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ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA

CAPÍTULO 10. POLÍGONOS SEMEJANTES

Introducción

Tres conceptos simples pero totalmente ligados como son: razón, proporción y división de dos

segmentos en segmentos proporcionales, sirven de preámbulo para fundamentar una de las

aplicaciones más importantes en la esencia misma de la Geometría Euclidiana que se designan

como la proporcionalidad y la semejanza. En las necesidades cuotidianas desde la génesis de la

humanidad estos dos conceptos se evidencian en los problemas que la naturaleza le plantea al

hombre y se hace necesaria, en consecuencia, su total manejo y comprensión. Es por ello que en

buena parte de los primeros resultados que los geómetras egipcios, griegos y árabes esta

temática estuviese presente.

Objetivos Específicos.

1. Presentar las propiedades que, en el campo de los números reales, caracterizan a

las fracciones, destacando entre ellas las que no son de uso frecuente en el álgebra

pero que son determinantes en el manejo de las proporciones. Ello es necesario

porque muchos problemas que pueden considerarse que su solución está en la

Geometría, realmente lo está en el álgebra.

2. Destacar de los primeros teoremas, la equivalencia establecida entre la

proporcionalidad y el paralelismo en el triángulo, aprovechando el hecho de que la

proporcionalidad induce el paralelismo como un criterio importante para

demostrar paralelismo en condiciones más restringidas desde luego que el

Teorema de los ángulos alternos internos.

3. Mostrar el Teorema de Thales como uno de los de mayor importancia práctica y de

trascendencia en este tema.

4. Plantear la relación de semejanza como una de las más importantes en las

relaciones de la Geometría con sus propiedades que la caracterizan como una

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relación de equivalencia y de la cual, la relación de congruencia es un caso

particular.

5. Destacar los tres casos de semejanza entre triángulos y en función del caso A-A-A

demostrar el Teorema que plantea las propiedades métricas del triángulo

rectángulo inducidas por la proporcionalidad.

6. Plantear como el Teorema señalado en el objetivo anterior es la base para la

demostración de Teoremas que plantean relaciones métricas importantes como:

el Teorema de Pitágoras, las propiedades de los triángulos acutángulos y

obtusángulos, la Ley del coseno, la relación de Stewar entre otros.

7. Señalar que el Teorema de Pitágoras corresponde a una equivalencia,

demostrando su recíproco, información poco discutida y menos aún aplicada como

un criterio más de perpendicularidad.

8. Presentar el concepto de potencia de un punto respecto a una circunferencia y

mostrar algunas de sus aplicaciones.

Iniciaremos el estudio de semejanza de polígonos con un breve repaso de las fracciones y sus

propiedades básicas.

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10.1 NOCIONES Y PROPOSICIONES FUNDAMENTALES

10.1.1 Propiedades básicas de las fracciones.

Para se cumple:

i) Si entonces y ; .

ii) Si entonces y ; para ; , .

iii) Si entonces , para ;

.

iv) Si y , entonces .

Definición 62. Razón. Proporción.

i) Llamaremos razón al cociente de dos cantidades expresadas en la misma unidad de medida.

ii) Si dos razones: y son iguales la ecuación la denominaremos una proporción

y se nota: .

Esta expresión se lee: a es a b como c es a d.

Los términos a y d se denominan extremos.

Los términos b y c se denominan medios.

El término d se denomina cuarta proporcional de a, b y c respectivamente.

Si ; se dice que el término medio es media proporcional de los extremos.

Rdcba ,,,

d

c

b

a

c

d

a

b

d

b

c

a 0,,, dcba

d

c

b

a

d

dc

b

ba

dc

dc

ba

ba

0, db ba dc

n

n

b

a

b

a

b

a

b

a

3

3

2

2

1

1

n

n

bb

aa

bb

aa

b

a

1

1

21

21

1

10ib

ni 1

d

c

b

a

f

c

b

a df

b

a

d

c

d

c

b

a

dcba ::

cb

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Definición 63. Segmentos proporcionales.

Sean: , tales que , . Decimos que M y N dividen a y en

segmentos proporcionales si:

esto es: .

Figura 184

En general si la razón de la medida de dos segmentos es igual a la razón de la medida de otros

dos segmentos, entonces los cuatro segmentos son proporcionales.

Demostración:

Sean: l una recta paralela a en el .

l corta a en E.

l corta a en F.

Debemos probar que

AB CD ABM CDN AB CD

NDm

CNm

MBm

AMm

ND

CN

MB

AM

BC ABC

AB

AC

FC

AF

EB

AE

TEOREMA 80

Toda recta paralela a uno de los lados de un triángulo y que corta los otros dos, divide a

estos lados en segmentos proporcionales.

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Figura 185

Consideremos dos situaciones posibles:

i) Si y son conmensurables, es decir si (1)

para esto significa que existe un segmento unitario que está contenido m

veces en y n veces en .

Subdividimos y en m y n segmentos congruentes y trazamos por el extremo

de cada uno, una recta paralela a .

El corolario 2 del teorema 37 nos permite concluir que los segmentos determinados por

estas rectas sobre son congruentes.

En consecuencia:

y y (2)

Nota:

Designamos por la medida de cada uno de los segmentos congruentes determinados

sobre .

Luego de (1) y (2) se concluye: .

AE EBn

m

EB

AE

Znm , AO

AE EB

AE EB

AC

AC

''OAmAF ''OAnFC n

m

FC

AF

''OA

AC

FC

AF

EB

AE

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ii) Si y no son conmensurables, esto es ,

: Conjunto de números racionales.

Como consecuencia de los Axiomas de Continuidad, en particular ( de Arquímedes)

podemos dividir el segmento en k segmentos congruentes ; esto es

(1)

: segmento congruente a cada uno de los k.

Tomemos sobre el máximo número posible de segmentos de medida igual a ;

en consecuencia: (2)

Con (3)

Tracemos por una recta paralela a . Llamemos W’ el punto de corte de estas

rectas.

De (1) y (3) tenemos: (4)

Es claro que WA puede hacerse tan pequeño como se quiera al aumentar el valor de k.

En consecuencia, si k aumenta indefinidamente WA tiende a cero y por tanto W y

tienden a coincidir con A y se tiene de esta forma, a partir de (1) y (2) ,

de donde y tomando nuevamente lo establecido en la parte i),

concluimos que .

Figura 186.

AE EB QEB

AE

Q

Ax

BE Zk

'OOkBE

'OO

AE 'OO

WAOOnEA '

'OOWA

'W BC

k

BEWA

'W

'' OOkBE

'' OOnEA '

'

k

n

EB

AE

FC

AF

EB

AE

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La demostración se deja como ejercicio.

Demostración:

Sean t y secantes a las rectas , respectivamente; .

Tracemos por B; (V.P.E Existencia de la paralela única)

Sean B’, B” los interceptos de con y respectivamente.

(por el Teorema 80) (1).

y (2) Teorema 37 (Segmentos de paralelas comprendidas entre

paralelas).

Luego: Sustituyendo (2) en (1) .

1t 21 ,, lll 21 |||| lll

tBS ||

BS 1l 2l

21

1

"'

'

BB

BB

BB

BB

'1 BBAA "'21 BBAA

21

1

21

1

BB

BB

AA

AA

TEOREMA 81. TEOREMA DE THALES. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA

PROPORCIONALIDAD.

Los segmentos determinados en dos rectas secantes por tres o más paralelas son

proporcionales.

COROLARIO 1.

Dos lados de un triángulo son proporcionales a los segmentos que en ellos determinan

cualquier recta paralela al tercer lado.

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Figura 187

Demostración:

Sean: , l una recta

; 𝑙 ∩ 𝐴𝐶 = {𝐻}

.

Figura 188

Razonamos por reducción al absurdo

Supongamos: 𝑙 ∦ 𝐵𝐶

ABC

EABl

HC

AH

EB

AE

TEOREMA 82. RECÍPROCO DEL TEOREMA 80. Segundo criterio de paralelismo

Si una recta divide dos lados de un triángulo en segmentos proporcionales, es

paralela al tercer lado.

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Por E se traza (V.P.E)

Luego (Teorema 80) (1)

De la hipótesis por el Corolario 1 afirmamos (2)

De (1), por el Corolario 1 (3)

En consecuencia de (2) y (3) por la propiedad v) de las fracciones se concluye que

; por tanto , lo que contradice la hipótesis.

En consecuencia .Método de Reducción al absurdo.

Definición 64. División Armónica.

Sean: A, B puntos distintos, , y , decimos que C y D

dividen armónicamente a si .

Figura 189

De C y D se dice que son los conjugados armónicos respecto a A y B.

De A, B, C, D se dice que forman una división armónica.

BCEH ||'

CH

AH

EB

AE

'

'

HC

AC

EB

AB

CH

AC

EB

AB

'

CHHC '

BCl ||

BCl ||

ABIntC

ABD ABExtD

ABDB

DA

CB

CA

TEOREMA 83

La bisectriz de un ángulo cualquiera de un triángulo, divide el lado opuesto en segmentos

proporcionales a los otros dos lados.

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Demostración:

Sean: un triángulo cualquiera

la bisectriz del triángulo asociada al ángulo .

Tracemos por A una paralela a (V.P.E.).

Designemos por E la intersección de esta paralela con .

En el se tiene: (por el Teorema 80) (1)

Además: A.I. entre paralelas.

son correspondientes entre paralelas.

Luego y en consecuencia (2).

Figura 190

Sustituyendo (2) en (1) se concluye que: .


ABC

CM

C

BC

CM

ABECB

EC

MB

AM

CAEACM

AECMCB

CEACAE CAEC

CB

CA

MB

AM

TEOREMA 84. RECÍPROCO DEL TEOREMA 4.

Si una semirrecta con origen en el vértice de un triángulo corta interiormente al lado

opuesto en segmentos proporcionales a los otros dos lados del triángulo; entonces la

semirrrecta es bisectriz del ángulo interior asociado a dicho vértice.

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Demostración:

Sean: un triángulo cualquiera.

: ángulo exterior al

: bisectriz de

Figura 191

Tracemos por A una paralela a (V.P.E.).

Designemos por F el punto donde ésta paralela corta a .

Designemos por M” la intersección de con .

En el se tiene: (del teorema 80) (1)

Como es isósceles (por qué?), (2)

Luego sustituyendo (2) en (1) se concluye .

¿Qué ocurre si ?

ABC

ACP ABC

'CM

ACP

' || CMAB

'CM

BC

'CM

AB

BCM"CB

FC

BM

AM

"

"

ACF CFCA

CB

CA

BM

AM

"

"

CBCA

TEOREMA 85.

La bisectriz de un ángulo exterior de un triángulo, que no es paralela al lado opuesto,

divide exteriormente el lado opuesto en segmentos proporcionales a los otros dos lados.

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COROLARIO.

La bisectriz de un ángulo cualquiera de un triángulo y la bisectriz del ángulo externo

suplementario dividen al lado opuesto armónicamente.

TEOREMA 86. RECÍPROCO DEL TEOREMA 85.

Si una semirrecta con origenen en el vértice de un triángulo, corta exteriormente al lado

opuesto en segmentos proporcionales a los otros dos lados del triángulo, dicha

semirrecta es bisectriz del ángulo exterior asociado a dicho triángulo.

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10.2 SEMEJANZA ENTRE POLÍGONOS.

Definición 65. Polígonos Semejantes.

Dos polígonos del mismo número de lados son semejantes si:

i. Se puede establecer una biyección en la cual todos los lados asociados son respectivamente

proporcionales. Los lados asociados mediante esta correspondencia se denominan

Homólogos, y el cociente se denomina razón de semejanza.

ii. Los ángulos formados por cada par de lados adyacentes del polígono son congruentes con

los correspondientes a los determinados por sus respectivos homólogos en el otro

polígono. Los ángulos que se corresponden se denominan ángulos Homólogos.

Ilustraciones.

1. En el , sean M, N puntos medios de y respectivamente.

, ,

i) Proporcionales.

Figura 192

ii) Conclusión: es semejante a .

ABC AC BC

2

1

CB

CN

2

1

AB

MN

2

1

CA

CM

ABMN

CBCN

CACM

CBACNM

CABCMN

ACBMCN

CMN CAB

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2. Sean:

Figura 193

El cuadrilátero ABCD no es semejante con el cuadrilátero A’B’C’D’ (no se cumple la condición ii)

de la definición).

Notación.

Si el polígono es semejante con el polígono , escribimos:

ó .

Observaciones.

i. La semejanza de polígonos es una relación de equivalencia.

ii. En el caso de triángulos, cualquiera de las dos condiciones i) ó ii) es suficiente para

establecer la semejanza (se probará posteriormente).

iii. La ilustración 1) se puede generalizar por el teorema 80 a cualquier recta que

intersecte dos lados de un triángulo y sea paralela al tercer lado.

nAAA 21 nAAA ''' 21

nn AAAAAA '''~ 2121 nn AAAAAA ''' Polígono~ Polígono 2121

i)ii)y ii)i)

''

'' rombo, :''''

cuadrado :

BAAB

BADCBA

ABCD

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iv. Si dos polígonos son semejantes, la razón de sus perímetros es igual a la de cualquiera

de sus lados homólogos. (Propiedad iv de las fracciones).

Definición 66. Polígonos Congruentes.

Dos polígonos son congruentes si tienen sus lados respectivamente congruentes y sus

ángulos respectivamente congruentes (entendiéndose que nos referimos a los ángulos

comprendidos entre lados respectivamente congruentes).

TEOREMA 87.

Dos polígonos semejantes son congruentes si un lado de uno de ellos es congruente con su

homólogo.

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10.3 SEMEJANZA DE TRIANGULOS

Demostración:

Sean: y tales que: , .

de la hipótesis, suma de s interiores.

Tomemos y tales que , .

Tracemos ; entonces: (L-A-L).

Figura 194

En consecuencia: y por tanto ; luego .

Podemos afirmar por el teorema 1 que y obtenemos de esta igualdad que

(1).

Tomemos (V P.E.) y pruébese que y en consecuencia .

Conclusión: y .

ABC ''' CBA

'AA

'BB

'CC

CAD

CBE '' ACCD '' BCCE

DE ''' BACCDE

'ACDE

ACDE ABDE ||

EC

BC

DC

AC

'''' CB

BC

CA

AC

BCDK ||

BK

AB

CD

CA

'''' BA

AB

CA

AC

'''''' CA

AC

CB

BC

BA

AB '''~ CBAABC

TEOREMA 88. PRIMER CASO DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS.

CASO: ANGULO – ÁNGULO (A-A).

Si dos triángulos tienen dos ángulos respectivamente congruentes, son semejantes.

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Demostración:

Sean: y tales que: , .

Sean , tales que: y .

Trazamos ; entonces: (L-A-L).

Consecuencias: y .

ABC ''' CBA

'CC'''' CB

BC

CA

AC

CAD

CBE '' ACCD '' BCCE

DE ''' BACCDE

''CACD '' BCCE

COROLARIO 1.

Toda recta que intersecta a dos lados de un triángulo y es paralela al tercero, determina un triángulo

semejante al primero.

COROLARIO 2.

Si dos triángulos rectángulos tienen un ángulo agudo respectivamente congruente, son

semejantes.

COROLARIO 3.

Las alturas correspondientes de dos triángulos semejantes, están en la misma razón que la de

dos de los lados homólogos.

COROLARIO 4.

Todos los triángulos equiláteros son semejantes.

TEOREMA 89. SEGUNDO CASO DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS.

CASO: LADO - ÁNGULO – LADO (L-A-L).

Si dos triángulos tienen un ángulo congruente, comprendido entre lados respectivamente

proporcionales, entonces son semejantes.

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Figura 195

Sustituyendo en la hipótesis se tiene: y por el Teorema 82 .

Ahora por el Corolario 1 (Teorema 88) y por transitividad

.

Demostración:

Sean: y tales que: .

Sean , tales que: (1) y (2).

CE

BC

CD

AC ABDE ||

CDECAB ~ '''~ BACCAB

ABC ''' CBA'''''' CA

AC

CB

BC

BA

AB

CAD

CBE '' ACCD '' BCCE

COROLARIO 1.

Si dos triángulos rectángulos tienen sus catetos respectivamente proporcionales, son

semejantes.

TEOREMA 90. TERCER CASO DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS.

CASO: LADO - LADO – LADO (L-L-L).

Si los tres lados de un triángulo son respectivamente proporcionales a los tres lados de otro

triángulo, los dos triángulos son semejantes.

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Trazamos y se tiene: ; en consecuencia por el teorema

89.

De esta semejanza podemos afirmar que: y sustituyendo de (1) se tiene:

(3).

De la hipótesis se desprende que (4).

Luego de (3) y (4) utilizando la propiedad v) de las fracciones se concluye que

. (5)

De (1), (2) y (5) afirmamos que (L-L-L) y así .

Finalmente por la transitividad concluimos: .

Demostración:

Téngase en cuenta los teoremas 36 y 90 respectivamente.

DEEC

BC

CD

AC DECABC ~

DE

AB

CD

AC

DE

AB

CA

AC

''

'''' BA

AB

CA

AC

'' BADE

''' CBADEC '''~ CBADEC

'''~ CBAABC

TEOREMA 91.

Dos triángulos que tienen sus lados respectivamente paralelos o perpendiculares son

semejantes.

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10.4 RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRÍANGULO RECTÁNGULO

Demostración:

Sean: rectángulo, con ángulo recto en , altura asociada a la hipotenusa

i) . Caso (A-A). (triángulos rectángulos y común).

. Caso (A-A). (triángulos rectángulos y común).

Transitividad.

ii) De la última semejanza se desprende que:

esto es:

iii) De la primera semejanza se desprende que:

esto es: .

De la segunda semejanza se tiene:

esto es: .

ABC

C CF

ACBACF ~

A

ACBBCF ~

B

BCFACF ~

FB

CF

CF

AF FBAFCF 2

AF

AC

AC

AB AFABAC 2

BF

BC

BC

AB BFABBC 2

TEOREMA 92.

Si en un triángulo rectángulo se traza la altura correspondiente a la hipotenusa, entonces:

i) Los dos nuevos triángulos que se originan son semejantes entre sí y semejantes

al triángulo inicial.

ii) La altura es media proporcional entre los segmentos que determina en la

hipotenusa.

iii) Cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre

esta.

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Figura 196

Demostración:

Sean: rectángulo; : recto.

altura correspondiente a la hipotenusa.

Teorema 92

Teorema 92

.

Figura 197

ABC

C

CH

AHABAC 2

HBABCB 2

222 ABABABHBAHABCBAC

TEOREMA 93. TEOREMA DE PITÁGORAS.

El cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados

de los catetos.

TEOREMA 94. RECÍPROCO TEOREMA DE PITÁGORAS.

Si el cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otrosdos

lados, entonces el triángulo es rectángulo.

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Demostración:

Figura 198

Sean: , .

Construyamos el así:

; , : recto. (Axioma de construcción del segmento. Existencia de

rectas perpendiculares).

(Teorema de Pitágoras en el rectángulo) (2)

(3) sustituyendo (1) en (2)

de la hipótesis y (3)

, en consecuencia: (L-L-L) y se concluye así que

esto es: es rectángulo.

ABC 222 BCACAB

''' CBA

CAAC '' CBBC ''

'C

222 '''''' CBCABA ''' CBA

222'' BCACBA

22'' ABBA

ABBA '' '''~ CBAABC

'CC

ABC

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10.5 RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS

Demostración:

Sean: , : obtuso.

: proyección de sobre

Figura 199

de la hipótesis, luego por el Teorema de Pitágoras:

en el rectángulo.

en el rectángulo.

Restando miembro a miembro se tiene: (1)

Como C está entre B y D a partir de la hipótesis, de lo contrario sería agudo (Absurdo),

en consecuencia: ; .

Sustituyendo en (1) se tiene:

ABC

C

CD AC BC

BCAD

222 DBADAB ADB

222 DCADAC ADC

2222 DCDBACAB

BCA

CBDCDB 222 2 CBCBDCDCDB

CBDCCBACAB 2222

TEOREMA 95.

En todo triángulo obtusángulo, el cuadrado del lado opuesto al ángulo obtuso es igual a la

suma de los cuadrados de los otros dos lados más el doble producto de uno de estos lados

por la proyección del otro sobre él.

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Demostración:

Sean: , : obtuso.

: proyección de sobre .

: proyección de sobre .

Fundamentándonos en el Teorema 95, se tiene: (1)

En particular es agudo; de la hipótesis y suma de ángulos interiores del triángulo.

Figura 200

Como C está entre B y D (Justificada en el Teorema 16)

(2)

Sustituyendo en (1) y simplificando se concluye:

Demostración:

Aplicando los teoremas 95 y 96 a los triángulos: y se tiene:

(1)

ABC

C

CD AC BC

BD BA BC

CBDCCBACAB 2222

B

BCBDCD

BDBCBCABAC 2222

ADB DAC

'2222 DABDBDADAB

TEOREMA 96

En todo triángulo obtusángulo, el cuadrado de un lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la

suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble producto de uno de estos lados por la

proyección del otro sobre él.

TEOREMA 97. TEOREMA DE STEWART.

En el , . Si , , entonces . ABC BCD mBD nDC dAD amnncmbad 222

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(2)

Figura 201

Multiplicando (1) por CD y (2) por BD y sumando las ecuaciones resultantes se tiene:

.

'2222 DACDCDADAC

amnncmbad 222

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10.6 RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA

Demostración:

Sean: cualquiera , cuerdas, E su punto de intersección.

. Ángulos inscritos en el mismo arco.

opuestos por el vértice.

Luego . Caso (A-A)

En consecuencia: y .

Figura 202

),( rOC AB CD

BCDmDABm

AEDCEB

CEBAED ~

CE

AE

EB

ED AEEBCEED

TEOREMA 98. TEOREMA DE LA POTENCIA DE UN PUNTO. Caso 1.

Si dos cuerdas de una circunferencia se intersectan, el producto de las medidas de los

segmentos determinados en una de ellas, es igual al producto de las medidas de los

segmentos determinados en la otra.

TEOREMA 99. TEOREMA DE LA POTENCIA DE UN PUNTO.Caso 2.

Sean: una circunferencia, Q un punto exterior, dos rectas secantes a la

circunferencia que pasan por Q; R, S los interceptos de con ; U, T los interceptos

de con ; entonces .

),( rOC 21 , LL

1L ),( rOC

2L ),( rOC QTQUQSQR

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Demostración:

. Caso (A-A).

Consecuencia: y .

Figura 203

Nota. En los tres casos señalados en los Teoremas 98,99 y 100 los productos constantes

determinados a partir del punto común en la intersección de los diferentes segmentos, se

designa como la potencia de dicho punto respecto a la circunferencia respectiva.

QTRQSU ~

QT

QS

QR

QU QRQSQTQU

TEOREMA 100. TEOREMA DE LA POTENCIA DE UN PUNTO. Caso 3.

Si desde un punto exterior a una circunferencia, se trazan una tangente y una secante a la

circunferencia, la medida del segmento tangente es media proporcional entre las

medidas del segmento secante y su segmento exterior.

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10.7 EJERCICIOS PROPUESTOS.

1. Indicar para cada una de las proposiciones, si son verdaderas o falsas, justificando su

determinación.

1.1 Si 𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑 , entonces, necesariamente 𝑎 = 𝑐 y 𝑏 = 𝑑

1.2 Siempre se cumple que𝑎

𝑏+

𝑐

𝑑=

𝑎+𝑐

𝑏+𝑑

1.3 Siempre se cumple que 1

𝑎+

1

𝑏+

1

𝑐=

𝑎+𝑏+𝑐

𝑎.𝑏.𝑐

1.4 Siempre se cumple que 𝑎+𝑏+𝑐

𝑎.𝑏.𝑐 =

1

𝑏.𝑐+

1

𝑎.𝑐+

1

𝑎.𝑏

1.5 Siempre se cumple que 𝑎1

𝑏1+

𝑎2

𝑏2+

𝑎3

𝑏3=

𝑎1+𝑎2+𝑎3

𝑏1+𝑏2+𝑏3

1.6 Toda fracción representa una razón.

1.7 Toda razón se puede expresar como una fracción.

1.8 La media proporcional de 3 y 7 es igual a 5.

1.9 La media proporcional de 11 y 5 es igual a 7,41.

2. En el ∆𝐴𝐵𝐶 de la figura se tiene:

𝑃1𝑄1 ‖𝑃2𝑄2

‖‖𝑃3𝑄3 ‖𝐴𝐶 , los numerales siguientes se refieren a la información proporcionada

por esta figura. Determine su validez.

2.1 𝐴𝑃1

𝐶𝑄1=

𝐴𝑃3

𝐶𝑄3

2.2 𝑃1𝑃2

𝑃2𝑃3=

𝑃1𝑄1

𝑃3𝑄3

2.3 𝐴 𝑃2

𝐶𝑄2=

𝐴 𝐵

𝐶 𝐷

A

B

C

Q1 Q2

Q3

P3 P2

P1

B

A

C

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3. En el ∆𝐴𝐵𝐶 de la figura se tiene:

𝑄𝐶

𝑃𝐶 =

𝐴𝑄

𝑃𝐵 ; los numerales siguientes se refieren a la

información suministrada por esta figura. Determine

su validez.

3.1 𝑃𝐵

𝑃𝐶 =

𝐴𝐵

𝐴𝐶 y

𝑄𝐴

𝑄𝐶 =

𝐵𝐴

𝐵𝐶

3.2 𝑄𝑃 ‖𝐴𝐵

4. En la figura se tiene:

M, T, K, H son colineales;𝐻𝐾

𝐻𝑀=

𝑆𝐾

𝑆𝑀;𝑇��𝐻 recto.

Los numerales siguientes se refieren a la información suministrada por esta figura.

Determine su validez.

4.1 𝐾𝑇

𝐾𝐻=

𝑆𝑇

𝑆𝐻

4.2 𝑀𝑇

𝑀𝐻=

𝑆𝑇

𝑆𝐻

4.3 𝑆𝐾 es bisectriz de 𝑇��𝐻

4.4 𝑆𝐻 es bisectriz de 𝐹��𝐾

4.5 𝑇𝐾

𝑇𝑀=

𝑆𝐾

𝑆𝑀

5. En el ∆𝐴𝐵𝐶, �� recto, 𝐴𝐶 se divide en 10 segmentos congruentes, 𝐴𝑃1 ≅ 𝑃1𝑃2 ≅ ⋯ ≅ 𝑃9𝐶;

por cada punto 𝑃𝑖 se traza la paralela a 𝐵𝐶; que intercecta en 𝑄𝑖 al segmento 𝐴𝐵.

Si 𝐵𝐶 = 5 unidades, calcule: 𝑃1𝑄1 + 𝑃2𝑄2 + ⋯ + 𝑃9𝑄9

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6. Indicar para cada una de las siguientes proposiciones si son verdaderas o falsas,

justificando su determinación.

En el ∆𝐴𝐵𝐶 de la figura se tiene:

𝑃1𝑃1´‖𝑃2𝑃2´‖𝐵𝐶 ; 𝑃1´𝑆1´‖𝑃2´𝑆2´‖𝐴𝐵 ; 𝑃1´𝑆1´ ∩ 𝑃2𝑃2´ = {𝐾}

6.1 ∆ 𝐴𝑃1𝑃1´ ~ ∆ 𝐴𝐵𝐶

6.2 ∆ 𝐶𝑃1´𝑆1´ ~ ∆ 𝐶𝑃2´𝑆2´g

6.3 ∆ 𝐴𝑃1𝑃1´ ~ ∆ 𝑃2´𝐶𝑆2´

6.4 𝐴𝑃1

𝑃1𝑃2=

𝑃1𝑃1´

𝑃2𝑃2´

6.5 𝐴𝑃1´

𝑃1´𝑃2´ =

𝑃1𝑃1´

𝐾𝑃2´ =

𝐴𝑃1

𝐾𝑃1´

6.6 𝐴𝑃1

𝐾𝑃2=

𝑃1𝑃1´

𝑃2𝑃2´

6.7 𝐶𝑆2´

𝑆2´𝑆1´=

𝑆2´𝑃2´

𝑆1´𝑃1´=

𝑆1´𝑆2´

𝐵𝑆1´=

𝑆1´𝑃1´

𝐴𝐵

6.8 𝐾𝑃2´

𝐵𝐶=

𝑃1´𝑃2´

𝐴𝐶=

𝐾𝑃1´

𝐴𝐵

6. 9 𝑃1𝑃2

𝑃2𝐵=

𝑃1´𝐾

𝑃2´𝑆2´

6.10 𝐴𝑃1

𝐴𝑃2=

𝑃2𝐾

𝑃2𝑃2´

6.11 𝑃2𝐾𝑆1´𝐵 ~ 𝐾𝑃2´𝑆2´𝑆1´

6.12 𝑃1𝑃2𝐾𝑃1´ ~ 𝐾𝑆1´𝑆2´𝑃2´

7. Demuestre que en triángulos semejantes, las alturas, las medianas y las bisectrices

asociadas a lados homólogos, conservan la misma razón de semejanza.

K P2´

A

B C

P1

P2

P1´

S1´ S2´

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8. Los lados de un∆𝐴𝐵𝐶miden 7, 10 y 13 unidades. Si el perímetro de un ∆𝐴´𝐵´𝐶´ semejante a

él mide 90 unidades, calcule:

Las medidas de cada lado en el ∆𝐴´𝐵´𝐶´

Las medidas de una altura, una mediana y una bisectriz asociadas a uno cualquiera

de los lados en el ∆𝐴𝐵𝐶 y las medidas respectivas para cada uno de estos

elementos asociados al lado homogéneo en el ∆𝐴´𝐵´𝐶´

9. En el ∆𝐴𝐵𝐶 de la figura, 𝑀1, 𝑀2,𝑀3 son puntos medios respectivamente.

Demuestre que: ∆ 𝐴𝑀1𝑀3 ~ ∆ 𝐵𝑀1𝑀2 ~ ∆ 𝐶𝑀2𝑀3 ~ ∆ 𝑀1𝑀2𝑀3 ~ ∆ 𝐴𝐵𝐶

10. Las bases mayor y menor de un trapecio miden a y b unidades respectivamente. Por un

punto de uno de los lados no paralelos se traza un segmento paralelo a las bases. Este

segmento divide al lado en la razón m:n. calcule la medida del segmento.

11. Las bases de un trapecio miden 20 y 12 unidades y los lados no paralelos miden 10 y 12

unidades. Calcule:

La medida de las diagonales del trapecio.

La medida de las alturas y los lados del triángulo con vértices en la intersección de

los lados no paralelos del trapecio y en los extremos de la base mayor.

12. Se tiene el ∆ 𝐴𝐵𝐶 rectángulo, con las dimensiones indicadas, 𝐴𝐻 ⊥ 𝐵𝐶.Si 𝑏

𝑐=

1

3 , calcule

𝐻𝐶

𝐻𝐵

A

B C

M1 M3

M 2

A

C B

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13. Si en un triángulo rectángulo las medidas de sus catetos son a y b unidades

respectivamente y la medida de su hipotenusa es igual a c unidades, demuestre que 1

𝑎2 +

1

𝑏2 =1

𝑐2

14. Propiedad métrica del ortocentro:

Demuestre que en todo triángulo, el producto de las medidas de los dos segmentos en

los que el ortocentro divide a cada altura, es constante para las tres alturas.

15. En la figura los triángulos: ∆ 𝐴𝐵𝐶 y ∆ 𝐴𝐵𝐷 son rectángulos con 𝐴𝐶 hipotenusa común y

con las dimensiones señaladas.

Demuestre que 𝐴𝐷 = √𝑎2 − 3

16. Un punto P es exterior a 𝐶(𝑂, 𝑅) y su distancia a 𝑂 es de 13 𝑐𝑚. Una recta que pasa por P

intersecta a 𝐶(𝑂, 𝑅) en los puntos Q y R de tal forma que el segmento externo 𝑃𝑄 mide

9 𝑐𝑚 y 𝑄𝑅 = 7 𝑐𝑚. Calcule el radio de la circunferencia.

17. En el ∆𝐴𝐵𝐶 rectángulo de la figura se tiene que T esta entre A y B y con las dimensiones

señaladas.

Pruebe que 𝐴𝑇 = 𝑥 =𝑎.𝑐

2𝑐+𝑎

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18. En la figura 𝐶(𝑂, 𝑅) y 𝐶(𝑂´, 𝑅´) son tangentes en T, 𝑅 = 3𝑅´,𝐴𝐵 es tangente a ambas

circunferencias, 𝐴𝐵 ∩ 𝑂𝑂´ = {𝑃}; 𝑇𝐾 cuerda diametral.

Demuestre que: 𝐾𝑃 = 𝑅´

19. Dada 𝐶(𝑂, 𝑅), 𝐴𝐵 es una cuerda, 𝑊𝐾 mediatriz de 𝐴𝐵, 𝑊𝐾 ∩ 𝐴𝐵 = {𝑀}, S entre A y M; 𝐷𝐻

cuerda, 𝐷𝐻 ∩ 𝐴𝑀 = {𝑆}.

Demuestre que: ∆ 𝐷𝑆𝑀 ≅ ∆ 𝐷𝐻𝐾

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20. En la figura se tiene: �� ≅ 𝐴��𝐵 con las dimensiones señaladas. Calcule AB

21. En el rectángulo ABCD de la figura, P ∈ Int (ABCD) con las medidas indicadas calcule PC.

Sugerencia: Determine los segmentos asociados a las distancias de P a cada lado del

rectángulo y analice los triángulos rectángulos que se generan.

22. En el ∆𝐴𝐵𝐶 rectángulo, 𝐵𝑀1 y 𝐶𝑀2 son medianas con 𝐵𝑀1 = 6 y 𝐶𝑀2 = 4,5. Calcule BC.

23. En el ∆𝐴𝐵𝐶 de la figura AT y CP son bisectrices del triángulo; a, b, c representan las

medidas de los lados como se indica.

Si 𝐴𝑃

𝑃𝐵= 𝐾

𝑇𝐶

𝑇𝐵 , determine el valor de K.

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24. En el ∆𝐴𝐵𝐶 rectángulo, de la figura TPQC es un rectángulo, 𝐴𝐶 = 7, 𝐵𝐶 = 11, 𝐵𝑇 = 𝑎.

Demuestre que el perímetro de PQCT es igual a 242−8𝑎

11

25. En la 𝐶(𝑂, 𝑅) de la figura se tiene:

𝐴𝑇 y 𝐷𝐸 cuerdas diametrales, 𝑃𝑇 tangente a

𝐶(𝑂, 𝑅), B esta entre P y T, 𝑃𝑇 = 2𝑅, 𝑃𝐷 ≅ 𝑃𝐵, D

esta entre O y P. Demuestre que: 𝑃𝐵2 = 𝑃𝑇 × 𝐵𝑇

26. Calcule, para cada una de las situaciones que se presentan, el valor de la magnitud

señalada como 𝑥, tenga en cuenta las hipótesis auxiliares.

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27. Se tiene 𝐶(𝑂, 𝑅) y 𝐶(𝑂´, 𝑅´) coplanarias, 𝑑(𝑂, 𝑂´) = 37 unidades, 𝑅 = 7 unidades, 𝑅´ = 4

unidades. Si 𝑇1𝑇1´ es un segmento tangente interior a las dos circunferencias, calcule

𝑇1𝑇1´.

28. Con relación a 𝐶(𝑂, 𝑅), 𝑇1𝑇2 es una cuerda diametral, 𝐴𝑇1 y 𝐵𝑇2 tangentes a 𝐶(𝑂, 𝑅);

𝐴𝑇2 ∩ 𝐵𝑇1 = {𝐾}.

Si 𝐴𝑇1 = 𝑚 y 𝐵𝑇2 = 𝑛, demuestre que 𝑇1𝑇2 = √𝑚. 𝑛

Sugerencia: Aplique en el ∆ 𝐴𝑇1𝑇2 las relaciones métricas generadas por la

proporcionalidad y tenga en cuenta que este triángulo es semejante al ∆ 𝐵𝐾𝑇2.

29. En la figura se tiene ABCD es un

trapecio, 𝐴𝐵 es la base menor, 𝐷𝐶

es la base mayor, 𝐴𝐶 ∩ 𝐵𝐷 = {𝑂},

𝐸𝐹 ∥ 𝐴𝐵,𝑂 esta entre E y F.

Demuestre:

29.1 𝐴𝑂

𝑂𝐶=

𝐵𝑂

𝑂𝐷=

𝐴𝐵

𝐶𝐷

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29. 2 𝑂𝐸 ≅ 𝑂𝐹

30. Recta de Euler. Demuestre que en todo triángulo el baricentro, el ortocentro y el

circuncentro son colineales.

31. En la figura ABCD es convexo; E punto medio de 𝐴𝐶, F punto medio de 𝐵𝐷; 𝐴𝐸 =

𝐸𝐶 = 𝑚; 𝐷𝐹 = 𝐹𝐵 = 𝑛, 𝐸𝐹 = ℎ, y las demás medidas indicadas.

Demuestre que 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 𝑑2 = (2𝑚)2 + (2𝑛)2 + (2ℎ)2.

Sugerencia:

Aplique la relación de Stewart en ∆𝐴𝐵𝐷 para calcular 𝐴𝐹2

Aplique la relación de Stewart en ∆𝐵𝐶𝐷 para calcular 𝐶𝐹2

Aplique la relación de Stewart en ∆𝐴𝐹𝐶 para calcular 𝐹𝐸2

32. Demuestre que en un paralelogramo la suma de los cuadrados de sus lados es igual a la

suma delos cuadrados de sus diagonales.

33. En la figura los ∆𝐴𝐵𝐶 y ∆𝐴′𝐵′𝐶′, se tiene �� y 𝐵′rectos, �� ≅ ��′.

Demuestre que:𝐴𝐵. 𝐴′𝐵′ + 𝐵𝐶. 𝐵′𝐶′ = 𝐴𝐶. 𝐴′𝐶′

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10.8 EJERCICIOS RESUELTOS

Ilustración N° 1

Demuestre que si en un triángulo rectángulo X y Y son las medidas de los catetos y Z es la

medida de la altura asociada a la hipotenusa, entonces, se cumple que 1

𝑋2 +1

𝑌2 =1

𝑍2

i. ∆ 𝐴𝐵𝐶

ii.

BAC recto

iii. 𝐴𝐻 ⊥ 𝐵𝐶

Tesis: 1

𝑋2 +1

𝑌2 =1

𝑍2

Demostración

1. 𝑋2 = 𝐵𝐻. 𝐵𝐶 ; teorema relaciones métricas en el triángulo rectángulo.

2. 𝑌2 = 𝐶𝐻. 𝐵𝐻; la misma razón anterior.

3. 𝑍2 = 𝐵𝐻. 𝐻𝐶; la misma razón de 1.

4. 1

𝑋2 +1

𝑌2 =1

𝐵𝐻.𝐵𝐶+

1

𝐶𝐻.𝐵𝐶 ; sustitución de 1 y 2.

5. 1

𝐵𝐻.𝐵𝐶+

1

𝐶𝐻.𝐵𝐶=

1

𝐵𝐶. (

1

𝐵𝐻+

1

𝐶𝐻) =

1

𝐵𝐶. (

𝐶𝐻+𝐵𝐻

𝐵𝐻.𝐶𝐻)

= 1𝐵𝐶

. ( 𝐵𝐶𝐵𝐻.𝐶𝐻

) = 1𝐵𝐻.𝐶𝐻

= 1

𝑍2

6. 1

𝑋2 +1

𝑌2 =1

𝑍2 ; transitividad de 4 y 5.

Ilustración N° 2

Demuestre que si ABCD es un paralelogramo, 𝑂𝜖 𝐴𝐶, 𝑂𝑋 ⊥ 𝐴𝐷, 𝑂𝑌 ⊥ 𝐴𝐵, entonces, 𝑂𝑋

𝑂𝑌=

𝐴𝐵

𝐴𝐷

Hipótesis

Hipótesis

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i. 𝐴𝐵𝐶𝐷 paralelogramo

ii. 𝑂 ∈ 𝐴𝐶

iii. 𝑂𝑋 ⊥ 𝐴𝐷

iv. 𝑂𝑌 ⊥ 𝐴𝐵

Tesis: 𝑂𝑋

𝑂𝑌=

𝐴𝐵

𝐴𝐷

Comentario

Este problema no presenta una solución fácil y requiere de una construcción auxiliar con la

cual se inicia su demostración.

Demostración

1. Determinemos 𝐷𝐾 ⊥ 𝐴𝐶 y 𝐵𝑊 ⊥ 𝐴𝐶 . Teorema de la perpendicular bajada.

2. ∆ 𝑂𝐴𝑌 ~ ∆ 𝐴𝐵𝑊. (A-A); ¿por qué?

3. Consecuencias: 𝑂𝑌

𝐵𝑊=

𝑂𝐴

𝐴𝐵=

𝐴𝑌

𝐴𝑊

4. 𝑂𝑌 =𝑂𝐴.𝐵𝑊

𝐴𝐵; despejamos en 3.

5. ∆ 𝑂𝐴𝑋 ~ ∆ 𝐴𝐷𝐾 (A-A); por qué?

6. Consecuencias: 𝑂𝑋

𝐷𝐾=

𝑂𝐴

𝐴𝐷=

𝐴𝑋

𝐴𝐾

7. 𝑂𝑋 = 𝑂𝐴.𝐷𝐾

𝐴𝐷; despejando en 6.

8. ∆ 𝐷𝐴𝐾 ≅ ∆ 𝐵𝐶𝑊 (Hipotenusa-ángulo agudo); ¿por qué?

𝐷𝐾 ≅ 𝐵𝑊

8′ ; consecuencia de 8.

9. 𝑂𝑋

𝑂𝑌=

𝑂𝐴.𝐷𝐾

𝐴𝐷𝑂𝐴.𝐵𝑊

𝐴𝐵

=𝐴𝐵.𝑂𝐾

𝐴𝐷.𝐵𝑊=

𝐴𝐵

𝐴𝐷 ; ¿por qué?

Hipótesis

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Ilustración N°3

En la figura se tiene:

i. ABCD trapecio.

ii. 𝐴𝐵 ∥ 𝐷𝐶

iii. 𝑆𝑇 ∥ 𝐴𝐵 ∥ 𝐷𝐶

iv. 𝐴𝑆

𝑆𝐷=

𝐵𝑇

𝑇𝐶=

𝑚

𝑛

Determine 𝑚 (𝑆𝑇 ) en términos de a, b, m y n.

Procedimiento.

1. Determinamos 𝐴𝐶 ; definición de segmento.

2. Desígnanos 𝐴𝐶 ∩ 𝑆𝑇 = {𝐾}

3. 𝑆𝑇 = 𝑆𝐾 + 𝐾𝑀; de 2 propiedad de la medida de segmentos.

4. ∆ 𝐴𝑆𝐾~ ∆ 𝐴𝐷𝐶 (A-A); ¿por qué?

5. Consecuencias: 𝐴𝑆

𝐴𝐷=

𝑆𝐾

𝑎=

𝐴𝐾

𝐴𝐶

6. 𝐴𝑆

𝐴𝐷=

𝑚

𝑚+𝑛 ; de iv. propiedad de las fracciones.

7. 𝑚

𝑚+𝑛=

𝑆𝐾

𝑎 ; transitividad de 5 y 6.

8. 𝑆𝐾 =𝑎𝑚

𝑚+𝑛; despejando en 7.

* Siguiendo un procedimiento análogo se establece que ∆ 𝐶𝑇𝐾 ~ ∆ 𝐶𝐴𝐵 y de las

consecuencias de esta semejanza se deduce que 𝐾𝑇

𝑏=

𝑛

𝑚+𝑛 ; luego 𝐾𝑇 =

𝑏𝑛

𝑚+𝑛

Sustituyendo SK y KT en 3; se tiene:

𝑆𝑇 = 𝑎. 𝑚

𝑚 + 𝑛+

𝑏. 𝑛

𝑚 + 𝑛=

𝑎. 𝑚 + 𝑏. 𝑛

𝑚 + 𝑛

Ilustración N°4

En la figura se tiene:

i. ∆ 𝐴𝐵𝐶, ∆ CBA

ii.

A y

A rectos

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iii. 𝐴𝐵

𝐴′𝐵′ =𝐴𝐶

𝐴′𝐶′ =𝐵𝐶

𝐵′𝐶′ = 𝐾

Demuestre que: ccbbaa ..´.

Demostración

1. 𝑎

𝑎´=

𝑏

𝑏´=

𝑐

𝑐´ ; de iii. Designación de las medidas.

2. 𝑎

𝑎´=

𝑐

𝑐´ ; transitividad en 1.

3. 𝑎´.𝑎

𝑎´.𝑎´ =

𝑐´.𝑐

𝑐´.𝑐´ ; ¿por qué?

4. 𝑎´.𝑎

𝑎´2=

𝑐´.𝑐

𝑐´2 ; de 3.

5. 𝑏

𝑏´=

𝑐

𝑐´; transitividad en 1.

6. 𝑏´.𝑏

𝑏´.𝑏´ =

𝑐´.𝑐

𝑐´.𝑐´ ; ¿por qué?

7. 𝑏´.𝑏

𝑏´2=

𝑐´.𝑐

𝑐´2 ; de 6.

8. 𝑎´𝑎 =𝑐´.𝑐 .𝑎´2

𝑐´2; despejando en 4.

9. 𝑏´𝑏 =𝑐´.𝑐 .𝑏´2

𝑐´2; despejando en 7.

10. 𝑎´𝑎 + 𝑏´𝑏 =𝑐´.𝑐 .𝑎´2

𝑐´2 +

𝑐´.𝑐 .𝑏´2

𝑐´2; suma de 8 y 9.

= 𝑐 ´𝑐

𝑐´2 (𝑎´2 + 𝑏´2 ); factorizando.

= 𝑐´𝑐

𝑐´2 × 𝑐´2 ; ¿por qué?

= c.c´ propiedad cancelativa en el producto.

Ilustración N° 5

La recta de Euler

En el ∆ 𝐴𝐵𝐶 de la figura se tiene:

i. H ortocentro

ii. G baricentro

iii. O circuncentro

Tesis: H, G y O son colineales.

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* Para lograr la tesis es suficiente con demostrar que

AGH ≅ OGM

1 ; ¿por qué?

1 . Probemos que ∆ 𝐴𝐻𝐺 ~ ∆ 𝑀1𝑂𝐺

1. Determinemos 𝐻𝐺 ≅ 𝑂𝐺 ; definición de segmentos.

2.

HAG≅

OGM1 Teorema reciproco ∡ A.I.

3. Determinemos X, Y, Z puntos medios de

𝐴𝐻 , 𝐵𝐻 y 𝐶𝐻 , respetivamente; definición

puntos medios.

4. Determinamos 𝑀3𝑌 , 𝑂𝑀3 , 𝑂𝑀1

, 𝑌𝑀1 ;

definición de segmentos.

5. 𝑀3𝑌 ∥ 𝐴𝐻 y 𝑀3𝑌 = 𝐴𝑋 = 𝑋𝐻; teorema

paralela media en ∆ 𝐴𝐵𝐻.

6. 𝑀3𝑌 ∥ 𝑂𝑀1 ; transitividad en la relación

de paralelismo ( 𝐴𝐻 ∥ 𝑂𝑀1 ).

7. 𝑀1𝑌 ∥ 𝐻𝐶 y 𝑀1𝑌 = 𝐻𝑍 = 𝑍𝐶; teorema de la paralela media ∆ 𝐶𝐵𝐻.

8. 𝑀1𝑌 ∥ 𝑂𝑀3 ; transitividad en la relación de paralelismo ( 𝐶𝐻 ∥ 𝑂𝑀3

).

9. 𝑀3𝑂𝑀1𝑌 es un paralelogramo; de 6 y 8 definición de paralelogramo.

10. 𝑂𝑀1 = 𝑀3𝑌; de 9 propiedad por equivalencia del paralelogramo.

11. 𝑂𝑀1 = 1

2 𝐴𝐻 ; de 5 y 10.

12. 𝑀1𝐺 = 1

2 𝐴𝐺; de ii. teorema propiedad del baricentro.

13. ∆ 𝐴𝐺𝐻 ~ ∆ 𝑀1𝐺𝑂 (L-A-L) de 2,11 y 12.

14. Consecuencia

AGH ≅ OGM

1

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15. Conclusión: H, G y O son colineales. ¿por qué? Revisa la ilustración que presento a

continuación para una mejor comprensión de la conclusión.

Ilustración N° 6

Demuestre el corolario siguiente, que se despende realmente del teorema de la Potencia de un

punto respecto a una circunferencia.

iv. 𝐶 (𝑂, 𝑅) ⊂ 𝜋

v. 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 𝜖 𝐶(𝑂, 𝑅)

vi. 𝐴 está entre P y B

vii. 𝑃𝐷 tangente a 𝐶(𝑂, 𝑅)

Tesis: 𝑃𝐴. 𝑃𝐵 = 𝑃𝐷2

Demostración

1. Determinemos 𝐴𝐷 y 𝐵𝐷 ; definición de segmentos.

2. 𝑚 )(

ABD ≗ 1

2 𝑚 DNA

; teorema medida ángulo inscrito en un arco.

3. 𝑚

)(PDA ≗ 1

2 𝑚 DNA

; ¿por qué?

4. DBA

≅

PDA ; de 2 y 3 transitividad y propiedad de la medida.

5. △ 𝑃𝐵𝐷 ∼ △ 𝑃𝐴𝐷 (A-A); de 4 y reflexividad del .

P

6. Consecuencias: 𝑃𝐷

𝐴𝑃=

𝑃𝐵

𝑃𝐷=

𝐵𝐷

𝐴𝐷

7. 𝑃𝐷2 = 𝑃𝐴. 𝑃𝐵 ; transitividad en 6 y propiedad de las fracciones.

Hipótesis

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Ilustración N° 7

En la figura ∆ 𝐴𝐵𝐶 está inscrito en la 𝐶(𝑂, 𝑅), .CNTBMT

Determine:

1. El valor de X.

2. El valor de AS.

3. El valor de ST.

Procedimiento.

1. 𝑚

)(BAT ≗ 1

2 𝑚

BMT ; ¿por qué?

2. 𝑚

)(CAT ≗ 1

2 𝑚

TNC ; ¿por qué?

3. 𝑚

)(BAT = 𝑚

)(CAT ;

transitividad de 1 y 2.

4. 𝐴𝑇 es la bisectriz del ;CAB

de 3 definición bisectriz de un ángulo.

5. 𝑋

3.5 =

4

6 ; de 4 teorema propiedades métricas de la bisectriz.

6. 𝑋 = 3.5× 4

6= 2.04 ; despejando en 5.

7. 𝐵𝐶. 𝐴𝑆2 = 𝐵𝑆 × 36 + 3.5 × 16 − 𝐵𝐶 × 𝐵𝑆 × 3.5 ; teorema de Stewart en ∆ 𝐴𝐵𝐶.

8. 𝐴𝑆 = √2.04 ×36+3.5×16−5.54×2.04×3.5

5.54= √

89.884

5.54= 4.027

9. 𝐵𝑆. 𝑆𝐶 = 𝐴𝑆. 𝑆𝑇; teorema Potencia de un punto respecto a una circunferencia.

10. 𝑆𝑇 =𝐵𝑆×𝑆𝐶

𝐴𝑆=

2.03×3.5

4.027= 1.773

Ilustración N° 8

En la figura el ∆ 𝐷𝐵𝐶 está inscrito en

𝐶 (𝑂, 𝑅) 𝐴 ∈ 𝐶 (𝑂, 𝑅); 𝐴𝐶 ∩ 𝐵𝐷 ; BMA

≅

.CNB

Calcule el valor de X.

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Procedimiento

1. 𝑚

)(BCA ≗ 1

2 𝑚 ;

AMB teorema medida ángulo inscrito en un arco.

2. 𝑚

)(BDC ≗ 1

2 𝑚

BNC ; por la razón anterior.

3.

BCA ≅

BDC ; de 1 y 2 transitividad con lo establecido en las premisas y propiedad

de la medida.

4. ∆ 𝐵𝐷𝐶 ~ ∆ 𝐵𝑃𝐶 (A-A); de 3 y reflexividad del

B .

5. Consecuencias: 𝑋

6=

10

𝑋=

𝐷𝐶

𝑃𝐶

6. 𝑋2 = 60 ∴ 𝑋 = 7.75; de 5 transitividad y propiedad de las fracciones, radicación.

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