intervali pouzdanosti
TRANSCRIPT
-
7/25/2019 Intervali pouzdanosti
1/14
Intervali pouzdanosti
Interval pouzdanosti za srednju vrijednost ( kada je poznat in30 )
Jedan aspekt inferencijalne (analitike) statistike je proces procjenjivanjavrijednosti parametra iz informacija sadranih u uzorku (procjena). Npr.: Jedanod !merikanaca je trenutno na dijeti." Ili #rosjena pla$a uitelja jest % &'kune".
udu$i da su populacije iz kojih su te vrijednosti doivene velike* te vrijednosti suprocjene istinitih parametara i izvedene su iz podataka sadranih u uzorku.
+ano pitanje koje se name$e prilikom procjene veliine uzorka* a to je: ,oliko i
velik treao iti uzorak kako i procjena ila -to tonija". Na ovo pitanje nije lakood/ovoriti jer veliina uzorka ovisi o vi-e faktora* kao -to su eljena preciznost ivjerojatnost stvaranja tone procjene.
#retpostavimo da profesor eli odrediti srednju vrijednost /odina svih studenatakoji slu-aju predmete ovaj semestar. 0ecimo da je rije o 122 studenata i na3esrednju vrijednost /odina tih studenata* recimo ''.4 /odine. #rofesor moezakljuiti kako je srednja vrijednost /odina svih studenata ''.4 /odina. 5vakavtip procjene naziva se tokasta procjena (point estimate procjena jednimbrojem).
Tokasta procjenaje speci6na numerika vrijednost procjene srednje vrijednosti
populacije. Najolja tokasta procjena populacijske sredine jest sredina
uzorka X .
7ru/i tip procjene naziva se intervalna procjena. Intervalna procjena srednjevrijednosti populacije je interval ili opse/ vrijednosti kori-tenih za procjenu tesrednje vrijednosti. 8a procjena moe* ali i ne mora sadravati vrijednostparametra koje/ se procjenjuje. 9 ovom sluaju to je srednja vrijednostpopulacije.
9 intervalnoj procjeni* srednja vrijednost populacije se nalazi izme3u dviju
vrijednosti. Npr. Intervalna procjena za srednju do svih studenata moe iti26.9
-
7/25/2019 Intervali pouzdanosti
2/14
Nivo pouzdanostiintervalne procjene srednje vrijednosti populacije je vjerojatnostda $e ta intervalna procjena sadravati srednju vrijednost populacije.
Interval pouzdanosti je speci6na intervalna procjena srednje vrijednostipopulacije odre3ena koriste$i podatke iz uzorka i koriste$i speci6ni nivopouzdanosti.
8ri su naje-$i intervali pouzdanosti koji se koriste: 2;* %; i ; intervalpouzdanosti.
#rimjenjuju$i centralni /ranini teorem moe se zakljuiti da kada je veliina
uzorka velika* prilino %; sredine uzorka $e pasti unutar 1.96 standardne
po/re-ke populacijske sredine.8o jest*
1.96( n )
0ecimo da je uzeta sredina uzorka X . 8ada je vjerojatnost %; da ona pada
unutar opse/a od 1.96( n ) . Na isti nain* vjerojatnost je %; da $e
intervalX 1.96 ( n ) sadravati .
=apisano malo dru/aije*
X1.96( n ) .+rijednost kori-tena za %;>tni interval pouzdanosti* 1.?* je doivena iz 8alice1. =a interval pouzdanosti ;* vrijednost '.%& se koristi umjesto 1.? u formuli.
Jer se i ostali intervali pouzdanosti koriste u statistici* simol z/2 se koristi u
op$enitoj formuli za intervale pouzdanosti. . !ko za neki podatak izraunamoz/2 vrijednost* na primjer* 1.'&* to znai da se taj podatak nalazi na 1.'&
standardne devijacije desno od srednje vrijednosti. Jednako tako vrijednost94.0=z
znai da se odre3eni podatak nalazi na 2. standardne devijacije
lijevo od srednje vrijednosti. @rko slovo predstavlja ukupnu povr-inu u
oa repa" krivulje standardne normalne distriucije. A' predstavlja povr-inu
jedno/ repa". +eza izme3u i nivoa pouzdanosti je ta da je navedeni nivo
-
7/25/2019 Intervali pouzdanosti
3/14
pouzdanosti (postotak) ekvivalentan decimalnoj vrijednosti 1> i ornuto.
,ada je interval pouzdanosti %;* B2.2%* jer 1>2.2%B2.%* ili %;. ,ada je
B2.21* tada 1> B2. i doijemo interval pouzdanosti ;.
Cormula za interval pouzdanosti srednje vrijednosti za speci6an :
Xz/2( n )
-
7/25/2019 Intervali pouzdanosti
4/14
0je-enje: Jer je traen ;>tni interval pouzdanosti* z/2=2.58 . 9vr-tavaju$i u
formulu doijemo:
Xz/2( n )
-
7/25/2019 Intervali pouzdanosti
5/14
Flika 4. %;>tni interval pouzdanosti za svaku sredinu uzorka
!ko je eljena pouzdanost ;* intervali pouzdanosti se moraju pove$ati tako da od 122 intervala sadri populacijsku sredinu.
Jer se i ostali intervali pouzdanosti (osim 2;* %; i ;) nekad koriste u
statistici* neophodno je oja-njenje kako prona$i vrijednost zaz/2
. ,ao -to jereeno prije* /rko slovo oznaava ukupnu povr-inu u oa repa" krivulje
standardne normalne distriucije. +rijednost za je prona3ena oduzimanjem
decimalno/ ekvivalenta traeno/ nivoa pouzdanosti od 1. Npr. !ko je potreno
prona$i &; interval pouzdanosti* tada =10.98 * ili 0.02 . 8ada se A'
doije dijeljenjem sa 2 . 7akle* A'B2.21. ,onano* z0.01 jest
vrijednost koja $e dati povr-inu od 0.01 u desnom repu" krivulje standardne
normalne distriucije* -to je prikazano na Flici .
-
7/25/2019 Intervali pouzdanosti
6/14
Flika . A' za &;>tni interval pouzdanosti
7a i se doila vrijednost z/2 za &;>tni interval pouzdanosti* trea oduzeti
0.01 od 1 i doije se 0.9900 . =atim trea prona$i u 8alici 1. vrijednost
koja je najlia 0.9900 ( u ovom sluaju 0.9901 ) i onda prona$i od/ovaraju$u
vrijednost z . 9 ovom primjeru* to je 2.33 .
Flika %. #ostupak traenja z/2 za &;>tni interval pouzdanosti
=a intervale pouzdanosti samo se pozitivne z vrijednosti koriste u formuli.
,ada je poetna varijala normalno distriuirana i je poznat* standardna
normalna raspodjela se moe koristiti za pronalazak intervala pouzdanosti ez
ozira na veliinu uzorka. ,ada je n30 * raspodjela srednjih vrijednosti $e iti
prilino normalna pa makar se poetna raspodjela razlikovala od normalne.
8ako3er* ako je n 30 * s se moe zamijeniti sa u formuli za intervale
pouzdanosti* te se standardna normalna raspodjela moe koristiti za pronalazakintervala pouzdanosti* kao -to je to prikazano u sljede$em primjeru.
-
7/25/2019 Intervali pouzdanosti
7/14
Primjer 2.
Fljede$i podaci prikazuju uzorak imovine (u milijunima dolara) 42 kreditnih unija.#rona3i 2;>tni interval pouzdanosti srednje vrijednosti.
0je-enje:
1. korak. #rona3i srednju vrijednost i standardnu devijaciju za dane podatke.
Frednja vrijednost uzorka jest X=11.091 . Ftandardna devijacija jest
s=14.405 .
'. korak. #rona3i A'. Jer je traen 2;>tni interval pouzdanosti*
=10.90=0.10 i
2=0.10
2=0.05
4. korak. #rona3i z/2 . 5duzimanjem 0.05 od 0.5000 doijemo 0.4500 .
8raenu vrijednost z doijemo iz 8alice 1 i iznosi 1.65 . (Napomena: 5va
vrijednost je prona3ena promatraju$i vrijednosti izme3u 0.4495 i 0.4505 .
#reciznija vrijednost z * doivena matematiki* iznosi 1.645 .)
. korak. 9vrstimo u formulu:
Xz/2( sn )
-
7/25/2019 Intervali pouzdanosti
8/14
11.0911.65 (14.40530)
-
7/25/2019 Intervali pouzdanosti
9/14
0je-enje: Jer je =0.01 (ili 10.99 )* z/2=2.58 i E=1 . 9vr-tavaju$i u
formulu doijemo:
n=
(
z/2
E
)
2
=
[
2.58 3
1
]
2
=59.9
-to se zaokrui na 60 . #rema tome* profesor trea minimalno ?2 studenata
kako i io ; si/uran da $e procjena unutar 1 /odine iti istinita.
!lgebarski izvod "ormule za interval pouzdanosti
,ao -to je reeno prije* samplin/ distriucija srednje vrijednosti je prilino
normalna kada se prouava velik roj uzoraka n 30 . +rijedi*
z=
X
/n
+jerojatnost da $e z imati vrijednost izme3u z/2 i z/2 jest 1 .
@ra6ki prikaz se vidi na Flici ?.
Flika ?. @ra6ki prikaz vrijednostiz
#rema tome*
z/2 preuzeto .11.'21