introduction à l'optique ondulatoire - free

physique année scolaire 2018/2019

Introduction à l'optique ondulatoireLes points du cours à connaître

I- Modélisation d'une source lumineuse

1. Modèle scalaire de la lumière

Intensité lumineuse ou éclairement

L'intensité lumineuse (ou l'éclairement) est proportionnelle à la moyenne temporelle (sur untemps τr) du carré de la vibration lumineuse au point M :

I(M) = K⟨s2(M, t)

⟩τr

NB : on prendra souvent K = 1 ! Et ni s, ni I n'ont d'unités �xées, ce qui est assez inhabituelen physique.

2. Spectre d'une source lumineuse

Durée et longueur de cohérence temporelle

Une source lumineuse a une largeur spectrale ∆ν telle que τc ∆ν ≈ 1 où

• τc est la durée ("durée de cohérence temporelle") de la vibration lumineuse émise par lasource ;

• et `c = c τc, la longueur de cohérence temporelle.

3. Modèle du train d'onde

II- Propagation d'une onde monochromatique

1. Propriétés des ondes monochromatiques

Vibration lumineuse monochromatique

Au point M repéré par le vecteur ~r =−−→OM , à l'instant t, la vibration lumineuse d'onde mono-

chromatique s'écrit

s(M, t) = A(M) cos(ω t− ~k ·~r

)= A(M) cos (ω t− ϕ(M)) = Re(s)

avec la vibration complexe

s = A(M) exp [−i (ω t− ϕ(M))] = a(M) exp [−i ω t]

d'amplitude complexea(M) = A(M) exp [i ϕ(M)]

Lien entre les grandeurs spatiales et temporelles

Dans un milieu d'indice optique n, l'onde lumineuse se propage à la vitesse v = cn:

k =2π

λ=ω

v=

2π n

λ0

où λ0 = cνest la longueur d'onde dans le vide.

spé PC*1 page n◦ 1 Lycée Saint Louis


2. Déphasage et chemin optique

Chemin optique

Pour un milieu quelconque, on dé�nit le chemin optique sur un rayon lumineux curvilignequelconque de A à B par

LAB = (AB) =

∫ B

A

n(P ) ds(P )

où n(P ) est l'indice optique au point P d'abscisse curviligne s(P ).Déphasage dû à la propagation d'une onde plane monochromatique

Le déphasage, lorsque l'onde se propage de O jusqu'en M , est

∆ψO→M =2π

λ0(OM) + ϕsup

où λ0 est la longueur d'onde dans le vide de la radiation et on admet que ϕsup = π dans le cas :

• d'une ré�exion sur un métal (miroir) ;

• d'une ré�exion d'un milieu d'indice n1, sur un milieu d'indice plus élevé n2 > n1 ;

• du passage par un point de convergence.

3. Surfaces d'onde et théorème de Malus

Surfaces d'onde

on appelle surface d'onde d'une source S, à l'instant t, l'ensemble des pointsM de phase ∆ψS→M

constante. C'est l'ensemble des points M à égal chemin optique de la source S :

(SM) = constante

Théorème de Malus

Il y a orthogonalité des rayons lumineux et des surfaces d'ondes.

III- Divers types d'ondes lumineuses

1. Ondes sphériques et ondes planes

Stigmatisme

(AA′) = constant si A est conjugué avec A′

2. Faisceau gaussien d'un LASER

Caractéristiques du faisceau gaussien d'un LASER

Le faisceau gaussien d'un laser est caractérisé par :

• sa taille minimale (ou "waist") notée w0,

• sa longueur de Rayleigh notée zR,

• son ouverture angulaire θ = λπ w0

= w0

zR.

Comportements du faisceau à courte et longue distance

On retiendra que :

• pour |z| < zR, l'onde laser est quasi plane limitée, et le faisceau cylindrique de largeur w0,

• pour |z| � zR, l'onde laser est quasi sphérique limitée (de centre O), et le faisceau coniqued'ouverture angulaire θ = λ

π w0= w0

zR.

3. E�et d'une lentille convergente sur le faisceau d'un LASER

Extension de la tache de focalisation d'un laser

La tache de focalisation d'un laser est au moins de l'ordre de la longueur d'onde : w′0 > λ.



Exercice traité en �n de cours

Quelle est la dangerosité d'un pointeur laser ?

article paru dans "le �garo" le 03/12/2014, disponible à l'adresse http://sante.lefigaro.fr/actualite/2014/12/03/23127-gare-danger-pointeurs-lasers-pour-yeux.

"En apparence ino�ensifs, les pointeurs laser, principalement utilisés notamment dans les conférences pourdésigner des informations sur un tableau, peuvent causer des dommages très importants lorsqu'ils sont dirigésvers les yeux. [...]En France, seuls les lasers dont la puissance ne dépasse pas 1 mW (classe 1 et 2) sont autorisés à la vente.Mais il est très facile de se procurer sur Internet des modèles beaucoup plus puissants, de catégories 3 et 4,normalement réservés à un usage professionnel. Selon le Pr Renard, "les plus dangereux sont ceux qui émettentdans la couleur verte, avec une puissance pouvant aller jusqu'à 1500 mW. Projetée pendant quelques instants àcourte distance sur l'÷il, la lumière peut brûler la rétine et laisser des séquelles irréversibles".

1) Estimer la puissance surfacique du faisceau d'un pointeur laser reçu par un joueur sur un terrain defootball.


http://sante.lefigaro.fr/actualite/2014/12/03/23127-gare-danger-pointeurs-lasers-pour-yeux.

http://sante.lefigaro.fr/actualite/2014/12/03/23127-gare-danger-pointeurs-lasers-pour-yeux.


Techniques à maîtriser

I- Spectre d'une source lumineuse

Relier la longueur de cohérence, ∆λ et λ en ordre de grandeur.

ce qu'il faut savoir faire capacités

1.1) Train d'ondeOn s'intéresse à une source lumineuse qui envoie un rayonnement sinusoïdal pendant la durée ∆t, supposée

parfaitement connue. On compte N périodes avec une incertitude sur ce décompte de ∆N ≈ 1.1) Quelle est la fréquence ν et la longueur d'onde λ du signal en fonction de c, ∆t et N ?2) Exprimer les incertitudes ∆ν sur la fréquence et ∆λ sur la longueur d'onde en fonction de c, ∆t et N .3) Quelle est la longueur de cohérence lc des trains d'onde ?4) Trouver une relation liant l'incertitude ∆E sur l'énergie des photons envoyés par la source et la durée

d'émission ∆t.5) Applications numériques : la longueur d'onde est λ = 500nm exprimer N , lc et ∆λ si

5.a) ∆t = 1ns ;5.b) ∆t = 1ps ;5.c) ∆t = 10fs.

Si ∆t = 1ns, N = 6, 0.105, lc = 0, 30m et ∆λ = 8, 3.10−13m. Si ∆t = 1ps, N = 6, 0.102, lc = 0, 30mm et∆λ = 0, 83nm. Si ∆t = 10fs, N = 6, 0, lc = 3, 0µm et ∆λ = 83nm.

1.2) Longueur de cohérence de la lumière blancheOn s'intéresse à une source blanche.1) Rappeler le domaine en longueur d'onde du visible.2) Relier la longueur de cohérence `c, ∆λ et λ en ordre de grandeur.3) Estimer alors un ordre de grandeur de la longueur de cohérence de la lumière blanche.

`c ≈ 1 µm .

1.3) Filtre interférentielOn s'intéresse à une source blanche avec un �ltre interférentiel dans le vert.1) Calculer la longueur de cohérence temporelle de cette source de largeur ∆λ = 10 nm autour de la

longueur d'onde λ = 546 nm.

lc = 30µm.

1.4) Spectre d'une lampe à vapeur de sodiumOn s'intéresse à une lampe à vapeur de sodium. La raie principale est à la longueur d'onde dans le vide

λ0 = 589 nm.1) Calculer la fréquence ν0 relative à cette raie.Une vapeur de sodium se trouve dans un voisinage du point O, et on observe la lumière qu'elle émet dans

la direction Oz : un détecteur se trouve en M tel que−−→OM = OM ~ez.



La probabilité qu'un atome de sodium de masse m à la température T ait la projection de vitesse vz estproportionnelle au facteur de Boltzmann :

e−

12mv2

zkB T

où kB = 1, 38× 10−23 J ·K−1 est la constante de Boltzmann.Du fait de l'e�et Doppler, la fréquence reçue par un récepteur n'est pas ν0 mais plutôt ν = ν0

(1 + vz

c

)où c

est la célérité de l'onde.2) Montrer que la probabilité de recevoir la fréquence ν est proportionnelle à la gaussienne

e−(ν−ν0)2

∆ν2

On donnera l'expression de ∆ν et on évaluera son ordre de grandeur.3) En déduire l'ordre de grandeur de la largeur en longueur d'onde de la raie ∆λ, ainsi que la durée du

train d'onde τc associé et la longueur de cohérence temporelle `c.En fait, il y a deux raies très proches (un "doublet"), d'intensités égales, à λ1 = 589, 0 nm et λ2 = 589, 6 nm.4) Tracer l'allure du spectre de la lampe à vapeur de sodium.

∆ν = ν0

c

√2RTM ≈ 109 Hz.

1.5) Spectres en longueur d'onde et en fréquenceUne source lumineuse a

• un spectre en fréquence Iν(ν)

• et un spectre en longueur d'onde (dans le vide) Iλ(λ).

1) Rappeler1.a) le lien entre λ et ν,1.b) ce que doivent véri�er les intégrales des fonctions Iν(ν) et Iλ(λ).

2) En déduire l'expression de Iλ(λ) en fonction de Iν(ν).

Iλ(λ) = +cλ2 Iν( cλ ).

II- Calculs de chemins optiques et de di�érences de marche

Associer la grandeur scalaire de l'optique à une composante d'un champ électrique.Exprimer le retard de phase en un point en fonction du retard de propagation ou du chemin optique.Utiliser l'égalité des chemins optiques sur les rayons d'un point objet à son image.Associer une description de la formation des images en termes de rayon lumineux et en termes de surfacesd'onde.


∆ψO→M =∫MO~k.−→d` = 2π

λ0(OM) + ϕsup.

Le calcul de chemin optique revient à évaluer la distance dans un milieu LHI et la multiplier par l'indiceoptique du milieu, sachant qu'il y a égalité de chemin optique entre deux points conjugués.NB : il y a égalité de chemin optique entre un point A et deux points B et B′ sur le trajet de la lumièredepuis A, si B et B′ sont sur la même surface d'onde (qui est un plan à l'in�ni).

Calculer un chemin optique méthode



Sur le schéma ci-contre, le point d'observationM étant dans le plan focal image, il est conju-gué avec l'in�ni.Du point de vue de l'optique géométrique, lesrayons issus de S1 et S2 qui aboutissent en Msont parallèles (et parallèles au rayon �ctif quipasserait par le centre de la lentille sans êtredévié).Du point de vue de l'optique ondulatoire,commeH est le projeté orthogonal de S1 sur lerayon issus de S2, H et S1 sont dans le mêmeplan d'onde.Ainsi, (S1M) = (HM) d'après le théorème deMalus.

Appliquer le théorème de Malus méthode

2.1) Démonstration des lois de la réfraction grâce aux chemins optiques1) Tracer le chemin de deux rayons lumineux parallèles réfractés suivant les angles i1 et i2 par rapport à la

normale à un dioptre séparant l'air d'un milieu d'indice n.2) Exprimer la di�érence de marche δ entre les deux rayons grâce au théorème de Malus. Pourquoi δ = 0 ?

Montrer que l'on retrouve la loi de Snell-Descartes de la réfraction.3) Interpréter le calcul précédent en terme de retard entre les ondes grâce aux célérités de ces dernières.

Grâce au théorème de Malus : (SA) = (SJ) et (IM) = (BM), aussi, on retrouve la loi de Snell-Descartesde la réfraction.

2.2) Calcul de chemin optique dans le cas d'une lentilleSoient A et A′ deux points sur l'axe d'une lentille d'épaisseur e d'indice n de focale f ′, de centre O. On

connait 0A.1) Déterminer le chemin optique (AA′).2) En déduire (AH), si H est un point sur la lentille à une distance h de l'axe, du côté de A′.

1) (AA′) = − 0A2

f ′+0A+ (n− 1) .e.

2) (AH) = − 0A2

f ′+0A+ (n− 1) .e−

√(h2 +

(0A.f ′

f ′+0A

)2).

2.3) Calcul de chemin optique dans le cas d'un foyerSoit F le foyer objet d'une lentille d'épaisseur e d'indice n de focale f ′, de centre O.1) Déterminer le chemin optique (AB), où B est accolé à la lentille, sur l'axe de la lentille, côté image.2) Même question pour C, accolé à la lentille, à une distance h de l'axe de la lentille, côté image.

(AB) = (AC).

2.4) Calcul de chemin optique dans le cas d'un miroir planSoit A un point ayant pour symétrique A′ par rapport à un miroir plan M .1) Déterminer le chemin optique (AP ), où P est est un point atteint par la lumière après ré�exion sur M .



(AP ) = A′P .

2.5) Limitation du taux de transfert d'une �bre optiqueUne impulsion lumineuse de courte durée envoyée dans une �bre optique d'indice n = 1, 5 subit un élargisse-

ment temporel lorsqu'elle ressort de celle-ci. Ceci limite rapidement le taux maximal de transfert d'informationsà grande distance. En e�et, les rayons lumineux d'inclinaisons di�érentes n'ont pas le même chemin à parcourirdans la �bre, donc leur temps de parcours est variable.

1) Calculer la di�érence de temps ∆t mis par deux rayons lumineux se propageant dans une �bre optiquede longueur L = 10km, l'un sur l'axe de la �bre et l'autre incliné de θ = 20◦ par rapport à celui-ci.

2) Quel nombre d'informations N peut transférer une telle �bre par unité de temps ?

∆t = 3, 2µs et la fréquence des bips doit être f < N = 0, 31MHz.

III- Le faisceau du LASER

Relier l'ouverture angulaire λ/a et le rayon minimal a.Utiliser l'expression fournie du pro�l radial d'intensité en fonction de la distance axiale.Construire l'allure d'un faisceau de pro�l gaussien à partir de l'enveloppe d'un faisceau cylindrique derayon a et d'un faisceau conique centré sur l'ori�ce de sortie du laser, et de demi-ouverture angulaireλ/a.Exploiter la convergence angulaire du faisceau issue de l'optique géométrique, la loi du retour inverse,et le lien entre l'ouverture angulaire λ/a et le rayon minimal a pour obtenir la dimension et la positionde la section minimale.


• pour |z| < zR, l'onde laser est quasi plane limitée, et le faisceau cylindrique de largeur w0,

• pour |z| � zR, l'onde laser est quasi sphérique limitée (de centre O), et le faisceau conique d'ouvertureangulaire θ = λ

π w0= w0

zR.

Trouver les caractéristiques du faisceau d'un LASER méthode

3.1) Divergences du faisceau d'une diode LASER GaAsLa cavité optique d'une diode laser GaAs a à peu près les dimensions suivantes :

• suivant Oz : 1 mm ;

• suivant Ox : 1 µm ;

• suivant Oy : 100 µm.

Elle émet un rayonnement dans l'infra-rouge à 870 nm.1) Estimer la divergence de son faisceau, assimilé à un faisceau gaussien

1.a) suivant la direction Ox1.b) et suivant la direction Oy.

Suivant la direction Ox : 14◦.

3.2) Caractéristiques des faisceaux d'un LASER Nd :YAGOn s'intéresse au laser Nd :Yag, de longueur d'onde λ = 1064 nm.1) Déterminer la divergence θ à longue distance et la longueur de Rayleigh zR d'un tel laser

1.a) lorsque son faisceau est focalisé �assez e�cacement �, avec un waist w0 = 10 µm,1.b) lorsque son faisceau est �assez collimaté �, avec un waist w0 = 1 mm.



Lorsque w0 = 10 µm, θ = 1, 8◦ et zR = 314 µm.

3.3) Épurateur de faisceau LASERSoit un faisceau laser gaussien peu divergent de rayon w0.On admet que l'amplitude scalaire de la vibration lumineuse émise par un laser est :

A (r, z, t) = A0w0

w(z)e− r2

w(z)2 e−i (ω t−ϕ(z)) avec w(z) = w0

√1 +

(z

zR

)2

en coordonnées cylindriques (r, θ, z).1) Déterminer l'évolution de l'éclairement I (r, z) dans un plan transverse z à la propagation.2) De façon à "épurer" le faisceau du laser, on positionne un diaphragme circulaire de rayon a, centré en

z = 0.2.a) Quelle est la proportion de l'énergie transmis à travers le diaphragme circulaire en fonction de a ?2.b) Applications numériques : a = w0

2 , a = 3w0

4 , a = w0 et a = 2w0.

E(a=2w0))Etot

= 0, 999

IV- Les transformations du faisceau du LASER

Montrer que le rayon minimal est de l'ordre de λ.Utiliser un élargisseur de faisceau pour réduire l'ouverture angulaire.


Il su�t de positionner le centre de l'onde conique du LASER au point de convergence prévu par l'optiquegéométrique. Cela donne une première relation sur l'angle de divergence du faisceau conique.Il y a d'autre part continuité de l'ouverture du faisceau de part et d'autre de la lentille. Cela donnel'autre relation qui permet de déterminer la totalité des caractéristiques du faisceau LASER.

Déterminer l'e�et d'une lentille convergente sur le faisceau d'un LASER méthode

4.1) Focalisation d'un LASEROn cherche à focaliser un faisceau laser collimaté, issu d'un laser He-Ne (longueur d'onde 633 nm), de taille

1 mm, situé à une position z = 0 de telle façon que la longueur de Rayleigh du faisceau focalisé soit égale à 30mm.

1) Quelle distance focale doit posséder la lentille qu'il faut utiliser ?

f ′ = 39 cm.

4.2) Conjugaison de deux faisceaux LASERUn faisceau laser, issu d'un laser He-Ne (de longueur d'onde 633 nm), a une taille 1 mm située à une distance

d (grande devant sa longueur de Rayleigh) d'une lentille de focale f ′ = d3 .

1) Quelle est la distance d′ entre la lentille et la taille w′0 du faisceau après la lentille ?2) Quelle est la nouvelle taille w′0 du faisceau après la lentille ?

La nouvelle taille du faisceau après la lentille est w′0 = 0, 5 mm.



Les techniques mathématiques à connaître

Transformée de Fourier d'une fonctionSoit f (t) une fonction ayant un certain nombre de propriétés mathématiques qu'on supposera véri-

�ées. On pose sa transformée de Fourier :

f (ν) =

∫ ∞−∞

f(t) exp (−2 i π ν t) dt

Propriété de la transformée de Fourier d'une fonction réelleSi f (t) est réelle, sa transformée de Fourier est paire : f (−ν) = f (+ν).Spectre d'une fonction réelle

Le spectre de f (t) est la représentation graphique de∣∣∣f (ν)

∣∣∣2 pour ν ∈ [0;∞[.

Passage de l'espace réel à l'espace réciproqueLa représentation de f (t) (dans l'espace "réel") fait apparaître :

• une période caractéristique T0 ;

• une durée caractéristique τc.

La représentation de f (ν) (dans l'espace "réciproque") fait apparaître :

• une fréquence caractéristique ν0 ;

• une largeur spectrale caractéristique ∆ν.

On admettra que

ν0 ≈1

T0et ∆ν ≈ 1

τc

Calcul de spectres méthode



5.1) Calcul des coe�cients de Fourier d'un train d'onde1) Tracer l'allure de f(t) telle que :

• f(t) = cos (2πν0 t) si t ∈[− τc2 ; + τc

2

]• f(t) = 0 sinon.

2) Calculer la transformée de Fourier f(ν) de f(t).3) Tracer l'allure du spectre de f(t).

f(ν) = τc2 (sinc (π (ν − ν0) τc) + sinc (π (ν + ν0) τc)).

5.2) Calcul des coe�cients de Fourier d'une onde "apodisée"1) Tracer l'allure de

f(t) = cos (2πν0 t) e− |t|τc

La transformée de Fourier de f(t) est

f(ν) = τc

(1

1 + (2π (ν − ν0) τc)2 +

1

1 + (2π (ν + ν0) τc)2

)

2) Tracer l'allure du spectre de f(t).3) Estimer ∆ν, la largeur à mi hauteur du pic.

∆ν = 2√√

2−12π τc

.

5.3) Calcul des coe�cients de Fourier d'une onde gaussienne1) Tracer l'allure de

f(t) = cos (2πν0 t) e− t2

τ2c

La transformée de Fourier de f(t) est

f(ν) =

√π

2τc

(exp

(−π2 (ν − ν0)

2τ2c

)+ exp

(−π2 (ν + ν0)

2τ2c

))2) Tracer l'allure du spectre de f(t).3) Estimer ∆ν, la largeur à mi hauteur du pic.

∆ν =√2 ln 2π τc

.



Exercices d'oral pour s'entraîner

exercice 1 (long) - La psychéOn considère un homme vertical de hauteur h, dont les yeux sont à l'altitude o par rapport au sol. L'homme

se tient à une distance d d'un miroir plan de hauteur g, accroché à un mur vertical à une distance z du sol.1) Taille du miroir

1.a) Quelle est la condition pour que l'homme voit ses pieds ?1.b) Même question pour que l'homme voit le sommet de sa tête.1.c) Quelle dimension minimale le miroir doit-il avoir pour que l'homme se voit de pied en cap ?

2) Position de l'homme2.a) Les précédentes relations dépendent-elles de la distance d ? Pourquoi ?2.b) A quelle distance doit se placer l'homme pour se voir en entier si les conditions sont réunies ?

3) Question subsidiaire :3.a) Comment contourner le problème si les conditions ne sont pas réunies ? Qu'est-ce qu'une psyché ?3.b) L'image de soi dans un miroir est double, il y a comme un écho un peu faible. Pourquoi ?

exercice 2 (court) - Surface rugueuse transformée en miroir(Mines 2006)Comment faire pour qu'une surface rugueuse se comporte comme un miroir parfait ?

exercice 3 (court) - Doublet de lentilles(C.C.P. 2007, exercice sur 6 points, déjà posé en 2005)

Soient deux lentilles sphériques minces (L1) et (L2) de même axe optique, de centres optiques respectifs O1 etO2 et de distances focales image respectives f ′1 et f ′2. L'axe optique est orienté dans le sens de propagation dela lumière, de O1 vers O2, et on donne f ′1 = 3a, f ′2 = a, O1O2 = 2a. Déterminer le foyer objet et le foyer imagede ce doublet de lentilles convergentes.

exercice 4 (long) - L'÷il(Centrale 2008, Physique II avec ordinateur)

Il y avait un ordinateur, mais il n'était pas nécessaire de s'en servir pour cet exercice.

1) Montrer la formule de Newton d'une lentille convergente.2) Modèle de l'÷il humain : dé�nir le modèle réduit et faire une analogie entre objets optiques et physiolo-

giques.3) Expliquer l'accomodation, dé�nir PP et PR.4) Donner les caractéristiques et les solutions pour :

4.a) un ÷il myope ;4.b) un ÷il hypermétrope.

exercice 5 (long) - Instruments d'optique(Centrale 2008, Physique II avec ordinateur)

Il y avait un ordinateur, mais il n'était pas nécessaire de s'en servir pour cet exercice.

1) Lunette astronomique : dé�nir un doublet afocal, construire les rayons lumineux, déterminer le grandis-sement et le grossissement, cercle oculaire, formule de Newton d'une lentille à redémontrer, observation d'étoiles(diamètre apparent).

2) Microscope : schema de principe, distance minimale de vision nette, modèle de l'oeil humain, latitudede mise au point.



Résolution de problème

L'expérience � laser-lune �

Extraits de l'expérience � laser-lune � (disponible en ligne : culturesciencesphysique.ens-lyon.fr/ressource/laser-distance-terre-lune.xml)par Marie-Christine Artru. - Centre de recherche d'astrophysique de Lyon, ENS Lyon

Déterminer la distance terre-lune et ses variations grâce à un laser

L'expérience � laser-lune � de l'Observatoirede La Côte d'Azur (OCA) a pour but la détermi-nation précise de la distance terre-lune et de sesvariations.

Le principe est la mesure de la durée d'aller-retour d'une impulsion laser émise du sol terrestrevers un ré�ecteur lunaire, soit τ = 2, 56 s entrel'émission d'une impulsion et la réception du si-gnal de retour correspondant. Actuellement, la dis-tance terre-lune est déterminée au centimètre près,la précision atteinte sur la mesure de τ étant deδτ ≈ 100 ps.

Dans le cas du laser-lune la longueur d'onde estλ = 532 nm (laser YAG-Nd doublé). Le diamètredu faisceau à la sortie du laser est de 1, 2 cm. Le la-ser émet une centaine d'impulsions en 10 s. Chaqueimpulsion du laser émet une énergie E = 0, 3 J surune durée de 0, 3 µs (puissance-crête de 1 MW !).

Le ré�ecteur lunaire est un panneau com-posé d'une mosaïque d'éléments catadioptriques,de type � coins de cube �. La proportion moyennedes photons détectés après ré�exion sur la lune estinférieure à 1 sur 1019.

à droite : ré�ecteur déposé sur la Lune par lesastronautes de la mission Appolo XV. C'est le plus grand des ré�ecteurs déposés sur la lune (dimensions 1 m x0,6 m).Source : NASA, Appolo XV Map and Image Library, image n◦ AS15-85-11468

Enoncé

Quel est le nombre de photons qui arrivent pour chaque impulsion sur le ré�ecteur posé sur la Lune ?



Programmation en python

Train d'onde et son spectre

1) Ecrire un programme qui permet de tracer l'allure de f(t) telle que :

• f(t) = cos (2πν0 t) si t ∈[− τc2 ; + τc

2

]• f(t) = 0 sinon.

et de son spectre :

|f(ν)|2 =[τc

2(sinc (π (ν − ν0) τc) + sinc (π (ν + ν0) τc))

]2

1) L'allure de f(t) est la suivante :

et l'allure du spectre de f(t) est la suivante :



Approche documentaire (DNS)

Un rayon bleu pour des disques plus denses

Comment augmenter la capacité des disques à lecture optique ? En réduisant la

longueur d'onde du laser et en améliorant les composants optiques.

Jean-Michel COURTY et Édouard KIERLIK

Idées de physique c© Pour la Science - n◦ 387 - Janvier 2010

Seul le laser permet d'enregistrer et de lire, par des procèdes optiques, de hautes densités d'information,stockée sur les disques compacts (CD) les DVD et maintenant les nouveaux disques Blu-Ray. A�n d'augmenterla densité de stockage, on doit focaliser le faisceau lumineux sur des régions de plus en plus petites Comment ?D'abord en diminuant la longueur d'onde de la lumière utilisée : de l'infrarouge pour les CD, on est passe à unelumière rouge pour le DVD, puis bleue pour le Blu-Ray, couleurs qui correspondent à des longueurs d'onde pluscourtes. Mais c'est loin de su�re : il faut aussi réaliser des optiques de haute qualité et a�ronter la di�raction,c'est-à-dire la divergence naturelle de tout faisceau lumineux.

Sur les disques numériques, on code l'information de façon binaire (des � 0 � et des � 1 �) sur une pisted'alvéoles par une série de zones ré�échissantes ou non. Les ré�exions ou non-ré�exions d'un faisceau lumineuxsur cette piste traduisent l'information inscrite. Plus la tache produite sur le disque par le faisceau lumineux estpetite, plus on peut diminuer la taille des alvéoles, donc augmenter la densité d'information stockée, on atteintaujourd'hui près de 23 gigaoctets pour un disque Blu-Ray, grâce a une tache lumineuse d'un demi-micromètre(un demi-millionième de mètre) de diamètre.Petite tache de laserA�n d'obtenir un tel résultat, il faut que la source lumineuse soit aussi de petite taille, parce qu'une lentille

convergente qui focalise un faisceau reproduit dans son plan focal une image de la source. Mais plus la sourceest petite, moins elle est brillante. Peut-on trouver un bon compromis entre taille et intensité ? La solution estfournie par le laser, réalisé pour la première fois par l'Américain Théodore Maiman.

Au c÷ur du laser se trouve un milieu ampli�cateur de lumière constitué d'atomes excités, par exemplegrâce à des décharges électriques. Lorsqu'un grain de lumière (un photon) frappe l'un de ces atomes, il induitl'émission d'un second photon identique en tous points au premier.

En rebondissant entre deux miroirs places de part et d'autre du milieu ampli�cateur, les photons se mul-tiplient à chaque traversée et l'intensité de la lumière s'accroît. Les miroirs qui forment la cavité laser sont



particuliers Tout d'abord, au moins l'un des deux est courbe, a�n que la lumière ne s'échappe pas par les côtéset reste con�née autour de l'axe optique. En suite, l'un des miroirs transmet une petite partie de la lumièrequ'il reçoit, laissant émerger un faisceau lumineux, le rayon laser (voir la �gure 1).

A la sortie du faisceau, son intensité est maximale au centre et décroît lorsqu'on s'écarte de son axe. Quelleest sa forme ? On peut l'assimilera ce que l'on obtiendra il en illuminant perpendiculairement un trou circulaireDans un premier temps, le faisceau a une forme cylindrique, de section constante mais plus loin de l'ouverture, ildevient conique, comme s'il était issu du centre du trou. C'est une manifestation du phénomène de di�raction :en franchissant un obstacle, la propagation de la lumière se modi�e et n'est plus rectiligne.

Avec un trou circulaire, l'angle de divergence du faisceau est proche du rapport entre la longueur d'onde de lalumière et le diamètre du trou. Avant de devenir conique, le faisceau reste cylindrique jusqu'à ce que l'ouverturedu cône soit comparable au diamètre du faisceau. Par exemple, un pointeur à laser rouge de 0,7 micromètrede longueur d'onde et de deux millimètres de diamètre a une divergence de 0,4 milliradian - cette divergencedevient sensible à partir de deux mètres environ.

Pour diminuer la divergence, il faut un faisceau large. C'est critique lorsqu'on vise la Lune avec un laser !La mission Apollo Xl a déposé à la surface de notre satellite des catadioptres qui ré�échissent la lumière dansla direction d'émission : si on éclaire depuis la Terre ces catadioptres, la lumière nous revient et la durée del'aller-retour renseigne sur la distance Terre- Lune (voir la �gure 2).

Mais si le faisceau diverge trop, l'énergie se disperse dans l'espace et on ne capte plus rien. En utilisantun télescope, on dilate le rayon vert d'un laser, à 500 nanomètres de longueur d'onde, en un faisceau de 15centimètres de diamètre. Son angle de divergence est de trois microradians (l'angle sous lequel on voit un objetde trois millimètres à une distance de un kilomètre). Les e�ets de la di�raction se manifestent à partir de 25kilomètres. C'est peu à l'échelle des 400 000 kilomètres de la distance Terre-Lune. À cette distance, le faisceaucrée, en théorie, une tache de plus de un kilomètre (sept en réalité, à cause des perturbations atmosphériques).Cela n'a pas que des inconvénients : on peut alors éclairer les catadioptres sans trop les chercher !Focaliser au mieuxComment focaliser le faisceau laser qui, à sa sortie, est cylindrique ? En utilisant une lentille, qui le transforme

en un faisceau conique convergent. On peut montrer (et même deviner, en vertu du principe du retour inversede la lumière) que la taille de la tache focale est égale au rapport entre la longueur d'onde lumineuse et l'angledu cône formé, ou, plus exactement, pour les grands angles, le sinus de cet angle, nommé ouverture numériquedu faisceau. Le sinus étant inférieur ou égal à un, la tache est toujours plus grande que la longueur d'onde.

Pour les CD, la lumière infrarouge de 785 nanomètres de longueur d'onde est focalisée avec une lentilled'ouverture numérique 0,45 et forme une tache de 1,56 micromètre. La densité d'information correspondanteest de 0,65 gigaoctet pour un disque de 12 centimètres de diamètre.

En jouant sur les deux pa-ramètres (longueur d'onde etouverture numérique), on peutaugmenter la densité d'infor-mation. Ainsi, on a utilisé deslongueurs d'onde plus courtesen passant au rouge à 650 na-nomètres des DVD, puis aubleu à 405 nanomètres des Blu-Ray (voir la �gure 3).

Cette réduction d'un fac-teur deux des longueurs d'ondediminue la surface de latache d'un facteur quatre.Avec l'amélioration de l'op-tique pour augmenter l'ouver-ture numérique jusqu'à 0,85on gagne encore un facteurdeux. Les progrès du codagenumérique et des dispositifs dedétection achèvent d'expliquerles performances des Blu-Ray.

Par ailleurs, une ouverture numérique élevée a pour conséquence de diminuer la distance sur laquelle lefaisceau reste cylindrique. Cela permet d'utiliser des disques à double couche où l'information est inscrite soità la surface du disque, soit sur une couche intérieure : lorsque le faisceau lit la couche interne, il est encore trèslarge au niveau de la surface ; il couvre de nombreuses alvéoles dont l'e�et se moyenne et il est donc peu sensible



à ce qui est écrit en surface.En outre, la qualité optique du faisceau (sa bonne convergence) doit être meilleure. Pour le CD, on peut

protéger l'information par une couche de vinyle transparent. Pour le Blu-Ray, les aberrations optiques produitespar la traversée de l'interface air-vinyle empêcheraient l'obtention d'une tache focale de diamètre minimal. Pourcette raison, l'inscription est e�ectuée à la surface du disque : il n'y a plus de couche de protection et le disqueest protégé par une boîte, comme l'étaient les anciennes disquettes de micro-ordinateur.

Enoncé

1) On s'intéresse au pointeur à laser rouge dont parle le texte.1.a) Estimer son "waist" et sa longueur de Rayleigh.1.b) Tracer l'allure du faisceau gaussien d'un tel laser. On fera apparaître sur le schéma le "waist", la

longueur de Rayleigh et l'angle de divergence à grande distance.2) On s'intéresse au laser qui illumine la Lune dont parle le texte.

2.a) Tracer le schéma du télescope qui permet d'élargir le faisceau. On fera apparaître les distancesfocales des deux lentilles convergentes ainsi que les "waists" avant et après le télescope.

2.b) Estimer un ordre de grandeur pour le "waist" et la longueur de Rayleigh après le télescope.2.c) Véri�er, en utilisant ces valeurs, que sur la Lune, "le faisceau crée, en théorie, une tache de plus

de un kilomètre".3) Focalisation du faisceau d'un laser.

3.a) Tracer le schéma du faisceau du laser focalisé grâce à une lentille convergente. On fera apparaîtrela distance focale de la lentille convergente, l'angle du cône formé ainsi que les "waists" avant et après la lentille.

3.b) En se plaçant dans l'approximation de Gauss, exprimer l'ouverture numérique dé�nie dans le texteet en déduire que la tache de focalisation du laser est au moins de l'ordre de la longueur d'onde.



Problème (DNS)Etude du faisceau d'un LASER hélium-néon

1. Première modélisation de l'onde

On s'intéresse à l'onde électromagnétique issue du laser hélium-néon.1) Donner l'expression du champ électrique complexe d'une onde plane progressive harmonique homogène.

Expliquer pourquoi ce modèle est mis en défaut par une simple observation.En fait, l'onde issue du laser hélium néon peut être modélisée par une onde gaussienne dont le champ

électrique complexe s'écrit :

E (r, z, t) = E0 e−j(ω t−k z)w0 e

− r2

w(z)2

w(z)ej(k r2

2R(z)−ϕG(z)

)

dans un repère cylindrique d'axe Oz, l'axe optique de la cavité, avec ϕG(z) telle que tanϕG(z) = zzR.

2) Donner, grâce au document fourni, les noms et les expressions des fonctions w(z) et R(z), le nom desconstantes w0 et zR ainsi que la relation qui lie ces constantes. Tracer, pour z ≥ 0, les allures des évolutionsavec z de w(z), de R(z) et de ϕG(z).

3) Montrer que l'intensité lumineuse est de la forme I (r, z) = I0

(w0

w(z)

)2e− 2 r2

w(z)2 . Tracer sur un même

graphique les allures de I (r, z = z1) I (r, z = z2) avec z2 > z1. Dire si cela est cohérent avec l'observation.

2. Deuxième modélisation de l'onde, par parties

4) Donner, dans le domaine |z| � zR une simpli�cation des fonctions w(z), R(z), ϕG(z) et de la divergenceθ(z) du faisceau. Proposer une modélisation de l'onde dans ce domaine (on donnera un quali�catif à cette ondeet on donnera les limites géométriques dans lesquelles cette modélisation est valable).

5) Faire de même dans le domaine |z| � zR.6) Dé�nir la divergence θ(z) du faisceau dans le dernier cas et donner son expression. Véri�er que la

précédente modélisation est cohérente avec les lois de la di�raction.7) En utilisant l'inégalité de Heisenberg, expliquer pourquoi le faisceau laser diverge nécessairement.

3. Caractéristiques du faisceau gaussien et cavité

On suppose que la cavité est composée

• en z = 0 d'un miroir parfait plan (de rayon de courbure in�ni),

• en z = ` = 30 cm d'un miroir partiellement transparent concave, de rayon de courbure Rc = 1, 0 m.

La forme des miroirs et la taille de la cavité imposent pour un laser les caractéristiques de l'onde gaussienneémise. En e�et, le faisceau laser doit être tel que sa surface d'onde au niveau des miroirs épouse la forme desmiroirs et donc que les rayons de courbure de l'onde gaussienne et du miroir soient égaux au niveau de ceux-ci.

8) Montrer que zR =√` (Rc − `).

9) Faire di�érentes applications numériques donnant zR, w0 et θ.10) Estimer le diamètre du faisceau du laser hélium néon en z = 10 cm puis en z = 0, 10 km en disant dans

quel domaine de modélisation on se place à chaque fois.


introduction à l'optique ondulatoire - free

Documents