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  • Nivel Inicial Introduccin a Teora de Nmeros

    Curso de Iniciacin Cientfica para Jvenes Talentos

    Nivel Inicial

    Introduccin a Teora de Nmeros

    Divisibilidad Si y son enteros, con no nulo, decimos que divide a , si existe un entero tal que . Lo escribiremos como |. Acostumbramos decir tambin que es divisible entre , que es un mltiplo de , o bien que es un divisor o un factor de . Si 0 , entonces decimos que es un divisor propio de. Un entero es primo si sus nicos divisores son 1 y el mismo nmero . Un entero es compuesto si tiene al menos un divisor distinto a 1 y , es decir, puede ser expresado como producto de otros dos enteros no necesariamente distintos, mayores que 1 y menores que . El nmero 1 no es primo ni compuesto. Ejemplos: El 7 es un nmero primo porque sus nicos divisores son 1 y 7. El 28 es un nmero compuesto: sus divisores son 1, 2, 4, 7, 14, 28. Todos, excepto el 28, son

    divisores propios de 28. Los primos menores a 100 son, en total, 25: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. Es importante recordar que hay infinitos nmeros primos. Cmo podemos saber si un nmero es primo? Ser necesario probar si es divisible entre todos los nmeros menores que l?

    Para determinar si un nmero es primo, basta considerar los nmeros menores que y

    verificar que ninguno de ellos divida a .

    Ejemplo: Si 97, tenemos 48,5.

    Hay que ver si 97 es divisible entre 2, 3, 4, 5, , 45, 46, 47, 48. Sin embargo, no hace falta probar con los que no son primos, basta probar con 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47. Como ninguno de estos nmeros es divisor de 97, podemos afirmar que 97 es primo. Ahora, consideremos 997, es un nmero primo? Efectuamos las divisiones entre 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 y vemos que ninguno de estos nmeros es un divisor de 997. Vamos observando los cocientes de estas ltimas divisiones y tenemos que 997 29 34,37, 997 31 32,16, y al considerar el primo siguiente, tenemos 997 37 26,94, y ya no hace falta seguir porque es seguro que ningn entero aparecer como cociente de alguna de las siguientes divisiones, pues si fuese as, al considerar de entre las divisiones anteriores, aquellas que contengan los factores primos de tal entero, nos deberan haber dado cocientes enteros. Ms adelante, veremos algunos criterios de divisibilidad que pueden ser de gran ayuda a la hora de determinar si un nmero es primo.

  • Nivel Inicial Introduccin a Teora de Nmeros

    Teorema Fundamental de la Aritmtica Todo entero 1 se puede representar como un producto de factores primos de forma nica (sin tener en cuenta el orden de los mismos). Esta representacin la conocemos con el nombre de descomposicin cannica o descomposicin en factores primos. Para descomponer un nmero compuesto en sus factores primos se empieza dividiendo el nmero dado por el menor de sus divisores primos, luego se divide tambin el cociente por el menor de sus divisores primos y as sucesivamente con los dems cocientes, hasta hallar un cociente primo que se dividir por s mismo. Ejemplo: Descomposicin en factores primos de 204 20410251171

    22317 Tenemos que 204 2 2 3 17, o bien, 204 2 3 17. Ejercicios

    1) El 2 y el 3, adems de ser enteros consecutivos, son primos. Existe otro par de nmeros

    con esta propiedad? 2) Hallar todas las parejas de primos que sumen 999. 3) Cul es el menor nmero que tiene entre sus divisores a los tres primeros nmeros

    primos y a los tres primeros nmeros compuestos? 4) En la descomposicin en factores primos de un cuadrado perfecto, qu propiedad

    verifican los exponentes? Y en la de un cubo perfecto? 5) Cmo son los nmeros que tienen una cantidad impar de divisores? Observacin: Un cuadrado perfecto es todo nmero que resulta de elevar otro al cuadrado. Por ejemplo: 16, 36 y 81. Un cubo perfecto es todo nmero que resulta de elevar otro al cubo. Por ejemplo: 8, 27 y 125.

  • Nivel Inicial Introduccin a Teora de Nmeros

    Criterios de divisibilidad Es bastante claro que 3|21 porque conocemos el entero que completa la ecuacin 21 3 , el 7. Pero, cmo podemos estar seguros de que 11|180623025? Es aqu donde entran en juego los criterios de divisibilidad, ciertas reglas que nos permiten determinar si un nmero es divisible entre otro sin tener que efectuar la divisin. A continuacin, citaremos algunos de los criterios ms conocidos: Un nmero es divisible entre 2 si su ltimo dgito es par. Un nmero es divisible entre 3 si la suma de sus dgitos es un mltiplo de3. Un nmero es divisible entre 9 si la suma de sus dgitos es un mltiplo de 9. Un nmero es divisible entre 5 si su ltimo dgito es cero o cinco. Un nmero es divisible entre 10 si su ltimo dgito es cero. Un nmero es divisible entre 4 si sus dos ltimos dgitos son ceros o forman un mltiplo de 4. Un nmero es divisible entre 8 si sus tres ltimos dgitos son ceros o forman un mltiplo de 8. Un nmero es divisible entre 11 si al sumar las cifras que ocupan lugares pares, sumar las

    cifras que ocupan lugares impares y restar estas sumas, la diferencia es 0 o mltiplo de 11. Observacin: Si un nmero es divisible entre dos o ms factores primos, es divisible entre el producto de stos. Por ejemplo, si un nmero es divisible entre 3 y entre 5, es divisible entre 15.

    Cantidad de divisores de un nmero Un nmero divide a otro cuando est contenido en su descomposicin en sus factores primos. Por ejemplo, como 120 2 3 5, sus divisores deben estar compuestos slo por los factores 2, 3 y 5 y los exponentes de stos deben ser menores o iguales a 3, 1 y 1 respectivamente. Como para el primer factor se puede elegir de entre cuatro potencias de 2, para el segundo factor se puede elegir de entre dos potencias de 3 y para el tercer factor se puede elegir de entre dos potencias de 5, se tienen en total 4 2 2 16 divisores. Si es la descomposicin en factores primos de , entonces tiene 1 1 1 divisores.

  • Nivel Inicial Introduccin a Teora de Nmeros

    Ejercicios 1) Insertar convenientemente un 0 entre las cifras del nmero 835 para que resulte un

    mltiplo de 11. 2) Hallar todos los posibles valores de las incgnitas para que cada caso se cumpla que:

    a. 98 sea mltiplo de 6. b. 587 sea mltiplo de 18. c. 8 56! sea mltiplo de 36. d. 187 sea mltiplo de 15.

    3) Tenemos un nmero divisible entre 11 cuyas cifras son todas iguales, cuntas cifras puede tener?

    4) Un nmero tiene exactamente ocho divisores, dos de ellos son 35 y 77. Cul es el nmero?

    5) Hallar el mayor nmero de cuatro dgitos que tiene exactamente tres divisores, incluyendo al 1 y al propio nmero.

    6) Hallar el mayor nmero impar de tres dgitos que tiene diez divisores, incluyendo al 1 y al propio nmero.

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    Propiedades de la divisibilidad Existen muchas propiedades de la divisibilidad y recomendamos que analices cada una de las que citaremos a continuacin a travs de ejemplos, a pesar de lo obvias que puedan llegar a parecer algunas. Consideraremos , , enteros cualesquiera. 1. 1|, |0 Todo nmero entero es divisible entre 1 y todo nmero entero divide a 0. Hay que cuidar que 0 no divide a ningn entero. Podemos repartir 0 objetos entre5 personas (cada una lleva 0), sin embargo, cmo repartimos 5 objetos entre 0 personas? Dividir entre 0 es un error muy comn en el que podemos llegar a caer sin darnos cuenta, por lo que hay que prestar mucha atencin. 2. | (Propiedad reflexiva)

    3. Si | e |, entonces | (Propiedad transitiva) Existen enteros y tales que y , por ende, , lo que implica |. Esta propiedad nos dice que, por ejemplo, si 7|35, 7 dividir a cualquier mltiplo de 35. 4. Si |, entonces | para cualquier entero Existe un entero tal que , luego, , lo que implica | . 5. |, " 0 implica || # || Si fuera || ||, cmo podra ser que |? Siempre los divisores de un entero son, en valor absoluto, menores o iguales que ese entero. Por ejemplo, si tenemos $|6, podemos estar seguros de que |$| # 6, lo cual es un dato til para empezar a acotar posibles valores de $. 6. | y | implica || ||, o sea, % Atendiendo la propiedad anterior, deben cumplirse a la vez || # || y || # ||, lo cual slo es posible si || ||. 7. | y | implica | y | & Existen enteros y tales que y . Entonces, , por lo tanto, | . Anlogamente, | & . 8. | y | implica | , para y enteros cualesquiera

    9. Si | y | % , entonces | 10. | y | implica |

    11. | y " 0 implica |

    12. | y " 0 implica |

    13. Si |, entonces | y |

    14. primo y | implica | y/o |

  • Nivel Inicial Introduccin a Teora de Nmeros

    Ejercicios 1) Consideremos la suma ' de cinco naturales consecutivos. Adems de 1 y del propio

    nmero, qu otros dos divisores posee necesariamente '? 2) Cuando la suma de dos enteros no consecutivos es multiplicada por la diferencia de

    ambos, el resultado es 85. Cul es la suma de los dos nmeros? 3) El nmero ' es la cuarta potencia de otro nmero. Adems, es mltiplo de 18. Cul es el

    menor valor posible del cociente entre ' y 18? 4) En cada una de las nueve casillas libre coloque uno de los dgitos del 1 al 9 de tal forma

    que los productos horizontales coincidan con los valores de la derecha y los verticales con los valores inferiores.

    70 48 108

    64 45 126 5) Determina, con argumentos o contraejemplos, si cada una de las siguientes afirmaciones

    es verdadera o falsa: a. Si un nmero es divisor de varios otros, entonces divide a la suma de todos ellos. b. Si es divisor de , entonces es divisor de . c. Si es divisor de , entonces es divisor de . d. Si y son divisores de ', entonces tambin lo es. e. Todo nmero distinto de 0 tiene infinitos mltiplos. f. Si y son divisores primos (distintos) de ', entonces tambin es divisor de '.

  • Nivel Inicial Introduccin a Teora de Nmeros

    Algoritmo de la divisin Para y nmeros enteros con 0, existe un nico par de enteros y ( tales que (, con 0 # ( . A estos nmeros , , y ( se les denomina, respectivamente, dividendo, divisor, cociente y resto. Notemos que si ( 0, entonces | y si ( " 0, entonces . Ejemplos: Sean 9 y 2

    El mayor mltiplo de 2 menor o igual que 9 es 8 2 4. Luego, tomando 4, ( 1 tendremos 9 2 4 1 con 0 1 2.

    Sean &17 y 10 El mayor mltiplo de 10 menor o igual que &17 es &20 10 &2. Tomando, entonces, &2, ( 3 tendremos &20 10 &2 3 con 0 3 10.

    Aunque en el enunciado anterior exista la restriccin 0, ello no es necesario porque y ( an pueden ser encontrados para 0. Podemos volver a enunciarlo as: Para y nmeros enteros con " 0, existe un nico par de enteros y ( tales que (, con 0 # ( ||.

    Forma de los nmeros El Algoritmo de la Divisin nos ayudar a comprender este til concepto. Intentemos probar que Todo nmero impar se puede escribir de la forma 2* 1, con * entero. Sabemos que pueden encontrarse dos nicos enteros tales que 2* (, con 0 # ( 2. Esto es, 2* ( con ( 0 ( 1. Si ( 0, entonces 2*, es decir, es par. Si ( 1, entonces 2* 1, es decir, es impar. Usando esta notacin, podemos afirmar cualquier entero es de la forma 2* o de la forma 2* 1. Ejercicios 1) Demostrar que:

    a. El cuadrado de cualquier impar se puede escribir de la forma 4* 1. b. El cuadrado de cualquier impar se puede escribir de la forma 8* 1. c. El cuadrado de cualquier nmero no se puede escribir de la forma 3* 2. d. El cubo de cualquier entero es de la forma 9*, 9* 1 9* 8.

    2) Probar que si es entero,

    tambin lo es.

    3) Sean $, +, , enteros tales que $ + ,. Demuestra que $ e + no son ambos impares y que$+ es mltiplo de 6.

  • Nivel Inicial Introduccin a Teora de Nmeros

    Problemas Adicionales 1) Mostrar que para ningn natural se cumple que 3|1 4. 2) Demostrar que para todo natural se tiene 6| 5. 3) Probar que la diferencia entre un nmero y el que resulta de permutar de cualquier

    manera sus cifras es mltiplo de 3. 4) Halla todos los enteros positivos para los cuales 3 & 4, 4 & 5 y 5 & 3 son todos

    primos. 5) Mauri elige cinco nmeros del conjunto -1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.. Si le dijera a Gabi cul es el

    producto de los cinco nmeros que eligi, eso no sera informacin suficiente para que ella deduzca si la suma de los nmeros es par o impar. Cul es el producto de los nmeros que Mauri eligi?

    6) Veinte estudiantes aburridos se turnan para caminar por un pasillo que contiene una fila de casilleros cerrados, numerados del 1 al 20. El primer estudiante abre todos los casilleros. El segundo estudiante cierra todos los casilleros con nmero 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20. El tercer estudiante afecta a los casilleros con nmero 3, 6, 9, 12, 15, 18. Si el casillero est cerrado, lo abre. Si el casillero est abierto, lo cierra. Cuntos casilleros quedarn abiertos despus de que todos los estudiantes hayan caminado por el pasillo, una vez cada uno?