Inverse of a Matrix

Content

• Inverse of a matrix• Elementary Row Operations (or Column)• Inverse of a Matrix by Elementary Operations• Recursion Formula for Inverse of Matrices

Inverse of a Matrix

• A every square matrix  whose determinant is non‐zero there is an inverse matrix, denoted by  , which satisfies the relations

where  is the identity matrix (diagonal matrix with  1).

Inverse of a Matrix

• Singular Matrix. Is one whose determinant is zero.• Non‐Singular Matrix. Is one whose determinant is nonzero.• A singular matrix has no inverse.• The inverse matrix can be represented as follows:

1

where:is the determinant od the matrix A

is the adjoint of the matrix A

Inverse of a Matrix

• The Adjoint is the transpose of the matrix of cofactors of  .• Example, using a 3 x 3 matrix:

⇒

∴

where the cofactors are:  1; ; ;; ; ;; ;

Inverse of a Matrix

• Example: Calculate the inverse matrix  :

2 4 30 1 13 5 7

Inverse of a Matrix

• Solution:• First determine if the matrix is non‐singular (a nonzero determinant of  ).

2 1 7 5 1 4 0 7 3 1 3 0 5 3 13 0 ⇒ Non‐singular

• Find the cofactors of  .1 7 5 1 12; 0 7 3 1 3; 0 5 3 1 3;4 7 5 3 13; 2 7 3 3 5; 2 5 3 4 2;

4 1 1 3 7; 2 1 0 3 2; 2 1 0 4 2

⇒12 3 313 5 27 2 2

Inverse of a Matrix

• Find the adjoint (transpose of the cofactors of  ).

⇒12 13 73 5 23 2 2

• Then the inverse of matrix is:

⇒1 1

3

12 13 73 5 23 2 2

4133

73

153

23

123

23

Elementary Row Operations (or Column)

• Elementary matrices:a) identity matrix with row  multiplied by the scalar b) identity matrix with rows  and  exchangedc) identity matrix with row  replaced by the sum of row  and 

times row 

Elementary Row Operations (or Column)

• Example using elementary matrices 3 x 3:

31 0 00 3 00 0 1

;1 0 00 0 10 1 0

; 51 5 00 1 00 0 1

Elementary Row Operations (or Column)

• Multiplying elementary matrices to matrix  we obtain:a) matrix  with row  multiplied by the scalar b) matrix  with rows  and  exchangedc) matrix  with row  replaced by the sum of row  and 

times row 

Elementary Row Operations (or Column)

• Example using elementary matrices 3 x 3:

1 3 40 2 52 3 1

31 3 40 6 152 3 1

;1 3 42 3 10 2 5

;

51 13 290 2 52 3 1

Inverse of a Matrix by Elementary Operations

• If  is an invertible matrix of  , form the matrix of  , | . After that, perform elementary row operations until the first 

columns form a reduced matrix equal to  . The last  columns will

• Then:→ ⋯ → |

• If a matrix  is not reduced to  , then does not have inverse.

Inverse of a Matrix by Elementary Operations

• Example:Find the inverse of the matrix  using elementary row operations.

1 0 24 2 11 2 10

Inverse of a Matrix by Elementary Operations

• Solution:

Recursion Formula for Inverse of Matrices

• Step 1. Normalize the element  multiplying the row  of the augmented matrix by the reciprocal of element  . If the  element is zero, then its reciprocal is not defined. In this case, the row  must be exchanged for any row  which does not have a zero element  . In practice, the line  is replaced by the  row, where  , is the element of maximum magnitude in column  , above or below the main column.

1, … ,

• Step 2.Make zeros elements of the  column of the augmented matrix, replacing the row  for the best combination of row  and row  .

; 1, … ,

Recursion Formula for Inverse of Matrices

• Repeat the above procedure in the augmented matrix such that the left side is an identity matrix. The matrix on the right side is the inverse matrix.

Computer Program 1

• Submit a computer program to perform matrix operations and the inverse of matrices:• Adding and Subtracting Matrices• Scalar product• Matrices product• Determinant of a Matrix• Matrix inversion

• The maximum dimension of the matrix should be 100• Hand over:

• Flowchart (printed)• Computational algorithm (printed)• Source Code (printed and file)• Executable (file)

Inverse of a Matrix