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Introduction à la géométrie

Riemannienne

2008

Erwann Aubry

Table des matières

Chapitre 1. Sous-variétés de Rn 5I. Dénitions 5II. Espace tangent et bré tangent 8III. Applications diérentiables 10IV. Diérentielle d'une application diérentiable 16V. Champs de vecteurs, Crochet de Lie, Flots 20

Chapitre 2. Variétés Riemaniennes 41I. Métriques Riemanniennes 41II. Connexion de Levi-Civita d'une métrique 49III. Géodésiques 53IV. Carte exponentielle 55V. Courbure 63VI. Formules de varation 66

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CHAPITRE 1

Sous-variétés de Rn

Dans tout ce chapitre, p est un entier non nul.

I. Dénitions

a. Première dénition.Définition. M ⊂ Rn est une sous-variété de dimension k et de classe

Cp de Rn ssi pour tout x ∈M , il existe un voisinage ouvert U de x dans Rn

et une application f : U → Rn−k de classe Cp vériant :U ∩M = f−1(0),dxf : Rn → Rn−k est surjective (on dit que f est une submersion en x).

Remarque. f : U → Rk est de classe Cp ssi toutes ses dérivées partiellesd'ordre p existent et sont continues sur U .

Il est facile de voir que les sous-variétés de dimension 0 sont les sous-ensembles de Rn dont tous les points sont isolés (i.e. tels que pour toutx ∈M , il existe rx > 0 tels que M ∩B(x, rx) = x). Par exemple

M = (1

k, 0), k ∈ N∗

est une sous variété de R2 de dimension 0 alors que M = M ∪ (0, 0) n'estpas une sous variété de R2.

Définition. Les sous-variétés de dimension 1 sont appelées des courbes,celles de dimension 2 des surfaces. Les sous-variétés de Rn de dimension n−1sont appelées des hypersurfaces.

Exemple. Classications des courbes et surfaces, Sn, T n, Hn, SO(n). . .

Exercice. Soit M est une sous-variété de classe Cp et de dimension kde Rn et U est un ouvert de M pour la topologie induite par celle de Rn.Montrer que U est une sous variété de Rn de classe Cp et de dimension k.

5

6 1. SOUS-VARIÉTÉS DE Rn

De même, montrer que toute composante connexe de M est une sous-variété de Rn de dimension k et de classe Cp.

b. Dénitions équivalentes.

Proposition 1.1. Les assertions suivantes sont équivalentes :1) M est une sous variété Cp de dimension k de Rn.2) pour tout x ∈M , il existe des voisinages ouverts U et V de x et de 0

dans Rn et un Cp diéomorphisme ϕ : U → V tel que Φ(x) = 0 et

Φ(U ∩M) = V ∩(Rk × 0

).

3) Pour tout x ∈M , il existe un voisinage U de x dans Rn, un voisinageΩ de 0 dans Rk et une application g de classe Cp de Ω dans Rn tels que gest un homéomorphisme de Ω sur M ∩ U , g(0) = x et d0g : Rk → Rn estinjective.

Remarque. Si f : U ⊂ Rn → Rk est C1 et vérie dxf est surjectivealors par continuité il existe un voisinage ouvert U ′ de x inclus dans U tel quedyf est surjective en tout point y ∈ U . cela donne une autre assertions 1′)équivalente à la condition 1) avec dxf surjective remplacée par dyf surjectivepour tout y ∈ U .

De même, si g : Ω ⊂ Rk → Rn est C1 et vérie d0g injective, alors quittea réduire Ω, dyg est surjective en tout point y ∈ Ω. Si on remplace dans3) d0g injective par dyg injective pour tout y ∈ Ω, on obtient une nouvelleassertion 3′) équivalente à toutes les autres.

Remarque. Dans 3) la condition supplémentaire g est un homéomor-phisme de Ω sur M ∩ U ne peut-être omise comme le montre l'exemplesuivant

g : t ∈]− π

2,π

2[7→ sin t cos t(cos t, sin t) ∈ R2

En eet g est injective (donc une bijection sur son image) et dtg est injectivepour tout t ∈]− π

2, π

2[ en revanche g−1 n'est pas continue sur Im g (remarquez

que g(π2− 1

k) tend vers (0, 0) = g(0)). Un dessin montre que Im g n'est pas

une sous-variété de R2.Preuve. On va démontrer 1)⇒ 2)⇒ 3)⇒ 1).1)⇒ 2) est une application directe du théorème du rang constant (version

submersion) que l'on va redémontrer au passage. Soit M une sous-variété,x ∈ M et f = (f1, · · · , fn−k) : U → Rn−k une submersion en x telle que

I. DÉFINITIONS 7

M ∩ U = f−1(0). Comme la matrice

Jxf =

∂f1

∂x1(x) · · · ∂f1

∂xn(x)

......

∂fn−k∂x1

(x) · · · ∂fn−k∂xn

(x)

est de rang n− k, on peut la complèter en une matrice inversible de taille n

A =

an−k+1,1 · · · an−k+1,n...

...an,1 · · · an,n∂f1

∂x1(x) · · · ∂f1

∂xn(x)

......

∂fn−k∂x1

(x) · · · ∂fn−k∂xn

(x)

Alors l'application

Φ : y ∈ U 7→( n∑i=1

an−k+1,i(yi − xi), · · · ,n∑i=1

an,i(yi − xi), f(y))∈ Rn

est de classe Cp, vérie Φ(x) = 0 et sa Jacobienne en x est A. Le théo-rème d'inversion local implique qu'il existe un U ′ voisinage ouvert de xdans U et un voisinage V ′ de 0 dans Rn tels que Φ : U ′ → V ′ soit un Cp-diéomorphisme. Si on note π : (y1, · · · , yn) ∈ Rn 7→ (yn−k+1, . . . , yn) ∈ Rk,alors on a f = π Φ sur U ′. Comme U ′ ⊂ U , on en déduit que

M ∩ U ′ = M ∩ U ∩ U ′ = f−1(0) ∩ U ′ = x ∈ U ′/f(x) = 0= x ∈ U ′/π Φ(x) = 0 = x ∈ U ′/Φ(x) ∈ Rk × 0

= x ∈ U ′/Φ(x) ∈ V ′ ∩ (Rk × 0) = Φ−1(V ′ ∩ (Rk × 0)

).

D'où Φ(M ∩ U ′) = V ′ ∩(Rn × 0

).

2) ⇒ 3) Soit i : (y1, · · · , yk) ∈ Rk 7→ (y1, · · · , yk, 0, · · · , 0) ∈ Rn. L'en-semble Ω = i−1(V ) est un ouvert de Rk et i(Ω) = V ∩

(Rn × 0

). On pose

g = Φ−1 i : Ω→ U . g est de classe Cp car Φ est un Cp diéomorphisme. Deplus, d0g = d0Φ−1 d0i = (d0Φ−1) i est injective comme composée d'appli-cations injectives. Enn, g(Ω) = Φ−1(i(Ω)) = Φ−1

(V ∩ (Rn×0)

)= U ∩M

et l'inverse de g est π′ Φ|U∩M , où π′(y1, · · · , yn) = (y1, · · · , yk). Donc g−1

est continue comme composée d'applications continues.3) ⇒ 1) Soit Ω1 un voisinage borné de 0 dans Rk tel que Ω1 ⊂ Ω et

U1 ⊂ U un voisinage de x dans Rn tel que g(Ω1) = U1 ∩M (U1 existe carg est un homéomorphisme de Ω sur son image muni de la topologie induitepar celle de Rn).


Soit F un sous-espace tel que Rn = Im(d0g)⊕F . Comme d0g est injective,F est de dimension n − k. On choisit (u1, · · · , un−k) une base orthonorméede F et on considère l'application

Φ : (y1, · · · , yn, λ1, · · · , λn−k) ∈ Ω× Rn−k ⊂ Rn 7→ g(y) +∑i

λiui.

Alors d0Φ est un isomorphisme (car linéaire surjectif entre deux espacesde même dimension) et d'aprés le théorème d'inversion locale, il existe unvoisinage W de 0 dans Ω1 ×Rn−k (que l'on peut supposer de la forme W =Ω2×B(0, r1), où Ω2 est un voisinage ouvert de 0 dans Rk vériant Ω2 ⊂ Ω1 etoù B(0, r1) désigne la boule ouverte de centre 0 et rayon r1 > 0 dans Rn−k) etun voisinage U2 ⊂ U1 de x dans Rn tel que Φ : Ω2×B(0, r1)→ U2 soit un Cp-diéomorphisme. Soit Ω3 un voisinage de 0 dans Rk tel que Ω3 ⊂ Ω2. Alors Ω3

et Ω1\Ω2 sont des compacts disjoints de Rk. Comme g est continue et injectivesur U ∩M , K3 = g(Ω3) et K2 = g(Ω1 \ Ω2) sont des compacts disjoints deRn. On pose r = dRn(K3, K2) > 0, M = supy∈Ω3×B(0,

r12

) ‖dyΦ‖, U3 = Φ(Ω3×

B(0, r2))(où r2 = inf( r1

2, r

2M)) et f = (π Φ−1)|U3 : U3 → B(0, r2) ⊂ Rn−k,

où π(y1, · · · , yk, λ1, · · · , λn−k) = (λ1, · · · , λn−k). Alors, f est de classe Cp,dxf = π dxΦ−1 est surjective comme composée d'application surjective et

f−1(0) = x ∈ U3/π Φ−1(x) = 0 = x ∈ U3/Φ−1(x) ∈ Rk × 0

= U3 ∩ Φ(Rk × 0) = Φ(Ω3 ×B(0, r2)) ∩ Φ(Rk × 0) = Φ(Ω3 × 0)

Reste à montrer que f−1(0) = M ∩U3. Φ est injective sur Ω2×B(0, r1) donc

Φ(Ω3 × 0) = Φ(Ω3 ×B(0, r2)) ∩ Φ(Ω2 × 0) = U3 ∩ g(Ω2)

Par choix de r, l'inégalité des accroissements nis implique que tout pointde Φ(Ω3×B(0, r2)) est à distance de Φ(Ω3×0) = g(Ω3) majorée par r/2.Donc on a

∅ = Φ(Ω3 ×B(0, r2)) ∩ Φ((Ω1 \ Ω2)× 0) = U3 ∩ g(Ω1 \ Ω2).

On en déduit que

f−1(0) = Φ(Ω3 × 0) = [U3 ∩ g(Ω2)] ∪ [U3 ∩ g(Ω1 \ Ω2)]

= U3 ∩ [g(Ω2) ∪ g(Ω1 \ Ω2)] = U3 ∩ g(Ω1) = U3 ∩ U1 ∩M = U3 ∩M,

car U3 ⊂ U1. 2

II. Espace tangent et bré tangent

Dans cette section,Mk est une sous-variété de Rn de dimension k et classeCp, a est un point deM . On note CaM l'ensemble des courbes γ :]−ε, ε[→ Rn

de classe C1 et telles que γ(]− ε, ε[) ⊂M et γ(0) = a.

II. ESPACE TANGENT ET FIBRÉ TANGENT 9

Définition. Un vecteur v ∈ Rn est tangent à M en a ssi il existe unecourbe γ ∈ CaM telle que γ′(0) = v.

Remarque. TaM est le quotient de CaM par la relation d'équivalencedénie par γ1 ∼ γ2 ssi γ′1(0) = γ′2(0).

Théorème 1.2. L'ensemble des vecteurs tangents à M en a forme unsous-espace vectoriel de dimension k de Rn, noté TaM . De plus

i) s'il existe un voisinage ouvert U de a dans Rn et une application f :U → Rn−k de classe C1 telle que U∩M = f−1(0) et daf soit une submersion,alors TaM = Ker daf . Autrement dit, si f = (f1, · · · , fn−k) alors v ∈ TaM

ssi on a

∂f1

∂x1(a) · v1 + · · ·+ ∂f1

∂xn(a) · vn = 0

...∂fn−k∂x1

(a) · v1 + · · ·+ ∂fn−k∂xn

(a) · vn = 0

ii) si Φ : U → V est un redressement local de M en a (i.e. Φ est un diéoentre ouverts de Rn tel que Φ(a) = 0 et Φ(U ∩M) = V ∩ (Rk × 0)) alorsTaM = (daΦ)−1(Rk × 0),

iii) si g : Ω ⊂ Rk → Rn est C1 sur un ouvert Ω de Rk contenant 0 telleque g(Ω) ⊂ M , g(0) = a et dag soit injective, alors TaM = Im d0g. Enparticulier, si (ei) est la base canonique de Rk, alors ∂

∂xi(a) = d0g(ei) est une

base de TaM .

Preuve. Soit Φ : U → V un redressement local de M en a. Si v ∈TaM et γ :]−ε, ε[→M est une courbe C1 telle que γ(0) = a et γ′(0) = v alorsΦ γ est une courbe de Rk × 0 d'où daΦ(v) = daΦ(γ′(0)) = (Φ γ)′(0) ∈Rk × 0. Donc TaM ⊂ (daΦ)−1

(Rk × 0

).

Réciproquement, pour tout u ∈ Rk × 0, le chemin γ = Φ−1 c, oùc(t) = tu ∈ Rk × 0, est C1, à valeurs dans M et γ(0) = a. On en déduitque γ′(0) = d0(Φ−1)(c′(0)) = (daΦ)−1(u) ∈ TaM . D'où (daΦ)−1(Rk × 0) ⊂TaM .

On en déduit que TaM = (daΦ)−1(Rk ×0) est un sous espace vectorielde Rn de dimension k (car daΦ est un isomorphisme de Rn). Cela démontreaussi ii).

i) Pour toute courbe γ ∈ CaM , on a f γ(t) = 0 pour tout t et donc0 = (f γ)′(0) = daf

(γ′(0)

). On en déduit que TaM ⊂ Ker daf . Comme daf

est surjective, on a dim Ker daf = n−rg(daf) = n−(n−k) = k = dim TaMet donc TaM = Ker daf .

iii) Soit v ∈ Rk alors la courbe γ(t) = g(tv) est une courbe C1 sur] − ε, ε[ (pour ε assez petit) de M telle que γ(0) = a. On en déduit queγ′(0) = d0g(v) est un élément de TaM . Donc d0g(Rk) ⊂ TaM . Enn, commedim d0g(Rk) = k car d0g est injective, on a d0g(Rk) = TaM . 2


Corollaire 1.3. Puisque l'ensemble CaM ne dépend que de M et pasde la structure de sous variété de M (i.e. ne dépend pas du choix des équa-tions locales dénissant M), on en déduit que si M est une sous-variété dedimension k de Rn alors elle ne peut pas être une sous-variété de dimensionk′ de Rn avec k′ 6= k.

Définition. On appelle espace tangent ane en a à M le sous-espaceane a+ TaM de Rn.

Exemple. TxSn = x⊥, TxHn est l'orthogonal de x pour la forme quadra-tique q(x) = x2

1+· · ·+x2n−x2

n+1, TASO(n) = A×son où son = Antisymn(R),TASl(n) = A× sln où sln est l'ensemble des matrices de trace nulle.

Définition. Soit M une sous-variété de dimension k de Rn. On appellebré tangent de M l'ensemble

TM = ∪a∈Ma × TaM= (a, v) ∈ Rn × Rn/ a ∈M ⊂ Rn, v ∈ TaM ⊂ Rn.

Proposition 1.4. Si M est une sous-variété de classe Cp (p ≥ 2) etde dimension k de Rn, alors TM est une sous-variété de classe Cp−1 et dedimension 2k de R2n.

Preuve. Soit (a0, v0) ∈ TM . Il existe U un voisinage ouvert de a0

dans Rn et f : U → Rn−k une submersion en a0 de classe Cp sur U telle queM ∩ U = f−1(0). Alors U ×Rn est un voisinage de (a0, v0) dans Rn ×Rn eton a

TM ∩ (U × Rn) = (a, v) ∈ U × Rn/ a ∈ U ∩M, v ∈ TaM,= (a, v) ∈ U × Rn/ f(a) = 0, daf(v) = 0,= (a, v) ∈ U × Rn/F (a, v) = 0 = F−1(0),

où F : (a, v) ∈ U × Rn 7→(f(a), daf(v)

)∈ Rn−k × Rn−k est Cp−1. Comme

Jac(d(a0,v0)F ) =

(Jaca0f 0

? Jaca0f

)est de rang 2k (car Jaca0f est de rang k), F est une submersion en (a0, v0)telle que F−1(0) = TM∩(U×Rn). Notons pour nir que 2n−2(n−k) = 2k.2

III. Applications diérentiables

Mk est une sous-variété de dimension k et de classe Cp de Rn.

III. APPLICATIONS DIFFÉRENTIABLES 11

a. Cartes locales.

Définition. Une carte locale (centrée en a) de M est une applicationϕ : Ω → Rn de classe Cp telle que Ω est un ouvert de Rk, ϕ(Ω) ⊂ M , ϕ estinjective sur Ω et dyϕ est injective pour tout y ∈ Ω (a ∈ Ω et ϕ(0) = a).

Remarque. Si (Ω, ϕ) est une carte de M alors pour tout ouvert Ω′ ⊂ Ω(non vide), (Ω′, ϕ|Ω′) est aussi une carte de M .

Exemple. D'après la proposition 1.1 iii), tout point a de M admet unecarte locale centrée en a. Plus précisement, la preuve de cette propositionmontre que si Φ : U → V est un redressement local de M en a et si on noteπ : (x, y) ∈ Rk × Rn−k 7→ x ∈ Rk et i : x ∈ Rk 7→ (x, 0) ∈ Rk × Rn−k,alors Ω = π

(V ∩ (Rk × 0)

)= i−1(V ) est un ouvert de Rk et ϕ = Φ−1 i =

(π Φ)−1 : Ω→ U ⊂ Rk est une carte locale deM centrée en a. Dans la suiteon l'appellera la carte locale deM associée au redressement local Φ : U → Vde M au voisinage de a.

Proposition 1.5. Soit (Ω1, ϕ1) et (Ω2, ϕ2) deux cartes locales de M .Alors U1 = ϕ1(Ω1) et U2 = ϕ2(Ω2) sont des ouverts de M et h = ϕ−1

1 ϕ2

est un Cp-diéomorphisme de ϕ−12 (U1 ∩ U2) sur ϕ−1

1 (U1 ∩ U2) (entre ouvertsde Rk).

On va commencer par démontrer la propriété suivante.

Proposition 1.6. SoitM une sous-variété de Rn. Si (Ω, ϕ) est une cartelocale de M , alors U = ϕ(Ω) est un ouvert de M pour la topologie induite,et ϕ est un homéomorphisme de Ω sur U .

Preuve. Soit x ∈ U et Φ : U ′ → V un redressement locale de Men x. Par continuité de ϕ, Ω′ = ϕ−1(U ′) est un ouvert de Ω et donc de Rk

(puisque Ω est ouvert dans Rk). On en déduit que l'applicaion ϕ′ = π Φ ϕest une application Cp de l'ouvert Ω′ ⊂ Rk dans Rk.

Φ ϕ est injective comme composée d'applications injective. Comme ona Φ ϕ(Ω′) ⊂ Φ(U ′) ⊂ Rk × 0 et comme π est injective sur Rk × 0, ϕ′est injective sur Ω′′.

De même, pour tout y ∈ Ω′, dϕ(y)Φ dyϕ est injective et à valeur dansRk × 0 (voir la preuve du théorème 1.2). On en déduit que la diéren-tielle dyϕ′ = dΦ ϕ(y)π dϕ(y)Φ dyϕ = π dϕ(y)Φ dyϕ est injective (et doncbijective) de Rk sur Rk.

D'aprés le théorème d'inversion globale, on en déduit queW = ϕ′(Ω′) estun ouvert de Rk et que ϕ′ est un Cp diéomorphisme de Ω′ surW . L'ensemble


W ′ = (π Φ)−1(W ) est donc un ouvert de Rn (inclu dans U ′). Or

M ∩W ′ = M ∩ (π Φ)−1(ϕ′(Ω′)

)= M ∩ (π Φ)−1

(ϕ′(ϕ−1(U ′))

)= M ∩ (π Φ)−1

(π Φ ϕ(ϕ−1(U ′))

)= M ∩ (π Φ)−1

(π Φ(ϕ(Ω) ∩ U ′)

)= M ∩ (π Φ)−1

(π Φ(U ∩ U ′)

)= M ∩ U ∩ U ′ = U ∩ U ′

où la dernière inégalité découle du fait que π est une bijection sur son imageen restriction à Φ(U) ⊂ Rk × 0 et donc π Φ est une bijection de U ′ surson image. Comme x ∈ U ∩U ′ = M ∩W ′ ⊂ U et que W ′ ∩M est un ouvertde M pour la topologie induite (car W ′ est un ouvert de Rn), on en déduitque U est un voisinage de chacun de ses points x, et donc U est ouvert dansM .

Si Ω′′ ⊂ Ω est un ouvert de Ω, alors ϕ′′ = ϕ|Ω′′ est aussi une carte de Met donc (ϕ−1)−1(Ω′′) = ϕ(Ω′′) = ϕ′′(Ω′′) est un ouvert de M . On en déduitque ϕ−1 est continue de U sur Ω, et donc ϕ est un homéomorphisme de Ωsur U . 2

On prouve maintenant la proposition 1.5.Preuve. D'aprés la proposition précédente, U1 ∩ U2 est un ouvert

de M , et donc ϕ−1i (U1 ∩ U2) est un ouvert de Rk. Soit y ∈ ϕ−1

2 (U1 ∩ U2) etΦ : U ′ → V un redressement local deM au voisinage de x (on peut supposerque M ∩ U ′ ⊂ U1 ∩ U2). D'aprés la preuve de la proposition précédente, etpuisque ϕ1 et ϕ2 sont des cartes locales de M en x, ϕ′i = π Φ ϕi est un Cp

diéomorphisme de Ω′i = ϕ−1i (U ′) sur son image

ϕ′i(Ω′i) = π Φ ϕi(ϕ−1

i (U ′)) = π Φ ϕi(ϕ−1i (U ′ ∩M)) = π Φ(U ′ ∩M),

où la dernière égalité vient du fait queM ∩U ′ ⊂ Imϕi par hypothèse sur U ′.On en déduit que (ϕ′1)−1 ϕ′2 est de classe Cp de Ω′2 sur Ω′1. Or (ϕ′1)−1 ϕ′2 =ϕ−1

1 ϕ2 (en raisonnant comme dans la preuve de la proposition précédente),et donc h en restriction au voisinage Ω′2 de y dans ϕ

−1(U1 ∩U2) est de classeCp. On en déduit que h est de classe Cp en tout point y de ϕ−1

2 (U1 ∩U2). Demême, en échangeant les rôles de ϕ1 et ϕ2, h−1 = ϕ−1

2 ϕ1 est de classe Cp

sur ϕ−11 (U1 ∩ U2). 2

Remarque. La notion de carte et le fait qu'elles vérient la proposition1.5 seront fondamentaux pour dénir ce qu'est une application de classe Cp

entre sous-variété. En particulier, on va montrer (quand on saura ce que celaveut dire) que toute carte locale d'une variété de classe Cp est en fait un Cp

diéomorphisme de Ω sur son image U dans M .

Exercice. On appelle pôle nord (resp. pôle sud) de Sn le point N =


(0 · · · , 0, 1) (resp. S = (0 · · · , 0,−1)). On considère les applications

ϕN : Rn → Sn \ N(x1, · · · , xn) 7→

(2x1

1+|x|2 , · · · ,2xn

1+|x|2 ,|x|2−11+|x|2

)ϕS : Rn → Sn \ S

(x1, · · · , xn) 7→(

2x1

1+|x|2 , · · · ,2xn

1+|x|2 ,1−|x|21+|x|2

)où |x|2 =

∑i x

2i , appelées respectivement projections stéréographiques de

pôle nord et pôle sud. Montrer que ϕN(x) (resp. ϕS(x)) est l'unique pointd'intersection de Sn avec la demi-droite ]N, (x1, · · · , xn, 0)

)(resp. ]S, (x1, · · · , xn, 0)

))

de Rn+1. Montrer que ϕN et ϕS sont des cartes locales de Sn. Montrer qu'ona

ϕ−1N : Sn \ N → Rn

(y1, · · · , yn+1) 7→(

y1

1−yn+1, · · · , yn

1−yn+1

)ϕ−1S : Sn \ S → Rn

(y1, · · · , yn+1) 7→(

y1

1+yn+1, · · · , yn

1+yn+1

)ϕN ϕ−1

S = ϕS ϕ−1N : Sn \ N,S → Sn \ N,S

(y1, · · · , yn+1) 7→ (y1, · · · , yn,−yn+1)

ϕ−1N ϕS = ϕ−1

S ϕN : Rn \ 0 → Rn \ 0(x1, · · · , xn) 7→

(x1

|x|2 , · · · ,xn|x|2)

= x|x|2

Exercice. On considère l'application

ψ : Rn → Tn

(x1, · · · , xn) 7→ (eix1 , · · · , eixn)

Montrer que ψ est surjective et que pour tout point z = (z1, · · · , zn) ∈ Tn

et tout point x = (x1, · · · , xn) ∈ Rn tel que (z1, · · · , zn) = ψ(x1, · · · , xn),l'application

ϕx :]x1 − π, x1 + π[× · · ·×]xn − π, xn + π[ → Tn

(y1, · · · , yn) 7→ ψ(y1, · · · , yn)

est une carte de Tn au voisinage de z. Montrer que ϕx (ϕx′)−1 est la trans-lation de vecteur x− x′.


Exercice. Soit S = (0, · · · , 0,−1) ∈ Rn+1. Montrer que les trois appli-cations suivantes fournissent des cartes globales de Hn.

ϕ1 : Rn → Hn

(x1, · · · , xn) 7→ (x1, · · · , xn,√

1 + |x|2)

ϕ2 : B(0, 1) ⊂ Rn → Hn

(x1, · · · , xn) 7→ ( 2x1

1−|x|2 , · · · ,2xn

1−|x|2 ,1+|x|21−|x|2 )

ϕ3 : B(0, 1) ⊂ Rn → Hn

(x1, · · · , xn) 7→ ( x1√1−|x|2

, · · · , xn√1−|x|2

, 1√1−|x|2

)

Montrer que ϕ1(x) (resp. ϕ2(x), resp. ϕ3(x)) est le point d'intersection deHn avec la droite R(x1, · · · , xn, 0) (resp. avec la droite passant par S et(x1, · · · , xn, 0), resp. avec la droite passant par 0 et (x1, · · · , xn, 1)).

b. Applications Cp entre sous-variétés.

On sait dénir les applications de classe Cp dénies sur un ouvert d'unespace vectoriel à valeur dans un autre espace vectoriel (on parlera dans lasuite d'application de classe Cp au sens usuel). On cherche ici à dénir cequ'est une application de classe Cp entre sous-variétés.

Soit M1 et M2 deux sous-variétés de classe Cp1 et Cp2 .

Définition. Soit p ≤ min(p1, p2). Une application f : M1 → M2 estdite de classe Cp au voisinage de m ∈ M1 si elle est continue en m et s'ilexiste des cartes locales (Ω1, ϕ1) deM1 en m et (Ω2, ϕ2) deM2 en f(m) tellesque

ϕ−12 f ϕ1 : Ω1 → Ω2

soit Cp au voisinage de ϕ−11 (m) au sens usuel (pour les applications entre

ouverts d'espaces vectoriels).

Remarque. La continuité de f en m assure que ϕ−12 f ϕ1 est bien

dénie sur un voisinage de ϕ−11 (m).

Remarque. Si (Ω′1, ϕ′1) et (Ω′2, ϕ

′2) sont d'autres cartes en m et f(m)

alors on a

(ϕ′2)−1 f ϕ′1 = ((ϕ′2)−1 ϕ2)︸︷︷︸Cp2

(ϕ−12 f ϕ1)︸︷︷︸

Cp

(ϕ−11 ϕ′1)︸︷︷︸

Cp1


et donc, d'aprés la proposition 1.5, (ϕ′2)−1 f ϕ′1 est aussi Cp au sens usuelen (ϕ′1)−1(m). On en déduit que le fait d'être Cp en m ne dépend pas duchoix des cartes.

Remarque. Dans le cas particulier où l'une des deux variétés est unouvert Ω de Rk′ (qui est une sous-variété de dimension k′ de Rk′ dont unecarte en tout point est i : x ∈ Ω 7→ x ∈ Rk′), alors la dénition devient :

Une application f : Ω ⊂ Rk′ → M2 est Cp au voisinage de m ∈ Ω s'ilexiste une carte locale (Ω2, ϕ2) de M2 en f(m) telle que ϕ−1

2 f soit Cp auvoisinage de m au sens usuel.

Une application f : M1 → Rl est dite Ck au voisinage de m s'il existeune carte locale (Ω1, ϕ1) de M1 en m telle que f ϕ1 soit Cp au voisinage deϕ−1

1 (m) au sens usuel.En particulier, une application dénie sur un ouvert d'espace vectoriels

à valeurs dans un espace vectoriel est Cp au sens des applications entre sous-variétés ssi elle est Cp au sens usuel. La notion d'application Cp entre sous-variétés est donc une extension de la notion usuelle d'application Cp.

Définition. f : M1 → M2 est un Cp-diéomorphisme ssi f est unebijection et f, f−1 sont Cp en tout point de M1 et M2.

Proposition 1.7. Si f : M1 →M2 est Cp au voisinage de x et g : M2 →M3 est Cp au voisinage de f(x) alors g f est Cp au voisinage de x.

Preuve. Soit (Ω1, ϕ1), (Ω2, ϕ2) et (Ω3, ϕ3) des cartes de M1, M2 etM3 au voisinage de x, f(x) et g f(x), alors

ϕ−13 (g f) ϕ1 = (ϕ−1

3 g ϕ2)︸︷︷︸Cp au sens usuel

(ϕ−12 f ϕ1)︸︷︷︸

Cp au sens usuelest Cp au sens usuel. 2

Proposition 1.8. Montrer que si M est une sous-variété Cp alors toutcarte locale (Ω, ϕ) de M est un Cp-diéomorphisme de Ω sur son image.

Preuve. Exercice. 2

Lemme 1.9. Soit M une sous-variété Cp de Rn. Alors l'injection cano-nique

jM : M → Rn

x 7→ x

est Cp sur M .

Preuve. Soit x ∈M et (Ω, ϕ) une carte deM en x, alors jM ϕ = ϕest Cp au sens usuel de Ω dans Rn. 2


Corollaire 1.10. Soit M une sous-variété Cp de Rn. Si F : U → Nest Cp sur un ouvert U de Rn à valeurs dans une sous-variété N , alorsf = F|M∩U : M ∩ U → N est Cp.

Preuve. On a f = F jM1 et donc f est Cp comme composée d'ap-plications Cp. 2

La réciproque de ce corollaire est vraie, mais sa preuve, plus techniqueest admise

Théorème 1.11. Si M est une sous-variété Cp de Rn, alors pour touteapplication Cp f : M → N , il existe un ouvert de U de Rn contenant M etune application F : U → N de classe Cp telle que F|M = f .

La propriété suivante lève une ambiguité contenue dans la dénition d'ap-plication Cp entres sous-variétés.

Proposition 1.12. Soit Mi une sous-variété Cp de Rni (i=1,2), f :

M1 →M2 et f : M1 → Rn2 dénie par f(x) = f(x). Alors f est Cp ssi f estCp.

Autrement dit, les applications Cp à valeurs dans M2 sont les applicationsCp à valeurs dans Rn2 dont l'image est contenue dans M2.

Preuve. On a f = jM2 f , donc si f est Cp alors f est Cp.Réciproquement, si f est Cp, soit (Ω1, ϕ1) une carte de M1 en x et Φ :

U2 → V2 une redressement local de M2 en f(x). Alors la carte de M2 enf(x) associée à ce rederessement vérie ϕ−1

2 = π Φ|U2∩M2 et donc si f estCp, alors

ϕ−12 f ϕ1 = π Φ|U2∩M2 f ϕ1 = (π Φ) (f ϕ1)

est Cp comme composée d'applications Cp. Donc f est Cp. 2

IV. Diérentielle d'une application diérentiable

Définition. Soit f : M1 → M2 de classe Cp en m. On appelle dié-rentielle de f en m (notée dmf) l'application de TmM1 dans Tf(m)M2 déniepar dmf(v) = (f γ)′(0), où γ ∈ CmM1 vérie γ′(0) = v.

Cette dénition est bien posée, car si γ ∈ CmM1 alors f γ ∈ Cf(m)M2

et donc (f γ)′(0) ∈ Tf(m)M2. Il reste toutefois à montrer que (f γ)′(0)ne dépend que de v = γ′(0), et pas du choix de γ. Soit (Ω, ϕ) une cartede M1 associée à un redressement local Φ : U → V de M1 en m. Alorsf γ = jM2 f ϕ ϕ−1 γ = (jM2 f ϕ) (π Φ) γ, où les applicationsjM2 f ϕ et π Φ sont diérentiables au sens usuel. On a donc

dmf(v) = (f γ)′(0) = dπ Φ(m)(jM2 f ϕ) dm(π Φ)(γ′(0)

)= dπ Φ(m)(jM2 f ϕ) dm(π Φ)(v)

IV. DIFFÉRENTIELLE D'UNE APPLICATION DIFFÉRENTIABLE 17

On en déduit que (f γ)′(0) ne dépend que de v et que dmf est linéairecomme composée d'applications linéaires.

Proposition 1.13. Si f : M1 → M2 est une application de classe Cp,alors pour tout m ∈ M1, dmf est une application linéaire entre les espacesvectoriels TmM1 et Tf(m)M2.

Exemple. Id : M →M est un Cp-diéomorphisme (si M est Cp) et ona dmId = IdTmM .

Exercice. Soit Ω est un ouvert de Rn, M une sous-variété de Rn′ etf : Ω→ M de classe Cp en x. On sait que f est alors Cp au sens usuel de Ωdans Rn′ . Montrer que dmf est égale à la diérentielle usuelle de f en m.

Exercice. Soit M une sous-variété de Rn. Montrer que dmjM est l'in-jection de TmM dans Rn.

Proposition 1.14 (Loi de composition). Soit M1f−→ M2

g−→ M3 desapplications Cp entres variétés. Alors on a

dm(g f) = (df(m)g) (dmf)

Preuve. Si γ ∈ CmM1 vérie γ′(0) = v, alors c = f γ ∈ Cf(m)M2

et c′(0) = (f γ)′(0) = dmf(v). Donc

dm(g f)(v) = ((g f) γ)′(0) = (g c)′(0) = df(m)g(dmf(v)).

2

Exercice. Soit f : M1 → M2 la restriction à M1 d'une applicationf : U →M2 dénie sur un ouvert U de Rn, montrer que dmf = dmf|TmM1 .

Soit f : M1 → M2 et f : n ∈ M1 → f(n) ∈ Rn2 , alors dnf(v) = dnf(v)pour tout v ∈ TnM1.

Corollaire 1.15. Si f : M1 → M2 est un diéomorphisme alors pourtout m ∈M1, dmf : TmM1 → df(m)M2 est un isomorphisme linéaire et on adf(m1)(f

−1) = (dm1f)−1. En particulier, on a dimM1 = dimM2.

Preuve. On a

IdTm1M1 = dm1IdM1 = dm1(f−1 f) = df(m1)(f−1) dm1f.

De même, dm1f df(m1)(f−1) = IdTf(m1)M2 . 2


Théorème 1.16 (Réciproque).1) Si f : M1 → M2 est Cp et dmf : TmM1 → Tf(m)M2 est un isomor-

phisme alors il existe un voisinage U de m dans M1 tel que f(U) soit unouvert de M2 et f|U : U → f(U) soit un Cp diéomorphisme.

2) Si f : M1 →M2 est classe Cp, s'il existe un ouvert de U de M1 tel quef soit injective sur U et si dmf est un isomorphisme pour tout m ∈ U alorsV = f(U) est un ouvert de M2 et f est un Cp-diéomorphisme de U sur V .

Preuve. 1) Soit (Ω1, ϕ1) une carte de M1 en m et (Ω2, ϕ2) unecarte de M2 en f(m). Comme f est continue en m, on peut supposer queh = ϕ−1

2 f ϕ1 est dénie sur l'ouvert Ω1 ⊂ Rk1 à valeurs dans l'ouvert Ω2 ⊂Rk2 . h est de classe Cp comme composée d'applications Cp et on a dϕ−1

1 (m)h =

df(m)(ϕ−12 ) dmf dϕ−1

1 (m)ϕ1 et donc dϕ−1(m)h est un isomorphisme commecomposée d'isomorphismes (car les cartes ϕi sont des diéomorphismes).D'aprés le théorème d'inversion locale usuel, il existe un voisinage ouvert Ω′1de ϕ−1

1 (m) dans Ω1 tel que h|Ω′1 soit un Cp diéomorphisme sur son imageΩ′2 = h(Ω′1) qui est un ouvert de Rk2 . Alors U = ϕ1(Ω′1) et V = ϕ2(Ω′2)sont des ouverts de M1 et M2 contenant m et f(m) (car les cartes sont desdiéomorphismes) et f|U = ϕ2 h (ϕ−1

1 )|U est un Cp diéomorphisme de Usur V .

2) Soit y un point quelconque de V . Puisque f vérie les hypothèses de1) en x = f−1(y). On en déduit qu'il existe un voisinage ouvert U ′ de x(qu'on peut supposer inclus dans U) tel que V ′ = f(U ′) soit un ouvert deM2 et f soit un Cp diéomorphisme de U ′ sur V ′. Comme y ∈ V ′ ⊂ V , on endéduit que V est un voisinage de y et donc V est un ouvert de M2. Comme(f|U ′)

−1 = (f−1)|V ′ est Cp en y, on en déduit que f−1 est de classe Cp surtout V . 2

Calcul en carte locale : Soit f : Mk → N l une application de classe Cp

entre sous-variétés, (Ω1, ϕ1) une carte de M en m et (Ω2, ϕ2) une carte deN en f(m). On sait, d'aprés le théorème 1.2, que la famille B1 formée desvecteurs ∂

∂xi(m) = dϕ−1

1 (m)ϕ1(ei) (où (ei) est la base canonique de Rk) forme

une base de TmM et que la famille B2 formée des vecteurs ∂∂yi

(f(m)

)=

dϕ−12 f(m)ϕ2(Ei) (où (Ei) est la base canonique de Rl) forme une base de

Tf(m)N .Alors, la matrice de dmf par rapport aux bases B1 et B2 est égale à

Jacϕ−11 (m)f =

∂f1

∂x1

(ϕ−1(m)

)· · · ∂f1

∂xk

(ϕ−1(m)

)...

...∂fl∂x1

(ϕ−1(m)

)· · · ∂fl

∂xk

(ϕ−1(m)

)

où f = ϕ−12 f ϕ1 : x = (x1, · · · , xk) ∈ Ω1 7→

(f1(x), · · · , fl(x)

)∈ Ω2.

IV. DIFFÉRENTIELLE D'UNE APPLICATION DIFFÉRENTIABLE 19

En eet, on a

dmf( ∂∂xi

(m))

=(dmf dϕ−1

1 (m)ϕ1

)(ei) = dϕ−1

1 (m)(f ϕ1)(ei)

= dϕ−11 (m)(ϕ2 f)(ei) = dϕ−1

2 f(m)ϕ2

(dϕ−1

1 (m)f(ei))

= dϕ−12 f(m)ϕ2

(∑j

(Jacϕ−1

1 (m)f)ijEj

)=∑j

(Jacϕ−1

1 (m)f)ijdϕ−1

2 f(m)ϕ2(Ej)

=∑j

(Jacϕ−1

1 (m)f)ij

∂

∂yj

(f(m)

).

La plupart des théorèmes valables pour les applications diérentiables ausens usuel se généralise aux applications diérentiables sur les sous-variétés.Par exemple, on a

Théorème 1.17. Soit M une variété et f : M → R une fonction C1. Sim est un extremum local de f sur M alors dmf = 0.

Preuve. Si U est un voisinage de m dansM tel que m soit un extre-mum de f|U alors pour tout γ ∈ CmM , f γ est C1 et admet un extremumlocal en 0, donc 0 = (f γ)′(0) = dmf

(γ′(0)

). Comme TmM = γ′(0)/γ ∈

CmM, on en déduit que dmf = 0. 2

Le théorème précèdent est une généralisation (avec une forme plus simple)d'un résultat classique sur les extrema de fonctions sous contrainte d'égalité :

Théorème 1.18 (Extrema liés). Soit f, g1, · · · , gp des fonctions de classeC1 sur un ouvert U de Rn et a ∈ U . On suppose que les diérentiellesdag1, · · · , dagp sont indépendantes. Soit V = x ∈ U/g1(x) = · · · = gp(x) =0. Si la restriction de f à V admet un extremum local en a, alors il existe(λ1, · · · , λp) ∈ Rp (multiplicateurs de Lagrange) tels que daf = λ1dag1 +· · ·+ λpdagp.

Preuve. Si les diérentielles dag1, · · · , dagp sont indépendantes, alorsG : x ∈ U →

(g1(x), · · · , gp(x)

)∈ Rp est une submersion en a. Donc il

existe un voisinage ouvert U ′ de a dans U tel que G soit une submersionsur U ′, et donc tel que M = U ′ ∩ V soit une sous-variété de Rn. D'aprésle théorème précèdent, si a est un extremum local de f|M alors (daf)|TaM =0. Or, d'aprés le théorème 1.2, on a TaM = Ker daG = ∩pi=1Ker dagi =∩pi=1dag

⊥i = (Vectdagi, 1 ≤ i ≤ p)⊥. On a donc

(daf)⊥ ⊃ TaM = (Vectdagi, 1 ≤ i ≤ p)⊥

et donc daf ∈ R · daf = (daf)⊥⊥ ⊂ Vectdagi, 1 ≤ i ≤ p. 2


Exercice. Montrer que pour tout p > 1, l'ensemble Sp = x ∈Rn/

∑ni=1 |xi|p = 1 est une sous-variété de Rn. Soit y ∈ Rn xé. Montrer

que les extremas de la fonction fy(x) =∑n

i=1 xiyi sur Sp sont les points

x =±1

‖y‖1p−1pp−1

(y1|y1|2−pp−1 , · · · , yn|yn|

2−pp−1 ).

En déduire que pour tout y, x ∈ Rn, on a

|∑i

xiyi| ≤ (∑i

|xi|p)1p × (

∑i

|yi|q)1q ,

où 1p

+ 1q

= 1.

V. Champs de vecteurs, Crochet de Lie, Flots

a. Champs de vecteurs.Définition. On appelle champ de vecteur de classe Cp sur M toute

application X : M → TM de classe Cp telle que X(m) ∈ TmM pour toutm ∈M . On note Γp(M) l'ensemble des champs de vecteurs Cp sur M .

Remarque. SiM est une sous-variété de Rn, alors un champ de vecteurX surM s'identie naturellement avec une application v : M → Rn de classeCp telle que X(m) =

(m, v(m)

)et v(m) ∈ TmM pour tout m ∈M .

Exemple. On note (e1, · · · , en) la base canonique de Rn. Alors X ∈Γp(Rn) ssiX : Rn → Rn est Cp ssiX(m) =

∑ni=1Xi(m)ei oùXi ∈ Cp(Rn,R).

Proposition 1.19. Γp(M) est un Cp(M,R)-module. I.e. si on dénit lasomme de deux champs comme étant le champ (X+Y )(m) = X(m) +Y (m)et la multiplication d'un champ par une fonction f : M → R comme étant lechamp (f ·X)(m) = f(m)X(m), alors pour tout (X, Y ) ∈ Γp(M), pour tout(f, g) ∈ Cp(M,R) on a

f · (X + Y ) = f ·X + f · Y, (f + g) ·X = f ·X + g ·X,(fg) ·X = f · (g ·X)

Exercice. Montrer que l'application

v : S2 → R3

(x, y, z) 7→(y(1− 2x2), x(1− 2y2),−2xyz

)dénit un champ de classe C∞ sur S2.

V. CHAMPS DE VECTEURS, CROCHET DE LIE, FLOTS 21

b. Trivialisations locales.Soit M une variété de dimension k et de classe Cp+1 de Rn, et (Ω, ϕ) unecarte de M . On note U = ϕ(Ω) et pour tout m ∈ U , on pose

∂

∂xi(m) = dϕ−1(m)ϕ(ei) =

∂ϕ

∂xi

(ϕ−1(m)

),

où (e1, · · · , ek) est la base canonique de Rk. Alors, pour tout m ∈ U ,(∂∂x1

(m), · · · , ∂∂x1

(m))forme une base de TmM et

m ∈ U 7→ ∂

∂xi(m) ∈ Rn

est de classe Cp (i.e. ∂∂xi∈ Γp(U)).

La famille de champ de vecteurs ( ∂∂x1, · · · , ∂

∂xk) est appelée trivialisation

locale de TM au-dessus de U associée à la carte (Ω, ϕ).

Exemple. La projection stéréographique de pôle nord (Rn, ϕN) est unecarte locale de Sn et si m ∈ ϕN(Rn) = Sn \ N, x ∈ Rn tel que m = ϕN(x),alors on a

∂

∂xi(m) =

∂ϕN∂xi

(x) =2

1 + |x|2(−xim+ Ei + xiEn+1

)=((1−mn+1)Ei +mi(En+1 −m)

),

où (Ei) est la base canonique de Rn+1.

Remarque. Si f : M → R est une fonction C1 en m. Si (Ω, ϕ) est unecarte deM au voisinage de m et si f : Ω→ R est dénie par f = f ϕ, alors

dmf( ∂∂xi

(m))

=∂f

∂xi

(ϕ−1(m)

)︸︷︷︸

dérivée partielle usuelle par rapport à la i-ème variable

On note (x1, · · · , xk) les fonctions composantes de ϕ−1 : U → Rk. Ladiérentielle dmxi : TmM → R de xi en m vérie alors

dmxi( ∂

∂xj(m)

)= δij

puisque xi ϕ(y1, · · · , yk) = xi(y1, · · · , yk) = yi.

Proposition 1.20. X ∈ Γp(M) ssi pour toute carte (Ω, ϕ) de M , il

existe (X1, · · · , Xk) ∈ Cp(U,R) tel que X =∑k

i=1Xi∂∂xi

sur U = ϕ(Ω).


Preuve. Si X ∈ Γp(M), on pose Xi(m) = dmxi(X(m)

)et on a

dmϕ−1(X−

k∑i=1

Xi∂

∂xi

)=(dmx1(X−

k∑i=1

Xi∂

∂xi), · · · , dmxk(X−

k∑i=1

Xi∂

∂xi))

=(X1 −

∑i

Xidmx1(∂

∂xi), · · · , Xk −

∑i

Xidmxk(∂

∂xi))

=(X1 −

∑i

Xiδ1i, · · · , Xk −∑i

Xiδki

)= 0.

Comme dmϕ−1 est un isomorphisme linéaire, on a X −∑k

i=1Xi∂∂xi

= 0.La réciproque est évidente. 2

D'aprés la proposition précèdente, à tout champ de vecteur sur Mk età toute carte on peut associer un k-uplet de fonctions composantes. Si onchange de carte alors les composantes changent :

Remarque. Soit (Ω1, ϕ1) et (Ω2, ϕ2) sont deux cartes de M , U1 =ϕ1(Ω1), U2 = ϕ2(Ω2) et m ∈ U1 ∩ U2. On note (x1, · · · , xk) = ϕ−1

1 et(y1, · · · , yk) = ϕ−1

2 , alors on a

∂

∂yj(m) = dϕ−1

2 (m)ϕ2(ej) = dϕ−11 (m)ϕ1

(dϕ−1

2 (m)(ϕ−11 ϕ2)(ej)

)= dϕ−1

1 (m)ϕ1

(∑i

∂xi∂yj

(m)ei)

=∑i

∂xi∂yj

(m)∂

∂xi(m),

où on a noté(∂xj∂yi

(m))ijla matrice jacobienne de l'application ϕ−1

1 ϕ2 :

ϕ−12 (U1 ∩ U2) → ϕ−1

1 (U1 ∩ U2) en ϕ−12 (m) (remarquez que par dénition de

(xi) et (yj), ϕ−11 ϕ2(y1, · · · , yn) = (x1, · · · , xn) ce qui explique la notation,

même si cela encourage la confusion entre les applications (xi), (yi) et lesvariables (xi), (yi) de Rk).

Si X ∈ Γ(M) et X(m) =∑

iX(1)i (m) ∂

∂xi(m) =

∑iX

(2)i (m) ∂

∂yi(m) sont

les décompositions de X dans les trivialisations locales de TM associées à(Ω1, ϕ1) et (Ω2, ϕ2) alors la formule précédente implique

X(1)i (m) =

k∑j=1

∂xi∂yj

(m)×X(2)j (m).

Proposition 1.21 (Réciproque). Soit (Ωi, ϕi)i∈I un atlas de M (i.e. unefamille de cartes de M telle que la famille Ui = ϕi(Ωi) recouvre M).

Si(X

(i)1 , · · · , X(i)

k

)i∈I est une famille de fonctions vériant les deux condi-

tions suivantes :


1) pour tout i ∈ I,(X

(i)1 , · · · , X(i)

k

)est un k-uplet de fonctions Cp sur Ui,

2) pour tout couple (i, j) ∈ I2, on a les relations

X ir(m) =

k∑l=1

∂x(i)r

∂x(j)l

(m)×X(j)l (m)

sur Ui ∩ Uj, où(∂x

(i)r

∂x(j)l

)rlest la matrice jacobienne de ϕ−1

i ϕj en ϕ−1j (m),

alors il existe un unique champ X ∈ Γp(M) tel que pour tout i ∈ I, on ait

X|Ui(m) =n∑r=1

X(i)r ·

∂

∂x(i)r

.

(où ∂

∂x(i)r

est la trivialisation locale de TM associée à la carte (Ωi, ϕi).

Exemple. Sur S2 on a un altas donné par les deux cartes (R2, ϕN) et(R2, ϕS). Montrer qu'on dénit un champ X de classe C∞ sur S2 on posant

X(x, y, z) =y

(1− z)2(1− z − 2x2)

∂

∂x1

+x

(1− z)2(1− z − 2y2)

∂

∂x2

pour tout m = (x, y, z) ∈ UN = S2 \ N (où ( ∂∂x1, ∂∂x2

) est la trivialisationassociée à ϕN) et

X(x, y, z) =y

(1 + z)2(1 + z − 2x2)

∂

∂y1

+x

(1 + z)2(1 + z − 2y2)

∂

∂y2

pour tout m = (x, y, z) ∈ US = S2 \ S (où ( ∂∂y1, ∂∂y2

) est la trivialisation

associée à ϕS). En eet, on a ϕ−1S ϕN(x1, x2) = ( x1

x21+x2

2, x2

x21+x2

2) et donc

Jac(x1,x2)ϕ−1S ϕN =

(x2

2−x21

(x21+x2

2)2−2x1x2

(x21+x2

2)2

−2x1x2

(x21+x2

2)2

x21−x2

2

(x21+x2

2)2

)En (x1, x2) = ϕ−1

N (x, y, z) = ( x1−z ,

y1−z ), cela donne(

∂y1

∂x1

∂y1

∂x2∂y2

∂x1

∂y2

∂x2

)=

(y2−x2

(1+z)2−2xy

(1+z)2

−2xy(1+z)2

x2−y2

(1+z)2

)dont on déduit le résultat (rappel x2 + y2 + z2 = 1).

Exercice. Montrer que ce champ X est X(x, y, z) =(y(1− 2x2), x(1−

2y2),−2xyz).

Définition. On dit que TM est trivial s'il existe une famille E1, . . . , Ek ∈


Γp(M) telle que pour tout m ∈ M ,(E1(m), · · · , Ek(m)

)forme une base de

TmM . Dans ce cas, l'application

Φ : M × Rk → TM

(m, v) 7→(m,∑k

i=1 vi · Ei(m))

est un diéomorphisme tel que pour tout m ∈ M , Φm : v 7→ Φ(m, v) est unisomorphisme linéaire de Rk sur TmM . De plus, X ∈ Γp(M) ssi il existe kfonctions (Xi) ∈ Cp(M,R) telles que X =

∑ki=1Xi · Ei.

Preuve. Φ est évidemment bijective puisque la famille(Ei(m)

)est

une base de TmM . De plus, Φ, vu comme une application à valeurs dansR2n est de classe Cp par rapport à m et C∞ par rapport à v. On en déduitque Φ est de classe Cp de M × Rk dans TM . Comme T(x0,v0)(M × Rk) =

Tx0M ⊕ Tv0Rk = Tx0M ⊕ Rk, la famille(E1(x0), · · · , Ek(x0), e1, · · · , ek

)(où

(e1, · · · , ek) est la base canonique de Rk) forme une base de T(x0,v0)(M×Rk).De plus, on a d(x0,v0)Φ(Ei) =

(Ei(x0), ?

)∈ Rn⊕Rn (commeM ⊂ Rn, Ei(x0)

est un vecteur de Rn) et d(x0,v0)Φ(ei) =(0, Ei(x0)

)∈ Rn⊕Rn. On en déduit

que d(x0,v0)Φ est injective. Comme T(x0,v0)(M×Rk) et TΦ(x0,V0)(TM) sont tousles deux de dimension 2k, on en déduit que d(x0,v0)Φ est un isomorphismepour tout (x0, v0) ∈ M × Rk. D'aprés le théorème d'inversion global, on endéduit que Φ est un Cp diéomorphisme. 2

Remarque. T (Tn) et TSO(n) sont triviaux. TSk est trivial si k = 1, 3ou 7. Enn, un résultat classique en géométrie diérentielle arme que toutchamp de vecteur sur une sphère de dimension paire s'annule en au moinsun point. TS2n ne peut donc être trivial.

c. Flot d'un champ de vecteurs.Soit M une sous-variété C∞ de Rn, U un ouvert de M et X ∈ Γp(U). Pourtout x ∈ U , on appelle courbe intégrale du champ X issue de x toute solution(I, γ) du problème diérentiel suivant

(∗)x

γ(t) ∈ U, ∀t ∈ I,γ′(t) = X

(γ(t)

),

γ(0) = x,

où I est un intervalle de R contenant 0.

c.1. Théorème d'existence locale.Dans le casM = Rn, l'existence de solutions locales est assurée par le résultatclassique suivant.

Théorème 1.22 (Cauchy-Lipschitz). Si M = Rn, pour tout x0 ∈ U , ilexiste ε > 0, un voisinage V de x0 dans U et une application H : V×]−ε, ε[→


U de classe Cp tels que pour tout x ∈ V , γx(t) = H(x, t) est une solution de(∗)x dénie sur ]− ε, ε[.

De plus, si (c, I) est une autre solution de (∗)x avec I ⊂] − ε, ε[, alorsc = (γx)|I .

Ce résultat se généralise à toute sous-variété M .

Corollaire 1.23. Le même résultat est valable dans toute sous-variétéM .

Preuve. Soit x0 ∈ U et (Ω, ϕ) une carte locale de M en x0 telleque ϕ(Ω) ⊂ U . On dénit un champ de vecteur Cp sur Ω ⊂ Rk en posantY (y) =

(ϕ∗X

)(y) = dϕ(y)ϕ

−1(X(ϕ(y)

)pour tout y ∈ Ω. D'aprés le théorème

précédent, appliqué au champ Y = ϕ∗X, il existe ε > 0, Ω′ ⊂ Ω un voisinagede ϕ−1(x0) et H : Ω′×]− ε, ε[→ Ω tels que pour tout (y, t) ∈ Ω′×]− ε, ε[, ona

∂H

∂t(y, t)︸︷︷︸

=γ′y(t)

= (ϕ∗X)(H(y, t)︸︷︷︸

=γy(t)

).

Alors V = ϕ(Ω′) est un voisinage de x0 et l'application

H : V×]− ε, ε[ → U

(x, t) 7→ ϕ H(ϕ−1(x), t

)est bien dénie. Le chemin γx(t) = H(x, t) vérie (où on a posé y = ϕ−1(x))

γx(0) = H(x, 0) = ϕ H(ϕ−1(x), 0

)= ϕ γϕ−1(x)(0) = ϕ ϕ−1(x) = x,

γ′x(t) = dH(ϕ−1(x),t)ϕ(∂H∂t

(ϕ−1(x), t))

= dH(y,t)ϕ(Y (H(y, t)

)= dH(y,t)ϕ dϕ(H(y,t))ϕ

−1(X(ϕ H(y, t)

)= X

(ϕ H(y, t)

)= X

(H(x, t)

),

D'où γ′x(t) = X γx(t). 2

c.2. Solutions maximales.Le résultat d'existence et unicité locale des solutions du problème (∗)x, donnépar le corollaire 1.23, peut-être ané grâce à la notion de solution maximale.Pour cela nous allons démontrer une série de lemmes.

Lemme 1.24. Soit (I1, γ1) et (I2, γ2) deux solutions du problème (∗)x.Alors, pour tout t ∈ I1 ∩ I2, on a γ1(t) = γ2(t).

Preuve. I1∩ I2 est un intervalle non vide de R (contient 0). On noteX = t ∈ I1 ∩ I2/γ1(t) = γ2(t). Alors 0 ∈ X et X est fermé dans I1 ∩ I2 (sitn ∈ X tend vers t ∈ I1∩I2 alors par continuité de γ1 et γ2 en t, on a t ∈ X).Enn, si t0 ∈ X alors il existe, d'aprés le corollaire 1.23 un voisinage V dex0 = γ1(t0) = γ2(t0) dans U , ε > 0 et H : V×] − ε, ε[→ M tels que toute


solution de (∗)x0 dénie sur ]− ε, ε[ soit la restriction de γ(t) = H(x0, t). Or,si on pose c1(t) = γ1(t − t0) et c2(t) = γ2(t − t0) on obtient deux cheminssolutions de (∗)x0 . On en déduit que γ1(t) = γ(t + t0) = γ2(t) pour toutt ∈]t0 − ε, t0 + ε[∩I1 ∩ I2 et donc X est ouvert dans I1 ∩ I2.

Comme I1 ∩ I2 est un intervalle (donc connexe) et que X est une partiefermée, ouverte et non vide de I1 ∩ I2, on en déduit que X = I1 ∩ I2. 2

Proposition 1.25. Pour tout x ∈ U , il existe une unique solution(Ix, γx) de (∗)x telle que pour toute autre solution (J, c) de (∗)x on ait J ⊂ Ixet c(t) = γx(t) pour tout t ∈ J .

Cette solution est appelée solution maximale de (∗)x car elle ne peut pasêtre prolongée. De plus, Ix est alors un intervalle ouvert de R. On noteIx =]t−x , t

+x [.

Preuve. Si (I1, γ1) et (I2, γ2) sont deux solutions maximales de (∗)x,alors I2 ⊂ I1 et γ2 = (γ1)|I2 , et I2 ⊂ I1 et γ1 = (γ2)|I1 . On en déduit queI1 = I2 et γ1 = γ2. D'où l'unicité de la solution maximale.

On note Ix la réunion des intervalles I de R sur lesquels il existe unesolution (I, γ) de (∗)x. Ix est un intervalle de R qui contient 0 (car tous lesintervalles de la réunion contiennent 0). On dénit un chemin γx : Ix → Men posant γx(t) = γ(t), où (I, γ) est n'importe quelle solution de (∗)x telleque t ∈ I. D'aprés le lemme précédent, γx est bien déni (γx(t) ne dépendpas du choix de la solution (I, γ) telle que t ∈ I) et vérie γx(0) = γ(0) = x.

Enn, si t0 ∈ Ix, alors il existe une solution (I, γ) de (∗)x telle que t0 ∈ I.Or, il existe un voisinage V de γ(t0) dans U , ε > 0 et une application H :]−ε, ε[×V → U de classe Cp tels que tout solution de (∗)γ(t0) dénie sur ]−ε, ε[soit de la forme t 7→ H

(γ(t0), t

). On dénit un chemin c : I∩]t0−ε, t0+ε[→M

en posant

c(t) = γ(t) si t ≤ t0 et c(t) = H(γ(t0), t− t0

)Comme I∩]t0 − ε, t0 + ε[ est un intervalle, que c y est C1 (notez que sesdérivées à droite et à gauche en t0 sont toutes les deux égales à X

(γ(t0)

))

et solution de (∗)x, on en déduit que ]t0 − ε, t0 + ε[⊂ Ix (et donc Ix est unintervalle ouvert) et que γx = c au voisinage de t0, et donc γx est C1 en t0 etvérie partout γ′x(t) = X γx(t) sur I. 2

La notion de solution maximale permet une amélioration du corollaire1.23.

Proposition 1.26. Sous les même hypothèses que le corollaire 1.23, l'en-semble Ω = ∪x∈U

(x × Ix

)= ∪x∈U

(x×]t−x , t

+x [)est un ouvert de U × R

et l'application H : Ω → U dénie par H(x, t) = γx(t) est de classe Cp (oùγx : Ix → U est l'unique solution maximale de (∗)x).


Preuve. La preuve est une version épaissie (ou à paramètre) de laproposition 1.25.

Soit x ∈ U et Jx l'ensemble des réels t ∈]0, t+x [ tels qu'il existe un voisinageVt de x dans U pour lequel on a t+y ≥ t pour tout y ∈ Vt (i.e. Vt× [0, t] ⊂ Ω)et tel que H(y, s) = γy(s) soit de classe Cp sur Vt × [0, t].

D'aprés le lemme 1.23, Jx est non vide (contient ]0, ε[) et H(y, s) = γy(s)est dénie et de classe Cp sur un voisinage V×]− ε, ε[ de (x, 0) dans U × Rqui est contenu dans Ω.

La fonctionH(y, s) = γy(s) est alors dénie et de classe Cp sur le voisinageΩ+x = ∪t∈JxVt × [0, t] de x × Int Jx dans U × R qui est contenu dans Ω.

Soit tx = sup Jx. On a alors ]0, tx[⊂ Jx ⊂ Ix et il reste juste à montrer quetx = t+x .

Si tx < t+x , alors γx(tx) existe et le lemme 1.23 implique l'existence d'unvoisinage V ′ de γx(tx) dans U , de ε′ > 0 et d'une application H ′ : V ′×] −ε′, ε′[→ U de classe Cp telle que s 7→ H ′(z, s) est une solution de (∗)z sur] − ε′, ε′[ pour tout z ∈ V ′. Comme γx est C0, il existe ε′/2 > ε′′ > 0 telque γx(t) ∈ V ′ pour tout t ∈]tx − ε′′, tx]. Soit t < t′ deux éléments de]tx − ε′′, tx[∩Jx. Alors H est dénie et de classe Cp sur Vt′ × [0, t′]. CommeH(x, t) ∈ V ′, il existe un voisinage V ′t de x dans Vt tel que H(y, t) ∈ V ′ pourtout y ∈ V ′t . Soit y ∈ V ′t et c : [0, t+ ε′[→M dénie par

c(s) = H(y, s) si s ≤ t et c(s) = H ′(γy(t), s− t

)si s ≥ t

Alors c est continue sur [0, t+ ε′[ et comme les dérivées à droite et à gaucheen t sont égales à X c(t) = X γy(t), c est C1 et est solution de (∗)y sur[0, t+ ε′[. On a donc pour tout y ∈ V ′t et tout s ∈ [t, t+ ε′[

H(y, s) = c(s) = H ′(H(y, t), s− t

)On en déduit que H est dénie et de classe Cp sur V ′t × [t, t + ε[ et quet+y ≥ t + ε pour tout y ∈ V ′t . Comme H est de classe Cp sur Vt′ × [0, t′], onen déduit que H est dénie et de classe Cp sur (V ′t ∩ Vt′) × [0, t + ε[ et quet+y ≥ t + ε pour tout y ∈ V ′t ∩ Vt′ . En particulier, comme x ∈ V ′t ∩ Vt′ , on atx ≥ t+ ε′ ≥ tx − ε′′ + ε′ > tx + ε′/2. D'où la contradiction.

Ω+x est donc un voisnage de x×]0, t+x [ dans U × R contenu dans Ω sur

lequel H est Cp. On montre de même que Ω est un voisinage de x×]−t−x , 0[dans U × R. Comme V×] − ε, ε[ est un voisinage de (x, 0) dans U contenudans Ω sur lequel H est Cp, on obtient que Ω est un voisinage de x × Ixdans U ×R pour tout x, et donc que Ω est ouvert dans U ×R et que H estde classe Cp sur Ω. 2

Exemple. Sur M = R, on note ∂∂x

le champ associé à la carte (R, IdR)

(i.e. ∂∂x

(y) = 1). Alors les courbes intégrales du champ X(x) = x2 ∂∂x

sont lesfonctions γ : I → R telles que γ′(x) = X γ(x) = γ2(x) · 1. On en déduit


que la solution maximale de (∗)0 est γ0(t) = 0 (qui est dénie sur R). Enrevanche, si x0 6= 0, alors on a

t =

∫ t

0

γ′x0(x)

γ2(x)dx =

1

x0

− 1

γx0(t).

Donc si x0 < 0, la solution maximale de (∗)x0 est dénie sur ] 1x0,+∞[ par

γx0(t) = x0

1−tx0et si x0 > 0, la solution maximale de (∗)x0 est dénie sur

] − ∞, 1x0

[ par γx0(t) = x0

1−tx0. Dans ce cas, Ω est l'ouvert du plan compris

entre les deux branches de l'hyperbole t = 1xet H(x, t) = x

1−tx sur Ω.

c.3. Flot de X.Soit U ⊂M un ouvert et X ∈ Γp(U) un champ. On note Ω l'ouvert de U×Ret H : Ω→ U donnés par le lemme 1.26.

Définition. Pour tout t ∈ R, on pose Ut = x ∈ U/(x, t) ∈ Ω, qui estl'ensemble des points x de U pour lequel la solution maximale γx de (∗)x estdénie à l'insant t. C'est un ouvert de U sur lequel on dénit une applicationΦt de classe Cp en posant

Φt : Ut → Ux 7→ H(x, t) = γx(t)

La famille (Φt)t∈R est appelée le ot du champ X.Par dénition, Φt est l'application qui a un point x de U associe la position

γx(t) à l'instant t d'un mobile partant de x et se déplaçant dans U en ayantà chaque instant t une vitesse γ′x(t) donnée par la valeur du champ X enγx(t) (bien sûr on doit se restreint à Ut pour que la trajectoire γx du mobilesoit dénie à l'instant t).

Le ot (Φt) vérie les propriétés suivantes.

Proposition 1.27.i) Si x ∈ Ut et Φt(x) ∈ Us, alors x ∈ Ut+s et on a Φt+s(x) = Φt Φs(x) =

Φs Φt(x),ii) Φt est un Cp-diéomorphisme de Ut sur U−t d'inverse Θ−t.

Preuve. i) On suppose s, t > 0. Par hypothèse, la solution maximaleγx de (∗)x est dénie au moins sur [0, t] et la solution maximale γΦt(x) de(∗)Φt(x) est dénie au moins sur [0, s]. On pose c(u) = γx(u) si 0 ≤ u ≤ t etc(u) = γΦt(x)(u− t) si t ≤ u ≤ t + s. Comme Φt(x) = γx(t) par dénition, cest un chemin C1 par morceaux sur [0, t + s]. De plus, les dérivées à droiteet à gauche en t de c sont égales à X γx(t) et donc c est en fait C1 sur[0, s+ t] et y vérie (∗)x. D'aprés la proposition 1.26, on a [0, t+ s] ⊂ Ix (i.e.x ∈ Ut+s) et c = (γx)|[0,t+s]. En particulier, Φt+s(x) = γx(t + s) = c(t + s) =γΦt(x)(s) = Φs Φt(x).


Puisque s ≤ s + t, on a x ∈ Us et puisque u 7→ γx(u + s) fournit unesolution de (∗)Φs(x) dénie sur [0, t] on en déduit que Φs(x) ∈ Ut et doncΦt+s(x) = Φs+t(x) = Φt Φs(x) d'aprés ce qui précède.

Les cas où t et s ont un signe quelconque se démontrent par le mêmegenre d'arguments.

ii) Si x ∈ Ut alors γx est dénie au moins sur [0, t]. La courbe c(s) =γx(s + t) est alors dénie sur [−t, 0] et vérie (∗)Φt(x). On en déduit queΦt(x) ∈ U−t et d'aprés le i), on a Φ−t Φt = IdUt . En particulier Φt estinjective sur Ut. De même, si x ∈ U−t alors Φ−t(x) ∈ U−t et Φt Φ−t = IdU−t .En pariculier, Φt est surjective sur U−t.

On en déduit que Φt : Ut → U−t est une bijection d'inverse Φ−t. CommeΦt est Cp pour tout t par construction, on en déduit que Φt est un Cp diéo-morphisme. 2

Exemple. Dans l'exemple du champ X = x2 ∂∂x

sur R, on a Ut =]−∞, 1t[

si t > 0, U0 = U = R et Ut =]1t,+∞[ si t < 0. Enn, Φt(x) = x

1−xt .

Définition. Soit ϕ : U1 ⊂ M1 → U2 ⊂ M2 un diéomorphisme entreouverts de sous-variétés et X ∈ Γ(U1). On dénit un champ ϕ∗X sur U2 parla formule

(ϕ∗X)(y) = dϕ−1(y)ϕ(X ϕ−1(y)

).

Proposition 1.28. Soit ϕ : U1 → U2 un diéomorphisme. Si X ∈ Γ(U)a pour ot Φt, alors (ϕ∗X) ∈ Γ(U2) a pour ot ϕ Φt ϕ−1.

Preuve. Pour tout y ∈ U2, on a ϕ Φ0 ϕ−1(y) = y et, si on posex = ϕ−1(y), la courbe cy(t) = ϕ Φt ϕ−1(y) = ϕ

(γx(t)

)vérie

c′y(t) = dγx(t)ϕ(γ′x(t)

)= dγx(t)ϕ X

(γx(t)

)= dΦt ϕ−1(y)ϕ X

(Φt ϕ−1(y)

)= (ϕ∗X)

(ϕ Φt ϕ−1(y)

)= (ϕ∗X)(cy(t)).

Par dénition, le ot Θt de ϕ∗X est donc Θt(y) = cy(t) = ϕ Φt ϕ−1(y),d'où le résultat. 2

Corollaire 1.29. Si Φt est le ot de X, alors (Φt)∗X = X pour tout t.

Preuve. Le ot de Y = (Φt0)∗X est θt = Φt0 Φt Φ−t0 = Φt etdonc (Φt0)∗X(x) = Y (x) = ∂θt

∂t(x, 0) = ∂Φt

∂t(x, 0) = X(x). 2


c.4. Champs complets.La proposition 1.26 nous garantit l'existence et l'unicité de courbes intégralesissues de n'importe quel point x de U . En général ces courbes intégralesmaximale ne sont pas dénies sur tout t ∈ R (cf l'exemple du champ X =x2 ∂

∂xtraité plus haut).

Définition. Un champ X ∈ Γ(M) est dit complet si pour tout x ∈M ,la solution maximale γx de (∗)x est dénie sur tout R. Cela est équivalent àdire que pour tout t ∈ R, Φt est déni sur tout M .

Remarque. D'aprés la proposition 1.27, si X est complet et si (Φt) estle ot de X, alors l'application t 7→ Φt est un morphisme du groupe (R,+)dans le groupe

(Diffp(M),

)des Cp diéomorphismes de M .

Le théorème suivant donne une condition susante simple sur X pourqu'il soit complet.

Théorème 1.30. Si un champ de vecteur X est à support compact dansM (i.e. si SuppX = m ∈M/X(m) 6= 0 est compact dans M), alors X estcomplet.

Preuve. La preuve se fait par l'absurde. Supposons qu'il existex ∈M tel que l'intervalle de dénition de la solution maximale γx de (∗)x nesoit pas R. Comme pour tout x /∈ SuppX, on a γx(t) = x pour tout t ∈ R (parunicité de la solution maximale de (∗)x), on peut supposer que x ∈ SuppXet que γx(t) reste dans SuppX pour tout t ∈ Ix. Alors on a t+x < +∞ou t−x > −∞. Comme X est a support compact, il existe une constanteK tel que pour tout x ∈ M , on ait ‖X(x)‖ ≤ K (où ‖ · ‖ est la normeeuclidienne canonique de Rn). Alors, d'aprés l'inégalité des accroissementsnis, la fonction γx : Ix →M est K-Lipschitzienne puisque pour tout t ∈ Ix,on a

‖γ′x(t)‖ = ‖X γx(t)‖ ≤ K.

On en déduit que si t+x < ∞ alors γx(t) a une limite y ∈ M lorsque t tendvers t+x . En eet, toute suite tn < t+x qui tend vers t+x est de Cauchy et donca une suite image γx(tn) qui est aussi de Cauchy et à valeur dans le compactSuppX. La suite γx(tn) converge donc vers un élément y de SuppX. Si (t′n)est une autre suite convergent vers t+x , alors γx(t

′n) converge pour la même

raison et la limite est aussi y car sinon la suite t′′n obtenue en alternant leséléments de (tn) et (t′n) aurait une image par γx sans limite. On en déduitque γx peut-être prolongée par continuité en t+x par γ(

xt+x ) = y. Or, X estcontinu en y et donc limt→t+x γ

′x(t) = limt→t+x X γx(t) = X(y) = X γx(t+x ).

On a donc prolongé γx en une solution de (∗)x sur ]t−x , t+x ], ce qui contredit


la maximalité de γx. De même, si t−x > −∞, alors on peut prolonger γx enune solution de (∗)x dénie sur [t−x , t

+x [. D'où la contradiction. 2

Remarque. La même preuve permet de montrer le résultat plus généralsuivant : Si Ix 6= R alors la trajectoire de la solution maximale γx sort detout compact contenu dans U .

d. Crochet de Lie de deux champs de vecteurs.On suppose que Mk est une sous-variété de classe C∞ de Rn.

Définition. Soit f : M → R une fonction C∞ et X ∈ Γ∞(M). On note(X.f) la fonction dénie surM par (X.f)(x) = dxf

(X(x)

). Elle est de classe

C∞.Calcul en carte locale : Soit (Ω, ϕ) est une carte locale deM et (x1, · · · , xk)

les fonctions coordonnées de ϕ−1. On note ∂f∂xi

(x) :=(∂∂xi· f)(x). On a alors

∂f

∂xi(x) = dxf

( ∂ϕ∂xiϕ−1(x)

)=∂f

∂xi

(ϕ−1(x)

).

où f = f ϕ est une fonction dénie sur l'ouvert Ω de Rk et ∂f∂xi

est la dérivéepartielle au sens usuel par rapport à la i-ème variable de Rk. Comme dxf estlinéaire, on en déduit que si X =

∑ki=1Xi

∂∂xi

dans la carte locale, alors on a

(X · f

)(x) =

k∑i=1

Xi(x)∂f

∂xi(x).

Remarque. Si (Ω2, ϕ2) est une autre carte locale de M et si ϕ−12 =

(y1, · · · , yk), alors la matrice(∂xi∂yj

(m))ijest Jϕ−1

2 (m)(ϕ−11 ϕ2) et donc, avec

ces notations, si X(m) =∑

iXi(m) ∂∂xi

(m) =∑

i Yi(m) ∂∂yi

(m) en un pointm ∈ U1 ∩ U2 = ϕ(Ω1) ∩ ϕ(Ω2), on a

Xi(m) =∑j

∂xi∂yj

(m)Yj(m)

(on retrouve la formule vue précédement).

Remarque. D'aprés le théorème de Schwarz, appliqué à f , dans toutecarte locale (Ω, ϕ) et pour tout couple 1 ≤ i, j ≤ k, on a( ∂

∂xj.( ∂∂xi

.f))

(x) =( ∂

∂xi.( ∂

∂xj.f))

(x).

En eet,(

∂∂xj.(∂∂xi.f))

(x) =∂

(∂f∂xiϕ−1

)∂xj

ϕ−1(x) = ∂2f∂xi∂xj

ϕ−1(x).


Toutefois, l'égalité X.(Y.f) = Y.(X.f) est fausse en générale, même pourdes champs de vecteurs de Rn.

Exemple. Soit X = y ∂∂x

+ ∂∂y

et Y = ∂∂y

deux champs de vecteurs surR2. Alors on a

(X.f) = y∂f

∂x+∂f

∂y(Y.f) =

∂f

∂y

Y.(X.f) =∂f

∂x+ y

∂2f

∂y∂x+∂2f

∂y2X.(Y.f) = y

∂2f

∂x∂y+∂2f

∂y2

D'où X.(Y.f)− Y.(X.f) = ∂f∂x.

Pour rendre compte de l'erreur commise lorsqu'on commute l'ordre dedérivation d'une fonction le long de deux champs de vecteurs, on dénit lanotion de crochet de Lie.

Proposition 1.31. Soit (X, Y ) ∈ Γ∞(M) alors il existe un unique Z ∈Γ∞(M) tel que pour toute fonction f ∈ C∞(M), on ait

(V.1) X.(Y.f)− Y.(X.f) = Z.f

Z est appellé crochet de Lie de X et Y , on le note [X, Y ].Si dans une carte (Ω, ϕ) (avec ϕ−1 = (x1, · · · , xk)) on a X =

∑iXi · ∂

∂xi

et Y =∑

i Yi ·∂∂xi

, alors

(V.2) [X, Y ] =k∑i=1

( k∑j=1

Xj∂Yi∂xj− Yj

∂Xi

∂xj

) ∂

∂xi.

Preuve. Si X =∑

iXi∂∂xi

et Y =∑

i Yi∂∂xi

, alors

X ·Y ·f =∑i

Xi∂

∂xi·(∑

j

Yj∂

∂xj.f)

=∑i,j

Xi∂Yj∂xi

∂f

∂xj+∑i,j

XiYj∂

∂xi·( ∂

∂xj·f)

D'où l'existence d'un champ Z(Ω,ϕ) ayant la propriété voulue sur U = Φ(Ω)et vériant (V.2).

Pour montrer que la formule (V.2) dénit bien un champ de vecteur surtout M , remarquons que si (u, v) ∈ TmM2 sont tels que u.f = v.f pour toutf ∈ C∞(M), alors dans une carte locale (Ω, ϕ) de M en m, on a u.xi =dmxi(u) = dmxi(v) pour tout i (noter qu'il existe une fonction C∞ surM quicoïncide avec xi au voisinage de m). On a vu que u =

∑ki=1 dmxi(u). ∂

∂xi(m),

donc u = v. On en déduit qu'il existe au plus un vecteur Z(m) vériant

Z(m).f =(X.(Y.f)− Y.(X.f)

)(m)


pour toute fonction f de classe C∞ en m. Si (Ω2, ϕ2) est une autre cartelocale de M en m, alors on a Z(Ω2,ϕ2)(m) = Z(Ω,ϕ)(m). On en déduit que lechamp Z déni par Z(m) = Z(Ω,ϕ)(m) (où (Ω, ϕ) est n'importe quelle cartelocale de M en m), est bien déni (ne dépend pas du choix de la carte enm), de classe C∞ en tout m ∈ M (car C∞ dans tout carte) et qu'il vérie(V.1) et (V.2) (car il les vérie dans toute carte). 2

Proposition 1.32. ∀(X, Y, Z) ∈ Γ(M), ∀(λ, µ) ∈ R2 et ∀(f, g) ∈ C∞(M),on a

[X, Y ] = −[Y,X], [λX +µY, Z] = λ[X,Z] +µ[Y, Z] et [X,λY +µZ] = λ[X, Y ] +µ[X,Z], [X, [Y, Z]] + [Y, [Z,X]] + [Z, [X, Y ]] = 0 (identité de Jacobi) [fX, gY ] = fg[X, Y ] + f(X.g)Y − g(Y.f)X.

Preuve. Exercice. 2

d.1. Invariance par diéomorphisme.

Proposition 1.33. Soit Φ : M1 → M2 un C∞-diéomorphisme. Pourtout (X, Y ) ∈ Γ(M)2, on a [Φ∗X,Φ∗Y ] = Φ∗[X, Y ].

Preuve. Soit f : M2 → R une fonction C∞. On a((Φ∗X).f

)(x2) = dx2f

(Φ∗X(x2)

)= dx2f

(dΦ−1(x2)Φ

(X Φ−1(x2)

)= dΦ−1(x2)(f Φ)

(X Φ−1(x2)

)=(X.(f Φ)

)Φ−1(x2)

D'où (Φ∗Y.

(Φ∗X.f

))(x2) =

[Y.((X.(f Φ)

)Φ−1 Φ

)]Φ−1(x2)

=(Y.(X.(f Φ)

))Φ−1(x2)

Et donc([Φ∗X,Φ∗Y

].f)(x2) =

([X, Y ].(f Φ)

)Φ−1(x2)

= dx2f dΦ−1(x2)Φ([X, Y ] Φ−1(x2)

)= dx2f

((Φ∗[X, Y ]

)(x2)

)=((

Φ∗[X, Y ]).f)

(x2)

On en déduit (voir la preuve de la proposition 1.31) que [Φ∗X,Φ∗Y]

=Φ∗[X, Y ]. 2

Théorème 1.34. Si X et Y sont deux champs de Γ(M) et Θt est le otde X, alors on a [X, Y ] = − d

dt |t=0

((Θt)∗Y

).

Remarque. Par dénition, on a (Θt)∗Y = dΘ−1t (x)Θt

[Y(Θ−1t (x)

)]. Donc


γ : t 7→((Θt)∗Y

)(x) est une courbe de l'espace vectoriel TxM et d

dt |t=0

((Θt)∗Y

)=

γ′(0) est bien un élément de TxM .Preuve. Soit (Ω, ϕ) une carte locale de M en m. On se ramène

à travailler dans Ω en posant X = (ϕ−1)∗X et Y = (ϕ−1)∗Y . D'aprés laproposition précèdente, on a [X, Y ] = (ϕ−1)∗[X, Y ] et on a vu que le ot Θt

de X est ϕ−1 Θt ϕ. Un calcul rapide donne (Φ1)∗ (Φ2)∗ = (Φ1 Φ2)∗ etdonc (ϕ−1)∗

((Θt)∗Y

)= (Θt)∗Y . Il reste donc à prouver le théorème dans le

cas particulier où X et Y sont des champs d'un ouvert de Rk. Si (e1, · · · , ek)est la base canonique de Rk alors il existe des fonctions (Xi) et (Yi) de classeC∞ telles que X =

∑iXiei et Y =

∑i Yiei. Notez que (t, y) 7→ Θt(y) est

une fonction de k+1 variables réelles denie sur un ouvert de Rk+1. On noted(Θt) la diérentielle par rapport aux k dernières variables, t étant xé. Ona alors

(Θt)∗Y =∑i

Yi Θ−1t × dΘ−1

tΘt(ei) =

∑i

Yi Θ−t ×∂Θt

∂xiΘ−t

et doncd

dt(Θt)∗Y =

∑i

dΘ−tYi ∂

∂t(Θ−t)×

∂Θt

∂xiΘ−t + Yi Θ−t ×

∂2Θt

∂t∂xiΘ−t

+Yi Θ−t × dΘ−t

∂Θt

∂xi

( ∂∂t

(Θ−t)).

Or, ∂∂t

(Θ−t) = −X Θ−t et d'aprés le théorème de Schwarz, on a

∂2Θ

∂t∂xi=

∂2Θ

∂xi∂t=

∂

∂xi(X Θt).

D'où la formule suivanted

dt(Θt)∗Y =

∑i

−dΘ−tYi(X Θ−t

)× ∂Θt

∂xiΘ−t + Yi Θ−t ×

∂X Θt

∂xiΘ−t

−Yi Θ−t × dΘ−t

∂Θt

∂xi(X Θ−t)

=∑ij

−Xj Θ−t ×∂Yi∂xjΘ−1

t × dΘ−tΘt(ei) + Yi Θ−t ×∂Xj Θt

∂xiΘ−t × ej

−Yi Θ−t ×Xj Θ−t ×∂2Θt

∂xj∂xiΘ−t.

Comme en t = 0 on Θ0 = IdΩ, on en déduit que

d

dt |t=0(Θt)∗Y =

∑ij

−Xj ×∂Yi∂xj× ei + Yi ×

∂Xj

∂xiej = −[X, Y ]

2


Corollaire 1.35. Si X et Y sont deux champs surM de ots ΘXt et ΘY

t

et tels que [X, Y ] = 0 sur M alors pour tout s, t, on a ΘXt ΘY

s = ΘYs ΘX

t .

Preuve. Pour tout t0, s assez petits, on a

(ΘXt0+s)∗Y = (ΘX

s ΘXt0

)∗Y = (ΘXs )∗((ΘX

t0)∗Y)

et donc, d'aprés le théorème 1.34, on a

d

dt |t=t0(ΘX

t )∗Y =d

dt |s=0(ΘX

s )∗((ΘX

t0)∗Y)

= −[X, (ΘX

t0)∗Y]

Puisque (ΘXt0

)∗ est un morphisme pour le crochet de Lie et que X = (ΘXt0

)∗X,on a

d

dt |t=t0(ΘX

t )∗Y = −(ΘXt0

)∗[X, Y ].

Donc si [X, Y ] = 0, alors t 7→ (ΘXt )∗Y (m) ∈ TmM est une fonction constante.

Comme ΘX0 = Id, on a (ΘX

t )∗Y (m) = Y (m) pour tout t. En particulier, ceschamps ont le même ot, donc ΘY

s = ΘXt ΘY

s (ΘXt )−1 pour tout s et t. 2

Corollaire 1.36. Soit x0 ∈M et U un voisinage ouvert de x0 dans M .Si (X1, · · · , Xl) est une famille de vecteurs de Γ(U) tels que

(1)(X1(x0), · · · , Xl(x0)

)est une famille libre de Tx0M ,

(2) pour tout i, j on a [Xi, Xj] = 0 sur U ,

alors il existe une carte locale (Ω, ϕ) deM en x0 telle que pour tout 1 ≤ i ≤ k,on ait Xi = ∂

∂xisur ϕ(Ω) ∩ U .

Autrement dit, des champs de vecteurs commutent (i.e. leurs crochets deLie sont nuls) ssi ils peuvent être redressés simultanément (i.e. envoyés surdes champs constants par un diéomorphisme).

Preuve. Soit (Ω1, ϕ1) une carte deM centrée en x0 et Xi = (ϕ−1)∗Xi.Ces champs sont aussi de crochet nul sur Ω. Comme dx0ϕ

−1 est un isomor-phisme linéaire,

(Xi(0), · · · , Xl(0)

)est libre et, quitte à faire une permuta-

tion sur les variables, on peut supposer que la famille(X1(0), · · · , Xl(0), el+1, · · · , ek

)forme une base de Rk. On note Θi

t les ots locaux des champs Xi. Par conti-nuité, on peut trouver ε > 0 etW un voisinage de 0 dans Ω tels que pour toutepermutation σ ∈ Sk, et tout (t1, · · · , tl) ∈] − ε, ε[l, on ait Θ

σ(1)t1 · · · Θ

σ(l)tl

bien déni surW et à valeurs dans Ω. Notez que d'aprés ce qui précède, on aΘσ(1)t1 · · · Θ

σ(l)tl

= Θ1t1 · · · Θl

tlsur W . Soit enn V un voisinage de 0 dans

Rk−l tel que 0 × V ⊂ W .


On pose Φ :] − ε, ε[l×V → Ω, dénie par Φ(t1, · · · , tl, tl+1, · · · , tk) =Θ1t1 · · · Θl

tl(0, · · · , 0, tl+1, · · · , tk). Cette applications est bien dénie et vé-

rie Φ(0) = 0. De plus, si i ≥ l + 1, on a ∂Φ∂ti

(0) = ei et si i ≤ l, alors pourtout t ∈]− ε, ε[l×V , on a

∂Φ

∂ti(t) =

∂ΘitiΘ1

t1 · · · Θi−1

ti−1Θi+1

ti+1 · · · Θl

tl(0, · · · , 0, tl+1, · · · , tk)

∂ti

= Xi(Φ(t))

On en déduit que d0Φ est inversible, et donc que Φ est un diéomorphismed'un voisinage de 0 dans Rk sur un voisinage de 0 dans Ω. On pose ϕ = ϕ1 Φ.C'est une carte locale de M centrée en x0, et pour i ≤ l, on a

∂

∂xi= dϕ−1ϕ(ei) = dϕ−1

1ϕ1 dϕ−1Φ(ei) = dϕ−1

1ϕ1

(Xi(Φ ϕ−1)

)dϕ−1

1ϕ1

(Xi(ϕ

−11 ))

= (ϕ1)∗(Xi) = Xi

2

Corollaire 1.37. Si ΘXt et ΘY

s sont les ots de deux champs X et Yde M , alors pour tout m ∈M et tout carte locale (Ω, ϕ) de M centrée en m,l'application

f :]− ε, ε[2 → Ω ⊂ Rk

(s, t) 7→ ϕ−1 ΘY−s ΘX

−t ΘYs ΘX

t (m)

vérie f(s, t) = 2st(d0ϕ)−1([X, Y ](m)

)+ o(s2 + t2).

Preuve. On a évidemment que f(0, 0) = 0 = ∂pf∂sp

(0, 0) = ∂pf∂tp

(0, 0)puisque la carte est centrée en m. Enn, on a

ΘYs ϕ f(t, s) = ΘX

−t ΘYs ΘX

t .

Or le membre de droite est le ot de (ΘX−t)∗Y , et donc si on dérive cette

égalité par rapport à s en 0, on trouve

Y(ϕ f(t, 0)

)+ d0ΘY

0 dmϕ ∂f

∂s(t, 0) = (ΘX

−t)∗Y (m)

Comme f(t, 0) = 0 et Θ0 = Id, on obtient l'égalité

Y (m) + dmϕ ∂f

∂s(t, 0) = (ΘX

−t)∗Y (m),

qui, dérivée par rapport à t en 0, nous donne

dmϕ ∂2f

∂t∂s(0, 0) =

d

dt |t=0(ΘX−t)∗Y (m) = [X, Y ](m).

2


Proposition 1.38. Soit M une sous-variété de Rn. Si X et Y sont 2champs de Rn tels que pour tout x ∈M , X(x) et Y (x) appartiennent à TxM ,alors pour tout x ∈M on a [X, Y ](x) ∈ TxM .

Preuve. Si X|M est un champ de M . Par unicité des solutionsmaximales de (∗)x, on en déduit que si ΘM

t (x) est le ot de X|M et Θt le otde X, alors pour tout x ∈ M et tout t assez petit, on a ΘM

t (x) = Θt(x) ∈M . On en déduit que [X, Y ](x) = − d

dt |t=0

((Θt)∗Y

)= − d

dt |t=0

((ΘM

t )∗Y)

=

[X|M , Y|M ](x) ∈ TxM . 2

Définition. Une distribution C∞ de rang p est la donnée ∀m ∈ U ⊂ Rn

d'un sous espace vectoriel V (m) de dimension p dans Rn tel qu'au voisinagede tout point m0 ∈ U , il existe des champs

(X1(m), · · · , Xp(m)

)de classe

C∞ formant une base de V (m).Une distribution de rang p est dite intégrable si pour tout m ∈ U il

existe une sous-variété Mm ⊂ U de dimension p, contenant m et telle quepour tout x ∈ Mm, on ait TxM = V (x). Mm est alors appellée sous-variétéintégrale de la distribution (ou p-enveloppe du champ de p-plans) passant parm. Le théorème suivant est la réciproque de la proposition 1.38. Il ramène leproblème de l'intégrabilité des distributions à problème algébrique.

Théorème 1.39 (Froebenius). Une distribution de rang p est intégrablessi pour tout couple (X, Y ) ∈ Γ(U) de champs tangents à la distribution (i.e.tel que X(x) ∈ V (x) et Y (x) ∈ V (x) pour tout x ∈ U), le champ [X, Y ] estaussi tangent à la distribution (on dit que la distribution est involutive).

Dans ce cas, pour tout m ∈ U , il existe un diéomorphisme Φ : Ω ⊂Rn → U ⊂ Rn sur son image U ′ = Φ(Ω) tel que m ∈ U ′ et pour toutx ∈ U ′, on ait V (x) = Vect

dΦ−1(x)Φ(e1), · · · , dΦ−1(x)Φ(ep)

(où (ei) est

la base canonique de Rn). Deplus, toute sous-variété intégrale passant parx ∈ U ′ est alors égale à Φ(F ∩Ω) au voisinage de x, où F est le sous-espaceane passant par Φ−1(x) et dirigé par (e1, · · · , ep).

Preuve. Si une distribution est intégrable, alors elle est involutived'aprés la proposition 1.38. Pour la réciproque, on va montrer que si unedistribution est involutive alors elle engendrée au voisinage de tout point parune famille commutative de champs de vecteurs, ce qui permet de conclurepar le corollaire 1.36.

Soit (e1, · · · , en) la base canonique de Rn. Par hypothèse, il existe surun voisinage U de m une famille (X1, · · · , Xp) de champs C∞ tels quepour tout x ∈ U , V (x) = Vect

(X1(x), · · · , Xp(x)

). De nouveau, quitte

à permuter les vecteurs (e1, · · · , en) et à réduire U , on peut supposer que(X1(x), · · · , Xp(x), ep+1, · · · , en

)est une base de Rn pour tout x ∈ U . On

note π : Rn → Rp la projection de (x1, · · · , xn) sur (x1, · · · , xp). Pour


tout x ∈ U , π|V (x) est un isomorphisme linéaire de V (x) sur Rp. On poseYi(x) = (π|V (x))

−1(Ei), où (E1, · · · , Ep) est la base canonique de Rl. Alorspour tout x ∈ U , on a V (x) = Vect

(Y1(x), · · · , Yp(x)

). De plus, un calcul

rapide montre que Yi =∑p

i=1 AijXj, où A =(Aij)est la matrice inverse

de B =(〈Xi, ej〉

)1≤i,j≤p. Comme la famille (Xi) est C∞, B et A sont des

matrices à coecients C∞. La famille (Yi) est donc une famille de champs devecteurs de classe C∞ sur U . Comme Xi =

∑j BijYj =

∑j〈Xi, ej〉Yj pour

tout i (i.e. u =∑

j〈u, ej〉Yj pour tout u ∈ V (x)), on a

[Xi, Xj] =[∑

k

〈Xi, ek〉Yk, Xj

]=∑k

〈Xi, ek〉[Yk, Xj]−∑k

(Xj · 〈Xi, ek〉

)Yk

=∑kl

〈Xi, ek〉〈Xj, el〉[Yk, Yl] +∑k

(Xi · 〈Xj, ek〉

)Yk −

(Xj · 〈Xi, ek〉

)Yk

=∑kl

BikBjl[Yk, Yl] +∑k

〈DXiXj, ek〉Yk − 〈DXjXi, ek〉Yk

=∑kl

BikBjl[Yk, Yl] +∑k

〈[Xi, Xj], ek〉Yk =∑kl

BikBjl[Yk, Yl] + [Xi, Xj]

où la dernière égalité découle du fait que [Xi, Xj](x) ∈ V (x) par hypothèse.On a donc B ×

(∑lBjl[Yk, Yl]

)k

=(∑

klBikBjl[Yk, Yl])i

= 0 pour tout j.Comme la matrice B est inversible, on a B ×

([Yk, Yl]

)l

= 0 pour tout k etdonc, en utilisant de nouveau l'inversibilité de B, [Yk, Yl] = 0 sur U pourtout k, l. D'aprés le corollaire 1.36 et quitte à réduire encore U , il existe unC∞-diéomorphisme Φ : Ω ⊂ Rn → U tel que pour tout 1 ≤ i ≤ p, ona Yi = Φ∗(ei). Alors, pour tout x ∈ U , si on note F le sous-espace anede Rn passant par Φ−1(x), Φ(F ∩ Ω) est une sous-variété intégrale de ladistribution V passant par x. Réciproquement, si Mm est une sous-variétéintégrable passant par x, alors les champs Yi se restreignent àMm en champstangents. Les coubres integrales de ces champs surMm sont aussi des courbesintégrales des champs Yi sur U . On en déduit (au vu de la construction de Φdans la preuve du corollaire 1.36) queMm contient un voisinage de Φ(F ∩Ω).2

Application : Soit Ω un ouvert de R3, α : (x, y, z) ∈ Ω 7→ α(x, y, z) ∈ R etβ : (x, y, z) ∈ Ω 7→ β(x, y, z) ∈ R deux fonctions C∞. On cherche à quelleconditions sur α et β, on peut trouver, pour tout (x0, y0, z0) ∈ Ω, une fonctionf : U ⊂ R2 → R dénie au voisinage de (x0, y0) et telle que

z0 = f(x0, y0),∂f∂x

(x, y) = α(x, y, f(x, y)

)pour tout (x, y) ∈ U,

∂f∂y

(x, y) = β(x, y, f(x, y)

)pour tout (x, y) ∈ U.


D'aprés le théorème de Schwarz, on doit avoir

(V.3)∂α

∂y+ β

∂α

∂z=

∂2f

∂y∂x=

∂2f

∂x∂y=∂β

∂x+ α

∂β

∂z

en tout point (x0, y0, z0) de Ω.Réciproquement, supposons que α et β vérie l'équation V.3 sur Ω. On

dénit deux champs de vecteurs X et Y sur Ω en posant X(x, y, z) = ∂∂x

+

α(x, y, z) ∂∂z

et Y (x, y, z) = ∂∂y

+ β(x, y, z) ∂∂z. On a alors

[X, Y ] =(∂β∂x

+ α∂β

∂z− ∂α

∂y− β∂α

∂z

) ∂∂z

= 0

On en déduit que la distribution de rang 2 sur Ω dénie par V (x, y, z) =Vect

(X(x, y, z), Y (x, y, z)

)est intégrable. Il existe donc une surface S de

classe C∞ passant par (x0, y0, z0) et qui est partout tangente à V . On poseπ1 : (x, y, z) ∈ S 7→ (x, y) ∈ R2 et π2 : (x, y, z) ∈ S 7→ z ∈ R. Ces ap-plications sont C∞ (comme restrictions d'applications C∞ de R3) et on ad(x0,y0,z0)π1(X) = ∂

∂xet d(x0,y0,z0)π1(Y ) = ∂

∂yet donc d(x0,y0,z0)π1 est un iso-

morphisme de T(x0,y0,z0)S = Vect(X(x0, y0, z0), Y (x0, y0, z0)

)sur R2. D'aprés

le théorème d'inversion locale, il existe W de (x0, y0, z0) dans S et un voi-sinage U de (x0, y0) = π1(x0, y0, z0) dans R2 tel que (π1)|W soit un C∞-diéomophisme de W sur U . Alors f = π2 (π1)−1

|W est C∞ sur U et véri-

e f(x0, y0) = π2 (π1)−1|W (x0, y0) = π2(x0, y0, z0) = z0 et ∂f

∂x= df( ∂

∂x) =

dπ2 (dπ1)−1( ∂∂x

). Or, d'aprés un calcul précédent, on a (dπ1)−1( ∂∂x

) = X etdonc ∂f

∂x= dπ2(X) = dz(X) = α. De même, on a ∂f

∂y= β sur U .

L'équation (V.3) est donc la CNS pour que le système admette une so-lution locale.

Exercice. Refaire la même chose pour une fonction de n variables.

CHAPITRE 2

Variétés Riemaniennes

I. Métriques Riemanniennes

a. Dénitions. Soit M une variété de classe Cp+1.

Définition. On appelle métrique Riemannienne de classe Cp sur Mla donnée pour tout m ∈ M d'un produit scalaire gm (forme bilinéairesymétrique dénie positive) sur TmM dépendant de façon Cp de m (i.e.pour toute carte (Ω, ϕ) de classe Cp+1 sur M , on suppose que la fonctionm 7→ gm

(∂∂xi

(m), ∂∂xj

(m))

=: gij(m) est Cp de Ω dans R. Les coecients de

la matrice(gij)ijsont appelés les coecients de la métrique dans la carte

(Ω, ϕ).

Définition. On appelle variété Riemannienne toute variété munie d'unemétrique Riemannienne.

Remarque. Si X =∑

iXi∂∂xi∈ Γp(M) et Y =

∑i Yi

∂∂xj∈ Γp(M) sont

deux champs sur M alors on a

gm(X(m), Y (m)

)=∑i

gij(m)Xi(m)Yi(m)

En particulier, si la métrique g est Cp alors m 7→ gm(X(m), Y (m)

)est Cp.

Remarque. Si (Ω2, ϕ2) est une autre carte de M au voisinage de mavec ϕ−1

2 = (y1, · · · , yn), alors on a

g( ∂∂yi

,∂

∂yj

)=∑k,l

∂xk∂yi× ∂xl

yj× g( ∂

∂xk,∂

∂xl

)Comme les changements de cartes ∂xk

∂yisont Cp (car M est supposée Cp+1),

on en déduit que la métrique g est Cp sur M ssi il existe un système de carte(Ωi, ϕi)i∈I tel que la famille

(Ui = ϕ(Ωi)

)i∈I recouvre M et les coecients

de la métrique dans ces cartes sont des fonctions de classe Cp.

Exemple. Sur M = R, on pose g(m) = h(m) dx2 où h : R → R+∗ est

41

42 2. VARIÉTÉS RIEMANIENNES

une fonction Cp et dx2 est la forme quadratique sur R ' TmR dénie pardx2(u, u) = u2 pour tout u ∈ R. Alors g est une métrique Riemannienne Cp

sur R (on construit ainsi toutes les métriques possibles sur R).

Exemple. (Métriques induites) SiM est une sous-variété de Rn de classeCp alors le produit scalaire canonique 〈·, ·〉Rn de Rn induit une métrique surM en posant, pour m ∈M et (u, v) ∈ TmM2

gm(u, v) = 〈u, v〉Rn

Cette métrique est bien Cp car si (Ω, ϕ) est une carte locale de M alors

gij(m) =⟨ ∂∂xi

(m),∂

∂xj(m)

⟩Rn =

⟨ ∂ϕ∂xiϕ−1(m),

∂ϕ

∂xjϕ−1(m)

⟩Rn

est de classe Cp comme composée d'applications de classe Cp.

Exemple. On note gSn la métrique induite sur Sn par la métrique ca-nonique de Rn+1. Cette métrique est appellée métrique canonique de Sn.

Si on considère

ϕN : Rn → Sn \ N(x1, · · · , xn) 7→

(2x1

1+|x|2 , · · · ,2xn

1+|x|2 ,|x|2−11+|x|2

)la carte locale donnée par la projection stéréographique de pôle nord alorson a

∂

∂xiϕN(x) = − 2xi

1 + |x|2ϕN(x) +

2

1 + |x|2ei +

2xi1 + |x|2

en+1,

où (e1, · · · , en+1) désigne la base canonique de Rn+1. Ce qui nous donne

gij(m) = gSn( ∂∂xi

,∂

∂xj

)=

4δij

(1 + |ϕ−1N (m)|2)2

dans la carte associée à la projection stéréographique de pôle nord. De même,dans la carte associée à la projection de pôle sud, on trouve aussi gij(m) =

gSn(∂∂xi, ∂∂xj

)=

4δij

(1+|ϕ−1n (m)|2)2 .

Exercice. Soit γ1 et γ2 deux courbes C1 de Sn qui se croisent en x ∈ Sn(i.e. γ1(0) = γ2(0) = x) selon un angle α pour la métrique gSn (i.e. cosα =(gSn)x

(γ′1(0), γ′2(0)

)). Montrer que leurs images par ϕN sont des courbes de

Rn qui se croisent en ϕN(x) avec l'angle α pour la métrique 〈·, ·〉Rn . On ditque ϕN est une application conforme entre (Rn, gRn) et (Sn, gSn).

Remarque. Attention, l'expression d'une métrique peut changer radi-calement lorsqu'on change de carte. Par exemple, la métrique gSn lue dans

I. MÉTRIQUES RIEMANNIENNES 43

la carte ϕ : (x1, · · · , xn) ∈ B(0, 1) ⊂ Rn 7→(x1, · · · , xn,

√1−

∑i x

2i

)∈ Sn

prend la forme

gij ϕ(x) = (gSn)ϕ(x)

( ∂∂xiϕ(x),

∂

∂xjϕ(x)

)= δij +

xixj1− |x|2

.

Exemple. On note gTn la métrique induite par gR2n sur Tn (où on aidentié Cn à Rn). Dans la carte

ϕ : Ω ⊂ Rn → Cn

(x1, · · · , xn) 7→ (eix1 , · · · , eixn)

on a ∂∂xk

= (0, · · · , 0, ieixk , 0, · · · , 0), d'où gkl = gTn(∂∂xk

, ∂∂xl

)= δkl.

Exemple. Sur Hn = (y1, · · · , yn+1) ∈ Rn+1/y21 + · · · + y2

n − y2n+1 =

−1, yn+1 > 0, on pose (gHn)m = Q|TmHn où Q(y1, · · · , yn+1) = y21 + · · · +

y2n− y2

n+1. Pour montrer que gHn est bien une métrique (i.e. que Q induit unproduit scalaire sur TmM qui est régulier par rapport à m), on calcule sescoecients par rapport à la carte ϕ donnée par

ϕ : B(0, 1) ⊂ Rn → Hn

(y1, · · · , yn) 7→(

2y1

1−|y|2 , · · · ,2yn

1−|y|2 ,1+|y|21−|y|2

)Un calcul rapide donne

gij ϕ(y) = gHn( ∂∂yiϕ(y),

∂

∂yjϕ(y)

)=

4δij(1− |y|2)2

.

Exemple. Sur l'espace Mn(R) des matrices réelles de taille n, on consi-dère la produit scalaire suivant :

< M,M ′ >Mn(R)= tr(M ×tM ′) =∑i,j

mijm′ij.

Comme SO(n) est une sous-variété C∞ de Mn(R), ce produit scalaire induitune métrique C∞ sur SO(n) (notez qu'il induit aussi une métrique sur Sln etsur tout les sous-groupe classiques de Gln(R), dont on peut démontrer qu'ilssont tous des sous-variétés de Mn(R)).

Exemple. Soit (M1, g1) et (M2, g2) deux variétés Riemanniennes. Sur lavariété produit M1 ×M2 on dénit une métrique produit g1 + g2, en posantpour tout X, Y ∈ T(m1,m2)M1 ×M2

(g1 + g2)(m1,m2)(X, Y ) = (g1)m1(X1, Y1) + (g2)m2(X2, Y2)


où X = X1 + X2, Y = Y1 + Y2 sont les décompositions de X et Y vial'identication T(m1,m2)M1 ×M2 = Tm1M1 ⊕ Tm2M2 (i.e. Xi et Yi sont deséléments de TmiMi). Noter que g1 + g2 est Cp ssi g1 et g2 sont Cp.

b. Isométries.Définition. Soit f : M → N un diéomorphisme local sur M et h une

métrique sur N . On dénit une métrique g = f ∗h sur M , appeleé métriquetirée en arrière de h par f , en posant, pour tout (u, v) ∈ TmM

(f ∗h)m(u, v) = hf(m)

(dmf(u), dmf(v)

).

Exemple. La métrique de Tn tirée en arrière par F : (xj) ∈ Rn 7→(eixj) ∈ Cn donne la métrique canonique gRn = 〈·, ·〉Rn sur Rn.

Définition. f : (M, g)→ (N, h) est une isométrie (resp. une isométrielocale) ssi f est un diéomorphisme (resp. local) et g = f ∗h.

Exemple. (Rn, gRn)et(Tn, gTn

)sont localement isométriques, mais pas

isométriques.

Exemple. Toute isométrie ane de Rn est un isométrie de la variétéRiemannienne (Rn, gRn). De même, toute isométrie vectoriel de Rn+1 se res-treint à Sn en une isométrie de (Sn, gSn). Enn, toute isométrie vectoriel de(Rn+1, Q) qui préserve x ∈ Rn+1/xn+1 > 0 se restreint à Hn en une isomé-trie de (Hn, gHn). On peut démontrer que toutes ces inclusions sont en faitdes égalités.

Exemple. Soit x ∈ Sn ⊂ Rn+1. On note Sx = v ∈ TxSn+1/|v|gSn = 1.On considère l'application

Φ :]0, π[×Sx → Sn(t, v) 7→ (cos t)x+ (sin t)v

Notez que cos(angle entre Φ(t, v) et x) = 〈Φ(t, v), x〉 = cos t, et donc t =angleentre x et Φ(t, v). De même v peut-être décrit géométriquement par le faitque (x, v) est une base orthonormée du plan engendré par x et Φ(t, v) avecv pointant vers le demi plan de bord Rx et contenant Φ(t, v). Φ est unC∞-diéomorphisme de ]0, π[×Sn−1 sur Sn \ x,−x. En eet, ]0, π[ est unesous-variété de R et Sx une sous variété de TxSn ' Rn. Donc le cylindre]0, π[×Sx est une sous-variété de R× TxSn ' Rn+1 et Φ est C∞ comme res-triction d'une application C∞ de Rn+1. La bijectivité de Φ est évidente. Enn,pour tout (t, v) ∈]0, π[×Sx, on a T(t,v)(]0, π[×Sx) = Tt]0, π[+TvSx or Tt]0, π[


s'identie à R (1, 0, · · · , 0) dans Rn+1 et TvSn−1 = u ∈ TxSn/〈u, v〉 = 0 =u ∈ Rn+1/〈u, x〉 = 0 et 〈u, v〉 = 0. On pose e = (1, 0, · · · , 0).

On a alors

d(t,v)Φ(e) = −(sin t)x+ (cos t)v,

d(t,v)Φ(u) = (sin t)u

pour tout u ∈ TvSx, et donc

(Φ∗gSn)(t,v)(s1 e+ u1, s2 e+ u2) = gSn(d(t,v)Φ(s1 e+ u1), d(t,v)Φ(s2 e+ u2)

)= 〈s1(cos t v − sin t x) + sin t u1, s2(cos t v − sin t x) + sin t u2〉Rn+1

= s1 × s2 + sin2 t〈u1, u2〉Rn+1

Comme Sx munie de la métrique induite par Rn+1 est isométrique à (Sn−1, gSn−1),on a (Φ∗gSn)(t,v)(s1 e+u1, s2 e+u2) = s1×s2 +sin2 t gSn−1(u1, u2). On résumecette formule sous la forme

(Φ∗gSn) = dt2 + sin2 tgSn−1

Exercice. Soit x ∈ Rn et Φ : (t, v) ∈ R∗+ × Sx 7→ x + r.v ∈ Rn \ 0,montrer que Φ∗gRn = dt2 + r2 gSn−1 .

De même, si x ∈ Hn on considère l'application Φ : (t, v) ∈ R∗+ × Sx 7→(cht)x+ (sht)v ∈ Hn \ 0, montrer que Φ∗gHn = dt2 + sh2t gSn−1 .

c. Longueur des chemins.Définition. Soit c : [a, b] → M un chemin C1 par morceaux, i.e. un

chemin continu et pour lequel il existe a = a0 < a1 < · · · < an = b tel quec|[ai,ai+1] soit C1 pour tout i. On appelle longueur de c pour la métrique g laquantité

Lg(c) =n−1∑i=0

∫ ai+1

ai

√g(c′(t), c′(t)

)dt.

Le théorème du changement de variables implique que toute reparamétrisa-tion de c (i.e. tout chemin c = c ψ où ψ : I → [a, b] est une bijection C1) ala même longueur que c.

Remarque. Si f : (M, g) → (N, h) est une isométrie locale alorsLh(f c) = Lg(c).

Exemple. On appelle grand cercle de Sn les intersections de Sn avec lesplans vectoriels (de dimension 2) de Rn+1.


Soit x et y deux points de Sn. Si y = −x alors il existe une innité degrand cercles passant par x et y. Ces grands cercles se décomposent en deuxarcs de longueur π reliant x et y.

Si y 6= −x alors il existe un unique grand cercle de Sn passant par x ety que l'on peut paramétrer par c(t) = (cos t) · x + (sin t) · y−〈x,y〉x√

1−〈x,y〉2. Il se

décompose en deux arcs de grand cercle reliant x à y. Si α désigne l'angleentre les vecteurs x et y dans Rn+1 (autrement dit α est l'unique α ∈ [0, π]tel que cosα = 〈x, y〉), alors l'arc correspondant à t ∈ [0, α] a une longueurégale à α. Le second, correspondant à t ∈ [α, 2π], a une longueur égale à2π − α.

On va montrer que les chemins de Sn minimisant la longueur entre x et ysont des arcs de grand cercle (ils sont donc de longueur égale à l'angle entrex et y dans Rn+1 et ils sont uniques si x 6= −y).

Soit γ un chemin C1 par morceaux reliant x à y et t2 = inft > 0/γ(t) =y ou − x. Comme γ est continue, on a γ(t2) = y ou −x. Soit t1 = supt ≤t2/γ(t) = x. Là encore γ(t1) = x, et pour tout t ∈]t1, t2[ on a γ(t) ∈Sn \ x,−x. Soit

(t(s), v(s)

)= Φ−1 γ(s) (où Φ : (t, v) ∈]0, π[×Sx 7→

(cos t)x + (sin t)v ∈ Sn est l'application étudiée dans la section précèdente).Alors on a

LgSn(γ) ≥ LgSn

(γ|]t1,t2[) = LΦ∗gSn(Φ−1 γ|]t1,t2[)

=

∫ t2

t1

√(t′(s)

)2+ sin2

(t(s))gSn−1

(v′(s), v′(s)

)ds ≥

∫ t2

t1

|t′(s)|

≥∣∣∫ t2

t1

t′(s) ds∣∣ = |t(t2)− t(t1)| = |t(t2)|

car t(t1) = 0 puisque γ(t1) = x. Si γ(t2) = −x alors t(t2) = π. Sinont(t2) = ty ≤ π (où ty est l'angle entre x et y dans Rn+1) et donc dans tous lescas on a LgSn

(γ) ≥ ty = angle entre x et y dans Rn+1 avec égalité ssi toutesles inégalités précédentes sont des égalités, i.e. ssi γ(t2) = y, s 7→ t(s) eststrictement croissante, v(s) est constante et t1 = 0, t2 = ty, i.e. un chemin γminimise le longueur entre x et y ssi γ

(t(s))

= Φ(t(s), v

)où v est constant

et t(s) décrit [0, ty]. Autrement dit un chemin minimise la longueur entre xet y ssi c'est une reparamétrisation d'un arc de grand cercle reliant x à y.Comme on a cos ty = 〈x, y〉, v doit vérier y = (cos ty)x + (sin ty)v, et doncv = y−〈x,y〉x√

1−〈x,y〉2si ty < π (i.e. si y 6= −x) et v est quelconque dans Sx si ty = π

(i.e. si y = −x). Les chemins minimisant la longueur entre x et y sont doncde la forme γ

(t(s))

= sin t(s) y−<x,y>x√1−<x,y>2

+ cos t(s)x, où s 7→ t(s) est une

bijection d'image [0, angle entre x et y] si x et y ne sont pas diamètralement


opposés sur Sn et de la forme γ(t(s))

= sin t(s) v + cos t(s)x avec v ⊥ xunitaire quelconque si y = −x et s 7→ t(s) est une bijection d'image [0, π].

Dans tous les cas, la longueur l des chemins minimisant la longueur vériecos l = 〈x, y〉 (autrement dit l = angle entre x et y dans Rn+1).

Exercice. Démontrer que les chemins minimisants la longueur entredeux points dans (Rn, gRn) (resp. (Hn, gHn)) sont, à reparamétrisations près,les segments γ(t) = x + t y−x

‖y−x‖ pour t ∈ [0, ‖x − y‖] (resp. les arcs des

courbes γ(t) = (cht)x + (sht) y+B(x,y)x√−1+B(x,y)2

, obtenues en interceptant Hn avec

les plans vectoriels de Rn+1, correspondants à t ∈ [0,Argch(−B(x, y)

)], où

B(x, y) = x1y1 + · · · + xnyn − xn+1yn+1,). Ces courbes sont appelées desgéodésiques. Remarquez que dans le cas de Rn et Hn à chaque couple depoints (x, y) est associée une unique géodésique reliant ces deux points.

d. Distance géodésique.Définition. Soit (M, g) une variété Riemannienne. On dénit une dis-

tance dg sur M en posant dg(x, y) = l'inmum des longueurs des chemins C1

par morceaux reliant x et y.

Proposition 2.1. dg est une distance sur M dont la topologie est lamême que la topologie de M induite par Rn.

Preuve. On a évidement dg ≥ 0 et dg(x, x) = 0. L'inégalité trian-gulaire vient du fait que la concaténation d'un chemin C1 p.m. entre x et yavec un chemin C1 p.m. entre y et z est un chemin C1 p.m. entre x et z. Demême, on a facilement que dg(x, y) = dg(y, x).

Soit x, x′ des points distincts de M et U un voisinage ouvert de x dansM qui ne contient pas x′. Quitte à réduire U , on peut toujours supposer qu'ilexiste une carte locale ϕ : Ω → U de M centrée en x. Il existe r > 0 assezpetit pour que B(0, r) ⊂ Ω. La métrique g = ϕ∗g est au moins C0 sur Ω etil existe donc M > 0 tel que pour tout y ∈ B(0, r), on ait 1

M2 〈·, ·〉Rk ≤ gy ≤M2〈·, ·〉Rk (inégalités entres formes quadratiques). Si γ : [0, b[→ M est unchemin C1 par morceaux partant de x et non contenu dans ϕ(B(0, r)) alorsil existe t > 0 tel que ϕ−1 γ(t) ∈ S(0, r) et ϕ−1 γ(]0, t[) ⊂ B(0, r).

On en déduit que

L(γ) ≥∫ t

0

|γ′(s)|g ds =

∫ t

0

|(ϕ−1 γ)′(s)|g ds ≥∫ t

0

1

M|(ϕ−1 γ)′(s)|Rk ds ≥

r

M.


Ceci implique que tout chemin C1 par morceaux qui relie x et x′ est delongueur plus grande que r

Met donc dg(x, x′) ≥ r

M> 0. Ceci nit de montrer

que dg est une distance sur M .Si U est un ouvert de M et x ∈ U . Alors le raisonnement précédent

appliqué à U implique que la boule ouverte de centre x et de rayon rM

pourle distance dg est contenue dans ϕ(B(0, r)) ⊂ U . On en déduit que toutouvert de M pour la topologie initiale est un ouvert de (M,dg).

Réciproquement, si U est une boule de (M,dg) centrée en x et de rayons assez petit, alors le même type de raisonnement que plus haut montre queϕ(B(0, s

M)), qui est un ouvert de M contenant x, est inclus dans U . On en

déduit que tout tout ouvert de M pour la distance dg est un ouvert de Mpour la topologie induite par celle de Rn.2

Exemple. Dans (Rn, gRn), la distance entre deux points est donnée par‖x − y‖2. Dans (Sn, gSn), on a cos dSn(x, y) = 〈x, y〉Rn+1 . Dans (Hn, gHn), ona ch dHn(x, y) = −B(x, y).

Dans ces espaces modèles, on a la propriété suivante.

Théorème 2.2 (Loi du cosinus dans Rn). Soit (x, y, z) trois points quel-conques de Rn. On note α l'angle fait en z entre les uniques chemins mi-nimisant la longueur partant de z et ralliant respectivement x et y. On aalors(

dRn(x, y))2

=(dRn(x, z)

)2+(dRn(y, z)

)2 − 2 cosα dRn(x, z) dRn(x, y)

Théorème 2.3 (Loi du cosinus dans Hn). Soit (x, y, z) trois points quel-conque de Hn. On note α l'angle fait en z (pour la métrique gHn) entre lesuniques chemins minimisant la longueur partant de z et ralliant respective-ment x et y. On a alors

ch(dHn(x, y)

)= ch

(dHn(x, z)

)ch(dHn(y, z)

)−cosα sh

(dHn(x, z)

)sh(dHn(x, y)

)Théorème 2.4 (Loi du cosinus dans Sn). Soit (x, y, z) trois points quel-

conque de Sn vériant d(x, z) < π et d(y, z) < π. On note α l'angle fait enz entre les uniques chemins minimisant la longueur partant de z et ralliantrespectivement x et y. On a alors

cos(dSn(x, y)

)= cos

(dSn(x, z)

)cos(dSn(y, z)

)+ cosα sin

(dSn(x, z)

)sin(dSn(x, y)

)Preuve. On fait la démonstration dans le cas de Sn (la démonstration

est la même dans le cas de Hn et classique dans le cas de Rn). D'aprés cequ'on a vu précédemment, on a

cos d(x, y) = 〈x, y〉 = 〈x, z〉〈y, z〉+⟨x− 〈x, z〉z, y − 〈y, z〉z

⟩= cos d(x, z) cos d(y, z) + sin d(x, z) sin d(y, z)〈u1, u2〉

II. CONNEXION DE LEVI-CIVITA D'UNE MÉTRIQUE 49

où u1 = x−〈x,z〉z√1−〈x,z〉2

et u2 = y−〈y,z〉z√1−〈y,z〉2

sont les deux vecteurs vitesse (unitaires)

des courbes minimisantes de z à x et de z à y. 2

II. Connexion de Levi-Civita d'une métrique

a. Dénition et exemples.Définition. On appelle connexion linéaire sur M toute application

D : Γ(M)× Γ(M) → Γ(M)(X, Y ) 7→ DXY

qui est R-bilinéaire et telle que pour tout f ∈ C∞(M,R), on a DfXY =fDXY et DX(fY ) = fDXY + df(X)Y .

Exemple. On dénit une connexion linéaire D sur Rn en posant

DXY =n∑

i,j=1

Xi∂Yj∂xi

ej

où X =∑

iXiei et Y =∑

i Yiei. Notez que cette connexion vérie aussi :

DXY −DYX =n∑

i,j=1

(Xi∂Yj∂xi− Yi

∂Xj

∂xi

)ej = [X, Y ],

Z.gRn(X, Y ) =n∑

i,j=1

Zi∂Xj

∂xiYj + ZiXj

∂Yj∂xi

= gRn(DZX, Y

)+ gRn

(X,DZY ).

De manière générale, on peut démontrer le résultat suivant (pour unepreuve on pourra consulter le livre de Gallot-Hulin-Lafontaine) :

Théorème 2.5. Sur toute variété Riemannienne (Mn, g), il existe uneunique connexion linéaire D telle que pour tout (X, Y, Z) ∈ Γ(M)3 on ait

DXY −DYX = [X, Y ],

Z.g(X, Y ) = g(DZX, Y ) + g(X,DZY ).

D est appellée connexion de Levi-Civita de la métrique g.

Calculs en coordonnées locales : Soit (Ω, ϕ) une carte locale de M et (gij)les coecients de la métrique g dans la carte. On dénit sur U = ϕ(Ω) desfonctions Γkij = 1

2

∑nl=1 g

kl(∂glj∂xi

+ ∂gli∂xj− ∂gij

∂xl

), où les coecients gij sont ceux

de la matrice (gij)−1. On a alors

D ∂∂xi

∂

∂xj=∑k

Γkij∂

∂xk,


et pour X =∑

iXi∂∂xi

et Y =∑

i Yi∂∂xi

, on a

DXY =n∑

i,j=1

Xi∂Yj∂xi

∂

∂xj+

n∑i,j,k=1

XiYjΓkij

∂

∂xk.

Les fonctions Γkij sont appelées les symboles de Christoel de la métrique gdans la carte (Ω, ϕ).

Remarque. Pour tout (i, j, k) on a Γkij = Γkji.

Remarque. Si M = Rn et g = gRn , alors dans la carte (Rn, IdRn) on agij = δij et donc Γkij = 0 pour tout (i, j, k). La connexion de Levi-Civita de(Rn, gRn) est donc D (ce qu'on retouve en utilisant l'unicité de la connexionlinéaire vériant les deux conditions ci-dessus).

Remarque. (DXY )(m) ne dépend que des Γkij(m), de X(m) et dela connaissance de Y le long d'une courbe c de M vériant c(0) = m etc′(0) = X(m). En eet, dans une carte (Ω, ϕ) de M au voisinage de m, on a(Yi c)′(0) = dmYi

(c′(0)

)=∑

j Xj(m)dmYi(∂∂xj

) et donc

DXY (m) =n∑

i,j,k=1

Xi(m)Yj(m)Γkij(m)∂

∂xk(m) +

n∑i,j=1

Xi(m)∂Yj∂xi

(m)∂

∂xj(m)

=n∑

i,j,k=1

Xi(m)Yj c(0)Γkij(m)∂

∂xk(m) +

n∑i,j=1

(Yj c)′(0)∂

∂xj(m)

Exemple. (Connexion de Levi-Civita des métriques induites)Soit (Mk, g) une sous-variété de Rn munie de la métrique induite par gRn . Àtout champ X ∈ Γ(M), on associe un champ X qui est un prolongement deX à un voisinage ouvert U de M (i.e. tel que X |M = X). La connexion deLevi-Civita de (M, g) est donnée par la formule(

DMX Y

)(m) =

(DXY (m)

)Tmoù D est la connexion de Levi-Civita de gRn et vTm est le projeté orthogonalde v sur TmM (pour gRn = 〈·, ·〉).

Pour prouver ce résultat, il sut de montrer que (X, Y ) 7→ DMX Y (m) est

une connexion linéaire qui vérie les deux propriétés caractéristiques de laconnexion de Levy-Civita. Tout d'abord, la remarque précèdente impliqueque (DM

X Y )(m) ne dépend pas du choix des prolongements X et Y (il sutde prendre un chemin c qui reste dans M , ce qui est possible par dénition

II. CONNEXION DE LEVI-CIVITA D'UNE MÉTRIQUE 51

de TmM). Or on a évidement que pour tout m ∈M(DMfXY

)(m) =

(DfXY (m)

)T=(f(m)DXY (m)

)T= f(m)

(DXY (m)

)T= f(m)DM

X Y (m).

De même, on a DMX (fY )(m) = f(m)DM

X Y (m) + dmf(X(m)

)Y (m), et donc

DM est bien une connexion linéaire.On a(DMX Y −DM

Y X)(m) =

(DXY (m)−DYX(m)

)Tm=([X,Y ](m)

)Tm=([X, Y ](m)

)Tm= [X, Y ](m)

car [X,Y ](m) = [X |M , Y |M ](m) = [X, Y ](m) et donc [X, Y ](m) ∈ TmM .Pour nir, comme gRn

(Y , Z

)prolonge g(Y, Z) au voisinage de M , on a(

X.g(Y, Z))(m) =

(X.gRn(Y , Z)

)(m)

= gRn(DXY , Z

)(m) + gRn

(Y ,DXZ)

)(m)

= gRn((DXY (m))T , Z(m)

)+ gRn

(Y (m), (DXZ(m))T

)(m)

= g(DXY, Z

)(m) + g

(Y,DXZ)

)(m)

Exercice. Montrer que siDg (resp.Dh) est la connexion de Levy-Civitade (M, g) (resp. (N, h)) alors la connexion de Levy-Civita de (M ×N, g+h)est donnée par la formule

DX1+Y1(X2 + Y2) = DgX1X2 +Dh

Y1Y2

où (X1, X2) ∈ Γ(M)2 et (Y1, Y2) ∈ Γ(N)2.

Exercice. Si f : (M, g)→ (N, h) est une isométrie locale (i.e. g = f ∗h),alors les connexions de Levy-Civita Dg et Dh de g et h sont liées par laformule (

DgXY)(m) = f−1

∗(Dhf∗Xf∗Y

)(m)

b. Transport parallèle.Définition. Soit c : I = [a, b] → M une courbe de M . On appelle

champ de vecteurs Ck le long de c toute application X : I → TM de classeCk et telle que X(t) ∈ Tc(t)M pour tout t ∈ I. On note Γk(c) l'ensemble deces champs.

Exemple. Si c est une courbe de M de classe Ck+1 alors t 7→ c′(t) estun champ de classe Ck le long de c.


Proposition 2.6. Il existe une application

Ddt

: Γk+1(c) → Γk(c)X 7→ D

dtX

qui est R linéaire et vérie1) pour toute fonction f ∈ C∞(I,R), D

dt(fX)(t) = f ′(t)X(t)+f(t)D

dtX(t).

2) si X(t) est de la forme X(t) = X(c(t)), où X est un champ de M

alors (DdtX)(t) = (Dc′(t)X)

(c(t)).

3) si X, Y ∈ Γ(c) alors

d

dt

[gc(t)

(X(t), Y (t)

)]= gc(t)

(DdtX(t), Y (t)

)+ gc(t)

(X(t),

D

dtY (t)

).

Preuve. Soit t0 ∈ I et (Ω, ϕ) une carte de M au voisinage dec(t0). Si on note

(c1(t), · · · , cn(t)

)les composantes de ϕ−1 c dans Rn et

X(t) =∑n

i=1Xi(t)∂∂xi

(c(t)), on pose

D

dtX(t) =

n∑i=1

X ′i(t)∂

∂xi

(c(t))

+∑i,j,k

c′i(t)Xj(t)Γkij c(t)

∂

∂xk c(t) (∗)

où les Γkij sont les symboles de Christoel de la métrique g. On montre alorsque le membre de droite ne dépend pas du choix de la carte (Ω, ϕ) (et doncque D

dtX(t) est bien déni) et qu'alors vérie les propriétés anoncées. 2

Remarque. Dans la pratique, le calcul de DdtX se fait en utilisant la

formule (∗).

Définition. Un champX ∈ Γ(c) est dit parallèle le long de c si DdtX(t) =

0 pour tout t ∈ I.

Exemple. Si (M, g) = (Rn, gRn) alors tout X ∈ Γ(c) s'écrit X(t) =∑iXi(t)ei, et on a D

dtX(t) =

∑ni=1X

′i(t)ei (car les Γkij sont tous nuls). Donc

dans (Rn, can), X est parallèle le long de c ssi les composantes Xi sontconstantes ssi X est la restriction à c d'un champ constant de Rn.

Proposition 2.7. Soit c : [a, b] → M une courbe C1 de M . Alors pourtout v ∈ Tc(a)M , il existe un unique champ V parallèle le long de c tel queV c(a) = v. De plus, pour tout t ∈ I, l'application

P cat : (Tc(a)M, gc(a)) → (Tc(t)M, gc(t))

v 7→ V (t)

est une isométrie de linéaire appelée transport parallèle entre c(a) et c(t) lelong de c.

III. GÉODÉSIQUES 53

Preuve. On suppose d'abord que c est contenu dans le domaine Ud'une carte (U,ϕ) deM . Alors tout champ s'écritX(t) =

∑i=1Xi(t)

∂∂xi

(c(t))

et on a

D

dtX(t) =

n∑i=1

(X ′i(t) +

∑j,k

c′k(t)Γikj c(t)Xj(t)

) ∂∂xi c(t).

Donc DdtX(t) = 0 ssiX1

...Xn

′ (t) = −

∑

k c′k(t)Γ

1k1 c(t) · · ·

∑k c′k(t)Γ

1kn c(t)

......∑

k c′k(t)Γ

nk1 c(t) · · ·

∑k c′k(t)Γ

nkn c(t)

X1...Xn

(t)

Il s'agit d'une équation diérentielle linéaire du premier ordre à coecientscontinus. On en déduit que pour toute condition initiale

(Xi(a)

)i

= (vi)i (oùv =

∑i vi

∂∂xi

), il existe une unique solution(Xi(t)

)ide l'équation (i.e. un seul

champ parallèle Xv =∑

iXi(t)∂∂t

(c(t))le long de c) vériant cette condition

initiale (i.e. vériant Xv(a) = v) ; elle est dénie sur tout [a, b]. De plus v 7→Xv(t) = P c

at(v) est linéaire. Enn, comme le champ t 7→ P cat(v) est parallèle

le long de c, on déduit du 3) de la proposition établissant l'existence de Ddt

que t 7→ gc(t)(P cat(v), P c

at(u))est constante sur [a, b]. Comme P c

aa = IdTc(a)M ,on en déduit que P c

at est une isométrie. Pour traiter le cas où l'image de cn'est pas contenue dans un ouvert de carte, remarquez que P c

at = P cst P c

as.2

Remarque. P ct dépend de c en général (et pas seulement de c(a) et

c(t).

Définition. Soit x ∈M . On appelle lacet de M basé en x tout cheminc : [a, b] → M tel que c(a) = c(b) = x. Soit Lx = lacets C1 de M basésen x et Hx = P c

b /([a, b], c) ∈ Lx. Hx est un sous-groupe de O(TxM, gx)appelé groupe d'holonomie de (M, g) en x. Si x′ est un autre point de Malors Hx′ est isomorphe à Hx (on a Hx′ = (P c

ab)−1 Hx P c

ab pour tout cheminc : [a, b]→M tel que c(a) = x′ et c(b) = x).

III. Géodésiques

À partir de maintenant on suppose que (Mn, g) est de classe C∞.

a. dénition.Définition. Soit (Mn, g) une variété Riemannienne. Un chemin c : I →

M est une géodésique de (M, g) ssi c est C1 et vérie l'équation Ddtc′(t) = 0


sur I. I.e. c est une géodésique de (M, g) ssi pour tout t ∈ I et pour toutecarte (Ω, ϕ) de M au voisinage de c(t) on a

c′′i (s) +n∑

j,k=1

Γijk(c(s)

)c′j(s) c

′k(s) = 0

au voisinage de t pour tout i ∈ 1, · · · , n, où (c1, · · · , cn) = ϕ−1 c.

Proposition 2.8. Si c est une géodésique alors |c′(t)|g est constant. Enparticulier, si c : [a, b]→M est une géodésique, alors lg(c) = (b−a)‖c′(a)‖g.

Preuve. On a ddt〈c′(t), c′(t)〉 = 2〈D

dtc′(t), c′(t)〉 = 0. 2

Proposition 2.9. Si c : [a, b]→ M est une géodésique, µ et λ > 0 sontdes constantes alors γ(t) = c(λt+ µ) est aussi une géodésique de M .

Proposition 2.10. Si f : (M, g) → (N, h) est une isométrie locale et cest une géodésique de (M, g) alors f c est une géodésique de (N, h).

Preuve. Soit γ(t) = f c(t). Comme g = f ∗h, on a

0 = Dgc′(t)c

′(t) = f−1∗

(Dhf∗c′(t)f∗c

′(t))

= dγ(t)f−1(Dhγ′(t)γ

′(t))

Comme dγ(t)f−1 est un isomorphisme, on en déduit que Dh

γ′(t)γ′(t) = 0, et

donc γ est une géodésique de (N, h). 2

Exemple. Sur (Rn, gRn), on a Γijk = 0 pour tout (i, j, k) et donc c : I →Rn est une géodésique ssi c′′i (t) = 0 pour tout 1 ≤ i ≤ n et tout t ∈ I. Onen déduit que les géodesiques de Rn sont les chemins c(t) = a+ tb, où a et bsont des vecteurs xés de Rn.

Exemple. Si (M, g) est une sous-variété de Rn munie de la métriqueinduite par gRn alors une courbe c de M est une géodésique ssi

D

dtc′(t) = (

D

dtc′(t))T = (c′′)T = 0

Autrement dit, les géodésiques de M sont les courbes de M dont l'accéléra-tion est normale à M .

Par exemple, pour tout x ∈ Sn et tout v ∈ TxSn = x⊥ non nul, la courbec(t) = cos(‖v‖t)x + sin(‖v‖t) v

‖v‖ est une courbe C1 de Sn (car ‖c(t)‖2 =

cos2(‖v‖t) + sin2(‖v‖t) = 1) et on a c′′(t) = −‖v‖2c(t), qui est normale àSn en c(t). On en déduit que c(t) est une géodésique de (Sn, gSn) vériantc(0) = x et c′(0) = v.

De même, sur (Hn, gHn) la courbe c(t) = ch(‖u‖t)x + sh(‖u‖t) v‖v‖ (avec

x ∈ Hn et v ∈ TvHn) est une géodésique vériant c(0) = x et c′(0) = v.

IV. CARTE EXPONENTIELLE 55

En applicant le théorème de Cauchy-Lipschitz, on obtient le théorèmed'existence et unicité locale des géodésiques suivant.

Théorème 2.11. Soit (M, g) une variété Riemannienne. Pour tout m0 ∈M et tout v ∈ Tm0M , il existe une unique géodésique maximale (Iv, γv) (i.e.qui ne peut-être prolongée en une géodésique dénie un intervalle strictementplus grand que Iv) telle que γv(0) = m0 et γ′v(0) = v. De plus, il existe unvoisinage Um0 de m0 dans M et εm0 > 0 tels que pour tout m ∈ Um0 et toutv ∈ TmM vériant gm(v, v) ≤ εm0, la géodésique (Iv, gv) vériant γv(0) = met γ′v(0) = v vérie aussi ]− 2, 2[⊂ Iv.

Remarque. Pour tout λ ∈ R, t 7→ γv(λt) est une géodésique et parunicité de la géodésique réalisant une condition initiale donnée, on a γv(λt) =γλv(t) pour tout t ∈ Iλv = 1

λIv.

Remarque. Si (J, γ) est une géodésique vériant γ(0) = m et γ′(0) = valors J ⊂ Iv et γ = (γv)|J . L'ensemble v ∈ TM/π(v) ∈ Um0 et gπ(v)(v, v) <

εm0 est un voisinage ouvert de 0m0 dans TM et l'application

(v, t) ∈ Vm0×]− 2, 2[7→ γv(t) ∈M

est C∞.

Remarque. De cette unicité locale des géodésique réalisant une condi-tion initiale γ(0) et γ′(0) donnée, on retrouve que les géodésiques de (Rn, gRn)sont exactement les courbes t 7→ at+ b (puisque ces courbes réalisent toutesles conditions initiales possibles et ne sont pas prolongeables). De même,les géodésique de (Sn, gSn) (resp. de (Hn, gHn)) sont les courbes décrites plushaut, qui sont les paramétrisations à vitesse constante des intersections deSn (resp. Hn) avec les plans vectoriels de Rn+1.

IV. Carte exponentielle

a. Complétude.Définition. On dit qu'une variété Riemannienne est géodésiquement

complète si toutes les géodésiques de (Mn, g) sont dénies sur tout R.

Exemple. On considère sur R la métrique g = exdx2. On a Γ111(x) =

12g11(∂g11

∂x1+ ∂g11

∂x1− ∂g11

∂x1

)= 1

2. Donc les géodésiques de g vérient

c′′ +1

2(c′)2 = 0


d'où c′(t) = 2v2+vt

et donc c(t) = x+ 2 ln(1 + vt

2

). Les géodésiques maximales

de g sont donc dénies sur ]−2v,+∞[ si v > 0, sur R si v = 0 et sur ]−∞, −2

v[

si v < 0. (R, exdx2) n'est donc pas une variété complète.

Exemple. Si on considère Rn \ 0 muni de la métrique induite parcelle de Rn, alors les géodésiques issues de x 6= 0 sont les courbes de la formeγx,v(t) = x + tv, dénies sur des intervalles I tels que γ(x,v)(t) ∈ Rn \ 0pour tout t ∈ I. En particulier, γx,−x est dénie sur ]−∞, 1[ mais pas sur Ret donc (Rn \ 0, can) n'est pas complète.

Théorème 2.12 (Hopf-Rinow). Soit (M, g) une variété Riemannienneconnexe (par arcs). Alors les propriétés 6 suivantes sont équivalentes

1) (Mn, g) est géodésiquement complète,2) toute géodésique de (M, g) est dénie sur tout R,3) il existe m ∈M tel que toute géodésique de M issue de m soit dénie

sur tout R,4) (M,dg) est un espace métrique complet,5) toutes les boules férmées de (M,dg) sont compactes,6) toute partie fermée et bornée (pour dg) de (M,dg) est compacte.

Corollaire 2.13. Toute variété Riemannienne compacte est géodési-quement complète.

Remarque. En particulier, toute métrique sur Sn est géodésiquementcomplète.

Dans la suite, toute variété est supposée complète et de classe C∞.

b. Application exponentielle.Définition. Soit (Mn, g) une variété Riemannienne complète et m ∈

M . On poseexpm : TmM → M

v 7→ γv(1)

(où γv est la géodésique maximale de g vériant γv(0) = m et γ′v(0) = v).expm est appelée application exponentielle en m de (M, g).

L'application exponentielle de (M, g) est l'application

exp : TM → M(m, v) 7→ expm(v)

Théorème 2.14. expm et exp sont des applications C∞.Pour tout v ∈ TmM , γ(t) = exp(m, tv) = expm(tv) est l'unique géodé-

sique issue de m avec la vitesse γ′(0) = v.


Il existe εm > 0 tel que expm soit un diéomorphisme de B(0m, εm) (boulede centre 0m et de rayon εm dans (TmM, gm)) sur un voisinage ouvert de mdans M , et on a

d0m expm : T0m(TmM) ' TmM → TmMv 7→ v

Pour tout m ∈M , l'application

Ψ : TM → M ×M(m, v) 7→

(m, expm(v)

)est un diéomorphisme d'un voisinage de W de 0m dans TM sur voisinagede (m,m) dans M ×M (de la forme U ′ × U ′, où U ′ est un voisinage de mdans M).

Preuve. La régularité de expm et exp vient découle du théorème deCauchy-Lipschitz. On a γ(t) = expm(tv) = γtv(1) = γv(t).

Soit v ∈ TmM . On pose c(t) = tv, on a d0mexpm(v) = (expm c)′(0) =(γv)

′(0) = v. L'existence de εm découle donc du théorème d'inversion locale.Soit (Ω, ϕ) une carte de M au voisinage de m,

Φ : Ω× Rk → TM(x, λ) 7→

(ϕ(x),

∑i λi

∂∂xiϕ(x)

)la carte associée de TM au voisinage de (m, 0) et

ϕ× ϕ : Ω× Ω → M ×M(x, x′) 7→

(ϕ(x), ϕ(x′)

)la carte associée de M ×M en (m,m). On a alors

ψ = (ϕ× ϕ)−1 Ψ Φ(x, λ) =(x, ϕ−1 expϕ(x)

(∑i

λi∂

∂xiϕ(x)

))dont la métrice Jacobienne en

(ϕ−1(m), 0

)est de la forme

Jac(ϕ−1(m),0)ψ =

(Ik 0? dmϕ

−1 d0 expm dϕ−1(m)ϕ

)=

(Ik 0? Ik

)et donc est inversible. On en déduit que

d(m,0)Ψ = d(ϕ−1(m),ϕ−1(m))(ϕ× ϕ) d(ϕ−1(m),0)ψ (d(ϕ−1(m),0)Φ)−1

est inversible. Par le théorème d'inversion locale, Ψ est un diéomorphismed'un voisinage ouvert de 0m = (m, 0) sur un voisnage ouvert de (m,m).Quitte à restreindre l'ouvert à l'arrivée, on peut le supposer de la formeU ′ × U ′ (il sut alors de prendre comme nouvel ouvert de départ l'imageréciproque de U ′ × U ′). 2


Corollaire 2.15. Pour tout point m0 ∈ M , il existe un voisinage Um0

de m0 dans M et εm0 > 0 tel que1) 2 points (x, y) quelconque de Um0 sont reliés par une et une seule

géodésique γx,y de longueur < εm0.2) cette géodésique γx,y dépend de manière C∞ de x et y (i.e. le choix de

la vitesse de départ v en x dépend de manière C∞ de y).

Preuve. On a v = Ψ−1(x, y). 2

Remarque. Dans le corollaire précédent, si M est compacte alors onpeut remplacer εm par une constante ε > 0 qui ne dépend pas de m.

c. Lemme de Gauss.Soit m ∈ M . On note Sn−1

m = v ∈ TmM/gm(v, v) = 1 la sphère unité del'espace tangent en m. L'application

ρm : R∗+ × Sn−1m → TmM \ 0

(t, v) 7→ tv

est un diéomorphisme. On pose Φ = expm ρm : R∗+ × Sn−1m →M .

Proposition 2.16 (Lemme de Gauss). Soit Vm un ouvert de TmM étoiléen 0m et tel que (expm)|Vm soit un diéomorphisme local sur son image (parexemple Vm = B(0, εm)). On note Um = ρ−1

m (Vm) et on dénit une métriqueg sur Um en posant g = Φ∗g.

1) on a g(t,v) = dt2 + ht, où ht est la métrique induite par g sur Um ∩(t × Sn−1). Plus précisement, on a

T(t,v)

(R∗+ × Sn−1

m

)= TtR∗+ ⊕ TvSn−1

m = (R · ∂∂t

)⊕ TvSn−1m

et donc tout vecteur tangent X à Um ∩ (R∗+ × Sn−1m ) se décompose de façon

unique sous la forme X = a∂∂t

+ u où ∂∂t

= (1, 0, · · · , 0) et u est tangent àSn−1m en v. On a alors

g(t,v)(X,X′) = aa′ + ht(u, u

′).

Géométriquement ce résultat s'interprète de la manière suivante.2) pour tout v ∈ Sn−1

m , la géodésique γv : t 7→ expm(tv) de (M, g) estpartout perpendiculaire aux hypersurfaces Φ

(Um∩(t×Sn−1

m ))

= expm(Vm∩

S(0m, t))(où S(0m, t) est la sphère de centre 0m et rayon t dans TmM).

Preuve. On note I =]0, lv[ l'ensemble des t > 0 tel que (t, v) ∈ Um ∩ (R∗+ × Sn−1

m )(cet ensemble est un intervalle car Vm est un ouvert étoilé en 0m). Soit u ∈


TvSn−1m . Il sut de montrer que g(t,v)

(∂∂t, ∂∂t

)= 1 et g(t,v)

(∂∂t, u)

= 0 pourtout t ∈ I. Or on a

g(t,v)

(∂∂t,∂

∂t

)= Φ∗g(t,v)

( ∂∂t,∂

∂t

)= gΦ(t,v)

(d(t,v)Φ(

∂

∂t), d(t,v)Φ(

∂

∂t))

= gexpm(tv)

(γ′v(t), γ

′v(t))

= gexpm(0)

(γ′v(0), γ′v(0)

)= gm(v, v) = 1

où on a utilisé que la norme du vecteur vitesse de la géodésique γv estconstante au cours du temps et que v est un vecteur unitaire.

Soit (Ω, ϕ) une carte de Sn−1m centrée en v. L'application

Ψ : R∗+ × Ω → R∗+ × Sn−1m

(t, x) 7→(t, ϕ(x)

)est un diéomorphisme local. Le champ U dénit sur R∗+×ϕ(Ω) par U(t, v′) =d(t,ϕ−1(v′))Ψ

(0, dvϕ

−1(u))

= Ψ∗(0, dvϕ

−1(u))vérie U(t, v) = u pour tout t.

Comme ∂∂t

(t, v′) = (1, 0, · · · , 0) = Ψ∗(1, 0), on a

[U,∂

∂t] =

[Ψ∗(0, dvϕ

−1(u)),Ψ∗(1, 0)

]= Ψ∗[

(0, dvϕ

−1(u)), (1, 0)] = 0.

Le long du chemin t 7→ (t, v), on a g(t,v)(∂∂t, u) = g(t,v)(

∂∂t, U). Comme Φ est

une isométrie locale entre g et g et que t 7→ (t, v) = Φ−1(γv), on en déduitque c(t) = (t, v) est une géodésique de Um pour la métrique g. En particulier,Dg

∂∂t

∂∂t

= 0 et

∂

∂t· g(t,v)

(∂∂t, U)

= g(t,v)

(Dg

∂∂t

∂

∂t, U)

+ g(t,v)

(∂∂t,Dg

∂∂t

U)

= g(t,v)

(∂∂t,Dg

U

∂

∂t

)+ g(t,v)

(∂∂t, [∂

∂t, U ])

=1

2U · g(t,v)

(∂∂t,∂

∂t

)= 0

puisque g(t,v)

(∂∂t, ∂∂t

)est constant égal à 1. Donc t 7→ g(t,v)(

∂∂t, u) est constante

sur I.Enn, on a d(t,v)Φ(U) = dtv expm(tU) = tdtv expm(U) et donc

g(t,v)

(∂∂t, U)

= gΦ(t,v)

(d(t,v)Φ(

∂

∂t), d(t,v)Φ(U)

)= t× gΦ(t,v)

(γ′v(t), dtv expm(U)

)︸︷︷︸

reste borné quand t tend vers 0

On en déduit que g(t,v)

(∂∂t, u)tend vers 0 quand t tend vers 0 et donc

g(t,v)

(∂∂t, u)

= 0 pour tout t ∈ I. 2


d. Courbes minisantes.Définition. Soit m1 et m2 deux points de M . On dit qu'une courbe

C1 par morceaux γ de (M, g) est minimisante entre m1 et m2 si elle relie m1

et m2 et si Lg(γ) ≤ Lg(c) pour toute courbe c reliant m1 et m2 et C1 parmorceaux.

Corollaire 2.17. Soit (Mn, g) une variété Riemannienne complète,m ∈ M et r > 0 tel que expm soit un diéomorphisme de B(0m, r) surson image dans M . Alors pour tout v ∈ Sn−1

m , γv(t) = expm(tv) restreinteà [0, ε] est l'unique courbe minimisante (à reparamétrisation près) reliant mà expm(εv) (pour tout ε ∈]0, r[). On a alors dg

(m, expm tv

)= t pour tout

t ∈ [0, r[.

Preuve. Notons d'abord que, comme v est unitaire on a lg((γv)|[0,t]

)=

t.Soit Um = expm

(B(0m, r)

)et γ : [0, a] → M une courbe de M C1 par

morceaux reliant m à p = expm(εv). On note s2 le premier point de [0, a]tel que γ(s2) = p ou γ(s2) /∈ Um2 et on note s1 le plus grand point de [0, s2]tel que γ(s1) = m. On note

(t(s), v(s)

)= Φ−1 γ(s) ∈]0, r[×Sn−1 sur [s1, s2]

(où Φ est l'application décrite dans le lemme de Gauss). Les fonctions t et vsont C1 par morceaux et on a lims→s1 t(s) = 0, lims→s2 t(s) = ε si γ(s2) = pet lims→s2 t(s) = r si γ(s2) /∈ Um. D'aprés le lemme de Gauss, on a

gγ(s)

(γ′(s), γ′(s)

)= (ϕ−1)∗g(

t(s),v(s))(dγ(s)ϕ

(γ′(s)

), dγ(s)ϕ

(γ′(s)

))= (ϕ−1)∗g(

t(s),v(s))(t′(s)∂

∂t+ v′(s), t′(s)

∂

∂t+ v′(s)

)=(t′(s)

)2+ ht(s)

(v′(s), v′(s)

)≥(t′(s)

)2,

avec égalité ssi v′(s) = 0. On a donc

Lg(γ) ≥∫ s2

s1

√gγ(s)

(γ′(s), γ′(s)

)ds ≥

∫ s2

s1

|t′(s)| ds

≥ |t(s2)− t(s1)| ≥ ε = Lg((γv)|[0,ε]

)avec égalité ssi toutes les inégalités sont des égalités. La première impliques1 = 0 et s2 = a. La dernière implique que γ(a) = p. La seconde implique quev′(s) est nulle presque partout sur [0, a] et comme γ est C1 par morceaux, onen déduit que v est constante par morceaux et donc constante car γ = Φ(t, v)est continue. En particulier,

(t(a), v(a)

)= Φ−1 γ(a) = Φ−1(p) = (ε, v) et

donc v(s) = v sur [0, a]. On en déduit que si on a égalité alors γ(s) =Φ(t(s), v) = expm

(t(s)v

)= γv t(s). La troisième inégalité implique que t′

est de signe constant (et donc t est croissante car t(0) = 0 et t(a) = ε). Doncune courbe minimisante est une reparamétrisation de la géodésique γv.


Réciproquement, comme une reparamétrisation croissante ne change pasla longueur d'une courbe, on en déduit que γ minimise entre m et p ssi γ estune reparamétrisation croissante et C1 par morceaux de γv.2

Remarque. Si γ : [0, a] → M est C1 par morceaux alors la fonc-

tion α(t) =∫ t

0

√g(γ′(s), γ′(s)

)ds est croissante sur [0, a]. Comme les sous-

intervalles de [0, a] où α est constante correspondent à des sous-intervallesoù γ′ = 0 (et donc où γ est constante), on peut, en sautant ces intervalles,se ramener à une courbe γ qui a la même image que γ et pour laquelle lafonction α est strictement croissante. Alors la courbe c = γ α−1 est C1 parmorceaux, a la même trajectoire que γ (et donc même longueur) et vériegc(t)

(c′(t), c′(t)

)= 1 partout où c est dérivable. On dit que c est paramétrée

par sa longueur. Toute courbe C1 par morceaux γ est donc une reparamétri-sation d'une courbe c paramétriée par sa longueur.

On en déduit que pour la recherche des courbes minimisantes entre deuxpoints se ramène à la recherche des courbes minimisantes paramétrées parleur longueur (i.e. de vecteur vitesse de norme constante égale à 1).

Corollaire 2.18. Soit γ : I →M une courbe C1 par morceaux paramé-trée par sa longueur (i.e. telle que |γ′(s)|g = 1 partout où γ est dérivable).On suppose que I est un intervalle ouvert à droite.

1) γ est une géodésique ssi il existe η : I → R∗+ continue telle que pourtout t ∈ I, γ soit minimisante entre γ(t) et γ(t+ η).

2) si γ est minimisante alors γ est une géodésique (en particulier, si gest C∞ alors γ est C∞).

Remarque. Toute géodésique est minimisante entre deux de ses pointssusament proches mais pas nécessairement entre tous ses points (considérerpar exemple un arc de géodésique sur (Sn, gSn) de longueur strictement plusgrande que π).

Preuve. Remarquez que si γ : I → M est minimisante alors, enposant η(t) = inf(1, sup I−t

2), on a [t, t+ η(t)] ⊂ I et γ|[t,t+η(t)] est minimisante

(preuve par l'absurde facile). Ainsi la propriété 1) implique la propriété 2).Il reste à prouver 1).

Si γ : I → M est une géodésique, alors pour t ∈ I, on pose m = γ(t)et v = γ′(t). Alors γ(t + s) = γv(s) = expγ(t)(s) et donc, pour η(t) =

inf(εγ(t),sup I−t

2), γ minimise entre γv(0) = γ(t) et γv

(η(t)

)= γ

(t + η(t)

)(d'aprés le corollaire précédent et le théorème 2.14).

Réciproquement, si γ minimise sur [t, t+ η(t)] alors γ minimise sur [t, t+inf( εγ(t)

2, η(t)

)] et comme γ

(t+inf(

εγ(t)

2, η(t))

)∈ Uεγ(t)

, le corollaire précédentimplique que γ|[t,t+inf(

εγ(t)2

,η(t))]est une géodésique. En utilisant les continuités


de ε et η, on en déduit aisément que γ vérie l'équation des géodésiques entout point de I. En particulier γ est C∞. 2

Soit p et q deux points de M . Existe-t-il une géodésique minimisantereliant p et q ? D'après la section précédente, on sait que cela est vrai si q estsusament proche de p. En revanche, c'est faux sur

(Rn \ 0, gRn

).

Théorème 2.19. Soit (Mn, g) variété Riemannienne complète, alorspour tout couple de points (p, q) de M , il existe au moins une géodésiqueminimisante de (M, g) reliant p et q.

Remarque. La boule unité de Rn munie de la métrique induite parcelle de Rn a pour géodésique les segments qu'elle contient. Elle n'est doncpas géodésiquement complète alors que tout couple de points peuvent êtrerelié par une géodésique minimisante.

e. Domaine d'injectivité. Soit (M, g) une variété Riemannienne com-plète, m ∈ M et v ∈ Sn−1

m . On pose Iv = t > 0/s 7→ γv(s) = expm(sv) soitminimisante sur [0, t] (i.e. on suppose que γv minimise entre γv(0) = m etγv(t)).

Exemple. Si (M, g) = (Rn, gRn) alors Iv = [0,+∞[ pour tout v ∈ TRn.Si (M, g) = (Sn, gSn) alors Iv = [0, π] pour tout v ∈ TSn.

Proposition 2.20. Pour toute variété Riemannienne complète (Mn, g),Iv est un intervalle fermé [0, ρ(v)] (ρ(v) peut-être inni). De plus, ρ : v ∈Sn−1m 7→ ρ(v) ∈ R∗+ est continue.

Preuve. Si γv minimise sur [0, t0] alors γv minimise sur [0, s] pourtout s ≤ t0. On en déduit que Iv est un intervalle. Si cet intervalle n'est pasborné alors Iv = [0,+∞[ est fermé. Sinon, on a [0, ρ(v)[⊂ Iv ⊂ [0, ρ(v)]. Si cest une courbe C1 par morceaux reliant m à γv

(ρ(v)

), alors la courbe qui va

de m à γv(ρ(v)

)en suivant c et de γv

(ρ(v)

)à γv

(ρ(v)− ε

)en suivant γv est

de longueur Lg(c) + ε√gm(v, v). Or γv est minimisante de m à γv

(ρ(v)− ε

)et donc Lg(c) + ε

√gm(v, v) ≥

(ρ(v) − ε

)√gm(v, v) = Lg(γv) − ε

√gm(v, v).

Comme cette inégalité est valable pour tout ε > 0, en passant à la limite ona Lg(c) ≥ Lg(γv), et donc γv est minimisante sur [0, ρ(v)] (ansi ρ(v) ∈ Iv).

Le résultat sur la continuité de ρ(v) est plus subtil à démontrer (on peutmême démontrer que ρ est Lipschitzienne). 2

Définition. Soit m ∈ M . On appelle domaine d'injectivité de m l'en-semble

Um = tv ∈ TmM/v ∈ Sn−1m , t ∈ [0, ρ(v)[.

V. COURBURE 63

Notez que Um correspond aux vecteurs u ∈ TmM pour lesquels il existeε > 0 tel que t 7→ γu(t) = expm(tu) minimise sur [0, 1 + ε] (i.e. t 7→ expm(tu)minimise au delà de expm(u)).

Théorème 2.21. Um est un ouvert de TmM étoilé en 0m et expm : Um →M est un diéomorphisme sur son image.

Plus précisement, on a ∂Um = ρ(v)v/v ∈ Sn−1m et si on note Cutm =

expm(∂Um) (ensemble appelé cut-locus de m), alors on a

M = expm(Um) ∪ Cutm expm(Um) ∩ Cutm = ∅

Cutm est un fermé de M d'intérieur vide.Enn, si on note dm : M → R+ la fonction dénie par dm(x) = dg(m,x),

on a que

d2m : expm(Um) → R+

x 7→ dm(x)2

est C∞ et pour tout u ∈ Um, on a d2m

(expm(u)

)= gm(u, u).

Exemple. Si (Mn, g) = (Rn, gRn) alors Um = Rn et Cutm = ∅ pour toutm ∈ Rn. Si (Mn, g) = (Sn, gSn) alors Um = B(0m, π) et Cutm = −m pourtout m ∈ Sn ⊂ Rn+1.

Remarque. ∂Um est l'ensemble des vecteurs v ∈ TmM tel que γv mi-nimise de m à expm(v) mais pas au delà, et Cutm est l'ensemble des bornesexpm(v) de ces géodésiques.

V. Courbure

Définition. Soit (M, g) une variété Riemannienne etD sa connexion deLevi-Civita. On appelle tenseur de courbure de (M, g) l'application suivante

R : Γ(M)4 → C∞(M,R)(W,X, Y, Z) 7→ g

(DW (DXZ)−DX(DWZ)−D[W,X]Z, Y

)︸︷︷︸=R(W,X,Y,Z)

Sim ∈M et (Ω, ϕ) est une carte deM au voisinage dem, alorsR(W,X, Y, Z)se calcule en fonction des coordonnées deW ,X, Y , Z et de g (et des symbolesde Christoel) dans la carte suivant la formule suivante :

R(W,X, Y, Z)(m) =n∑

i,j,k,l=1

Rijkl(m)Wi(m)Xj(m)Yk(m)Zl(m)


où W =∑

iWi∂∂xi

, X =∑

iXi∂∂xi

, Y =∑

i Yi∂∂xi

, Z =∑

i Zi∂∂xi

et

Rijkl =n∑p=1

glp

(∂Γpik∂xj−∂Γpjk∂xi

+n∑q=1

(ΓqikΓ

pjq − ΓqjkΓ

piq

)).

Il découle de ces formules que R(W,X, Y, Z

)(m) ne dépend que de W (m),

X(m), Y (m) et Z(m) (et pas de leurs valeurs au voisinage de m) on endéduit R induit une application

Rm : TmM4 → R

(u, v, w, z) 7→ Rm(u, v, w, z) =∑

i,j,k,lRijkluivjwkzl

Ces deux applications ont les propriétés suivantes

Proposition 2.22. R (resp. Rm) est 4-linéaire sur Γ(M)4 (resp. surTmM

4). De plus, pour tout (W,X, Y, Z) ∈ Γ(M)4 (resp. (u, v, w, z) ∈ TmM4),on a

1) R(W,X, Y, Z) = −R(X,W, Y, Z) (Rm(u, v, w, z) = −Rm(v, u, w, z)),2) R(W,X, Y, Z) = R(Y, Z,W,X) (Rm(u, v, w, z) = Rm(w, z, u, v)),3) R(W,X, Y, Z) = −R(W,X,Z, Y ) (Rm(u, v, w, z) = −Rm(u, v, z, w)).De plus, si f1, f2, f3, f4 ∈ C∞(M,R), alors on a R(f1W, f2X, f3Y, f4Z) =

f1f2f3f4R(W,X, Y, Z).

Preuve. Exercice. 2

Proposition 2.23. Si f : (M, g)→ (N, h) est une isométrie locale (i.e.si g = f ∗h) alors les tenseurs de courbure de g et h sont reliés par la formule

Rgm(W,X, Y, Z) = Rh

f(m)(f∗W, f∗X, f∗Y, f∗Z)

Preuve. Exercice. 2

Exemple. Soit λ ∈ R∗+. Le tenseur de courbure de (Sn, λgSn) (resp. de(Hn, λgHn)) est égal à

R(W,X, Y, Z) = λ(gSn(W,Y )gSn(X,Z)− gSn(W,Z)gSn(X, Y )

)(resp. = −λ

(gHn(W,Y )gHn(X,Z)− gHn(W,Z)gHn(X, Y )

))Pour tout produit scalaire 〈· , ·〉 sur Rn, (Rn, 〈· , ·〉) a un tenseur de cour-

bure nul. De même, Tn muni de la métrique induite par celle de Cn est detenseur de courbure nul car localement isométrique à (Rn, can).

Définition. Si P est un plan de TmM , on appelle courbure sectionnellede P pour la métrique g la quantité

K(P) = Rm(e1, e2, e1, e2)

V. COURBURE 65

où (e1, e2) est une base orthonormée de P pour le produit scalaire gm (cettequantité ne dépend pas du choix de la base).

Exemple. Soit λ ∈ R∗+. Toutes les courbure sectionnelles de (Sn, λgSn)(resp. de (Hn, λgHn)) sont égales à 1

λ(resp. − 1

λ).

Pour tout produit scalaire 〈· , ·〉 sur Rn, les courbures sectionnelles de(Rn, 〈· , ·〉) sont nulles.

Théorème 2.24. Soit σ ∈ R. Si (Mn, g) est une variété Riemanniennecomplète dont toutes les courbures sectionnelles sont égales à σ alors

si σ = 0, il existe une isométrie locale f : (Rn, gRn)→ (Mn, g),si σ > 0, il existe une isométrie locale f : (Sn, 1

σgSn)→ (Mn, g),

si σ < 0, il existe une isométrie locale f : (Hn, 1−σgHn)→ (Mn, g).

Définition. On appelle courbure de Ricci de (Mn, g) en m la formebilinéaire symétrique suivante

Ricm : TmM2 → R

(u, v) 7→ Ricm(u, v) =∑n

i=1R(u, ei, v, ei)

où (ei) est une base orthonormée de (TmM, gm) (et le résultat ne dépend duchoix de la base orthonormée).

Exemple. Soit λ ∈ R∗+. La courbure de Ricci de (Sn, λgSn) (resp. de(Hn, λgHn)) en tout point m est égale à Ric = (n− 1)gSn = n−1

λ

(λgSn

)(resp.

Ric = −(n− 1)gSn = −n−1λ

(λgSn

)).

Pour tout produit scalaire 〈· , ·〉 sur Rn, la courbure de Ricci de (Rn, 〈· , ·〉)est nulle.

Définition. On appelle courbure scalaire de (M, g) la fonction Scal(m) =∑ni=1 Ricm(ei, ei) où (ei) est une base orthonormée de (TmM, gm) (de nou-

veau le résultat ne dépend pas du choix de la base orthonormée (ei)).

Exemple. Soit λ ∈ R∗+. La courbure scalaire de (Sn, λgSn) (resp. de(Hn, λgHn)) en tout pointm est égale à ‘fracn(n− 1)λ (resp. Ric = −n(n−1)

λ).

Pour tout produit scalaire 〈· , ·〉 sur Rn, la courbure scalaire de (Rn, 〈· , ·〉)est nulle.

Exemple. Dans la carte ϕ : (r, θ) ∈]0, π[×]0, 2π[ 7→ (sin r cos θ, sin r sin θ, cos r) ∈R3, la métrique g|S2 vérie (ϕ∗g|S2) = dr2 + sin2 rdθ2 et on trouve

RgS2

( ∂∂r,∂

∂θ,∂

∂r,∂

∂θ

)= sin2 r.


VI. Formules de varation

Définition. Soit γ : [a, b]→M un chemin C1. On appelle variation deγ (resp. à extrémités xées) toute application

H :]− ε, ε[×[a, b] → M(s, t) 7→ H(s, t)

de classe C1 qui vérie H(0, t) = γ(t) (resp. et H(s, a) = γ(a), H(s, b) = γ(b)pour tout s).

Soit H une variation de γ. On note γs(t) = H(s, t) et ct(s) = H(s, t)les chemins de M associés. On a ∂H

∂t(s, t) = γ′s(t) ∈ TH(s,t)M et ∂H

∂s(s, t) =

c′t(s) ∈ TH(s,t)M donc ∂H∂t

et ∂H∂s

induisent des champs de vecteurs le long deschemins ct et γs. On note D

dt∂H∂t

(x, t) ∈ TH(s,t)M la dérivée de ∂H∂t

le long de γsà l'instant t et D

ds∂H∂t

(s, t) ∈ TH(s,t)M la dérivée de X le long de ct à l'instants. On dénit de même D

dt∂H∂s

(s, t), Dds∂H∂s

(s, t). De nouveau Ddt∂H∂t, Dds∂H∂t, Ddt∂H∂s,

Dds∂H∂s

induisent des champs le long de γs et ct et on peut dénir en itérantDdtDdt∂H∂t, DdsDdt∂H∂t, Dds

Dds∂H∂t, DdtDds∂H∂t, · · ·

Lemme 2.25 (Technique). On a Dds∂H∂t− D

dt∂H∂s

= 0 et pour tout u ∈TH(s,t)M , on a g

(DdsDdt∂H∂s− D

dtDds∂H∂s, u)

= R(∂H∂s, ∂H∂t, u, ∂H

∂s).

Preuve. Soit (Ω, ϕ) une carte locale de M en H(t, s). On poseH(s, t) = ϕ−1 H(s, t) =

(H1(s, t), · · · , Hk(s, t)

)∈ Ω ⊂ Rk. Il existe des

fonctions αi telles que ∂H∂t

(s, t) =∑

i αi(s, t)∂∂xiH(s, t). Alors

∂H

∂t(s, t) = dH(s,t)ϕ

−1(∂H∂t

(s, t))) =

∑i

αi(s, t)dH(s,t)ϕ−1( ∂∂xiH(s, t)

)=∑i

αi(s, t)ei

On en déduit que αi(s, t) = ∂Hi∂t

(s, t) et donc ∂H∂t

(s, t) =∑

i∂Hi∂t

(s, t) ∂∂xiH(s, t).

De même, on a ∂H∂s

(s, t) =∑

i∂Hi∂s

(s, t) ∂∂xiH(s, t). On a alors

D

ds

∂H

∂t(s, t) =

∑i

(∂2Hi

∂s∂t(s, t) +

∑jk

(c′t)k(s)∂Hj

∂t(s, t)Γikj ct(s)

) ∂

∂xi ct(s)

=∑i

(∂2Hi

∂s∂t(s, t) +

∑jk

∂Hk

∂s(s, t)

∂Hj

∂t(s, t)Γikj H(s, t)

) ∂

∂xiH(s, t)

et de même, on a

D

dt

∂H

∂s=∑i

(∂2Hi

∂t∂s+∑jk

∂Hk

∂t

∂Hj

∂sΓikj H

) ∂

∂xiH

VI. FORMULES DE VARATION 67

D'aprés le théorème de Schwarz appliqué à H et l'égalité Γijk = Γikj, onobtient D

ds∂H∂t

= Ddt∂H∂s.

La deuxième égalité se démontre de la même manière, en calculant DdtDds∂H∂t

et DdsDdt∂H∂t

en deux temps. 2

Remarque. Réciproquement, si Y ∈ Γ(γ), alorsH(s, t) = expγ(t)

(sY (t)

)est une variation de γ qui vérie Y (t) = ∂H

∂s(0, t).

Proposition 2.26 (Variation première de la longueur). Soit H une va-riation d'un chemin γ : [a, b] → M paramétré par sa longueur. On noteL(s) = lg(γs). Alors on a

L′(0) = g(Y (b), γ′(b)

)− g(Y (a), γ′(a)

)+

∫ b

a

g(Y (t),

D

dtγ′(t)

)dt,

où Y (t) = ∂H∂s

(0, t).

Preuve. On a L(s) =∫ ba|γ′s(t)|gdt et donc

L′(s) =

∫ b

a

d

ds

√g(∂H

∂t,∂H

∂t)dt =

∫ b

a

g(Dds∂H∂t, ∂H∂t

)

|∂H∂t|g

dt =

∫ b

a

g(Ddt∂H∂s, ∂H∂t

)

|∂H∂t|g

dt

=

∫ b

a

ddtg(∂H

∂s, ∂H∂t

)− g(∂H∂s, Ddt∂H∂t

)

|∂H∂t|g

dt

Comme en s = 0, |∂H∂t

(0, t)| = |γ′(t)| = 1, on a

L′(0) =

∫ b

a

d

dtg(∂H

∂s,∂H

∂t)− g(

∂H

∂s,D

dt

∂H

∂t)dt

=[g(∂H∂s

, γ′(t))]b

a−∫ b

a

g(∂H∂s

,D

dtγ′(t)

)dt

2

Remarque. On a donné une dénition des géodésique comme étant lescourbes vériant l'équation D

dtγ′ = 0 et montrer qu'elles réalisent le miracle

de donner les courbes qui minimisent la distance entre 2 points. En faitcette équation vient de la formule précédente. Si γ minimise la longueur (etest paramétré par sa longueur) alors pour toute variation H (i.e. pour toutY ∈ Γ(γ)), on a L′(0) = 0. On en déduit que γ vérie l'équation D

dtγ′(t) = 0.

Proposition 2.27 (Variation seconde de la longueur). Soit γ une géodé-sique de M paramétrée par sa longueur (i.e. de vitesse unitaire). Alors pour


toute variation H à extrémités xées de γ, on a

L′(0) = 0

L′′(0) =

∫ b

a

−R(Y (t), γ′(t), Y (t), γ′(t)

)+ |Y ′(t)|2 −

(g(Y ′(t), γ′(t))

)2dt

où Y (t) = ∂H∂t

(0, t) et on a noté Y ′(t) = DdtY (t).

Preuve. L′(0) = 0 vient de la formule précédente et de l'hypothèseDdtγ′ = 0. De plus, d'aprés la preuve de la formule précédente, on a

L′′(0) =

∫ b

a

d

ds

g(Ddt∂H∂s, ∂H∂t

)|∂H∂t|g

dt =

∫ b

a

ddsg(Ddt∂H∂s, ∂H∂t

)|∂H∂t|g

−g(Dds∂H∂t, ∂H∂t

)g(Ddt∂H∂s, ∂H∂t

)|∂H∂t|3g

dt∫ b

a

g(Dds

D

dt

∂H

∂s,∂H

∂t

)+ g(Ddt

∂H

∂s,D

ds

∂H

∂t

)− g(Dds

∂H

∂t,∂H

∂t

)g(Ddt

∂H

∂s,∂H

∂t

)dt∫ b

a

−R(∂H

∂s,∂H

∂t,∂H

∂s,∂H

∂t)+g

(Ddt

D

ds

∂H

∂s,∂H

∂t

)+g(DdtY,D

dt

∂H

∂s

)−(g(Ddt

∂H

∂s, γ′(t)

))2dt∫ b

a

−R(∂H

∂s,∂H

∂t,∂H

∂s,∂H

∂t)+

d

dtg(Dds

∂H

∂s, γ′(t)

)−g(Dds

∂H

∂s,D

dtγ′(t)

)+|Y ′|2g−

(g(Y ′, γ′(t)

))2dt

=[g(Dds

∂H

∂s, γ′(t)

)]ba

+

∫ b

a

−R(Y, γ′, Y, γ′) + |Y ′|2g −(g(Y ′, γ′(t)

))2dt

où on a utilisé que Ddtγ′ = 0. On conclut en utilisant que ∂H

∂s(s, a) = 0 et

∂H∂s

(s, b) = 0 pour tout s puisque H est une variation à extrémités xées. 2

Pour nir, on donne une application de la formule précédente.

Théorème 2.28 (Myers). Soit (Mn, g) une variété complète dont la cour-bure de Ricci vérie Ricm(u, u) ≥ (n − 1)gm(u, u) pour tout m ∈ M ettout u ∈ TM (on dit que M à une courbure de Ricci supérieure à celle de(Sn, can), pour laquelle on a Ric Sn = (n− 1)gSn). Alors M est compacte etDiam (M,dg) ≤ π = Diam (Sn, dSn).

Remarque. On peut montrer que si (Mn, g) est complète, vérie Ricm(u, u) ≥(n− 1)gm(u, u) pour tout m ∈M et tout u ∈ TM et Diam (M,dg) = π alors(M, g) = (Sn, gSn).

Preuve. Il sut de montrer la borne sur le diamètre, la compacitéde M découlera alors du théorème de Hopf-Rinow. Soit p, q ∈M , l = d(p, q)et γ : [0, l]→M une géodésique minimisante de vitesse unitaire reliant p à q.On pose (e1, · · · , en) une base orthonormée de (TpM, gp) telle que e1 = γ′(0)et Ei(t) l'unique champ parallèle le long de γ tel que Ei(0) = ei. Alorspour tout t ∈ [0, l],

(E1(t), · · · , En(t)

)est une BON de (Tγ(t)M, gγ(t)) (car

le transport parallèle est une isométrie). On pose Yi(t) = sin(πtl

)Ei(t) et Hi

VI. FORMULES DE VARATION 69

une variation de γ telle que ∂H∂s

(0, t) = Yi(t). Comme Ei est parallèle, on aDdtY (t) = π

lcos(πt

l)Ei(t) + 0 et donc si on note Li(s) = lg

(t 7→ Hi(s, t)

), alors

d'aprés le théorème précédent, on a∑

i L′i(0) = 0 et∑

i

L′′i (0) =∑i

∫ l

0

−R(Yi(t), γ

′(t), Yi(t), γ′(t))+|Y ′i (t)|2−

(g(Y ′i (t), γ

′(t)))2dt

=∑i

∫ l

0

− sin2(πt

l)R(Ei(t), γ

′(t), Ei(t), γ′(t))+π2

l2cos2(

πt

l)(|Ei(t)|2−

(g(Ei(t), γ

′(t)))2)

dt

=

∫ l

0

− sin2(πt

l)Ric

(γ′(t), γ′(t)

)+ (n− 1)

π2

l2cos2(

πt

l)dt

≤ (n− 1)(π2

l2

∫ l

0

cos2(πt

l)dt−

∫ l

0

sin2(πt

l))

= (n− 1)l

2

(π2

l2− 1)

Or, si γ est minimisante, alors 0 est un minimum pour toutes les fonctionsLi(s) et donc on doit avoir

∑i L′′i (0) ≥ 0, et donc l ≤ π, ce qui donne le

résultat. 2

introduction à la géométrie riemannienne 2008 erwann aubryeaubry/enseignement/m2/coursm2.pdf ·...

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