introdução às séries temporais - instituto de matemática ...hlachos/materialseries.pdf• corte...
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Introdução às SériesTemporais
Prof. Victor Hugo Prof. Victor Hugo LachosLachos DavilaDavila
AULA:AULA:
Natureza e Fonte de Dados
Existe 3 tipos de dados disponível para análise:
• Séries Temporais: quando os dados são observados em diferentes instantes do tempo, seja diariamente (preço de ações, relatórios meteorológicos), mensalmente (taxa de desemprego, IPC), trimestralmente (PIB).
• Corte Transversal: quando os dados observados foram coletados no mesmo ponto do tempo (pesquisas de opinião, dados de censos)
• Dados em Painel: Aqui uma unidade em corte transversal é pesquisada ao longo do tempo. (PIB de cada pais sul-americano para o período de 1990 a 2008)
Exemplos de séries temporais (1)
• O valor esperado é constante• A variância é constante• Simétrica• Não correlacionados entre instantes diferentes
Ruído Branco Gaussiano
independente e identicamente distribuídos (a.a.)
i.i.d ),0(~ 2σNX t
0 3 6 9
12
15
18
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24
27
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33
36
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72
75
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81
84
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90
93
96
99
-1.41
-0.94
-0.47
0
0.47
0.94
1.41
1.88
2.35
2.82
Exemplos de séries temporais (2)
Movimento de uma partícula com relação a um ponto
• O valor esperado é constante• A variância não é constante• Simétrica• Correlacionados entre instantes diferentes
Passeio Aleatório
i.i.d ),0(~ 2σNat
ttt aXX ++= −1μ
μ=0
μ=0.2
y1900m01d01
y1910m01d01
y1920m01d01
y1930m01d01
y1940m01d01
y1950m01d01
y1960m01d01
y1970m01d01
y1980m01d01
y1990m01d01
18900000
21000000
23100000
25200000
27300000
29400000
31500000
33600000
35700000
37800000 A média não é constante
A população espanhola cresceu estritamente de década em década de maneira aparentemente lineal. Tendência crescenteTendência crescente
Exemplos de séries temporais (3)
População da Espanha
y1910m01d01
y1920m01d01
y1930m01d01
y1940m01d01
y1950m01d01
y1960m01d01
y1970m01d01
y1980m01d01
y1990m01d01
1440000
1680000
1920000
2160000
2400000
2640000
2880000
3120000
3360000
3600000
y1920m01d01
y1930m01d01
y1940m01d01
y1950m01d01
y1960m01d01
y1970m01d01
y1980m01d01
y1990m01d01
-2030000
-1740000
-1450000
-1160000
-870000
-580000
-290000
0
290000
580000
870000
Se tomamos a diferença yt - yt-1 pode-se observar as flutuações quanto à velocidade de crescimento.
As séries de consumo de eletricidade apresentam uma clara tendência positiva que parece acelerar-se no final da série. Por outro lado a série apresenta uma marcada sazonalidadesazonalidade com consumos muito elevados nos meses de inverno devido ao efeito da temperatura.A série parece ter maior dispersão na medida que toma maiores valores.
Se a sazonalidade é estritamente periódica pode eliminar-se da série com um componente determinista.Um truque poderia ser estudar separadamente as séries correspondentes em períodos equivalentes.Outra alternativa é tomar diferenças de ordem apropriado.
91
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01
03
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00
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5607008409801120126014001540168018201960
Exemplos de séries temporais (4)
Consumo elétrico
As séries de número de passageiros por mês em linhas aéreas apresenta sazonalidade com um marcado crescimento onde a variância aumenta na medida que toma maiores valores.
Exemplos de séries temporais (5)
Passageiros em linhas aéreas
HeteroscedasticidadeSe a variância não é constante pode-se normalizar transformando apropriadamente os dados iniciais.
y1980m01d01
y1980m07d01
y1981m01d01
y1981m07d01
y1982m01d01
y1982m07d01
y1983m01d01
y1983m07d01
y1984m01d01
y1984m07d01
y1985m01d01
y1985m07d01
y1986m01d01
y1986m07d01
y1987m01d01
y1987m07d01
y1988m01d01
y1988m07d01
y1989m01d01
y1989m07d01
y1990m01d01
y1990m07d01
y1991m01d01
y1991m07d01
y1992m01d01
104156208260312364416468520572624
y1980m01d01
y1980m07d01
y1981m01d01
y1981m07d01
y1982m01d01
y1982m07d01
y1983m01d01
y1983m07d01
y1984m01d01
y1984m07d01
y1985m01d01
y1985m07d01
y1986m01d01
y1986m07d01
y1987m01d01
y1987m07d01
y1988m01d01
y1988m07d01
y1989m01d01
y1989m07d01
y1990m01d01
y1990m07d01
y1991m01d01
y1991m07d01
y1992m01d01
4.754.945.135.325.515.7
5.896.086.276.46
Se observa:
• Comportamentos periódicos a nível semanal e a nível anual.• Mudanças de nível. • A influência de efeitos como feriados, pontes, etc.
Exemplos de séries temporais (6)
Venda diária de um jornal em uma bancay2004m01d02
y2004m01d19
y2004m02d05
y2004m02d22
y2004m03d10
y2004m03d27
y2004m04d13
y2004m04d30
y2004m05d17
y2004m06d03
y2004m06d20
y2004m07d07
y2004m07d24
y2004m08d10
y2004m08d27
y2004m09d13
y2004m09d30
y2004m10d17
y2004m11d03
y2004m11d20
y2004m12d07
y2004m12d24
y2005m01d10
y2005m01d27
y2005m02d13
y2005m03d02
y2005m03d19
y2005m04d05
y2005m04d22
y2005m05d09
y2005m05d26
y2005m06d12
y2005m06d29
y2005m07d16
y2005m08d02
y2005m08d19
y2005m09d05
y2005m09d22
y2005m10d09
y2005m10d26
y2005m11d12
y2005m11d29
y2005m12d16
y2006m01d02
y2006m01d19
y2006m02d05
y2006m02d22
y2006m03d11
y2006m03d28
y2006m04d14
y2006m05d01
y2006m05d18
y2006m06d04
y2006m06d21
y2006m07d08
y2006m07d25
y2006m08d11
y2006m08d28
y2006m09d14
y2006m10d01
y2006m10d18
y2006m11d04
0
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57
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6070
8090
100
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120
130
y2004m11d15
y2004m11d22
y2004m11d29
y2004m12d06
y2004m12d13
y2004m12d20
y2004m12d27
y2005m01d03
y2005m01d10
y2005m01d17
y2005m01d24
y2005m01d31
y2005m02d07
y2005m02d14
y2005m02d21
y2005m02d28
y2005m03d07
y2005m03d14
y2005m03d21
y2005m03d28
y2005m04d04
y2005m04d11
y2005m04d18
y2005m04d25
y2005m05d02
y2005m05d09
y2005m05d16
y2005m05d23
y2005m05d30
y2005m06d06
y2005m06d13
y2005m06d20
y2005m06d27
y2005m07d04
y2005m07d11
y2005m07d18
y2005m07d25
y2005m08d01
y2005m08d08
0
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160
Efeitos como o começo das promoçõesproduz um resultado em incremento instantãneo das vendas que se transmite com certo decaimento.
Exemplos de séries temporais (7)
Venda de um tipo de produto em uma temporaday2004m07d17
y2004m07d31
y2004m08d14
y2004m08d28
y2004m09d11
y2004m09d25
y2004m10d09
y2004m10d23
y2004m11d06
y2004m11d20
y2004m12d04
y2004m12d18
y2005m01d01
y2005m01d15
y2005m01d29
y2005m02d12
y2005m02d26
y2005m03d12
y2005m03d26
y2005m04d09
Exemplos de séries temporais (8)
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1995
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2003
-9.8
-4.9
04.9
9.8
14.7
19.624.5
29.4
34.3
39.2
-9.8
-4.9
0
4.9
9.8
14.7
19.6
24.5
29.4
34.3
As séries de temperaturas oscilam em torno de um valor central, (15º máx e 5º mín) mas sistematicamente alguns meses tem valores mais altos que outros. Por exemplo os meses de verão tem valores mais altos que os meses de inverno.
Séries diferentes guardam altas correlações. Também pode-se considerar o problema de modelar ambas simultaneamente, como Séries Temporais Multivariadas.
Temperatura máxima e mínima diária
Os Zt,, , t=0,1,2,3,.....n, são realizações de xt
Processos Estocásticos
{ }Ttxt ε,
tz
Serie Temporal Observada
Um Processo Estocástico pode ser definido como uma coleção de variáveis aleatórias ordenadas no tempo ,onde T é um conjunto ordenado de índices.
Conceito de Série Temporal
Def.) Série temporal : Uma serie temporal se considera como a realização de um processo estocástico e que estão ordenadas em intervalos regulares de tempo (cada dia, cada mês, cada ano, etc)
tt zzzzz ,...,,}{ 321
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-4.9
04.9
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19.624.5
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34.3
39.2
-9.8
-4.9
0
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24.5
29.4
34.3
89-Ene
89-Abr
89-Jul
89-Oct
90-Feb
90-May
90-Ago
90-Dic
91-Mar
91-Jun
91-Sep
92-Ene
92-Abr
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93-Feb
93-May
93-Ago
93-Dic
94-Mar
94-Jun
94-Oct
95-Ene
95-Abr
95-Jul
95-Nov
96-Feb
96-May
96-Sep
96-Dic
97-Mar
97-Jun
97-Oct
98-Ene
98-Abr
98-Ago
98-Nov
99-Feb
99-May
99-Sep
99-Dic
00-Mar
00-Jul
00-Oct
01-Ene
01-Abr
01-Ago
01-Nov
02-Feb
02-Jun
02-Sep
02-Dic
03-Mar
03-Jul
03-Oct
04-Ene
04-May
0200400600800100012001400160018002000
0200400600800100012001400160018002000
Os dados de séries temporais geralmente não são independentes, especialmente se os intervalos da amostra são curtos.As observações próximas costumam ser mais parecidas que as mais distantes (p. ej. temperatura diária).
Caracterização de Processos EstocásticosUm processo estocástico fica caracterizado se definimos a função da distribuição conjunta das variáveis aleatórias (z1,z2,.. zT) para qualquer valor de T. Dizemos que conhecemos a estrutura probabilística de um proceso estocástico quando conhecemos estas distribuições, sem embargo isto requer observar um grande número de realizações que não costumam estar disponíveis quando se trata de séries econômicas.
][ tt zE=μDef.) Função de Médias :proporciona as esperanças das distribuições marginais de zt para cada instante
][2tt zVar=σ
Def.) Função de variâncias do processo proporciona as variâncias em cada instante temporal.
Def.) Função de AutoCovariâncias: descreve a Covariâncias entre duas variáveis do processo em dois instantes quaisquer.
)])([(),(),( jtjtttjtt zzEzzCovjtt +++ −−==+ μμγ
Def.) Função de Autocorrelaçãon: mede a dependência lineal entre os valores do processo no instante t e no instante t+j. Chamaremo coeficiente de correlação de orden (j) a:
jtt
jtt zzCovjtt
+
+=+σσ
ρ),(
),(
o correlograma não é mais que a representação dos coeficientes de autocorrelación em função do atraso j.
Caracterizando o processo
estocástico Zt
Processos Estocásticos
Tipos de processos estocásticos
00-Ene
00-Nov
01-Sep
02-Jul
03-May
04-Mar
05-Ene
05-Nov
06-Sep
07-Jul
08-May
09-Mar
10-Ene
10-Nov
-0.64-0.48-0.32-0.16
00.160.320.480.640.8
Processos Estacionários
Um processo estocástico Zt é estacionário quando as propriedades estatísticas de qualquer sequência finita z1,z2,.. zk de componentes de Ztsão semelhantes às da sequência z1+h,z2+h,.. zk+hpara qualquer número inteiro h
Processos Não EstacionáriosUm processo estocástico Zt é não estacionário quando as propriedades estatísticas de ao menos uma sequência finita z1,z2,.. zk de componentes de Zt são diferentes das de sequência z1+h,z2+h,.. zk+hpara ao menos um número inteiro h
91
94
01
03
93
95
02
97
04
96
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00
92
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5607008409801120126014001540168018201960
Se existe a transformação: Processos Homogêneos de Orden d
Processos Estocásticos Estacionários
Def.) Processo Estocástico Estacionário em Sentido Estrito : Um processo estocástico Zt é estacionário quando as propriedades estatísticas de qualquer sequência finita z1,z2,.. zk de componentes de Zt são semelhantes às da sequência z1+h,z2+h,.. zk+h para qualquer número inteiro h. Um processo estocástico Zt é estacionário quando a distribuição conjunta de qualquer conjunto de variáveis não se modifica se transferimos as variáveis no tempo.
),...,,(),...,( hkhjhikji xxxFxxxF +++=
Def.) Processo Estocástico Estacionário em Sentido Débil : Quando os momentos de primeira e segunda ordem do processo são constantes e a Covariância entre duas variáveis depende somente de sua separação no tempo
2,1,0),(),()(
)(2
±±==+=−=
=
kkttkttxVar
xE
k
t
t
γγγσ
μ
00-Ene
00-Nov
01-Sep
02-Jul
03-May
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05-Ene
05-Nov
06-Sep
07-Jul
08-May
09-Mar
10-Ene
10-Nov
-0.64-0.48-0.32-0.16
00.160.320.480.640.8
Nota: Quando um processo éestacionário as propriedades
estatísticas se simplificam notavelmente e sua
caracterização é mais simples
Exemplos de Processos Estocásticos EstacionáriosProcesso Ruído Branco. ARIMA(0,0,0)
tt az =
Processo Homogêneo de orden 1. ARIMA(p,0,0)
Proceso Homogéneo de Orden 1. ARIMA(0,1,0)tt az =∇
Processo Autoregressivo de orden (p).ARIMA(p,0,0)
tptptt azzz +++= −φφ ..1
Processo Média Móvel de ordem (q).ARIMA(0,0,q)
qtqttt aaaz −− +++= θθ ..11
Processo ARIMA(p,0,q)
qtqttptptt aaazzz −−−− ++++++= θθφφ .... 1111
CaracterizaçãoMédia de Amostra
Matriz de Covariâncias
Autocorrelações
Tz
zT
t tt∑ == 1ˆ
∑ += − −−=T
kt kttt zzzzT 1
)ˆ)(ˆ(1γ̂
okkr γγ ˆˆ=
Estimação dos momentos de Processos EstacionáriosDada uma série temporal Zt nosso objetivo é construir um modelo estatístico que capture toda a informação estatística sistemática contida em essa série. Se consideramos Zt como uma realização de um processo estocástico podemos obter estimativas de seus momentos de amostras tal que:
Def.) Estimador Média de amostra: é um estimador centrado da média populacional.
Tz
zT
t tt∑ == 1ˆ
μ=)ˆ( tzE
Def.) Estimador das Covariânçias de orden k quando a média populacional é desconhecida. É um estimador enviesado da autocovariâncias populacionais mas têm menores erros quadráticos de estimação que o estimador com média conhecida. Garante que a matriz de covariâncias seja sempre definida positiva.
∑ += − −−=T
kt kttk zzzzT 1
)ˆ)(ˆ(1γ̂
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=Γ
−−
−
−
021
201
110
ˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆ
~
γγγ
γγγγγγ
L
MOMM
L
L
kk
k
k
k
∑ += − −−−
=T
kt kttk zzkT 1
))((1~ μμγMédia ConhecidaMédia Desconhecida:
Def.) Estimador da matriz de covariâncias:
Def.) Estimador das autocorrelações de orden k:
okkr γγ ˆˆ= Onde é a variância do proceso oγ̂
Caracterização
A ponte entre os padrões de regularidade e os conceitos probabilísticos é transformar o reconhecimento intuitivo de padrões em informação estatística sistemática para ser utilizada na modelação.
Def.) Modelação Empírica: Usando modelos estatísticos descrevem-se fenômenos estocásticos observáveis
},,),({ xxxf ℜ∈Θ∈=Φ θθ
-2 -1 0 1 20
0.10.20.30.40.50.60.70.8
00.10.20.30.40.50.60.70.8
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120
30
60
90
120
150
0
30
60
90
120
150
0101
0201
0301
0401
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0701
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1001
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1112
tzzzz ,...,, 321
Padrão de regularidade:
Histograma
Série Temporal:
tt atfz += ),( βonde f(t,B) é uma função conhecida determinista do tempo que depende de um vetor de parâmetros B e at é uma sequência de variáveis aleatórias independentes de média zero e variância constante.
Conceito de Modelação Empírica
Modelo Lineal
1. Modelo estocástico: A presença de término de error faz que a relação entre a variável endógena e a explicativa seja estocástica.
2. O modelo que relaciona as variáveis endógena e explicativa é lineal nos coeficientes beta.
3. Os coeficientes beta são constantes no tempo.4. Existe uma relação causal desde as variáveis explicativas até as variáveis
endógenas.5. As variáveis x são linealmente independentes. 6. As variáveis x são deterministas.
),0(...),( 2211
at
tkkott
RBaaxxxatfz
σβββββ
>−+++++=+=
Estimador Mínimos Quadrados Ordinários
+=∂∂
∂
=⇒=∂
∂
+−=∂
′∂=
∂∂
+−=
+−=′=
−=−=
∴+=
−
defXXSR
yXXXSR
XXyXaaSR
XXyXyySR
XXyXyyaaSR
Xyyya
RBaaXy
tt
tt
tttt
ttttt
atttt
''
2
'1'
''''
'''''
'''''
ˆˆ)ˆ(
)(ˆ0ˆ)ˆ(
ˆˆˆ2ˆˆˆ
ˆ)ˆ(
)ˆˆˆ2(min)ˆ(min
ˆˆˆ2ˆˆ)ˆ(
ˆˆˆ
),0(
βββ
βββ
βββββ
β
ββββ
ββββ
β
σβ
ββ
Parâmetros desconhecidosdo meu modelo beta e sigma
XB
y at=Y-XB
Propriedades do Estimador MCO
Se E(at)=0T então o estimador MCO é insesgado e E(β)=β
1'21'2'1'
1'''1'1'''1'
'1'
'1''1'
'1''1'
)()()()()ˆ(
)(][)(])()[()ˆ()]ˆ)(ˆ[())]ˆ(ˆ))(ˆ(ˆ[()ˆ(
)(ˆ
][)(])([)ˆ(
)()()(ˆ
−−−
−−−−
−
−−
−−
==
==
−−=−−=
=−
=+=+=
+==
XXXXXIXXXVar
XXXaaEXXXXXXaaXXXEVarEEEEVar
aXXX
aEXXXaXXXEE
aXXXXyXXX
aTa
tttt
t
tt
t
σσβ
β
βββββββββββ
ββββ
ββ
))(,ˆ( 1'2 −∴ XXN aσββ
2'
2'
2 )ˆ(ˆ att
att
a kTaa
EEkT
aaσσσ =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=−
=
É necessário um estimador da variância, se demonstra que:
Os métodos atuais de análises de séries temporais entende-se melhor se connhecemos as limitações de outros métodos mais simples desenvolvidos para solucionar o problema da predição.
Métodos Tradicionais
Modelo com Tendência Determinista
tt atz ++= 1βμ
Modelo com Sazonalidade Cíclica Determinista
tt awtBwtsenAz +++= )cos(.)(.μ
Modelo de Ajuste de Múltiplos Ciclos Deterministas
t
k
jjj
k
jjjt atwBtwsenAz +++= ∑∑
== 11)cos()(μ
Modelo com Tendências Deterministas: Zt=bo+b1t+at
91
92
93
94
95
96
97
98
99
00
01
02
03
299000322000345000368000391000414000437000460000483000506000
91
92
93
94
95
96
97
98
99
00
01
02
03
-24000-19200-14400-9600-4800
048009600
1440019200
tott atatfz ++=+= 1),( βββ
Parâmetros Estimados
Name Value StDs TStudent RefuseProbB0 cte 265093.5 8403.6 31.5 6.49E-13B1 trend 17745.6 1058.8 16.8 1.09E-09
R2 0.955771Desv. Est. 14283.3717
Dada a série de consumo elétrico anual procedemos a representar-lo mediante um modelo estatístico consistente em umaconstante, uma tendência dependente do tempo e uma variável aleatória de média zero e variância constante. Nosso objetivo é realizar uma previsão de demanda de consumo para o ano seguinte.
tzt 6.177455.265093ˆ +=Modelo de Tendência Lineal
Para isto realizamos uma regressão lineal com os seguintes resultados
O modelo dá umgrande ajuste !?!
ErrosMUITO ALTOS
Os resíduos contém claramente informação, fato que nos leva a concluir que o modelo está mal especificado.
ttt zza ˆˆ −=
A variância nãoé constante!
Um modelo para a temperatura média diária é uma estrutura harmônica no tempo da forma
onde• μ é uma constante (nível) • A e B dão os desvios com respeito a μ
• é a frequência ( T = 365 dias , T=12, T=52)
Modelo com sazonalidade cíclica
tt attsenz +++= )cos(B)(A ωωμ
Value StDs TStudent RefuseProbμ 7.82323835 0.06754142 115.828749 0A -2.57632028 0.09547423 -26.9844582 0B -4.14312321 0.09556174 -43.3554605 0
Tπω 2=
Realizamos uma regressão lineal com os seguintes resultados
Os resíduos são grandes e têmuma certa estrutura sazonal
Uma função periódica pode descompor-se como uma superposição de funções harmônicasde distintas frequências e amplitudes
onde• μ é uma constante (nível) • Aj e Bj dão os desvios com respeito a μ
• são as frequências ( T = 365 días )
Modelo com múltiplos ciclos de Fourier
t
k
jjj
k
jjjt attsenz +++= ∑∑
== 11
)cos(B)(A ωωμ
2/,...,2,1,2 TnnT == πω
O ajuste é melhor
A Sazonalidade das séries econômicas pode a vezes ser representada com ciclos de Fourier
Normalmente as séries apresentam tendências não constantes e padrões estacionaisirregulares:
Limitações dos métodos deterministas
O padrão estacional éconstante ao largo
dos anos no consumo elétrico
1992m05d01
1992m06d01
1992m07d01
1992m08d01
1992m09d01
1992m10d01
1992m11d01
1992m12d01
1993m01d01
1993m02d01
1993m03d01
1993m04d01
1993m05d01
1993m06d01
1993m07d01
1993m08d01
1993m09d01
1993m10d01
1993m11d01
1993m12d01
1994m01d01
1994m02d01
1994m03d01
1994m04d01
1994m05d01
1994m06d01
1994m07d01
1994m08d01
1994m09d01
1994m10d01
1994m11d01
1994m12d01
1995m01d01
1995m02d01
1995m03d01
1995m04d01
1995m05d01
1995m06d01
1995m07d01
1995m08d01
1995m09d01
1995m10d01
1995m11d01
1995m12d01
1996m01d01
1996m02d01
1996m03d01
1996m04d01
1996m05d01
1996m06d01
1996m07d01
1996m08d01
1996m09d01
1996m10d01
1996m11d01
1996m12d01
1997m01d01
1997m02d01
1997m03d01
1997m04d01
1997m05d01
1997m06d01
1997m07d01
1997m08d01
1997m09d01
1997m10d01
1997m11d01
1997m12d01
1998m01d01
1998m02d01
1998m03d01
4 9 8 0 0
5 8 1 0 0
6 6 4 0 0
7 4 7 0 0
8 3 0 0 0
9 1 3 0 0
9 9 6 0 0
1 0 7 9 0 0
1 1 6 2 0 0
1 2 4 5 0 0
Ainda que apresenteestacionalidade não
se ajusta bem aosciclos de Fourier
91
92
93
94
95
96
97
98
99
00
01
02
03
315000336000357000378000399000420000441000462000483000504000
91/01
98/07
97/01
92/07
94/01
95/07
01/01
99/07
04/01
02/07
91/07
93/01
94/07
96/01
99/01
97/07
04/07
03/01
01/07
00/01
92/01
93/07
98/01
95/01
96/07
03/07
02/01
00/07
2100024500280003150035000385004200045500490005250056000
92
93
95
97
99
01
03
6710.4
6715.2
6720
6724.8
6729.6
6734.4
6739.2
6744
6748.8
6753.6
91
94
01
03
93
95
02
97
04
96
98
00
92
99
5607008409801120126014001540168018201960
Tipos de períodosA agregação nos dados sempre conduz a perda de informação. Sempre que seja possível se deve construir modelos sobre séries temporais com a maior profundidade de desagregação.
Poca Información
Objetivo da análise das Séries TemporaisO objetivo da análise de uma série temporal consiste em elaborar um modelo estatístico que descreva adequadamente a procedência de dita série, de maneira que as implicações teóricas do modelo resultem compatíveis com as pautas de amostras observadas nas séries temporais. Depois o modelo elaborado a partir da série temporal pode ser utilizado para prever a evolução futura da série ou explicar a relação entre os distintos componentes do modelo.
89-Ene
89-Abr
89-Jul
89-Oct
90-Feb
90-May
90-Ago
90-Dic
91-Mar
91-Jun
91-Sep
92-Ene
92-Abr
92-Jul
92-Nov
93-Feb
93-May
93-Ago
93-Dic
94-Mar
94-Jun
94-Oct
95-Ene
95-Abr
95-Jul
95-Nov
96-Feb
96-May
96-Sep
96-Dic
97-Mar
97-Jun
97-Oct
98-Ene
98-Abr
98-Ago
98-Nov
99-Feb
99-May
99-Sep
99-Dic
00-Mar
00-Jul
00-Oct
01-Ene
01-Abr
01-Ago
01-Nov
02-Feb
02-Jun
02-Sep
02-Dic
03-Mar
03-Jul
03-Oct
04-Ene
04-May
0200400600800100012001400160018002000
0200400600800100012001400160018002000
][ tt zE=μ
][2tt zVar=σ
jtt
jtt zzCovjtt
+
+=+σσ
ρ),(
),(
2*Sigma-2*Sigma
10 20 30-1
-0.8-0.6-0.4-0.2
00.20.40.60.8
1
tot atz ++= 1ββ
tt awtRsenz +++= )( θμ
ttp
p
tq
qt
azBB
aBBz
=−−−
−−−=
)...1(
)...1(
1
1
φφ
θθ
tt az += μ
Pautas de Amostras Modelo Estatístico Prever, Descrever
05
06
07
08
09
09
10
11
12
-0.78-0.52-0.26
00.260.520.781.04
Modelo de séries temporais univariantes
ttt aBBFXT
)()()(
ϕθ
+=
( ) ttt aFXTBB
=−)()()(
θϕ
Rui
do B
lanc
o
-2.75
-2.2
-1.65
-1.1
-0.55
0
0.55
1.1
1.65
2.2
ObservaçõesFiltro
(fatores externos)Ruído ou Noise
(fatores estruturais)
i
tit FBF ∑= )(α
Construção do modelo91
94
01
03
93
95
02
97
04
96
98
00
92
99
5607008409801120126014001540168018201960
Operadores: Diferença, Retardo, Inverso
Para poder operar com processos estacionários definimos os siguientes operadores
Uma propriedade importante dos processos estacionários é que os processos obtidos através das combinações lineares dos processos estacionários são também estacionários. Ou seja se Zt é estacionário então o processo é também estacionário.1−−= ttt zzw
Def.) Operador Retardo: um operador linear que aplicado a uma função temporal proporciona a essa função retardada um período. Em particular se aplicamos o operador a uma série temporal obtenemos a mesma série retardada um período.
)1()( −= tftBf
1−= tt zzB
22112
21
11
)1(
..
−−
−
−−
−−=−−
==
===
tttt
ktttk
ttt
zzzzBB
zBzBzB
zaBzaBazB
φφφφ
μμ
Def.) Operador Diferença: é o operador polinômico (1-B). O resultado de aplicar o operador diferença a uma série Zt com T observações é obter uma nova série com T-1 observações através
1)1()1(
−−=−=∇−=∇
tttt zzzBzB
sttts
ts
ttttt
zzzBz
zzzBBzBz
−
−−
−=−=∇
+−=+−=−=∇
)1(
2)21()1( 21222
Def.) Operadores Inversos: Verificam a propriedade que o produto por o operador inicial é a unidade. (pe. o inverso do operador retardo é o operador adiantado )
11
1
=== +
−
BFzzBzF ttt
1)()()1()1(
)1(....)1(11
10
22
==−−
−==++−−
−−
∞
=∑BBBB
zBzBzBB titi
ii
t
φφφφ
φφφφ
Operadores
91
94
97
01
04
93
96
99
03
00
92
95
98
02
-5000
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
40000
45000
50000
55000
Operador B move a série para a direita!
A série Wtcontinua tendo
estrutura
Aplicando, à série de consumo elétrico em períodos mensais, os distintos operadores teremos que:
44
−= tt zzB A série transformada têm a mesma tendência e estrutura estacional que a série original.
tt zBw )1( −= A série diferença regular é estacionária em média mas apresenta estrutura estacional.
tt zBS )1( 12−= A série diferença estacional é estacionária em média e não apresenta estrutura estacional.
Perdem-se 12 obvs.
Aplicação de Operadores
2*Sigma-2*Sigma
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30-1
-0.8-0.6-0.4-0.2
00.20.40.60.8
1
-3 -2 -1 0 1 2 3
250500750
1000125015001750200022502500
2*Sigma-2*Sigma
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30-1
-0.8-0.6-0.4-0.2
00.20.40.60.8
1
Processo Ruído Branco. ARIMA(0,0,0)
Def.) Processo Ruído Branco: é um processo estocástico onde todas as variáveis aleatórias seguem uma distribuição normal de média zero, variância constante e as covariâncias são nulas.
tt az =0)( =tzE
0),( =−ktt zzCov
2)( σ=tzVar
ACF
PACF
Hist. 90
93
96
00
03
92
95
98
05
02
99
91
94
97
01
04
-3
-2
-1
0
1
2
3
Nota: Um processo ruído branco é estacionário em média e variância.
Processo
PROCESSOS ESTACIONÁRIOSAutorregressivos AR(p)
Processos Autorregressivos AR(1). ARIMA(1,0,0)
)1/()( 1φ−= czE t
)1( 21
2
0 φσγ−
= a
Def.) Proceso Autorregressivo AR(1) : é um processo estocástico {zt} que estabelece uma dependência linear sobre o primeiro retardo da variável. Dizemos que uma série Zt segue um processo autorregressivo de primeira ordem se foi gerada por:
...
~~
33
22
1
11
−−−
−
+++=
+=
tttt
ttt
aaaa
azz
φφφ
φtt
tt
azazB)1/(1~
~)1(
1
1
φφ
−==−
Onde –1< <1 é uma constante a determinar, at é um processo ruído branco e .1φ czz tt −=~
Def.) Função de Médias de AR(1) :Tomando esperanças de Zt e dado que E(Zt) = E(Zt-1)=cts posto que o processo é estacionário temos que
já que 2222azz σσφσ +=0
)()()(
11
11
11
>=+=
+=
−
−−−−
−
kazEzzEzzE
azz
kk
tkttkttkt
ttt
γφγφ
φmultiplicado Zt-k e tomando esperanças onde E(at)=0
que é a solução da equação em diferenças com
por tanto a função de autocorrelação tende a zero com uma rápidez que depende de quanto maior seja, menor será o decrescimento, a condição de estacionariedade nos garante que a função de autocorrelação converge.
1φ
10 =ρ11 ≥= kkk φρ
Def.) Função de Autocovariâncias de AR(1) : se obtém como
Def.) Função de Autocorrelação de AR(1) : dividindo a função de autocovariâncias pela variância do processo
11 −= kk ρφρ
μφμ 1+= cjá que onde )1( 1φμ −=c
onde
Processo
Caracterização
Processos Autorregressivos AR(1). ARIMA(1,0,0)
01
04
00
06
03
05
02
-200-100
0100200300400500600700
01
04
00
06
03
05
02
-300-200
-1000
100200
300400
tt azB =− )9.01(
2*Sigma-2*Sigma
10 20 30-1
-0.8-0.6-0.4-0.2
00.20.40.60.8
1
tt azB =+ )9.01(
kk 9.0=ρ k
k )9.0(−=ρ
ACFACF
Decrescimento lento exponencial em direção ao zero comparâmetro positivo
Valores próximos tem comportamentos similares e exibem acentuada tendência que se reflexa na ACF
A série tende a oscilar e se reflexa na função de autocorrelação que muda de sinal.
2*Sigma-2*Sigma
10 20 30-1
-0.8-0.6-0.4-0.2
00.20.40.60.8
1
Vamos a representar duas realizações de um processo AR(1) com distintos valores do parâmetro e suas funções de autocorrelação teóricas.
Alternância de sinal
2*Sigma
-2*Sigma
10 20 30-1
-0.8-0.6-0.4-0.2
00.20.40.60.8
1
92
93
94
95
96
97
98
99
00
01
02
03
8100108001350016200189002160024300270002970032400
91
92
93
94
95
96
97
98
99
00
01
02
03
315000336000357000378000399000420000441000462000483000504000
2*Sigma
-2*Sigma
10 20 30-1
-0.8-0.6-0.4-0.2
00.20.40.60.8
1
A série de consumo elétrico em períodos anuais é claramente não estacionária, com um primeiro valor do correlograma muitopróximo que indica a necessidade de tomar uma primeira diferença regular.
A série de consumo uma vez diferenciada não apresenta uma tendência clara e o correlograma apresenta valores positivos que se amortizam com rapidez, o que nos sugere a existência de um processo autorregressivo de ordem1
Por tanto o modelo estatístico proposto para representar o comportamento da série consumo elétrico em períodos anuais é
tt
ttttt
azBzBwaww
=∇−−=+= −
)1()1(
1
11
φφ
Consumo Elétrico Anual AR(1)
ACF
ACF
2*Sigma
-2*Sigma
10 20 30-1
-0.8-0.6-0.4-0.2
00.20.40.60.8
102
98
94
03
99
95
00
96
01
97
-9600-6400-3200
0320064009600
128001600019200
Dada a série de consumo elétrico em períodos mensais procedemos a representar-la através de um modelo estatísticoconsistente em uma diferença regular e um processo autorregressivo de orden 1 tal que:
tt azB =∇− )1( 1φRealizando uma estimativa por máxima verisimilitude
01
97
93
03
02
98
94
99
95
00
96
323000342000361000380000399000418000437000456000475000494000513000
Name Value StDs TStudent RefuseProbRegularAR 0.88149 0.17150 5.13991 0.00061
547794.5150.8814901.881490ˆ 11 =−= −+ ttt zzz R2Coeficient 0.471662StandardError 11451.6037
tt azBB =−− )1)(88149.01(Predição de um período para frente é
0)( =taE
0),( =−ktt aaCov
2)( σ=taVar
Pouco ajuste !?!
Nota: O R2 é baixo mas o erro padrão émenor que no modelo com tendênciadeterminista.
ACF
Não apresentanenhuma estrutura
Consumo Elétrico Anual AR(1)
Função de Autocorrelação Parcial
tkktkktkt
tttt
ttt
zzz
zzzzz
.11
.2222121
,1111
.......
...
ηαα
ηααηα
+++=
++=
+=
−−
−−
−
),(...
...
1111
1111
tt
tktktkt
tktktt
vuCorrvzzz
uzzz+++=+++=
+−−−−
+−−−
γγββ
Determinar a ordem de um processo autorregressivo a partir de sua função de autocorrelação é difícil ao ser uma mescla de decrescimentos exponenciais e sinusoidais, que se amortizam ao avançar o retardo e não apresenta rasgos fácilmente identificáveis para determinar a ordem do processo. Para resolver este problema introduz-se a função de autocorrelação parcial.
Def.) Coeficiente de Autocorrelação Parcial de ordem k. é o coeficiente de correlação entre observações separadas k períodos quando eliminamos a dependência produzida pelos valores intermediários.
Se elimina de Zt o efeito Zt-1, Zt-2,…, Zt-k+1
Se elimina de Zt o efeito Zt-1, Zt-2,…, Zt-k+1
Coeficiente de autocorrelação de ordem k
Processo
Esta definição é análoga a de coeficiente de correlação parcial da regressão múltipla.
A sequência de coeficientes αii proporciona a função de autocorrelação parcial (PACF)
Em um processo AR(p) a PACF teráos p primeiros coeficientes distintos de zero.
PROCESSOS ESTACIONÁRIOSAutorregressivos AR(2)
Processos Autorregressivos AR(2). ARIMA(1,0,0)
)1/()( 21 φφ −−= czE t
)1)(1)(1()1(
221212
22
02
1120220
210
12011
φφφφφσφ
γσγφφγφγφγ
γφγφγ
−+−−+−
=+++=
+=
aa
Def.) Processo Autorregressivo AR(2) : é um processo estocástico {zt} que estabelece uma dependência linear sobre o primeiro e segundo retardo da variável. Diremos que uma série Zt segue um processo autorregressivo de segunda ordem se foi gerada por:
tttt azzz ++= −− 2211~~~ φφ tt azBB =−− ~)1( 2
21 φφOnde , são duas constantes a determinar, at é um processo ruído branco e .1φ czz tt −=~
Def.) Função de Médias de AR(2) :Tomando esperanças de Zt e dado que E(Zt) = E(Zt-1)=cts posto que o processo é estacionário temos que
1)()()()(
2211
2211
2211
≥+=++=
++=
−−
−−−−−−
−−
kazEzzEzzEzzE
azzz
kkk
tkttkttkttkt
tttt
γφγφγφφ
φφ multiplicado Zt-k e tomando esperanças onde E(at)=0 temos
22
21
22
11 1
2,1
1 φφ
φρ
φφ
ρ +−
==−
== kk
Def.) Função de Autocovariâncias de AR(2) : se obtém como
Def.) Função de Autocorrelação de AR(2) : dividindo a função de autocovariâncias pela variância do processo
12211 ≥+= −− kkkk ρφρφρ
onde
Processo
Caracterização
2φ
1111
21
21
2
<+<−<<−
φφφφφVariância do processo: para que seja positiva têm-se que
cumprir que os parâmetros do processo estejam na região:
iicomo ρρ =−
kkk GAGAk 22113 +=≥ ρpara para ,para
Resolver a Equação em diferenças
Equação em diferenças para um AR(2)
kkk
kkk
tttt
tt
AAkAAk
AA
XXXX
GG
GG
X
XX
azzzazBGBG
8.04.051.04.0
4.011.0
8.04.091.0110
8.04.0
12.132.0)8.01)(4.01(
8.04.0
25.15.264.0
4.02.164.0
32.042.12.1
012.132.0
32.02.1)1)(1(
21
21
21
221
12
11
2
2
21
21
+−=
+==+==+=
+−=−−
==
==
±=
×−±=
=+−
+−==−−
−−
−−
ρ
ρ
Resolver a Equação em diferenças
Função de Autocorrelação para o processo AR(2)
t
t
tt
tttt
tt
aBB
BBz
BBB
BBB
aBB
z
azzzazBB
...)8.08.01(
...)4.04.01(
...8.08.01)8.01(
1
...4.04.01)4.01(
1)8.01)(4.01(
132.02.1
)8.01)(4.01(
22
22
22
22
21
+++
+++=
+++=−
+++=−
−−=
+−==−−
−−
Expressão do processo AR(2) como soma de inovações
Raízes Reaistt azBB =−− )2.06.01( 2
Processos Autorregressivos AR(2)
Raízes Reaistt azBB =−+ )2.06.01( 2
zero a partir do
segundo retardo
Sinal Distinto
ACF
PACF
ACF
PACF
PROCESSOS ESTACIONÁRIOSMédia Móvel MA(q)
Processo Média Móvel MA(1). ARIMA(0,0,1)Def.) Processo Média Móvel MA(1): é um processo estocástico {zt} gerado pela combinação linear das duas últimas inovações.
tt
ttt
aBzaaz)1(~
~
1
11
θθ
−=−= − )(~...)1()( 22
110
1 ∞=+++==∑∞
=
ARazBBzBzB tti
tii
t θθθπ
onde –1< <1 é uma constante a determinar, at é um processo ruído branco e .1θ czz tt −=~
{ }BFFBB
FBBBB
aBaaz
aa
a
tttt
12
112
112
1211
)1()1)(1()(
)()()()()(
)(
θθθσθθσγ
ψψψψσγ
ψθ
−++−=−−=
==
=−=−
−
Def.) Função de Autocovariâncias de MA(1) : se obtém como
Def.) Função de Autocorrelação de MA(1) : dividindo a função de autocovariâncias pela variância do processo.
Processo
Caracterização
Representação infinita com coeficientes que decrescem em progressãogeométrica, somente é possível a representação se
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥=−=
+=
20
)1(2
11
21
20
kk
a
a
γσθγ
θσγ
⎩⎨⎧
>=+−=10
)1( 2111
kkρθθρ
Por tanto o correlograma do processo terá unicamente um valor distinto de zero no primeiroretardo.
Def.) Função de Autocorrelação Parcial de MA(1) : utilizando as equações de Yule-Walker comy depois de manipulações algébricas obtemos que (Box-Cox 70)
}1/{}1{ 121
211
+−−−= kkkk θθθφ
Por tanto a função está dominada por um decrescimento exponencial que dependerádo valor de . Quando é positivo a função é negativa e é negativo a funçãoalterna de sinal.
)1( 2111 θθρ +−=
10 >= kkρ
1θ 1θ
11 <θ
2*Sigma-2*Sigma
5 10 15 20-1
-0.8-0.6-0.4-0.2
00.20.40.60.8
1
Processos Média Móvel MA(1). ARIMA(0,0,1)
tt aBz )99.01( −=
PACFPACF
Decrescimento lento exponencial em direção a zero comparâmetro positivo
Vamos representar duas realizações de um processo MA(1) com distintos valores de parâmetro e suas funcões teóricas de autocorrelação simples e parcial.
Alternância de sinal com parâmetro negativo
2*Sigma-2*Sigma
5 10 15 20-1
-0.8-0.6-0.4-0.2
00.20.40.60.8
1
2*Sigma
-2*Sigma
5 10 15 20-1
-0.8-0.6-0.4-0.2
00.20.40.60.8
1
2*Sigma-2*Sigma
5 10 15 20-1
-0.8-0.6-0.4-0.2
00.20.40.60.8
1
-0.4999747)1( 2111 =+−= θθρ 0.49997475)1( 2
111 =+−= θθρACF ACF
kkk 1|| θφ <}1/{}1{ 12
12
11+−−−= kk
kk θθθφ
tt aBz )99.01( +=11 −−= ttt aaz θ 11 −−= ttt aaz θ
Ordem ARIMA(1,d,0) ARIMA(0,d,1)
comportamento ACF decai exponencialmente
comportamento PACF Decaimento exponencial
regiao de admisibilidade
Ordem ARIMA(2,d,0) ARIMA(0,d,2)
comportamento ACF
Misturas de exponenciais e ondas senóides amortecidas
comportamento PACF
Misturas de exponenciais e ondas senóides amortecidas
região de admisibilidade
Ordem
comportamento ACF
comportamento PACF
região de admisibilidade
ARIMA(1,d,1)Decai exponencialmente após o lag 1
Decai exponencialmente após o lag 1
011 ≠φ01 ≠ρ
011 ≠φ
01 ≠ρ02 ≠ρ
022 ≠φ
11 <<− φ 11 <<− θ
11
11
12
12
2
<+<−<<−
φφφφφ
1111
12
12
2
<+<−<<−
θθθθθ
11
11
<<−
<<−
θ
φ
Comportamento das ACF e PACF de um processoARIMA(p,d,q)
Processos Estocásticos Não EstacionáriosDef.) Processo Estocástico Não Estacionário : Um processo estocástico Zt é não estacionário quando as propriedadesestatísticas de ao menos uma sequência finita z1,z2,.. zk de componentes de Zt são diferentes das da secuencia z1+h,z2+h,.. zk+h para ao menos um número inteiro h.Um processo estocástico Zt é não estacionário quando a distribuição conjunta de qualquier conjunto de variáveis se modifica se modificamos as variáveis no tempo.
),...,,(),...,( hkhjhikji xxxFxxxF +++≠
Nota:A maioria das séries reaissão não estacionárias e seu nível
médio varia com o tempo, semembargo podem converter-se emestacionárias tomando diferenças
89-Ene
89-Abr
89-Jul
89-Oct
90-Feb
90-May
90-Ago
90-Dic
91-Mar
91-Jun
91-Sep
92-Ene
92-Abr
92-Jul
92-Nov
93-Feb
93-May
93-Ago
93-Dic
94-Mar
94-Jun
94-Oct
95-Ene
95-Abr
95-Jul
95-Nov
96-Feb
96-May
96-Sep
96-Dic
97-Mar
97-Jun
97-Oct
98-Ene
98-Abr
98-Ago
98-Nov
99-Feb
99-May
99-Sep
99-Dic
00-Mar
00-Jul
00-Oct
01-Ene
01-Abr
01-Ago
01-Nov
02-Feb
02-Jun
02-Sep
02-Dic
03-Mar
03-Jul
03-Oct
04-Ene
04-May
0200400600800100012001400160018002000
0200400600800100012001400160018002000
Se o nível da série não é estável no tempo podendo ter tendência crescente oudecrescente diremos que a série não é estacionária em média.
μ≠)( txE2)( σ≠txVar
),(),( kttktt +≠− γγSe a variância ou as covariâncias variam com o tempo diremos que a série não éestacionária nas covariâncias.
Def.) Processo Integrado de Ordem h- I(h): quando ao diferenciar-lo h vezes se obtém um processo estacionário. Sãoprocessos não estacionários unicamente em média e têm a propriedade de converter-se em estacionários tomando umadiferença. Um processo estacionário é sempre I(0) .
Processos Estocásticos Não EstacionáriosPasseio Aleatório. ARIMA(0,1,0)
tt azB =− )1(
Processo Alisamento Exponencial Simples. IMA(1,1).
Proceso Homogéneo de Orden 1. ARIMA(0,1,0)tt aBzB )1()1( 1θ−=−
Processos Integrados ARIMA(p,d,q)
Processos de Memória Longa
Processo ARFIMA(p,d,q)
tq
qtdp
p aBBzBBB )...1(~)1)(...1( 11 θθφφ −−−=−−−−
5.05.0)1( <<−=− dazB ttd
5.05.0)()( <<−=∇ daBzB tqtd
p φθ
99
91
94
01
03
93
95
02
97
04
96
98
00
92
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
2*Sigma-2*Sigma
10 20 30-1
-0.8-0.6-0.4-0.2
00.20.40.60.8
1
2*Sigma-2*Sigma
10 20 30-1
-0.8-0.6-0.4-0.2
00.20.40.60.8
1
Passeio Aleatório. ARIMA(0,1,0)Def.) Passeio aleatório :é um processo estocástico cujas primeiras diferenças formam um processo ruídobranco.
ttt
tt
azzaz+=
=∇
−1
0)( =tzE
)(),( 2 ktzzCov aktt −=− σtzVar at
2)( σ=
A variância cresce com o tempo
ACF
PACF
Hist.
0 25 50 75 100
100200300400500
Diminuiçãomuito lenta
Valor próximo a 1
Para el gráfico se ha generado un paseo aleatorio mediante una serie aleatoria en fechado diario de media cero y varianza la unidad.
Processo
90
91
91
91
92
92
92
93
93
93
94
94
94
95
95
95
96
96
96
97
97
97
98
98
98
99
99
99
00
00
00
01
01
01
02
02
02
03
03
030
2500
5000
7500
10000
12500
2*Sigma-2*Sigma
10 20 30-1
-0.8-0.6-0.4-0.2
00.20.40.60.8
1
2*Sigma-2*Sigma
10 20 30-1
-0.8-0.6-0.4-0.2
00.20.40.60.8
1
Série do IBEX-35
ACF
PACFA variância do modelo não é
constante
A série de cotizações do IBEX_35 em períodos diários é um processo não estacionário em média e em variância. Semembargo no correlograma se aprecia uma estrutura muito parecida ao correlograma de um passeio aleatório, o que nos leva a propor esta estrutura como modelo para representar a cotização da bolsa.
ttt
tt
aIbexIbexaIbex
+==∇
−1353535
Uma vez tomada a diferença regular (1-B) observamos que a série é estacionária em média nu=0 mas não assim em variânciaque apresenta períodos de muita instabilidade. Uma representação mais adequada do processo deveria introduzir a variância do erro como variável explicativa (p.e.modelo GARCH), por tanto não podemos concluir que o IBEX35 seja um passeio aleatório.
0)( =taE2)( ataVar σ≠
At não é um passeioaleatório
0),( ≠−ktt aaCov
Def.) Processos autorregressivos integrados de média móvel ARIMA(pd,q) : É um processoARMA que possui uma ou várias raízes unidade no operador.
Processo Integrado ARIMA(p,d,q)
onde at é um processo ruído branco com μ−= tt zz~Sendo p a ordem da parte autorregressiva , q a ordem da parte média móvel e d o número de raízes unitárias. O processochama-se integrado porque zt obtém-se como soma infinita de wt. Por exemplo se
tqtd
p
tq
qtdp
p
aBzB
aBBzBBB
)(~)(
)...1(~)1)(...1( 11
θφ
θθφφ
=∇
−−−=−−−−
Processo
∑ −∞=− =+++=−=
−=t
j tttt
tt
wwBBBwBz
zBw
...)1()1(~
~)1(321
)...1()(
)...1()(
1
1
qqq
ppp
BBB
BBB
θθθ
φφφ
−−−=
−−−= como a equação característica do processo autorregressivo
Os obtém-se igualando os coeficientes em B desta expressão
Definimos
Duas representações alternativas do processo ARIMA como 1.) Soma de Inovações:
2.) Soma de valores passados:
)()()(
)(~)()()(...
)...1()1)(()(
)()(
2211
1
1
BBB
aBzBMAaBaaaz
BBBBB
MAaBaaz
qdp
tqtdp
ttttt
dpdp
dpdp
ti ititt
θψϕ
θϕψψψ
ϕϕφϕ
ψψ
=
=
∞=+++=
−−−=−=
∞=+=
+
+
−−
+++
∞
= −∑
iψ
)()()(
)(~)(
)()(1
BBB
aBzB
ARazzzB
qdp
tqtdp
ti ititt
πθϕ
θϕ
ππ
=
=
∞=+=
+
+
∞
= −∑
Os obtém-se igualando os coeficientes em B desta expressão. iπ