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CC EE NN TT RR OO DD EE CC II ÊÊ NN CC II AA SS EE XX AA TT AA SS EE DD EE TT EE CC NN OO LL OO GG II AA

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CCAA PP ÍÍ TT UU LL OO ## 44

IIDD ÉÉ II AA SS BBÁÁ SS II CC AA SS DD EE PPLL AA NN EE JJ AA MM EE NN TT OO EE

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PPRROOFF .. PPEEDDRROO FFEERRRREEIIRRAA FFIILLHHOO

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Capítulo 4 – Idéias Básicas do Planejamento e Análise Estatística de Experimentos

Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos – 2º Semestre de 2010 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profª Estela Maris Bereta Página 2

44 .. II DD ÉÉ II AA SS BB ÁÁ SS II CC AA SS DD EE PP LL AA NN EE JJ AA MM EE NN TT OO EE AA NN ÁÁ LL II SS EE EE SS TT AA TT ÍÍ SS TT II CC AA

DD EE EE XX PP EE RR II MM EE NN TT OO SS

44 .. 11 .. II NN TT RR OO DD UU ÇÇ ÃÃ OO

Experimentos são urna parte natural dos processos de tomada de decisão em engenharia e

em ciência. Suponha, por exemplo, que um engenheiro civil esteja investigando os efeitos de

diferentes métodos de cura sobre a resistência compressiva do concreto. O experimento poderia

consistir em fabricar vários corpos de prova de concreto usando cada um dos métodos propostos

de cura e então testar a resistência compressiva de cada espécime. Os dados desse experimento

poderiam ser usados para determinar qual método de cura deveria ser usado para fornecer a

máxima resistência compressiva media.

Se houver somente dois métodos de cura que sejam de interesse, esse experimento

poderia ser planejado e analisado usando os métodos de hipóteses estatísticas para duas

amostras, introduzido no capítulo anterior. O experimentalista tem um único fator de interesse -

métodos de cura - e há somente dois níveis do fator, podendo ser usado o teste t para decidir se

as duas médias diferem.

Muitos experimentos com um único fator requerem que mais de dois níveis do fator sejam

considerados. Por exemplo, o engenheiro civil pode querer investigar cinco métodos diferentes de

cura. Neste capitulo, mostraremos como a análise de variância (ANOVA) poderá ser usada para

comparar medias quando houver mais de dois níveis de um único fator. Técnicas de planejamento

de experimentos, baseadas estatisticamente, são particularmente úteis no mundo de engenharia,

a fim de melhorar o desempenho de um processo de fabricação. Elas têm também aplicação

extensiva no desenvolvimento de novos processos. A maioria dos processos pode ser descrita em

termos de muitas variáveis controláveis, tais como temperatura, pressão e taxa de alimentação.

Usando o planejamento de experimentos, os engenheiros podem determinar qual subconjunto das

variáveis de processos tem a maior influência no desempenho do processo.

Os resultados de tal experimento podem conduzir a:

1. Melhor rendimento do processo;

2. Redução na variabilidade do processo e uma melhor obediência aos requerimentos

nominais ou alvos;

3. Redução nos tempos de projeto e desenvolvimento;

4. Redução nos custos de operação.



Os métodos de planejamento de experimentos também são úteis em atividades de projetos

de engenharia, onde novos produtos são desenvolvidos e produtos já existentes são

melhorados. Algumas aplicações típicas de experimentos planejados estatisticamente em

projetos de engenharia incluem:

1. Avaliação e comparação das configurações básicas de projeto;

2. Avaliação de diferentes materiais;

3. Seleção dos parâmetros do projeto, de modo que o produto trabalhe bem, sob uma ampla

variedade de condições de campo (ou de modo que o projeto seja robusto);

4. Determinação dos parâmetros de projeto, dos produtos chaves que causem impacto no

desempenho do produto.

O uso do planejamento de experimentos nos projetos de engenharia pode resultar em

produtos que sejam mais fáceis de fabricar, que tenham melhores desempenhos no campo (e

melhor confiabilidade do que seus competidores), e em produtos que possam ser projetados,

desenvolvidos e produzidos em menos tempo.

Experimentos planejados são geralmente empregados seqüencialmente. Isto é, o primeiro

experimento, com um sistema complexo (talvez um processo de fabricação), que tenha muitas

variáveis controláveis, e freqüentemente um experimento exploratório (screening experiment),

projetado para determinar que variáveis são mais importantes. Experimentos subseqüentes são

usados para refinar essa informação e determinar quais ajustes são requeridos nessas variáveis

criticas, de modo a melhorar o processo. Finalmente, o objetivo do experimentalista é a otimiza-

ção, ou seja, determinar quais são os níveis resultantes das variáveis críticas no melhor

desempenho do processo.

Cada experimento envolve uma seqüência de atividades:

1. Conjectura - a hipótese original que motiva o experimento;

2. Experimento - o teste feito para investigar a conjectura;

3. Analise - a analise estatística dos dados do experimento;

4. Conclusão - o que se aprendeu acerca da conjectura original do experimento.

Freqüentemente, o experimento conduzirá a uma conjectura revisada e a um novo

experimento, e assim por diante.

Um dos problemas mais comuns para quem faz experimentos é conseguir determinar a

influência de uma ou mais variáveis sobre uma outra variável de interesse. Por exemplo, ao se

estudar certa reação química, o objetivo é saber como o rendimento seria afetado por diferentes

temperaturas ou diferentes catalisadores. No linguajar estatístico, dizemos que ele está

interessado em descobrir como a resposta (o rendimento da reação) depende dos fatores



temperatura e catalisador. Podemos abordar esse problema como um caso particular da situação

mostrada esquematicamente na Figura 4.1. Certo número de fatores, F1, F2,...,Fk, atuando sobre o

sistema em estudo, produz as respostas R1, R2,...Rj. O sistema atua como uma função

(desconhecida, em principio, senão não precisaríamos de experimentos), que opera sobre as

variáveis de entrada (os fatores) e produz como saída, as respostas observadas. O objetivo da

pessoa que realiza os experimentos é descobrir essa função, ou pelo menos obter uma

aproximação satisfatória para ela. Com esse conhecimento, ela poderá entender melhor a natureza

da reação em estudo e assim escolher as melhores condições de operação do sistema.

Figura 4.1. Um sistema pode ser representado por uma função (usualmente desconhecida) ligando os fatores (variáveis de entrada) às respostas (variáveis de saída).

No planejamento de qualquer experimento, a primeira coisa que devemos fazer é decidir

quais são os fatores e as respostas de interesse. Os fatores, em geral, são as variáveis que o

experimentador tem condições de controlar, podem ser qualitativos, como o tipo de catalisador, ou

quantitativos, como a temperatura. Às vezes, num determinado experimento, sabemos que

existem fatores que podem afetar as respostas, mas que não temos condições de controlar. Um

exemplo é a procedência do vinagre, na comparação entre Arrhenius e Berzelius. Precisamos

tomar muito cuidado com fatores desse tipo, para que o seu efeito não seja confundido com os

efeitos de interesse. Uma das técnicas que podemos usar para evitar essa possível confusão é a

blocagem.

As respostas são as variáveis de saída do sistema, nas quais estamos interessados, e as

quais serão (ou não) afetadas por modificações provocadas nos fatores (as tais manipulações).

Elas também podem ser classificadas como qualitativas ou quantitativas. Dependendo do

problema, podemos ter várias respostas de interesse, que talvez devam ser consideradas

simultaneamente.

Tendo identificado todos os fatores e respostas, o nosso próximo passo é definir, com o

máximo de clareza, o objetivo ao qual pretendemos alcançar com os experimentos, para que só

então possamos escolher o planejamento mais apropriado. Por exemplo: O nosso químico pode



somente estar interessado em saber se o fato de trocar o catalisador por um outro mais barato

não vai diminuir o rendimento da reação. Ou então, pode querer descobrir que temperatura deve

ser usada para se obter o rendimento máximo. Ou ainda, até quando ele pode variar os fatores

sem alterar o rendimento ou a qualidade do produto final, e assim por diante. O planejamento dos

experimentos, isto é, a especificação detalhada de todas as operações experimentais que devem

ser realizadas, vai depender do objetivo particular que ele quiser atingir. Objetivos diferentes

necessitarão de planejamentos diferentes.

44 .. 22 .. DD EE FF II NN II ÇÇ ÕÕ EE SS

A caracterização de um plano experimental é definida a partir de alguns elementos

estabelecidos a partir dos objetivos do estudo bem como condições experimentais existentes para

a sua realização. Dentre os aspectos que definem um plano experimental podemos destacar:

4.2.1. FONTES DE VARIAÇÃO

Variáveis que são controladas no experimento.

4.2.1.1. EXPERIMENTOS COM UMA ÚNICA FONTE DE VARIAÇÃO

Os tratamentos a serem estudados no experimento são provenientes de uma única fonte

de variação.

Exemplo: Verificar o rendimento de uma dada reação considerando 4 diferentes

catalisadores.

Fonte de Variação: Diferentes Catalisadores.

Tratamentos: Catalisadores A, B, C, D.

4.2.1.2. EXPERIMENTOS COM DUAS OU MAIS FONTES DE VARIAÇÃO

Neste caso, temos os chamados “experimentos fatoriais”, ou seja, experimentos onde

duas ou mais variáveis são controladas. Os tratamentos, neste caso, são resultados da combinação

dos níveis de duas ou mais fontes de variação.

Exemplo: Estudo para verificar o rendimento de uma reação considerando diferentes

temperaturas e diferentes catalisadores.

Fontes de Variação: A – Temperatura: A1, A2, A3.

B – Catalisadores: B1, B2.



Considerando “fatores cruzados” – Definição logo a seguir.

Neste Caso:

Dois Fatores: Fator A, com 3 níveis e Fator B, com 2 níveis.

Fatores Cruzados = 6 tratamentos.

Tratamentos: A1B1, A1B2, A2B1, A2B2, A3B1, A3B2.

4.2.2. ALEATORIZAÇÃO

Forma de atribuição dos tratamentos às unidades experimentais.

4.2.2.1 EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS

Neste caso, os tratamentos são atribuídos aleatoriamente às unidades experimentais, ou

seja, cada unidade experimental tem igual probabilidade de receber cada um dos tratamentos.

Não existe restrição na aleatorização.

A eficiência deste tipo de experimento está associada ao grau de homogeneidade das

unidades experimentais.

4.2.2.2. EXPERIMENTOS COM RESTRIÇÃO NA ALEATORIZAÇÃO:

Neste caso, as unidades experimentais apresentam uma ou mais fontes de variabilidade

que podem influenciar nos resultados do experimento e que, portanto, devem ser controladas na

sua execução.

Assim, as unidades experimentais homogêneas devem ser agrupadas em subconjuntos

(blocos) e o processo de aleatorização é realizado dentro dos mesmos.

Objetivo: Grande variabilidade entre blocos e uma pequena variabilidade dentro dos

blocos. Os blocos podem ser:

a) Completos: todos os tratamentos estão presentes nos blocos.

A2B1A3B2

A1B2A2B2

A3B1A1B1

A2B1A3B2

A1B2A2B2

A3B1A1B1

A1B2A3B1

A2B2A3B2

A1B1A2B1

A1B2A3B1

A2B2A3B2

A1B1A2B1

BLOCO 1 BLOCO 2



b) Incompletos: nem todos os tratamentos são utilizados no bloco.

Causas:

Perda de Informação (unidade experimental perdida);

Insuficiente número de unidades experimentais por bloco.

Experimentos segundo o número de fontes de variabilidade:

a) Uma fonte de variabilidade: aleatorizado em blocos.

b) Duas fontes de variabilidade: quadrado latino.

c) Três fontes de variabilidade: quadrado greco-latino.

Observação:

Outros tipos de restrição na aleatorização:

Medidas repetidas/crossover;

Dados longitudinais.

4.2.3. ESTRUTURA DOS FATORES

Como são “combinados os níveis dos fatores”, no caso de experimentos com dois ou mais

fatores.

4.2.3.1. FATORES CRUZADOS

Todos os níveis dos diferentes fatores podem ser combinados gerando diferentes

tratamentos.

A2B1

A1B2A2B2

A3B1A1B1

A2B1

A1B2A2B2

A3B1A1B1

A1B2A3B1

A2B2A3B2

A2B1

A1B2A3B1

A2B2A3B2

A2B1

BLOCO 1 BLOCO 2

A1 A2 A3

B1 B2

Fator A

Fator B



Exemplo: Caso anterior

4.2.3.2. FATORES HIERÁRQUICOS

Existem níveis de um fator que são específicos dos níveis de outro fator, isto é, nem todos

os níveis dos fatores se combinam.

4.2.3.3. FATORES MISTOS

No caso de experimentos com a presença de três ou mais fatores podemos ter fatores que

são cruzados e outros que são hierárquicos. Por exemplo: Três fatores: A, B, C onde A e B são

cruzados e B é hierárquico a C.

Fator AA1 A2 A3

Fator B B1 B2 B3 B4 B5 B6

A1 A2

B2

Fator A

Fator BB1

Fator CC1 C2 C3 C4



4.2.4. TIPOS DE EFEITOS

As conclusões dos experimentos devem estar limitadas (ou não) aos tratamentos utilizados

no estudo.

4.2.4.1. EFEITOS FIXOS:

As inferências a serem feitas são restritas aos tratamentos utilizados no experimento.

4.2.4.2. EFEITOS ALEATÓRIOS:

A inferência a ser feita é sobre a “população” de tratamentos da qual uma amostra foi

utilizada no experimento. É chamado “modelo de componentes de variância”.

44 .. 33 .. CC UU RR SS OO

Neste curso ficaremos restritos a situação de experimentos completamente aleatorizados

ou aleatorizados em blocos completos, com fatores cruzados e efeitos fixos.

ipaee capitulo4

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