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Introduzione a Matlab

Ing. Gianfranco Miele ([email protected])

www.docente.unicas.it/gianfranco_miele

October 24, 2012

Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria delle Telecomunicazioni

Misure elettroniche per le telecomunicazioni

Università degli Studi di

Cassino e del Lazio

Meridionale

24/10/2012 Introduzione a Matlab

MAT(rix) LAB(oratory)

Originariamente MATLAB è stato sviluppato come ambiente interattivo, di facile uso, per il calcolo matriciale tecnico e scientifico ad alto livello.

Nel tempo MATLAB è stato completato con l’aggiunta di funzioni che permettono complesse simulazioni ed analisi numeriche, e l’interfacciamento con prototipi.

Attualmente MATLAB è utilizzato anche come:

1.calcolatrice elettronica evoluta;

2.ambiente grafico bi- e tri-dimensionale;

3.linguaggio di programmazione.




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Introduzione


L'elemento di base in MATLAB è l’array: dato

di tipo matriciale (scalare, vettore, matrice a due

o più dimensioni)

È noto che le operazioni eseguite sulle matrici si

applicano anche agli scalari ed ai vettori dal momento

che anche uno scalare si può vedere come una

particolare matrice di dimensioni 1×1 e che un vettore è

una particolare matrice di dimensioni n×1 (se è un

vettore-colonna) o 1×n (se è un vettore-riga).




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Toolbox


MATLAB e’ integrato da una famiglia di soluzioni

application-specific denominate toolbox.

I toolbox sono collezioni complete di funzioni

MATLAB (M-file: file con estensione .m) che

estendono le funzionalità dell'ambiente di base

per risolvere particolari categorie di problemi.

Per verificare i toolbox installati, e la loro

versione si può digitare ver alla riga di comando




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Comandi di avvio


•La linea di comando di MATLAB è indicata dal

simbolo >>, che è il prompt dal quale possono

essere richiamati tutti i comandi da eseguire in

maniera interattiva.

•I comandi possono essere dati da tastiera o letti

da un file. Il comando viene interpretato nel

momento in cui viene premuto l’Invio.

•Per terminare la sessione di lavoro basta

digitare il comando exit oppure quit




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Desktop Layout





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Le variabili


•In MATLAB non è necessario dichiarare il tipo e la dimensione delle variabili.

•I nomi delle variabili possono essere costituiti da lettere e cifre. Il primo carattere deve essere una lettera.

•I nomi delle variabili possono essere lunghi al massimo 63 caratteri. Nel caso siano più lunghi essi vengono automaticamente troncati.

•MATLAB distingue tra maiuscole e minuscole (case sensitive). Questa caratteristica non è presente nella maggior parte dei linguaggi di programmazione.

Es. si può utilizzare la variabile t per indicare un istante di tempo e T per indicare un periodo di tempo: molto comodo.




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Le variabili

Alcune variabili sono predefinite, ad esempio •pi (3.141592…..)

•i, j (unità immaginaria )

•eps (precisione di macchina)

•realmax (massimo numero di macchina positivo)

•realmin (minimo numero di macchina positivo)

•Inf (Infinito: numero maggiore di realmax)

•NaN (Not a Number: risultato di operazioni non definite, tipicamente di 0/0)

Fatta eccezione per le variabili i e j, usate talvolta come indici interi, conviene non modificare il valore di queste variabili.




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Comandi per la gestione delle

variabili


•save

salva il contenuto dello spazio di lavoro (tutte le variabili ed i loro valori) in un archivio

chiamato automaticamente matlab.mat.

•save nome_archivio

salva il contenuto dello spazio di lavoro in un archivio di nome nome_archivio.mat.

•save nome_archivio var1 var2

salva le variabili var1 e var2 ed i loro valori in un archivio di nome nome_archivio.mat.

•load

carica nello spazio di lavoro tutte le variabili precedentemente salvate nell’archivio

matlab.mat.

•load nome_archivio

carica nello spazio di lavoro le variabili dell’archivio nome_archivio.mat.

•load nome_archivio var1

carica nello spazio di lavoro la variabile var1 dell’archivio nome_archivio.mat.




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Immissione di matrici


Si possono definire matrici in diversi modi

1. introducendo un elenco esplicito di elementi

2. utilizzando le funzioni generatrici messe a

disposizione da MATLAB

3. caricando matrici da file di dati esterni

4. sviluppando proprie funzioni generatrici

(create dall’utente in file esterni)




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Immissione di vettori

Se si vuole creare un vettore con un numero prefissato di punti equispaziati all’interno di un intervallo si può usare la funzione generatrice linspace(inizio,fine,numero di punti)

•inizio e fine sono gli estremi dell’intervallo

•numero di punti è uguale a 100 se è omesso.

Esempio: >>a=linspace(1,5,5)

a =

1 2 3 4 5




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Immissione di matrici

Nel caso in cui l’espressione digitata contenga un numero troppo grande di caratteri per restare su di un’unica riga di comando è possibile utilizzare un carattere di continuazione dato da tre punti consecutivi …

Es.1

>> A = [16 3 ...

2 13; 5 10 11 ...

Es.2

>> 1 + 1/4 + ...

1/8

ans = 1.375

Terminato l’inserimento di una matrice, essa è registrata automaticamente nel workspace di MATLAB.

In seguito si potrà indicarla semplicemente con il suo nome (Es. A), e su di essa sarà possibile effettuare operazioni di somma, trasposizione, inversione, etc .




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Trasposizione


L' operazione di trasposizione è denotata da un simbolo di apostrofo, ‘

Ad esempio, se

A =

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

se si digita A‘ alla riga di comando, si determina il seguente risultato:

ans =

16 5 9 4

3 10 6 15

2 11 7 14

13 8 12 1




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Funzione size()


Il comando size() fornisce la dimensione di una matrice:

>> vet = [1 2 3 4];

>> size(vet)

ans =

1 4

È possibile memorizzare in un vettore il risultato restituito dalla funzione size():

>> [n,m] = size (b)




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Accesso agli elementi di una matrice


L'elemento in riga i e colonna j di A è denotato con A(i,j).

Es:

A(4,2)

indica l’elemento di valore 15

È anche possibile richiamare gli elementi di una matrice utilizzando un singolo indice, A(k).

Questo metodo è naturale quando si considerino vettori riga e vettori colonna, ma si può anche applicare a matrici bidimensionali. In questo caso la matrice è considerata come un vettore colonna, formato dalle colonne della matrice originale disposte secondo un ordine progressivo.

Es:

A(4,2) e A(8) indicano il medesimo elemento




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Accesso agli elementi di una matrice

Se si tenta di usare il valore di un elemento della matrice al di fuori di essa, si commette un errore:

t = A(4,5)

Index exceeds matrix dimensions

D'altra parte, se si immagazzina un nuovo valore in un elemento della matrice, c'è un aumento dell'ordine per accomodare il nuovo elemento:

X = A;

X(4,5) = 17

X =

16 3 2 13 0

5 10 11 8 0

9 6 7 12 0

4 15 14 1 17




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L’operatore :


L’operatore due punti,:, è uno dei più importanti

operatori di MATLAB.

Si trova in molte forme diverse come sostituto di

un ciclo for .

Può essere utilizzato con la seguente sintassi:

NOMEVETTORE = VALOREINIZIALE : INCREMENTO : VALOREFINALE

NOMEVETTORE = (VALOREINIZIALE : INCREMENTO : VALOREFINALE)

NOMEVETTORE = [VALOREINIZIALE : INCREMENTO :VALOREFINALE]




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L’operatore :

L’operatore due punti può essere utilizzato per

assegnare o richiamare porzioni di una matrice.

Ad esempio

A(1:k,j)

richiama i primi k elementi della colonna j di A,

mentre:

sum(A(1:4,4))

calcola la somma dei primi quattro elementi della

quarta colonna.




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Funzioni generatrici di matrici particolari


MATLAB permette di creare direttamente alcuni particolari tipi di matrici

eye

genera la matrice identità (quadrata) di ordine assegnato

>> eye(4)

zeros

genera una matrice con tutti elementi uguali a zero

>> zeros(4,2)

ones

genera una matrice con tutti elementi uguali a 1

>> ones(2,3)

rand

genera una matrice di numeri casuali tra 0 e 1

>> rand(3,4)




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Operazioni aritmetiche


Le operazioni aritmetiche basilari definite in MATLAB sono le seguenti :

1. addizione +

2. sottrazione –

3. moltiplicazione *

4. divisione /

5. elevamento a potenza ^

Tali operazioni sono definite per le matrici e, di conseguenza, anche per i vettori e gli scalari




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Operazioni sui singoli elementi

delle matrici: operatori .*, ./, .^


Le operazioni aritmetiche * / ^ precedute dal carattere punto . Agiscono elemento per elemento. Queste operazioni non hanno analogo nel calcolo matriciale, ma sono molto utili.

» A = [ 1 2 ; 3 4];

» B = [ 1 2 ; -1 1];

» C = A ./ B

C =

1 1

-3 4

» C = A.*B

C =

1 4

-3 4

» C = A.^ B

C =

1.0000 4.0000

0.3333 4.0000




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Esempio operatore .*


A.*A

ans =

256 9 4 169

25 100 121 64

81 36 49 144

16 225 196 1

N.B. A .* A A * A = A ^ 2

Per poter eseguire questo tipo di operazioni (.*, ./, .^) gli operandi devono avere le stesse dimensioni.

L’unica eccezione a questa regola è data dal caso in cui uno dei due operandi è uno scalare. In questo caso è infatti possibile eseguire una qualunque operazione, puntuale e non, in quanto lo scalare viene trattato come una variabile dello stesso tipo e delle stesse dimensioni dell’altro operando, avente tutte le componenti costanti.




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Concatenazione


Per concatenazione si intende il processo di congiunzione di matrici per fare matrici di dimensioni più grandi.

La parentesi quadrata, [ ], è l'operatore della concatenazione.

Per un esempio, si parta dalla matrice 4x4 A e si formi:

B = [A A+32; A+48 A+16]

Il risultato è una matrice 8x8, ottenuta concatenando quattro sottomatrici 4x4.

B =

16 3 2 13 48 35 34 45

5 10 11 8 37 42 43 40

9 6 7 12 41 38 39 44

4 15 14 1 36 47 46 33

64 51 50 61 32 19 18 29

53 58 59 56 21 26 27 24

57 54 55 60 25 22 23 28

52 63 62 49 20 31 30 17




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Cancellazione di righe o colonne


Si possono cancellare righe e colonne da una matrice utilizzando le parentesi quadrate.

Ad esempio,sia:

X = A;

Per cancellare la seconda colonna di X, usiamo:

X(:,2) = [ ]

Questo cambia X in

X =

16 2 13

5 11 8

9 7 12

4 14 1

N.B. Se si cancella un singolo elemento da una matrice, il risultato non è più una matrice. Così,

X(1,2) = [ ]

produce un errore.




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Ulteriori operazioni con matrici


Se A è una matrice

>> max(A)

restituisce un vettore riga che contiene l’elemento massimo di ogni colonna

>> min(A)

restituisce un vettore riga che contiene l’elemento minimo di ogni colonna

>> eig(A)

restituisce una matrice diagonale che contiene gli autovalori di A ed una matrice le cui colonne sono gli autovettori corrispondenti

>> abs(A)

restituisce una matrice i cui elementi sono gli elementi di A presi in valore assoluto




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Soluzione di un sistema algebrico:

operatore \


Dato un sistema algebrico posto nella forma [A] * {x} = {b}, la soluzione {x} può essere ricavata utilizzando l’operatore \ (backslash): x = A \ b

L’uso di tale operatore equivale a scrivere x = inv(A) * b

Es.

A=[2 5 6;6 4 -12;1 0 4]

b=[32;6;1]

>> x=A\b

x =

-1.7907

6.2791

0.6977

2 5 6 32

6 4 12 6

4 1

x y z

x y z

x z




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Generazione di matrici mediante il

comando load


Si è mostrato che il comando load consente di legge file binari (.mat) che contengono variabili (e quindi anche matrici) generate in precedenti sessioni di MATLAB.

Tale comando può anche essere utilizzato per leggere file di testo contenenti dati numerici.

I file di testo dovrebbero essere organizzati come una tabella rettangolare di numeri, separata da spazi vuoti, con una riga per linea, e un numero uguale di elementi in ciascuna fila.




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Uso di Matlab come linguaggio di

programmazione


Alcune strutture elementari di programmazione disponibili in MATLAB sono:

•ciclo incondizionato for controllato da un contatore

•ciclo condizionato while

•uscita incondizionata break

•istruzioni condizionali if e switch

•operatori relazionali

•operatori logici




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Operatori relazionali


< <= > >= == ˜=

N.B. in MATLAB gli operatori relazionali possono essere applicati anche a vettori e matrici.

Esempio:

>>x=1:5;

>>y=5:-1:1;

>>z=x>y

z =

0 0 0 1 1




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Istruzioni condizionali: if


if condizione1

istruzioni

elseif condizione2

istruzioni

....

else

istruzioni

end

Il primo blocco di istruzioni sarà eseguito solo se la condizione1 risulta essere verificata, il secondo solo se la condizione1 risulta essere falsa e la condizione2 vera.

Il blocco che segue else sarà eseguito soltanto se nessuna delle precedenti condizioni risulta essere vera.




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Istruzioni condizionali: switch


switch variabile

case valore1

istruzioni

case {valore2, valore3,...}

istruzioni

otherwise,

istruzioni

end

Se variabile è uguale a valore1 vengono eseguite le righe di codice poste dopo la prima istruzione case.

Se variabile è uguale a valore2 o valore3 o ... vengono eseguite le righe di codice poste dopo la seconda istruzione case.

In tutti gli altri casi vengono eseguite le istruzioni dopo otherwise




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Ciclo for


for variable = inizio:incremento:fine,

istruzione

...

istruzione

end

Il ciclo viene ripetuto per tutti i valori di variabile compresi tra inizio e fine. Al termine di ogni ciclo il valore di variabile viene incrementato di incremento.

Se il valore di incremento viene omesso esso vieneautomaticamente assunto uguale a +1.




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Ciclo condizionato while


while condizione

istruzione

...

istruzione

end

condizione è un’espressione che MATLAB valuta numericamente e che viene interpretata come vera se assume valore 1, come falsa se assume valore 0.

Il ciclo viene eseguito fintanto che l’espressione è vera.

Se si utilizza l’operatore logico ˜ davanti a condizione, il ciclo viene eseguito fintanto che l’espressione è falsa.




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Uscita incondizionata break


Il comando break consente di uscire in maniera

forzata da un ciclo for o while.

Quando tale comando viene eseguito MATLAB

salta direttamente all’istruzione end, con cui

termina il ciclo.




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m-file (script) e funzioni


Esistono due categorie di programmi eseguibili in MATLAB:

m-file (o script) file di comandi

function-file file di funzioni

Entrambi questi programmi devono essere salvati in file con estensione “.m”.

Per inserire dei commenti all'interno dei programmi viene utilizzato il carattere %. I commenti posti all’inizio di un file con estensione .m possono essere mostrati digitando il comando help seguito dal nome del programma.




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m-file (script)


Un m-file contiene una successione di comandi MATLAB memorizzati in un file di testo.

Esso è caratterizzato da un nome con estensione .m (es. nomefile.m) che lo identifica come un nuovo comando MATLAB.

Pertanto, per eseguire il programma è sufficiente digitare il suo nome alla riga di comando di MATLAB:

>> nomefile

Con questa operazione si ottiene lo stesso risultato che si sarebbe ottenuto scrivendo uno ad uno i comandi elencati nello script.

Le variabili definite in uno script sono variabili globali e quindi contribuiscono ad aumentare l’occupazione di memoria: rimangono in workspace anche le variabili di servizio, di cui è superfluo conservare i valori.




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function file


Se si vogliono evitare gli inconvenienti di allocazione di memoria dati dagli m-file, e se si vuole suddividere un programma in più sotto-programmi è conveniente considerare i function-file (o “function”).

Un function-file è caratterizzato da una lista di parametri di input (opzionale) ed una lista di parametri di output (anch’essa opzionale).

A differenza dello script, la prima riga di una function deve avere obbligatoriamente la seguente struttura:

function [y1, ... , yn] = nome_funzione (x1, ... , xm)

Il file deve essere salvato con un nome uguale a quello della funzione (nome_funzione) e con estensione .m.

N.B. Le variabili utilizzate durante l’esecuzione del programma vengono

trattate come variabili locali e vengono automaticamente cancellate dalla

memoria al termine dell’esecuzione.




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Grafici: funzione plot()


La funzione plot() consente di produrre grafici bidimensionali.

Essa genera risultati che dipendendo dal numero di argomenti utilizzati.

Se y è un vettore, plot(y) produce un grafico lineare degli elementi di y rispetto all'indice degli elementi di y. Tutti i punti rappresentati vengono raccordati tra loro mediante tratti rettilinei: si ottiene pertanto una rappresentazione grafica di y mediante una spezzata.

Se si specificano due vettori come argomenti, ad esempio x e y, plot(x,y) produce un grafico di y (ordinate) contro x (ascisse).




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figure(), close(), close all


L’invocazione della funzione plot() comporta l’apertura automatica di una nuova finestra grafica qualora non ve ne siano già di aperte.

Se una finestra grafica risulta essere già aperta, il comando plot() viene applicato a tale finestra. Ciò comporta che venga sovrascritto il contenuto di tale finestra.

Per aprire una finestra nuova, nominarla finestra “n” (dove n è il numero nella barra del titolo della figura) e renderla finestra corrente è sufficiente digitare:

figure(n)

Tale istruzione può essere anche applicata ad una finestra grafica già aperta, per renderla finestra corrente.

Per chiudere la suddetta finestra si digita il comando close(n), per chiudere tutte le finestre attive si digita close all.

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