Chapter 7: T

he Transitio

n fro

m 

Analog to D

igita

l(of H

aykin & M

ohler)

5/18/20

101

Intro

ductio

n

Analo

g

Contin

uous‐w

ave (CW

) modulatio

n: o

ne o

f the th

ree param

eters of a 

sinusosid

al carrier is varied co

ntin

uously

according to th

e inform

ation w

ave

Analo

g to digital

Digital 

Discrete tim

e & discrete levels

Theo

retical understan

dings: 19

30s to

 1960s

Hard

ware: so

lid state electro

nics, m

icro‐electro

nics, an

d larg

e‐scale integ

ration in th

e 1970

s

Three step

s for th

e transitio

n

Sam

plin

g: 

discrete tim

e

Pulse‐am

plitu

de m

odulatio

n 

Pulse‐p

ositio

n m

odulatio

n

Quan

tization: 

discrete levels

Unifo

rm quan

tization

Non‐unifo

rm quan

tization

Line C

oding: d

ecimal in

tegers (b

ase 10) 

binary (b

ase 2)

5/18/20

102

Why D

igitize Analo

g Sources?

Digital system

s are less sensitive to

 noise

than an

alog

It is easier to

 integ

ratedifferen

t services into th

e same 

transm

ission sch

eme

e.g

., analo

g or d

igital T

V in Chap

ter 3

The tran

smissio

nsch

eme can

 be relatively in

dep

enden

t of 

the so

urce

homogen

eous stream

 of 0

’s and 1’s

Digital circu

itryis easier to

 repeat an

d less sen

sitive to 

physical effects su

ch as vib

ration an

d tem

peratu

re

Sim

pler to

 characterize

and typ

ically do not h

ave the sam

e am

plitu

de ran

ge an

d variab

ility as analo

g system

s

5/18/20

103

Why D

igital (contd.)

Alm

ost all tran

smissio

n m

edia m

ay be u

sed fo

r either 

digital o

r analo

g tran

smissio

nDigital u

ses med

ia more efficien

tlyMultip

lexing

Med

ia sharin

g is easier to

 implem

ent fo

r digital tran

smissio

ns

Source co

ding: 

Rem

ovin

g red

undan

cy in digital d

ata

Chan

nel co

ding: 

Adding co

ntro

lled red

undan

cy to a d

igital tran

smissio

n

For erro

r detectio

n an

d co

rrection

Other ch

annel co

mpen

sation sch

emes, e.g

., equalizatio

n, are 

easier to im

plem

ent fo

r digital tran

smissio

ns

Easier fo

r standard

izationfor in

teroperatib

ility

5/18/20

104

The Sam

pling 

Process

Arbitrary sig

nal 

g(t)W

ith fin

ite en

ergy: w

hy

Specified

 for all 

time t: w

hy

Sam

ple in

st. at a unifo

rm rate

Sam

plin

g rate: 

Ts= 1/fs

Infin

ite sequen

ce of sam

ples, 

One every T

sseco

nds

5/18/20

105

0t

c(t)

The Sam

pling P

rocess (co

ntd.)

Sam

plin

g perio

d: T

s , seconds

Sam

plin

g rate: fs , sam

ples/seco

nd

Instan

taneo

us sam

plin

g: im

pulses at t

weig

hted

 by 

the co

rresponding g(t)

values –

ideal sam

pled sig

nal

5/18/20

106

ns

s

ns

ns

nTt

nTg

nTt

tg

nTt

tg

tc

tg

tg

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

Spectral A

nalysis

Fundam

ental th

eory o

f Fourier T

ransfo

rm:

5/18/20

107

Mak

ing a sig

nal p

eriodic in

 the tim

e domain has th

e effect o

f samplin

g th

e spectru

m of th

e signal in

 the 

frequen

cy domain

Duality p

roperty

Sam

plin

g a sig

nal in

 the tim

e domain has th

e effect of 

mak

ing th

e spectru

m of th

e signal p

eriodic in

 the 

frequen

cy domain

HW 3.5

Prob 

2.12

Duality

: if g(t)

G(f), th

en G(t)

g(‐f) 

Duality P

roperty o

f Fourier Tran

sform

Proof:

Exam

ple: 

5/18/20

108

Duality

: if g(t)

G(f), th

en G(t)

g(‐f) )

()

(

i.e., ,

)2

exp()

(

:have

we

,

and

variablesing

Interchang

)2

exp()

(

)

2exp(

)(

:T

ransfromF

ourier

inverseto

according),

()

(

Since

fg

tG

dtft

jt

Gf)

g(

ft

dfft

jf

Gt)

g(df

ftj

fG

g(t)

fG

tg

W f

W AW

tc

At

g2

rect2

)2(

sin)

(

Spectral A

nalysis (co

ntd.)

Sectio

n 2.6

: Fourier T

ransfo

rm of P

eriodic S

ignals

Determ

ine th

e Fourier tran

sform of g

δ (t) by ap

plyin

g 

the d

uality p

roperty an

d Eqn. (2.8

8)

5/18/20

109

n

ss

sn

snf

fnf

Gf

nTt

g)

()

()

(

ns

snT

tnT

gt

g)

()

()

(

(2.88)

n

ss

nff

Gf

fG

tg

)(

)(

)(

G(f): F

ourier tran

sform of g

(t)

The p

rocess o

f unifo

rmly sa

mplin

g a co

ntin

uous‐tim

e signal o

f finite en

ergy 

results in

 a perio

dic sp

ectrum with a perio

d eq

ual to

 the sa

mplin

g ra

te

Tells u

s the sh

ape 

of th

e spectru

m

Spectral A

nalysis (co

ntd.)

Altern

atively, directly tak

e Fourier tran

sform

Delta fu

nctio

n an

d tim

e shiftin

g property

W

e have fo

r 

5/18/20

1010

n

ss

nTt

nTg

tg

)(

)(

)(

Discrete F

ourier T

ransfo

rm of g

δ (t) . Can be view

ed as a co

mplex F

ourier 

series represen

tatio

n of th

e perio

dic freq

uen

cy functio

n G

δ (f).

1)

(

t

)2

exp()

()

(0

ofT

jf

Ht

th

)2

exp()

(s

sfnT

jnt

t

ns

snfT

jnT

gf

G)

2exp(

)(

)(

See P

age 39

, (2.8

0).

Tells u

s the 

expressio

n

Spectral A

nalysis (co

ntd.)

Consid

er a strictly ban

d‐lim

ited g(t), i.e., G

(f)=0, fo

r |f|≥

W

W

ith fs =

2Wan

d T

s =1/(2W

), the sp

ectrum G

δ (f) is

The sp

ectrum G

δ (f)is p

eriodic fs

Also easily seen

 from duality:  

5/18/20

1011

n

W nfj

W ng

fG

exp2

)(

n

ss

nff

Gf

fG

tg

)(

)(

)(

Perio

dic

Spectral A

nalysis (co

ntd.)

W

e have

if

Or

5/18/20

1012

Wf

Wf

GW

fG

),(

2 1)

(

W

f

Wf

fG

s2

for

0)

(

Wf

WW nf

j

W ng

Wf

Gn

,exp

22 1

)(

The Sam

pling Th

eorem

Exam

ine th

e G(f)

expressio

n

Im

portan

t observatio

ns

The sam

ple valu

es g(n/(2W

)) are specified

 for all n

G(f)

is uniquely d

etermined in [‐W

, W]  

g(t)

is uniquely d

etermined by in

verse Fourier 

transfo

rm of G

(f)

g(t)

is uniquely d

etermined by sam

ple valu

es g(n/(2W

)) 

5/18/20

1013

otherwise

,0

,exp

22 1

)(

Wf

WW nf

j

W ng

Wf

Gn

The sam

pled seq

uen

ce{g(n/(2W

))} contain

s all inform

ation of 

g(t)

Reco

nstru

ct g(t)

Reco

nstru

ct g(t)

from th

e samples g

(n/(2W

))

Interch

anging th

e order o

f sum an

d in

tegratio

n

W

e have

5/18/20

1014

Shifted

 sin

cfunctio

n,  

Pag

e 8

Tim

e‐shiftin

g 

property

Reco

nstru

ct g(t)

(contd.)

Interp

olatio

n fo

rmula 

Reco

nstru

ct g(t)

from th

e samples {g

(n/2W

)}

Interp

olatio

n fu

nctio

n:  sin

c(2Wt)

5/18/20

1015

h(t)=

sinc(2W

t)g(t)

gδ (t) 

Sampling Th

eorem

For strictly b

and‐lim

ited sig

nal o

f finite en

ergy

Nyq

uist rate: fs

= 2W

Nyq

uist in

terval: Ts= 1/ fs

=1/(2W

)

5/18/20

1016

Sampling Th

eorem

 (contd.)

Signals w

hich are n

ot b

and‐lim

ited, o

r fs< 2W

Undersam

pled

Aliasin

geffect

High freq

uen

cy componen

t in th

e spectru

m seem

ingly ta

king 

on th

e iden

tity of a lo

wer freq

uen

cy in th

e spectru

m of its 

sampled versio

n

Solutio

nLow‐pass p

re‐alias filter: to lim

it the b

andwidth of th

e sig

nal to

 be sam

pled

Reco

nstru

ction filter: lo

w‐pass in

 [‐W, W

], with 

transitio

n ban

d fro

m in [W

, fs ‐W]

5/18/20

1017

Example

Undersam

pled sig

nal

5/18/20

1018

Example (co

ntd.)

W

ith pre‐

alias filter

5/18/20

1019

transitio

n ban

d 

Low pass

Pulse‐A

mplitu

de M

odulatio

nThe am

plitu

des o

f regularly sp

aced pulses are varied

 in proportio

n to th

e corresp

onding sam

ple valu

es of 

g(t)

Pulse: rectan

gular

form or so

me o

ther fo

rms

Two sim

ilar techniques:

Natu

ral samplin

g

PAM (flat‐to

p sam

plin

g)

5/18/20

1020

Pulse‐A

mplitu

de M

odulatio

n 

(contd.)

Two step

s:

Step

 1: get th

e instan

taneo

usly sam

pled sig

nal

Pass it th

rough a lin

ear system w

ith im

pulse resp

onse 

h(t) =

 rect(t/T‐1/2) (see H

omew

ork 1, P

roblem

 2.3)

5/18/20

1021

ns

snT

tnT

gt

g)

()

()

(

s(t)gδ (t) 

ns

snT

th

nTg

th

tg

ts

)(

)(

)(

)(

)(

Pulse‐P

ositio

n 

Modulatio

n

Pulse d

uratio

n m

odulatio

n 

(PDM)

The sam

ples o

f the m

essage 

signal are u

sed to vary th

e duratio

nof in

divid

ual p

ulses

A.k.a.:  p

ulse‐w

idth 

modulatio

n or p

ulse‐len

gth 

modulatio

n

Pulse‐p

ositio

n m

odulatio

n 

(PPM)

The p

ositio

nof a p

ulse is varied

 acco

rding to th

e signal valu

e

PAM 

Amplitu

de 

modulatio

n

PPM 

Angle m

odulatio

n

5/18/20

1022

The fallin

g ed

ges 

represen

ts inform

ation

PDM

PPM

Unmodulated

 signal

Inform

ation w

ave

PPM (co

ntd.)

g(t‐n

Ts ): a sin

gle p

ulse at n

Ts

m(nTs ): sam

ple to

 modulate th

e positio

n of th

e n‐th 

pulse

kp : sen

sitivityof P

PM

Sufficien

t conditio

n: d

ifferent p

ulses in

 s(t)must b

e strictly n

on‐overlap

ping

5/18/20

1023

n

sp

snT

mk

nTt

gt

s))

((

)(

2|

)(

|m

axs

p

Tt

mk

Them

e Example –

UWB

Im

pulse rad

ioInform

ation is sen

t by m

eans o

f very narro

w pulses th

at are w

idely sep

arated in tim

e

Very n

arrow pulses 

very wide b

andwidth

Ultra‐w

ideb

and(U

WB)

The p

ulse

Gau

ssian m

onocycle: th

e first derivative o

f the G

aussian

 pulse

τ: p

ulse w

idth ~ betw

een 0.2 an

d 1.5 n

anoseco

nds

5/18/20

1024

UWB (co

ntd.)

Very n

arrow pulses

1 n

anoseco

nd

Very w

ide b

andwidth

W≈5G

Hz

Im

plicatio

ns

For U

WB sig

nal w

ith 

limited

 power, th

e signal 

power in

 any p

articular 

narro

w ban

d is sm

all

Could be lo

wer th

an th

ermal 

noise 

security

Falls in

 allnarro

w ban

ds

Interferes all

Power sh

ould be lim

ited

5/18/20

1025

UWB (co

ntd.)

Pulse p

ositio

n m

odulatio

n (P

PM)

Nominal sep

aration T

p

“0”–slig

htly early (‐T

c ); “1”–slig

htly late (+

Tc )

Data rate: R

=1/T

p

5/18/20

1026

]1 ,

40[

]

1000 ,

25[

Mbps

Mbps

Rns

nsT

p

The Q

uantizatio

n Process

Human sen

se can detect o

nly fin

ite inten

sity differen

cesOrig

inal co

ntin

uous sig

nal can

 be ap

proxim

ated by a sig

nal 

constru

cted of d

iscrete amplitu

de selected

 on a m

inim

um 

error b

asis from an availab

le set

Amplitu

de q

uan

tization

Tran

sform

ing th

e sample am

plitu

de m

(nTs )into discrete 

amplitu

de v(n

Ts )tak

en fro

m a fin

ite set of p

ossib

le am

plitu

des

Contin

uous tim

e, contin

uous am

plitu

de 

discrete tim

e, discrete am

plitu

de

Mem

oryless q

uan

tization: tran

sform

ation at tim

e t=nTsis 

not affected

 by earlier o

r later samples  

5/18/20

1027

The Q

uantizatio

n Process (co

ntd.)

Mem

oryless q

uan

tization

Signal am

plitu

de is sp

ecified by in

dex k

if it lies insid

e the 

k‐th in

terval

L: to

tal number o

f amplitu

de levels

m

k : decisio

n levels, o

r decisio

n th

resholds

Quan

tum

or step

‐size: spacin

g betw

een tw

o decisio

n levels

Output v

k : represen

tation levels o

r reconstru

cted levels

Quan

tizer characteristic:  v =

 g(m

)

5/18/20

1028

The Q

uantizatio

n Process (co

ntd.)

Midtread

: the o

rigin lies in

 the m

iddle o

f a tread of th

e staircase‐like 

grap

h

Midrise: th

e orig

in lies in

 the m

iddle o

f a rising part o

f the staircase‐

like g

raph

5/18/20

1029

The Q

uantizatio

n Process (co

ntd.)

Unifo

rm quan

tization: th

e represen

tation levels are u

nifo

rmly sp

aced

Nonunifo

rm quan

tization: n

onunifo

rmly sp

aced step

‐sizes

5/18/20

1030

W. S

tallings,  D

ata and Computer C

ommunica

tions, 8

th Ed., P

rentice H

all, 2007.

unifo

rmnonunifo

rm

What In

form

ation Is Lo

st?Sam

plin

g

Use sam

ples g

(nTs ), T

s  =1/fs =

1/(2W), to

 represen

t g(t)

The valu

es of g

(t)betw

een [(n

‐1)Ts , n

Ts ] are lo

st, for all n

Is th

is a problem

?

Quan

tization

Use d

iscrete amplitu

de v(t)

to rep

resent co

ntin

uous 

amplitu

de m

(t)

Intro

duce d

istortio

n (o

r, noise) to

 the in

form

ation sig

nal

Is th

is a problem

? 

Human percep

tion can

 tolerate certain

 disto

rtions 

Need

 to quan

tify the level o

f noise ad

ded by q

uan

tization

5/18/20

1031

Quantizatio

n Noise

Quan

tization noise: q

 = m ‐v

5/18/20

1032

Erro

r qis 

bounded 

by ±Δ/2

m

v

Quantizatio

n Noise M

odel

Input: zero

‐mean

 random variab

le M

Quan

tizer g(·): m

aps M

of co

ntin

uous am

plitu

de in

to 

a discrete ran

dom variab

le output V

V: also

 zero m

ean

Q=M‐V

: quan

tization erro

r, also zero

 mean

Unifo

rm quan

tizer, input am

plitu

de is in

 [‐mmax , 

mmax ], L

represen

tation levels an

d is su

fficiently larg

eStep

‐size:    Δ= 2m

max /L

Q

is bounded by:  ‐Δ

/2 ≤q ≤Δ/2

Q

is unifo

rmly d

istributed

 with probab

ility den

sity functio

n as: 

5/18/20

1033

otherw

ise ,0

2/2/

- ,

/1

)(

qq

fQ

Quantizatio

n Noise M

odel (co

ntd.)

Since Q

is zero m

ean, its p

ower (o

r, variance) is

If each

 sample is rep

resented

 with R

bits, th

en

R=log2 L an

dL=2R

The n

oise p

ower is: 

If averag

e signal p

ower is P

S , the sig

nal‐to

‐noise ra

tio 

is:

5/18/20

1034

122/

-

2/

3

11

)(

][

E2

22/2/

-

22/2/

-

22

qdq

qdq

qf

qQ

PQ

Q

RQ

mP

22m

ax 23 1

RS

Q SO

m

P

P P2

2max

23

)S

NR

(

Quantizatio

n Noise: Exam

ple

A fu

ll‐load

sinusoidal

m(t)

of am

plitu

de A

m, averag

e power is:

Full‐lo

ad 

Am=m

max

Averag

e noise p

ower is: 

The q

uan

tizer’s output sig

nal‐to

‐noise ratio

 is:

In dB, it is:

5/18/20

1035

2/2m

SA

P

Rm

RQ

Am

P2

22

2max

23 1

23 1

R

Rm

mO

A

A2

22

2

22 3

3/2

2/

power

noise

Average

power

signal

Average

)S

NR

(

RO

dB6

8.1

)S

NR

(log

10)

SN

R(

10

Quantizatio

n Noise Exam

ple 

(contd.)

5/18/20

1036

RdB

68.

1)

SN

R(

Nonunifo

rm Quantizatio

nExam

ple 7.2: 

Assu

mes fu

ll‐load sig

nal, i.e., A

m=m

max

W

hat if A

m<m

max ?  

If A

m=m

max /3,                                       , 9

.6 dB lo

wer

For p

ractical systems

Fixed

 L, m

maxan

d R

But sig

nal m

ay not alw

ays be fu

ll‐load ones

Voice: lo

ud talk

 to w

eak talk

: 1000 to 1 

60 dB variatio

n

Need

 nonunifo

rm quan

tization fo

r constan

t SNR

Larg

e step‐size fo

r high am

plitu

de reg

ion, sm

all step‐size fo

r sm

all amplitu

de reg

ion

Equivalen

t to usin

g a co

mpresso

r

5/18/20

1037

RdB

68.

7)

SN

R(

Solutio

n I: N

onunifo

rm Quant.

Unifo

rm quan

tization: th

e represen

tation levels are u

nifo

rmly sp

aced

Nonunifo

rm quan

tization: n

onunifo

rmly sp

aced step

‐sizes

5/18/20

1038

W. S

tallings,  D

ata and Computer C

ommunica

tions, 8

th Ed., P

rentice H

all, 2007.

unifo

rmnonunifo

rm

Solutio

n II: C

ompander

Compresso

r compressio

n law

, the μ

–law:

μis a p

ositive co

nstan

t

Slope is

5/18/20

1039

)1

log(

|)|

1log(

||

mv

|)|

1()

1log(

||

||

mv

d

md

Approxim

atelylin

ear for lo

w in

put 

levels:   μ|m

|<<1

Approxim

atelylogarith

m fo

r high 

input levels:  μ

|m|>>1

Compander (co

ntd.)

Compresso

r compressio

n law

, the A

–law:

Ais a p

ositive co

nstan

t ~ 10

0

Slope is

5/18/20

1040

1|

|1

,log

1

|)|

log(1

1|

|0

,

log1

||

||

mA

A mA

Am

A

mA

v

1|

|1/A

|,

|)

1log(

/1

||

0 ,

/)

1log(

||

||

mm

A

Am

AA

vd

md

Linear fo

r low in

put levels

Logarith

m fo

r high in

put levels

Compander (co

ntd.)

Receiver sid

e

An exp

ander: w

ith a ch

aracteristic complem

entary to

 the co

mpresso

r

Compresso

r + exp

ander: co

mpan

der

5/18/20

1041

compresso

runifo

rm 

quan

tizer

expan

der

Tran

smitter:

Receiver:

chan

nel

Encoding

Tran

slate the d

iscrete set of sam

ple valu

es (after quan

tization) to

 a more ap

propriate fo

rm of sig

nal

Code: a p

lan fo

r such tran

slation

Codeelem

ent o

rsym

bol: a d

iscrete event in

 a code

Codew

ord

or ch

aracter: a particu

lar arrangem

ent o

f sym

bols u

sed to rep

resent a sin

gle sam

ple valu

e

A binary co

de

Each

 symbol m

ay be eith

er of tw

odistin

ct values

A tern

ary code

Each

 symbol m

ay be eith

er of th

reedistin

ct values

Each

 code w

ord co

nsists o

f Rbits, L

=2Rlevels

5/18/20

1042

Encoding (co

ntd.)

Enco

ding: estab

lish a o

ne‐to

‐one m

apping betw

een 

represen

tation levels an

d co

de w

ords

For exam

ple: exp

ress the o

rdinal n

umber o

f the 

represen

tation level as a b

inary n

umber

Tab

le 7.2, R=4 bits/sam

ple

5/18/20

1043

Level in

dex

0 ~ (L‐1)

Binary co

de o

flen

gth R=log2 (L

)One‐to

‐one 

map

ping

Encoding 

(contd.)

5/18/20

1044

Data rate =

 R ×

fs

Line C

odes

Line co

de: a b

inary stream

 of d

ata takes o

n an 

electrical represen

tation 

for tran

smissio

nRetu

rn‐to‐zero

: the p

ulse sh

ape u

sed to rep

resent th

e bit alw

ays returns to

 the 0 vo

lts or th

e neu

tral level befo

re the en

d of th

e bit

Nonretu

rn‐to‐zero

: …. d

oes n

ot …

.

Unipolar

& polar

(or b

ipolar)

Unipolar N

onretu

rn‐to‐Zero

 (NRZ) sig

nalin

gSym

bol 1: rep

resented

 by a p

ulse o

f amplitu

de A

for th

e duratio

n of th

e symbol

Sym

bol 0

: represen

ted by sw

itching off th

e pulse

5/18/20

1045

Line C

odes (co

ntd.)

Polar N

onretu

rn‐to‐Zero

 (NRZ) sig

nalin

gSym

bols 1 an

d 0 are rep

resented

 by p

ulses o

f amplitu

de +

Aan

d –A, resp

ectivelyEasier to

 gen

erate and m

ore p

ower‐efficien

t

Unipolar R

eturn‐to‐Zero

 (RZ) sig

nalin

gSym

bol 1: p

ulse w

ith am

plitu

de A

for h

alf‐symbol w

idth  

Sym

bol 0

: switch

ing off

Bipolar R

eturn‐to‐Zero

 (BRZ) sig

nalin

gSym

bol 1: p

ositive an

d neg

ative pulses w

ith +Aan

d –Afor 

half‐sym

bol w

idth

Sym

bol 0

: switch

ing off

Also called

 Altern

ative Mark

 Inversio

n (A

MI) sig

nalin

g

5/18/20

1046

Mark

 

symbol o

ne; S

pace 

sym

bol zero

Line C

odes (co

ntd.)

Split‐P

hase sig

nalin

g (M

anch

ester Code)

Sym

bol 1: p

ositive p

ulse w

ith +Afollo

wed by a n

egative p

ulse w

ith –A, 

both half‐sym

bol w

ide

Sym

bol 0

: polarities o

f the tw

o pulses are reversed

Differen

tial Enco

ding 

A tran

sition to desig

nate sym

bol 0

No tran

sition to desig

nate sym

bol 1

5/18/20

1047

Line C

odes 

(contd.)

Unipolar N

RZ

Polar N

RZ

Unipolar R

Z

Bipolar R

Z or A

MI

Split‐p

hase o

r Man

chester co

de

5/18/20

1048

Which

 Code to

 Choose

Signal sp

ectrum

high freq

uen

cies: ban

dwidth req

uirem

ents

low freq

uen

cies: allows co

uplin

g via tran

sform

er, isolatio

n

Self‐syn

chronizatio

n

with an extern

al clock or clo

ck reco

very from th

e signal

Coding/deco

ding co

mplexity

Baselin

e wan

derin

g 

drift o

f average received

 power fo

r differen

t signal

DC co

mponen

t: 

low freq

uen

cy componen

ts, high req

uirem

ent o

n ch

annel

Built‐in

 error d

etection/co

rrection

Im

munity to

 noise an

d in

terference

…

5/18/20

1049

Which

 Code to

 Choose (co

ntd.)

5/18/20

1050

From D

ata Communica

tions a

nd Netw

orking, B

ehrouz A

. Forouzan

Example 7

.3: Tim

e Divisio

n M

ultip

lexing

5/18/20

1051

TDM (co

ntd.)

5/18/20

1052

Low sp

eed lin

ks

High sp

eed lin

k

Why n

eed bufferin

g?

Sch

edulin

g, sig

nalin

g, …

T1 System

: Transm

ission Bandwidth

Voice sig

nal: 

30

0 H

z to 310

0 H

z

Low‐pass filter: W

=3.1 k

Hz

Sam

plin

g rate: 8

 kHz > N

yquist rate 6

.2 kHz

Piece‐lin

ear characteristic (15 lin

ear segmen

ts) to 

approxim

ate the lo

garith

mic μ

‐law, μ

=255

PCM: R

=8 bits/sam

ple

T1 systemAcco

mmodate 24

 voice ch

annels

Fram

e:  one b

yte per ch

annel, 24

 chan

nels, 1 b

it for 

synch

ronizatio

n 

24×8+1=193 b

its

Sam

plin

g rate 8

 kHz 

125 μs fram

e perio

d 

1.544 M

bps

5/18/20

1053

T1 System

5/18/20

1054

Delta M

odulatio

n

5/18/20

1055

W. S

tallings,  D

ata and Computer C

ommunica

tions, 8

th Ed., P

rentice H

all, 2007.

Data ra

te?‐R=1/T

s

Quantiza

tion 

error?

Delta M

odulatio

n (co

ntd.)

Provid

es a staircase approxim

ation fo

r the in

form

ation w

ave

The erro

r betw

een th

e staircase approxim

ation an

d th

e orig

inal sig

nal 

is quan

tized an

d tran

smitted

5/18/20

1056

Delta M

odulatio

n (co

ntd.)

5/18/20

1057

nks

qq

sq

ss

qs

sq

sq

ss

qs

qkT

em

nTe

TnT

eT

nTm

nTe

TnT

mnT

m1

)(

)0(

)(

)(

)2

()

()

()

(

Delta M

odulatio

n (co

ntd.)

In order fo

r the staircase ap

proxim

ation to in

crease as fast as the o

riginal sig

nal, w

e require th

e conditio

n:

Two typ

es of d

istortio

n: 

W

hen th

e conditio

n 

Does n

ot h

old tru

e slo

pe o

verload 

slop overlo

ad disto

rtion

Gran

ular n

oise: 

Occu

rs at a relatively flat

region of m

(t)

Analo

gous to

 quan

tization

noise in

 PCM

Conflictin

g desig

n 

choices 

5/18/20

1058

Them

e Example: D

igitization of 

Video

 and M

PEG

Video

Can be rep

resented

 by th

ree dim

ensio

ns

Two dim

ensio

ns are sp

atial still im

age

Third dim

ensio

n is tem

poral 

imag

e evolves o

ver time

Still im

age is rep

resented

 by th

ree dim

ensio

ns

Luminan

ce (brig

htness)

Two ch

rominan

ce (color) co

mponen

ts

Spatial an

d tem

poral co

rrelation

Video co

ding

Rem

ove sp

atial and tem

poral red

undan

cy

5/18/20

1059

Them

e Example: D

igitization of 

Video

 and M

PEG

 (contd.)

Video co

der: ap

plied

 to each

 of th

e three co

mponen

ts

5/18/20

1060

Them

e Example: D

igitization of 

Video

 and M

PEG

 (contd.)

Sam

plin

g

A sam

ple o

f a video sig

nal is an

 N×M

matrix

W

ith pictu

re elemen

ts (pels) p

er unit tim

e co

rresponding to a co

mplete stillim

age 

Video Fram

e

Human eyes is m

ore sen

sitive to lu

minan

ce than 

chrominan

ce

Lower fram

e rate (a quarter) fo

r chrominan

ce signals

MPEG co

ding

First fram

e: intrafram

e coding m

ode (I‐p

icture)

Subseq

uen

t frames: in

terframe p

redictio

n (P‐pictu

re)

5/18/20

1061

Them

e Example: D

igitization of 

Video

 and M

PEG

 (contd.)

Discrete co

sine tran

sform (D

CT)

Closely related

 to discrete F

ourier tran

sform

Iden

tifies spatial co

rrelation of th

e pels

5/18/20

1062

Σ∫

Cos 

exp{}

Them

e Example: D

igitization of 

Video

 and M

PEG

 (contd.)

Quan

tization

The co

efficients fo

r each D

CT block are q

uan

tizedOnly n

on‐zero

 coefficien

ts (and th

eir positio

n) are 

transm

itted

Enco

ding

Non‐zero

 coefficien

ts and positio

ns are co

ded w

ith an 

advan

ced data‐co

mpressio

n tech

nique, ru

n‐len

gth en

tropy 

enco

ding

Motio

n‐co

mpen

sation fo

r P‐pictu

resTem

poral co

rrelation co

rresponds to

 motio

n of a p

el or a 

block in th

e same d

irection

Only th

e motio

n vecto

rs and a sm

all number o

f non‐zero

 DCT co

efficients h

ave to be tran

smitted

 lower rate 

5/18/20

1063

Summary

W

hy an

alog to digital

Three step

sSam

plin

g: th

e link betw

een an

alog w

aveform an

d its 

discrete‐tim

e represen

tation

Quan

tization: th

e link betw

een an

alog w

aveform an

d its 

discrete am

plitu

de rep

resentatio

nEnco

ding: tran

slate discrete am

plitu

des to

 a more 

appropriate fo

rm of sig

nal

Sam

plin

g th

eorem

PAM, P

DM, P

PM, D

MQuan

tization noise 

Nonunifo

rm quan

tization/co

mpan

ding

Tim

e divisio

n m

ultip

lexing

5/18/20

1064