . . . 0 0 0 1
︸ ︷︷ ︸
Lg
ǫt+1
ǫt+2
ǫ1t+1
ǫ1t+2
ǫ2t+1
ǫ2t+2
ǫ3t+1
ǫ3t+2...
ǫk−1t+1
ǫk−1t+2
ǫkt+1
ǫkt+2
︸ ︷︷ ︸
egt+1,t+2
(3.11)
Comme le systeme des valeurs futures, celui des valeurs passees dans lecas general se presente comme suivant :
x1t−1,q − φ01x1t−2,q − φ01x2t−1,q − φ02x2t−2,q − φ02x3t−1,q − φ03x3t−2,q − φ03
...xkt−1,q − φ0kxkt−2,q − φ0k
︸ ︷︷ ︸
xkt−1,t−2
=
0 φ11 φ12 − φ11 φ13 − φ12 . . . −φ1p 0 00 0 φ11 φ12 − φ11 . . . φ1p−2 − φ1p−1 −φ1p 00 φ21 φ22 − φ21 φ23 − φ22 . . . −φ2p 0 00 0 φ21 φ22 − φ21 . . . φ2p−2 − φ2p−1 −φ2p 00 φ31 φ32 − φ31 φ33 − φ32 . . . −φ3p 0 00 0 φ31 φ32 − φ31 . . . φ3p−2 − φ3p−1 −φ3p 0...
......
......
......
0 φk1 φk2 − φk1 φk3 − φk2 . . . −φkp 0 00 φk1 φk2 − φk1 φk3 − φk2 . . . φkp−2 − φkp−1 −φkp 0
︸ ︷︷ ︸
Hg
×
16
y∗t,qy∗t−1,q
y∗t−2,q...
y∗t−p+1,q
y∗t−p+2,q
y∗t−p,q
︸ ︷︷ ︸
Yqtp
+
ǫ1t−1
ǫ1t−2
ǫ2t−1
ǫ2t−2
ǫ3t−1
ǫ3t−2...
ǫkt−1
ǫkt−2
︸ ︷︷ ︸
ηgt−1,t−2
(3.12)
Pour les equations d’etats, la forme generale de l’equation (3.7) de-vient :
y∗ty∗t−3
y∗t−6...
y∗t−3(i−1)
y∗t−3i
︸ ︷︷ ︸
yb
=
F 1+i
F i
F i−1
...F 2
F
︸ ︷︷ ︸
Fb
⊗[
y∗t−3(i+1)
]
︸ ︷︷ ︸yb
+
F 0A F 1A F 2A . . . F i−1A F iA
0 F 0A F 1A . . . F i−2A F i−1A0 0 F 0A . . . F i−3A F i−2A...
... . . . F 0A...
0 0 . . . 0 . . . F 1A
0 0 . . . 0 . . . F 0A
︸ ︷︷ ︸
Ab
usmtusmt−3
usmt−6...
usmt−3(i−1)
usmt−3i
︸ ︷︷ ︸ub
+
F 0D F 1D F 2D . . . F i−1D F iD
0 F 0D F 1D . . . F i−2D F i−1D
0 0 F 0D . . . F i−3D F i−2D...
... . . . F 0D...
0 0 . . . 0 . . . F 1D0 0 . . . 0 . . . F 0D
︸ ︷︷ ︸
Db
vtvt−3
vt−6...
vt−3(i−1)
vt−3(i)
︸ ︷︷ ︸vb
La forme generale compacte est comme suit :
17
yb = Fb ⊗ yb + Abub +Dbvb
yf = Ff ⊗ yf +Mafuf +Md
f vf
xkt = ΦY qtp + ηt
xkt+1,t+2 = NgYqtp + Lgǫ
gt+1,t+2
xkt−1,t−2 = HgYqtp + ǫgt−1,t−2
(3.13)
tel que :
exp(y∗t−2,q) = 3Yt,q − exp(y∗t,q)− exp(y∗t−1,q) (3.14)
Les details sur les equations de la forme generale sont en annexe 1 dupresent papier.Pour estimer ce modele, il est utilise dans un algorithme deux techniquesprincipales a savoir l’echantillonage de Gibbs pour estimer tous lesparametres du modele, la technique de Metropolis-Hasting pour estimerles variables latentes. Les avantages de l’approche bayesienne ont eteexploites combines avec les deux techniques pour atteindre les objectifsde cet essai.
3.1.2 Echantillonnage de Gibbs
L’echantillonnage de Gibbs est un tirage sequentiel de la distributiona posteriori conditionnelle complete. C’est un outil pour des simulationsa posteriori utilise dans plusieurs modeles econnometriques. Cette tech-nique est beaucoup plus simple pour des simulations a partir des distri-butions standards.L’idee de base dans un contexte general est presentee ici avant d’aborderle cas du present essai.
• Les etapes de l’echantillonnage de Gibbs 2
Soit p(θ|y) la distribution a posteriori, θ un vecteur de parametres et yles donnees observees.
Partitionnons θ en des blocs differents tels que θ = (θ′(1), θ′(2) . . . , θ
′(B))
′
ou θj est un scalaire ou vecteur avec j = 1, 2, . . . , B. Alors :
2. Gary Koop(2003) [26]
18
Step 0 : Choisir une valeur initiale, θ(0)
• Pour s = 1, 2, . . . , SStep 1 : Faire un tirage aleatoire, θ
(s)(1) de p(θ(1)|y, θ
(s−1)(2) , θ
(s−1)(3) , . . . , θ
(s−1)(B) ))
Step 2 : Faire un tirage aleatoire, θ(s)(2) de p(θ(2)|y, θ
(s)(1), θ
(s−1)(3) , . . . , θ
(s−1)(B) )).
Step 3 : Faire un tirage aleatoire, θ(s)(3) de
p(θ(3)|y, θ(s)(1), θ
(s)(2), θ
(s−1)(4) . . . , θ
(s−1)(B) )).
...
...Step B : Faire un tirage aleatoire θ
(s)(B) de
p(θ(B)|y, θ(s)(1), θ
(s)(2), θ
(s)(3) . . . , θ
(s)(B−1))).
Une fois que ces etapes sont completes, nous avons un ensemble deS tirages θ(s) pour s = 1, 2, . . . , S. Les premiers S0 de cet ensemblesont enleves pour eliminer les effets de choix aleatoire de θ(0) et le resteS1 = S − S0 tirages peut etre utilise pour calculer la moyenne estimee aposteriori de la variable d’interet.La loi faible des grands nombres peut etre utilisee telle que si g(.) est unefonction d’interet alors :
gS1 =1S1
∑Ss=S0+1 g(θ
(s)) ⇒ gS1P→ E[g(θ)|y] ∀ S1 7→ +∞
(3.15)
L’algorithme de Gibbs peut presenter des difficultes quand la distribu-tion a une forme inconnue. C’est le cas general rencontre en pratique.Dans ces conditions, la technique de Metropolis-Hasting vient faciliter lasimulation des distributions intraitables et inflexibles.
3.1.3 Technique de Metropolis-Hasting
L’une des puissantes methodes pour simuler une distribution multi-variee est la methode de Metroplis-Hasting.Cette methode a beneficie d’une attention particuliere ces dernieresannees par les statisticiens et a ete utilisee longuement en physique.Cet algorithme qui permet de simuler facilement a partir des distribu-tions multivariees non standard, devient de plus en plus utile dans lestravaux recents.Seulement peu de travaux en economique utilisent cette methode. Les
19
recents travaux en economie concernent les travaux de Chib et Rama-murthy(2010) [12] dans l’estimation des modeles DSGE.Kyu Ho Kang(2010) [24] estime un modele espace-etat avec“switching”utilisant les techniques de Metropolis-Hasting. Chib et Green-berg(1995) [11] ont presente plus de details sur la comprehension de latechnique de Metropolis-Hasting.Suivant les auteurs precedents et selon les objectifs de cet essai, une ideede base de la technique de Metropolis Hasting est presentee dans sa ver-sion Multiple-block.Ainsi, pour comprendre la coherence de cet essai, les etapes suivantessont suivies.Supposons que θ est partitionne tels que θ = (θ(1), θ(2) . . . , θ(B)) commeprecedemment ou θj est un reel ou vecteur avec j = 1, 2, . . . , B.
• Technique de Metropolis-Hasting 3.
Step 1 : Choisir une valeur initiale θ(0) = (θ(0)1 , θ
(0)2 , . . . , θ
(0)B )
Step 2 : Repeter pour j = 1, 2, . . . , no+MRepeter pour k = 1, 2, . . . , BStep 2.1 : Propose une valeur pour le kth bloc, conditionne sur les
valeurs passees du kth bloc et les valeurs courantes des autres blocs θ−k
telle que : θ′k ∼ qk(θj−1k , .|θ−k)
Step 2.2 : calculer la probabilite de transition α(.) telle que :
αk(θj−1k , θ′k|y, θ−k) = min {
π(θ′k|θ−k)qk(θ′
k,θj−1k |θ−k)
π(θj−1k |θ−k)qk(θ
j−1k ,θ′k|θ−k)
, 1}
Step 2.3 : Mettre a jour le kth bloc tel que :
θjk =
θ′k avec une probabilite αk(θj−1k , θ′k|y, θ−k)
θj−1k avec une probabilite 1− αk(θ
j−1k , θ′k|y, θ−k)
Step 3 : Retourne les valeurs {θ(n0+1), θ(n0+2), . . . , θ(n0+M)}ou qk(.) est une densite candidate qui doit etre specifiee avant le debut
du processus.Plusieurs etudes ont propose des densites qui marchent en pratique. Lesplus utilisees selon la litterature sont les distributions normales, les dis-tributions de student, les marches aleatoires. Pour plus de details, onpeut se referer a Metropolis et al.(1953) [30] ; Chib et Greenberg(1995).L’utilite de la methode continue d’attirer des chercheurs qui lui conferentune attention particuliere.
3. Cet algorithme est extrait du cours de series chronologiques et fondements statistiques de Stephen Gordon(2010)
et adapte pour le cas general
20
Cet essai utilise la version multiple block de cette technique pour simulerles composantes inobservables en specifiant une marche aleatoire commeune densite candidate du fait que les composantes inobservables sont desPIB reels mensuels.Ces techniques supposent l’expression de la vraissanblance du modele.Pour cela, apres specification des distributions a priori du modele et sousune structure hierachique, elle se presente comme suit :
π(ψ|xT ) ∝ l(xT |y∗T ,Θ)π(y∗T |Θ)π(Θ) (3.16)
ou ψ = {Θ, y∗T}, Θ = {Φ, ρ, σ, α}, Φ = {φ11, . . . , φkp}, ρ = {ρ1, . . . , ρr},σ = {σ2, σ21, . . . , σ
2T}, les parametres inconnus du modele et xT toutes les
variables observees a T .La fonction de vraisemblance complete l(.) est :
l(xT |y∗T ,Θ, ) =
T∏
t=1
fN(xt|y∗t ,Φ, σ) (3.17)
Ou fN(.) est la densite d’une distribution normale et xt est un vecteurqui contient les variables et indicateurs observes.
3.2 Simulations et estimations
3.2.1 Distributions a priori
La methodologie adoptee pour cet essai est l’approche Bayesiennetraitant tous les composantes inobservables du modele comme des pa-rametres a estimer et conditionnant toutes les inferences sur les va-riables observees. Cette methode requiert de quantifier les croyances apriori des composantes inobservees. En effet, les croyances a priori pourles parametres stables θ = {φ, γ, ρ, α0, σe} sont suffisants pour definircompletement les distributions a posteriori de {y∗t }
T3 . De plus, les dis-
tributions a priori des parametres stables θ sont choisies de maniere aobtenir des distributions a posteriori standard qui peuvent etre facile-ment simulees.
Pour des raisons de simulations, les parametres stables sont partionnescomme suit :φ = {φij}
3i,j=1 ; γ = {γlk}
l=1,2,3k=0,1,2,3 ; ρ = {ρm}
3m=1 et σe = {σ2n}
3n=1U{σ
2}.
21
Primo, les croyances a priori de tous les parametres stables du modelesont representes par des distributions a priori conjuguees. Ainsi, etantdonnee σ2i , la distribution a priori de φi = {φij}
3j=1 est une distribution
normale multivariee telle que :
φi ∼ N(φi, Aφiσ2i ) ; i = 1, 2, 3
Ou φi est la moyenne a priori de φi et Aφiσi est sa variance a priori. De
meme, les croyances a priori des parametres ρ etant donne σ2 est unedistribution normale multivariee :
ρ ∼ N(ρ, Aρσ2)
ρ est la moyenne a priori de ρ et Aρσ2 est sa variance a priori.
α0 la moyenne de l’etat dependant, a aussi une croyance a priori nor-male univariee .
α0 ∼ N(α0, Aα0σ2)
α0 est la moyenne a priori de α0 et Aα0σ2 est sa variance a priori. Natu-
rellement, σ2 et σ2n sont representees par des distributions inverse-gammatelles que :
σ2 ∼ IG(νy2,νyσ
2
2)
σ2 est la moyenne a priori de σ2 etνyσ
4
2 est sa variance a priori puis ;
σ2n ∼ IG(νyn2,νynσ
2n
2) n = 1, 2, 3
σ2n est la moyenne a priori de σ2n etνynσ
4n
2 est sa variance a priori.
3.2.2 Distributions conditionnelles, Echantillonnage de Gibbs et Metropolis-Hasting
Comme prevenus par Filardo et Gordon(1998) [14],“l’estimation di-recte de la distribution conjointe est a la fois encombrante et nonnecessaire”. En effet, cet essai utilise comme mentionne ci-dessus, lestechniques de Gibbs et Metropolis-Hasting pour generer une sequence{Ψi}T1 avec Ψ = {θ, y∗t } qui converge en distribution a P (Ψ|x). Commesouligne dans la section precedente, l’echantillonnage de Gibbs commence
22
par le choix des valeurs initiales pour les parametres stables a estimer etla technique de Metropolis-Hasting avec le choix des valeurs initiales pourles variables latentes. Etant donne les valeurs pour Ψ(0), Ψ(i), i ≥ 1 lesparametres sont generes selon les etapes suivantes :
Step 1 : Generer {φi}3i=1, {γl}
3l=1, α0, σe.
• Simulation de {φi}3i=1, σe
Etant donne des valeurs pour y∗t , et x une matrice de vecteurs xt, Y lamatrice de y∗t conformement au systeme 3.4, la distribution a posterioride (φi, σ
2i ) a la forme inverse-gamma :
φi ∼ N(φi, Aφiσ2i )
σ2i ∼ IG(νφi2 ,
νφiσ2i
2 )
(3.18)
• Simulation de {ρl}2l=1, σ
2, α0
De meme, soit y∗tq = y∗tq−y∗t−1q−α0 , etant donne α0 , l’une des equations
de transitions peut-etre ecrite comme :
y∗tq = ρ1y∗t−1q + ρ2y
∗t−2q + . . .+ ρ1ry
∗t−rq + e∗t , t = 1 + r, . . . , T (3.19)
Soit y le vecteur de y∗tq et Y la matrice des variables a droite de l’equationEq.(3.19). La distribution a posteriori de (ρl, σ
2) a la forme inverse-gamma.
ρl ∼ N(ρl, Aρlσ2)
σ2 ∼ IG(νγl2 ,
νγlσ2
2 )
(3.20)
Une fois que Aρl est connue, on peut tirer σ2 de la distribution inverse-gamma de l’equation Eq.(3.20) et utiliser ces valeurs pour tirer les valeursde ρl a partir de la distribution normale de la meme equation. Soit ∆y∗tq =y∗tq − y∗t−1q. On peut definir :
ytq = ∆y∗tq − ρ1∆y∗t−1q − ρ2∆y
∗t−2q − . . .− ρ1r∆y
∗t−rq
ρ = 1− ρ1 − ρ2 − . . .− ρ1r
ytq = α0ρ+ e∗t ; t = 1 + r, . . . , T
(3.21)
Soit y le vecteur de variables a gauche de la derniere equation de (3.21) etY la matrice de variables a droite de la meme equation. Etant donne σ2,la distribution a posteriori de α0 a la forme de la distribution normale :
α0 ∼ N(α0, Aα0σ2) (3.22)
23
Alors α0 peut etre simule de la distribution normale de l’equation 3.22avec une moyenne et variance a posteriori α0 et Aα0
σ2 respectivement.• Determination de {γl0}
3l=1 et de {γl}
3l=1
Comme les γl0 sont fonction de ρ, une fois que les ρ sont simules, s’endeduisent simplement les γl0.De maniere similaire, les {γl}
3l=1 ou γl = {γlk}
3k=0 sont obtenus a partir
des ρ puisque ils sont des combinaisons lineaires de ces derniers.• Determination de {τ0l}
6l=1 et de {τl}
6l=1 ou τl = {τlk}
3k=1.
Comme {τ0l}6l=1 et {τl}
6l=1 dependent seulement de ρl et de φl, leurs va-
leurs sont obtenues apres simulation de {ρl}2l=1 et de {φl}
3l=1.
Les expressions des parametres simules et generes sont en annexe dupresent document.Step 2 : Generer {y∗t }
Tt=1.
Etant donne θ et les valeurs initiales pour {y∗t }Tt=1, cet essai propose
d’utiliser la Metropolis-Hasting pour generer une sequence de y∗t . Commey∗t est un bloc de trois composantes mensuelles inobservables, il est sup-pose que y∗t est un processus Markovien de premier ordre. Chaque blocest une dynamique intra-trimestre qui est simule conditionnellement auxdonnees trimestrielles. Alors, il est tire un bloc de deux composantes etutilise la condition trimestrielle pour determiner la derniere composantedu bloc.Les premieres et dernieres observations ne recoivent pas les memes trai-tements. A cause de cela les premieres observations sont simulees de ladistribution (fi0(.)) telle que :
fi0(yb0|z0) = N(λ′0Σ−1z0 (z0 − µz),Σ
′0 − λ′0Σ
−1z0 λ0)
fi0(yb0|z0) = fi0(y∗0q, y
∗−1q, y
∗−2q|z0)
u.c exp(y∗−2q) = 3Y0q − exp(y∗0q)− exp(y∗−1q)
(3.23)
Les dernieres observations sont simulees de la distribution fd telle que
fd(y∗T |xT , IT−3) = N(µT ,ΣT )
fd(y∗T |xT , IT−3) = fd(y
∗Tq, y
∗T−1q, y
∗T−2q|xT , IT−3)
u.c : exp(y∗T−2q) = 3YTq − exp(y∗Tq)− exp(y∗T−1q)
(3.24)
24
Pendant que le reste des observations sont simulees de la distribution(fr(.)) telle que :
fr(y∗t |It+3, zt) = N(Fy∗t−3 + Aum + λ′Σ−1
z (zt − µz), DQD′ − λ′Σ−1
z λ)
u.c : exp(y∗t−2q) = 3Ytq − exp(y∗tq)− exp(y∗t−1q); t = 4, . . . , T − 3
fr(y∗tq, y
∗t−1q|xt, xt+1,t+2, It−3) ∝ e[−
12 (s11(y
∗
tq−µ1)2+s22(y
∗
t−1q−µ2)2)]
×e[−12s33(ln(3Yt−e
y∗tq−ey∗t−1q )−µ3)
2]
×e[(−s12(y∗
tq−µ1)(y∗
t−1q−µ2)]e[s13(y∗
tq−µ1)µ3)]
×[eln(3Yt) − ey∗
tq − ey∗
t−1q ]−s13(y∗
tq−µ1)
×[eln(3Yt) − ey∗
tq − ey∗
t−1q ]−s23(y∗
t−1q−µ2)
×es23(y∗
t−1q−µ2)µ3
(3.25)
NB : Les µ1, µ2, µ3 et les s.. sont definis en annexe 4.
Les distributions simulaires a celle de l’equation 3.25 sont obtenuespour les distributions des premieres et dernieres observations.On peut voir que la distribution conjointe des variables latentes a tra-vers les trimestres a une distribution normale multivariee. Mais quand lacontrainte trimestrielle est utilisee, la distribution conjointe devient com-plexe et n’a aucune forme standard. C’est pourquoi il semble utile dansces conditions d’appliquer les techniques de Metropolis-Hasting pour si-muler les PIB reels mensuels non observes.NB : Les composantes des differentes distributions sont detaillees en an-nexe2 de ce document.
4 Donnees et resultats empiriques
4.1 Les donnees et le choix des variables et indicateurs
L’analyse du cycle economique utilise couramment quatre indicateurscoıncidents en conjonction avec le PIB reel. De meme, le comite generalde datation du cycle economique utilise ces indicateurs pour determinerles points de retournement.Pour etre en phase avec les objectifs de cet essai, il est utilise ces quatres
25
indicateurs couvrant la periode du premier janvier 1959 au premier mars2010. Le tableau suivant presente la statistique descriptive des indicateursutilises .
Tableau I : Statistiques descriptives des indicateurs
Indicateurs Moyennes Ecart-types Min Max N
Trimestriels
QGDP 7303 3262 2710 13363 206
DLGDP 0, 0077 0, 0088 -0, 0207 0, 0386 205
Mensuels
DLIPI 0, 0023 0, 0084 -0, 0404 0, 0600 614
DLINC 0, 0025 0, 0055 -0, 0487 0, 0371 614
DLEMP 0, 0015 0, 0024 -0, 0087 0, 0123 614
DLMTS 0, 0025 0, 0103 -0, 0321 0, 0544 614
DLSWGDP 0, 0026 0, 0093 -0, 0418 0, 0359 614
26
4.2 Resultats des estimations
Apres l’estimation du modele, il est presente dans le tableau II, lesresultats avec les quatres indicateurs.
Tableau II : Resultats des estimations
Variables Parametres Estimations Ecarts-types
DLIIP φ10 -0, 000150 0, 000386
φ11 0, 614133 0, 070160
φ12 0, 339113 0, 066301
φ13 -0, 339113 0, 066301
σ2
1 0, 000059 0, 000004
DLINC φ20 0, 001393 0, 000282
φ21 0, 339114 0, 053936
φ22 0, 084064 0, 049028
φ23 -0, 084064 0, 049028
σ2
2 0, 000031 0, 000002
DLEMP φ30 0, 000752 0, 000110
φ31 0, 178492 0, 019610
φ32 0, 102129 0, 018056
φ33 -0, 102129 0, 018056
σ2
3 0, 000005 0, 000000
DLMTS φ40 0, 000236 0, 000523
φ41 0, 689414 0, 100370
φ42 0, 196458 0, 094178
φ43 -0, 196458 0, 094178
σ2
4 0, 000106 0, 000008
27
Variables Parametres Estimations Ecarts-types
LPIBM
α0 0, 002557 0, 000234
t ρ1 0, 011534 0, 032464
ρ2 0, 024623 0, 029053
γ01 2, 935893 0, 069140
γ11 1, 040731 0, 044070
γ12 -0, 013470 0, 032975
γ13 -0, 027263 0, 030729
σ2 0, 000031 0, 000004
t-1 γ02 1, 937890 0, 066609
γ21 1, 040143 0, 042387
γ22 -0, 014392 0, 031320
γ23 -0, 025754 0, 029350
t-2 γ03 0, 963848 0, 042987
γ31 1, 013474 0, 031330
γ32 0, 012021 0, 043535
γ33 -0, 025479 0, 029012
• Analyse des resultats du tableau II.Les resultats de ce tableau suggerent plusieurs analyses. Primo, il est faitobserver l’impact direct d’une specification en taux de croissance sur unespecification a niveau a travers les parametres estimes.La specification en taux de croissance aurait estime α0 comme la moyennedes taux de croissance du PIB reel tandis que celui en terme de variablea niveau introduit un facteur correctionnel non negligeable γ0, qui s’elevea 2,935893 au temps t.Au lieu d’estimer le modele d’abord en taux de croissance puis faire deshypotheses approximatives comme l’ont fait Kim et Nelson(1999) pourretrouver le PIB reel mensuel, le passage d’une specification en taux decroissance a une specification a niveau permet d’estimer les variables aniveau directement sans etapes intermediaires. Secundo, les PIB reelsmensuels ont une autocorrelation possitive mesuree par les parametresγ31 et γ32. Les PIB reels mensuels du trimestre courant sont lies a ceuxdu trimestre passe en particulier le dernier mois du trimestre precedent.Le fort lien entre les deux trimestres (courant et passes) se retrouvedans la forte correlation entre le trimestre courant et le PIB du dernier
28
mois du trimestre passe. Donc apparemment, au dela du dernier moisdu trimestre passe, il n’existe pas grande chose pouvant contribuer ala formation des PIB inobservables de la periode courante. La plupartde ces coefficients (γ12, γ13, γ22, γ23, γ33) sont faibles et negatives. La dy-namique inter-trimestres depend fortement de la dynamique du derniermois du trimestre passe avec une stabilite mesuree par la variance σ.Economiquement, les agents anticipent la production du trimestre cou-rant a partir des informations les plus recentes du trimestre passe. Leurdecision dans le processus de production du trimestre courant fait etatd’ignorance des etats de l’economie trois, quatre et cinq mois plutot.Theoriquement, toute politique disponible sur le trimestre passe seraitincorporee dans le dernier mois du trimestre.Tertio, la relation entre les indicateurs et les variables latentes mensuelleslaisse presager que le taux de croissance de l’indice de production indus-trielle capte a lui seul 61,41% de la variabilte du PIB reel inobservabledu dernier mois du trimestre courant. Quand au premier et deuxiememois du trimestre courant, des effets negatifs sont observes representant27,5%(φ12−φ11) et 33,9% respectivement. En effet, les chocs dans le sec-teur de la production industrielle expliqueraient les mouvements de laproduction interieure dans une grande mesure. Ces changements seraientexpliquer en grande partie par l’information contenue dans le dernier moisdu trimestre. Mais, les effets divergent selon qu’on soit dans le premier,deuxieme ou dernier mois du trimestre et ceux pour tous les trimestres.Le persimisme des agents au cours des premiers mois du trimestre setraduit par les effets negatifs observes. Vu leur anticipation sur le der-nier mois du trimestre passe, ce persimisme a fini par se dissiper selon laprophesie autorealisatrice (dans le secteur industriel) qui induit ainsi uneffet positif sur la production interieure.Ce phenomene reste vrai pour les ventes manufacturieres qui captent aelles seules 68,9% de la production mensuelle du dernier mois du tri-mestre courant avec des effets negatifs sur les premier et deuxieme mois.Les effets negatifs de l’emploi (10,2% et 7,6% ) sur la production au coursdes premier et deuxieme mois s’assimilent a l’entree de nouveaux agentssur le marche et/ou la sortie d’experts. Les nouveaux entrees commencenta acquerir de la confiance et de l’experience deja au deuxieme mois afinde devenir autonome et confiants au cours du troisieme mois d’ou l’effetpositif (17,8%) observe au cours du dernier mois du trimestre courant.Par effet direct ou indirect, le revenu en subit les consequences
29
immediates d’ou les effets negatifs (25,5%) dans les deux premiers moispuis les effets positifs (33,9%) par la suite.
Mais il faut remarquer que les taux de croissance de ces indicateurscaptent positivement les taux de croissance des PIB mensuels du derniermois du trimestre courant.Enfin, pour les estimations des PIB reelles mensuelles inobservables, legraphique ci-dessous presente les resultats.
• Analyse du graphiqueSuivant le graphique ci-dessous, le PIB reel estime montre clairement cesdeux composantes a savoir une composante cyclique et une composantetendancielle. La composante cyclique montre l’evolution de cet aggregat.Il connait en mai 1959 une legere augmentation avant de connaıtre unelegere baisse en octobre de la meme annee.Il a connu une grande baisse en fin decembre 1960 avec une legere conti-nuite en janvier 1961 et une baisse de 0.2% en novembre 2011.Au cours de l’annee 1963, il a eu une legere hausse en septembre afinde baisser legerement en octobre. Une baisse reguliere sur quatres moisest observee depuis aout 1964 jusqu’en fin decembre afin de reprendredebut janvier 1965. Cette reprise a continue jusqu’en avril 1965 afin dese stabiliser en debut mai. Apres cette stabilite, il a connu une haussenon negligeable jusqu’en fevrier 1966 puis une legere stabilite en marspuis une legere baisse en avril suivi d’une hausse en mai.Le 10 octobre 1970, le PIB reel estime a connu une grande baisse (crisedes annees 1970) avant de remonter en mars 1971 pour continuer sonchemin de croissance et atteindre un niveau eleve en octobre 1973(ex-pansion des annees 1973).Le mois de fevrier 1975 a connu une baisse non negligeable suivi d’unereprise au cours des mois de l’annee. Cette baisse traduit aisement lecreux des annees 1975. Les annees 80 ont connu une hausse et une baisseremarquable en janvier et en juillet . L’annee 1981 a connu une hausserelative et celle 1982 des baisses en mars et en septembre. Ce qui situentclairement les recessions des annees 1980 et 1981, et les expansions desannees 1980 et 1982.
30
Figure 1 – PIB reels mensuels simules des U.S de 1959 a 2010
1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 20097.8
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
9.2
9.4
9.6
9.8
Années
Évo
lutio
n d
u P
IB r
ée
l est
imé
ysimule
• Analyse de la sensibiliteCette analyse consiste a considerer une combinaison de trois indicateurssur les quatres afin de voir la contribution de chaque indicateur al’amelioration de l’estimation des composantes inobservables. De ce fait,le tableau suivant presente les differentes combinaisons dans la recherchedes pics et des creux du PIB reel mensuel estime.
31
Tableau III : Pics et creux selon les indicateurs
Dates du NBER PIB mensuel estime
Pics
M1234 M124 M134 M123 M234
1960 : 04 +1 +1 +1 +1 +1
1969 : 12 +5 +4 +3 +5 +3
1973 : 11 +1 +1 +1 +1 +1
1980 : 01 0 0 0 0 0
1981 : 07 0 0 0 0 0
1990 : 07 0 0 0 0 0
2001 : 03 -1 -1 -1 0 -1
2007 : 12 +3 +3 +3 +3 +3
Creux
1961 : 02 +2 +3 +2 +3 +2
1970 : 11 +1 +1 +1 +1 +1
1975 : 03 +1 +1 +1 +1 +1
1980 : 07 +0 +0 +0 +0 +0
1982 : 11 +2 +2 +2 +2 +2
1991 : 03 +1 +1 +1 +1 +1
2001 : 11 +2 +2 +3 +2 +3
2009 : 06 +1 +1 +3 +1 +1
Comme on peut le constater, notre echantillon comporte huit periodesidentifiees par le NBER pour les pics et les creux.En effet, d’apres les resultats du tableau III, toutes les combinaisons devariables sont bonnes pour identifier les changements dans le PIB men-suel estime pour les annees 1980 et 1981. Les pics des annees 1960 et1973 et 2007 semblent etre identifies avec un mois d’avance. Les creuxdes annees 1970, 1975 et 1991 sont aussi identifes avec un mois d’avance.En gros, dans la prediction des changements (pics) dans le PIB mensuelinobserve, d’aucuns pourraient utiliser trois des quatre indicateurs (In-dice de production, Revenu et emplois) alors que dans celle des creux,les combinaisons de l’indice de production industrielle, du revenu et dela vente manufacturiere d’une part, ou de l’indice de production indus-trielle, du revenu et de l’emploi non agricole s’averent approprier.
• Analyse de quelques faits stylises : comouvements et volatilitesLe tableau IV suivant montre les indicateurs qui comouvent avec le PIBreel simule. Le coefficient de correlation et le rapport des variances rela-tives permettent d’apprecier ces relations.
32
En effet, il est observe d’une part, une correlation positive entre les in-dicateurs utilises et le PIB reel estime. Et d’autre part, les indicateursobserves a la periode future, soit un mois d’avance sont plus fortementcorreles a la production interieure brute que toutes les autres periodes.L’indice de production industrielle et l’emploi semblent refletes plus lesmouvements d’ensemble. A un rythme mensuel, ces comouvements dansles secteurs economiques sont conformes a la dynamique inter-trimestres.Quand a la volatilite, l’indice de production industrielle(4,028), les ventesmanufacturieres (6,14) varient plus vite (4 et 6 fois plus vite respective-ment) alors que l’emploi (0,319) est moins volatile que la productioninterieure brute. Quand au revenu moins les transferts (1,76), la vola-tilite n’est pas aussi elevee. Les resultats relatifs a ces indicateurs sontconformes a la litterature.Ailleurs, tous ces indicateurs sont procycliques et changent avant et apresla production interieure brute simulee comme l’indiquent les figures al’annexe 5 du document.
33
Tableau IV : Comouvements et Volatilites
Variables Comouvements Volatilites
Courante ysimules
DLIIP 0, 319 4, 028
DLINC 0, 126 1, 752
DLEMP 0, 341 0, 319
DLMTS 0, 154 6, 141
Passes1 ysimules
DLIIP 0, 361 4, 032
DLINC 0, 222 1, 766
DLEMP 0, 355 0, 320
DLMTS 0, 290 6, 131
Passes2 ysimules
DLIIP 0, 343 4, 066
DLINC 0, 151 1, 769
DLEMP 0, 294 0, 322
DLMTS 0, 256 6, 182
Futures1 ysimules
DLIIP 0, 559 4, 011
DLINC 0, 462 1, 757
DLEMP 0, 574 0, 319
DLMTS 0, 502 6, 145
Futures2 ysimules
DLIIP 0, 283 3, 997
DLINC 0, 184 1, 754
DLEMP 0, 404 0, 317
DLMTS 0, 103 6, 135
34
• Comparaisons alternativesLe graphique suivant montre une comparaison des composantes inobser-vables estimees d’apres notre modele et celui de Stock et Watson (1989).D’apres ce graphique, les deux valeurs ont les memes tendances. LePIB estime par Stock et Watson a tendance a introduire une certaineautocorrelation temporaire reguliere. Ce qui montre comment la correc-tion trimestrielle apporte une information pertinente pouvant permettred’identifier les changements reels dans le PIB mensuel inobservable.
Figure 2 – Evolution comparative du PIB reel estime et du PIB reel estime de SW
2005 2006 2007 2008 20099.42
9.43
9.44
9.45
9.46
9.47
9.48
9.49
9.5
9.51
9.52
Années
PIB
est
imé
et P
IB r
éel d
e S
tock
et W
atso
n
ysimule
yswgdp
35
Le tableau suivant donne une vue comparative des pics et des creuxselon le PIB mensuel estime par Stock et Watson et l’indice coincident.
Tableau IV : Comparaisons alternatives .
Dates du NBER Stock et Watson et IC
Pics
SW CI M1234
1960 : 04 +1 0 +1
1969 : 12 +2 +3 +5
1973 : 11 -1 +1 +1
1980 : 01 0 +1 0
1981 : 07 0 0 0
1990 : 07 0 +1 0
2001 : 03 -1 +2 -1
2007 : 12 0 +1 +1
Creux
1961 : 02 +2 +1 +2
1970 : 11 +2 +1 +1
1975 : 03 0 0 +1
1980 : 07 +2 +1 0
1982 : 11 +1 0 +2
1991 : 03 0 +1 +1
2001 : 11 0 0 +2
2009 : 06 0 +1 +1
Dans les annees 1980, les dates du NBER coincident avec celles iden-tifiees par Stock et Watson(1991) et le modele combinant les quatresindicateurs(M1234) 4 pour les pics.Notre approche identifie clairement le creux de 1980 alors que Stocket Watson l’identifient deux mois plutot. L’approche de Stock et Wat-son retrouvent les creux des annees 1991, 2001 et 2009 pendant que ceschangements sont survenus respectivement 1 mois, deux mois et un moisplutot pour les memes annees dans le PIB reel estime.Quand a l’indice coıncident, il coıncide seulement pour les annees 1960,1981 pour les pics et dans les annees 1975, 1982 et 2001 pour les creux.Par rapport a la coincidence, l’approche de Stock et Watson semble unpeu plus proche des dates du NBER. Mais en terme de prevision des
4. M1234 :modele incluant IPI(1), le revenu(2), l’emploi(3) et les ventes manufacturieres(4)
36
changements dans le PIB reel estime, l’approche utilisee dans cet essaisemble un peu plus adapte.
5 Conclusion
Les resultats de cet essai montrent que le modele specifie replique cer-tains changements dans le PIB reel estime conformement a certains dela litterature.La decomposition trimestrielle pourrait conduire a de faibles persistencesdans les relations entre les variables.Les dynamiques intra et inter-trimestres conduisent a des changementsplutot que prevus et l’information trimestrielle renforce l’estimation men-suelle du PIB reel.
L’analyse de la sensibilite revele que la combinaison de quatre variablesn’est pas la situation la meilleure. En temps reel, avec une combinaisonde trois indicateurs, on pourrait aboutir a de bon resultats sur l’etatde l’economie. Dans certains cas d’identification des changements, lesdifferentes combinaisons donnent des resulats similaires, mais ailleurs,les resultats sont differents et bien certaines combinaisons rendent lesresultats sensibles quand aux creux et pics. Par exemple, les pics et lescreux des annees 1980 sont identifies sans grande difficulte.La correction trimestrielle a un impact direct sur les changements ob-serves et permet d’obtenir un PIB mensuel facilement interpretable.Les resultats de ce papier n’entendent pas tenir compte de tous les as-pects possibles surtout que tout demeurre une estimation.De plus notre modele n’inclut pas l’aspect non lineaire dans les chan-gements de la moyenne mais plutot dans la contrainte. Ce qui pourraitrendre difficile l’identification des chances d’etre en recession ou en ex-pansion.
37
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40
6 Annexe
6.1 Annexe 1 : Developpement de la forme generale du modele.
Supposons maintenant qu’il y ait k variables et indicateurs avec pretards de composantes mensuelles inobservables telles que :
x1t,q − φ01x2t,q − φ02x3t,q − φ03
...xkt,q − φ0k
︸ ︷︷ ︸
xkt
=
φ11 φ12 − φ11 φ13 − φ12 . . . −φ1pφ21 φ22 − φ21 φ23 − φ22 . . . −φ2pφ31 φ32 − φ31 φ33 − φ32 . . . −φ3p...
......
...φk1 φk2 − φk1 φk3 − φk2 . . . −φkp
︸ ︷︷ ︸
Φ
y∗t,qy∗t−1,q
y∗t−2,q...
y∗t−p,q
︸ ︷︷ ︸
Yqtp
+
ǫ1tǫ2tǫ3t...ǫkt
︸ ︷︷ ︸ηt
(6.1)
Comme precedemment, le systeme des equations de mesure des compo-santes futures observables est comme suit :
x1t+1,q − τ01x1t+2,q − τ02x2t+1,q − τ03x2t+2,q − τ04x3t+1,q − τ05x3t+2,q − τ06
...xk−1t+1,q − τ0k−3
xk−1t+1,q − τ0k−2
xkt+1,q − τ0k−1
xkt+2,q − τ0k
︸ ︷︷ ︸
xkt+1,t+2
=
τ11 τ12 τ13 . . . τ1p τ1p+1
τ21 τ22 τ23 . . . τ2p τ2p+1
τ31 τ32 τ33 . . . τ3p τ3p+1
τ41 τ42 τ43 . . . τ4p τ4p+1
τ51 τ52 τ53 . . . τ5p τ5p+1
τ61 τ62 τ63 . . . τ6p τ6p+1...
...... . . .
......
τk−31 τk−32 τk−33 . . . τk−3p τk−3p+1
τk−21 τk−22 τk−23 . . . τk−2p τk−2p+1
τk−11 τk−12 τk−13 . . . τk−1p τk−1p+1
τk1 τk2 τk3 . . . τkp τkp+1
︸ ︷︷ ︸
Ng
y∗t,qy∗t−1,q
y∗t−2,q...
y∗t−p+1,q
y∗t−p,q
︸ ︷︷ ︸
Yqtp
+
41
φ11 0 1 0 0 0 0 0 . . . 0 0 0 0ρ1φ11 + φ12 φ11 0 1 0 0 0 0 . . . 0 0 0 0
φ21 0 0 0 1 0 0 0 . . . 0 0 0 0ρ1φ21 + φ22 φ21 0 0 0 1 0 0 . . . 0 0 0 0
φ31 0 0 0 0 0 1 0 . . . 0 0 0 0
ρ1φ31 + φ32 φ31 0 0 0 0 0 1 0... 0 0 0
......
......
......
... 0 . . . 0...
......
φk−11 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0ρ1φk−11 + φk−12 φk−11 0 0 0 0 0 0 . . . 0 1 0 0
φk1 0 0 0 0 0 0 0 . . . 0 0 1 0ρ1φk1 + φk2 φk1 0 0 0 0 0 0 . . . 0 0 0 1
︸ ︷︷ ︸
Lg
ǫt+1
ǫt+2
ǫ1t+1
ǫ1t+2
ǫ2t+1
ǫ2t+2
ǫ3t+1
ǫ3t+2...
ǫk−1t+1
ǫk−1t+2
ǫkt+1
ǫkt+2
︸ ︷︷ ︸
egt+1,t+2
(6.2)
Comme le systeme des valeurs futures, celui des valeurs passees dans lecas general se presente comme suivant :
x1t−1,q − φ01x1t−2,q − φ01x2t−1,q − φ02x2t−2,q − φ02x3t−1,q − φ03x3t−2,q − φ03
...xkt−1,q − φ0kxkt−2,q − φ0k
︸ ︷︷ ︸
xkt−1,t−2
=
0 φ11 φ12 − φ11 φ13 − φ12 . . . −φ1p 0 00 0 φ11 φ12 − φ11 . . . φ1p−2 − φ1p−1 −φ1p 00 φ21 φ22 − φ21 φ23 − φ22 . . . −φ2p 0 00 0 φ21 φ22 − φ21 . . . φ2p−2 − φ2p−1 −φ2p 00 φ31 φ32 − φ31 φ33 − φ32 . . . −φ3p 0 00 0 φ31 φ32 − φ31 . . . φ3p−2 − φ3p−1 −φ3p 0...
......
......
......
0 φk1 φk2 − φk1 φk3 − φk2 . . . −φkp 0 00 φk1 φk2 − φk1 φk3 − φk2 . . . φkp−2 − φkp−1 −φkp 0
︸ ︷︷ ︸
Hg
×
42
y∗t,qy∗t−1,q
y∗t−2,q...
y∗t−p+1,q
y∗t−p+2,q
y∗t−p,q
︸ ︷︷ ︸
Yqtp
+
ǫ1t−1
ǫ1t−2
ǫ2t−1
ǫ2t−2
ǫ3t−1
ǫ3t−2...
ǫkt−1
ǫkt−2
︸ ︷︷ ︸
ηgt−1,t−2
(6.3)
Le systeme des valeurs des composantes latentes de la productioninterieure brute est comme suit :
y∗ty∗t−3
y∗t−6...
y∗t−3(i−1)
y∗t−3i
︸ ︷︷ ︸
=
y∗t,qy∗t−1,q
y∗t−2,q
y∗t−3,q
y∗t−4,q
y∗t−5,q
y∗t−6,q
y∗t−7,q
y∗t−8,q...
y∗t−3(i−1),q
y∗t−3(i−1)−1,q
y∗t−3(i−1)−2,q
y∗t−3(i),q
y∗t−3(i)−1,q
y∗t−3(i)−2,q
Il faut noter que ∀i > 0 :
43
y∗t+3i
y∗t+3(i−1)
...y∗t+6
y∗t+3
︸ ︷︷ ︸
yf
=
F 2iy∗t−3i +∑2i−1
j=0 FjAumst+3(i−j)
+∑2i−1
j=0 FjDvt+3(i−j)
F 2(i−1)y∗t−3(i−1) +∑2(i−1)−1
j=0 F jAumst+3(i−j)+∑2(i−1)−1
j=0 F jDvt+3(i−j)
...
F 4y∗t−6 +∑3
j=0 FjAumst+3(2−j)
+∑3
j=0 FjDvt+3(2−j)
F 2y∗t−3 +∑1
j=0 FjAumst+3(1−j)
+∑1
j=0 FjDvt+3(1−j)
En clair ∀i > 0,
y∗t+3i
y∗t+3(i−1)
...y∗t+6
y∗t+3
︸ ︷︷ ︸
yf
=
F 2i
F 2(i−1)
...F 4
F 2
⊗
︸ ︷︷ ︸
Ff
y∗t−3i
y∗t−3(i−1)
...y∗t−6
y∗t−3
︸ ︷︷ ︸yf
+
F 0A F 1A F 2A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F 2i−2A F 2i−1A
0 F 0A F 1A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F 2i−3A 00 0 F 0A F 1A . . . . . . . . . . . . . . . F 2i−5A 0 0...
... . . . . . . ... ... ......
0 0 . . . F 0A F 1A F 2A F 3A ... 0 00 0 0 . . . 0 F 0A F 1A 0 . . . 0 0 0
︸ ︷︷ ︸
Maf
×
umst+3i
umst+3(i−1)
umst+3(i−2)
...
...
...umst−3(i−1)
umst−3i
︸ ︷︷ ︸uf
+
44
F 0D F 1D F 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F 2i−2D F 2i−1D0 F 0D F 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F 2i−3D 00 0 F 0D F 1D . . . . . . . . . . . . . . . F 2i−5D 0 0...
... . . . . . . ... ... ......
0 0 . . . F 0D F 1D F 2D F 3D ... 0 00 0 0 . . . 0 F 0D F 1D 0 . . . 0 0 0
︸ ︷︷ ︸
Mdf
vt+3(i)
vt+3(i−1)
vt+3(i−2).........
vt−3(i−1)
vt−3(i)
︸ ︷︷ ︸vf
6.2 Annexe 2 : Determination de la distribution conjointe du modele
Dans cette sous-section , on veut determiner la distribution conjointede (y∗t , y
∗t+3, xt, xt+1,t+2, xt−1,t−2) pour obtenir la distribution conjointe
conditionnelle de y∗t . Cette derniere distribution permettra de simulerles composantes inobservables de y∗t .
Nous determinons d’abord les distributions conjointes de (y∗t , y∗t+3) ;
de (y∗t , y∗t+3, xt) ; de (y∗t , y
∗t+3, xt, xt+1,t+2) puis la distribution conjointe
de (y∗t , y∗t+3, xt, xt+1,t+2, xt−1,t−2). Le modele utilise l’information d’une
periode d’avance, soit y∗t+3 et xt+1,t+2 pour estimer les parametres etles variables latentes. Cet usage est justifie par le fait qu’a la periodecourante, on peut avoir l’information d’une periode d’avance a titre d’in-formation rationnelle a propos des variables inconnues. Ainsi, soit It+3
toutes les informations disponibles a la periode t + 3, la moyenne et lamatrice de variance-covariance de y∗t+3 sont telles que :
E(y∗t+3|It+3) = F 2y∗t−3 + FAum + Aum
Var(y∗t+3|It+3) = FDQD′F ′ +DQD′
(6.4)
45
Suivant l’hypothese de normalite des vt et conditionnellement a toutel’information disponible a la periode t+ 3, la distribution conditionnellea la forme suivante :
Distribution 6.2.1
y∗t+3|It+3 ∼ N(
[
F 2y∗t−3 + FAum + Aum
]
,
[
FDQD′F ′ +DQD′
]
)
Une fois la disribution conditionnelle de y∗t+3 est connue, pour determinerla distribution conjointe complete de (y∗t , y
∗t+3), il sera bon de connaıtre
la matrice de variance et covariance entre ces deux vecteurs.Ainsi, par definition,
cov(y∗t y∗t+3|It+3) = E[(y∗t − E(y∗t ))(y
∗t+3 − E(y∗t+3))
′|It+3]
Alors apres calcul, il ressort :
cov(y∗t , y∗t+3|It+3) = DQD′F ′ (6.5)
Clairement, la distribution conjointe conditionnelle de (y∗t , y∗t+3) a la
forme ci-dessous :
Distribution 6.2.2
[
y∗t
y∗t+3
|It+3] ∼ N(
Fy∗t−3 + Aum
F 2y∗t−3 + FAum + Aum
,
DQD′ DQD′F ′
FDQD′ FDQD′F ′ +DQD′
)
L’etape suivante est de determiner la distribution conjointe dey∗t , y
∗t+3, xt.
Suivant les memes etapes que precedemment, nous avons les vecteursmoyens et les matrices de variances-covariances suivantes :
E(xt|It) = HFy∗t−3 +HAum
Var(xt|It) = HDQD′H ′ +R
(6.6)
Donc les matrices de covariances sont comme suit :
46
cov(y∗t , xt|It) = DQD′H ′
cov(y∗t+3, xt|It) = FDQD′H ′
(6.7)
Comme la distribution conjointe precedente, il ressort la forme suivante :
Distribution 6.2.3
[
y∗t
y∗t+3
xt
|It+3] ∼ N(
[
µ
]
,
[
Σ
]
)
Ou
Fy∗t−3 + Aum
F 2y∗t−3 + FAum + Aum
HFy∗t−3 +HAum
︸ ︷︷ ︸µ
DQD′ DQD′F ′ DQD′H ′
FDQD′ FDQD′F ′ +DQD′ FDQD′H ′
HDQD′ HDQF ′D′ HDQD′H ′ +R
︸ ︷︷ ︸
Σ
De maniere similaire, la distribution conjointe de y∗t , y∗t+3, xt, xt+1,t+2 se
presente comme suivant :
47
Distribution 6.2.4
[
y∗t
y∗t+3
xt
xt+1,t+2
|It+3] ∼ N(
[
µ
]
,
[
Σ
]
)
Ou
Fy∗t−3 + Aum
F 2y∗t−3 + FAum + Aum
HFy∗t−3 +HAum
NFy∗t−3 +NAum
︸ ︷︷ ︸
µ
DQD′ DQD′F ′ DQD′H ′ NDQD′
FDQD′ FDQD′F ′ +DQD′ FDQD′H ′ NDQD′F ′
HDQD′ HDQD′F ′ HDQD′H ′ +R NDQD′H ′
DQD′N ′ FDQD′N ′ HDQD′N ′ NDQD′N ′ + LRfL′
︸ ︷︷ ︸
Σ
Enfin la distribution conjointe conditionnelle recherchee est commesuivant :
48
Distribution 6.2.5
[
y∗t
y∗t+3
xt
xt+1,t+2
xt−1,t−2
|It+3] ∼ N(
[
µ
]
,
[
Σ
]
)
Ou
Fy∗t−3 + Aum
F 2y∗t−3 + FAum + Aum
HFy∗t−3 +HAum
NFy∗t−3 +NAum
HFy∗t−3 + F y∗t−3 + HAum
︸ ︷︷ ︸µ
Σv ΣvF′ ΣvH
′ ΣvN′ ΣvH
′
FΣv FΣvF′ + Σv FΣvH
′ FΣvN′ FΣvH
′
HΣv HΣvF′ HΣ′
vH′ +R HΣvN
′ HΣ′vH
′
NΣv NΣvF′ NΣvH
′ NΣvN′ + LRfL′ NΣvH
′
HΣv HΣvF′ HΣvH
′ HΣvN′ HΣvH
′ +Ra
︸ ︷︷ ︸
Σ
Avec Σv = DQD′
49
Partitionnons les vecteurs µ et variances Σ telles que :
zt =
y∗t+3
xt
xt+1,t+2
xt−1,t−2
µz =
F 2y∗t−3 + FAum + Aum
HFy∗t−3 +HAum
NFy∗t−3 +NAum
HFy∗t−3 + F y∗t−3 + HAum
Σz =
FΣvF′ + Σv FΣvH
′ FΣvN′ FΣvH
′
HΣvF′ HΣvH
′ +R HΣvN′ HΣvH
′
NΣvF′ NΣvH
′ NΣvN′ + LRfL NΣvH
′
HΣvF′ HΣvH
′ HΣvN′ HΣvH
′ +Ra
λ =
ΣvF′
ΣvH′
ΣvN′
ΣvH′
′
.
donc,
[
y∗t
zt
|It+3] ∼ N(
Fy∗t−3 + Aum
µz
,
Σv λ′
λ Σz
)
50
En consequence, la distribution conjointe conditionnelle des composantesinobservables est comme suit :
Distribution 6.2.6
y∗t |It+3, zt ∼ N( Fy∗t−3 + Aum + λ′Σ−1z (zt − µz)
︸ ︷︷ ︸µ∗
yz
, Σv − λ′Σ−1z λ )
︸ ︷︷ ︸
Σ∗
yz
En absence de contrainte trimestrielle, les composantes mensuelles se-raient simulees a partir de la distribution (6.2.6).La section suivante presente la forme generale du modele ci-dessusdeveloppe.
6.2.1 Traitement des premieres et dernieres observations
Il n’est de nul doute de l’importance des donnees en debut et fin del’echantillon dans les modeles d’estimation et de prevision. Selon queles donnees soient au debut ou a la fin de l’echantillon, les traitementssont differents pour la pertinence des resultats. En particulier quand lesmodeles sont des modeles dynamiques factoriels dependant des informa-tions passees et futures.
• Traitement des premieres observations
Au debut de l’echantillon, on suppose que les variables latentes suiventune distribution normale multivariee telle que nous ayons :
{yb0 = u0 + ω0
ω0 ∼ N(0,Σ0)(6.8)
A partir de la relation (6.8), on peut avoir la matrice de variance-covariance de la distribution initiale des variables latentes.
Il est suppose que les observations de la periode suivant immediatementla periode initiale notee yb1 sont telles que :
yb1 = Fu0 + Fω0 + ω1
ω1 ∼ N(0; Σ0)cov(yb0, yb1) = Σ0F
′
(6.9)
En effet, la distribution conjointe de (yb0, yb1) a la forme suivante :
51
Distribution 6.2.7
yb0
yb1
∼ N(
u0
Fu0
,
Σ0 Σ0F′
FΣ0 Σ0
︸ ︷︷ ︸
Σ0i
)
Initiallement, les variables x0 contribuent a expliquer les composantesinitiales inobservables yb0 telles que :
Var(x0) = HΣ0H′ +R
cov(yb0, x0) = Σ′0H
′
cov(yb1, x0) = FΣ′0H
′
(6.10)
Du systeme (6.7), on obtient la distribution conjointe des valeurs initialescomme suit :
Distribution 6.2.8
[
yb0
yb1
x0
] ∼ N(
u0
Fu0
Hu0
,
Σ0 Σ0F′ Σ′
0H′
FΣ′0 FΣ0F
′ + Σ0 FΣ′0H
′
HΣ0 HΣ0F′ HΣ0H
′ +R
)
De maniere similaire, les composantes observables initiales futures x1,2,contribuent a l’estimation des variables latentes. De ce fait, la distributionconjointe conditionnelle du quadruplet initial (yb0, yb1, x0, x1,2) est commesuit :
52
Distribution 6.2.9
yb0
yb1
x0
x1,2
∼ N(
u0
Fu0
Hu0
Nu0
,
Σ0 Σ0F′ Σ′
0H′ Σ′
0N′
FΣ′0 FΣ0F
′ + Σ0 FΣ′0H
′ FΣ′0N
′
HΣ0 HΣ0F′ HΣ0H
′ +R HΣ′0N
′
NΣ0 NΣ0F′ NΣ0H
′ NΣ0N′ + LRfL′
)
Soit en partitionnant les composantes de la distribution precedente parbloc, il ressort :
z0 =
yb1x0x1,2
, µz =
Fu0Hu0Nu0
Σz0 =
FΣ0F′ + Σ0 FΣ′
0H′ FΣ′
0N′
HΣ0F′ HΣ′
0H′ +R HΣ′
0N′
NΣ0F′ NΣ0H
′ NΣ0N′ + LRfL′
λ0 =
Σ0F′
Σ′0H
′
Σ′0N
′
′
.
Alors,
yb0
z0
∼ N(
u0
µz
,
Σ′0 λ′0
λ0 Σz0
) (6.11)
En consequence, la distribution conjointe conditionnelle initiale estcomme suit :
53
Distribution 6.2.10
yb0 |z0 ∼ N(
[
λ′0Σ−1z0 (z0 − µz)
]
︸ ︷︷ ︸µ0
,
[
Σ′0 − λ′0Σ
−1z0 λ0
]
)
︸ ︷︷ ︸
Σ00
Les valeurs initiales des variables latentes sont tirees de la distributionconjointe (6.2.10) en contraignant les valeurs initiales trimestrielles d’etreegales aux valeurs initiales mensuelles correspondantes.
• Traitement des dernieres observations
Contrairement aux premieres observations de l’echantillon, ou les valeurspassees n’existent pas encore, a la fin de l’echantillon, il n’existe pas devaleurs futures. Dans ce cas, on peut se baser sur les valeurs connuesjusqu’a la fin de l’echantillon pour estimer le modele. Ainsi, les dernieresobservations ont une distribution conjointe de la forme :
Distribution 6.2.11
[
y∗T
xT
|IT−3] ∼ N(
Fy∗T−3 + Aum
HFy∗T−3 +HAum
︸ ︷︷ ︸µ
,
DQD′ DQD′H ′
HDQD′ HDQD′H ′ +R
︸ ︷︷ ︸
Σ
)
De maniere similaire, la distribution conjointe conditionnelle a laderniere periode est la suivante :
Distribution 6.2.12
[
y∗T
xT
xT−1,T−2
|IT−3] ∼ N(µ1T ,Σ1T )
54
Fy∗T−3 + Aum
HFy∗T−3 +HAum
HFy∗T−3 + F y∗T−3 + HAum
︸ ︷︷ ︸µ1T
Σv ΣvH′ ΣvH
′
HΣv HΣvH′ +R HΣvH
′
HΣv HΣvH′ HΣvH
′ +Ra
︸ ︷︷ ︸
Σ1T
En partitionnant comme dans les cas precedents la distribution condi-tionnelle pour les donnees a la fin de l’echantillon est telle que :
zT =
[xT
xT−1,T−2
]
µzT =
HFy∗T−3 +HAum
HFy∗T−3 + F y∗T−3 + HAum
ΣzT =
HΣvH′ +R HΣvH
′
HΣvH′ HΣvH
′ +Ra
λzT =
ΣvH′
ΣvH′
′
.
Alors la distribution conjointe conditionnelle des dernieres observationslatentes est comme suit :
Distribution 6.2.13
[
y∗T |xT , xT−1,T−2, IT−3
]
∼ N
[
µT ,ΣT
]
55
Ou
µT = Fy∗T−3 + Aum + λ′zTΣ−1zT (µzT − zT )
ΣT = Σv − λ′zTΣ−1zTλzT
A partir de maintenant, il est possible de tirer les composantes inobser-vables de y∗T de la precedente normale distribution (6.2.13) de moyenneµT et variance ΣT conditionnellement a la correction trimestrielle ecritecomme suivant :
exp(y∗T−2,q) = 3YT,q − exp(y∗T,q)− exp(y∗T−1,q)
6.3 Annexe 3 : Distributions des residus du modele estime
vt ∼ N([0],[Q
])
et ∼ N([0],[R
])
et+1,t+2 ∼ N([0],[Rf
])
et−1,t−2 ∼ N([0],[Ra
])
• Definition des matrices
Q = diag([σ2 σ2 σ2
])
R = diag([σ21 σ22 σ23
])
Rf = diag([σ2 σ2 σ21 σ21 σ22 σ22 σ23 σ23
])
Ra = diag([σ21 σ21 σ22 σ22 σ23 σ23
])
Qb = diag([σ2 σ2 . . . σ2 σ2
])
︸ ︷︷ ︸
3(1+i)×3(1+i)
Qf = diag([σ2 σ2 . . . σ2 σ2
])
︸ ︷︷ ︸6i×6i
Rg = diag([σ21 σ22 . . . σ2k−1 σ2k
])
︸ ︷︷ ︸
k×k
56
Rfg = diag(
[σ2 σ2 σ21 σ21 σ22 σ22 σ23 σ23 . . . σ2k−1 σ2k−1 σ2k σ2k
])
︸ ︷︷ ︸
2(k+1)×2(k+1)
Rag = diag(
[σ21 σ21 σ22 σ22 σ23 σ23 . . . σ2k−1 σ2k−1 σ2k σ2k
])
︸ ︷︷ ︸
2(k)×2(k)
6.4 Annexe 4 : Expressions des parametres
• Expressions des parametres simules
Aφi= (A−1
φi+ Y ′Y )−1; i = 1, 2, 3
φi = Aφi(A−1
φiφi + Y ′x)
νφi= νφi
+ T − r t = 1 + r, . . . , T
σ2i = ν−1φi[νφi
σ2i + (x− Y φi)′(x− Y φi) + (φi − φi)
′Aφi(φi − φi)]
Aρl = (A−1ρl
+ Y ′Y )−1
ρl = Aρl(A−1ρlρl + Y ′y)
νρl = νρl + T − r
σ2 = ν−1ρl[νρlσ
2 + (y − Y )′(y − Y ) + (ρl − ρl)′Aρl(ρl − ρl)]
57
µ1µ2µ3
= Fy∗t−3 + Aum + λ′Σ−1z (zt − µz) (6.12)
s11 s12 s13s12 s22 s23s13 s23 s33
= (DQD′ − λ′Σ−1z λ)−1 (6.13)
• Expressions des γ en fonction de ρ
Reels Expressions
γ10 γ30(2 + ρ2 + γ231)γ20 γ30(2 + ρ1)γ30 (1− ρ1 − ρ2)γ11 γ331 + 2γ32γ31 − ρ2γ12 ρ1γ31(ρ2 − γ31) + γ232γ13 −ρ2(γ31 + ρ2 + ρ21)γ21 γ31 + ρ2 + ρ21γ22 γ32γ31 − ρ2γ23 −ρ2γ31γ31 1 + ρ1γ32 ρ2 − ρ1γ33 −ρ2
• Expressions des τ en fonction de φ et ρ
58
Reels Expressions
τ01 φ01 + φ11α0(1− ρ1 − ρ2)τ02 φ01 + α0(1− ρ1 − ρ2)((1 + ρ1)φ11 + φ12)τ03 φ02 + φ21α0(1− ρ1 − ρ2)τ04 φ02 + α0(1− ρ1 − ρ2)((1 + ρ1)φ21 + φ22)τ05 φ03 + φ31α0(1− ρ1 − ρ2)τ06 φ03 + α0(1− ρ1 − ρ2)((1 + ρ1)φ31 + φ32)τ11 φ11(1 + ρ1) + φ12 − φ11τ12 φ11(ρ2 − ρ1)− φ12τ13 −φ11ρ2τ21 ρ21φ11 + ρ1φ12 + ρ2φ11τ22 (ρ2 − ρ1)(ρ1φ11 + φ12)− ρ2φ11τ23 −ρ2(φ11ρ1 + φ12)
Reels Expressions
τ31 φ21(1 + ρ1) + φ22 − φ21τ32 φ21(ρ2 − ρ1)− φ22τ33 −φ21ρ2τ41 ρ21φ21 + ρ1φ22 + ρ2φ21τ42 (ρ2 − ρ1)(ρ1φ21 + φ22)− ρ2φ21τ43 −ρ2(φ21ρ1 + φ22)τ51 φ31(1 + ρ11) + φ32 − φ31τ52 φ31(ρ2 − ρ1)− φ32τ53 −φ31ρ2τ61 ρ21φ31 + ρ1φ32 + ρ2φ31τ62 (ρ2 − ρ1)(ρ1φ31 + φ32)− ρ2φ31τ63 −ρ2(φ31ρ1 + φ32)
59
6.5 Annexe 5 : Caracteres Procycliques et sensibilites des indicateurs
Figure 3 – Caratere procyclique de l’indice de production industrielle
1959 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010−0.06
−0.04
−0.02
0
0.02
0.04
0.06
Années
PIB
rée
l sim
ulé
et In
dice
Pro
duct
ion
Indu
strie
lle
PIB réel cyclique simuléIndice Production Industrielle cyclique
Figure 4 – Caratere procyclique de l’indice de production industrielle
1959 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010−0.05
−0.04
−0.03
−0.02
−0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
Années
PIB
Rée
l sim
ulé
et R
even
u m
oins
tran
sfer
ts
PIB réel cyclique simuléRevenu moins transferts cyclique
60
Figure 5 – Caratere procyclique de l’emploi
1959 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010−0.015
−0.01
−0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
Années
PIB
rée
l et l
’Em
ploi
s
Caratère procyclique de l’emplois
PIB réel cyclique simuléEmplois cyclique
Figure 6 – Caratere procyclique des ventes manufacturieres
1959 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010−0.04
−0.03
−0.02
−0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
Périodes
PIB
rée
l cyc
lique
et V
ente
s m
anuf
actu
rière
s
PIB réel cyclique simuléVentes manufacturières cyclique
61
Figure 7 – 3 : Analyse de la sensibilite des indicateurs au pic
1990:078.994
8.9945
8.995
8.9955
8.996
8.9965
8.997
8.9975
8.998
Années
Diff
ére
nte
s co
mb
ina
iso
ns
d’in
dic
ate
urs
Figure 8 – 4 Analyse de la sensibilite des indicateurs au creux
1982:09 1982:10 1982:118.673
8.674
8.675
8.676
8.677
8.678
8.679
8.68
8.681
8.682
8.683
Années
Diff
éren
tes
com
bina
ison
s d’
indi
cate
urs
E
y134
Ey1
24
Ey1
23
Ey2
34
Ey1
234
62
Figure 9 – Analyse de la sensibilite des indicateurs au pic de 2007
2007:06 2007:07 2007:08 2007:09 2007:10 2007:11 2007:129.493
9.494
9.495
9.496
9.497
9.498
9.499
9.5
9.501
9.502
9.503
Années
Diff
éren
tes
com
bina
ison
s d’
indi
cate
urs
E
y134
Ey1
24
Ey1
23
Ey2
34
Ey1
234
Figure 10 – Analyse de la sensibilite des indicateurs au creux de 2009
2009:03 2009:04 2009:05 2009:069.455
9.456
9.457
9.458
9.459
9.46
9.461
9.462
Années
Diff
éren
tes
com
bina
ison
s d’
indi
cate
urs
Ey1
34
Ey1
24
Ey1
23
Ey2
34
Ey1
234
63